Funções de várias variáveis.pptx

Material usado em uma disciplina de cálculo diferencial

1. Função sob varias perspectivas Uma máquina ou algoritmo de criar relações entre dois elementos de conjuntos distintos.

2. Vimos vários exemplos de funções que representam a realidade como o fluxo do trânsito e a bitola de um fio elétrico.   Estudar funções?

3. Estudar funções?

4. Motivação: Exemplos de funções de mais de uma variável onde r é o raio e h é a altura do cilindro Lembre-se de que o volume de um cilindro circular é dado pela fórmula: Desse modo, o volume do cilindro é função do raio e da altura do mesmo, ou seja, Logo, o volume do cilindro é função de duas variáveis. O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pela fórmula: onde a , b e c são os comprimentos de três arestas não coplanares. Assim, o volume do paralelepípedo é função de três variáveis. Exemplo 1 Exemplo 2

5. Motivação: Exemplos de funções de mais de uma variável Exemplo 3

6. Em geral, os resultados que se estabelecem para funções de duas variáveis, podem ser estendidos para funções de mais de duas variáveis. . Assim, estudaremos funções de duas variáveis, e consideraremos funções de mais de duas variáveis, quando desejarmos focalizar uma propriedade ou resultado especial. Definição Seja D um subconjunto de R 2 . Uma relação f que a cada par ( x,y )  D associa um único elemento z  R é denomina-se “ função de duas variáveis ” . Notação : Definições Exemplo 1 Exemplo 2

7. O subconjunto de D de R 2 é denominado domínio da função f As variáveis x e y são denominadas “independentes” e z variável “dependente”. O conjunto dos valores z  R para os quais existem (x,y)  D, tal que é chamado “imagem” da função f. Considere f uma função de duas variáveis. Notação: Exemplo 3   O domínio é o conjunto de todos os elementos (x, y) válidos em g(x, y). Então   Determinar o domínio e imagem da função g(x, y). A imagem é o conjunto de todos os valores z possíveis da função. Analisando a lei da função e seu domínio, podemos ver que o valor mínimo atingido ocorre para . O valor máximo é 0, que ocorre para todo (x, y) pertencer à circunferência Im (g) =  

8. Definições

9. Observe que o domínio de f é R 2 , ou seja, Observe também que Assim, a imagem é E o gráfico de f é dado por: Finalmente, graf (f) é um paraboloide elíptico . O subconjunto de R 3 é denominado gráfico de f. Notação: Observe que o gráfico de f é uma superfície. Exemplo 1 Gráficos

10. Vimos que o domínio de g é Observe que a equação Esta equação representa uma circunferência de centro na origem e raio 2, que divide o plano em duas regiões: uma interna e a outra externa à circunferência. Volte a observar a desigualdade Logo, o domínio da função g é representado pela região interna à circunferência . Exemplo 2 Fique atento! Esse não é o gráfico da função g(x, y). Haverão mais situações onde será solicitado que se esboce o gráfico do domínio da função.

11. E o gráfico de f é dado por: Observe então que: Assim, o graf (g) é a superfície da semiesfera esboçada a seguir: A equação anterior representa uma superfície esférica de centro na origem e raio r = 2. Exemplo 2 Gráfico do domínio de g(x, y)     O gráfico da função g(x, y) é uma superfície.

12. Determine o domínio, a imagem e o gráfico das funções dadas a seguir: O domínio é o conjunto dos pares (x, y) para os quais z pertence a R. Assim, Observe que a equação Esta equação representa uma reta r e toda reta divide o plano em duas regiões chamadas semiplanos. Volte a observar a desigualdade Logo, o domínio da função g é representado pela região ilustrada ao lado. Para determinar a imagem de g, comece lembrando que: Daí, Exemplo 3 .  

