Folleto de Calculo diferencial e integral
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Jul 30, 2017
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CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL
15. TEORIA DE LIMITES.-
Variables y constantes.-
Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores,
generalmente se lo designan por las últimas letras del alfabeto, o por las letras del alfabeto
griego así;
w, x, y, z , , , , etc.
Las constantes pueden ser numéricas o absolutas, cuando conservan el mismo valor en
todos los problemas así;
e , -7 , 2, 2, etc.
y, constantes o aleatorias cuando mantienen un valor fijo para un problema en particular,
como por ejemplo: la aceleración de la gravedad, el módulo de elasticidad, etc. Se lo
representa generalmente por las primeras letras del alfabeto así;
a , b, c, d, e, g, E, etc.
Intervalos.-
Se llama intervalo al conjunto de todos los valores numéricos de X, comprendidos entre 2
números arbitrarios a y b.
a b
- +
Si el intervalo no considera los extremos, es un intervalo abierto.
Intervalo : a, b ; a < x < b
Si el intervalo incluye a los valores extremos a y b, el intervalo cerrado
( a, b ) a X b
Y si el intervalo incluye a un solo valor extremo a ó b, el intervalo es semi cerrado
( a , b ( a X < b
) a , b ) a < X b
Si los intervalos extremos no están definidos los intervalos se denominan infinitos
[ a , + ) a X < +
( - , a ) - < X a
Función de una variable.-
15. TEORIA DE LIMITES.-
Variables y constantes.-
Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores,
generalmente se lo designan por las últimas letras del alfabeto, o por las letras del alfabeto
griego así;
w, x, y, z , , , , etc.
Las constantes pueden ser numéricas o absolutas, cuando conservan el mismo valor en
todos los problemas así;
e , -7 , 2, 2, etc.
y, constantes o aleatorias cuando mantienen un valor fijo para un problema en particular,
como por ejemplo: la aceleración de la gravedad, el módulo de elasticidad, etc. Se lo
representa generalmente por las primeras letras del alfabeto así;
a , b, c, d, e, g, E, etc.
Intervalos.-
Se llama intervalo al conjunto de todos los valores numéricos de X, comprendidos entre 2
números arbitrarios a y b.
a b
- +
Si el intervalo no considera los extremos, es un intervalo abierto.
Intervalo : a, b ; a < x < b
Si el intervalo incluye a los valores extremos a y b, el intervalo cerrado
( a, b ) a X b
Y si el intervalo incluye a un solo valor extremo a ó b, el intervalo es semi cerrado
( a , b ( a X < b
) a , b ) a < X b
Si los intervalos extremos no están definidos los intervalos se denominan infinitos
[ a , + ) a X < +
( - , a ) - < X a
Función de una variable.-
Cálculo Diferencial e integral 2 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Tenemos una función cuando para cada valor de esta variable independiente X, le
corresponde un único valor de la variable dependiente Y, las funciones pueden
representarse en forma analítica, tabular o gráfica así;
forma analítica
y = 5x + 2
f(x) = 5x + 2 x = variable independiente
y = variable dependiente
5 , 2 = constantes
forma tabular
X Y
-1 -3
0 2
1 7
2 12
forma gráfica
x
y
Las funciones pueden ser continuas como por ejemplo Y = X
2
, que corresponden a una
parábola, en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así;
x
y
Los valores que puede tomar x se denominan DOMINIO de la función
Df = ( - , + )
Los valores de la función f(x) se denominan CODOMINIO o recorrido de la función
Cf = (- + )
Tenemos una función cuando para cada valor de esta variable independiente X, le
corresponde un único valor de la variable dependiente Y, las funciones pueden
representarse en forma analítica, tabular o gráfica así;
forma analítica
y = 5x + 2
f(x) = 5x + 2 x = variable independiente
y = variable dependiente
5 , 2 = constantes
forma tabular
X Y
-1 -3
0 2
1 7
2 12
forma gráfica
x
y
Las funciones pueden ser continuas como por ejemplo Y = X
2
, que corresponden a una
parábola, en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así;
x
y
Los valores que puede tomar x se denominan DOMINIO de la función
Df = ( - , + )
Los valores de la función f(x) se denominan CODOMINIO o recorrido de la función
Cf = (- + )
Cálculo Diferencial e integral 3 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Las funciones también pueden ser Discontinuas, por ejemplo Y = 2 / x , que corresponde a
una hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero, toda
vez que la división para 0 no está definida así;
x
y
Dominio de la función ( en el eje x ): Df = (- , 0) ( 0, + )
Codominio de la función (en el eje y): Cf = (- ,0) (0, + )
16. Límites y continuidad
Límites: Cuando se habla de la velocidad límite, el límite de la resistencia, el estirar un
resorte hasta su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces
puede no ser alcanzable y otras puede ser superable.
Analizaremos la siguiente función: y = 2x + 3 ó f(x) = 2x + 3
Si establecemos una tabla para conocer el comportamiento de f(x) cuando x tiende a cero
(xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se observa que para valores de x, tanto
mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos que el límite de
f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores menores
y mayores al valor xo escogido para el análisis.
x F(x) )()()()( xfkfkfxf
xxx
ooo
-0.5 2
-0.1 2.8
-0.01 2.98
-0.001 2.998
0.000 3.000
0.001 2.998
0.01 2.98
0.1 2.8
0.5 4
Sí f(x) = 2x + 3 3)(
0
xflim
x
En los límites queda excluida la división para 0, por no estar definida, así:
Las funciones también pueden ser Discontinuas, por ejemplo Y = 2 / x , que corresponde a
una hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero, toda
vez que la división para 0 no está definida así;
x
y
Dominio de la función ( en el eje x ): Df = (- , 0) ( 0, + )
Codominio de la función (en el eje y): Cf = (- ,0) (0, + )
16. Límites y continuidad
Límites: Cuando se habla de la velocidad límite, el límite de la resistencia, el estirar un
resorte hasta su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces
puede no ser alcanzable y otras puede ser superable.
Analizaremos la siguiente función: y = 2x + 3 ó f(x) = 2x + 3
Si establecemos una tabla para conocer el comportamiento de f(x) cuando x tiende a cero
(xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se observa que para valores de x, tanto
mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos que el límite de
f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores menores
y mayores al valor xo escogido para el análisis.
x F(x) )()()()( xfkfkfxf
xxx
ooo
-0.5 2
-0.1 2.8
-0.01 2.98
-0.001 2.998
0.000 3.000
0.001 2.998
0.01 2.98
0.1 2.8
0.5 4
Sí f(x) = 2x + 3 3)(
0
xflim
x
En los límites queda excluida la división para 0, por no estar definida, así:
Cálculo Diferencial e integral 4 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 65
9
)(
2
2
xx
x
xf
Reemplazando x=3, se obtiene 0 / 0 que es una indeterminación
Solución:
6
2
3
)2)(3(
)3)(3(
)(
x
x
xx
xx
xf
17. Teoremas sobre límites.-
En el cálculo de límites se aplicarán los siguientes teoremas, donde u, v, w, son funciones
de una variable x y c es una constante:
a) Límite de un polinomio.
Si f(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa. )()( cfxflim
cx
b) Límite de una constante. Siendo f(x) = K, kxflim
cx
)(
c) Limite de una suma algebraica
El límite de la suma algebraica de funciones es igual a la suma de sus límites
lim (u+v+w) = lim u + lim v + lim w
d) Límite del producto de funciones
El límite del producto de funciones es igual al producto de sus límites
lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w
e) Limite de una constante por una función
lim (c*v) = c * lim v, lim (v+c) = lim v + c
f) Límite del cociente de dos funciones
ceroparadivisiónlaexcluidaqueda
ulim
vlim
u
v
lim
u
x
x
0
0
0
ceroparadivisiónlaexcluidaqueda
ulim
c
u
c
lim
u
x
0
0
g) Límite de la Potencia
El límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función
“todo” elevado a la n.
9
)(
2
2
xx
x
xf
Reemplazando x=3, se obtiene 0 / 0 que es una indeterminación
Solución:
6
2
3
)2)(3(
)3)(3(
)(
x
x
xx
xx
xf
17. Teoremas sobre límites.-
En el cálculo de límites se aplicarán los siguientes teoremas, donde u, v, w, son funciones
de una variable x y c es una constante:
a) Límite de un polinomio.
Si f(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa. )()( cfxflim
cx
b) Límite de una constante. Siendo f(x) = K, kxflim
cx
)(
c) Limite de una suma algebraica
El límite de la suma algebraica de funciones es igual a la suma de sus límites
lim (u+v+w) = lim u + lim v + lim w
d) Límite del producto de funciones
El límite del producto de funciones es igual al producto de sus límites
lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w
e) Limite de una constante por una función
lim (c*v) = c * lim v, lim (v+c) = lim v + c
f) Límite del cociente de dos funciones
ceroparadivisiónlaexcluidaqueda
ulim
vlim
u
v
lim
u
x
x
0
0
0
ceroparadivisiónlaexcluidaqueda
ulim
c
u
c
lim
u
x
0
0
g) Límite de la Potencia
El límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función
“todo” elevado a la n.
Cálculo Diferencial e integral 5 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
n
cx
n
cx
xflimxflim )()(
h) Límite de la radicación.-
n
cx
n
cx
xflimxflim )()(
i) Limite de funciones logarítmicas
lim ln f(x) = ln (lim f(x))
j) Límites de funciones trigonométricas
Si C es un número real, entonces:
Ccxclim
Cxlim
Cxlim
tagCtagxlim
Cxlim
Cxlim
cx
cx
cx
cx
cx
cx
tgtg
secsec
csccsc
coscos
sensen
Si c no está definida en el dominio de la función, el límite no existe.
18. Límites laterales.-
Son útiles al tratar funciones con radicales ó para investigar el comportamiento de funciones
escalón.
izquierdalaporiteLxflim
derechalaporiteLxflim
cx
cx
lím)(
lím)(
19. Límites infinitos y límites al infinito .-
Si el valor numérico de una variable u cuando x tiende a cero (0) permanece mayor que
cualquier número positivo signado de antemano, por grande que sea decimos que u se
vuelve infinita.
Si u toma solo valores positivos, se hace infinita positivamente y si solo toma valores
negativos, se hace infinita negativamente, así: lim u = + , lim u = -
Por ejemplo:
0
11
0x
lim
x
x y gráfico
0.1 10
x
y
0.001 100
n
cx
n
cx
xflimxflim )()(
h) Límite de la radicación.-
n
cx
n
cx
xflimxflim )()(
i) Limite de funciones logarítmicas
lim ln f(x) = ln (lim f(x))
j) Límites de funciones trigonométricas
Si C es un número real, entonces:
Ccxclim
Cxlim
Cxlim
tagCtagxlim
Cxlim
Cxlim
cx
cx
cx
cx
cx
cx
tgtg
secsec
csccsc
coscos
sensen
Si c no está definida en el dominio de la función, el límite no existe.
18. Límites laterales.-
Son útiles al tratar funciones con radicales ó para investigar el comportamiento de funciones
escalón.
izquierdalaporiteLxflim
derechalaporiteLxflim
cx
cx
lím)(
lím)(
19. Límites infinitos y límites al infinito .-
Si el valor numérico de una variable u cuando x tiende a cero (0) permanece mayor que
cualquier número positivo signado de antemano, por grande que sea decimos que u se
vuelve infinita.
Si u toma solo valores positivos, se hace infinita positivamente y si solo toma valores
negativos, se hace infinita negativamente, así: lim u = + , lim u = -
Por ejemplo:
0
11
0x
lim
x
x y gráfico
0.1 10
x
y
0.001 100
Cálculo Diferencial e integral 6 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
0.001 1000
0.0001 10000
0
Pero, en el ejemplo anterior puede observarse que cuando x tiende al infinito, la
función se acerca a cero, de lo que, en resumen:
initoalitesLxf
sinitoitesxf
lim
lim
X
CX
inflím)(
inflím)(
20. Límites particulares.-
Son ciertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variable
sea infinita o cero.
En los siguientes límites x es la variable independiente y c una constante diferente de cero
(0).
FORMA DE LIMITE FORMA ABREVIADA
c
x
lim
cxlim
x
c
lim
x
c
lim
x
x
x
x
0
0
c
c
c
c
*
0
0
Se debe tomar en cuenta también que: 010 aa
cuando
y, cuando
a1
a
Indeterminaciones: Cuando no es factible realizar una operación convencional, se dice
que existe una indeterminación, produciéndose los siguientes casos:
1
, * , 0* , a* , 0 / 0 , / , 0
, + , -
21. Formas de levantar la indeterminación:
Se sugieren las siguientes formas de levantar una indeterminación
a) Técnicas de cancelación (Factoreo previo a la simplificación)
b) Racionalización
c) Cuando x0 y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE
LA FUNCION PARA EL TERMINO DE MENOR EXPONENTE.
0.001 1000
0.0001 10000
0
Pero, en el ejemplo anterior puede observarse que cuando x tiende al infinito, la
función se acerca a cero, de lo que, en resumen:
initoalitesLxf
sinitoitesxf
lim
lim
X
CX
inflím)(
inflím)(
20. Límites particulares.-
Son ciertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variable
sea infinita o cero.
En los siguientes límites x es la variable independiente y c una constante diferente de cero
(0).
FORMA DE LIMITE FORMA ABREVIADA
c
x
lim
cxlim
x
c
lim
x
c
lim
x
x
x
x
0
0
c
c
c
c
*
0
0
Se debe tomar en cuenta también que: 010 aa
cuando
y, cuando
a1
a
Indeterminaciones: Cuando no es factible realizar una operación convencional, se dice
que existe una indeterminación, produciéndose los siguientes casos:
1
, * , 0* , a* , 0 / 0 , / , 0
, + , -
21. Formas de levantar la indeterminación:
Se sugieren las siguientes formas de levantar una indeterminación
a) Técnicas de cancelación (Factoreo previo a la simplificación)
b) Racionalización
c) Cuando x0 y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE
LA FUNCION PARA EL TERMINO DE MENOR EXPONENTE.
Cálculo Diferencial e integral 7 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
d) Cuando x y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CA DA TERMINO DE
LA FUNCION PÁRA EL TERMINO DE MAYOR EXPONENTE
Para resolver ciertos tipos de límites , se aplicaran los siguientes límites fundamentales:
a) 0
sen
1
sen
0
x
x
lim
x
x
lim
xx
b) 0
cos1
0
x
x
lim
x
c) 71828.21
ee
x
k
lim
k
x
x
d) exlim x
x
1
0
1
e) )(
()
)()(
xglim
ax
g
ax
ax
xflimxflim
Cálculo de límites con cambio de variable:
Permite visualizar la factorización. En ocasiones es difícil racionalizar la expresión, o
simplemente no es posible efectuarla por lo que se recomienda utilizar un cambio de
variable para obtener un limite, así;
2
3
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
11
11
2
2
3
1
6
3
0
yy
yyy
y
y
lim
yx
x
x
lim
y
x
22. Límites que no existen.
1. Demostrar que el siguiente límite no existe: x
x
lim
x0
Como la función tiende a valores diferentes según se acerque a cero
por la izquierda o por la derecha, entonces este límite no existe.
2. Calcular siguiente el límite:1
1
1
x
lim
x
Como la función Y = 1 / (X +1) tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o se acerque a cero por la derecha,
entonces este límite no existe.
3. Analizar el límite de :2
0
1
x
lim
x
El factor que contiene a los dos radicales
es 6, por lo tanto:
cuando X tiende a cero, Y tiende a 1
d) Cuando x y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CA DA TERMINO DE
LA FUNCION PÁRA EL TERMINO DE MAYOR EXPONENTE
Para resolver ciertos tipos de límites , se aplicaran los siguientes límites fundamentales:
a) 0
sen
1
sen
0
x
x
lim
x
x
lim
xx
b) 0
cos1
0
x
x
lim
x
c) 71828.21
ee
x
k
lim
k
x
x
d) exlim x
x
1
0
1
e) )(
()
)()(
xglim
ax
g
ax
ax
xflimxflim
Cálculo de límites con cambio de variable:
Permite visualizar la factorización. En ocasiones es difícil racionalizar la expresión, o
simplemente no es posible efectuarla por lo que se recomienda utilizar un cambio de
variable para obtener un limite, así;
2
3
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
11
11
2
2
3
1
6
3
0
yy
yyy
y
y
lim
yx
x
x
lim
y
x
22. Límites que no existen.
1. Demostrar que el siguiente límite no existe: x
x
lim
x0
Como la función tiende a valores diferentes según se acerque a cero
por la izquierda o por la derecha, entonces este límite no existe.
2. Calcular siguiente el límite:1
1
1
x
lim
x
Como la función Y = 1 / (X +1) tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o se acerque a cero por la derecha,
entonces este límite no existe.
3. Analizar el límite de :2
0
1
x
lim
x
El factor que contiene a los dos radicales
es 6, por lo tanto:
cuando X tiende a cero, Y tiende a 1
Cálculo Diferencial e integral 8 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Como la función 2
1xy tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o por la derecha, entonces este límite
no existe o podríamos asumir que:
2
0
1
lim
x
x
23. Ejercicios sobre límites 5/4Re
5
4
lim.10
0Re
1
1
lim.9
3Re
13
lim.8
9Re
4
)13()13(
lim.7
1.Re
1
)2(
lim.6
2/1.Re
34
23
lim.5
.Re
96
3
lim.4
7/25.Re
12
12
lim.3
5.Re
2
107
lim.2
1.Relim.1
0
43
5
4
22
2
2
4
3
1
2
2
3
2
2
4
2
2
0
3
2
0
sp
x
xsen
sp
x
x
sp
xx
x
sp
x
xx
sp
x
x
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1Re
3
lim.20
0Re
1
lim.19
4/1Re
cos1
lim.18
0Re
1
1
lim.17
4/1Re
3
21
lim.16
4/1Re
24
lim.15
10/1Re
25
5
lim.14
Re21lim.13
1Re
4
3
lim.12
5cosRe
5
5
lim.11
1
3
2
2
0
4
3
1
3
0
2
5
2
1
0
0
5
sp
x
x
sp
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
espxsen
sp
x
x
sp
x
sensenx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Se sugiere que el ejercicio 19 se lo resuelva con límite al exponente y el ejercicio 20 con
logaritmos
24. Continuidad y discontinuidad de una función.
Una función f(x) es continua si cumple las siguientes condiciones:
)()(.3
)(.2
)(.1
cfxflim
existexflim
definidoestácf
cx
cx
Una función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia de
dicha función o que es punto frontera de dicho campo, si en este punto no se verifica la
condición de continuidad de la función, tal es el caso de la función 1/(x-1) que no está
definida en x=1.
Como la función 2
1xy tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o por la derecha, entonces este límite
no existe o podríamos asumir que:
2
0
1
lim
x
x
23. Ejercicios sobre límites 5/4Re
5
4
lim.10
0Re
1
1
lim.9
3Re
13
lim.8
9Re
4
)13()13(
lim.7
1.Re
1
)2(
lim.6
2/1.Re
34
23
lim.5
.Re
96
3
lim.4
7/25.Re
12
12
lim.3
5.Re
2
107
lim.2
1.Relim.1
0
43
5
4
22
2
2
4
3
1
2
2
3
2
2
4
2
2
0
3
2
0
sp
x
xsen
sp
x
x
sp
xx
x
sp
x
xx
sp
x
x
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
sp
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1Re
3
lim.20
0Re
1
lim.19
4/1Re
cos1
lim.18
0Re
1
1
lim.17
4/1Re
3
21
lim.16
4/1Re
24
lim.15
10/1Re
25
5
lim.14
Re21lim.13
1Re
4
3
lim.12
5cosRe
5
5
lim.11
1
3
2
2
0
4
3
1
3
0
2
5
2
1
0
0
5
sp
x
x
sp
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
sp
x
x
espxsen
sp
x
x
sp
x
sensenx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Se sugiere que el ejercicio 19 se lo resuelva con límite al exponente y el ejercicio 20 con
logaritmos
24. Continuidad y discontinuidad de una función.
Una función f(x) es continua si cumple las siguientes condiciones:
)()(.3
)(.2
)(.1
cfxflim
existexflim
definidoestácf
cx
cx
Una función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia de
dicha función o que es punto frontera de dicho campo, si en este punto no se verifica la
condición de continuidad de la función, tal es el caso de la función 1/(x-1) que no está
definida en x=1.
Cálculo Diferencial e integral 9 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
25. Variación
Introducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental del
cálculo diferencial es el establecer con toda precisión una medida de esta variación. La
investigación de problemas de este tipo llevó a Newton al descubrimiento de los principios
fundamentales del Cálculo Infinitesimal, constituyéndose este en el instrumento científico
más poderoso del matemático moderno.
El incremento i de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que
se obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable x se la
representa con el signo x que se lee delta x, el incremento y si en y = f (x) la variable
independiente x toma un incremento y, entonces y iniciará el incremento
correspondiente de la función f (x).
Ejemplo 35: Sea y = x , calcular el incremento y para, x=5, y=5, x = 1, x = 5 , x = 10
y + y = x + x
y = x + x - y
con x = 1 y = 5+1-5 = 1
con x = 5 y = 5+5 – 5 = 5
con x = 10 y = 5+10 – 5 = 10
Comparación de incrementos
Considerando la función y = x
2
, si a la variable x le incrementamos valores pequeños x,
se concluye que la función f (x) se altera en un incremento y, por lo tanto si vamos a dar
valores a x, es factible calcular y de acuerdo al siguiente análisis:
Si : y = x
2
calcular y al incrementar x en la función planteada
y +y = ( x + x )
2
y = 2xx +x2
Si y = x
2
+4x – 2, calcular y al incrementar x en la función planteada
y + y = (x+x)
2
+ 4(x+x) - 2
y + y = x
2
+ 2xx + x
2
+ 4x +4x -2
y = 2x x +x
2
+ 4x
Incrementos: Del análisis anterior sobre comparación de incrementos, se observa que el
incremento de una variable que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final y
el valor inicial, así:
(x1,y1)
25. Variación
Introducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental del
cálculo diferencial es el establecer con toda precisión una medida de esta variación. La
investigación de problemas de este tipo llevó a Newton al descubrimiento de los principios
fundamentales del Cálculo Infinitesimal, constituyéndose este en el instrumento científico
más poderoso del matemático moderno.
