Geometria analitica

TRABALHO

1. X
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender ender ender ender ender GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometria
AnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalítica?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososos
sobrsobrsobrsobrsobre e e e e Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica?????
A Geometria Analítica estabelece relações entre
a álgebra e a geometria por meio de equações
e inequações. Isso permite transformar questões
de geometria em questões de análise e vice-
versa.
..................................................
..................................................
A Geometria Analítica, por meio de representações
cartesianas, pode ser usada para indicar a
temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de
Valores, efeitos da natureza etc.
– GEOMETRIA ANALÍTICA

2. Manual de Matemática
474
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-
todo das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-
cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-
sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
Duas retas orientadas, uma horizontal x
()OX, chamada eixo das abscissas,
e outra vertical y()OX, eixo das ordenadas, são denominadas sistema
cartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas x
e y, chamado origem.
• O par ordenado (x, y) é chamado
coordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
x
2º 1º
3º 4º

3. Manual de Matemática
475
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos:
A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
Distância entre Dois Pontos
Dados dois pontos, A(x
A
, y
A
) e B(x
B
, y
B
), definimos d
A, B
a distância entre A e
B, como mostra a figura:
A
B
C
y
y

B
y

A
y

B
– y

A
x

B
– x

A
x

A
x

B
x

4. Manual de Matemática
476
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
222
AB AC BC
22
BA BA
dddou
d(AB) (x x ) (y y )
=+
=−+−
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os
pontos no plano cartesiano.
Solução:
22
BA BA
22
d(A, B) (x x ) (y y )
d(A, B) (1 2) ( 3 3)
d(A, B) 9 36
d(A, B) 45
d(A, B) 3 5
=−+−
=++−−
=+
=
=
1
1
2
3
–2–1
–1
–2
–3
x
y
B
A
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.
c) isósceles e não retângulo.
Solução:
Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.
22
d(A, B) (3 2) (1 2)
d(A, B) 25 1
d(A, B) 26
=++−
=+
=

5. Manual de Matemática
477
22
d(B, C) (4 2) ( 4 2)
d(B, C) 36 36
d(B, C) 72
d(B, C) 6 2
=++−−
=+
=
=
22
d(A, C) (4 3) ( 4 1)
d(A, C) 1 25
d(A, C) 26
=−+−−
=+
=
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
() () ()
222
72 26 26=+
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
Ponto Médio
Sendo A(x
A
, y
A
) e B(x
B
, y
B
) e M(x
M
, y
M
), o ponto que divide
AB ao meio é
chamado ponto médio.
A
M
B
y
y

B
y

A
y

M
x

A
x

B
xx

M

6. Manual de Matemática
478
M(x
M
, y
M
) é o ponto médio do segmento AB.
AB AB
MM
xx yy
xey
22
++
==
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e
B(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:
AB AB
MM
MM
MM
xx yy
xy
22
42 31
xy
22
x3 y1
++
==
+−
==
==
Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de
AB e A(0, 3), determine as coordena-
das de B.
Solução:
Aplicando a fórmula:
AB AB
MM
BB
BB
B
xx yy
xy
22
0x 3y
61
22
x12 23y
y5
++
==
++
=−=
=−=+
=−
B(12, –5)
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da
mediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:
Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

7. Manual de Matemática
479
Sendo o triângulo ABC:
A
MCB
Devemos calcular o comprimento AM.
Calculando o ponto médio de BC.
BC BC
MM
MM
MM
xx yy
xy
22
04 26
xy
22
x2 y4
++
==
++
==
==
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:
22
d(A, M) ( 1 2) (4 4)
d(A, M) 9
d(A, M) 3
=−− +−
=
=
Baricentro de um Triângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
M

a
M

c
M

b
C
B
G
Sendo G(x
G
, y
G
), podemos definir
ABC
G
ABC
Gxxx
xe
3
yyy
y
3
++
=
++
=

8. Manual de Matemática
480
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).
Determine o vértice C.
Solução:
ABC ABC
GG
CC
CC
CC
xxx yyy
xy
33
31x 12 y
68
33
18 2 x 24 3 y
x16 y 27
++ ++
==
−+ + +
=−=
=+ − =+
==−
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Para que três pontos A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
) e C(x
C
, y
C
) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
AA
BB
CCxy1
Dxy10
xy1
==
Obs.:
Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
D=
−−261
481
171
2
4
1
6
8
7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D = 0

