Estadísticos de orden
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Nov 25, 2014
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Estadisticos de orden junto con ejemplos.
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
ESTADISTICOS DE ORDEN
Monterrey, Nuevo León, México, a 25 de noviembre de 2014
FACULTAD CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
ESTADISTICOS DE ORDEN
Monterrey, Nuevo León, México, a 25 de noviembre de 2014
Estadísticos de orden 2014
Estadísticos de orden
Sea X1, X2,….,Xn son valores muestra colocados en orden ascendente y se
denota por
�
1, �
2, ……, �
??????
�
(1)= El menor de �
1, �
2, … , �
??????
�
(2)= El segundo menor de �
1, �
2, … , �
??????
.
.
�
(�)= El j-esimo menor de �
1, �
2, … , �
??????
.
.�
(??????)= El mayor de �
1, �
2, … , �
??????
Cuando se utiliza la teoría de probabilidad para analizar estadísticos de orden de
muestras aleatorias a partir de una distribución continúa la función de distribución
acumulativa se usa para reducir el análisis para el caso de estadísticas de orden
de la distribución uniforme.
Cuando los estadísticos de orden se construyen mediante la medida de interés de
la muestra:
??????
(??????+1)
2
, si n es impar
??????̃
(??????
(
??????
2
)
+ ??????
(
??????
2
+1)
)/ 2, si n es par
Nota: �
1≠ �
(1)
El primero denota el primer valor
tomado.
El segundo el valor más chico.
Existen 3 estadísticos básicos.
�̅=??????���??????,�������� � �??????��� �����??????��.
�̂=??????��??????,�� �� �??????��� ��� �á� �� ������.
�̃=??????���??????�??????,�??????�� �����.
Estadísticos de orden
Sea X1, X2,….,Xn son valores muestra colocados en orden ascendente y se
denota por
�
1, �
2, ……, �
??????
�
(1)= El menor de �
1, �
2, … , �
??????
�
(2)= El segundo menor de �
1, �
2, … , �
??????
.
.
�
(�)= El j-esimo menor de �
1, �
2, … , �
??????
.
.�
(??????)= El mayor de �
1, �
2, … , �
??????
Cuando se utiliza la teoría de probabilidad para analizar estadísticos de orden de
muestras aleatorias a partir de una distribución continúa la función de distribución
acumulativa se usa para reducir el análisis para el caso de estadísticas de orden
de la distribución uniforme.
Cuando los estadísticos de orden se construyen mediante la medida de interés de
la muestra:
??????
(??????+1)
2
, si n es impar
??????̃
(??????
(
??????
2
)
+ ??????
(
??????
2
+1)
)/ 2, si n es par
Nota: �
1≠ �
(1)
El primero denota el primer valor
tomado.
El segundo el valor más chico.
Existen 3 estadísticos básicos.
�̅=??????���??????,�������� � �??????��� �����??????��.
�̂=??????��??????,�� �� �??????��� ��� �á� �� ������.
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Estadísticos de orden 2014
Rango
El rango de la muestra es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Está claro que
es una función de las estadísticas de orden.
El rango de una muestra aleatoria se encuentra de la siguiente forma
Rango { �
1, �
2, … , �
??????} = �
??????- �
1
La función de densidad conjunta de los estadísticos de orden está dada por:
��
1, ��
2, ……, ��
??????(�
1, �
2, ……, �
??????)= n! ��
1, ��
2, ……, ��
??????
�
1< �
2 < ……< �
??????
EJEMPLO
Ahora la función de densidad acumulada de cualquier conjunta de j-1 nos da �
� ˂
X, el complemento de la acumulada de n-j variables son de valores mayores que
X, así el valor restante de X lo obtenemos con la f.p.m o densidad.
(⌈??????
(�)⌉
�−1
) (⌈??????
(�)⌉
??????−�
) f(x)
Entonces ya que existen combinaciones
(
??????
(�−1)!(??????−�)!
)=
??????!