El incremento i de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que
se obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable x se la
representa con el signo x que se lee delta x, el incremento y si en y = f (x) la variable
independiente x toma un incremento y, entonces y iniciará el incremento
correspondiente de la función f (x).
Ejemplo 35: Sea y = x , calcular el incremento y para, x=5, y=5, x = 1, x = 5 , x = 10
y + y = x + x
y = x + x - y
con x = 1 y = 5+1-5 = 1
con x = 5 y = 5+5 – 5 = 5
con x = 10 y = 5+10 – 5 = 10
Comparación de incrementos
Considerando la función y = x
2
, si a la variable x le incrementamos valores pequeños x,
se concluye que la función f (x) se altera en un incremento y, por lo tanto si vamos a dar
valores a x, es factible calcular y de acuerdo al siguiente análisis:
Si : y = x
2
calcular y al incrementar x en la función planteada
y +y = ( x + x )
2
y = 2xx +x2
Si y = x
2
+4x – 2, calcular y al incrementar x en la función planteada
y + y = (x+x)
2
+ 4(x+x) - 2
y + y = x
2
+ 2xx + x
2
+ 4x +4x -2
y = 2x x +x
2
+ 4x
Incrementos: Del análisis anterior sobre comparación de incrementos, se observa que el
incremento de una variable que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final y
el valor inicial, así:
(x1,y1)
Cálculo Diferencial e integral 10 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Es factible encontrar la razón y/x , así como el valor límite al cual se acercaría cuando
x tienda a cero, así:
y = x
2
xxxxx
x
y
x
2)2(lim2
0
y = x
2
+4x – 2 y = 2x x +x
2
+ 4x 42)42(lim42
0
xxxxx
x
y
x
En la siguiente tabla tomamos para análisis el ejemplo y = x
2
de donde y / x = 2x + x ,
si x = 4, el límite de la función f(x) = será 8, observemos el comportamiento de la razón
x / y cuando x 0 y el incremento es decreciente.
Xo Xf xyo yf yyx
4 5 1 16 25 9 9
4 4.8 0.8 16 23.04 7.04 8.8
4 4.6 0.6 16 21.16 5.16 8.6
4 4.5 0.5 16 20.25 4.25 8.5
4 4.4 0.4 16 19.36 3.36 8.4
4 4.3 0.3 16 18.49 2.49 8.3
4 4.2 0.2 16 17.64 1.64 8.2
4 4.1 0.1 16 16.81 0.81 8.1
8)(
0
xflim
x
Bajo este criterio el análisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor de
la razón y/x sea tan próximo a 8 como deseemos, con solo tomar a x lo suficientemente
pequeño.
El desarrollo del cálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos:
El problema de la tangente
El problema de la velocidad y aceleración
El problema de máximos y mínimos
El problema del área.
(x,y) (⧍x)
(⧍y)
Es factible encontrar la razón y/x , así como el valor límite al cual se acercaría cuando
x tienda a cero, así:
y = x
2
xxxxx
x
y
x
2)2(lim2
0
y = x
2
+4x – 2 y = 2x x +x
2
+ 4x 42)42(lim42
0
xxxxx
x
y
x
En la siguiente tabla tomamos para análisis el ejemplo y = x
2
de donde y / x = 2x + x ,
si x = 4, el límite de la función f(x) = será 8, observemos el comportamiento de la razón
x / y cuando x 0 y el incremento es decreciente.
Xo Xf xyo yf yyx
4 5 1 16 25 9 9
4 4.8 0.8 16 23.04 7.04 8.8
4 4.6 0.6 16 21.16 5.16 8.6
4 4.5 0.5 16 20.25 4.25 8.5
4 4.4 0.4 16 19.36 3.36 8.4
4 4.3 0.3 16 18.49 2.49 8.3
4 4.2 0.2 16 17.64 1.64 8.2
4 4.1 0.1 16 16.81 0.81 8.1
8)(
0
xflim
x
Bajo este criterio el análisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor de
la razón y/x sea tan próximo a 8 como deseemos, con solo tomar a x lo suficientemente
pequeño.
El desarrollo del cálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos:
El problema de la tangente
El problema de la velocidad y aceleración
El problema de máximos y mínimos
El problema del área.
(x,y) (⧍x)
(⧍y)
Cálculo Diferencial e integral 11 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
26. El problema de la tangente:
Cuando se hable de la recta tangente a una curva en un punto, en un círculo se interpretaría
como la perpendicular al radio, así:
Pero en curvas más variables, el problema de definir la tangente se torna difícil, ejemplo:
Conceptualmente, el problema de hallar la tangente en un punto se reduce a hallar la
pendiente de la curva en dicho punto:
Se entiende que (y+y) = f(x+x)
Considerando que una recta secante pase por los puntos (x, f(x)) y ((x+x), f(x+x))
La línea secante tiene como pendiente: msec = y/ x
msec = f(x+x)) - f(x)
x
Si se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto, se tendrá que aproximar
a cero el incremento x:
(x,f(x)) (⧍x)
(⧍y)
(x+⧍x,f(x+⧍x)
26. El problema de la tangente:
Cuando se hable de la recta tangente a una curva en un punto, en un círculo se interpretaría
como la perpendicular al radio, así:
Pero en curvas más variables, el problema de definir la tangente se torna difícil, ejemplo:
Conceptualmente, el problema de hallar la tangente en un punto se reduce a hallar la
pendiente de la curva en dicho punto:
Se entiende que (y+y) = f(x+x)
Considerando que una recta secante pase por los puntos (x, f(x)) y ((x+x), f(x+x))
La línea secante tiene como pendiente: msec = y/ x
msec = f(x+x)) - f(x)
x
Si se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto, se tendrá que aproximar
a cero el incremento x:
(x,f(x)) (⧍x)
(⧍y)
(x+⧍x,f(x+⧍x)
Cálculo Diferencial e integral 12 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
De lo expuesto, tomando los conceptos de límites se define que la PENDIENTE DE LA
TANGENTE ES EL LIMITE DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO x TIENDE A CERO.
x
xfxxf
limlim
xx
tagmm
)()(
0
sec
0
Ejemplo 36. Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = x
2
en cualquier punto de la
curva, y la inclinación cuando x = 1.
x
x
xxx
lim
x
xxxxx
lim
x
xxx
limm
xxx
2
22)(
2
0
222
0
22
0
como m = tag =2*1 = 2
= arc tg 2 = 63.4
0
27. El problema de la velocidad.
El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promedio
que puede calcularse como la razón entre la distancia recorrida y el tiempo utilizado,
entendiéndose que, si el espacio recorrido depende del tiempo utilizado, s = f(t).
Pero, si registraríamos con un velocímetro veríamos que en el recorrido se marcó
velocidades diferentes (que no es precisamente la velocidad media), en forma más precisa,
si un objeto es dejado caer libremente, mientras más tiempo transcurre incrementa su
velocidad.
De lo explicado, se puede deducir que la velocidad promedio o velocidad media es
calculable así: t
s
vprom
Si deseamos conocer la velocidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando
más corto sea el tiempo, más nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:
t
s
limlimv
ainstantanevelocidadv
t
prom
tv
00
Hemos visto que, pendiente de la recta tangente y velocidad instántanea parten de la misma
idea básica, aplicable también en otros campos como la utilidad marginal en economía, el
crecimiento de un organismo en Biología, la densidad de un cable en Física, entre otros,
pero para fines de entendimiento, utilicemos un término general que nos represente a todo
este análisis: LA DERIVADA.
28. DERIVACION
De lo expuesto, tomando los conceptos de límites se define que la PENDIENTE DE LA
TANGENTE ES EL LIMITE DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO x TIENDE A CERO.
x
xfxxf
limlim
xx
tagmm
)()(
0
sec
0
Ejemplo 36. Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = x
2
en cualquier punto de la
curva, y la inclinación cuando x = 1.
x
x
xxx
lim
x
xxxxx
lim
x
xxx
limm
xxx
2
22)(
2
0
222
0
22
0
como m = tag =2*1 = 2
= arc tg 2 = 63.4
0
27. El problema de la velocidad.
El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promedio
que puede calcularse como la razón entre la distancia recorrida y el tiempo utilizado,
entendiéndose que, si el espacio recorrido depende del tiempo utilizado, s = f(t).
Pero, si registraríamos con un velocímetro veríamos que en el recorrido se marcó
velocidades diferentes (que no es precisamente la velocidad media), en forma más precisa,
si un objeto es dejado caer libremente, mientras más tiempo transcurre incrementa su
velocidad.
De lo explicado, se puede deducir que la velocidad promedio o velocidad media es
calculable así: t
s
vprom
Si deseamos conocer la velocidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando
más corto sea el tiempo, más nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:
t
s
limlimv
ainstantanevelocidadv
t
prom
tv
00
Hemos visto que, pendiente de la recta tangente y velocidad instántanea parten de la misma
idea básica, aplicable también en otros campos como la utilidad marginal en economía, el
crecimiento de un organismo en Biología, la densidad de un cable en Física, entre otros,
pero para fines de entendimiento, utilicemos un término general que nos represente a todo
este análisis: LA DERIVADA.
28. DERIVACION
Cálculo Diferencial e integral 13 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Derivada de una función dependiente de una variable.- “ Derivada de una función es el límite
de la razón y / x cuando x tiende a cero “.
x
xfxxf
x
y
derivada limlim
xx
)()(
00
El proceso lógico para la solución es:
x
xfxxf
lim
dx
dy
x
xfxxf
x
y
xfxxfy
xxfyy
xfy
x
)()(
)()(
)()(
)(
)(
0
A la derivada se la puede representar mediante símbolos, como: dy / dx ; y ’ ; f ’ (x)
Ejemplo 37: Derivar la siguiente función aplicando el criterio de incrementos:
y = 4x - 3
y + y = 4 (x+x) - 3
y = 4 ( x + x ) - 3 - y
y = 4 ( x + x ) - 3 - (4x - 3)
y = 4x + 4x - 3 -4x + 3
y = 4x
y = 4x
y/x = 4
4lim'
x
y
y
Ejemplo 38: Derivar la siguiente función aplicando el criterio de incrementos:
y = 3x
2
- 2x + 5
y+y = 3 ( x + x )
2
- 2 (x+x) + 5
y = 3 ( x + x )
2
- 2 (x+x) + 5 - y
y = 3 ( x
2
+ 2xx +x
2
) - 2 (x+x) + 5 - (3x
2
- 2x +5)
y = 3x
2
+ 6xx + 3x
2
- 2x - 2x + 5 - 3x
2
+ 2x - 5
y = 3x
2
+ 6xx - 2x
y/x = 3x + 6x – 2 26lim'
0
x
x
y
y
x
Cuando el límite de esta
función no existe se dice
que la función no es
derivable
Derivada de una función dependiente de una variable.- “ Derivada de una función es el límite
de la razón y / x cuando x tiende a cero “.
x
xfxxf
x
y
derivada limlim
xx
)()(
00
El proceso lógico para la solución es:
x
xfxxf
lim
dx
dy
x
xfxxf
x
y
xfxxfy
xxfyy
xfy
x
)()(
)()(
)()(
)(
)(
0
A la derivada se la puede representar mediante símbolos, como: dy / dx ; y ’ ; f ’ (x)
Ejemplo 37: Derivar la siguiente función aplicando el criterio de incrementos:
y = 4x - 3
y + y = 4 (x+x) - 3
y = 4 ( x + x ) - 3 - y
y = 4 ( x + x ) - 3 - (4x - 3)
y = 4x + 4x - 3 -4x + 3
y = 4x
y = 4x
y/x = 4
4lim'
x
y
y
Ejemplo 38: Derivar la siguiente función aplicando el criterio de incrementos:
y = 3x
2
- 2x + 5
y+y = 3 ( x + x )
2
- 2 (x+x) + 5
y = 3 ( x + x )
2
- 2 (x+x) + 5 - y
y = 3 ( x
2
+ 2xx +x
2
) - 2 (x+x) + 5 - (3x
2
- 2x +5)
y = 3x
2
+ 6xx + 3x
2
- 2x - 2x + 5 - 3x
2
+ 2x - 5
y = 3x
2
+ 6xx - 2x
y/x = 3x + 6x – 2 26lim'
0
x
x
y
y
x
Cuando el límite de esta
función no existe se dice
que la función no es
derivable
Cálculo Diferencial e integral 14 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
29. Reglas de derivación.-
Una vez aprendido el concepto de derivada, para resolver derivadas de cierta complejidad
es conveniente ayudarnos de reglas pre-establecidas deducidas del análisis indicado,
aplicando similar criterio de conformidad a cada caso, como en la siguiente explicación:
Deduzcamos una fórmula para derivar y = x
,
0
11 y
x
y
lim
x
y
xxxy
yxxy
xxyy
x
El proceso para deducir la fórmula de derivación de la función sen x sería:
x
x
y
x
x
limxlim
x
y
x
x
lim
x
x
x
xlim
x
y
xx
x
xxxxxx
y
xxxy
xxyy
xy
lim
lim
lim
x
xx
x
xx
x
cos
2
2
sen
*cos
2
sen*)
2
sensen
2
cos(cos2
2
sen
2
cos2
2
sen
2
cos2
sen)sen(
)sen(
sen
0
00
0
00
0
En esta forma, se puede crear una serie de fórmulas de derivación para una aplicación
directa partiendo de las principales reglas de derivación, pudiendo resumirse en las más
fundamentales o más utilizadas que son las siguientes:
30. Principales reglas de derivación:
Concluimos que la derivada de x es igual a 1: 1)(x
dx
d
Concluimos que la derivada del sen x es igual a: xx
dx
d
cos)(sen
2
'
''
'')'(')'(
'')'(1)'(0)'(
v
uvvu
v
u
uvvuuvcucu
wvuwvuxc
29. Reglas de derivación.-
Una vez aprendido el concepto de derivada, para resolver derivadas de cierta complejidad
es conveniente ayudarnos de reglas pre-establecidas deducidas del análisis indicado,
aplicando similar criterio de conformidad a cada caso, como en la siguiente explicación:
Deduzcamos una fórmula para derivar y = x
,
0
11 y
x
y
lim
x
y
xxxy
yxxy
xxyy
x
El proceso para deducir la fórmula de derivación de la función sen x sería:
x
x
y
x
x
limxlim
x
y
x
x
lim
x
x
x
xlim
x
y
xx
x
xxxxxx
y
xxxy
xxyy
xy
lim
lim
lim
x
xx
x
xx
x
cos
2
2
sen
*cos
2
sen*)
2
sensen
2
cos(cos2
2
sen
2
cos2
2
sen
2
cos2
sen)sen(
)sen(
sen
0
00
0
00
0
En esta forma, se puede crear una serie de fórmulas de derivación para una aplicación
directa partiendo de las principales reglas de derivación, pudiendo resumirse en las más
fundamentales o más utilizadas que son las siguientes:
30. Principales reglas de derivación:
Concluimos que la derivada de x es igual a 1: 1)(x
dx
d
Concluimos que la derivada del sen x es igual a: xx
dx
d
cos)(sen
2
'
''
'')'(')'(
'')'(1)'(0)'(
v
uvvu
v
u
uvvuuvcucu
wvuwvuxc
Cálculo Diferencial e integral 15 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
31. Fórmulas de derivación de las principales funciones:
xcctg
dx
d
xtgx
dx
d
senxx
dx
d
xsenx
dx
d
n
dx
d
xx
nn
2
2
1
sec
sec
cos
cos
x
e
ax
x
dx
d
x
x
dx
d
vuuuv
dx
d
dx
d
a
dx
d
X
arcCscx
dx
d
X
arcSecx
dx
d
x
arcCtag
dx
d
x
arctag
dx
d
xar
dx
d
arcsenx
dx
d
a
a
vuv
xxxx
u
eeaa
x
x
x
x
log
ln
1
)(log
1
)(ln
'*ln')(
)(ln)(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
1
1
1
2
2
2
2
2
2
32. Derivación de funciones compuestas.
Supongamos que y = f(u) y que u = g(x), es decir, y = f[g(x)], la derivada de y con respecto
a x vendría dada por:
31. Fórmulas de derivación de las principales funciones:
xcctg
dx
d
xtgx
dx
d
senxx
dx
d
xsenx
dx
d
n
dx
d
xx
nn
2
2
1
sec
sec
cos
cos
x
e
ax
x
dx
d
x
x
dx
d
vuuuv
dx
d
dx
d
a
dx
d
X
arcCscx
dx
d
X
arcSecx
dx
d
x
arcCtag
dx
d
x
arctag
dx
d
xar
dx
d
arcsenx
dx
d
a
a
vuv
xxxx
u
eeaa
x
x
x
x
log
ln
1
)(log
1
)(ln
'*ln')(
)(ln)(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
1
1
1
2
2
2
2
2
2
32. Derivación de funciones compuestas.
Supongamos que y = f(u) y que u = g(x), es decir, y = f[g(x)], la derivada de y con respecto
a x vendría dada por:
Cálculo Diferencial e integral 16 Ing. M.Sc. Washington Medina G. dx
du
du
dy
dx
dy
notaciónotraenuyy
xux *:'*''
Esta forma de derivación es conocida como la regla de la cadena y es aplicable a cualquier
número de funciones derivables.
Ejemplo 39: derivar y = (x
2
+ 2)
2
= 2(x
2
+ 2)*(x
2
+ 2)’ = y’ = 4(x
2
+ 2)
33. Derivadas de funciones no explícitas.
Derivación de funciones inversas.-
En la resolución de derivadas algunos ejercicios se presentarán de la forma X = f (y),
considerando a y como variable independiente, en este caso f (x), f (y) son funciones
inversas y x’ (derivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:
dy
dxdx
dy
xfysi
1
)(
Concluimos que: y
x
x
y '
'1
Ejemplo 40. Calcular x’ de la siguiente función: y = x
2
+ 4x - 5 42
1
'42'
x
xxy
Ejemplo 41. Calcular x’ de: y = Sen x x
xxy
cos
1
'cos'
Derivada de funciones implícitas.-
Si la dependencia entre x, y, viene dada por la función f(x, y) = 0, es decir en forma
implícita, la derivada con respecto a x puede calcularse en la forma convencional y luego
despejar y’:
Ejemplo 42: Derivar la siguiente función con respecto a la variable x.
36
72
7632
732
27
62
'
0)'7()'3(22
02
xxy
yyxax
y
yxyyyxyxax
xyyxax
Derivadas logarítmicas.-
du
du
dy
dx
dy
notaciónotraenuyy
xux *:'*''
Esta forma de derivación es conocida como la regla de la cadena y es aplicable a cualquier
número de funciones derivables.
Ejemplo 39: derivar y = (x
2
+ 2)
2
= 2(x
2
+ 2)*(x
2
+ 2)’ = y’ = 4(x
2
+ 2)
33. Derivadas de funciones no explícitas.
Derivación de funciones inversas.-
En la resolución de derivadas algunos ejercicios se presentarán de la forma X = f (y),
considerando a y como variable independiente, en este caso f (x), f (y) son funciones
inversas y x’ (derivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:
dy
dxdx
dy
xfysi
1
)(
Concluimos que: y
x
x
y '
'1
Ejemplo 40. Calcular x’ de la siguiente función: y = x
2
+ 4x - 5 42
1
'42'
x
xxy
Ejemplo 41. Calcular x’ de: y = Sen x x
xxy
cos
1
'cos'
Derivada de funciones implícitas.-
Si la dependencia entre x, y, viene dada por la función f(x, y) = 0, es decir en forma
implícita, la derivada con respecto a x puede calcularse en la forma convencional y luego
despejar y’:
Ejemplo 42: Derivar la siguiente función con respecto a la variable x.
36
72
7632
732
27
62
'
0)'7()'3(22
02
xxy
yyxax
y
yxyyyxyxax
xyyxax
Derivadas logarítmicas.-
Cálculo Diferencial e integral 17 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Es la simple aplicación de los conceptos logarítmicos para facilitar la derivación, tomando en
cuenta que en algunos casos será necesario recordar la relación entre logaritmos vulgares y
logaritmos naturales, relación que viene expresada por:
a
x
x
a
ln
ln
log
Ejemplo 43. Derivar la función:
)
3
1
2
5
1
2
('
3
1
2
5
1
2'
)3ln()2ln(5)1ln(2ln
)3(
)2()1(
52
xxx
yy
xxxy
y
xxxy
x
xx
y
Derivadas de funciones paramétricas.-
Una función paramétrica se la identifica cuando las variables x, y dependen de otro
parámetro (t).
Para su derivación, se debe recordar el siguiente análisis: dt
dx
dt
dy
dx
dy
tfytfx )()(
Ejemplo 44. derivar la función paramétrica indicada con respecto a la variable x: t
y
tx
ty
txsentty
x
t
t
2
cot1
'
2'
cos1'
,
2
Derivadas sucesivas (o de orden superior).-
Las derivadas de orden superior son los que se obtienen derivando una función varias
veces.
