FormularioFTR para aprender de la asignatura

formulario basico con formulas para diodos, agrupaciones de antenas

1. Tema 1: Fundamentos de radiacion
Equivalente de la antena en transmision:
v

(z=L) =vL=v
+
0
e
jL
+v

0
e
jL
=)vL(t) = Re

vLe
j!t

iL=
1
Z0
(v
+
0
e
jL
v

0
e
jL
) =)iL(t) = Re

iLe
j!t

Z0=
v
+
i
+=
v

i
;ZL=
v
L
i
L
=RL(!) +jXL(!);RL=R+Rrad
Potencia entregada a la antena:Pent=jiLj
2
Rrad+jiLj
2
R
L=
v

L
v
+
L
=
i

L
i
+
L
=)vL=v
+
L
(1 +L);iL=
v
+
L
Z0
(1L)
L=
Z
LZ0
Z
L+Z0
;COE=
jvj
max
jvj
min
=
1+j
Lj
1j
Lj
=)COE1
Ec.:rad=
P
rad
Pent
=
R
rad
R
rad+R

Adaptacion:p=
Z
inZ

a
Z
in+Za
; Perd. desadapt.:Ld=
1
1j
Lj
2
Pent=Pdis(1 jpj
2
) =Pdisdesad=
V
2
ca
4Ra
4RaR
in
jZa+Z
inj
2
LdT terminada en c.a.:Zin(`) =jZ0cot(`) =jXin(`)
LdT terminada en c.c.:Zin(`) =jZ0tan(`) =jXin(`)
~
J6= 0;
~
M= 0
~
J= 0;
~
M6= 0
r
~
E=j!
~
H r
~
H=j!
~
E
r
~
H=
~
J+j!
~
E r
~
E=
~
Mj!
~
H
r·
~
E=e= r·
~
H=m=
r·
~
H= 0 r·
~
E= 0
r·
~
J=j!e r·
~
M=j!m
r
2~
A+k
2~
A=
~
J r
2~
F+k
2~
F=
~
M
~
A=
R
V

~
J(~r
0
)e
jkR
4R
dv
~
F=
R
V

~
M(~r
0
)e
jkR
4R
dv
~
N=
R
V
0
~
Je
jk^r·~r
0
dv
0~
L=
R
V
0
~
Me
jk^r·~r
0
dv
0
~
H=
1

r
~
A
~
E=
1

r
~
F
ley.cont:r·
~
J+
@e
@t
= 0 ;r·
~
M+
@m
@t
= 0 [r·(rot) = 0]
q
~
E
FEM
=q
~
E+q(~v
~
B)
Condiciones de contorno (^nsentido saliente; de 2 a 1)
^n(
~
E1
~
E2) =
~
Ms;^n(
~
H1
~
H2) =
~
Js
^n·(
~
D1
~
D2) =es;^n·(
~
B1
~
B2) =ms
Potencial vector y escalar: [c. Lorentz:r·
~
A+
@
@t
= 0]
r·
~
B= 0 =)
~
B=r
~
A;
~
E=r
@
~
A
@t
r
2~
A
@
2~
A
@t
2=
~
J;r
2

@
2

@t
2=


~
A(~r) =
R
V
0

~
J(~r
0
)e
jkR
4R
dv
0
; (~r) =
R
V
0
(~r
0
)e
jkR
4R
dv
0
~
A(~r; t) =
R
V
0

~
J(~r
0
;t
R
c
)
4R
dv
0
;(~r; t) =
R
V
0
(~r
0
;t
R
c
)
4R
dv
0
t(; ) =
P
Pmax
=
jN
j
2
+jN
j
2
(jN
j
2
+jN
j
2
)max
=
jE
j
2
+jE
j
2
(jE
j
2
+jE
j
2
)max
Expresiones generales de los campos:
~
E=
1
4
Z
V
0
^
R(~r
0
)
e
jkR
R
2
dv
0
| {z }
~
E
i
+
jk
4
Z
V
0

(~r
0
)
^
R
p

~
J(~r
0
)

e
jkR
R
dv
0
| {z }
~
E
r
~
H=
1
4
Z
V
0

^
R
~
J(~r
0
)

e
jkR
R
2
dv
0
| {z }
~
H
i

jk
4
Z
V
0

^
R
~
J(~r
0
)

e
jkR
R
dv
0
| {z }
~
H
r
Aproximacion a grandes distancias: (muy lejos de origen)
~
E
r
=j!^r(^r
~
A) ;
~
H
r
=
j!
p

p

^r
~
A
^r
~
A=A
^
+A
^
;^r^r
~
A=A
^
A
^

~
E
8
<
:
Er= 0
E=j!A
E=j!A
!
~
H
8
>
<
>
:
Hr= 0
H=j
!

