Electromagnetic Field Theory: Electrostatics

Electromagnetic Field Theory: Electrostatics

1. Dr. 
Rakhesh
Singh 
Kshetrimayum
2. Electrostatics
Dr. 
Rakhesh
Singh 
Kshetrimayum
8/11/2014
1
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

2. 2.1 Introduction
•
In this chapter, we will study •
how to find the electrostatic fields for various ca ses? •
for symmetric known charge distribution
•
for un-symmetric known charge distribution
•
when electric potential, etc.
•
what is the energy density of electrostatic fields?
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
2
•
what is the energy density of electrostatic fields?
•
how does electrostatic fields behave at a media int erface? 
•
We will start with Coulomb’s law and discuss how to  find 
electric fields?
D
What is Coulomb’s law?
D
It is an experimental law

3. 2.2 Coulomb’s  law and electric field
⇒
And it states that the electric force       between  two 
point charges q
1 
and q
2
is 
⇒
along the line joining them (repulsive for same cha rges and 
attractive for opposite charges) 
⇒
directly proportional  to the product  q
1
and q
2
Fr
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3
⇒
directly proportional  to the product  q
1
and q
2
⇒
inversely proportional to the square of  distance r  between 
them 
⇒
Mathematically,
1 2 1 2
2 2q q q q
ˆ ˆ
= k
F r F r
r r
α
⇒
ur ur
9
0
1
9 10
4
k
π
ε
= ≅ ×

4. 2.2 Coulomb’s  law and electric field
P
Electric field is defined as the force experienced  by a unit positive 
charge q kept at that point 
Principle of Superposition: 
2 2
0 0
1 Qq 1 Q
ˆ ˆ
= = = (N/C)
4 4
F
F r E r
r q r
π π
ε ε
∴
ur
ur ur
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4
Principle of Superposition:  P
The resultant force on a charge due to collection o f charges is P
equal to the vector sum of forces  P
due to each charge on that charge
P
Next we will discuss
P
How to find electric field from Gauss’s law?  P
Convenient for symmetric charge distribution

5. 2.3 Electric flux and Gauss’s law P
2.3.1 Electric flux:
P
We can define the flux of the electric field throug h an 
area          to be given by the scalar product                    . 
P
For any arbitrary surface S, the flux is obtained b y  integrating over all the surface elements
ds
r
=
d D ds
ψ
•
ur r
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5
integrating over all the surface elements
=
S S
d D ds
ψ ψ
= •
∫ ∫
ur r

6. 2.3 Electric flux and Gauss’s law
enclosed
S
Qsd D= • =
∫
v
r
ψ
ψ
⇒
Total electrical flux 
coming out of a closed surface S is equal to 
Gauss’s law
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6
⇒
Total electrical flux 
coming out of a closed surface S is equal to 
⇒charge enclosed by the volume defined by the closed  
surface S
⇒irrespective of the shape and size of the closed su rface

7. 2.3 Electric flux and Gauss’s law
(
)
dv Q dvD sd D
V
enclosed
V S∫ ∫ ∫
= = •∇ = • =
ρ
ψ
r
v
r
ψ
⇒Since it is true for any arbitrary volume, we may e quate the two  integrands and write, 
⇒Applying divergence theorem,
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integrands and write,  ⇒Next we will discuss 
⇒How to find electric field from electric potential?
⇒Easier since electric potential is a scalar quantit y
0
= =
D E
ρ
ρ
ε
∇•⇒∇•
r r
[First law of Maxwell’s Equations]

8. 2.4 Electric potential ⇒
Suppose we move a potential charge q from point A t o B in 
an electric field
⇒
The work done in displacing the charge by a distanc e 
⇒
The negative sign shows that the work is done by an  external 
Er
dl
r
= - = -q
dW F dl E dl
• •
ur r ur r
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8
⇒
The negative sign shows that the work is done by an  external  agent.
⇒
The potential difference between two points A and B  is given 
by
= -q
B
A
W E dl
∴ •
∫
ur r
= = -
B
AB
A
W
E dl
q
φ
•
∫
ur r

