Equações diferenciais dennis g. zill vol 01

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3. TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

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4. TABELA DE INTEGRAIS

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5. TABELA DE INTEGRAIS

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6. EQUAÇOES DIFERENCIAIS

Volume I

E]

7. EQUAGOES DIFERENCIAIS

Volume 1

Dennis 6. Zill
lichael R. Cullen

Loyola Marymount University

Traduçäo
Antonio Zumpano, Ph. D.
Professor de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais

Revisäo Técnica
Antonio Pertence Jr.
Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará (MG)
Pós-graduado em Educagio Matemática pela UNL-BH
Membro Efetivo da Sociedade Brasileira de Matematica (SBM)

Säo Paulo

Brasil Argentina Colómbia Costa Rica Chile Espanha
Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela

8. © 2001 Pearson Education do Brasil
Título original: Diferential Equations with Boundary-Value Problems
‘© 1999, 1969 PWS Publishing Company, uma divisäo da Thomson Publishing Inc.

‘Todos os direltos reservados. Nenhuma parte desta publicaçäo poderá ser reproduzida ou

transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecánico, incluindo

fotocépia, gravaçäo ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissáo de
informaçäo, sem prévia autorizagáo, por escrito, da Pearson Education do Brasil,

Produtora editorial: Eugénia Pessoti
Ediloracáo e fotoltos em alta resoluçäo:JA G

Dados de Catalogagáo na Publicaçäo
"Zi, Dennis G.

Equagées Diferenciis, volume 1 / Dennis G. Zi, Michael A.
Cullen;

traduçäo Antonio Zumpano, revisäo técnica: Antonio Pertence Jr.
‘S80 Paulo: Pearson Makron Books, 2001.

‘Titulo original: Differential Equations with’ Boundary.Value Problems —
3rd edition.

ISBN: 85-946-1291.9

2007
Direitos exclusivos para a lingua portuguesa cedidos à.
Pearson Education do Brasil,

‘uma empresa do grupo Pearson Education
‘Av. Ermano Marchetti, 1435
(CEP: 05038-001 - Lapa ~ Sáo Paulo - SP
Fone (11) 2178-8686 Fax [phone]
‘e-mail: [email protected]

9. AGRADECIMENTOS

evisar um texto requer um trabalho em equipe que envolve muitas pessoas. Somos especial-

mente gratos a Barbara Lovenvirth, responsável pelo desenvolvimento editorial, Patty
‘Adams, editor de produgio, Carol Reitz, copy editor, Warren e Carol Weight, por sua ajuda na
preparaçäo do manuscrito e pela produgäo do excelente manual de solugóes, John Ellison do
Grove City College, Grove City, PA, por sua valiosa contibuigáo para o Capitulo 9, e aos
seguintes revisores, por seus conselhos, comentários, críticas € elogios

Linda J. S. Allen, Texas Tech University
‘Stephen Breen, California State University

Dean R. Brown, Youngstown State University

Kalin N. Godex, Penn State University

Thomas O. Kudzma, University of Massachusetts at Lowell
Gilbert N. Lewis, Michigan Technological University
Clarence A. MeGuff, Austin Community College

¡Queremos também reconhecer e estender nossa sincera consideragäo aos seguintes in-
dividuos, por terem reservado tempo de seu trabalho para contribuir com os ensaios encontrados
nesta edigäo:

Michael Olinick, Department of Mathematics and Computer Science, Middlebury
College, Dinámica Populacional.

John H. Hubbard and Beverly West, Department of Mathematics, Cornell University, Caos.

Gilbert N. Lewis, Department of Mathematical and Computer Sciences, Michigan
Technological University, O Colapso da Ponte Tacoma Narrows.

C.J. Knickerbocker, Department of Mathematics, St. Lawrence University, Modelos
para o Impulso Nerval.

Ruth Favro, Department of Mathematics and Computer Science, Lawrence Techno-
logical University, Onde Está o Dé Médio?
DGZ.
MRC.

10. Sumario

Prefacio ...
Novos Aspectos .
Mudangas Nesta Ediçäo

Capítulo | Introduçäo As Equacóes Diferenciais.
1.1 Terminología e Definigdes Básicas.
12. Alguns Modelos Matemáticos .
Capítulo 1 Revisdo ..
Capítulo 1 Exercícios de Revisdo .

Capítulo 2 — Equacées Diferenciais de Primeira Ordem ..
2.1 Teoria Preliminar .
2.2 Variáveis Separáve
2.3 Equaçôes Homogéneas.
2.3 Exercícios .
24 Equaçäes Exatas
2.5 Equaçües Lineares 2
2.6 Equagöes de Bernoulli, Ricatti e Clairaut.
2.7. Substituigao. .
2.8 Método de Picard .
Capítulo 2 Revisdo .
Capítulo 2 Exercícios de Revisäo .

Capítulo 3 Aplicagóes de Equagóes Diferenciais de Primeira Ordem
3.1. Trajetórias Ortogonais .
3.2 Aplicagóes de Equagóes Lineares .
3.3 Aplicagóes de Equagöes Näo-lineares .
Capitulo 3 Revisdo.…..............

118
133

11. XIE Buagées Diferenciais Volume

Capitulo 3 Exercíctos de Revista.
ENSAIO: - Dinámica Populacional.

Cea Nias Dies Ase D Sipe 143
Teoria Preliminar.……… 12
4.11 Problema de Valor Inicial .. 142
412 Dependencia Linear e Independencia Linear.…….. 17
413 Solugóes para Equaçôes Limeares…… a )
42 Construindo uma Segunda Solucio a Partir de uma Sohuçao
Conheida.

43 Fquaçôes Lineares Homogéneas com Coeficientes Constantes. 13
44 Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Superposiçäo.
45 Operadores Diferenciais.
46 Coeficientes Indeterminados- Abordagem por Amuladores... 201
47 Variaçäo dos Parámetros.
Capítulo 4 Revit,
Capítulo 4 Exercfcios de Revista,
ENSAIO: Caos.

Capítulo 5 Aplicagóes de Equaçües Diferenciais de Segunda Ord
Modelos Vibratörion.

5.1 Movimento Harmónico Simples...
52 Movimento Amortecido.….
53 Movimento Forçado. ”
5.4 Circuitos Eléticos e Outros Sistemas Andlogo:
Capitulo 5 Revista...
Capitulo 5 Exerefetos de RES.
ENSAIO: O Colapso da Ponte Tacoma Narrows.

D EHE ERRUEE 24
Equagáo de Cauchy-Enler... 2%
62 Revia de Send Foie. alagges Por Stries de Poténcias 286
63. Solugóes em Torno de Pontos Ordinários (Na0-Singulares).……..… 297
6.4 Solugbes em Torno de PontosSingularer
641 Pontos Singulares Regulares: Método de Frobenuns - Caso 1 307
6.42. Método de Frobenius Casos Le. . 318

65 Duas Equagóes Espec
65.1 Soluçäo para a Equaçäo de Bes8eL..
652 Solugäo para a Equagio de Legendre.........
Capitulo 6 Revisto,
Capitulo 6 Exercícios de Reuisdo. 348

12. Capítulo 7 — Transformada de Laplace mas ME
7.1. Transformada de Laplace: 2.350
7.2. Transformada Inversa. ...- 362
7.3. Teoremas de Translagäo e Derivada de uma Transformada . 370
7. Te ferme DE leet = Bese Pole + 385
75 1 et 394
7.6 Funçäo Delta de Dirac ..... 412
Capítulo 7 Revisá x 419
Capítulo 7 Exercícios de Revisáo 419

Apéndices ........
1 Fangio Gama.
11. Transformadas de Laplace
IN Revisio de Determinantes
IV. Números Complexos

Respostas dos Exercicios Selecionados. ........+..

Índice Analítico .

Volume 2
Capítulo 8 Sistemas de Equagöes Diferencials Lineares ..

Capítulo 9 — Métodos Numéricos para Equaçôes Diferencials Ordinárias 97

Capítulo 10 Sistemas Planos Autónomos e Estabilidad. .. 148
Capítulo 11 Fungóes Ortogonais e Séries de Fourier. . 199
Capítulo 12 Problemas de Valores de Contorno em Coordenadas
Retangulares à sas 242
Capítulo 13 Problemas de Contorno em Outros
Coordenadas ...... mi 292
Capítulo 14 Método da Transformada Integral EL

Capítulo 15. Métodos Numéricos Para Equagées de Derivadas Parciais 347

Apéndices. 374

13. PREFACIO

Esta terecira ediçäo tentaalcangar um equilibrio entre os conceitos © @apresentagio do material
que interessaram aos leitores das edigdes anteriores e as mudangas significativas feitas para
reforgar e modernizar alguns aspectos do texto. Achamos que esse equilibrio foi alcangado,
tomando o texto interessante para um público mais amplo. Muitas mudangas e acréscimos sio
resultados de sugestdes e comentários de leiores e revisores. Além disso, essas mudangas foram
feitas visando ao público fundamental — o estudante que utilizará livro. Por essa razdo, as
solugies de cada exemplo foram cuidadosamente lidas, a fim de tomé-las mais claras. Onde
achamos que poderia ser útil, acrescentamos, também, mais explicagdes ou destacamos pontos
<rucials para a seqúéncia da solugäo.

Como antes, este texto pretende satisfazer as necessidades de um instrutor que almeja
do que simplesmente uma introdugáo ao assunto. Além do material básico de equagdes
diferenciais ordinárias, o livro apresenta um capítulo sobre equagdes nio-lineares e estabilidade
+ alguns capítulos sobre equagóes diferenciais parciais e problemas de valores de contorno, É
recomendado para cursos de um ou dois semestres

NOVOS ASPECTOS

Alguns aspectos novos. que esperamos que os estudantes achem interessantes ¢ insti
Toram screscentados ao texto. Ensaios, escritos por mutemáticos proeminentes em sua especiali-
dade, Forum incluídos no final dos Ci © 12 do volume 2. Cads
ensaio reflete os pensamentos, criatividade e opinides de seu autor e tem por finalidade ilustrar
9 material exposto no capítulo precedente. Esperamos que a incluso desses ensaios desperte o
interesse dos estudantes, encorajando-os a ler matemática € ajudando-os a se conscientizarem de
que equagdes diferenciais ndo säo simplesmente uma mera coleçäo seca de métodos, fatos €
Fórmulas, mas um assunto vibrante com os quais as pessoas podem trabalhar.

14. AVI Equagies Diferenciais Volume 1

MUDANGAS NESTA EDIGÄO

Volume 1

+ A Segio 1.2 trata agora somente do conceito de uma equagáo diferencial como um modelo
matemático.

+ O material sobre a equaçäo diferencial de uma família de curvas foi suprimido. Uma breve
discussäo desse conceito aparece agora na Seçäo 3.1 (Trajetórias Ortogonais)

+ © método dos coeficientes indeterminados € um dos tópicos mais controvertidos em um
curso de equagdes diferenciais. Nas irs últimas edigúes, esse tópico foi abordado usando-se
um operador diferencial como uma ajuda para determinar a forma correta de uma solugdo
‘em particular. Na preparagäo desta edigäo, muitos revisores apontaram que a abordagem por
anuladores era muito sofisticada para seus alunos e solicitaram uma abordagem baseada em
regras mais simples. Outros revisores, porém, estavam satisfeitos e näo desejavam mudança
alguma, Para atender a cada uma dessas preferéncias, ambas as abordagens foram apresen-
tadas nesta edigio. O instrutor pode agora escolher entre coeficientes indeterminados com
base no principio da superposigäo para equaçües diferenciais lineares ndo-homogéncas
(Segäo 4.4) ou com base no conceito de anuladores diferenciais (Segáo 4.6). Além disso.
nesta edigio, a nogäo de um operador diferencial é agora apresentada em uma segáo
separada (Segio 4,5). Portanto, observamos que o importante € útil conceito de operador
diferencial deverd ser apresentado de alguma manera

+ Arevisio de série de poténcias na Seçäo 6.2 foi bastante ampliada. Uma discussäo sobre a
aritmética de séries de poténcias (adiçäo, multiplicagäo e divisio de séries) foi também
adicionada.

+ Uma breve discussäo sobre determinaçäo dos coeficientes em uma decomposiçäo de fragdes
parciais e uma nota histórica sobre Oliver Heaviside foram acrescentadas na Segäo 7.2.

+ A discussäo sobre as propriedades operacionais da transformada de Laplace foi agora
dividida em duas segdes: Seçäo 7.3, Teoremas de Translacio e Derivadas de Transformadas:
e Segño 7.4, Transformadas de Derivadas, Integrais e Fungöes Periódicas. Essa separaçäo
permite maior clareza e um tratamento mais amplo dos tópicos.

Volume 2

+ Eliminagäo Gaussiana, além de eliminaçäo de Gauss-Jordan, € agora discutida na Seçäo 8.4.
A notagáo para indicar operagio nas linhas de uma matriz aumentada foi aprimorada.

+ O Capítulo 9, “Métodos Numéricos para Equagdes Diferenciais Ordinérias”, sofreu uma
ampliaçäo significativa e foi parcialmente reescrito. O método de Adams-Bashforth/Adams-
Moulton foi adicionado a Segáo 95. Seçäo 9.6, Eros e Estabilidade, e Seçäo 9.8, Problemas de
Valores de Contorno de Segunda Ordem, sio novidades desta cdiçäo.

15. Volume 1 Preficio XVII

+ Os programas BASIC, anteriormente no Capítulo 9, foram suprimidos.

+ O Capitulo 10, “Sistemas Autónomos no Plano e Estabilidade”, é novidade desta ediçao.
Esses tópicos foram adicionados em resposta a reagdes favoráveis de leitores e revisores da
edigäo anterior.

+ Omaterial dos Capítulos 10, 11 ¢ 12 foi ampliado e reorganizado como Capítulos 11. 12, 13
© 14 nesta edigäo.

+ Capítulo 15. “Métodos Numéricos para Equagóes Diferencials Parciais”, € novidade.

‘+ Novos problemas, aplicagdes. ilustraçües, observagdes e notas históri
adas ao longo do texto.

ss foram acrescen-

Dennis G. Zul
Michael R. Cullen
Los Angeles

16. Capitulo 1

INTRODUCÁO AS
EQUAÇOES DIFERENCIAIS

1.1. Terminologia e Definigdes Básicas
10] 1.2. Alguns Modelos Matemáticos

Capítulo 1 Revisäo

Capítulo 1 Bxercícios de Revisäo

Conceitos Importantes

guages diferencias
Equagdes diferencias parias
Ordem de uma equagio,

Equaco linear

Enungio nfosnear

Solugdes

Solio trivial

Solugdesexpliias € implicitas
Familia de sous a parimetros
Solusdo particular

Solucáo singular

Solucio geral

Modelo matemitico

A palavras diferencial e equaçées obviamente sugerem a

usio de algum tipo de equagio envolvendo
¿erivadas. Na verdade, a fase anterior contém a história
completa sobre o curso que voct está preses a iniciar
Mas antes de comesar a resolver qualquer cola, vocé
tem de conhecer algunas definigdes e terminología
básicas sobre o assunto, Este $ o conteido da Seo I.
A Segio 1.2. aborda a motivagio. Por que vocó, um
futuro cientista ou engenbelo, precisa estudar este
assunto? A resposta € amples: equagóes diferencias 130 0
Suporte matemático para mulas reas da ciénca e da
fengenharia. Por lso, na Segio 1.2, examinamos, anda
que brevemente, como as equagdes diferencias surgema.
Partir da tentativa de formular, ou deserever, ceros
Sistemas físicos em termos matemáticos.

17. wages Diferenciais Cap. 1 Volume 1

1.1 TERMINOLOGIA E DEFINIGÖES BÁSICAS

No curso de cálculo, vocé aprendeu que, dada uma fungáo y = f(x), a derivada
By
fare

€ também, ela mesma, uma fungäo de x e é calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se
y = erento

de ae où Yo
a Ze" ou de Ay. 10)
© problema com o qual nos deparamos neste curso náo é: dada uma fungio y = fx),
encontre sua derivada. Nosso problema €: dada uma equaçäo como dy/dr = 2x3. encontre, de

algum modo, uma funçäo y = f(x) que satisfaga a equaçäo. Em outras palavras, nós queremos
resolver equagdes diferenciais,

DEFINICAO 1.1 Equacio diferencial

(Uma equagto que conté as derivadas ou diferenciais de uma ou mais varidveis dependentes, em
relagdo a uma ou mais variáveis independentes, chamada de equagio diferencial (ED).

Equagdes diferenciais säo classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.

Classificaçäo pelo Tipo

‘Se uma equaçäo contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes,
‘com relagdo a uma única variável dependente, ela é chamada de equagäo diferencial ordinária
(EDO). Por exemplo,

Ls

= 5

Da reihen
de de
“u

irn
e alata
so equagdes diferencisis ordinrias. Uma equagdo que envolve as derivadas parciis de uma ou
mais varidveis dependentes de duas ou mals vardveis independentes é chamada de equasio
diferencial parcial (EDP). Por exemplo,

18. Volume 1 Cap. 1 Inirodugdo ds equaçèes diferenciais 3

silo equagöcs diferenciais parciais.