Ejemplo 45: Obtener la tercera derivada de la función:
Es la simple aplicación de los conceptos logarítmicos para facilitar la derivación, tomando en
cuenta que en algunos casos será necesario recordar la relación entre logaritmos vulgares y
logaritmos naturales, relación que viene expresada por:
a
x
x
a
ln
ln
log
Ejemplo 43. Derivar la función:
)
3
1
2
5
1
2
('
3
1
2
5
1
2'
)3ln()2ln(5)1ln(2ln
)3(
)2()1(
52
xxx
yy
xxxy
y
xxxy
x
xx
y
Derivadas de funciones paramétricas.-
Una función paramétrica se la identifica cuando las variables x, y dependen de otro
parámetro (t).
Para su derivación, se debe recordar el siguiente análisis: dt
dx
dt
dy
dx
dy
tfytfx )()(
Ejemplo 44. derivar la función paramétrica indicada con respecto a la variable x: t
y
tx
ty
txsentty
x
t
t
2
cot1
'
2'
cos1'
,
2
Derivadas sucesivas (o de orden superior).-
Las derivadas de orden superior son los que se obtienen derivando una función varias
veces.
Ejemplo 45: Obtener la tercera derivada de la función:
Cálculo Diferencial e integral 18 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 660'''
2620''
235'
1
3
24
235
xy
xxy
xxxy
xxxy
Para identificar las derivadas superiores se puede optar por las siguientes formas: )(
)(
)()(
)(
n
n
nn
dx
yd
xfy
34. Interpretación física de la segunda derivada:
Recordando el análisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con
respecto al tiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio
de la velocidad con respecto al tiempo, a este resultado se o conoce como aceleración: 2
2
)'(:
dt
sd
dt
ds
dt
dv
a
dt
ds
vsi
35. Ejercicios generales de derivación:
Derivar las siguientes funciones:
2620''
235'
1
3
24
235
xy
xxy
xxxy
xxxy
Para identificar las derivadas superiores se puede optar por las siguientes formas: )(
)(
)()(
)(
n
n
nn
dx
yd
xfy
34. Interpretación física de la segunda derivada:
Recordando el análisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con
respecto al tiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio
de la velocidad con respecto al tiempo, a este resultado se o conoce como aceleración: 2
2
)'(:
dt
sd
dt
ds
dt
dv
a
dt
ds
vsi
35. Ejercicios generales de derivación:
Derivar las siguientes funciones:
Cálculo Diferencial e integral 19 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 1
12
.30
2
2
.29
3.28
5.27
)2(ln.26
31
.25
.24
73.23
3
2
1
.22
13.21
2
2
2
75
4
2
5
34
35
3
xx
xx
y
x
x
y
e
xxy
x
x
x
nxmx
xxxy
xxxy
xxy
xx
x
mn
)
31
(.45
)ln(.44
1
arccos.43
.42
1
)cos(ln
.41
)5(ln.40
4.39
4
4
.38
))1(ln(.37
)(.36
)(*log.35
)15(.34
ln
.33
cos
.32
.31
2
5
2
4 132
2
2
2
3
3
x
x
x
tagy
nxmxy
x
x
y
xxxy
x
x
y
xarctagy
y
y
xxseny
xy
arcsenxxy
ey
x
x
xy
tagx
xsenx
y
arcctgxarctgxy
mn
arcsenx
x
xx
xx
1
arccos.65
.64
1
1
.63
.62
1
1
1
.61
cos
.60
2
2
.59
3.58
1.57
)2(ln.56
31
.55
1
.54
.53
3
2
1
.52
.51
.50
4)(4(
5
.49
)7(
3
.48
)3)(5)(1(.47
5.46
2
222
2
2
2
2
2
3
2ln
2
5
2
35
1
432
2
co s
x
x
y
yxxxy
tx
ty
tagtx
senty
tx
t
y
tx
senty
calcular
x
x
y
ey
xxy
xy
x
x
x
y
ax
e
xy
arctagxsenxy
xxxy
calcular
xy
senxy
xx
x
y
senxx
e
y
xxxy
y
dx
dy
xx
x
x
dy
dx
x
arcsenx
xx
x
sen x
12
.30
2
2
.29
3.28
5.27
)2(ln.26
31
.25
.24
73.23
3
2
1
.22
13.21
2
2
2
75
4
2
5
34
35
3
xx
xx
y
x
x
y
e
xxy
x
x
x
nxmx
xxxy
xxxy
xxy
xx
x
mn
)
31
(.45
)ln(.44
1
arccos.43
.42
1
)cos(ln
.41
)5(ln.40
4.39
4
4
.38
))1(ln(.37
)(.36
)(*log.35
)15(.34
ln
.33
cos
.32
.31
2
5
2
4 132
2
2
2
3
3
x
x
x
tagy
nxmxy
x
x
y
xxxy
x
x
y
xarctagy
y
y
xxseny
xy
arcsenxxy
ey
x
x
xy
tagx
xsenx
y
arcctgxarctgxy
mn
arcsenx
x
xx
xx
1
arccos.65
.64
1
1
.63
.62
1
1
1
.61
cos
.60
2
2
.59
3.58
1.57
)2(ln.56
31
.55
1
.54
.53
3
2
1
.52
.51
.50
4)(4(
5
.49
)7(
3
.48
)3)(5)(1(.47
5.46
2
222
2
2
2
2
2
3
2ln
2
5
2
35
1
432
2
co s
x
x
y
yxxxy
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t
y
tx
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x
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y
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y
ax
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xx
x
y
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e
y
xxxy
y
dx
dy
xx
x
x
dy
dx
x
arcsenx
xx
x
sen x
Cálculo Diferencial e integral 20 Ing. M.Sc. Washington Medina G. xx
x
iv
x
xyx
ey
xxy
xy
xseny
ycalcular
ax
e
yy
arctagxxseny
xyxy
axx
axx
y
ysenxy
xx
yx
y
tasenx
tay
xyxyxy
yxy
eye
xyxyx
2
3
2ln
2
2
35
22
22
432
2
2
3.80
1.79
)2(ln.78
.77
1
.76
)(.75
3
2
1
.74
ln.73
cos.72
4)(4(
.71
)(
)cos(
.70
)3)()((.69
)(cos.68
.67
)ln(2.66
2
2
2
2
3
2ln
2
1
.85
484
)(.83
1
1
1
.82
2
2
.81
''
3.80
1.79
)2(ln.78
.77
x
y
xy
senxy
tx
t
y
x
x
y
ycalcular
ey
xxy
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ycalcular
x
x
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x
iv
x
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x
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y
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yx
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2
3
2ln
2
2
35
22
22
432
2
2
3.80
1.79
)2(ln.78
.77
1
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3
2
1
.74
ln.73
cos.72
4)(4(
.71
)(
)cos(
.70
)3)()((.69
)(cos.68
.67
)ln(2.66
2
2
2
2
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2
1
.85
484
)(.83
1
1
1
.82
2
2
.81
''
3.80
1.79
)2(ln.78
.77
x
y
xy
senxy
tx
t
y
x
x
y
ycalcular
ey
xxy
xy
xseny
ycalcular
x
x
xx
x
iv
Cálculo Diferencial e integral 21 Ing. M.Sc. Washington Medina G. m
nx
n
mx
m
x
n
xmn
x
xx
xxx
xx
xx
xxxsenx
xarctgx
x
x
arcsenx
xsen
xsenxx
x
xx
xxx
y
x
x
e
x
xx
x
x
x
x
m
mnx
n
mnx
x
xx
xx
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
x
arcsenx
x
eee
x
xxx
x
y
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)
11
(
.44
2/5
)
2
1(
12
2
.43
4/3
)1
6/5
2
2/5
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8/9
24
1
6/5
2
2/5
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2
)1
2
(
lncos
2
2ln)1
2
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.41
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2
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2
(
.40
2
1
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.39
.33
2
33
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2
1
2
.31
2/3
)1
2
(2
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2
4
3
2
.30
2
)2(
2
.29
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8
7
5
1
4.27
)2ln(ln)2(ln.26
3
66
5
2
1
.25
11
..24
2
1
2
21
3
12.23
2
9
4
5
2
1
.22
3321
4ln
4
12
.38
))1cos(ln(
1
12
.37)1ln2(.36
1
loglog
.35
)5ln1()5(.34
ln
ln3
2
1
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3
2
2
2
12
2
2
22
2
nx
n
mx
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x
n
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x
xx
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xx
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x
x
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x
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n
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x
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xx
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xx
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x
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eee
x
xxx
x
y
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11
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)
2
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12
2
.43
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
1
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2
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1
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..24
2
1
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3
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4
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2
1
.22
3321
4ln
4
12
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1
12
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1
loglog
.35
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ln
ln3
2
1
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3
2
2
2
12
2
2
22
2
Cálculo Diferencial e integral 22 Ing. M.Sc. Washington Medina G. )21(
2
)1(
)1(
.76
2
1
1
3
.75
4
102
2
181
.74
22
)
22
(
2222
(
2
.73
1
cos
.72
2
)4
2
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2
2
2
2
.71
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)(
.70
21
2
.69
)(21
)(2
.68.67
)12(
)12
2
2(
.66
1
24
)1
2
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1
2
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2
2
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2
)1
2
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4
2
)2(
.59
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1
.58
2
31
3
12
.57
)2ln(ln)2(ln
1
.56
1
2
2
.55
2
)1(2
2
)1(
.54
1cos
2
cos
2
1
.53
2
9
4
55.0
1
.52
32
3
1
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2
)4
2
(
2
104
.49
22
)7(
)19ln79ln(9)17()9cos()7(
.48
136
2
3.475ln
cos/
5*
2
sec.46
)
2
3
51
(
2
sec)
3
6
6
5
2
(.45
2/5
yax
aax
x
e
x
xx
y
x
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seny
x
xx
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y
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x
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t
t
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x
x
e
x
x
xx
x
x
x
x
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x
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xxx
x
xx
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x
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x
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x
xx
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xsen
x
xsen
x
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xx
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xx
xsenx
x
xxxxxx
4
6
.85
4
4ln
2
4
.84
5
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3
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3
)1
2
(
2
2
6
82
3
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4
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0.792ln
4
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x
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2
1
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4
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2
181
.74
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2
.73
1
cos
.72
2
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2
2
.71
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)(
.70
21
2
.69
)(21
)(2
.68.67
)12(
)12
2
2(
.66
1
24
)1
2
(
1
2
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2
2
2
22
.64
1
2
1
2
.63
cos.62
2
)1
2
(.61.60
4
2
)2(
.59
9ln9
1
.58
2
31
3
12
.57
)2ln(ln)2(ln
1
.56
1
2
2
.55
2
)1(2
2
)1(
.54
1cos
2
cos
2
1
.53
2
9
4
55.0
1
.52
32
3
1
.51ln.50
2
)4
2
(
2
104
.49
22
)7(
)19ln79ln(9)17()9cos()7(
.48
136
2
3.475ln
cos/
5*
2
sec.46
)
2
3
51
(
2
sec)
3
6
6
5
2
(.45
2/5
yax
aax
x
e
x
xx
y
x
axaxx
axaxa
seny
x
xx
xyx
ta
tasen
y
x
yxsen
yxsen
x
e
xy
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x
e
xy
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xyx
xyxy
xxx
x
yxx
yxyx
t
t
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x
x
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x
x
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x
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x
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x
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xxx
x
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x
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x
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x
xsen
x
xx
xsenx
xsen
x
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x
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xx
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xx
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x
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4
6
.85
4
4ln
2
4
.84
5
5cos
3
20.83
3
)1
2
(
2
2
6
82
3
)2(8.819)9
4
(ln.80
0.792ln
4
))2(ln(ln.782cos8.77
xx
x
xsenxxsen
t
t
x
x
e
x
x
x
Cálculo Diferencial e integral 23 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
36. Diferencial.
La diferencial primera de una función y=f(x) no es más que el incremento y, es decir: el
producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente x.
Una de sus mayores aplicaciones es el cálculo aproximado,
Ejemplo 46. Suponiendo que no se dispone de calculadora, calcular por aproximaciones la
raíz cuadrada de 4.6.
Analizamos en el hecho de que siendo xy , si x cambia de 4 a 4.6, y varía dedy4 ,
entonces:
15.215.026.4
:
15.06.0
42
1
6.04
2
1
tantolopor
dy
dxxdx
x
dy
Aplicaciones de derivación:
Su aplicación es tan diversa como diversos son los campos de la ciencia, así, es aplicable a
la Física, Economía, Biología, entre otras, a continuación centraremos nuestro estudio en
aplicaciones a:
Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos y aplicaciones
geométricas de la derivada
Problemas de optimización
Velocidad y aceleración
Teorema del valor medio
Teorema de Lagrange
Teorema de Gauchy
Aplicación de derivación al cálculo de límites (Regla de L’hopital)
Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos
La gráfica de una función en su recorrido presenta puntos característicos que permiten una
exacta definición de su comportamiento, al dividirla en secciones o intervalos,
presentándose puntos característicos como:
Crecimiento y decrecimiento de la función en un intervalo
Puntos Máximos (absolutos o relativos) (MAX)
Puntos mínimos (absolutos o relativos) (MIN)
Puntos de inflexión (PI)
Concavidad hacia arriba o hacia debajo de un intervalo de la función
Asíntotas
Puntos de cruce con el eje x (X)
36. Diferencial.
La diferencial primera de una función y=f(x) no es más que el incremento y, es decir: el
producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente x.
Una de sus mayores aplicaciones es el cálculo aproximado,
Ejemplo 46. Suponiendo que no se dispone de calculadora, calcular por aproximaciones la
raíz cuadrada de 4.6.
Analizamos en el hecho de que siendo xy , si x cambia de 4 a 4.6, y varía dedy4 ,
entonces:
15.215.026.4
:
15.06.0
42
1
6.04
2
1
tantolopor
dy
dxxdx
x
dy
Aplicaciones de derivación:
Su aplicación es tan diversa como diversos son los campos de la ciencia, así, es aplicable a
la Física, Economía, Biología, entre otras, a continuación centraremos nuestro estudio en
aplicaciones a:
Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos y aplicaciones
geométricas de la derivada
Problemas de optimización
Velocidad y aceleración
Teorema del valor medio
Teorema de Lagrange
Teorema de Gauchy
Aplicación de derivación al cálculo de límites (Regla de L’hopital)
Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos
La gráfica de una función en su recorrido presenta puntos característicos que permiten una
exacta definición de su comportamiento, al dividirla en secciones o intervalos,
presentándose puntos característicos como:
Crecimiento y decrecimiento de la función en un intervalo
Puntos Máximos (absolutos o relativos) (MAX)
Puntos mínimos (absolutos o relativos) (MIN)
Puntos de inflexión (PI)
Concavidad hacia arriba o hacia debajo de un intervalo de la función
Asíntotas
Puntos de cruce con el eje x (X)
Cálculo Diferencial e integral 24 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Crecimiento y decrecimiento de una función:
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
La aplicación de la Derivada nos va a permitir con mayor facilidad determinar el crecimiento
o decrecimiento de un intervalo de una función , pues, la derivada es sinónimo de pendiente
o inclinación, así:
Una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende, una derivada negativa
implica una pendiente en descenso y una derivada nula implica que la función es constante
en un intervalo ( sentido horizontal).
decrece constante crece
f ‘ (x) < 0 f’ (x) = 0 f’ (x) > 0
Máximo
absoluto
max
min
extremo
Mínimo
absoluto
extremo
asintota
cruce
cruce
PI
PI
PI
decrecimiento
crecimiento
crecimiento
decrecimiento
crecimiento
si f’’ (x) > 0 =>creciente
Si f’’ (x) < 0 =>decreciente
si f’ ‘ (x)= 0 => constante
Crecimiento y decrecimiento de una función:
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
La aplicación de la Derivada nos va a permitir con mayor facilidad determinar el crecimiento
o decrecimiento de un intervalo de una función , pues, la derivada es sinónimo de pendiente
o inclinación, así:
Una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende, una derivada negativa
implica una pendiente en descenso y una derivada nula implica que la función es constante
en un intervalo ( sentido horizontal).
decrece constante crece
f ‘ (x) < 0 f’ (x) = 0 f’ (x) > 0
Máximo
absoluto
max
min
extremo
Mínimo
absoluto
extremo
asintota
cruce
cruce
PI
PI
PI
decrecimiento
crecimiento
crecimiento
decrecimiento
crecimiento
si f’’ (x) > 0 =>creciente
Si f’’ (x) < 0 =>decreciente
si f’ ‘ (x)= 0 => constante
Cálculo Diferencial e integral 25 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Para definir los intervalos de crecimiento o decrecimiento es necesario definir los puntos
donde la derivada es cero o no está definida, en estos puntos se pueden producir cambios
de sentido de la gráfica , los identificaremos como puntos críticos que pueden ser máximos,
mínimos o de inflexión.
Máximos y mínimos de una función.
El valor de una función es máximo si es mayor que el valor que le antecede y mayor que el
valor que le sigue, es mínimo si el valor que le antecede y que le sigue es mayor.
El máximo y mínimo absolutos de una función analizada en un intervalo, incluyendo sus
puntos extremos es el valor representativo de todos los máximos ó mínimos que existan en
dicho intervalo.
Si el valor máximo está comprendido entre un intervalo creciente y un decreciente de la
función, y el mínimo está ubicado entre un intervalo decreciente y un creciente de la función,
como lo muestra la figura, se puede acudir a la primera derivada para determinar dichos
puntos
Independientemente de los extremos del intervalo [A, B] , los puntos máximos o mínimos
están ubicados en aquellos puntos donde f ‘(x) = 0 o no está definida, es decir, donde la
pendiente es horizontal, concluyéndose que:
f(x) es máximo si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de + a --.
f(x) es mínima si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de -- a +.
Los puntos donde se ubican los puntos máximos y mínimos se denominan PUNTOS
CRÍTICOS.
Definición de máximos y mínimos.
Aplicando la primera derivada.-
1. Calculamos la primera derivada.
2. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos las raíces reales o soluciones.
3. Ubicamos los puntos críticos.
4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores
al punto crítico y concluimos si es máximo o mínimo.
NOTA: Según lo sugiere GranVille, “se debe incluir también como valores críticos los
valores de x para los cuales f ‘ (x) se vuelve infinita, o lo que es lo mismo, los valores de x
que satisfacen la ecuación 1/f ‘(x) = 0”.
máx
mín
Para definir los intervalos de crecimiento o decrecimiento es necesario definir los puntos
donde la derivada es cero o no está definida, en estos puntos se pueden producir cambios
de sentido de la gráfica , los identificaremos como puntos críticos que pueden ser máximos,
mínimos o de inflexión.
Máximos y mínimos de una función.
El valor de una función es máximo si es mayor que el valor que le antecede y mayor que el
valor que le sigue, es mínimo si el valor que le antecede y que le sigue es mayor.
El máximo y mínimo absolutos de una función analizada en un intervalo, incluyendo sus
puntos extremos es el valor representativo de todos los máximos ó mínimos que existan en
dicho intervalo.
Si el valor máximo está comprendido entre un intervalo creciente y un decreciente de la
función, y el mínimo está ubicado entre un intervalo decreciente y un creciente de la función,
como lo muestra la figura, se puede acudir a la primera derivada para determinar dichos
puntos
Independientemente de los extremos del intervalo [A, B] , los puntos máximos o mínimos
están ubicados en aquellos puntos donde f ‘(x) = 0 o no está definida, es decir, donde la
pendiente es horizontal, concluyéndose que:
f(x) es máximo si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de + a --.
f(x) es mínima si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de -- a +.
Los puntos donde se ubican los puntos máximos y mínimos se denominan PUNTOS
CRÍTICOS.
Definición de máximos y mínimos.
Aplicando la primera derivada.-
1. Calculamos la primera derivada.
2. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos las raíces reales o soluciones.
3. Ubicamos los puntos críticos.
4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores
al punto crítico y concluimos si es máximo o mínimo.
NOTA: Según lo sugiere GranVille, “se debe incluir también como valores críticos los
valores de x para los cuales f ‘ (x) se vuelve infinita, o lo que es lo mismo, los valores de x
que satisfacen la ecuación 1/f ‘(x) = 0”.
máx
mín
Cálculo Diferencial e integral 26 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Aplicando la segunda derivada.
1.- Calculamos la segunda derivada.
2.- Definimos los puntos críticos ( f ‘(x) = 0 )
3.- En la segunda derivada reemplazamos los valores obtenidos de los puntos críticos y
aplicamos el siguiente análisis:
f ‘‘ (Pc) < 0 es máximo
f ‘‘ (Pc) > 0 es mínimo
f ‘‘ (Pc) = 0 el método no es aplicable.
Puntos de inflexión:
Son puntos que separan arcos que tienen sus concavidades en sentidos opuestos.
Para definir los puntos de inflexión basta con igualar a cero la segunda derivada y calcular
las raíces reales.
Dirección de la concavidad.
Se dice que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en el
intervalo (a,b), si el arco de la curva está situado debajo de la tangente trazada en cualquier
punto del intervalo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.
Cóncavo hacia abajo
Cóncavo hacia arriba
pi
Aplicando la segunda derivada.
1.- Calculamos la segunda derivada.
2.- Definimos los puntos críticos ( f ‘(x) = 0 )
3.- En la segunda derivada reemplazamos los valores obtenidos de los puntos críticos y
aplicamos el siguiente análisis:
f ‘‘ (Pc) < 0 es máximo
f ‘‘ (Pc) > 0 es mínimo
f ‘‘ (Pc) = 0 el método no es aplicable.
Puntos de inflexión:
Son puntos que separan arcos que tienen sus concavidades en sentidos opuestos.
Para definir los puntos de inflexión basta con igualar a cero la segunda derivada y calcular
las raíces reales.
Dirección de la concavidad.
Se dice que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en el
intervalo (a,b), si el arco de la curva está situado debajo de la tangente trazada en cualquier
punto del intervalo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.
