giai de cuong chuong 3 dai so tuyen tinh
phat740394
13 views
13 slides
Dec 16, 2024
Slide 1 of 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
About This Presentation
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai so tuyen tinh
giai de cuong giai bai tap dai...
Slide Content
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG III
Nhóm ngành 1
Bài 1.TậpVvới các phép toán sau đây có phải là một không gian vector không?
a)V={(x, y, z)|x, y, z∈R}với các phép toán được xác định như sau:
(x, y, z) + (x
′
, y
′
, z
′
) = (x+x
′
, y+y
′
, z+z
′
)
k(x, y, z) = (|k|x,|k|y,|k|z)
b)V={x= (x1, x2|x1>0, x2>0)} ⊂R
2
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1y1, x2y2)vàk(x1, x2) = (x
k
1, x
k
2)trong đó k là một số bất kì.
Lời giải
a) k1vàk2là hai số thực trái dấu:
(k1+k2)(x, y, z) = (|k1+k2|x,|k1+k2|y,|k1+k2|z)
k1(x, y, z) +k2(x, y, z) = ((|k1|+|k2|)x,(|k1|+|k2|)y,(|k1|+|k2|)z)
Mà(|k1+k2|x,|k1+k2|y,|k1+k2|z)̸= ((|k1|+|k2|)x,(|k1|+|k2|)y,(|k1|+|k2|)z)
⇒(k1+k2)(x, y, z)̸=k1(x, y, z) +k2(x, y, z)
⇒Vkhông là một không gian vector
b)Vlà một không gian vector vì∀(x1, x2),(y1, y2),(z1, z2)∈V;k, k1, k2∈R:
1.((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2) = (x1, x2) + ((y1, y2) + (z1, z2)) = (x1y1z1, x2y2z2)
2.0 = (1; 1) : 0 + (x1, x2) = (x1, x2) + 0 = (x1, x2)
3.(x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) = (x1y1, x2y2)
4.∀(x1, x2)∈V,∃(
1
x1
,
1
x2
) : (x1, x2) + (
1
x1
,
1
x2
) = (1,1) = 0
5.(k1+k2)(x1, x2) =k1(x1, x2) +k2(x1+x2) = (x
k1+k2
1, x
k1+k2
2)
6.k((x1, x2) + (y1, y2)) =k(x1, x2) +k(y1, y2) = (x
k
1y
k
1, x
k
2y
k
2)
7.k1(k2(x1, x2)) =k1k2(x1, x2) = (x
k1k2
1, y
k1k2
1)
8.1(x1, x2) = (x1, x2)
Bài 2.Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ
con của chúng:
a) E={(x1, x2, x3)∈R
3
|2x1−5x2+ 3x3= 0}.
b) Pn[x].
c)
d)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
1
CLB Hỗ Trợ Học Tập
GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG III
Nhóm ngành 1
Bài 1.TậpVvới các phép toán sau đây có phải là một không gian vector không?
a)V={(x, y, z)|x, y, z∈R}với các phép toán được xác định như sau:
(x, y, z) + (x
′
, y
′
, z
′
) = (x+x
′
, y+y
′
, z+z
′
)
k(x, y, z) = (|k|x,|k|y,|k|z)
b)V={x= (x1, x2|x1>0, x2>0)} ⊂R
2
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1y1, x2y2)vàk(x1, x2) = (x
k
1, x
k
2)trong đó k là một số bất kì.
Lời giải
a) k1vàk2là hai số thực trái dấu:
(k1+k2)(x, y, z) = (|k1+k2|x,|k1+k2|y,|k1+k2|z)
k1(x, y, z) +k2(x, y, z) = ((|k1|+|k2|)x,(|k1|+|k2|)y,(|k1|+|k2|)z)
Mà(|k1+k2|x,|k1+k2|y,|k1+k2|z)̸= ((|k1|+|k2|)x,(|k1|+|k2|)y,(|k1|+|k2|)z)
⇒(k1+k2)(x, y, z)̸=k1(x, y, z) +k2(x, y, z)
⇒Vkhông là một không gian vector
b)Vlà một không gian vector vì∀(x1, x2),(y1, y2),(z1, z2)∈V;k, k1, k2∈R:
1.((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2) = (x1, x2) + ((y1, y2) + (z1, z2)) = (x1y1z1, x2y2z2)
2.0 = (1; 1) : 0 + (x1, x2) = (x1, x2) + 0 = (x1, x2)
3.(x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) = (x1y1, x2y2)
4.∀(x1, x2)∈V,∃(
1
x1
,
1
x2
) : (x1, x2) + (
1
x1
,
1
x2
) = (1,1) = 0
5.(k1+k2)(x1, x2) =k1(x1, x2) +k2(x1+x2) = (x
k1+k2
1, x
k1+k2
2)
6.k((x1, x2) + (y1, y2)) =k(x1, x2) +k(y1, y2) = (x
k
1y
k
1, x
k
2y
k
2)
7.k1(k2(x1, x2)) =k1k2(x1, x2) = (x
k1k2
1, y
k1k2
1)
8.1(x1, x2) = (x1, x2)
Bài 2.Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ
con của chúng:
a) E={(x1, x2, x3)∈R
3
|2x1−5x2+ 3x3= 0}.
b) Pn[x].
c)
d)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
e) (aij=−aji).
Lời giải
a) u1= (x1, x2, x3)∈E, u2= (y1, y2, y3)∈E
•u1+u2= (x1+y1, x2+y2, x3+y3)∈E(1)
Do2(x1+y1)−5(x2+y2) + 3(x3+y3) = (2x1−5x2+ 3x3) + (2y1+ 5y2+ 3y3) = 0
•Vớik∈Rthìku1∈E(2) dok(2x1−5x2+ 3x3) = 0
Từ (1) và (2) suy raElà không gian vector con củaR
3
b) p1, p2là hai đa thức có hệ số bằng 0
⇒
(
p1+p2có hệ số bậc nhất bằng 0
kp1có hệ số bậc nhất bằng 0∀k∈R
⇒Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 củaPn[x]là không gian vector con củaPn[x].
c)
A
n
=
a11a12· · ·a1n
0a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
0 0 · · ·ann
, A
′
n=
a
′
11a
′
12· · ·a
′
1n
0a
′
22· · ·a
′
2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
0 0 · · ·a
′
nn
là hai ma trận tam giác trên của ma trận vuông cấp n.
•An+A
′
n=
a11+a
′
11a12+a
′
12· · ·a1n+a
′
1n
0 a22+a
′
22· · ·a2n+a
′
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · ·ann+a
′
nn
là ma trận tam giác trên (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
0ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · ·kann
là ma trận tam giác trên∀k∈R(2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n là không gian
vector con.
d)
An=
a11a12· · ·a1n
a21a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
an1an2· · ·ann
, B n=
b11b12· · ·b1n
b21b22· · ·b2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
bn1bn2· · ·bnn
Với
(
aij=aji
bij=bji
∀i̸=j;i=1, n;j=1, n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
2
CLB Hỗ Trợ Học Tập
e) (aij=−aji).
Lời giải
a) u1= (x1, x2, x3)∈E, u2= (y1, y2, y3)∈E
•u1+u2= (x1+y1, x2+y2, x3+y3)∈E(1)
Do2(x1+y1)−5(x2+y2) + 3(x3+y3) = (2x1−5x2+ 3x3) + (2y1+ 5y2+ 3y3) = 0
•Vớik∈Rthìku1∈E(2) dok(2x1−5x2+ 3x3) = 0
Từ (1) và (2) suy raElà không gian vector con củaR
3
b) p1, p2là hai đa thức có hệ số bằng 0
⇒
(
p1+p2có hệ số bậc nhất bằng 0
kp1có hệ số bậc nhất bằng 0∀k∈R
⇒Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 củaPn[x]là không gian vector con củaPn[x].
c)
A
n
=
a11a12· · ·a1n
0a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
0 0 · · ·ann
, A
′
n=
a
′
11a
′
12· · ·a
′
1n
0a
′
22· · ·a
′
2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
0 0 · · ·a
′
nn
là hai ma trận tam giác trên của ma trận vuông cấp n.
