Espacios vectoriales euclideos

1. ESPACIOS ESPACIOS VECTORIALES VECTORIALES
EUCLÍDEOS EUCLÍDEOS EUCLÍDEOS EUCLÍDEOS
Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.

2. Producto escalar Producto escalar
Sea Eun espacio vectorial.
Un
producto escalar
es una aplicación de
que a cada par de vectores le asocia un número real
que representamos por y que cumple las siguiente s
propiedades:
(
)
,
x y1 .1
x y
×
1 .1
E E en
´
ℝ
propiedades:
{
}
(
)
(
)
(
)
1. 0 0
2. ,
3. , , ,
x E x x
x y E x y y x
x y z E x y z x z y z
λ α λ α λ α
∀ ∈ − ⋅ >
∀ ∈ ⋅ = ⋅
∀ ∈ ∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ℝ
Un
espacio vectorial euclídeo
es un espacio vectorial en el
que hay definido un producto escalar.

3. Módulo de un vector Módulo de un vector
=+ ×

Se define el
módulo o longitud
de un vector de un
espacio vectorial euclídeo y se denota por a:
x x
x x x
=+ ×

Si se dice que el vector es
unitario
.
1
x
=

4. 1. 0 0
x x
= Û =
⇒ ⇒ ⇒
Propiedades del módulo Propiedades del módulo Demostración
0 0 0 0
x x x x x x
=⇒+ × =⇒× =⇒=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
0 0 0 x x x x =⇒× =⇒=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2.
y x E x x
l l l
" Î " Î =
⇒ ⇒ ⇒
ℝ
Demostración
(
)
(
)
(
)
2
x x x x x x x x
l l l l l l
= × = × = × =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

5. {}
3. 0
x
x E sonunitarios
x
" Î - ±
⇒
⇒ ⇒
⇒
Propiedades del módulo Propiedades del módulo Demostración
( )
2
1 1
1
x x x
x x x
x x x xx
   
   
± = ± × ± = × = =
   
   
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒⇒

6. 4. ,
x y E x y x y
" Î × £
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Propiedades del módulo Propiedades del módulo Demostración
0
Si y la igualdad es cierta
=
⇒ ⇒
Desigualdad de Schwarz
0
x y
Si y construimos el vector v x y
×
¹ = -
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
2
0
x y
Si y construimos el vector v x y
y×
¹ = -
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2
2 2 2 4 2
0 2
x y x y x y
x y x y
v v x y x y x y x
y y y y y
  
× × ×
× ×   
£ × = - - = - + = -
  
  
  
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(
)
(
)
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
0
x y x y
x x x y x y x y x y
y y
× ×
£ -⇒£⇒× £⇒× £
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒

7. 5. ,
x y E x y x y
" Î + £ +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Propiedades del módulo Propiedades del módulo
Desigualdad Triangular
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y x x y y x x y y x y
+ = + + = + × + £ + + = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Demostración
De donde
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
x y x y x y x x y y x x y y x y
+ = + + = + × + £ + + = +
(
)
2 2
x y x y x y x y
+ £ +⇒+ £ +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

8. 6. ,
x y E x y x y
" Î - ³ -
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Propiedades del módulo Propiedades del módulo Demostración
x x y y x y y x y x y y x y x y x x y x y x x y x y x y
= + - £ - +⇒- £ -


= + - £ - +⇒- £ - = -⇒- - £ - 

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Luego
x y x y x y x y x y
- - £ - £ -⇒- £ -
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

9. ,1 1
x y
x y E x y x y x y x y x y
x y
×
" Î × £
⇒
- £ × £
⇒
- £ <
⇒ ⇒
⇒⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Ángulo de dos vectores Ángulo de dos vectores DefiniciónSegún la desigualdad de Schwarz:

(
)
cos ,
xy
xy
x y
×
=
⇒⇒
⇒⇒
⇒ ⇒
Se llama
ángulo
que forman dos vectores a aquel cuyo coseno vale:

