Funções exponencial e logarítmica

polígrafo

1. FUNC
~
OES EXPONENCIAL E
LOGAR

ITMICA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Func~ao Exponencial
Chamamosy=a
x
defunc~ao exponencialde basea, paraa >0 ea6= 1.
Esta func~ao tem domnio dom(f) =Re imagem img(f) = (0;+1).
Para a determinac~ao da imagem, basta ver que se 0< a <1,
lim
x!1
a
x
= +1e lim
x!+1
a
x
= 0
e para o casoa >1,
lim
x!1
a
x
= 0 e lim
x!+1
a
x
= +1
Esses limites podem ser entendidos como consequ^encia das leis da opera-
c~ao de potenciac~ao:
Sea >1, por exemploa= 2, ent~aoa
2
= 2
2
= 4,a
3
= 2
3
= 8,
a
4
= 2
4
= 16, e assim por diante, com o limitea
n
!+1a medida que
n!+1
Tomando novamentea= 2, ent~aoa
2
= 2
2
= 1=4 = 0;25,a
3
=
2
3
= 1=8 = 0;125,a
4
= 2
4
= 1=16 = 0;0625, e assim por diante,
com o limitea
n
!0 a medida quen! 1
Para 0< a <1, suponhamosa= 1=2 = 0;5, ent~aoa
2
= (1=2)
2
=
1=4 = 0;25,a
3
= (1=2)
3
= 1=8 = 0;125,a
4
= (1=2)
4
= 1=16 = 0;0625,
e assim por diante, com o limitea
n
!0 quandon!+1
Paraa= 1=2 = 0;5, ent~aoa
2
= 2
2
= 4,a
3
= 2
3
= 8,a
4
= 2
4
= 16,
e assim por diante, com o limitea
n
!+1quandon! 1
1

2. GRAFICO
Devemos considerar o seguinte:
A curva da func~ao esta toda acima do eixo das abscissas poisa
x
>0
para todoxsea >0
O graco da func~ao cruza o eixo das ordenadas no ponto (0;1) pois
f(0) =a
0
= 1
f(x) =a
x
e crescente sea >1 e decrescente se 0< a <1 pela discuss~ao
anterior, feita na denic~ao da imagem da func~ao exponencial
A func~ao apresenta uma assntota horizontal sobre o eixo das abscissas
a >1 0 < a <1
FUNC~AO EXPONENCIAL NATURAL
Sejae= 2;71828182845: : :, chamado denumero de Euler. Denimos a
func~ao exponencial basee, chamada defunc~ao exponencial naturalcomo:
f(x) =e
x
A denic~ao do numero de Euler e dada por:
e= lim
x!+1

1 +
1
x

x
2

3. 2 Func~ao Logartmica
Chamamosy= log
ax, coma >0 ea6= 1, defunc~ao logartmicabasea.
Esta func~ao tem domnio dom(f) = (0;+1) e imagem img(f) =R.
A func~ao logartmica e a func~ao exponencial s~ao func~oes inversas uma da
outra, ou seja, sef(x) = log
axent~aof
1
(x) =a
x
.
GRAFICO
Para esbocar o graco da func~ao logartmica devemos saber que:
Toda a curva do graco da func~ao ca a direita do eixo das ordenadas
A curva do graco cruza o eixo das abscissas em (1;0)
O graco def(x) = log
axe simetrico ao graco deg(x) =a
x
com
relac~ao a retah(x) =x, que e a bissetriz do 1
o
e do 3
o
quadrantes
a >1 0 < a <1
Observac~ao: a func~ao exponencial esta representada em cor azul e a func~ao
logartmica esta representada em cor vermelha.
3

4. FUNC~AO LOGARITMO NATURAL
Podemos denir a func~ao logartmica de basee, chamada defunc~ao loga-
ritmo natural, representada porf(x) = lnx, que e a func~ao inversa da func~ao
exponencial natural, ou sejaf
1
(x) =e
x
.
MUDANC A DE BASE
Para numeros positivosa,bexcoma6= 1 eb6= 1, temos:
log
bx=
log
ax
log
ab
Por exemplo, log
510 =
ln 10
ln 5
REPRESENTANDO QUALQUER EXPONENCIAL POR MEIO
DA EXPONENCIAL NATURAL
Vale a seguinte relac~ao entre uma exponencial de baseae a exponencial
natural:
f(x) =a
x
,f(x) =e
xlna
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1. log
a1 = 0, porquea
0
= 1
2.logaa= 1, porquea
1
=a
3. log
a(uv) = log
au+ log
av(regra do produto)
4. log
a
u
v
= log
aulog
av(regra do quociente)
5. log
au
n
=nlog
au(regra da pot^encia)
6. log
aa
u
=u(composic~ao da func~ao com sua inversa)
7.a
log
a
u
=u(composic~ao da func~ao com sua inversa)
EXEMPLO DE USO DAS PROPRIEDADES
log
a(9xy
5
) = log
a9 + log
ax+ log
ay
5
= log
a3
2
+ log
ax+ log
ay
5
=
2 log
a3 + log
ax+ 5 log
ay
4

5. 3 Soluc~ao de Equac~oes e Inequac~oes Expo-
nenciais e Logartmicas
1. Resolva 20

1
2
x
3
= 5
(a) 20

1
2
x
3
= 5
(b)

1
2
x
3
=
1
4
(c)

1
2
x
3
=

1
2

2
(d)
x
3
= 2
(e)x= 6
2. Resolva log
10x
2
= 2
(a) log
10x
2
= 2
(b) log
10x
2
= log
1010
2
[porquex= log
aa
x
= log
1010
2
= 2 pela
propriedade 6]
(c)x
2
= 10
2
(d)x
2
= 100
(e)x= 10 oux=10
3. Resolva 2 ln(x+ 1) = 4
(a) 2 ln(x+ 1) = 4
(b) ln(x+ 1) = 2
(c)x+ 1 =e
2
[pela aplicac~ao da exponencial natural em ambos os
lados da equac~ao,e
ln(x+1)
=x+ 1 pela propriedade 7]
(d)x=e
2
1
4. Resolva 2 log
10x4 log
103>0
(a) 2 log
10x4 log
103>0
(b) 2 log
10x >4 log
103
(c) log
10x >2 log
103
(d) log
10x >log
103
2
[pela propriedade 5]
5

6. (e)x >3
2
(f)x >9
(g)S=fx2Rjx >9gouS= (9;+1)
5. Resolva2 ln(ex)>4
(a)2 ln(ex)>4
(b) ln(ex)<2 [propriedade das inequac~oes]
(c) lne+ lnx <2 [pela propriedade 3]
(d) 1 + lnx <2 [pela propriedade 2]
(e) lnx <3
(f)x < e
3
[pela propriedade 7]
(g)S=fx2Rjx < e
3
gou (1; e
3
)
6