Geometria de posição.pptx

Geometrias de posição: todos os conceitos

1. Geometria de Posição Conceitos primitivos Prof. Luana Freitas

2. Conceitos primitivos A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.

3. O Ponto Olhando-se a noite para um céu estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos . Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

4. A Reta Suponha agora que fosse possível esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de reta . Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.

5. O Plano Considere o tampo liso de uma mesa, sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um plano . Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

6. Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então: A ponto r reta α plano

7. A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte: Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.). As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.). Os planos são indicados por letras gregas ( α , β , γ etc.).

8. Posições primitivas, postulados ou axiomas. Postulados da existência P1 – Existem infinitos pontos P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos A C E D B F P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos α A B C E F D r

9. Postulados da determinação P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r A B P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano α A B C

10. Postulado da inclusão P6 – A reta formada por dois pontos distintos de um plano está contida nesse plano. P7 – Entre dois pontos de um plano sempre é possível inserir um terceiro. α r A B

11. Postulados da divisão P8 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas semirretas. A B O r OA e OB são semirretas opostas de origem O.

12. P9 – Postulado da separação de planos : toda reta de um plano separa-o em duas regiões chamadas semiplanos. α 1 α 2 r α α 1 e α 2 são semi - planos opostos de α .

13. P10 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto. α E 1 E 2 A B O E 1 e E 2 são semi-espaços opostos de origem α AB

14. Posições relativas entre duas retas Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser: se todos os pontos de uma são pontos da outra. Coincidentes: r s Indicamos: r = s

15. Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum. α r s Indicamos: r//s r//s ↔ r α s α r ∩ s = ø ∩ ∩

16. Concorrentes: Se tem um único ponto em comum. r s Indicamos: r x s r x s ↔ r s = {P} ∩

17. Reversas (ou não coplanares): Se não existe plano que as contenha simultaneamente. OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes. r s

18. Observação: Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares. Indicamos: r s r s 2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais. α A B r s Indicamos: r s

19. Retas Ortogonais: são retas que não se encontram, mas suas projeções formam um ângulo reto. MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo

20. Determinação de planos Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado: Por três pontos não-colineares α A B C

21. Por um ponto P e uma reta r, de modo que P  r: α P

22. Por duas retas concorrentes: α s r P

23. Por duas retas paralelas: α r s

24. Posições relativas entre uma reta e um plano Consideremos uma reta e um plano α . Podem ocorrer três casos: Todos os pontos de r são pontos de α . 1º Caso: r contida em α α r r α  r ∩ α = r ∩

25. 2º Caso: r paralela a α r e α não têm ponto em comum α r // α ↔ r ∩ α = r É válido o seguinte teorema: Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α , de modo que r e s sejam paralelas. α r s

26. 3º Caso: r concorrente com α r e α têm um único ponto em comum . Indicamos: r x α α P r x α ↔ r ∩ α = {P} Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α Indicamos: r s α r P

27. Para o 3º caso é válido o seguinte teorema: Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α , e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas. α r P s

28. Posição Relativa entre Planos Planos paralelos: dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. No entanto, uma condição necessária para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes paralelas ao outro plano. Imagem: Qef / Public domain.

29. Posição Relativa entre Planos Planos coincidentes: dois planos são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.

30. Posição Relativa entre Planos Planos concorrentes: dois planos são concorrentes quando sua intersecção é uma reta. P  

31. Perpendicularismo Entre Reta e Plano: uma reta é perpendicular a um plano se for ortogonal a todas as retas desse plano.

32. Perpendicularismo Teorema: se uma reta r é perpendicular a um plano, então toda reta paralela a essa reta também é perpendicular a esse plano.

33. Projeções Prof. Luana Tais de Freitas

34. Classificação das projeções - cilíndrica

35. Classificação das projeções - cônica

36. Projeção de uma região