Electromagnetic Field Theory: Magnetostatics

Electromagnetic Field Theory: Magnetostatics

1. Dr. 
Rakhesh
Singh 
Kshetrimayum
3. Magnetostaticfields
Dr. 
Rakhesh
Singh 
Kshetrimayum
2/16/2013
1
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

2. 3.1 Introduction to electric currents
Electric currents
Ohm’s law
Kirchoff’slaw
Joule’s law
Boundary 
conditions
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
2
Kirchoff’scurrent 
law
Kirchoff’svoltage 
law
Fig. 3.1 Electric currents

3. 3.1 Introduction to electric currents D
So far we have discussed electrostatic fields assoc iated with 
stationary charges
D
What happens when these charges started moving with  
uniform velocity?
D
It creates electric currents and electric currents  creates  magnetic fields magnetic fields
D
In electric currents, we will study  D
Ohm’s law, 
D
Kirchoff’slaw
D
Joule’s law
D
Behavior of current density at a media interface
2/16/2013
3
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

4. 3.1 Introduction to electric currents 3.1.1 Current density ∫
What is this?
∫
For a particular surface S in a conductor, iis the  flux of the 
current density vector        over that surface or 
mathematically 
i j ds
= •
∫
r
r
jr
3.1.2 Ohm’s law ∫
It states that the current passing through a homoge neous 
conductor is proportional to 
∫
the potential difference applied across it and 
∫
the constant of proportionality is 1/R which is depe ndent on 
the material parameters of the conductor
Si j ds
= •
∫
2/16/2013
4
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

5. 3.1 Introduction to electric currents ∫
Mathematically,
∫
From the relation between  ∫
current density (j) and current (
i), 
V
i V i
R
∝⇒=
∫
current density (j) and current (
i), 
∫
electric potential (V) with electric field (E) and 
∫
resistance (R) with resistivity ( ρ) in an isotropic material
∫
we can obtain the Ohm’s law in point form as
V Edl Edlds E
jds i j E
dl R dl
ds
σ
ρ ρ
ρ
= = = =⇒= =
2/16/2013
5
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

6. 3.1 Introduction to electric currents D
where       is the conductivity and 
D
is the resistivity of the isotropic material σ
1
ρ
σ
=
Materialσ(S/m) Rubber
10
-
15
Table3.1Conductivitiesofsomecommonmaterials Rubber
10
-
15
Water2×10
-14
Gold4×10
7
Aluminum3×10
7
Copper5×10
7
2/16/2013
6
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

7. 3.1 Introduction to electric currents D
Some points on perfect conductors and electric fiel ds: D
Perfect conductors or metals have infinite conducti vity ideally
D
An infinite conductivity means for any non-zero ele ctric field 
one would get an infinite current density which is  physically 
impossible  impossible  D
DPerfect conductors do not have any electric fields  inside it
D
Perfect conductors are always an equipotentialsurfa ce 
D
At the surface of the perfect conductor, the tangen tial 
component of the electric field must be zero
2/16/2013
7
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

8. 3.2 Equation of continuity and KCL
jr
ds
r
Fig. 3.3 Equation of continuity
2/16/2013
8
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum








−= • ⇒








−= −=
∫ ∫ ∫ V
v
S V
v
dv
dt
d
sd j dv
dt
d
dt
dq
i
ρ ρ
r r

9. 3.2 Equation of continuity and KCL ∫
The above equation is integral form of equation of  continuity 
∫
It states that any change of charge in a region mus t be 
accompanied by a flow of charge across the surface  bounding 
the region
∫
It is basically a principle of conservation of char ge
∫
It is basically a principle of conservation of char ge
∫
By applying the divergence theorem 
0
V V
V V V
d d
jdv dv j dv
dt dt
ρ ρ
 
∇• =−⇒∇• + =
 
 
∫ ∫ ∫
r r
2/16/2013
9
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

10. 3.2 Equation of continuity and KCL ∫
Since the volume under consideration is arbitrary
∫
Differential form of the equation of the continuity
0
V
d
j
dt
ρ
∇• + =
r
∫
At steady state, there can be no points of changing  charge 
density
V
d
j
dtρ
∇• =−
r
2/16/2013
10
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
∫
= •
⇒
=•∇
S
sd j j0 0r
r
r

