Expresiones algebraicas

Expresiones Algebraicas

1. 1
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Expresiones Algebraicas

2. 2
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
•Una Una expresión algebraicaexpresión algebraica es una expresión en es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta, número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.producto, cociente, potencia y raíz.
•EjemplosEjemplos
1
2.
)
2)
2)
2
32
2
+
-
+
+
x
xyx
c
xyxb
xyxa

3. 3
Tipos de Expresiones AlgebraicasTipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Racionales IrracionalesRacionales Irracionales
Enteras FraccionariasEnteras Fraccionarias

4. 4
Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional
•Es racional cuando las variables no están Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
•EjemploEjemplo
3
12
.
2
22
+
+
+
y
yxx

5. 5
Expresión Algebraica IrracionalExpresión Algebraica Irracional
•Es irracional cuando las variables están Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
•EjemploEjemplo
yxx2+

6. 6
Expr.Algebraica Racional EnteraExpr.Algebraica Racional Entera
•Una expresión algebraicas es racional entera Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta, por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.multiplicación y potencia natural.
•EjemploEjemplo
542
3 yyxx ++

7. 7
Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional
FraccionariaFraccionaria
•Una expresión algebraicas racional es Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.en algún denominador.
•EjemploEjemplo
3
1
2
-+yx
x

8. 8
PolinomiosPolinomios
•Son las expresiones algebraicas más Son las expresiones algebraicas más
usadas.usadas.
•Sean aSean a
00, a, a
11, a, a
22, …, a, …, a
nn números reales y números reales y n n
un número natural, llamaremos un número natural, llamaremos polinomio polinomio
en indeterminada xen indeterminada x a toda expresión a toda expresión
algebraica entera de la forma:algebraica entera de la forma:
aa
00 + a + a
11 x + a x + a
22 x x
22
+ … + a + … + a
nn x x
nn

9. 9
Ejemplos de polinomiosEjemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
3
2
3)
3
1
)
xxb
xa
+
3
3
532)
2
1)
xxd
x
c
++
+
-

10. 10
TérminosTérminos
•Monomio : polinomio con un solo término.Monomio : polinomio con un solo término.
•Binomio : polinomio con dos términos.Binomio : polinomio con dos términos.
•Trinomio : polinomio con tres términos.Trinomio : polinomio con tres términos.
•Cada monomio aCada monomio a
iixx
ii
se llama se llama términotérmino..
•El polinomio será de El polinomio será de gradogrado n si el término de mayor n si el término de mayor
grado es agrado es a
nnxx
nn
con a con a
nn¹¹0.0.
•A aA a
00 se lo llama se lo llama término independientetérmino independiente..
•A aA a
nn se lo llama se lo llama término principaltérmino principal. .

11. 11
EjemplosEjemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x
2
+ … +0x
n
se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por O
p
(x).
No se le asigna grado.

12. 12
EjercicioEjercicio
•Indicar cuáles de las siguientes expresiones Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.indicar su grado.
2
13
)
)3)(2()
12
3
1
)
4
3
+
+-
++-
x
c
xxb
xxa
1
32
)
3
12
)
52)
2
2
+
-+
++-
++
x
xx
f
xx
xe
xd

13. 13
Polinomios igualesPolinomios iguales
•Dos polinomios son iguales si y sólo si los Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo coeficientes de los términos de igual grado lo
son.son.
•Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
++++=
+++-=
++=+=

14. 14
Suma de PolinomiosSuma de Polinomios
•Para sumar dos polinomios se agrupan los Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.coeficientes.
•Ejemplo: Sumar los siguientes polinomiosEjemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x - 2 – 5x - 2

15. 15
Propiedades de la SumaPropiedades de la Suma
•AsociativaAsociativa
•ConmutativaConmutativa
•Existencia de elemento neutroExistencia de elemento neutro
•Existencia de elemento opuestoExistencia de elemento opuesto

16. 16
Resta de PolinomiosResta de Polinomios
•Para restar el polinomio Q(x) del polinomio Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
•Ejemplo: Restar los siguientes polinomiosEjemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x - 2 – 5x - 2

17. 17
Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios
•Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.igual grado.
•Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomiosEjemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x – 2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3xP(x).Q(x) = P(x) 3x
3 3
+ P(x) (-6x+ P(x) (-6x
22
) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

18. 18
Propiedades del ProductoPropiedades del Producto
•AsociativaAsociativa
•ConmutativaConmutativa
•Existencia de elemento neutro.Existencia de elemento neutro.

