Geometri transformasi pada bahasan relasi dan fungsi

Pada bagian ini dijelaskan tentang pengantar geometri transformasi. Hanya bagian awal, mengenai relasi dan fungsi. Masih singkat, tapi menjadi pengantar mendalam bagi mahasiswa yang ingin mempelajari geometri transformasi.

1. GeometriTransformasi
Pertemuan2:
-Relasidan Fungsi
Muhammad Zia Alghar, S.Mat., M.Pd
Kamis, 4 September 2025

2. Tips Belajar Matematika
1.GunakanSatuBukuBerstandarInternasional
Buku-bukuinternasionallebihteruji, runtut, jelas, dan dijaminkepastiannyaolehberbagaiuniversitasdi dunia.
2.PahamiDefinisidanBerikanContohnya
Selainaksioma, definisimenjadidasardalammemahamisuatukonsepmatematika. Pemahaman definisiakanlebihkuatjika
diberikancontoh.
Misalnya, apadefinisihimpunan? Apacontohnya?
7.PahamiyangBukanDefinisi,danBerikanContohnya
Menumbuhkan kemampuan berpikirkritisditunjukkandenganmelihatsesuatuyang ‘berbeda’ dariyang diajarkan.
Setelahmemahamisuatudefinisidan contohnya, coba cari suatucontohyang tidakmemenuhidefinisi.
Mengapacontohtersebuttidaktermasukdefinisi? Misalnya, berikancontohkumpulanyang bukanhimpunan.
4.Jikaadaistilahmatematikayangtidakkamupahami,cobacaridefinisinya(kembalike2&3)
Seringkali kitaberpura-purapahamsuatuistilahmatematika, padahaltidakbenarpemahaman kitadengandefinsidariistilah
tersebut.
Misalnya, apayang dimaksuddenganbilanganprima?

3. Tips Belajar Matematika
5.PerhatikanSemestaPembicaraan
Di dalammatematika, semestapembicaraanmenjadihalpenting, apakahyang dibicarakanadalahbilanganasli, rasional, riil,
ataukompleks.
6.PerhatikanAlurLogika
Ingat bahwasuatuaturanlogika�⇒�tidak sama dengan �⇔�.
Artinya, jikaP makaQ, belumtentujikaQ makaP.
7.Jikamenemukankonsepyangsulit,cobakembalipahamikonsepyanglebihsederhana
Kesulitankitadalammemahamimatematikaterjadikarenabagiankonsepdasarnyasaja kitabelumpaham.
Misalnya, sebelummemahamiturunan, coba pahamidulutentanglimitdan bagaimanaiabekerjamenjadisuatuturunan.
8.DrillLatihanSoalyangFokusPadaKonsep,BukanProsedur
Di sekolah, kitacenderungdiajarkansecaraprosedural(step by step pengerjaan) dibandingkanpemahaman konsep. Padahal
matematikaitubukanhanyatentangprosedural, tapijuga pembuktiandan logikaberpikiryang memerlukankonsepmendalam.
Contoh: Diberikansembarangduahimpunan, yaitu�dan �. Pada kondisiapaberlaku�∪�=�?

4. ApaituRelasi?
Hubungansepertiapayang terjadipadarelasi?

5. ApaituHimpunan?

6. Review
Himpunan
Himpunan merupakankumpulanobyek-obyekyang memilikisifattertentuyang dapatdidefinisikan
denganjelas(tegas).
Contoh: ??

7. PasanganTerurut
PasanganTerurut(OrderedPairs)
Pasangan terurutmerupakanpengaitanduabuahanggotahimpunandenganmemperhatikanurutan.
Misal�:≔�,�,artinya �,�≠(�,�)
Misal diberikanhimpunan�≔{�,�,�,�}. Berikancontohpasanganterurutnya!
Pasangan terurutdisimbolkandengantandakurungbiasa, bukantandakurungsikuataukurawal.
Misal�:≔�,�,�,�,artinya �,�≠{�,�}
Contoh pasanganterurutseringkitagunakanpadatitikkoordinatdi diagram kartesius.
Misalnya�,�;�,−�;(−�,−�). Tentukitatahubahwatitikkoordinat�,�≠(�,�)

