ESPS Matematika X Bab 5 - Kelompok Wajib.pptx

Mathematic

1. F UNGSI BAB 5

2. K I K D Daftar Isi DAFTAR ISI Fungsi Intro Bentuk-Bentuk Fungsi Jenis-Jenis Fungsi A ljabar Fungsi Transformasi Fungsi K omposisi Fungsi Invers Fungsi

3. INTRO K I K D Daftar Isi Setiap barang yang dijual di pasar atau swalayan memiliki harga . Ada beberapa barang yang harganya sama , ada juga barang-barang yang harganya berbeda . Akan tetapi , tidak ada satu barang pun yang memiliki dua harga yang berbeda pada satu toko yang sama . Hal ini menunjukkan adanya hubungan antara barang yang dijual dengan harga . Hubungan ini disebut fungsi . Jika barang yang dijual dinyatakan sebagai x dan harga barang dinyatakan sebagai y , maka y disebut sebagai fungsi dari x .

4. Fungsi K I K D Daftar Isi 1. Setiap penerbangan dalam jadwal mempunyai waktu keberangkatan ( tidak ada penerbangan yang belum ditentukan waktu keberangkatannya ). 2. Setiap penerbangan hanya mempunyai satu waktu keberangkatan yang dijadwalkan . Setiap penerbangan ke suatu kota berhubungan dengan waktu keberangkatan . Besaran-besaran dalam masalah ini adalah kota tujuan penerbangan dan waktu keberangkatan . Hubungan antara dua besaran dengan sifat khusus seperti ini disebut sebagai fungsi . 1. Pengertian dan Rumus Fungsi Fakta berikut memenuhi syarat fungsi:

5. K I K D Daftar Isi Definisi 5 . 1 Fungsi Misalkan A adalah himpunan semua nilai x dan B adalah himpunan semua nilai y . Fungsi atau pemetaan ( f ) dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan setiap elemen di A ke satu dan tidak lebih pada satu elemen di B . Himpunan A daerah asal (domain) Himpunan B daerah kawan ( ko domain) A nggota himpunan B yang terkait dengan himpunan A daerah hasil (range) Berdasarkan definisi : x ∈ A prapeta y ∈ B peta

6. K I K D Daftar Isi Fungsi dapat dianggap sebagai suatu mesin yang mengubah besaran x menjadi besaran y . x y Nilai y yang dihasilkan akan berbeda bergantung pada besar nilai x yang dimasukkan . Dengan catatan , setiap nilai x yang dimasukkan hanya akan memiliki satu nilai y sebagai keluaran . Rumus fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut . y = f ( x ) dibaca “ y sebagai fungsi dari x dengan aturan f ” .

7. Peta dari 75 adalah 18.000, peta dari 100 adalah 16.000, peta dari 125 adalah 16.000 juga, dan peta dari 150 adalah 19.000. Jika f menyatakan fungsi tersebut, tuliskan: K I K D Daftar Isi Pembahasan : a. pemetaan bilangan-bilangan tersebut dalam notasi fungsi f dan b. domain dan range. a. f (75) = 18.000 f (100) = 16.000 f (125) = 16.000 f (150) = 19.000 b. Domain = {75, 100, 125, 150} Range = {16.000, 18.000, 19.000} Pemetaan suatu fungsi adalah sebagai berikut.

8. Apakah setiap pemetaan berikut adalah fungsi atau bukan? Jelaskan. K I K D Daftar Isi Pembahasan : c. Fungsi , karena setiap anggota di daerah asal D dipetakan dengan tepat satu anggota pada B . a. Bukan fungsi , karena ada anggota di daerah asal ( D ), yaitu c , yang tidak dipetakan pada B . b. Bukan fungsi , karena ada satu anggota di daerah asal ( D ), yaitu c , yang mempunyai dua peta pada B .

9. Diketahui rumus fungsi f ( x ) = 3 x 3 – 2 x 2 + x + 5. Tentukan nilai f (3), yaitu f ( x ) untuk x = 3. K I K D Daftar Isi Pembahasan : f ( x ) = 3 x 3 – 2 x 2 + x + 5 Nilai f ( x ) untuk x = 3 dapat diperoleh denga n mensubstitusikan nilai x = 3 ke dalam rumus fungsi f ( x ) sebagai berikut . f (3) = 3(3) 3 – 2(3) 2 + 3 + 5 f (3) = 81 – 18 + 3 + 5 f (3) = 71

10. K I K D Daftar Isi Hubungan nilai x dan y dari suatu rumus fungsi dapat digambarkan dalam koordinat Cartesius sebagai pasangan koordinat titik ( x , y ). Kumpulan dari semua ( x , y ) dengan y = f ( x ) disebut sebagai grafik fungsi f . Untuk menggambar grafik suatu rumus fungsi , perhatikan langkah-langkah berikut . 1. Masukkan beberapa nilai x ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai y . Untuk memudahkan , biasanya dipilih x bilangan bulat . 2. Catat nilai x dan y yang dihasilkan sebagai koordinat ( x , y) atau sajikan nilai-nilai tersebut dalam tabel . 3. Gambarkan titik ( x , y ) pada koordinat Cartesius . 2. Grafik Fungsi

11. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = x 2 + 2 x – 3. K I K D Daftar Isi Pembahasan : Gambarkan titik-titik ( x , y ) tersebut dalam koordinat Cartesius. Nilai f ( x ) = x 2 + 2 x – 3 untuk beberapa nilai x : x –3 –2 –1 1 2 3 y = f ( x ) –3 –4 –3 5 12 Selanjutnya, hubungkan titik-titik tersebut.

