Espacios Vectoriales de álgebra lineal primero

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1. ALGEBRA LINEAL Ing. Christian Flores

2. ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los 10 axiomas (o reglas) que se listan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores en , y para todos los escalares y .   La suma de y , denotada con , está en Propiedad conmutativa de la suma. Propiedad Asociativa de la suma Hay un vector cero ( ) en tal que Para cada en , existe un vector en tal que El múltiplo escalar de por , que de denota con , está en Propiedad distributiva Propiedad distributiva Propiedad Asociativa de la multiplicación  

3. Subespacios Vectoriales En muchos problemas, un espacio vectorial se compone de un subconjunto adecuado de vectores de un espacio vectorial más grande. En este caso, solo se deben comprobar tres de los 10 axiomas de espacio vectorial , y el resto se satisfacen de manera automática . Un subespacio de un espacio vectorial es un subconjunto no vacío de que tiene tres propiedades : a) El vector cero de está en . b) es cerrado bajo la suma de vectores. Es decir, por cada y en , la suma está en . c) es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Es decir, para cada en y cada escalar , el vector está en .  

4. Ejemplos : Determine si es subconjunto dado de del espacio vectorial es un subconjunto de                  

6. Combinación Lineal Sean un espacio vectorial y ) un conjunto de vectores de . Un vector es una combinación lineal de si existen escalares tales que   Ejemplos:      

7. es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de  

8. es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de   es combinación lineal de  

9. Dependencia e Independencia Lineal Un conjunto de vectores  )  es linealmente dependiente (L. D.) si existen escalares  , no todos iguales a cero, tales que:     U n conjunto de vectores  )  es L. I. si la única solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo     Es la solución Trivial:  

10. Ejemplos: Determinar si l os siguientes vectores son Linealmente dependientes o independientes        

11. Base y dimensión Se llama base de un espacio (o subespacio ) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio , que sea a la vez linealmente independiente. Un conjunto finito de vectores ) es una base para un espacio vectorial si:   ) Es linealmente independiente   ) genera a      

12. Ejemplos: Determinar la base y dimensión de los siguientes subespacios vectoriales           Será una base de el conjunto   Será una base de el conjunto    

13. Cambio de base Queremos construir una matriz que nos permita cambiar las coordenadas de un vector en una base por las coordenadas del mismo vector en otra base. Consideremos en un espacio vectorial   la función identidad, que transforma cada vector en sí mismo.  

14. Ejemplos: Dadas las bases y y el vector Determinar el vector   Dadas las bases y y el vector Determinar el vector   Dadas la base y la matriz de cambio de base Determinar la segunda base.  

15. Operaciones con subespacios vectoriales Dados los Subespacios y de un espacio vectorial , su suma es el menor subespacio de que los contiene a ambos, mientras que su intersección es el mayor subespacio de contenido en ambos.            

16. Ejemplos : Sea y . Determinar ;   Sea y . Determinar ;   Sea y . Determinar ;   Sea . Determinar ;  

17. Lección 3 . Dadas las bases y y el vector Determinar el vector   1. Será una base de el conjunto   2. Determinar la base y dimensión del siguiente subespacio vectorial