El metodo de las componentes simétricas en SEP

Aplicación del método de componentes simétricas en los sistemas eléctricos de potencia.

1. El método de las Componentes Simétricas (Parte 2) Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 1

2. 2 Introducción Consideraciones sobre las leyes de Kirchhoff. Circuitos simétricos en estrella “Y” y triangulo “  ”. Teorema de Kennelly. Consideraciones de desfasamiento producido por bancos de transformadores conectados en Y -  o en  - Y.   Medición de las componentes simétricas. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia Archivo en sitio web: http://campus.fi.mdp.edu.ar/ Temas por desarrollar

3. Introducción Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 3

4. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 4 Se ha demostrado al estudiar los fundamentos del método de las componentes simétricas (C.S.), como dada una terna desequilibrada , más ampliamente imperfecta , esta se podrá resolver en tres componentes separadas. Estas componentes forman individualmente una terna de fasores para obtener así sistemas de fasores de secuencia positiva (1), negativa (2) y cero (0). A continuación, desarrollaremos aspectos no contemplados en el módulo dedicado al estudio de las componentes simétricas.

5. Consideraciones sobre las Leyes de Kirchhoff Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 5

6. La primera Ley de Kirchhoff puede ser formulada como: Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 6  I = 0 Si consideramos la fase R en un nodo donde concurren por ejemplo tres corrientes se tiene: I´ R + I´´ R + I´´´ R = 0 Análogamente para las fases S y T, resulta: I´ S + I´´ S + I´´´ S = 0 y I´ T + I´´ T + I´´´ T = 0 Considerando nuevamente la fase R, pero en términos de C.S. (I´ 0R + I´ 1R + I´ 2R ) + (I´´ 0R + I´´ 1R + I´´ 2R ) + (I´´ 0R + I´´ 1R + I´´ 2R ) = 0   (I´ 0R + I´´ 0R + I´´´ 0R ) + (I´ 1R + I´´ 1R + I´´´ 1R ) + (I´ 2R + I´´ 2R + I´´´ 2R ) = 0 “La suma fasorial de todas las corrientes de los conductores en un nodo es igual a cero”

7. 7 En forma similar para las otras fases: (I´ 0R + I´´ 0R + I´´´ 0R ) + a 2 (I´ 1R + I´´ 1R + I´´´ 1R ) + a (I´ 2R + I´´ 2R + I´´´ 2R ) = 0   (I´ 0R + I´´ 0R + I´´´ 0R ) + a (I´ 1R + I´´ 1R + I´´´ 1R ) + a 2 (I´ 2R + I´´ 2R + I´´´ 2R ) = 0 Sumando las últimas expresiones y usando la relación (1 + a 2 + a)=0, nos dará: (I´ 0R + I´´ 0R + I´´´ 0R ) = 0 Sumando la antepenúltima, “a” veces la anteúltima y a 2 veces la última, resulta: (I´ 1R + I´´ 1R + I´´´ 1R ) = 0 Sumando la antepenúltima, “a 2 ” veces la anteúltima y a veces la última, resulta: (I´ 2R + I´´ 2R + I´´´ 2R ) = 0 Estos tres últimos resultados ponen en evidencia que las componentes simétricas separadas de las corrientes que se encuentran en un nodo obedecen la 1º Ley de Kirchhoff del mismo modo que lo hacen las corrientes normales.  I R0 = 0  I R1 = 0  I R2 = 0 Similares conceptos se podrán aplicar a las fases S y T. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia En cualquier nodo entonces se cumple:

