Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
DiegoOliveira462
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Nov 15, 2018
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About This Presentation
Exercícios resolvidos de cálculo um sobre taxas relacionadas.
Slide Content
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
ExercíciosResolvidos: TaxaRelacionada
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 11/11/2018 Atualizado em 08/08/2017
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de
3 passos:
1. vericamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido;
2. encontramos uma função que após derivada implicitamente nos
forneça o que é solicitado;
3. substituímos todos os valores requeridos e achamos a solução
Dica:Algumas vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda
bastante a entender melhor a questão. Embora, dependendo da sua habilidade, isso
seja dispensável.
Exemplo 01
Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinado a
de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a
linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo dada", quando o
comprimento da linha desenrolada for de 50m?
Solução:
1
Passo:
Uma representação geométrica bem simples do problema é o triângulo retângulo
a baixo.
40 mx50 m
Os dados que o enunciado nos fornece diretamente são:
y = 40 m
z = 50 m
1
ExercíciosResolvidos: TaxaRelacionada
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 11/11/2018 Atualizado em 08/08/2017
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de
3 passos:
1. vericamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido;
2. encontramos uma função que após derivada implicitamente nos
forneça o que é solicitado;
3. substituímos todos os valores requeridos e achamos a solução
Dica:Algumas vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda
bastante a entender melhor a questão. Embora, dependendo da sua habilidade, isso
seja dispensável.
Exemplo 01
Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinado a
de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a
linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo dada", quando o
comprimento da linha desenrolada for de 50m?
Solução:
1
Passo:
Uma representação geométrica bem simples do problema é o triângulo retângulo
a baixo.
40 mx50 m
Os dados que o enunciado nos fornece diretamente são:
y = 40 m
z = 50 m
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
dx/dt = 3 m/s
E o que desejamos saber é dz/dt.
Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distancia horizontal entre
o garoto e a pipa (a variável x do diagrama)
K
=J
+
)=
p
=
e como a pipa não possui uma velocidade vertical ainda podemos armar que
dy/dt = 0.
2
Passo:
O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio
teorema de Pitágoras.
K
=
+J
Derivando implicitamente essa função obtemos
K
5K
5E
=
5
5E
+J
5J
5E
3
Passo:
Finalmente, substituindo todos os valores, obtemos o valor desejado.
K
5K
5E
=
5
5E
+J
5J
5E
()
5K
5E
=()() +()()
)
5K
5E
=
>D
2
dx/dt = 3 m/s
E o que desejamos saber é dz/dt.
Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distancia horizontal entre
o garoto e a pipa (a variável x do diagrama)
K
=J
+
)=
p
=
e como a pipa não possui uma velocidade vertical ainda podemos armar que
dy/dt = 0.
2
Passo:
O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio
teorema de Pitágoras.
K
=
+J
Derivando implicitamente essa função obtemos
K
5K
5E
=
5
5E
+J
5J
5E
3
Passo:
Finalmente, substituindo todos os valores, obtemos o valor desejado.
K
5K
5E
=
5
5E
+J
5J
5E
()
5K
5E
=()() +()()
)
5K
5E
=
>D
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 02
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual
ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m
/h, a que razão
aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?
Solução:
1
Passo:
Dados:
r = 4
h = r = 4
5+
5E
=m
/h
e o que desejamos saber é
5
5E
.
Pela derivada implícita da equação do volume ainda podemos obter dr/dt e dh/dt
(mesmo que este último não seja muito importante neste exercício).
+=
uC
9
Mas como9=C, então
+=
uC
)
5+
5E
=uC
5C
5E
)
5C
5E
=
u()
)
5C
5E
=
u
E como h = r, então dh/dt = dr/dt.
2
Passo:
Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que é pedido é a da área do circulo.
=uC
5
5E
=uC
5C
5E
3
Exemplo 02
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual
ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m
/h, a que razão
aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?
Solução:
1
Passo:
Dados:
r = 4
h = r = 4
5+
5E
=m
/h
e o que desejamos saber é
5
5E
.
Pela derivada implícita da equação do volume ainda podemos obter dr/dt e dh/dt
(mesmo que este último não seja muito importante neste exercício).
+=
uC
9
Mas como9=C, então
+=
uC
)
5+
5E
=uC
5C
5E
)
5C
5E
=
u()
)
5C
5E
=
u
E como h = r, então dh/dt = dr/dt.