•An+A
′
n=
a11+a
′
11a12+a
′
12· · ·a1n+a
′
1n
0 a22+a
′
22· · ·a2n+a
′
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · ·ann+a
′
nn
là ma trận tam giác trên (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
0ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · ·kann
là ma trận tam giác trên∀k∈R(2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n là không gian
vector con.
d)
An=
a11a12· · ·a1n
a21a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
an1an2· · ·ann
, B n=
b11b12· · ·b1n
b21b22· · ·b2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
bn1bn2· · ·bnn
Với
(
aij=aji
bij=bji
∀i̸=j;i=1, n;j=1, n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒An, Bnlà các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n.
•An+Bn=
a11+b11a12+b12· · ·a1n+b1n
a21+b21a22+b22· · ·a2n+b2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1+nn1an2+bn2· · ·ann+bnn
Do
(
aij=aji
bij=bji
nênaij+bij=aji+bji,∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒An+Bnlà ma trận đối xứng cấp n (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
ka21ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
kan1kan2· · ·kann
Doaij=aji∀i̸=j, i=1, n, j=1, nnênkaij=kaji∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒kAnlà ma trận đối xứng cấp n (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n là không gian vector
con.
e)
An=
a11a12· · ·a1n
a21a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1an2· · ·ann
, B n=
b11b12· · ·b1n
b21b22· · ·b2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
bn1bn2· · ·bnn
Với
(
aij=−aji
bij=−bji
∀i̸=j;i=1, n;j=1, n
⇒An, Bnlà các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n.
•An+Bn=
a11+b11a12+b12· · ·a1n+b1n
a21+b21a22+b22· · ·a2n+b2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1+nn1an2+bn2· · ·ann+bnn
Do
(
aij=−aji
bij=−bji
nênaij+bij=−(aji+bji),∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒An+Bnlà ma trận phản xứng cấp n (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
ka21ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
kan1kan2· · ·kann
Doaij=−aji∀i̸=j, i=1, n, j=1, nnênkaij=−kaji∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
3
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒An, Bnlà các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n.
•An+Bn=
a11+b11a12+b12· · ·a1n+b1n
a21+b21a22+b22· · ·a2n+b2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1+nn1an2+bn2· · ·ann+bnn
Do
(
aij=aji
bij=bji
nênaij+bij=aji+bji,∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒An+Bnlà ma trận đối xứng cấp n (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
ka21ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
kan1kan2· · ·kann
Doaij=aji∀i̸=j, i=1, n, j=1, nnênkaij=kaji∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒kAnlà ma trận đối xứng cấp n (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n là không gian vector
con.
e)
An=
a11a12· · ·a1n
a21a22· · ·a2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1an2· · ·ann
, B n=
b11b12· · ·b1n
b21b22· · ·b2n
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
bn1bn2· · ·bnn
Với
(
aij=−aji
bij=−bji
∀i̸=j;i=1, n;j=1, n
⇒An, Bnlà các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n.
•An+Bn=
a11+b11a12+b12· · ·a1n+b1n
a21+b21a22+b22· · ·a2n+b2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
an1+nn1an2+bn2· · ·ann+bnn
Do
(
aij=−aji
bij=−bji
nênaij+bij=−(aji+bji),∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
⇒An+Bnlà ma trận phản xứng cấp n (1)
•kAn=
ka11ka12· · ·ka1n
ka21ka22· · ·ka2n
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
kan1kan2· · ·kann
Doaij=−aji∀i̸=j, i=1, n, j=1, nnênkaij=−kaji∀i̸=j, i=1, n, j=1, n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒kAnlà ma trận phản xứng cấp n (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n là không gian
vector con.
Bài 3.ChoV1, V2là hai không gian vector con của KGVTV. Chứng minh:
a)V1∩V2là KGVT con củaV.
b)V1+V2:={u1+u2|u1∈V1, u2∈V2}là KGVT con củaV
Lời giải
a) R
Lấy bất kìu, v∈V1∩V2cóu∈V1, u∈V2, v∈V1, v∈V2
VìV1, V2là các không gian con nênu+v∈V1, u+v∈V2. Từ đóu+v∈V1∩V2.
=⇒V1∩V2đóng kín với phép cộng.
Vớiu∈V1∩V2, k∈Rdễ thấyu∈V1, u∈V2vàV1, V2là các không gian con nênku∈V1và
ku∈V2.
Suy raku∈V1∩V2.
=⇒V1∩V2đóng kín với phép nhân với phần tử củaR.
VậyV1∩V2là không gian con của V.
b) V1+V2. Khi đó:
u=u1+u2vớiu1∈V1, u2∈V2
v=v1+v2vớiv1∈V1, v2∈V2
Từ đó:u+v= (u1+v1) + (u2+v2)
Rõ ràngu1+v1∈V1, u2+v2∈V2nên suy rau+v∈V1+V2.
=⇒V1+V2đóng kín với phép cộng.
Lấy u bất kì trongV1+V2, k bất kì trongR. Khi đó:u=u1+u2vớiu1∈V1, u2∈V2. Ta có
ku=k(u1+u2) =ku1+ku2
Dễ thấyku1∈V1, ku2∈V2nênku∈V1+V2
=⇒V1+V2đóng kín với phép nhân với một số trongR.
VậyV1+V2là không gian con của V.
Bài 4.ChoV1, V2là hai không gian vector con của KGVTV. Ta nóiV1, V2là bù nhau nếuV1+V2=
V, V1∩V2={θ}. Chứng minh rằngV1, V2bù nhau khi và chỉ khi mọi vectorucủaVcó biểu diễn duy
nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2).
Lời giải
- Chiều thuận:
Giả sửucó thể biểu diễn dưới dạngu=u1+u2=u
′
1+u
′
2vớiu1, u
′
1∈V1;u2, u
′
2∈V2
Khi đó:u1−u
′
1=u
′
2−u2
Mà:u1−u
′
1∈V1, u
′
2−u2∈V2
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
4
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒kAnlà ma trận phản xứng cấp n (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n là không gian
vector con.
Bài 3.ChoV1, V2là hai không gian vector con của KGVTV. Chứng minh:
a)V1∩V2là KGVT con củaV.
b)V1+V2:={u1+u2|u1∈V1, u2∈V2}là KGVT con củaV
Lời giải
a) R
Lấy bất kìu, v∈V1∩V2cóu∈V1, u∈V2, v∈V1, v∈V2
VìV1, V2là các không gian con nênu+v∈V1, u+v∈V2. Từ đóu+v∈V1∩V2.
=⇒V1∩V2đóng kín với phép cộng.
Vớiu∈V1∩V2, k∈Rdễ thấyu∈V1, u∈V2vàV1, V2là các không gian con nênku∈V1và
ku∈V2.
Suy raku∈V1∩V2.
=⇒V1∩V2đóng kín với phép nhân với phần tử củaR.
VậyV1∩V2là không gian con của V.
b) V1+V2. Khi đó:
u=u1+u2vớiu1∈V1, u2∈V2
v=v1+v2vớiv1∈V1, v2∈V2
Từ đó:u+v= (u1+v1) + (u2+v2)
Rõ ràngu1+v1∈V1, u2+v2∈V2nên suy rau+v∈V1+V2.
