Geometría N-dimensional Aplicada al movimiento de Curva

Aparato de Frenet de Hélices generalizadas

1. GENAMOC
Geometr´ıa N-dimensional Aplicada al
Movimiento de Curva
Prof. Robert Ipanaqu´e-Chero
UNP
24 de julio de 2025
Prof. Robert Ipanaqu´e-Chero(UNP) GENAMOC 24 de julio de 2025

2. Contenido
1
Motivaci´on e introducci´on
2
Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n 3
Aplicaciones inmediatas
4
Cierre y perspectivas
Prof. Robert Ipanaqu´e-Chero(UNP) GENAMOC 24 de julio de 2025

3. Motivaci´on e introducci´on
¿Por qu´e el movimiento de curvas enE
n
?
La geometr´ıa de curvas ha sido central en mec´anica, f´ısica, rob´otica y
biolog´ıa.
El estudio tradicional se ha centrado enE
2
yE
3
, con estructuras bien
conocidas como el marco de Frenet–Serret.
En dimensiones superiores, muchos fen´omenos requieren analizar
trayectorias enE
n
:
Rob´otica de m´ultiples articulaciones.
Morfolog´ıa molecular en biolog´ıa.
Visualizaci´on matem´atica en espacios 4D y m´as.
Representaciones en inteligencia artificial.
Comprender el movimiento de curvas enE
n
es clave para
modelar, predecir y visualizar trayectorias complejas.
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4. Motivaci´on e introducci´on
Dificultades del aparato de Frenet tradicional
EnE
3
, el marco de Frenet se construye con derivadas sucesivas:
⃗
T=
d⃗α
ds
,
⃗
N=
d
⃗
T
ds
/





d
⃗
T
ds





,
⃗
B=
⃗
T×
⃗
N
EnE
n
, esta construcci´on se generaliza mediante el proceso de
Gram–Schmidt aplicado a las derivadas sucesivas de la curva.
Sin embargo, este proceso:
Es recursivo y no ofrece expresiones cerradas.
Es computacionalmente costoso y simb´olicamente poco accesible.
Depende de una curva previamente parametrizada por longitud de arco.
Esto limita el uso del aparato de Frenet en aplicaciones
simb´olicas, anal´ıticas y computacionales.
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5. Motivaci´on e introducci´on
Pregunta central de la charla
¿Es posible construir de forma expl´ıcita el aparato de Frenet enE
n
?
Sin depender de ortonormalizaci´on recursiva.
Con expresiones simb´olicas cerradas para el marco y las curvaturas.
Permitiendo visualizaci´on computacional directa.
Generalizando las h´elices cl´asicas deE
3
.
Nuestra propuesta
Demostrar que existen familias de curvas enE
n
con:
Aparato de Frenet simb´olicamente accesible,
Curvaturas constantes,
Reparametrizaci´on expl´ıcita por longitud de arco.
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6. Motivaci´on e introducci´on
El producto exterior: base del formalismo determinantal
Elproducto exteriorowedge productes una operaci´on antisim´etrica entre
vectores:
∧:E
n
× · · · ×E
n
→
k
^
E
n
que permite representar subespacios orientados mediante elementos de un
´algebra exterior.
Ejemplo:Dados⃗u,⃗v∈E
3
, se tiene:
⃗u∧⃗v=⃗u⊗⃗v−⃗v⊗⃗u(producto bivectorial antisim´etrico)
En nuestro formalismo:
El producto exterior se emplea para construir bases ortogonales
preservando la orientaci´on.
Sirve como insumo en el operador Φj−1para generar campos de
Frenet expl´ıcitamente.
Ventaja:Permite expresar las bases
⃗
Tjde forma directa, sin recurrencia.
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7. Motivaci´on e introducci´on
El operador Φj−1y la generaci´on orientada de vectores
Para obtener el campo
⃗
Tjde forma expl´ıcita y orientada, usamos el siguiente
operador:
Φj−1(
⃗
X1, . . . ,
⃗
Xj) :=
⃗
X1∧ · · · ∧
⃗
Xj∈
j
^
(E
n
)
Este producto exterior encierra toda la informaci´on sobre el subespacio gen-
erado por los vectores previos.
Luego, al considerar:
Φj−1(
⃗
T1, . . . ,
⃗
Tj−1,
⃗
T
′
j−1)
se obtiene un elemento no nulo de
V
j
(E
n
), cuya normalizaci´on y dualizaci´on
adecuada da el siguiente vector ortonormal
⃗
Tj.
