ERRORES TEORIA Y PROBLEMAS DEL TEMA EN PDF

TEORIA Y PROBLEMAS DE ERRORES

1. 1

2. •Errores y su clasificación.
•Propagación de errores.
•Cifras significativas exactos.
•Problema mal condicionado.
•Proceso iterativo
•Proceso inestable.
Temas

3. •Describe los tipos de errores que se presentan
en un problema de aplicación de la carrera.
•Estima la propagación de errores.
•Reconoce numéricamente un problema mal
condicionado.
•Entiende el contexto de proceso iterativo.
•Reconoce un proceso inestable.
Competencias

4. En el siguiente sistema físico
L
mg
T 
Despreciando la resistencia de aire, la
temperatura, etc. tenemos:
4

5. 
10
2
2
)0(0
sen





td
d
mLmg sen
hacer Al 
10
2
2
)0(0 




td
d
Lg Obtenemos el modelo lineal aproximado
5

6. Al calcular 
0, 
1, L y m también
hay posibles errores de medición, en
consecuencia cuando se calcule el
valor de habrá error por las
operaciones realizadas (tener en
cuenta los redondeos que realiza la
computadora).
6

7. TIPOS DE ERROR
Cuando realizamos mediciones en
forma directa ó indirecta
1.-Error sistemático
2.-Error aleatorio
7

8. En otros casos tenemos:
1.-Errores de modelación
2.-Error de método
3.-Errores de truncamiento
4.-Error inicial
5.-Error de redondeo
8

9. Definiciones.-Sean:
A valor exacto (en general desconocido)
a valor aproximado (conocido)
Error
Error Absoluto
Error RelativoaAE aA
a  A
a
a


9

10. ...10...1010
1
1.
1
1 




nm
nm
m
m
m
m aaaa Sea:
Las nprimeras cifras
significativasde a son
exactas si ====>1
105.0


nm
a
Las nprimeras cifras
decimalesson exactas
si ====>n
a

105.0
10

11. Regla del redondeo:
Si la 1ra cifra no conservada es menor a 5
las cifras conservadas no varían.
Si la 1ra cifra no conservada es mayor ó
igual a 5, la última cifra conservada se
incrementa en una unidad.
11

12. Escritura correcta del valor acalculado
con tolerancia (valor coherente dea)
Sea k el orden de .
Llamaremos escritura correcta de “a” al
valor que se obtiene al redondear en la
cifra de orden (k+1)
Ej. Si a=241,254385326 con =0,0067
Luego la escritura correcta de a es 241,25
12

13. Es la forma como influye el error de
cada valor aproximado que se emplea en
el cálculo numérico.
(se considera la estimación más desfavorable)
Error en la suma ó
diferencia de dos númerosbaba  
 baab ab  ||||
Error al multiplicar dos
números
13
Propagación

14. Error al hallar y=f(x)si hay error en xxy
xf |)('| )(
|)('|
xf
xf
x
y


Número de condición:
(condicionamiento)y
xfx
x
y
y
)('



 xyy

Luego
14

15. Error al hallar y=f(x
1,..,x
n)cuando hay
error en x=(x
1,..,x
n)k
n
k k
y
x
f




1
Condicionamiento
debido a x
k)(x
x
f
y
x
k
k
k 









 k
n
k
ky 


1
Luego:
15

16. Regla práctica para finalizar un
proceso iterativo convergente {x
k} con
una tolerancia 
Criterio simple:
cuando por 1ra vez se
tiene====>
1nnxx
Se para el proceso iterativo y aceptamos
como solución al valor x
nescrito en
forma coherente según 
16

17. Regla práctica para finalizar un proceso
iterativo convergente {x
k} con una tolerancia

Criterio simple: cuando
por 1ra vez se tiene
====>


n
nn
x
xx
1
Se acepta como solución al valor x
n
escrito en forma coherente según el
valor de = | x
n|
17