Classificagäo pela Ordem

A ordem da derivada de maior ordem em uma equaçäo diferencial é, por definigio, a ordem da
‘equagio. Por exemplo,

pnts orien i ==

2, A
(2) dy e

€ uma equagäo diferencial ordinária de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equaçäo
diferencial (y — 4) dx + 4x dy = 0 pode ser escrita na forma

4
a+

dividindo-se pela diferencial dx, trata<se entäo de uma equag3o diferencial ordinária de primeira
ordem A equasio
0
adn
atar

€ uma equaçño diferencial parcial de quarta ordem.

Embora as equagóes diferenciais parciais sejam muito importantes, seu estado de-
‘manda um bom conhecimento da teoria de equagdes difereneiais ordinárias. Portanto, na dis-
uso que se segue, limitaremos nossa atençäo As equagdes diferenciais ordinärias.

Uma equaçäo diferencial ordinária geral de n-ésima ordem freqüentemente represen-
tada pelo simbolismo.

A(x »& 2] o. o

O que vem a seguir € um caso especial de (2).

19. 4 Equacaes Diferencials Cap. Volume 1

Classificagäo como Linear ou Náo-Linear

{Uma equagio diferencial € chamada delinear quando pode ser escrita na forma
e rai Ez =
a) + a tos tal) + add = ale)

Observe que as equagdes diferenciais lineares so carac

adas por duas propriedades:”

® Avariável dependente y e todas as suas derivadas slo do primeiro grau: isto é, a
poténcia de cada termo envolvendo y € 1.

(ii) Cada coeficiente depende apenas da v:
Uma equagdo que nio é linear é chamada de náo-linear.
As equagées

ével independente x.

dy + yde=0

ot

ody
a

de

Ho equagdes diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente

Por outro lado,
Es rl

ar

sfo equagdes diferenciais ordinárias ndo-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente,

Solugóes
‘Como mencionado antes. nosso objetivo neste curso € resolver ou encontrar solugdes para

equagdes diferenciais.

DEFINIÇAO 1.2. Soluçéo para uma Equagäo Diferencial
Qualquerfungáo definida em algum intervalo / que, quando subida na quagäo diferencia
redvznequagto a uma identidad, € chamada de solaçäa para equacño no intervalo.

Em outras palavras, uma solugáo para uma equagäo diferencial ordinária

FR YM) = 0

20. Votame 1 Cop} twtrodugao as equagdes diferenciais 5

6 uma fungäo f que possui pelo menos n derivadas e sarisfaz a equagio; isto €,

EOL Oy SMG) = 0

para todo x no intervalo /. Propositadamente, deixamos vaga a forma precisa do intervalo I na
Definigäo 1.2. Dependendo do contexto da discussio, / pode representar um intervalo aberto
(a. 6), um intervalo fechado (a, b], um intervalo infinito (0, ee) € assim por diante.

EXEMPLO 1

Verifique que y = + '/16 é uma solugäo para a equagäo näo-linear

Ba

no intervalo (ea, =).
Soluçäo Uma maneira de comprovar se uma dada fungäo € uma solugdo € escrever a equaçño

diferencial como dy/dx — xy!” = 0 e verificar, após a substituiçäo, se a diferenga acima
dy/dx — xy" € zero para todo x no intervalo. Usando

vn fe
rl)

percebemos que
La feo

para todo número real. =
EXEMPLO 2 J = Zur
A fungio y = se‘ € uma solugäo para a equagdo linear

a Weyso

iso. calculamos

Yare +e! ey” = xe! + 2e

Observe Y= By 4 = tre + 2e) - Dive" te) + se"
para todo número real. =

Note que, nos Exemplos 1 € 2, a Fungäo constante y = 0 também satisfaz a equagäo
diferencial dada para todo x real. Uma solugáo para uma equaçäo diferencial que é identicamente
nula em um intervalo [é em geral referida como solugäo trivial.

21. 6 Equagóes Diferenciais Cap. 1 Volume 1

‘Nem toda equagdo diferencial que escrevemos possui necessariamente uma solugäo,

EXEMPLO 3

(a) As equagies diferenci

de primeira ordem

(Ejur=ocorarrazo

näo possuem solugdes. Por que?
(b) A equaçäo de segunda ordem (y"? + 10)* = 0 possui somente uma soluglo real. Qual?
=

Solugöes Explicitas e Implícitas

Vocé deve estar familiarizado com as nogóes de fungóes explícitas vistas em seu estudo de
cálculo, Similarmente, solugdes de equagdes diferencias säo divididas em explícitas ou implici-
tas. Uma solugäo para uma equagäo diferencial ordinária (2) que pode ser escrita n forma
y = fix) € chamada de soluçäo explícita. Vimos em nossa discussáo inicial que y =e" € uma
solugio explícita de dy/dr = 2ry. Nos Exemplos 1 e 2, y = x'/16 ¢ y = xe! säo solugdes
explícitas de dy/dx = xy? e y” — 2y + y = 0, respectivamente. Dizemos que uma relagäo
G(x.) = 0 € uma solugäo implícita de uma equagäo diferencial ordinária (2) em um intervalo
1, e ela define uma ou mais solugdes explícitas em /.

EXEMPLO 4
Para-2 < x < 2, a relaçäo x? + y? — 4 = 06 uma solugto implícita para a equagäo diferen-
cial

22. Volume 1 Cap. 1 Imroduçäo as equagóes dierencials 7

forma x7 + y — € = 0 satisfaz, formalmente, dy/dx = ~x/y para qualquer constante e.
Porém. fica subentendido que a relagáo deve sempre fazer sentido no sistema dos números reais
jogo, Alo podemos diaer que! +! + 1 = Üdetermina mise fo da quai diferencial,

Como a distingño entre uma solugäo explícita e uma soluçäo implícita € intuitivamente.
clara, näo nos daremos ao trabalho de dizer sempre: “aquí temos uma solugdo explícita (im-
plicita)”.

Número de Solugóes

Vocé deve se acostumar com o fato de que uma dada equagäo diferencial geralmente possui um
"número infinito de solugöes. Por substituigáo direta, podemos verificar que qualquer curva — sto
$. funçäo — da Família a um parámetro y = ce”, em que c é uma constante arbitrria, satisfaz (1).
Como indicado na Figura 1.1, a solugo trivial € um membro dessa família de solugdes,
correspondente a ¢ = 0. No Exemplo 2, também podemos verificar por substituigáo que
y = exe" € uma familia de solugôes da equaçäo diferencial dada.

EXEMPLO 5

Para qualquer valor de e, a funçäo y = e/x + 1 € uma soluçäo da equaçäo diferencial de
primeira ordem

A

no intervalo (0, =). Temos,

Leeds + Lo =

‘Variando o parámetro c, podemos gerar uma infinidade de solugócs. Em particular, fazendo
© = 0, obtemos uma solugéo constante y = 1. Vejaa Figura 1.2. .

No Exemplo 5, y = c/x + 1 & uma solugdo da equaçäo diferencial em qualquer
intervalo que náo contenha a origem. A fungio náo é diferenciável em x = 0.

Em alguns casos, quando somamos duas solugöes de uma equagäo diferencial, ob-
emos uma outra solugio.

23. 8 Equagóes Diferenciais Cap. I Volume I

e>0

exo

re
Figura a

EXEMPLO 6

(a) As Füngöes y = cy cos x e y = cx sen 4x, em que ¢ e 63 sio constantes arbitrdrias, sio
soluçües para a equaçäo diferencial

y+ 16y = 0.
Para y = cy cos x, as derivadas primeira e segunda sio
Y = -4cı sendr e y" =-16c,cosáx,
entäo,
Y" + 16y = = 161 cosáx + 16(c, cos4x) = 0.
Analogamente, para y = ca sen dx.
Y" + 163 = - IGersenáx + [Gea senda) = 0.

(0) A soma das duas solugdes da parte (a), y = cy cosy + czsendx, também € uma solugño
paray” + 1 = 0. =

EXEMPLO 7

‘Voce deve ser capaz de verificar que

i y = rey cel tact
sto todas solugöes da equagio diferencial linear de segunda ordem
y-p-0

24. Volume 1 Cap. 1 Inirodugo ús equagóes diferenciais 9

Note que y = cje" € uma solugäo para qualquer escotha de cy. mas y = e" + cj.c1 # 0, ndo
satisfaz a equacio, pois, para essa família de fungdes, temos y” = y = =c1. =

O próximo exemplo mostra que uma solugio de uma equagäo diferencia pode ser una
fungäo definida por pares.

EXEMPLO 6

Qualquer fungáo da família a um parámetro y = cx! € uma soluçäo para a equagäo diferencial

Pha)
Tomos nf = Ay = x(4ce) = des! = 0. À funcio definida por partes:
lu ei

"La aa

é também uma solugäo. Observe que essa fungäo nio pode ser obrida a partir de y = cx! por
intermédio de uma única escolha do parámetro c. Veja a Figura 1.30). =

Figura 13

Mais Terminología

© estudo de equagdes diferencias € semelhante ao cálculo integeal. Quando calculamos uma
antideriveda ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integragio. De maneira
análoga, quando resolvemos uma equagäo diferencial de primeira ordem F(x. y. y) = O, normal-
‘mente obtemos uma familia de curvas ou funçôes G{x. y. c) = 0, contendo um parámetro arbi-
trário tal que cada membro da familia € uma solugáo da equagäo diferencial. Na verdade,
resolvemos uma equagio de n-diima ordem F(,y,y”..... Y) = 0, em que pl)

y/ds, esperamos uma familia a n-parámetros de solugóes Gls y... cp) = 0.

‘Uma solugäo para uma equagäo diferencial que näo depende de parámetros arbitrários
€ chamada de solugäo particular. Uma mancir de obter uma solugäo particular € escolher
valores específicos para o(s) parámetro(s) na familia de solugóes. Por exemplo, é fácil ver que

25. 10 Equagdes Diferenciais Cap. 1 Volume I

y = ce é uma familia a um parámetco de solugöes para a equaçäo de pri
simples y' = y. Para e = 0, ~2 e 5, obtemos as solugdes particulares y = 0. y = -2e* €
y = Se", respectivamente

As vezes, uma equagio diférencial possui uma solugio que ndo pode ser obtida
especificando-se os parámetros em uma família de solugdes. Tal solugäo € chamada de soluçäo
singular.

EXEMPLO 9

Na Sego 22, provaremos que uma famiia a um parámetro de solugdes para Y = 1y"/? € dada
por y = (2/4 + c)?. Quando e = 0, a solugäo particular resultante € y = x'/16. Neste caso, a
solugäo trivial y = 0 € uma soluçäo singular para a equaçäo, pois ela nio pode ser brida da
família através de uma escolha do parámetro e. .

Se toda solugäo para Fx. y, y...... 49) = 0 no intervalo pode ser obtida de
Gls, et Cu) = O por uma escolha apropriada dos ¢j,i = 1,2, ....n dizemos que a família a

n-parñmetros € uma soluçäo geral, ou completa, para a equagdo diferencial.

Nota Há duas correntes de pensamento sobre 0 canceito de “soluçäo geral”. Uma definiçäo
alternativa assegura que uma solugdo geral para uma equaçäo diferencial de n-ésima ordem &
uma familia de solugdes que contem m parámetros essenciais.* Em outras palavras, näo €
necessário que a familia contenha todas as solugdes para a equagdo diferencial em algum
intervalo, A diferenga dessas opinides consiste na distinçäo entre solugdes para equagdes
lineares e para equagdes nño-lincares, Na resoluçäo de equagdes diferenciais lineares, devemos
impor restriçôes relativamente simples aos coeficientes; com essas restrigdes, podemos assegu-
rar a existencia de soluçäo em um intervalo e também que a família de solugdes contenha
realmente todas as possiveis solugdes.

Outro fato deve ser mencionado neste momento. Equagdes náo-lineares, com excegáo
de algumas equaçôes de primeira ordem, so geralmente difíceis ou impossiveis de ser resolvi-
das em termos de fungdes elementares, tais como fungdes algébricas, exponenciais, logarítmi-
cas, trigonométricas e trigonométricas inversas. Além disso, se acontecer de termos uma familia
de solugdes para uma equagio niio-lincar, ndo fica óbvio quando essa família constitui uma
“soluçao geral”. Em nivel prático, a designaçäo "solugdo geral” é aplicada somente a equagöes
diferenciais lineares.

No tentaremos responder a este conccito. Mas grosso modo significa: ndo brnque com as constantes.
Certamente, y = x + cı + cz representa uma famila de solugdes para y = 1. Trocandocı + c: pore,
a fama em essenialmente una constante. y = x + e. Vx pode verfcarquey = cı + Ines uma
solugto para #" + ay = 0 no inervlo (0) para qualquer escolh de y e cz > 0. Eno, cy ec» 30
parimeios esencias?

26. Volume 1

Introdugao as equagdes dierenctals 1

Cap. 1

1.1 EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estäo nas páginas 439 e 340.
Nos Problemas 1-10, clasifique as equagdes diferenciaisdizendo se elas sto lineares ou näo-lincares. DE

‘também a ordem de cada equaçao.
LON day + Sy = cose
Bo eae ia

oe

9. (sensyy” = (Cosy = 2

Nos Problemas 11-40, verifique se a Fongio dada € uma soluçäo para a equagdo difere

=
U ity sO yee
aye te

IS. Y =25 4 y% y = Sigi

ny ty
= feos + 1007

sens y

Le ram
25. % = (2-20 — Xi in

21, (e+ pd + (2 dy
= 0; eut y= ee

dy (do
je o
4 dy + = ay - sede = 0

Proy
6 Oy = sen:
À + y = seny

10. (1 - yde + xdy = 0

(resto

16 2 Ey oF + ex > Que > 0

18. ya + e

Ne

part

CAE y eat!

1 a
= oe bl P=
E TT Te
yr fear + ae
«

BAY y= Oy = ce + ce

27. 12 Equagdes Diferenciais Cap. Volume 1

> di E
28. Y= OY + y y eos wo. dea:
3. y" = y y = cosh + senha 32, Y = 25y = 0; y = 61 cos 5x
By = YP = 0 y = Ine delta 34, Y + ym rg y —coslafsees +192)

A nyaarort 36. "= +2
da ae

y= xeoding), x > 0

A

= eu sen At + cxcosdr + de"

By + y de ao EEE EE Baye y

= ee tering + 4e x > 0
Nos Problemas 41 € 42, verifique se a funçäo definida por partes € una solugo para a equagio diferencial
#50 42 GP = dy y= |% FS?
x20 dv. +20
43. Verifique que uma familia a um parámetro de solugdes para
yey +P Eye
Determine um valor de para que y = kx” seja uma solugdo singular para a equagto diferencia.
44. Verifique que uma fami a um parimetro de solugdes para

yoo Yin ee Vie

Mostre que a relacio a? + y? = 1 define uma solugáo singular para a equngäo no intervalo (= 1, D.
Uma familia a um parámetro de solugdes para

Lee
Por inspeglo.* determine uma solugdo singular para a equaçäo diferencial.

46. Na página 6, vimos que y = Va =x7 e y ==V4 - a? sto solugöes para dy/ds = =4/y no
inervalo (2.2). Explique porque

a VE, -2<x<0
Aa. oss?

+ Traduzindo, iso significa "aga uma boa estimativa e veja se funciona".

28. Volume 1 Cop. 1 Introdugaa as equagóes diferenciais 13

fio & uma solugäo para a equagäo diferencial no intervalo.

‘Nos Problemas 47 48, encontre valores de m para que y = €" sea uma solugio para cada equagio
difecenc

rn 48. y+ 10 + 25 = 0

Nos Problemas 49 50, encontre valores de m para que y = x seja uma solugio para cada equagio

50. y" + 60! + ay = 0

2

SL. Mostre que yy = 1? ya = a sto ambas solugdes para

Py" = Al + @ = 0

As fungies, ei € exy2- Com ey e cz constantes arbiräris, so também solugdes? A soma. yj + 36
uma soluçäo?

52. Moureque yy = 26 + 2eyy = = 2/2 sto ambas soloctes de
yaa

As fungées. e4y € ea, com ey € cz constantes arbite
Yi + yo € uma solugdo?

las, sio também solugóes? A soma

53. Por inspegäo, determine, se possivel, uma solugdo real para a equagio diferencial dada.

Bl cpr
CIRE

og] omo
[| omen

[0] 1.2 ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS

Em ciéncias, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, fregüentemente desejamos
deserever ou modelar v comportamento de algum sistema ou fenómeno em termos matemáticos.
essa deserigäo comega com

(D identificando as variáveis que sio responsáveis por mudangas do sistema, e

Gi) um conjunto de hipöteses razoáveis sobre o sistema.

As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que so aplicáveis ao sistema. A estrutura
matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma
equaçäo diferencial ou um sistema de equagdes diferenciais. Esperamos que um modelo
matemático razodvel do sistema tenha uma solugäo que seja consistente com o comportamento
‘conhecido do sistema.

