GEOMETRÍA Y SISTEMA DE PROYECCIÓN

Geometría y sistema de proyección.

Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Maita Reyes, Luis Octavio > Ingeniería Civil, Semestre I.

1. GEOMETRIA Y SISTEMA DE PROYECCIÓN LUIS OCTAVIO MAITA REYES C.I. V: 27.505.857 INGENIERÍA CIVIL, SEMESTRE I. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño

2. INTRODUCCION Desde la antigüedad, se han observado manifestaciones de dibujo. Como es natural, los seres humanos intentaban representar los elementos de la naturaleza y aún lo intentan hacer, a través de las matemáticas y sus avances científicos. La palabra geometría que proviene del latín, significa medición de la tierra, geo – tierra ; metría – medición. La geometría estudia las diferentes figuras que conforman al universo, es una de las ramas especializadas de las matemáticas. Sin embargo, existen muchos tipos de geometría como la analítica, la proyectiva y la descriptiva. Todas ellas, son importantes para el desarrollo humano ya que un gran descubrimiento científico brindan una comodidad universal. La geometría tiene diferentes campos de aplicación, y aunque generalmente todas estudian lo mismo, abarcan un determinado problema desde perspectivas diferentes; aquí vamos a conocer una de las más grandes ramificaciones de las matemáticas, conoceremos de historia científica y observaremos varios ejemplos ilustrativos. A continuación: La geometría y los sistemas de proyección.

3. PROYECTIVA PLANA DESCRIPTIVA ANALITICA DEFINICIONES GEOMETRIA METRICA GEOMETRIA EUCLIDIANA

4. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Es una rama de la geometría , que representa objetos tridimensionales (poseen tres dimensiones: ancho, largo, profundidad) en una superficie plana bidimensional (dos dimensiones: ancho, longitud). El matemático Gaspar de Monge es considerado el padre de la Geometría Descriptiva, ya que aplicó la Geometría en general para la construcción, dando los primeros comienzos. Sin embargo, las primeras manifestaciones de dibujos datan 2.450 años AC. La Geometría Descriptiva es uno de los fundamentos para los ingenierios y arquitectos, ya que permite representar no sólo objetos ya existentes, sino los que se imaginan y exhibirlos en un plano para sus posteriores estudios.

5. GEOMETRÍA ANALÍTICA Es una rama de la geometría y de las matemáticas , que estudia los elementos que conforman a una figura geométrica a través del lenguaje algebraico. Estos elementos son rectas, puntos, curvas, entre otras. Y cada una de ellas pueden representarse a través del sistema de coordenadas, también conocido como plano cartesiano (en honor a René Descartes, considerado como el padre de la Geometría Analítica. Sin embargo, Pierre de Fermat también es considerado uno de sus máximos representantes). En el sistema de coordenadas, podemos representar figuras a través de fórmulas matemáticas, por ejemplo, la ecuación general de la línea recta ax+by=c , y en la actualidad, se dice que el nacimiento de la Geometría Analítica impulsó el desarrollo de las matemáticas modernas.

6. GEOMETRÍA PLANA También conocida como Geometría Clásica o Euclidiana (en honor a Euclides quién la postuló) fue uno de los primeros tipos de geometrías y estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que satisfagan los axiomas de Euclides , los tipos de geometrías que no satisfagan estos axiomas se le conocen como geometrías no euclidianas . En la geometría plana, representamos objetos bidimensionales; al representarlos sobre una superficie dan la impresión de que son planos, ya que carecen de volumen. Los elementos fundamentales de la geometría plana son: el punto, la recta y el plano.

7. GEOMETRÍA MÉTRICA Se aplica en los espacios Euclídeos, basados en los teoremas de Thales de Mileto y Pitágoras de Samos. Y se trata del estudio y cálculo de distancias entre las posiciones de figuras representadas en un plano, además, se estudian las curvas y superficies que componen a algunos cuerpos como las circunferencias y conos. Las nociones que se aplican son intuitivas , es decir, no son rigurosas y están sujetas a modificaciones a través de los avances matemáticos y científicos.