13. O gráfico de f é dado por: Observe então que: A equação anterior representa a superfície esboçada ao lado

14. O domínio é o conjunto dos pares (x,y) para os quais z pertence a R. Assim, Observe que a equação Esta equação representa uma circunferência de centro na origem e raio 4, que divide o plano em duas regiões: uma interna e a outra externa à circunferência. Volte a observar a desigualdade Logo, o domínio da função f é a região interna a circunferência. Para determinar a imagem de f, comece lembrando que: Daí, Exemplo 4

15. O gráfico de f é dado por: Observe então que: A equação anterior representa uma superfície esférica de centro na origem e raio r = 4. Assim, o graf (f) é a superfície de uma semiesfera esboçada ao lado.

16. Curvas de nível: Motivação Conceito usado na geografia. Interseção com planos horizontais de diferentes níveis. Nesta figura temos os níveis A, B, C, D, E. Qualquer ponto sobre a mesma linha da curva tem o mesmo nível na direção vertical (tem a mesma altura)

17. Curvas de nível Definição As curvas de nível de uma função de duas variáveis são aquelas com equação , onde k é uma constante que pertence a imagem de .   Mapa de contorno

18. Exemplo 1 Esboçar algumas curvas de nível (mapa de contorno) da função.   Escolhendo k = 0, 1, 2, 4, 9. Esta equação tem apenas uma solução que é (0, 0) Está é a equação de uma elipse, onde a=3 e b=2. Está é a equação de uma elipse, onde e . Está é a equação de uma elipse onde a=6 e b=4. Está é a equação de uma elipse onde a=9 e b=6.  

19. Em qual direção as linhas ficam mais próximas? As linhas das curvas ficam mais próximas na direção do eixo . Isso se deve ao fato do gráfico ser mais inclinado nesta direção.  

20. b) g   Escolhendo .   Exemplo 2 Esta é a equação de uma circunferência de raio 4. Esta é a equação de uma circunferência de raio . Esta é a equação de uma circunferência de raio . Esta é a equação de uma circunferência de raio . A única solução desta equação é o elemento (0, 0).  

21. Proximidade das linhas. Perceba que a proximidade das linhas é menor nos intervalos onde o gráfico é mais inclinado. Veja que k0 está bem próxima de k1. Diferente da proximidade entre k3 e k4.

22. Gráficos e seus mapas de contorno Paraboloide hiperbólico Paraboloide elíptico Cone

23. Gráficos e seus mapas de contorno Compare a inclinação entre os gráficos Região mais inclinada

24. Funções de três ou mais variáveis Uma função com três variáveis , f , é uma regra que associa a cada tripla ordenada ( x , y , z ) em um domínio um único número real, denotado por .   Como exemplo podemos considerar a Temperatura (T) da água oceânica em função das variáveis, profundidade (h), densidade ( ) e pressão (p),  

25. Exemplo 1 Determinar o domínio da função e esboçar o gráfico do domínio.   O domínio é o conjunto de toda tripla válidas para a lei da função. Sabendo que não admite números negativos temos que Dessa forma o domínio fica Como a equação é de um elipsoide, qualquer tripla que estiver na superfície ou no interior do elipsoide pertence ao domínio de   Não é o gráfico de  

26. As funções de três variáveis ou mais não podem ter seus gráficos plotados, para isso seriam necessárias 4 dimensões. Contudo, assim como encontramos curvas de nível para funções de duas variáveis, podemos encontrar superfícies de nível para funções de três variáveis . As superfícies de nível da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação   Superfícies de nível Exemplo 1 Encontrar as superfícies de nível para a função   Escolhendo k = 1, 4, 9 temos: , que é a equação de uma esfera de raio 1. , que é a equação de uma esfera de raio 2. , que é a equação de uma esfera de raio 3.  

27. Exemplo 2 Considerando a função , descreva a superfície de nível que passa pelo ponto   Primeiramente devemos saber qual é o valor da função para o ponto solicitado. . Logo, estamos interessados na superfície de nível para k=2   Agora podemos fazer:   Comparando com (equação geral de um hiperboloide de duas folhas)   No próximo slide será apresentado as superfícies mais comuns.

28. Anote suas dúvidas! Estarei sempre disposto a tirar vossas dúvidas. Boa leitura!