9. Manual de Matemática
481
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)
sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo
é D ≠ 0.
D
mm
=
–
–
–
–
≠
311
421
21
3
4
1
2
2
0
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0
–3m ≠ –8
3m ≠ 8
8
m
3
≠
Área de um Triângulo
Sendo os pontos A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
) e C(x
C
, y
C
) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:
1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos
A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
D=− −
201
131
451
2
1
4
0
3
5

10. Manual de Matemática
482
D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0
D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do
triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
Da a=−
−− −
−
−
311
211
231
3
2
2
1
1
3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2
D = – 8a + 21
AD
2
1
68a2
2
8a 2 12
8a 2 12 8a 2 12
8a 10 8a 14
8a 14
8a 10
14 7
10 aa
a
84
8
5
a
4
=
=−+
−+=
−+= −+=−
−= −=−
=
=−
− =⇒=
=
−
=

11. Manual de Matemática
483
A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(x
A
, y
A
) e B(x
B
, y
B
) e um ponto qualquer P(x
P
, y
P
) que
pertença à reta r(AB).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
AA
BB
PPxy1
xy10
xy1
=
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação
ax + by + c = 0.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(4, –2) e B(3, 6).
Solução:
Substituindo em:
D
xy xy
=
−−
=
421
361
1
4
3
2
60
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0
–8x – y + 30 = 0
8x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto
A e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-
ver o sistema formado pelas equações dessas retas.

12. Manual de Matemática
484
Exemplo:
Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
Solução:
Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
031
421
1
0
4
3
20−−=
xy xy
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0
x – 4y + 12 = 0
reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−52
−−
−=
121
1
1
1
5
2
20
xy xy
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0
4x + 6y – 8 = 0
Formando um sistema, temos:
x4y120 (4)
4x 6y 8 0
4x
−+= −

+−=
−
16y 48 0
4x
+−=
6y 8 0
22y 56
56 28
yy
22 11



+−=
=
=⇒=
Substituindo y =
28
11
em x – 4y + 12 = 0, temos:
x – 4y + 12 = 0
x – 4 .
28
11
+12 = 0

13. Manual de Matemática
485
x –
112
11
+12 = 0
x =
112
11
– 12
x =
20
11
−
O ponto de intersecção é
20 28
,
11 11
−


.
Equação Reduzida
Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
=+→
↓
y mx b coeficiente linear
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,
medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
α
x
BA
BA
yy
mtg ou m
xx
−
=α =
−

14. Manual de Matemática
486
y
r
α
x
y
r
α
x
m > 0 m < 0
y
r
x
y
x
r
m = 0 m não é definido
Exemplos:
1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
BA
BA
yy
m
xx
−
=
−
46
m
12
2
m
3
−
=
+
−
=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:

15. Manual de Matemática
487
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
3x 4
y
66
1x 2
y
23
−
=+
−
=+
em que
1
m
2
=−
(coeficiente angular) e
2
b
3
=
(coeficiente linear).
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e
B(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar
a definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?
Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.

16. Manual de Matemática
488
Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0
x – 5y – 15 = 0
–5y = –x + 15
5y = x – 15
1
yx3
5
=−
Equação Segmentária
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula
xy
1
pq
+=
, em que p
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
y
r
x
(0, q)
(p, 0)
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)
e B(0, 4).

17. Manual de Matemática
489
Solução:
Aplicando a fórmula:
xy
1
pq
xy xy
1ou 1
34 3 4
+=
−
+= +=
−
Equação da reta que passa pelo ponto P(x
p
, y
p
) e tem
coeficiente angular m
Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-
lar
1
m
2
=−
.
Solução:
Seja P(x
p
, y
p
) um ponto qualquer da reta.
Então

p
pp
pyy
myym(xx)
xx
−
=⇒−=−
−
(equação da reta)
y – y
p
= m(x – x
p
)
y – 3 =
1
2
−
(x + 2)
2y – 6 = –x – 2
x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
Posições Relativas entre Duas Retas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem
iguais.
y
s
α
x
r
α
m
r
= m
s

18. Manual de Matemática
490
Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares
forem diferentes.
y
s
α
x
r
β
m
r
≠ m
s
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, m
r
. m
s
= – 1 forem
coeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
x
r
m
r
. m
s
= – 1
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são
paralelas.