(�−1)! (??????−�)!
que son diferentes formas de participar las n-variables �
1, �
2, … , �
?????? en los tres
grupos procedentes, se sigue que la función de densidad a masa de �
� esta dada
por
�
??????(�)=
??????!
(�−1)! (??????−�)!
(⌈??????
(�)⌉
�−1
) (⌈??????
(�)⌉
??????−�
) f(x)
Rango
El rango de la muestra es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Está claro que
es una función de las estadísticas de orden.
El rango de una muestra aleatoria se encuentra de la siguiente forma
Rango { �
1, �
2, … , �
??????} = �
??????- �
1
La función de densidad conjunta de los estadísticos de orden está dada por:
��
1, ��
2, ……, ��
??????(�
1, �
2, ……, �
??????)= n! ��
1, ��
2, ……, ��
??????
�
1< �
2 < ……< �
??????
EJEMPLO
Ahora la función de densidad acumulada de cualquier conjunta de j-1 nos da �
� ˂
X, el complemento de la acumulada de n-j variables son de valores mayores que
X, así el valor restante de X lo obtenemos con la f.p.m o densidad.
(⌈??????
(�)⌉
�−1
) (⌈??????
(�)⌉
??????−�
) f(x)
Entonces ya que existen combinaciones
(
??????
(�−1)!(??????−�)!
)=
??????!
(�−1)! (??????−�)!
que son diferentes formas de participar las n-variables �
1, �
2, … , �
?????? en los tres
grupos procedentes, se sigue que la función de densidad a masa de �
� esta dada
por
�
??????(�)=
??????!
(�−1)! (??????−�)!
(⌈??????
(�)⌉
�−1
) (⌈??????
(�)⌉
??????−�
) f(x)
Estadísticos de orden 2014
EJEMPLO
Cuando una muestra de 2n + 1 variables aleatorias (es decir, cuando 2n + 1 variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas) se observa, el (n+1) más pequeño
se llama la mediana de la muestra. Si una muestra de tamaño 3 de una distribución
uniforme en (0, 1) es observado, encuentra la probabilidad de que la mediana de la
muestra está entre
1
4
y
3
4
.
Solución. De la ecuación (6.2), la densidad de X(2) está dada por:
��(2)(�)=
3!
1!1!
�(1−�) 0<�<1
Por lo tanto,
??????{
1
4
<??????
(2)<
3
4
}=6∫�(1−�)��
3/4
1/4
=6{
�
2
2
−
�
3
3
}
�=3/4
�=1/4
=
11
16
La función de distribución acumulada de X(j) se puede encontrar mediante la integración
de la ecuación (6.2). Es decir,
Fx(J) (y)=
??????!
(??????−�)!(�−1)!
∫[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)��
�
−∞
(6.3)
Sin embargo, Fx(j)(y) también podría haber sido derivado directamente al señalar que el j-
esimo orden estadístico es menor o igual a y si y sólo si hay j o más de los Xi’s que son
menor o igual a y. Por lo tanto, debido a que el número de Xi’s que son menor o igual a y
es una variable aleatoria binomial con parámetros n, p = F (y), se deduce que
??????�(�)(�)=??????{??????
�≤�}=??????{� � �??????� �� �??????� ??????
�
′
���≤�}=∑(
�
�
)[??????(�)]
�
[1−??????(�)]
??????−�??????
�=� (6.4)
Si, en las ecuaciones (6.3) y (6.4), tomamos F para ser una distribución uniforme (0,1)
[��� ��.�(�)=1,0<�<1], entonces obtenemos la interesante identidad analítica
∑(
�
�
)�
�
(1−�)
??????−�
=
�!
(�−�)!(�−1)!
∫�
�−1
(1−�)
??????−�
��
�
0
0≤�≤1 (6.5)
??????