8. PasanganTerurut
PasanganTerurutdanKalimatTerbuka
Pasanganterurutduaobjek�dan�,yangditulisdengan�,�
Kalimatmatematikatebukadenganduapeubahxdanyyangditulisdengan??????(�,�)
??????(�,�)disebutkalimatmatematikaterbukadenganduapeubah�dan�apabilanilaikebenaran??????(�,�)
belumdapatditentukan,kecuali�digantiolehsuatuobjektertentu�dan�digantiolehsuatuobjek
tertentu�.Barulahkebenarannyadapatditentukan.
&#3627408436;={&#3627408485;|&#3627408485;<10,&#3627408485;∈ℕ}
??????&#3627408485;,&#3627408486;=&#3627408485;habismembagi&#3627408486;
Jelasbahwa??????(1,2)bernilaibenar, sebab1 habismembagidua.
Akan tetapi??????(3,7)bernilaisalah, sebab3 tidakhabismembagitujuh.
Contoh1.1

9. HasilKali Kartesius
HasilKaliKartesius
Hasil kalikartesiusdarihimpunanA dan B adalahhimpunansemuakemungkinanpasanganterurut
(&#3627408537;,&#3627408538;)dengan&#3627408537;anggotahimpunan&#3627408488;dan &#3627408538;anggotahimpunan&#3627408489;.
&#3627408488;×&#3627408489;=&#3627408514;,&#3627408515;&#3627408514;&#3627408488;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408515;&#3627408489;
Misalnya: &#3627408490;≔&#3627409359;,&#3627409360;,&#3627409361;dan &#3627408491;≔{&#3627408537;,&#3627408538;}
Maka&#3627408490;×&#3627408491;={&#3627409359;,&#3627408537;;&#3627409359;,&#3627408538;;&#3627409360;,&#3627408537;;&#3627409360;,&#3627408538;;&#3627409361;,&#3627408537;;(&#3627409361;,&#3627408538;)}
Apakah&#3627408490;×&#3627408491;=&#3627408491;×&#3627408490;? Mengapa?

10. DefinisiRelasi(DenganPasanganTerurutdan KalimatTerbuka)
DefinisiRelasiI
Misalkan&#3627408488;dan&#3627408489;adalahduahimpunantakkosong,dan??????(&#3627408537;,&#3627408538;)adalahkalimatmatematikaterbuka.
Relasi??????darihimpunan&#3627408488;dan&#3627408489;merupakansuatuhimpunanyanganggotanya-anggotanyaadalah
pasanganterurut(&#3627408514;,&#3627408515;)dengan&#3627408514;∈&#3627408488;dan&#3627408515;∈&#3627408489;dari??????(&#3627408514;,&#3627408515;)bernilaibenar.
Diberikan &#3627408436;=&#3627408487;&#3627408487;<5,&#3627408487;∈ℕdan??????&#3627408485;,&#3627408486;=&#3627408485;habismembagi&#3627408486;.
Relasi ??????darihimpunan&#3627408436;ke&#3627408436;yang ditunjukkanoleh??????(&#3627408485;,&#3627408486;)
yaitu{1,1,1,2,1,3,1,4,2,2,2,4,3,3,(4,4)}.
Contoh1.2.a

11. DefinisiRelasi(DenganPasanganTerurutdan HasilKali Kartesius)
DefinisiRelasiII
Misalkan&#3627408488;dan&#3627408489;adalahduahimpunantakkosong,
Relasi(??????)antarahimpunanAdenganhimpunanBdinyatakansebagaihimpunanbagiandarihasilkali
kartesiushimpunan&#3627408488;dan&#3627408489;.Artinya??????⊂&#3627408488;×&#3627408489;
Misalnya: &#3627408438;≔1,2,3dan &#3627408439;≔{&#3627408485;,&#3627408486;}
Maka&#3627408438;×&#3627408439;={1,&#3627408485;;1,&#3627408486;;2,&#3627408485;;2,&#3627408486;;3,&#3627408485;;(3,&#3627408486;)}
Maka??????≔{1,&#3627408485;;1,&#3627408486;;2,&#3627408485;;2,&#3627408486;;3,&#3627408485;;(3,&#3627408486;)}
Bolehjuga ??????≔{1,&#3627408485;;2,&#3627408486;}
Contoh1.2.b

