Giai-tich-22-Dai hoc bach khoa Hà Nội.pdf

Giai-tich-22-Dai hoc bach khoa Hà Nội.pdf

1. TR?ỜNG ẠI HỌC B?CH KHOA H? NỘI
VIỆN TO?N ỨNG DỤNG & TIN HỌC
B?I XU?N DIỆU
B?iGiảng
GIẢI T?CHII
(l?u h?nh nội bộ)
C?C ỨNG DỤNG CỦA PH?P T?NH VI PH?N , T?CH PH?N BỘI, T?CH PH?N
PHỤ THUỘC THAM SỐ , T?CH PH?N ?ỜNG , T?CH PH?N MẶT , L? THUYẾT
TR?ỜNG
T?m tắt l? thuyết, C?c v? dụ, B?i tập v? lời giải
H? Nội- 2009

2. MỤC LỤC
Mụclục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ch??ng 1 . C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học. . . . . . . 5
1 C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học phẳng . . . . . .. . . . 5
1.1 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p tuyến của ?ờng cong tại một i?m. 5
1.2 ộ cong của ?ờng cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 H?nh bao của họ ?ờng cong phụ thu?c một tham số . . . . . . . . . .7
2 C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học kh?ng gian . .. . . . . 10
2.1 H?m v?ct? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng cong cho d?ới dạng tham số 10
2.3 Ph??ng tr?nh ph?p tuyến v? tiếp diện của mặt cong. . . . . . . .. . . 11
2.4 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng cong cho d?ới dạng giao của hai mặt
Ch??ng 2 . T?ch ph?n bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 T?ch ph?n k?p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 T?nh t?ch ph?n k?p trong hệ toạ ộ Descartes . . . . . . . . . . . .. . 16
1.3 Ph?p ổi biến số trong t?ch ph?n k?p . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2 T?ch ph?n bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 ịnh ngh?a v? t?nh chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 T?nh t?ch ph?n bội ba trong hệ toạ ộ Descartes . . . . . . . . . .. . 35
2.3 Ph??ng ph?p ổi biến số trong t?ch ph?n bội ba . . . . . . . . . . .. . 38
3 C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
3.1 T?nh diện t?ch h?nh phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 T?nh thể t?ch vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 T?nh diện t?ch mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ch??ng 3 . T?ch ph?n phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 T?ch ph?n x?c ịnh phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1

3. 2 MỤC LỤC
1.2 C?c t?nh chất của t?ch ph?n x?c ịnh phụ thuộc tham số. . . . .. . . 63
1.3 C?c t?nh chất của t?ch ph?n phụ thuộc tham số với cận biến ổi. . . . 66
2 T?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
2.1 C?c t?nh chất của t?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số. . . . .. . . 67
2.2 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 T?ch ph?n Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 H?m Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 H?m Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ch??ng 4 . T?ch ph?n ?ờng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 T?ch ph?n ?ờng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n ?ờng loại I . . . . . . . . . . . . . . .. 80
1.3 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 T?ch ph?n ?ờng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
2.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n ?ờng loại II . . . . . . . . . . . . . .. . 82
2.3 C?ng thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4 Ứng dụng của t?ch ph?n ?ờng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 iều kiện ể t?ch ph?n ?ờng kh?ng phụ thuộc ?ờng lấy t?chph?n. 92
Ch??ng 5 . T?ch ph?n mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1 T?ch ph?n mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . .95
1.3 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 T?ch ph?n mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1 ịnh h?ớng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 ịnh ngh?a t?ch ph?n mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
2.4 C?ng thức Ostrogradsky, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
2.5 C?ng thức li?n hệ giữa t?ch ph?n mặt loại I v? loại II . . . . . .. . . 105
Ch??ng 6 . L? thuyết tr?ờng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1 Tr?ờng v? h?ớng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.2 ạo h?m theo h?ớng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.4 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2

4. MỤC LỤC 3
2 Tr?ờng v?ct? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1 ịnh ngh?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2 Th?ng l?ợng, dive, tr?ờng ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
2.3 Ho?n l?u, v?ct? xo?y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4 Tr?ờng thế - h?m thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.5 B?i tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3

5. 4 MỤC LỤC
4

6. CH??NG1
C?C ỨNG DỤNG CỦA PH?P T?NH VI PH?N
TRONG H?NH HỌC
§1. C?C ỨNG DỤNG CỦA PH?P T?NH VI PH?N TRONG
H?NH HỌC PHẲNG
1.1 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p tuyến của ?ờng
cong t?i m?t i?m.
1. iểm ch?nh quy.
•Cho ?ờng cong(L)x?c ịnh bởi ph??ng tr?nhf(x,y)=0. i?mM(x0,y0)
?ợc gọi l? iểm ch?nh quy của ?ờng cong(L)nếu tồn tại c?c ạo h?m ri?ng
f
0
x(M),f
0
y(M)kh?ng ồng thời bằng 0.
•Cho ?ờng cong(L)x?c ịnh bởi ph??ng tr?nh tham số



x=x(t)
y=y(t)
. i?m
M(x(t0),y(t0))?ợc gọi l? iểm ch?nh quy của ?ờng cong(L)nếu tồn tại c?c
ạo h?mx
0
(t0),y
0
(t0)kh?ng ồng thời bằng 0.
•Một iểm kh?ng phải l? iểm ch?nh quy ?ợc gọi l? iểm k? dị.
2. C?c c?ng thức.
•Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p tuyến của ?ờng cong x?c ịnh bởi ph??ng
tr?nh tại iểm ch?nh quy:
5

7. 6 Ch??ng 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học
≥Tiếp tuyến
(d):f
0
x(M).(x−x0)+f
0
y(M).(y−y0)=0.
≥Ph?p tuyến
−
d
0

:
x−x0
f
0
x(M)
=
y−y0
f
0
y(M)
.
Ch? ?:Tr?ờng hợp ặc biệt, ?ờng cong cho bởi ph??ng tr?nhy=f(x)
th? ph??ng tr?nh tiếp tuyến của ?ờng cong tại iểmM(x0,y0)ch?nh quy l?
y−y0=f
0
(x0)(x−x0). ?y l? c?ng thức m? học sinh ? biết trong ch??ng
tr?nh phổ th?ng.
•Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p tuyến của ?ờng cong(L)x?c ịnh bởi ph??ng
tr?nh tham số



x=x(t)
y=y(t)
tại iểmM(x(t0),y(t0))ch?nh quy:
≥Tiếp tuyến
(d):
x−x(t0)
x
0
(t0)
=
y−y(t0)
y
0
(t0)
.
≥Ph?p tuyến
−
d
0

:x
0
(t0).(x−x(t0))+y
0
(t0).(y−y(t0))=0.
1.2 ộ cong của ?ờng cong.
1. ịnh ngh?a.
2. C?c c?ng thức t?nh ộ cong của ?ờng cong tại một iểm.
•Nếu ?ờng cong cho bởi ph??ng tr?nhy=f(x)th?:
C(M)=
|y
00
|
(1+y
02
)
3/2
•Nếu ?ờng cong cho bởi ph??ng tr?nh tham số



x=x(t)
y=y(t)
th?:
C(M)=





x
0
y
0
x
00
y
00





(x
02
+y
02
)
3/2
•Nếu ?ờng cong cho bởi ph??ng tr?nh trong toạ ộ cựcr=r(φ)th?:
C(M)=


r
2
+2r
02
−rr
00


(r
2
+r
02
)
3/2
6

8. 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học phẳng 7
1.3 H?nh bao của họ ?ờng cong phụ thu?c một tham
số
1. ịnh ngh?a: Cho họ ?ờng cong(L)phụ thuộc v?o một hay nhiều tham số. Nếu mỗi
?ờng cong trong họ(L)ều tiếp x?c với ?ờng cong(E)tại một iểm n?o ? tr?nE
v? ng?ợc lại, tại mỗi iểm thuộc(E)ều tồn tại một ?ờng cong của họ(L)tiếp x?c
với(E)tại iểm ? th?(E)?ợc gọi l? h?nh bao của họ ?ờng cong(L).
2. Quy tắc t?m h?nh bao của họ ?ờng cong phụ thuộc một tham số.
ịnh l? 1.1.
Cho họ ?ờng congF(x,y,c)=0 phụ thuộc một tham sốc. Nếu họ
?ờng cong tr?n kh?ng c? iểm k? dị th? h?nh bao của n? ?ợc x?c ịnh bằng c?ch
khử
ctừ hệ ph??ng tr?nh



F(x,y,c)=0
F
0
c(x,y,c)=0
(1)
3. Nếu họ ?ờng cong ? cho c? iểm k? dị th? hệ ph??ng tr?nh (1) bao gồm h?nh bao
(E)v? quỹ t?ch c?c iểm k? dị thuộc họ c?c ?ờng cong ? cho.
B?i tập 1.1.Viết ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p tuyến với ?ờng cong:
a)y=x
3
+2x
2
−4x−3tại(−2, 5).
Lời giải.



Ph??ng tr?nh tiếp tuyếny=5
Ph??ng tr?nh ph?p tuyếnx=−2
b)y=e
1−x
2
tại giao iểm của ?ờng cong với ?ờng thằngy=1.
Lời giải.≥TạiM1(−1, 1),



Ph??ng tr?nh tiếp tuyến2x−y+3=0
Ph??ng tr?nh ph?p tuyếnx+2y−1=0
≥TạiM2(−1, 1),



Ph??ng tr?nh tiếp tuyến2x+y−3=0
Ph??ng tr?nh ph?p tuyếnx−2y+1=0
c.
(
x=
1+t
t
3
y=
3
2t
3+
1
2t
tạiA(2, 2).
Lời giải.≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyếny=x.
≥Ph??ng tr?nh ph?p tuyếnx+y−4=0.
7

9. 8 Ch??ng 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học
d.x
2
3+y
2
3=a
2
3tạiM(8, 1).
Lời giải.≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyếnx+2y−10=0.
≥Ph??ng tr?nh ph?p tuyến2x−y−15=0.
B?i tập 1.2.T?nh ộ cong của:
a.y=−x
3
tại iểm c? ho?nh ộx=
1
2
.
Lời giải.
C(M)=
|y
00
|
(1+y
02
)
3/2
=...=
192
125
b.
(
x=a(t−sint)
y=a(t−cost)
(a>0)tại iểm bất k?.
Lời giải.
C(M)=





x
0
y
0
x
00
y
00





(x
02
+y
02
)
3/2
=...=
1
2a
√
2
1
√
1−cosx
c.x
2
3+y
2
3=a
2
3tại iểm bất k?(a>0).
Lời giải. Ph??ng tr?nh tham số:
(
x=acos
3
t
y=asin
3
t
, n?n
C(M)=





x
0
y
0
x
00
y
00





(x
02
+y
02
)
3/2
=...=
1
3a|sintcost|
d.r=ae
bφ
,(a,b>0)
Lời giải.
C(M)=


r
2
+2r
02
−rr
00


(r
2
+r
02
)
3/2
=
1
ae
bφ
√
1+b
2
B?i tập 1.3.T?m h?nh bao của họ ?ờng cong sau:
a.y=
x
c
+c
2
8

10. 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học phẳng 9
b.cx
2
+c
2
y=1
c.y=c
2
(x−c)
2
Lời giải. a. ặtF(x,y,c):=y−
x
c
−c
2
=0.
iều kiện:c6=0.
X?t hệ ph??ng tr?nh:
(
F
0
x(x,y,c)=0
F
0
y(x,y,c)=0
⇔
(
F
0
x(x,y,c)=0
1=0
, hệ ph??ng tr?nh v?
nghiệm n?n họ ?ờng cong kh?ng c? iểm k? dị. Ta c?
(
F(x,y,c)=0
F
0
c(x,y,c)=0
⇔
(
y−
x
c
−c
2
=0
−2c+
x
c
2=0
⇔
(
x=2c
3
y=3c
2
n?n
−
x
2

2
−
−
y
3

3
=0.Do iều kiệnc6=0n?nx,y6=0. Vậy ta c? h?nh bao của họ
?ờng cong l? ?ờng
−
x
2

2
−
−
y
3

3
=0tr? iểmO(0, 0).
b. ặtF(x,y,c):=cx
2
+c
2
y−1=0.Nếuc=0th? kh?ng thoả m?n ph??ng tr?nh ?
cho n?n iều kiện:c6=0.
X?t hệ ph??ng tr?nh:
(
F
0
x(x,y,c)=0
F
0
y(x,y,c)=0
⇔
(
2cx=0
c
2
=0
⇔x=c=0, nh?ng iểm k?
dị ? kh?ng thuộc họ ?ờng cong ? cho n?n họ ?ờng cong ? cho kh?ng c? iểm k?
dị. Ta c?
(
F(x,y,c)=0
F
0
c(x,y,c)=0
⇔
(
cx
2
+c
2
y=1
x
2
+2cx=0
⇔
(
x=
2
c
y=
−1
c
2
Do ?x,y6=0v? ta c? h?nh bao của họ ?ờng cong l? ?ờngy=−
x
4
4
tr? iểmO(0, 0).
c. ặtF(x,y,c):=c
2
(x−c)
2
−y=0.
X?t hệ ph??ng tr?nh:
(
F
0
x(x,y,c)=0
F
0
y(x,y,c)=0
⇔
(
F
0
x=0
−1=0
, hệ ph??ng tr?nh v? nghiệm
n?n họ ?ờng cong ? cho kh?ng c? iểm k? dị.
Ta c? (
F(x,y,c)=0
F
0
c(x,y,c)=0
⇔
(
c
2
(x−c)
2
−y=0(1)
2c(x−c)−2c
2
(x−c)=0(2)
(2)⇔



c=0
c=x
c=
x
2
, thế v?o(1)ta ?ợcy=0,y=
x
4
16
.
Vậy h?nh bao của họ ?ờng cong l?y=0,y=
x
4
16
.
9

11. 10 Ch??ng 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học
§2. C?C ỨNG DỤNG CỦA PH?P T?NH VI PH?N TRONG
H?NH HỌC KH?NG GIAN
2.1 H?m v?ct?
Giả sửIl? một khoảng trongR.
•?nh xạ
I→R
n
t7→
−−→
r(t)∈R
n
?ợc gọi l? h?m v?ct? của biến sốtx?c ịnh tr?nR. Nếu
n=3, ta viết
−−→
r(t)=x(t).
−→
i+y(t).
−→
j+z(t).
−→
k. ặtM(x(t),y(t),z(t)), quỹ t?ch
Mkhitbiến thi?n trongI?ợc gọi l? tốc ồ của h?m v?ct?
−−→
r(t).
•Giới hạn: Ng?ời ta n?i h?m v?ct? c? giới hạn l?
−→
akhit→t0nếulim
t→t0