=⇒V1+V2đóng kín với phép cộng.
Lấy u bất kì trongV1+V2, k bất kì trongR. Khi đó:u=u1+u2vớiu1∈V1, u2∈V2. Ta có
ku=k(u1+u2) =ku1+ku2
Dễ thấyku1∈V1, ku2∈V2nênku∈V1+V2
=⇒V1+V2đóng kín với phép nhân với một số trongR.
VậyV1+V2là không gian con của V.
Bài 4.ChoV1, V2là hai không gian vector con của KGVTV. Ta nóiV1, V2là bù nhau nếuV1+V2=
V, V1∩V2={θ}. Chứng minh rằngV1, V2bù nhau khi và chỉ khi mọi vectorucủaVcó biểu diễn duy
nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2).
Lời giải
- Chiều thuận:
Giả sửucó thể biểu diễn dưới dạngu=u1+u2=u
′
1+u
′
2vớiu1, u
′
1∈V1;u2, u
′
2∈V2
Khi đó:u1−u
′
1=u
′
2−u2
Mà:u1−u
′
1∈V1, u
′
2−u2∈V2
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒u1−u
′
1, u
′
2−u2∈V1∩V2
⇒u1−u
′
1=u
′
2−u2= 0
⇒u1=u
′
1, u2=u
′
2
Vậy mọi vectorucủaVcó biểu diễn duy nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2).
- Chiều nghịch:
Mọi vector u thuộcVđều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2)
⇒V=V1+V2
Ta cần chứng minh:V1∩V2={0}
Thật vậy, giả sửu∈V1∩V2
DoV1vàV2là hai không gian con củaVnên0∈V1và0∈V2
⇒0, u∈V1∩V2
Mà:u= 0 +u=u+ 0và do tính duy nhất⇒u= 0
VậyV1∩V2={0}
Bài 5.Trong KGVT V, cho hệ véc tơ{u1, u2, ..., un, un+1}là phụ thuộc tuyến tính và{u1, u2, ..., un}là
hệ độc lập tuyến tính. Chứng minhun+1là tổ hợp tuyến tính của các véc tơu1, u2, ..., un.
Lời giải
Vì hệ(u1, u2, ..., un, un+1)phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ràng buộc tuyến tính không tầm thường:
λ1u1+λ2u2+...+λn+1un+1= 0
•Nếuλn+1= 0thìλ1u1+λ2u2+...+λnun= 0vì{u1, u2, ..., un}là hệ độc lập tuyến tính
nên từ ràng buộc tuyến tình trên ta suy raλ1=λ2=...=λn= 0. Điều này mâu thuẫn với
λ1, λ2, ..., λn+1không đồng thời bằng 0.
•Vậyλn+1̸= 0. Khi đó:
un+1=
−1
λn+1
(λ1u1+λ2u2+...+λnun)
⇒un+1là tổ hợp tuyến tính của các vectoru1, u2, ..., un.
Bài 6.Cho{v1, v2, ..., vm}là hệ sinh củaW1,{u1, u2, ..., un}là hệ sinh củaW2vớiW1, W2là các không
gian con của V. Chứng minh{v1, ..., vm, u1, ..., un}là hệ sinh củaW1+W2.
Lời giải
•Ta có{v1, v2, ..., vm}là hệ sinh củaW1,{u1, u2, ..., un}là hệ sinh củaW2
W1+W2={v+u|v∈W1, u∈W2}
Lấyv+u∈W1+W2vớiv∈W1, u∈W2. Khi đó:
v=k1v1+k2v2+· · ·+kmvmvớik1, k2, . . . , km∈R
u=l1u1+l2u2+· · ·+lnunvớil1, l2, . . . , ln∈R
Do đó:u+v=k1v1+k2v2+· · ·+kmvm+l1u1+l2u2+· · ·+lnun, ki, lj∈R
=⇒u + v∈span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
5
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒u1−u
′
1, u
′
2−u2∈V1∩V2
⇒u1−u
′
1=u
′
2−u2= 0
⇒u1=u
′
1, u2=u
′
2
Vậy mọi vectorucủaVcó biểu diễn duy nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2).
- Chiều nghịch:
Mọi vector u thuộcVđều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạngu=u1+u2,(u1∈V1, u2∈V2)
⇒V=V1+V2
Ta cần chứng minh:V1∩V2={0}
Thật vậy, giả sửu∈V1∩V2
DoV1vàV2là hai không gian con củaVnên0∈V1và0∈V2
⇒0, u∈V1∩V2
Mà:u= 0 +u=u+ 0và do tính duy nhất⇒u= 0
VậyV1∩V2={0}
Bài 5.Trong KGVT V, cho hệ véc tơ{u1, u2, ..., un, un+1}là phụ thuộc tuyến tính và{u1, u2, ..., un}là
hệ độc lập tuyến tính. Chứng minhun+1là tổ hợp tuyến tính của các véc tơu1, u2, ..., un.
Lời giải
Vì hệ(u1, u2, ..., un, un+1)phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ràng buộc tuyến tính không tầm thường:
λ1u1+λ2u2+...+λn+1un+1= 0
•Nếuλn+1= 0thìλ1u1+λ2u2+...+λnun= 0vì{u1, u2, ..., un}là hệ độc lập tuyến tính
nên từ ràng buộc tuyến tình trên ta suy raλ1=λ2=...=λn= 0. Điều này mâu thuẫn với
λ1, λ2, ..., λn+1không đồng thời bằng 0.
•Vậyλn+1̸= 0. Khi đó:
un+1=
−1
λn+1
(λ1u1+λ2u2+...+λnun)
⇒un+1là tổ hợp tuyến tính của các vectoru1, u2, ..., un.
Bài 6.Cho{v1, v2, ..., vm}là hệ sinh củaW1,{u1, u2, ..., un}là hệ sinh củaW2vớiW1, W2là các không
gian con của V. Chứng minh{v1, ..., vm, u1, ..., un}là hệ sinh củaW1+W2.
Lời giải
•Ta có{v1, v2, ..., vm}là hệ sinh củaW1,{u1, u2, ..., un}là hệ sinh củaW2
W1+W2={v+u|v∈W1, u∈W2}
Lấyv+u∈W1+W2vớiv∈W1, u∈W2. Khi đó:
v=k1v1+k2v2+· · ·+kmvmvớik1, k2, . . . , km∈R
u=l1u1+l2u2+· · ·+lnunvớil1, l2, . . . , ln∈R
Do đó:u+v=k1v1+k2v2+· · ·+kmvm+l1u1+l2u2+· · ·+lnun, ki, lj∈R
=⇒u + v∈span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
VậyW1+W2⊂span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}
•Lấyw∈span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}có
w=t1v1+t2v2+· · ·+tmvm+tm+1u1+tm+2um+2+· · ·+tm+nun
Đặtw1=t1v1+t2v2+· · ·+tmv,w2=tm+1u1+tm+2um+2+· · ·+tm+nun
Ta ców1∈W1, w2∈W2.
=⇒w=w1+w2∈W1+W2.
Vậyspan{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un} ⊂W1+W2
•Ta nhận đượcW1+W2=span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}nghĩa là{v1, ..., vm, u1, ..., um}là hệ
sinh củaW1+W2
Bài 7:TrongR
3
xét xem các hệ véctơ sau có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a)v1= (4;−2; 6), v2= (−6; 3;−9).
b)v1= (2; 3;−1), v2= (3;−1; 5), v3= (−1; 3;−4).
c)v1= (1; 2; 3), v2= (3; 6; 7), v3= (−3; 1; 3), v4= (0; 4; 2).