29. 14 Equaçôes Diferenciais Cap. I Volume 1

Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A
solugio do modelo representa entio o estado do sistema; em outras palavras, para valores
apropriados do tempo 1,0s valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no
passado, presente e futuro.

Corpo em Queda Livre
A descrigio matemática de um corpo caindo verticalmente sob a influëncia da gravidade leva a

‘uma simples equagio diferencial de segunda ordem. A soluçäo para essa equagäo fornece-nos a
posiçäo do corpo em relagáo ao solo.

EXEMPLO 1

É bem conhecido que um objeto em queda livre próximo à superficie da terra é acelerado a uma
taxa constante y. Aceleraçäo € a derivada da velocidade, que, por sua vez, € a derivada da
distancia s. Suponha que uma pedra seja atirada do alto de um edificio, como ilustrado na Figura
1.4. Definindo o sentido positivo para cima, entáo o enunciado matemático

€ a equaçäo diferencial que govema a tajetória vertical do corpo. O sinal de subtragdo € usado
porque o peso do corpo é uma forga direcionada para baixo, ou sea, oposta à direço positiva,

Se supusermos ainda que a altura do edifício € sy e a velocidade inicial da pedra, zo.
ento temos de encontrar uma solugäo para a equaçäo diferencial

que também satisfaga as condigöes inicias, s(0) = so © (0) = %. Aquí, 1 = 0 € 0 instante em
que a pedra deixa 0 telhado do edifício (tempo inicial) e 1, € o instante em que a pedra atinge o
solo. Como a pedra € airada para cima na direçäo positiva, vp € naturalmente positivo.

Note que essa formulagäo do problema ignora outras forgas, como a resisténcia do ar
atuando sobre o corpo. .

30. Volume 1 Cap. 1 tnrodugo ds equaçôes diferenciais 15

Sistema Massa-Mola

Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento € combinada com a lei de Hooke, podemos
obter uma equaçäo diferencial que governa o movimento de uma massa atada a uma mola,

EXEMPLO 2

Para calcular o deslocamento vertical x(1) de uma massa atada a uma mola, usamos duas leis
empiricas: a segunda lei de Newton sobre o movimento e a lei de Hooke. A a delas diz
que a resultante das forgas que atuam sobre um sistema em movimento € F = ma, em que m &a
massa e a, a aceleragäo. A lei de Hooke diz que a forga restauradora de uma mola esticada €
proporcional ao deslocamento.s + x; isto 6, forga restauradora é k(s + 1),emquek > O€ uma
constante. Como mostrado na Figura 1.5(b), s € o deslocamento da mola quando uma massa &
atada em sua extremidade e o sistema está em posigáo de equilíbrio (a massa está pendurada na
‘mola e ndo há movimento). Quando o sistema está em movimento, a variável x representa o
deslocamento da massa em relagño à posigäo de equilibrio. No Capítulo 5, provaremos que,
quando o sistema está em movimento, a forga resultante atuando na massa € simplesmente
F = kx. Logo, na auséncia de amortecimento ou outras forgas externas quaisquer que
poderiam estar atuando no sistema, a equaçäo diferencial do movimento vertical do centro de
gravidade da massa €:

ME te
ae
Aqui. o sinal de subtragdo indica que a forga restauradora da mola atua em direçäo oposta ao
movimento, ist € n dire da posisäo de eqllfro, Na prática, essa equicio diferencial de
segunda ordem 6 escrita da seguint forma
dx 2,

+ x = 0, (1)
ete m

emquew? = k/m.

mob sem
alongamento

0]

31. 16

Unidades

Comentaremos os sistemas de unidades usados para descrever problemas de dinámica como os
ilustrados nos dois últimos exemplos. Trés sistemas de unidades freqlentemente empregados
sio mostrados na tabela abaixo. Em cada sistema, a unidade básica de tempo € o segundo.

Sistema.
Sistema

randeza al
Grandeza pon éamaciona (5) 7
Fora pound (6) mewon(N) dina u
Massa slug Kilograma (ks) arma)
Dist foot (fy amer m) cemimetro em)
Acelerçio da gravidadeg 321746? 98m 980 emus?

(aproximadamente)

‘A forca gravitacional exercida pela terra sobre um corpo de massa m é chamada de
peso W. Na auséncia de resisténcia do ar, a única forga que atua sobre um corpo em queda livre
€ seu peso. Portanto. pela segunda lei de Newton sobre a movimento, temos que a massa m ¢ o
peso W esto relacionados por

W = mg.
Por exemplo, no sistema inglés, a massa de 1/4 slug corresponde a um peso de 8 Ib. Como
m = W/g, um peso de 64 Ib corresponde a uma massa de 64/32 = 2 slugs. No sistema cgs, um
peso de 2450 dinas tem uma massa de 2450/980 = 2.5 gramas No sistema SI. um peso de 50
newtons tem uma massa de 50/9,8 = 5.1 kilogramas. Note que

A newton = 108 dinas = 0,2247 pound

No próximo exemplo, deduziremos a equaçäo diferencial que desereve o movimento
de um péndulo simples,

Péndulo Simples

Qualquer objeto pendurado em movimento pendular € chamado de péndulo físico. O péndulo
simples é um caso especial de péndulo físico e consiste em uma haste com uma massa atada em

uma das extremidades, Para descrever o movimento de um péndulo simples. desprezaremos

qualquer Forga exterior de amortecimento agindo sobre o sistema (tal como a resisténcia do ar)

32. Volume! Cap. 1 Introdu

As equacdes dierenciais

EXEMPLO 3

Uma massa m de peso W está suspensa por uma haste de comprimento I. Queremos determinar
‘6 Angulo O, medido a partir da linha vertical, como uma funçäo do tempo 1 (consideramos
9 > Oadircita de OP, e 9 < 0 esquerda de OP). Lembre-se de que um arco s de um círculo de
raio 1 está relacionado com o Angulo central @ através da fórmula s = /0. Logo, a aceleragio
angular é

Pela segunda lei de Newton, temos
de

P= ma = mits.
ae

Na Figura 1.6, vemos que a componente tangencial da forga devida ao peso W mg
send. Igualando as duas diferentes formulagöes da forga tangencial, obtemos,

de Poe
miz = ~mgsend où Ez + send = 0. o

Figura
)
Gene

mg sen 8
cos 8

Por causa da presenga do sen 8, a equaçäo diferencial (2) € nio-tinear. É sabido que
essa equagdo nño pode ser resolvida em termos de fungóes elementares. Entäo, fazemos mais
uma simplificagäo. Se o deslocamento angular @ náo for muito grande, poderemos usar a
aproximagäo 0 = 6.* Dat, (2) pode ser substitufda pela equagdo diferencial linear de segunda
ordem

Para pequenos valores de © (em radianos), potäncias 0* e as de ordem superior podem ser ignoradas na.
série de Maclaurin, sen@ = 0 — 0%/31+.... e assim, obtemos send = 0. Use uma calculadora €
compare os valores de sen (0,05) e sen (0,005) com 0.05 e 0.005.

33. 18 Equasdes Diferenciais Cap. 1 Volume 1

de

(0)

de

Colocando & = 9/1. (3) possui exatamente a mesma estrutura da equaçäo (1) que
governa vibragóeslivres de um peso em uma mola. O fato de uma equagáo diferencial básica
poder descrever diversos fenómenos físicos, ou mesmo sociais/económicos, € uma ocorténcia
comum no estudo de matemática aplicada.

O relógio de parede ea balanga
de criangasi0 exemplos de
péndulos. O deslocamento
angular 6 de um péndulo simples
de comprimento € determinado
pela equagio diferencial
‘do-Ingar de segunda ordem
F0/de + (g/1) sent
Quando o desiocamento do
Péndulo náo é muito grande.
Podemos fazer a substi
send = De assim obter
aproximadamente o valor de 0
resolvendo a equagio Inear
SOA + (¿700 = 0. Veja
também as páginas 16.017.

Corda Giratória

Encontramos de novo a equagéo (1) na análisc da corda giratória.

34. Volume 1 Cop. 1 inroduçäo ax equagóes diferencials 19

EXEMPLO 4

Suponha que uma corda de comprimento L, com densidade linear constante igual a (massa
por unidade de comprimento) esteja esticada ao longo do eixo x e fixada nas extremidades
x = Dex = L. Suponha que cla seja entáo girada em torno desse cixo a uma velocidade angular
“constante igual aw. Isso € análogo a duas pessoas segurando uma corda de pular e rodando-a de
mancira sincronizada, Veja a Figura 1.7(a). Queremos encontrar a equacio diferencial que
determina a forma y(x) da corda, ou a curva de deflexäo em relaçäo à sua posigäo inicial. Veja
a Figura 1.7(b). Para isso, considere a porçäo da corda no intervalo [x,x + At], em que Ar €
pequeno. Se a magnitude 7 da tensäo T atuando tangencialmente à corda for constante ao longo
da corda, entäo a equagdo diferencial que queremos pode ser obtida igualando duas diferentes
formulagóes da forga resultante que atuam na corda no intervalo [x,x + Ax]. Primeiro, vemos
na Figura 1:74) que a forga resultante vertical €

F = Tend; ~ T send) w
Quando os ángulos 8; e 8; (medidos em radianos) s40 pequenos, temos
sends = ty Br = y (4 Ax) e send, = 1801 = (0.
e nto (4) torna-se
F = TI + Ar) — y (0) 10)

“Agora, a orga resultante é dada também pela segunda lei de Newton, F = ma. Aquí, a massa da
corda no intervalo é m = p Ax; a aceleraçäo centripeta de um ponto girando com velocidade
angular @ em um círculo de ralo r € a = ru”. Com Ax pequeno, tomamos r = y. Logo, uma
outre Formulagáo da forga resuliame €

F =~ Arye’ ©

‘em que o sinal de subtragio decorre do fato de que a aceleraçäo aponta na direçäo oposta à
direçäo positiva y. Agora,

Tht + As) ye] = = @ Ara on TECHO y, m

a y

0)
Figura 17

35. 20 Equagóes Diferenciais Cap. 1 Volume I

Para Ax próximo de zero. {x + Ax)—y'(a))/Ae = d2y/ds?, assim a última expresso em (7)
nos da,

1% Ly
TL + paty = 0.
TE Py où TES + poy @)
Como a corda está fixa em x = 0 € x = L, esperamos que a soluçäo y(x) da última equagdo
satisfaga as condigdes de fronteira (0) = Oe x(L) = 0. =
Dividindo a última equaçäo em (8) por T, obtemos,

CR
ae’ ds

o que é análogo a (1) e (3). Se a magnitude T da tensdo no é constante no intervalo [0, L], entäo
pode-se mostrar que a equagdo diferencial para a curva de deflexäo da corda €

afro] 0% =o o

Circuitos em Série

De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a diferenga de potencial E(t) em um circuito fechado
€ igual à soma das voltagens no circuito. A Figura 1.8 mostra os símbolos e as fórmulas para as
respectivas voltagens (queda de tensio) através de um indutor, um capacitor e um resistor. A
corrente em eireuito, após a chave ser fechada, é denotada por (1); a carga em um caps

instante 1 € denotada por q(t). As letras L, C e R säo constantes conhecidas como
capacitäncia e resisténcia, respectivamente.

D + +.

indios capacitor coser
4 ia e
@ o ©
Figura 1.8

EXEMPLO 5

Considere o circuito simples, em série, contendo um indutor, um resistor e um capacitor
mostrado na Figura 1.9. Uma equaçäo diferencial de segunda ordem para a carga q(t) em um
‘capacitor pode ser obtida somando as voltagens (queda de tenséo):

36. Volume 1 Cap. 1 Introdugáo as equagóes diferenciais 21

£ Figural
e
orne cime
et ul
«igualando a soma à diferenga de potencial E():
deL,
f+ EI = EO. (10)

No Exemplo 5, as condiçôes iniciais g(0) e ¢/(0) representam a carga no capacitor e a
corrente no circuito, respectivamente, no tempo 1 = 0. Ainda, a diferenga de potencial ou
voltagem E(() é chamada de forga eletromotriz, ou fem. Uma fem, bem como a carga em um
capacitor, causa a corrente no circuito. A tabela abaixo mostra as unidades básicas de medida
usadas na andlise de circuito.

Unidade
volt (V)
henry (H)
Capacitáncia © rad (F)
Resistencia R chim (92)
Carga q coulomb (C)
Corrente à ampère (A)

Lei de Esfriamento de Newton

De acordo com a empírica lei de esfriamento de Newton, a taxa de esfriamento de um corpo €
proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente,

37. Antes de tomar um café, geralmente
‘esperamos um pauco até que o liquido
estie. Uma xicara de café fica quase
Gintragável se esfriar até chegar à
temperatura ambiente. Uma lei empirica
de resfriamento atribuida a Isaac
Newton assegura que a taxa de
resiiamento de um corpo &
proporcional diferenga entre a
temperatura do corpo e a temperatura
do meio. A frase acima & uma deserigäo
verbal de uma equagäo diferencial Veja
também a página 107,

EXEMPLO 6

Suponha que T(1) denote a temperatura de um corpo no instante fe que à temperatura do meio
ambiente seja constante, igual a 7, Se dT/d representa taxa de variaçäo da temperatura do
‘corpo, entáo a lei de esfriamento de Newton poderá ser expressa matematicamente da seguinte
forma;

RER
ety at

em que & € uma constante de proporcionalidade. Como, por hipó
devemos ter T > Ty logo, k < 0,

Kir — Tw a

6. 0 corpo está estriando,

Cabo Suspenso

Suponha um cabo (ou corda) suspenso sobre a açäo de seu pröprio peso. A Figura 1.10(a) mostra
um modelo físico para essa situaçäo: um longo fio de telefone pendurado entre dois postes.
Como no Exemplo 4, nosso objetivo no próximo exemplo é determinar a equagäo diferencial que
descreve a forma (curva) de um cabo suspenso.

38. Volume 1 Cop. 1 Introdugdo ds equacdes diferenciais 23

EXEMPLO 7

Vamos examinar somente a porgáo do cabo entre ponto mais baixo Pı e um ponto acbítácio
Ps. Veja a Figura 1.10(b). Très forgas estäo agindo no cabo: o peso da pargäo PP> € as lensôcs
Ti e T em P € Pa, respectivamente. Se w for a densidade linear (medida, digamos, em N/m) e
4 for o comprimento do segmento P,P, seu peso será ws.

pi th

pa COR
m
Figura 1.10

‘Agora, a tensäo T3 tem duas componentes, uma horizontal e outra vertical (quanti-
dades escalares), Ta cos e Ta sen. Como o sistema está em equilfbrio, podemos eserever

IMi= Ti = TacosO e ws = Tasenó.
Dividindo as duas últimas equagóes, obtemos

de ws
37T a2)

‘Agora, como o comprimento do arco entre os pontos Pı e Pa €

‘Wee

segue de uma das formas do teorema fundamental do cálculo que

a de
A a (a) aa

39. 24 Equegóes Diferenciais Cap.1 Volume I

Derivando (12) com relagäo a x e usando (13), temos

Ly dr
crus as
=

Poderiamos concluir pela Figura 1,10 que a forma de um cabo suspenso é parabólica,
Porém, nio € esse o caso; um cabo (fio ou corda grossa) suspenso sobre efeito somente de seu
préprio peso toma a forma de um cosseno hiperbólico. Veja o Problema 12, Exercício 3.3.
Lembre-se de que a curva cuja forma & o gráfico do cosseno hiperbólico 6 chamada de
catenária, palavra que vem do latim catena, que significa “corrente”. Os romanos usavam a
catena para prender cachorros. Provavelmente o melhor exemplo gráfico de uma catenária seja o
arco Gateway em St. Louis, Missouri, nos Estados Unidos.

Para desericar foma da um
cabo suspense soba ago de seu
proprio peso, ta como um cabo
elfe uspenso atra dois,
poses, devemos resolver a

acia Srerercal near
Pel w/t Ni + ra = 0
- Pode se mostrar que o cabo toma
<sencialmente a forma do gráfico
de um coseno hperbôlco Ese
lc den coseno perdio
hams catenóno, O famoso arco
Gateway em St Louis sem a forma
de uma Catena varón

40. Volume} Cap. 1 Introdugáo ds equagóes diferenciais 25

Drenagem Através de um Orificio

Em hidrodinámica, o teorema de Torricelli nos diz que a velocidade v de efluxo de água através

de um pequeno orificio no fundo de um tanque cheio até uma altura h € igual à velocidade que

um corpo (neste caso, uma gota d'água) adquire em queda livre de uma altura.
v= Veh,

em que g é a aceleraçäo devida à gravidade. A última expressäo € obtida igualando a energia
cinética | mp? à energía potenci

EXEMPLO 8

Um tanque cheio de água € drenado através de um orificio sobre a influéncia da gravidade.
Gostarfamos de calcular a altura h da ägua no tangue em qualquer instante de tempo 1.

