Experimentos factoriales

Décima sección
EXPERIMENTOS FACTORIALES
MSc. Edgar Madrid Cuello.
Dpto. de Matemática, UNISUCRE
Análisis y diseño de experimentos
junio 2019
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Generalidades
Denición
En los experimentos factoriales, los tratamientos son combinaciones
de dos o más niveles de factores diferentes. Por tanto, un
experimento factorial involucra más de un factor, cada uno con dos
o más niveles. En estos experimentos no se establecen
comparaciones por pares sino un tipo diferente de comparaciones,
llamadasefectos principales e interacciones.
En los experimentos factoriales los niveles de los factores se
estudian combinados y se llaman, usualmente, combinaciones de
tratamientos.
simplemente como un tratamiento. [1]
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Generalidades
Denición
En los experimentos factoriales, los tratamientos son combinaciones
de dos o más niveles de factores diferentes. Por tanto, un
experimento factorial involucra más de un factor, cada uno con dos
o más niveles. En estos experimentos no se establecen
comparaciones por pares sino un tipo diferente de comparaciones,
llamadasefectos principales e interacciones.
En los experimentos factoriales los niveles de los factores se
estudian combinados y se llaman, usualmente, combinaciones de
tratamientos.
En adelante, cada combinación se considerará
simplemente como un tratamiento. [1]
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Generalidades
Denición
Se debe dejar en claro que el diseño de tratamientos es
independiente del diseño experimental, el cual hace referencia a la
manera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes
unidades experimentales y la forma como se controla la variabilidad
natural de las mismas. Así el diseño experimental puede ser
completamente aleatorizado, bloques completamente
aleatorizados,cuadros latinos, etc., y para cada uno de estos diseños
se puede tener un arreglo factorial.
El efecto de un factor es un cambio en la respuesta medida
ocasionado por un cambio en el nivel de ese factor, los tres efectos
de interés en un experimento factorial sonlos principales
y los de interacción.
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Generalidades
Denición
Se debe dejar en claro que el diseño de tratamientos es
independiente del diseño experimental, el cual hace referencia a la
manera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes
unidades experimentales y la forma como se controla la variabilidad
natural de las mismas. Así el diseño experimental puede ser
completamente aleatorizado, bloques completamente
aleatorizados,cuadros latinos, etc., y para cada uno de estos diseños
se puede tener un arreglo factorial.
El efecto de un factor es un cambio en la respuesta medida
ocasionado por un cambio en el nivel de ese factor, los tres efectos
de interés en un experimento factorial son
los simples,los principales
y los de interacción.
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Generalidades
Denición (Diseño factorial)
Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de
interacción de varios factores sobre una o varias respuestas.[2]
Denición (Arreglo factorial)
Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden
formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de los
niveles de los factores. [2]
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Ejemplo (Crecimiento de plantas de soja[5])
Un siólogo de plantas investigó el efecto del estrés mecánico en el
crecimiento de plantas de soja. Se asignaron aleatoriamente plantas
en tiestos individuales a cuatro grupos de tratamiento de 13 plantas
cada uno.
agitándolas durante 20 minutos dos veces al día. mientras que los
dos grupos de control no se sometieron a estrés.Por tanto, el primer
factor en el experimento era la presencia o ausencia de estrés, con
dos niveles: control o estrés. Además, las plantas se hicieron crecer
con luz baja o moderada. Por tanto, el segundo factor fue la
cantidad de luz, con dos niveles: luz baja o luz moderada.
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Ejemplo (Crecimiento de plantas de soja[5])
Un siólogo de plantas investigó el efecto del estrés mecánico en el
crecimiento de plantas de soja. Se asignaron aleatoriamente plantas
en tiestos individuales a cuatro grupos de tratamiento de 13 plantas
cada uno.
Las plantas de dos grupos fueron sometidas a estrés
agitándolas durante 20 minutos dos veces al día. mientras que los
dos grupos de control no se sometieron a estrés.
Por tanto, el primer
factor en el experimento era la presencia o ausencia de estrés, con
dos niveles: control o estrés. Además, las plantas se hicieron crecer
con luz baja o moderada. Por tanto, el segundo factor fue la
cantidad de luz, con dos niveles: luz baja o luz moderada.
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Ejemplo
Este experimento es un ejemplo de experimento factorial de 2 x 2.
Incluye cuatro tratamientos:
Tratamiento 1 control, luz baja
Tratamiento 2: estrés, luz baja
Tratamiento 3: control, luz moderada
Tratamiento 4: estrés, luz moderada
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Ejemplo
Este experimento es un ejemplo de experimento factorial de 2 x 2.
Incluye cuatro tratamientos:
Tratamiento 1 control, luz baja
Tratamiento 2: estrés, luz bajaTratamiento 3: control, luz moderada
Tratamiento 4: estrés, luz moderada
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Generalidades
Denición (Efecto de un factor)
Es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un
cambio de nivel en el factor.[2]
Denición ( Efecto principal)
Es igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un
factor, menos la respuesta promedio en el nivel bajo. [2]
Denición (Efecto de interacción)
Dos factores interactúan de manera signicativa sobre la variable de
respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que está el
otro.
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Generalidades
Denición
Un experimento factorial de dos factores en el que los dos factores
del diseño tienen dos niveles. A estos niveles se les ha denominado
"bajo" y "alto" y se denotan como "-" y "+", respectivamente.
Ejemplo
Supongamos que en un proceso de fermentación tequilera, se tienen
dos factores A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con
dos niveles denotados porA1= 1,A2= 2yB1= 22