18. Error en una serie: estimación
Alternante




1
1
)1(
k
k
k
aA
Aproximación ==>



n
k
k
k
n aA
1
1
)1(
Error estimado ==>1

nn
a
18

19. Serie de términos
positivos



1k
kaA
Aproximación ==>


n
k
kn aA
1
Criterio simple
Error estimado ==>nna
19

20. Problema estable -inestable
Para una valor fijo panalizar el límite
de la sucesión {x
k} teniendo como valor
inicial x
0, cualquier valor positivo.,...2,1,0
2
1
1 









 n
x
p
xx
n
nn
20

21. Dado el sistema:fdycx
ebyax


Resuelva empleando diferentes
procedimientos y comparar los
resultados obtenidos
Si a=1.99887766 b=1.00115522
c=2.99831649 d=1.50173283
21

22. Inestabilidad Numérica
Diremos que un método numérico
es inestable cuando pequeños
errores en algunas de sus etapas
generan, a lo largo del resto del
proceso, errores que degradan
seriamente la exactitud de los
resultados del calculo en su
conjunto.
22

23. Ejemplo:
Dado 


1
0
1
dxexI
xn
n
Aplicando integración por partes
se obtiene:11

nn nII
23

24. De la recurrencia anterior,
con 6 decimales, se tiene:
0.367879 0.264242 0.207274
0.170904 0.145480 0.127120
0.110160 0.118720 -0.0684800
1
I 
2
I 
3
I 
4
I 
7
I 
5
I 
8
I 
1
I 
6
I 
10I
24

25. Problema Mal Condicionado
Las palabras condicióny
condicionamientose usan de
manera informal para indicar cuán
sensible es la solución de un
problema respecto a cambios
relativos en los datos de entrada.
25

26. Precisemos el concepto
anterior:
Un problema está mal condicionado
si pequeños cambios en los datos
pueden dar lugar a grandes cambios
en su respuestas.
26

27. Ejemplo:


10
1
)(
i
ixxp Dado...0001.50)(
910
 xxxp
Al perturbar en 0.0001el coef. de 9
x
27

28. f(x)=0
28

29. Temas
•Modelos que conducen a resolver una
ecuación no lineal.
•Métodos Cerrados: Bisección
•Métodos abiertos:
Secante
Newton
Aproximación sucesiva (punto fijo)
•Estimación del error.

30. Competencias
•Localiza las raíces de una ecuación no lineal.
•Determina las raíces de una ecuación no lineal
mediante las técnicas descritas en el temario.
•Describe geométricamente los métodos
descritos en el temario.
•Encuentra las raíces de acuerdo a la precisión
deseada por el usuario.
•Compara la eficiencia de los métodos a partir
de su proceso de convergencia.

31. Ejemplo
Determine en qué momento se ha
cerrado la mitad de la abertura.
Una puerta con sistema de cierre
amortiguado que es abierta un ángulo

oy soltada, se cierra según la
función.
= 
o e
-2 t
cos 3t
31

32. Etapas
1: ¿Dónde?
localizar
(gráfico)
Hallar intervalos que
contengan sólo una
solución (raíz)
2: ¿Cómo?
Resolver
(método)
Hallar cada raíz con la
precisión deseada
32

33. 0 0.5 1 1.5 2
1
0.5
0.5
1
f(t)=exp(-2t)cos(3t)-0.5 Localizar la solución positiva del ejemplo anterior
33

34. ft()e
2t

cos3t() 0.5 t00.05 1
ft()
0
t BISECCIÓN
34

35. Algoritmo de Bisección













0
0
0
)()(
2
,...1,0 ],[

11
11
00
k
kkkk
kkkk
kk
kk
k
kk
xc
bbxa
xbaa
xfafSi
ba
x
kbac
bbaa
35

36. k a (+) x Signob ( - )
0 0 0,5 - 1
1 0 0,25 - 0,5
2 0 0,125 + 0,25
3 0,125 0,1875 + 0,25
4 0,1875 0,21875 + 0,25 36

37. ORDEN DE CONVERGENCIAkk xc 1
2
1

kk 1
2



kk
ab

Sea c la solución al problema f(x)=0 x∈[a , b], si
hacemos:
37

38. SECANTE
(CLÁSICO)1
x 2x 3
x 0
x 1
x
38

39. Algoritmo,..2,1

)()(
)(
01
21
21
1
1









kbxax
xx
xfxf
xf
xx
kk
kk
k
kk
39

40. k x
-1 0
0 0,5
1 0,25668
2 0,214263
3 0,224174
4 0,223998 Resultado numérico
40