Considere o tanque mostrado na Figura 1.11. Se a área do orificio 6 Ag (em m?) e a
o ai
tanque por segundo & Ay V2gh (em m?/s). Logo, se V(t) denota o volume de água no tanque no
ee

ea TE. as

7

i gi an gus an zu Yen ur Nucci ei
qualquer possibilidade de atrito no orificio, o que reduziria a taxa de vazäo da dgua.

Figura 1.11

Agora . suponha que o volume da água no tanque no instante ¢ possa ser escrito como
V(t) = Audı, em que Ay (em m?) € a área da superficie da agua (veja a Figura 1.11), que näo
depende da altura 4. Daí, dY/dt = Autdh/di), Substituindo essa última expressio em (15),
obtemos a equagäo diferencial para a altura da água em funçäo do tempo £:

41. 26 Equagóes Diferenciais Cap. 1 Volume

de „Ag
St REV ao
=

E interessante observar que (16) permanece valida mesmo quando Ay nfo € constante
Neste caso, devemos expressar a área da superficie da ägua como uma funçäo de = AD.
Veja o Problema 9 em Exercicios 12€ Problema 19 nos Exercicios de Revisio do Capítulo 1

Deflexäo de Vigas

Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexäo estática de uma viga elástica
‘causada por seu peso ou por uma carga extema. Supomos que a viga é homogénea e tem segóes
transversais uniformes ao longo de seu comprimento. Seja L o comprimento da viga. Na
auséncia de carga na viga (incluindo seu peso). a curva ligando os centróides de todas as segóes
ransversais € uma linha reta chamada de eixo de simetria. Veja a Figura 1,12(a), Se uma carga
Tor aplicada à viga em um plano vertical contendo o eixo de simetria, entäo, como mostrado na
Figura 1.120), a viga sofre uma distorçäo e a curva ligando os centröides de todas as seçües
transversais € chamada de curva de deflexäo ou curva elástica. No próximo exemplo,
deduziremos a equaçäo diferencial da curva de deflexäo. Essa dedugäo usa princípios de
cidade e um conceito do cálculo chamado curvatura.

Forgas atuando em vigas
‘cautam estas distorgöes.
Essa deformagio, ou
deflexdo yx), 6 deserta
pela equacáo diferencia de
quarts ordem

By = mia). Uma viga
cengastada em uma
‘extremidade e sota na
otura 6 chamada de
cantiláver ou viga em
balango. Um trampolim,
um braco estendido e uma
asa de avilo sio oxemplos
“comune de tas vigas: mas
mastros de bandsira,
arranha-ctus eo
‘Washington Monument
agem como vigas em
balango. Veja tambám as
páginas 405. 411 e 418.

42. Volume 1 Cop. 1 nrroducdo as equagóes difereneiais 27

EXEMPLO 9

A titulo de ilustragdo, vamos considerar uma viga fixa (engastada) em sua extremidade esquerda
e solta em sua extremidade direita, como na Figura 1.13. Faça coincidir o extremo esquerdo da
viga como ponto x = 0, e o extremo direito com o ponto x = L. O eixo x com o cixo.
de simetria, © a deflexño y(x) é medida a partir desse eixo e considerada positiva se estiver para
baixo. Em teoria da elasticidade, mostra-se que o momento defletor (Netor) 44(x) em um ponte
x ao longo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) através da
equagdo

M = w(x), an
re)
Ainda, © momento defletor (Retor) M(x) € proporcional A curvatura k da curva elástica
M(x) = Elk, as
PE)
no de sima
lo

curva de d
iy
Figura 1.12 Figura 1.13

‘em que E e I säo constantes: E € o módulo de elasticidade de Young racionado com o material
da viga, e / 6 0 momento de inércia de uma seçäo transversal da viga (em relagdo a um eixo
conhecido como eixo neutro ou Tinka neutra). O produto E é chamado de rigidez defletora da
viga,

Agora, do cálculo, sabemos que a curvatura € dada por
E
ETES

Quando a deflexdo y(x) € pequena, a incliagdo y” = 0 € dal [1 + NY? = 1.804 = Y
equag (18) se torna M = Ely’ À segunda derivada desta última expresso &

aM de

oe aby ta. us)

43. 28 Equagóes Diferenciais Cap. Volume I

Usando o resultado obtido em (17) para subst

d'M/A em (19), vemos que a deflexäo y(x)
satisfaz a equacao diferencial de quarta ordem

A
att = w(e). (20)

=

‘Como veremos mais tarde, € extremamente importante observar qualquer condigáo de

fronteira que acompanha a equagio diferencial na deserigäo matemática de um fenómeno físico

Para a viga em balango do Exemplo 9, além de satisfazer (20), esperamos que a deflexäo y(+)
satisfaga as seguintes condigdes nas extremidades da viga:

+ (0) = 0, pois näo há deflexäo no extremo esquerdo engastado.

+ Y/(0) = 0, pois a curva de deflexäo é tangente ao eixo x na extremidade esquerda.
+ ¥O=
+ NL) = 0, pois a orga de espoliaçäo (cisalhamento) € zero na extremidade dirita (livre)
A funglo F(x) = dM/de =ENd'y/de*) € chamada de forga de espoliagio (cisalhamento).

pois o momento defletor (fletor) é nulo no extremo livre.

Cres

vento Populacional
Nos próximos exemplos, examinamos alguns modelos matemáticos em crescimento biológico.

EXEMPLO 10

Parece plausivel esperar que a taxa de crescimento de uma populaçäo P seja proporcional à
populaçäo presente naquele instante. Grosso modo, quanto maior for a populagäo presente,
major ela será no futuro. Logo, o modelo para o crescimento populacional é dado pela equagäo
diferencial

de.

= KP, en

em que k € uma constante de proporcionalidade. Como esperamos que a populagdo cresça,
devemos ter dP/dt > 0, e assimk > 0. =

EXEMPLO 11

Na disseminaçäo de uma doença contagiosa, uma virose, por exemplo, € razoável supor que a
taxa de disseminagdo, dx/di, seja proporcional náo somente ao número de pessoas, x(t), con-
taminadas, mas também ao número de pessoas, y(t), que ainda nfo foram contaminadas, isto é,

44. Volume 1 Cap. Inirodugio as equagóes diferenciais 29

de
athe e»

‘em que ké a constante de proporcionalidade usual. Se uma pessoa infectada for introduzida em
uma populagio de n pessoas, ento x e y estardo relacionados por

r+y=n+L a
Usando (23) para eliminar y em (22), obtemos

de

Gi = kan + = 0). as
A condigio inicial óbvia que acompanha a equaçäo (24) € 0) .
Equaçäo Logística
A equagio de primeira ordem näo-linear (24) € um caso especial de uma equagäo mais geral

Pía — bP), a eb constantes, as)

conhecida como equaçäo logística. Veja Seco 3.3. A solugäo dessa equagio € mui
‘em ecologia, sociologia e mesmo em ciéncias contäbeis e ad

Capitalizaçäo Continua

É muito comum as instituigdes financeiras anunciarem capitalizagäo diária dos juros.
Poderíamos ter capitalizaçäo a cada hora ou mesmo a cada minuto. Näo há razo para parar ai,
ou seja, juros poderiam ser capitalizados a cada segundo, a cada meio segundo, a cada décimo
de segundo, a cada milésimo de segundo, e assim por diante. Isto quer dizer que os juros podem
ser capitalizados continuamente.

EXEMPLO 12

‘Quando os juros sio capitalizados continuamente, a taxa de crescimento € proporcional ao
capital 5, isto €,
as

= (26)

em que r € taxa anual de juros. Essa descrigäo matemática € análoga ao crescimento popu-
lacional do Exemplo 10. A taxa de crescimento será grande quando o capital presente também
for grande. Traduzindo geometricamente, isso significa que a reta tangente € mais inclinada
quando $ € grande. Veja a Figura 1.14.

45. 30 Equagdes Diferenciais Cap. I Volume 1

A definigäo de derivada proporciona uma interessante dedugáo de (26). Suponha que
‘S(e)seja o capital acumulado depois de Y anos, quando a taxa de juros r € anual e estes sio
capitalizados continuamente. Seja À um incremento de tempo. Entio, os juros obtidos no espago

de tempo (1 + A) — £6 a diferenga dos montantes acumulados:
See + hy - 50)

an

Como os juros sio definidos por taxa x tempo X capital, podemos aproximar os juros ganhos no

‘mesmo período por
PASCO) ou rhS(t + M).

Intuitivamente, rhS() € rhS(t + h) sio cotas inferiores e superiores, respectivamente, para os

juros reais (27); ou seja,
FRS) S S(t + Hy — SC) S ASH h)

150) < NON

SU+ hy = Sq)
h
Pasando ao limite em (28), quando h > 0, obtemos

St +M
h

su

150) < lim < 150,

40
e da segue-se que

tim SC » = sw)
420

rs.

as)

46. Volume 1 Cap. 1 Introducao üs equagóes diferenciais 31

1.2 EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estáo na página 440.

Nos Problemas 1-22, deduza a equactoes)diferenciais) que desereve a situaglo física dada.

1. Em cenas circunstincias, um corpo 8 de massa m em queda, como o pára-quedista mostrado na
Figural.15. encontra resistencia do ar proporcional à sua velocidade v. Use a segunda lei de Newton

‘para encontrar a equagäo diferencial para a velocidade v do corpo em qualquer instante, Lembre-se de
que a aceleragio € a = dv/dt. Suponha neste caso que a diregäo positiva € para baixo.

2. Qual é a eguaçio diferencial para a velocidado v de um corpo de massa m em queda vertical através
de um meio (al como a Agua) que oferece uma resistencia proporcional a0 quadrado da velocidade?

|. Suponha a direço positiva para baixo.

3.) pots tei da gravitaçao universal de Newton, a acleragdo de queda livre a de um corpo tal como.
© satelite mostrado na Figura 1.16 caindo de uma grande altura, ndo € a constante g. Em vez disso,
à aceleaglo a & inversamente proporcional ao quadrado da distincia r entre o centro da tera e ©
corpo: a = Wr? em que ké constante de proporcionalidad.

(a) Use o fato de que na superfície da tera r = Re a = g para determinar a constante de propor:

nalidade k.

(6) Use a segunda lei de Newton € aparte (a) para encontrar uma equago diferencial para distäncia 1
(e) Use a regra da cadeia na forma

para expressar a equagio diferencial da parte (b) como uma equagdo diferencial envolvendo u e
do/ar.

Figura 1.15

de (9 Vata) de Fabien er scones rei br aro tala
An em queda fo proportion sua velocidad
(hy ge cr, a rede pa ira a
a parte) sored equate edu no Problems|.

47. 32 Equaçôes Diferenciais Cap. Volume 1

5. Um circuito em série contém um resistor € um indutor, como mostrado na Figura 1.17. Determine a
‘equagdo diferencial para a corrente it) e aresisténcia € Ra indutäncia Le a diferenga de potencial,
EW.

6. Umcircuito em série contém um resistor e um capacitor, como mostrado na Figura 1.18. Determine a
equaçäo diferencial para a carga q(t) no capacitor sea resistäncia € R, a capacitancia € Cea diferenga
de potencial, E(D.

Figura 1.17 Figura |

Suponha que a água de um tanque esteja Sendo drenada por um orificio circular de rea Ap localizado.
no fundo do tanque. Foi mostrado experimentalmente que, quando o auto da água no orificio €
levado em consideraç3o. o volume de gua que sai da tanque por segundo & aproximadamente
0,6 Aov2gh. Encontre a equagdo diferencial para a altura 4 de água em qualquer instante £ no tanque
cúbico da Figura 1.19. O raio do orificio mede 2eme g = L0mv/s?

AA
7 Be A" Figura 119

8. Suponha um tanque na forma de um cilindro cicular eto de raio 2m e altura 10m. O tanque está

inicialmente cheio de ägun, e a gua vaza por um orificio circular de raio 1/2 em no fundo. Use as
informagdes do Problema 7 para obter a equaçäo diferencial para a altura À da Agua em qualquer
instante de tempo 1.

9. Um tanque de água tem a forma de um hemisfério com rai Sm. À água vaza por um orificio circular
de 1 cm no fundo plano, Use as informagóes do Problema 7 para obter a equagso diferencial para a
altura da água com relaçäo ao tempo 1.

10, A taxa de decaimento de uma substincia radioativa € proporcional à quantidade A(1) da substáncia
‘emanescente no instante 1. Determine a equaçäo diferencial para a quantidade Ale)

11, Uma droga € injetada na corrente sanglfnea de um paciente a uma taxa constante de 7 gramas por
‘segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma taxa proporcional à quantidade x(t) de droga
presente no instante 1. Determine a equagäo diferencial que governa a quantidade x(t),

12. Um projéil arado de uma arma tem peso w = mg e velocidado tangente tajetória de seu
movimento. Desprezando a resistencia do ar € todas as curas forgs exceto seu peso, encontre ©
sistema de equapdes diferencias que descreve o movimento. Veja a Figura 1.20. Sugesido: Use a
segunda li de Newton na diregdo xe y]

48. Volume} Cap. 1 Introdugdo as equagóes diferenc

13. Determine as equagdes do movimento se o projétl no Problema 12 encontrar uma forga de etarda-
‘mento k (de magnitude 4) agindo tangencialmente à trajetria mas, oposta ao movimento. Veja a
‘Figura 1.21. (Sugestdo: k & um múltiplo da velocidade, digamos ev.

Figura 1.20 Figura L21

14. Dois reagentes químicos A e B sio usados para formar um novo composto químico €. Supondo que
as concentragdes de A e B decrescem pela mesma quantidade de composto C formado, encontre a
‘equagdo diferencial que governa a concentragäo x(1) do composto C se a taxa a que a reaçäo química
‘corre € proporcional ao produto das concentragdes remanescentes de À e 8.

15, Uma curva C no plano reflet os rios de luz de tal modo que todo raio £ paralelo a0 cixo y 6 reletido
para um único ponte 0. Determine a equaçäo diferencial para a funçäo y = f(x) que desereve a forma
da curva €. (O fato de o Angulo de incidencia ser igual ao Angulo de reflexdo € um principio da tica)
ISugestdo: a Figura 1.22 mostra que a inclinagdo da reta tangente em P(x,y) € 2/2 ~ 0 podemos
escrever $ = 28. (Por qué?) Nao lenha receio de usaras identidades trigonométricas.

16. Um barril em forma cilíndrica, com s metros de dimetro e w newtons de peso, flutua na gua. O
barril se movimenta para cima e para baixo ao longo de uma linha vertical. Usando a Figura 1.23(b),
determine a equaçäo diferencial para o deslocamento vertical y(¢), supondo a origem no cixo
vertical na superficie da água quando o barril está em repouso. Use o principio de Archimedes: 0
impulso da água no baril € igual ao peso da gua deslocada. A densidade da Agua € 1000 kg/m’.
Suponha o sentido positivo para baixo e ignore a resistencia da água.

49. #

Equaçôes Diferenciais Cap. 1 Volume !

LA

18,

1.

@ ©
Figura 123

Um foguete & langado da superficie da terra verticalmente para cima. Depois de esgotado todo a
combustivel, a massa do foguete € constante igual a m. Use a segunda lei de Newton para o
movimento € 0 fato de que a forga da gravidade € inversamente proporcional ao quadrado da distincia
para encontrar a equaçäo diferencial da distancia y, do centro da terra ao foguete, em qualquer
instante apés a queima total do combustivel. Enuncie condigdes iniciais apropriadas (no instante
1 = 0) associadas com essa equapäo diferencia.

‘A segunda lei de Newton F = ma pode ser escrita como F = d/di(me), Quando a massa de um objeto
‘alo € constante, esta última formulagho € usada. A massa m(t) de um foguete muda enquanto seu
combustivel € consumido.* Se fr) denota sua velocidade no instante 1, pode ser mostrado que

as)

de
omg = má

em que V é a velocidade de escape dos gases em relagdo ao foguete. Use (29) para encontrar a
‘equagdo diferencial dev, supondo conhecido que m(t) = my — ate Y = —b, em que my a € b si0
constantes.

‘Uma pessoa P, partindo da origem, move-se na diego positiva do eixo x, puxando um peso ao longo
da curva € (chamada ratriz), como mostrado na Figura 1.24. O peso, inicialmente localizado no eixo
y em (0,9), € puxado por uma corda de comprimento s, que € mantida esticada durante todo o
‘movimento, Encontre a equaçäo diferencial da traetöria do movimento. [Sugestäo: A corda fica
sempre tangente a C; considere o Angulo de inclinaçäo 0 como mostrado na figura.)

Suponha uma abertura passando pelo centro da terra. Um corpo de massa m € atirado na aber
Denote por ra distäncia do centro da terra massa no instante +. Veja a Figura 1.25.

(a), Sejam M a massa da terra € M, a massa da porgäo da terra limitada por uma esfera de ralor- A
força da gravidade atuando em m € F = —kM,m/r”. em que o sinal de subtragio indica que a.
forga € uma atragdo, Use este fato para mostrar que

R

{Sugestdo: Suponha que a tera seja homogénea, isto & a densidade € constante. Use massa =
densidade x volume.