19. Manual de Matemática
491
Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ m
r
= 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
y = 3x +
1
3
⇒ m
s
= 3
Como m
r
= m
s
, as retas são paralelas.
2) Determine K, para que as retas l
1
: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l
2
: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l
1
e l
2
, temos:
(l
1
) (K + 2)x + y + 2 = 0
y = –(K+2)x – 2
1
m(K2)=− +
l
(l
2
) 3x + Ky – 1 = 0
Ky = –3x + 1
2
31 3
ym
Kk K
−−
=+ =
l
Como as retas l
1
e l
2
são perpendiculares,
21
mm⋅
ll
=-1
–(K+2) .
3
K
−
=–1
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
K=
6
4
−
=
3
2
−

20. Manual de Matemática
492
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que
passa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:
x – 2y + 3 = 0
–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ r
1
m
2
=
1x 3
y
22
=+
Como as retas r e s são paralelas, m
r
= m
s
=
1
2
.
y – y
A
= m
s
(x – x
A
)
y – 2 =
1
2
(x + 1)
2y – 4 = x + 1
–x + 2y – 5 = 0
x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
y
s
x
r
θ

1 θ

2
θ
Definimos:
rs
rsmm
tg
1m m
−
θ=
+⋅
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.

21. Manual de Matemática
493
Solução:
Reduzindo as equações, temos:
(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0
–y = –2x – 1 y = –3x+2
y = 2x +1 m
s
= –3
m
r
= 2
Aplicando a fórmula:
Distância entre Ponto e Reta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(x
p
, y
p
) é dada pela
fórmula:
pp
P, r
22ax by c
d
ab
++
=
+
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:

22. Manual de Matemática
494
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:
p/x = 0
2 . 0 + y – 3 = 0
y = 3 P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos
A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado
BC
HJG do
triângulo.
B
A
CH
h
r
6 – 3 y – 3x – 2y = 0
–3x – 5y + 6 = 0

23. Manual de Matemática
495
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
Definição
Circunferência Circunferência Circunferência Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer ponto
da circunferência é chamada raio.
Equação da Circunferência
C
y
y
b
a
r
P(x, y)
xx
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.

24. Manual de Matemática
496
A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por
x
2
+ y
2
= r
2
.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à
equação geral da circunferência:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
x
2
– 2ax + a
2
+ y
2
– 2by + b
2
– r
2
= 0
22 222
F
xy2ax2byabr0+− − ++−=

Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:
• o coeficiente de x
2
e y
2
seja igual a 1;
• não exista termo na variável x y;
• o raio
22
rabF=+− , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:
(x – 2)
2
+ (x + 1)
2
= 9.
Solução:
Comparando as equações:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
e (x – 2)
2
+ (x + 1)
2
= 9,

obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3
C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e
C(–3, 4).
Solução:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
(x + 3)
2
+ (y – 4)
2
= 5
2
(x + 3)
2
+ (y – 4)
2
= 25

25. Manual de Matemática
497
3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa
pelo ponto P(3, 0).
Solução:
O ponto P pertence à circunferência.
r
C
P
22
d(C, P) r
r(23)(10)
r251
r26
=
=−− +−
=+
=
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
(x + 2)
2
+ (y – 1)
2
=
()
2
26
(x + 2)
2
+ (y – 1)
2
= 26
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são
os pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:
C(a, b) é o ponto médio de
AB.
42 26
ab
22
a1 b4
−+
==
==
C(1, 4)
r é dado por r = d(C, A).
22
r(14)(42)
r94
r13
=−+−
=+
=
A equação será (x – 1)
2
+ (y – 4)
2
= 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro em
C(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2

26. Manual de Matemática
498
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)
2
+ (y – 3)
2
= 4
2
x
2
+ 2x + 1 + y
2
– 6y + 9 – 16 = 0
x
2
+ y
2
+ 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x
2
+ y
2
– 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:
Comparando as equações,
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + a
2
+ b
2
– r
2
= 0 e
x
2
+ y
2
– 4x – 10y – 7 = 0, temos:
–2a = –4 –2b = –10
2a = 4 2b = 10
a = 2 b = 5 ⇒C(2, 5)
a
2
+ b
2
– r
2
= –7
2
2
+ 5
2
– r
2
= –7
–r
2
= –7 – 29
r
2
= 36
r=6
Posições Relativas entre Circunferência e Ponto
Observe a circunferência e os pontos:
C
y
P

3
P

1
P

2
x
Se d(P
1
, C) < r, P é interno.
Se d(P
2
, C) = r, P ∈ à circunferência.
Se d(P
3
, C) >r, P é externo.