11. 3.2 Equation of continuity and KCL ∫
The net steady current through any closed surface i s zero
∫
If we shrink the closed surface to a point, it beco mes 
Kirchoff’scurrent law (KCL) 
0
I
=
∑
∫
KCL states that at any node (junction) in an electr ical circuit,  ∫
the sum of currents flowing into that node is equal to  the sum of 
currents flowing out of that node
∑
2/16/2013
11
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

12. 3.3 Electromotive force and KVL
Fig. 3.4 Proof of KVL
2/16/2013
12
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

13. 3.3 Electromotive force and KVL D
When a resistor is connected between terminals 1 an d 2 of 
the battery, 
D
The total electric field intensity’s (total electri c field 
comprise of electrostatic electric field as well as  the 
impressed electric field
caused by chemical action) relation to 
impressed electric field
caused by chemical action) relation to 
the current density is given as
D
where the superscript “c” is for conservative field  and 
D
the superscript “n” is for non-conservative field
(
)
c n
j E E
σ
= +
r r
r
2/16/2013
13
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

14. 3.3 Electromotive force and KVL ∫
Conservative electric field exists both inside the  battery and 
along the wire outside the battery, 
∫
While the impressed non-conservative electric field  exists 
inside the battery only
∫
The line integral of the total electric field aroun d the closed 
∫
The line integral of the total electric field aroun d the closed  circuit gives
2/16/2013
14
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
( )
ld
j
ld E E
C C
n c
r
r
r r r
• = • +
∫ ∫
σ

15. 3.3 Electromotive force and KVL ∫
Note that the line integral of the conservative fie ld over a 
closed loop is zero
∫
The line integral of the non-conservative field in  non-zero 
and is equal to the emf of the battery source
∫
Since non
-
conservative field outside the battery is zero,
∫
Since non
-
conservative field outside the battery is zero,
2/16/2013
15
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
( ) ( )
ld
j
ld E ld E E
CC
n n c
r
r
r r r r r
• = = • = • +
∫ ∫∫
σ
ξ
2
1

16. 3.3 Electromotive force and KVL ∫
Note that i= jAor j=i/A
∫
Therefore, the voltage drop across the resistor is 
V=jl/σ=il/σA=iρl/A=iR
∫
If there are more than one source of emfand more th an one  resistor in the closed path, we get Kirchhoff's Vol tage Law  (KVL)  (KVL) 
∫
KVL states that around a closed path in an electric  circuit,  ∫
the algebraic sum of the emfsis equal to the algebrai c sum of the voltage 
drops across the resistances
1 1
M Nm n n
m n
i R
ξ
= =
=
∑ ∑
2/16/2013
16
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

17. 3.4 Joule’s law and power dissipation D
Consider a medium in which charges are moving with  an 
average velocity  v under the influence of an elect ric field
D
If  ρ
vis the volume charge density, then the force 
experienced by the charge in the volume dvis
ρ
= =
r r r
D
If the charge moves a distance dl in a time dt, the  work done 
by the electric field is
V
dF dqE dvE
ρ
= =
r r r
(
)
V V
dW dF dl dvE vdt E v dvdt E jdvdt j Edvdt
ρ ρ
= • = • = • = • = •
r
r r r r r
r r
r r
2/16/2013
17
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

18. 3.4 Joule’s law and power dissipation ∫
Then, the elemental work done per unit time is
∫
If we define the power density p as the power per u nit  volume, then, point form of Joule’s law is
dW
dP j Edv
dt
= =− •
r
r
volume, then, point form of Joule’s law is
∫
The power associated with the volume (integral form  of 
Joule’s law) is given by 
p j E
= •
r
r
V V
P pdv j Edv
= = •
∫ ∫
r
r
2/16/2013
18
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

19. 3.5 Boundary conditions for current density
S
∆
1
σ
Fig. 3.5 Boundary conditions for current density 
2
σ
2/16/2013
19
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