Estamos supondo que a massa total : massa do veíclo + massa do combustvel + massa dos gases de

‘escape € constant, Neste caso, m(t) = massa do veleulo + massa do combustvel.

50. Volume 1 Cap. 1 Introdugáo às equagóes diferenciais 35

(b) Use a segunda lei de Newton ¢ 0 resultado da parte (a) para deduzir a equaçäo diferencial

Figura 124 Figura 1.25

21. Emteoria de aprendizagem, a taxa à qual um assunto € memorizado € proporcional à quantidade ainda
2 ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A() a quantidade memorizada
‘no instante 1, encontre a equaçäo diferencia para A.

22. No Problema 21, suponha que a quantidade de material esquecida € proporcional à quantidade
‘memorizada no instante 1, Qual € a equaçäo diferencial para A quando o esquecimento € Ievado em

Capítulo 1 REVISÄO

Classificamos uma equagäo diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem;
€ quanto à linearidade: linear ou ndo-linear.

Uma soluçäo para uma equaçäo diferencial é qualquer fungáo suficientemente
diferenciável que satisfaga a equagio em algum intervalo.

Quando resolvemos uma equagäo diferencial ordinária de n-ésima ordem, esperamos
encontrar uma família de solugdes a n-parämetros. Uma solugäo particular € qualquer soluçäo,
‘io dependente de parámetros, que satisfaga a equaçäo diferencial. Uma solugäo singular €
qualquer soluçäo que näo pode ser obtida da familia de solugúes a n-parämetros através de
escolha dos parámetros. Quando uma família de solugóes a n-parämetros fomece todas as
Solugöes para uma equagäo diferencial em algum intervalo, ela é chamada soluçäo geral, ou
completa.

51. 36 Equagóes Diferenciais Cap. Volume I

Na análise de um problema físico, muitas equagdes diferenciais podem ser obtidas
igualando duas diferentes formulagóes empíricas da mesma situagäo. Por exemplo, uma equagäo
diferencial sobre cinética pode, em geral, ser obtida simplesmente igualando a segunda lei de
Newton sobre o movimento com as forgas resultantes que atuam em um corpo.

Capítulo 1 EXERCICIOS DE REVISAO

‘As respostas dos exercícios selecionados estäo na página 441.

[Nos Problemas 1-4, classfique a equaçäo dada quanto ao tipo € à ordem. Classifique as equagóes.
diferencias ordindrias quanto à linearidade

1 Co =} + ey = 0 2 Gay" + Any = 0

au

k
ORPI

Nos Problemas 5-8, verifique que a fungáo indicada é uma solugáo para a equagko diferencial dada.
Sv edyete ei a 6 iy +a + y = 0: y = cr comin)
+ caseta). x > 0
CPC EE
tact + ei +3

= ae By 167 = 0; y = sen2x + cosh 2x

Nos Problemas 9-16, determine, por inspegäo, pelo menos uma soluço para a equagio diferencial dada.

nudes

my=1 ny=y-8
Bye 14. Bat
15. = 16. y"=

17. Determine um intervalo, no qual y? — 2y = 2 ~
+ (29) dx = 0.

18. Explique por que a equaçäo diferencial

1 define uma solugto para 20 - 1)dy

ño possui soluçäo real em Ixi< 2,1yl> 2. Há outras regides do plano xy em que a equaçäo no
possui solugdo?

52. Volume 1 Cap. 1 Inirodugdo ds equagdes diferenciais 3,

19. Otanque cónico, mostrado ma Figur 1.26, derama Agua por um officio no fundo. Se a rea da seco
transversal do orificio € 1/4m?, encontre a equaçäo diferencial que representa a altura da água h em
relagdo ao tempo 1. Ignore a forga de arto do orificio.

20. Um peso de 96 newtons desliza por um plano inclinado, fazendo um ángulo de 30° com a horizontal,
Se o coeficiente de atrio € y, determine a equacio diferencial para a velocidado wit) do peso no
instate +. Considere o fato de que a forga de atrito no sentido oposto ao movimento é UN, em que M
a componente normal do peso. Veja a Figura 1.27.

53. Capitulo 2

EQUACOES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM

24 Teoría Preliminar 10] 2.7 Substtuigdes
22. Variáveis Separiveis 10) 28 Método de Picard
23 Equagdes Homogéneas

2.4. Equagdes Exatas Capitulo 2 Revisto

2,5 Equagdes Lineares Capitulo 2 Exercícios de Revisäo
[O] 2.6 Equagdes de Bemoulli,
Ricatti e Clairaut

a el Estamos agora em posigio de resolver algumas
= equxses dlerundak. Comegamos com xs aquactes

Pen earn sain Seen co
Speke Se uma aque dlerencil de primar ordem
a e puder ser resolvid, veremos que a técnica ou método
4 para resolvá-la depende do tipo da equaçäo de primeira

er ee
Be een
ven een
Ben er III

primeira ordem näo se aplica necessariamente a outros.
tipos de equagäo. Embora consideremos métodos de
a para, sete tipos clässicos de equagdes neste

ee a
Sane ee npr

ator de imtegeagso
Equagäo linear
Soluçäo geral

3

54. Volume 1 Cap.2 Equagóes diferenciats de primeira ordem 39

2.1 TEORIA PRELIMINAR

Problema de Valor Inicial
Estamos interesados em resolver um equagdo diferencial de primeira ordem*
= Papen
sujeita condig nical y) = yo, em que x € um número no intervalo yp& um número real
arbitrrio. O problema
Resolva: = fx, y)

a
Sujeito a: y(xo) = Yo

€ chamado de problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma
soluçäo para a equagdo diferencial, definida em algum intervalo / tal que o gráfico da soluçäo
passe por um ponto (xp, y) determinado a priori. Veja a Figura 2.1.

EXEMPLO 1

Vimos (páginas 9-10) que y = ce* € uma familia a um parámetro de solugdes para y”
intervalo (- 9, se). Se especificarmos, digamos, YO) = 3, entäo substituindo x =
família, obteremos 3 = ce? = c, Logo, como mostrado na Figura 2.2, a funçäo

yno
.y = Ina

y= 30

solugdes da ED

Bi À
Figura 21 Figura 2.2

"Neste texto, supomos que uma equaro diferencial Fx y, Ys...) = 0 possa ser colocada na forma
yO = fos. y ¡6 = 1) Há excegaes.

55. 40 Equasdes Diferenciais Cap. 2 Volume I

€ uma solugäo para o problema de valor inicial

0)
Se tivéssemos pedido um soluçäo de y” = y que passasse pelo ponto (1, 3) em vez de

(0, 3), entdo x(1) = 3 iria nos dar e = Je |, dat, y = 36°”. O gráfico dessa solugdo está
também indicado na Figura 2.2. =

#

‘A questäo fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial
como (2):

Existe uma solugdo para o problema?
Se existe uma solugäo, ela € única?

Em outras palavras, a equaçäo diferencial dy/de = A, y) possui uma solugáo cujo
gráfico passa pelo ponto (x xo)? E será que essa solugáo, se exist, é única?

Como os próximos exemplos mostrarlo, a resposta à segunda questäo é: algumas
vezes nio.

EXEMPLO 2

Você deve verificar que cada uma das funçôes y = Oc y = x*/16 satisfaga a equagio diferencial

Loy o

Como ilustrado na Figura 2.3, os gráficos de ambas as funçôes passam pelo ponto

(0,0).

Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma
soluçäo existe e, quando existe, se € a única solugäo para o problema. O segundo teorema,
devido a Picard.* nos dá condigöes suficientes para garantir existéncia e unicidade de solugdes.

TEOREMA 2.1 Existéncia de uma Única Soluçäo

Seja R uma regido retangular no plano xy definida por a < x < b, € < y £ d, que contém 0 pomo.
(Go, 94) em seu interior. Se Ax, y) e à f/2 y slo contíauas em R, eto existe um intervalo / centrado.
em x9 e uma única funcio x(x) definida em / que satisaz o problema de valor inicia (2).

* Chartes Émile Picard (1856-1941) Picard foi um dos proeminentes cos franceses do final
do século passado e comego deste sécalo: Fez significativas ‘eas de equagbes
2 «diente variével complexa. Em 1899, Picard

‘estado de Massachusens, Estados Unidos.

56. Volume 1 Cap.2 Equagdes dierenciais de primeira ordem 41

O resultado anterior é um dos mais populares teoremas de existéncia e unicidade para
equagóes diferenciais de primeira ordem, porque os critérios de continuidade de f(x, y) e
à f/à y sio relativamente fáceis de ser verificados. Em geral, ndo € possivel determinar um
intervalo específico I no qual uma solugdo está definida sem realmente resolver a cquaçäo
diferencial (veja Problema 16). A geometria do Teorema 2.1 está ilustrada na Figura 2.4. Ml

EXEMPLO 3

Vimos no Exemplo 2 qu a equago diferencial
Lyn
possui pelo menos duas solugdes cujos gráficos passam por (0,0). As fungdes

Jen e ==

slo contínuas no semiplano superior definido por y > 0. Concluímos do Teorema 2.1 que, dado
‘um ponto qualquer (xp, yo) com yp > 0 (por exemplo, (0, 1), existe algum intervalo em torno de
xo no qual a equagäo diferencial dada possui uma única solugáo y(t, tal que yo) = yo. Ml

EXEMPLO 4

© Teorema 2.1 garante que existe um intervalo contendo x = 0 no qual y = 3e* € a única
solugio para o problema de valor inicial do Exemplo 1:
Y= 10=

Isso segue-se do fato de que fix, y) = y € 9/9 y = 1 säo continuas em todo o plano xy. Pode
ser mostrado ainda que esse intervalo seja (— +, o). =

57. 42 Equagdes Diferencials Cap.2 Volume
EXEMPLO 5 o u
Para

Boa

Pavey

observamos que fx, 3) Y e 0/3 y = 2y sio contínuas em todo o plano xy. Logo. por
qualquer ponto (x, yo) passa uma e somente uma solugäo para a equaçäo diferen

Nota (i) Devemos estar cientes da distingäo entre a existéncia de uma solugäo e poder exibir
tal solugáo. Evidentemente, se encontramos uma solugáo exibindo-a, podemos
existe, mas, por outro lado, uma solugdo pode existir e nfo ser possivel
Exemplo 5, sabemos que uma soluçäo para o problema dy/dx = x? +
algum intervalo em torno de x = De € única, Porém, a equagáo näo pode ser resolvi
de fungóes elementares; podemos expressar uma soluçäo aproximada usando os métodos do
Capítulo 9.
Gi) As condigdes enunciadas no Teorema 2.1 sio suficientes, mas näo necessárias. Quando
Ax. y) e à f/à y sio continuas em uma regiño retangular R, segue-se sempre que existe uma
soluçäo para (2) quando (ip, o) € um ponto interior a R. Porém, se as condigócs enun-
ciadas nas hipóteses do teorema nio so satisfeitas, entäo o problema de valor inicial (2) pode
ter ou näo solugäo, ter mais de uma soluglo ou ter uma única solugáo. Ainda, a condigäo de
continuidade de à f/à y pode ser enfraquecida um pouco sem alteraçäo da conclusáo do teorema.
Este resultado é uma forma mais forte do teorema, mas infelizmente sua aplicabilidade näo € täo
fácil quanto a do Teorema 2, Na verdade, se näo estamos interessados em unicidade, entäo um
famoso teorema elaborado pelo matemático italiano Giuseppe Peano diz que a continuidade de
fx y) em R € suficiente para garantir a existéncia de pelo menos uma solugäo para
‘dy/dx = fix. y) passando por um ponto (xo, yo) interior a R.

2.1 EXERCÍCIOS

As respastas dos exercícios selecionados estáo na página 441.

Nos Problemas 1-10, determine uma regido do plano xy para a qual a equaçäo diferencial teria uma única
soluçäo passando por um ponto (x, 1) na regiño.

12. a 8.6
xf Byes

Y elo

ER -y y=? 6 yy e

er 8 (af eye

58. Volume 1 Cap.2 Equagdes diferenciais de primeira ordem 43

HE ee cor oe

Nos Problemas 11 e 12, determine, por inspeçäo, pelo menos duas solugdes para o problema de valor
inicial dado.

my = 9%, 10) = 0 2 x= 0

13. Por inspego, determine uma solugio para a equacio diferencial náo-lincar y = y? que satisfaga
NO) = 0.A solo € única?

14. Por inspeçäo, encontre uma solugo para o problema de valor inicial

=u, 0

Diga por que as condigdes do Teorema 2.1 ndo so saisfitas para essa equagdo diferencial. Embora
do possamos provar, a soluçäo para esse problema de valor inicial € nica.

15, Verifique que y = ex € uma solugäo para a equagáo diferencia xy = y para todo yalor do parámetro.
+. Encontre pelo menos duas solugdes para o problema de valor inicial

Yen 0-0
Observe que a funcio definida por partes
ya [o aso
I Tnaa0

satisfaz a condiçäo y(0) = 0. Ela € uma solugño para o problema de valor inicial?
16. (a) Considere equacio diferencial

dors
TR meme ans
Ponto (xo, yo) da regio.
© Formen, mor qu = psss quo decd x cool) =
(e) Explique por que y = tg x náo uma soluçäo para o problema de valor inicial
Barer 0-0.
soars 2.2.

(® Explique por que y = tgx € uma solugdo para o problema de valor inicial da parte (c) no
intervalo (1.1).

"Nos Problemas 17-20, verfiqe seo Teorema 2.1 garante unicidad de solu para a equagio diferencia!
Ÿ= 4 = 9. passando pol pont dado.

17. (14 18.6.3

».@-» 2. 61,5

59. 44 Equaçües Diferenciais Cap.2 Volume I

2.2 VARIAVEIS SEPARAVEIS

Nota ao estudante: Na resolugo para uma equagáo diferencial, voc ted freqdentemente que
liza, digamos, integrago por partes, fagdespaciis ou posivelmente uma subio, Seré
proveitoso gastar alguns minutos de seu tempo na reviso de algumas técnicas de interact.

Começamos nosso estudo da metodologia de resoluçäo de equagöes de primeira
ordem com a mais simples de todas as equagdes.

Se g(x) € uma fungäo contínua dada, entäo a equagäo de primeira ordem

Dec w

Pod ser resolvida por integragäo. A soluçäo para (1) €
yafa@dcere

EXEMPLO 1
va Parse © (6) À = sens.

Resoa @ Bare CE

Solugáo Como ilustrado acim, ambas as equagdes podem ser resolvidas por integrapao.

my= farma.

(0) y = | senxdr =

A equaçäo (1), bem como seu método de resoluçäo, € apenas um caso especial do
seguinte:

cose + € =

DEFINIÇAO 2.1 Equaçäo Separävel
‘Uma equagäo diferencial da forma
ER)
& 0)
chamada separável ou tem variávelsseparávels.

Observe que uma equngdo separável pode ser escrita como
hon = ge. o

É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.
Agora, se y = fx) denota uma soluçäo para (2), temos

60. Volume 1 Cap.2 Equagóes diferenciais de primeira ordem 45

ARE) = 80). e
logo. =
Lattre di = | sar +c o)
Mas dy = f(s) dx assim (3) € 0 mesmo que
Jhordy = | star + e 0)

Método de Solugäo

‘A equaçäo (4) indica o procedimento na resoluçäo para equagdes diferenciais separáveis. Uma
família a um parámetro de solugdes, em geral parada implicitamente, € obtida integrando ambos —
os lados de Ay) dy = g(x) de.

Nota Nio há necessidade de usar duas constantes na integragáo de uma equagäo separivel
pois,

Jima + er = J sar à

Jaurdy =f ewdete- =f gara

em que ¢ € completamente arbitréria. Em várias instäncias, no decorre dos capítulos seguintes,
‘no hesitaremos em indexar constantes de uma mancira que possa ser mais conveniente para
uma dada equagäo. Por exemplo, múltiplos de constantes ou combinagóes de constantes podem
ser trocados por uma única constante

EXEMPLO 2
Resoa (1 + a)dy = yat = 0.
Solugño Dividindo por(1 + x), podemos escrever dy/y = di/(1 + x), da qual se segue que
CNE ae
re
Int = nll + a+ cı

y= et atte,

welll + x cc

= 114 de.

ee

61. 46 “Equagóes Diferencials Cap.2 Volume I

Trocando + €% por, temos, y = e(L + x).

Solugäo Alternativa Como cada integral resulta em um logaritmo, uma escolha conveniente
para a constante de integragdo seria Ini em vez de e:

Init = Indl + af + Inlet
ou In = Inle( + x)
assim, yee +x)

Mesmo que as integrais indefinidas náo sejam todas logarítmicas, ainda pode ser
vantajoso usar Ile. Porém, nenhuma regra pode ser dada. =

EXEMPLO 3

Resolva o problema de valor inicial

14) = 3.

