ESTATICA - EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO.pdf

Teoría sobre equilibrio de cuerpos rígidos por ing. Maribel Burgos de la FIC-UNI

1. ESTATICA –EC 111
Ing. Maribel Burgos Namuche, M. Sc.

2. EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO

3. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Uncuerporígidoessometidoaunsistemadefuerzas
externasymomentosqueeselresultadodelosefectosde
fuerzasgravitatorias,eléctricas,magnéticasofuerzasde
contactoentrelaspartículasycuerposadyacentes..

4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Lasfuerzasinternascausadasporinteraccionesentre
partículasdentrodelcuerporígidoocurreenpares
colinealesigualesperoopuestos,deacuerdoalaterceraley
deNewton.Porlotanto,lasfuerzasinternassecancelano
lasumadefuerzasinternasesigualacero.

5. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Elsistemadefuerzasymomentosactuandosobreun
cuerporígidopuedeserreducidoaunafuerzaequivalente
ymomentoresultanteencualquierpuntoOenfueradel
cuerpo.

6. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
UncuerposeencuentraenEQUILIBRIO cuandola
fuerzaresultanteyelmomentosonigualesacero.() ()0
0
===
==


FrMM
FF
OOR
R

7. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Sisedescomponecadafuerzaycadamomentoensus
componentesrectangulares,sepuedenexpresarlas
condicionesnecesariasysuficientesparaelequilibriode
uncuerporígido:000
000

 
===
===
zyx
zyx
MMM
FFF
Conestasecuacionessepuededeterminarfuerzasdesconocidasque
estánaplicadassobreelcuerporígidooreaccionesdesconocidas
ejercidassobreésteporsuspuntosdeapoyo.

8. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
Seconsideraequilibrioendosdimensionescuandoun
sistemadefuerzasactúansobreuncuerporígidoyse
encuentraopuedeproyectarseenunsoloplano.

9. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
DIAGRAMADECUERPOLIBRE
✓Esuncroquisdelcontornodelcuerpo,quelorepresenta
aisladoo“libre”desuentorno,estoesun“cuerpolibre”.
✓Sobreestecroquisesnecesariomostrartodaslasfuerzas
ylosmomentosqueelentornoejercesobreelcuerpo.

10. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Siunsoporteprevienelatraslacióndeuncuerpoenuna
direccióndada,entoncesunafuerzaesdesarrolladasobre
elcuerpoenesadirección.Igualmente,siunarotaciónes
prevenida,sobreelcuerposeejerceunmomentodepar.

11. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO

12. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Una incógnita. La reacción es una fuerza de
tensión que actúa alejándose del miembro en la
dirección del cable.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa a lo largo del eje del eslabón.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la superficie en el
punto de contacto.
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Rodillo
Eslabón sin peso
cable

13. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la superficie en el
punto de contacto.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la superficie en el
punto de contacto.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la ranura.
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
mecedora
Superficie de
contacto lisa
Rodillo o pasador confinado
en una ranura lisa

14. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la barra.
Dos incógnitas. Las reacciones son dos componentes de
fuerza , o la magnitud y la dirección f de la fuerza
resultante. Observe que fy q no son necesariamente
iguales.
Dos incógnitas. Las reacciones son el momento y la
fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Miembro conectado mediante un pasador
a un collar sobre una barra lisa
Pasador o articulación lisa
Miembro con conexión fija a un
collar sobre una barra lisa

15. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Tres incógnitas. Las reacciones son el momento
y las dos componentes de fuerza, o el momento
y la magnitud y la dirección f de la fuerza
resultante.
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Soporte fijo empotrado

16. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO

17. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
ECUACIONESDEEQUILIBRIO0
0
0



=
=
=
o
y
x
M
F
F
CONJUNTOALTERNATIVODEECUACIONESDEEQUILIBRIO0
0
0



=
=
=
B
A
x
M
M
F

18. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
SEGUNDAALTERNATIVADEEQUILIBRIO0
0
0



=
=
=
C
B
A
M
M
M

19. MIEMBROS DE DOS Y TRES FUERZAS
MIEMBROSDEDOSFUERZAS
Paraquecualquiermiembrodedosfuerzasestéenequilibrio,
lasdosfuerzasactuandosobreelmiembrodebetenerlamisma
magnitud,actuarendireccionesopuestas,ytenerlamisma
líneadeacción,dirigidaalolargodelalíneaqueunelosdos
puntosdondeactúanlasfuerzas.

==
=
==
0 ó 0
0
BA
BA
MM
F
FFF

20. MIEMBROS DE DOS Y TRES FUERZAS
MIEMBROSDETRESFUERZAS
Paraquecualquiermiembrodetresfuerzasestéenequilibrio,el
equilibriodemomentosesatisfacesilastresfuerzasformaun
sistemadefuerzasconcurrentesoparalelos 0 =
OM infinito. elen
aparecerá O""ón intersecci de punto El

21. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
Calcule la magnitud de la fuerza soportada por el pasador en A bajo la acción
de la carga de 1.5 kN aplicada al soporte. Desprecie la fricción en la ranura.

22. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

23. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Una incógnita. La reacción es una fuerza de
tensión que actúa alejándose del miembro en la
dirección del cable.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la superficie en el
punto de contacto.
Una incógnita. La reacción es una fuerza que
actúa perpendicularmente a la superficie en el
punto de contacto.
Rodillo
Soporte superficial liso

24. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Tres incógnitas. Las reacciones son tres
componentes rectangulares de fuerza.
Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos
fuerzas y dos componentes de momento de par
que actúan perpendicularmente a la flecha.
Cojinete liso
Rótula esférica

25. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Cinco incógnitas. Las reacciones son dos
fuerzas y tres componentes de momento de par.
Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas
y dos componentes de momento de par.
Cojinete de empuje
Cojinete liso con flecha
cuadrada

26. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
REACCIONESENLOSSOPORTESOPUNTOSDEAPOYO
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas
Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas
Cinco incógnitas. Las reacciones son tres
fuerzas y dos componentes de momento de par.
Articulación simple (bisagra)
Pasador simple liso
Soporte fijo
(empotramiento)
Cinco incógnitas. Las reacciones son tres
fuerzas y dos componentes de momento de par.
Seis incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas
y tres componentes de momento de par.

27. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
EJEMPLOSTÍPICOSDESOPORTESREALES
Esta rótula esférica proporciona una conexión
para la caja de una máquina niveladora de tierra
con su bastidor.
Cojinetes de apoyo soporta los extremos de un
eje.

28. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
EJEMPLOSTÍPICOSDESOPORTESREALES
Esta chumacera de empuje se usa para soportar
la flecha impulsora sobre una máquina.
Este pasador se usa para soportar el extremo del
puntal usado en un tractor.

29. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
DIAGRAMADECUERPOLIBRE
✓Esuncroquisdelcontornodelcuerpo,quelorepresenta
aisladoo“libre”desuentorno,estoesun“cuerpolibre”.
✓Sobreestecroquisesnecesariomostrartodaslasfuerzas
ylosmomentosqueelentornoejercesobreelcuerpo.

30. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
DIAGRAMADECUERPOLIBRE

31. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
DIAGRAMADECUERPOLIBRE

32. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
ECUACIONESDEEQUILIBRIO0
0


=
=
oM
F
Ecuacionesescalaresdeequilibrio. 

=++=
=++=
0
0
kMjMiMM
kFjFiFF
zyxO
zyx
Lasdoscondicionesparalograrelequilibriodeuncuerporígido
puedenserexpresadasmatemáticamenteenformavectorial
como:

33. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
Ecuacionesescalaresdeequilibrio. 

=++=
=++=
0
0
kMjMiMM
kFjFiFF
zyxO
zyx
Comolascomponentesi,jyksonindependientesunadeotra,
estasecuacionesseránsatisfechassiempreque:0
0
0
=
=
=



z
y
x
F
F
F 0
0
0
=
=
=



z
y
x
M
M
M

34. Laestructuratubularsoldadaestáfijoalplano
horizontalx-yporunarótulaesféricaenAy
recibesoportedelcojinetelisoenB.Bajolaacción
delacargade2kN,larotaciónalrededordeuna
líneadeAaBesevitadoporelcableCD,yla
estructuraesestableenlaposiciónquese
muestra.Desprecieelpesodelaestructuraen
comparaciónconlacargaaplicadaydeterminela
tensiónTenelcable,lareacciónenelsoporteBy
loscomponentesdereacciónenA.
Ejemplo:Equilibrioen3D

35. Ejemplo:Equilibrioen3D
Diagrama de cuerpo libre de la estructura:
Ecuaciones de equilibrio:
෍??????=0
෍�
�=0

36. Definiendo vectorialmente la fuerza T:
Ejemplo:Equilibrioen3D
Vector unitario de C a D:??????
��=
??????�+??????,��−��
??????
??????
+??????,�
??????
+−�
??????
=
= 0,294�+0,368�−0,882�
Tensión del cable, T: ??????=0,294??????�+0,368??????�−0,882??????�
Fuerza, F: Ԧ??????=2�
Vector posición de la fuerza T: ??????
1=−�+2.5�
Vector posición de la fuerza F: ??????
2=2.5�+6�
෍�
�=0

37. �ሻ�(??????=??????
1×??????
=−0,368??????�−0,882??????�−0,735??????�−2,205??????�
=−2,205??????�−0,882??????�−1,103??????�
�
�??????=??????
2×Ԧ??????=5�−12�
Momento con respecto al punto A de la fuerza T:
Momento con respecto al punto A de la fuerza F:
�
��=4,5�
��+6�
��−4,5�
��
Momento con respecto al punto A de las reacciones del soporte B
�
????????????
=−2,205??????−12+4,5�
��+−0,882??????+6�
��+−1,103??????+5−4,5�
��=0
Momento resultante con respecto al punto A es:
Ejemplo:Equilibrioen3D
෍�
�=0

