Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica

Alguns exercícios resolvidos de integração usando substituição trigonométrica.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integral por Substituição
Trigonométrica
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Escrito por Diego Oliveira ­ Publicado em 05/01/2017 ­ Atualizado em 15/10/2017
O que você precisa saber?
É imprescindível que você tenha conhecimento das identidades trigonométricas
fundamentais (D6?@,4@DD6?@,E‹?86?E6,4@D64‹?E6,D64‹?E6e4@E‹?86?E6) e das
seguintes:
AD6?

(‹) +4@D

(‹) =
A +4@E8

(‹) =4D4

(‹)
AE8

(‹) +=D64

(‹)
AD6?(‹) =D6?(‹)4@D(‹)
A4@D(‹) =4@D

(‹)D6?

(‹)
A4@D(‹) =D6?

(‹)
A4@D(‹) =4@D

(‹)
Se você sentir diculdade para decorá-las tente se lembrar pelo menos das iden-
tidades fundamentais e das propriedadesA,AeA, pois as demais (A,A,Ae
A) podem ser deduzidas através delas.
Como funciona?
O processo de resolução por substituição é descrito basicamente em três passos:
1. n) a ser utilizada.
Isso é feito examinando o radical da função.
RadicalSubstituição a ser usada
p
‹

‘

‘=‹D6?(n)
p
‹

+‘

‘=‹E8(n)
p
‘

‹

‘=‹D64(n)
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2. n.
3.
Para entender melhor vamos calcular a integral
Z
Æ
‘

5‘
IDENTIFICANDO A SUBSTITUIÇÃO
Note que o radical da função a ser integrada não se parece com nenhum dos rad-
icais da nossa tabela de substituição, assim precisamos trabalha-lo algebricamente
para identicar que tipo de substituição usaremos.
Z
Æ
‘

5‘
=
Z
v
u
t




‘


5‘
=
Z
v
u
u
u
t
2
4
‚p


Œ
‘

3
55‘
=
Z
p

v
u
u
t
‚p


Œ
‘

5‘
=
Z
v
u
u
t
‚p


Œ
‘

5‘
Observe que o radical da integral recai agora no primeiro caso (‘=‹D6?(n)),
com‹=
p
, assim as substituições que usaremos são:
‘=
p


D6?(n) ()
e também
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5‘=
p


4@D(n)5n()
RESOLVENDO A INTEGRAL EM n
Fazendo a substituição de (1) e (2) na integral
=
Z
v
u
u
t
‚p


Œ

‚p


D6?(n)
Œ

p


4@D(n)5n
=
p

Z
0
B
@
v
u
u
t
‚p


Œ

‚p


Œ
D6?

(n)
1
C
A4@D(n)5n
evidenciando
‚p


Œ
e retirando-o de dentro do radical
=
p

Z
0
B
@
v
u
u
t
‚p


Œ
(D6?

(n))
1
C
A4@D(n)5n
=
p

Z‚p


q
D6?

(n)
Œ
4@D(n)5n
=
Z
q
D6?

(n)

4@D(n)5n
Como4@D

(n) =D6?

(n)(verA) então:

Z
q
D6?

(n)

4@D(n)5n
=
Z
q
4@D

(n)

4@D(n)5n
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=
Z
(4@D(n))4@D(n)5n
=
Z
4@D

(n)5n
Para resolver essa integral ainda precisamos de outra identidade trigonométrica
(vejaA).

Z
4@D

(n)5n
=
Z
+4@D(n)


5n
=


Z
(+4@D(n))5n
=


Z
5n+


Z
4@D(n)5n
=


n+


D6?(n) +(sendo C uma constante.)
RETORNANDO A VARIÁVEL
Já sabemos que o “resultado" (emn) da integral é
Z
Æ
‘

5‘=


n+


D6?(n) +onde (2R).
então o que falta agora é retornar a variável original, ou seja, passar denpara
‘.
Como a substituição usada foi‘=
p


D6?(n)entãoD6?(n) =
‘
p

e como
sen(n) =D6?(n)4@D(n)então:
sen(n) =D6?(n)
Æ
D6?