Lời giải
a) λ1v1+λ2v2=θ⇔
4λ1−6λ2= 0
−2λ1+ 3λ2= 0
6λ1−9λ2= 0
⇔
λ1= 3
λ2= 2
Vậy hệ{v1, v2}phụ thuộc tuyến tính
b) λ1v1+λ2v2+λ3v3=θ
Ta có:
2 3 −1
3−1 3
−1 5−4
=−9̸= 0
Vậy hệ{v1, v2, v3}độc lập tuyến tính
c) R
3
⇒hệ{v1, v2, v3, v4}phụ thuộc tuyến tính
Bài 8.Trong không gianP2[x], xét xem hệ véc tơB={u1= 1 + 2x, u2= 3x−x
2
, u3= 2−x+x
2
}
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Lời giải
Xét ràng buộc tuyến tính:
λ1u1+λ2u2+λ3u3= 0∀x
⇔λ1(1 + 2x) +λ2(3x−x
2
) +λ3(2−x+x
2
) = 0∀x
⇔(λ1+ 2λ3) + (2λ1+ 3λ2−λ3)x+ (λ3−λ2)x
2
= 0∀x
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
6
CLB Hỗ Trợ Học Tập
VậyW1+W2⊂span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}
•Lấyw∈span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}có
w=t1v1+t2v2+· · ·+tmvm+tm+1u1+tm+2um+2+· · ·+tm+nun
Đặtw1=t1v1+t2v2+· · ·+tmv,w2=tm+1u1+tm+2um+2+· · ·+tm+nun
Ta ców1∈W1, w2∈W2.
=⇒w=w1+w2∈W1+W2.
Vậyspan{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un} ⊂W1+W2
•Ta nhận đượcW1+W2=span{v1, v2, ..., vm, u1, u2, ..., un}nghĩa là{v1, ..., vm, u1, ..., um}là hệ
sinh củaW1+W2
Bài 7:TrongR
3
xét xem các hệ véctơ sau có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a)v1= (4;−2; 6), v2= (−6; 3;−9).
b)v1= (2; 3;−1), v2= (3;−1; 5), v3= (−1; 3;−4).
c)v1= (1; 2; 3), v2= (3; 6; 7), v3= (−3; 1; 3), v4= (0; 4; 2).
Lời giải
a) λ1v1+λ2v2=θ⇔
4λ1−6λ2= 0
−2λ1+ 3λ2= 0
6λ1−9λ2= 0
⇔
λ1= 3
λ2= 2
Vậy hệ{v1, v2}phụ thuộc tuyến tính
b) λ1v1+λ2v2+λ3v3=θ
Ta có:
2 3 −1
3−1 3
−1 5−4
=−9̸= 0
Vậy hệ{v1, v2, v3}độc lập tuyến tính
c) R
3
⇒hệ{v1, v2, v3, v4}phụ thuộc tuyến tính
Bài 8.Trong không gianP2[x], xét xem hệ véc tơB={u1= 1 + 2x, u2= 3x−x
2
, u3= 2−x+x
2
}
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Lời giải
Xét ràng buộc tuyến tính:
λ1u1+λ2u2+λ3u3= 0∀x
⇔λ1(1 + 2x) +λ2(3x−x
2
) +λ3(2−x+x
2
) = 0∀x
⇔(λ1+ 2λ3) + (2λ1+ 3λ2−λ3)x+ (λ3−λ2)x
2
= 0∀x
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇔
λ1+ 2λ3 = 0
2λ1+ 3λ2−λ3= 0
λ3−λ2 = 0
⇔
λ1= 0
λ2= 0
λ3= 0
Vậy hệ vectorBđộc lập tuyến tính
Bài 9.TrongR
3
, chứng minhv1= (1; 1; 1), v2= (1; 1; 2), v3= (1; 2; 3)lập thành một cơ sở. Xác định
chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm tọa độ củax= (6,9,14)theo cách trực tiếp và dùng
công thức đổi tọa độ.
Lời giải
Xét ràng buộc tuyến tính:
λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0
⇔λ1(1; 1; 1) +λ2(1; 1; 2) +λ3(1; 2; 3) = (0; 0; 0)
⇔
λ1+λ2+λ3= 0
λ1+λ2+ 2λ3= 0
λ1+ 2λ2+ 3λ3= 0
⇔
λ1= 0
λ2= 0
λ3= 0
⇒Hệ vector{v1;v2;v3}độc lập tuyến tính
⇒dimR
3
=dim(span{v1;v2;v3}) = 3
⇒Hệ vector{v1;v2;v3}là một cở sở củaR
3
* Tìm tọa độ củax= (6; 9; 14)
- Cách 1:
Giả sử tọa độ củax= (6; 9; 14)là(a, b, c)
⇔
a+b+c= 6
a+b+ 2c= 9
a+ 2b+ 3c= 14
⇔
a= 1
b= 2
c= 3
Vậy tọa độ củax= (6; 9; 14)theo cơ sở{v1;v2;v3}là(1; 2; 3)
- Cách 2:
Ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc E sang cơ sởV={v1;v2;v3}làC=
1 1 1
1 1 2
1 2 3
[x]V=C
−1
.[x]E=
1 1 1
1 1 2
1 2 3
−1
.
6
9
14
=
1 1 −1
1−2 1
−1 1 0
.
6
9
14
=
1
2
3
Vậy tọa độ củax= (6; 9; 14)theo cơ sở{v1;v2;v3}là(1; 2; 3)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
7
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇔
λ1+ 2λ3 = 0
2λ1+ 3λ2−λ3= 0
λ3−λ2 = 0
⇔
λ1= 0
λ2= 0
λ3= 0
Vậy hệ vectorBđộc lập tuyến tính
Bài 9.TrongR
3
, chứng minhv1= (1; 1; 1), v2= (1; 1; 2), v3= (1; 2; 3)lập thành một cơ sở. Xác định
chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm tọa độ củax= (6,9,14)theo cách trực tiếp và dùng
công thức đổi tọa độ.
Lời giải
Xét ràng buộc tuyến tính:
λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0
⇔λ1(1; 1; 1) +λ2(1; 1; 2) +λ3(1; 2; 3) = (0; 0; 0)
⇔
λ1+λ2+λ3= 0
λ1+λ2+ 2λ3= 0
λ1+ 2λ2+ 3λ3= 0
⇔
λ1= 0
λ2= 0
λ3= 0
⇒Hệ vector{v1;v2;v3}độc lập tuyến tính
⇒dimR
3
=dim(span{v1;v2;v3}) = 3
⇒Hệ vector{v1;v2;v3}là một cở sở củaR
3
* Tìm tọa độ củax= (6; 9; 14)
- Cách 1:
Giả sử tọa độ củax= (6; 9; 14)là(a, b, c)
⇔
a+b+c= 6
a+b+ 2c= 9
a+ 2b+ 3c= 14
⇔
a= 1
b= 2
c= 3
Vậy tọa độ củax= (6; 9; 14)theo cơ sở{v1;v2;v3}là(1; 2; 3)
- Cách 2:
Ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc E sang cơ sởV={v1;v2;v3}làC=
1 1 1
1 1 2
1 2 3
[x]V=C
−1
.[x]E=
1 1 1
1 1 2
1 2 3
−1
.
6
9
14
=
1 1 −1
1−2 1
−1 1 0
.