38. Fuerza resultante es:
??????
??????=0,294??????+�
�+�
��+0,368??????+2+�
��+−0,882??????+�
�+�
��
F
MRA=0
Bz
Bx
−2,205??????−12+4,5�
�=0
−0,882??????+6�
�=0
−1,103??????+5−4,5�
�=0
�
????????????
=−2,205??????−12+4,5�
��+−0,882??????+6�
��+−1,103??????+5−4,5�
��=0
Momento resultante con respecto al punto A es:
??????=2,834��
�
�=0,417��
�
�=4,055��
0,294??????+�
�+�
�=0→�
�=−1,25��
0,368??????+2+�
�=0→�
�=−3,043��
−0,882??????+�
�+�
�= 0 →�
�=1,555��
෍??????
�=0
T

39. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIÓNCOMPLETAYESTÁTICAMENTE DETERMINADA
ByAy
Ax
RestricciónCompleta
Elcuerporígidoesimposiblequese
muevabajolaaccióndelascargasdadas.
EstáticamenteDeterminada
Lasreaccionesdeestosapoyosinvolucran
tresincógnitas,lascualespueden
determinarseresolviendolastres
ecuacionesdeequilibrio.

40. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIONES REDUNDANTES o
REACCIONES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
ByAyAx Bx
RestricciónCompleta
Estosapoyosproporcionanmásrestriccionesdelasnecesariasparaevitarque
laarmadurasemuevabajolascargasdadas.
EstáticamenteIndeterminada
Lasreaccionesdeestosapoyosinvolucrancuatroincógnitas,setienenmás
incógnitasqueecuacionesdeequilibrio.Portanto,nosepuedendeterminartodas
lasincógnitas.LascomponentesAxyBxsonestáticamenteindeterminadas.

41. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIONES REDUNDANTES o
REACCIONES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

42. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIÓNPARCIALoRESTRICCIONESIMPROPIAS
ByAy
RestricciónParcial
Cuandolasrestriccionesproporcionadaspor
estosapoyosnosonsuficientesparaimpedir
quelaestructurasemueva.Haymenos
incógnitasqueecuaciones,engeneralunade
lasecuacionesdeequilibrionosecumplirá.
Nosepuedemantenerelequilibriodela
estructurabajocondicionesgeneralesde
carga.

43. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIÓNPARCIALoRESTRICCIONESIMPROPIAS

44. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIÓNPARCIALoRESTRICCIONESIMPROPIAS

45. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
RESTRICCIONESIMPROPIAS

46. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
CONCLUSIÓN
Deloanteriorseconcluyequesiuncuerporígidotienerestricción
completaysilasreaccionesensusapoyossonestáticamentedeterminadas,
entonceshabrátantasincógnitascomoecuacionesdeequilibrio.
Cuandoestacondiciónnosecumple:
•elcuerporígidonoestácompletamenterestringidoo
•lasreaccionesensusapoyosnosonestáticamentedeterminadas;
Además,tambiénesposiblequeelcuerporígidonoestecompletamente
restringidoyquelasreaccionesseanestáticamenteindeterminadas.
Sinembargo,sedebeseñalarquelacondiciónyamencionada, ,aunquees
necesaria,noessuficiente.
Elhechodequeelnúmerodeincógnitasseaigualalnúmerodeecuacionesno
garantizaqueelcuerpotengarestriccióncompletaoquelasreaccionesen
susapoyossonestáticamentedeterminadas.

47. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
-Estructura impropiamente restringida
-Estáticamente indeterminada (lo produce las
reacciones impropias)
-Estructura impropiamente restringida
-Estáticamente indeterminada (lo produce las
reacciones impropias)
Un cuerpo rígido está impropiamente restringido siempre que los
apoyos estén ubicados de tal forma que las reacciones sean concurrentes
o paralelas.

48. RESTRICCIONES y DETERMINACION ESTATICA
-Estructura con restricción completa
-Estáticamente determinada
Paraasegurarqueuncuerporígidobidimensionalestácompletamente
restringidoydequelasreaccionesensusapoyossonestáticamente
determinadas,sedebeverificarquelasreacciones,involucrentres
incógnitasyquelosapoyosesténubicadosdemaneraquenorequieran
quelasreaccionesseanconcurrentesoparalelas.

49. EJEMPLO
Determinelascomponentesdelasreaccionesquelarótula
esféricaenelnudoA,elcojinetelisoenB,yelsoportederodillo
enCejercensobreelconjuntodevarillacomosemuestraenla
figura.

50. EJEMPLO
DIAGRAMA DECUERPOLIBRE
ECUACIONES DEEQUILIBRIO00 == yy AF

51. EJEMPLO
ECUACIONES DEEQUILIBRIO

52. EJEMPLO
ECUACIONES DEEQUILIBRIO

53. EJEMPLO
ECUACIONES DEEQUILIBRIO