Geometras: Números Amigos

Números Amigos: a descoberta desses números é atribuída à escola pitagórica e, depois disso, vários outros pares de números amigos já foram descobertos. Números Amigos: Teoria e exemplos. Produzido pelo blog Geômetras.

2. O que os números 1184 e 1210 podem ter em comum?

3. À primeira vista nada, a não ser o fato de
ambos serem divisíveis por 2.

4. Poderíamos terminar essa “comparação”
por aqui, mas vamos continuar... aliás,
vamos determinar os divisores desses números.

5. Divisores de 1184
D(1184)
{1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592, 1184}

6. Divisores de 1210
D(1210)
{1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605, 1210}

7. Agora devo fazer uma observação:
Divisores próprios de um número são todos os
divisores diferentes do próprio número.

8. Então, os divisores próprios de
1184 e 1210, nessa ordem, são:
{1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592}
{1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605}

9. Olhando para os dois conjuntos de divisores
não dá para perceber muita coisa, mas…
e se eu fizer a adição de todos os
elementos em cada conjunto?

10. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 =
1210

11. 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 =
1184

12. Percebeu o que eles tem em comum?
Não? Então vamos lá:
A soma dos divisores próprios de 1184 é 1210.
A soma dos divisores próprios de 1210 é 1184.

13. 1184 e 1210 são chamados de números amigos pois
um é igual à soma dos divisores próprios do outro.

14. A descoberta desses números é atribuída à escola
pitagórica e, depois disso, vários outros pares de
números amigos já foram descobertos. Fermat, em 1636,
anunciou que os números 17296 e 18416 eram amigos,
mas um matemático árabe já havia afirmado isso no
século XIII. Euler também se dedicou ao estudo dos
números amigos e descobriu mais de 60 pares.

15. Agora o desafio é com você!

16. Encontre outros pares de números amigos e
envie para o Geômetras ([email protected]),
mas não esqueça de justificar suas descobertas.