Cóncavo hacia abajo
Cóncavo hacia arriba
pi
Cálculo Diferencial e integral 27 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Definición de puntos de inflexión y a concavidades:
1. Calculamos F"(x)
2. Igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión
3. Identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión
4. Comprobamos si el punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x)
cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de
inflexión.
5. Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:
Si F" (x) > 0 La curva es cóncava hacia arriba
Si F" (x) < 0 La curva es cóncava hacia abajo
Asíntotas.-
Son rectas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad de
que ningún punto de la función cruza por dicha recta o asíntota.
Asíntota Oblicua.-
Se puede calcular de dos formas:
1. Siendo la función )(
)(
x
x
D
N
y y el grado del numerador es mayor en un grado al
denominador, ó igual que el del denominador, se puede realizar la división
correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división.
D
residuo
cociente
D
N
La asíntota estará representada por el cociente (Y=cociente) (como se indica en el
ejemplo 47).
2. Cuando la función no presenta la característica del numeral 1, recordando que la
ecuación de la recta es y = ax + b, se puede calcular los coeficientes a, b, en base a
la resolución de los siguientes límites (como se indica en el ejemplo 48 ):
izquierdaoblicuaasíntotaparaxaxflimb
x
xf
lima
derechaoblicuaasíntotaparaxaxflimb
x
xf
lima
xx
xx
]*)([
)(
]*)([
)(
Asíntota horizontal.
Se la define una vez calculados los coeficientes a, b, si el coeficiente a es igual a cero
entonces la asíntota horizontal será: y = b
NOTA: si existe asíntota
oblicua, no existe asíntota
horizontal
Definición de puntos de inflexión y a concavidades:
1. Calculamos F"(x)
2. Igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión
3. Identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión
4. Comprobamos si el punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x)
cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de
inflexión.
5. Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:
Si F" (x) > 0 La curva es cóncava hacia arriba
Si F" (x) < 0 La curva es cóncava hacia abajo
Asíntotas.-
Son rectas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad de
que ningún punto de la función cruza por dicha recta o asíntota.
Asíntota Oblicua.-
Se puede calcular de dos formas:
1. Siendo la función )(
)(
x
x
D
N
y y el grado del numerador es mayor en un grado al
denominador, ó igual que el del denominador, se puede realizar la división
correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división.
D
residuo
cociente
D
N
La asíntota estará representada por el cociente (Y=cociente) (como se indica en el
ejemplo 47).
2. Cuando la función no presenta la característica del numeral 1, recordando que la
ecuación de la recta es y = ax + b, se puede calcular los coeficientes a, b, en base a
la resolución de los siguientes límites (como se indica en el ejemplo 48 ):
izquierdaoblicuaasíntotaparaxaxflimb
x
xf
lima
derechaoblicuaasíntotaparaxaxflimb
x
xf
lima
xx
xx
]*)([
)(
]*)([
)(
Asíntota horizontal.
Se la define una vez calculados los coeficientes a, b, si el coeficiente a es igual a cero
entonces la asíntota horizontal será: y = b
NOTA: si existe asíntota
oblicua, no existe asíntota
horizontal
Cálculo Diferencial e integral 28 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Asíntota vertical.
La asíntota vertical se la representa como
)(xflim
cx , ha de entenderse que cuando x
tiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tenga
en el denominador la variable x, por lo tanto la asíntota vertical se podrá calcular igualando a
cero el denominador y despejando la variable.
Puntos de cruce con el eje x.
Para definir los puntos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó
soluciones.
Procedimiento para graficar funciones utilizando los puntos característicos:
1. Calcular la primera y segunda derivadas
2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas
3. Elaborar un cuadro que contenga los intervalos creados y permita definir los
puntos máximos, mínimos, inflexión, intervalos decrecimiento, decrecimiento y
concavidades
4. Definir las asíntotas
5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f(x)
6. Graficar la función.
Ejemplo 47: Graficar la función indicada utilizando los puntos característicos.
1
12
2
3
x
xx
y
1. Definición de la primera y segunda derivadas
3
2
2
)1(
8
"
)1(
32
'
x
y
x
xx
y
2. Definición de puntos críticos
10)1(80"
3110)1)(1)(3(0'
4
3
321
2
xxy
xxxxxxy
Completamos los puntos críticos reemplazando los valores x encontrados en la función f(x):
)8,3(
),1(
)0,1(
3
2
1
PC
PC
PC
Asíntota vertical.
La asíntota vertical se la representa como
)(xflim
cx , ha de entenderse que cuando x
tiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tenga
en el denominador la variable x, por lo tanto la asíntota vertical se podrá calcular igualando a
cero el denominador y despejando la variable.
Puntos de cruce con el eje x.
Para definir los puntos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó
soluciones.
Procedimiento para graficar funciones utilizando los puntos característicos:
1. Calcular la primera y segunda derivadas
2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas
3. Elaborar un cuadro que contenga los intervalos creados y permita definir los
puntos máximos, mínimos, inflexión, intervalos decrecimiento, decrecimiento y
concavidades
4. Definir las asíntotas
5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f(x)
6. Graficar la función.
Ejemplo 47: Graficar la función indicada utilizando los puntos característicos.
1
12
2
3
x
xx
y
1. Definición de la primera y segunda derivadas
3
2
2
)1(
8
"
)1(
32
'
x
y
x
xx
y
2. Definición de puntos críticos
10)1(80"
3110)1)(1)(3(0'
4
3
321
2
xxy
xxxxxxy
Completamos los puntos críticos reemplazando los valores x encontrados en la función f(x):
)8,3(
),1(
)0,1(
3
2
1
PC
PC
PC
Cálculo Diferencial e integral 29 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
3. Definición de puntos máximos, mínimos, inflexión, intervalos de crecimiento y
decrecimientoy concavidades:
- -1 1 3
Intervalo - x -1 -1 x 1 1 x 3 3 x
Valor de x -2 0 2 4
Signo de y’ + - - +
Gráfico:
Crecientes y
Decrecientes
Signo de y” - - + +
Gráfico:
Concavidades
Conclusiones MAX
DISCONTI
NUIDAD
MIN
4. Definición de asíntotas
Asíntota vertical: igualamos el denominador a cero: x = 1 es la asíntota vertical
Asíntota oblicua: dividimos el numerador para el denominador: 1
2
3
1
12
2
3
x
x
x
xx
y
como la asíntota oblicua viene representada por el cociente, y = x + 3 es la asíntota
oblicua
5. Definición de puntos de cruce con el eje x 10
1
)1(
0
2
x
x
x
y
6. Gráfica de la función
asíntota
y = x+3
3. Definición de puntos máximos, mínimos, inflexión, intervalos de crecimiento y
decrecimientoy concavidades:
- -1 1 3
Intervalo - x -1 -1 x 1 1 x 3 3 x
Valor de x -2 0 2 4
Signo de y’ + - - +
Gráfico:
Crecientes y
Decrecientes
Signo de y” - - + +
Gráfico:
Concavidades
Conclusiones MAX
DISCONTI
NUIDAD
MIN
4. Definición de asíntotas
Asíntota vertical: igualamos el denominador a cero: x = 1 es la asíntota vertical
Asíntota oblicua: dividimos el numerador para el denominador: 1
2
3
1
12
2
3
x
x
x
xx
y
como la asíntota oblicua viene representada por el cociente, y = x + 3 es la asíntota
oblicua
5. Definición de puntos de cruce con el eje x 10
1
)1(
0
2
x
x
x
y
6. Gráfica de la función
asíntota
y = x+3
Cálculo Diferencial e integral 30 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 48. Definir la asíntota derecha de la función 4
2
xy
Asíntota vertical no existe por no haber denominador con variables
xybaxyderechaoblicuaAsíntota
xxxx
xx
xxxxlimaxylimb
x
x
x
x
x
lim
x
x
lim
x
xf
lima
xx
xxx
:
0
4
4
4
4
*)4()4()(
1
4
1
4
4)(
22
2
22
2
2
2
37. Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización.
Como una aplicación práctica de la teoría de máximos y mínimos, se sugiere para la
solución dibujar el esquema del problema, escribir la fórmula que se va a maximizar o
minimizar y aplicar los criterios conocidos para definir los puntos máximos y mínimos.
Ejemplo 49 Se desea construir un cerramiento alrededor de dos terrenos adyacentes
rectangulares cuya área total es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de los
terrenos para las cuales la longitud de cerramiento sea mínima.
x
y
x
x
Y y
x
Area = 600
600 = 2xy y = 300/x
Area = 2xy
Longitud = L
L = 4x + 3y
L = 4x + 3*300/x = 4x + 900/x
L’ = 4 – 900/x
2
L’ = 0
4x
2
– 900 = 0
x = 15 mt
y = 20 mt
Ejemplo 48. Definir la asíntota derecha de la función 4
2
xy
Asíntota vertical no existe por no haber denominador con variables
xybaxyderechaoblicuaAsíntota
xxxx
xx
xxxxlimaxylimb
x
x
x
x
x
lim
x
x
lim
x
xf
lima
xx
xxx
:
0
4
4
4
4
*)4()4()(
1
4
1
4
4)(
22
2
22
2
2
2
37. Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización.
Como una aplicación práctica de la teoría de máximos y mínimos, se sugiere para la
solución dibujar el esquema del problema, escribir la fórmula que se va a maximizar o
minimizar y aplicar los criterios conocidos para definir los puntos máximos y mínimos.
Ejemplo 49 Se desea construir un cerramiento alrededor de dos terrenos adyacentes
rectangulares cuya área total es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de los
terrenos para las cuales la longitud de cerramiento sea mínima.
x
y
x
x
Y y
x
Area = 600
600 = 2xy y = 300/x
Area = 2xy
Longitud = L
L = 4x + 3y
L = 4x + 3*300/x = 4x + 900/x
L’ = 4 – 900/x
2
L’ = 0
4x
2
– 900 = 0
x = 15 mt
y = 20 mt
Cálculo Diferencial e integral 31 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
38. Velocidad y aceleración.
Recordando que el movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una
velocidad promedio que puede calcularse así:
t
s
vprom
Si deseamos conocer la velocidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando
más corto sea el tiempo, más nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:
t
s
limlimv
ainstantanevelocidadv
t
prom
tv
00
Recordando el análisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con
respecto al tiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio
de la velocidad con respecto al tiempo, a este resultado se lo conoce como aceleración:
2
2
)'(
:
dt
sd
dt
ds
dt
dv
a
dt
ds
vsi
Ejemplo 50. Siendo la ecuación del movimiento rectilíneo s= 7t
2
– 3t, calcular el espacio
recorrido, la velocidad y la aceleración en el instante t = 5
2
2
/14
/6735*14314
1505*35*7
segm
dt
dv
a
segmt
dt
ds
v
ms
39. Teoremas del Valor medio
Teorema de Rolle. Se refiere al hecho de que si una función continua, en el intervalo A,B
se anula en sus extremos, y en dicho intervalo existe en cada punto una derivada, existe por
lo menos un punto en donde dicha derivada es cero.
0)(
)()(
1
cf
bfaf
f ‘ (c)=0
(a,0) (b,0)
38. Velocidad y aceleración.
Recordando que el movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una
velocidad promedio que puede calcularse así:
t
s
vprom
Si deseamos conocer la velocidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando
más corto sea el tiempo, más nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:
t
s
limlimv
ainstantanevelocidadv
t
prom
tv
00
Recordando el análisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con
respecto al tiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio
de la velocidad con respecto al tiempo, a este resultado se lo conoce como aceleración:
2
2
)'(
:
dt
sd
dt
ds
dt
dv
a
dt
ds
vsi
Ejemplo 50. Siendo la ecuación del movimiento rectilíneo s= 7t
2
– 3t, calcular el espacio
recorrido, la velocidad y la aceleración en el instante t = 5
2
2
/14
/6735*14314
1505*35*7
segm
dt
dv
a
segmt
dt
ds
v
ms
39. Teoremas del Valor medio
Teorema de Rolle. Se refiere al hecho de que si una función continua, en el intervalo A,B
se anula en sus extremos, y en dicho intervalo existe en cada punto una derivada, existe por
lo menos un punto en donde dicha derivada es cero.
0)(
)()(
1
cf
bfaf
f ‘ (c)=0
(a,0) (b,0)
Cálculo Diferencial e integral 32 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 51. Verificar que la función y = x
2
– 3x cumple las condiciones del teorema de Rolle
para el intervalo [0,3] y encontrar los valores correspondientes.
La función es derivable y, f(0) = f(3) = 02
3
032
32)(
1
xx
xxf
Teorema de Lagrange: Se refiere al hecho de que si la gráfica de una función continua
tiene una tangente inclinada en un punto C del intervalo A,B , entonces por lo menos hay un
punto C cuya tangente es paralela a la secante A,B.
ab
afbf
cf
)()(
)(
1
c1
c2
B
A
C3
Ejemplo 52. Dada la función y = x
3
– 3x
2
– x +1 calcular los puntos donde se cumple el
teorema del valor medio en el intervalo [0,1]
2011631631
1
1
12
01
)0()1(
163
21
22
21
ccccxx
ff
xxy
Teorema de Cauchy. Se refiere al hecho de que si dos funciones f(x), g(x) son continuas en
todo el intervalo (A,B) y la derivada de la función g(x) no se anula dentro del intervalo, para
algún valor del intervalo se cumple:
)(
)(
)()(
)()(
1
1
cg
cf
agbg
afbf
40. Aplicación de derivación al cálculo de límites indeterminados(Regla de
L’hopital)
Anteriormente se analizaron algunas formas indeterminadas tales como 0/0, /, - , así
como las sugerencias para levantar dichas indeterminaciones indicadas en el apartado
número 20 y encontrar la correcta solución, a continuación y, con los conocimientos de
derivación estudiaremos la técnica planteada por L’hopital para la solución de límites
indeterminados con la aplicación de la derivada, de acuerdo al siguiente teorema:
Ejemplo 51. Verificar que la función y = x
2
– 3x cumple las condiciones del teorema de Rolle
para el intervalo [0,3] y encontrar los valores correspondientes.
La función es derivable y, f(0) = f(3) = 02
3
032
32)(
1
xx
xxf
Teorema de Lagrange: Se refiere al hecho de que si la gráfica de una función continua
tiene una tangente inclinada en un punto C del intervalo A,B , entonces por lo menos hay un
punto C cuya tangente es paralela a la secante A,B.
ab
afbf
cf
)()(
)(
1
c1
c2
B
A
C3
Ejemplo 52. Dada la función y = x
3
– 3x
2
– x +1 calcular los puntos donde se cumple el
teorema del valor medio en el intervalo [0,1]
2011631631
1
1
12
01
)0()1(
163
21
22
21
ccccxx
ff
xxy
Teorema de Cauchy. Se refiere al hecho de que si dos funciones f(x), g(x) son continuas en
todo el intervalo (A,B) y la derivada de la función g(x) no se anula dentro del intervalo, para
algún valor del intervalo se cumple:
)(
)(
)()(
)()(
1
1
cg
cf
agbg
afbf
40. Aplicación de derivación al cálculo de límites indeterminados(Regla de
L’hopital)
Anteriormente se analizaron algunas formas indeterminadas tales como 0/0, /, - , así
como las sugerencias para levantar dichas indeterminaciones indicadas en el apartado
número 20 y encontrar la correcta solución, a continuación y, con los conocimientos de
derivación estudiaremos la técnica planteada por L’hopital para la solución de límites
indeterminados con la aplicación de la derivada, de acuerdo al siguiente teorema:
Cálculo Diferencial e integral 33 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
“Cuando )(
)(
xg
xf adopte alguna forma de indeterminación 0/0 ó /,
entonces: )('
)('
)(
)(
xg
xf
lim
xg
xf
lim supuesto que este límite exista (ó que
sea infinito)”
Recomendaciones:
Cuando se presente la forma indeterminada 0* se recomienda reescribir el límite en la
forma 0/0 ó /.
Cuando se presente la forma indeterminada 1
,
0
, 0
0
, se recomienda utilizar conceptos
logarítmicos en combinación con el teorema de L’hopital.
Se debe reconocer también como indeterminaciones algunos casos como:
+
- - -
0
0
0
-
Ejemplo 53. Calcular el límite de 3
sen
x
tagxx
2
1
6
sec2sec2cos
)6(
)sec2(
6
sec2
)3(
)sec(
3
sec
)(
)(
222
'
'2
2
'2
'2
2
2
'3
'
xxtagxx
x
xtagxsenx
x
xtagxsenx
x
xcox
x
xcox
x
tagxsenx
“Cuando )(
)(
xg
xf adopte alguna forma de indeterminación 0/0 ó /,
entonces: )('
)('
)(
)(
xg
xf
lim
xg
xf
lim supuesto que este límite exista (ó que
sea infinito)”
Recomendaciones:
Cuando se presente la forma indeterminada 0* se recomienda reescribir el límite en la
forma 0/0 ó /.
Cuando se presente la forma indeterminada 1
,
0
, 0
0
, se recomienda utilizar conceptos
logarítmicos en combinación con el teorema de L’hopital.
Se debe reconocer también como indeterminaciones algunos casos como:
+
- - -
0
0
0
-
Ejemplo 53. Calcular el límite de 3
sen
x
tagxx
2
1
6
sec2sec2cos
)6(
)sec2(
6
sec2
)3(
)sec(
3
sec
)(
)(
222
'
'2
2
'2
'2
2
2
'3
'
xxtagxx
x
xtagxsenx
x
xtagxsenx
x
xcox
x
xcox
x
tagxsenx
Cálculo Diferencial e integral 34 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
CALCULO INTEGRAL
41. INTEGRACION.
Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La
inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar
una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada
propuesta. La integración es la inversa de la derivación.
Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la
primera representación de la suma.
El cálculo integral podríamos expresarlo como:
"Dado el diferencial de una función hallar su función original"
La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.
42. FORMULAS DE INTEGRACION
Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante
puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma
algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.
Cdxyy
dxydy
dx
dy
y
1
´'
1 xx
x
x
x
dx
dxdy
y
y
32
2
2
3
3
3
3
'
wdvdudwdvdu
dxaadx
)(
CALCULO INTEGRAL
41. INTEGRACION.
Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La
inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar
una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada
propuesta. La integración es la inversa de la derivación.
Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la
primera representación de la suma.
El cálculo integral podríamos expresarlo como:
"Dado el diferencial de una función hallar su función original"
La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.
42. FORMULAS DE INTEGRACION
Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante
puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma
algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.
Cdxyy
dxydy
dx
dy
y
1
´'
1 xx
x
x
x
dx
dxdy
y
y
32
2
2
3
3
3
3
'
wdvdudwdvdu
dxaadx
)(
Cálculo Diferencial e integral 35 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Fórmulas elementales de integración
NOTA. Si bien es cierto que toda función es factible de derivarla, no toda integración puede ser resuelta
directamente. Para cuando se presente estos casos, su solución requiere de métodos aproximados. Cavvn
a
av
v
dvav
C
a
v
arcsenva
v
dvva
Cavvn
av
dv
C
a
v
arcSen
va
dv
C
va
va
n
ava
dv
C
av
av
n
aav
dv
C
a
v
arcTg
aav
dv
cctgvvcvdvC
ctgvvvdv
csenvCtgvdv
cvcvtgvdv
cvCCtgvdvvC
cvtgvdvv
cctgvvdvC
ctgvvdv
csenvvdv
cvsenvdv
cedve
c
a
a
dva
cv
v
dv
c
n
v
dv
cxdx
vv
v
v
n
n
v
)(1
22
.22
2
.21
)(1.20
.19
1
2
1
.18
1
2
1
.17
1
.16
)secln(sec.15
)ln(secsec.14
ln.13
seclncosln.12
sec*sec.11
sec*sec.10
sec.9
sec.8
cos.7
cos.6
.5
ln
.4
ln.3
1
.2
.1
22
2
2222
2222
22
22
22
22
22
22
2
2
1
Fórmulas elementales de integración
NOTA. Si bien es cierto que toda función es factible de derivarla, no toda integración puede ser resuelta
directamente. Para cuando se presente estos casos, su solución requiere de métodos aproximados. Cavvn
a
av
v
dvav
C
a
v
arcsenva
v
dvva
Cavvn
av
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C
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v
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va
dv
C
va
va
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dv
C
av
av
n
aav
dv
C
a
v
arcTg
aav
dv
cctgvvcvdvC
ctgvvvdv
csenvCtgvdv
cvcvtgvdv
cvCCtgvdvvC
cvtgvdvv
cctgvvdvC
ctgvvdv
csenvvdv
cvsenvdv
cedve
c
a
a
dva
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v
dv
c
n
v
dv
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vv
v
v
n
n
v
)(1
22
.22
2
.21
)(1.20
.19
1
2
1
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2
1
.17
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.16
)secln(sec.15
)ln(secsec.14
ln.13
seclncosln.12
sec*sec.11
sec*sec.10
sec.9
sec.8
cos.7
cos.6
.5
ln
.4
ln.3
1
.2
.1
22
2
2222
2222
22
22
22
22
22
22
2
2
1
Cálculo Diferencial e integral 36 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 54
Ejemplo 55
43. TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN:
Método de sustitución.
Cuando no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al
ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución.
Ejemplo 56
Ejemplo 57
Sustituciones trigonométricas
Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada,
sugiriendo el reemplazo correspondiente:
Ejemplo 58 C
x
C
x
xdx
211
211
CxaaCuaudua
dxdu
xaunsustituciódeoceso
xadxaxaadx
)ln(ln/
Pr
// 2
2
2/1
/1/
/1
/
duxdx
xdxdu
xu
xdxe
x
Ce
Ce
due
xduxe
x
u
u
u
/1
22
/* Cx
x
xCx
xx
x
dx
xdxdxxdx
x
xx
ln
2
5
ln
2
5
3
3
53)
1
53(
2
3
23
22 )(*.3
)sec(*.2
)cos(*)(*.1
22
22
22
ttgaxax
taxax
taxótsenaxxa
Ejemplo 54
Ejemplo 55
43. TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN:
Método de sustitución.