19. 19
Algunos productos importantesAlgunos productos importantes
•(x+a)(x+a)
22
=(x+a)(x+a)= x =(x+a)(x+a)= x
2 2
+ 2ax + a+ 2ax + a
22
•(x-a)(x-a)
22
=(x-a)(x-a)= x =(x-a)(x-a)= x
22
-- 2ax + a2ax + a
22
•(x+a)(x+a)
33
= x = x
33
+ 3ax + 3ax
22
+ 3a + 3a
22
x + ax + a
33
•(x-a)(x-a)
33
= x = x
33
- 3ax - 3ax
22
+ 3a + 3a
22
x - ax - a
33
•(x+a)(x-a)= x(x+a)(x-a)= x
22
–ax +ax-a –ax +ax-a
22
= x = x
22
-a-a
22

20. 20
EjercicioEjercicio
•Escribir los desarrollos deEscribir los desarrollos de
2
43
232
2
3
1
3
2
)
)()
)32()
÷
ø
ö
ç
è
æ
--
-
+
xxc
xxb
xa
3
23
34
3
3
2
2
1
)
)()
)32()
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
+-
+-
xxf
xxe
xd

21. 21
EjercicioEjercicio: Expresar los siguientes trinomios : Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
+-
++
+-
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
8
1
2
3
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
+-+-
+++
-+-

22. 22
EjercicioEjercicio: La expresión x: La expresión x
2 2
- a- a
22
es una diferencia es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.diferencias como producto de binomios.
64)
4)
36
1
)
100)
8
4
2
2
-
-
-
-
xd
xc
xb
xa

23. 23
División de polinomiosDivisión de polinomios
•Existe una estrecha analogía entre el Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de cociente de polinomios y la división de
números enteros.números enteros.
•Recordemos algunas definiciones de la Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros. división entre números enteros.

24. 24
División entre números enterosDivisión entre números enteros
•En el conjunto de números enteros, si En el conjunto de números enteros, si
D es el dividendo y dD es el dividendo y d¹¹0 es el divisor, 0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que(cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 D = d . C + r 0 ≤ r < |d|≤ r < |d|
•Si r=0 se dice que D es divisible por d.Si r=0 se dice que D es divisible por d.

25. 25
División entre números enterosDivisión entre números enteros
•Ejemplo: Realizar las siguientes Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:divisiones enteras:
•29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6≤ 5 < 6
•29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

26. 26
División de polinomiosDivisión de polinomios
•Dados los polinomiosDados los polinomios
D(x) = 6xD(x) = 6x
33
– 17x – 17x
22
+15x-8+15x-8
d(x) = 3x – 4d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales quey r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x) D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Oel grado de d(x) o bien r(x)=O
pp(x)(x)

27. 27
-6x
3
+ 8x
2
EjemploEjemplo
6x6x
33
– 17x – 17x
2 2
+ 15x – 8 3x – 4+ 15x – 8 3x – 4
2x
2
0x
3
- 9x
2
+ 15x
- 3x
9x
2
- 12x
0x
2
+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x
3
-17x
2
+15x-8 = (3x-4)(2x
2
-3x+1)-4