2
Passo:
Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que é pedido é a da área do circulo.
=uC
5
5E
=uC
5C
5E
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3
Passo:
Finalmente substituímos os valores e encontramos a solução.
5
5E
=u
u
)
5
5E
=>
9
Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por
questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada.
Exemplo 03
Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a
base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s,
com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?
Solução:
Com base nos dados construímos um triângulo com as seguintes medidas.
4 mx6 m
Os dados fornecidos pelo problema são:
x = 2
p
m
y = 4 m
z = 6 m
dx/dt= 0.6 m/s
E o que precisamos é de dy/dt.
Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distância entre o pé da
escada e a parede quando seu topo está a 4 metros do solo.
=K
J
=
=
p
4
3
Passo:
Finalmente substituímos os valores e encontramos a solução.
5
5E
=u
u
)
5
5E
=>
9
Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por
questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada.
Exemplo 03
Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a
base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s,
com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?
Solução:
Com base nos dados construímos um triângulo com as seguintes medidas.
4 mx6 m
Os dados fornecidos pelo problema são:
x = 2
p
m
y = 4 m
z = 6 m
dx/dt= 0.6 m/s
E o que precisamos é de dy/dt.
Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distância entre o pé da
escada e a parede quando seu topo está a 4 metros do solo.
=K
J
=
=
p
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
E como o tamanho da escada é xo ainda podemos armar que dz/dt = 0.
A fórmula que fornecerá o valor desejado será o próprio teorema de Pitágoras.
+J
=K
)
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
)(
p
>)>D+(>)
5J
5E
=()
)
p
>
D+>
5J
5E
=
)
5J
5E
=
p
>D
Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para
baixo).
Exemplo 04
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e
raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m
/min calcule a razão
em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m?
Solução:
Dados:
h = 4 m
r = 2 m
5+
5E
= 0.001 m
/min
Queremos descobrir
59
5E
quando h = 1 m.
A equação que irá nos dar esse resultado será a do volume do cone.
+=
uC
9
Entretanto se derivássemos implicitamente essa função neste momento chegaríamos
a
5+
5E
=
u
C9
5C
5E
+C
59
5E
5
E como o tamanho da escada é xo ainda podemos armar que dz/dt = 0.
A fórmula que fornecerá o valor desejado será o próprio teorema de Pitágoras.
+J
=K
)
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
)(
p
>)>D+(>)
5J
5E
=()
)
p
>
D+>
5J
5E
=
)
5J
5E
=
p
>D
Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para
baixo).
Exemplo 04
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e
raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m
/min calcule a razão
em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m?
Solução:
Dados:
h = 4 m
r = 2 m
5+
5E
= 0.001 m
/min
Queremos descobrir
59
5E
quando h = 1 m.
A equação que irá nos dar esse resultado será a do volume do cone.
+=
uC
9
Entretanto se derivássemos implicitamente essa função neste momento chegaríamos
a
5+
5E
=
u
C9
5C
5E
+C
59
5E
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
O que seria um problema, pois não sabemos o valor de dr/dt. Então como re-
solver este problema?
Pelos dados do enunciado percebemos que
9
C
=
)C=9
Substituindo esse valor na equação do volume nos livramos de qualquer em-
pecilho, veja agora.
+=
u
9
9
)+=
9
u
)
5+
5E
=
u
9
59
5E
)=
u
()
59
5E
)
59
5E
=
u
>>?
Exemplo 05
Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de
0.005 cm/min. Determine a taxa á qual a área de uma das faces varia quando o
diâmetro é 30 cm.
Solução:
Dados:
dD/dt = 0.005 cm/min
dA/dt = ?
D = 30 cm
Tomando a relação A =uC
que é fórmula para área do círculo.
e derivando a implicitamente temos:
5
5E
=uC
5C
5E
6
O que seria um problema, pois não sabemos o valor de dr/dt. Então como re-
solver este problema?
Pelos dados do enunciado percebemos que
9
C
=
)C=9
Substituindo esse valor na equação do volume nos livramos de qualquer em-
pecilho, veja agora.
+=
u
9
9
)+=
9
u
)
5+
5E
=
u
9
59
5E
)=
u
()
59
5E
)
59
5E
=
u
>>?