−−→
r(t)−
−→
a


=
−→
0, k? hiệulim
t→t0
−−→
r(t)=
−→
a.
•Li?n tục: H?m v?ct?
−−→
r(t)x?c ịnh tr?nI?ợc gọi l? li?n tục tạit0∈Inếulim
t→t0
−−→
r(t)=
−−→
r(t0). (tu?ng ??ng với t?nh li?n tục của c?c th?nh phần t??ng ứngx(t),y(t),z(t))
•ạo h?m: Giới hạn, nếu c?, của tỉ sốlim
h→0
∆
−→
r
h
=lim
h→0
−→
r(t0+h)−
−→
r(t0)
h
?ợc gọi l? ạo h?m
của h?m v?ct?
−−→
r(t)tạit0, k? hiệu
−→
r
0
(t0)hay
d
−→
r(t0)
dt
, khi ? ta n?i h?m v?ct?
−−→
r(t)khả
vi tạit0.
Nhận x?t rằng nếux(t),y(t),z(t)khả vi tạit0th?
−−→
r(t)c?ng khả vi tạit0v?
−→
r
0
(t0)=
x
0
(t0).
−→
i+y
0
(t0).
−→
j+z
0
(t0).
−→
k.
2.2 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng
cong cho d?ới dạng tham số
Cho ?ờng cong









x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
v?M(x0,y0,z0)l? một iểm ch?nh quy.
•Ph??ng tr?nh tiếp tuyến tạiM
(d):
x−x(t0)
x
0
(t0)
=
y−y(t0)
y
0
(t0)
=
z−z(t0)
z
0
(t0)
.
•Ph??ng tr?nh ph?p diện tạiM.
(P):x
0
(t0).(x−x(t0))+y
0
(t0).(y−y(t0))+z
0
(t0).(z−z(t0))=0.
10

12. 2. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học kh?ng gian 1 1
2.3 Ph??ng tr?nh ph?p tuyến v? tiếp diện của mặt
cong.
Cho mặt congSx?c ịnh bởi ph??ng tr?nhf(x,y,z) =0v?M(x0,y0,z0)l? một iểm
ch?nh quy củaS.
•Ph??ng tr?nh ph?p tuyến tạiM
(d):
x−x0
f
0
x(M)
=
y−y0
f
0
y(M)
=
z−z0
f
0
z(M)
.
•Ph??ng tr?nh tiếp diện tạiM
(P):f
0
x(M).(x−x0)+f
0
y(M).(y−y0)+f
0
z(M).(z−z0)=0.
ặc biệt, nếu mặt cong cho bởi ph??ng tr?nhz=z(x,y)th? ph??ng tr?nh tiếp diện tạiM
l?(P):z−z0=z
0
x(M).(x−x0)+z
0
y(M).(y−y0).
2.4 Ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng
cong cho d?ới dạng giao của hai mặt cong
Cho ?ờng cong x?c ịnh bởi giao của hai mặt cong nh? sau
(
f(x,y,z)=0
g(x,y,z)=0
.
ặt
−→
n
f=

f
0
x(M),f
0
y(M),f
0
z(M)

, l? v?ct? ph?p tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
congf(x,y,z)=0tạiM.
ặt
−→
ng=

g
0
x(M),g
0
y(M),g
0
z(M)

, l? v?ct? ph?p tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
congg(x,y,z)=0tạiM.
Khi ?
−→
n
f∧
−→
ngl? v?ct? chỉ ph??ng của tiếp tuyến của ?ờng cong ? cho tạiM. Vậy ph??ng
tr?nh tiếp tuyến l?:













PTTQ :
(
f
0
x(M).(x−x0)+f
0
y(M).(y−y0)+f
0
z(M).(z−z0)=0.
g
0
x(M).(x−x0)+g
0
y(M).(y−y0)+g
0
z(M).(z−z0)=0.
PTCT :
x−x0






f
0
y(M)f
0
z(M)
g
0
y(M)g
0
z(M)






=
y−y0






f
0
z(M)f
0
x(M)
g
0
z(M)g
0
x(M)






=
z−z0






f
0
x(M)f
0
y(M)
g
0
x(M)g
0
y(M)






B?i tập 1.4.Giả sử
−→
p(t),
−→
q(t),
−→
α(t)l? c?c h?m v?ct? khả vi. Chứng minh rằng:
a.
d
dt
−
−→
p(t)+
−→
q(t)

=
d
−→
p(t)
dt
+
d
−→
q(t)
dt
11

13. 12 Ch??ng 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học
b.
d
dt
−
α(t)
−→
p(t)

=α(t)
d
−→
p(t)
dt
+α
0
(t)
−→
p(t)
c.
d
dt
−
−→
p(t)
−→
q(t)

=
−→
p(t)
d
−→
q(t)
dt
+
d
−→
p(t)
dt
−→
q(t)
d.
d
dt
−
−→
p(t)∧
−→
q(t)

=
−→
p(t)∧
d
−→
q(t)
dt
+
d
−→
p(t)
dt
∧
−→
q(t)
Lời giải. a. Giả sử
−→
p(t)=(p1(t),p2(t),p3(t)),
−→
q(t)=(q1(t),q2(t),q3(t)), khi ?:
d
dt
−
−→
p(t)+
−→
q(t)

=
d
dt
(p1(t)+q1(t),p2(t)+q2(t),p3(t)+q3(t))
=
−
p
0
1
(t)+q
0
1
(t),p
0
2(t)+q
0
2(t),p
0
3(t)+q
0
3(t)

=
−
p
0
1
(t),p
0
2(t),p
0
3(t)

+
−
q
0
1
(t),q
0
2(t),q
0
3(t)

=
d
−→
p(t)
dt
+
d
−→
q(t)
dt
b.
d
dt
−
α(t)
−→
p(t)

=
−
[α(t)p1(t)]
0
,[α(t)p2(t)]
0
,[α(t)p3(t)]
0

=
−
α
0
(t)p1(t)+α(t)p
0
1
(t),α
0
(t)p2(t)+α(t)p
0
2(t),α
0
(t)p3(t)+α(t)p
0
3(t)

=
−
α
0
(t)p1(t),α
0
(t)p2(t),α
0
(t)p3(t)

+
−
α(t)p
0
1(t),α(t)p
0
2(t),α(t)p
0
3(t)

=α(t)
d
−→
p(t)
dt
+α
0
(t)
−→
p(t)
c. Chứng minh t??ng tự nh? c?u b, sử dụng c?ng thức ạo h?m của h?m hợp.
d.
d
dt
−
−→
p(t)∧
−→
q(t)

=
d
dt





p2(t)p3(t)
q2(t)q3(t)





,





p3(t)p1(t)
q3(t)q1(t)





,





p1(t)p2(t)
q1(t)q2(t)





!
=...
=





p2(t)p
0
3
(t)
q2(t)q
0
3
(t)





,





p3(t)p
0
1
(t)
q3(t)q
0
1
(t)





,





p1(t)p
0
2
(t)
q1(t)q
0
2
(t)





!
+





p
0
2
(t)p3(t)
q
0
2
(t)q3(t)





,





p
0
3
(t)p1(t)
q
0
3
(t)q1(t)





,





p
0
1
(t)p2(t)
q
0
1
(t)q2(t)





!
=
−→
p(t)∧
d
−→
q(t)
dt
+
d
−→
p(t)
dt
∧
−→
q(t)
B?i tập 1.5.Viết ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng:
12

14. 2. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học kh?ng gian 1 3
a.





x=asin
2
t
y=bsintcost
z=ccos
2
t
tại iểm ứng vớit=
π
4
,(a,b,c>0).
b.







x=
e
t
sint
√
2
y=1
z=
e
t
cost
√
2
tại iểm ứng vớit=2.
Lời giải. a. ≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyến:(d):
x−
a
2
a
=
y−
b
2
0
=
z−
c
2
−c
≥Ph??ng tr?nh ph?p diện:(P):a
−
x−
a
2

−c
−
z−
c
2

=0.
b.≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyến:(d):
x
√
2
2
=
y−1
0
=
z−
√
2
2
√
2
2
.
≥Ph??ng tr?nh ph?p diện:(P):
√
2
2
x+
√
2
2

z−
√
2
2

=0.
B?i tập 1.6.Viết ph??ng tr?nh ph?p tuyến v? tiếp diện của mặt cong:
a)x
2
−4y
2
+2z
2
=6tại iểm(2, 2, 3).
b)z=2x
2
+4y
2
tại iểm(2, 1, 12).
c)z=ln(2x+y)tại iểm(−1, 3, 0)
Lời giải. a. ≥Ph??ng tr?nh ph?p tuyến:(d):
x−2
4
=
y−2
−16
=
z−3
12
≥Ph??ng tr?nh tiếp diện:(P): 4(x−2)−16(y−2)+12(z−3)=0
b.≥Ph??ng tr?nh ph?p tuyến:(d):
x−2
8
=
y−1
8
=
z−12
−1
≥Ph??ng tr?nh tiếp diện:(P): 8(x−2)+8(y−1)−(z−12)=0.
c.≥Ph??ng tr?nh ph?p tuyến:(d):
x+1
2
=
y−3
1
=
z
−1
≥Ph??ng tr?nh tiếp diện:(P): 2(x+1)+(y−3)−z=0.
B?i tập 1.7.Vi?t ph??ng tr?nh tiếp tuyến v? ph?p diện của ?ờng:
a.
(
x
2
+y
2
=10
y
2
+z
2
=25
tại iểmA(1, 3, 4)
b.
(
2x
2
+3y
2
+z
2
=47
x
2
+2y
2
=z
tại iểmB(−2, 6, 1)
13

15. 14 Ch??ng 1. C?c ứng dụng của ph?p t?nh vi ph?n trong h?nh học
Lời giải. a. Ta c?
(
f(x,y,z):=x
2
+y
2
−10=0
g(x,y,z):=y
2
+z
2
−25=0
n?n
(
n
f=(2, 6, 0)
ng=(0, 6, 8)
.
Do ?n
f∧ng=2(21,−8, 3). Vậy:
≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyến(d):
x−1
21
=
y−3
−8
=
z−4
3
≥Ph??ng tr?nh ph?p diện(P): 21(x−1)−8(y−3)+3(z−4)=0
b. T??ng tự,
(
n
f=(−8, 6, 12)
ng=(−4, 4,−1)
,n
f∧ng=−2(27, 27, 4)n?n
≥Ph??ng tr?nh tiếp tuyến(d):
x+2
27
=
y−1
27
=
z−6
4
≥Ph??ng tr?nh ph?p diện(P): 27(x+2)+27(y−1)+4(z−6)=0
14

16. CH??NG2
T?CH PH?N BỘI
§1. T?CH PH?N K?P
1.1 ịnh ngh?a
ịnh ngh?a 2.1.
Cho h?m sốf(x,y) x?c ịnh trong một miền ?ng, bị chặnD. Chia
miền
Dmột c?ch tu? ? th?nhnmảnh nhỏ. Gọi c?c mảnh ? v? diện t?ch của ch?ng l?
∆S1,∆S2, ...,∆Sn . Trong mỗi mảnh∆S
ilấy một iểm tu? ?M(x
i,y
i) v? th?nh lập tổng t?ch
ph?n
In=
n
∑
i=1
f(x
i,y
i)∆S
i . Nếu khin→∞ sao chomax{∆S
i→0} m?Intiến tới một gi?
trị hữu hạn
I, kh?ng phụ thuộc v?o c?ch chia miềnDv? c?ch chọn iểmM(x
i,y
i) th? giới
hạn ấy ?ợc gọi l? t?ch ph?n k?p của h?m số
f(x,y) trong miềnD, k? hiệu l?
ZZ
D
f(x,y)dS
Khi ? ta n?i rằng h?m sốf(x,y)khả t?ch trong miềnD. Do t?ch ph?n k?p kh?ng phụ
thuộc v?o c?ch chia miềnDth?nh c?c mảnh nhỏ n?n ta c? thể chiaDth?nh hai họ ?ờng
thẳng song song với c?c trục toạ ộ, khi ?dS=dxdyv? ta c? thể viết
ZZ
D
f(x,y)dS=
ZZ
D
f(x,y)dxdy
T?nh chất c? bản:
•T?nh chất tuyến t?nh:
ZZ
D
[f(x,y)+g(x,y)]dxdy=
ZZ
D
f(x,y)dxdy+
ZZ
D
g(x,y)dxdy
15

17. 16 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
ZZ
D
kf(x,y)dxdy=k
ZZ
D
f(x,y)dxdy
•T?nh chất cộng t?nh: NếuD=D1∪D2v?D1∩D2=∅th?
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
ZZ
D
1
f(x,y)dxdy+
ZZ
D2
f(x,y)dxdy
1.2 T?nh t?ch ph?n k?p trong hệ toạ ộ Descartes
ể t?nh c?c t?ch ph?n hai lớp, ta cần phải ?a về t?nh c?c t?ch ph?n lặp.
1. Ph?c thảo h?nh dạng của miềnD.
2. NếuDl? miền h?nh chữ nhật(D):a6x6b,c6y6dth? ta c? thể sử dụng một
trong hai t?ch ph?n lặp
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
bZ
a
dx
dZ
c
f(x,y)dy=
dZ
c
dy
dZ
c
f(x,y)dx
3. NếuDl? h?nh thang cong c? c?ch cạnh song song vớiOy,(D):a6x6b,ϕ(x)6
y6ψ(x)th? d?ng t?ch ph?n lặp với thứ tựdytr?ớc,dxsau.
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
bZ
a
dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f(x,y)dy
4. NếuDl? h?nh thang cong c? c?ch cạnh song song vớiOx,(D):c6y6d,ϕ(y)6
x6ψ(y)th? d?ng t?ch ph?n lặp với thứ tựdxtr?ớc,dysau.
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
dZ
c
dy
ψ(y)
Z
ϕ(y)
f(x,y)dx
5. NếuDl? miền c? h?nh d?ng phức tạp, kh?ng c? dạng 3,4 th? th?ng th?ờng ta sẽ chia
miềnDth?nh một số hữu hạn miền c? dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng t?nh chất cộng t?nh
ể ?a về việc t?nh to?n những t?ch ph?n lặp tr?n miền c? dạng 3,4.
C?c dạng b?i tập c? bản
16

18. 1. T?ch ph?n k?p 17
Dạng 1: ổi thứ tự lấy t?ch ph?n.
Trong phần tr?n, ch?ng ta biết rằng thứ tự lấy t?ch ph?n v? h?nhd?ng của miềnDc?
li?n quan chặt chẽ ến nhau. Nếu thứ tựdytr?ớc,dxsau th? miềnDc? dạng h?nh thang
cong song song với trụcOy, v? c? biểu diễn l?(D):a6x6b,ϕ(x)6y6ψ(x). Ng?ợc lại,
nếu thứ tựdxtr?ớc,dysau th? miềnDc? dạng h?nh thang cong song song với trụcOx,
v? c? biểu diễn l?(D):c6y6d,ϕ(y)6x6ψ(y). Do vậy việc ổi thứ tự lấy t?ch ph?n
trong t?ch ph?n lặp chẳng qua l? việc biểu diễn miềnDtừ dạng n?y sang dạng kia.
1. Từ biểu thức t?ch ph?n lặp, vẽ ph?c thảo miền D.
2. NếuDl? miền h?nh thang cong c? c?c cạnh song song vớiOyth? ta chiaDth?nh c?c
h?nh thang cong c? c?c cạnh song song vớiOx. T?m biểu diễn giải t?ch của c?c miền
con, v? dụ(D
i):c
i6y6d
i,ϕ
i(y)6x6ψ
i(y), sau ? viết
bZ
a
dx
y2(x)
Z
y
1(x)
f(x,y)dy=∑
i
d
iZ
c
i
dy
ψ
i(y)
Z
ϕ
i(y)
f(x,y)dx
3. L?m t??ng tự trong tr?ờng hợpDl? h?nh thang cong c? c?c cạnh song song vớiOx.
B?i tập 2.1.Thay ổi thứ tự lấy t?ch ph?n của c?c t?ch ph?n sau:
a)
1Z
0
dx
√
1−x
2
Z
−
√
1−x
2
f(x,y)dy
x1
y
1
O
D1
D2
H?nh 2.1 a)
Chia miềnDth?nh hai miền conD1,D2nh? h?nh vẽ,
D1:



−16y60
−
p
1−y
2
6x6
p
1−y
2
,D2:



06y61
−
p
1−y6x6
p
1−y
I=
0Z
−1
dy
√
1−y
2
Z
−
√
1−y
2
f(x,y)dx+
1Z
0
dy
√
1−y
Z
−
√
1−y
f(x,y)dx
17

19. 18 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
b)
1Z
0
dy
1+
√
1−y
2
Z
2−y
f(x,y)dx
x21
y
2
1
O
H?nh 2.1 b)
Lời giải. Ta c?:D:



16x62
2−x6y6
√
2x−x
2
n?n:
I=
2Z
1
dx
√
2x−x
2
Z
2−x
f(x,y)dy
c)
2Z
0
dx
√
2xZ
√
2x−x
2
f(x,y)dx
x21
y
2
1
O
H?nh 2.1 c)
Lời giải. ChiaDth?nh 3 miền nh? h?nh vẽ,
D1:



06y61
y
2
2
6x61−
p
1−y
2
,D2:



06y61
1+
p
1−y
2
6x62
,D3:



16y62
y
2
2
6x62
Vậy:
I=
1Z
0
dy
1−
√
1−y
2
Z
y
2
2
f(x,y)dx+
1Z
0
dy
2Z
1+
√
1−y
2
f(x,y)dx+
2Z
1
dy
2Z
y
2
2
f(x,y)dx
18

20. 1. T?ch ph?n k?p 19
d)
√
2Z
0
dy
y
Z
0
f(x,y)dx+
2Z
√
2
dy
√
4−y
2
Z
0
f(x,y)dx
x√
2
y
√
2
O
H?nh 2.1 d)
Lời giải.
D:



06x6
√
2
x6y6
√
4−x
2
n?n:
I=
√
2Z
0
dx
√
4−x
2
Z
x
f(x,y)dy
Một c?u hỏi rất tự nhi?n ặt ra l? việc ổi thứ tự lấy t?ch ph?n trong c?c b?i to?n t?ch
ph?n k?p c? ? ngh?a nh? thế n?o? H?y x?t b?i to?n sau ?y:
B?i tập 2.2.T?nhI=
1Z
0
dx
1Z
x
2
xe
y
2
dy.
x
1
y
2
O
H?nh 2.2
Lời giải. Ch?ng ta biết rằng h?m sốf(x,y)=xe
y
2
li?n tục tr?n miềnDn?n chắc chắn
khả t?ch tr?nD. Tuy nhi?n c?c bạn c? thể thấy rằng nếu t?nh t?ch ph?n tr?n m? l?m theo
19

21. 20 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
thứ tựdytr?ớc th? kh?ng thể t?nh ?ợc, v? h?m sốe
y
2
kh?ng c? nguy?n h?m s? cấp! C?n
nếu ổi thứ tự lấy t?ch ph?n th?:
I=
1Z
0
dy
√
y
Z
0
xe
y
2
dx=
1Z
0
e
y
2x
2
2



x=
√
y
x=0
dy=
1
2
1Z
0
e
y
2
.ydy=
1
4
e
y
2
|
1
0
=
1
4
(e−1)
Dạng 2: T?nh c?c t?ch ph?n k?p th?ng th?ờng.
B?i tập 2.3.T?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)
ZZ
D
xsin(x+y)dxdy,D=

(x,y)∈R
2
: 06y6
π
2
, 06x6
π
2

Lời giải.
I=
π
2Z
0
dx
π
2Z
0
xsin(x+y)dy=...=
π
2
hoặcI=
π
2Z
0
dy
π
2Z
0
xsin(x+y)dx=...=
π
2
b)I=
ZZ
D
x
2
(y−x)dxdy,Dgiới hạn bởiy=x
2
&x=y
2
x
y
O 1
1
y=x
2
x=y
2
H?nh 2.3
Lời giải.
I=
1Z
0
dx
√
x
Z
x
2

x
2
y−x
3

dy=...=−
1
504
20

22. 1. T?ch ph?n k?p 21
Dạng 3: T?nh c?c t?ch ph?n k?p c? chứa dấu gi? trị tuyệt ối.
Mục ?ch của ch?ng ta l? ph? bỏ ?ợc dấu gi? trị tuyệt ối trong c?c b?i to?n t?nh
t?ch ph?n k?p c? chứa dấu gi? trị tuyệt ối. V? dụ, ể t?nh c?c t?ch ph?n k?p dạng
ZZ
D
|f(x,y)|dxdy. Khảo s?t dấu của h?mf(x,y), do t?nh li?n tục của h?mf(x,y)n?n
?ờng congf(x,y)=0sẽ chia miềnDth?nh hai miền,D
+
,D
−
. Tr?nD
+
,f(x,y)>0, v?
tr?nD
−
,f(x,y)60. Ta c? c?ng thức:
ZZ
D
|f(x,y)|dxdy=
ZZ
D
+
f(x,y)dxdy−
ZZ
D
−
f(x,y)dxdy(1) (1)
C?c b?ớc ể l?m b?i to?n t?nh t?ch ph?n k?p c? chứa dấu gi? trị tuyệt ối:
1. Vẽ ?ờng congf(x,y)=0ể t?m ?ờng cong ph?n chia miềnD.
2. Giả sử ?ờng cong t?m ?ợc chia miềnDth?nh hai miền. ề x?c ịnh xem miền n?o
l?D
+
, miền n?o l?D
−
, ta x?t một iểm(x0,y0)bất k?, sau ? t?nh gi? trịf(x0,y0).
Nếuf(x0,y0)>0th? miền chứa(x0,y0)l?D
+
v? ng?ợc lại.
3. Sau khi x?c ịnh ?ợc c?c miềnD
+
,D
−
, ch?ng ta sử dụng c?ng thức (1) ể t?nh t?ch
ph?n.
B?i tập 2.4.T?nh
ZZ
D
|x+y|dxdy,D:

(x,y)∈R
2
||x61|,|y|61

O
x
1
D+
y
1
D−
H?nh 2.4
Lời giải. Ta c?:
D
+
=D∩{x+y>0}={−16x61,−x6y61}
D
−
=D∩{x+y60}={−16x61,−16y6−x}
21

23. 22 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
n?n:
I=
ZZ
D
+
(x+y)dxdy−
ZZ
D
−
(x+y)dxdy=...=
8
3
B?i tập 2.5.T?nh
ZZ
D
p
|y−x
2
|dxdy,D:

(x,y)∈R
2
||x|61, 06y61

O
x
1
D+
y
1
D−
H?nh 2.5
Lời giải.
D
+
=D∩
n
(x,y)


y−x
2
>0
o
=
n
−16x61,x
2
6y61
o
D
−
=D∩
n
(x,y)


y−x
2
60
o
={−16x61, 06y6x}
I=
ZZ
D
+
q
y−x
2
dxdy+
ZZ
D
−
q
x
2
−ydxdy=I1+I2
trong ?
I1=
1Z
−1
dx
1Z
x
2
q
y−x
2
dy=
2
3
1Z
−1

1−x
2
3
2
dx
x=sint
=
4
3
π
2Z
0
cos
4
tdt=...=
π
4
I2=
1Z
−1
dx
x
2
Z
0
q
x
2
−ydy=
2
3
1Z
−1
|x|
3
dx=
4
3
1Z
0
x
3
dx=
1
3
VậyI=
π
4
+
1
3
22

24. 1. T?ch ph?n k?p 23
Dạng 4: T?nh c?c t?ch ph?n k?p trong tr?ờng hợp miền lấy t?ch ph?n l? miền ối
xứng.
ịnh l? 2.2.
Nếu miềnDl? miền ối xứng qua trụcOx(hoặc t??ng ứngOy) v? h?m l?
h?m lẻ ối với
y(hoặc t??ng ứng ối vớix) th?
ZZ
D
f(x,y)dxdy=0
ịnh l? 2.3.
Nếu miềnDl? miền ối xứng qua trụcOx(hoặc t??ng ứngOy) v? h?m l?
h?m chẵn ối với
y(hoặc t??ng ứng ối vớix) th?
ZZ
D
f(x,y)dxdy=2
ZZ
D
0
f(x,y)dxdy
trong ?D
0l? phần nằm b?n phải trụcOxcủaD(hoặc t??ng ứng ph?a tr?n của trụcOy
t??ng ứng)
ịnh l? 2.4.Nếu miềnDl? miền ối xứng qua trục gốc toạ ộOv? h?mf(x,y) thoả m?n
f(−x,−y)=−f(x,y) th?
ZZ
D
f(x,y)dxdy=0
B?i tập 2.6.T?nh
ZZ
|x|+|y|61
|x|+|y|dxdy.
O
x
1
y
1
D1
H?nh 2.6
Lời giải. DoDối xứng qua cảOxv?Oy,f(x,y)=|x|+|y|l? h?m chẵn vớix,yn?n
I=4
ZZ
D
1
f(x,y)dxdy=4
1Z
0
dx
1−xZ
0
(x+y)dy=
4
3
23

25. 24 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
1.3 Ph?p ổi biến số trong t?ch ph?n k?p
Ph?p ổi biến số tổng qu?t
Ph?p ổi biến số tống qu?t th?ờng ?ợc sử dụng trong tr?ờng hợpmiền D l? giao của
hai họ ?ờng cong. X?t t?ch ph?n k?p:I=
ZZ
D
f(x,y)dxdy, trong ?f(x,y)li?n tục tr?nD.
Thực hiện ph?p ổi biến sốx=x(u,v),y=y(u,v) (1)thoả m?n:
•x=x(u,v),y=y(u,v)l? c?c h?m số li?n tục v? c? ạo h?m ri?ng li?n tục trong
miền ?ngDuvcủa mặt phẳngO
0
uv.
•C?c c?ng thức (1) x?c ịnh song ?nh từDuv→D.
•ịnh thức JacobiJ=
D(x,y)
D(u,v)
=





x
0
ux
0
v
y
0
u
y
0
v





6=0
Khi ? ta c? c?ng thức:
I=
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
ZZ
Duv
f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv
Ch? ?:
•Mục ?ch của ph?p ổi biến số l? ?a việc t?nh t?ch ph?n từ miềnDc? h?nh d?ng
phức tạp về t?nh t?ch ph?n tr?n miềnDuv?n giản h?n nh? l? h?nh thang cong hoặc
h?nh chữ nhật. Trong nhiều tr?ờng hợp, ph?p ổi biến số c?n c? t?c dụng l?m ?n
giản biểu thức t?nh t?ch ph?nf(x,y).
•Một iều hết sức ch? ? trong việc x?c ịnh miềnDuv? l? ph?p dổi biến số tống qu?t
sẽ biến bi?n của miềnDth?nh biến của miềnDuv, biến miềnDbị chặn th?nh miền
Duvbị chặn.
•C? thể t?nhJth?ng quaJ
−1
=
D(u,v)
D(x,y)
=





u
0
xu
0
y
v
0
x
v
0
y





.
B?i tập 2.7.Chuyển t?ch ph?n sau sang hai biếnu,v:
a)
1Z
0
dx
xZ
−x
f(x,y)dxdy,nếu ặt



u=x+y
v=x−y
b) ?p dụng t?nh vớif(x,y)=(2−x−y)
2
.
24

26. 1. T?ch ph?n k?p 25
O
x
1
y
1
D
O
0 u
2
v
2
H?nh 2.7
Lời giải.



u=x+y
v=x−y
⇒



x=
u+v
2
y=
u−v
2
,|J|=
D(x,y)
D(u,v)
=





1 1
1−1





=−2
h?n nữa
D



06x61
−x6y6x
↔Duv



06u62
06v62−u
n?n
I=
1
2
2Z
0
du
2−uZ
0
f

u+v
2
,
u−v
2

dv
B?i tập 2.8.T?nhI=
ZZ
D
−
4x
2
−2y
2

dxdy,trong ?D:



16xy64
x6y64x
x
y
O
1
1
y=4x
y=x
xy=4
xy=1
H?nh 2.8
25

27. 26 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải. Thực hiện ph?p ổi biến



u=xy
v=
y
x
⇒



x=
p
u
v
y=
√
uv
,Duv:



16u64
16v64
,J
−1
=





y x
−y
x
2
1
x





=2
y
x
=2
√
uv
p
u
v
=2v
khi ?
I=
4Z
1
du
4Z
1

4
u
v
−2uv

.
1
2v
dv=
4Z
1
du
4Z
1

2u
v
2
−u

dv=
4Z
1
−
3
2
udu=−
45
4
Ph?p ổi biến số trong toạ ộ cực
Trong rất nhiều tr?ờng hợp, việc t?nh to?n t?ch ph?n k?p trongtoạ ộ cực ?n giản
h?n rất nhiều so với việc t?nh t?ch ph?n trong toạ ộ Descartes, ặc biệt l? khi miềnDc?
dạng h?nh tr?n, quạt tr?n, cardioids,. . . v? h?m d?ới dấu t?chph?n c? những biểu thức
−
x
2
+y
2

. Toạ ộ cực của iểmM(x,y)l? bộ(r,ϕ), trong ?



r=



−−→
OM



ϕ=
\−−→
OM,Ox
.
C?ng thức ổi biến:



x=rcosϕ
y=rsinϕ
, trong ? miền biến thi?n củar,ϕphụ thuộc v?o h?nh
dạng của miềnD. Khi ?J=
D(x,y)
D(r,ϕ)
=r, v?I=
ZZ
Drϕ
f(rcosϕ,rsinϕ)rdrdϕ
ặc biệt, nếuD:



ϕ16ϕ6ϕ2
r1(ϕ)6r6r2(ϕ)
, th?
I=
ϕ2Z
ϕ
1
dϕ
r2(ϕ)
Z
r
1(ϕ)
f(rcosϕ,rsinϕ)rdr
B?i tập 2.9.T?m cận lấy t?ch ph?n trong toạ ộ cựcI=
ZZ
D
f(x,y)dxdy, trong ?Dl?
miền x?c ịnh nh? sau:
a)a
2
6x
2
+y
2
6b
2
26

28. 1. T?ch ph?n k?p 27
x
y
O a
a
b
b
H?nh 2.9a
Lời giải.
D:



06ϕ62π
a6r6b
⇒I=
2πZ
0
dϕ
bZ
a
f(rcosϕ,rsinϕ)rdr
b)x
2
+y
2
>4x,x
2
+y
2
68x,y>x,y62x
x42 8
y
O
H?nh 2.9b
Lời giải. Ta c?:
D:



π
4
6ϕ6
π
3
4 cosϕ6r68 cosϕ
⇒I=
π
3Z
π
4
dϕ
8 cosϕ
Z
4 cosϕ
f(rcosϕ,rsinϕ)rdr
B?i tập 2.10.D?ng ph?p ổi biến số trong toạ ộ cực, h?y t?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)
RZ
0
dx
√
R
2
−x
2
Z
0
ln
−
1+x
2
+y
2

dy(R>0).
27

29. 28 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
xR
y
O
H?nh 2.10 a
Từ biểu thức t?nh t?ch ph?n ta suy ra biểu thức giải t?ch của miềnDl?:



06x6R
06y6
√
R
2
−x
2
n?n chuyển sang toạ ộ cực, ặt:



x=rcosϕ
y=rsinϕ
th?



