Equações Fracionárias – Passo a Passo (PPT)

📘 Equações Fracionárias

As **equações fracionárias** são aquelas que apresentam a incógnita em uma ou mais expressões no **denominador** ou em forma de **frações algébricas**. Diferentemente das equações polinomiais comuns, elas exigem cuidados especiais porque **não podemos dividir por zero**.



🔹 Passos principais para resolver:

1. **Determinar o domínio**
Antes de começar a resolver, é necessário identificar os valores de ( x ) que **não podem** ser usados, ou seja, aqueles que tornam o denominador igual a zero. Esses valores são **restrições da equação** e devem ser excluídos das soluções.

Exemplo:
[
\frac{1}{x-2} = 3
]
O denominador é (x-2). Logo, (x \neq 2).

---

2. **Eliminar os denominadores**
Para facilitar a resolução, multiplicamos todos os termos da equação pelo **MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores**. Isso transforma a equação fracionária em uma equação polinomial mais simples.

Exemplo:
[
\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{6}
]
O MMC de 2, 4 e 6 é 12. Multiplicando toda a equação por 12:
[
6x + 9 = 10
]



3. **Resolver a equação resultante**
Após eliminar as frações, basta aplicar as técnicas comuns de resolução (isolamento da incógnita, equações do 1º ou 2º grau, fatoração, etc.).

Continuando o exemplo:
[
6x + 9 = 10 \implies 6x = 1 \implies x = \frac{1}{6}
]



4. **Verificar as soluções**
Nem todo resultado encontrado será válido, porque pode coincidir com valores que anulam o denominador. Por isso, é **obrigatório substituir o valor encontrado** na equação original e confirmar se faz sentido.


🔹 Exemplos:

**Exemplo 1:**
[
\frac{2}{x} = 4
]
Domínio: (x \neq 0).
Multiplicando por (x):
[
2 = 4x \implies x = \frac{1}{2}
]
Solução válida: (x = \frac{1}{2}).



**Exemplo 2:**
[
\frac{x+1}{x-3} = 2
]
Domínio: (x \neq 3).
Multiplicando cruzado:
[
x+1 = 2(x-3) \implies x+1 = 2x - 6 \implies 7 = x
]
Solução: (x=7).



**Exemplo 3 (com solução inválida):**
[
\frac{x-2}{x-2} = 5
]
Domínio: (x \neq 2).
Simplificando, temos (1 = 5), o que é impossível. Logo, **não existe solução**.



🔹 Resumindo:

As equações fracionárias são resolvidas em 4 passos:

1. Determinar o domínio (valores proibidos).
2. Multiplicar pelo MMC dos denominadores para eliminar as frações.
3. Resolver a equação obtida.
4. Conferir se as soluções pertencem ao domínio.

👉 O principal cuidado é **não esquecer das restrições**, pois é muito comum encontrar resultados que parecem corretos, mas na verdade não fazem parte do conjunto solução.

1. Equações fracionárias Ensino fundamental

2. Equações fracionárias Equações que apresentam incógnita no denominador são chamadas de equações fracionárias.

3. Condição de existência A condição de existência (C.E.) da equação, que implica analisar para qual valor da variável o denominador se torna nulo (zero).

4. Resolvendo equações fracionárias 1° caso:

5. Resolvendo equações fracionárias 2° caso: reduz-se a um mesmo denominador comum.

6. Problemas envolvendo equações fracionárias Em muitos restaurantes, é comum o uso de uma caixinha na qual os garçons depositam pequenas gorjetas e trocos deixados por clientes generosos. Em um desses restaurantes, no sábado, os garçons dividiram igualmente os 160 reais que guardaram. Ja no domingo, conseguiram guardar um valor menor, de exatamente 100 reais. No entanto, nesse dia havia 3 garçons a menos. Como a divisão era feira apenas entre aqueles que trabalharam no dia, constataram que o valor destinado a cada garçom era o mesmo que o do dia anterior. Assim, quantos garçons trabalharam no sábado ? Quanto cada garçom recebeu no domingo ?

7. Problemas envolvendo equações fracionárias Um marceneiro deve construir duas tampas de madeira. Cada qual deverá ter a superfície no formato de um polígono regular. A primeira tampa (tampa A) deverá ter um perímetro de 600 cm. A outra (tampa B) deverá ter um perímetro de 1000 cm. Se o polígono da tampa B tem 4 lados a mais que o polígono da tampa A, quantos lados deverá ter cada tampa, considerando-se que as medidas de seus lados deverão ser iguais entre si?

8. Problemas envolvendo equações fracionárias Resolva a equação fracionária a seguir. Fique atento aos possíveis cancelamentos:

9. Problemas envolvendo equações fracionárias Numa festa havia 80 brindes para serem repartidos entre os convidados. No dia da festa 3 convidados faltaram, e o total de brindes distribuídos foi 74. Tendo eles recebidos o número de brindes planejado inicialmente, podemos afirmar que o número de convidados presentes nessa festa foi de? 40 37 36 32 28