Geometria plana - Segmentos proporcionais

Questões selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
SEGMENTOS PROPORCIONAIS

2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
1
01. (Fatec 2019) Um formato de papel usado para impressões e fotocópias, no Brasil, é o A4, que faz parte de uma
série conhecida como série A, regulamentada internacionalmente pelo padrão ISO 216. Essa série criou um padrão de
folha retangular que, quando seu lado maior é dobrado ao meio, gera um retângulo semelhante ao original, conforme
ilustrado.
Considerando uma folha da série A, com as dimensões indicadas na figura, pode-se afirmar que
a)x 2y=
b)x y2=
c)xy=
d)y x2=
e)y 2x=
02. (Famema 2019) A figura mostra o triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AB 10 cm,= com o ângulo
ˆ
ABC 30= °
e o ponto D sobre o lado BC.
Sabendo que AD é bissetriz do ângulo
ˆ
BAC, o valor da razão
BD
DC
é
a)3
b)
1
2
c)
1
3
d)1
e)2

3. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
2



03. (Insper 2018) Na figura, BAC e DEC são triângulos retângulos em
ˆ
A e
ˆ
E, com AB 15 cm,= ED 10 cm= e
AE 30 cm.= O ponto C pertence a AE e o ponto F pertence a r, que é reta suporte de DE. O ponto C pode mover-
se ao longo de AE, e o ponto F pode mover-se ao longo de r, como mostra a figura.



A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que BC CD+ será mínimo na circunstância em que o triângulo
DCF é isósceles de base DF. O menor valor possível de BC CD,+ em centímetros, é igual a

a) 6 42
b) 5 61
c) 7 31
d) 12 11
e) 7 29

04. (Fgv 2017) O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A corda intersecta a diagonal do quadrado
em A, sendo que QA 6 cm= e AB 4 cm.=



Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, em cm, é igual a

a) 2 10.
b) 5 2.
c) 2 15.
d) 6 2.
e) 7 2.

4. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
3



05. (Unesp 2017) Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área é igual
à área indicada em verde.



Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango FGCE mede

a) 2 5 cm.
b) 2 6 cm.
c) 4 2 cm.
d) 3 3 cm.
e) 3 2 cm.

06. (Fgv 2016) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas entre si, e perpendiculares à reta t. Sabe-se, ainda, que
AB 6 cm,= CD 3 cm,= AC é perpendicular a CD, e a medida do ângulo entre CD, e a reta s é 30 .°



Nas condições descritas, a medida de DE, em cm, é igual a

a) 12 3 3+
b) 12 2 3+
c) 6 43+
d) 6 23+
e) 3 23+

07. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC.= A altura
relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

a) 24 cm
b) 13 cm
c) 12 cm
d) 9 cm
e) 7 cm

5. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
4



08. (Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco
de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos
de intersecção desses arcos.



A distância de P até CB, em centímetros, é igual a

a)
4
5

b)
19
25

c)
3
4

d)
7
10

e)
17
25


09. (Espm 2012) A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo ABC, onde AB = 5cm e
BC = 13cm.



Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC. Então, a maior área que o
paralelogramo pode ter é igual a

a) 12 cm
2

b) 18 cm
2

c) 15 cm
2

d) 7,5 cm
2

e) 9 cm
2

6. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
5



10. (Insper 2012) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de
extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e
perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A
nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.



O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor
extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é

a) 250
b) 240
c) 225
d) 200
e) 180

11. (Fgv 2012) No triângulo retângulo abaixo, os catetos
AB e AC medem, respectivamente, 2 e 3. A área do
quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC ?



a) 42%
b) 44%
c) 46%
d) 48%
e) 50%

7. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
6



12. (Mackenzie 2011) A área do quadrado assinalado na figura é igual a



a) 15
b) 20
c) 12
d) 18
e) 16

13. (Unesp 2011) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário
que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de
0,005 mm.

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo
diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1mm um do
outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

14. (Insper 2011) Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles com base e altura medindo 1.