9. 2.4 Electric potential Electric field as negative of gradient of electric 
potential:
r
For 1-D case, 
P
Differentiate both sides with respect to the upper  limit of 
( ) ( )
= - dx
x
x x
x E x
φ
∞∫
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9
P
Differentiate both sides with respect to the upper  limit of  integration, i.e., x
P
P
Extending to 3-D case,from fundamental theorem of 
gradients,
= - E = - E
x
x x x
d
d dx
dxφ
φ
⇒

10. 2.4 Electric potential
= - E - E - E
x y z
d dx dy dz
φ
⇒
= + +
d dx dy dz
x y zφ φ φ
φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
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10
⇒
Electric field intensity is negative of the gradien t of 
E = -
x
xφ
∂
∴
∂
E = -
y
yφ
∂∂
E = -
z
zφ
∂∂
= -
E
φ
∇
φ

11. 2.4 Electric potential P
Maxwell’s second equation for electrostatics:
P
Electrostaticforce is a conservative force, 
P
i.e., the work done by the force in moving a unit c harge from 
one point to another point 
P
is independent of the path connecting the two point s
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P
is independent of the path connecting the two point s
1 2

B B
A A
Path Path
E dl E dl
• = •
∫ ∫
r r
r r
=
B A
A B
E dl E dl
• − •
∫ ∫
r r
r r
Q

12. 2.4 Electric potential
1 2
+ 0
B A
A B
Path Path
E dl E dl
∴ • • =
∫ ∫
r r r r
∫
= •
⇒
0ld E
r
r
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⇒
Applying Stoke’stheorem, we have,
∫
(
)
∫
∫
= • ×∇ = •
⇒
0sd E ld E
r
r
r
r
0= ×∇E
r
[Second law of Maxwell’s 
Equations for electrostatics] 

13. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
Basically there are three ways of finding electric  field       :
D
First method  is using  D
Coulomb’s law and 
D
Gauss’s law, 
D
when the charge distribution is known
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13
D
when the charge distribution is known
D
Second method  is using                    , 
D
when the electric potential         is known
E
=−∇Φ
r
Φ

14. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
Third method
D
In practical situation,  D
neither the charge distribution nor the electric po tential 
D
is known
D
Only the electrostatic conditions on charge and pot ential are 
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14
D
Only the electrostatic conditions on charge and pot ential are  known at some boundaries and  D
it is required to find  them  throughout the space

15. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
P
In such cases, we may use  P
Poisson’s or 
P
Laplace’s equations or 
P
method of images 
P
for solving boundary value problems
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P
for solving boundary value problems
P
Poisson’s and Laplace’s equations
v
D
ρ
∇• =
r
v o
E
ρε
∇• =
r

16. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
Since
D
Poisson’s equation
E
=−∇Φ
r
2
v o
E
ρε
∇• =−∇•∇Φ=−∇ Φ=
r
ρ
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16
D
For charge free condition, Laplace’s equation
2
v o
ρε
∇ Φ=−
2
0
∇ Φ=

17. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
P
Uniqueness theorem:
P
Solution to  P
Laplace’s or 
P
Poisson’s equations 
P
can be obtained in a number of ways
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P
can be obtained in a number of ways
P
For a given set of boundary conditions, 
P
if we can find a solution to 

18. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
Poisson’s or 
D
Laplace’s equation 
D
satisfying those boundary conditions
D
the solution is unique  D
regardless of the method used to obtain the solutio n
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18
D
regardless of the method used to obtain the solutio n

19. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
P
Procedure for solving Poisson’s or Laplace’s 
equation:
P
Solve the  P
Laplace’s or 
P
Poisson’s equation 
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19
P
Poisson’s equation 
P
using either direct integration 
P
where        is a function of one variable
Φ

20. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
or method of separation of variables 
D
if        is a function of more than one variable
D
Note that this  is not unique  D
since it contains the unknown integration constants
D
Then, apply boundary conditions 
Φ
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20
D
Then, apply boundary conditions 
D
to determine a unique solution for      . 
D
Once           is obtained, 
D
We can find electric field and flux density using 
Φ
Φ
E
=−∇Φ
r
o r
D E
ε ε
=
r r

21. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
P
Method of images:
Q
Q
L
ρ
L
ρ
V
ρ
−
V
ρ
−
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21
P
(a) Point, line and volume charges over a perfectly  
conducting plane and its (b) images and equi-potent ial 
surface
Q
−
L
ρ
−
V
ρ

22. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
commonly used to find  D
electric potential, 
D
field and 
D
flux density 
D
due to charges in presence of conductors
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D
due to charges in presence of conductors

23. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
States that given a charge configuration above an i nfinite 
grounded perfect conducting plane 
D
may be replaced by the  D
charge configuration itself, 
D
its image and 
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23
D
its image and 
D
an equipotentialsurface 
D
A surface in which potential is same is known as 
equipotentialsurface
D
For a point charge the equipotentialsurfaces are sp heres 

24. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
In applying image method, 
D
two conditions must always be satisfied: 
D
The image charges must be located within conducting  region  and 
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24
and 
D
the image charge must be located such that on condu cting 
surface S, 
D
the potential is zero or constant

25. 2.5 Boundary value problems for 
electrostatic fields 
D
For instance, 
D
Suppose a point charge q is held at a distance d ab ove an 
infinite ground plane
D
What is the potential above the plane? 
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25
D
What is the potential above the plane? 
D
Note that the image method doesn’t give correct pot ential 
inside the conductor
D
It gives correct values for potential above the con ductor only

26. 2.6 Electrostatic energy D
Assume all charges were at infinity initially,  D
then, we bring them one by one and fix them in diff erent 
positions
D
To find the energy present in an assembly of charge s,  D
we must first find the amount of work necessary to  assemble 
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
26
D
we must first find the amount of work necessary to  assemble  them
1 2 3
W W W W
= + +
21 2 3 32 31
( )
q q
Φ × + Φ +Φ
=

27. 2.6 Electrostatic energy ⇒
If the charges were placed in the reverse order Therefore,
3 2 1
W W W W
= + +
2 23 1 13 12
0 ( ) ( )
q q
+ Φ + Φ +Φ
=
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⇒
Therefore,
⇒
In general, if there are  n point charges
1
1 1 2 2 3 3
2
( )
W q q q
⇒= Φ + Φ + Φ
1 13 12 2 23 21 3 32 31
2 ( ) ( ) ( )
W q q q
= Φ +Φ + Φ +Φ + Φ ×Φ
1
2
1

n
k k
k
W q
=
= Φ
∑

28. 2.6 Electrostatic energy ⇒
If instead of point charges,  ⇒
the region has a continuous charge distribution, 
⇒
the summation becomes integration 
⇒
For Line charge
1
2
L
L
W dl
ρ
= Φ
∫
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28
⇒
For surface charge
⇒
For volume charge
L
1
2

s
S
W ds
ρ
= Φ
∫
1
2

v
V
W dv
ρ
= Φ
∫

29. 2.6 Electrostatic energy ⇒
Since
⇒
we have,
⇒
From vector analysis,
v
D
ρ
∇• =
r
(
)
1
2

v
W D dv
= ∇• Φ
∫
r
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29
⇒
Hence
⇒
Therefore,
(
)
D D D
∇• Φ = •∇Φ+Φ∇•
r r r
(
)
( )D D D
Φ ∇• =∇• Φ − •∇Φ
r r r
(
)
(
)
1 1
2 2
V V
W D dv D dv
= ∇• Φ − •∇Φ
∫ ∫
r r