C,
B2= 30

C, respectivamente. La respuesta de interés es el
rendimiento del proceso de fermentación. En la tabla 5.1 se
muestran los cuatro tratamientos o puntos del diseño factorial2
2
, y
entre paréntesis se ha indicado cada nivel con los códigos(1;1).
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1(-1)
B1= 22(-1)28
A2= 2(1)
B1= 22(-1)41
A1= 1(-1)
B2= 30(1)63
A2= 2(1)
B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2(1)
B1= 22(-1)41
A1= 1(-1)
B2= 30(1)63
A2= 2(1)
B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1(-1)
B2= 30(1)63
A2= 2(1)
B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1
(-1)B2= 30(1)63
A2= 2(1)
B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1
(-1)B2= 30(1) 63
A2= 2(1)
B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1
(-1)B2= 30(1) 63
A2= 2
(1)B2= 30(1)45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1
(-1)B2= 30(1) 63
A2= 2
(1)B2= 30(1) 45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Ejemplo (continuación)
En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces
(tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero,
por simplicidad, en la última columna de la tabla sólo se anotaron
los resultados de la primera réplica.[2]
A: LevaduraB: TemperaturaY: Rendimiento
A1= 1
(-1)B1= 22(-1)28
A2= 2
(1)B1= 22(-1)41
A1= 1
(-1)B2= 30(1) 63
A2= 2
(1)B2= 30(1) 45
EfectoA=
41 + 45
2

28 + 63
2
=2:5
EfectoB=
63 + 45
2

28 + 41
2
= 19:5
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Generalidades
En la práctica, se calcula el efecto global de la interacción de los
dos factores, que es denotado porABy se calculan como la
diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se
encuentran en el mismo nivel:(1;1);(1;1), y la respuesta
media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos:
(1;1);(1;1).Para el ejemplo, el efecto de interacción
tiempotemperatura está dado por:
Efecto(AB) =
28 + 45
2

41 + 63
2
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Generalidades
En la práctica, se calcula el efecto global de la interacción de los
dos factores, que es denotado porABy se calculan como la
diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se
encuentran en el mismo nivel:(1;1);(1;1), y la respuesta
media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos:
(1;1);(1;1).
Para el ejemplo, el efecto de interacción
tiempotemperatura está dado por:
Efecto(AB) =
28 + 45
2