Solugáo De y dy = ~ rd, obtemos

Jordy =-f ax e E Eo

Essa solugäo pode ser escrita como x? + y? = c?, trocando as constantes 2cı por c”. A solugto
representa uma família de círculos concéntricos.

Agora, quando x = 4, y = 3 temos 16 + 9 = 25 = c?. Logo, o problema de valor
inicial determina x? + y? = 25. Em vista do Teorema 2.1, podemos concluir que este € o único
círculo da família que passa pelo ponto (4,3). Veja a Figura 2.5. =

62. Volume} Cap.2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem 47

EXEMPLO 4

Resolva se" senxde ~ ydy = 0.
Solugäo Depois de multiplicar por e”, obtemos

xsenxdr = yo dy. ,
A integraçäo por partes em ambos os lados da equagdo resulta em

—=acosx + senx 23e Le +. =
EXEMPLO 5 nn nn
Resolva at dx + (9? + 2M dy o
Solugáo Multiplicando a equagdo dada por ec dividindo por y*, obtemos
ae de + le = 0 ou xe dx + 74 27 dy =0. 6
"Usando integraçäo por partes no primeito termo, temos
peje
A familia a um parámetro de solugdes pode também ser escrita como
daa {u}
‘em que a constante 9c foi trocada por c. =

Dois pontos devem ser mencionados neste instante. Primeiro, a menos que seja
importante ou conveniente, náo há necessidade de tentar resolver y como funçäo de x em uma
expresso que representa uma familia de solugdes. A equaçäo (7) mostra que essa tarefa pode
apresentar problemas que váo além da enfadonha manipulagäo de símbolos. Como consequén-
cia, € freqúente o caso em que o intervalo no qual uma solugáo € válida náo € aparente. Segundo,
deve-se estar atento à separaçäo de variável para ter certeza de que os divisores näo sio nulos.
Uma solugäo constante pode facilmente ser esquecida no embaralhamento do processo de
resoluçäo para o problema. No Exemplo 5, observe que y = 0 é uma soluçäo para (5), mas nfo
pertence ao conjunto de solugdes definido em (7).

63. 48 Equagdes Diferencials Cap.2 Volume I

EXEMPLO 6

Resolva o problema de valor inicial

4
Solugáo Colocamos a equaçäo na forma
E cade o
7-4
+ usamos fragdes parciais no lado esquerdo. Temos
14 lay me o)
b 12y2J0 el
assim = Ho + ate Fay - 2er + cı- ao
Ll
Logo, me +.
a ‚mie

es
em que trocamos de; por eze e por e. Finalmente, resolvendo y na última equago, obtemos

+ cet
== an

A substituigio x = 0, y = — 2 acarreta 0 seguinte dilema

Lite

ao

-I+e=l4e où -

Examinaremos a equaçäo diferencial mais cuidadosamente. O fato é: a equaçäo

Lavin»

& satisfeita por duas fungóes constantes, a saber, y = — 2 e y = 2. Inspecionando as equagdes
(8). (9) e (10), vemos que as soluçäes y = -2e y = 2 näo foram consideradas (pois anulariam
‘0 denominador). Mas € interessante observar que a solugáo y = 2 pode ser subseqlentemente
recuperada fazendo ¢ = 0 em (11). Porém nenhum valor de c nos dará a solugáo y = ~2. Esta
última funçäo constante € a única soluçäo para o problema de valor inicia. Veja a Figura 2.6. M

64. Volume 1 Capı2 Equaçôes diferenciais de primeira ondem 49

Se, no Exemplo 6, tivéssemos usado Inld como a constante de integraçäo, entäo a
expresso da família a um parámetro de solugdes seria

cren
In: az

Note que (12) se reduza y = ~2quandoc = 0, mas agora nenhum valor de e nos dará a solugño
constante y = 2.

Quando uma solugäo para um problema de valor inicial pode ser obtida escolhendo
um parámetro particular em uma família a um parámetro de solugdes para uma equagdo diferen-
cial de primeira ordem, os estudantes (eos professores) naturalmente se contentam com isso. Na
Seçäo 2.1, vimos porém que uma solugäo para um problema de valor inicial pode náo ser única.
Por exemplo, o problema

La 10) =0, as)

possui pelo menos duas solugôes, a saber, y = 0. y = x%/16. Estamos agora em posigäo de
resolver a equagdo. Separando as varidveis

y dy = xde

(Beef

Quando x = 0, y = 0, entáo necessariamente c = 0. Logo, y = x4/16. A solugäo y = 0 foi
desconsiderada quando dividimos por y!/2, Ainda, o problema de valor inicial (13) possui
infinitas solugdes, pois, para cada escolha do parámetro a > 0, fungäo definida por partes

e integrando temos

y

e

x<a

65. 50 Equugóes Diferenciais Cop.2 Volume I

satisfaz o problema de valor inicial. Veja a Figura 2.7

‘Nota Vimos em alguns exemplos que a constante na família a um parámetro de solugdes para
uma equagäo diferencial de primeira ordem pode ser trocada quando conveniente, Também,
pode facilmente acontecer que duas manciras distintas de resolugäo levem a respostas.

Por exemplo. por separagäo de variáveis, podemos mostrar que

arcigx + arcıg,

co gs + arty = mage ow ES

sio familias a um parámetro de solugdes para (1 4y*)dr + (1 + x) dy = 0. Quando voce
estiver estudando as próximas segdes, tenha em mente o fato de que familias de solugöes podem
ser equivalentes no seguinte sentido: uma familia pode ser obtida de outra por uma troca de
constante ou por manipulagäo algébrica e trigonométrica.

22 EXERCÍCIOS ,,),

As respastas dos exercícios selecionados estáo na página 441.
Nos Problemas 1-40, resolva a equagdo diferencial dada por separagáo de variável,

be La 5e 28-00
3 dir dy =0 4 de 2dy=0
Surukeres Wehen
si Lay
vee a Sra5=0

ne. PES
dy Lex 4 ysenx

66. Volume 1 Cap.2 Equacdes diferenciais de primeira ordem

s

(Be

15. (Ay +0) dy = Qe + =

17. By HD dy = dx

25. sec*xdy + cosecy dx = 0
27. €" sen2rdk + cosx(e ~ y)dy = 0

De (e + We dr + (e + Pedy = 0

35. 2 = senx(e0s2y - cod)

=
a NT Pa = dy
we renee y

PETER

16 (4 ty? + xy dy = y dx
18. 0 dy = (y + Dar

=2-(83

E -u-
2 210-0

an 102
24, n= m

26. sen rds + 2y cos! Ar dy = 0

28. seoxdy = xeotgy de

Nos Problemas 41-48, resolva a equagdo diferencial dada sujeita à condiçäo inicial indicada.

AL (07 + Dsenxdk = (1 + cosa)»
10) = 0

4 ydy = Ay! + 00d 0

BAY y HED

A2. (1 + ade + xl + ay de = 0, 1) = 0

“Bryan mes

A
E
«Po

Were

67. 52 Equagdes Diferenciais Cop. Volume I

[Nos Problemas 49 e 50, encontre uma solucio para a equacio diferencial dada que passe pelos pontos
indicados.

LD
of pes
won we» ($1)

sy

wan ea (1)
SL. Encontre uma soluçäo singular para a equaçäo do Problema 37.
52. Encontre uma solugäo singular para a equaçio do Problema 39.
Ferree nom A mp el pc

corresponde uma mudanga radical na solugio para uma equagS0
compare as solugóes dos problemas de valor inicial dados.

1 s De

a 226-17, 0

ss, B= G- 1 00, x0-1 56 #= 6-1? - 000. x0) = 1

Uma equaçño diferencial da forma dy/dx = flax + by + c), b + 0, pode sempre ser reduzida a uma
‘equagio com variáveis separáveis por meio da substituigdo u = ax + by + c. Use este procedimento para
resolver os Problemas 57-62.

BM tes: lora
mary a
ur m sen
een) Go. LE = sex + y)
de ERTT aires
CR CES Er TE a Zaire

2.3 EQUACÓES HOMOGÉNEAS

Antes de considerar o conceito de equagäo diferencial homogénea de primeira ordem e seu
método de soluçäo, precisamos primeiro examinar de perto a natureza de uma funçäo ho-
mogénea. Comegamos com a definigdo deste conceto.

68. Volume 1 Cap.2 Equacdes diferenciais de primeira ordem 53

| DEFINIGÄO 22 Fungio Homogénea
Se uma fang star

Ales, ty) = Ps y) @
para algum número real n, ento dizemos que f é uma funçäe homogénea de grau n.

EXEMPLO 1 —_ =
@) fly) = ds
Ales.) = (ex) = AL) + Stan?
= Pe ad + si?
del + = 0 y)
A fungdo € homogénea de grau dois.
o pun ETS
fs, 9) = META = Een m9)

‘A fungäo € homogénea de grau 2/3.

© pan=dr rt
fey) =P + PP riefen
pois Phx y) = Pe + 03? 4. À funçio no € homogénes.

@ Nes

Bracke
fea DD = a + 4 = 4 = ey)
A fungäo é homogénea de grau zero. . =

Como as partes (c) e (d) do Exemplo 1 mostram, uma constante adicionada A fungäo
destr6i a homogeneidade, a menos que a funcio seja homogénea de grau zero. Ainda, muitas
vezes uma funçäo homogénea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.

69. 54 Equaçoes Diferenciais Cap. 2 Volume I

EXEMPLO 2

(oust

© ran-d- Pet

A fun € homogénea de grau quatro
A Seman

À funcio ndo & homogène, pois os graus dos.

mos so diferentes. .
Se tx, y) for uma Fungo homogénea de grau, note que poderemos escrever
sen = er 4] © fu = u ) e

‘em que f(1, y/x)e f(2/y, 1) sio ambas homogéneas de grau zero.

EXEMPLO 3

Vemos que fix, y) = x? + 3ay + y? € homogénea de grau dois. Logo,

nef: er et |
COM

Uma equagto diferencial homogénea de primeira ordem € defi
funçôes homogéneas.

| DERINIÇAO 23 Equasio Homogénea
Una quae iferenil da forma

MG, y) di + NU, y)dy = 0 o
€ chamada de homogéneá se ambos os coeficientes M e N sto fungóes homogencas do mesmo grau.

Em outras palavras, M(x, y) de + N(x, y)dy = 06 homogénea se
Mix, ty) = M(x, y) e Nx, ty) = NG, y).

70. Volume 1 Cap.2 Equagöes diferenciais de primeira ondem 55

Método de Solugäo

Uma equagäo diferencial homogénea M(x, y) dx + Nix, y)dy = 0 pode ser resolvida por meio
de uma substituigáo algébrica. Especificamente, a substi ‘ux ou x = uy. em que we v
säo as novas variáveis independentes, transformará a equagáo em uma equacáo diferencial de
primeira ordem separdvel. Para ver isso, seja y = ux; entäo, sua diferencial dy = u dx + xdu.
Substituindo em (3), temos

Mix. 100) de + Nix. lu dx + x du] = 0.
Agora, pela propriedade de homogencidade dada em (2), podemos escrever

FUMA, u) de + PNG u){u dk + x du] = 0
où IMG, u) + UN(A, u)ldx + xl, up du = 0,
de, Nude 5
«MG, a) + uN) ©

A fórmula acima nio deve ser memorizada. O melhor € repetir o processo sempre que for
necessdrio. A prova que a substituiçäo x = vy em (3) também leva a uma equaçäo separável €
deixada como exerefeio. Veja o Problema 45.

assim,

EXEMPLO 4

Resolva (+ de + (2 09) dy = 0.

Solugáo Tanto M(x, y) quanto N(x, y) sño homogéneas de grau dois. Se fizermos y
segue-se que

(8 + we) de + (x? - we) u de + xdu] = 0
RL + wg + OU =u) du = 0

1 de

qu + 20
faste
[+ 2 je
er ei

Depois de integrar a última linha, obtemos
ue + 21001 + ad Inlet = Intel

+2h| + Int

Inle.

1+2
i

71. 56 Equagdes Diferencials Cap.2 Volume I

"Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a soluçäo precedente como

A definigdo de um logaritmo implica
Le + y? ce =

EXEMPLO 5

Resolva (Ay - dx - xdy = 0.
Solugäo Os cocfciemes Mix, y)e MG, y) sio homogéneos de grau um. Se y = us, acquagio
diferencial toma-se, depois de simplificada.

du, de
Fw? x

A integral do primeiro termo pode ser calculada substituindo £ = u'%, O resultado €,
de

Integrando, temos
loir = 11+ Intel = Inlet

NE 1 =
(1)

Vy - x =

‘Voct poderia perguntar agora: quando a substtuiglo x = vy deve ser usada? Embora ela
possa ser usada em qualquer equagáo diferencial homogénea, na prática tentamos x = vy quando a
fungio M(x, y) € mais simples que Nix, y). Para resolver (x2#y2) de + (x? — 29) dy = 0, por
exemplo, sabemos que náo há diferencasignificativa entre M e N; logo, = wxou x = vy pode ser
usada. Também pode acontecer que, depois de fazer uma substituigáo, encontremos integrais que
sio dificeis ou impossíveis de serem calculadas; uma outra substituigäo pode resultar em
problemas mais fácis.

72. Volume 1 Cap. 2 Equagdes diferenciais de primeira ondem 57

EXEMPLO 6

Resolva 2 de + (el + yy = 0.

Solugäo Cada coeficiente € uma funçäo homogénea de grau quatro. Como o coeficiente de dx
é um pouco mais simples que o coeficiente de dy, tentamos x = vy. Depois de substituir,
simplificamos a equacio.

20 o dy + ydol + (uy + y) dy = 0

zo | dy
para +220
W417

A integraçäo acarreta

Lu à D + ae et où 365? 38

emquec = cf. Sea subst

do y = wx tivesse sido usada, entäo
de wad
x + Bu

du

Vocé deve pensar agora em como calcular a integral do segundo termo da últi
equaçäo. .

‘Uma equaçäo diferencial homogénea pode sempre ser expressa na forma alternativa
Dz
a" Fla):
Para ver isso, suponha que escrevamos a equagäo M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0 como
dy/ds = fix, y). em que

En PER,
ED

A funçäo lx, y) deve ser necesariamente homogénea de grau zero quando M e N sio
homogéneas de grau n. De (2), segue-se que

73. 58 Equagóes Diferenciais Cap.2 Volume 1

A última razo € uma fungáo da forma F(/x). Deixamos como exercício a demonstragio de que
uma equagio diferencial homogénea pode também ser escrita como dy/dx = Glx/y). Veja o
Problema 47.

EXEMPLO 7

Resolva o problema de valor ini

O
Bay y

Solugäo Escrevendo a equagáo na forma
o Cr
at ees
vemos que a fungäo da direita da igualdade € homogénea de grau zero. Pela forma dessa fungäo,

somos induzidos a usar u = y/x. Depois de derivar y = wx pela regra do produto e substituir,
obtemos

creusé on e
incendiaries ym

et + e = ln

eV 4 € nba

Como y = I quando x = 1, temos—
de valor inicial &

+ € = Doue = e"! Logo, a solugáo para o problema

=e = Ink, =

23 EXERCICIOS

‘As respostas dos exercicios selecionados estäo na página 442.

Nos Problemas 1-10, determine se a funçäo dada & homogénea. Especifique o grau de homogencidade
‘quando for 0 caso.

2 Weyer

a E,
ENT)

74. Volume 1 Cap. 2

Equatôes diferenciais de primeira ordem

7. nx? - 2iny

ater?

ryan?

[Nos Problemas 11-30, resolva a equaçäo diferencial dada usando uma substituigZo apropriada.

1. = yde + xdy = 0
13. ade + (y = 20dy = 0
15, (7 + de day = 0

dE
Mayer

19. ~yde + (x + igdy = 0

21. 2éyde = ar + y hay

¿jus 0

2.
Nos Problemas 31-44, resolva a equacio diferencial dada sujeita & condigdo inicial indicada.

@? + ay - hd ay dy

A

O)

35. (x + ye) de — xe”*dy = 0, (1) =0

37. 07 + dar 40? +) (D = 1
"APR, Het

fax + (2 + a + y*)dy = 0, 0) = 1

DN x

a.

12 (rt drt xd = 0
14, yde = A + yd)

16. (7 + nde + tay = 0

ad.
dey
2er

22. GS + y"de~ 20 ydy = 0

30. (2? + xy — 3yhdx + 2m)dy = 0

32 GP + hd = yds, y) =

34 de NTE Pay, 90) = 1
36. vd + (rood sé = 0 10) =2
38. pas = 2045 - Beye, HD = VE

40. yde + allax - Iny ~ dy = 0, 1) =

42, (fe + War = xd, 1) = 0

75. 60 Equaçôes Diferencials Cap.2 Volume 1

ae val
45, Sopa que Ms) + Ms >) = O aja ana cq most, Mon que a baii
en ere

46. Suponha que Mix, y) de + Nix, y) dy = O seja uma equagdo homogénea. Mostre que a substituigio
x = reos6, y = rien 6 leva a uma equacño separävel.