(n)
4

5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)sen(n) =
0
@
‘
p

v
u
t


‘
p



1
A
)sen(n) =
0
@
‘
p

v
u
t

‘


1
A
)
Z
Æ
‘


5‘=


DŒ?


‘
p


+


0
@
‘
p

v
u
t

‘


1
A
Exemplo 2:Calcule a integral
Z
5‘
‘
p
‘

Solução:
Como=

então:
Z
5‘
‘
p
‘

=
Z
5‘
‘
p


‘

Observando o radical do integrando vamos usar a substituição de‘=‹D6?(n),
com‹=.
‘=D6?(n))5‘=4@D(n)5n
Z
5‘
‘
p
‘

=
Z
4@D(n)5n
(D6?(n))
Æ


(D6?(n))

=
Z
4@D(n)5n
(D6?(n))
q






D6?

(n)
=
Z
4@D(n)5n
D6?(n)
Æ
D6?

(n)
UsandoA
=
Z



4@D(n)5n
D6?(n)
Æ



4@D

(n)
=
Z
5n
D6?(n)
=


Z
5n
D6?(n)
5

6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como

D6?(‹)
=4D4(‹)então:


Z
5n
D6?(n)
=


Z
4D4(n)5n
=


?j4D4(n) +4@E8(n)j+ Constante
Acabamos de encontrar a solução da nossa integral emn, mas como nosso prob-
lema originalmente estava em função de x devemos retornar a x. Como a substitu-
ição que zemos foi de‘=D6?(n)então:
D6?(n) =
‘

)4D4=

‘
ComoD6?

(n) +4@D

(n) =então:
4@D(n) =
Æ
D6?

(n)
)4@D(n) =
v
u
t

‘


e como4@E8(n) =
4@D(n)
D6?(n)
então:
4@E8(n) =
v
u
t

‘


‘

=
p
‘

‘
O que implica em



?j4D4(n) +4@E8(n)j+ Constante
=


?





‘
+
p
‘

‘




+ Constante(Solução).
6

7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3. Calcule a integral
Z
‘

p
‘

5‘
Solução:
Usando‘=D6?(n)então:
Z
‘

p
‘

5‘=
Z
(D6?(n))

Æ


(D6?(n))

4@D(n)5n
)
Z
D6?

(n)
Æ




D6?

(n))
4@D(n)5n=
Z
D6?

(n)
Æ


(D6?

(n))
4@D(n)5n
)
Z
D6?

(n)
Æ
D6?

(n)
4@D(n)5n=
Z
D6?

(n)
Æ
4@D

(n)
4@D(n)5n
)
Z
D6?

(n)5n()
Para resolver a integral (1) fazemos o seguinte.

Z
D6?

(n)5n=
Z
D6?

(n)D6?(n)5n
)
Z
(4@D

(n))D6?(n)5n=
Z

D6?(n)D6?(n)4@D

(n)

5n
)
Z
D6?(n)5n
Z
D6?(n)4@D

(n)5n

)

4@D(n)
Z
D6?(n)4@D

(n)5n

()
A integral
Z
D6?(n)4@D

(n)5npode ser resolvida por substituição fazendoŽ=
4@D(n).
Z
D6?(n)4@D

(n)5n=
Z
Ž

5Ž=
Ž


=
4@D

(n)

assim, (2) ca como
)
–
4@D(n)
‚

4@D

(n)

Ϊ
7

8. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)
–
4@D

(n)

4@D(n)
™
=4@D

(n)4@D(n)
Como4@D(n) =
Æ
D6?

(n)então:
4@D

(n)4@D(n) =
ۮ
D6?

(n)
Š


ۮ
D6?

(n)
Š
E como zemos inicialmente a substituição de‘=D6?(n)

ۮ
D6?

(n)
Š


ۮ
D6?

(n)
Š
=
ۮ
(‘)

Š


ۮ
(‘)

Š
que após algum algebrismo resulta em:



p
‘


‘

+

+ constante
8

9. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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