8. 8 Con relación a la 2º Ley de Kirchhoff se podrá decir: “La sumatoria fasorial de f.e.m. en un lazo es igual a la suma fasorial de los productos de las corrientes e impedancias de ramas que corresponden a dicho lazo”  E =  I Z Las f.e.m.s. de una fase en particular , con una secuencia dada, en C.S. produce solo corrientes de la misma secuencia de fases. Cada una de las redes de secuencia individuales se podrán hallar siguiendo la segunda ley de Kirchhoff que para el caso general se puede admitir que: Para cualquier circuito cerrado, la sumatoria fasorial de f.e.m. de cualquier secuencia de fases (1,2 y 0) debe ser igual a la suma de las caídas de potencial en la misma secuencia: Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia  E R0 =  I R0 Z  E R1 =  I R1 Z 1  E R2 =  I R2 Z 2

9. Circuitos simétricos en estrella “Y” y triangulo “  ” Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 9

10. En sistemas trifásicos, los elementos del circuito se conectan entre las líneas a, b y c en la configuración Y o  . Las relaciones entre las componentes simétricas de las corrientes y las tensiones Y y  se pueden establecer mediante la Figura 2, que muestra las impedancias simétricas conectadas en Y y  . Figura 2 .- Impedancias simétricas: a ) conectadas en  ; b) conectadas en Y Se considerará que la referencia de fase para las cantidades en  es la rama a-b. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 10 La selección particular de la fase es arbitraria y no afecta los resultados.

11. Para las corrientes, se tiene: Al sumar las tres ecuaciones y recordar la definición de la corriente de secuencia cero, se obtiene que: es decir que las corrientes de línea en un circuito conectado en  no tienen corrientes de secuencia cero.   Se sustituyen las componentes de corriente en la ecuación para I a y se llega a:       Donde se cumple que: .   Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 11

12. Si hay un valor diferente de cero de la corriente I ab0 que circula en el circuito en triangulo, no puede determinarse a partir de las corrientes de línea. Si se considera que: y que , la ecuación se puede escribir como sigue:   Luego resulta que se cumple: Los conjuntos completos de componentes simétricas de secuencia positiva y negativa de las corrientes se muestran en el diagrama fasorial de la figura 3. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 12    

13. De manera similar, se pueden escribir las tensiones de línea en términos de las tensiones de línea a neutro de un sistema conectado en Y:   Se suman las tres ecuaciones y se obtiene que: Al sustituir las componentes de las tensiones en la ecuación para V ab , se tiene:   Donde se cumple que: .   Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 13 Decimos entonces que las tensiones de línea no tienen componentes de secuencia cero .    

14. Un valor diferente de cero de la tensión de secuencia cero, V an0 , no se puede determinar solamente a partir de los voltajes de línea a línea. Al separar las cantidades de secuencia positiva y negativa, al igual que sucedió con las corrientes, se obtienen las relaciones de tensiones que siguen:   Los conjuntos completos de componentes de tensiones de secuencia positiva y negativa se muestran en los diagramas fasoriales de la figura 3. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 14

15. Figura 3 .- Componentes de secuencia positiva y negativa de: a) corrientes de línea de fase en  y b) voltajes de línea a línea y línea a neutro de un sistema trifásico. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 15

16. De la Figura 4 se observa que: V ab / I ab = Z    Al sustituir los resultados de las ecuaciones que relacionan las tensiones de línea y fase y las corrientes de línea y se fase, para cada secuencia resulta:   Cuando están presentes las cantidades de secuencia positiva y negativa, se tiene: Figura 4 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 16  

17. Las impedancias conectadas en  , son equivalentes a las impedancias por fase o conectadas en Y, donde se cumple que: Z Y = Z  /3 , en lo que se refiere a las corrientes de secuencia positiva y negativa. Figura 5 a) Impedancias simétricas conectadas en  y sus equivalentes conectados en Y relacionados a través de Z Y = Z  / 3; b) Impedancias conectadas en Y con conexión del neutro a tierra. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 17

18. Consideraciones de desfasamiento producido por bancos de transformadores conectados en Y -  o en  - Y Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 18

19. En el punto anterior se analizó el desfasamiento que existe entre las corrientes y voltajes de secuencia positiva y secuencia negativa en cargas en  y en Y. Antes de proceder con el análisis de transformadores trifásicos, examinemos el método estándar para establecer marcas de polaridad en transformadores. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 19 En el presente punto se presenta el desfasamiento que existe entre las corrientes y voltajes de secuencia positiva y secuencia negativa, cuando se tienen transformadores conectados en Y -  o en  - Y; esto es, los desfasamientos de estas cantidades vistas en el lado primario y en lado secundario de los transformadores.