28. 28
EjerciciosEjercicios
•D(x) = 4xD(x) = 4x
55
+ 2x + 2x
33
– 24x – 24x
22
+ 18x + 18x
d(x) = xd(x) = x
22
– 3x – 3x
• D(x) = 16xD(x) = 16x
88
+ 24x + 24x
66
+ 9x + 9x
44

d(x) = 4xd(x) = 4x
55
+ 4x + 4x
44
+ 3x + 3x
33
+ 3x + 3x
22
•D(x) = 2xD(x) = 2x
44
– 6x – 6x
33
+ 7x + 7x
22
– 3x +2 – 3x +2
d(x) = x-2d(x) = x-2

29. 29
División de PolinomiosDivisión de Polinomios
•Dados los polinomios D(x) y d(x); Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)d(x)¹¹OO
pp(x), diremos que (x), diremos que d(x) divide a d(x) divide a
D(x)D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal quetal que
D(x) = d(x) . c(x)D(x) = d(x) . c(x)

30. 30
EjerciciosEjercicios
•Dados los polinomios P(x) y Q(x) Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible indica si alguno de ellos es divisible
por el otropor el otro
•P(x) = xP(x) = x
44
-2x -2x
33
+x +x
2 2
-5x + 1-5x + 1
Q(x) = xQ(x) = x
33
+ x + x
22
+ x + 1 + x + 1
•P(x) = xP(x) = x
44
+2x +2x
33
+4x +4x
2 2
+ 8x +16+ 8x +16
Q(x) = xQ(x) = x
55
- 32 - 32

31. 31
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
3x3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 x – 2 – 5x – 9 x – 2
- 3x- 3x
33
+ 6x + 6x
22
3x 3x
22
+ 4x + 3 + 4x + 3
4x4x
22
– 5x – 5x
- 4x- 4x
22
+ 8x + 8x
3x – 93x – 9
-3x + 6-3x + 6
-3 -3
3
6
4
8
3
6
3x3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x
22
+ 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)

32. 32
División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
•División de P(x) = 3xDivisión de P(x) = 3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 por (x-2) – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffinirealizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -93 -2 -5 -9
2 6 8 62 6 8 6
3 4 3 -33 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 41º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 32º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 3º operación : [3(2)
22
– 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)Por lo tanto 3.(2)
22
-2.(2) -2.(2)
22
-5.2 -9 = -3 -5.2 -9 = -3

33. 33
Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio
•Un número real a es Un número real a es raíz de un raíz de un
polinomiopolinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 P(x) si y solo si P(a) = 0
•Ejercicio:Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3xP(x) = 3x
22
+ 2x – 5 + 2x – 5

34. 34
Raíces de un PolinomioRaíces de un Polinomio
•Si un polinomio tiene coeficientes Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y enteros y aa es una raíz entera del es una raíz entera del
polinomio entonces polinomio entonces a a divide al término divide al término
independiente.independiente.
•Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2xP(x) = 2x
3 3
- 2x- 2x
2 2
- 16x + 24- 16x + 24

35. 35
Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x P(x) = 2x
3 3
- 2x- 2x
2 2
- 16x + 24 - 16x + 24
•Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.ser divisor de 24.
•Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2x
33
– 2x – 2x
22
– 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x
22
+ 2x -12) + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x
2
+ 2x -12
2x
2
+ 2x -12 = (x-2)(2x+6)

36. 36
EjercicioEjercicio
•Calcular las raíces deCalcular las raíces de
P(x) = xP(x) = x
44
- x - x
33
- 6x - 6x
22
+ 4x + 8 + 4x + 8
P(x) = (x-2)
2
(x+1) (x+2)

37. 37
Resolver la siguiente Resolver la siguiente
ecuaciónecuación
0
)2(
1
)2()2)(2)(2(
)2)(1()2(
0
)2)(2)(4(
846
0
2
1
2
1
4
2
2
22
234
22
=
+
+
=
-+-+
++-
=
-+-
++--
=
-
-
+
+
-
xx
x
xxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx

38. 38
Soluciones de la Ecuación Soluciones de la Ecuación
FraccionariaFraccionaria