Cuando no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al
ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución.
Ejemplo 56
Ejemplo 57
Sustituciones trigonométricas
Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada,
sugiriendo el reemplazo correspondiente:
Ejemplo 58 C
x
C
x
xdx
211
211
CxaaCuaudua
dxdu
xaunsustituciódeoceso
xadxaxaadx
)ln(ln/
Pr
// 2
2
2/1
/1/
/1
/
duxdx
xdxdu
xu
xdxe
x
Ce
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xduxe
x
u
u
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/1
22
/* Cx
x
xCx
xx
x
dx
xdxdxxdx
x
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2
5
ln
2
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53)
1
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2
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)sec(*.2
)cos(*)(*.1
22
22
22
ttgaxax
taxax
taxótsenaxxa
Cálculo Diferencial e integral 37 Ing. M.Sc. Washington Medina G. )tgsecln(
sec
tg
sec
1tgtg
sec
sectg
1
2
2
2
2
cc
dc
dd
ddxx
xx
dx
1
2
x
x
1
c
xx
x
solución
)
1
1
ln(
2
Integración por partes
Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la
siguiente igualdad.
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse
de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten.
Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es
recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la
integración directa.
En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la
integración por partes
vduuvudv
udvvduvud
uvvuvu
vduuvudv
)*(
´´)´*(
sec
tg
sec
1tgtg
sec
sectg
1
2
2
2
2
cc
dc
dd
ddxx
xx
dx
1
2
x
x
1
c
xx
x
solución
)
1
1
ln(
2
Integración por partes
Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la
siguiente igualdad.
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse
de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten.
Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es
recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la
integración directa.
En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la
integración por partes
vduuvudv
udvvduvud
uvvuvu
vduuvudv
)*(
´´)´*(
Cálculo Diferencial e integral 38 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 59 Ejemplo 60
Integrales de la forma AX
2
+ BX + C
Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda
aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que
podamos expresarlo como: v
2
a
2
ó a
2
v
2
Ejemplo 61
CASO ESPECIAL. Cuando la integral presente la configuración siguiente:
Cxxx
C
x
x
x
wdwww
x
dxx
x
x
wvwdwdv
x
vxdxdvdwduwu
x
dx
duxuwdwwdxdwxw
xdxxxdxxCos
)3cos3sen3(
9
1
4
ln
2
)sensen(
9
1
*
2
ln
2
sencos
2
lncos
9
1
33
ln3
22
22
2 c
x
arctgc
w
arctg
w
dw
dxdwxw
x
dx
quedaríanostrinomioeldocomple
xx
dx
2
1
2
1
22
1
4
1
4)1(
:tan
52
2
2
2
cbxaxnmx
dx
2
)(
Ejemplo 59 Ejemplo 60
Integrales de la forma AX
2
+ BX + C
Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda
aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que
podamos expresarlo como: v
2
a
2
ó a
2
v
2
Ejemplo 61
CASO ESPECIAL. Cuando la integral presente la configuración siguiente:
Cxxx
C
x
x
x
wdwww
x
dxx
x
x
wvwdwdv
x
vxdxdvdwduwu
x
dx
duxuwdwwdxdwxw
xdxxxdxxCos
)3cos3sen3(
9
1
4
ln
2
)sensen(
9
1
*
2
ln
2
sencos
2
lncos
9
1
33
ln3
22
22
2 c
x
arctgc
w
arctg
w
dw
dxdwxw
x
dx
quedaríanostrinomioeldocomple
xx
dx
2
1
2
1
22
1
4
1
4)1(
:tan
52
2
2
2
cbxaxnmx
dx
2
)(
Cálculo Diferencial e integral 39 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Se sugiere utilizar el reemplazo mx+n = 1/ t, artificio que es aplicable también a la forma
la forma mx
2
+ n = 1/t.
43. Aplicación de la teoría de las fracciones racionales
función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes
negativos o fraccionarios.
Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador
son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del
denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:
D
R
C
Dx
Nx
Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración
aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión
en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
Para descomponer fracciones vamos a considerar los siguientes casos, cada uno con un
ejemplo explicativo:
Primer caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite
Ejemplo 62
Segundo caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se
repiten.
121
)(
..........
)()()()( mx
N
mx
N
mx
N
mx
N
mx
N
nnnn
)3(15
1
)2(10
9
6
5
)3)(2(
52
15
1
,
10
9
,
6
5
56
223
0
6)23()(52
)3)(2(
)2()3()6(
)3)(2(
)6()23()(
32)3)(2(
52
2
222
2
xxxxxx
x
CBA
A
CBA
CBA
ACBAxCBAxx
xxx
xxCxxxBxxA
xxx
ACBAxxCBA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Se sugiere utilizar el reemplazo mx+n = 1/ t, artificio que es aplicable también a la forma
la forma mx
2
+ n = 1/t.
43. Aplicación de la teoría de las fracciones racionales
función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes
negativos o fraccionarios.
Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador
son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del
denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:
D
R
C
Dx
Nx
Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración
aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión
en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
Para descomponer fracciones vamos a considerar los siguientes casos, cada uno con un
ejemplo explicativo:
Primer caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite
Ejemplo 62
Segundo caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se
repiten.
121
)(
..........
)()()()( mx
N
mx
N
mx
N
mx
N
mx
N
nnnn
)3(15
1
)2(10
9
6
5
)3)(2(
52
15
1
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10
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6
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56
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0
6)23()(52
)3)(2(
)2()3()6(
)3)(2(
)6()23()(
32)3)(2(
52
2
222
2
xxxxxx
x
CBA
A
CBA
CBA
ACBAxCBAxx
xxx
xxCxxxBxxA
xxx
ACBAxxCBA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Cálculo Diferencial e integral 40 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 63
)1(
2
)1(
1
)1(
21
)1(
1
2121
:
1:
03:
023:
1:
:mindet
)1(
)1()1()1(
)1(
1
)1()1()1()1(
1
233
3
0
2
3
3
23
3
3
233
3
xxxxxx
x
DCBA
sistemaeloresolviend
Ax
DCBAx
DCAx
DAx
adoserinescoeficientdemétodoelaplicando
xx
xDxxCxBxxA
xx
x
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Tercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.
Ejemplo 64.
Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten
5
2
52
6
2
52
5
2
6
2
52
5252
6565
23
6
2
5
2
5
2
6
2
5
2
6
2
52
x
x
x
x
))(x(x
DCBA
DBC)Ax(D)(BxA)x(C
)D)(xx(Cx)B)(x(Ax
x
DCx
x
BAx
))(x(x
x ...
)()()()(
221222
nnnn
QPxx
FEx
QPxx
DCx
QPxx
BAx
QPxx
N QPxx
BAx
QPxx
N
22
Ejemplo 63
)1(
2
)1(
1
)1(
21
)1(
1
2121
:
1:
03:
023:
1:
:mindet
)1(
)1()1()1(
)1(
1
)1()1()1()1(
1
233
3
0
2
3
3
23
3
3
233
3
xxxxxx
x
DCBA
sistemaeloresolviend
Ax
DCBAx
DCAx
DAx
adoserinescoeficientdemétodoelaplicando
xx
xDxxCxBxxA
xx
x
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Tercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.
Ejemplo 64.
Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten
5
2
52
6
2
52
5
2
6
2
52
5252
6565
23
6
2
5
2
5
2
6
2
5
2
6
2
52
x
x
x
x
))(x(x
DCBA
DBC)Ax(D)(BxA)x(C
)D)(xx(Cx)B)(x(Ax
x
DCx
x
BAx
))(x(x
x ...
)()()()(
221222
nnnn
QPxx
FEx
QPxx
DCx
QPxx
BAx
QPxx
N QPxx
BAx
QPxx
N
22
Cálculo Diferencial e integral 41 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas
de reducción, como la siguiente:
122122222
32
12
1
nnn
)a(u
du
)n)
)a(u
u
)a(n)a(u
dv
Ejemplo 65
Integración de funciones irracionales
Cuando la integral contiene potencias fraccionarias de la forma X ó
m
m
bxa , donde n es el
mínimo común múltiplo de las raíces existentes, es conveniente asumir la siguiente
sustitución: x = z
n
ó (a + bx ) = z
n
Integración de diferenciales binomias
Una diferencial de la forma dxbxax
pnm
)( donde m, n, p son números racionales, se
llama diferencial binomia.
Para su solución se plantea tres casos:
CASO I. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desarrollar el binomio de Newton o
aplicar otra forma conveniente de integración..
CASO II. Cuando n
m1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s , se efectúa la sustitución a + bx
n
= z
s
CASO III. Cuando s
r
n
m
1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s, se efectúa la sustitución a + bx
n
= z
s
x
n
.
2x
5x
ln
343
20
2)49(x
27
5)49(x
8
2x
dx
343
20
2)(x
dx
49
27
5x
dx
343
20
5)(x
dx
49
8
343
20
49
27
343
20
49
8
2255
25
78
103
78
22
22
22
2
22
2
,D,C,BA
x
D
)(x
C
x
B
)(x
A
dx)(x)(x
xx
dx
)x(x
xx
Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas
de reducción, como la siguiente:
122122222
32
12
1
nnn
)a(u
du
)n)
)a(u
u
)a(n)a(u
dv
Ejemplo 65
Integración de funciones irracionales
Cuando la integral contiene potencias fraccionarias de la forma X ó
m
m
bxa , donde n es el
mínimo común múltiplo de las raíces existentes, es conveniente asumir la siguiente
sustitución: x = z
n
ó (a + bx ) = z
n
Integración de diferenciales binomias
Una diferencial de la forma dxbxax
pnm
)( donde m, n, p son números racionales, se
llama diferencial binomia.
Para su solución se plantea tres casos:
CASO I. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desarrollar el binomio de Newton o
aplicar otra forma conveniente de integración..
CASO II. Cuando n
m1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s , se efectúa la sustitución a + bx
n
= z
s
CASO III. Cuando s
r
n
m
1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s, se efectúa la sustitución a + bx
n
= z
s
x
n
.
2x
5x
ln
343
20
2)49(x
27
5)49(x
8
2x
dx
343
20
2)(x
dx
49
27
5x
dx
343
20
5)(x
dx
49
8
343
20
49
27
343
20
49
8
2255
25
78
103
78
22
22
22
2
22
2
,D,C,BA
x
D
)(x
C
x
B
)(x
A
dx)(x)(x
xx
dx
)x(x
xx
Cálculo Diferencial e integral 42 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integración de funciones trigonométricas
Para su solución se plantean diversos casos, en los cuales se utilizan reducciones
trigonométricas sencillas:
CASO I. Integrales de la forma xdxxCos
nm
sen
- Si m ó n son números impares, enteros, positivos se sugiere aplicar las entidades
trigonométricas Sen
2
x = 1 – cos
2
x ó cos
2
x = 1 - sen
2
x, y, resolver la integral en las
formas básicas conocidas.
- Si m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las
siguientes entidades trigonométricas:
xxx
xx
xx
2sen
2
1
cossen
2cos1
2
1
cos
2cos1
2
1
sen
2
2
CASO II. Integrales de la forma:
nxdxmxnxdxmxmxdxmx coscossensen,cossen
Donde m n, se recomienda el uso de las siguientes fórmulas:
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
coscos
2
1
coscos
coscos
2
1
sensen
sensen
2
1
cossen
CAS0 III. Integrales de la forma
xdxcxdxxdxcxdx
nnnn
sec,sectg,tg
Se recomienda usar las fórmulas:
1sectg,1sectg
2222
xcxcxx
44. CONSTANTE DE INTEGRACION
Es el valor que adopta la constante C para un caso particul ar de la variable,
geométricamente, permite la graficación de un número infinito de curvas (familia de curvas)
de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.
Integración de funciones trigonométricas
Para su solución se plantean diversos casos, en los cuales se utilizan reducciones
trigonométricas sencillas:
CASO I. Integrales de la forma xdxxCos
nm
sen
- Si m ó n son números impares, enteros, positivos se sugiere aplicar las entidades
trigonométricas Sen
2
x = 1 – cos
2
x ó cos
2
x = 1 - sen
2
x, y, resolver la integral en las
formas básicas conocidas.
- Si m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las
siguientes entidades trigonométricas:
xxx
xx
xx
2sen
2
1
cossen
2cos1
2
1
cos
2cos1
2
1
sen
2
2
CASO II. Integrales de la forma:
nxdxmxnxdxmxmxdxmx coscossensen,cossen
Donde m n, se recomienda el uso de las siguientes fórmulas:
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
coscos
2
1
coscos
coscos
2
1
sensen
sensen
2
1
cossen
CAS0 III. Integrales de la forma
xdxcxdxxdxcxdx
nnnn
sec,sectg,tg
Se recomienda usar las fórmulas:
1sectg,1sectg
2222
xcxcxx
44. CONSTANTE DE INTEGRACION
Es el valor que adopta la constante C para un caso particul ar de la variable,
geométricamente, permite la graficación de un número infinito de curvas (familia de curvas)
de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.
Cálculo Diferencial e integral 43 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 66. Encontrar la función cuya pendiente es y´= 2x-3 y pasa por el punto(3,5)
53
5995:tan
3
32)32(
2
2
'
xxy
ccteconsladecálculo
cxxy
dxxdxdxxdxyy
Ejemplo 67: En cada uno de los siguientes ejercicio a), b) hallar la función, si se tiene como
datos la pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica:
a) y’ = x ; P(1,1)
b) y´ = xy (3,5)
Ejemplo 68: En cada punto de cierta curva y” = 20/x
3
hallar la función sabiendo que la curva
pasa por el punto (1,0) y, es tangente a la recta y = 5x-6
12:
2
1
22
1
1
´
1
1
2
2
2
xySolución
x
yC
C
x
x
ydxyy
y
x 9.2
2
ln
9.2
2
9
6.1
2
9
5ln
2
ln
5
3
2
2
x
y
CcC
C
x
yxdx
y
dy
y
x
xdx
y
dy
xy
dx
dy
Ejemplo 66. Encontrar la función cuya pendiente es y´= 2x-3 y pasa por el punto(3,5)
53
5995:tan
3
32)32(
2
2
'
xxy
ccteconsladecálculo
cxxy
dxxdxdxxdxyy
Ejemplo 67: En cada uno de los siguientes ejercicio a), b) hallar la función, si se tiene como
datos la pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica:
a) y’ = x ; P(1,1)
b) y´ = xy (3,5)
Ejemplo 68: En cada punto de cierta curva y” = 20/x
3
hallar la función sabiendo que la curva
pasa por el punto (1,0) y, es tangente a la recta y = 5x-6
12:
2
1
22
1
1
´
1
1
2
2
2
xySolución
x
yC
C
x
x
ydxyy
y
x 9.2
2
ln
9.2
2
9
6.1
2
9
5ln
2
ln
5
3
2
2
x
y
CcC
C
x
yxdx
y
dy
y
x
xdx
y
dy
xy
dx
dy
Cálculo Diferencial e integral 44 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 2515
10
251*15
1
10
0
0,1
15
10
)15
10
(
15
1
10
5
1
,
5'
65
10
'
20
'
2
2
23
x
x
y
cc
yxparaccalculamos
cx
x
y
x
y
cc
xparaccalculamos
igualessonpendienteslascomo
y
xyrectaladerivamos
c
x
ydx
x
y
45. EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN:
dxx
dxx
dxx
dxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
xxx
dxeee
dx
x
xxx
dx
x
x
xx
dxx
x
dxxx
dxxx
xxx
)35(.14
)53(.13
)7(.12
)7(.11
)
4
25
(.10
)
3
5
(.09
)
8
(.08
)
3
(.07
)(.06
)(.05
)ln(.04
)15
5
(.03
.)3(.02
)73(.01
2
2
2
2
23
2
4/1
353/12/1
4/5
3/2
3
2
10
251*15
1
10
0
0,1
15
10
)15
10
(
15
1
10
5
1
,
5'
65
10
'
20
'
2
2
23
x
x
y
cc
yxparaccalculamos
cx
x
y
x
y
cc
xparaccalculamos
igualessonpendienteslascomo
y
xyrectaladerivamos
c
x
ydx
x
y
45. EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN:
dxx
dxx
dxx
dxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
xxx
dxeee
dx
x
xxx
dx
x
x
xx
dxx
x
dxxx
dxxx
xxx
)35(.14
)53(.13
)7(.12
)7(.11
)
4
25
(.10
)
3
5
(.09
)
8
(.08
)
3
(.07
)(.06
)(.05
)ln(.04
)15
5
(.03
.)3(.02
)73(.01
2
2
2
2
23
2
4/1
353/12/1
4/5
3/2
3
2
Cálculo Diferencial e integral 45 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
57
.34
33.33
57.32
1
.31
.30
.29
45cos7.28
)
7
6
(.27
)
1
(.26
)
7
3
(.25
)
2
22
(.24
)1
3
)(2(.23
)84)(53(.22
)12(.21
)
73
14
(.20
)
4
3
(.19
)
4
5
(.18
)
73
14
(.17
)
4
3
(.16
)
4
5
(.15
2
2
2
7
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
dx
dxxx
dxxx
e
e
dxe
arcsenxdx
xdx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
x
dxx
x
xx
dxxx
dxxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
57
.34
33.33
57.32
1
.31
.30
.29
45cos7.28
)
7
6
(.27
)
1
(.26
)
7
3
(.25
)
2
22
(.24
)1
3
)(2(.23
)84)(53(.22
)12(.21
)
73
14
(.20
)
4
3
(.19
)
4
5
(.18
)
73
14
(.17
)
4
3
(.16
)
4
5
(.15
2
2
2
7
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
dx
dxxx
dxxx
e
e
dxe
arcsenxdx
xdx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
x
dxx
x
xx
dxxx
dxxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
Cálculo Diferencial e integral 46 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
4
.54
.53
1.52
25
.51
11
.50
5
.49
7
.48
)
25
(.47
)
1
5
(.46
)
)8(
(.45
)
11
(.44
)
7
(.43
)8)((.42
)12(.41
ln.40
7cos.39
5.38
.37
1
.36
1
.35
2
2
2
2
23
22
2
2
2/32
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
x
dx
dx
dxxx
dx
x
x
dx
x
x
xx
dx
yy
dy
xx
dx
dx
xx
dx
x
x
dx
t
t
dx
x
x
dxxx
dxxx
xdxx
xdxx
dxex
dxxe
xx
dx
xx
dx
x
x
4
.54
.53
1.52
25
.51
11
.50
5
.49
7
.48
)
25
(.47
)
1
5
(.46
)
)8(
(.45
)
11
(.44
)
7
(.43
)8)((.42
)12(.41
ln.40
7cos.39
5.38
.37
1
.36
1
.35
2
2
2
2
23
22
2
2
2/32
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
x
dx
dx
dxxx
dx
x
x
dx
x
x
xx
dx
yy
dy
xx
dx
dx
xx
dx
x
x
dx
t
t
dx
x
x
dxxx
dxxx
xdxx
xdxx
dxex
dxxe
xx
dx
xx
dx
x
x
Cálculo Diferencial e integral 47 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
xx
dx
xx
dx
xdx
dx
dxea
dxsenxe
dxxe
bea
dxe
xdxsen
dxxsenx
dxax
xxe
dxxe
dxxa
bax
dx
dxxx
dx
xx
x
dx
xxx
xx
dx
xxx
x
dx
xx
xxx
dx
xx
dx
x
sen
xx
cox
x
x
x
x
x
5
.76
)3)((
.75
sec.74
73
.72
.71
.70
.69
.68
)cos(.67
)(.66
)1((.65
)ln(.64
)(.63
)(.62
)5((61
)1()1(
.60
)2)(4)(7(
127
.59
)3)(73(
5
.58
127
4
.57
)2)(3)(4(
.56
)3)(4(
.55
2
2
cos1
33
3
3
23/13/1
22
23
22
2
2
2
2
xx
dx
xx
dx
xdx
dx
dxea
dxsenxe
dxxe
bea
dxe
xdxsen
dxxsenx
dxax
xxe
dxxe
dxxa
bax
dx
dxxx
dx
xx
x
dx
xxx
xx
dx
xxx
x
dx
xx
xxx
dx
xx
dx
x
sen
xx
cox
x
x
x
x
x
5
.76
)3)((
.75
sec.74
73
.72
.71
.70
.69
.68
)cos(.67
)(.66
)1((.65
)ln(.64
)(.63
)(.62
)5((61
)1()1(
.60
)2)(4)(7(
127
.59
)3)(73(
5
.58
127
4
.57
)2)(3)(4(
.56
)3)(4(
.55
2
2
cos1
33
3
3
23/13/1
22
23
22
2
2
2
2
Cálculo Diferencial e integral 48 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integrar las siguientes expresiones aplicando formulas directas:
46. INTEGRAL DEFINIDA
Del teorema “ La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una
coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el
diferencial de la abscisa correspondiente “, así: du = y dx
Si la curva AB es el lugar geométrico de y = f(x), entonces du = y dx.
Siendo du la diferencial de área entre la curva, al eje de las x y dos coordenadas a, b, como
se indica en la siguiente figura:
F
E
Y
C D
a
b dx
x
xx
xx
dx
dxxx
dx
x
dx
dxxx
dx
x
x
dxxx
dxxx
3
2
24
24
32
22
2
25
.85
21
84
21.83
)17(
.82
5.81
4
.80
75.79
75.78 dx
xx
2
5
4
77
Integrar las siguientes expresiones aplicando formulas directas:
46. INTEGRAL DEFINIDA
Del teorema “ La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una
coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el
diferencial de la abscisa correspondiente “, así: du = y dx
Si la curva AB es el lugar geométrico de y = f(x), entonces du = y dx.
