Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle

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Aplicações do Teorema de Rolle em exercícios resolvidos.

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
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Escrito por Diego Oliveira Publicado em 14/12/2014 Atualizado em 19/03/2017
O que eu preciso saber?
Dada uma função()continua com domínio em [ 3]o teorema de Rolle diz
que se as três seguintes condições ocorrem:
„()é continua em[ 3];
„()é derivável em( 3);
„() =(3).
então existe pelo menos um valor5no intervalo( 3)tal que
0
(5) =. Ou em
outras palavras, existe um ponto da funçãoem que a inclinação da reta tangente
neste ponto é igual a zero.
ATENÇÃO! Não se pode armar que 5é abscisa de um ponto critico de uma
função()que passe pelo teorema de Rolle. A função constante ( () =), por
exemplo, cumpre todos os três critérios mas não têm ponto critico.
Outro fato importante é que o teorema de Rolle não garante a unicidade de5.
Exemplo 1:Dada a função() =

+verique se existe algum ponto
de()em[]cuja reta tangente tenha inclinação nula.
Solução:
Funções polinomiais são continuas em todoR, logo()é continua em [0, 1].
A derivada de()é
0
() =

+que existe para todo o intervalo (0,
1).
Como() =e() =então() =() =.
Logo pelo teorema de Rolleexiste pelo menos um ponto de()em [0,1] tal
que
0
() =.
Se desejarmos determinar o(s), ponto(s) basta fazer
0
() =e descobrir o(s)
valore(s) de. Que no caso será(ão) a(s) abscisa(s) do(s) ponto(s).
1

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

0
() =

+=

+=,=ou=
Assim temos dois pontos: (1.13, -0.07 ) e (0.36, 0.82).
Mas, como o ponto deve pertencer ao intervalo [0,1] então o ponto em questão
é (0.36, 0.82).
Exemplo 2:Dada a função() =

+verique se é possível encontrar
algum ponto (a, b) em que
0
() =com2

através do Teorema de Rolle.
Solução:
Para saber se o teorema de Rolle pode ser aplicado vamos testar cada uma dos
seus três requisitos.
Funções polinomiais são continuas em todoR, logo()é continua em

.
A derivada de()é
0
() =

+que também é uma função polinomial
e portanto, contínua em todoR. Assim a função é derivável no intervalo

.
Como() =e

=

então()6=

.
Logo neste caso não é possível aplicar o teorema de Rolle.
2

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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