06ϕ6
π
2
06r6R
I=
π
2Z
0
dϕ
RZ
0
ln

1+r
2

rdr=
π
4
RZ
0
ln

1+r
2

d

1+r
2

=
π
4
h
R
2
+1

ln

R
2
+1

−R
2
i
b) T?nh
ZZ
D
xy
2
dxdy,Dgiới hạn bởi



x
2
+(y−1)
2
=1
x
2
+y
2
−4y=0
.
x
y
2
4
O
H?nh 2.10 b
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



06ϕ6π
2 sinϕ6r64 sinϕ
28

30. 1. T?ch ph?n k?p 29
I=
πZ
0
dϕ
4 sinϕ
Z
2 sinϕ
rcosϕ.(rsinϕ)
2
rdr
=0
C?ch 2:V?Dối xứng quaOyv?xy
2
l? h?m số lẻ ối vớixn?nI=0.
B?i tập 2.11.T?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)
ZZ
D
dxdy
(x
2
+y
2
)
2, trong ?D:



4y6x
2
+y
2
68y
x6y6x
√
3
x
y
4
8
O
y=x
y=x
√
3
H?nh 2.11a
Lời giải.
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



π
4
6ϕ6
π
3
4 sinϕ6r68 sinϕ
I=
π
3Z
π
4
dϕ
8 sinϕ
Z
4 sinϕ
1
r
4
rdr=−
1
2
π
3Z
π
4

1
64 sin
2
ϕ
−
1
16 sin
2
ϕ

dϕ=
3
128

1−
1
√
3

b)
ZZ
D
r
1−x
2
−y
2
1+x
2
+y
2dxdytrong ?D:x
2
+y
2
61
29

31. 30 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
x1
y
1
O
H?nh 2.11b
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



06ϕ62π
06r61
Ta c?:
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
s
1−r
2
1+r
2
rdr
u=r
2
=2π
1Z
0
1
2
r
1−u
1+u
du
ặt
t=
r
1−u
1+u
⇒



du=−
4t
(1+t
2
)
2dt
06t61
I=π
1Z
0
t

−
4t
(1+t
2
)
2
!
dt=−π
1Z
0
4dt
1+t
2
+4π
1Z
0
dt
(1+t
2
)
2
=−4πarctgt



1
0
+4π
≤
1
2
t
t
2
+1
+
1
2
arctgt
≥



1
0
=
π
2
2
c)
ZZ
D
xy
x
2
+y
2dxdytrong ?D:













x
2
+y
2
612
x
2
+y
2
>2x
x
2
+y
2
>2
√
3y
x>0,y>0
30

32. 1. T?ch ph?n k?p 31
x2
2
√
3
y
2
√
3
O
D1
D2
H?nh 2.11c
Lời giải. Chia miềnDth?nh hai miền nh? h?nh vẽ,
D=D1∪D2,D1=



06ϕ6
π
6
2 cosϕ6r62
√
3
,D2=



π
6
6ϕ6
π
2
2
√
3 sinϕ6r62
√
3
VậyI=I1+I2,trong ?
I1=
π
6Z
0
dϕ
2
√
3Z
2 cosϕ
r
2
cosϕsinϕ
r
2
rdr=
1
2
π
6Z
0
cosϕsinϕ

12−4cos
2
ϕ

dϕ=...=
17
32
I2=
π
2Z
π
6
dϕ
2
√
3Z
2
√
3 sinϕ
r
2
cosϕsinϕ
r
2
rdr=
1
2
π
2Z
π
6
cosϕsinϕ

12−12 sin
2
ϕ

dϕ=...=
27
32
n?nI=
11
8
Ph?p ổi biến số trong toạ ộ cực suy rộng.
Ph?p ổi biến trong toạ ộ cực suy rộng ?ợc sử dụng khi miềnDc? h?nh dạng ellipse
hoặc h?nh tr?n c? t?m kh?ng nằm tr?n c?c trục toạ ộ. Khi sử dụngph?p biến ổi n?y, bắt
buộc phải t?nh lại c?c Jacobian của ph?p biến ổi.
1. NếuD:
x
2
a
2+
y
2
b
2=1, thực hiện ph?p ổi biến



x=arcosϕ
y=brsinϕ
,J=abr
2. NếuD:(x−a)
2
+(y−b)
2
=R
2
, thực hiện ph?p ổi biến



x=a+rcosϕ
y=b+rsinϕ
,J=r
3. X?c ịnh miền biến thi?n củar,ϕtrong ph?p ổi biến trong hệ toạ ộ cực suy rộng.
31

33. 32 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
4. Thay v?o c?ng thức ổi biến tổng qu?t v? ho?n tất qu? tr?nh ổi biến.
B?i tập 2.12.T?nh
ZZ
D


9x
2
−4y
2


dxdy, trong ?D:
x
2
4
+
y
2
9
61.
x2
y
3
O
H?nh 2.12
Lời giải.
ặt



x=2rcosϕ
y=3rsinϕ
⇒J=6r,



06ϕ62π
06r61
Ta c?:
I=6
ZZ
Drϕ


36r
2
cos
2
ϕ−36r
2
sin
2
ϕ


rdrdϕ=6.36
2πZ
0
|cos 2ϕ|dϕ
1Z
0
r
3
dr=...=216
B?i tập 2.13.T?nh
RZ
0
dx
√
R
2
−x
2
Z
−
√
R
2
−x
2
p
Rx−x
2
−y
2
dy,(R>0)
x
R
y
O
H?nh 2.13
Lời giải. Từ biểu thức t?nh t?ch ph?n suy ra biểu thức giải t?ch củaDl?:
D:



06x6R
−
√
Rx−x
2
6y6
√
Rx−x
2
⇔

x−
R
2

2
+y
2
6
R
2
4
32

34. 1. T?ch ph?n k?p 33
ặt



x=
R
2
+rcosϕ
y=rsinϕ
⇒|J|=r,



06ϕ62π
06r6
R
2
Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
R
2Z
0
r
R
2
4
−r
2
rdr=2π.
−1
2
R
2Z
0
r
R
2
4
−r
2
d

R
2
4
−r
2

=
πR
3
12
B?i tập 2.14.T?nh
ZZ
D
xydxdy, với
a)Dl? mặt tr?n(x−2)
2
+y
2
61
x
31
y
O
H?nh 2.14a
Lời giải.
ặt



x=2+rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



06r61
06ϕ62π
n?n
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
(2+rcosϕ)rsinϕ.rdr=0
C?ch 2.Nhận x?t: DoDl? miền ối xứng quaOx,f(x,y)=xyl? h?m lẻ ối với y
n?nI=0.
b)Dl? nửa mặt tr?n(x−2)
2
+y
2
61,y>0
x
31
y
O
H?nh 2.14b
33

35. 34 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải.
ặt



x=2+rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



06r61
06ϕ6π
n?n
I=
πZ
0
dϕ
1Z
0
(2+rcosϕ)rsinϕ.rdr=
4
3
34

36. 2. T?ch ph?n bội ba 35
§2. T?CH PH?N BỘI BA
2.1 ịnh ngh?a v? t?nh chất
ịnh ngh?a 2.2.
Cho h?m sốf(x,y,z) x?c ịnh trong một miền ?ng, bị chặnVcủa kh?ng
gian
Oxyz. Chia miềnVmột c?ch tu? ? th?nhnmiền nhỏ. Gọi c?c miền ? v? thể t?ch
của ch?ng l?
∆V1,∆V2, ...,∆Vn . Trong mỗi miền∆
ilấy một iểm tu? ?M(x
i,y
i,z
i) v? th?nh
lập tổng t?ch ph?n
In=
n
∑
i=1
f(xi,yi,zi)∆Vi . Nếu khin→+∞ sao chomax{∆Vi→0} m?In
tiến tới một gi? trị hữu hạnI, kh?ng phụ thuộc v?o c?ch chia miềnVv? c?ch chọn iểm
M(x
i,y
i,z
i) th? giới hạn ấy ?ợc gọi l?t?ch ph?n bội bacủa h?m sốf(x,y,z) trong miềnV,
k? hiệu l?
ZZZ
V
f(x,y,z)dV
.
Khi ? ta n?i rằng h?m sốf(x,y,z)khả t?ch trong miềnV.
Do t?ch ph?n bội ba kh?ng phụ thuộc v?o c?ch chia miềnVth?nh c?c miền nhỏ n?n ta c?
thể chiaVbởi ba họ mặt thẳng song song với c?c mặt phẳng toạ ộ, khi ?dV=dxdydz
v? ta c? thể viết
ZZZ
V
f(x,y,z)dV=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz
C?c t?nh chất c? bản
•T?nh chất tuyến t?nh
ZZZ
V
[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz+
ZZZ
V
g(x,y,z)dxdydz
ZZZ
V
kf(x,y,z)dxdydz=k
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz
•T?nh chất cộng t?nh: NếuV=V1∪V2v?V1∩V2=∅th?:
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=
ZZZ
V
1
f(x,y,z)dxdydz+
ZZZ
V2
f(x,y,z)dxdydz
2.2 T?nh t?ch ph?n bội ba trong hệ toạ ộ Descartes
C?ng giống nh? việc t?nh to?n t?ch ph?n k?p, ta cần phải ?a t?ch ph?n ba lớp về t?ch
ph?n lặp. Việc chuyển ổi n?y sẽ ?ợc thực hiện qua trung gian l? t?ch ph?n k?p.
T?ch ph?n ba lớp⇒T?ch ph?n hai lớp⇒T?ch ph?n lặp
35

37. 36 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
S? ồ tr?n cho thấy việc t?nh t?ch ph?n ba lớp ?ợc chuyển về t?nh t?ch ph?n k?p (việc
t?nh t?ch ph?n k?p ? ?ợc nghi?n cứu ở b?i tr?ớc). ??ng nhi?nviệc chuyển ổi n?y phụ
thuộc chặt chẽ v?o h?nh d?ng của miềnV. Một lần nữa, k? n?ng vẽ h?nh l? rất quan trọng.
Nếu miềnV?ợc giới hạn bởi c?c mặtz=z1(x,y),z=z2(x,y), trong ?z1(x,y),z2(x,y)
l? c?c h?m số li?n tục tr?n miềnD,Dl? h?nh chiếu của miềnVl?n mặt phẳngOxyth? ta
c?:
I=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=
ZZ
D
dxdy
z2(x,y)
Z
z
1(x,y)
f(x,y,z)dz (2.1)
Thuật to?n chuyển t?ch ph?n ba lớp về t?ch ph?n hai lớp
1. X?c ịnh h?nh chiếu của miềnVl?n mặt phẳngOxy.
2. X?c ịnh bi?n d?ớiz=z1(x,y)v? bi?n tr?nz=z2(x,y)củaV.
3. Sử dụng c?ng thức 2.1 ể ho?n tất việc chuyển ổi.
ến ?y mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn ề c?n lại b?y giờ l?:
X?c ịnhDv? c?c bi?nz=z1(x,y),z=z2(x,y)nh? thế n?o?
C? hai c?ch ề x?c ịnh: D?ng h?nh học hoặc l? dựa v?o biểu thức giải t?ch của miềnV.
Mỗi c?ch ều c? những ?u v? nh?ợc iểm ri?ng. C?ch d?ng h?nh họctuy kh? thực hiện
h?n nh?ng c? ?u iểm l? rất trực quan, dễ hiểu. C?ch d?ng biểu thức giải t?ch củaVtuy
c? thể ?p dụng cho nhiều b?i nh?ng th?ờng kh? hiểu v? phức tạp. Ch?ng t?i khuy?n c?c
em sinh vi?n h?y cố gắng thử c?ch vẽ h?nh tr?ớc. Muốn l?m ?ợc iều n?y, ?i hỏi c?c bạn
sinh vi?n phải c? k? n?ng vẽ c?c mặt cong c? bản trong kh?ng giannh? mặt phẳng, mặt
trụ, mặt n?n, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1tầng, hyperboloit 2 tầng, h?n
nữa c?c bạn cần c? tr? t?ởng t?ợng tốt ề h?nh dung ra sự giao cắtcủa c?c mặt.
Ch? ?:C?ng giống nh? khi t?nh t?ch ph?n k?p, việc nhận x?t ?ợc t?nh ối xứng của miền
Vv? t?nh chẵn lẻ của h?m lấy t?ch ph?nf(x,y,z)?i khi gi?p sinh vi?n giảm ?ợc khối
l?ợng t?nh to?n ?ng kể.
ịnh l? 2.5.
NếuVl? miền ối xứng qua mặt phẳngz=0(Oxy) v?f(x,y,z) l? h?m số lẻ
ối với
zth?
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=0
.
ịnh l? 2.6.NếuVl? miền ối xứng qua mặt phẳngz=0(Oxy) v?f(x,y,z) l? h?m số
ch?n ối với
zth?
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=2
ZZZ
V
+
f(x,y,z)dxdydz
, trong ?V
+l? phần ph?a
tr?n mặt phẳng
z=0củaV.
36

38. 2. T?ch ph?n bội ba 37
Tất nhi?n ch?ng ta c? thể thay ổi vai tr? củaztrong hai ịnh l? tr?n bằngxhoặcy. Hai
ịnh l? tr?n c? thể ?ợc chứng minh dễ d?ng bằng ph??ng ph?p ổibiến số.
B?i tập 2.15.T?nh
ZZZ
V
zdxdydztrong ? miềnV?ợc x?c ịnh bởi:











06x6
1
4
x6y62x
06z6
q
1−x
2
−y
2
Lời giải.
I=
1
4Z
0
dx
2xZ
x
dy
√
1−x
2
−y
2
Z
0
zdz=
1
4Z
0
dx
2xZ
x
1
2

1−x
2
−y
2

dy=
1
2
1
4Z
0

x−
10
3
x
3

dx=
43
3072
B?i tập 2.16.T?nh
ZZZ
V
−
x
2
+y
2

dxdydztrong ?V:
(
x
2
+y
2
+z
2
=1
x
2
+y
2
−z
2
=0
.
y
z
x
O
z=
p
1−x
2
−y
2
z=
p
x
2
+y
2
D
H?nh 2.16
37

39. 38 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải. Do t?nh chất ối xứng,
ZZZ
V
−
x
2
+y
2

dxdydz=2
ZZZ
V
1
−
x
2
+y
2

dxdydz=2I1, trong
?V1l? nửa ph?a tr?n mặt phẳngOxycủaV. Ta c?