47. Suponha que M(x, y) de + Nix, y) dy = 0 seja uma equaçäo homogénca. Mostre que a equaçio
pode ser escrita na forma alternativa dy/dx = G(x, y).

Eaton
A A

48. Seja fix. y) uma fungio homogénea de grau n. Mostre que

7...
ba

24 EQUACOES EXATAS
Embora a equagio
ye +x dy=0

Sela separivel homogénca, podemos ver que ela também equivalent À difeenc
de xe y; isto é

do produto

ydx + xdy = day) = 0,
Por integraçäo, obtemos imediatamente a solugáo implícita xy = c.

‘Vocé deve se lembrar do cálculo que, se z = f(x, y) € uma funcio com derivadas
parciais continuas em uma regido R do plano xy, entäo sua diferencial total €

MENO
d= rt ay” (1

‘Agora, se f(x. y) = e; segue-se de (1) que

edge 8
att TL EL @

Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y)
diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total

podemos gerar uma equaçäo

EXEMPLO 1
Sex? — Sy + y? = c, entio por (2)

76. Volume 1 Cap.2 Equagoes dierenciais de primeira ordem 61

= (Se + 3y2)dy = 0 ou = DR.
fer yde (sera =O on De ae =

Para nossos propósitos, é mais importante inverter o problema, isto &, dada uma
equaçäo como a

ty, 2
Ken e

podemos identificara equagäo como sendo equivalente a
di = Sry + 3?) = 0?
Note que a equaçäo (3) náo € separável nem homogénea.

DEFINIGAO 2.4 Equasio Exata
inn expense iecencil

M(x, y)de + Nix, y)dy

é uma diferencial exata em uma r R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de
alguma Fangio, y). Umaequagto diferencia da forma

Mex, de + NG, y)dy
&chamada de uma equacio exata se a expresso do lado esquerdo € uma diferencial exaa.

EXEMPLO 2
A equaçäo xly dx + x'ydy = 0 € exata, pois
doy) = dy de + xy? dy. =

O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.

TEOREMA 2.2 Criterio para uma Diferencial Exata
Sejam M(x y) e NG y) Fungbes comínuas com derivadas paris conínuas em uma regito
retangular R definida por a < x < b,c < y < d. Entäo, uma condiçäo necessäria e suficiente para
que
M(x, y) dx + Na, y)dy
sc uma diferencial exar €
a

E

0

aM
dy a7 .

77. 62 Equagóes Difereneiais Cap.2 Volume !

Prova de que a Condigäo é Necessária Para simplificar, suponha que
‘M(x, y) € N(x, y) tenhram derivadas parciais de primeira ordem continuas em todo plano (x.y).
Agora, se aexpressio M(x, y) de + M(x, y) dy € exata, existe alguma funçäo tal que

mex, aer wee, »ydy = Lar Lay

para todo (x, y) em R. Logo,

Ie

me, yy = 24. me, = À

1.
Eh

A igualdade das derivadas parciais mistas € uma consegüönela da continuidade das derivadas
parciais de primeira ordem de M(x, y) e N(x, y). El

A prova de que a condiçäo do Teorema 2.2 é suficiente consiste em mostrar que existe
uma funglo F tal que à f/à x = M(x, y) e f/x = Nix, y). A construgäo de tal funçäo na
verdade reflete um procedimento básico na resolugäo para equagdes exatas.

Método de Soluçäo
Dada à equagáo
Mix, y) de + Nu y) dy = 0 o

most primeiro que

am „an

dy 7 ox
Depois suponha que

a

Leu»

daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relaçäo a x, considerando y constante.
Escrevemos,

1% = | MA ax + 80). (6)
em que a fungäo arbitrária g(y) € a constante de integragáo. Agora, derivando (6) com relagäo a
y e supondo a f/a y = N(x, y):

3 = 3, | mex par + 0 = Na »

78. Volume] Cap.2 Equagóes diferenciais de primeira ordem 63

Assim, £0) = NG») = Ff Mew Dar m

Finalmente, integre (7) com relagdo a ye substitua o resultado em (6). A solugäo para a equagño
EN = ec.

Nota Algumas observagöes so necessärias. Primeira, € importante perceber que a expresso
MG y) = (8 /à y) J Mix, y) diem (7) independe de x, pois

a a an afa
Ene = Fy J 40 na =- a [ue na)

Segunda, poderíamos também comegar o procedimento acima com a suposigäo de que
af/ay = N(x, y). Depois, integrando N com relagdo a y e derivando o resultado, encontramos
© análogo de (6) e (7). que seria, respectivamente,

Ja D) = [NN + hie) © He) = M6) = I] Na nnd

Em qualquer caso, menhuma dessas fórmulas deve ser memorizada. Ainda, para
verificar se uma equagáo é exata ou ndo, assegure-se de que ela seja da forma (5). Freqüente-
mente, uma equagäo diferencial € escrita na forma G(x, y) dx = HG, y) dy. Neste caso, escreva
a equaçäo na forma G(x, y)dx — H(x, y) dy = 0 © af identifique Mix, y) = Gos y) ©
MG y) = ~ Hx, y)

EXEMPLO 3

Resolva Day de + (x? - 1)dy = 0.
Solugáo Com M(x, y) = 2xye N(x, y) = x? — 1, temos
IM
dy ax
Logo, a equagäo € exata e, pelo Teorema 2.2, existe uma funçäo f(x, y) tal que
Humesl

Da primeira dessas equagdes, obtemos, depois de integrar,
Bie) = dy + 80)

79. 64 Equagóes Diferenciais Cap.2 Volume I

Derivando a última expressio com relaçäo a y e igualando o resultado a M(x, y), temos

RTC

Segue-se que g0)=-1 e 80) =-» «ul

‘A constante de integragio nio precisa ser incluída, pois a soluçäo € fx, y) = €. Algumas curvas
da família x°y — y = € säo mostradas na Figura 2.8.

Nota A solugäo para a equagäo náo € fix, y) = x2y — y. Antes, a soluçäo € fx, y) = c ou
Ai) = 0, se uma conan € usada ná integrag de 4). Observe que a quan podria
também ser resolvida por separagäo de variáves.

EXEMPLO 4

Resolva (6% = ycos xy) dx + (2xe? — xcosay + 2y) dy = 0.
Soluçäo A equaçäo näo € nem separável nem homogénea, mas exata, pois
am

an
a LA
y TU + sen cos = FT

Logo, existe uma fungáo fl, y) tal que
af
ay
‘Agora, para variar, comegaremos supondo à //8 y = Nix, y)

a
Muy = ¿Le Na)
ito, > U ree — xeossy + 29

ay

fa y = 2x J dy - xf cosxydy + 2 | ydy.

80. Volume 1” Cap. 2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem 65

Lembre-se: a razño de podermos tirar o x de frente do símbolo de integral € que, na integragio
‘em relaçäo a y, x € considerado como uma constante. Segue-se que

Ka y) = xe” — senay + y + (x)

HE pos + Wa) =e — yeosny, fier

assim He) =0 e AG)
Logo, uma família a um parámetro de soluçües é dada por

xe sy ty? + €

EXEMPLO 5
Resolva o problema de valor inicial

(osx senx— x?) de + y(l - x*)dy = 0, 10) = 2.
Solugáo A equagio é exata, pois

aM N
Fr da =
a
‘Agora, Eon
Sie y= Za — 8) + 0)
+) = cosxsenz — 9%,
A última equagto implica
W(x) = cosx senx
ay = = | (os senza) = cod.
A 2 1
Logo, Fd ~ x7) ~ zeoe= 1

ou PU = a) - costs = €,

81. 66 Equagóes Diferenciais Cap. 2 Volume I

em que 2cy foi trocado por c. A condigño inicial y = 2 quando
= c05%(0) = e, ou seja, ¢ = 3, Portanto, a soluçäo para o problema €

0 demanda que 4(1) —
YU = 2) - co = 3. =

Fator de Integraçäo

Algumas vezes, possivel converter uma equaçäo diferencial náo exata em uma equaçäo exata
multiplicando-a por uma funçäo U(x, y) chamada fator de integragäo. Porém, a equagäo exata
resultante.

MM, y) de + UN, y)dy = 0

pode näo ser equivalente à original no sentido de que a solugäo para uma € também a soluçäo
para a outra, A multiplicaçäo pode ocasionar perdas ou ganhos de solugdes.

EXEMPLO 6

Resolva (e + y) dx + xinxdy = 0, usando pr, y= tem @, ».

Solugäo Sejam M(x, y) = x + ye N(x y) = xlnx. Dai, à M/ y = Le ON /ax =1+Inx.
‘A equaçäo náo é exata. Porém, se multiplicarmos a equaçäo por p(x, y) = 1/x, obtemos

(14 z)e mea.

Segue-se desta última forma que escrevemos as idemtificagóes:
an

su aw.
dy x" Ox

MG»)

142 Ney) = Ing,
Portanto, a segunda equagäo diferencial é exata. Logo,
Mers Me 9)

IN = x + yin + 80)

as. E
Fy 70+ lax + #0) = Ine
assim £0) =0 80)

Entäo, fx, y) = x + y Inx + c. Verifica-se fa

Imente que
xt ylax+e=0

uma solugdo para ambas as equagdes em (0, =). .

82. Volume 1 Cap. 2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem 67

2.4 EXERCICIOS

As respostas dos exercicios selecionados etáo na página 442 € 443.
"Nos Problemas 1-24, verifique se a equagiio dada € exata. Se for, resolva.

1 Qe- Dés + Gy + Day = 0 2 (xd = (x + 69) dy = 0
3 Gr + aye se ~ BP hd) = 0 4. (Seay = ysenayde + (cos + xcosy
= dy =0
5. Oye 3)de + Oye? + Ady = 0 6 (9-20 cose +2
+ 3ysendx = 0
7. (+ y = di + ale = 2y)dy = 0 A une
9 (y senx— de + Bry? 10. (x? + y )ar+ Bd = 0
+ 2ycosa)dy = 0
1. (play = Ode y)y=0 12 Bar Gano
Gay = 7%), + (Fem) pu Saye
13, xB a dee y + 6? 14. Aly + ede + (2) + xe? — Dy)dy = 0
15 (1-20 Juro (1 Joe 16. (@ + 2ycoshx} +29? senha
+ icon = 0

1. - ee

18, 9-20 - 2y = 0
Tr) G-29 -2%

19. (gx ~ enrseny) dr + cosxeotydy = 0 20. (Sreosx+sen3e—3)de + Qy+S)dy = 0
A (1 = 26? = 29) = 46 + dey 22 Gysenxcosx y + Pe")
=e sente age bay

2. As = de + (ri 0 2 E ee
PT,

Nos Problemas 25.30, resolva a equagdo diferencial dada sujeita à condigdo inci
25, (ety Pde + Oy rd lay = 0, XI = 1 26 (ety) de + (2+x+ ye dy = 0, 0) = 1

27. (Ay + 2x = S)dx + (6y + Ae Day

=0 1) =2

83. 68 Equagées Difereneiais Cap. 2 Volume 1

29. QPeosx —Ax'y — 20) de + y sena - x

1, + cosx — 20 | =
. (> aja 0
oe ee sen 0) = 1

Nor Problemas 31-3, encontre 0 valor de para que «equa diferencial dda see ext.

3L rk ide + BN? +20r7y dy = 0 32. x - ysenay + by) de ~ (C0
+ xseny)dy = 0

33. Go + yel)de + (iy + ket - dy

34. (607 + easy) + (bey? — x sen y)dy = 0
35. Determine uma fungao M(x. y) para que a seguintecquagio difercacial sja exata:

Mt prác [se +29 + ¿Jo mo
36. Determine uma funçao N(x, y) para que a seguinte equagdo diferencial sejaexata:

pe ur een

Nos Problemas 37-42, resolva a equagio diferencial dada, verificando que a funçäo indicada w(x, y) soja
um fator de itegragso.

37. Oya + (dy + dy WH y)=y® 38 ara = 0, MOH y) = Uy

39. uns + Dycons)de + iu A yl + y # Id + (x + Bay
= 0, Mu = ay =O, psy) = ot -
AL Oral Mer dry rn
=0 py)?

43. Mostre que qualquer equagio diferencial separável de primeira ordem na forma h(y) dy — g(x)de = 06
‘também exata.

2.5 EQUAÇOES LINEARES
No Capítulo 1, definimos a forma geral para uma equaçäo diferencial linear de ordem n como, *
aa
ae + a wort +. + at) À + ae = gts)

Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes s3o funçües de x somente e que
‘ye todas as suas derivadas sño elevadas à primeira poténcia. Agora, quando n = 1, obtemos uma
equaçäo linear de primeira ordem.

84. Volume 1 Cap. 2 Equacdes diferenciais de primeira ordem

DEFINIÇAO 2.5 Equagáo Linear
‘Uma equagio diferencial da forma

ae) + aden = £0)

€ chamada de equagdo linear.

Dividindo pelo coeficiente a (2) obtemos uma forma mais útil de ums equago linear:
# =
a Ply = fix). a
Procuramos uma solugáo para (1) em um intervalo / no qual as fungdes P(x) e f(x) do continuas.
Na discussio a seguir, supomos tacitamente que (1) possui uma solugio,
Fator de Integraçäo
Usando diferenciais, podemos escrever a equaçäo (1) como
dy + (Play = foods = o

Equagées lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar
uma funçäo (x) em que

Bee) dy + HGNP()y — fe) dx = 0 @)

€ uma equagäo diferencial exata. Pelo Teorema 2.2, o lado esquerdo da equagio (3) € uma
diferencial exata se

a a
ZH) = ¿OP - I @
ou Bo ure.
* Esta & uma equagäo separável em que podemos determinar p(x). Temos
SE pyar
re)
Inul = f Po) dx (5)

| assim way = of Pera, ©

85. 70 Equagdes Diferenciais Cap.2 Volume!

‘A fungäo (x) definida em (6) € um fator de integraçäo para a equaçäo linear. Note que näo
precisamos usar uma constante de integraçäo em (5), pois (3) näo se altera se a multiplicarmos
por uma constante. Ainda, u(x) # 0 para todo x em I, e € continua diferenciävel.

É ipteressante observas que a equagio (3) & ainda uma equagdo diferencial ext
mesmo quando fi) = 0. Na verdade, (x) nio desempenha pape! algum na determinagäo de
UG), pois vemos de (4) que (9 / CV) =0. Logo, ambas

e Pod gy y e POL Poy - pode

e Pte dy à ef MARCO de

is exatas. Agora, escrevemos (3) na forma

J ride dy y oJ POL py de = of POE AR) dx

-amos que podemos escrevé-la como

ud ra,

J rons ae
Integrando a tia equagio.tenos

dou = drogas + e
a y = eS rias § e roto de à erw 6

Em outras palavras, se (1) tiver uma solugäo, ela deverä ser da forma (7). Reciprocamente, &
imediato que (7) constitui uma família a um parámetro de solugöes para a equacáo (1).

Resumo do Método

Nenhum esforgo deve ser feito para memorizar a fórmula dada em (7). O procedimento deve ser
repetido sempre, logo, por conveniéncia, resumimos os resultados.

Resolvendo uma Equagäo Linear de Primeira Ordem_

(0 — Pararesolver uma equagio linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma
faga 0 coeficiente de dy/dxiimgidyg! $”

6 demifique Pf) e encontre o fair de imegrago

d'os
(iD Mulúiplique a equagto obtida em () pelo fator de integragño:

J mended y apo Pos a Sr,

86. Volume 1 Cap. 2 Equacaes diferenciais de primeira ordem 71

(Qi) O lado esquerdo da equagio em

) & a derivada do produto do fator de integraçdo e a
variável dependente y; isto $,

Lino) = drame
9 more ambos os ads d cuac encon em iv

ŒEXEMPLO 1 DD =
y _4
cae Pr.
Solugäo Escrevaa equagäo como
ty ave ®
dividindo por x. Como P(x) = —4/x, o fator de integra €
ade

Aqui, usamos a identidade básica b!°% = N, N > 0. Agora, multiplicamos (8) por
este termo.

po

ET

EA
ne 6)

e obtemos 4 pl = xs «ao

Segue-se da integrado por partes que
byte

ou ya et = tel + ed. =

EXEMPLO 2

Resolva 8 _y=0.
Solugäo A equagäo à está na forma (1). Logo, o fator de integragio €
Ben,

* Noct deve calcular muitas vezes as deivadas indicadas para ficar convencido de que todas as equagdes,

is como (8), (9) e (10), 530 formalmente equivalentes.

87. 72 Equogées Diferenciais

Portanto, PES ZT
diet =0
pa
assim, y = ee, =
Soluçäo Geral

Por hipétese, P(x) lx) slo contínuas em um intervalo /e ap € um ponto desse
segue-se do Teorema 2.1 que existe uma

ervalo. Ent,

4 Play = fed, 0) = 90 an

Mas vimos antes que (1) possui uma família de soluçôes e que toda soluçäo para a equaçäo no
intervalo Item a forma (7). Logo, obter a solugäo para (11) € uma simples questäo de encontrar
um valor apropriado de c em (7). Conseqüentemente, estamos certos em chamar (7) de soluçäo
geral da equagäo diferencial. Vocé deve se lembrar de que em varias ocasióes encontramos
solugöes singulares para equagdes näo-lineares. Isso náo pode acontecer no caso de uma equagáo
linear em que P(x) e fx) so continuas.