Siendo du la diferencial de área entre la curva, al eje de las x y dos coordenadas a, b, como
se indica en la siguiente figura:
F
E
Y
C D
a
b dx
x
xx
xx
dx
dxxx
dx
x
dx
dxxx
dx
x
x
dxxx
dxxx
3
2
24
24
32
22
2
25
.85
21
84
21.83
)17(
.82
5.81
4
.80
75.79
75.78 dx
xx
2
5
4
77
Cálculo Diferencial e integral 49 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integrando tenemos.
CxFdxxfu )()(
Para determinar C, observamos que u = 0 cuando x= a
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
0 = F(a) + C ; C = -F(a)
obteniéndose : u = F(x) - F(a)
El área CEFD que se pide es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:
Area CEFD = F(b) - F(a)
TEOREMA “La diferencia de los valores de
ydx para x=a y x=b da el área limitada por la
curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b”.
Esta diferencia se representa por:
Que se lee: “La integral desde a hasta b de ydx”.
La operación se llama operación entre límites: a es límite inferior y b es límite superior.
Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA.
Integral definida.- La integral definida es un valor resultante de la suma de valores
infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la
integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando x O.
47. INTEGRAL IMPROPIA
Se le da esta denominación a aquellas integrales cuyos límites son infinitos, en estos casos
se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.
Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado entre los límites (lo que
puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá
b
a
b
a
ydxódxxf)(
n
i
b
a
ixif
x
lim
dxXF
1
*)(
0
)(
b
a
b
a
dxxflimdxxf )()(
Integrando tenemos.
CxFdxxfu )()(
Para determinar C, observamos que u = 0 cuando x= a
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
0 = F(a) + C ; C = -F(a)
obteniéndose : u = F(x) - F(a)
El área CEFD que se pide es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:
Area CEFD = F(b) - F(a)
TEOREMA “La diferencia de los valores de
ydx para x=a y x=b da el área limitada por la
curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b”.
Esta diferencia se representa por:
Que se lee: “La integral desde a hasta b de ydx”.
La operación se llama operación entre límites: a es límite inferior y b es límite superior.
Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA.
Integral definida.- La integral definida es un valor resultante de la suma de valores
infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la
integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando x O.
47. INTEGRAL IMPROPIA
Se le da esta denominación a aquellas integrales cuyos límites son infinitos, en estos casos
se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.
Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado entre los límites (lo que
puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá
b
a
b
a
ydxódxxf)(
n
i
b
a
ixif
x
lim
dxXF
1
*)(
0
)(
b
a
b
a
dxxflimdxxf )()(
Cálculo Diferencial e integral 50 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
para los nuevos límites un valor menor y mayor al valor donde se produce lo
discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:
b
a
b
c
c
a
dxxflimdxxflimdxxf
)()()(
00
c
48. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo de áreas:
La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la curva como un método exacto,
cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el
de Simpson, de los trapecios y otros, que no son considerados en el presente estudio pues
se los puede enfocar en un tratado de Métodos Numéricos.
Criterios para el cálculo de área bajo la curva
1. El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula
b
a
ydxA , (deducida del área
2. de una franja vertical de base x , altura y: A=x*y) considerando siempre que a<b.
3. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o
sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de
las x.
4. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula
b
a
ydxA
, nos dará un valor resultante de áreas.
b
x
x
a
ydxydxA
4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 curvas, se deberá calcular los
puntos de intersección y aplicar la siguiente fórmula: dxyyA
b
a
21 , donde y1 es la
función que abarca mayor cantidad de área.
para los nuevos límites un valor menor y mayor al valor donde se produce lo
discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:
b
a
b
c
c
a
dxxflimdxxflimdxxf
)()()(
00
c
48. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo de áreas:
La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la curva como un método exacto,
cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el
de Simpson, de los trapecios y otros, que no son considerados en el presente estudio pues
se los puede enfocar en un tratado de Métodos Numéricos.
Criterios para el cálculo de área bajo la curva
1. El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula
b
a
ydxA , (deducida del área
2. de una franja vertical de base x , altura y: A=x*y) considerando siempre que a<b.
3. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o
sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de
las x.
4. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula
b
a
ydxA
, nos dará un valor resultante de áreas.
b
x
x
a
ydxydxA
4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 curvas, se deberá calcular los
puntos de intersección y aplicar la siguiente fórmula: dxyyA
b
a
21 , donde y1 es la
función que abarca mayor cantidad de área.
Cálculo Diferencial e integral 51 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que
los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.
a b
6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de los puntos de intersección
vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las
curvas lo cual deberá definirse en el gráfico.
Ejemplo 69. Calcular el área limitada por y = x
3
/9, ubicada en el primer cuadrante, limitado
entre x=0 y x=2.
Procedimiento:
1.- Ubicar la franja de análisis
2.- Calcular el área bajo la curva indicada limitada entre los puntos a, b tomando como
referencia el eje x
b
a
dxyyA
xyya
)21(
)21( 2
2
0
4
2
0
3
9
4
36
9
uA
x
A
dx
x
A
ydxA
b
a
Y
1
Y
2
y
x 2
Y=x
3
/9
5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que
los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.
a b
6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de los puntos de intersección
vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las
curvas lo cual deberá definirse en el gráfico.
Ejemplo 69. Calcular el área limitada por y = x
3
/9, ubicada en el primer cuadrante, limitado
entre x=0 y x=2.
Procedimiento:
1.- Ubicar la franja de análisis
2.- Calcular el área bajo la curva indicada limitada entre los puntos a, b tomando como
referencia el eje x
b
a
dxyyA
xyya
)21(
)21( 2
2
0
4
2
0
3
9
4
36
9
uA
x
A
dx
x
A
ydxA
b
a
Y
1
Y
2
y
x 2
Y=x
3
/9
Cálculo Diferencial e integral 52 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
49. AREAS EN COORDENADAS POLARES
Deducción de la fórmula de área
dA
d
dA
darco
dtagdcomo
tagdarco
arco
tagd
2
2
1
2
*
*
*
Ejemplo 70. Calcular el área limitada por P = a Sen + b Cos entre = 0 y = /2.
Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la
gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la
gráfica pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis
se recomienda para el cálculo de áreas comunes de dos funciones.
Se deja a interés del lector estas observaciones y su respectiva comprobación
8
)(
448
)(
2
4
2
84
2
2
2)(
4
1
4
1
2
2
1
2
1
22
22
0
90
2222
90
0
222
90
0
90
0
22
2222
90
0
2
ba
A
ababIIba
A
Cos
ab
Sen
baba
A
dSen
ab
dCosbadbaA
dCosbCosabSenSenaA
dbCosaSenA
A
d
49. AREAS EN COORDENADAS POLARES
Deducción de la fórmula de área
dA
d
dA
darco
dtagdcomo
tagdarco
arco
tagd
2
2
1
2
*
*
*
Ejemplo 70. Calcular el área limitada por P = a Sen + b Cos entre = 0 y = /2.
Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la
gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la
gráfica pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis
se recomienda para el cálculo de áreas comunes de dos funciones.
Se deja a interés del lector estas observaciones y su respectiva comprobación
8
)(
448
)(
2
4
2
84
2
2
2)(
4
1
4
1
2
2
1
2
1
22
22
0
90
2222
90
0
222
90
0
90
0
22
2222
90
0
2
ba
A
ababIIba
A
Cos
ab
Sen
baba
A
dSen
ab
dCosbadbaA
dCosbCosabSenSenaA
dbCosaSenA
A
d
Cálculo Diferencial e integral 53 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
50. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
s
y
x
Longitud de arco de curvas en coordenadas polares:
dS
2
/2
Ejemplo 71: Calcular la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y = x
2
+ 1 entre los
límites x 1 = 3 y x 2 = 7
S
3 7
dyxS
íaanapor
dxyS
dxyds
dxs
x
x
y
S
x
x
y
x
x
S
yxs
B
A
B
A
2
/
2
/
2
2
2
2
2
2
2
22
1
:log
1
´1
1
50. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
s
y
x
Longitud de arco de curvas en coordenadas polares:
dS
2
/2
Ejemplo 71: Calcular la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y = x
2
+ 1 entre los
límites x 1 = 3 y x 2 = 7
S
3 7
dyxS
íaanapor
dxyS
dxyds
dxs
x
x
y
S
x
x
y
x
x
S
yxs
B
A
B
A
2
/
2
/
2
2
2
2
2
2
2
22
1
:log
1
´1
1
Cálculo Diferencial e integral 54 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
51. CENTROS DE GRAVEDAD
Es el punto CG(x,y) en el que se encuentra el cuerpo en equilibrio.
Para el cálculo del centro de gravedad, se requiere del uso del efecto llamado Momento
(momento es el efecto que una fuerza causa a un punto situado a una distancia de la
ubicación de dicha fuerza)
Mc = Longitud * Distancia
Ma = Area * Distancia
Deducción de fórmulas
Ejemplo 72: Calcular el centro de gravedad del área limitada por y = x
2
, x = 4 y que está
ubicada en el primer cuadrante
21.40
1
2
1
41
)(1
2'
2
2
2/
7
3
S
dxuS
dxxS
dxyS
xy
b
a
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
)(
*
b
a
dxYMx
dxyMx
y
ydxMx
dAMx
2
2
2
1
2
1
2
)(
* 4.102
10
)(
2
1
2
1
2
0
4
5
4
0
4
4
0
2
Mx
X
Mx
dxXMx
dxYMx
Y
XYMx 64
4
0
4
4
4
0
3
4
0
My
X
My
dxXMy
dxXYMy
xXYMy 3
64
3
4
0
3
4
0
2
4
0
A
X
A
dxXA
YdxA )8.4;3(
4.102
*
64
*
3
64
3
64
CG
yAMx
XAMy
51. CENTROS DE GRAVEDAD
Es el punto CG(x,y) en el que se encuentra el cuerpo en equilibrio.
Para el cálculo del centro de gravedad, se requiere del uso del efecto llamado Momento
(momento es el efecto que una fuerza causa a un punto situado a una distancia de la
ubicación de dicha fuerza)
Mc = Longitud * Distancia
Ma = Area * Distancia
Deducción de fórmulas
Ejemplo 72: Calcular el centro de gravedad del área limitada por y = x
2
, x = 4 y que está
ubicada en el primer cuadrante
21.40
1
2
1
41
)(1
2'
2
2
2/
7
3
S
dxuS
dxxS
dxyS
xy
b
a
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
)(
*
b
a
dxYMx
dxyMx
y
ydxMx
dAMx
2
2
2
1
2
1
2
)(
* 4.102
10
)(
2
1
2
1
2
0
4
5
4
0
4
4
0
2
Mx
X
Mx
dxXMx
dxYMx
Y
XYMx 64
4
0
4
4
4
0
3
4
0
My
X
My
dxXMy
dxXYMy
xXYMy 3
64
3
4
0
3
4
0
2
4
0
A
X
A
dxXA
YdxA )8.4;3(
4.102
*
64
*
3
64
3
64
CG
yAMx
XAMy
Cálculo Diferencial e integral 55 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 73: Calcular el centro de gravedad de la figura
x
4
2
116xy
2
42
2
0
32
2
2
0
2
0
322
2
2
2
0
2
2
4
0
32
1
4
0
4
0
322
1
2
4
0
2
1
3
8
4
3
16
)4(
2
1
2
1
4
3
64
16
3
128
)16(
2
1
2
1
416
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
FIGURA Ai Mxi Myi
1 4 128/3 64/3
2 (restar) 16/3 8/3
3 112/3 56/3
)
9
112
,
9
56
(:gra
9
56
3
3
56
*
9
112
3
3
112
*
CGvedaddecentro
unidadesxxxAMy
unidadesyyyAMx
2
24xy
y
Ejemplo 73: Calcular el centro de gravedad de la figura
x
4
2
116xy
2
42
2
0
32
2
2
0
2
0
322
2
2
2
0
2
2
4
0
32
1
4
0
4
0
322
1
2
4
0
2
1
3
8
4
3
16
)4(
2
1
2
1
4
3
64
16
3
128
)16(
2
1
2
1
416
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
FIGURA Ai Mxi Myi
1 4 128/3 64/3
2 (restar) 16/3 8/3
3 112/3 56/3
)
9
112
,
9
56
(:gra
9
56
3
3
56
*
9
112
3
3
112
*
CGvedaddecentro
unidadesxxxAMy
unidadesyyyAMx
2
24xy
y
Cálculo Diferencial e integral 56 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
52. AREAS LATERALES O SUPERFICIES DE REVOLUCION
Un área lateral o superficie de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un
arco limitado de la curva y = f(x)”.
Deducción de la fórmula de superficie de revolución:
Considerando la superficie de revolución del gráfico, donde la longitud de arco está definida
por:
xys
2
´1
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución “CUBIERTO POR UN CASCARON
EXTERNO DENOMINADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUCION”, esta
superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:
B
A
L
B
A
L
LL
XdsAíaanaPor
YdsA
YdsdAYSA
2log
2
22*
Se debe recordar que ds representa la longitud de arco de una curva y es calculable por:
yxsóxys
22
´1´1
Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.
2y
y
x
52. AREAS LATERALES O SUPERFICIES DE REVOLUCION
Un área lateral o superficie de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un
arco limitado de la curva y = f(x)”.
Deducción de la fórmula de superficie de revolución:
Considerando la superficie de revolución del gráfico, donde la longitud de arco está definida
por:
xys
2
´1
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución “CUBIERTO POR UN CASCARON
EXTERNO DENOMINADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUCION”, esta
superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:
B
A
L
B
A
L
LL
XdsAíaanaPor
YdsA
YdsdAYSA
2log
2
22*
Se debe recordar que ds representa la longitud de arco de una curva y es calculable por:
yxsóxys
22
´1´1
Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.
2y
y
x
Cálculo Diferencial e integral 57 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
53. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION:
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, este volumen es calculable
aplicando el siguiente análisis:
1.- Girando la franja indicada alrededor del eje x, manteniendo la base de la franja fija en el
eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que el
volumen es igual al área del círculo multiplicado por el espesor.
dxyV
xYV
b
a
x
2
2
*
2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la
franja se movilizará en su totalidad haciendo un recorrido de 2, formando un cilindro
hueco cuyo volumen vendría dado por:
b
a
y yxdyV
yXYV
2
**2
x
Franja a girar una
revolución en el eje x
x
y
2
y
x
53. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION:
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, este volumen es calculable
aplicando el siguiente análisis:
1.- Girando la franja indicada alrededor del eje x, manteniendo la base de la franja fija en el
eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que el
volumen es igual al área del círculo multiplicado por el espesor.
dxyV
xYV
b
a
x
2
2
*
2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la
franja se movilizará en su totalidad haciendo un recorrido de 2, formando un cilindro
hueco cuyo volumen vendría dado por:
b
a
y yxdyV
yXYV
2
**2
x
Franja a girar una
revolución en el eje x
x
y
2
y
x
Cálculo Diferencial e integral 58 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje.
El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la facilidad
que el planteamiento presente para la integración y solución del problema.
Ejemplo 74. Calcular el volumen que se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la
función y=x
2
, ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor del eje x, b) alrededor del eje y.
a) alrededor del eje x
5
256
5
4
0
54
0
4
4
0
2
x
dxxdxyV
b) alrededor del eje y
x
y
y
y
En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje.
El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la facilidad
que el planteamiento presente para la integración y solución del problema.
Ejemplo 74. Calcular el volumen que se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la
función y=x
2
, ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor del eje x, b) alrededor del eje y.
a) alrededor del eje x
5
256
5
4
0
54
0
4
4
0
2
x
dxxdxyV
b) alrededor del eje y
x
y
y
y
Cálculo Diferencial e integral 59 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
128
4
222
4
0
4
0
4
0
4
2
x
dxxxxydxV
54. RELACION DE FORMULAS ENTRE MOMENTOS Y VOLUMENES.
Con la finalidad de optimizar el tiempo de cálculo, se puede encontrar una relación de
fórmulas entre momentos y volúmenes:
55. INTEGRALES MULTIPLES
Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en
especial de volúmenes en el espacio (tres dimensiones), se debe tomar en cuenta el
siguiente criterio: ”cuando se considera a una de las variables como tal, las otras
permanecen como constantes”.
Aplicación de integrales dobles:
Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.
dxdyAdydxAyxA
y
y
b
a
b
a
y
y
****
2
1
2
1
Y
1
Y
2
x
y
a b MxV
dxyV
xyV
dxyMx
dxyMx
y
ydxMx
dAMx
x
b
a
x
b
a
2
*
2
1
2
1
2
)(
*
2
2
2
2
MyV
yxdyV
yxyV
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
y
b
a
y
b
a
2
2
**2
)(
*
128
4
222
4
0
4
0
4
0
4
2
x
dxxxxydxV
54. RELACION DE FORMULAS ENTRE MOMENTOS Y VOLUMENES.
Con la finalidad de optimizar el tiempo de cálculo, se puede encontrar una relación de
fórmulas entre momentos y volúmenes:
55. INTEGRALES MULTIPLES
Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en
especial de volúmenes en el espacio (tres dimensiones), se debe tomar en cuenta el
siguiente criterio: ”cuando se considera a una de las variables como tal, las otras
permanecen como constantes”.
Aplicación de integrales dobles:
Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.
dxdyAdydxAyxA
y
y
b
a
b
a
y
y
****
2
1
2
1
Y
1
Y
2
x
y
a b MxV
dxyV
xyV
dxyMx
dxyMx
y
ydxMx
dAMx
x
b
a
x
b
a
2
*
2
1
2
1
2
)(
*
2
2
2
2
MyV
yxdyV
yxyV
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
y
b
a
y
b
a
2
2
**2
)(
*
Cálculo Diferencial e integral 60 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Nota: Se debe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.
dxYYxxdydxMyy
dxYYdx
y
ydydxMxx
b
a a
y
y
y
y
b
b
b
a
y
y
b
a
12
12
2
1
2
2
1
2
1
2
1
En forma similar se puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.
56. VOLUMENES BAJO UNA SUPERFICIE
De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que el volumen viene definido por:
dzdxdyV
x
x
y
y
z
z
2
1
2
1
2
1
Se recomienda previo al análisis, y, con la finalidad de definir los límites de las integrales,
trabajar previamente en el plano XY que por lo general constituye la base donde se va a
levantar el volumen.
Z
z
x y
x
y
Se debe recordar que al trabajar con tres ejes (x,y,z), el espacio se divide en
octantes, como lo indica el siguiente gráfico:
Nota: Se debe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.
dxYYxxdydxMyy
dxYYdx
y
ydydxMxx
b
a a
y
y
y
y
b
b
b
a
y
y
b
a
12
12
2
1
2
2
1
2
1
2
1
En forma similar se puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.
56. VOLUMENES BAJO UNA SUPERFICIE
De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que el volumen viene definido por:
dzdxdyV
x
x
y
y
z
z
2
1
2
1
2
1
Se recomienda previo al análisis, y, con la finalidad de definir los límites de las integrales,
trabajar previamente en el plano XY que por lo general constituye la base donde se va a
levantar el volumen.
Z
z
x y
x
y
Se debe recordar que al trabajar con tres ejes (x,y,z), el espacio se divide en
octantes, como lo indica el siguiente gráfico:
Cálculo Diferencial e integral 61 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
57. EJERCICIOS DE Aplicación
Identificada el área limitada por las funciones indicadas y UBICADA EN EL PRIMER
CUADRANTE , calcular:
- El área plana limitada por las funciones indicadas
- El perímetro que bordea dicha área
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje x
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje y.
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje x
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje y
- El centro de gravedad de dicha área
-
0,4,94
0,2,93
00,4,2592
0,4,91
4,5,0,63.90
,5,5.89
0,03,54.88
0,5.87
0,586
22
222
22
2
2
22
2
yxyxy
yxyxy
yxxxyyx
xxxyxy
xxyxyxy
xyxyy
xyyxxy
yxxy
yxxy
95. Calcular el volumen limitado arriba por la superficie z = 6 - x – y, dentro de y = 5 – x, y
los planos coordenados
96. Calcular el volumen limitado arriba por z = 4 – y
2
, abajo por el plano z = 0, y, dentro de
los planos y = x
2
, y=2, x=0
97. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x
2
– y
2
, sobre el plano z = 0 y en el
interior de x
2
+ y
2
= 9
98. Calcular el volumen limitado arriba por z = x
2
, sobre z = 0, y por los planos y = 0, y = 5,
x = 2, x = -2.
99. Calcular el volumen limitado arriba por z = 16 - x
2
, y los planos y=4 – x, x=0, y=0, z = 0
100. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x
2
– y
2
, y por los planos z = 0, y = 0,
x = 0, x + y = 3
Se recomienda resolver para fines de
aprendizaje los ejercicios 93 y 94
aplicando franja vertical y franja
horizontal
57. EJERCICIOS DE Aplicación
Identificada el área limitada por las funciones indicadas y UBICADA EN EL PRIMER
CUADRANTE , calcular:
- El área plana limitada por las funciones indicadas
- El perímetro que bordea dicha área
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje x
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje y.