6
9
14
=
1
2
3
Vậy tọa độ củax= (6; 9; 14)theo cơ sở{v1;v2;v3}là(1; 2; 3)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Bài 10.Trong các trường hợp sau, chứng minhB={v1, v2, v3}là một cơ sở củaR
3
và tìm[v]Bbiết
rằng:
a)v1= (2; 1; 1), v2= (6; 2; 0), v3= (7; 0; 7), v= (15; 3; 1).
b)v1= (0; 1; 1), v2= (2; 3; 0), v3= (1; 0; 1), v= (2; 3; 0).
Lời giải
a) Btheo cơ sở chính tắcEcủaR
3
là:
A=
2 6 7
1 2 0
1 0 7
H1↔H3
−−−−→
1 0 7
1 2 0
2 6 7
H3−2H2→H3
−−−−−−−−→
H2−H1→H2
1 0 7
0 2−7
0 2 7
H3−H2→H3
−−−−−−−→
1 0 7
0 2−7
0 0 14
⇒số vector của B=r(A) =dim(R
3
) = 3⇒hệ độc lập tuyến tính. Vậy B là một cơ sở củaR
3
.
Khi đó, ma trậnAlà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởBsang cơ sở chính tắcEcủaR
3
. Ta có:
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
2 6 7
1 2 0
1 0 7
−1
.
15
3
1
=
−2.5
2.75
0.5
b) EcủaR
3
là:
A=
0 2 1
1 3 0
1 0 1
H1↔H3
−−−−→
1 0 1
1 3 0
0 2 1
H2−H1→H2
−−−−−−−→
1 0 1
0 3−1
0 2 1
3H3−2H2→H3
−−−−−−−−→
1 0 1
0 3−1
0 0 5
⇒số vector của B=r(A) =dim(R
3
) = 3⇒hệ độc lập tuyến tính. Vậy B là một cơ sở củaR
3
.
Ta thấy ngay:v= 0.v1+v2+ 0.v3nên[v]B= (0; 1; 0)
T
Bài 11.TrongP3[x]cho các véc tơv1= 1, v2= 1 +x, v3=x+x
2
, v4=x
2
+x
3
.
a) B={v1, v2, v3, v4}là một cơ sở củaP3[x].
b) v= 2 + 3x−x
2
+ 2x
3
đối với cơ sở trên.
c) v=a0+a1x+a2x
2
+a3x
3
đối với cơ sở trên.
Lời giải
a) Btheo cơ sở chính tắcEcủaP3[x]là:
A=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
⇒r(A) = 4 =dimP3[x] =số vector của B. Vậy B là một cơ sở củaP3[x].
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
8
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Bài 10.Trong các trường hợp sau, chứng minhB={v1, v2, v3}là một cơ sở củaR
3
và tìm[v]Bbiết
rằng:
a)v1= (2; 1; 1), v2= (6; 2; 0), v3= (7; 0; 7), v= (15; 3; 1).
b)v1= (0; 1; 1), v2= (2; 3; 0), v3= (1; 0; 1), v= (2; 3; 0).
Lời giải
a) Btheo cơ sở chính tắcEcủaR
3
là:
A=
2 6 7
1 2 0
1 0 7
H1↔H3
−−−−→
1 0 7
1 2 0
2 6 7
H3−2H2→H3
−−−−−−−−→
H2−H1→H2
1 0 7
0 2−7
0 2 7
H3−H2→H3
−−−−−−−→
1 0 7
0 2−7
0 0 14
⇒số vector của B=r(A) =dim(R
3
) = 3⇒hệ độc lập tuyến tính. Vậy B là một cơ sở củaR
3
.
Khi đó, ma trậnAlà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởBsang cơ sở chính tắcEcủaR
3
. Ta có:
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
2 6 7
1 2 0
1 0 7
−1
.
15
3
1
=
−2.5
2.75
0.5
b) EcủaR
3
là:
A=
0 2 1
1 3 0
1 0 1
H1↔H3
−−−−→
1 0 1
1 3 0
0 2 1
H2−H1→H2
−−−−−−−→
1 0 1
0 3−1
0 2 1
3H3−2H2→H3
−−−−−−−−→
1 0 1
0 3−1
0 0 5
⇒số vector của B=r(A) =dim(R
3
) = 3⇒hệ độc lập tuyến tính. Vậy B là một cơ sở củaR
3
.
Ta thấy ngay:v= 0.v1+v2+ 0.v3nên[v]B= (0; 1; 0)
T
Bài 11.TrongP3[x]cho các véc tơv1= 1, v2= 1 +x, v3=x+x
2
, v4=x
2
+x
3
.
a) B={v1, v2, v3, v4}là một cơ sở củaP3[x].
b) v= 2 + 3x−x
2
+ 2x
3
đối với cơ sở trên.
c) v=a0+a1x+a2x
2
+a3x
3
đối với cơ sở trên.
Lời giải
a) Btheo cơ sở chính tắcEcủaP3[x]là:
A=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
⇒r(A) = 4 =dimP3[x] =số vector của B. Vậy B là một cơ sở củaP3[x].
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
b)Alà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởBsang cơ sở chính tắcEcủaP3[x]nên ta có:
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−1
.
2
3
−1
2
=
−4
6
−3
2
c)
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−1
.
a0
a1
a2
a3
⇒[v]B=
1−1 1−1
0 1−1 1
0 0 1 −1
0 0 0 1
.
a0
a1
a2
a3
=
a0−a1+a2−a3
a1−a2+a3
a2−a3
a3
Bài 12.TrongR
4
, cho các vector sau:u1= (1; 3;−2; 1), u2= (−2; 3; 1; 1), u3= (2; 1; 0; 1), u=
(1;−1;−3;m). Tìm m đểu∈span{u1, u2, u3}
Lời giải
•u∈span{u1, u2, u3} ⇐⇒ ∃(x1, x2, x3)vớixi∈R, i=1,3thoả mãnu=x1u1+x2u2+x3u3
⇐⇒Hệ
x1−2x2+ 2x3= 1
3x1+ 3x2+ 1x3=−1
−2x1+x2+ 0x3=−3
x1+x2+x3=m
có nghiệm
Ta cóA=
1−2 21
3 3 1 −1
−2 1 0 −3
1 1 1 m
H2−3H1→H2
H3+2H1→H3
−−−−−−−−→
H4−H1→H4
1−2 2 1
0 9−5−4
0−3 4 −1
0 3−1m−1
H3+
1
3
H2→H3
−−−−−−−−→
H4−
1
3
H2→H4
1−2 2 1
0 9−5−4
0 0
7
3
−7
3
0 0
2
3
3m+1
3
H4−
2
7
H3→H4
−−−−−−−−→
1−2 2 1
0 9−2−4
0 0
4
3
−7
3
0 0 0 m+ 1
Hệ có nghiệm⇐⇒m+ 1 = 0⇐⇒m=−1.
Bài 13.Cho KGVT P3[x]và hệ véctơ sau:
v1= 1 +x
2
+x
3
, v2=x−x
2
+ 2x
3
, v3= 2 +x+ 3x
3
, v4=−1 +x−x
2
+ 2x
3
a) Tìm hạng của hệ Véctơ. b) Tìm một hệ cơ sở của không gian span{v1, v2, v3, v4}
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
9
CLB Hỗ Trợ Học Tập
b)Alà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởBsang cơ sở chính tắcEcủaP3[x]nên ta có:
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−1
.