Exemplo 05
Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de
0.005 cm/min. Determine a taxa á qual a área de uma das faces varia quando o
diâmetro é 30 cm.
Solução:
Dados:
dD/dt = 0.005 cm/min
dA/dt = ?
D = 30 cm
Tomando a relação A =uC
que é fórmula para área do círculo.
e derivando a implicitamente temos:
5
5E
=uC
5C
5E
6
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
O problema é que não sabemos o valor de dr/dt, sendo assim, antes efetuar a
derivada realizaremos uma pequena substituição levando em conta que o diâmetro
(D) e duas vezes o raio (D = 2r).
=u
)=
u
)
5
5E
=
u
5
5E
)
5
5E
=
u
()
)
5
5E
=u(4>
>?)
Exemplo 06
Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a
razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25
cm?
Solução:
Dados:
dr/dt = -2 cm/min
dv/dt = ?
r = 25 cm.
A fórmula do volume da esfera é:
+=
uC
Derivando implicitamente.
5+
5E
=
uC
5C
5E
)
5+
5E
=uC
5C
5E
e substituindo os valores
7
O problema é que não sabemos o valor de dr/dt, sendo assim, antes efetuar a
derivada realizaremos uma pequena substituição levando em conta que o diâmetro
(D) e duas vezes o raio (D = 2r).
=u
)=
u
)
5
5E
=
u
5
5E
)
5
5E
=
u
()
)
5
5E
=u(4>
>?)
Exemplo 06
Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a
razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25
cm?
Solução:
Dados:
dr/dt = -2 cm/min
dv/dt = ?
r = 25 cm.
A fórmula do volume da esfera é:
+=
uC
Derivando implicitamente.
5+
5E
=
uC
5C
5E
)
5+
5E
=uC
5C
5E
e substituindo os valores
7
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5+
5E
=u()
()4>
>?
chegamos a solução
)
5+
5E
=u 4>
>?
Exemplo 07
A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre
é igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razão de 15 cm/min.
Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25
cm.
Solução:
Dados:
h = r
dh/dt = 15 cm/min
dv/dt = ?
h = 25.
E como h = r então dh/dt = dr/dt também.
Tomando a equação do volume
+=
uC
9
e substituindoC
+=
u9
Derivando implicitamente.
5+
5E
=u9
59
5E
5+
5E
=u()
()
8
5+
5E
=u()
()4>
>?
chegamos a solução
)
5+
5E
=u 4>
>?
Exemplo 07
A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre
é igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razão de 15 cm/min.
Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25
cm.
Solução:
Dados:
h = r
dh/dt = 15 cm/min
dv/dt = ?
h = 25.
E como h = r então dh/dt = dr/dt também.
Tomando a equação do volume
+=
uC
9
e substituindoC
+=
u9
Derivando implicitamente.
5+
5E
=u9
59
5E
5+
5E
=u()
()
8
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5+
5E
=u 4>
>?
Exemplo 08
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma
taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela
onda crescente ao nal de 10 segundos?
Solução:
Dados:
dr/dt = 3 m/s
dA/dt = ?
t = 10s
=uC
)
5
5E
=uC
5C
5E
Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.
5
5E
=u()() =u >
D
Exemplo 09
Um balão esférico é inado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m
/min.
Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m?
Solução:
+=
uC
5
5E
=uC
5C
5E
(>
>?) =u(>)
5C
5E
5C
5E
=
u
(>>?)
ComoC=Diâmetro então:
9
5+
5E
=u 4>
>?
Exemplo 08
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma
taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela
onda crescente ao nal de 10 segundos?
Solução:
Dados:
dr/dt = 3 m/s
dA/dt = ?
t = 10s
=uC
)
5
5E
=uC
5C
5E
Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.
5
5E
=u()() =u >
D
Exemplo 09
Um balão esférico é inado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m
/min.
Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m?
Solução:
+=
uC
5
5E
=uC
5C
5E
(>
>?) =u(>)
5C
5E
5C
5E
=
u
(>>?)
ComoC=Diâmetro então:
9
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5C
5E
=
5
5E
e portanto:
5
5E
=
u
(>>?)
Exemplo 10
Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo
a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60
km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em
que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km?
Solução:
Dados:
dx/dt = 90
dy/dt = -60
dz/dt = ?
x = 0.2 Km
y = 0.15 Km
60 km/h90 km/h
Neste caso desejamos saber
5K
5E
quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.