Ventajas:
No requiere proceso recursivo.
Preserva la orientaci´on inducida por
⃗
T1∧ · · · ∧
⃗
Tn.
Se puede aplicar computacionalmente v´ıa ´algebra lineal y
determinantes.
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8. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Aparato de Frenet enE
n
: Formulaci´on expl´ıcita (I)
Seaβ:I→E
n
una curva de rapidez unitaria, es decir,
∥β
′
(s)∥= 1,∀s∈I.
Se construye un sistema de referencia ortonormal a lo largo deβ,
⃗
T1,
⃗
T2, . . . ,
⃗
Tn,
usando diferenciaci´on y ortogonalizaci´on determinantal al estilo de Gram-
Schmidt, preservando orientaci´on.
Primeras etapas:
⃗
T1:=β
′
(s),
⃗
T
′
1=β
′′
(s), κ1:=∥
⃗
T
′
1∥,
⃗
T2:=
⃗
T
′
1
κ1
.
Ortogonalidad:
⃗
T1·
⃗
T2= 0,y as´ı sucesivamente por construcci´on.
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9. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Aparato de Frenet enE
n
: Formulaci´on expl´ıcita (II)
F´ormulas determinantalmente orientadas:
⃗
Tj=
Φj−1(
⃗
T1∧ · · · ∧
⃗
Tj−1,
⃗
T1∧ · · · ∧
⃗
Tj−1∧
⃗
T
′
j−1
)
∥Φj−1(· · ·)∥
,3≤j≤n−1,
⃗
Tn:=×(
⃗
T1, . . . ,
⃗
Tn−1).
Ecuaciones de Frenet:
⃗
T
′
1=κ1
⃗
T2,
⃗
T
′
j=−κj−1
⃗
Tj−1+κj
⃗
Tj+1,2≤j≤n−1,
⃗
T
′
n=−κn−1
⃗
Tn−1.
Las curvaturasκjse calculan como normas de los vectores previos diferen-
ciados y ortogonalizados.
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10. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Extensi´on a curvas de rapidez arbitraria enE
n
(I)
Sea⃗α:I→E
n
una curva suave, no necesariamente de rapidez unitaria.
Definimos su rapidez como:
v(t) :=∥⃗α
′
(t)∥>0.
El par´ametro de longitud de arco queda definido como:
s(t) :=
Z
t
t0
v(u)du,con
ds
dt
=v(t).
Definici´on del campo tangente:
⃗
T1(t) :=
⃗α
′
(t)
v(t)
=
d⃗α
ds
,
de modo que∥
⃗
T1(t)∥= 1 para todot.
Las derivadas respecto asse relacionan con las derivadas respecto atpor:
d
ds
=
1
v(t)
·
d
dt
.
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11. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Extensi´on a curvas de rapidez arbitraria enE
n
(II)
Partimos de
⃗
T1(t) :=
⃗α
′
(t)
v(t)
, y construimos los vectores ortonormales:
⃗
T2(t) :=
1
κ1(t)
·
d
⃗
T1
ds
=
1
κ1(t)
·
1
v(t)
·
d
dt
`
⃗α
′
(t)
v(t)
´
,
y as´ı sucesivamente para
⃗
T3, . . . ,
⃗
Tn.
Ecuaciones de Frenet adaptadas at:
d
⃗
T1
dt
=v(t)κ1(t)
⃗
T2(t)
d
⃗
Tj
dt
=−v(t)κj−1(t)
⃗
Tj−1(t) +v(t)κj(t)
⃗
Tj+1(t) para 2≤j≤n−1,
d
⃗
Tn
dt
=−v(t)κn−1(t)
⃗
Tn−1(t).
Ventaja:todo el aparato de Frenet se expresa directamente en funci´on de
la variablet, sin necesidad de reparametrizar expl´ıcitamente pors.
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12. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Aparato de Frenet a partir de derivadas sucesivas enE
n
Si⃗α:I→E
n
es una curva regular de claseC
n
, con funci´on de rapidez
v(t) =∥⃗α
′
(t)∥, se define el sistema ortonormal de Frenet por:
⃗
Vn:=×
ı
⃗α
′
, ⃗α
′′
, . . . , ⃗α
(n−1)
ȷ
,
⃗
V1:=⃗α
′
,
⃗
V3:= (−1)
n+1
×
ı
⃗
Vn, ⃗α
′
, . . . , ⃗α
(n−2)
ȷ
,
⃗
Vj:= (−1)
n
×
ı
⃗
Vj−1, ⃗α
′
, . . . , ⃗α
(n−2)
ȷ
,4≤j≤n−1.
