Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan

1. Equações Algébricas e Transcendentes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Zero Reais de Funções Reais

2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = . O que é uma Equação Algébrica? Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .

3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares. O que é uma Equação Transcendente?

4. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou transcendente, algumas etapas devem ser seguidas: Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível, que contenha a raiz; 2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema. Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da seguinte maneira: 3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

5. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

6. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz. A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos. Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em ciclos. Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução. Execução de ciclo recebe nome de iteração.

7. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método da Bisseção; Método de Newton- Raphson (Tangentes); Método da Iteração Linear. Método da Secante (das Cordas ou F alsa Posição);

8. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método da Bisseção

9. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a raiz em um intervalo [x 1 , x 2 ], onde a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo , ou seja, a raiz será (x 1 + x 2 )/ 2 ou ( a+b )/2. Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos ter f(x 1 ). f(x 2 ) < 0.

10. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade da amplitude do intervalo [x 1 , x 2 ]. Isto é: erro =  < |x 2 - x 1 | ou  < | )| . Veja figura abaixo.  

11. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo anterior. Para isso, tomemos x 3 = (x 1 + x 2 )/ 2. Veja a figura a seguir:

12. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A raiz estará no intervalo [x 1 , (x 1 +x 2 )/2] se f(x 1 ).f((x 1 +x 2 )/2) < 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x 1 +x 2 )/2, x 2 ].

13. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz. Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma aproximação com erro inferior ao solicitado.

14. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo. Considerando o intervalo [ a,b ]: Se , o novo intervalo é [a,( a+b )/2 ] Se , o novo intervalo é [( a+b )/2,b] Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

15. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. 15 x a = a  f(x) b = b x 1 = (a + b)/2 x 1 x a = a 1  f(x) x 1 = b 1 x 2 = (a + x 1 )/2 x 2 x  f(x) x 1 = b 2 x 3 = (x 2 + x 1 )/2 x 2 = a 2 x 3 Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada .

16. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Exemplo 1: Encontrar duas raízes da função , por meio do método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,001 e um numero máximo de iterações de  

17. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

18. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois: C laramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -3,0], uma segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira raiz no intervalo [2,5 ; 3].

19. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para determinar os intervalos iniciais. X -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 f(x) - + + + + + + + - - - - - +      

20. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1 temos:   O bservem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o intervalo ao meio.

21. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução:           Critério de parada!  

22. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é [0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro intervalo fazendo:    

23. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Como o produto foi positivo , o intervalo onde se encontra a raiz não é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5]. Devemos continuar já que e que não ultrapassamos o número máximo de iterações .  

24. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Vamos agora adotar o intervalo [ 0,25 ; 0,5], portanto, para a iteração i=2, temos:   O bservem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o intervalo ao meio.

25. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Quadro!

26. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Exemplo 2: Encontrar uma raiz da função , por meio do método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,02 e um numero máximo de iterações de  

27. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Solução: Quadro!

28. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Exemplo 3: Encontrar uma raiz da função , por meio do método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,01 e um numero máximo de iterações de  

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30. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O método exige pouco esforço computacional . A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver um tamanho, b – a , muito maior que uma precisão, ε . O método sempre gera uma sequência convergente. Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

31. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Raiz( f,a,b,tol ) Enquanto (| a-b |> tol ) x=( a+b )/2 Se f(x).f(a)<0 b=x Senão a=x Resultado=( a+b )/2 Implementação do Método da Bisseção.

32. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Al g oritmo k := 0; a := a; b := b; x := a; x k+1 := (a k + b k )/2; while critério de convergência não satisfeito and k  L if f( a k )f(x k+1 ) < 0 then /* raiz em [a k , x k+1 ] */ a k+1 := a k ; b k+1 := x k+1 ; else /* raiz em [x k+1 , b k ] */ a k+1 := x k+1 ; b k+1 := b k ; endif k := k +1; x k+1 := (a k + b k )/2; endwhile if k > L convergência falhou endif Implementação do Método da Bisseção.

33. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ideia : Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração. Implementação do Método da Bisseção.

34. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

35. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. 1) Encontrar duas raízes da função , por meio do método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,005 e um numero máximo de iterações de   2) Encontrar uma raiz da função , por meio do método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,003 e um numero máximo de iterações de  

36. Trabalho Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

37. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método da Iteração Linear. Método da Secante (das Cordas ou F alsa Posição); Pesquisa em dupla sobre os seguintes métodos: A pesquisa deve conter: Descrição de cada método; Seguir a ABNT quanto à formatação. Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na Engenharia; Comparação entre os métodos ; Data de Entrega: Dia da prova!

38. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método de Newton- Raphson (Tangentes)

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