20. 3.5 Boundary conditions for current density
∫
How does the current density vector changes when pa ssing 
through an interface of two media of different cond uctivities 
σ
1and σ
2?
∫
Let us construct a pillbox whose height is so small  that the  contribution from the curved surface of the cylinde r to the  contribution from the curved surface of the cylinde r to the  current can be neglected
∫
Applying equation of continuity and computing the s urface 
integrals, we have, 
2/16/2013
20
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
(
)
2 1 1 1 2 1
0 ˆ 0 ˆ ˆ 0
n n
S
J J J J n sJnsJn sd j i= ⇒= − • ⇒=∆ •−∆• ⇒= • =
∫
r
r
r
r
r
r

21. 3.5 Boundary conditions for current density
∫
It states that the normal component of electric cur rent 
density is continuous across the boundary
∫
Since, we have another boundary condition that the 
tangential component of the electric field is conti nuous 
across the boundary, that is, across the boundary, that is,
( )
1 2 1
1 21
1 2
1 2 1 2 2 2
0 0 0
t t t
t
J J J J J
n E E n
J
σ
σ σ σ σ σ
 
× − =⇒× − =⇒− =⇒=  
 
r r
r r
) )
2/16/2013
21
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

22. 3.5 Boundary conditions for current density
∫
The ratio of the tangential components of the curre nt 
densities at the interface is equal to the ratio of  the 
conductivities of the two media
∫
We can also calculate the free charge density from  the  boundary condition on the normal components of the  boundary condition on the normal components of the  electric flux densities as follows: 
1 21 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1
1 2 1 2
n n
n n S S n n S n
J J
D D E E J
ε ε
ρ ρ ε ε ρ ε ε
σ σ σ σ
 
− =⇒= −⇒= − = −
   
2/16/2013
22
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

23. 3.6 Introduction to magnetostatics D
In static magnetic fields, the three fundamental la ws are  D
BiotSavart’sLaw, 
D
Gauss’s law for magnetic fields and 
D
Ampere’s circuital law
D
BiotSavartlaw gives the magnetic field due to a cur rent  carrying element carrying element
D
From Gauss’s law for magnetic fields, we can unders tand that 
the magnetic field lines are always continuous
D
In other words, magnetic monopole does not exist in  nature
D
Ampere’s circuital law states that a current carryi ng loop 
produces a magnetic field
2/16/2013
23
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

24. 3.1 Introduction to electric currents
Magnetostatics
BiotSavart’s
law
Gauss’s law for 
Magnetic vector 
potential 
Boundary 
Self and mutual 
inductance  
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
24
Gauss’s law for  magnetic fields 
Magnetization
Ampere’s 
law
Boundary  conditions
Fig. 3.6 Magnetostatics
Magnetic vector 
potential in materials 

25. 3.6 Introduction to magnetostatics D
It is easier to find magnetic fields from the curl  of magnetic 
vector potential whose direction is along the direc tion of 
electric current density
D
Another topic we will study here is that how do mag netic  fields behave in a medium fields behave in a medium
D
We will also try to find the  D
self and mutual inductance and 
D
magnetic energy
2/16/2013
25
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

26. 3.7 BiotSavart’slaw ∫
The magnetic field due to a current carrying segmen t is 
proportional to 
∫
its length and 
∫
the current it is carrying and 
∫
the sine of the angle between       and 
rr
Idl
r
∫
the sine of the angle between       and 
∫
inversely proportional to the square of distance r  of the point 
of observation P from the source current element
∫
Mathematically,
0
2 2 2

4
dl r dl r dl r
dB I dB kI dB I
r r r
μ
π
× × ×
∝⇒=⇒=
r r r
$ $ $
r r r
2/16/2013
26
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
r
Idl

27. 3.8 Gauss’s law for magnetic fields ∫
In studying electric fields, we found that electric  charges 
could be separated from each other such that a posi tive 
charge existed independently from a negative charge
∫
Would the same separation of magnetic poles exist ? 
∫
A magnetic monopole has not been observed or found  in  nature nature
∫
We find that magnetic field lines are continuous an d do not 
originate or terminate at a point
∫
Enclosing an arbitrary point with a closed surface,  we can 
express this fact mathematically integral form of 3
rd
Maxwell’s equations
2/16/2013
27
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
∫
= • =Ψ
S
sd B0r
r

28. 3.8 Gauss’s law for magnetic fields ∫
Using the divergence theorem,
∫
In order this integral to be equal to zero for any  arbitrary  volume, the integrand itself must be identically ze ro which 
(
)
∫ ∫
= •∇ = • =Ψ
S V
dvB sd B0
r
r
r
volume, the integrand itself must be identically ze ro which  gives differential form of 3
rd
Maxwell’s equations
=0
B∇•ur
2/16/2013
28
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

29. 3.9 Ampere’s circuital law D
In 1820, Christian Oerstedobserved that compass nee dles 
were deflected when an electrical current flowed th rough a 
nearby wire
D
Right hand grip rule: if your thumb points in the d irection of  current flow, then your fingers’ grip points in the  direction of  current flow, then your fingers’ grip points in the  direction of  magnetic field
D
Andre Ampere formulated that the line integral of m agnetic 
field around any closed path equals  μ
0times the current 
enclosed by the surface bounded by the closed path
2/16/2013
29
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

30. 3.9 Ampere’s circuital law ∫
Incomplete integral form of 4
th
Maxwell’s equation
∫
By application of Stoke’stheorem
∫
= •
C
enclosed
I ld B
0
μ
r
r
∫
In order the integral to be equal on both sides of  the above 
equation for any arbitrary surface, the two integra nds must 
be equal
2/16/2013
30
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
(
)
∫ ∫∫
• = • ×∇ = •
CS S
sd J sd B ld Br
r
r
r
r
r
0
μ

31. 3.9 Ampere’s circuital law D
Incomplete differential form of 4
th
Maxwell’s equation
D
Note that there is a fundamental flaw in this Amper e’s  circuital law
0
=
B J
μ
∇ ×
ur uur
circuital law
D
Maxwell in fact corrected this Ampere’s circuital l aw by 
adding displacement current in the RHS
D
Lorentz force equation: for a charge q moving in th e uniform 
field of both electric and magnetic fields, the tot al force on 
the charge is
E M
F F F qE qv B
= + = + ×
r r r r r
r
2/16/2013
31
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

32. 3.10 Magnetic vector potential D
Some cases, it is expedient to work with magnetic v ector 
potential and then obtain magnetic flux density
D
Since magnetic flux density is solenoidal, its dive rgence is 
zero 
( ) =0
B ∇•ur
D
A vector whose divergence is zero can be expressed  in term 
of the curl of another vector quantity
=
B A
∇×
ur ur
2/16/2013
32
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

33. 3.10 Magnetic vector potential ∫
From BiotSavart’slaw,
∫
It is a standard notation to choose primed coordina tes for the  source and unprimed coordinates for the field or ob servation 
3
'
=
4
O
I
dl R
B
R
μ
π
×
∫
r ur
ur
$
$
= (x-x') +(y-y') +(z-z')
R x y z ur
$
source and unprimed coordinates for the field or ob servation  point 
∫
where the negative sign has been eliminated by reve rsing the 
terms of the vector product
3
1
( ) = -
R
R R
∇
ur
Q
I1
= ( ) d '
4
O
B l
R
μ
π
∴ ∇ ×
∫
ur r
2/16/2013
33
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

34. 3.10 Magnetic vector potential ∫
Since
∫
Since the curl in unprimed variables is taken w.r.t . the  primed variables of the source point, we have,
1 ' 1
( ) d ' = ( ) - ( d ' )
dl
l l
R R R
∇ × ∇ × ∇ ×
r
r r
primed variables of the source point, we have,
d ' = 0
l ∇×r
'
= ( )
4
O
I
dl
B
R
μ
π
∴ ∇×
∫
r
ur
2/16/2013
34
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

35. 3.10 Magnetic vector potential ∫
The integration and curl are w.r.t. to two differen t sets of 
variables, so we can interchange the order and writ e the 
preceding equation as
0 0
' '
= [ ] =
4 4
I I
dl dl
B A
R R
μ μ
π π
∇ ×
⇒
∫ ∫
r r
ur ur
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
35
∫
Generalizing line current density in terms of the v olume 
current density,
0
= dv '
4
V
J
A
R
μ
π
∫
r
ur
4 4
R R
π π
∫ ∫

36. 3.10 Magnetic vector potential
v
∆
v
∆
Fig. 3.8 (a) Electron orbit around nucleus creating  
magnetic dipole moment; Magnetization in (b) non-
magnetic and (c) magnetic materials 
2/16/2013
36
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

37. 3.10 Magnetic vector potential 3.10.1 Magnetization D
The magnetic moment of an electron is defined as  where I is the bound current (bound to the atom and  it is 
$ $
2
= I d = I S
m n n
π
ur
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
37
D
where I is the bound current (bound to the atom and  it is  caused by orbiting electrons around the nucleus of  the atom)
D
is the direction normal to the plane in which the e lectron 
orbits and 
D
d is the radius of orbit (see Fig. 3.8 (a))
$

n

38. 3.10 Magnetic vector potential ∫
Magnetization is magnetic moment per unit volume 
∫
The magnetization  for N atoms in a volume  ∆v in which the 
i
th
atom has the magnetic moment        is defined as
1
= lim [ ]
N
i
A
M m
∆
∑
uur uur
i
muur
∫
Materials like free space, air are nonmagnetic ( μ
ris 
approximately 1)
∫
For non-magnetic materials: (see for example Fig. 3 .8 (b), in 
a volume , the vector sum of all the magnetic momen ts is 
zero)
0
1 = lim [ ]
i
v
i
M m
v m
∆ →
=
∆
∑
2/16/2013
38
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

39. 3.10 Magnetic vector potential D
For magnetic materials:  (see for instance Fig. 3.8  (c), in a 
volume , the vector sum of all the magnetic moments  is non-
zero)
D
Given a magnetization            which is non-zero  for a  magnetic material in a volume, the magnetic dipole  moment 
M
r
magnetic material in a volume, the magnetic dipole  moment  due to an element of volume dvcan be written as 
D
The contribution of        due to        is 
2/16/2013
39
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
= dv
dm M
ur uur
dA
ur
dm
ur

40. 3.10 Magnetic vector potential ∫
The magnetic vector potential and magnetic flux den sity  could be calculated as  
(
)
'
2
0
2
0
ˆ
4
ˆ
4
dvr M
r r
r md
Ad× =
×
=
r
r
r
πμ
π
μ
could be calculated as  
'
3

= dv'
4
=
o
V
M r
A
r
B A
μ
π
×∴
∇ ×
∫
uur r
ur
ur ur
2/16/2013
40
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

41. 3.10 Magnetic vector potential 3.10.2 Magnetic vector potential in materials ∫
Let us try to express this magnetic vector potentia l in terms 
of bound surface and volume current density
1
' ( ) =
r
∇
$
Q
0
1
= ' ( ) dv'
A M
μ
× ∇
∫
ur uur
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
41
∫
We also have,
2
' ( ) =
r r
∇
Q
0
= ' ( ) dv'
4
A M
r
π
× ∇
∫
1 1
' ( ) ' ( ) + '
M
M M
r r r
∇ × = ∇ × ∇ ×
uur
uur uur
Q
1 1
' ( ) = ' - ' ( )
M
M M
r r r
∴ × ∇ ∇ × ∇ ×
uur
uur uur

42. 3.10 Magnetic vector potential ∫
The proof for the above equality, we will solve in  example 
'
0
1
A= ( ' - ' ) dv'
4
v
M
M
r r
μ
π
∇ × ∇ ×
∫
uur
uur r
∫ ∫
× −= ×∇
' '
' ' '
S V
sd
r
M
dv
r
Mr
r
r
Q
∫
The proof for the above equality, we will solve in  example  3.5
2/16/2013
42
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
(
)
(
)
( )
( )
' 0 ' ' 0
' 0 ' ' 0
ˆ
1
4
1
4
1
4
1
4
' '
' '
dsn M
r
dv M
r
sd M
r
dv M
r
A
S V
S V
× + ×∇ =
× + ×∇ = ⇒
∫ ∫
∫ ∫
r r
r
r
r
r
π
μ
π
μ
π
μ
π
μ

43. 3.10 Magnetic vector potential ∫
The above equation can be written in the form below
∫
Where 
∫
bound volume current density is given by
' ' 0
' '
4
ds
r
J
dv
r
J
A
S
sb
V
vb∫ ∫
+ =
r
r
r
π
μ
∫
bound volume current density is given by
∫
bound surface current density is expressed as
=
vb
J M
∇ ×
uuur uur
ˆ
= n
sb
J M
×
uuur uur
2/16/2013
43
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

44. 3.10 Magnetic vector potential D
Magnetized material can always be modeled in terms  of 
bound surface and volume current density
D
But they are fictitious elements and can not be mea sured
D
Only the magnetization is considered to be real and   measurable measurable
2/16/2013
44
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

45. 3.11 Magnetostaticboundary conditions
S
∆
S
∆
Jr
h
∆
h
∆
S
Jr
h
∆
Fig. 3.9 Magnetostaticboundary conditions
2/16/2013
45
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

46. 3.11 Magnetostaticboundary conditions 3.11.1 Normal components of the magnetic flux densi ty ∫
Consider a Gaussian pill-box at the interface betwe en two 
different media, arranged as in the figure above
∫
The integral form of Gauss’s law tells us that
∫
=
•
r
r
∫
As the height of the pill-box  ∆h tends to zero at the interface, 
there will be no contribution from the curved surfa ces in the 
total magnetic flux, hence, we have
2/16/2013
46
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
∫
=
•
pillbox
sd B0r
r

47. 3.11 Magnetostaticboundary conditions
1 2
d + d =0
S S
B s B s
⇒• •
∫ ∫
ur r ur r
1 2
1 2
1 2
B ds - B ds =0
n n
S S
⇒
∫ ∫
(B - B )ds=0
⇒
∫
∫
The normal components of the magnetic flux density  are 
continuous at the boundary
1 2(B - B )ds=0
n n
S
⇒
∫
1 2
B =B
n n
⇒
2/16/2013
47
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

48. 3.11 Magnetostaticboundary conditions 3.11.2 Tangential components of the magnetic field  intensity ∫
Applying Ampere’s law to the closed path where I is the total current enclosed by the closed  path PQRS 
∫ ∫∫ ∫ ∫
= • + • + • + • = •
PQRSPSP RS QR PQ
I ld H ld H ld H ld H ld H
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∫
where I is the total current enclosed by the closed  path PQRS  which lies in the xyplane
∫
Assume that x is along the direction of PQ in Fig.  3.9 
∫
At the interface,  ∆h∫0, the line integral along paths QR and 
SP are negligible, hence,
2/16/2013
48
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

49. 3.11 Magnetostaticboundary conditions
d + d =I
PQ RS
H l H l
• •
∫ ∫
uur r uur r
$
$
1 2
( - ) d l = dl
V
PQ
H H x J y h
⇒• • ∆
∫ ∫
uur uuur uur
h 0
Lim
V S
J h J
∆ →
∆ =
uur uur
Q
∫
is the definition of surface current density
∫
From the property of vector scalar triple product,  we have,
h 0
Lim
V S
J h J
∆ →
∆ =
Q
$
(
)
$
1 2
( - ) d l = d l
S
PQ
H H y z J y
⇒
• × •
∫ ∫
uur uuur uur
$
2/16/2013
49
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

50. 3.11 Magnetostaticboundary conditions
The tangential component of the magnetic field inte nsity
at 
$
{
}
{
}
$ $
1 2 1 2
( - ) d l = ( - ) d l =
d l
S
PQPQ
y z H H z H H y J y
⇒
• × × • •
∫ ∫ ∫
uur uuur uur uuur uur
$ $
1 2
( - ) =
S
z H H J
⇒×
uur uuur uur
$
∫
The tangential component of the magnetic field inte nsity
at 
the interface is continuous unless there is a surfa ce current 
density present at the interface
2/16/2013
50
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