V1:
q
x
2
+y
2
6z6
q
1−x
2
−y
2
D:x
2
+y
2
6
1
2
,
,
vớiDl? h?nh chiếu củaV1l?nOxy. Ta c?
I1=
ZZ
D
x
2
+y
2
dxdy
√
1−x
2
−y
2
Z
√
x
2
+y
2
dz=
ZZ
D

x
2
+y
2

q
1−x
2
−y
2
−
q
x
2
+y
2

dxdy
ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒J=r,





06ϕ62π
06r6
1
√
2
n?n
I1=
1
√
2Z
0
r
3
p
1−r
2
−r

dr
2πZ
0
dϕ=2π
1
√
2Z
0
r
3
p
1−r
2
−r

dr=
(r=cosα)
...=
2π
5
.
8−5
√
2
12
Vậy
I=
4π
5
.
8−5
√
2
12
2.3 Ph??ng ph?p ổi biến số trong t?ch ph?n bội ba
Ph?p ổi biến số tổng qu?t
Ph?p ổi biến số tổng qu?t th?ờng ?ợc sử dụng trong tr?ờng hợpmiềnVl? giao của
ba họ mặt cong. Giả sử cần t?nhI=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydztrong ?f(x,y,z)li?n tục tr?nV.
Thực hiện ph?p ổi biến số







x=x(u,v,w)
y=y(u,v,w)
z=z(u,v,w)
(2.2)
thoả m?n
•x,y,zc?ng với c?c ạo h?m ri?ng của n? l? c?c h?m số li?n tục tr?n miền?ngVuvw
của mặt phẳngO
0
uvw.
•C?ng thức 2.2 x?c ịnh song ?nhVuvw→V.
38

40. 2. T?ch ph?n bội ba 39
•J=
D(x,y,z)
D(u,v,w)
6=0trongVuvw. Khi ?
I=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=
ZZZ
Vuvw
f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]|J|dudvdw
C?ng giống nh? ph?p ổi biến trong t?ch ph?n k?p, ph?p ổi biếntrong t?ch ph?n bội ba
c?ng biến bi?n của miềnVth?nh bi?n của miềnVuvw, biến miềnVbị chặn th?nh miền
Vuvwbị chặn.
B?i tập 2.17.T?nh thể t?ch miềnVgiới hạn bởi







x+y+z=±3
x+2y−z=±1
x+4y+z=±2
biếtV=
ZZZ
V
dxdydz.
Lời giải. Thực hiện ph?p ổi biến







u=x+y+z
v=x+2y−z
w=x+4y+z
. V? ph?p ổi biến biến bi?n củaV
th?nh bi?n củaVuvwn?nVuvwgiới hạn bởi:







u=±3
v=±1
w=±2
J
−1
=
D(u,v,w)
D(x,y,z)
=







1 1 1
1 2−1
1 4 1







=6⇒J=
1
6
⇒V=
1
6
ZZZ
Vuvw
dudvdw=
1
6
.6.2.4=8
Ph?p ổi biến số trong toạ ộ trụ
Khi miềnVc? bi?n l? c?c mặt nh? mặt paraboloit, mặt n?n, mặt trụ, v? c? h?nh chiếu
Dl?nOxyl? h?nh tr?n, hoặc h?m lấy t?ch ph?nf(x,y,z)c? chứa biểu thức(x
2
+y
2
)th? ta
hay sử dụng c?ng thức ổi biến trong hệ toạ ộ trụ. Toạ ộ trụ củaiểmM(x,y,z)l? bộ ba
(r,ϕ,z), trong ?(r,ϕ)ch?nh l? toạ ộ cực của iểmM
0
l? h?nh chiếu của iểmMl?nOxy.
C?ng thức ổi biến







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
. ịnh thức Jacobian của ph?p biến ổi l?J=
D(x,y,z)
D(r,ϕ,z)
=r,
ta c?:
I=
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=
ZZZ
Vrϕz
f(rcosϕ,rsinϕ,z)rdrdϕdz
39

41. 40 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Nếu miềnV:
(
(x,y)∈D
z1(x,y)6z6z2(x,y)
, trong ?D:
(
ϕ16ϕ6ϕ2
r1(ϕ)6r6r2(ϕ)
th?:
I=
ϕ2Z
ϕ
1
dϕ
r2(ϕ)
Z
r
1(ϕ)
rdr
z2(rcosϕ,rsinϕ)
Z
z
1(rcosϕ,rsinϕ)
f(rcosϕ,rsinϕ,z)dz
B?i tập 2.18.T?nh
ZZZ
V
−
x
2
+y
2

dxdydz, trong ?V:
(
x
2
+y
2
61
16z62
.
y
z
x
O
V
1
2
H?nh 2.18
Lời giải. ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
th?







06ϕ62π
06r61
16z62
. Ta c?
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
r
2
dr
2Z
1
zdz=...=
3π
4
B?i tập 2.19.T?nh
ZZZ
V
z
p
x
2
+y
2
dxdydz, trong ?:
a)Vl? miền giới hạn bởi mặt trụ:x
2
+y
2
=2xv? c?c mặt phẳngz=0,z=a(a>0).
b)Vl? nửa của h?nh cầux
2
+y
2
+z
2
6a
2
,z>0(a>0)
40

42. 2. T?ch ph?n bội ba 41
y
z
x
O
H?nh 2.19a
Lời giải. a) ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
. Từx
2
+y
2
=2xsuy rar=2 cosϕ. Do ?:









−
π
2
6ϕ6
π
2
06r62 cosϕ
06z6a
.
Vậy
I=
π
2Z
−
π
2
dϕ
2 cosϕ
Z
0
r
2
dr
aZ
0
zdz=...=
16a
2
9
y
z
x
O
H?nh 2.19b
41

43. 42 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải. b) ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
, ta c?







06ϕ62π
06r6a
06z6
p
a
2
−r
2
. Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
aZ
0
r
2
dr
√
a
2
−r
2
Z
0
zdz=2π
aZ
0
r
2
.
a
2
−r
2
2
dr=
2πa
5
15
B?i tập 2.20.T?nhI=
ZZZ
V
ydxdydz, trong ?Vgiới hạn bởi:
(
y=
p
z
2
+x
2
y=h
.
y
z
x
O h
H?nh 2.20
Lời giải. ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
, ta c?







06ϕ62π
06r6h
r6y6h
. Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
hZ
0
rdr
hZ
r
ydy=2π
hZ
0
r.
h
2
−r
2
2
dr=
πh
4
4
B?i tập 2.21.T?nhI=
ZZZ
V
p
x
2
+y
2
dxdydztrong ?Vgiới hạn bởi:
(
x
2
+y
2
=z
2
z=1
.
42

44. 2. T?ch ph?n bội ba 43
y
z
x
O
H?nh 2.21
Lời giải. ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
, ta c?







06ϕ62π
06r61
r6z61
. Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
r
2
dr
1Z
r
dz=2π
1Z
0
r
2
(1−r)dr=
π
6
B?i tập 2.22.T?nh
ZZZ
V
dxdydz
√
x
2
+y
2
+(z−2)
2
, trong ?V:
(
x
2
+y
2
=≤1
|z| ≤1
.
43

45. 44 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
y
z
x
O
H?nh 2.22
Lời giải. ặt







x=rcosϕ
y=rsinϕ
z
0
=z−2
⇒|J|=r,Vrϕz:







06ϕ62π
06r61
−36z
0
6−1
, ta c?
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
rdr
−1Z
−3
dz
0
√
r
2
+z
02
=π
1Z
0
r. ln

z
0
+
p
r
2
+z
02



z
0
=−1
z
0
=−3
dr
=2π


1Z
0
rln
p
r
2
+1−1

dr−
1Z
0
rln
p
r
2
+9−3

dr


=2π(I1−I2)
V?lim
r→0
rln
√
r
2
+1−1

=lim
r→0
rln
√
r
2
+9−3

=0n?n thực chấtI1,I2l? c?c t?ch ph?n
x?c ịnh.
ặt
√
r
2
+1=t⇒rdr=tdt, ta c?
Z
rln
p
r
2
+1−1

dr
=
Z
tln(t−1)dt
=
t
2
2
ln(t−1)−
1
2
Z
t
2
t−1
dt
=
t
2
−1
2
ln(t−1)−
t
2
4
−
t
2
+C
44

46. 2. T?ch ph?n bội ba 45
n?n
I1=
≤
t
2
−1
2
ln(t−1)−
t
2
4
−
t
2
≥
|
√
2
1
=
1
2
ln
√
2−1

−
1
4
−
1
2
√
2−1

T??ng tự,I2=
t
2
−9
2
ln(t−3)−
t
2
4
−
3t
2
+Cn?n
I2=
≤
t
2
−9
2
ln(t−3)−
t
2
4
−
3t
2
≥
|
√
10
3
=
1
2
ln
√
10−3

−
1
4
−
3
2
√
10−3

Vậy
I=2π(I1−I2)=π

ln
√
2−1
√
10−3
+3
√
10−8−
√
2
!
Ph?p ổi biến trong toạ ộ cầu
Trong tr?ờng hợp miềnVc? dạng h?nh cầu, chỏm cầu, m?i cầu,. . . v? khi h?m lấy t?ch
ph?nf(x,y,z)c? chứa biểu thức
−
x
2
+y
2
+z
2

th? ta hay sử dụng ph?p ổi biến trong toạ
ộ cầu.
Toạ ộ cầu của iểmM(x,y,z)trong kh?ng gian l? bộ ba(r,θ,ϕ), trong ?:













r=



−−→
OM



θ=
\

−−→
OM,Oz

ϕ=
\

−−→
OM
0
,Ox

C?ng thức của ph?p ổi biến l?:







x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
.
ịnh thức JacobianJ=
D(x,y,z)
D(r,θ,ϕ)
=−r
2
sinθ, ta c?:
ZZZ
V
f(x,y,z)dxdydz=
ZZZ
V
rθ ϕ
f(rsinθcosϕ,rsinθsinϕ,rcosθ)r
2
sinθdrdθdϕ
ặc biệt, nếuV
rθϕ:







ϕ16ϕ6ϕ2,(ϕ2−ϕ162π)
θ1(ϕ)6θ6θ2(ϕ)
r1(θ,ϕ)6r6r2(θ,ϕ)
th?
I=
ϕ2Z
ϕ
1
dϕ
θ2(ϕ)
Z
θ
1(ϕ)
sinθdθ
r2(θ,ϕ)
Z
r
1(θ,ϕ)
f(rsinθcosϕ,rsinθsinϕ,rcosθ)r
2
dr
45

47. 46 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
B?i tập 2.23.T?nh
ZZZ
V
−
x
2
+y
2
+z
2

dxdydz, trong ?V:
(
16x
2
+y
2
+z
2
64
x
2
+y
2
6z
2
y
z
x
O
V1
H?nh 2.23
Lời giải. ặt







x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
. Do16x
2
+y
2
+z
2
64n?n1≤r≤2; tr?n mặt n?n c?
ph??ng tr?nhx
2
+y
2
=z
2
n?nθ=
π
4
. Vậy









06ϕ62π
06θ6
π
4
16r62
n?n
I=2
2πZ
0
dϕ
π
4Z
0
sinθdθ
2Z
1
r
2
.r
2
dr=2.2π.(−cosθ)



π
4
0
.
r
5
5



2
1
=
4.31π
5

1−
√
2
2
!
B?i tập 2.24.T?nh
ZZZ
V
p
x
2
+y
2
+z
2
dxdydztrong ?V:x
2
+y
2
+z
2
6z.
46

48. 2. T?ch ph?n bội ba 47
y
z
x
O
H?nh 2.24
Lời giải. ặt







x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
. Nh?n h?nh vẽ ta thấy06ϕ62π, 06θ6
π
2
.
Dox
2
+y
2
+z
2
6zn?n06r6cosθ. Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
π
2Z
0
sinθdθ
cosθZ
0
r.r
2
dr=2π.
π
2Z
0
sinθ.
1
4
cos
4
θdθ=
π
10
Ph?p ổi biến trong toạ ộ cầu suy rộng.
T??ng tự nh? khi t?nh t?ch ph?n k?p, khi miềnVc? dạng h?nh ellipsoit hoặc h?nh cầu
c? t?m kh?ng nằm tr?n c?c trục toạ ộ th? ta sẽ sử dụng ph?p ổi biến số trong toạ ộ cầu
suy rộng. Khi ? ta phải t?nh lại Jacobian của ph?p biến ổi.
1. Nếu miềnVc? dạngh?nh ellipsoit hoặc h?nh cầu c? t?m kh?ng nằm tr?n c?c trục toạ
ộn?n ngh? tới ph?p ổi biến số trong toạ ộ cầu suy rộng.
2.≥NếuV:
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2=1th? thực hiện ph?p ổi biến







x=arsinθcosϕ
y=brsinθsinϕ
z=crcosθ
,J=−abcr
2
sinθ
47

49. 48 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
≥NếuV:(x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
=R
2
th? thực hiện ph?p ổi biến







x=a+rsinθcosϕ
y=b+rsinθsinϕ
z=c+rcosθ
,J=−r
2
sinθ
3. X?c ịnh miền biến thi?n củaϕ,θ,r.
4. D?ng c?ng thức ổi biến tổng qu?t ể ho?n tất việc ổi biến.
B?i tập 2.25.T?nh
ZZZ
V
z
p
x
2
+y
2
dxdydz, trong ?Vl? nửa của khối ellipsoit
x
2
+y
2
a
2+
z
2
b
26
1,z>0,(a,b>0)
Lời giải.C?ch 1: Sử dụng ph?p ổi biến trong toạ ộ trụ suy rộng.
ặt







z=bz
0
x=arcosϕ
y=arsinθ
⇒J=
D(x,y,z)
D(r,ϕ,z)
=a
2
br,V
rϕz
0=
n
06ϕ62π, 06r61, 06z
0
6
p
1−r
2
o
Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
dr
√
1−r
2
Z
0
bz
0
.ar.a
2
brdz
0
=2a
3
b
2
π
1Z
0
r
2
.
1−r
2
2
dr=
2πa
3
b
2
15
C?ch 2: Sử dụng ph?p ổi biến trong toạ ộ cầu suy rộng.
ặt







x=arsinθcosϕ
y=arsinθsinϕ
z=brcosθ
⇒J=
D(x,y,z)
D(r,θ,ϕ)
=a
2
br
2
sinθ,V
rϕz
0=
n
06ϕ62π, 06θ6
π
2
, 06r61
o
Vậy
I=
2πZ
0
dϕ
π
2Z
0
dθ
1Z
0
brcosθ.arsinθ.a
2
bsinθ=2a
3
b
2
π
2πZ
0
cosθsin
2
πdθ
1Z
0
r
4
dr=
2πa
3
b
2
15
B?i tập 2.26.T?nh
ZZZ
V

x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2

dxdydz, ở ?V:
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
261,(a,b,c>0).
48

50. 2. T?ch ph?n bội ba 49
Lời giải. ặt







x=arsinθcosϕ
y=brsinθsinϕ
z=crcosθ
⇒J=
D(x,y,z)
D(r,θ,ϕ)
=abcr
2
sinθ,V
rϕz
0={06ϕ62π, 06θ6π, 06r61}
Vậy
I=abc
2πZ
0
dϕ
πZ
0
dθ
1Z
0
r
2
.r
2
sinθ=
4π
5
abc
49

51. 50 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
§3. C?C ỨNG DỤNG CỦA T?CH PH?N BỘI
3.1 T?nh diện t?ch h?nh phẳng
C?ng thức tổng qu?t:S=
ZZ
D
dxdy
B?i tập 2.27.T?nh diện t?ch của miềnDgiới hạn bởi:







y=2
x
y=2
−x
y=4
.
x
O
1
y
4
y=2
x
y=2
−x
H?nh 2.27
Lời giải. Nhận x?t:
D=D1∪D2,D1
(
−26x60
2
−x
6y64
,D2
(
06x62
2
x
6y64
n?n
S=
ZZ
D
dxdy=
ZZ
D
1
dxdy+
ZZ
D2
dxdy=2
ZZ
D
1
dxdy=...=2

8−
3
ln 2

50

52. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 51
B?i tập 2.28.T?nh diện t?ch của miềnDgiới hạn bởi:
(
y
2
=x,y
2
=2x
x
2
=y,x
2
=2y
x
y
O
y=x
2
x
2
=2y
x=y
2
2x=y
2
H?nh 2.28
Lời giải. Ta c?S=
ZZ
D
dxdy. Thực hiện ph?p ổi biến







u=
y
2
x
v=
x
2
y
⇒Duv:
(
16u62
16v62
,
th?
J
−1
=
D(u,v)
D(x,y)
=





−
y
2
x
2
2y
x
2x
y
−
x
2
y
2





=−3
Vậy
S=
ZZ
Duv
1
3
dudv=
1
3
B?i tập 2.29.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi
(
y=0,y
2
=4ax
x+y=3a,y60(a>0)
.
51