�=�
EJEMPLO
Cuando una muestra de 2n + 1 variables aleatorias (es decir, cuando 2n + 1 variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas) se observa, el (n+1) más pequeño
se llama la mediana de la muestra. Si una muestra de tamaño 3 de una distribución
uniforme en (0, 1) es observado, encuentra la probabilidad de que la mediana de la
muestra está entre
1
4
y
3
4
.
Solución. De la ecuación (6.2), la densidad de X(2) está dada por:
��(2)(�)=
3!
1!1!
�(1−�) 0<�<1
Por lo tanto,
??????{
1
4
<??????
(2)<
3
4
}=6∫�(1−�)��
3/4
1/4
=6{
�
2
2
−
�
3
3
}
�=3/4
�=1/4
=
11
16
La función de distribución acumulada de X(j) se puede encontrar mediante la integración
de la ecuación (6.2). Es decir,
Fx(J) (y)=
??????!
(??????−�)!(�−1)!
∫[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)��
�
−∞
(6.3)
Sin embargo, Fx(j)(y) también podría haber sido derivado directamente al señalar que el j-
esimo orden estadístico es menor o igual a y si y sólo si hay j o más de los Xi’s que son
menor o igual a y. Por lo tanto, debido a que el número de Xi’s que son menor o igual a y
es una variable aleatoria binomial con parámetros n, p = F (y), se deduce que
??????�(�)(�)=??????{??????
�≤�}=??????{� � �??????� �� �??????� ??????
�
′
���≤�}=∑(
�
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)[??????(�)]
�
[1−??????(�)]
??????−�??????
�=� (6.4)
Si, en las ecuaciones (6.3) y (6.4), tomamos F para ser una distribución uniforme (0,1)
[��� ��.�(�)=1,0<�<1], entonces obtenemos la interesante identidad analítica
∑(
�
�
)�
�
(1−�)
??????−�
=
�!
(�−�)!(�−1)!
∫�
�−1
(1−�)
??????−�
��
�
0
0≤�≤1 (6.5)
??????
�=�
Estadísticos de orden 2014
Al emplear el mismo tipo de argumento que se utilizó en el establecimiento, la ecuación
(6.2), podemos demostrar que la función de densidad conjunta de las estadísticas de
orden X(i) y X(j) cuando i <j es:
��
(�),�
(�)(�
�,�
�)
=
�!
(�−1)!(�−�−1)!(�−�)!
[??????(�
�)]
�−1
×[??????(�
�)−??????(�
�)]
�−�−1
[1−??????(�
�)]
??????−�
�(�
�)�(�
�) �??????�?????? ����� ��� �
� < �
� (6.6
EJEMPLO
A lo largo de una carretera de 1 milla de largo son 3 personas distribuidas al azar.
Encuentre la posibilidad de que no hay 2 personas que estén a menos de una distancia
de milla d aparte cuando d < ½.
Solución. Supongamos que “distribuido al azar” significa que las posiciones de las 3
personas son independientes y están distribuidos uniformemente a lo largo del camino. Si
X denota la posición de la persona ITH, entonces la probabilidad deseada es ??????{??????
�>
??????
(�−1)+�,�=2,3}. Porque
��(1),�(2),�
(3)(�
1,�
2,�
3)=3! 0<�
1<�
2<�
3<1
??????{??????
�> ??????
(�−1)+�,�=2,3}=∭ ��(1),�(2),�(3)(�
1,�
2,�
3) ��
1
�
�>�
�−1+??????
��
2��
3
=3!∫ ∫∫��
3
1
�
2+??????
1−??????
�
1+??????
1−2??????
0
��
2��
1
=6∫ ∫(1−�−�
2)
1−??????
�
1+??????
1−2??????
0
��
2��
1
=6∫ ∫ �
2
1−2??????−�
1
0
1−2??????
0
��
2��
1
Donde �
2=1−�−�
2
=3∫(1−2�−�
1)
2
1−2??????
0
��
1
=3∫ �
1
2
1−2??????