12. Tunjukkan apakah grafik berikut merupakan grafik fungsi. K I K D Daftar Isi M engidentifikasi grafik dengan menarik suatu garis lurus yang sejajar sumbu Y atau garis x = a , dengan a berada pada domain fungsi f ( a ∈ D f ). Jika grafik merupakan grafik fungsi , maka garis x = a akan berpotongan dengan grafik hanya pada satu titik .

13. K I K D Daftar Isi Pembahasan : Buat garis x = a , dengan a ∈ D f . Misalnya, dipilih x = 1. Oleh karena x = 1 memotong grafik pada dua titik, maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi. x = 1

14. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang pengertian, rumus, dan grafik fungsi Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 171 - 173 .

15. Jenis-Jenis Fungsi K I K D Daftar Isi 1. Fungsi Injektif Definisi 5 . 2 Fungsi injektif Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B . Himpunan f disebut injektif dari A ke B jika untuk setiap y ∈ B pada daerah hasil (range), persamaan f ( x ) = y paling banyak memuat satu penyelesaian di A .

16. Tunjukkan apakah setiap fungsi f berikut merupakan fungsi injektif. Pembahasan : K I K D Daftar Isi a. Fungsi injektif . T ampak bahwa setiap persamaan mempunyai paling banyak satu penyelesaian. f ( x ) = 1 ⇒ x = a , f ( x ) = 2 ⇒ tidak mempunyai penyelesaian , f ( x ) = 3 ⇒ x = b , f ( x ) = 4 ⇒ x = c , f ( x ) = 5 ⇒ x = d b. B ukan fungsi injektif . P ada f ( x ) = 3 mempunyai dua penyelesaian, yaitu x = b dan x = c .

17. K I K D Daftar Isi Fungsi injektif mempunyai sifat bahwa semua titik di daerah hasil (range) mempunyai paling banyak satu kawan (penyelesaian) dari daerah asal (domain) fungsi. Untuk setiap x 1 dan x 2 di daerah asal fungsi dengan x 1 ≠ x 2 , maka nilai f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ). Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan berikut. Jika f ( x 1 ) = f ( x 2 ), maka x 1 = x 2 . Cara lain menguji suatu fungsi injektif adalah sebagai berikut.

18. Tentukan apakah fungsi f ( x ) = 3 x + 4 merupakan fungsi injektif. Pembahasan : 3 x + 4 = y K I K D Daftar Isi Untuk setiap y di daerah kawan (kodomain), kita akan meninjau banyak penyelesaian dari persamaan: Dengan grafik fungsi, ambil y = 1, akan diperoleh satu penyelesaian saja. Jadi, fungsi f ( x ) = 3 x + 4 merupakan fungsi injektif. Terdapat satu p enyelesaian nya, yaitu

19. K I K D Daftar Isi 2. Fungsi Surjektif Definisi 5 . 3 Fungsi surjektif Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B . Himpunan f disebut surjektif dari A ke B jika untuk setiap y ∈ B pada daerah hasil (range), persamaan f ( x ) = y selalu mempunyai penyelesaian di A .

20. Tunjukkan apakah setiap fungsi f berikut merupakan fungsi surjektif . K I K D Daftar Isi f ( x ) = 1 ⇒ x = a dan x = b b. f ( x ) = 1 ⇒ x = a dan x = b Pembahasan : f ( x ) = 3 ⇒ x = a dan x = d f ( x ) = 4 ⇒ x = e f ( x ) = 2 ⇒ tidak ada nilai x yang memenuhi Karena f ( x ) = 2 tidak mempunyai penyelesaian, maka f bukan merupakan fungsi surjektif . f ( x ) = 2 ⇒ x = c f ( x ) = 3 ⇒ x = d f ( x ) = 4 ⇒ x = e Karena untuk setiap y ∈ B selalu mempunyai penyelesaian , maka f merupakan fungsi surjektif .

21. K I K D Daftar Isi 3. Fungsi Bijektif Definisi 5 . 4 Fungsi bijektif Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B . Himpunan f disebut bijektif dari A ke B jika untuk setiap y ∈ B pada daerah hasil (range), persamaan f ( x ) = y selalu mempunyai tepat satu penyelesaian di A .

22. K I K D Daftar Isi Fungsi bijektif merupakan fungsi yang bersifat korespondensi atau berhubungan satu-satu dan pada . Banyak elemen di daerah asal dan banyak elemen di daerah nilai sama banyak.