53. 52 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
y
O
x
3a
3a
−6a
H?nh 2.29
Lời giải. Nh?n h?nh vẽ ta thấyD:





−6a6y60
y
2
4a
6x63a−y
n?n
S=
ZZ
D
dxdy=
0Z
−6a
dy
3a−y
Z
y
2
4a
dx=
0Z
−6a

3a−y−
y
2
4a

dy=18a
2
B?i tập 2.30.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi
(
x
2
+y
2
=2x,x
2
+y
2
=4x
x=y,y=0
.
y=x
x2 4
y
O
H?nh 2.30
Lời giải. Ta c?S=
ZZ
D
dxdy, ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
th?D:



06ϕ6
π
4
2 cosϕ6r64 cosϕ
n?n
S=
π
4Z
0
dϕ
4 cosϕ
Z
2 cosϕ
rdr=
1
2
π
4Z
0
12 cos
2
ϕdϕ=
3π
4
+
3
2
52

54. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 53
B?i tập 2.31.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi ?ờng tr?nr=1,r=
2
√
3
cosϕ.
Ch? ?:
•r=al? ph??ng tr?nh ?ờng tr?n t?mO(0, 0), b?n k?nha.
•r=acosϕl? ph??ng tr?nh ?ờng tr?n t?m(a, 0), b?n k?nha.
x
y
O
H?nh 2.31
Lời giải. Giao tại giao iểm của 2 ?ờng tr?n:
r=1=
2
√
3
cosϕ⇔ϕ=±
π
6
n?n
S=2
π
6Z
0
dϕ
2
√
3
cosϕ
Z
1
rdr=2.
1
2
π
6Z
0

4
3
cos
2
ϕ−1

dϕ=
√
3
6
−
π
18
B?i tập 2.32.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi ?ờng
−
x
2
+y
2

2
=2a
2
xy(a>0)(?ờng
)
x
y
O
r=a
p
sin 2ϕ
H?nh 2.32
53

55. 54 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải. Tham số ho? ?ờng cong ? cho, ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
, ph??ng tr?nh ?ờng cong
t??ng ??ng vớir
2
=a
2
sin 2ϕ. Khảo s?t v? vẽ ?ờng cong ? cho trong hệ toạ ộ cực (xem
h?nh vẽ 2.32). Ta c?
D:



06ϕ6
π
2
,π6ϕ6
3π
2
06r6a
p
sin 2ϕ
Do t?nh ối xứng của h?nh vẽ n?n
S=2
π
2Z
0
dϕ
a
√
sin 2ϕ
Z
0
rdr=
π
2Z
0
a
2
sin 2ϕdϕ=a
2
B?i tập 2.33.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi ?ờngx
3
+y
3
=axy(a>0)(L? Descartes)
x
y
O
1
2
1
2
TCX:y=−x−
1
3
H?nh 2.33
Tham số ho? ?ờng cong ? cho, ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
, ph??ng tr?nh ?ờng cong t??ng ??ng
với
r=
asinϕcosϕ
sin
3
ϕ+cos
3
ϕ
Khảo s?t v? vẽ ?ờng cong ? cho trong hệ toạ ộ cực (xem h?nh vẽ 2.33). Ta c?
D:







06ϕ6
π
2
06r6
asinϕcosϕ
sin
3
ϕ+cos
3
ϕ
54

56. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 55
n?n
S=
π
2Z
0
dϕ
asinϕcosϕ
sin
3
ϕ+cos
3
ϕ
Z
0
rdr=
a
2
2
π
2Z
0
sin
2
ϕcos
2
ϕ
−
sin
3
ϕ+cos
3
ϕ

2
dϕ
t=tgϕ
=
a
2
2
.
1
3
+∞Z
0
d
−
t
3
+1

(t
3
+1)
2
=
a
2
6
B?i tập 2.34.T?nh diện t?ch miềnDgiới hạn bởi ?ờngr=a(1+cosϕ) (a>0), (?ờng
Cardioids hay ?ờng h?nh tim)
x
y
O
2a
a
−a
H?nh 2.34
Lời giải. Ta c?
D={06ϕ62π, 06r6a(1+cosϕ)}
n?n
S=2
πZ
0
dϕ
a(1+cosϕ)
Z
0
rdr=a
2
πZ
0
(1+cosϕ)
2
dϕ=...=
3πa
2
2
3.2 T?nh thể t?ch vật thể
C?ng thức tổng qu?t:
V=
ZZZ
V
dxdydz
C?c tr?ờng hợp ặc biệt
1. Vật thể h?nh trụ, mặt xung quanh l? mặt trụ c? ?ờng sinh songsong với trục
Oz, ?y l? miềnDtrong mặt phẳngOxy, ph?a tr?n giới hạn bởi mặt congz=
f(x,y),f(x,y)>0v? li?n tục tr?nDth?V=
ZZ
D
f(x,y)dxdy. (Xem h?nh vẽ d?ới
?y).
55

57. 56 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
y
z
x
O
z=f(x,y)
D
2. Vật thể l? khối trụ, giới hạn bởi c?c ?ờng sinh song song vớitrụcOz, hai mặt
z=z1(x,y),z=z2(x,y). Chiếu c?c mặt n?y l?n mặt phẳngOxyta ?ợc miềnD,
z1(x,y),z2(x,y)l? c?c h?m li?n tục, c? ạo h?m ri?ng li?n tục tr?nD. Khi ?:
V=
ZZ
D
|z1(x,y)−z2(x,y)|dxdy
y
z
x
O
z=f(x,y)
z=g(x,y)
D
Ω
B?i tập 2.35.T?nh diện t?ch miền giới hạn bởi







3x+y>1
3x+2y62
y>0, 06z61−x−y
.
56

58. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 57
y
z
x
O
H?nh 2.35
Lời giải.
V=
ZZ
D
f(x,y)dxdy=
1Z
0
dy
2−2y
3Z
1−y
3
(1−x−y)dx=
1
6
1Z
0

1−2y+y
2

dy=
1
18
B?i tập 2.36.T?nh thể t?ch của miềnVgiới hạn bởi
(
z=4−x
2
−y
2
2z=2+x
2
+y
2
.
y
z
x
O
2z=2+x
2
+y
2
z=4−x
2
−y
2
H?nh 2.36
57

59. 58 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong:
(
x
2
+y
2
=2
z=2
, n?n h?nh chiếu củaVl?n mặt phẳng
Oxyl?D:x
2
+y
2
≤2. H?n nữa tr?nDth?4−x
2
−y
2
>
2+x
2
+y
2
2
n?n ta c?:
V=
ZZ
D

4−x
2
−y
2
−
2+x
2
+y
2
2

dxdy
ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
th?
(
06ϕ62π
06r6
√
2
, do ?
V=
2πZ
0
dϕ
√
2Z
0

3−
3
2
r
2

rdr=...=3π
B?i tập 2.37.T?nh thể t?ch củaV:
(
06z61−x
2
−y
2
y>x,y6
√
3x
.
y
z
x
O 1
1
H?nh 2.37
Lời giải. Dox≤y≤
√
3xn?nx,y≥0. Ta c?
V=
ZZ
D

1−x
2
−y
2

dxdy
58

60. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 59
ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
th?



π
4
6ϕ6
π
3
06r61
. Vậy
V=
π
3Z
π
4
dϕ
1Z
0

1−r
2

rdr=. . .=
π
48
B?i tập 2.38.T?nh thể t?chV:
(
x
2
+y
2
+z
2
64a
2
x
2
+y
2
−2ay60
.
y
z
x
O
2a
2a2a
H?nh 2.38
Lời giải. Do t?nh chất ối xứng của miềnVn?n
V=4
ZZ
D
q
4a
2
−x
2
−y
2
dxdy,
trong ?Dl? nửa h?nh tr?nD:
(
x
2
+y
2
−2ay60
x>0
. ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒



06ϕ6
π
2
06r62asinϕ
59

61. 60 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
Vậy
V=4
π
2Z
0
dϕ
2asinϕ
Z
0
p
4a
2
−r
2
rdr
=4.
−1
2
π
2Z
0
2
3

4a
2
−r
2
3
2



r=2asinϕ
r=0
dϕ
=
4
3
π
2Z
0

8a
3
−8a
3
cos
3
ϕ

dϕ
=
32a
3
3

π
2
−
2
3

B?i tập 2.39.T?nh thể t?ch của miềnVgiới hạn bởi













z=0
z=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
2x
a
.
x
z
O
z=
x
2
a
2+
y
2
b
2
a
1
H?nh 2.39
Lời giải. Ta c? h?nh chiếu củaVl?n mặt phẳngOxyl? miềnD:
x
2
a
2+
y
2
b
2=
2x
a
. Do t?nh chất
ối xứng của miềnVn?n:
V=2
ZZ
D
+

x
2
a
2
+
y
2
b
2

dxdy,
60

62. 3. C?c ứng dụng của t?ch ph?n bội 61
trong ?D
+
l? nửa ellipseD
+
:
x
2
a
2+
y
2
b
2=
2x
a
,y>0
ặt
(
x=arcosϕ
y=brsinϕ
th?|J|=abr,



06ϕ6
π
2
06r62 cosϕ
. Vậy
V=2
π
2Z
0
dϕ
2 cosϕ
Z
0
r
2
rdr=...=
3π
2
B?i tập 2.40.T?nh thể t?ch của miềnV:



az=x
2
+y
2
z=
q
x
2
+y
2
.
y
z
O a−a
a
H?nh 2.40
Lời giải. Giao tuyến của hai ?ờng cong:
z=
q
x
2
+y
2
=
x
2
+y
2
a
⇔
(
x
2
+y
2
=a
2
z=a
Vậy h?nh chiếu củaVl?n mặt phẳngOxyl?
D:x
2
+y
2
=a
2
Nhận x?t rằng, ở trong miềnDth? mặt n?n ở ph?a tr?n mặt paraboloit n?n:
V=
ZZ
D
q
x
2
+y
2
−
x
2
+y
2
a

dxdy
61

63. 62 Ch??ng 2. T?ch ph?n bội
ặt
(
x=rcosϕ
y=rsinϕ
th?
(
06ϕ62π
06r6a
. Vậy
V=
2πZ
0
dϕ
aZ
0

r−
r
2
a

rdr=...=
πa
3
6
3.3 T?nh diện t?ch mặt cong
Mặtz=f(x,y)giới hạn bởi một ?ờng cong k?n, h?nh chiếu của mặt cong l?n mặt
phẳngOxyl?D.f(x,y)l? h?m số li?n tục, c? c?c ạo h?m ri?ng li?n tục tr?nD. Khi ?:
σ=
ZZ
D
q
1+p
2
+q
2
dxdy,p=f
0
x
,q=f
0
y
y
z
x
O
z=f(x,y)
D
62

64. CH??NG3
T?CH PH?N PHỤ THUỘC THAM SỐ .
§1. T?CH PH?N X?C ỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ .
1.1 Giới thiệu
X?t t?ch ph?n x?c ịnh phụ thuộc tham số:I(y)=
bZ
a
f(x,y)dx, trong ?f(x,y)khả
t?ch theo x tr?n[a,b]với mỗiy∈[c,d]. Trong b?i học n?y ch?ng ta sẽ nghi?n cứu một số
t?nh chất của h?m sốI(y)nh? t?nh li?n tục, khả vi, khả t?ch.
1.2 C?c t?nh chất của t?ch ph?n x?c ịnh phụ thuộc
tham số.
1) T?nh li?n tục.
ịnh l? 3.7.
Nếuf(x,y)l? h?m số li?n tục tr?n[a,b]×[c,d] th?I(y)l? h?m số li?n
tục tr?n
[c,d]. Tức l?:
lim
y→y0
I(y)=I(y0)⇔lim
y→y0
bZ
a
f(x,y)dx=
bZ
a
f(x,y0)dx
2) T?nh khả vi.
ịnh l? 3.8.
Giả sử với mỗiy∈[c,d] ,f(x,y) l? h?m số li?n tục theoxtr?n[a,b]v?
f
0
y(x,y) l? h?m số li?n tục tr?n[a,b]×[c,d] th?I(y)l? h?m số khả vi tr?n(c,d)v?
63

65. 64 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
I
0
(y)=
bZ
a
f
0
y(x,y)dx, hay n?i c?ch kh?c ch?ng ta c? thể ?a dấu ạo h?m v?o trong
t?ch ph?n.
3) T?nh khả t?ch.
ịnh l? 3.9.
Nếuf(x,y) l? h?m số li?n tục tr?n[a,b]×[c,d] th?I(y)l? h?m số khả
t?ch tr?n
[c,d], v?:
dZ
c
I(y)dy:=
dZ
c


bZ
a
f(x,y)dx

dy=
bZ
a


dZ
c
f(x,y)dy

dx
B?i tập
B?i tập 3.1.Khảo s?t sự li?n tục của t?ch ph?nI(y)=
1Z
0
y f(x)
x
2
+y
2dx, vớif(x)l? h?m số
d??ng, li?n tục tr?n[0, 1].
Lời giải. Nhận x?t rằng h?m sốg(x,y)=
y f(x)
x
2
+y
2li?n tục tr?n mỗi h?nh chữ nhật[0, 1]×[c,d]
v?[0, 1]×[−d,−c]với0<c<dbất k?, n?n theo ịnh l? 3.7,I(y)li?n tục tr?n mỗi
[c,d],[−d,−c], hay n?i c?ch kh?cI(y)li?n tục với mọiy6=0.
B?y giờ ta x?t t?nh li?n tục của h?m sốI(y)tại iểmy=0. Dof(x)l? h?m số d??ng, li?n
tục tr?n[0, 1]n?n tồn tạim>0sao chof(x)>m>0∀x∈[0, 1]. Khi ? vớiε>0th?:
I(ε)=
1Z
0
εf(x)
x
2
+ε
2
dx>
1Z
0
ε.m
x
2
+ε
2
dx=m.arctg
x
ε
I(−ε)=
1Z
0
−εf(x)
x
2
+ε
2
dx6
1Z
0
−ε.m
x
2
+ε
2
dx=−m.arctg
x
ε
Suy ra|I(ε)−I(−ε)|>2m.arctg
x
ε
→2m.
π
2
khiε→0, tức l?|I(ε)−I(−ε)|kh?ng tiến tới
0 khiε→0,I(y)gi?n oạn tạiy=0.
B?i tập 3.2.T?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)In(α)=
1Z
0
x
α
ln
n
xdx, n l? số nguy?n d??ng.
Lời giải.≥Với mỗiα>0, h?m sốfn(x,α)=x
α
ln
n
x,n=0, 1, 2, ...li?n tục theox
tr?n[0, 1]
64