41 + 63
2
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Generalidades
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Representación de los efectos principales y la interacción
Figure:
Figure:
Figure:
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Generalidades
Denición (Experimento factorial con interacción)
En general, cuando una interacción es grande, los efectos
principales correspondientes tienen escaso signicado práctico.
se llegaría a concluir que no hay ningún efecto debido aA.
embargo, cuando se examinan los efectos deAcon niveles
diferentes del factorB, se observa que no es éste el caso.
El factorAtiene un efecto, pero depende del nivel del factorB. Es
decir, el conocimiento de la interacciónABes más útil que el
conocimiento del efecto principal. Una interacción signicativa
suele enmascarar la signicación de los efectos principales.
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Generalidades
Denición (Experimento factorial con interacción)
En general, cuando una interacción es grande, los efectos
principales correspondientes tienen escaso signicado práctico.
se llegaría a concluir que no hay ningún efecto debido aA.
Sin
embargo, cuando se examinan los efectos deAcon niveles
diferentes del factorB, se observa que no es éste el caso.
El factorAtiene un efecto, pero depende del nivel del factorB. Es
decir, el conocimiento de la interacciónABes más útil que el
conocimiento del efecto principal. Una interacción signicativa
suele enmascarar la signicación de los efectos principales.
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Décima sección
Ventajas
Denición
Al obtener información sobre varios factores sin aumentar el
tamaño del experimento hay economía en el material
experimental.
Se amplia la base de la inferencia en relación a un factor ya
que se estudia en las diferentes condiciones representadas por
los niveles de otros factores.
Se puede obtener una estimación de la interacción de los
efectos, o sea, se determina el grado y la forma en la cual se
modica el efecto de un factor en presencia de los niveles de
los otros factores.
El conjunto de los tratamientos en el diseño factorial es
óptimo para estudiar efectos principales e interacciones.
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Décima sección
Desventajas
Denición
El gran número de combinaciones de tratamientos cuando se
estudian muchos factores a muchos niveles. Esto tiene dos
efectos:
Si se desea usar bloques completos es difícil encontrar grupos
de unidades experimentales homogéneos para asignar todos los
tratamientos, esto se puede eliminar usando el principio de
confusión.
Se aumenta el costo del experimento al tener muchas unidades
experimentales, problema que se minimiza usando
experimentos factoriales fraccionados, en este caso, se prueba
solo una parte de los tratamientos posibles.
Difícil interpretación principalmente de las interacciones de
orden superior (interacciones de más de tres efectos).
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Desventajas
Denición
El gran número de combinaciones de tratamientos cuando se
estudian muchos factores a muchos niveles. Esto tiene dos
efectos:
Si se desea usar bloques completos es difícil encontrar grupos
de unidades experimentales homogéneos para asignar todos los
tratamientos, esto se puede eliminar usando el principio de
confusión.
Se aumenta el costo del experimento al tener muchas unidades
experimentales, problema que se minimiza usando
experimentos factoriales fraccionados, en este caso, se prueba
solo una parte de los tratamientos posibles.
Difícil interpretación principalmente de las interacciones de
orden superior (interacciones de más de tres efectos).MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
En un experimento con dos factores debe tenerse en cuenta si
ambos factores son de efectos jos, de efectos aleatorios, o uno es
de efectos jos y el otro de efectos aleatorios.
completamente aleatorizado, el número de repeticiones por celda
puede serr= 1or >1.
Considérese el caso del modelo I efectos jos y un DCA con
r1repeticiones. Un factorAconaniveles y un factorBconb
niveles conforman losabtratamientos incluidos en el estudio, y el
número de observaciones seráabr.La observaciónk-ésima para el
tratamiento donde el factorAestá en el niveli; y elBen el nivel
j, esyijk.
entre factores es de la forma:
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
En un experimento con dos factores debe tenerse en cuenta si
ambos factores son de efectos jos, de efectos aleatorios, o uno es
de efectos jos y el otro de efectos aleatorios.
Si el diseño es
completamente aleatorizado, el número de repeticiones por celda
puede serr= 1or >1.
Considérese el caso del modelo I efectos jos y un DCA con
r1repeticiones. Un factorAconaniveles y un factorBconb
niveles conforman losabtratamientos incluidos en el estudio, y el
número de observaciones seráabr.La observaciónk-ésima para el
tratamiento donde el factorAestá en el niveli; y elBen el nivel
j, esyijk.
entre factores es de la forma:
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
En un experimento con dos factores debe tenerse en cuenta si
ambos factores son de efectos jos, de efectos aleatorios, o uno es
de efectos jos y el otro de efectos aleatorios.
Si el diseño es
completamente aleatorizado, el número de repeticiones por celda
puede serr= 1or >1.
Considérese el caso del modelo I efectos jos y un DCA con
