Espais Vectorials de Dimensió Finita

Apunts relacionats amb espais vectorials de dimensió finita, incloent càlcul de bases, dependència i independència lineal, matriu de canvi de base, ortogonalització, projecció ortogonal… Inclou tota la teoria per a un primer grau d’enginyeria així com exercicis i exemples resolts per facilitar la comprensió als estudiants d’assignatures relacionades amb el món de l’àlgebra lineal.

No te pierdas mi curso para aprender a hacer apps para iOS y consigue un 97% de descuento con el siguiente link: https://www.udemy.com/curso-de-desarrollo-de-apps-para-ios-9/?couponCode=SLIDE_SHARE

1. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Grau en Enginyeria Telematica
Juan Gabriel Gomila
Grau en Enginyeria Telematica
Universitat de les Illes Balears
[email protected]
25 de septiembre de 2015
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

2. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals

Index
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
2Espais vectorials de dimensio nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai Vectorial
5Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

3. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

4. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

5. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Combinacions lineals
Combinacio lineal
Recordem que donatspvectors~u1;~u2; ;~up2K
n
i els escalars
1; 1; ; p2Kuna combinacio lineal delspvectors es el
vector donat per l'expressio de la forma
1~u1+2~u2+ +p~up2K
n
Exercici
Expressau el vector (2;4) com a combinacio lineal dels vectors
(1;1) i (2;0).
Sol:(2;4) =4(1;1)3(2;0).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

6. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Combinacions lineals
Exercici
Expressau el vector (4;11) com a combinacio lineal dels vectors
(2;3) i (4;6).
Sol: no te solucio
Exercici
Expressau el vector (4;11) com a combinacio lineal dels vectors
(2;1) i (1;4).
Sol:(4;11) = 3(2;1)2(1;4).
Exercici
Provau que el vector (1;0) no es pot expressar com a combinacio
lineal de (2;3) i (4;6)
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

7. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Combinacions lineals
Exercici
Expressau el vector (4;5;6) com a combinacio lineal dels vectors
(2;3;5) i (1;3;2).
Sol: no te solucio
Exercici
Expressau el vector (4;5;7) com a combinacio lineal dels vectors
(0;3;5);(1;0;3) i (1;3;4).
Sol:(4;5;7) =
31
9
(0;3;5)
52
9
(1;0;3) +
16
9
(1;3;4).
Exercici
Expresar, si es posible, el vector (0;0;0) com una combinacio lineal
de (1;3;1);(1;0;3) i (1;3;4), distinta de (0;0;0).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

8. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Dependencia lineal
Donats el conjunt de vectors~u1;~u2; ;~up2K
n
deim que son
linealment dependents si algun d'ells es pot expresar com a
combinacio lineal de la resta. Son LD si
91ip:
X
k6=i
k~uk=~ui
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

9. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

10. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Exercici
Dir si el conjunt de vectors (2;4;0);(1;1;1) i (1;2;0) es
linealment dependent.
Exercici
Dir si el conjunt de vectors (1;6;5);(1;0;3) i (1;3;4) es
linealment dependent.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

11. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Independencia lineal (II)
Donats el conjunt de vectors~u1;~u2; ;~up2K
n
deim que son
linealment dependents si l'equacio vectorial
p
X
i=1
i~ui=~0
te innites solucions, i per tant els escalarsi2Kpoden prendre
valors no nuls.
Exercici
Dir si el conjunt de vectors (2;4;0);(1;1;1) i (1;2;0) es
linealment dependent.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

12. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Independencia lineal
Donats el conjunt de vectors~u1;~u2; ;~up2K
n
deim que son
linealment independents si cap d'ells es pot expresar com a
combinacio lineal de la resta. Son LI si
6 91ip:
X
k6=i
k~uk=~ui
Exercici
Dir si el conjunt de vectors (2;4;0);(1;1;1) i (1;2;1) es
linealment independent.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

13. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Dependencia lineal (II)
Donats el conjunt de vectors~u1;~u2; ;~up2K
n
deim que son
linealment independents si l'equacio vectorial
p
X
i=1
i~ui=~0
te com a unica solucio la solucio trivial, es a diri= 081ip.
Exercici
Dir si el conjunt de vectors (2;4;0);(1;1;1) i (1;2;1) es
linealment independent.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

14. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Dependencia i independencia lineal
Exercici
Demostrau que el conjunt (1;1) i (1;0) es LI.
Exercici
Demostrau que el conjunt (1;1) i (0;1) es LI.
Exercici
Demostrau que el conjunt (1;1);(1;0) i (0;1) es LD.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

15. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

16. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Rang d'un conjunt de vectors
Denicio
Donats el conjunt de vectors~u1;~u2; ;~up2K
n
, deim que tenen
rangrpsi existeix com a mnim un subconjunt dervectors
linealment independents entre ells i no n'existeix cap der+ 1
vectors que sigui linealment independent.Es a dir, es el maxim
nombre de vectors linealment independents que podem extreure del
conjunt.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

17. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Combinacions lineals
Dependencia i independencia lineal
Rang d'un conjunt de vectors
Rang d'un conjunt de vectors
Un metode per calcular el rang d'un conjunt de vectors es construir
una matriu utilitzant els vectors com a columnes (o les) i denir
el rang de la matriu com el rang dels seus vectors columna (o la).
Ja vam aprendre al Tema 1 com calcular el rang d'una matriu. Ara
ho posarem en practica per calcular el rang de vectors.
Denicio
El rang d'una matriuAcoincideix amb el nombre maxim de
vectors la o columna linealment independents.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

18. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

19. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

20. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
Fins ara hem vist exemples dels espais deR
2
iR
3
, pero la gran
majoria de denicions que hem presentat les hem donades per un
espaiK
n
arbitrari. Anem a veure que l'estructura d'aquests espai es
una de les mes importants en el mon de l'Algebra: l'espai vectorial.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

21. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
Denicio
Un espai vectorial sobre un cosKes un conjuntEno buid tancat
per les dues operacions seguents:
1Llei de composicio interna
8~x;~y2E)~x+~y2E
2Llei de composicio externa
8~x2E; 2K)~x2E
que compleix les seguents condicions:
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

22. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
Denicio
La llei de composicio interna ha de complir
Propietat conmutativa:~x+~y=~y+~x8~x;~y2E
Propietat associativa:
~x+ (~y+~z) = (~x+~y) +~z8~x;~y;~z2E
Element neutre de la suma:9~02E:~x+~0 =~x8~x2E
Existencia de l'oposat:8~x2E9 ~x2E:~x+ (~x) =~0
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

23. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
Denicio
La llei de composicio externa ha de complir
Propietat associativa:(~x) = ()~x8~x2E; ; 2K
Element neutre del producte:912K: 1~x=~x8~x2E
Propietat distributiva del producte respecte de la suma de
vectors:
(~x+~y) =~x+~y8~x;~y2E; 2K
Propietat distributiva del producte respecte de la suma
d'escalars:
(+)~x=~x+~x8~x;2E; ; 2K
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

24. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
Exemples d'EV
L'espaiR
n
format pels vectors d'ncomponents (x1;x2; ;xn)
El conjuntPn(K) =fanx
n
+an1xn1+ +a1x+a0:ai2
K80ing.
L'espaiM22(K) de les matrius 22 a coecients sobreK.
El conjunt de les matrius continues denides sobre un cosK
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

25. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Espais Vectorials
No son EV
El conjunt de matrius 32 amb coecients enters (M32(Z))
El conjunt de polinomis de grau exactament igual a 3 a
coecients reals.
Per que?
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

26. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

27. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Sistema generador
Denicio
Donats un conjunt de vectors~u1;~u2; ;~un2Edirem que formen
un sistema generador de l'espai vectorialEsi qualsevol vector
~u2Ees pot expressar com a combinacio lineal d'ells, es a dir
8~u2E;91; 2; ; n:~u=
n
X
i=1
i~ui
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

28. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Sistema generador
Exercici 1
a 5;15) com a combinacio lineal de
(1;3) i (2;6).
b a;b) com a combinacio lineal de (1;3) i
(2;6).
c ;3) i (2;6) un sistema generador de
R
2
? Per que?
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

29. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Sistema generador
Exercici 2
a ;11) com a combinacio lineal de
(2;1) i (1;4).
b a;b) com a combinacio lineal de (2;1) i
(1;4).
c ;3) i (2;6) un sistema generador de
R
2
? Per que?
d 7;3) com a combinacio lineal de (2;1) i
(1;4).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

30. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Sistema generador
Exercici 3
a ;1);(2;3) i (0;1) formen un
sistema generador deR
2
.
b 7;3) com a combinacio lineal de
(1;1);(2;3) i (0;1).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

31. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Sistema generador
Exercici 4
a ;1) i (1;4) son LI.
b ;1);(2;3) i
(0;1) son LI.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

32. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

33. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Base d'un espai vectorial
Quan tinguem un conjunt de vectors que son sistema generador
d'un EVEi siguin a mes LI, direm que aquests vectors
constitueixen una base de l'espai.
Denicio
Direm que un conjunt de vectors~u1;~u2; ;~un2Eson una base
deEsi
~u1;~u2; ;~unes un sistema generador deE.
~u1;~u2; ;~unson linealment independents.
Per exemple, els vectors de l'Exercici 2 son una base deR
2
, pero
en canvi els de l'Exercici 3 no son una base deR
2
.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

34. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Base d'un espai vectorial
Teorema
Si~u1;~u2; ;~un2Ees una base de l'espai vectorialE, aleshores
qualsevol vector~u2Ees pot expressar com a combinacio lineal de
~u1;~u2; ;~unde manera unica.
8~u2E;9!1; 2; ; n2K:~u=
n
X
i=1
i~ui
Corolari
Totes les bases d'un mateix espai vectorial tenen el mateix nombre
de vectors.
Per exemple, les bases deK
2
tenen 2 elements, les deK
3
en tenen
3,...
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

35. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Base d'un espai vectorial
Exercici
Determinau si els vectors (2;4;0);(1;1;1) i (-1,2,0) formen una
base deR
3
.
Sol: no, ja que son LD.
Exercici
Determinau si els vectors (2;1;0);(1;1;1) i (0,2,-3) formen una
base deR
3
.
Sol: si, ja que son 3 vectors LI aR
3
.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

36. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Base d'un espai vectorial
Un espai vectorial te innites bases. A cada espai vectorial n'hi ha
una que te unes caracterstiques molt especials. L'anomenam la
base canonica.
La base canonica
AR
2
, la base canonica esf~e1;~e2gamb
~e1= (1;0);~e2= (0;1)
AR
3
, la base canonica esf~e1;~e2;~e3gamb
~e1= (1;0;0);~e2= (0;1;0);~e3= (0;0;1)
Notau que els vectors de la base canonica son unitaris i
mutuament ortogonals.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

37. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

38. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Dimensio d'una base
Com que el nombre d'elements d'una base d'un espai vectorial
donatEes unic, te sentit denir la dimensio d'E.
Dimensio d'un Espai Vectorial
Donat un espai vectorialE, denim la seva dimensiodim(E) com
el nombre de vectors que conformen qualssevol de les seves bases.
Per exemple,R
2
te dimensio 2 ja que les seves bases tenen 2
elements,R
3
te dimensio 3, etc...
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

39. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Coordenades d'un vector en una base
Coordenades
Donat un espai vectorialEamb una baseB=f~u1;~u2; ;~ungi
un vector~u2E, sabem que existeixen uns unics escalars
1; 2; ; ntals que
~u=1~u1+2~u2+ +n~un
Aquests escalars s'anomenen les coordenades del vector~uen la
baseB.
~u= (1; 2; ; n)B
Cada vector te coordenades uniques en cada base de l'espai al qual
pertany, pero com que hi ha innites bases, tindra innits conjunts
de coordenades associades.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

40. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Coordenades d'un vector en una base
Exercici
Donades les dues basesB1=f(2;4;0);(1;0;1);(1;2;0)gi
B2=f(2;1;0);(1;1;1);(0;2;3)gcalculau les coordenades del
vector~u= (3;5;1) en ambdues bases.
Sol
~u=

1
8
;1;
9
4

B1
= (2;7;2)B2
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

41. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades d'una base
Coordenades d'un vector en una base
Si ens donen les coordenades d'un vector sense especicar cap
base, se sobre enten que es tracta de la base canonica. Tambe
reben el nom de coordenades cartesianes i son les que en el tema 2
hem denit com les components d'un vector.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

42. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

43. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

44. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Sabem que tot vector d'un espai vectorial te associat un conjunt
d'escalars que depenen de la base i que se denominen coordenades
o components del vector en aquesta base. Tambe hem vist que
aquestes coordenades son uniques en cada base pero distintes quan
canviam de base.
Partint d'aquest punt, el problema que ens plantejam es el de
calcular les coordenades d'un vector en una certa base
^
Btenint
com a dada les seves coordenades en una altra baseB.
Si una de les dues bases es la canonica ja hem vist que el problema
es relativament senzill al darrer exercici de la seccio anterior. Si les
dues bases son arbitraries, necessitarem coneixer la relacio entre
ambdues bases i la resolucio sera un poc mes elaborada.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

45. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Exercici
Donat el vector~ude coordenades (2;3;4) en la base
B=f(2;4;0);(1;0;1);(1;2;0)g
calculau les seves coordenades en la base canonica
Sol
~u= (6;2;3)
^e
on ^ees la base canonica de l'espai.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

46. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Exercici
Donades les basesBu=f~u1;~u2;~u3giBv=f~uv;~uv;~uvgd'un espai
vectorial de dimensio 3 i sabent que
8
<
:
~v1= 2~u1~u2+~u3
~v2= ~u2+ 2~u3
~v3=~u1+~u23~u3
Quines son les coordenades dels vectors~vien a baseBu?
I les de~uien la baseBv? (Pista: emprau Gauss).
Calculau les coordenades del vector~xen la baseBusabent que en
la baseBvte coordenades (1;1;0).
Sol:~x= (2;0;1)
Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

47. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Exercici
Donades les basesBu=f~u1;~u2;~u3giBv=f~uv;~uv;~uvgd'un espai
vectorial de dimensio 3 i sabent que
8
<
:
~v1= 2~u1~u2+~u3
~v2= ~u2+ 2~u3
~v3=~u1+~u23~u3
Sigui~x= (2;0;1)
Bu
, calcular les seves coordenades en la base
Bv.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

48. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
~x=a~v1+b~v2+c~v3=
a(2~u1~u2+~u3) +b(~u2+ 2~u3) +c(~u1+~u23~u3) =
(2ac)~u1+ (abc)~u2+ (a+ 2b3c)~u3
i hauria de ser
~x= 2~u1+ 0~u2+ (1)~u3
Resolent el sistema d'equacions lineals resultant d'igualar ambdues
expressions (ja que les coordenades d'un vector en una base son
uniques) obtenim
~x= (1;1;0)Bv
= (2;0;1)Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

49. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
En els exercicis anteriors, hem vist que la notacio per expressar les
coordenades d'un vector es pot fer en forma de matriu la o
columna. Si coneixem les coordenades d'uns vectors en una base,
podem emprar les operacions matricials ja conegudes per passar
d'una base a una altra sense massa complexitat.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

50. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Tenim els vectors de la baseBven la baseBudonats per
8
<
:
~v1= 2~u1~u2+~u3
~v2= ~u2+ 2~u3
~v3=~u1+~u23~u3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

51. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Expressio que en forma matricial pren les formes (eq 1)
0
@
21 1
01 2
1 1 3
1
A
0
@
~u1
~u2
~u3
1
A=
0
@
~v1
~v2
~v3
1
A

~u1~u2~u3


0
@
2 0 1
11 1
1 2 3
1
A=

~v1~v2~v3

En la matriu de dalt, les les son les coordenades dels vectors
~v1;~v2i~v3en la baseBu. En la matriu de baix, les columnes son les
coordenades dels vectors~v1;~v2i~v3en la baseBu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

52. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
D'altra banda, podem expressar el vector~xen ambdues bases de la
seguent manera:
~x= 1~v1+(1)~v2+0~v3= (~v1;~v2;~v3)
0
@
1
1
0
1
A
Bv
= (1;1;0)
0
@
~v1
~v2
~v3
1
A
~x= 2~u1+0~u2+(1)~u3= (~u1;~u2;~u3)
0
@
2
0
1
1
A
Bu
= (2;0;1)
0
@
~u1
~u2
~u3
1
A
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

53. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Per unicitat com ja sabem, el resultat d'operar en ambdues
expressions serien les coordenades del vector en la base canonica,
per tant podem igualar les expressions:
~x= (~v1;~v2;~v3)
0
@
1
1
0
1
A
Bv
= (~u1;~u2;~u3)
0
@
2
0
1
1
A
Bu
o
~x= (2;0;1)
0
@
~u1
~u2
~u3
1
A= (1;1;0)
0
@
~v1
~v2
~v3
1
A
2~u1~u3= 1~v1+ (1)~v2+ 0~v3(eq 2)
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

54. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Emprant les relacions establertes a l'equacio 1

~u1~u2~u3


0
@
2 0 1
11 1
1 2 3
1
A=

~v1~v2~v3

i substituint-la dins l'equacio 2,
~x= (~v1;~v2;~v3)
0
@
1
1
0
1
A
Bv
= (~u1;~u2;~u3)
0
@
2
0
1
1
A
Bu
obtenim:
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

55. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
obtenim:
~x=

~u1~u2~u3


0
@
2 0 1
11 1
1 2 3
1
A
0
@
1
1
0
1
A
Bv
=

~u1~u2~u3


0
@
2
0
1
1
A
Bu
i comparant ambdos membres, trobam que, per unicitat de
coordenades d'un vector en una mateixa base (en aquest casBu)
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

56. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
0
@
2 0 1
11 1
1 2 3
1
A
0
@
1
1
0
1
A
Bv
=
0
@
2
0
1
1
A
Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

57. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

58. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
En general
Donat un vector~xde coordenadesXv(vector columna) en la base
Bv(vector la) i coordenadesXu(vector columna) en la baseBu
(vector la) aleshores podem escriure
~x=BvXv=BuXu
Si la relacio entre bases ve donada perBuP=Bvsubstituirem
aquesta relacio en l'expressio del vector~x:
~x= (BuP)Xv=BuXu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

59. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
En general
emprant la propietat associativa
~x=Bu(PXv) =BuXu
obtenim queXu=PXv
La matriuPs'anomena la matriu de canvi de la baseBva la base
Bu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

60. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Canvi de base
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

61. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Donat un espai vectorial de dimensioni dues bases diferentsBui
Bv. S'anomena matriu de canvi de base deBvaBua la matriuP
les columnes de la qual son les coordenades dels elements de la
baseBven la baseBu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

62. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Exercici
Donades les basesBu=f~u1;~u2;~u3giBv=f~v1;~v2;~v3gi el vector
~xde coordenades (2;1;0) en la baseBv, calculau les seves
coordenades en la baseBusabent que
8
<
:
~v1= 2~u1~u2+~u3
~v2= ~u2+ 2~u3
~v3=~u1+~u23~u3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

63. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Sol
P=
0
@
2 0 1
11 1
1 2 3
1
A
onBv=BuP
~x= (4;3;4)Bv
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

64. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Exercici
Expressau el vector (1;0;4) de la base canonica en la base
B=f(1;3;1);(1;1;0);(0;2;0gdeR
3
calculant previament la
matriu de canvi de base necessaria.
Pista:Pes la matriu que porta de la base canonica aB, la qual te
com a columnes els vectors de la base canonica expresants en la
baseB. Aquest problema es mes senzill si cercam la matriuQque
porta deBa la base canonica (les seves columnes son els vectors
deBen la base canonica que son ells mateixos) i que resulta ser la
inversa deP.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

65. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
El canvi de base
Matriu de canvi de base
Matriu de canvi de base
Sol
P=Q
1
=
0
@
0 0 1
1 0 1
1=2 1=2 2
1
A
onXB=PXe
~x=

4;3;
15
2

B
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

66. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

67. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

68. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Denicio
SiguiFEun subconjunt no buid de l'espai vectorialEsobre un
cosK. Direm queFes un subespai vectorial deEsi i nomes si es
verica:
La suma de dos elements deFes un altre element deF
8~x;~y2F)~x+~y2F
El producte d'un escalar per un element deFes un altre
element deF
8~x2F; 2K)~x2F
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

69. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Subespais trivials
SiEes unK-espai vectorial, es verica sempre queEif0gson
subespais vectorials deE. S'anomenen subespais vectorials trivials
o impropis.
Corolari
SiSes un subespai vectorial deE, aleshores~02S.
Aquest corolari es sol emprar de forma recproca, ja que si es
comprova que per alguna rao~0=2S, aleshores aquest conjunt no
pot ser mai un subespai vectorial.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

70. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Exercici
Comprovau que el seguent conjunt es un subespai vectorial deR
3
:
F=f(x;y;z)2R
3
:x+y+z= 0g
Nota: comprovau primer siFconte el vector zero i, si es que si,
comprovau les dues condicions de la denicio de subespai.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

71. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Equacions d'un subespai
Un subespai vectorialFd'un espai vectorialEqueda identicat:
Coneixent una base deF
Coneixent un sistema generador deF
A partir de les seves equacions parametriques
A partir de les equacions cartesianes o implcites (un sistema
homogeni les incognites del qual son les coordenades del
vector generic).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

72. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Exercici
Identicau el subespaiFde l'exercici anterior de totes les formes
possibles:
F=f(x;y;z)2R
3
:x+y+z= 0g
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

73. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Obtenir una base d'un subespai vectorial
Partim de les equacions parametriques del subespai
Expressam el vector generic com a combinacio lineal de
vectors
En primer lloc aconseguim tants sumands com parametres
tingue el subespai i els separam en vectors diferents
Extreim l'escalar de cadascun dels vectors i ho deixam
expressat com a combinacio lineal.
Els vectors que apareixen a la combinacion lineal son un
sistema generador del subespai.
Extreim del conjunt de vectors, un subconjunt linealment
independent amb tants de vectors com indiqui el rang. Ja
tenim una base del subespai.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

74. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Concepte de Subespai Vectorial
Subespai Vectorial
Exercici
Otenir dimensio, equacions parametriques i una base del subespai
F1donat per
F1=f(x;y;z)2R
3
: 2xy+3z= 0;x+yz= 0;x2y= 0g
Pista: Comencau per fer Gauss al sistema d'equacions lineals.
Exercici
Otenir dimensio, base i equacions implcites del subespaiF2donat
per
F2=f(+; +; ++;0) :; ; 2Rg
Pista: Comencau per fer Gauss al sistema d'equacions lineals.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

75. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

76. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Bases ortogonals i ortonormals
Base ortogonal
Donada una baseB=f~u1;~u2; ;~ungd'un espai vectorialE, es
diu ortogonal si els seus elements son ortogonals dos a dos:
~ui~uj= 08i6=j
Base ortonormal
Donada una baseB=f~u1;~u2; ;~ungd'un espai vectorialE, es
diu ortonormal si els seus elements son ortogonals dos a dos i a
mes unitaris:
~ui~uj= 08i6=j
~ui~ui= 18i
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

77. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

78. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Aquest metode ens permet construir una base ortogonal a partir
d'una base qualssevol de l'espai vectorial. Farem la construccio
primer en el cas d'un espai vectorial de dues dimensions.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

79. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Cas 2D
SiguiB=f~v1;~v2guna base d'un espai vectorial de dues
dimensions. A partir dels vectors d'aquesta base en construirem
una novaB=f~w1;~w2gque sera ortogonal del mateix espai.
1Prenim~w1=~v1com a primer vector de la nova base.
2El segon vector sera una combinacio lineal~v1i~v2per
assegurar-nos que la nova base genera el mateix subespai que
la primera. Per aixo, descomponem
~v2=~u1+~u2:~u1jj~v1~u2?~v1
En particular~u2=~v2t~v1=~v2t~w1i sera el segon vector
de la nostra nova base:~w2. Nomes ens cal trobart.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

80. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

81. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Cas 2D
Volem que~w1?~w2. Ho imposarem emprant la condicio de que
~w2=~v2t~w1producte escalar amb~w1=~v1ha de ser zero:
~w1~w2=~w1(~v2t~w1) =~w1~v2~w1~w1= 0
I per tant
t=
~w1~v2
~w1~w1
~w2=~v2
~w1~v2
~w1~w1
~w1
AleshoresBr=f~w1;~w2ges una base ortogonal que genera el
mateix subespai queB=f~v1;~v2g.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

82. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Cas General
SiguiB=f~v1;~v2; ;~vnguna base d'un espai vectorial den
dimensionsE. A partir dels vectors d'aquesta base en construirem
una novaBr=f~w1;~w2; ;~wngque sera ortogonal del mateix
espai.
1Prenim~w1=~v1com a primer vector de la nova base.
2El segon vector sera una combinacio lineal~v1i~v2de la forma
~w2=~v2t~w1, al qual imposarem la condicio que~w1?~w2.
Operant obtindrem
t=
~w1~v2
~w1~w1
~w2=~v2
~w1~v2
~w1~w1
~w1
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

83. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Cas General
SiguiB=f~v1;~v2; ;~vnguna base d'un espai vectorial den
dimensionsE. A partir dels vectors d'aquesta base en construirem
una novaBr=f~w1;~w2; ;~wngque sera ortogonal deE.
3
tercer vector~w3sera una combinacio lineal~v1;~v2i~v3de la
forma~w2=~v3t1~w1t2~w2, al qual imposarem les
condicions~w1?~w3i~w2?~w3. Operant obtindrem
t1=
~w1~v3
~w1~w1
t2=
~w2~v2
~w2~w2
~w3=~v3
~w1~v3
~w1~w1
~w1
~w2~v3
~w2~w2
~w2
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

84. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Cas General
4
~w4=~v4
~w1~v4
~w1~w1
~w1
~w2~v4
~w2~w2
~w2
~w3~v4
~w3~w3
~w3
n
~wn=~vn
n1
X
i=1
~wi~vn
~wi~wi
~wi
n+1
cada vector per la seva norma.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

85. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Exercici
Calculau una base ortogonal del subespai vectorial generat pels
vectors
~u1= (1;1;0;1);~u2= (0;0;1;1);~u3= (2;0;1;0)
Sol:
(1;1;0;1);(1;1;3;2);(1;1;0;0)
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

86. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
1Conjunts lliures i lligats
Combinacions lineals
Dependencia i
independencia lineal
Rang d'un conjunt de
vectors
2Espais vectorials de dimensio
nita
Espais Vectorials
Sistema generador
Base d'un espai vectorial
Dimensio i coordenades
d'una base
3Canvi de base
El canvi de base
Matriu de canvi de base
4Subespais vectorials
Concepte de Subespai
Vectorial
5Bases ortogonals i
ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio
de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un
vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

87. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Vector ortogonal a un subespai
Vector ortogonal a un subespai
Un vector~u2Ees ortogonal a un subespai vectorialSEsi i
nomes si
~u~x= 08~x2S
Teorema
Un vector~u2Ees ortogonal a un subespai vectorialSEsi i
nomes si es ortogonal a tots els vectors d'una base deS.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

88. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

89. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Vector ortogonal a un subespai
Teorema
Dos subespaisViWdeEson ortogonals si
8~x2V8~y2W)~x~y= 0
Teorema
Perque dos subesiapisViWsiguin ortogonals, es sucient que els
vectors d'una base deVsiguin ortogonals als vectors d'una base
deW.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

90. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

91. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un altre
Projeccio ortogonal
Com recordam, el vector projeccio ortogonal d'un vector~usobre
un altre~v, s'expressa com
P~u(~v) =
~u~v
~v~v
~v=
~u~v
jj~vjj
2
~v
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

92. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
DonatSun subespai vectorial d'un espai vectorialE, tot vector
~u2Ese descomposa de manera unica en
~u=~uS+~u0
amb~uS2Si~u02S
?
. En particular, el vector~uS2Ss'anomena
el vector projeccio ortogonal de~usobreS.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials

93. Conjunts lliures i lligats
Espais vectorials de dimensio nita
Canvi de base
Subespais vectorials
Bases ortogonals i ortonormals
Metode d'ortogonalitzacio de Gram-Schmidt
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Projeccio ortogonal d'un vector sobre un subespai
Si prenim enSuna base ortogonalf~s1;~s2; ;~srg, la projeccio de
~usobreSve donada per
P~u(~v) =~uS=
r
X
i=1
~u~si
jj~sijj
2
~si
amb~uS2Si~u02S
?
. En particular, el vector~uS2Ss'anomena
el vector projeccio ortogonal de~usobreS.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espais Vectorials