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje x
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje y
- El centro de gravedad de dicha área
-
0,4,94
0,2,93
00,4,2592
0,4,91
4,5,0,63.90
,5,5.89
0,03,54.88
0,5.87
0,586
22
222
22
2
2
22
2
yxyxy
yxyxy
yxxxyyx
xxxyxy
xxyxyxy
xyxyy
xyyxxy
yxxy
yxxy
95. Calcular el volumen limitado arriba por la superficie z = 6 - x – y, dentro de y = 5 – x, y
los planos coordenados
96. Calcular el volumen limitado arriba por z = 4 – y
2
, abajo por el plano z = 0, y, dentro de
los planos y = x
2
, y=2, x=0
97. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x
2
– y
2
, sobre el plano z = 0 y en el
interior de x
2
+ y
2
= 9
98. Calcular el volumen limitado arriba por z = x
2
, sobre z = 0, y por los planos y = 0, y = 5,
x = 2, x = -2.
99. Calcular el volumen limitado arriba por z = 16 - x
2
, y los planos y=4 – x, x=0, y=0, z = 0
100. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x
2
– y
2
, y por los planos z = 0, y = 0,
x = 0, x + y = 3
Se recomienda resolver para fines de
aprendizaje los ejercicios 93 y 94
aplicando franja vertical y franja
horizontal
Cálculo Diferencial e integral 62 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
58. SOLUCION DE LOS PRO BLEMAS PLANTEADOS
)
3
5
;
3
10
(
6
250
6
125
3
250
3
125
2550225225255010
2
25
86
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)
2
15
;
4
15
(
4
625
2
625
75.981
2
625
49.1963625
006.16925025164.63162587.2530
3
125
87
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)673.1;938.2(
6
209
6
119
3
209
3
16
75
3
119
3
16
45
87684412858.1115
88
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)389.4;344.1(719.2878.8
438.5354.7208.1225755.17493.7652.3056
554.17466.7088.5.5300.58148.15792.20360.22
617.6848.1533.2236.2022.2835.1343.720.11
89
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)603.3;299.4(417.44234.37
833.88167.11100467.74533.378
087.17249.2299597.50507.166613.9811024
493.1940168.391333.10667.112
90
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)2;1(667.2333.5
333.58333.13667.104.6067.17
587.18071.7515.11216.37984.16232.20
294.9647.4647.4667.2667.2333.5
91
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
58. SOLUCION DE LOS PRO BLEMAS PLANTEADOS
)
3
5
;
3
10
(
6
250
6
125
3
250
3
125
2550225225255010
2
25
86
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)
2
15
;
4
15
(
4
625
2
625
75.981
2
625
49.1963625
006.16925025164.63162587.2530
3
125
87
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)673.1;938.2(
6
209
6
119
3
209
3
16
75
3
119
3
16
45
87684412858.1115
88
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)389.4;344.1(719.2878.8
438.5354.7208.1225755.17493.7652.3056
554.17466.7088.5.5300.58148.15792.20360.22
617.6848.1533.2236.2022.2835.1343.720.11
89
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)603.3;299.4(417.44234.37
833.88167.11100467.74533.378
087.17249.2299597.50507.166613.9811024
493.1940168.391333.10667.112
90
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)2;1(667.2333.5
333.58333.13667.104.6067.17
587.18071.7515.11216.37984.16232.20
294.9647.4647.4667.2667.2333.5
91
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
Cálculo Diferencial e integral 63 Ing. M.Sc. Washington Medina G. )743.2;267.2(334.2060.24
667.40667.42333.8320.49133.34333.83
832.77834.11509464.11525464.4050
147.23293.91854.75968.8667.10635.19
92
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.12333.136.2533.5667.28
935.374971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.32333.5
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.124.6667.1833.5833.13
935.374971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.3667.26
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42298.185.013.1
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1619.0943.0
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42698.1526.4507.6
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1886.1448.3
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
00.27100
67.10699
67.2698
24.12797
31.496
33.3395
667.40667.42333.8320.49133.34333.83
832.77834.11509464.11525464.4050
147.23293.91854.75968.8667.10635.19
92
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.12333.136.2533.5667.28
935.374971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.32333.5
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.124.6667.1833.5833.13
935.374971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.3667.26
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42298.185.013.1
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1619.0943.0
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42698.1526.4507.6
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1886.1448.3
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
00.27100
67.10699
67.2698
24.12797
31.496
33.3395
Cálculo Diferencial e integral 64 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
ECUACIONES DIFERENCIALES,
CONCEPTOS BASICOS
59. ecuación diferencial.
Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus
derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable
independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y
(n)
Simbólicamente se representa como:
F( x, y, y', y'', y''', y... y
(n)
) = 0
Otra forma de representar es: 0..,.........,,,(
2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF
60. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.
ECUACIONES DIFERENCIALES,
CONCEPTOS BASICOS
59. ecuación diferencial.
Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus
derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable
independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y
(n)
Simbólicamente se representa como:
F( x, y, y', y'', y''', y... y
(n)
) = 0
Otra forma de representar es: 0..,.........,,,(
2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF
60. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.
Cálculo Diferencial e integral 65 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de
Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población.
61. Tipo de una ecuación.
Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden
ser ordinarias o parciales.
Ecuación diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable
independiente, así:
Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las
derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas
parciales " así. 03
dy
du
dx
du
62. Orden de una ecuación diferencial.
El orden es la máxima derivada que aparece en una ecuación, así.
)(0'2'''
)0'
ordenterceryy
ordenprimery
63. Grado de una ecuación.
Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:
),(0'5)''(3'''
2
gradoprimerordenterceryyy
Ejemplo 75
1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:
IIIVparcialy
dz
yd
dx
dy
IIIordinadia
dx
yd
IIIVaordinadiriy
dx
yd
dx
dy
ORDENGRADOTIPO
03
5
03
5
,,,
2
2
2
2
5
,,,
2
2
023
033''
2
2
dx
dy
dx
yd
yy
El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de
Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población.
61. Tipo de una ecuación.
Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden
ser ordinarias o parciales.
Ecuación diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable
independiente, así:
Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las
derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas
parciales " así. 03
dy
du
dx
du
62. Orden de una ecuación diferencial.
El orden es la máxima derivada que aparece en una ecuación, así.
)(0'2'''
)0'
ordenterceryy
ordenprimery
63. Grado de una ecuación.
Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:
),(0'5)''(3'''
2
gradoprimerordenterceryyy
Ejemplo 75
1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:
IIIVparcialy
dz
yd
dx
dy
IIIordinadia
dx
yd
IIIVaordinadiriy
dx
yd
dx
dy
ORDENGRADOTIPO
03
5
03
5
,,,
2
2
2
2
5
,,,
2
2
023
033''
2
2
dx
dy
dx
yd
yy
Cálculo Diferencial e integral 66 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
64. Solución de una ecuación diferencial.
Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus
respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.
Ejemplo 76
Determinar si y = e
-2x
es solución de la ecuación diferencial
)(00
0
''
'
02'3''
264
4
2
222
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
y
y
y
yyy
eee
e
e
e
xxx
x
x
x
Comprobar si y = 3e
-2x
+ 5e
-x
es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0
)(00
''
'
512
56
53
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
lduferenciaecuaciónlaenosreemplazam
y
y
y
ee
ee
ee
xx
xx
xx
65. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales
Solución particular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a
la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una
solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que
pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores
iniciales y de valores en la frontera.
Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un
conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así;
si la ecuación es:
F( x, y, y', y'', y''',... y
(n)
) = 0 (ecuación que define el problema) , x = a el punto inicial,
entonces, y(a)= y(o) , y'(a) = y'(o) , y''(a) = y''(o) , y''' = y'''(o) , y
(n)
(a) = y
(n)
(o)
Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:
64. Solución de una ecuación diferencial.
Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus
respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.
Ejemplo 76
Determinar si y = e
-2x
es solución de la ecuación diferencial
)(00
0
''
'
02'3''
264
4
2
222
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
y
y
y
yyy
eee
e
e
e
xxx
x
x
x
Comprobar si y = 3e
-2x
+ 5e
-x
es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0
)(00
''
'
512
56
53
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
lduferenciaecuaciónlaenosreemplazam
y
y
y
ee
ee
ee
xx
xx
xx
65. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales
Solución particular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a
la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una
solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que
pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores
iniciales y de valores en la frontera.
Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un
conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así;
si la ecuación es:
F( x, y, y', y'', y''',... y
(n)
) = 0 (ecuación que define el problema) , x = a el punto inicial,
entonces, y(a)= y(o) , y'(a) = y'(o) , y''(a) = y''(o) , y''' = y'''(o) , y
(n)
(a) = y
(n)
(o)
Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:
Cálculo Diferencial e integral 67 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
F(x,y) = 0
X = a
Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con
condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en
particular, si x = a y x = b, es decir que el dominio de soluciones está en el intervalo
cerrado [a , b]
Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx
3
, y, si es
solución, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2
Derivando la solución: Y' = 3cx
2
Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx
2
) - 3 (cx
3
) = 0
3cx
3
- 3cx
3
= 0 , 0 = 0 , por lo tanto, y = cx
3
Si es solución
Reemplazando las condiciones iniciales en la solución, se obtiene que 27
2
C
Por lo tanto, la solución particular es x
C
3
27
2
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una
familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la
constante arbitraria.
Ejemplo 78: resolver la ecuación y’ +x
2
=7, para la condición inicial P(3,5)
F(x,y) = 0
X = a
Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con
condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en
particular, si x = a y x = b, es decir que el dominio de soluciones está en el intervalo
cerrado [a , b]
Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx
3
, y, si es
solución, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2
Derivando la solución: Y' = 3cx
2
Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx
2
) - 3 (cx
3
) = 0
3cx
3
- 3cx
3
= 0 , 0 = 0 , por lo tanto, y = cx
3
Si es solución
Reemplazando las condiciones iniciales en la solución, se obtiene que 27
2
C
Por lo tanto, la solución particular es x
C
3
27
2
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una
familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la
constante arbitraria.
Ejemplo 78: resolver la ecuación y’ +x
2
=7, para la condición inicial P(3,5)
Cálculo Diferencial e integral 68 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
7
3
7tan
7:,Re
3
7
)7(
)7(
7
7'
3
3
2
2
2
2
x
xYtoloPor
Csoluciónlaenyxemplazando
C
x
xY
dxy
dxdy
dx
dy
y
x
x
x
x
UNA ECUACION DIFERENCIAL SE
CONSIDERA RESUELTA CUANDO SE HA
REDUCIDO A UNA EXPRESION EN
TERMINOS INTEGRALES, PUEDA O NO
EFECTUARSE LA INTEGRACION
66. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1
er
orden y de 1
er
grado.
Este tipo de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son
funciones de x o de y. Las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase o forma
son:
I. Ecuaciones diferenciales con variables separadas
II. Ecuaciones homogéneas
III. Ecuaciones Lineales
IV. Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal.
Ecuaciones con variables separadas: Cuando la ecuación diferencial puede reducirse a la
forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y
únicamente.
El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución
se obtiene por integración directa así:
donde C es una constante arbitraria.
Ecuaciones homogéneas.
CdyyFdxxF )()(
7
3
7tan
7:,Re
3
7
)7(
)7(
7
7'
3
3
2
2
2
2
x
xYtoloPor
Csoluciónlaenyxemplazando
C
x
xY
dxy
dxdy
dx
dy
y
x
x
x
x
UNA ECUACION DIFERENCIAL SE
CONSIDERA RESUELTA CUANDO SE HA
REDUCIDO A UNA EXPRESION EN
TERMINOS INTEGRALES, PUEDA O NO
EFECTUARSE LA INTEGRACION
66. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1
er
orden y de 1
er
grado.
Este tipo de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son
funciones de x o de y. Las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase o forma
son:
I. Ecuaciones diferenciales con variables separadas
II. Ecuaciones homogéneas
III. Ecuaciones Lineales
IV. Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal.
Ecuaciones con variables separadas: Cuando la ecuación diferencial puede reducirse a la
forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y
únicamente.
El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución
se obtiene por integración directa así:
donde C es una constante arbitraria.
Ecuaciones homogéneas.
CdyyFdxxF )()(
Cálculo Diferencial e integral 69 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Para aplicar el método de solución es necesario previamente comprobar la homogeneidad
de la función de análisis, de acuerdo al siguiente análisis: FUNCION HOMOGENEA: la
función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si
para todo valor se cumple la siguiente Identidad f(x, y) =
n
f(x,y) donde es una
constante arbitraria o un número real
Ejemplo 79. Comprobar si las funciones 3 33
),( yxyxf y 2
),( yxyyxf
son homogénea e identificar el grado.
En conclusión, la función es homogénea y de grado 1
La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de ).
La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son
funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se sugiere el
siguiente procedimiento:
1. Se expresa el ejercicio como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
2. Se comprueba si M, N son homogéneas y del mismo grado
3. Al comprobarse el criterio de homogeneidad, se utiliza el artificio y = vx
4. Se sustituye y = vx lo cual da como resultado una ecuación diferencial
dependiente de las variables v, x, luego de lo cual se puede separar las variables
y para su resolución aplicar el método de separación de variables.
Ejemplo 80
),(),(
3 33
),(
3 3333
),(
3 3
)(
3
)(),(
),(),(
yxfyxf
yxyxf
yxyxf
yxyxf
yxf
n
yxf
),(
2
),(
)
2
(
2
),(
222
),(
2
)())((),(
yxfyxf
yxyyxf
yxyyxf
yyxyxf
Para aplicar el método de solución es necesario previamente comprobar la homogeneidad
de la función de análisis, de acuerdo al siguiente análisis: FUNCION HOMOGENEA: la
función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si
para todo valor se cumple la siguiente Identidad f(x, y) =
n
f(x,y) donde es una
constante arbitraria o un número real
Ejemplo 79. Comprobar si las funciones 3 33
),( yxyxf y 2
),( yxyyxf
son homogénea e identificar el grado.
En conclusión, la función es homogénea y de grado 1
La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de ).
La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son
funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se sugiere el
siguiente procedimiento:
1. Se expresa el ejercicio como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
2. Se comprueba si M, N son homogéneas y del mismo grado
3. Al comprobarse el criterio de homogeneidad, se utiliza el artificio y = vx
4. Se sustituye y = vx lo cual da como resultado una ecuación diferencial
dependiente de las variables v, x, luego de lo cual se puede separar las variables
y para su resolución aplicar el método de separación de variables.
Ejemplo 80
),(),(
3 33
),(
3 3333
),(
3 3
)(
3
)(),(
),(),(
yxfyxf
yxyxf
yxyxf
yxyxf
yxf
n
yxf
),(
2
),(
)
2
(
2
),(
222
),(
2
)())((),(
yxfyxf
yxyyxf
yxyyxf
yyxyxf
Cálculo Diferencial e integral 70 Ing. M.Sc. Washington Medina G. )()1)(1(
ln
)1)(1(
ln
)1)(1(lnln
)1ln(
2
1
ln)1ln(
2
1
)1()1(
:Re
22
22
22
22
22
generalsoluciónyxcx
c
yx
x
cyxx
Cyxx
C
y
ydy
x
dx
x
xdx
solver
Ejemplo 81
Ejemplo 82: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y cuya pendiente en
un punto cualquiera es: )1(´
x
y
y
)()2)(3(
)2ln()3ln(0
)2()3(
0
)3)(2(
)3(
)3)(2(
)2(
0)3()2(Re
generalsoluciónCyx
yx
y
dy
x
dx
xy
dyx
xy
dxy
dyxdxysolver
ln
)1)(1(
ln
)1)(1(lnln
)1ln(
2
1
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2
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22
22
22
22
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generalsoluciónyxcx
c
yx
x
cyxx
Cyxx
C
y
ydy
x
dx
x
xdx
solver
Ejemplo 81
Ejemplo 82: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y cuya pendiente en
un punto cualquiera es: )1(´
x
y
y
)()2)(3(
)2ln()3ln(0
)2()3(
0
)3)(2(
)3(
)3)(2(
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generalsoluciónCyx
yx
y
dy
x
dx
xy
dyx
xy
dxy
dyxdxysolver
Cálculo Diferencial e integral 71 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y’+ Py = Q donde P y Q son
funciones de x únicamente, ó constantes. Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente
de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = 0, es Homogénea.
Procedimiento de solución (según sugerencia de Granville):
1. Expresar el problema en la forma y’+ Py = Q
2. Utilizar el artificio y = uz, derivar considerando que u , z son funciones de x, y,
reemplazar en la ecuación propuesta:
QzPu
dx
du
dx
dz
u
QPuz
dx
du
z
dx
dz
u
*
3. Calcular u integrando 0Pu
dx
du ,Por facilidad de resolución, en el cálculo de u
es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.
4. Calcular z integrando integrando Q
dx
dz
u , reemplazando previamente el valor
de u calculado en el punto .
5. Expresar la respuesta multiplicando u*z
Ejemplo 83 Resolver la ecuación y’ – y = e
x )(082
81*2*222
ln2ln
2
ln
)21ln(ln
0
)21(
0
)21()21(
21(
0)21(
0)1(
0)()(
1hom,
0)(
2
22
2
2
1
particularsolucionxyx
cccxyx
CxyxC
x
yx
x
cvx
v
dv
x
dx
xv
xdv
xv
vdx
xdvdxv
dxvxdvvdx
dxvxxxdvvdxx
xdvvdxdyvxy
gradodeogeneasfuncionessonyxNxM
dxyxxdy
x
yx
dx
dy
Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y’+ Py = Q donde P y Q son
funciones de x únicamente, ó constantes. Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente
de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = 0, es Homogénea.
Procedimiento de solución (según sugerencia de Granville):
1. Expresar el problema en la forma y’+ Py = Q
2. Utilizar el artificio y = uz, derivar considerando que u , z son funciones de x, y,
reemplazar en la ecuación propuesta:
QzPu
dx
du
dx
dz
u
QPuz
dx
du
z
dx
dz
u
*
3. Calcular u integrando 0Pu
dx
du ,Por facilidad de resolución, en el cálculo de u
es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.
4. Calcular z integrando integrando Q
dx
dz
u , reemplazando previamente el valor
de u calculado en el punto .
5. Expresar la respuesta multiplicando u*z
Ejemplo 83 Resolver la ecuación y’ – y = e
x )(082
81*2*222
ln2ln
2
ln
)21ln(ln
0
)21(
0
)21()21(
21(
0)21(
0)1(
0)()(
1hom,
0)(
2
22
2
2
1
particularsolucionxyx
cccxyx
CxyxC
x
yx
x
cvx
v
dv
x
dx
xv
xdv
xv
vdx
xdvdxv
dxvxdvvdx
dxvxxxdvvdxx
xdvvdxdyvxy
gradodeogeneasfuncionessonyxNxM
dxyxxdy
x
yx
dx
dy
Cálculo Diferencial e integral 72 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Sugerencia de aplicación del método anterior
Este método parte del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación
y’ +py = q.
Resolviendo la ecuación 0Pu
dx
du tenemos:
e
Pdx
uPdxuPdxu ln0ln
Sustituyendo en Q
dx
dz
uenudoSustituyene
Pdx
uzyendosustituyenyegrandodxQdze
Pdx
int
CuQdxuy
uegrantefactoruncomodoconsideran e
Pdx
*
:int
1
Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de
solución
Ejemplo 84 5
5
3
'
x
x
y
yresolver cxyuzy
Solución
cxz
dx
dz
dx
dz
u
zdecálculo
uu
dx
du
udeCálculo
zu
dx
du
dx
dz
u
uz
dx
dz
u
dx
du
z
dx
dz
u
dx
du
z
dx
dy
zuyArtificio
yy
e
eee
e
e
e
e
x
xxx
x
x
x
x
.5
.4
0
.3
,*.2
'.1
Sugerencia de aplicación del método anterior
Este método parte del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación
y’ +py = q.
Resolviendo la ecuación 0Pu
dx
du tenemos:
e
Pdx
uPdxuPdxu ln0ln
Sustituyendo en Q
dx
dz
uenudoSustituyene
Pdx
uzyendosustituyenyegrandodxQdze
Pdx
int
CuQdxuy
uegrantefactoruncomodoconsideran e
Pdx
*
:int
1
Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de
solución
Ejemplo 84 5
5
3
'
x
x
y
yresolver cxyuzy
Solución
cxz
dx
dz
dx
dz
u
zdecálculo
uu
dx
du
udeCálculo
zu
dx
du
dx
dz
u
uz
dx
dz
u
dx
du
z
dx
dz
u
dx
du
z
dx
dy
zuyArtificio
yy
e
eee
e
e
e
e
x
xxx
x
x
x
x
.5
.4
0
.3
,*.2
'.1
Cálculo Diferencial e integral 73 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuaciones diferenciales exactas (EDE).
“La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 se llama EDE si su primer miembro es la
diferencial total de una función u(x,y).
La condición necesaria y suficiente para que sea M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 EDE es:”
dx
dN
dy
dM
Para la solución de este tipo de ecuaciones se sugieren varios métodos, que los
explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios:
Método sugerido por Earl Rainville:
Ejemplo 85. resolver la ecuación 3x(xy – 2)dx + (x
3
+ 2y)dy = 0
1.- Comprobamos si es una EDE:
23
22
32
363
x
dx
dN
yxN
EDE
dx
dN
dy
dM
x
dy
dM
xyxM
Cy
Cdxy
CuQdxuy
u
u
arítmicriteriosAplicando
u
x
x
y
y
x
x
xxx
x
exe
ee
x
x
x
dx
5
(
*(
(*(*(
*
(
ln*ln(lnln
:coslog
5
5
3
'
)5
)5
)5)5)5
)5
)5
5
3
33
1
3
3
)5ln(
)5ln(
5
3
3
3
Ecuaciones diferenciales exactas (EDE).
“La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 se llama EDE si su primer miembro es la
diferencial total de una función u(x,y).