8. GEOMETRÍA PROYECTIVA También conocida como geometría de la falsa posición , estudia las proyecciones o sombras que hacen los cuerpos geométricos tridimensionales en un plano bidimensional. La geometría proyectiva es la base para el estudio de las proyecciones. Se aplican conceptos abstractos que son de gran utilidad para los cálculos que se realizan como los de la geometría métrica para estudiar superficies, longitudes, distancia entre varios puntos, etc. Los inicios de la geometría proyectiva tienen su origen en los artistas del Renacimiento , donde se dio una gran evolución en la pintura de los diferentes elementos de la naturaleza, uno de ellos fue Leonardo Da Vinci.

9. GEOMETRÍA EUCLIDIANA Fue desarrollada por Euclides de Alejandría, en el año 300 A.C. Euclides, recopiló muchos conocimientos acerca de la geometría y las matemáticas de aquella época, e hizo su mayor obra en un libro llamado Elementos (uno de los libros más estudiados de la historia, superado sólo por la Biblia), dando origen a lo que conocemos como Geometría Euclidiana . Euclides nos presenta nociones intuitivas y abstractas acerca de las figuras que conforman a la naturaleza, con sus construcciones y demostraciones. Actualmente, el estudio de las áreas, perímetro, superficies, longitud, entre otros, corresponden a los elementos de Euclídes y sus teoremas.

10. PROYECCIONES CILÍNDRICAS PROYECCIÓN CÓNICA SISTEMA DE PROYECCIÓN PROYECCIÓN DEFINICIONES GEOMETRIA PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL GEOMETRIA PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS

11. SISTEMA DE PROYECCIÓN Un sistema de proyección es una representación gráfica y visual, que corresponde a la sombra de un cuerpo tridimensional en una superficie bidimensional. Es decir, cualquier objeto en la naturaleza que tenga ancho, largo y profundidad podrá ser proyectado y representado en un plano que sólo tenga ancho y largo. Los sistemas de proyección son muy importantes en la Ingeniería y Arquitectura, ya que nos permiten visualizar un objeto para posibles modificaciones. Le atribuímos el sistema de construcción general para crear sistemas de proyecciones al científico Gaspard Monge, en su obra titulada Géometrie descriptive , en el año 1799.

12. PROYECCIÓN Es una técnica de dibujo que se utiliza para representar un objeto sobre una superficie llamado plano . El resultado de esta técnica es un gráfico la cual es considerada como la figura obtenida sobre la superficie mediante el conjunto de rectas, partiendo de un punto. El conjunto de rectas se le denominan rectas proyectantes y el punto de salida se le denomina foco .

13. PROYECCIÓN CÓNICA Es un tipo de representación gráfica que permite reproducir de una manera eficaz las imágenes, ya que ofrece un resultado semejante a lo que percibe el ojo al observar un objeto desde cualquier punto. La proyección cónica representa un cuerpo tridimensional sobre un plano, donde las rectas proyectantes se reúnen en un mismo punto; esto nos garantiza, que obtendremos una proyección del objeto como si nos encontráramos en ese punto determinado. Perspectiva cónica Perspectiva angular

14. PROYECCIÓN CÓNICA Perspectiva cónica : es la representación de un objeto tridimensional que más se asemeja a la visión humana ya que es capaz de representar sobre la superficie, la profundidad del objeto y así valorar la posición particular de cada figura en el espacio. Generalmente, esta perspectiva es utilizada para estudiar y observar el volumen de un objeto, ya que se puede apreciar muy bien.

15. PROYECCIÓN CÓNICA 2. Perspectiva angular : También conocida como perspectiva cónica de un cuerpo rectangular , es la representación de un cuerpo desde la definición de dos puntos de fuga en el horizonte y las líneas paralelas al plano permanecen de forma vertical

16. PROYECCIONES CILÍNDRICAS Es el tipo de proyección donde el origen de las rectas proyectantes viene desde un punto en el infinito. Estas rectas proyectantes son paralelas entre sí, dando la impresión de que formarían un cilindro.

17. PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL Es el tipo de proyección utilizado en el sistema diédrico , en plano acotado y en las perspectivas axonométricas ortogonales. Aquí, los rayos proyectantes son paralelos (proyección cilíndrica) y perpendiculares al plano de proyección alfa. Proyecciones diédricas Vistas múltiples Proyecciones axonométricas

18. PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL Proyecciones diédricas : es un método de representación en geometría descriptiva que utiliza una proyección ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente. La representación es geométrica y es de objetos tridimensionales sobre planos bidimensionales.

19. PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL Vistas múltiples: Es la representación de un objeto tridimensional mediante varias proyecciones. La representación sería bidimensional y las vistas múltiples generalmente es representado por el sistema diédrico . Se utiliza el término vistas múltiples para diferenciarlo de otros tipos de proyecciones que utilizan una única vista para representar objetos, como, por ejemplo, el cónico y el axonométrico.

20. PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL Proyecciones axonométricas : Es la proyección sobre un plano axonométrico que tiene una posición arbitraria en el espacio; y se obtiene cuando este plano no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto que se observa.

21. PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS Es aquella en la que el centro de proyección de donde emanan todos los rayos proyectantes se encuentran en el infinito, es decir, los rayos de proyección son paralelos y forman un ángulo no recto respecto del plano de proyección. OBLICUA CABALLERA GABINETE

22. PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS Oblicua : Se obtiene cuando las rectas proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección. Es de saber que la palabra oblicua hace referencia a algo que no es perpendicular ni paralela a un ente.

23. PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS 2. Caballera : Es aquella que utiliza la proyección paralela oblicua y cilíndrica. Se originó en el dibujo de las fortificaciones medievales. Comúnmente, también se le denomina perspectiva caballera y en ella, dos dimensiones del volumen a representar que serían el alto y el ancho, se proyectan en verdadera magnitud (sin alterar las magnitudes). Sin embargo, la tercera dimensión del volumen del objeto, la profundidad, se reduce de manera proporcional a las magnitudes de las otras dos dimensiones y se utiliza un coeficiente para ello.

24. PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS 3. Gabinete : Se le conoce así porque se utilizó mucho en la industria del mueble. Este tipo de proyección permite representar objetos colocando una de las caras de frente al punto de observación y las demás caras son oblicuas al plano del cuadro. Y, al igual que las caballeras , las los dimensiones del volumen del objeto se representan en verdadera magnitud y se reduce la profundidad.

25. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN 1. SISTEMA DIÉDRICO 2. CUADRANTE O DIEDROS 3. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN ACOTADO 4. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVAS PERSPECTIVA ISOMÉTRICA PERSPECTIVA MILITAR

26. NOMENCLATURAS Puntos del plano : se representan con las letras del alfabeto, mayúsculas (A,B,C,D…) o los números (1,2,3,4…) Rectas: se representan con los puntos que son los segmentos de esa recta, por ejemplo: (AB) ; (1,3) ; (C,7) Plano: se representa con tres (3) puntos que definen los segmentos de una recta (A,C,G) , una recta y un punto (Mn) , dos rectas que se intercepten o sean paralelas ( mn ) , las letras del alfabeto griego ( α – ALFA) ; ( β – BETA).

27. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN Como ya conocemos, los sistemas de representación tienen el objetivo principal de representar objetos sobre una superficie bidimensional. Estos sistemas pueden clasificarse : SISTEMA DIÉDRICO: Es un método gráfico el cual consiste en obtener la imagen de un objeto (en planta y alzado), mediante la proyección de las rectas proyectantes perpendiculares a dos planos principales de proyección. En el sistema diédrico , así como en otros, el plano es una superficie ilimitada y plana. El objeto queda representad por su vista frontal, que es proyección en el plano vertical, y su vista superior (proyección en el plano horizontal), además, se puede representar su vista lateral, como proyección auxiliar.

28. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN 2. CUADRANTE O DIEDROS: Es un sistema de representación de un objeto con dos planos que se cortan de forma perpendicular. El resultado es una división de cuatro (4) cuadrantes, diedros o regiones y en la representación podemos observar dos proyecciones del mismo objeto; uno en planta y el otro alzado.

29. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN 3. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN ACOTADO: Es aquel sistema de representación gráfica donde se representan las medidas verticales de los objetos mucho más pequeñas que las horizontales.

30. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN 4. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVAS: La perspectiva, es la forma de representar por medio del dibujo, en un plano, los objetos tal como aparecen a la vista. En la ejecución, los sistemas más habitualmente utilizados son las siguientes PERSPECTIVA ISOMÉTRICA PERSPECTIVA MILITAR

31. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVAS

32. SISTEMA DE COORDENADAS Y SUS APLICACIONES

33. SISTEMA DE COORDENADAS Y SUS APLICACIONES Es el conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia. Veamos algunos tipos:

34. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS 1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS: También conocida como sistema de coordenadas rectangulares. Es el sistema formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Son del tipo coordenadas ortogonales para espacios euclídeos . Sus aplicaciones se deben en matemáticas y geometría, para representar funciones, resolución de problemas utilizando integrales y derivadas y para la representación de objetos geométricos tales como rectas, curvas, y distancias.

35. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS SISTEMA DE COORDENADAS POLARES: Es un tipo de coordenadas bidimensionales que está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y un punto, mientras que la segunda, es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. En este sistema, es posible determinar la posición de un punto en el espacio, además, se utiliza para calcular longitudes de diferentes entes geométricos como curvas, rectas y algún fenómeno que pudiese presentar en un punto central determinado. Generalmente, se utiliza en Navegación, Física y Matemáticas , trabajando con vectores y expresiones algebraicas, para determinar velocidades, direcciones y sentidos de aeronaves, barcos y otros cuerpos.

36. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS 3. SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS: Es la generalización del sistema de coordenadas polares planas, en el que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos, estos ejes son x,y,z . Es muy útil para solucionar problemas geométricos del tipo cilíndricos o azimutal que generalmente son problemas de simetría. En geometría analítica y descriptiva, es muy útil, ya que es el indicado para estudiar y calcular distancia dentro del cuerpo geométrico y modificar, si fuese necesario, los valores; por esta razón, es necesario para el ingeniero, geómetra y arquitecto.

37. CONCLUSIONES Actualmente, el desarrollo tecnológico es exponencial. Los países en desarrollo tienen un gran crecimiento económico y sus empresas cada vez exigen a ingenieros más capaces de realizar grandes edificaciones y proyectos ambiciosos. El arquitecto, el ingeniero, el empresario, el ciudadano común… se han beneficiado de las aportaciones que ha hecho la geometría y las matemáticas a lo largo de los años. Desde el plano más pequeño, al proyecto más grande, exige de las matemáticas y a su vez, de la geometría en general. El conocimiento que actualmente tenemos sobre esta disciplina, se debe a un gran periodo de investigaciones exhaustivas que los grandes de la ciencia clásica y moderna se han dignado a regalarnos. Desde los caldeos, babilonios, egipcios, chinos; pasando por Apolonio, Aristóteles, Pitágoras, Euclides, Eratóstenes, Thales de Mileto, Arquímedes hasta René Descartes, Carl Gauss, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler, Blaise Pascal y los matemáticos destacados de la antigua Unión Soviética, especializados en geometría como, Mijaíl Postnikov , Alekséi Pogorélov , Víktor Zalgaler y uno de lo mejores preparados Grigori Perelman , nos han dado mayores posibilidades de desarrollo humano y tecnológico. Actualmente, existe una exploración activa de una nueva rama de las matemáticas similar a la geometría, la topología, conocida también como la geometría de la goma elástica , que tiene orígenes antiguos, con Euclides y Arquímedes, pero empezó a desarrollarse formalmente desde Leonhard Euler, luego August Möbius y Johann Listing , Giuseppe Peano, Henri Poincaré, y finalmente Pável Urysón y Karl Menger.

38. ANEXOS https://www.youtube.com/watch?v=GS89L7ZGSOI (Canal: Ayudinga ! ; Duración del video: 58:23 min. ; Título: Historia de la Geometría |Parte I.) https://www.youtube.com/watch?v=mxCz0CqWcT4 (Canal: Ayudinga ! ; Duración del video: 53:39 min. ; Título: Historia de la Geometría | Parte II.) https://www.youtube.com/watch?v=liHSekRz3UE (Canal: Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD ; Duración del video: 13:04 min. ; Título: Sistemas de Proyección.) https://www.youtube.com/watch?v=ztbJvE7ty1w (Canal: Hugo César Gómez Tone ; Duración del video: 33:35 min. ; Título: Sistemas de Representación de Objetos y Proyecciones.) https://www.youtube.com/watch?v=HChhMmqfA_E (Canal: Andrés Monsalve ; Duración del video: 12:47 min. ; Título: Vistas de un sólido con planos inclinados por proyecciones ortogonales.)