12. IstilahPentingPadaRelasi
Peta,PraPeta,DomaindanRange
Misalkan??????relasidarihimpunan&#3627408436;ke&#3627408437;.
Apabila &#3627408485;∈&#3627408436;, makapetadari&#3627408485;olehrelasi??????adalahsemua&#3627408486;∈&#3627408437;sehingga(&#3627408485;,&#3627408486;)∈??????.
Apabila &#3627408486;∈&#3627408437;, makaprapetadari&#3627408486;olehrelasi??????adalahsemua&#3627408485;∈&#3627408436;sehingga(&#3627408485;,&#3627408486;)∈??????yang disebut
domain dari??????.
Sedangkan himpunanyang terdiridarisemua&#3627408486;∈&#3627408437;sehingga(&#3627408485;,&#3627408486;)∈??????disebutrange dari??????.
Diberikan &#3627408436;=&#3627408487;&#3627408487;<5,&#3627408487;∈ℕdan??????&#3627408485;,&#3627408486;=&#3627408485;habismembagi&#3627408486;.
Relasi ??????darihimpunan&#3627408436;ke&#3627408436;yang ditunjukkanoleh??????(&#3627408485;,&#3627408486;)
yaitu{1,1,1,2,1,3,1,4,2,2,2,4,3,3,(4,4)}.
Peta dari1∈&#3627408436;olehrelasi??????adalah1,2,3,dan 4,sebab
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)∈??????.
Peta dari2∈&#3627408436;olehrelasi??????adalah2dan 4, sebab(2,2),(2,4)∈??????.
Prapetadari2∈&#3627408436;oleh??????adalah1dan 2, sebab1,2,2,2∈??????
Domain dan range dari??????adalahhimpunan&#3627408436;sendiri.
Contoh1.3
&#3627408488; &#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;

13. Jenis-JenisRelasi
RelasiReflektif
Misalkan&#3627408436;suatuhimpunantakkosong, ??????suaturelasidari&#3627408436;ke&#3627408436;.
Yang dimaksudrelasireflektifyaitujikadan hanyajikauntuksetiap&#3627408485;∈&#3627408436;berlaku(&#3627408485;,&#3627408485;)∈??????.
Misalkan&#3627408436;1,2,3,4
dengan??????
1={1,1,2,4,4,1,4,4}, ??????
21,1,2,2,3,3,4,14,4.
??????
1bukanrelasireflektif, sebab2,3∈&#3627408436;, sedangkan2,2,3,3∉??????
1.
Akan tetapi??????
2adalahrelasireflektif, sebab∀&#3627408485;∈&#3627408436;, maka(&#3627408485;,&#3627408485;)∈??????
2.
Contoh1.5
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408531;&#3627408518;&#3627408519;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408524;&#3627408533;??????&#3627408519;??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408519;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408524;&#3627408533;??????&#3627408519;

14. Jenis-JenisRelasi
RelasiSimetrik
Misalkan&#3627408436;suatuhimpunantakkosong, ??????suaturelasipada&#3627408436;(dari&#3627408436;ke&#3627408436;). Relasi??????disebutrelasisimetrik
jikadan hanyauntuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;∈??????berlaku&#3627408486;,&#3627408485;∈??????
??????
1dan ??????
2padacontoh1.5 sebelumnya, masing-masingbukan
merupakanrelasisimetrik, sebab2,4∈??????
1`
tetapi4,2∉??????
1
dan 4,1∈??????
2tetapi(1,4)∉??????
2
Contoh1.6
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408532;??????&#3627408526;&#3627408518;&#3627408533;&#3627408531;??????&#3627408524;??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408532;??????&#3627408526;&#3627408518;&#3627408533;&#3627408531;??????&#3627408524;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409361;
??????
&#3627409362;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408532;??????&#3627408526;&#3627408518;&#3627408533;&#3627408531;??????&#3627408524;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408532;??????&#3627408526;&#3627408518;&#3627408533;&#3627408531;??????&#3627408524;

15. Jenis-JenisRelasi
RelasiTransitif
Misalkan&#3627408436;suatuhimpunantakkosong, ??????suaturelasipada&#3627408436;. Relasi??????disebutrelasitransitifjikadan
hanyauntuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408486;,&#3627408487;∈??????berlaku&#3627408485;,&#3627408487;∈??????.
Ambilrelasi??????
1, ??????
2, ??????
3dan ??????
4padacontohsebelumnya, dapatkitapastikan
bahwa??????
1dan ??????
3bukanmerupakanrelasitransitifsebab(2,4),(4,1)∈??????
1
tetapi2,1∉??????
1. Sedangkan 1,2,2,1∈??????
3tetapi1,1∉??????
3.
??????
2dan ??????
4merupakanrelasitransitifkarenauntukkeduanyaberlakubahwa
untuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408486;,&#3627408487;∈??????
2maka&#3627408485;,&#3627408487;∈??????
2dan untuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408486;,&#3627408487;∈??????
4
maka&#3627408485;,&#3627408487;∈??????
4(&#3627408485;, &#3627408486;dan &#3627408487;bisaketiga-tiganyasama, atau&#3627408485;dan &#3627408487;sama).
Contoh1.7
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408519;??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408519;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409361;
??????
&#3627409362;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408519;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408519;

