Equações Polinomiais

Matemática, 3º ano.

1. Equações Algébricas ou polinomiais Polinômios

2. Definição Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma P(x ) = 0, em que P(x ) é um polinômio:  P(x ) = a n x n  + a n-1 x n-1  + ... + a 1 x + a   = 0 Em que: a n é diferente de 0; a n , a n-1 , ..., a 1 e a são números complexos chamados coeficientes; n pertence ao conjunto dos números naturais.

3. Grau e raiz da equação O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo coeficiente não seja zero. Exemplos: 3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau; 5x 3  – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3º grau. Chamamos de  raiz ou zero  de uma equação polinomial  P(x) = 0  todo número complexo α , tal que P( α ) = 0 . α  é raiz de P(x) = 0   P( α ) = 0 Conjunto Solução  de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as raízes da equação.

4. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.  Exemplo 1: Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação 2x 4  + kx 3  – 5x 2  + x – 15 = 0.

5. Teorema da decomposição TFA : Um polinômio P(x) = a n x n  + a n-1 x n-1  + ... + a 1 x + a  = 0 possui pelo menos uma raiz complexa α 1, tal que P( α 1) = 0. Teorema de D'Alembert: P( α 1) = 0, então P(x ) é divisível por (x – α 1), resultando em um quociente Q1(x ), que é um polinômio de grau (n – 1), o que nos leva a: P(x ) = (x – α 1 ) . Q 1 (x )

6. Teorema da decomposição II A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades : Se α = 1  e Q 1 (x) é um polinômio de grau (n – 1), então Q 1 (x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante de P(x) é  a n , Q 1 (x) é um polinômio constante do tipo Q 1 (x) = a n . Portanto, temos: P(x ) = (x – α 1 ) . Q 1 (x ) P(x ) = a n  . (x – α 1 ) Se   α ≥ 2 , então o polinômio  Q 1  possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o TFA. Podemos afirmar que o polinômio  Q 1  possui pelo menos uma raiz n 2 , o que nos leva a afirmar que  Q 1 pode ser escrito como: Q 1 (x ) = (x – α 2 ) . Q 2 (x) Mas como  P(x ) = (x – α 1 ) . Q 1 (x ), podemos reescrevê-lo como: P(x ) = (x – α 1 ) . (x – α 2 ) . Q 2 (x )

7. Teorema da decomposição III Repetindo sucessivamente esse processo, teremos : P(x ) = a n . (x – α 1 ) . (x – α 2 ) … (x – α n ) Todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui exatamente  n raízes complexas.​ Exemplo 2: Dada a equação 2x 3  – 3x 2  – 11x + 6 = 0: a ) verificar que 3 é uma de suas raízes; b ) obter as suas demais raízes; c ) escrever esta equação na forma fatorada. E xemplo 3: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida.

8. Multiplicidade das raízes Em uma equação algébrica de grau n, podemos ter, entre as suas n raízes, m raízes iguais entre si . Quando m raízes são iguais a um mesmo número α , dizemos que α  é raiz de multiplicidade m da equação, e, na forma fatorada, o fator (x –  α ) aparece exatamente m vezes . Obs : Quando α é uma raiz de multiplicidade m de uma equação P(x) = 0, P(x ) é divisível por (x – α ) m . Exemplo 4: Verifique qual a multiplicidade da raiz 2 na equação x 4  – 4x 3  + 16x – 16 = 0.

9. Equipe – 3ºB Fernanda Freitas Janaína Karen Kíssia França Matheus Almeida Yasmin Lopes