Para isso usaremos o teorema de Pitágoras:
+J
=K
derivando implicitamente.
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
e simplicando
10
5C
5E
=
5
5E
e portanto:
5
5E
=
u
(>>?)
Exemplo 10
Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo
a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60
km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em
que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km?
Solução:
Dados:
dx/dt = 90
dy/dt = -60
dz/dt = ?
x = 0.2 Km
y = 0.15 Km
60 km/h90 km/h
Neste caso desejamos saber
5K
5E
quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.
Para isso usaremos o teorema de Pitágoras:
+J
=K
derivando implicitamente.
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
e simplicando
10
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
substituímos os valores de dx/dt e dy/dt
() +J() =K
5K
5E
e evidenciamos o dz/dt.
5K
5E
=
() + ()()
K
Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto:
5K
5E
= >9
Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de
Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores).
VK=
p
+
<>9
Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im-
plícita.
Exemplo 11
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci-
dos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta
AA+=
Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia,
com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil
caixas?
Solução:
Queremos descobrir
5A
5E
quando x = 5. Derivando a expressão implicitamente
chega-se à:
5A
5E
+
5
5E
A
5A
5E
5
5E
+=
)
5A
5E
() +
5
5E
(A) =
11
5
5E
+J
5J
5E
=K
5K
5E
substituímos os valores de dx/dt e dy/dt
() +J() =K
5K
5E
e evidenciamos o dz/dt.
5K
5E
=
() + ()()
K
Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto:
5K
5E
= >9
Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de
Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores).
VK=
p
+
<>9
Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im-
plícita.
Exemplo 11
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci-
dos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta
AA+=
Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia,
com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil
caixas?
Solução:
Queremos descobrir
5A
5E
quando x = 5. Derivando a expressão implicitamente
chega-se à:
5A
5E
+
5
5E
A
5A
5E
5
5E
+=
)
5A
5E
() +
5
5E
(A) =
11
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)
5A
5E
=
5
5E
(A)
Quandoé igual 5Aé igual à 6
A()A() +=
A() =
A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como é uma
unidade em milhares usaremos
5
5E
=
.
Assim:
5A
5E
=
()
()
=
Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia.
Exemplo 12
Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no
sentido oeste, tomando como referencia um holofote xado no solo que o focaliza e
que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo.
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual
deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância
horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m?
Solução:
1220 m
Queremos encontrar
5n
5E
quando=m. E comoE8 n=
então:
D64
n
5n
5E
=
5
5E
Substituindo
5
5E
=na equação anterior e dividindo por sec
n, iremos
obter
12
)
5A
5E
=
5
5E
(A)
Quandoé igual 5Aé igual à 6
A()A() +=
A() =
A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como é uma
unidade em milhares usaremos
5
5E
=
.
Assim:
5A
5E
=
()
()
=
Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia.
Exemplo 12
Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no
sentido oeste, tomando como referencia um holofote xado no solo que o focaliza e
que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo.
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual
deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância
horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m?
Solução:
1220 m
Queremos encontrar
5n
5E
quando=m. E comoE8 n=
então:
D64
n
5n
5E
=
5
5E
Substituindo
5
5E
=na equação anterior e dividindo por sec
n, iremos
obter
12
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5n
5E
=
D64
n
Quando x = 610, tgn= 2 e sec
n= 5.
5n
5E
=
)
5n
5E
C5D
Exemplo 13
Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade
na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.
10m5m1m3m1.5m4m
A gura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida
a uma taxa de 0.1 m
/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua
profundidade no ponto mais profundo for de 1 m?
Solução:
Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então
somente a área cuja seção transversal é um trapézio estará sendo usada. Assim
vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte é representada pelo
desenho a seguir.
13
5n
5E
=
D64
n
Quando x = 610, tgn= 2 e sec
n= 5.
5n
5E
=
)
5n
5E
C5D
Exemplo 13
Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade
na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.
10m5m1m3m1.5m4m
A gura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida
a uma taxa de 0.1 m
/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua
profundidade no ponto mais profundo for de 1 m?
Solução:
Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então
somente a área cuja seção transversal é um trapézio estará sendo usada. Assim
vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte é representada pelo
desenho a seguir.