66. 1. T?ch ph?n x?c ịnh phụ thuộc tham số. 65
≥V?lim
x→0
+
x
α
ln
n+1
x=0n?n
∂fn(x,α)
∂α
=x
α
ln
n+1
xli?n tục tr?n[0, 1]×(0,+∞).
Ngh?a l? h?m sốfn(x,α)=x
α
ln
n
xthoả m?n c?c iều kiện của ịnh l? 3.8 n?n:
I
0
n−1
(α)=
d
dα
1Z
0
x
α
ln
n−1
xdx=
1Z
0
d
dα

x
α
ln
n−1
x

dx=
1Z
0
x
α
ln
n
xdx=In(α)
T??ng tự,I
0
n−2
=In−1, ...,I
0
2
=I1,I
0
1
=I0, suy raIn(α)=[I0(α)]
(n)
. M?I0(α)=
1Z
0
x
α
dx=
1
α+1
⇒In(α)=
h
1
α+1
i
(n)
=
(−1)
n
n!
(α+1)
n+1.
b)
π
2Z
0
ln
−
1+ysin
2
x

dx, vớiy>1.
Lời giải. X?t h?m sốf(x,y)=ln
−
1+ysin
2
x

thoả m?n c?c iều kiện sau:
•f(x,y)=ln
−
1+ysin
2
x

x?c ịnh tr?n
×
0,
π
2
∗
×(1,+∞)v? với mỗiy>−1cho
tr?ớc,f(x,y)li?n tục theoxtr?n
×
0,
π
2
∗
.
•Tồn tạif
0
y(x,y)=
sin
2
x
1+ysin
2
x
x?c ịnh, li?n tục tr?n
×
0,
π
2
∗
×(1,+∞).
Theo ịnh l? 3.8,I
0
(y)=
π
2Z
0
sin
2
x
1+ysin
2
x
dx=
π
2Z
0
dx
1
sin
2
x
+y
.
ặtt=tgxth?dx=
dt
1+t
2, 06t6+∞.
I
0
(y)=
+∞Z
0
t
2
dt
(t
2
+1) (1+t
2
+yt
2
)
=
+∞Z
0
1
y
≤
1
t
2
+1
−
1
1+(y+1)t
2
≥
dt
=
1
y
"
arctgt|
+∞
0
−
1
p
y+1
arctg

t
p
y+1

|
+∞
0
#
=
π
2y

1−
1
p
1+y
!
=
π
2
p
1+y
.
1
1+
p
1+y
Suy ra
I(y)=
Z
I
0
(y)dy=
Z
π
2
p
1+y
.
1
1+
p
1+y
dy=πln

1+
p
1+y

+C
DoI(0)=0n?nC=−πln 2v?I(y)=πln
−
1+
p
1+y

−πln 2.
B?i tập 3.3.X?t t?nh li?n tục của h?m sốI(y)=
1Z
0
y
2
−x
2
(x
2
+y
2
)
2dx.
65

67. 66 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
Lời giải. Tạiy=0,I(0)=
1Z
0
−
1
x
2dx=−∞, n?n h?m sốI(y)kh?ng x?c ịnh tạiy=0.
Tạiy6=0,I(y)=
1Z
0
(x
2
+y
2
)−2x.x
(x
2
+y
2
)
2dx=
1Z
0
d

x
x
2
+y
2

=
1
1+y
2, n?nI(y)x?c ịnh v? li?n tục
với mọiy6=0.
1.3 C?c t?nh chất của t?ch ph?n phụ thuộc tham số với
c?n biến ổi.
X?t t?ch ph?n phụ thuộc tham số với cận biến ổi
J(y)=
b(y)
Z
a(y)
f(x,y)dx,vớiy∈[c,d],a6a(y),b(y)6b∀y∈[c,d]
1) T?nh li?n tục
ịnh l? 3.10.
Nếu h?m sốf(x,y) li?n tục tr?n[a,b]×[c,d] , c?c h?m sốa(y),b(y)
li?n tục tr?n[c,d]v? thoả m?n iều kiệna6a(y),b(y)6b∀y∈[c,d] th?J(y)l?
một h?m số li?n tục ối với
ytr?n[c,d].
2) T?nh khả vi
ịnh l? 3.11.
Nếu h?m sốf(x,y) li?n tục tr?n[a,b]×[c,d] ,f
0
y(x,y) li?n tục tr?n
[a,b]×[c,d] , v?a(y),b(y) khả vi tr?n[c,d]v? thoả m?n iều kiệna6a(y),b(y)6
b∀y∈[c,d]
th?J(y)l? một h?m số khả vi ối với y tr?n[c,d], v? ta c?:
J
0
(y)=
b(y)
Z
a(y)
f
0
y(x,y)dx+f(b(y),y)b
0
y(y)−f(a(y),y)a
0
y(y)
.
B?i tập
B?i tập 3.4.T?mlim
y→0
1+y
Z
y
dx
1+x
2
+y
2.
Lời giải. Dễ d?ng kiểm tra ?ợc h?m sốI(y)=
1+y
Z
y
dx
1+x
2
+y
2li?n tục tạiy=0dựa v?o ịnh
l? 3.10, n?nlim
y→0
1+y
Z
y
dx
1+x
2
+y
2=I(0)=
1Z
0
dx
1+x
2=
π
4
.
66

68. §2. T?CH PH?N SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ .
2.1 C?c t?nh chất của t?ch ph?n suy rộng phụ thuộc
tham số.
X?t t?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham sốI(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx,y∈[c,d]. C?c kết quả
d?ới ?y tuy ph?t biểu ối với t?ch ph?n suy rộng loại II (c? cậnbằng v? c?ng) nh?ng ều
c? thể ?p dụng một c?ch th?ch hợp cho tr?ờng hợp t?ch ph?n suy rộng loại I (c? h?m d?ới
dấu t?ch ph?n kh?ng bị chặn).
1) Dấu hiệu hội tụ Weierstrass
ịnh l? 3.12.
Nếu|f(x,y)|6g(x)∀(x,y)∈[a,+∞]×[c,d] v? nếu t?ch ph?n suy
rộng
+∞Z
a
g(x)dx
hội tụ, th? t?ch ph?n suy rộngI(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx hội tụ ều ối với
y∈[c,d] .
2) T?nh li?n tục
ịnh l? 3.13.
Nếu h?m sốf(x,y) li?n tục tr?n[a,+∞]×[c,d] v? nếu t?ch ph?n suy
rộng
I(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx hội tụ ều ối vớiy∈[c,d] th?I(y)l? một h?m số li?n tục
tr?n
[c,d].
3) T?nh khả vi
ịnh l? 3.14.
Giả sử h?m sốf(x,y) x?c ịnh tr?n[a,+∞]×[c,d] sao cho với mỗiy∈
[c,d]
, h?m sốf(x,y) li?n tục ối vớixtr?n[a,+∞] v?f
0
y(x,y) li?n tục tr?n[a,+∞]×
[c,d]
. Nếu t?ch ph?n suy rộngI(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx hội tụ v?
+∞Z
a
f
0
y(x,y)dx
hội tụ ều
ối với
y∈[c,d] th?I(y)l? h?m số khả vi tr?n[c,d]v?I
0
(y)=
+∞Z
a
f
0
y(x,y)dx .
4) T?nh khả t?ch
ịnh l? 3.15.
Nếu h?m sốf(x,y) li?n tục tr?n[a,+∞]×[c,d] v? nếu t?ch ph?n suy
rộng
I(y)hội tụ ều ối vớiy∈[c,d] th?I(y)l? h?m số khả t?ch tr?n[c,d]v? ta c?
67

69. 68 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
thể ổi thứ tự lấy t?ch ph?n theo c?ng thức:
dZ
c
I(y)dy:=
dZ
c


+∞Z
a
f(x,y)dx

dy=
+∞Z
a


dZ
c
f(x,y)dy

dx.
2.2 B?i tập
Dạng 1. T?nh t?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số bằng c?ch ổi t hứ tự lấy
t?ch ph?n
Giả sử cần t?nhI(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx.
B1.Biểu diễnf(x,y)=
dZ
c
F(x,y)dy.
B2.Sử dụng t?nh chất ổi thứ tự lấy t?ch ph?n:
I(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx=
+∞Z
a


dZ
c
F(x,y)dy

dx=
dZ
c


+∞Z
a
F(x,y)dx

dy
Ch? ?:Phải kiểm tra iều kiện ổi thứ tự lấy t?ch ph?n trong ịnh l? 3.15 ối với t?ch
ph?n suy rộng của h?m sốF(x,y).
B?i tập 3.5.T?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)
1Z
0
x
b
−x
a
lnx
dx,(0<a<b).
Lời giải. Ta c?:
x
b
−x
a
lnx
=F(x,b)−F(x,a)=
bZ
a
F
0
y(x,y)dy=
bZ
a
x
y
dy;

F(x,y):=
x
y
lnx

n?n:
1Z
0
x
b
−x
a
lnx
dx=
1Z
0


bZ
a
x
y
dy

dx=
bZ
a


1Z
0
x
y
dx

dy=
bZ
a
1
y+1
dy=ln
b+1
a+1
Kiểm tra iều kiện về ổi thứ tự lấy t?ch ph?n:
68

70. 2. T?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số. 69
b)
+∞Z
0
e
−αx
−e
−βx
x
dx,(α,β>0).
Lời giải. Ta c?:
e
−αx
−e
−βx
x

F(x,y):=
e
−yx
x

= F(x,α)−F(x,β)=
αZ
β
F
0
y(x,y)=
β
Z
α
e
−yx
dy
n?n:
+∞Z
0
e
−αx
−e
−βx
x
dx=
+∞Z
0


β
Z
α
e
−yx
dy

dx=
β
Z
α


+∞Z
0
e
−yx
dx

dy=
β
Z
α
dy
y
=ln
β
α
.
Kiểm tra iều kiện về ổi thứ tự lấy t?ch ph?n:
c)
+∞Z
0
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2dx,(α,β>0).
Lời giải. Ta c?:
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2

F(x,y):=
e
−yx
2
x
2

= F(x,α)−F(x,β)=
αZ
β
F
0
y(x,y)dy=
β
Z
α
e
−yx
2
dy
n?n:
+∞Z
0
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2
dx=
+∞Z
0


β
Z
α
e
−x
2
y
dy

dx=
β
Z
α


+∞Z
0
e
−x
2
y
dx

dy
Với iều kiện ? biết
+∞Z
0
e
−x
2
dx=
√
π
2
ta c?
+∞Z
0
e
−x
2
y
dx=
√
π
2
√
y
.
Suy raI=
β
Z
α
√
π
2
√
y
dy=
√
π
−p
β−
√
α

.
Kiểm tra iều kiện về ổi thứ tự lấy t?ch ph?n:
e)
+∞Z
0
e
−axsinbx−sincx
x
,(a,b,c>0).
Lời giải. Ta c?:
e
ax
sinbx−sincx
x

F(x,y)=
e
−ax
sinyx
x

= F(x,b)−F(x,c)=
bZ
c
F
0
y(x,y)dy=
bZ
c
e
−ax
cosyxdx
69

71. 70 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
n?n:
I=
+∞Z
0


bZ
c
e
−ax
cosyxdy

dx=
bZ
c


+∞Z
0
e
−ax
cosyxdx

dy
M?
Z
e
−ax
cosyxdx=−
a
a
2
+y
2e
−ax
cosyx+
y
a
2
+y
2e
−ax
sinyx, suy ra
+∞Z
0
e
−ax
cosyxdx=
a
a
2
+y
2,
v?I=
bZ
c
a
a
2
+y
2dy=arctg
b
a
−arctg
c
a
.
Kiểm tra iều kiện về ổi thứ tự lấy t?ch ph?n:
Dạng 2. T?nh t?ch ph?n bằng c?ch ạo h?m qua dấu t?ch ph?n.
Giả sử cần t?nhI(y)=
+∞Z
a
f(x,y)dx.
B1.T?nhI
0
(y)bằng c?chI
0
(y)=
+∞Z
a
f
0
y(x,y)dx.
B2.D?ng c?ng thức Newton-Leibniz ể kh?i phục lạiI(y)bằng c?chI(y)=
Z
I
0
(y)dy.
Ch? ?:Phải kiểm tra iều kiện chuyển dấu ạo h?m qua t?ch ph?n trong ịnh l? 3.14.
B?i tập 3.6.Chứng minh rằng t?ch ph?n phụ thuộc tham sốI(y)=
+∞Z
−∞
arctg(x+y)
1+x
2dxl? một
h?m số li?n tục khả vi ối với biếny. T?nhI
0
(y)rồi suy ra biểu thức củaI(y).
Lời giải. Ta c?:
•f(x,y)=
arctg(x+y)
1+x
2li?n tục tr?n[−∞,+∞]×[−∞,+∞].
•



arctg(x+y)
1+x
2


6
π
2
.
1
1+x
2, m?
+∞Z
−∞
1
1+x
2=πhội tụ, n?nI(y)=
+∞Z
−∞
arctg(x+y)
1+x
2dxhội tụ ều
tr?n[−∞,+∞].
Theo ịnh l? 3.13,I(y)li?n tục tr?n[−∞,+∞].
H?n nữa


f
0
y(x,y)


=
1
(1+x
2
)[1+(x+y)
2
]
6
1
1+x
2,∀y; do ?
+∞Z
−∞
f
0
y(x,y)dxhội tụ ều tr?n
[−∞,+∞]. Theo ịnh l? 3.14,I(y)khả vi tr?n[−∞,+∞], v?:I
0
(y)=
+∞Z
−∞
1
(1+x
2
)[1+(x+y)
2
]
dx.
70

72. 2. T?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số. 71
ặt
1
(1+x
2
)[1+(x+y)
2
]
=
Ax+B
1+x
2+
Cx+D
1+(x+y)
2, d?ng ph??ng ph?p ồng nhất hệ số ta thu ?ợc:A=
−2
y(y
2
+4)
,B=
2
y(y
2
+4)
,C=
1
y
2
+4
,D=
3
y
2
+4
. Do ?:
I
0
(y)=
1
y
2
+4
+∞Z
−∞
"
−2x+y
1+x
2
+
2x+3y
1+(x+y)
2
#
=
1
y
2
+4
h
−ln

1+x
2

+yarctgx+ln

1+(x+y)
2

+yarctg(x+y)
i
|
+∞
x=−∞
=
4π
y
2
+4
Suy raI(y)=
Z
I
0
(y)dy=2 arctg
y
2
+C, mặt kh?cI(0)=
+∞Z
−∞
arctgx
1+x
2dx=0n?nC=0v?
I(y)=2 arctg
y
2
B?i tập 3.7.T?nh c?c t?ch ph?n sau:
a)
1Z
0
x
b
−x
a
lnx
dx,(0<a<b).
Lời giải. ặtI(a)=
1Z
0
x
b
−x
a
lnx
dx,f(x,a)=
x
b
−x
a
lnx
. Ta c?:
•f(x,a)=
x
b
−x
a
lnx
li?n tục tr?n theoxtr?n[0, 1]với mỗi0<a<b.
•f
0
a(x,a)=−x
a
li?n tục tr?n[0, 1]×(0,+∞).
•
1Z
0
f
0
a(x,a)dx=
1Z
0
−x
a
dx=−
1
a+1
hội tụ ều tr?n[0, 1]v? n? l? TPX.
Do ? theo ịnh l? 3.14,
I
0
(a)=
1Z
0
f
0
a(x,a)dx=−
1
a+1
⇒I(a)=
Z
I
0
(a)da=−ln(a+1)+C.
Mặt kh?cI(b)=0n?nC=ln(b+1)v? do ?I(a)=ln
b+1
a+1
.
b)
+∞Z
0
e
−αx
−e
−βx
x
dx,(α,β>0).
Lời giải. ặtI(α)=
+∞Z
0
e
−αx
−e
−βx
x
dx,f(x,α)=
e
−αx
−e
−βx
x
. Ta c?:
71