10. Ortogonalidad Ortogonalidad Definición Sea V un espacio vectorial euclídeo Se dice que dos vectores son
ortogonales
si
,
xy V
Î

0
x y xy
^ Û× =

Se dice que dos vectores son
ortogonales
si
su producto escalar es nulo.
,
xy V
Î

11. 1. 0 0
x V x
" Î × =
⇒ ⇒ ⇒
Propiedades de la ortogonalidad Propiedades de la ortogonalidad Demostración
{
}

2
2. , 0 , Si x y V y x y x y
p
Î - ^⇒=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Demostración En efecto, si

(
)

(
)

2
0
cos , cos , 0 , xy xy xy
x y
p
=⇒=⇒=
⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒
⇒ ⇒
0
x y x y
^⇒× =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Luego:

12. Propiedades de la ortogonalidad Propiedades de la ortogonalidad Demostración
0
x y x y
^⇒× =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2 2 2
3. ,
x y V son x y x y x y
Î ^ Û + = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
De igual forma:
2 2 2 2 2 2
2
Como x y x x y y x y x y
+ = + × +⇒+ = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2 2 2
2 0 0
Si x y x y x y x y x y
+ = +⇒× =⇒× =⇒^
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

13. Subespacios Subespacios ortogonales ortogonales
Sea Vun espacio vectorial euclídeo. Sea Sun
subespacio vectorial de V
x V
Î

Definición
0
y S x y
" Î × =

x S
^

Lo representamos por:
Se dice que un vector es
ortogonal
a S
si:
x V
Î

14. Subespacios Subespacios ortogonales ortogonales
se verifica que 0
x S y y L x y
" Î " Î × =

Dos subespacios Sy Lde V, son ortogonales si: Definición
se verifica que 0
x S y y L x y
" Î " Î × =

S L
^
Lo representamos por:

15. Subespacios Subespacios ortogonales ortogonales
Dos subespacios Sy Lde V, son ortogonales si y
solo sí los vectores de una base de Sson ortogonales
a los de una base de L
Proposición 1 Demostración Si
   se verifica que    0
S L x S y y L x y
⊥ ⇒∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =
1 1 1 1
Demostración
Sea una base de S y
una base de L
{
}
1
2
, ,
S n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
{
}
1
2
, ,
L n
v v
B v
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 01 001
Luego   0 ,
i j
u v i j
⋅ = ∀
01 01
. .
c n⇒
ya que   ,
i j
u S y v L i j
∈ ∈ ∀
01 01

16. Subespacios Subespacios ortogonales ortogonales
Si
. .
c s⇐
1
n
i i
i
x S x x u
=
∈ ⇒ =
∑
1 1 01
Si
1
n
j j
j
y L y y v
=
∈ ⇒ =
∑
1 1 01
(
)
1 1 1 1
Luego  0
n n n n
i i j j i j i j
i j i j
x y x u y v xy u v
= = = =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
∑ ∑ ∑∑
1 1 01 01 01 01
Ya que   0 ,
i j
u v i j
⋅ = ∀
01 01
por tanto   
S L
⊥

17. Base ortogonal Base ortogonal
Definición Sea una base de u n espacio
vectorial euclídeo V
{
}
1
2
, ,
n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
Se dice que
B
es
una
base ortogonal
si sus vectores
0
i j
u u i j
⋅ = ∀ ≠
01 001
Se dice que
B
es
una
base ortogonal
si sus vectores
son ortogonales dos a dos:

18. Base ortonormal Base ortonormal
Definición Sea una base de u n espacio
vectorial euclídeo V
{
}
1
2
, ,
n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
Se dice que
B
es
una
base ortonormal
si sus vectores
0
1
i j
i
u u i j
u i

⋅ = ∀ ≠

 