23. Diketahui f ( n ) = 2 n + 1 dengan f adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan G = {3, 5, ... }. Buktikan bahwa f merupakan fungsi bijektif. Pembahasan : K I K D Daftar Isi Akan dibuktikan f ( x ) = y dengan y ∈ G : (i) mempunyai penyelesaian di bilangan asli ( N ) dan (ii) banyak penyelesaiannya adalah satu. (i) Jika y ∈ G , maka y = 2 k + 1 dengan k ∈ N . Bukti: (ii) Karena rumus fungsi f linear terhadap n , maka banyak penyelesaian paling banyak adalah satu. Jadi, terbukti bahwa f bersifat bijektif. f ( n ) = 2 n + 1 = 2 k + 1 Jadi, persamaan tersebut mempunyai penyelesaian, yaitu n = k .

24. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang jenis-jenis fungsi Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 178 - 180 .

25. Bentuk-Bentuk Fungsi K I K D Daftar Isi Bentuk umum fungsi konstan adalah sebagai berikut. 1. Fungsi Konstan Diagram panah fungsi konstan. Grafik fungsi konstan. f ( x ) = k dengan k ∈ R . Fungsi konstan adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai pada daerah hasil, yaitu k .

26. K I K D Daftar Isi Bentuk umum fungsi identitas adalah sebagai berikut. 2. Fungsi Identitas Diagram panah fungsi identitas. Grafik fungsi identitas. f ( x ) = x Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan nilai x ke dirinya sendiri.

27. K I K D Daftar Isi Bentuk fungsi nilai mutlak yang paling sederhana adalah sebagai berikut. 3. Fungsi Nilai Mutlak (Modulus) Grafik fungsi mutlak f ( x ) = | x |. f ( x ) = | x | Definisi dan bentuk fungsi ini telah dipelajari di Bab 1 .

28. K I K D Daftar Isi Bentuk fungsi bilangan bulat terbesar yang paling sederhana adalah sebagai berikut. 4. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Grafik fungsi bilangan bulat terbesar. f ( x ) = x Definisi bentuk x adalah jika x bilangan real, maka x adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x .

29. K I K D Daftar Isi Bentuk umum fungsi linear adalah: 5. Fungsi Linear f ( x ) = ax + b dengan a , b ∈ R . Grafik fungsi linear adalah garis lurus. Grafik fungsi linear mempunyai nilai untuk setiap bilangan real. Oleh karena itu, domain fungsi linear adalah himpunan bilangan real, ditulis sebagai berikut. D f = { x | x ∈ R } Untuk menggambarkan grafiknya, cukup pilih dua titik, kemudian kedua titik tersebut dihubungkan.

30. Pembahasan : a. x = 0. f ( x ) = x + 1 ⇒ f (0) = 0 + 1 = 1 K I K D Daftar Isi b. Berdasarkan (a), didapat koordinat dua titik dari fungsi f , yaitu (0, 1) dan (1, 2). Diketahui fungsi f ( x ) = x + 1 dengan daerah asal (domain) himpunan: D f = {x | –1 < x < 2} a. Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0 dan x = 1. b. Gambarkan grafik fungsi f pada koordinat Cartesius. c. Tentukan daerah hasil (range) fungsi f . x = 1. f ( x ) = x + 1 ⇒ f (1) = 1 + 1 = 2

31. c. Karena daerah asal adalah –1 < x < 2, maka dengan menambahkan 1 pada pertidaksamaan: K I K D Daftar Isi Grafik fungsi f ( x ) = x + 1 disajikan pada gambar berikut. Lanjutan pembahasan : –1 < x < 2 –1 + 1 < x + 1 < 2 + 1 0 < x + 1 < 3 0 < y < 3 Jadi , daerah hasil (range) adalah R f = { y | 0 < y < 3}

32. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang bentuk fungsi linear Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 1 8 3 - 184 .

33. K I K D Daftar Isi Bentuk umum fungsi kuadrat adalah 6. Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat, kita dapat mencari koordinat titik ( x , y ), kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. a. Grafik Fungsi Kuadrat f ( x ) = ax 2 + bx + c dengan a ≠ 0. Jika x tidak dibatasi nilainya, fungsi ini mempunyai daerah asal seluruh bilangan real.

