Factorizacion lu

1. LU PARA RESOLVER
SISTEMAS DE ECUACIONES

METODOS
NUMERICOS
2 - 5
O
CYNDY ARGOTE
JONATHAN CELIS
JONATHAN PEREZ
JHONATAN QUINTERO
LINA MARGARITA GOMEZ

3. DESCOMPOSICION LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas “Lower" y
“Upper”.
Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición
LU es posible comprender el por qué de este nombre,
analizando cómo una matriz original se descompone en
dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

4. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE
ECUACIONES POR EL MÉTODO DE
DESCOMPOSICIÓN LU
•Obtener la matriz triangular inferior “L” y la matriz
triangular superior “U”.
• Resolver Ly = b (para encontrar y).
• El resultado del paso anterior se guarda en una matriz
nueva de nombre “y”.
•Realizar Ux = y (para encontrar x).
• El resultado del paso anterior se almacena en una matriz
nueva llamada “x”, la cual brinda los valores
correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

6. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ
TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])
1.Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir
este en 1.
2.Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual
es necesario para convertir a cero los valores abajo del
pivote.
3.Dicho factor es igual al número que se desea convertir en
cero entre el número pivote.
4.Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el
pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra
en la posición a cambiar (el valor en la posición que se
convertirá en cero).

7. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ
TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])
•Construir una matriz de igual orden que la matriz original
con unos en la diagonal principal y ceros para los elementos
que cumplan j > i.
•Como los elementos debajo de la diagonal principal se
ubican el múltiplo de Gauss usado en la descomposición
para conseguir el “cero” en la posición correspondiente.

8. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
•Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente
sistema de ecuaciones:
4X1 -2X2 -X3= 9
5X1 +X2 -X3= 7
X1 +2X2 -X3= 12
4 -2 -1 9
A =5 1 -1 b = 7
1 2 -1 12

9. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
•SOLUCION
1. Se halla “U”:
4-2 -1
5 1 -1 R2 R2 – (5/4)*R1
1 2 -1 R3 R3 – (1/4)*R1
4 -2 -1
0 7/2 ¼
0 5/2-3/4 R3R3 – (5/2)/(7/2)*R2

10. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
SOLUCION
1. Se halla “U”:
4 -2 -1
U =0 7/2 ¼
0 0-13/14
2. Se halla “L”:
1 0 0 1 0 0
L =? 1 0 L = 5/41 0
? ? 1 ¼ 5/71

11. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
3. Se verifica L*U = A
1 0 0 4 -2 -1
5/4 1 0 x 0 7/2 ¼ =
¼ 5/7 1 0 0 -13/14
4+0+0 -2+0+0 -1+0+0 4 -2 -1
5+0+0 -5/2+7/2+0 -5/4+1/4+0 = 5 1 -1
1+0+0 -1/2 +5/2+0 -1/4+5/28-13/14 1 2 -1

12. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
4. Se despeja “Y” de L*Y = b
10 0 Y1 9
5/41 0 * Y2 =7
¼ 5/71 Y3 12
Y1 = 9 Y1 = 9
5/4Y1 + Y2 = 7 Y2 = -17/4
1/4Y1 + 5/7Y2+Y3= 12 Y3 = 179/14

13. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
5. Se despeja “X” de U*X = Y
4 -2 -1 X19
0 14/4 ¼ * X2 = -17/4
0 0 -13/14 X3179/14
4X1 -2X2 -X3= 9 X1 = -17/13
14/4X2 +1/4X3 = -17/4 X2 = -3/13
-13/14X3 = 179/14 X3 = -179/13

14. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
•Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente
sistema de ecuaciones:
11X1 -3X2 -2X3= 18
5X1 -2X2 -8X3= 13
4X1 -7X2 +2X3= 2
11 -3 -2 18
A =5 -2 -8 b = 13
4 -7 2 2

15. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
SOLUCION
1. Se halla “U”:
11-3 -2
5 -2-8 R2 R2 – (5/11)*R1
4 -7 2R3 R3 – (4/11)*R1
11 -3 -2
0 -7/11 -78/11
0 -65/11 30/11 R3 R3 – (-65/11)/(-7/11)*R2

16. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
SOLUCION
1. Se halla “U”:
11 -3 -2
U =0 -7/11 -78/11
0 0 480/7
2. Se halla “L”:
1 0 0 1 0 0
L =? 1 0 L = 5/11 1 0
? ? 1 4/1165/7 1

17. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
SOLUCION
3. Se verifica L*U = A
1 00 11 -3 -2
5/11 10 x 0 -7/11 -78/11 =
4/1165/71 0 0 480/7
11+0+0 -3+0+0 -2+0+0 = 11 -3 -2
5+0+0 -15/11-7/11+0 -10/11-78/11+0 = 5 -2 -8
4+0+0 -12/11 -65/11+0 -8/11+5070/77+480/7 =4 -7 2

18. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
SOLUCION
4. Se despeja “Y” de L*Y = b
1 00 Y1 18
5/11 10 * Y2 =13
4/1165/71 Y3 2
Y1 = 18 Y1 = 18
5/11Y1 + Y2= 13 Y2 = 53/11
4/11Y1 + 65/7Y2+Y3= 2 Y3 = -345/7

19. FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°2
SOLUCION
5. Se despeja “X” de U*X = Y
11 -3 -2 X118
0 -7/11 -78/11 * X2 = 53/11
0 0 480/7 X3-345/7
11X1 -3X2 -2X3= 18 X1 = 13/8
-7/11X2 -78/11X3 = 53/11 X2 = 7/16
480/7X3 = -345/7 X3 = -23/32

20. FACTORIZACION LU
DIAGRAMA DE FLUJO
K = 1, n-1
i = k+1, n
factor = Ai,k /Ak,k
Ai,k = factor
j = k+1, n
Ai,j = Ai,j - factor*Ak,j
1
1
El numero de iteraciones
se hacen de acuerdo al
orden de la matriz.
Para k = 1 Para k = 2
Inicio
A, n, b
2
Se almacenan los
términos de la
matriz L

21. FACTORIZACION LU
DIAGRAMA DE FLUJO
2
Sustitución hacia
delante:
L*Y = b
i = 2, n
sum = bi
j = 1, i-1
sum = sum – Ai,j*bi
bi = sum
3
Se almacenan los
nuevos “b” (Y)

22. FACTORIZACION LU
DIAGRAMA DE FLUJO
Sustitución hacia
atrás:
U*X = Y
3 Xn = bn/An,n
i = n-1, 1, -1
sum = 0
j = i+1, n
sum = sum + Ai,j*Xj
Xi = (bi – sum)/Ai,j
Xi
i = 1, n
Fin!

23. FACTORIZACION LU
Referencias de consulta
•http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u
6matte20.pdf
•http://www.ditutor.com/matrices/matriz_simetrica.ht
ml
•http://www.cramster.com/reference/wii.aspx?
wiki_name=Band_matrix
•Chapra, Steven; Canale, Raymond. Métodos númericos
para ingenieros. 3ra Edición. Mc Graw Hill 2000.

24. GRACIAS