30. 2.6 Electrostatic energy
⇒
Applying Divergence theorem on the 1
st
integral, we have,
⇒
remains as 1/r
3
while          remains as 1/r
2
, therefore 
the first integral varies as 1/r,
(
)dv D sd D W
V S∫ ∫
Φ∇• − • Φ =
r
r
r
2
1
2
1
Dr
Φ
sdr
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
30
the first integral varies as 1/r, ⇒
tend to zero as the surface becomes large and  ⇒
tends to be infinite
⇒
Hence
(
)
1
2
V
W D dv
=− •∇Φ
∫
r
2 1 1
2 2

o
V V
D E dv E dv
ε
• =
∫ ∫
r r

31. 2.6 Electrostatic energy ⇒
The integral E
2
can only increase (the integrand being 
positive)
⇒
Note that the integral                          and  is over the region 
where the charge is located, 
⇒
so any larger volume would do just as well
1
2v
V
W dv
ρ
=
∫
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31
⇒
so any larger volume would do just as well
⇒
The extra space and volume will not contribute to t he 
integral 
⇒
Since              for those regions
0
=
v
ρ

32. 2.6 Electrostatic energy ⇒
the energy density in electrostatic field is 
2
2 1 1
2 2

2
o
o
V V
dW d d D
w D E dv E dv
dv dv dv
ε
ε
   
= = • = =   
   
∫ ∫
r r
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32

33. 2.7 Boundary conditions for electrostatic 
fields
D
Two theorems or  D
Maxwell’s first and 
D
second equations in integral form 
D
are sufficient to find the boundary conditions
D
2.7.1 Boundary conditions for electric field
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
33
D
2.7.1 Boundary conditions for electric field
D
Let us consider the small rectangular contour PQRSP  (see 
Fig. 2.8
D
l is chosen such that  E
1tand  E
2tare constant along this 
length

34. 2.7 Boundary conditions for 
electrostatic fields
S
∆
S
∆
σ
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34
D
Fig. 2.8 Boundary for electrostatic fields at the i nterface of 
two media

35. 2.7 Boundary conditions for electrostatic  fields
⇒
Note that h∑0 at the boundary interface and 
⇒
therefore there is no contribution from QR and SP i n the above line 
integral
⇒
Also note that the direction of the line integral a long PQ and RS are 
in the opposite direction
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
35⇒
The tangential component of electric field vector i s continuous 
at the interface
t t
t t
C
S
R
Q
P
E E
lElEld E ld E ld E
2 1
2 1 2 2 1 1
0
= ⇒
− = • + • == •
∫ ∫∫
r r r r r r
Q

36. 2.7 Boundary conditions for 
electrostatic fields
D
2.7.2 Boundary conditions for electric flux density
D
Let us consider a small cylinder at the interface
D
Cross section of the cylinder must be such that 
D
vector        is the same Note that h
.
0 at the boundary interface
Dr
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
36
D
Note that h
.
0 at the boundary interface
D
therefore, there are no contribution from the curve d surface 
of the pillbox in the above surface integral
D
So only the top and bottom surfaces remains in the  surface 
integral 

37. 2.7 Boundary conditions for 
electrostatic fields
⇒
The normal is in the upward direction in the top su rface 
⇒
and downward direction in the bottom surface
∫ ∫ ∫
= • + • = •
surface bottom
enclosed
surface top pillbox
Q sd D sd D sd D
2 2 1 1
r
r
r
r
r
r
8/11/2014 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
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⇒
and downward direction in the bottom surface
⇒
the normal component of electric flux density can o nly 
change at the interface 
⇒
if there is charge on the interface, i.e., surface  charge is 
present
2 1 2 1
S S = S
n n n n
D D D D
σ σ
⇒
∆ − ∆ ∆
⇒
− =

38. 2.7 Boundary conditions for 
electrostatic fields
D
If medium 2 is dielectric and medium 1 is conductor
D
Then in conductor D
1=0 and hence D
2n=σ
D
or in general case, D
n=σ
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