34. K I K D Daftar Isi Contoh: fungsi f ( x ) = x 2 . Tentukan sebanyak mungkin titik, untuk menggambar grafik. Diperoleh gambar grafik sebagai berikut. X –2 –1,9 –1,8 –1,7 –1,6 ... 1,6 1,7 1,8 1,9 2 y 4 3,61 3,24 2,89 2,56 ... 2,56 2,89 3,24 3,61 4

35. K I K D Daftar Isi Grafik terletak di atas sumbu X karena fungsi bernilai positif untuk semua nilai x . G rafik fungsi ini simetri terhadap sumbu Y , k arena nilai x = a sama dengan nilai x = – a . Sehingga s umbu Y disebut sumbu simetri . Titik (0, 0) merupakan titik paling rendah atau minimum dan disebut sebagai titik minimum atau titik balik parabola . Secara umum, g rafik ini disebut parabola membuka ke atas dengan titik balik minimum (0, 0). Berdasarkan gambar g rafik f ( x ) = x 2 , diperoleh:

36. K I K D Daftar Isi Selanjutnya, kita akan membandingkan grafik fungsi f ( x ) = x 2 dan l ( x ) = ( x – 1) 2 – 3. l ( x ) = ( x – 1) 2 – 3 f ( x ) = x 2 Grafik l ( x ) = ( x – 1) 2 – 3 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi f ( x ) = x 2 ke kanan sejauh 1 satuan dan ke bawah sejauh 3 satuan. Grafik fungsi l ( x ) mempunyai titik balik minimum di (1, –3) dan sumbu simetri x = 1.

37. K I K D Daftar Isi Secara umum, sifat grafik fungsi f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q terangkum dalam sifat berikut. Grafik fungsi f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q Grafik fungsi f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q dapat diperoleh dengan menggeser grafik f ( x ) = x 2 ke kiri / kanan sejauh ± p dan ke atas/ bawah sejauh ± q . Tanda (±) dipilih sedemikian rupa sehingga ± p dan ± q keduanya positif . Grafik fungsi f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q mempunyai titik balik ( p , q ) dan sumbu simetri x = p . Sifat 5 .1

38. K I K D Daftar Isi Pembahasan : Ubah fungsi menjadi bentuk f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q : Diketahui fungsi f ( x ) = –2 x 2 + 4 x + Tentukan: a. sumbu simetri, b. titik balik dan jenisnya, c. titik potong dengan sumbu X , dan d. titik potong dengan sumbu Y . Selanjutnya, gambarkan grafik fungsi tersebut. f ( x ) = –2 x 2 + 4 x + f ( x ) = –2( x 2 – 2 x ) +

39. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : f ( x ) = –2( x – 1) 2 + Grafik fungsi f ( x ) = –2 x 2 + 4 x + diperoleh dengan menggeser fungsi f ( x ) = –2 x 2 ke kanan sejauh 1 satuan dan ke atas sejauh satuan. a. Sumbu simetri: x = 1 b. Titik balik: Karena a = –2 < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum.

40. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : c. Titik potong dengan sumbu X ditentukan dengan menyelesaikan persamaan berikut. Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah –2 x 2 + 4 x + = 0 4 x 2 – 8 x – 5 = 0 (2 x + 1)(2 x – 5) = 0 x = x = atau

41. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : d. Titik potong dengan sumbu Y ditentukan dengan: Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y adalah f ( x ) = –2 x 2 + 4 x + f (0) = –2(0) 2 + 4(0) + = Sketsa grafiknya diperoleh, seperti gambar di samping. x = 1

42. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang bentuk fungsi kuadrat Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 189 - 190 .

43. K I K D Daftar Isi Untuk menentukan sumbu simetri dan titik balik dari fungsi kuadrat f ( x ) = ax 2 + bx + c , fungsi akan diubah menjadi bentuk f ( x ) = a ( x – p ) 2 + q . f ( x ) = ax 2 + bx + c b. Rumus Sumbu Simetri dan Titik Balik

44. K I K D Daftar Isi D engan b 2 – 4 ac = D (diskriminan), maka bentuk dapat dituliskan menjadi: Berdasarkan rumus ini, kita peroleh: Fungsi kuadrat f ( x ) = ax 2 + bx + c memiliki: a. Sumbu simetri: x = b. Titik balik: dengan D = b 2 – 4 ac

45. K I K D Daftar Isi Berdasarkan bentuk , dapat dianalisis bentuk kurva fungsi kuadrat dengan kemungkinan-kemungkinan berikut. (1) D < 0  kurva tidak memotong sumbu X . D < 0 dan a < 0 , grafik bernilai negatif. D < 0 dan a > 0 , grafik bernilai positif.

46. K I K D Daftar Isi (2) D > 0  kurva memotong sumbu X pada dua titik. D > 0 dan a < 0 . D > 0 dan a > 0 . (3) D = 0  kurva memotong sumbu X pada satu titik (menyinggung sumbu X ) . D = 0 dan a < 0 . D = 0 dan a > 0 .

47. K I K D Daftar Isi Sumbu simetri dan titik balik fungsi kuadrat Grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri x = , koordinat titik balik dengan D = b 2 – 4 ac , dan: a. titik balik minimum jika a > 0 ; b. titik balik maksimum jika a < 0. Sifat 5 . 2

48. K I K D Daftar Isi Pembahasan : Diketahui fungsi kuadrat f ( x ) = –2 x 2 – 12 x – 2 , Diketahui fungsi kuadrat f ( x ) = –2 x 2 – 12 x – 2. Tentukan: a. sumbu simetri grafik fungsi, b. koordinat titik balik dan tentukan pula jenisnya, c. titik potong dengan sumbu X , dan d. titik potong dengan sumbu Y . Selanjutnya, gambarkan sketsa grafik fungsi tersebut. Jadi, persamaan sumbu simetri: x = –3. a. Sumbu simetri: maka a = –2, b = –12, dan c = –2.