2
3
−1
2
=
−4
6
−3
2
c)
[v]E=A.[v]B⇔[v]B=A
−1
.[v]E⇔v[B] =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−1
.
a0
a1
a2
a3
⇒[v]B=
1−1 1−1
0 1−1 1
0 0 1 −1
0 0 0 1
.
a0
a1
a2
a3
=
a0−a1+a2−a3
a1−a2+a3
a2−a3
a3
Bài 12.TrongR
4
, cho các vector sau:u1= (1; 3;−2; 1), u2= (−2; 3; 1; 1), u3= (2; 1; 0; 1), u=
(1;−1;−3;m). Tìm m đểu∈span{u1, u2, u3}
Lời giải
•u∈span{u1, u2, u3} ⇐⇒ ∃(x1, x2, x3)vớixi∈R, i=1,3thoả mãnu=x1u1+x2u2+x3u3
⇐⇒Hệ
x1−2x2+ 2x3= 1
3x1+ 3x2+ 1x3=−1
−2x1+x2+ 0x3=−3
x1+x2+x3=m
có nghiệm
Ta cóA=
1−2 21
3 3 1 −1
−2 1 0 −3
1 1 1 m
H2−3H1→H2
H3+2H1→H3
−−−−−−−−→
H4−H1→H4
1−2 2 1
0 9−5−4
0−3 4 −1
0 3−1m−1
H3+
1
3
H2→H3
−−−−−−−−→
H4−
1
3
H2→H4
1−2 2 1
0 9−5−4
0 0
7
3
−7
3
0 0
2
3
3m+1
3
H4−
2
7
H3→H4
−−−−−−−−→
1−2 2 1
0 9−2−4
0 0
4
3
−7
3
0 0 0 m+ 1
Hệ có nghiệm⇐⇒m+ 1 = 0⇐⇒m=−1.
Bài 13.Cho KGVT P3[x]và hệ véctơ sau:
v1= 1 +x
2
+x
3
, v2=x−x
2
+ 2x
3
, v3= 2 +x+ 3x
3
, v4=−1 +x−x
2
+ 2x
3
a) Tìm hạng của hệ Véctơ. b) Tìm một hệ cơ sở của không gian span{v1, v2, v3, v4}
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Lời giải
a) A
T
=
1 0 1 1
0 1−1 2
2 1 0 3
−1 1−1 2
H3−2H1→H3
−−−−−−−−→
H4+H1→H4
1 0 1 1
0 1−1 2
0 1−2 1
0 1 0 3
H3−H2→H3
−−−−−−−→
H4−H2→H4
1 0 1 1
0 1−1 2
0 0−1−1
0 0 1 1
H4+H3→H4
−−−−−−−→
1 0 1 1
0 1−1 2
0 0−1−1
0 0 0 0
Vậyr(A
T
) = 3⇒hạng của hệ{v1, v2, v3, v4}là 3
b) span{v1, v2, v3, v4}là{(1 +x
2
+x
3
),(x−x
2
+ 2
3
),(−x
2
−x
3
)}
Bài 14.Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ véctơ sau:
a)v1= (2; 1; 3; 4), v2= (1; 2; 0; 1), v3= (−1; 1;−3; 0)trongR
4
b)v1= (2; 0; 1; 3;−1), v2= (1; 1; 0;−1; 1), v3= (0;−2; 1; 5;−3), v4= (1;−3; 2; 9;−5)trongR
5
Lời giải
a) A
T
=
2 1 3 4
1 2 0 1
−1 1−3 0
2H2−H1→H2
−−−−−−−−→
2H3+H1→H3
2 1 3 4
0 3−3−2
0 3−3 4
H3−H2→H3
−−−−−−−→
2 1 3 4
0 3−3−2
0 0 0 6
Vậy dimspan{v1, v2, v3}=r(A
T
) = 3,với{(2; 1; 3; 4),(0; 3;−3;−2),(0; 0; 0; 6)}là một cơ sở.
b) A
T
=
2 0 1 3 −1
1 1 0 −1 1
0−2 1 5 −3
1−3 2 9 −5
2H2−H1→H2
−−−−−−−−→
2H4−H1→H4
2 0 1 3 −1
0 2−1−5 3
0−2 1 5 −3
0−6 3 15 −9
H3+H2→H3
−−−−−−−−→
H4+3H2→H4
2 0 1 3 −1
0 2−1−5 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Vậy dimspan{v1, v2, v3, v4}=r(A
T
) = 2,với{(2; 0; 1; 3;−1),(0; 2;−1;−5; 3)}là một cơ sở.
Bài 15.TrongR
4
cho các véc tơ:u1= (1; 0; 1; 0), u2= (0; 1;−1; 1), u3= (1; 1; 1; 2), u4= (0; 0; 1; 1).
ĐặtV1=span{u1, u2}, V2=span{u3, u4}. Tìm cơ sở và số chiều của các KGVTV1+V2,V1∩V2.
Lời giải
*V1+V2=span{u1, u2, u3, u4}, xét ma trận tọa độ của hệ{u1, u2, u3, u4}theo cơ sở chính tắc ta
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
10
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Lời giải
a) A
T
=
1 0 1 1
0 1−1 2
2 1 0 3
−1 1−1 2
H3−2H1→H3
−−−−−−−−→
H4+H1→H4
1 0 1 1
0 1−1 2
0 1−2 1
0 1 0 3
H3−H2→H3
−−−−−−−→
H4−H2→H4
1 0 1 1
0 1−1 2
0 0−1−1
0 0 1 1
H4+H3→H4
−−−−−−−→
1 0 1 1
0 1−1 2
0 0−1−1
0 0 0 0
Vậyr(A
T
) = 3⇒hạng của hệ{v1, v2, v3, v4}là 3
b) span{v1, v2, v3, v4}là{(1 +x
2
+x
3
),(x−x
2
+ 2
3
),(−x
2
−x
3
)}
Bài 14.Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ véctơ sau:
a)v1= (2; 1; 3; 4), v2= (1; 2; 0; 1), v3= (−1; 1;−3; 0)trongR
4
b)v1= (2; 0; 1; 3;−1), v2= (1; 1; 0;−1; 1), v3= (0;−2; 1; 5;−3), v4= (1;−3; 2; 9;−5)trongR
5
Lời giải
a) A
T
=
2 1 3 4
1 2 0 1
−1 1−3 0
2H2−H1→H2
−−−−−−−−→
2H3+H1→H3
2 1 3 4
0 3−3−2
0 3−3 4
H3−H2→H3
−−−−−−−→
2 1 3 4
0 3−3−2
0 0 0 6
Vậy dimspan{v1, v2, v3}=r(A
T
) = 3,với{(2; 1; 3; 4),(0; 3;−3;−2),(0; 0; 0; 6)}là một cơ sở.
b) A
T
=
2 0 1 3 −1
1 1 0 −1 1
0−2 1 5 −3
1−3 2 9 −5
2H2−H1→H2
−−−−−−−−→
2H4−H1→H4
2 0 1 3 −1
0 2−1−5 3
0−2 1 5 −3
0−6 3 15 −9
H3+H2→H3
−−−−−−−−→
H4+3H2→H4
2 0 1 3 −1
0 2−1−5 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Vậy dimspan{v1, v2, v3, v4}=r(A
T
) = 2,với{(2; 0; 1; 3;−1),(0; 2;−1;−5; 3)}là một cơ sở.
Bài 15.TrongR
4
cho các véc tơ:u1= (1; 0; 1; 0), u2= (0; 1;−1; 1), u3= (1; 1; 1; 2), u4= (0; 0; 1; 1).
ĐặtV1=span{u1, u2}, V2=span{u3, u4}. Tìm cơ sở và số chiều của các KGVTV1+V2,V1∩V2.