A=
E


H=j
!

A=
E


~
P= Re(
~
E
~
H

) =^r(
jE
j
2
+jE
j
2

)^r(
j
~
Ej
2

)(dens potencia)
R. Fraunhofer:
2D
2

r 1; R. Fresnel: 0;6
q
D
3

r
2D
2

Sistema de coordenadas esfericas:
2
4
^x
^y
^z
3
5=
2
4
sen() cos() cos() cos()sen()
sen() sen() cos() sen() cos()
cos() sen() 0
3
5
2
4
^r
^

^

3
5
(Matriz ortonormal. Cambio inverso dado por su traspuesta)
Angulo solido:d =
ds
r
2= sen()dd
Vector de poynting complejo:
~
S(~r) =
~
E(~r)
~
H

(~r)
Densidad de potencia:
~
P(~r) =h
~
S(~r; t)i= Re
n
~
S(~r)
o
[W=m
2
]
Prad=
RR

S
[V]
~
Pd~s=
R
2
0
R

0
Pr
2
sen()dd=I
2
Rrad
Impedancia de onda:0120
~
E(^r;t)
~
H(^r;t)
=
p




vacio
~
H=
^r
~
E
0
;
~
P=
jE
j
2
+jE
j
2
0
^r;P=

4
2
r
2(jNj
2
+jNj
2
)
Intensidad de radiacion:K(; ) =
j
~
P(;)jds
d
=



~
P(; )


r
2
Prad() =
R


R


K(; ) sen()dd=
R
S
(jEj
2
=)dS
D(; ) =
P(;)
P
rad
4r
2
;D(; ) =Dmaxt(; ) =
j
~
Ej
2
M AX
=0
P
rad
4r
2
t(; )
t(; ) =
P(;)
P(;)jmax
=
K(;)
K(;)jmax
=
jE
j
2
+jE
j
2
j(E
j
2
+jE
j
2
)max
=
jN
j
2
+jN
j
2
j(N
j
2
+jN
j
2
)max
;Dmax=
4
eq
=
4
RR
4
t(;)d
A. directiva(L.secundarios<<principal)D
4

3dB
3dB
Ganancia:G(; ) =
P(;)
P
ent
4r
2
=radD(; ) [Sin perd.)rad= 1]
Polarizacion:EL=
~
E·
^
L

;ER=
~
E·
^
R

;
^
R=
^
j
^

p
2
;
^
L=
^
+j
^

p
2
~
E=EL
^
L+ER
^
R=EL(
^
L+c
^
R))c=
E
R
E
L
=jcje
jc
RA=
(
Emax
E
mn
=
jE
Lj+jE
Rj
jE
LjjE
Rj
=
1+jcj
1jcj
P EI
Emax
E
mn
=
jE
Rj+jE
Lj
jE
RjjE
Lj
=
jcj+1
jcj1
P ED
RA= 20 log(A=B)

A.efec:Aef=
j
R R
Sa
Eadsj
2
R R
Sa
jEaj
2
ds
=
P
disponible
P
=

2
4
D=
l
2
ef
0
4R
rad
[m
2
]
Longitud efectiva:lef=
jVcaj
j
~
Ej
[m]
Factor de antena:E(dB=m) =Vout(dB) +AF(dB=m)
Formula de Friis:Pr


max
= (

4r
)
2
PradDtDrradCpol(1
jrj
2
)(1 jtj
2
)
P I RE
4r
2Aef receptor;P IRE=PradDt[W]
P RA=
P I RE
1;64
[W] =P IRE(dB)2;15[dBW]
AEL=
1
(

4r)
2V32;45+20 log(f(MHz))+20 log(d(km)) [dB]
Coef. perdid. desadapt. pol.(~erqueda conjugado frente a~et):
Cpol=
Pr
Prj
adapt pol
=j^et·^erj
2
[un](en dB es10logCpol) (Cpol1)
Vectores de radiacion[kx; ky; kz2(
2