Los vectores del marco de Frenet se construyen como:
⃗
T1:=
⃗
V1
∥
⃗
V1∥
,
⃗
T3:=
⃗
V3
∥
⃗
V3∥
,
⃗
Tn:=
⃗
Vn
∥
⃗
Vn∥
,
⃗
T2:=×(
⃗
T3, . . . ,
⃗
Tn,
⃗
T1).
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13. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Curvaturas sucesivas desde derivadas enE
n
A partir del marco de Frenet, se obtienen las curvaturasκ1, . . . , κn−1direc-
tamente mediante productos escalares:
κ1=
⃗α
′′
·
⃗
T2
∥⃗α
′
∥
2
, κ2=
⃗α
′′′
·
⃗
T3
∥⃗α
′
∥
3
κ1
, . . . , κn−1=
⃗α
(n)
·
⃗
Tn
∥⃗α
′
∥
n
κ1. . . κn−2
.
Ventaja:Esta formulaci´on no requiere parametrizaci´on por longitud de
arco. Permite aplicar el aparato de Frenet directamente desde derivadas
sucesivas, ideal para contextos computacionales o simb´olicos.
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14. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
H´elices generalizadas enE
n
Consideremos la familia de curvas definida mediante combinaciones arm´onicas:
⃗α(t) =
n
X
j=2
jpar
h
a
j/2cos(b
j/2t)
⃗
Uj−1+a
j/2sin(b
j/2t)
⃗
Uj
i
+δn,imparct
⃗
Un.
Los coeficientesa
j/2,b
j/2,cson constantes positivas.
⃗
Ujdenotan los vectores del sistema can´onico.
La curva posee velocidad constante y admite reparametrizaci´on por
arco.
La reparametrizaci´on por longitud de arco est´a dada por:
⃗
β(s) =⃗α
`
s
∥⃗α
′
(t)∥
´
,
garantizando rapidez unitaria.
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15. Construcci´on expl´ıcita del aparato de Frenet enE
n
Propiedades de las h´elices generalizadas
Cada curva
⃗
β(s) construida admite:
Un sistema de referencia de Frenet
⃗
T1, . . . ,
⃗
Tncompletamente
expl´ıcito, mediante el operador determinantal Φj−1.
Curvaturasκ1, . . . , κn−1constantes, obtenidas por normas o
productos escalares entre derivadas y vectores de Frenet.
Una expresi´on cerrada que generaliza la h´elice cl´asica deE
3
a
cualquier dimensi´on.
Nota:Paran= 3, se recupera la h´elice cil´ındrica cl´asica como caso partic-
ular.
Aplicaci´on
Estas h´elices constituyen modelos ideales para trayectorias oscilatorias con
simetr´ıa arm´onica, ´utiles en geometr´ıa computacional, f´ısica te´orica y
biolog´ıa estructural.
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16. Aplicaciones inmediatas
Curvas en morfolog´ıa biol´ogica
Las h´elices generalizadas enE
n
modelan trayectorias naturales con
curvaturas constantes, similares a estructuras biol´ogicas como:
Prote´ınas enrolladas(alfa-h´elices)
ADN bicatenario(doble h´elice)
La expresi´on expl´ıcita de los campos de Frenet permite:
Analizar la torsi´on y la retorsi´on en estructuras moleculares.
Simular variaciones en entornos de mayor dimensi´on (e.g.,E
4
,E
5
).
Potencial biomatem´atico:permite estudiar flexi´on,
empaquetamiento y rutas de ensamblaje bajo una m´etrica geom´etrica.
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17. Aplicaciones inmediatas
Interpolaci´on en rob´otica
Las trayectorias rob´oticas requieren:
Suavidad en posici´on y orientaci´on.
Curvaturas y torsiones controladas.
Las curvas concurvaturas constantespermiten movimientos
estables y predecibles en el espacio de configuraciones.
Gracias al aparato de Frenet expl´ıcito:
Se conoce en todo momento la orientaci´on del extremo (efector final).
Se puede interpolar entre poses con control geom´etrico preciso.
Ejemplo:Un brazo rob´otico que ejecuta una maniobra envolvente
puede modelarse con una h´elice generalizada enE
5
, proyectada aE
3
.
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18. Aplicaciones inmediatas
Simulaci´on y visualizaci´on
La formulaci´on expl´ıcita del aparato de Frenet permite implementar
curvas y campos asociados en software como:
Mathematica:representaci´on simb´olica, c´alculo exacto de curvaturas,
animaciones.
Blender:visualizaci´on 3D y 4D con proyecciones y materiales.
Aplicaciones inmediatas:
Simulaci´on de trayectorias en entornos virtuales.
Estudio de deformaciones geom´etricas animadas.
Generaci´on de estructuras helicoidales para modelado param´etrico.
Ventaja clave:el car´acter expl´ıcito del aparato permite la
integraci´on directa en entornos simb´olicos y gr´aficos.
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19. Aplicaciones inmediatas
Espacios de representaci´on en IA (opcional)
En aprendizaje autom´atico, los datos se representan en espacios
latentes de alta dimensi´on (E
n
).
Las curvas suaves con estructura de Frenet permiten:
Modelar trayectorias de evoluci´on sem´antica.
Analizar el cambio direccional en embeddings neuronales.
Estudiar deformaciones de datos en aprendizaje continuo.
Ejemplo:una curva enE
256
que describe la transici´on entre dos
conceptos aprendidos por una red neuronal.
Ventaja diferencial:las curvaturas y torsiones controladas pueden
revelar propiedades internas del espacio de representaci´on.
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20. Aplicaciones inmediatas
¿Y por qu´eE
n
, si el mundo esE
3
?
Las aplicaciones mostradas hacen uso de curvas enE
4
,E
5
o incluso
m´as dimensiones.
¿Tiene sentido estudiar movimientos en espacios que no
podemos ver?S´ı, porque:
Muchos sistemas reales tienen m´as grados de libertad que las tres
dimensiones espaciales:
Biolog´ıa: ´angulos torsionales y enlaces rotacionales en prote´ınas.
Rob´otica: articulaciones m´ultiples, orientaci´on, velocidad y aceleraci´on.
IA: vectores de representaci´on en espacios latentes de dimensi´on alta.
Las curvas enE
n
representan trayectorias en espacios de configuraci´on.
Lo que observamos enE
3
puede ser solo unaproyecci´onde una
din´amica en mayor dimensi´on.
La geometr´ıa enE
n
no es evasi´on, sino herramienta para comprender
lo complejo con precisi´on.
“A veces, entender lo visible exige pensar lo invisible.”
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21. Cierre y perspectivas
Resumen de resultados
Se construy´o el aparato de Frenet enE
n
mediante una formulaci´on
expl´ıcita:
Usando productos exteriores y operadores determinantes.
Sin recurrencia ni p´erdida de orientaci´on.
Se generaliz´o a curvas de rapidez arbitraria, expresando todo en
funci´on del par´ametro naturalt.
Se present´o una familia de curvas con aparato completo y curvaturas
constantes:
H´elices generalizadas enE
n
.
Reparametrizables por longitud de arco.
Se mostraron aplicaciones concretas en biolog´ıa, rob´otica,
visualizaci´on y representaci´on sem´antica.
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22. Cierre y perspectivas
Perspectivas y preguntas abiertas
¿C´omo se extiende este aparato a variedades curvas o espacios con
m´etrica variable?
¿Qu´e papel juegan las h´elices generalizadas en geometr´ıa simpl´ectica
o en mec´anica cu´antica?
¿Puede el aparato simb´olico ser implementado en entornos de
optimizaci´on o IA geom´etrica?
¿C´omo visualizar y manipular de forma pedag´ogica trayectorias enE
4
,
E
5
y m´as?
¿Es posible cuantificar la eficiencia energ´etica de trayectorias bajo
este marco?
Estas ideas abren una ruta de investigaci´on con fundamentos s´olidos y
proyecci´on interdisciplinaria.
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23. “He compartido con ustedes no solo f´ormulas,
sino una manera de mirar las curvas
cuando dejan de ser trayectorias
y se convierten en ideas vivas.”
“Que esta geometr´ıa N-dimensional
no se vea como un lujo te´orico,
sino como un lenguaje para comprender lo que se mueve
en lo profundo del pensamiento y la materia.”
Muchas gracias.