EXEMPLO 3
Encontre a solugäo geral para

Ar

de
Solugäo Escrevemos O

A funglo P(e) = x/(<? + 9) continua em (- +, =). D for de inegracio para a equagäo €
EN E + 9= VED

assim " Ve +9 L,

er
AF +o 0

[Proy e

88. Volume 1 Cap.2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem

Portanto, a solugáo geral no intervalo €

EXEMPLO 4

Resolva o problema de valor inicial

= =

Pay x x0) = |

Solugño Asfungdes P(x) = 2x e fx) = xsio comínuas em (- yo): O fator de integragio €
a

assim OB nets = 16
gen
y = [ae dr = et re

Portanto, a soluçäo geral para a equaçäo diferencial €

1
pete

A condiçäo y(0) = — 3 corresponde ac = ~7/2, logo a soluçäo para o problema de valor inicial
no intervalo €

1
2
‘Veja a Figura 2.9, na próxima página. =

EXEMPLO 5
Resólva o problema de valor inicial

2$+y= 2x 10920.
Solugäo Escreva a equagio na forma

89. 74 Equasdes Diferenciais Cap. 2 Volume

€ observe que P(x) = 1/x € contínua em qualquer intervalo que näo contenha a origem. Tendo
‘em vista a condigdo inicial, resolvemos o problema no intervalo (0, =).

© fator de integraçäo €

Sit Bin
cda bol = 2s
implica aera

A solugäo geral para a equaçäo €

an

Mas, y(1) = O'implica € = — 1. Logo, obtemos
1

yex-t. 0<x<o. as)

Considerada como uma familia a um parámetro de curvas, o gráfico de (12) está
representado na Figura 2.10. A soluçäo (13) para o problema de valor inicial € indicada pela
porçäo acinzentada do gráfico. =

+ gen

pe
LR

fem

0.
Figura 29

EXEMPLO 6
Resolva o problema de valor inicial

62
de

90. Volume 1 Cap.2 Equagóes diferenciais de primeira ordem 75

Solugdo Esta equagio diferencial nao € separável, homogénea, exata ou linear na variável y.
Porém, se invertermos as variveis, teremos

Lors o rep

Esta última equagäo 6 linear em x, assim o fator de integraçäo correspondente €
"Y. Logo.

ch

Gide pes
exe [veras
tutor duns vers por parts: bé
Clem fet = yet ae ee

x=-p 2-24 ce.
Quando x = —2, y = 0, encontramos ¢ = Oe dat

y -2 =

© próximo exemplo ilustra uma maneira de resolver (1) quando a fungäo f é descon-
tinua.

EXEMPLO 7

Encontre uma soluçäo continua satisfazendo

LOSx<1

de Ox>1

Ves, emo |
pa condo ial 90) =

Solugáo Pela Figura 2.11, vemos que f € descontinua em x = 1, Consegüentemente, re-
solvemos o problema em duas partes. Para 0 < x < 1, temos

Como (0) = 0, devemos ter ¢

91. 76 Equagdes Diferenciais Cap. 2 Volume I

= Bey

0 que implica yee’

Osxst
Logo, podemos escrever Ñ
za

‘Agora, par y ser uma fungäo contínua, certamente devemos ter ling + *y(x)= y(t).
Para isso, ce"! = 1 e”! ou seja, ca

Figura 2.11 Figura 2.12

Nota A fórmula (7), representando a soluçäo geral para (1), consiste na soma de duas solu-

Y= Yet Yn ay

ye = ce IMM e yy = eS inde f Sas

A fungáo ye € a solugdo geral para ÿ + P(x)y = 0, © yp € uma solugäo particular para
y + Play = fix). Como veremos no Capítulo 4, a propriedade aditiva de solugóes (14) para
formar uma solugäo € uma propriedade intrínseca de equagöes lineares de qualquer ordem.

92. Volume 1 Cap.2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem 77

25 EXERCÍCIOS

As resposta dos exercicis selecionados comegam na página 43.
Nos Problemas 1-40, encontre solucño geral para a equag diferencial dada. Especifique um intervalo

no qual a soluço geral definida.

9.

PY

Me Ge + 4 dy + dde 0
13. x dy = (esenx = de
tee
een

nat

2 xy + ale + Dy = ef
23. codxsenxdy + (ycos'x ~ dr = 0
25. yde + Gy +e ~ yeldy= 0

mn + Get ty

29. pds — Mr + dy = 0

&
2 Bary

de
aia
Lay
yn
yy des
de
CE
Botte
14. (1 + x) dy + Gy +2 ede = 0
HE
16 = 2) 2 = arty
2 x = 2eosx
18. À + yootgx = 2
(tay a

wf + (1 + nye sande

GF + x)dy me + Bay + By) de

2.
2
24. (1 — cosx)dy + (ay senx — tgs) de
2
28. rt N= B+ + y= Det

A+ Inx

wf tas

Bian
32. By = senha

93. 78 Equagdes Diferencials Cap.2 Volume 1

33. yde + (x + 20? - 23) dy =0 M4 yde = Ge - 2)

de uch = 2 sapere a
35. Le pic = cos ear rr
ee FE = = By - day ON
39. y = (10 - y)coshx 40. de = Be? — 2x) dy

Nos Problemas 41-54, resolva a equacio diferencial dada sujeta condigdo inicial indicada

a 2 4 sy = 20, 10) =2 4. y = y+ 2

Rime BL Re E constantes, (0) = y x = 29, XD = 5

45. Y + (y = cos, (0)

yo 2-0 am :

CT 50); K uma constante, T0)=200 48. dy + (ay + 2y 2 Dai = 0, y) = 0

+0
soe,

nx, MI) = 10 E IS
SL DNA = 0, MD = 6 52. wur cy =0.9(-$)
BL poe =
5 ge 49 $4. code + y= 1, 0) = 3

Nos Problemas 55-58, encontre uma soluglo continua satisfazendo cada equagio diferencial ¢ a condiçäo
inicial dada.

5 Senna o (y 23 omo

ee ee

4 x 084<1
9. $+ 29 ano. a= (5 est m

el, 2 1 ono

94. Volume 1 Cap.2 Equaçôes diferenciais de primeira ordem 79

[0] 2.6 EQUAGÖES DE BERNOULLI, RICATTI E
CLAIRAUT*

Nesta segäo, näo estudaremos nenhum tipo particular para equagäo diferencial. Consideraremos
très equagdes clássicas que podem ser transformadas em equagdes já estudadas nas seçües
anteriores.

Equaçäo de Bernoulli
A equagio diferencial
Y = fixyy",
de + Pay = fay", wo

‘em que n é um número real qualquer, é chamada de equagäo de Bernoulli, Para n = Oen = I,
a equaçäo (1) é linear em y. Agora, se y # 0, (1) pode ser escrita como

een

. @

Se fizermos w

Ln # On # Lento
doy LL.
z= (1 my de

Com essa substituigdo, (2) transforma-se na equagdo linear

D EU = meo = (1 — myo, o

Resolvendo (3) e depois fazendo y! = % = w, obtemos uma solugäo para (1)

Jacques Bernoulli (1654-1705) Os Bernoullis foram uma família suíga de académicos cujas
‘contribuigSes A matemática, física, astronomia e história datam do século XVI 20 século XX.
Jacques, primeizo dos dois filos do patriarca homónimo Jacques Bernoulli, deu vias contrbai-
¡cs ao cálculo e probabilidade. Originalmente, a segunda das duas divistes principais do cálculo
era chamada de calculus summatorius. Em 1696, por sugestño de Jacques Bernouli (bo), este
nome Foi mudado para calculus integrals, como € conhecido atualmente.

Jacob Francesco Ricatti (1676-1754) Um conde italiano, Ricati foi também matemático e
‘il6sofo.

Alex Claude Clairaut (1713-1765) Nascid ei Paris em 1713, Client foi uma cianga prodigio
que escreve seu primeiro lio sobre matemática aos 11 anos. Foi um dos primeiros a descobrir
solugtes singulares para equates diferencias, Como muitos matemáticos de sun época, Cliru fot
também físico asrónomo.

95. 80 Equagóes Diferenciais Cap.2 Volume 1

EXEMPLO 1

Resolva

Solugäo Em (1). idenúficamos P(x) = 1/s, f(x) = xe n = 2. Logo, a mudanga de vargvel
w = y"! nos dá

assim ete bel = 1
Integrando essa última forma, obtemos

lw sate oa + cx

L entño y = 1/wou

1
ter

Para n > 0, note que a solugáo trivial y = 0 é uma solugäo para (1). No Exemplo 1,
0 € uma solugdo singular para a equagäo dada.

y =

Equaçäo de Ricatti
A equago diferencial nto diner

D = Poe) + Obey + Ray? ®
é chamada de equagäo de Ricatti. Se y, 6 uma soluçäo particular para (4), entäo as substituigúes
dy du

yentue Ze
em (4) produzem a seguinte equagäo diferencial para u:
de — (0 + 2y1R)u = Ru. ©

‘Como (5) € uma equaçäo de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equaçäo
linear

96. Volume 1 Cap. 2 Equagóes diferenciais de primeira ordem 81

dw
LE + + Rw

©

através da substituiçäo w = u” !. Veja os Problemas 25 e 26.

Como o Exemplo 2 mostra, em muitos casos, uma soluçäo para uma equaçäo de
Ricatti näo pode ser expresa em termos de fungdes elementares.

EXEMPLO 2
resta Le

Solugäo Verifica-se facilmente que yı = 2x é uma solugdo particular para uma equagáo . Em
(4), fazemos as identificagdes P(t) = 2, 0x) = — 21. Rix) = 1. Resolvemos entáo a equagäo
linear (6):

de
dx
© fator de integragäo para essa última equagäo é e

usa ae

assim

dt gf
a e

Agora, a integral |" e" dt näo pode ser expressa em termos de fungóes elementares.* Portanto,

ew=-| ¿arcos 2) [fase
E »
assim E
e-j ear
»
Uma solugäo para a equaçäo € entäo y = 2e + u =
Equaçäo de Clairaut

‘Como exercício vocE deverá mostrar que uma soluçäo para a equagáo de Clairaut
ya +H) m

* Quando uma integral [A de náo pode ser resolvida em termos de fungóeselementace, ela not-
malmentecscia como J) dí em que x € uma constant. Quando uma condi inicial & espe
«ada, imperativo que esi forma sea usada,

97. 82 Equagóes Diferenciais Cap. 2 Volume I

€ a familia de retas y = cx + A) em que c & uma constante arbiträia. Veja o Problema 29.
Ainda, (7) pode também possuir uma soluçäo em forma paramétrica:

SOY = $0 - FO. ®
se/"(t) # ,elanäo pode ser obtida da família de solugóes

Essa última solucdo € singular,
y= ex + flo)

EXEMPLO 3

Resolva yal + CU

Solugáo Primeiro, fazemos a identificagäo Ay) = (1/2X/Ÿ. o que implica Rt) = (1/2).
Segue-se da discussio precedente que uma familia de soluçôes €

a it
pate

O gráfico dessa familia € mostrado na Figura 2.13. Como ff) = 1, uma soluçäo singular €
obtida de (8):

98. Volume! Cap. 2 Equagdes diferencias de primeira ordem

2.6 EXERCICIOS

As respotas dos exericios selecionados esto mas páginas 443 e 444.
Nos Problemas 1-6, resolva equao de Bernoulli dada,

dio Bye
ny aer

3 Bert? -0 ren
SPDs tay 6 x1 +) = 2007 - D

[Nos Problemas 7-10, resolva a equacSo diferencial dada sujeita à condigdo inicial indicada.
1

7. 4-20 = 3% zu

a heat woes

mE - AA
A TN 0
Nas Ps 1-16, en EA
Ba A ner ers
ae dro Mato dy a mes

+ “ya
Baro

16, 2 = sed (ey + 32 m

11, ren 2 = 64 554 9%, 18. Ro À = 9 + 69%
Nos Problemas 19-24, resolva a equagdo de Clair dada. Obtenha uma solugo singular.
AD. y = ay +1 ny 20. yy?

a 2-2) De?
Bay ef My ln

25. Mostre que, se y1 for uma solugáo para (4), entio a substituigdo y
26. Mostre que (5) se reduz a (6) por meio da substiuigao w = u”,
21. Quando R(x) = — 1, a equagdo de Ricatti pode ser escrita como ÿ + y? — Q(x)y — P(x) = 0.

Mosire que a substiuiçäo y = w/w conguz à equagio linear de segunda ordem w" — Qe
= Plus = 0 (Quando Q e P sio também constantes, no é difícil resolver equagdes deste po.)

yu + wem (4) implica (5).

99. 84 Equagóes Diferencials Cap.2 Volume 1

28. Uma defino allemativa para a equao de Cara € qualquer equacio na forma FO — 49, y) = 0.
(&) Mostro que uma familia de solugdes paraa lima equagdo €
FU = ex 0 =0.
(0) Use o resultado da pate () para resolver
w= = OF +S
29. Mosice quey = ex + Ke), em que c€ uma constante arbitra, € uma solucio para (7)

30. Mostre que (8) € uma soluçäo para (7). [Sugesido; Derive ambos os lados de (7) com relacio a x €
ere dois casos. Use difereneiagäo paramétrica para mostrar

dy, a
de” var

1 ee.

Note que, como a inclinaçäo de y = ex + fle) & constante, a soluçäo singular náo pode ser obtida
desta familia.

[0] 2.7 SUBSTITUIGÓES

Nas segdes precedentes, vimos que em certas situagdes uma equaçäo diferencial podia ser
transformada, por meio de uma substituigäo, em uma forma em que era possivel resolvé-la por,
um método padräo. Uma equaçäo pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas.
mudando a variável, talvez um problema aparentemente difícil possa ser facilmente resolvido.
Embora näo haja uma regra geral que indique qual substituiçäo deve ser feita, um axioma pritico
60 seguinte: tente alguma coisa! Algumas vezes custa caro ser engenhoso.

EXEMPLO 1
A equagio diferencial

DU 4 29) dí + al = 29) dy = 0

näo € separdvel, homogénea, exata, linear ou Bernoulli. Porém, se olharmos bem a equaçäo,
podemos ser impelidos a tentar a substituigáo

Como

100. Volume 1 Cap. 2 Equagóes diferenciais de primeira ordem 85

a equaçäo se torna depois de simplificada,
Zu? de + (1 — udedu =

Percebemos que a última equagäo € separável, e dat,
de Lu

24 du = 0
implica
Zo eel
ES
x = Deel,
‘em que e foi trocada por ¢1, Podemos também trocar 2cy por ez se desejarmos. =

Note que a equaçäo diferencial do Exemplo 1 possui a solugño trivial y = 0, mas essa
funçäo näo está incluída na família a um parámetro de solugöes.

EXEMPLO 2
Resolva a.

Solugáo A presenga do termo 2y$ nos impele a tentar u = y?, pois

Agora

tem a forma linear

assim, multiplicar pelo far de integragño e 2/4:

Li 2
Zu] = 30 - 6

te où xy

101. 86 Equagóes Diferenciais Cap.2 Volume I

EXEMPLO 3 u — : —
rai eto
Solugáo Seja u = y/x. A equaçäo diferencial pode ser simplificada para
ue“ du= dx.
Integrando por pares tocando — po y temos
et Harte
we b= (e = net,
Substituimos entäo « = y/x e simplificamos:

yt x= 2 e =

Algumas equagdes diferenciais de ordem mais alta podem ser reduzidas a equagdes de
primeira ordem por substituigäo.

EXEMPLO 4

Resolva Ye).
Solugäo Fagau = y: entio, du/dx = y” e a equaçäo'se toma separävel. Temos,

A constante de integragäo € escrita como c? por conveniéncia. A razäo ficará óbvia nas próximas
‘tapas. Como u"! = 1/4, segue-se que

où dy

19-17

102. Volume 1 Cap.? Equagdes diferenciais de primeira ordem 87

2.7 EXERCÍCIOS

An resposias de exercices selecionados esti na págica 444.
Nos Problemas 1-26, rsolva a equi diferencial dada usando uma substuigo apropiada

e da
Kran saretaea(i-zone
Beer ri eee
re o apra Pat
ve dr en PA

ee 2

14, sen y senh x dx + cosy cosh x dy = 0

1 md

m + GP +120 ay ay + avi
Bert 20. xy + OF =O
a af NI 2. als or
Do -y¥=0 24. Y + (ex =0
NO 26. yy" my
[Soe aa w= mar = ah de]
27, No cálculo, a curvatura de uma curva de equagdo y = fx) € definida pelo número
ee,
ne oy

Determine uma funcio para a qual X = 1. [Sugestdo: Por simplicidade, ignore constantes de
integragäo. Também considere uma subsituigdo rigonomética.]