;
2

)]
~
N=
R
V
0
~
J(~r
0
)e
jk^r·~r
0
dv
0
!
~
A=

4
e
jkr
r
~
N;
~
A!
~
E!
~
H
V. onda:
~
k=ksen() cos()^x+ksen() sen()^y+kcos()^z
C. cilindricas:
~
k·~r
0
=k^r·~r
0
=k
0
sen() cos(
0
)
~
N(
~
k) =T F3D

~
J(~r
0
)

;AF=
q
0

rad
desadA
efR
L
F=

4
e
jkr
r
L
~
H
8
<
:
Hr= 0
H=j!F
H=j!F
!
~
E
8
<
:
Er= 0
E=j!F=H
E=j!F=H
Transformadas de Fourier
I(z
0
) =I0,jz
0
j `=2;Nz=I0`
sen(kz`=2)
kz`=2
[I0(z) rect.]
I(z
0
) =I0(1
jz
0
j
`=2
),jz
0
j `=2;Nz=
I0`
2
(
sen(kz`=4)
kz`=4
)
2
[I0trian.]
I(z
0
) =I0cos(

2
z
0
`=2
),jz
0
j `=2,Nz=I0`

2
cos(kz`=2)
(

2
)
2
(
kz`
2
)
2
[I0cos]
Tema 2: Antenas lineales
Dipolo elemental (`)[distro. rectangular]:
~
J(~r
0
) =I0(x
0
)(y
0
)^z
0
[Am
2
] sijz
0
j<
`
2
(en el resto =0)
~
N=I0`^z=I0`sen()
^
+I0`cos()^r;A=

4
e
jkr
r
N
E=j!A=j
k
4
e
jkr
r
I0`sen();E=j!A= 0
H=
E


= 0;H=
E


=j
k
4
e
jkr
r
I0`sen()
t(; ) = sen
2
() ;Rrad=
P
rad
I
2
0
= 80
2
(
`

)
2
;D= 1;5 sen
2
()
Espira circular elemental(a):
~
J(~r
0
) =I0(r
0
a)
(
0


2
)
a
^

0
si
0
2[0;2) (en el resto =0)
Njka
2
I0sen();E=j!A=
k
2

4
e
jkr
r
a
2
I0sen()
P=
jE
j
2

=

r
2(
a

)
4
I
2
0sen
2
();Rrad=
P
rad
I
2
0
= 20
2
(ka)
4
Prad=
R
4
K()d = 20
2
(
2a

)
4
I
2
0;k=!;k==!
t(; ) = sen
2
() =)D(; ) = 1;5 sen
2
()
Dipolo corto (distribucion triangular)(`0;2):
~
J(~r
0
) =I0(1
jz
0
j
H
)(x
0
)(y
0
)^z
0
sijz
0
j<
`
2
(en el resto =0)
~
N
I0`
2
^z;
~
Nj`
R
`=2
`=2
^zI(z
0
)dz
0
;D(; ) = 1;5 sen
2
()
Dipolo de longitud`comparable a. (H=`=2)
~
J(~r
0
) =Imsen

k(H jz
0
j)

(x
0
)(y
0
)^z
0
sijz
0
j6H(en resto
=0)
~
N=^zIm2k
cos(kzH)cos(kH)
k
2
k
2
z
=^z2Im
cos

kHcos()

cos(kH)
ksen
2
()
E=j!A=j

2
e
jkr
r
Im
cos

kHcos()

cos(kH)
sen()
;E= 0
H=
E


= 0;H=
E


;Rrad=
P
rad
I
2
m
;Zin=
V1
I1
P=
I
2
m
4
2
r
2

cos

kHcos()

cos(kH)
sen()

2
Monopolos:Para mismaI(0)!Prad,Rrad,V,Aefylefson
el doble en el dipolo que en el monopolo, peroDes la mitad.
Impedancias de entrada:Z0= 120[ln(
2H
a
)1]