Lời giải
*V1+V2=span{u1, u2, u3, u4}, xét ma trận tọa độ của hệ{u1, u2, u3, u4}theo cơ sở chính tắc ta
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
có:
A=
1 0 1 0
0 1 1 0
1−1 1 1
0 1 2 1
H3−H1→H3
−−−−−−−→
1 0 1 0
0 1 1 0
0−1 0 1
0 1 2 1
H3+H2→H3
−−−−−−−→
H4−H2→H4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 1 1
H4−H3→H4
−−−−−−−→
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
Do đó:r(A) = 3⇒dim(V1+V2) = 3và có hệ{u1, u2, u4}là một cơ sở. (vì 3 vector này độc lập
tuyến tính)
*
V1=span{u1, u2}=span{(1,0,1,0),(0,1,−1,1)}=span{(1,1,0,1),(0,1,−1,1)}
V2=span{u3, u4}=span{(1,1,1,2),(0,0,1,1)}=span{(1,1,0,1),(0,0,1,1)}
Do:u∈V1∩V2⇔
u∈V1⇔u=k1(1,1,0,1) +k2(0,1,−1,1)
u∈V2⇔u=k3(1,1,0,1) +k4(0,0,1,1)
⇔u=k(1,1,0,1)
Vậydim(V1∩V2) = 1và hệ{(1,1,0,1)}là một cơ sở củaV1∩V2
Bài 16.Cho không gianP2015[x]−các đa thức bậc không quá 2015 và tậpW1={p∈P2015[x]|p(−x) =
p(x),∀x∈R}. Chứng minh rằngW1là không gian con củaP2015[x]. Chỉ ra số chiều và một cơ sở của
W1(không cần chứng minh).
Lời giải
+) Giả sử:p1, p2∈W1theo bài ra ta có:
p1(−x) =p1(x)
p2(−x) =p2(x)
(1)
+) Từ(1)ta suy ra được :
(p1+p2)(−x) = (p1+p2)(x)
(kp1)(−x) = (kp1)(x), k∈R
(2)
+) Từ (2) ta suy ra được:W1là không gian con củaP2015[x]
+) Một cơ sở củaW1là:{1, x
2
, x
4
, ..., x
2014
}và số chiều của không gian conW1là 1008.
Bài 17.Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
11
CLB Hỗ Trợ Học Tập
có:
A=
1 0 1 0
0 1 1 0
1−1 1 1
0 1 2 1
H3−H1→H3
−−−−−−−→
1 0 1 0
0 1 1 0
0−1 0 1
0 1 2 1
H3+H2→H3
−−−−−−−→
H4−H2→H4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 1 1
H4−H3→H4
−−−−−−−→
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
Do đó:r(A) = 3⇒dim(V1+V2) = 3và có hệ{u1, u2, u4}là một cơ sở. (vì 3 vector này độc lập
tuyến tính)
*
V1=span{u1, u2}=span{(1,0,1,0),(0,1,−1,1)}=span{(1,1,0,1),(0,1,−1,1)}
V2=span{u3, u4}=span{(1,1,1,2),(0,0,1,1)}=span{(1,1,0,1),(0,0,1,1)}
Do:u∈V1∩V2⇔
u∈V1⇔u=k1(1,1,0,1) +k2(0,1,−1,1)
u∈V2⇔u=k3(1,1,0,1) +k4(0,0,1,1)
⇔u=k(1,1,0,1)
Vậydim(V1∩V2) = 1và hệ{(1,1,0,1)}là một cơ sở củaV1∩V2
Bài 16.Cho không gianP2015[x]−các đa thức bậc không quá 2015 và tậpW1={p∈P2015[x]|p(−x) =
p(x),∀x∈R}. Chứng minh rằngW1là không gian con củaP2015[x]. Chỉ ra số chiều và một cơ sở của
W1(không cần chứng minh).
Lời giải
+) Giả sử:p1, p2∈W1theo bài ra ta có:
p1(−x) =p1(x)
p2(−x) =p2(x)
(1)
+) Từ(1)ta suy ra được :
(p1+p2)(−x) = (p1+p2)(x)
(kp1)(−x) = (kp1)(x), k∈R
(2)
+) Từ (2) ta suy ra được:W1là không gian con củaP2015[x]
+) Một cơ sở củaW1là:{1, x
2
, x
4
, ..., x
2014
}và số chiều của không gian conW1là 1008.
Bài 17.Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
a)
x1−x2+ 2x3+ 2x4−x5= 0
x1−2x2+ 3x3−x4+ 5x5= 0
2x1+x2+x3+x4+ 3x5= 0
3x1−x2−2x3−x4+x5= 0
b)
2x1−x2+ 3x3−2x4+ 4x5= 0
4x1−2x2+ 5x3+x4+ 7x5= 0
2x1−x2+x3+ 8x4+ 2x5= 0
Lời giải
a)
¯
A=
1−1 2 2 −10
1−2 3−1 50
2 1 1 1 3 0
3−1−2−1 10
H2=H2−H1,H3=H3−2H1
−−−−−−−−−−−−−−−→
H4=H4−3H1
1−1 2 2 −10
0−1 1−3 60
0 3−3−3 50
0 2−8−7 40
H3=H3+3H2
−−−−−−−→
H4=H4+2H2
1−1 2 2 −10
0−1 1 −3 6 0
0 0 0 −12 230
0 0−6−13 160
H3↔H4
−−−−→
1−1 2 2 −10
0−1 1 −3 6 0
0 0−6−13 160
0 0 0 −12 230
Phương trình đã cho trở thành:
x1−x2+ 2x3+ 2x4−x5= 0
−x2+x3−3x4+ 6x5 = 0
−6x3−13x4+ 16x5 = 0
−12x4+ 23x5 = 0
⇔
x1=−
79t
72
x2=−
89t
72
x3=−
107t
72
x4=
23t
12
x5=t
Nghiệm của phương trình đã cho là:
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−
79t
72
,−
89t
72
,−
107t
72
,
23t
12
, t) =t(−
79
72
,−
89
72
,−
107
72
,
23
12
,1)
Cơ sở của không gian nghiệm đã cho là:{(−
79
72
,−
89
72
,−
107
72
,
23
12
,1)}, có số chiều là 1
b)
¯
A=
2−1 3−2 40
4−2 5 1 7 0
2−1 1 8 2 0
H2=H2−2H1
−−−−−−−→
H3=H3−H1
2−1 3−2 40
0 0−1 5−10
0 0−2 10−20
H3=H3−2H2
−−−−−−−→
2−1 3−2 40
0 0−1 5−10
0 0 0 0 0 0
Phương trình đã cho trở thành:
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
12
CLB Hỗ Trợ Học Tập
a)
x1−x2+ 2x3+ 2x4−x5= 0
x1−2x2+ 3x3−x4+ 5x5= 0
2x1+x2+x3+x4+ 3x5= 0
3x1−x2−2x3−x4+x5= 0
b)
2x1−x2+ 3x3−2x4+ 4x5= 0
4x1−2x2+ 5x3+x4+ 7x5= 0
2x1−x2+x3+ 8x4+ 2x5= 0
Lời giải
a)
¯
A=
1−1 2 2 −10
1−2 3−1 50
2 1 1 1 3 0
3−1−2−1 10
H2=H2−H1,H3=H3−2H1
−−−−−−−−−−−−−−−→
H4=H4−3H1
1−1 2 2 −10
0−1 1−3 60
0 3−3−3 50
0 2−8−7 40
H3=H3+3H2
−−−−−−−→
H4=H4+2H2
1−1 2 2 −10
0−1 1 −3 6 0
0 0 0 −12 230
0 0−6−13 160
H3↔H4
−−−−→
1−1 2 2 −10
0−1 1 −3 6 0
0 0−6−13 160
0 0 0 −12 230
Phương trình đã cho trở thành:
x1−x2+ 2x3+ 2x4−x5= 0
−x2+x3−3x4+ 6x5 = 0
−6x3−13x4+ 16x5 = 0
−12x4+ 23x5 = 0
⇔
x1=−
79t
72
x2=−
89t
72
x3=−
107t
72
x4=
23t
12
x5=t
Nghiệm của phương trình đã cho là:
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−
79t
72
,−
89t
72
,−
107t
72
,
23t
12
, t) =t(−
79
72
,−
89
72
,−
107
72
,
23
12
,1)
Cơ sở của không gian nghiệm đã cho là:{(−
79
72
,−
89
72
,−
107
72
,
23
12
,1)}, có số chiều là 1
b)
¯
A=
2−1 3−2 40
4−2 5 1 7 0
2−1 1 8 2 0
H2=H2−2H1
−−−−−−−→
H3=H3−H1
2−1 3−2 40
0 0−1 5−10
0 0−2 10−20
H3=H3−2H2
−−−−−−−→
2−1 3−2 40
0 0−1 5−10
0 0 0 0 0 0
Phương trình đã cho trở thành:
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
2x1−x2+ 3x3−2x4+ 4x5= 0
−x3+ 5x4−x5 = 0
⇔
x1=a
x2= 2a+ 13b+c
x3= 5b−c
x4=b
x5=c
Nghiệm của phương trình đã cho là:(x1, x2, x3, x4, x5) = (a,2a+ 13b+c,5b−c, b, c)
=a(1,2,0,0,0) +b(0,13,5,1,0) +c(0,1,−1,0,1)
Cơ sở của không gian nghiệm đã cho là:{(1,2,0,0,0),(0,13,5,1,0),(0,1,−1,0,1)}, có số chiều
là 3
Bài 18.ChoU,Vlà các không gian con hữu hạn chiều của không gian vectoW. Chứng minhdim(U+
V) = dim(U) + dim(V)−dim(U∩V).
