Estimação Pontual (Inferência Estatística)

O presente documento debruça-se sobre a teoria da estimação estatística, abordando, de forma rigorosa, os seus conceitos fundamentais.

Procede-se à definição de termos essenciais, tais como parâmetro, estimador e estimativa.

O texto explora, ainda, as diferentes modalidades de estimação – estimação pontual e estimação por intervalo – apresentando exemplos elucidativos de cálculo de intervalos de confiança para a Média, Variância e Proporção populacional, com o objectivo de ilustrar a aplicação prática dos princípios teóricos enunciados.

1. Wadiley Sousa do Nascimento
Mestre em Estatística, Matemática e Computação – Ramo Estatística
Computacional
ESTIMAÇÃO
PONTUAL

2. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Introdução
69Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]

3. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Introdução
70Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
O campo da Inferência Estatística consiste naqueles métodos usados
para tomar decisões ou tirar conclusões a cerca de uma população.
Esses métodos utilizam a informação contida em uma amostra da
população para tirar conclusões.
População Histograma
Média Populacional
Desvio Padrão
Populacional
Amostra
Média Amostral
Desvio Padrão
Amostral
Figura 1: Relação entre uma população e uma amostra

4. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Definições
71Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica
numérica populacional.
A média (�),a variância (??????
�
) e o coeficiente de correlação (�) são
alguns exemplos de parâmetros populacionais.
Estimação: é o procedimento usado para obter informações sobre os
parâmetros desconhecidos de uma população com base nos dados da
amostra.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro
populacional: é uma característica numérica determinada na
amostra, uma função de seus elementos.
A média amostral (ഥ??????),a variância amostral (�
�
) e o coeficiente de
correlação amostral (�)são alguns exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador.

5. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Parâmetros e Estatísticas
72Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
População
(x
1
, x
2
, x
3
,..., x
N
)
Parâmetros Estatísticas
Proporção �=
�����ência
N
ො�=
�����ência
n
Média �=
1
??????
෍
??????=1
??????
�
?????? ҧ�=
1
�
෍
??????=1
�
�
??????
Variância ??????
2
=
1
??????
෍
??????=1
??????
�
??????−�
2
�
2
=
1
�−1
෍
??????=1
�
�
??????−lj�
2
Amostra
(X
1
, X
2
, ..., X
n
)

6. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
73Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Proposição 1: A média das médias amostrais, ou �(ҧ�), é igual à
média � populacional.
�ҧ�=�
1
�
෍
??????=1
�
�
??????=
1
�
�෍
??????=1
�
�
??????=
1
�
෍
??????=1
�
��
??????=
1
�
෍
??????=1
�
�=
1
�
��=�
Proposição 2: A variância da média amostral é igual à variância
populacional dividida pelo tamanho da amostra.
VARҧ�=VAR
1
�
෍
??????=1
�
�
??????=
1
�
2
VAR෍
??????=1
�
�
??????=
1
�
2
෍
??????=1
�
VAR�
??????=
1
�
2
෍
??????=1
�
??????
2
=
1
�
2
�??????
2
=
??????
2
�

7. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
74Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Proposição 3: A para grandes amostras, a proporção amostral se
distribui com média igual à proporção populacional.
�Ƹ�=�
�
�
=
1
�
��=
1
�
��=�=�
ො�
Proposição 4: A variância da proporção amostral é a variância da
população dividida pelo número de ele1nentos da amostra.
VARƸ�=VAR
�
�
=
1
�
2
VAR�=
1
�
2
���=
��
�

8. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação - Pontual
Tipos de Estimação
75Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Existem dois tipos fundamentais de estimação de um parâmetro
populacional: por ponto e por intervalo.
Estimação pontual
Quando utilizamos dados amostrais calcula-se um valor da estimativa
do parâmetro populacional e com isso tem-se uma estimativa por
ponto do parâmetro analisado.
Estimativapontualéaestimativadeumúnicovalorparaum
parâmetropopulacional.
Assim, a estatística amostral�, média da amostra, pode ser usada
como um estimador do parâmetro �, média da população.
Exemplo: Amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade de
20.000 estudantes revelou uma média amostral de 5,2.

9. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
76Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
���: Seja ��|?????? a função de probabilidade ou função densidade de
probabilidade de uma amostra �=�
1,…,�
�. Então, dado que �
=� é observado, a função verosimilhança de ?????? definida por
????????????|�=��|??????
O Estimador de Máxima Verosimilhança pode ser encontrado
seguindo os seguintes passos:
i.Encontrar a função de verosimilhança;
ii.Aplicar a função ln;
iii.Derivar em relação ao parâmetro ??????;
iv.Igualar o resultado a zero.
v.Verificar que este estimador é ponto de máximo

10. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
77Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Seja � uma variável aleatória com distribuição Binomial (�; �). Tomemos uma
amostra aleatória �
1,…,�
� de �. Qual é o estimador de máxima
verosimilhança para �?
Como �~Bernoulli(�) , a função de probabilidade de � é
�
��=�
??????
1−�
1−??????
.
Desta forma, a função de verosimilhança é dada por
??????�; ??????
�,…,??????
�=��
1; �×⋯×��
�; �
=ෑ
�=�
�
�
??????
��−�
�−??????
�=�
σ
??????=1
??????
??????
??????1−�
σ
??????=1
??????
1−??????
??????

11. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
78Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Para encontrar o estimador de máxima verosimilhança para �, devemos
encontrar o valor de � para o qual a função de verosimilhança ??????�; �
1,…,�
� é
máxima. Aplicando a função logaritmo natural (��) na função de
verosimilhança ??????�; �
1,…,�
�, temos que
ln??????�; �
1,…,�
�=ln�
σ
??????=1
??????
??????
??????1−�
σ
??????=1
??????
1−??????
??????=෍
??????=1
�
�
??????ln�+෍
??????=1
�
1−�
??????ln1−�
e, derivando em relação a �, segue que
�ln??????�; �
1,…,�
�
��
=
1−�σ
??????=1
�
�
??????−�σ
??????=1
�
1−�
??????
�1−�

12. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
79Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Igualando o resultado a zero, obtemos que
1−Ƹ�σ
??????=1
�
�
??????−Ƹ�σ
??????=1
�
1−�
??????
Ƹ�1−Ƹ�
=⟺Ƹ�=
1
�
෍
??????=1
�
�
??????=�.
É fácil verificar, utilizando o teste da segunda derivada que Ƹ�=
1
�
� é realmente
um estimador de máxima verosimilhança para �.

13. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
80Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Seja � uma variável aleatória com distribuição Normal com mádia �
e variância ??????
2
. Tomemos uma amostra aleatória independente e
igualmente distribuída �
1,…,�
� de �. Qual o estimador de máxima
verosimilhança para ??????=�,??????
2
?
Como �~??????�,??????
2
, a função densidade de � é
�
�,??????
2�=
1
2�??????
2
���−
1
2
�−�
??????
2
,−∞<&#3627408485;<∞
Assim, a função de verosimilhança é dada por
??????&#3627409159;,??????
2
; &#3627408485;
1,…,&#3627408485;
&#3627408475;=ෑ
??????=1
&#3627408475;
1
2&#3627409163;??????
2
&#3627408466;&#3627408485;&#3627408477;−
1
2
&#3627408485;
??????−&#3627409159;
??????
2

14. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
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Ou seja,
??????&#3627409159;,??????
2
; &#3627408485;
1,…,&#3627408485;
&#3627408475;=2&#3627409163;
−Τ&#3627408475;2
??????
2−Τ&#3627408475;2
&#3627408466;&#3627408485;&#3627408477;−
1
2
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627409159;
??????
2
Para encontrar o estimador de máxima verosimilhança para ??????
=&#3627409159;,??????
2
devemos encontrar os valores de &#3627409159; e ??????
2
para os quais a
função de verosimilhança, ??????&#3627409159;,??????
2
; &#3627408485;
1,…,&#3627408485;
&#3627408475;, é máxima.
Para isso primeiramente aplicaremos a função &#3627408473;&#3627408475;,
ln??????&#3627409159;,??????
2
; &#3627408485;
1,…,&#3627408485;
&#3627408475;=ln2&#3627409163;
−Τ&#3627408475;2
??????
2−Τ&#3627408475;2
&#3627408466;&#3627408485;&#3627408477;−
1
2
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627409159;
??????
2
=−
&#3627408475;
2
ln2&#3627409163;−
&#3627408475;
2
ln??????
2
−
1
2
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627409159;
??????
2

15. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Distribuição Amostral
82Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 905 88 42 E-mail: [email protected]
Agora vamos derivar em relação a &#3627409159;:
&#3627409173;ln??????&#3627409159;,??????
2
; &#3627408485;
1,…,&#3627408485;
&#3627408475;
&#3627409173;μ
=−
2
2??????
2
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627409159;−1=෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627409159;
??????
2
Igualando o resultado a zero obtemos:
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−ො&#3627409159;
??????
2
=0⟺
1
??????
2
෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−ො&#3627409159;=0⟺෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−ො&#3627409159;=0
⟺෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????−&#3627408475;ො&#3627409159;=0⟺&#3627408475;ො&#3627409159;=෍
??????=1
&#3627408475;
&#3627408485;
??????⟺ො&#3627409159;=&#3627408485;
E então, o possível estimador de máxima verosimilhança da média
populacional &#3627409159; é&#3627408459;.