0
��
1
=(1−2�)
3
Al emplear el mismo tipo de argumento que se utilizó en el establecimiento, la ecuación
(6.2), podemos demostrar que la función de densidad conjunta de las estadísticas de
orden X(i) y X(j) cuando i <j es:
��
(�),�
(�)(�
�,�
�)
=
�!
(�−1)!(�−�−1)!(�−�)!
[??????(�
�)]
�−1
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�−�−1
[1−??????(�
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??????−�
�(�
�)�(�
�) �??????�?????? ����� ��� �
� < �
� (6.6
EJEMPLO
A lo largo de una carretera de 1 milla de largo son 3 personas distribuidas al azar.
Encuentre la posibilidad de que no hay 2 personas que estén a menos de una distancia
de milla d aparte cuando d < ½.
Solución. Supongamos que “distribuido al azar” significa que las posiciones de las 3
personas son independientes y están distribuidos uniformemente a lo largo del camino. Si
X denota la posición de la persona ITH, entonces la probabilidad deseada es ??????{??????
�>
??????
(�−1)+�,�=2,3}. Porque
��(1),�(2),�
(3)(�
1,�
2,�
3)=3! 0<�
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2<�
3<1
??????{??????
�> ??????
(�−1)+�,�=2,3}=∭ ��(1),�(2),�(3)(�
1,�
2,�
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3
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2)
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0
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Donde �
2=1−�−�
2
=3∫(1−2�−�
1)
2
1−2??????
0
��
1
=3∫ �
1
2
1−2??????
0
��
1
=(1−2�)
3
Estadísticos de orden 2014
Por lo tanto, la probabilidad deseada de que 2 personas no están a una distancia d uno al
otro cuando 3 personas están uniformemente distribuidos e independientemente al
intervalo de medida 1 es (1−2�)
3
. De hecho, el mismo método puede ser utilizado para
probar cuando n personas se distribuyen al azar en la unidad i la probabilidad deseada es
[1−(�−1)�]
??????
����� �≤
1
�−1
La función de densidad estadística ??????
� puede obtenerse al integrar la función de densidad
conjunta o por un razonamiento directo de la siguiente manera: Para que ??????
� a la igualdad
de x, es necesario para �−1 de los n valores �
1…�
?????? sea menor que x, �−� de ellos que
sea menor que x, y uno de ellos para igualar x. Ahora, la densidad de probabilidad de que
cualquier conjunto dado de �−1 de las x son menos de x, otro conjunto dado de �−� son
todas mayores que r, y el valor restante es igual que x.
[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)
Por lo tanto
(
�
�−1,�−�,1
)=
�!
(�−�)!(�−1)!
La función de densidad de ??????
� esta dada por
��(�)(�)=
�!
(�−�)!(�−1)!
[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)
Por lo tanto, la probabilidad deseada de que 2 personas no están a una distancia d uno al
otro cuando 3 personas están uniformemente distribuidos e independientemente al
intervalo de medida 1 es (1−2�)
3
. De hecho, el mismo método puede ser utilizado para
probar cuando n personas se distribuyen al azar en la unidad i la probabilidad deseada es
[1−(�−1)�]
??????
����� �≤
1
�−1
La función de densidad estadística ??????
� puede obtenerse al integrar la función de densidad
conjunta o por un razonamiento directo de la siguiente manera: Para que ??????
� a la igualdad
de x, es necesario para �−1 de los n valores �
1…�
?????? sea menor que x, �−� de ellos que
sea menor que x, y uno de ellos para igualar x. Ahora, la densidad de probabilidad de que
cualquier conjunto dado de �−1 de las x son menos de x, otro conjunto dado de �−� son
todas mayores que r, y el valor restante es igual que x.
[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)
Por lo tanto
(
�
�−1,�−�,1
)=
�!
(�−�)!(�−1)!
La función de densidad de ??????
� esta dada por
��(�)(�)=
�!
(�−�)!(�−1)!
[??????(�)]
�−1
[1−??????(�)]
??????−�
�(�)
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