2. Xe=Z0cotg(kH) =120[ln(
2H
a
)1] cotg(kH)
Solo para dipolos cortos. Casos notables:
- EnH==4 tenemosXe= 0)el dipolo en=2 es resonante.
- En 0< H < =4 tenemosXe<0, caracter capacitivo.
- En=4< H < =2 tenemosXe>0, caracter inductivo.
Antenas cargadas. Inductancia en punto intermedio:
I1(z) =Im1sen(k((`1+`
0
+`2) jzj)); 0<jzj< `1
I2(z) =Im2sen(k((`1+`2) jzj));`1<jzj< `1+`2
Z21=
V
a
2
I
a
1




I
a
2
=0
;Z12=
V
b
1
I
b
2




I
b
1
=0
;Z11=
V1
I1(0)




I2=0
T.rec:Z21=Z12
V1=I1(0)Z11+I2(0)Z12;V2=I1(0)Z21+I2(0)Z22
Igualdad de impedancias en transmision y recepcion
Si distancia entre ambas es grande (Z120):Ze1=
V1
I1
Z11
Igualdad de diag. de radiac. en Tx y Rx:tRx(; ) =ttx(; )
P
R
2
P
T
1
=
jZ21j
2
4R11R22
=
D1A
ef
2
4r
2PR:P;recibica;PT:P;transmitida
P
R
1
P
T
2
=
jZ12j
2
4R11R22
=
D2A
ef
1
4r
2;
D1
A
ef
1
=
D2
A
ef
2
=cte=
4

2
Longitud efectiva:Vca=
1
I(0)
R
I(z)E
i
zdz=
=
1
I(0)
R
V
0
~
J(~r
0
)
~
E
i
0e
j
~
k·~r
0
dV
0
;lef=
~
N
I(0)
Si campo radiado es lejano,E
i
z=E0:lef=
jVcaj
jE0j
=
1
I(0)
R
I(z)dz
Coef. desacoplo polariz. y long. efectiva vect.:Vca=
~
`ef·
~
E
i
0
~
`ef=
1
I(0)
^r(^r
R
ant
~
J(~r
0
)e
j
~
k·~r
0
dV
0
)
Z11=
1
I1(0)
2
R
1
E11zI1(z)dz;Z12=
1
I1(0)I2(0)
R
1
E12zI1(z)dz
Dipolo dobladoModo LdT:Zt=jZ0tan(
L
2
)
Corrientes:It=
V
2Zt
; Ia=
V
2Z
d
Modo antena: Impedancia doble a dipolo suelto (Zd) : 2Zd
Impedancia de entrada:Ze=
V
It+
Ia
2
=
V
V
2Z
t
+
V
4Z
d
=
4ZtZ
d
Zt+2Z
d
Caso dipolo en=2 doblado,Zt=1yZe= 4Zd300
Tema 3: Agrupaciones 3db=x
2
N
=
2

L
N

3db
2
3db=kdcos+=
2

L
N
cos3db



sen(x)
x


=
1
p
2
;
Multiplicacion de diagramas:
~
E(~r) =
~
E0(~r)
P
N1
i=0
aie
jk^r·~r
i
Agrupaciones lineales:FA() =
P
N1
n=0
ane
jn(kdcos()+)
=
P
N1
n=0
ane
jn
=
P
N1
n=0
anz
n
;d=L=N
Propiedades deFA( ):F A( ) =Re(P(z))
FA( ) =FA( + 2) ;jFA( )j FA(0) ; 2[kd+; kd+]
Broadside:t:max= 90

,= 0; Enre:max=180

,=kd
Agrupacionuniforme:P(z) = 1+z+z
2
+z
3
+ +z
N1
=
z
N
1
z1
jF A( )j=


sen(
N
2
)


=


sen(

2
)


;N! 1


sen(

2
)





2


Agrupaciones uniformes superdirectivas:=

kd+

N

Max. en= 0:=kd

N
; Max. en=:=kd+

N
Agrupacionestriangulares:jF A( )j=


sen(
N+1
4
)


2
=


sen(

2
)


2
P(z) = 1+2z+3z
2
+ +3z
N3
+2z
N2
+z
N1
=

z
N+1
21
z1

2
Agrup.binomica:an=
(N1)!
n!(N1n)!
;jF A( )j=

2 cos(

2
)