41. SECANTE
(MODIFICADO LP)1
x 2x 0
x hx
0 hx
1
41

42. Algoritmo,..2,1
2

)()(
)(
0
11
1
1








k
ba
x
h
xfhxf
xf
xx
kk
k
kk
42

43. k x
0 0,25
1 0,223568
2 0,223997
3 0,223997
4 0,223997 Resultado numérico con h=0.001
parámetro dado por el autor.
43

44. ORDEN DE CONVERGENCIA
Sea c la solución al problema f(x)=0 x∈[a , b], si hacemos:
2/)51(
2/)15(
1
)('2
)('' 


kk
cf
cf
 kk xc
44
Se tiene

45. MÉTODO DE NEWTON
Interpretación geométrica
x
0x
y = f(x)
r
x
1x
2
45

46. adecuado inicial valor
)('
)(
0
1
1
1
x
xf
xf
xx
k
k
kk



 Algoritmo
46

47. Elección del punto inicial
Sea f dos veces derivable en [a,b] con
raiz r [a, b], f ’(x) y f ’’(x) no nulas en
[a,b], si x
0[a,b] verifica
Luego la sucesión que genera el
método de Newton, converge a r0)(')(
00 xfxf
47

48. Cota del error: se muestra],[ |)('|
|)(''|
2
2
1
baxxfd
Mxfdonde
d
M
nn




48

49. Cuidadosi f ’(x) se anula
X
k-1
x
y = f(x)
r
x
k = ?
49

50. Cuidadosi f ”(x) se anula
x
n-1x
y = f(x)
rx
n
x
n+1
x
n+2
50

51. Ejemplo:Hallar la solución en [0,1]05.0)3cos(
2


xe
x ))3sen(3)3cos(2(
5.0)3cos(
11
2
1
2
1
1
1










kk
x
k
x
kk
xxe
xe
xx
k
k
El algoritmo es
51

52. " 4
223996731.03
223959959.02
088889464.01
5.00
kxk 0)5.0(')5.0(
:
ff
nobservació 52

53. APROXIMACIÓN SUCESIVA
Definición: Llamamos punto fijo
de la función gen el dominio D, a
los elementos x ∈D que verifican
……………….………. =xxg)(
Ejemplo:3
)(xxg
Tiene por punto fijo a los valores x=-1 , x=0 , x=1
53

54. Si g es una función definida en el intervalo I y
verifica10
,)()()
)()
211212




 Ixxxxxgxgii
IIgi
Entonces existe un único c ∈ I, punto fijo de g que es el
límite de la sucesión {x
k} que se obtiene mediante el
procesos recursivo “Aproximación Sucesiva”Ixxgx
kk 
 01 )(
54

55. Además tenemos como error:01
1
xxxc
k
kk 





55

56. Dado el
problema ==>],[
0)( )1(
bax
xf


Es posible escribir
como una ecuación
equivalente de la
forma =====>],[
)( )2(
bax
xgx


FORMULACIÓN DE UN ALGORITMO DE
APROXIMACIÓN SUCESIVA
56

57. Recomendación práctica para la elección del
punto inicial x
0[a,b]¡debe cumplir la relación!1|)´(|
0xg
De esta manera creamos un algoritmo
de Aproximación Sucesiva (punto fijo) adecuado valor
)(
0
1
x
xgx
kk 
57

58. propone? xde valor qué¿
)5.0arccos(
3
1

como escribirse puede
05.0)3cos(
0
2
2
x
x
ex
xe


 58

59. 23714406.04
207659898.03
242534498.02
200574849.01
tienese
25.0elección lacon
0
k
xk
x 59

60. ? xde adecuadohay valor ¿
))3cos(2ln(
2
1

como escribe setambién
05.0)3cos(
0
2
xx
xe
x


 60

61. 346473891.05
006656401.04
346480857.03
006419657.02
34657359.01
00
kxk Emplear el
mismo
algoritmo
para x
0=0.5
¿qué sucede?
61