r1repeticiones. Un factorAconaniveles y un factorBconb
niveles conforman losabtratamientos incluidos en el estudio, y el
número de observaciones seráabr.
La observaciónk-ésima para el
tratamiento donde el factorAestá en el niveli; y elBen el nivel
j, esyijk.
entre factores es de la forma:
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
En un experimento con dos factores debe tenerse en cuenta si
ambos factores son de efectos jos, de efectos aleatorios, o uno es
de efectos jos y el otro de efectos aleatorios.
Si el diseño es
completamente aleatorizado, el número de repeticiones por celda
puede serr= 1or >1.
Considérese el caso del modelo I efectos jos y un DCA con
r1repeticiones. Un factorAconaniveles y un factorBconb
niveles conforman losabtratamientos incluidos en el estudio, y el
número de observaciones seráabr.
La observaciónk-ésima para el
tratamiento donde el factorAestá en el niveli; y elBen el nivel
j, esyijk.
Un modelo matemático que incorpora la interacción
entre factores es de la forma:
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
yijk=+i+j+ ()
ij
+"ijk
8
<
:
i= 1;2; : : : ; a
j= 1;2; : : : ; b
k= 1;2; : : : ; n
dondees la media poblacional global,ies el efecto principal del
nivelidel factorA,jes el efecto principal del niveljdel factor
B, y()
ij
es el efecto de la interacción del nivelideAcon el
niveljdeB.
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
En el diseño factorial de dos factores, los factores (o tratamientos)
de los renglones y las columnas, son de igual interés.
Especícamente, el interés se encuentra en probar hipótesis acerca
de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los renglones,
por ejemplo,
H0:1=2=: : :=a= 0
H1:al menos una i6= 0
(1)
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición
y de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas,
por ejemplo,
H0:1=2=: : :=a= 0
H1:al menos una i6= 0
(2)
También existe interés en determinar si los tratamientos de los
renglones y las columnas interactúan. Por lo tanto, también querría
probarse
H0: ()
ij
= 0para toda i; j
H1:al menos una()
ij
6= 0
(3)
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Denición (Tabla del ANOVA para un diseño bifactorial, modelo I)
F. variaciónSC df MCMC Esperada F
Factor ASCA a1 MCA
M CA
M CE
Factor BSCF b1 MCB
M CB
M CE
Int. AB SCAB(a1)(b1)MCAB
M CAB
M CE
Error SCE ab(r1) MCE
2
Total SCT abr1
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
Dos razas de Drosophila pseudoobscura fueron producidas por
endogamia para resistir un insecticida. Se analizaron cuatro niveles
de concentración de insecticida en ambas razas. Los datos de la
tabla 9.2, expresados en porcentajes de mortalidad durante un
periodo determinado, están basados en tres repeticiones de cada
tratamiento (adaptado deScheer, 1981)
a
.
a
Tomado de Diseño estadístico de experimentos, 2a edición. Díaz, A. Ed.
Uniantioquia, 2009
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Décima sección
Diseño de tratamientos:Se usó un arreglo factorial con dos
factores "razas" y "concentraciones". Existen dos razas (R1yR2)
y cuatro niveles de concentraciones (C1,C2,C3,C4).
Diseño del experimento:Se construyeron tres réplicas de
especímenes y se probaron las ocho combinaciones. Los 24
especímenes se prepararon y probaron en orden aleatorio para un
diseño totalmente aleatorizado.
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Décima sección
Diseño de tratamientos:
Se usó un arreglo factorial con dos
factores "razas" y "concentraciones". Existen dos razas (R1yR2)
y cuatro niveles de concentraciones (C1,C2,C3,C4).
Diseño del experimento:
Se construyeron tres réplicas de
especímenes y se probaron las ocho combinaciones. Los 24
especímenes se prepararon y probaron en orden aleatorio para un
diseño totalmente aleatorizado.
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
Para construir la tabla del ANOVA se calculan las siguientes sumas,
suponiendo el factorAes la raza, el factorBes el insecticida:
C=
1
abr
2
4
X
i
X
j
X
k
yijk
3
5
2
(4)
SCT=
X
i
X
j
X
k
y
2
ijk
C (5)
SCRaza=
1
br
X
i
2
4
X
j
X
k
yijk
3
5
2
C (6)
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Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
SCInsecticida=
1
ar
X
j
"
X
i
X
k
yijk
#
2
C (7)
SCInteraccion=
1
r
X
i
X
j
"
X
k
yijk
#
2
CSCRazaSCInsecticida
(8)
SCE=SCTSCInteraccionSCRazaSCInsecticida(9)
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
SCInsecticida=
1
ar
X
j
"
X
i
X
k
yijk
#
2
C (7)
SCInteraccion=
1
r
X
i
X
j
"
X
k
yijk
#
2
CSCRazaSCInsecticida
(8)
SCE=SCTSCInteraccionSCRazaSCInsecticida(9)MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Ejemplo
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr( >F)
Raza 1 160.17 160.17 2.10 0.1667
concentraciones 3 179.50 59.83 0.78 0.5200
interaccion 3 858.17 286.06 3.75 0.0326
Residuals 16 1220.67 76.29
Errores estándar
1
De medias de celdas:
p
MCE=r
2
De medias de razas:
p
MCE=br
3
De medias de concentraciones:
p
MCE=ar
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Décima sección
Diseño experimental con dos factores
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseño experimental con dos factores
Comparaciones de mediasProcedimiento mediante el cual se
identican a las medias que causan las diferencias detectadas
en el ANOVA.
La diferencia mínima signicativa para comparar los nivelesiyldel
factorA, está dada por:
LSDA=t
=2;ab(n1)
s
CME