20. Cuando la corriente I 1 entra por la terminal positiva y la corriente I 2 sale por la terminal positiva, se dice que I 1 e I 2 están en fase, porque en este caso producen fuerzas magnetomotrices en direcciones opuestas, como se muestra en la Figura 6. Figura 6 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 20

21. En transformadores trifásicos conectados en  -  o Y – Y, las marcas de polaridad están en tal forma que los voltajes del neutro a las terminales H 1 , H 2 y H 3 , están en fase con los voltajes del neutro a las terminales X 1 , X 2 y X 3 , respectivamente, como se muestra en la figura 7. Figura 7 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 21

22. Consideremos ahora el transformador trifásico mostrado en la figura 8a), donde la Y se encuentra en el lado de alta tensión y el  en el lado de baja tensión. Figura 8 En la figura 8a) se muestra que el devanado de la fase AN está magnéticamente acoplado con de la fase bc , BN con ca y CN con ab, por lo tanto: V AN está en fase con V bc V BN está en fase con V ca V CN está en fase con V ab Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 22

23. La figura 8b) y 8c) muestran los diagramas fasoriales de voltajes de secuencia positiva y negativa en el lado de alta y baja tensión, r espectivamente. Figura 8 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 23

24. Los estándares ASA para transformadores , requieren que los voltajes de secuencia positiva del neutro a H 1 , H 2 y H 3 , adelanten 30° a los voltajes de secuencia positiva del neutro a X 1 , X 2 y X 3 , para la designación de las terminales adecuadas. V A1 adelanta 30° a V b1 V B1 adelanta 30° a V c1 V C1 adelanta 30° a V a1 Del diagrama fasorial de la figura 8b), se tiene: Figura 8 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 24

25. esto significa que si en: Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 25 H 1 está conectada la fase A  en X 1 debe conectarse la fase b. H 2 está conectada la fase B  en X 2 debe conectarse la fase c. H 3 está conectada la fase C  en X 3 debe conectarse la fase a.

26. Las figuras 9a) y 9b) muestran las relaciones de las corrientes de secuencia positiva y secuencia negativa para el lado de alta tensión y baja tensión, respectivamente, correspondientes a la figura 8. Figura 9 Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 26

27. De las figuras se tienen las siguientes relaciones: Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 27 V a1 = + j V A1 V b1 = + j V B1 V c1 = + j V C1   I a1 = + j I A1 I b1 = + j I B1 I c1 = + j I C1   V a2 = - j V A2 V b2 = - j V B2 V c2 = - j V C2   I a2 = - j I A2 I b2 = - j I B2 I c2 = - j I C2

28. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 28 Medición de las componentes simétricas

29. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 29 Hemos visto que las componentes simétricas de la corriente no existen aisladamente en una línea , pero se pueden medir y engendrar fenómenos físicamente observables, que son distintos según sea la naturaleza homopolar, directa o inversa, de la componente observada. A demás de un medio auxiliar de cálculo, en cierta medida son una realidad física. Para la medida de las componentes simétricas se utilizan los sistemas de medida que se citan a continuación. Estos sistemas pueden emplearse para la alimentación de relés de protección de máquinas o líneas de transmisión.

30. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 30 Medida de la tensión homopolar

31. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 31 Para que exista la componente homopolar es necesaria la conexión del neutro. V = 1/3 ( V 1N + V 2N + V 3N ) (1) Para esta medida se utiliza un voltímetro que mida las tres tensiones de fase simultáneamente, para ello se conecta el primario de tres transformadores de tensión iguales, uno en cada fase y los secundarios en serie, como muestra la figura. La tensión del voltímetro valdrá: V = ( V 1N / m v + V 2N / m v + V 3N / m v ) = 1/ m v ( V 1N + V 2N + V 3N ) Sustituyendo en la ecuación (1) resulta: V = 1/3 m v V L a indicación del voltímetro será el valor eficaz de la tensión. Si la relación de los transformadores utilizados es m V = 1 , la tensión homopolar resulta ser un tercio de la medida en el voltímetro. Para la medida de la tensión homopolar V hacemos uso de la ecuación:

32. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 32 Otra forma, es utilizando un amperímetro y tres impedancias de gran valor , para no perturbar el funcionamiento de la red, conectadas en estrella formando un neutro artificial, midiendo el amperímetro la corriente que circula entre ese punto y el neutro de la instalación (ver figura). V = 1/3 ( V 1N + V 2N + V 3N ) = 1/3 ( I’ 1 Z + I’ 2 Z + I’ 3 Z) = Z/3 ( I’ 1 + I’ 2 + I’ 3 ) = Z/3 I A Por lo tanto: V = 1/3 Z I A

33. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 33 Medida de la tensión directa

34. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 34 Para medir la componente directa de la tensión se utiliza una estrella con los siguientes elementos: Un voltímetro de impedancia interna Z 1 = R 1 + j X 1 , conectado entre la fase 1 y el punto O. Una impedancia Z 2 = R + j R  3 , de naturaleza inductiva, conectada entre la fase 2 y el punto O. Una impedancia Z 3 = R – j R  3 , de naturaleza capacitiva, conectada entre la fase 3 y el punto O. Aplicando las leyes de Kirchhoff podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:

35. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 35 Despejando de la segunda ecuación: y sustituyendo en la primera: Las impedancias y tensiones las podemos expresar de la siguiente forma:

36. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 36 Sustituyendo, la corriente en el voltímetro será: La tensión en el voltímetro será: Si Z 1 = R 1 , entonces: La componente directa de la tensión es proporcional a la lectura del voltímetro.

37. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 37 Medida de la tensión inversa

38. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 38 Para la medida de la tensión inversa se utilizan los mismos elementos que para la tensión directa, sin más que intercambiar la conexión entre las impedancias inductivas y capacitivas. Si Z 1 = R 1 , entonces:

39. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 39 Medida de la corriente homopolar

40. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 40 Para medir la corriente homopolar utilizamos la ecuación: I = 1/3 ( I 1 + I 2 + I 3 ) Donde la suma de las tres corrientes de línea puede ser medida con un amperímetro y tres transformadores de intensidad conectados como se indica en la figura. El amperímetro medirá la corriente de los secundarios de los tres transformadores: I A = I 1 / m I + I 2 / m I + I 3 / m I = 1/ m I ( I 1 + I 2 + I 3 ) Sustituyendo queda: I = 1/3 m I I A

41. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 41 Medida de la corriente directa

42. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 42 Se utiliza el equipo de medida indicado en la figura, formado por un voltímetro, dos transformadores de intensidad y dos impedancias. El voltímetro marcará: Sustituyendo las corrientes de línea I 1 e I 2 por sus componentes simétricas, siendo I = 0 por ser la conexión a tres hilos, tenemos:

43. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 43 Utilizando un valor de impedancia de modo que se anule el término de I 1i , tenemos: Si Z 1 es una resistencia de valor R, el valor de Z 2 será: Z 2 = R (1/2 + j  3/2) = R/2 + j R  3/2 En estas condiciones el voltímetro medirá:

44. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 44 Medida de la corriente inversa

45. Ing. Gustavo Ferro - Profesor Adjunto - Area Electrotecnia 45 Para medir la corriente inversa se utiliza el mismo equipo de medida que para la corriente directa, sin más que intercambiar las impedancias Z 1 y Z 2 , la lectura del voltímetro V ' se sustituye en la ecuación: