Elementos de matemática - Funções Reais de Variável. Real - Generalidades

Funções Reais de Variavel

1. Elementos de Matemática I
Funções Reais de Variável. Real - GeneralidadesAnabela Pereira
Depart. de MatemáticaOutubro de 2020
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2. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais
Números Naturais -conjunto constituído pelos números inteiros
positivos:
N=f1,2,3,4,5,. . .g.
Números Inteiros Relativos -conjunto constituído pelos números
inteiros:
Z=f. . .,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,. . .g.
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3. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais
Números Racionais -conjunto constituído pelos números inteiros e
fraccionários:
Q=Z[fnúmeros fraccionáriosg.
Os números fraccionários podem ser dízimas …nitas, por exemplo:
3
2
=1.5 e
6
50
=0.12
ou ser dízimas in…nitas períodicas, por exemplo:

1
3
=0.333. . .=0.(3),
7
6
=1.1666. . .=1.1(6),
53
11
=4.8181. . .=4.(81).
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4. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais
Números Reais -conjunto constituído pelos números racionais e
irracionais:.
R=Q[fnúmeros irracionaisg.
Os números irracionais são dízimas in…nitas não periódicas, por exemplo:
p
2=1.4142135624. . .ep=3.141592653. . .
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5. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais
NZQR
N
Z
Q
R
Podem considerar-se vários subconjuntos deR(ou deN,ZouQ):
R
+
números reais positivos
R
+
0
números reais não negativos
R

números reais negativos
R

0
números reais não positivos
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6. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais
Problema (1) Assinale com uma cruz (X) sempre que os números pertençam aos
conjuntos:
NZQRR
+
0
R

0
8
p
4

5
6
0
p
7
21
2
4p
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7. Linguagem Matemática
2 lê-se "pertence a" lê-se "está contido em" lê-se "está contido ou é igual a" negação: lê-se "não" conjunção:^ lê-se "e" disjunção:_ lê-se "ou" implicação:) lê-se "implica" ou "se...então..." equivalência:, lê-se "equivalente a" ou "se e só se" quanti…cador universal:8 lê-se "qualquer que seja" quanti…cador existêncial:9 lê-se "existe pelo menos um"
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8. Linguagem Matemática
Problema (2) Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes a…rmações:
a)
1
2
2R;
b)QN;
c)(57)2Z;
d) x
2
=4)x=2;
e) x
2
=4,x=2;
f)8x2R:x
2
0;
g)9x2Z:x
2
<0
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9. Factorização de Polinómios
De…nição Um polinómioPde graunnuma variávelxtem a forma
P(x)=anx
n
+an1x
n1
+. . .+a1x+a0, (1)
ondean,an1,. . .,a1,a02Rse designam porcoe…cientes, em quea0se
designa portermo independenteean6=0.
Um númeroadiz-se umzeroouraizdePseP(x) =0; Ptem, no máximonraízes reais e, neste caso, pode escrever-se na
forma:
P(x)=an(xa1) (xa2). . .(xan), (2)
ondea1,a2,. . .,ansão raízes reais deP.
Ao processo de transformação dePda forma(1)para a forma(2)dá-se o
nome dedecomposição dePem fatores(oufatorizaçãodeP)
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10. Factorização de Polinómios
Para decompor um polinómio em fatores, podemos usar várias técnicas,
consoante o tipo e o grau do polinómio.
Os polinómios com termo independente nulo podem ser fatorizados,
começando por colocar o monómio de menor grau em evidência.
Exemplo (1) Para factorizar o polinómiox
4
6x
3
+9x
2
começamos por colocar o
monómio de menor grau,x
2
, em evidência:
x
4
6x
3
+9x
2
=x
2

x
2
6x+9

.
Em alguns polinómios podemos facilmente fatorizá-los usando os
casos notáveis,
quadrado da soma: a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
;
quadrado da diferença:a
2
2ab+b
2
=(ab)
2
;
diferença de quadrados:a
2
b
2
=(a+b) (ab).
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11. Factorização de Polinómios
Exemplo (2) Para o polinómio do Exemplo (1), temos um caso notável
x
2
6x+9=(x3)
2
, logo concluindo a sua factorização:
x
4
6x
3
+9x
2
=x
2

x
2
6x+9

=x
2
(x3)
2
.
Os polinómios de 2
o
grau com duas raízes,a1ea2, podem ser
escritos na forma:
ax
2
+bx+c=a(xa1) (xa2)(coma6=0).
Para determinara1ea2podemos sempre usar afórmula resolvente:
ax
2
+bx+c=0,x=
b
pb
2
4ac2a
. Em polinómios com uma raiz conhecida,a1, podemos aplicar a regra
de Ru¢ ni, considerando como divisor(xa1).
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12. Factorização de Polinómios
Exemplo (3) Vamos factorizar o polinómiox
6
7x
4
+6x
3
, comecando por colocarx
3
em evidência:x
6
7x
4
+6x
3
=x
3
(x
3
7x+6).
Em seguida veri…ca-se que o polinómio de 3
o
grau,x
3
7x+6 se anula
parax=1.
Aplica-se a regra de Ru¢ ni, considerando como divisor
(x1):

x
3

#

x
2

#
(x)
#

x
0

#
1 0 7 6
1
1 1 61 1 6 0=Resto
"

x
2

"
(x)
"

x
0

Conclui-se quex
3
7x+6=(x1)

x
2
+x6

.
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13. Factorização de Polinómios
Exemplo (3 (continuação)) Ao polinómio de 2
o
grau aplicamos a fórmula resolvente:
x
2
+x6=0,x=
1
q
(1)
2
41(6)
21
,
,x=
1
p
252
,x=3_x=2.
Logo,x
2
+x6=(x+3) (x2).
Então,
x
6
7x
4
+6x
3
=x
3
(x1) (x+3) (x2),
isto é, o polinómio tem três raízes de multiplicidade 1 (x=1,x=3 e
x=2) e uma raiz de multiplicidade 3 (x=0).
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14. Equações de 1
o
grau
As equações de 1
o
grau com uma variável são da formamx+b=0
comm,b2Rem6=0. O conjunto solução (CS) deste tipo de equações
é dado porCS=


b
m

.
Exemplo (4) Vamos resolver a equação 5x2=17.
5x2=17,5x=17+2,5x=15,x=
15
5
,x=3,
logoCS=f3g. Existem também equações de 1
o
grau com módulos. Omódulo, ouvalor
absolutodex, representa–se porjxj, e a equação de 1
o
graujxj=a
(coma>0) indica-nos que a distância, na reta real, entrexe a origem
(zero) é igual aa; esta equação tem duas soluções:jxj=a
,x=a_x=a, isto é,CS=fa,ag,
sendo a sua representação
grá…ca dada por:­a a0
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15. Equações de 1
o
grau
Exemplo (5) Resolvendo a equação seguinte:j4x+2j=6
j4x+2j=6, 4x+2=6_ 4x+2=6,
, 4x=4_ 4x=8,x=
4
4
_x=
8
4
,
,x=1_x=2,logoCS=f1,2g.
Problema (3) Resolva as equações seguintes:
a)3x+2=5;
b)j3xj=9
c)j34xj=2
d)j12xj=jx+1j.
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16. Equações de 2
o
grauAs equações de 2
o
grau com uma variável são da forma
ax
2
+bx+c=0
coma,b,c2Rea6=0. O conjunto solução deste
tipo de equações é dado porCS=
n
b
p
b
2
4ac2a
,
b+
p
b
2
4ac2a
o
.
Podemos sempre resolver equações de 2
o
grau recorrendo à fórmula
resolvente.
No entanto, em alguns casos, podemos usar métodos
alternativos mais rápidos, nomeadamente os casos notáveis e colocar a
variável em evidência.
Exemplo (6) Resolvendo as seguintes equações de 2
a
grau:
a)x
2
+4x+4=0
Podemos recorrer ao caso notável do quadrado da soma,
x
2
+4x+4=0,(x+2)
2
=0,x+2=0,x=2,
logoCS=f2g.
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17. Equações de 2
o
grau
Exemplo (6 (continuação)) b)x
2
+16=0
x
2
+16=0,x
2
=16, sendo esta equação impossível, isto é,CS=fg.
c) 9x
2
x=0
Podemos colocarxem evidência,
9x
2
x=0,x(9x1)=0,x=0_9x1=0,
,x=0_x=
1
9
, logoCS=

0,
1
9

.
Problema (4) Resolva as seguintes equações de 2
o
grau:
a)8x
2
6=0;b) x
2
+4x5=0;c)2x
2
+2x=2;
d)8x
2
=0;e)8x
2
=3.
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18. Inequações de 1
o
grauAs inequações de 1
o
grau com uma variável são da forma
mx+b<0
,mx+b0,mx+b>0oumx+b0,
comm,b2Rem6=0.
Exemplo (7) Vamos resolver as inequações:
a) 3x60
3x60,3x6,x
6
3
,x2, logoCS=[2,+¥[.
b)5x+2<0
5x+2<0, 5x<2,5x>2,x>
2
5
, logoCS=

2
5
,+¥

.
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19. Inequações de 1
o
grau
Recorde-se que o módulo dexrepresenta, geometricamente, a distância na
reta real entrexe a origem, zero.
Como também existem inequações de
1
o
grau com módulos, então, considerandoa>0,
a inequaçãojxj<a,x<a^x>a, a<x<a,
sendoCS=]a,a[, signi…ca que a distância entrexe a origem é
menor quea;
a sua representação grá…ca é dada por:­a a0 a inequaçãojxj>a,x>a_x<a,
sendoCS=]¥,a[[]a,+¥[, signi…ca que a distância entrexe a
origem é maior quea;
a sua representação grá…ca é dada por:­a a0
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20. Inequações de 1
o
grau
Problema (5) Resolva as seguintes inequações:
a)3x+8 10
b)2x+40;
c)52x>3;
d)j2xj>1;
e)j2x+4j8;
f)j2x+4j>8.
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21. Inequações de 2
o
grau
Para resolver inequações do 2
o
grau pode aplicar-se o estudo do sinal da
função quadrática através do esboço da sua representação grá…ca ou
através de um quadro de sinais.
Exemplo (8) Vamos resolver a inequação:x
2
4x1<5.
Comox
2
1<5,x
2
4<0, então estamos perante uma parábola
com concavidade voltada para cima (poisa=1>0) e zeros emx=2 e
x=2, pois,
x
2
4=0,x
2
=4,x=
p
4,x=2_x=2.
Então conclui-se que a parábola é negativa entre os zeros (para calcular os
zeros podíamos ainda ter usado o caso notável da diferença de quadrados
ou a fórmula resolvente),
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22. Inequações de 2
o
grau
Exemplo (8 (continuação)) ­4­2 2 4
­4
­2
2
4
x
y
isto é,
x
2
1<5,x
2
4<0, 2<x<2.
Podíamos chegar ao mesmo resultado através de um quadro de sinais,
tendo primeiro que fatorizar a expressão:
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23. Inequações de 2
o
grau
Exemplo (8 (continuação))
x
2
4=(x2) (x+2)
¥22+¥x20+ x+20+++x
2
4=(x2) (x+2)+00+
Concluindo-se, da mesma forma, que2<x<2, ou sejaCS=]1,3[.
Problema (6) Resolva as inequações seguintes:
a) x
2
5x 3;b)2x
2
5x<3;c)
x
2
2x+1
x
0;
d) x
x+4
x
>1;e) x
3
+7x
2
+8x15.
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24. Generalidades de f.r.v.r. - De…nição
De…nição Umafunçãoouaplicaçãofde um conjuntoApara um conjuntoBé
uma correspondência que a cada elementoxdeAassocia um único
elementoydeB. Simbolicamente escreve-se:
f:A!B
x7!y=f(x).
Exemplo (9) Nos diagramas seguintes, o da esquerda é uma função (a cada elemento deA
corresponde um único elemento deB)e o da direita não é uma função (pois a
12Acorrespondem dois elementos deB,2e4).
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25. Generalidades de f.r.v.r. - De…nição
Usualmente utilizam-se as seguintes designações nas funções:
o conjuntoAchama-sedomínioda função e representa-se porDf
(Df=A);
a cada elementox2Achama-seobjeto (ouargumento); o conjuntoBchama-seconjunto de chegadada função; a cada objetoxcorresponde um único elementoyque se designa por
imagemdex;
o conjunto das imagens chama-secontradomínioda função e
representa-se porCDf(CDfB)
xé avariável independenteeyé avariável dependentedef, a
qual se pode exprimir pelaexpressão analíticay=f(x).
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26. Generalidades de f.r.v.r. - De…nição
Problema (7) Considere os seguintes grá…cos:1 2 3 4 5
­2
­1
0
1
2
x
y
­4 ­2 2 4
­6
­4
­2
2
x
y
­4 ­2 0 2 4
10
20
x
y
a) Indique, justi…cando, quais representam funções.
b) Para os grá…cos que representam funções indique qual o domínio e
contradomínio.
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27. Generalidades de f.r.v.r. - De…nição
De…nição Uma função que tem por domínio e contradomínio subconjuntos deR
diz-se umafunção real de variável real(abreviadamente f.r.v.r.).
Simbolicamente escreve-se:
f:DfR!R
x 7!y=f(x).
Exemplo (10) Considerando a função:f(x)=2x1, podemos veri…car que a cada objecto
corresponde uma única imagem; por exemplo:
objecto!imagem
x=2!y=f(2)=5
x=0!y=f(0)=1
x=
1
2
!y=f

1
2

=0
x=4!y=f(4)=7
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28. Generalidades de f.r.v.r. - Representação grá…ca
Quando uma função real de variável real se representa através de uma
expressão analítica e não é dada indicação quanto ao seu domínio,
entende-se que este é o maior subconjunto deRonde a expressão dada
tem sentido.
Num referencial cartesiano se se representar os objetosxno eixo das
abcissas (eixo horizontal) e as imagensyno eixo das ordenadas (eixo
vertical) obtém-se a representação grá…ca (ou simplesmente grá…co) da
funçãof.
No eixo dosxxlê-se o domínio def, representado porDf.No eixo dosyylê-se o contradomínio def, representado porCDf.
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29. Generalidades de f.r.v.r. - Representação grá…ca
Exemplo (11) Vamos representar gra…camente as seguintes funções reais de variável real
e indicar os respetivos domínios e contradomínios:
a)f(x)=jxj b)g(x)=
p
x c)h(x)=x
2
4­4­2024
5
x
y
Df=Re
CDf=[0,+¥[2 4
­2 x
y
Dg=[0,+¥[e
CDg=]¥,0]­4­2 24
­5
5
x
y
Dh=Re
CDh=[4,+¥[
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30. Generalidades de f.r.v.r. - Representação grá…ca
Problema (8) Considere as f.r.v.r. f(x)=x
2
1e g(x)=jx1j
a) Calcule as imagens dos objectos,1,0,1e2.
b) Esboce o grá…co de cada função.
c) Indique o domínio e contradomínio de cada função.
Nas funções, para além do domínio e do contradomínio, podemos analisar
as propriedades seguintes:
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31. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Zeros:xé um zero defse e só sef(x)=0 Sinal:
(
fépositivanum intervalo doDfse, nesse intervalof(x)>0
fénegativanum intervalo doDfse, nesse intervalof(x)<0Exemplo (12) A representação grá…ca da funçãof(x)=1x
2­3­2­1 123
­4
­2
2
x
y
permite concluir que a função é positiva parax2]1,1[, negativa para
x2]¥,1[[]1,+¥[e tem dois zeros quandox=1 ex=1.
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32. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Bijectividade:fé bijectiva no seu domínio se for simultaneamente
8
<
:
injectiva-a objectos diferentes correspondem imagens diferentes
esobrejectiva-o contradomínio coincide com o conjunto de chegada
(nas f.r.v.r. o conjunto de chegada éR)
Exemplo (13) Considere as representações grá…cas def(x)=xeg(x)=
x
2
2
:­4­2 24
­5
5
x
y
f ­4­2024
10
x
y
g
Na funçãofobjectos diferentes têm imagens diferentes, sendofinjectiva; como
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33. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Exemplo (13 (continuação)) CDf=R, entãofé sobrejectiva. Pelo contrário, na funçãogobjetos diferentes
têm imagens iguais, logogé não injectiva (ex:g(2)=g(2)=2);gé não
sobrejectiva poisCDg=[0,+¥[6=R. Conclui-se quefé bijectiva (é injectiva
e sobrejectiva), egnão é bijectiva.
Paridade:
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
féparse o grá…co é simétrico em relação ao eixo
dosyy;simbolicamente,8x2Df:f(x)=f(x)
féimparse o grá…co é simétrico em relação à
origem do referencial; simbolicamente,
8x2Df:f(x)=f(x)
Exemplo (14) Voltando ao Exemplo (13),fé impar, pois
8x2Df:f(x)=(x)=(x)=f(x)eg, é par, pois
8x2Dg:g(x) =
(x)
2
2
=
x
2
2
=g(x).
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34. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Monotonia:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
fécrescentenum intervaloAdo domínio se, nesse
intervalo, objectos maiores têm imagens maiores; sim-
bolicamente,8x1,x22ADf:f(x1)f(x2)
(sef(x1)<f(x2),fé estritamente crescente)
fédecrescentenum intervaloAdo domínio se, nesse
intervalo, objectos maiores têm imagens menores; sim-
bolicamente,8x1,x22ADf:f(x1)f(x2)
(sef(x1)>f(x2),fé estritamente decrescente)
féconstantenum intervaloAdo domínio se, nesse
intervalo, objectos maiores têm imagens iguais; simbo-
licamente,8x2ADf:f(x)=k(k2R)
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35. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Exemplo (15) Voltando aos grá…cos do Exemplo (13),­4­2 24
­4
­2
2
4
x
y
f ­4­2024
5
10
x
y
g
podemos dizer quefé uma função estritamente crescente no seu domínio.
Relativamente à funçãog, esta é estritamente decrescente para
x2]¥,0[e estritamente crescente parax2]0,+¥[.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 35 / 61

36. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Extremos:
8
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:
f(a)émáximo absolutodefse, noDf,todas
as imagens são inferiores ou a iguais af(a);
simbolicamente,8x2Df:f(x)f(a)
f(a)émáximo relativodefse, num intervalo doDf,
todas as imagens são inferiores ou a iguais af(a)
f(a)émínimo absolutodefse, noDf, todas as
imagens são superiores ou a iguais af(a);
simbolicamente,8x2Df:f(x)f(a)
f(a)émínimo relativodefse, num intervalo doDf,
todas as imagens são superiores ou a iguais af(a)
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 36 / 61

37. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Exemplo (16) Consideremos a representação grá…ca de uma funçãofcom
Df=[6,11].­6­4­2 2 4 6 8 10
­2
2
4
6
8
x
y Podemos concluir que oCDf=[3,8], não sendo sobrejectiva, logo não é
bijectiva. Além disso, 8 (a maior imagem def) é máximo absoluto def,
3 (a menor imagem def) é mínimo absoluto def, 6 e 5 são máximos
relativos defe 1 e 0 são mínimos relativos def.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 37 / 61

38. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Concavidades:
8
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>
>
:
ftemconcavidade voltada para cimase a
curva defé côncava (fé côncava num inter-
valo onde tem apenas um mínimo)
ftemconcavidade voltada para baixose a
curva defé convexa (fé convexa num inter-
valo onde tem apenas um máximo)
(nota: as rectas não têm concavidades)
Ponto de in‡exão:ponto ondeftem uma mudança de concavidade
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 38 / 61

39. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Exemplo (17) Observando as representação grá…ca da funçãog(x) =x
3
,­4­2 2 4
­100
100
x
y
g
veri…camos que tem concavidade voltada para baixo parax2]¥,0[e
concavidade voltada para cima parax2]0,+¥[, existindo um ponto de
in‡exão parax=0. Esta função não tem extremos e é impar pois,
8x2R:g(x) =(x)
3
=

x
3

=g(x).
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 39 / 61

40. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Limitada:fdiz-se limitada no noDfse existem números reaism
(minorante) eM(majorante) tais que,8x2Df:mf(x)M.
Periodicidade:fdiz-se uma função periódica (no seu domínio) com
períodop>0, se8x2Df:f(x) =f(x+p).
Exemplo (18) São exemplos de funções periódicasf(x) =2sen(px)e
g(x) =cos

p
2
x

com período 2 e 4, respectivamente. Podemos
também classi…car ambas as funções como limitadas pois:
8x2Df:2f(x)2 e8x2Dg:1g(x)1.­4­2 24
­2
2
x
y
f ­4­2 24
­1
1
x
y
g
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 40 / 61

41. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Problema (9) Considere o seguinte grá…co de uma função:­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4
­2
­1
1
2
3
4
x
y
Através do grá…co da função, estude o domínio, contradomínio, zeros,
sinal, bijectividade, paridade, monotonia, extremos, concavidades, pontos
de in‡exão e se é limitada e tem periodicidade.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 41 / 61

42. Generalidades de f.r.v.r. - Propriedades
Problema (10) Para as seguintes f.r.v.r. esboce o seu grá…co e estude as suas
propriedades:
a) f(x)=2x; b) f(x)=3; c) f(x)=jx1j;
d) f(x)=x
2
4x+4;e) f(x)=x
1
2; f) f(x)=
1
x
=x
1
;
g) f(x)=
1
x
2=x
2
; h) f(x)=x
1
3; i) f(x)=sinx;
j) f(x)=cosx; k) f(x)=lnx.l) f(x)=lnx.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 42 / 61

43. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Dadas duas f.r.v.r.,feg, uma constante realke o número naturaln, as
expressões seguintes representam novas funções:
kf!produto de uma constantekporf, comDkf=Df f+g!somadefcomg, comDf+g=Df\Dg fg!diferençaentrefeg, comDfg=Df\Dg fg!produtodefporg, comDfg=!Dkf=DfDf\Dg
f
g
!quocientedefporg, com
Df
g
=Df\Dg\fx2R:g(x)6=0g f
n
!potênciandef, comDf
n=Df
n
p
f!raiz de índicendef, com
Dn
p
f
=

Df\fx2R:f(x)>0g, sené par
Df , sené impar
jfj!módulodef, comD
jfj=Df
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 43 / 61

44. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Exemplo (19) Considerando as funçõesf(x) =2x5 eg(x) =x
2
+2 cujos domínios
sãoDf=Dg=R,podemos operá-las de modo a originar as seguintes
funções,
Produto de uma constante:2f(x) =2(2x5)=4x+10,
comD2f=R;
Soma:f(x) +g(x) = (2x5) + (x
2
+2) =x
2
+2x3,com
Df+g=R;
Diferença:f(x)g(x) = (2x5)(x
2
+2) =x
2
+2x7,com
Dfg=R;
Produto:f(x)g(x) = (2x5)(x
2
+2) =2x
3
5x
2
+4x10,
comDfg=R;
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 44 / 61

45. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Exemplo (19 (continuação))
Quociente:
f(x)
g(x)
=
2x5
x
2
+2
,comDf
g
=R; Potência:[f(x)]
2
= (2x5)
2
=4x
2
20x+25,comD
f
2=R; Raiz quadrada:
p
f(x) =
p
2x5,com
D
p
f
=fx2R:2x50g=fx2R:x5/2g;
Módulo:
jf(x)j=j2x5j=

2x5,se 2x50,x5/2
2x+5,se 2x5<0,x<5/2.
,
comD
jfj=Df.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 45 / 61

46. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
De…nição Dadas duas f.r.v.r.feg,a função dada por
(fg)(x) =f[g(x)]
denomina-se porfunção compostadefcomg(oufapósg).
O domínio
defgé constituído pelos valoresx2Dgtais queg(x)2Df,isto é,
Dfg=fx2R:x2Dg^g(x)2Dfg.
Exemplo (20) Consideref(x) =2x5 eg(x) =x
2
+2. Então,
(fg)(x) =f[g(x)]=f(x
2
+2) =2

x
2
+2

5=2x
2
1,
(gf)(x) =g[f(x)]=g(2x5) =(2x5)
2
+2=4x
2
20x+27,
comDfg=Dgf=R. Veri…ca-se que a operação de composição não é
comutativa pois8x2R:fg(x)6=gf(x).
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 46 / 61

47. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Problema (11) Para as funções de…nidas por f(x)=
p
x+2e g(x)=
p
x4,indique
as expressões analíticas e os domínios de:
a)2f ;
b) fg;
c) fg;
d)
f
g
;
e) fg;
f) gf .
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 47 / 61

48. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
De…nição Sejafuma função cujo domínio é o conjuntoXe cujo contradomínio é
Y. Então,fteminversase existe uma funçãogde…nida através de:
f(x)=y,g(y)=x,
cujo domínio é o conjuntoYe cujo contradomínio éX. Assim,fé
invertível apenas quando é injetiva, sendo a sua inversa única e geralmente
representada porf
1
.
De notar que são válidas as igualdades
D
f
1=CDfeCD
f
1=Df,
isto é, o contradomínio de uma função é o domínio da sua inversa e
vice-versa.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 48 / 61

49. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Exemplo (21) Considere a funçãof(x) =2x+1, comDf=CDf=R.Vamos
caracterizar a sua inversa.
f(x)=y,2x+1=y,x=
y1
2
,
A função inversa tem domínioD
f
1=CDf=R, contradomínio
CD
f
1=Df=Re é de…nida pela expressão analítica
f
1
(x) =
x1
2
,
continuando a representar, como habitualmente, a variável independente
porx. Na …gura seguinte apresenta-se a representação grá…ca da funçãof
e da sua inversa.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 49 / 61

50. Generalidades de f.r.v.r. - Operações com funções
Exemplo (21 (continuação)) De notar que as representações grá…cas defef
1
são simétricas
relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares, o que acontece sempre
que se representam, no mesmo referencial, uma função e a sua inversa.­6­4­2 246
­4
­2
2
4
x
y
f
f
­1
Nota:Não se deve confundir a função inversa defcom o inverso aritmético de
f,que é a função
1
f
. Por exemplo, paraf(x)=x
3
a função inversa é dada por
f
1
(x)=
3
p xe o inverso aritmético é dado por
1
f(x)
=
1
x
3.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 50 / 61

51. Funções Trigonométricas Inversas
Função Seno e sua inversa Arco Seno
Considere-se a função seno, de…nida por:
sen :R![1,1]
x!y=senx-1
0
1
p-p
2p-2p
3p-3p /-12
/12
-1
0
1
p-p
2p-2p
3p-3p /-12
/12
Esta função está de…nida emRmas não é injectiva.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 51 / 61

52. Funções Trigonométricas Inversas
Função Seno e sua inversa Arco Seno
Para inverter a função seno vamos considerar a sua restrição principal,


p
2
,
p
2

, onde a função é injectiva.A sua inversa designa-se por função
arco seno(à direita na …gura seguinte), sendo de…nida por
arcsen :[1,1]![
p
2
,
p
2
]
x 7!y=arcsenx-1
0
-p/2
p/2
1
1
-1
x
y
-1
0
-p/2
p/2
1
1
-1
x
y
senxy=
-1
0
p/2
-p/2
1
1
-1
x
y
-1
0
p/2
-p/2
1
1
-1
x
y
arcsenxy=
-1
0
-p/2
p/2
1
1
-1
x
y
-1
0
-p/2
p/2
1
1
-1
x
y
senxy=
-1
0
p/2
-p/2
1
1
-1
x
y
-1
0
p/2
-p/2
1
1
-1
x
y
arcsenxy=
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 52 / 61

53. Funções Trigonométricas Inversas
Função Coseno e sua inversa Arco Coseno
Considere-se a função coseno, de…nida por:
cos:R![1,1]
x!y=cosx-1
0
1
p-p
2p-2p p/2-3p
/-12
/12
x
y
3p/2-p/2
-1
0
1
p-p
2p-2p p/2-3p
/-12
/12
x
y
3p/2-p/2
Esta função está de…nida emRmas não é injectiva.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 53 / 61