13
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
1 m2m1.5m4m3m
Á equação que vamos usar é a da área do trapézio:
=
D6"@C+D6>6?@C
9
Como
"
>
=
++
)"=
>então
=
>
9
Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio
determinado:
+=
+=
>9
E como>=
+=
9
Derivando implicitamente
5+
5E
=
59
5E
Substituindo a taxa
=
59
5E
)
59
5E
=
>
14
1 m2m1.5m4m3m
Á equação que vamos usar é a da área do trapézio:
=
D6"@C+D6>6?@C
9
Como
"
>
=
++
)"=
>então
=
>
9
Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio
determinado:
+=
+=
>9
E como>=
+=
9
Derivando implicitamente
5+
5E
=
59
5E
Substituindo a taxa
=
59
5E
)
59
5E
=
>
14
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 14
Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de
10.000 cm
/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a
uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se
o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m,
encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Solução:
2 m = 200 cm5.8 m = 600 cm4 m = 400 cm
A variação do volume de água é dada pela fórmula
5+
5E
=
56
5E
5D
5E
Onde
56
5E
é a taxa de variação de entrada da água e
5D
5E
a taxa de variação da
saída da água, que é igual ácm
/min.
Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é:
+=
uC
9
Pelo desenho é fácil vericar que
9
C
=
que resulta emC=
9. Assim:
+=
u
9
9=
u9
onde derivando implicitamente obtemos:
5+
5E
=
u9
59
5E
Como
5+
5E
=
56
5E
5D
E
então:
15
Exemplo 14
Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de
10.000 cm
/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a
uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se
o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m,
encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Solução:
2 m = 200 cm5.8 m = 600 cm4 m = 400 cm
A variação do volume de água é dada pela fórmula
5+
5E
=
56
5E
5D
5E
Onde
56
5E
é a taxa de variação de entrada da água e
5D
5E
a taxa de variação da
saída da água, que é igual ácm
/min.
Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é:
+=
uC
9
Pelo desenho é fácil vericar que
9
C
=
que resulta emC=
9. Assim:
+=
u
9
9=
u9
onde derivando implicitamente obtemos:
5+
5E
=
u9
59
5E
Como
5+
5E
=
56
5E
5D
E
então:
15
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
56
5E
5D
5E
=
u
)
56
5E
=
u
)
56
5E
=
‚
u
Œ
+
)
56
5E
4>
>?
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6
cm
/min
Exemplo 15
Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade
constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do
centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta
distância era 200 m?
Solução:
Observe o esquema a seguir
200mnxyz
O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então
não podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenospara
expressar a distância entre os dois:
K
=
+J
J4@Dn
Derivando implicitamente e levando em conta que xeynão variam no tempo
(ou seja, são constantes) chega-se á:
K
5K
5E
=++J(D6?n)
5n
5E
)K
5K
5E
=J(D6?n)
5n
5E
16
56
5E
5D
5E
=
u
)
56
5E
=
u
)
56
5E
=
‚
u
Œ
+
)
56
5E
4>
>?
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6
cm
/min
Exemplo 15
Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade
constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do
centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta
distância era 200 m?
Solução:
Observe o esquema a seguir
200mnxyz
O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então
não podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenospara
expressar a distância entre os dois:
K
=
+J
J4@Dn
Derivando implicitamente e levando em conta que xeynão variam no tempo
(ou seja, são constantes) chega-se á:
K
5K
5E
=++J(D6?n)
5n
5E
)K
5K
5E
=J(D6?n)
5n
5E
16
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)K
5K
5E
=J(D6?n)
5n
5E
Substituindo o valor de,JeK.
5K
5E
=(D6?n)
5n
5E
)
5K
5E
=(D6?n)
5n
5E
Da física sabemos que(=Cnlogo:
5(
5E
=C
5n
5E
)
5(
5E
C
=
5n
5E
.
Substituindo esse último valor em dz/dt
5K
5E
=(D6?n)
5(
5E
C
)
5K
5E
=
C
(D6?n)
5(
5E
ComoC=>então
5K
5E
=
(D6?n)
5(
5E
)
5K
5E
= (D6?n)
5(
5E
Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo nserá
de:
=
+
4@D(n)
)
=
+
4@D(n)
)4@D(n) =
)n
Assim:
17
)K
5K
5E
=J(D6?n)
5n
5E
Substituindo o valor de,JeK.