O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas paralelas à sua base e o da direita
foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas perpendiculares à sua base. A distância entre as duas retas
paralelas tracejadas no triângulo da esquerda é igual a

a)
31
.
3
−
b)
32
.
3
−
c)
61
.
3
−
d)
63
.
3
−
e)
63
.
3
−

8. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
7



15. (Fuvest 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC 3= e AB 4.= Além disso, o ponto D
pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC

e o ponto F pertence à hipotenusa AC,

de tal forma que
DECF seja um paralelogramo. Se
3
DE ,
2
= então a área do paralelogramo DECF vale


a)
63
25

b)
12
5

c)
58
25

d)
56
25

e)
11
5


16. (Fgv 2010) Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse segmento em 5 partes congruentes. O ponto G
está fora de AF, e os pontos H e J estão em GDe GF, respectivamente.



Se GA, HC e JE, são paralelos, então a razão
HC
JE
é

a)
5
.
3

b)
3
.
2

c)
4
.
3

d)
5
.
4

e)
6
.
5

9. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
8



17. (Fgv 2008) No triângulo ABC, AB 8,= BC 7,= AC 6= e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.



O comprimento do segmento PC é

a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.

18. (Fuvest 2005) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB 1, BC 3= = e BE 2DE.= Logo, a medida de
AE é


a)
3
2

b)
5
2

c)
7
2

d)
11
2

e)
13
2

10. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
9



19. (Unesp 2003) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura.

Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente,

a)
3
20
e
3
40

b) 6 e 11
c) 9 e 13
d) 11 e 6
e)
20
3
e
40
3


20. (Fuvest 2003) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é
o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula



a)
()
( )
 bh
hb+

b)
()
( )
 2bh
hb+

c)
()
( )
 bh
h 2b+

d)
()
( )
bh
2h b+

e)
()
( )
 bh
2h b+


11. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
10



21. (Fuvest 1999) Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A
e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do
segmento CD, para que CÊA=DÊB?



a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

22. (Fuvest 1998) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4
cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O
perímetro desse retângulo, em cm, é

a) 4
b) 8
c) 12
d) 14
e) 16

23. (Unesp 1997) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.



Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são:

a) 4,5 e 6,5 b) 7,5 e 3,5 c) 8 e 3 d) 7 e 4 e) 9 e 2

12. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
11


24. (Fuvest 1996) No triangulo ABC, AB = 20 cm, BC = 5 cm e o ângulo A

BC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um
losango, de área 8 cm
2
. A medida, em graus do ângulo BNP é


a) 15
b) 30
c) 45
d) 60
e) 75

25. (Faap 1996) "Fernando Henrique inaugura mostra da FAAP no Palácio do Itamaraty"

O Presidente Fernando Henrique Cardoso abriu a exposição "Modernistas, Modernismo", na noite de 4 de setembro,
no Palácio do Itamaraty, em Brasília. A mostra é composta por 36 quadros do acervo da Fundação Armando Álvares
Penteado (FAAP) e ficará no Ministério das Relações Exteriores até o próximo dia 26. Mais de 800 pessoas foram à
solenidade, que inaugurou as comemorações oficiais da Semana da Pátria. (...)

Em seu discurso, a presidente do Conselho de Curadores da FAAP, dimensionou o Modernismo num contexto
abrangente: "Por detrás do encontro com a brasilidade nas telas, nas formas, nas letras, havia um grito dos
modernistas, num clamor por um projeto nacional". Estão expostos quadros de Anita Malfatti, Di Cavalcanti, Tarsila
do Amaral e outros artistas, selecionados entre as mais de duas mil obras do Museu de Arte Brasileira (MAB) da FAAP.
(O Estado de São Paulo, 17/9/95)

Um crítico de arte, olha, através de uma câmara escura que tem 50 cm de comprimento, para um quadro pendurado
de 3 metros de altura, cuja base está a 1,20 metros acima do solo, conforme a figura a seguir:



Sabendo-se que o quadro fornece uma imagem de 15 cm. A distância "x" da câmara ao quadro (em metros) é

a) 15 b) 3 c) 8 d) 12 e) 10

13. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
12










GABARITO

1 - B 2 - E 3 - B 4 - C 5 - E
6 - E 7 - C 8 - A 9 - C 10 - E
11 - D 12 - A 13 - C 14 - D 15 - A
16 - A 17 - C 18 - C 19 - E 20 - D
21 - A 22 - B 23 - E 24 - B 25 - E