Lời giải
+) Giả sử{w1, w2, ..., wm}là một cơ sở của không gian conU∩V, cơ sở này độc lập tuyến tính trong
không gian conUvàV. Do đó lấy{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui}là cơ sở của không gian vectoUvà
{w1, w2, ..., wm, v1, ..., vj}là cơ sở của không gian vectoV
+) Khi đódim(U∩V) =m, dim(U) =m+ivàdim(V) =m+j
+) Mà(U+V) ={u+v, u∈U, v∈V}nên{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một hệ sinh của
không gian vecto(U+V)do đódim(U+V)≤m+i+j.
Bây giờ ta chứng minh{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một cơ sở của không gian vecto(U+V)
+) Xét:a1w1+a2w2+...+amwm+b1u1+...+biui+c1v1+...+cjvj= 0(1) vớiak, bk, ck∈R
(1) ta có:c1v1+...+cjvj=−a1w1−a2w2−...−amwm−b1u1−...−biui(2)
+) Ta có VP (2) là một vecto thuộc không gian vectoU
Do đóc1v1+...+cjvj∈Umàc1v1+...+cjvj∈Vnênc1v1+...+cjvj∈U∩V(3)
Từ (3) suy ra:c1v1+...+cjvj=d1w1+...+dmwmhayc1v1+...+cjvj−d1w1+...−dmwm= 0
Mà{w1, w2, ..., wm, v1, ..., vj}là cơ sởVnênc1=c2=...=cj=d1=...=dm= 0(4)
Do đó (2) trở thành:a1w1+a2w2+...+amwm+b1u1+...+biui= 0
Mà{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui}là cơ sởUnêna1=...am=b1=...=bi= 0(5)
+) Từ (1), (4), (5) ta suy ra được:{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một cơ sở của không gian vecto
(U+V)
Nên:dim(U+V) =m+i+jtừ đó ta có:dim(U+V) = dim(U) + dim(V)−dim(U∩V)(đpcm)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
13
CLB Hỗ Trợ Học Tập
2x1−x2+ 3x3−2x4+ 4x5= 0
−x3+ 5x4−x5 = 0
⇔
x1=a
x2= 2a+ 13b+c
x3= 5b−c
x4=b
x5=c
Nghiệm của phương trình đã cho là:(x1, x2, x3, x4, x5) = (a,2a+ 13b+c,5b−c, b, c)
=a(1,2,0,0,0) +b(0,13,5,1,0) +c(0,1,−1,0,1)
Cơ sở của không gian nghiệm đã cho là:{(1,2,0,0,0),(0,13,5,1,0),(0,1,−1,0,1)}, có số chiều
là 3
Bài 18.ChoU,Vlà các không gian con hữu hạn chiều của không gian vectoW. Chứng minhdim(U+
V) = dim(U) + dim(V)−dim(U∩V).
Lời giải
+) Giả sử{w1, w2, ..., wm}là một cơ sở của không gian conU∩V, cơ sở này độc lập tuyến tính trong
không gian conUvàV. Do đó lấy{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui}là cơ sở của không gian vectoUvà
{w1, w2, ..., wm, v1, ..., vj}là cơ sở của không gian vectoV
+) Khi đódim(U∩V) =m, dim(U) =m+ivàdim(V) =m+j
+) Mà(U+V) ={u+v, u∈U, v∈V}nên{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một hệ sinh của
không gian vecto(U+V)do đódim(U+V)≤m+i+j.
Bây giờ ta chứng minh{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một cơ sở của không gian vecto(U+V)
+) Xét:a1w1+a2w2+...+amwm+b1u1+...+biui+c1v1+...+cjvj= 0(1) vớiak, bk, ck∈R
(1) ta có:c1v1+...+cjvj=−a1w1−a2w2−...−amwm−b1u1−...−biui(2)
+) Ta có VP (2) là một vecto thuộc không gian vectoU
Do đóc1v1+...+cjvj∈Umàc1v1+...+cjvj∈Vnênc1v1+...+cjvj∈U∩V(3)
Từ (3) suy ra:c1v1+...+cjvj=d1w1+...+dmwmhayc1v1+...+cjvj−d1w1+...−dmwm= 0
Mà{w1, w2, ..., wm, v1, ..., vj}là cơ sởVnênc1=c2=...=cj=d1=...=dm= 0(4)
Do đó (2) trở thành:a1w1+a2w2+...+amwm+b1u1+...+biui= 0
Mà{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui}là cơ sởUnêna1=...am=b1=...=bi= 0(5)
+) Từ (1), (4), (5) ta suy ra được:{w1, w2, ..., wm, u1, ..., ui, v1, ..., vj}là một cơ sở của không gian vecto
(U+V)
Nên:dim(U+V) =m+i+jtừ đó ta có:dim(U+V) = dim(U) + dim(V)−dim(U∩V)(đpcm)
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
13
Download
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 13
- Slides 13
- Age 355 days
Related Slideshows
11
8-top-ai-courses-for-customer-support-representatives-in-2025.pptx
JeroenErne2
51 views
10
7-essential-ai-courses-for-call-center-supervisors-in-2025.pptx
JeroenErne2
49 views
13
25-essential-ai-courses-for-user-support-specialists-in-2025.pptx
JeroenErne2
39 views
11
8-essential-ai-courses-for-insurance-customer-service-representatives-in-2025.pptx
JeroenErne2
38 views
21
Know for Certain
DaveSinNM
24 views
17
PPT OPD LES 3ertt4t4tqqqe23e3e3rq2qq232.pptx
novasedanayoga46
27 views