49. K I K D Daftar Isi c. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan f ( x ) = –2 x 2 – 12 x – 2 = 0. b. Koordinat titik balik: Lanjutan pembahasan : = ( –3 , 16) Jadi, grafik fungsi f ( x ) memotong sumbu X pada titik

50. K I K D Daftar Isi d. Koordinat titik potong dengan sumbu Y dapat dihitung dengan mensubstitusi x = 0. Lanjutan pembahasan : f (0) = –2(0) 2 – 12(0) – 2 = –2 Jadi, grafik fungsi f ( x ) memotong sumbu Y pada titik (0, –2). Jadi, sketsa grafiknya diperoleh seperti gambar di samping.

51. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang rumus sumbu simetri dan titik balik pada grafik fungsi kuadrat Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 194 - 196 .

52. K I K D Daftar Isi Bentuk umum fungsi rasional adalah 7. Fungsi Rasional Fungsi rasional yang paling sederhana adalah f ( x ) = . Untuk menggambar grafik fungsi tersebut, dapat dilakukan dengan menentukan nilai fungsi di beberapa titik istimewa. dengan p ( x ) dan q ( x ) adalah fungsi polinomial dan q ( x ) ≠ 0.

53. K I K D Daftar Isi Fungsi rasional yang paling sederhana adalah f ( x ) = . Untuk menggambar grafik fungsi tersebut, dapat dilakukan dengan menentukan nilai fungsi di beberapa titik istimewa. x ... –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 ... f ( x ) ... –¼ –⅓ –½ –1 Tidak terdefinsi 1 ½ ⅓ ¼ ... x –1 – ¾ – ½ – ¼ ... ¼ ½ ¾ 1 ... f ( x ) –1 –4/3 –2 –4 ... 4 2 4/3 1 ...

54. K I K D Daftar Isi Diperoleh grafik fungsi f ( x ) = , adalah: Sifat fungsi f ( x ) = , yaitu: a. Daerah definisi fungsi tersebut adalah { x | x ≠ 0, x ∈ R }. Nilai fungsi juga mencapai semua bilangan real, kecuali nol.

55. K I K D Daftar Isi b. Grafik fungsi f ( x ) = terdiri dari dua bagian, yaitu di sebelah kanan titik x = 0 dan di sebelah kiri titik x = 0. Jika ( a , b ) terletak pada grafik fungsi, maka (– a , – b ) juga terletak pada grafik fungsi. Jadi, grafik fungsi ini simetri terhadap titik (0, 0). Jika x → ∞ + , maka y → 0. dan Jika x → 0 + , maka y → + ∞ . c. Jika x → ∞ – , maka y → 0. dan Jika x → 0 – , maka y → – ∞ . d.

56. K I K D Daftar Isi Garis yang makin didekati oleh suatu grafik fungsi disebut asimtot . Definisi 5 . 5 Asimtot datar Garis y = q disebut asimtot datar dari y = f ( x ) jika: (i) x → + ∞ , maka y → q . (dibaca: untuk x semakin besar positif, maka y semakin mendekati q , tetapi tidak pernah mencapai q .) atau (ii) x → – ∞ , maka y → q . (dibaca: untuk x semakin besar negatif, maka y semakin mendekati q , tetapi tidak pernah mencapai q .)

57. K I K D Daftar Isi Definisi 5 . 6 Asimtot tegak Garis x = p disebut asimtot tegak dari y = f ( x ) jika: (i) x → p + , maka y → + ∞ . (dibaca: untuk setiap x semakin mendekati p dari kanan, maka y semakin mendekati besar tak berhingga.) atau (ii) x → p – , maka y → – ∞ . (dibaca: untuk setiap x dan semakin mendekati p dari kiri, maka y semakin mendekati kecil tak berhingga.)

58. K I K D Daftar Isi dengan p ( x ) dan q ( x ) adalah fungsi polinomial berderajat lebih dari atau sama dengan 1. Asimtot tegak dapat ditentukan dengan cara membuat q ( x ) = 0. Sementara asimtot datar, dapat ditentukan dengan sebagai berikut. b. Jika m < n , maka asimtot datar adalah y = 0. c. Jika m > n , maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. a. Jika m = n , maka asimtot datar adalah y = . Diketahui fungsi rasional:

59. K I K D Daftar Isi Pembahasan : a. Asimtot tegak : Gambarkan grafik fungsi x + 3 = 0 x = –3 b. Asimtot datar Karena pangkat dari pembilang dan penyebutnya sama, yaitu 1, maka asimtot datar: y = = 2. c. Menentukan tanda (positif atau negatif ) dengan garis bilangan . Batas - batas garis bilangan adalah menentukan nilai pembuat nol dari pembilang dan penyebut .

60. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : 2 x – 1 = 0 ⇒ x = x + 3 = 0 ⇒ x = –3 Jadi, grafik berada di atas sumbu X pada selang x < –3 dan x > . Sementara itu, grafik berada di bawah sumbu X pada selang –3 < x < . d. Titik potong terhadap sumbu X , maka y = 0, yaitu titik Titik potong terhadap sumbu Y , maka x = 0, yaitu titik e. Titik simetri adalah titik potong asimtot datar dan asimtot tegak, yaitu titik (–3, 2).

61. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : Berdasarkan langkah (a) sampai dengan (e), grafik fungsi digambarkan sebagai berikut.

62. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang fungsi rasional Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 201 - 202 .

63. Transformasi Fungsi K I K D Daftar Isi Diketahui fungsi f ( x ). Pada bagian ini, kita akan mempelajari perubahan grafik fungsi y = f ( x ) jika kita mendefinisikan fungsi baru yang dibuat dari fungsi f ( x ). Perubahan yang akan kita pelajari hanya akibat dari transformasi g ( x ) =[ f ( x )] 2 , h ( x ) = , dan k ( x ) = |f( x )|.

64. Diketahui fungsi f ( x ) = x . Gambarkan grafik fungsi hasil transformasi g ( x ) = [f( x )] 2 . K I K D Daftar Isi Pembahasan : Perbandingan grafik fungsi f ( x ) = x dan g ( x ) = x 2 , yaitu: (i) Untuk x < 0, nilai f ( x ) = x < 0, tetapi nilai g ( x ) = [ f ( x )] 2 = x 2 > 0. Untuk 0 < x < 1, nilai 0 < f ( x ) < 1, maka nilai g ( x ) juga memenuhi 0 < g ( x ) < 1. Perhatikan bahwa g ( x ) < f ( x ), untuk 0 < x < 1. (iii) Untuk x > 1, nilai f ( x ) > 1, maka nilai g ( x ) = [ f ( x ) 2 ] > 1. Perhatikan bahwa g ( x ) > f ( x ), untuk x > 1.

65. K I K D Daftar Isi Grafik y = f ( x ) = x dan y = g ( x ) = x 2 digambarkan sebagai berikut. Lanjutan pembahasan : y = x 2 y = x

66. Perhatikan grafik fungsi berikut. K I K D Daftar Isi Menentukan transformasi grafik fungsi tanpa menyelidiki rumus fungsinya. Gambarkan sketsa (dugaan) grafik hasil transformasi y = f ( x ) g ( x ) = [ f ( x )] 2

67. Pembahasan : K I K D Daftar Isi Misalkan grafik y = f ( x ) dipotong oleh beberapa garis sebagai berikut. y = f ( x ) A B C D E F G H I J 1. Titik potong grafik y = f ( x ) dengan sumbu X adalah titik E dan F . Karena f ( x E ) = 0 dan f ( x F ) = 0, maka g ( x E ) = [ f ( x E )] 2 = 0 dan g ( x F ) = [ f ( x F )] 2 = 0.

68. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : 2. Titik potong grafik y = f ( x ) dengan garis y = 1 adalah titik A dan B . Karena f ( x A ) = 1 dan f ( x B ) = 1, maka g ( x A )= [ f ( x A )] 2 = 1 dan g ( x B )= [ f ( x B )] 2 = 1. 3. Titik potong grafik y = f ( x ) dengan garis y = 2 adalah titik C dan D . Karena f ( x C ) = 2 dan f ( x D ) = 2, maka g ( x C ) = [ f ( x C )] 2 = 4 dan g ( x D ) = [ f ( x D )] 2 = 4. 4. Titik potong grafik y = f ( x ) dengan garis y = –1 adalah titik G dan H . Karena f ( x G ) = –1 dan f ( x H ) = –1, maka g ( x G ) = 1 dan g ( x H ) = 1. 5. Titik potong grafik y = f ( x ) dengan garis y = –2 adalah titik I dan J . Karena f ( x I ) = –2 dan f ( x J ) = –2, maka f ( x I ) = 4 dan f ( x J ) = 4.

69. K I K D Daftar Isi Lanjutan pembahasan : Gambarkan titik-titik y = g ( x ) yang telah diperoleh pada langkah (1) sampai dengan (5) pada koordinat Cartesius. Selanjutnya, hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi y = g ( x ) = [ f ( x )] 2 sebagai berikut.

70. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang transformasi fungsi Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 208 - 212 .