54. Funções Trigonométricas Inversas
Função Coseno e sua inversa Arco Coseno
Para inverter a função coseno vamos considerar a sua restrição principal,
[0,p], onde a função é injectiva.
A sua inversa designa-se por funçãoarco
coseno(à direita na …gura seguinte), sendo de…nida por
arccos:[1,1]![0,p]
x 7!y=arccosxpp/2
1
1
-1
pp/2
1
1
-1
p
1-1
p
p/2
1-1
xyarccos=
xyc os=
pp/2
1
1
-1
pp/2
1
1
-1
p
1-1
p
p/2
1-1
xyarccos=
xyc os=
pp/2
1
1
-1
pp/2
1
1
-1
p
1-1
p
p/2
1-1
xyarccos=
xyc os=
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 54 / 61

55. Funções Trigonométricas InversasFunção Tangente e sua inversa Arco Tangente
Considere-se a função tangente, de…nida por:
tg :Rnfx:x6=
p
2
+kp,k2Zg !R
x !y=tgx=
senx
cosxp-p 0
5
-5
p/2-p/2 3p/2-3p/2
10
-10
p-p 0
5
-5
p/2-p/2 3p/2-3p/2
10
-10
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 55 / 61

56. Funções Trigonométricas Inversas
Função Tangente e sua inversa Arco Tangente
Para inverter a função tangente vamos considerar a sua restrição principal,


p
2
,
p
2

, onde a função é injectiva.A sua inversa designa-se por função
arco tangente(à direita na …gura seguinte), sendo de…nida por
arctg :R!]
p
2
,
p
2
[
x7!y=arctgx0
p/2
-p/2
0
p/2
-p/2
0
5
-5
p/2-p/2
10
-10
0
5
-5
p/2-p/2
10
-10
0
p/2
-p/2
0
p/2
-p/2
0
5
-5
p/2-p/2
10
-10
0
5
-5
p/2-p/2
10
-10
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 56 / 61

57. Funções Trigonométricas Inversas
Função Cotangente e sua inversa Arco Cotangente
Considere-se a função cotangente, de…nida por:
cotg :Rnfx:x6=kp,k2Zg !R
x !y=cotgx=
cosx
senx
=
1
tgxp-p 0
5
-5
p/2-p/2 3p/2
10
-10
p-p 0
5
-5
p/2-p/2 3p/2
10
-10
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 57 / 61

58. Funções Trigonométricas Inversas
Função Cotangente e sua inversa Arco Cotangente
Para inverter a função cotangente vamos considerar a sua restrição
principal,]0,p[, onde a função é injectiva.
A sua inversa designa-se por
funçãoarco cotangente(à direita na …gura seguinte), sendo de…nida por:
arccotg :R!]0,p[
x7!y=arccotgx0
p /2
p
0
p /2
p
p0
5
-5
p/2
10
-10
p0
5
-5
p/2
10
-10
0
p /2
p
0
p /2
p
p0
5
-5
p/2
10
-10
p0
5
-5
p/2
10
-10
Nota:À semelhança do que acontece com o seno, o coseno e a tangente,
pode considerar-se uma in…nidade de funções inversas da cotangente.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 58 / 61

59. Funções Trigonométricas Inversas
Problema (12) Considere a restrição principal do seno e a função f(x) =4sen

x+
p2

.
a) Estude o seu domínio e contradomínio.
b) Caracterize a sua inversa de f .
Problema (13) Considere a função f(x) =
p
2
+4 arccos(x3).
a) Estude o seu domínio e contradomínio.
b) Caracterize a sua inversa de f .
Problema (14) Resolva a equação
4+arctgx2
=
16+p
8
.
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 59 / 61

60. Relações Trigonométricas
Algumas fórmulas trigonométricas:
sen
2
a+cos
2
a=1 sen
2
a=
1
2
(1cos(2a)) cos
2
a=
1
2
(1+cos(2a)) sen(ab)=senacosbcosasenb cos(ay)=cosacosbsenasenb tga=
sena
cosa
cotga=
1
tga
=
cosa
sena
tg
2
a=1sec
2
a (com seca=
1
cosa
)
Anabela Pereira (Depart. de Matemática)Funções Reais de Var. Real - GeneralidadesElem. Matemática I 60 / 61

61. Relações Trigonométricas
Alguns ângulos:
a0
p
6
p
4
p
3
p
2
p
3p
2
2psena0
1
2
p
22
p
32
1010cosa1
p
32
p
22
1
2
0101tga0
p
33
1
p
3
00cotga
p
3
1
p
33
00
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