N1
P(z) =

N1
0

+

N1
1

z+ +

N1
N1

z
N1
= (z+ 1)
N1
NLP S=jEprincipalj
2
=jEsecundarioj
2
;Prad= (jEj
2
Aef)=
Descomposicion en suma y convolucion:
an=an1+an2;FA( ) =FA1( )+FA2( );P(z) =P1(z)+P2(z)
an=an1an2;FA( ) =FA1( )FA2( );P(z) =P1(z)P2(z)
Directividad en agrupaciones lineales
Antenas isotropicas con alim. real positiva (an=a

n):
D=
2jF Aj
2
max
1
kd
R
+kd
kd
jF A( )j
2
d
=
(
P
N1
n=0
an)
2
P
n
P
q
anaqe
j(nq)
sen(kd(nq))
kd(nq)
Particularizacion sid=
m
2
:D= (
P
N1
n=0
an)
2
=
P
N1
n=0
a
2
n
Sntesis de agrupaciones. Sintesis de Schelkuno:(nulos)
P(z) =aN1
Q
N1
n=1
(zzn) =
P
N1
n=0
anz
n
(ze
j c
)(ze
j c
) =z
2
2zcos( c) + 1
Sntesis de Fourier:(diagrama)an=
1
2
R


F A( )e
jn
d ;
Agrupaciones bidimensionales
P
M1
m=0
P
N1
n=0
amne
jn x
e
jm y
Sntesis de Chebychev:Tn(x) =

cos

narc cos(x)

jxj 1
ch

n argch(x)

jxj 1
cos(n') =Tn

cos(')

=Tn(x);x=cos(');x2[1;1];n2N
Tn+1(x) = 2xTn(x)Tn1(x);Tn(xsec) =F A(sec) = 1
NP LS= 20log(
F A( max)
F A( sec)
) = 20log(
Tn(xmax)
Tn(xsec)
);T0= 1;T1=x
Transf. Dolph (opt. parad==2):x0= cosh(
argch(NLPS)
n
)1
Hay 3 metodos para obtener el polinomio: (n=N-1)
A) ConstruirTn(x=x0cos( =2));t0= 1;t1=x
B)P(z) =Tn(x=x0
z
1=2
+z
1=2
2
) =F A( )
C)xcm= cos(
2m1
n

2
)) cm= 2 arc cos
xcm
x0
;m= 1;2; : : : ; n
P(z) =
x
N1
0
2
Q
N1
2
m=1
(z
2
2zcos( cm) + 1) (Para N impar)
Transf. Riblet (d < =2):x=acos( ) +b; (n=
N1
2
)
Tn(xmax=a+b) =NLP Sjjx=1 =acos(kd) +bj=> a; b
Tema 4: Antenas de apertura
Plano E (H):
~
Emax(
~
Hmax) y direccion del maximo
Plano XZ:= 0; !ky= 0; Plano YZ:=

2
;
3
2
!kx= 0
Teorema de equivalencia:
~
Js=^n
~
H;
~
Ms=^n
~
E
Rell. PEC:
~
M
0
s= 2
~
Ms;
~
J
0
s= 0. Rell. PMC:
~
M
0
s= 0;
~
J
0
s= 2
~
Js
C. radiados:E=j
e
jkr
2r
(N+L);E=j
e
jkr
2r
(NL)
P=

4
2
r
2



N+
L





2
+


N
L





2

;ilu=
A
ef
Ageo
Apertura electricamente grande:Prad=
1
Z0
RR
S0



~
Eapert



2
ds
0
Bocinas. G.O. rect:Ey=E0cos


a
x

;Z0==
q
1


2a

2
Apertura con polarizacion vertical (eje y):
E=j
e
jkr
2r
sen()


Z0
cos()+1
RR
S
0Ey(x
0
; y
0
)e
jkxx
0
e
jkyy
0
dx
0
dy
0
E=j
e
jkr
2r
cos()


Z0
+cos()
RR
S
0Ey(x
0
; y
0
)e
jkxx
0
e
jkyy
0
dx
0
dy
0
Apertura con polarizacion horizontal(eje x):
E=j
e
jkr
2r
cos()


Z0
cos()+1
RR
S
0Ex(x
0
; y
0
)e
jkxx
0
e
jkyy
0
dx
0
dy
0
E=j
e
jkr
2r
sen()


Z0
+cos()
RR
S
0Ex(x
0
; y
0
)e
jkxx
0
e
jkyy
0
dx
0
dy
0
Si TE10 (separables), la integral queda:

2
a
cos

kxa
2



2

2


kxa
2

2b
sen

kyb
2

kyb
2
D=
4r
2

2
r
2
j
RR
~
Eapertds
0
j
2
RR
S
0
j
~
Eapertj
2
ds
0
=
4

2iluS0(apert. e

lectricam. grande)
ilu=
1
S0



RR
S
0
Ex(x
0
;y
0
)dx
0
dy
0



2
+



RR
S
0
Ey(x
0
;y
0
)dx
0
dy
0



2
RR
S
0

jEx(x
0
;y
0
)j
2
+jEy(x
0
;y
0
)j
2

dx
0
dy
0
Apertura circular(los campos no son separables en
0
,
0
):
E=j
e
jkr
2r
cos()


Z0
cos() + 1

2a
2J1(kasen)
kasen
E=j
e
jkr
2r
sen()


Z0
+ cos()

2a
2J1(kasen)
kasen
Bocinas sectoriales y piramidales(T E10:
~
E=Ey^y=
E0cos(
x
A
)Errorf ase^y):t=
A
2
8L
H
;s=
B
2
8L
E
;u=
ksen
2
(AoB)
Error de fase en la boca: Plano E:e
j
y
2
2L
EPlano H:e
j
x
2
2L
H;
(k; Caso piramidal, multiplicar por ambas exponenciales).
Si es optimo,LE=LH; t= 3=8; s= 1=4
Bocina optima en directividad:Aopt=
p
3LH;Bopt=
p
2LE
Pirami:D= (DE

A
)(DH

B
)

32
;(DE8aB=
2
,DH7;9Ab=
2
)
bloq=
A
ef
A
0
ef
=
D
D
0
U3dB=
kBsin()
2
;B=
2U
3dB
ksin()
jj; 20·log(
x
0;9
) =3
U=
kAsin()
2
=
2Asin(

3dB
2
)
2
)3dB= 2 arcsin(
U
A
)
Ranuras.Elemental uniforme (`):
~
E=E0^y
~
Ma=^n
~
Ea=E0^z)
~
Ms= 2E0^z;
~
F=^z

4
e
jkr
r
2E0a`
E=jk
V `
2
e
jkr
r
sen();H=jk
V `
2
e
jkr
r
sen() (Dualidad
con dipolo elemental. Mismo diag.de radiacion que dip. elem.)
Antenas impresas.Parche rectangular (c. radiado):
~
E=E
^
=
^
j2hE0
e
jkr
r
sen(
kb
2
cos)
cos
sencos(k
b
2
sencos)
Reectores parabolicos:r() =
f
cos
2


2
;x
2
= 4f(fz)
Iluminacion:= 20 log(
E
0
a
Ea
) = 20 log(
f
r
0) + 20 log
p
t(
0
;
0
)
Eacos
2
(

0
2
)
p
D(
0
);ilu= 32(
f
Da
)
2



R

0
p
D(
0
) tan(

0
2
)d
0



2
R

0
D(
0
) sen(
0
)d
0
D=
4·

2·Aef=
4·

2·Arealilu
Desbordamiento:s=
P
ref l
P
rad
=
R
2
0
R

0
D
f(
0
;
0
) sen(
0
)d
0
d
0
R
0
max
=2
0
R
0
max
=
0
D
f(
0
;
0
) sen(
0
)d
0
d
0
=
=
1
4
R
2
0
R

0
Df(
0
;
0
) sen(
0
)d
0
d
0
(f: distancia focal)
Si alimentador es apertura elemental:D() = 3 cos(

2
)
4
Relacion f/Da:
Da
2
= 2ftan(=2) =)
f
Da
=
1
4
cotg(=2)
(Habitualmentef=Daentre 0.25 y 0.5)
Tema 5: Propagacion
`=
2hthr
d
;b
0
E=
x(dx)
2keR
T
(= 0; planoX
+
Z);(==2; planoXY);
Relaciones trigonometricas
cos(AB) = cosAcosBsinAsinB
sin(AB) = sinAcosBcosAsinB
cos(3y) = 4cos
3
(y)3cos(y) cos
2
(y) = (1 +cos(2y))0;5
cos(=2) sen() = 1 =2 sen(3=2) + 1=2 sen(=2) =
2 cos
2
(=2) sen(=2) ;sen
A
2
=
q
1cosA
2
; cos
A
2
=
q
1+cosA
2