51. 3.12 Self and mutual inductance  ∫
A circuit carrying current I produces a magnetic fi eld  which 
causes a flux to pass through each turn of the circ uit
∫
If the circuit has N turns, we define the magnetic  flux linkage 
as 
∫
Also, the magnetic flux linkage enclosed by the cur rent 
.
N
ψ
Λ=
B ds
ψ
= •
∫
r
r
∫
Also, the magnetic flux linkage enclosed by the cur rent  carrying conductor is proportional to the current c arried by 
the conductors
∫
L= Λ/I=
∫
where L is the constant of proportionality called t he 
inductance of the circuit (unit: Henry)
I LI
Λ∝
⇒
Λ =
⇒
N
Iψ
2/16/2013
51
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

52. 3.12 Self and mutual inductance  ∫
The magnetic energy stored in an inductor is expres sed from 
circuit theory as:
∫
If instead of having a single circuit, we have two  circuits 
2
21
LI W
m
=
2
2
m
W
L
I
⇒=
∫
If instead of having a single circuit, we have two  circuits  carrying currents   I
1and I
2, a magnetic induction exists 
between two circuits
∫
Four components of fluxes  are produced
∫
The flux        for example, is the flux passing th rough the 
circuit 1 due to current   in circuit 2
12
,
ψ
2/16/2013
52
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

53. 3.12 Self and mutual inductance  ∫
Define M
12=
∫
Similarly,
1
2
12
S
B ds
ψ
= •
∫
ur uur
12 1 12 2 2
N
I I
ψ
Λ
=
21 2 21
N
M
ψ
Λ
= =
∫
The total energy in the magnetic field is due to th e sum of 
energies 
21 2 21
21
1 1
N
M
I I
ψ
Λ
= =
2 2
1 2 12 1 1 2 2 12 1 2
1 1 2 2
m
W W W W LI L I M I I
= + + = + ±
2/16/2013
53
Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum

54. 3.13 Summary
Electric currents
Ohm’s law
Kirchoff’slaw
Joule’s law
Boundary 
conditions
E
j
p
r
r
•
=
E
j
σ
=
J
J
=
Fig. 3.10 (a) Electric currents in a nutshell
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
54
Kirchoff’scurrent 
law
Kirchoff’svoltage 
law
0
I
=
∑
1 1
M N
m n n
m n
i R
ξ
= =
=
∑ ∑
E
j
p
r
r
•
=
E
j
σ
=
2 1n n
J
J
=
2
1
2
1
σ
σ
=
t
t
J
J








− =
2
2
1
1
1
σ
ε
σ
ε
ρ
n s
J

55. 3.13 Summary
Magnetostatics
BiotSavart’slaw
Gauss’s law for  magnetic fields 
Magnetic vector potential 
Fig. 3.10 (b) Magnetostaticsin a nutshell
Self and mutual 
inductance  

0
2

4
dl R
dB I
R
μ
π
×
=
r
r
J
μ
∫
r
ur
21 2 21
21
1 1
N
M
I I
ψ
Λ
= =
L=Λ/I=NΨ/I
2/16/2013 Electromagnetic Field Theory by R. S. Kshetrimayum
55magnetic fields 
Magnetization
Ampere’s law
Boundary conditions
Magnetic vector potential in materials 
∫
= • =Ψ
S
sd B0r
r
∫
= •
C
enclosed
I ld B
0
μ
r
r
0
= dv '
4
V
J
A
R
μ
π
∫
ur
0
1
1
= lim [ ]
N
i
v
i
A
M m
v m
∆ →
=
∆
∑
uur uur
' ' 0
' '
4
ds
r
J
dv
r
J
A
S
sb
V
vb∫ ∫
+ =
r
r
r
π
μ
B
n1=B
n2
(
)
S
J H Hzr
r
r
= − ×
2 1
ˆ