27. Manual de Matemática
499
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-
rência x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
1
2
+(–1)
2
–2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0 P é interior à circunferência.
x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
3
2
+ 4
2
– 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0 Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-
cia x
2
+ y
2
+ 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
1
2
+ 2
2
+ 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a = 4
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
C
y
x
a
b
c
• a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, pois
não tem ponto em comum com a
circunferência d(C, c) > r.

28. Manual de Matemática
500
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência
x
2
+ y
2
– 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:
x
2
+ y
2
– 6x – 2y + 1= 0
–2a = –6 –2b = –2
2a = 6 2b = 2
a = 3 b = 1
C(3, 1)
a
2
+ b
2
– r
2
= 1
3
2
+ 1
2
– r
2
= 1
–r
2
= –9
r
2
= 9
r

= 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência. 2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência
x
2
+ (y – 2)
2
= 4.
Determine k.
Solução:
x
2
+ (y – 2)
2
= 4 C(0, 2) e r = 2
Kx – y = 0
Se a reta é tangente à circunferência, d(C, s) = r.

29. Manual de Matemática
501
2
2
2
2
2
2
2
2
K1
2K 1 2
K11
K11
K11
K0K0
=
+
+=
+=
+=
+=
=⇒=
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r
1
e r
2
, os raios das circunferências de centros C
1
e C
2
e d, a distância
entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-
ferências:
d
C

1
r

1
r

2C

2
As circunferências são
exteriores:
d > r
1
+ r
2
d
C

1
r

1
r

2C

2
As circunferências são
tangentes exteriores:
d = r
1
+ r
2
d
C

1
r

1
r

2C

2
As circunferências são
secantes:
d < r
1
+ r
2

30. Manual de Matemática
502
dC

1
r

1
r

2
C
2
As circunferências são
tangentes interiores:
d = |r
1
– r
2
|
d
C

1
r

1
r

2
C

2
As circunferências são interiores:
d < |r
1
– r
2
|
Exemplo:
Verifique a posição relativa entre as circunferências
(x – 2)
2
+ (y +1)
2
= 25 e (x – 3)
2
+ (y +2)
2
= 9:
(x – 2)
2
+ (y +1)
2
= 25
C(2, –1) e r
1
= 5
(x – 3)
2
+ (y +2)
2
= 9
C(3, –2) e r
2
= 3
22
d(32)(21)
d2
=−+−+
=
|r
1
– r
2
|=|5 – 3|=|2|=2
r
1
+ r
2
= 5 + 3 = 8
Portanto, d < |r
1
– r
2
| e as circunferências são interiores.
Estudo das Cônicas
As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse Hipérbole Parábola

31. Manual de Matemática
503
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias
de F
1
e F
2
seja sempre igual a 2a.
aa
aa
cc
b
b
B

1
B

2
F

2
F

1
A

1
A

2
Elementos:
A
1
, A
2
, B
1
e B
2
são os vértices
a é o semi-eixo maior
b é o semi-eixo menor
c é a semidistância focal
F
1
e F
2
são os focos
12FF = 2c (distância focal)
12AA = 2a (eixo maior)
12BB = 2b (eixo menor)
A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO
INTERAGINDO
Podemos observar que a elipse
está presente na trajetória das
órbitas dos planetas em torno do
Sol, e o Sol está posicionado num
dos focos da elipse.
Todos os planetas, com exce-
ção de Plutão, descrevem elipses.
Sol
Planeta
t
r
a
je
tóriaelíptica

32. Manual de Matemática
504
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
P(x, y)
A

1
A

2
F

1
(–c, 0)F

2
(c, 0)x
y
22
22
xy
1
ab
+=
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
F

1
B

1
B

2
A

1
F

2
A

2
x
y
22
22
yx
1
ab
+=
• Elipse de centro fora da origem C(x
0
, y
0
) e eixo maior horizontal:
P
F

1
B

1
F

2
B

2
A

2
A

1
x

0
y

0
x
y
c c
C
22
00
22
10 0
20 0
(x x ) (y y )
1,
ab
em que F(x c, y ) e
F(x c,y )
−−
+=
−
+

33. Manual de Matemática
505
• Elipse de centro fora da origem C(x
0
, y
0
) e eixo maior vertical:
F

1
A

1
B

1
x

0
y

0
F

2
B

2
A

2
x
y
C
c
c
Relação Fundamental
a
2
= b
2
+ c
2
Excentricidade
Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
c
e=
a
, em que 0 < e < 1.
Exemplos:
1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-
tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.
Solução:
2a = 12 2c = 6
a = 6 c = 3
Aplicando a relação fundamental a
2
= b
2
+ c
2
.
6
2
= b
2
+ 3
2
b
2
= 27
b27b33=⇒=
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo
22
22
xy
1
ab
+=
.
22
xy
1
36 27
+=