= ∀ 

01 001
01
Se dice que
B
es
una
base ortonormal
si sus vectores
son ortogonales dos a dos y unitarios:

19. Teorema Si es un conjunto fi nito de vectores
ortogonales dos a dos, no nulos de V, entonces es libre.
{
}
1
2
, ,
n
u u
H u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
(
)
n n n
.1 1 ..1 .1 ..1 .1
Demostración
(
)
1 1 1
0 0 0
n n n
i i j i i i j i
i i i
Sea u u u u u
l l l
= = =
=⇒× =⇒× =⇒
∑ ∑ ∑
.1 1 ..1 .1 ..1 .1
(
)
2
0 0 0
j j j j j j j
u u ya que u u u
l l
× =⇒= × = ¹
..1 ..1 ..1 ..1 ..1
y se verifica j
"

20. Producto escalar y módulo de un vector Producto escalar y módulo de un vector
referido a una base ortonormal referido a una base ortonormal
Sea una base ortonorm al de V
{
}
1
2
, ,
n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
1
n
i i
i
x V x x u
=
∈ ⇒ =
∑
1 1 01
1
n
j j
j
y V y y u
=
∈ ⇒ =
∑
1 1 001
(
)
1 1 1 1 1 1
Luego  
n n n n n n
i i j j i j i j i j
i j i j i j
x y x u y u xy u u xy
= = = = = =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
∑ ∑ ∑∑ ∑∑
1 1 01 001 01 001
1
i
=
1 1 2 2
matricialmente  
t
n n
x y x y xy x y x y
⋅ = = + +⋅⋅⋅⋅⋅+
1 1 1 1
2 2 2 2 1 2 3
Y  
n
x x x x x x x
=+ ⋅ =+ + + +⋅⋅⋅⋅+
1 1 1

21. Método de ortonormalización Método de ortonormalización
de Gram de Gram--Schmidt Schmidt
Método para obtener una base ortonormal de Va partir
de una base cualquiera
{
}
1
2
, ,
n
e e
B e
⋅⋅⋅⋅⋅
=
1 01 01
Primero obtenemos una base ortogonal
{
}
*
1
, ,
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
Primero obtenemos una base ortogonal
{
}
1
2
, ,
n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
1 1
2 2 1 1
3 3 1 1 2 2
1
1 1 2 2 1
n
n nn
u e
u e u
u e u u
u e u u u
α
λ λ
β β β
−
−

= 



= +


 
= + + 


⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅



= + + + ⋅⋅⋅⋅ +



001 01 001 01 001
001 01 001 001
001 01 001 001 1

22. Método de ortonormalización Método de ortonormalización
de Gram de Gram--Schmidt Schmidt
Y hallamos los escalares haciendo
0
i j
u u i j
⋅ = ∀ ≠
01 001
Por tanto:
(
)
1 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
1 2
00
u e
u e u u e u u
u u
α α α
⋅
= ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⇒ =−
⋅
01 01
001 001 01 01 01 01 01 01 01
01 01
(
)
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
1 1
1 2
u u
u u
α α α
⋅
⋅
01 01
1 3
3 1 1 11
1 1
1 1 3 2 1 2
0 0
u e
u u
u u
u u e u u
u
β β
β
⇒
⋅
⋅ = ⇒ + ⋅ = = −
⋅
⋅ + ⋅
01 01
001 01 001 01 01 01 001 001
01 01
2 3
3 1 2 12
2 2
2 2 3 2 2 2
0 0
u e
u u
u u
u u e u u
u
β β
β
⇒
⋅
⋅ = ⇒ + ⋅ = = −
⋅
⋅ + ⋅
01 01
001 01 001 01 01 01 001 001
01 01