1
nAi
+
1
nAl

donde,nAi
ynAl
son el total de observaciones en los nivelesiyl
del factorA, que se están comparando. [2]
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Comparaciones de medias, teniendo en cuenta la inter-
acción:se realizan de manera separada en cada nivel del otro
factor.
LSD
Bi(A)=t
=2;ab(n1)
s
CME

1
r
+
1
r

MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Comparaciones de medias, teniendo en cuenta la inter-
acción:se realizan de manera separada en cada nivel del otro
factor.
La diferencia mínima signicativa está dada por
LSD
Bi(A)=t
=2;ab(n1)
s
CME

1
r
+
1
r

MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseños factoriales con tres factores:
Cuando se quiere investigar la inuencia de tres factores (A,By
C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles
de prueba en cada uno de los factores esa,byc, respectivamente,
se puede construir el arreglo factorialabc, que consiste de
abctratamientos o puntos experimentales.
de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas,
se encuentran: el factorial2
3
, el factorial3
3
y los factoriales mixtos
con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el
factorial432y el factorial442, por mencionar dos de
ellos. [2]
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Diseños factoriales con tres factores:
Cuando se quiere investigar la inuencia de tres factores (A,By
C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles
de prueba en cada uno de los factores esa,byc, respectivamente,
se puede construir el arreglo factorialabc, que consiste de
abctratamientos o puntos experimentales.
Entre los arreglos
de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas,
se encuentran: el factorial2
3
, el factorial3
3
y los factoriales mixtos
con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el
factorial432y el factorial442, por mencionar dos de
ellos. [2]
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Ejemplo
Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura
de malla (B) y temperatura de reciclaje (C) en el volumen de
sedimentaciónY(%)de una suspensión.
un experimento factorial322con seis réplicas, y las
observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se
muestran en la siguiente tabla:
A1 A2 A3
B1 B2 B1 B2 B1 B2
C1 60,65,75 67, 73, 7362, 68, 6571, 80, 80 76,71,75 75, 75, 75
86, 70, 7067, 68, 6876, 65, 6572, 80, 8070, 68, 7375, 75, 77
C2 55, 53, 5352, 52, 5744, 44, 4560, 60, 60 52,51,50 56, 55, 57
55, 55, 5552, 54, 5448, 48, 4567, 67, 65 52,48, 54 59, 50, 55
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Décima sección
Ejemplo
Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura
de malla (B) y temperatura de reciclaje (C) en el volumen de
sedimentaciónY(%)de una suspensión.
Para ello se decide correr
un experimento factorial322con seis réplicas, y las
observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se
muestran en la siguiente tabla:
A1 A2 A3
B1 B2 B1 B2 B1 B2
C1 60,65,75 67, 73, 7362, 68, 6571, 80, 80 76,71,75 75, 75, 75
86, 70, 7067, 68, 6876, 65, 6572, 80, 8070, 68, 7375, 75, 77
C2 55, 53, 5352, 52, 5744, 44, 4560, 60, 60 52,51,50 56, 55, 57
55, 55, 5552, 54, 5448, 48, 4567, 67, 65 52,48, 54 59, 50, 55
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Ejemplo (continuación)
Los niveles de prueba para cada factor, tanto en unidades originales