71. Aljabar Fungsi K I K D Daftar Isi Bentuk f ( x ) = 2 x + dapat ditulis sebagai penjumlahan dua fungsi, yaitu p ( x ) = 2 x dan q ( x ) = sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) Bentuk tersebut merupakan bentuk penjumlahan fungsi. Selanjutnya, akan dipelajari operasi aljabar fungsi, meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

72. K I K D Daftar Isi Definisi 5 . 7 Aljabar fungsi Misalkan fungsi f dan g dengan daerah defi nisi D f ∈ R dan D g ∈ R . a. Jumlah fungsi f dan g adalah fungsi baru, ditulis f + g , dengan aturan: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) untuk setiap x ∈ D f ∩ D g b. Selisih fungsi f dan g adalah fungsi baru, ditulis f – g , dengan aturan: ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x ) untuk setiap x ∈ D f ∩ D g c. Hasil kali fungsi f dan g adalah fungsi baru, ditulis f · g , dengan aturan: ( f · g )( x ) = f ( x ) · g ( x ) untuk setiap x ∈ D f ∩ D g

73. K I K D Daftar Isi d. Hasil bagi fungsi f dan g adalah fungsi baru, ditulis dengan aturan: untuk setiap x ∈ D f ∩ D g dan g ( x ) ≠ 0 Diketahui fungsi f ( x ) = 3 x – 2 dan g ( x ) = . Perhatikan bahwa daerah definisi fungsi f adalah seluruh R ( D f ∈ R ) dan daerah definisi fungsi g adalah D g = { x | x ≥ 0}. a. Tentukan aturan ( f + g ), ( f – g ), ( f · g ), dan b. Tentukan pula daerah definisi fungsi tersebut .

74. Pembahasan : K I K D Daftar Isi b. Daerah definisi untuk fungsi f + g , f – g , dan f · g adalah: a. ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 3 x – 2 + ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x ) = 3 x – 2 – ( f · g )( x ) = f ( x ) · g ( x ) = (3 x – 2) · Daerah definisi fungsi adalah D f ∩ D g dan dikurangi semua x yang memenuhi g ( x ) = 0. Dalam hal ini, jika x = 0, maka g ( x ) = 0. Oleh karena itu, daerah definisi fungsi adalah D f ∩ D g \ {0} = { x | x > 0}. D f ∩ D g = R ∩ { x | x ≥ 0} = { x | x ≥ 0}

75. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang aljabar fungsi dan daerah definisinya Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 213 - 215 .

76. Komposisi Fungsi K I K D Daftar Isi Misalkan fungsi f dengan daerah asal D f dan daerah kawan (kodomain) B , sedangkan fungsi g mempunyai daerah asal D g dan daerah kawan (kodomain) C . Selanjutnya, kita akan mendefinisikan komposisi dua fungsi tersebut.

77. K I K D Daftar Isi Diketahui fungsi f dan g sebagai berikut. a. Tentukan g ( f ( b )), yaitu peta b oleh f , kemudian hasilnya dipetakan oleh g . b. Tentukan g ( f ( d )), yaitu peta d oleh f , kemudian hasilnya dipetakan oleh g .

78. K I K D Daftar Isi a. Berdasarkan gambar, f ( b ) = 0. Lalu, peta 0 oleh g adalah g (0) = x . Jadi, dapat dituliskan: Pembahasan : Pada Bahas Soal bagian (a), b dipetakan ke 0 oleh f , kemudian 0 dipetakan ke x oleh g . Secara singkat, x disebut peta komposisi oleh f dan g dari b . Demikian pula, pada bagian (b) z merupakan peta komposisi oleh f dan g dari d . g [ f ( b )] = g (0) = x b. Dengan cara yang sama, f ( d ) = 2 dan g (2) = z . Jadi, dapat dituliskan: g [ f ( d )] = g (2) = z

79. K I K D Daftar Isi Komposisi f dan g ditulis sebagai g ◦ f (dibaca: g komposisi dengan f ) mempunyai aturan sebagai berikut. Notasi tersebut berarti x dipetakan oleh f , kemudian hasilnya dipetakan oleh g . Berikut ilustrasinya. ( g ◦ f )( x ) = g [ f ( x )] D f x f y = f ( x ) g B D g g ◦ f C g ( f ( x )) g ( y )

80. K I K D Daftar Isi Perhatikan Bahas Soal sebelumnya. f ( a ) = –2 Tidak semua elemen di D f dapat memiliki peta dari komposisi g dan f , misal: tidak ada peta –2 oleh g Jadi, daerah definisi fungsi g ◦ f adalah: D g ◦ f = { x ∈ D f | f ( x ) ∈ D g } dibaca: bagian dari himpunan D f sehingga peta oleh f masuk ke daerah definisi D g sehingga: D g ◦ f ⊂ D f

81. K I K D Daftar Isi Perhatikan Bahas Soal sebelumnya. g ◦ f terdefinisi, belum tentu ( f ◦ g )( x ) = f [ g ( x )] dapat didefinisikan. x tidak termasuk dalam daerah asal f  f ◦ g tidak terdefinisi. Jadi, jika f ◦ g dan g ◦ f terdefinisi, maka hasil keduanya belum tentu sama . Pada bahas soal diperoleh nilai f [ g (0)] karena g (0) = x . Perhatikan bahwa D f ◦ g = { x ∈ D g | g ( x ) ∈ D f } sehingga: D f ◦ g ⊂ D g

82. K I K D Daftar Isi Pembahasan : a. D f = { x | x ≥ 0} dan D g = R . b. ( g ◦ f )( x ) = g [ f ( x )] Diketahui fungsi f ( x ) = dan g ( x ) = x 2 + 1. Tentukan: a. daerah definisi fungsi f dan g , b. g ◦ f dan daerah definisinya, dan c. f ◦ g dan daerah definisinya. = x + 1 Daerah definisinya: Karena tidak memberikan syarat, maka Daerah asal ini tidak dapat ditentukan berdasarkan rumus fungsi g ◦ f .