34. Manual de Matemática
506
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a
excentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x
2
+ 5y
2
= 20
Solução:
Dividindo a equação por 20, temos:
22
22
x5y20
20 20 20
xy
1
20 4
+=
+=
a
2
= 20
a =
a = eixo maior: 45
b
2
= 4
b

= 2 eixo menor: 2b=4
a
2
= b
2
+ c
2
20 = 4 + c
2
c
2
= 16
c

= ±4
distância focal: 2c = 8
focos F
1
(4, 0) e F
2
(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b)
22
(y 4) (x 2)
1
94
−+
+=
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.
22
00
22
(y y ) (x x )
1
ab
−−
+=

35. Manual de Matemática
507
a
2
= 9
a9=
a = 3 eixo maior: 2a = 6
b
2
= 4
b = 2 eixo menor: 2b = 4
a
2
= b
2
+ c
2
9 = 4 + c
2
c
2
= 5
c5=± distância focal: 2c 2 5=
Os focos têm coordenadas F
1
(x
0
, y
0
+ c) e F
2
(x
0
, y
0
– c). Substitutivo:
F
1
(–2, 4 +
5) e F
2
(–2, 4 – 5).
c5
ee
a3
=⇒=
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo
da diferença das distâncias desses pontos a F
1
e F
2
seja sempre igual a 2a.

36. Manual de Matemática
508
Elementos:
A
1
e A
2
são os vértices
F
1
e F
2
são os focos
a é o semi-eixo real
b é o semi-eixo imaginário
c é a semidistância focal
12FF = 2c (distância focal)
12AA = 2a (eixo real)
12BB = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
F

1
A

1
A

2
F

2
aa
x
22
22
xy
1
ab
−=
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F

1
A

1
A

2
F

2
a
c
x 22
22
yx
1
ab
−=

37. Manual de Matemática
509
• Hipérbole de centro C(x
0
, y
0
) e eixo real horizontal:
F

1
y

0
x

0
F

2
x
y
22
00
22
(x x ) (y y )
1
ab
−−
−=
• Hipérbole de centro C(x
0
, y
0
) e eixo real vertical:
F

1
F

2
x
y
22
00
22
(y y ) (x x )
1
ab
−−
−=
Relação Fundamental
c
2
= a
2
+ b
2
Excentricidade
c
e
a
=
, com e > 1

38. Manual de Matemática
510
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos
real e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
F

1
F

2
x
y
b
aa
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:
b
yx
a
=±
• Eixo real vertical e centro na origem:
a
yx
b
=±
• Eixo real horizontal e C(x
0
, y
0
):
00
b
yy (xx)
a
−=± −
• Eixo real vertical e C(x
0
, y
0
):
00
a
yy (xx)
b
−=± −

39. Manual de Matemática
511
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
F

1
F

2
A

2
A

1
x
y
4
2
–2
–4
Solução:
Temos:
a = 2 e c = 4
Pela relação fundamental, temos:
c
2
= a
2
+ b
2
16 = 4 + b
2
b
2
= 12
Logo:
22 22
22
yx yx
11
ab 412
−=⇒ −=
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com
centro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:
2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)
a = 2 b = 4

40. Manual de Matemática
512
Equação:
22 22
22
xy xy
11
ab 416
−=⇒ −=
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de
eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F
1
(–5, 0).
Solução:
22
22
xy
1
ab
−=
2a = 8
a = 4 e c = 5
c
2
= a
2
+ b
2
25 = 16 + b
2
b
2
= 25 – 16
b
2
= 9
22
xy
1
16 9
−=
Excentricidade:
c
e
a
5
e
4
=
=
As assíntotas são:
b3
yxyx
a4
=± ⇒ =±
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da
reta d(diretriz) e do ponto F(foco).