como en unidades codicadas, se muestran en la siguiente tabla:
Factor U originales U codicadas
BajoMedioAltoBajoMedioAlto
A: Tipo de suspensiónA1 A2 A3 -1 0 1
B: Abertura de malla40 60 -1 1
C: Temperatura 0 30 -1 1
Ver ejemplo 5.3 [2]
Figure:
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Décima sección
Modelo estadísticoEn un diseño factorialabccomo
el del ejemplo, se supone que el comportamiento de la respuestaY
puede describirse mediante el modelo de efectos dado por:
Yijkl=+i+j+k+()
ij
+()
ik
+()
jk
+()
ijk
+"ijk
donde
i= 1;2; : : : ; a;j= 1;2; : : : ; b;k= 1;2; : : : ; c;l= 1;2; : : : ; r
Todos los efectos cumplen la restricción de sumar cero, es decir,
son desviaciones relacionadas con la media general.
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Décima sección
Hipótesis de interés
El estudio factorial de tres factores (A,ByC) permite investigar
los efectos:A; B; C; AB; AC; BCyABC, donde el nivel de
desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número
de niveles utilizado en cada factor.
De esta manera, se tienen siete efectos de interés sin considerar
desglose, y con ellos se pueden plantear las siete hipótesis nulas
H0:EfectoA= 0,H0:EfectoB= 0,: : :,H0:EfectoABC= 0,
cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. El
ANOVA para probar estas hipótesis se muestra en la tabla .
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Décima sección
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr( >F)
A 2 13.86 6.93 0.49 0.6126
B 1 480.50 480.50 34.25 0.0000
C 1 6086.72 6086.72 433.90 0.0000
AB 2 788.25 394.13 28.10 0.0000
AC 2 40.86 20.43 1.46 0.2412
BC 1 56.89 56.89 4.06 0.0485
ABC 2 31.03 15.51 1.11 0.3375
Residuals 60 841.67 14.03
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Décima sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr( >F)
A 2 13.86 6.93 0.49 0.6126
B 1 480.50 480.50 34.25 0.0000
C 1 6086.72 6086.72 433.90 0.0000
AB 2 788.25 394.13 28.10 0.0000
AC
BC 1 56.89 56.89 4.06 0.0485
ABC
Residuals 60 841.67 14.03
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Décima sección
ANOVA SIMPLIFICADO
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr( >F)
A 2 13.86 6.93 0.49 0.6176
B 1 480.50 480.50 33.66 0.0000
C 1 6086.72 6086.72 426.41 0.0000
AB 2 788.25 394.13 27.61 0.0000
BC 1 56.89 56.89 3.99 0.0502
Residuals 64 913.56 14.27
MSc. Edgar Madrid Cuello.Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosEXPERIMENTOS FACTORIALES

Décima sección 56 58 60 62 64 66 68 70
A: Suspensión
mean of Sedimentacion
A1 A2 A3
Abertura
B2
B1
50 55 60 65 70
C: Temperatura
mean of Sedimentacion
C1 C2
Abertura
B2
B1
Figure:
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Décima sección
Bibliográa
Díaz, A.,Diseño estadístico de experimentos, Universidad de
Antioquia, 2a edición, Medellin, 2009
Gutiérrez, H. and De la Vara, R.,Análisis y diseño de
experimentos. Mc Graw Hill, 3a edición Mexico, D.F., 2012.
Montgomery, D.Diseño y análisis de experimentos.
Iberoamérica S.A., Mexico, D.F., 1991.
Kuehl, R.O. and Osuna, M.G.Diseño de experimentos:
principios estadísticos de diseño y análisis de investigación.2a.
Ed., Thomson Learning. Mexico, 2001.
Samuels, M.L. and Witmer, J.A. and Schaner, A.A.,
Fundamentos de estadística para las ciencias de la vida,
Pearson, 4a edición, Madrid. 2012
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