5K
5E
=(D6?n)
5n
5E
)
5K
5E
=(D6?n)
5n
5E
Da física sabemos que(=Cnlogo:
5(
5E
=C
5n
5E
)
5(
5E
C
=
5n
5E
.
Substituindo esse último valor em dz/dt
5K
5E
=(D6?n)
5(
5E
C
)
5K
5E
=
C
(D6?n)
5(
5E
ComoC=>então
5K
5E
=
(D6?n)
5(
5E
)
5K
5E
= (D6?n)
5(
5E
Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo nserá
de:
=
+
4@D(n)
)
=
+
4@D(n)
)4@D(n) =
)n
Assim:
17
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5K
5E
=D6?(
)
5(
5E
)
5K
5E
=D6?(
)>D
Exemplo 16
A equação de demanda de uma determinada camisa é A+A=,
ondecentenas de camisas são demandadas por semana quando Afor o preço
unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver
crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.
Solução:
A equação é a seguinte:
A+A=
Derivando a equação implicitamente chega-se à:
5A
5E
+A
5
5E
+
5A
5E
=
ComoA=e
5A
5E
=então:
()+()
5
5E
+() =
)
5
5E
=
() +()
Para descobrir o valor deusamos a equação inicial.
A+A=
)()+()=)=
Portanto
5
5E
=
() +()()
=
Decresce a taxa de 55 camisas por semana.
18
5K
5E
=D6?(
)
5(
5E
)
5K
5E
=D6?(
)>D
Exemplo 16
A equação de demanda de uma determinada camisa é A+A=,
ondecentenas de camisas são demandadas por semana quando Afor o preço
unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver
crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.
Solução:
A equação é a seguinte:
A+A=
Derivando a equação implicitamente chega-se à:
5A
5E
+A
5
5E
+
5A
5E
=
ComoA=e
5A
5E
=então:
()+()
5
5E
+() =
)
5
5E
=
() +()
Para descobrir o valor deusamos a equação inicial.
A+A=
)()+()=)=
Portanto
5
5E
=
() +()()
=
Decresce a taxa de 55 camisas por semana.
18
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 17
Uma lâmpada está pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem com
1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de
1,5m/s:
a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
Solução:
Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.
wkLâmpada
O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:
é a distância horizontal do homem até a lâmpada;
<é o comprimento da sombra;
55Eé a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal-
mente;
5<5Ea taxa de crescimento da sombra.
Por semelhança de triângulos
(+<)
=
<
)
<
=
19
Exemplo 17
Uma lâmpada está pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem com
1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de
1,5m/s:
a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
Solução:
Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.
wkLâmpada
O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:
é a distância horizontal do homem até a lâmpada;
<é o comprimento da sombra;
55Eé a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal-
mente;
5<5Ea taxa de crescimento da sombra.
Por semelhança de triângulos
(+<)
=
<
)
<
=
19
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)=<
Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo (t):
5
5E
=
5<
5E
e como55E=m/s então
dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta).
A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma
da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de
crescimento da sombra.
d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt
)d(w + k)/dt = 1,5 + 1
)d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta)
Respostas:
(a) 1,0 m/s
(b) 2,5 m/s
Exemplo 18
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que ca a
12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16
metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de
emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um
carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre
o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade
naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista?
20
)=<
Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo (t):
5
5E
=
5<
5E
e como55E=m/s então
dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta).
A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma
da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de
crescimento da sombra.
d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt
)d(w + k)/dt = 1,5 + 1
)d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta)
Respostas:
(a) 1,0 m/s
(b) 2,5 m/s
Exemplo 18
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que ca a
12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16
metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de
emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um
carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre
o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade
naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista?
20
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
O problema acima é esquematizado na gura abaixo:
Radar12mTelefone16m
K
=
+J
Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante.
K
=
+J
)K
=+J
Derivando implicitamente.
K
5K
5E
=+J
5J
5E
e evidenciando dy/dt
5J
5E
=
K(5K5E)
J
)
5J
5E
=
K(5K5E)
J
e nalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
5J
5E
=
p
+
=
Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser
que o motorista tenha uma desculpa realmente boa ele deve ser multado.