41. Manual de Matemática
513
y

0
x

0
x
d
D
P
eixo de
simetria
F
y
V
p
2
p 2
• F é o foco.
• d é a diretriz.
• V é o vértice.
• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.
• V é o ponto médio do
DF.
Equação
• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x

0
y

0
x
y d
0
F
P(x, y)
p
2
Concavidade para a direita:
(y – y
0
)
2
= 2p(x – x
0
)
Se V (0, 0):
(y – 0)
2
= 2p(x – 0)
y
2
= 2px

42. Manual de Matemática
514
Concavidade voltada para a esquerda:
(y – y
0
)
2
= – 2p(x – x
0
)
Se V(0, 0):
y
2
= –2px
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
x

0
y

0
x
y
0
F
eixo de simetria
• Concavidade voltada para cima:
(x – x
0
)
2
= 2p(y – y
0
)
Se V(0, 0):
x
2
= 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x
0
)
2
= – 2p(y – y
0
)
Se V(0, 0):
x
2
= –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y
2
= 12x, determine:
a) o vértice;

43. Manual de Matemática
515
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y
2
= 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.
V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y
2
= 2px.
2p = 12 Então,
p
3
2
=
p = 6
p
F,0 F(3,0)
2

=


c) diretrizp
D,0
2

−


D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Geometria Analítica (ponto e reta)
1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
1
0
1
2
3
–4–3–2–1
–1
–2
234 x
y
A
B
C
D
E
F
G

44. Manual de Matemática
516
A EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, a
forma do zero mudou de um ponto para
um círculo.
O símbolo maia mais famoso para o
zero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemos
mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o
abajur projeta na parede.
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e
C(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento
AB nos seguintes casos:
a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a
mediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-
tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são
A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).

45. Manual de Matemática
517
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:
a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)
formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:
a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
coeficiente angular igual a
1
3
.
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos
A(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:
a) a equação geral;
b) a equação reduzida;
c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e
C(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são
paralelas. Então:
a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3
b) n = 3m d)
1
m
3
=−
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)
(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-
pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,
3) e C(2, –1). Determine a equação:

46. Manual de Matemática
518
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a
AB
HJG.
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –
14 = 0 é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a)
2 b)
3
2
c)
10 d) 1 e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos
seguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3 c)
1
C2,
3



e r = 1
b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r33=
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r2= b) C(–2, 2) e r = 2 c)
15
C1, er
22
−
=


26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência
x
2
+ y
2
– 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2) b) B(–1, 0)
27) (CESCEM – SP) O raio da circunferência x
2
+ y
2
– 4x + 6y – 3 = 0 é igual a:
a) 2 b)
3 c) 3 d) 4 e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:
a) (x – 2)
2
+ (y – 3)
2
≥ 1 b) x
2
+ y
2
< 81

47. Manual de Matemática
519
29) (FEI – SP) O ponto ()1, 2 em relação à circunferência
x
2
+ y
2
– 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
d) é externo à circunferência, mas está na reta
y2x− .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada
caso:
a) x – y = 2
x
2
+ y
2
– 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0
x
2
+ y
2
– 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
(x – 3)
2
+ (y – 4)
2
= 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6,
1
e
2
=
C(0, 0), de eixo maior horizontal
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
22
yx
1
25 16
+=
b)
22
(x 6) x
1
25 16
−
+=
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:
a) y
2
= 12x b) x
2
= 8y

48. Manual de Matemática
520
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno
P2135=+
5) a)
3
M1,
2

−


b) M(2,0) 6) CM= 4
7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8)
81
G,
33
−


9) a) não estão alinhados b) estão alinhados
10) a n 5 11) a) m = 2 b) m = –4
12) x – 3y – 15 = 0 13)
xy
1
26
+=
−
14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b)
25
yx
33
−
=−
c)

xy
1
55
23
+=
−−
15)
9
Au
2
=
16) e 17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0
20) 0° 21) a 22) e 23)
42
24) a) (x – 1)
2
+ (y +2)
2
= 9 c)
2
2
1
(x 2) y 1
3

−+− =


b) x
2
+ (y – 4)
2
= 5 d) x
2
+ y
2
= 27
25) a) x
2
+ y
2
+ 2x – 2y= 0 c) 2x
2
+ 2y
2
– 4x + 2y = 0
b) x
2
+ y
2
+ 4x – 4y + 4 = 0

49. Manual de Matemática
521
26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência
27) d
28) a) b)
C
y
x2
1
2
3
r = 1
–9 9
y
x
r
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.
b) r é secante à circunferência.
c) r é exterior à circunferência.
31) a)
+=
22
xy
1
25 4
b)
22
xy
1
916
+=
c)
+=
210
yx
8
20 2
32)
7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal 6, F
1
(0, –3), F
2
(0, 3)
3
e
5
=
e
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal = 6, F
1
(3, 0), F
2
(9, 0) e
3
e
5
=
.
34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2