La condición necesaria y suficiente para que sea M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 EDE es:”
dx
dN
dy
dM
Para la solución de este tipo de ecuaciones se sugieren varios métodos, que los
explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios:
Método sugerido por Earl Rainville:
Ejemplo 85. resolver la ecuación 3x(xy – 2)dx + (x
3
+ 2y)dy = 0
1.- Comprobamos si es una EDE:
23
22
32
363
x
dx
dN
yxN
EDE
dx
dN
dy
dM
x
dy
dM
xyxM
Cy
Cdxy
CuQdxuy
u
u
arítmicriteriosAplicando
u
x
x
y
y
x
x
xxx
x
exe
ee
x
x
x
dx
5
(
*(
(*(*(
*
(
ln*ln(lnln
:coslog
5
5
3
'
)5
)5
)5)5)5
)5
)5
5
3
33
1
3
3
)5ln(
)5ln(
5
3
3
3
Cálculo Diferencial e integral 74 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
2. Determinamos F tomando M = dF/dx ó N = dF/dy según la facilidad que presente.
dF/dx = M = 3x
2
y – 6x entonces: F = x
3
y – 3x
2
+ C(y)
Se integró respecto a X manteniendo constante la variable Y
Determinamos C(y) considerando que la función F calculada satisface también a dN/dy:
)(3
3
2'
2'
223
223
2
)()(
3
)(
3
SoluciónCyxyxCFcomo
yxyxF
yCyC
yxN
dy
dF
Cx
dy
dF
yy
y
Ejemplo 86 . resolver la ecuación 0
3223
dyyydyxdxxydxx utilizando la sugerencia
de Kisielov-Makarenko.
Se comprueba que es EDE; y, a continuación:
SoluciónCyxyx
c
ywx
dyywdwdxx
xdyydxdw
dx
dy
xy
dx
dw
xywsi
dyyxdyydxxydxx
dyyydyxdxxydxx
424
424
33
33
3223
)(2
424
0
:
0)(
0
Factores integrantes
Para aplicar estos factores integrantes, es suficiente recordar las siguientes diferenciales
exactas que frecuentemente se presentan
2. Determinamos F tomando M = dF/dx ó N = dF/dy según la facilidad que presente.
dF/dx = M = 3x
2
y – 6x entonces: F = x
3
y – 3x
2
+ C(y)
Se integró respecto a X manteniendo constante la variable Y
Determinamos C(y) considerando que la función F calculada satisface también a dN/dy:
)(3
3
2'
2'
223
223
2
)()(
3
)(
3
SoluciónCyxyxCFcomo
yxyxF
yCyC
yxN
dy
dF
Cx
dy
dF
yy
y
Ejemplo 86 . resolver la ecuación 0
3223
dyyydyxdxxydxx utilizando la sugerencia
de Kisielov-Makarenko.
Se comprueba que es EDE; y, a continuación:
SoluciónCyxyx
c
ywx
dyywdwdxx
xdyydxdw
dx
dy
xy
dx
dw
xywsi
dyyxdyydxxydxx
dyyydyxdxxydxx
424
424
33
33
3223
)(2
424
0
:
0)(
0
Factores integrantes
Para aplicar estos factores integrantes, es suficiente recordar las siguientes diferenciales
exactas que frecuentemente se presentan
Cálculo Diferencial e integral 75 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 22
2
2
)(arctg
)(
)(
)(
yx
ydxxdy
x
y
d
y
ydxxdy
x
y
d
y
xdyydx
y
x
d
ydxxdyxyd
Determinación de factores integrantes.
Se sigue el siguiente procedimiento: Siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una
función (x,y) que sea factor integrante de tal manera que la ecuación Mdx + Ndy = 0
sea exacta.
xdeexclusivafunción
dx
dN
dy
dM
N
dx
d
N
dy
dM
dx
dN
dy
dM
dx
d
N
dx
dN
dy
d
dy
d
M
dy
dM
dx
d
N
dx
dN
N
dx
d
M
dy
d
yx
x
x
x
yxyxyxyx
'
1'
)(
0
}{}{
),(
)(
)(
)(
),(),,(),(),,(
De lo anterior, se deduce que:
1.- Si )(
1
xf
dx
dN
dy
dM
N
es función exclusiva de x , entonces
egrantefactorseráe
dxxf
int
)(
2
2
)(arctg
)(
)(
)(
yx
ydxxdy
x
y
d
y
ydxxdy
x
y
d
y
xdyydx
y
x
d
ydxxdyxyd
Determinación de factores integrantes.
Se sigue el siguiente procedimiento: Siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una
función (x,y) que sea factor integrante de tal manera que la ecuación Mdx + Ndy = 0
sea exacta.
xdeexclusivafunción
dx
dN
dy
dM
N
dx
d
N
dy
dM
dx
dN
dy
dM
dx
d
N
dx
dN
dy
d
dy
d
M
dy
dM
dx
d
N
dx
dN
N
dx
d
M
dy
d
yx
x
x
x
yxyxyxyx
'
1'
)(
0
}{}{
),(
)(
)(
)(
),(),,(),(),,(
De lo anterior, se deduce que:
1.- Si )(
1
xf
dx
dN
dy
dM
N
es función exclusiva de x , entonces
egrantefactorseráe
dxxf
int
)(
Cálculo Diferencial e integral 76 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
2.- Si )(
1
yg
dx
dN
dy
dM
M
es función exclusiva de y, entonces
egrantefactorseráe
dyyg
int
)(
Si ninguna de las condiciones indicadas se verifica, la ecuación no tiene ningún factor de
integración que sea función exclusivamente de x o de y.
Ejemplo 86
CyyxyyxF
cc
Ncyx
dy
dF
cyyxF
dxxyyyxMdxF
dx
dN
dy
dM
compruebasederivando
dyyxdxxyyyx
dyyxdxxyyyx
yx
yx
dx
dN
dy
dM
N
xf
x
dx
dN
xyx
dy
dM
dyyxdxxyyyx
eeee
ee
ee
eee
eeeee
e
eee
xxxx
y
y
y
xx
y
xx
xxx
xxxxx
x
xdxdxxf
22222222
)(
)(
,
)(
´,222
)(
2222
22222
22222222
2222
22)(
2
2
2
222
00
2
)222(
:
0])2()222[(
0])2()222[(
2
)2(
)2(2
)(
1
)(
2242
0)2()222(
Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal
Y´+ pY = Qy
n
Si n = 0 Es una ecuación lineal
Si n = 1 se puede resolver por separación de variable
Si n > 1 No es lineal
Y = uz
2.- Si )(
1
yg
dx
dN
dy
dM
M
es función exclusiva de y, entonces
egrantefactorseráe
dyyg
int
)(
Si ninguna de las condiciones indicadas se verifica, la ecuación no tiene ningún factor de
integración que sea función exclusivamente de x o de y.
Ejemplo 86
CyyxyyxF
cc
Ncyx
dy
dF
cyyxF
dxxyyyxMdxF
dx
dN
dy
dM
compruebasederivando
dyyxdxxyyyx
dyyxdxxyyyx
yx
yx
dx
dN
dy
dM
N
xf
x
dx
dN
xyx
dy
dM
dyyxdxxyyyx
eeee
ee
ee
eee
eeeee
e
eee
xxxx
y
y
y
xx
y
xx
xxx
xxxxx
x
xdxdxxf
22222222
)(
)(
,
)(
´,222
)(
2222
22222
22222222
2222
22)(
2
2
2
222
00
2
)222(
:
0])2()222[(
0])2()222[(
2
)2(
)2(2
)(
1
)(
2242
0)2()222(
Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal
Y´+ pY = Qy
n
Si n = 0 Es una ecuación lineal
Si n = 1 se puede resolver por separación de variable
Si n > 1 No es lineal
Y = uz
Cálculo Diferencial e integral 77 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
a. calculamos u manteniendo la constante de integración C=0.
b. Calculamos z (como en el análisis del tema anterior, manteniendo la igualdad a Q u
n
z
n
,
es decir:
nn
zQu
dx
dz
u
Ejemplo 87. Resolver la ecuación diferencial xy
dx
xdy
22 considerándola como lineal y,
COMPROBAR SU RESPUESTA RESOLVIENDOLA COMO ECUACIÓN DIFERENCIAL
HOMOGENEA
Solución como ecuación lineal:
64. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de II orden con coeficientes
constantes.
Sea la ecuación Y’’ + PY’ + QY = 0 (1) donde P, Q son constantes, para encontrar la
solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:
nn
zQuPuz
dx
zdu
dx
udz
xcxyuzy
x
cz
dx
dz
u
xu
x
u
dx
du
z
x
u
dx
du
dx
dz
u
x
zu
dx
du
z
dx
dz
uuzy
Qpyy
x
y
y
2
2
2
0
2
2
2
2
*
*2
'2
2
´
2
2
a. calculamos u manteniendo la constante de integración C=0.
b. Calculamos z (como en el análisis del tema anterior, manteniendo la igualdad a Q u
n
z
n
,
es decir:
nn
zQu
dx
dz
u
Ejemplo 87. Resolver la ecuación diferencial xy
dx
xdy
22 considerándola como lineal y,
COMPROBAR SU RESPUESTA RESOLVIENDOLA COMO ECUACIÓN DIFERENCIAL
HOMOGENEA
Solución como ecuación lineal:
64. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de II orden con coeficientes
constantes.
Sea la ecuación Y’’ + PY’ + QY = 0 (1) donde P, Q son constantes, para encontrar la
solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:
nn
zQuPuz
dx
zdu
dx
udz
xcxyuzy
x
cz
dx
dz
u
xu
x
u
dx
du
z
x
u
dx
du
dx
dz
u
x
zu
dx
du
z
dx
dz
uuzy
Qpyy
x
y
y
2
2
2
0
2
2
2
2
*
*2
'2
2
´
2
2
Cálculo Diferencial e integral 78 Ing. M.Sc. Washington Medina G. 20Pr0Pr
0Pr
:
'''
:
22
2
2
QrQre
qeeer
doSustituyen
eryrey
Derivando
ey
rx
rxrxrx
rxrx
rx
Entonces, si r es la solución de la ecuación (2), será la solución de la ecuación (1).
A la ecuación (2) se la conoce como SOLUCION AUXILIAR O ECUACION
CARACTERISTICA DE LA ECUACION, y, dependiendo de las soluciones de la ecuación
(2), se presentan tres casos:
1. Si r1 y r2 son raíces reales e iguales (r1 = r2), la solución es: eCeC
rr
xy
2
2
1
1
2. Si r1 y r2 son raíces reales y distintas (r1 r2), la solución es: eCeC
xx
y
2
2
1
3. Si r1 y r2 son raíces imaginarias, la solución es: bxbxy CCe
ax
sencos
21
Donde a, b donde a, b se determinan resolviendo la
ecuación cuadrática por medio de la fórmula Ax
2
+ Bx +
C:
biar
A
ACB
A
B
r
A
ACBB
r
2
4
2
2
4
2
2
Donde: a = A
B
2
, b = A
ACB
2
4
2
Para una mejor comprensión, la ecuación
característica se la expresará con D en lugar
de r, lo que permitirá relacionar con la
DERIVADA.
Ejemplo 88 : Resolver la ecuación y” +4y’ +4y = 0
Ecuación característica: r
2
+ 4r + 4 = 0
(r + 2)
2
= 0 r1 = r2 = -2
eCeC
xx
Xy
2
2
2
1
Ejemplo 89. resolver la ecuación y” +y’- 2 = 0
0Pr
:
'''
:
22
2
2
QrQre
qeeer
doSustituyen
eryrey
Derivando
ey
rx
rxrxrx
rxrx
rx
Entonces, si r es la solución de la ecuación (2), será la solución de la ecuación (1).
A la ecuación (2) se la conoce como SOLUCION AUXILIAR O ECUACION
CARACTERISTICA DE LA ECUACION, y, dependiendo de las soluciones de la ecuación
(2), se presentan tres casos:
1. Si r1 y r2 son raíces reales e iguales (r1 = r2), la solución es: eCeC
rr
xy
2
2
1
1
2. Si r1 y r2 son raíces reales y distintas (r1 r2), la solución es: eCeC
xx
y
2
2
1
3. Si r1 y r2 son raíces imaginarias, la solución es: bxbxy CCe
ax
sencos
21
Donde a, b donde a, b se determinan resolviendo la
ecuación cuadrática por medio de la fórmula Ax
2
+ Bx +
C:
biar
A
ACB
A
B
r
A
ACBB
r
2
4
2
2
4
2
2
Donde: a = A
B
2
, b = A
ACB
2
4
2
Para una mejor comprensión, la ecuación
característica se la expresará con D en lugar
de r, lo que permitirá relacionar con la
DERIVADA.
Ejemplo 88 : Resolver la ecuación y” +4y’ +4y = 0
Ecuación característica: r
2
+ 4r + 4 = 0
(r + 2)
2
= 0 r1 = r2 = -2
eCeC
xx
Xy
2
2
2
1
Ejemplo 89. resolver la ecuación y” +y’- 2 = 0
Cálculo Diferencial e integral 79 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuación característica: r
2
+ r - 2 = 0
(r + 2)(r – 1) = 0 r1 = -2 r2 = 1
eCeC
xx
y
2
2
1
Ejemplo 90: Encontrar la solución particular de la ecuación y” + 2y’ + 5y = 0 para las
condiciones iniciales y=0, x=0, y’=1.
D
2
+ 2D + 5 = 0 su solución es: D = -1 2i a = -1, b = 2
)2sen
2
1
2
1
)0cos20sen(1
00sen0cos0
)2cos22sen()2sen22cos('
)(2sen2cos
2
00
2
1
0
2
0
1
21
21
particularsoluciónxy
xxxxy
generalsoluciónxxy
e
CeeC
CeCeC
eeCeeC
eCeC
x
xxxx
xx
64. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes
constantes
Dada la ecuación diferencial de la forma:
Y
n
+ p1Y
n-1
+ p2Y
n-2
+ ..............+ pnY = 0
su ecuación característica será:
r
n
+ p1r
n-1
+ p2r
n-2
+ ..............+ pn = 0,
donde r es un factor diferencial que representa a cada derivada y su grado correspondiente,
algunos editores prefieren expresarlo como
D
n
+ p1D
n-1
+ p2D
n-2
+ ..............+ Dn = 0
Resolviendo la ecuación característica, se encuentran sus raíces o soluciones y,
dependiendo de ellas el resultado se irá CONSTRUYENDO según se presenten los tres
casos antes indicados.
Ejemplo 91: resolver 0512104 yyyyy
IIIIIIIV 0512104 rrrr
IIIIIIIV
r1 = r2 = 1; r3 = r4 = 1 2i xxxy eCeCeCeC
xxxx
2sen2cos
4321
Ecuación característica: r
2
+ r - 2 = 0
(r + 2)(r – 1) = 0 r1 = -2 r2 = 1
eCeC
xx
y
2
2
1
Ejemplo 90: Encontrar la solución particular de la ecuación y” + 2y’ + 5y = 0 para las
condiciones iniciales y=0, x=0, y’=1.
D
2
+ 2D + 5 = 0 su solución es: D = -1 2i a = -1, b = 2
)2sen
2
1
2
1
)0cos20sen(1
00sen0cos0
)2cos22sen()2sen22cos('
)(2sen2cos
2
00
2
1
0
2
0
1
21
21
particularsoluciónxy
xxxxy
generalsoluciónxxy
e
CeeC
CeCeC
eeCeeC
eCeC
x
xxxx
xx
64. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes
constantes
Dada la ecuación diferencial de la forma:
Y
n
+ p1Y
n-1
+ p2Y
n-2
+ ..............+ pnY = 0
su ecuación característica será:
r
n
+ p1r
n-1
+ p2r
n-2
+ ..............+ pn = 0,
donde r es un factor diferencial que representa a cada derivada y su grado correspondiente,
algunos editores prefieren expresarlo como
D
n
+ p1D
n-1
+ p2D
n-2
+ ..............+ Dn = 0
Resolviendo la ecuación característica, se encuentran sus raíces o soluciones y,
dependiendo de ellas el resultado se irá CONSTRUYENDO según se presenten los tres
casos antes indicados.
Ejemplo 91: resolver 0512104 yyyyy
IIIIIIIV 0512104 rrrr
IIIIIIIV
r1 = r2 = 1; r3 = r4 = 1 2i xxxy eCeCeCeC
xxxx
2sen2cos
4321
Cálculo Diferencial e integral 80 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
65. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de n -simo orden con
coeficientes constantes
Sea la ecuación: Y
n
+ p1Y
n-1
+ p2Y
n-2
+ ..............+ pnY = R(x)
La solución viene dada por: Y = yh + yc, donde:
Yh es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y,
Yc es cualquier solución particular de la ecuación originalmente planteada.
Una vez que se ha explicado la solución de Yh, a continuación se detalla las sugerencias
para resolver Yc, y completar el estudio para resolver una EDLNH, para lo que se requiere,
aprender a CONSTRUIR UNA ECUACION HOMOGENEA PARTIENDO DE UNA
SOLUCION PARTICULAR , como se explica a continuación:
La propuesta es encontrar la ecuación homogénea partiendo de la solución, es decir, por
ejemplo, si el resultado es Ce
ax
, proviene de una raíz D=a o del factor (D-a); análogamente,
CX e
ax
, aparece cuando proviene de (D-a)
2
, respuestas como C e
ax
cosbx ó C e
ax
senbx
corresponden a D=a bi o al factor [(D – a)
2
+ b
2
].
Lo que se deberá considerar simplemente es que si en la solución particular existen
coeficientes, estos son irrelevantes,
Ejemplo 92: Encontrar la ecuación homogénea cuya solución es y = 4e
2x
+ 3e
-x
4e
2x
Ce
2x
m = 2 (m – 2)
3e
-x
Ce
-x
m = -1 (m + 1)
(D – 2)(D + 1) = 0
D
2
- D – 2 = 0 Y” - Y’ – 2Y = 0
Una vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS , que consiste en definir o calcular
dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el
miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación
diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
Se debe recordar que la propuesta del
método es convertir a la EDLNoH
propuesta en una EDLHcon
coeficientes constantes.
Ejemplo 93 Resolver la ecuación: Y” + Y’ – 2Y = X + 5cos2X
65. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de n -simo orden con
coeficientes constantes
Sea la ecuación: Y
n
+ p1Y
n-1
+ p2Y
n-2
+ ..............+ pnY = R(x)
La solución viene dada por: Y = yh + yc, donde:
Yh es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y,
Yc es cualquier solución particular de la ecuación originalmente planteada.
Una vez que se ha explicado la solución de Yh, a continuación se detalla las sugerencias
para resolver Yc, y completar el estudio para resolver una EDLNH, para lo que se requiere,
aprender a CONSTRUIR UNA ECUACION HOMOGENEA PARTIENDO DE UNA
SOLUCION PARTICULAR , como se explica a continuación:
La propuesta es encontrar la ecuación homogénea partiendo de la solución, es decir, por
ejemplo, si el resultado es Ce
ax
, proviene de una raíz D=a o del factor (D-a); análogamente,
CX e
ax
, aparece cuando proviene de (D-a)
2
, respuestas como C e
ax
cosbx ó C e
ax
senbx
corresponden a D=a bi o al factor [(D – a)
2
+ b
2
].
Lo que se deberá considerar simplemente es que si en la solución particular existen
coeficientes, estos son irrelevantes,
Ejemplo 92: Encontrar la ecuación homogénea cuya solución es y = 4e
2x
+ 3e
-x
4e
2x
Ce
2x
m = 2 (m – 2)
3e
-x
Ce
-x
m = -1 (m + 1)
(D – 2)(D + 1) = 0
D
2
- D – 2 = 0 Y” - Y’ – 2Y = 0
Una vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS , que consiste en definir o calcular
dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el
miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación
diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
Se debe recordar que la propuesta del
método es convertir a la EDLNoH
propuesta en una EDLHcon
coeficientes constantes.
Ejemplo 93 Resolver la ecuación: Y” + Y’ – 2Y = X + 5cos2X
Cálculo Diferencial e integral 81 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
senxxxececYg
generalSolución
ecuacionesdesistemasiguienteelobtienese
propuestaldiferenciaecuaciónlaenemplazo
xDsenxCcy
xDxCsenBcy
xDsenxCBxAyc
YcdeecoeficientdeaciónDeter
xDsenxCBxAececYg
parcialgeneralSolución
DDDD
YcyYhdenUnificació
DbaDbax
DDxeex
YcdeCálculo
ececyDDDD
YhdeCálculo
xx
xx
oxx
xx
k
DCBA
AB
B
DC
DC
22cos6
2
1
.6
Re
242cos4
2cos222
22cos
min.5
22cos
.4
0)4()1)(2(
.3
2)(2,02cos5
0,0
.2
0)1)(2(02
.1
2
2
1
,,
,
2
2
1
22
2222
0
2
21
2
261
2
1
02
22
062
4026
Hemos visto que el método de los coeficientes indeterminados es aplicable a la solución de
ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución
particular de la E.D.L.H. con coeficientes constantes.
senxxxececYg
generalSolución
ecuacionesdesistemasiguienteelobtienese
propuestaldiferenciaecuaciónlaenemplazo
xDsenxCcy
xDxCsenBcy
xDsenxCBxAyc
YcdeecoeficientdeaciónDeter
xDsenxCBxAececYg
parcialgeneralSolución
DDDD
YcyYhdenUnificació
DbaDbax
DDxeex
YcdeCálculo
ececyDDDD
YhdeCálculo
xx
xx
oxx
xx
k
DCBA
AB
B
DC
DC
22cos6
2
1
.6
Re
242cos4
2cos222
22cos
min.5
22cos
.4
0)4()1)(2(
.3
2)(2,02cos5
0,0
.2
0)1)(2(02
.1
2
2
1
,,
,
2
2
1
22
2222
0
2
21
2
261
2
1
02
22
062
4026
Hemos visto que el método de los coeficientes indeterminados es aplicable a la solución de
ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución
particular de la E.D.L.H. con coeficientes constantes.
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