21
Solução:
O problema acima é esquematizado na gura abaixo:
Radar12mTelefone16m
K
=
+J
Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante.
K
=
+J
)K
=+J
Derivando implicitamente.
K
5K
5E
=+J
5J
5E
e evidenciando dy/dt
5J
5E
=
K(5K5E)
J
)
5J
5E
=
K(5K5E)
J
e nalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
5J
5E
=
p
+
=
Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser
que o motorista tenha uma desculpa realmente boa ele deve ser multado.
21
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 19
aumenta a distância eConsidere um balão meteorológico a ser lançado de um
ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do
chão. À medida em que o balão sobe,ntre a câmera e o balão e o ângulo que a
câmera faz com o chão.
Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o
balão se afasta da câmera?
(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para lmar a subida do
balão, com que velocidade a câmera está girando?
Solução de A:
Considere o esquema
CâmeraBalãoyxzn
Usando Pitágoras
K
=J
+
)K
5K
5E
=J
5J
5E
QuandoJ=por Pitágoras conclui-se queK=, então:
()
5K
5E
=()
)
5K
5E
=
Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s
22
Exemplo 19
aumenta a distância eConsidere um balão meteorológico a ser lançado de um
ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do
chão. À medida em que o balão sobe,ntre a câmera e o balão e o ângulo que a
câmera faz com o chão.
Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o
balão se afasta da câmera?
(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para lmar a subida do
balão, com que velocidade a câmera está girando?
Solução de A:
Considere o esquema
CâmeraBalãoyxzn
Usando Pitágoras
K
=J
+
)K
5K
5E
=J
5J
5E
QuandoJ=por Pitágoras conclui-se queK=, então:
()
5K
5E
=()
)
5K
5E
=
Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s
22
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução de B:
Para resolver o item (b), podemos usar a função da tangente.
E?(n) =
J
Fazendo a derivada da função e evidenciando dn/dt
D64
(n)
5n
5E
=
5J
5E
5n
5E
=
D64
(n)
5J
5E
Em 5 segundos a 6 m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual a
100 pelo teorema de pitágoras z =
p
+
=
p
. De modo queD64(n) =
p
.
Como
5J
5E
=então
5n
5E
=
‚
p
Œ
5n
5E
=
Rad/s
Exemplo 20
Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma
lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man-
tida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada
quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?
Solução de A:
Considere o esquema:
23
Solução de B:
Para resolver o item (b), podemos usar a função da tangente.
E?(n) =
J
Fazendo a derivada da função e evidenciando dn/dt
D64
(n)
5n
5E
=
5J
5E
5n
5E
=
D64
(n)
5J
5E
Em 5 segundos a 6 m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual a
100 pelo teorema de pitágoras z =
p
+
=
p
. De modo queD64(n) =
p
.
Como
5J
5E
=então
5n
5E
=
‚
p
Œ
5n
5E
=
Rad/s
Exemplo 20
Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma
lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man-
tida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada
quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?
Solução de A:
Considere o esquema:
23
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
HomemLâmpadanz=20mx=15myÉ
E8(n) =
J
Derivando implicitamente
5n5E
4@D
(n)
=
(55E)J(5J5E)
J
Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim:
5n5E
4@D
(n)
=
(55E)J
J
=
(55E)
J
()
Pelo teorema de Pitágoras
=
+J
. Que resulta emJ
=
Substituindo esse valor em (1) e explicitando5n5E
5n
5E
=
(55E)
p
4@D
(n)
Como dx/dt = 4 e cos(n) =
p
quando x = 15
5n
5E
=
p
‚p
Œ
Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s
24
HomemLâmpadanz=20mx=15myÉ
E8(n) =
J
Derivando implicitamente
5n5E
4@D
(n)
=
(55E)J(5J5E)
J
Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim:
5n5E
4@D
(n)
=
(55E)J
J
=
(55E)
J
()
Pelo teorema de Pitágoras
=
+J
. Que resulta emJ
=
Substituindo esse valor em (1) e explicitando5n5E
5n
5E
=
(55E)
p
4@D
(n)
Como dx/dt = 4 e cos(n) =
p
quando x = 15
5n
5E
=
p
‚p
Œ
Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s
24
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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de matemática, acesse:www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LAT
E
Xe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
?336568@8>4@> 463@@<4@>E96#>36C)JA6?>36C@C5AC6DD4@>
25
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