16. Jenis-JenisRelasi
RelasiEkuivalen
Misalkan&#3627408436;suatuhimpunan, ??????suaturelasipada&#3627408436;. Relasi??????disebutrelasiekuivalenjikadan hanyajika??????
adalahrelasireflektif, simetrik, dan transitif.
Diantara??????
1sampai??????
4daricontoh, yang merupakanrelasiekuivalenhanya
??????
4saja, sebabrelasitersebutmencakuprelasireflektif, simetrikdan transitif.
Contoh1.9
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408518;&#3627408524;&#3627408534;??????&#3627408535;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408527;??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408518;&#3627408524;&#3627408534;??????&#3627408535;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408527;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409361;
??????
&#3627409362;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408524;&#3627408518;&#3627408524;&#3627408534;??????&#3627408535;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408527;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408518;&#3627408524;&#3627408534;??????&#3627408535;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408527;

17. Jenis-JenisRelasi
Contoh1.10
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409363;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;??????&#3627408518;&#3627408524;&#3627408534;??????&#3627408535;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408527;
Misalkan&#3627408436;={1,2,3,4}dengan??????
5={(1,1),(1,2)(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1),(3,3),(4,4)}.
Relasiinimerupakanrelasiekuivalen, sebab??????
5memenuhisyaratsebagairelasireflektif∀&#3627408485;∈&#3627408436;berlaku
&#3627408485;,&#3627408485;∈??????
5.
??????inipunmemenuhisyaratsebagairelasisimetriksebab1,2∈??????
5maka2,1∈??????
5,2,3∈??????
5maka
3,2∈??????
5dan 1,3∈??????maka3,1∈??????
5. Jadiuntuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;∈??????maka&#3627408486;,&#3627408485;∈??????.
Kemudianrelasimemenuhisyaratsebagairelasitransitifsebab1,2,2,1∈??????
5maka1,1∈??????
5.
(1,2),2,3∈??????
5maka1,3∈??????
5.2,11,3∈??????
5maka2,3∈??????
5. 2,3,3,2∈??????
5maka2,2∈??????
5.
2,3,3,1∈??????
5maka2,1∈??????
5. 3,2,2,3∈??????
5maka3,3∈??????
5dan 3,22,1∈??????
5maka3,1∈??????
5.
Jadiuntuksetiap&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408486;,&#3627408485;∈??????
5berlaku&#3627408485;,&#3627408487;∈??????
5juga.

18. Jenis-JenisRelasi
RelasiInvers
Misalkan&#3627408436;,&#3627408437;duahimpunan, dan ??????relasi&#3627408436;ke&#3627408437;.
Relasibalikan(invers) dari??????yang ditulisdengan??????
−1
adalah{(&#3627408485;,&#3627408486;)|&#3627408486;,&#3627408485;∈??????}
Perhatikan??????
1dan ??????
2. Dari contohtersebutdapatkitatentukanbahwa
??????
1
−1
=1,1,4,2,1,4,4,4dan ??????
2
−1
=1,1,2,2,3,3,1,4,4,4.
Contoh1.11
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409359;
−&#3627409359; &#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
&#3627408488;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409361;
&#3627409362;
??????
&#3627409360;
−&#3627409359;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;????????????&#3627408527;&#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408532;??????
&#3627409360;
??????&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;????????????&#3627408527;&#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408532;??????
&#3627409359;

19. Post Test 1
Jenis-JenisRelasi
Buatlahduabuahhimpunan, Himpunanpertamaterdiriatas4 anggota. Himpunankeduaterdiriatas
3 anggota.
Dari keduahimpunantersebut, buatlahrelasi:
1.RelasiReflektif
2.RelasiTransitif
3.RelasiSimetris
4.RelasiEkuivalen

20. TerimaKasih
ApakahAda Pertanyaan?