23. Método de ortonormalización Método de ortonormalización
de Gram de Gram--Schmidt Schmidt
Siguiendo este proceso obtendríamos:
1 2
1
1 1
2 2
u e
u
u u
u e
⋅
= −
⋅
01 01
001 01 01
01 01
1 1
u e
=
001 01
u e u e
⋅ ⋅
1 1 01 1
01 01 1 01
1 3 2 3
1 2
1 1 2 2
3 3
u e u e
u u
u u u u
u e
⋅ ⋅
= − −
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 01 01 1 01
1 1 01 01
1 2 1
1 21
1 1 2 2 1 1
n n n n
n
n n
n n
u e u e u e
u u u
u u u u u u
u e
−
−
− −
⋅ ⋅ ⋅
= − −
⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
1 1 01 1 001 1
01 01 1 01 001
1 1 01 01 001 001

24. Método de ortonormalización Método de ortonormalización
de Gram de Gram--Schmidt Schmidt
Hemos obtenido la base ortogonal:
{
}
*
1
2
, ,
n
u u
B u
⋅⋅⋅⋅⋅
=
01 001 001
Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vector Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vector porsu módulo
1
2
1 2 3
, ,
n
u u u
u u u
B
⊥
     
⋅⋅⋅⋅⋅
       
=
001 001
1 1 1 1

25. Suplemento ortogonal Suplemento ortogonal
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea Lun
subespaciovectorial de V.

{
}

Definimos el conjunto:
L x V
^
= Î

{
}
0
x u u L
× = " Î

Veamos que dicho conjunto es un subespacio
vectorial de V, denominado
suplemento ortogonal
de L.

26. Suplemento ortogonal Suplemento ortogonal
Proposión 1 Proposión 1
1. , veamos que
x y L x y L
^ ^
Î + Î
1 .1 1 .1
Demostración
  es un subespacio vectorial
L
⊥ 1. , veamos que
x y L x y L
^ ^
Î + Î
1 .1 1 .1
(
)
0 0 0
x y u x u y u u L x y L
^
+ × = × + × = + = " Î⇒+ Î
1 .1 1 1 1 .1 1 1 1 .1 2. veamos que
x L x L
l l
^^
Î Î Î
1 1
ℝ
(
)
(
)
0 0
x u x u u L x L
l l l l
^
× = × = " Î
⇒
Î
1 1 1 1 1 1

27. Suplemento ortogonal Suplemento ortogonal
Proposión 2 Proposión 2
{
}
0
L L
⊥
∩ =
1
0 0
x L x V
Si x L L x x x
x L
^
^
Î⇒Î 
Î Ç⇒ ⇒× =⇒=

Î 
1 1
1 1 1 1 1
1
Demostración

28. Suplemento ortogonal Suplemento ortogonal
Proposión 3 Proposión 3 Por cumplir estas tres proposiciones
es
suplemento
L L V
⊥
+ =
L
⊥
Por cumplir estas tres proposiciones
es
suplemento
ortogonalde
Este suplemento de es único.
L
L
L

29. Proyección ortogonal Proyección ortogonal
Por ser y subespacios suplementarios de V
L
⊥
L
,
x V setiene x u v con u L v L
⊥
∀ ∈ = + ∈ ∈
1 1 1 1 1 1
u L se llama proyección ortogonal de x a lo largo d
e L
∈
11 v L se llama proyección ortogonal de x a lo largo d
e L
⊥
∈
11

30. Proyección de un vector sobre otro Proyección de un vector sobre otro El vector proyección de un vector
sobre un vector es:
u V
∈
1
y V
∈
1
x V
∈
1
x y
u x
x x
⋅
=
⋅
1 1
1 1
1 1
Sea L x y V y x v con v L
λ
⊥
=< > ∈ ⇒ = + ∈
1 1 1 1 1 1
x x
⋅
Demostración
(
)
0 0
Si v L v x v x y x xλ
⊥
∈ ⇒ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1
0
y x x y
y x x x u x
x x x x
λ λ
⋅ ⋅
⋅ − ⋅ = ⇒ = ⇒ =
⋅ ⋅
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1