83. K I K D Daftar Isi c. ( f ◦ g )( x ) = f [ g ( x )] Lanjutan pembahasan : = f ( x 2 + 1) Daerah definisinya: Karena nilai x 2 + 1 ≥ 1 ≥ 0, maka syarat di dalam himpunan memberikan syarat. Oleh karena itu:

84. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang komposisi fungsi Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 218 - 220 .

85. Invers Fungsi K I K D Daftar Isi Arti kata invers adalah kebalikan. M isalkan fungsi f dengan daerah asal D f dan daerah nilai di B . Fungsi invers dari f adalah fungsi yang mempunyai daerah asal B dan daerah hasil di D f . Fungsi invers juga berkebalikan pada aturannya. Jika peta a oleh fungsi f adalah p , maka peta p oleh fungsi invers dari f harus kembali ke a lagi. Hal ini diilustrasikan sebagai berikut. D f a fungsi invers B p f

86. Diketahui fungsi f dengan daerah asal D f = { a , b , c } dan daerah kawan B = { p , q , r } dengan aturan seperti pada gambar berikut. Pembahasan : K I K D Daftar Isi Tentukan aturan bagi f –1 . Berdasarkan informasi pada gambar, diperoleh: f ( a ) = q → f –1 ( q ) = a f ( b ) = r → f –1 ( r ) = b f ( c ) = p → f –1 ( p ) = c

87. Tidak semua fungsi mempunyai invers. K I K D Daftar Isi Misalkan fungsi f , seperti pada gambar berikut. Karena p tidak dapat dipetakan ke f , maka f tidak mempunyai fungsi invers. 2. 1. Karena terdapat dua kemungkinan untuk menentukan peta q , maka f tidak mempunyai fungsi invers.

88. Fungsi invers Misalkan fungsi f mempunyai daerah asal D f dan daerah kawan B . Fungsi invers dari f ( f –1 ) ada ( terdefinisi ) dengan daerah asal B dan daerah kawan D f jika f bersifat bijektif ( surjektif dan injektif ). Sifat 5 . 3 K I K D Daftar Isi

89. K I K D Daftar Isi Diketahui fungsi f ( x ) = 3 x + 2. Jika ada, tentukan rumus invers fungsi f sebagai f –1 . Pembahasan : Fungsi f ( x ) adalah fungsi linear. Karena fungsi linear merupakan fungsi bijektif, maka fungsi f ( x ) mempunyai invers. Untuk menentukan f –1 , kita tentukan terlebih dahulu nilai atau peta a oleh f , yaitu p . f ( a ) = 3 a + 2 = p Berdasarkan definisi fungsi invers, f –1 ( p ) = a . Selanjutnya, nyatakan a dalam p sebagai berikut. 3 a + 2 = p a = ⅓ ( p – 2) f –1 ( p ) = ⅓ ( p – 2) f –1 ( x ) = ⅓ ( x – 2)

90. K I K D Daftar Isi Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang invers fungsi Kerjakan Cek Poin dan Latihan Pengembangan Kompetensi Halaman 223 - 225 .

91. Untuk melatih kemampuan pemahaman tentang fungsi, transformasi grafik fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi . Kerjakan Uji Kompetensi Halaman 226 - 230 . K I K D Daftar Isi

92. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya . KI 1 Menunjukkan perilaku jujur , disiplin , tanggung jawab , peduli ( gotong royong , kerja sama , toleran , damai ), santun , responsif , dan pro- aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia . Memahami , menerapkan , dan menganalisis pengetahuan faktual , konseptual , prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan , teknologi , seni , budaya , dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan , kebangsaan , kenegaraan , dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian , serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah . KI 2 KI 3 Mengolah , menalar , dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri , dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan . KI 4 K I K D Daftar Isi

93. Menjelaskan dan menentukan fungsi ( terutama fungsi linear, fungsi kuadrat , dan fungsi rasional ) secara formal yang meliputi notasi , daerah asal , daerah hasil , dan ekspresi simbolik , serta sketsa grafiknya . Menganalisa karakteristik masing-masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibat transformasi f 2 ( x ), 1/ f ( x ), | f ( x )| dsb . KD 4. 5 KD 3. 5 K I K D Daftar Isi Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya . KD 3. 6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi invers suatu fungsi . KD 4. 6