73. 72 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
•f(x,α)=
e
−αx
−e
−βx
x
li?n tục theoxtr?n[0,+∞)với mỗiα,β>0.
•f
0
α(x,α)=−e
−αx
li?n tục tr?n[0,+∞)×(0,+∞).
•
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dx=
+∞Z
0
−e
−αx
dx=−
1
α
hội tụ ều ối vớiαtr?n mỗi khoảng[ε,+∞)
theo ti?u chuẩn Weierstrass, thật vậy,|−e
−αx
|6e
−εx
, m?
+∞Z
0
e
−εx
dx=
1
ε
hội tụ.
Do ? theo ịnh l? 3.14,
I
0
(α)=
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dx=−
1
α
⇒I(α)=
Z
I
0
(α)dα=−lnα+C.
Mặt kh?c,I(β)=0n?nC=lnβv?I=ln
β
α
.
c)
+∞Z
0
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2dx,(α,β>0).
Lời giải. ặtI(α)=
+∞Z
0
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2dx,f(x,α)=
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2. Ta c?:
•f(x,α)=
e
−αx
2
−e
−βx
2
x
2 li?n tục theoxtr?n[0,+∞)với mỗiα,β>0.
•f
0
α(x,α)=−e
−αx
2
li?n tục tr?n[0,+∞)×(0,+∞).
•
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dx=
+∞Z
0
−e
−αx
2
dx
x
√
α=y
=−
+∞Z
0
e
−y
2dy
√
α
=−
√
π
2
.
1
√
α
hội tụ ều theoα
tr?n mỗi[ε,+∞)theo ti?u chuẩn Weierstrass, thật vậy,


−e
−αx
2


6e
−εx
2
m?
+∞Z
0
e
−εx
2
dxhội tụ.
Do ? theo ịnh l? 3.14,
I
0
(α)=
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dx=−
√
π
2
.
1
√
α
⇒I(α)=
Z
I
0
(α)dα=−
√
π.
√
α+C.
Mặt kh?c,I(β)=0n?nC=
√
π.
p
βv?I(α)=
√
π
−p
β−
√
α

.
d)
+∞Z
0
dx
(x
2
+y)
n+1
72

74. 2. T?ch ph?n suy rộng phụ thuộc tham số. 73
Lời giải. ặtIn(y)=
+∞Z
0
dx
(x
2
+y)
n+1,fn(x,y)=
1
(x
2
+y)
n+1. Khi ?:
[In−1(y)]
0
y
=


+∞Z
0
dx
(x
2
+y)
n


0
y
=−n
+∞Z
0
dx
(x
2
+y)
n+1
=−n.In(y)⇒In=−
1
n
(In−1)
0
.
T??ng tự,In−1=−
1
n−1
(In−2)
0
,In−2=−
1
n−2
(In−3)
0
, ...,I1=−(I0)
0
.
Do ?,In(y)=
(−1)
n
n!
[I0(y)]
(n)
. M?I0(y)=
+∞Z
0
1
x
2
+y
dx=
1
√
y
arctg
x
√
y
|
+∞
0
=
π
2
√
y
n?n
In(y)=
π
2
.
(2n−1)!!
(2n)!!
.
1
√
y
2n+1
.
Vấn ề c?n lại l? việc kiểm tra iều kiện chuyển ạo h?m qua dấu t?ch ph?n.
•C?c h?m sốf(x,y)=
1
x
2
+y
,f
0
y(x,y)=
−1
(x
2
+y)
2, ...,f
(n)
y
n(x,y)=
(−1)
n
(x
2
+y)
n+1li?n tục
trong[0,+∞)×[ε,+∞)với mỗiε>0cho tr?ớc.
•
1
x
2
+y
6
1
x
2
+ε
,




−1
(x
2
+y)
2




6
1
(x
2
+ε)
2, ...,




(−1)
n
(x
2
+y)
n+1




6
1
(x
2
+ε)
n+1
M? c?c t?ch ph?n
+∞Z
0
1
x
2
+ε
dx, ...,
+∞Z
0
1
(x
2
+ε)
n+1dxều hội tụ, do ?
+∞Z
0
f(x,y)dx,
+∞Z
0
f
0
y(x,y)dx, ...,
+∞Z
0
f
(n)
y
n(x,y)dxhội tụ ều tr?n[ε,+∞)với mỗiε>
0.
e)
+∞Z
0
e
−axsinbx−sincx
x
dx(a,b,c>0).
Lời giải. ặtI(b)=
+∞Z
0
e
−axsinbx−sincx
x
dx,f(x,b)=e
−axsinbx−sincx
x
. Ta c?:
•f(x,b)=e
−axsinbx−sincx
x
li?n tục theoxtr?n[0,+∞)với mỗia,b,c>0.
•f
0
b
(x,b)=e
−ax
cosbxli?n tục tr?n[0,+∞)×(0,+∞).
•
+∞Z
0
f
0
b
(x,b)dx=
+∞Z
0
e
−ax
cosbx=

−
a
a
2
+b
2e
−ax
cosbx+
b
a
2
+b
2e
−ax
sinbx



+∞
0
=
a
a
2
+b
2
hội tụ ều theobtr?n mỗi(0,+∞)theo ti?u chuẩn Weierstrass, thật vậy,
|e
−ax
cosbx|6e
−ax
2
m?
+∞Z
0
e
−ax
2
dxhội tụ.
73

75. 74 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
Do ? theo ịnh l? 3.14,I
0
b
(x,b)=
a
a
2
+b
2,I=
Z
a
a
2
+b
2db=arctg
b
a
+C.
Mặt kh?cI(c)=0n?nC=−arctg
c
a
v?I=arctg
b
a
−arctg
c
a
.
f)
+∞Z
0
e
−x
2
cos(yx)dx.
Lời giải. ặtI(y)=
+∞Z
0
e
−x
2
cos(yx)dx,f(x,y)=e
−x
2
cos(yx).Ta c?:
•f(x,y)li?n tục tr?n[0,+∞)×(−∞,+∞).
•f
0
y(x,y)=−xe
−x
2
sinyxli?n tục tr?n[0,+∞)×(−∞,+∞).
•
+∞Z
0
f
0
y(x,y)dx=
+∞Z
0
−xe
−x
2
sinyxdx=
1
2
e
−x
2
sinyx



+∞
0
−
1
2
+∞Z
0
ye
−x
2
cosyxdx=
−y
2
I(y)
hội tụ ều theo ti?u chuẩn Weierstrass, thật vậy,


f
0
y(x,y)


6xe
−x
2
, m?
+∞Z
0
xe
−x
2
dx=
1
2
hội tụ.
Do ? theo ịnh l? 3.14,
I
0
(y)
I(y)
=−
y
2
⇒I=Ce
−
y
2
4.
M?I(0)=C=
√
π
2
n?nI(y)=
√
π
2
e
−
y
2
4.
Nhận x?t:
•Việc kiểm tra c?c iều kiện ể ạo h?m qua dấu t?ch ph?n hay iềukiện ổi thứ tự
lấy t?ch ph?n ?i khi kh?ng dễ d?ng ch?t n?o.
•C?c t?ch ph?n
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dxở c?u b, c, d chỉ hội tụ ều tr?n khoảng[ε,+∞)với mỗi
ε>0, m? kh?ng hội tụ ều tr?n(0,+∞). Tuy nhi?n iều ? c?ng ủ ể khẳng ịnh
rằngI
0
α=
+∞Z
0
f
0
α(x,α)dxtr?n(0,+∞).
74

76. 3. T?ch ph?n Euler 75
§3. T?CH PH?NEULER
3.1 H?m Gamma
Γ(p)=
+∞Z
0
x
p−1
e
−x
dxx?c ịnh tr?n(0,+∞)
C?c c?ng thức
1. Hạ bậc:Γ(p+1)=pΓ(p),Γ(α−n)=
(−1)
n
Γ(α)
(1−α)(2−α)...(n−α)
.
? ngh?a của c?ng thức tr?n l? ể nghi?n cứuΓ(p)ta chỉ cần nghi?n cứuΓ(p)với
0<p61m? th?i, c?n vớip>1ch?ng ta sẽ sử dụng c?ng thức hạ bậc.
2. ặc biệt,Γ(1)=1n?nΓ(n)=(n−1)!∀n∈N.
Γ

1
2

=
√
πn?nΓ

n+
1
2

=
(2n−1)!!
2
2
√
π.
3. ạo h?m của h?m Gamma:Γ
(k)
(p)=
+∞Z
0
x
p−1

ln
k
x

.e
−x
dx.
4.Γ(p).Γ(1−p)=
π
sinpπ
∀0 < p < 1.
3.2 H?m Beta
Dạng 1:B(p,q)=
1Z
0
x
p−1
(1−x)
q−1
dx.
Dạng 2:B(p,q)=
+∞Z
0
x
p−1
(1+x)
p+qdx.
Dạng l?ợng gi?c:B(p,q)=2
π
2Z
0
sin
2p−1
tcos
2q−1
tdt,B

m+1
2
,
n+1
2

=2
π
2Z
0
sin
m
tcos
m
tdt.
C?c c?ng thức:
1. T?nh ối xứng: B(p,q)=B(q,p).
2. Hạ bậc:



B(p,q)=
p−1
p+q−1
B(p−1,q),nếup>1
B(p,q)=
q−1
p+q−1
B(p,q−1),nếuq>1
? ngh?a của c?ng thức tr?n ở chỗ muốn nghi?n cứu h?m b?ta ta chỉ cần nghi?n cứu
n? trong khoảng(0, 1]×(0, 1]m? th?i.
75

77. 76 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
3. ặc biệt, B(1, 1)=1n?n



B(m,n)=
(m−1)!(n−1)!
(m+n−1)!
,∀m,n∈N
B(p,n)=
(n−1)!
(p+n−1)(p+n−2)...(p+1)p
∀n∈N.
4. C?ng thức li?n hệ giữa h?m B?ta v? Gamma:B(p,q)=
Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q)
.
5. B(p, 1−p)=Γ(p)Γ(1−p)=
π
sinpπ
.
3.3 B?i tập
B?i tập 3.8.Biểu thị
π
2Z
0
sin
m
xcos
n
xdxqua h?mB(m,n).
Lời giải. ặtsinx=
√
t⇒06t61, cosxdx=
1
2
√
t
dt
π
2Z
0
sin
m
xcos
n
xdx=
π
2Z
0
sin
m
x

1−sin
2
x
n−1
2
. cosxdx=
1
2
π
2Z
0
t
m
2(1−t)
n−1
2t
−
1
2dt=
1
2
B

m+1
2
,
n+1
2

?y ch?nh l? c?ng thức ở dạng l?ợng gi?c của h?m Beta.
B?i tập 3.9.
a)
π
2Z
0
sin
6
xcos
4
xdx.
Lời giải. Ta c?
I=
1
2
B

7
2
,
5
2

=
1
2
.
Γ
−
7
2

Γ
−
5
2

Γ(6)
=
1
2
.
Γ

3+
1
2

Γ

2+
1
2

Γ(6)
=
1
2
.
5!!
2
3
√
π.
3!!
2
2
√
π
5!
=
3π
512
b)
aZ
0
x
2n
√
a
2
−x
2
dx(a>0).
Lời giải. ặtx=a
√
t⇒dx=
adt
2
√
t
I=
1Z
0
a
2n
t
n
.a(1−t)
1
2.
adt
2
√
t
=
a
2n+2
2
.
1Z
0
t
n−
1
2(1−t)
1
2dt=
a
2n+2
2
B

n+
1
2
,
3
2

=
a
2n+2
2
Γ

n+
1
2

Γ
−
3
2

Γ(n+2)
=
a
2n+2
2
.
(2n−1)!!
2
n
√
π.
√
π
2
(n+1)!
=π
a
2n+2
2
(2n−1)!!
(2n+2)!!
76

78. 3. T?ch ph?n Euler 77
c)
+∞Z
0
x
10
e
−x
2
dx
Lời giải. ặtx=
√
t⇒dx=
dt
2
√
t
I=
+∞Z
0
t
5
e
−t
.
dt
2
√
t
=
1
2
+∞Z
0
t
9
2e
−t
dt=
1
2
Γ

11
2

=
1
2
.
9!!
√
π
2
5
=
9!!
√
π
2
6
.
d)
+∞Z
0
√
x
(1+x
2
)
2dx
Lời giải. ặtx
2
=t⇒2xdx=dt
I=
+∞Z
0
t
1
4.
dt
2
√
t
(1+t)
2
=
1
2
+∞Z
0
t
−
1
4dt
(1+t)
2
=
1
2
B(p,q)với



p−1=−
1
4
p+q=2
⇒



p=
3
4
q=
5
4
Vậy
I=
1
2
B

3
4
,
5
4

=
1
2
.
5
4
−1
3
4
+
5
4
−1
B

3
4
,
1
4

=
1
8
.B

3
4
,
1
4

=
1
8
.
π
sin
π
4
=
π
4
√
2
e)
+∞Z
0
1
1+x
3dx
Lời giải. ặtx
3
=t⇒dx=
1
3
t
−
2
3dt
I=
1
3
+∞Z
0
t
−
2
3dt
1+t
=
1
3
B

1
3
,
2
3

=
1
3
π
sin
π
3
=
2π
3
√
3
f)
+∞Z
0
x
n+1
(1+x
n
)
dx,(2<n∈N)
Lời giải. ặtx
n
=t⇒dx=
1
n
t
1
n
−1
dt
I=
+∞Z
0
t
n+1
n.
1
n
t
1
n
−1
dt
(1+t)
2
=
1
n
+∞Z
0
t
2
n
(1+t)
2
dt=
1
n
B

2
n
+1, 1−
2
n

=
1
n
.
2
n
−
2
n
+1

+
−
1−
2
n

−1
B

2
n
, 1−
2
n

=
2
n
2
π
sin
−
2π
n
.
77

79. 78 Ch??ng 3. T?ch ph?n phụ thuộc tham số.
g)
1Z
0
1
n
√
1−x
n
dx,n∈N
∗
Lời giải. ặtx
n
=t⇒dx=
1
n
t
1
n
−1
dt
I=
1Z
0
1
n
t
1
n
−1
dt
(1−t)
1
n
=
1
n
1Z
0
t
1
n
−1
.(1−t)
−
1
ndt=
1
n
B

1
n
, 1−
1
n

=
1
n
π
sin
π
n
78

80. CH??NG4
T?CH PH?N ?ỜNG
§1. T?CH PH?N ?ỜNG LOẠI I
1.1 ịnh ngh?a
Cho h?m sốf(x,y)x?c ịnh tr?n một cung phẳngcAB. Chia cungcABth?nhncung
nhỏ, gọi t?n v? ộ d?i của ch?ng lần l?ợt l?∆s1,∆s2, ...∆sn.Tr?n mỗi cung∆s
il?y m?t i?m
Mibất k?. Giới hạn, nếu c?, của tổng
n
∑
i=1
f(Mi)∆sikhin→∞sao chomax∆si→0kh?ng
phụ thuộc v?o c?ch chia cungcABv? c?ch chọn c?c iểmM
i?ợc gọi l? t?ch ph?n ?ờng
loại một của h?m sốf(x,y)dọc theo cungcAB, k? hiệu l?
Z
cAB
f(x,y)ds.
Ch? ?:
•T?ch ph?n ?ờng loại một kh?ng phụ thuộc v?o h?ớng của cungcAB.
•Nếu cungcABc? khối l?ợng ri?ng tạiM(x,y)l?ρ(x,y)th? khối l?ợng của n? l?
Z
cAB
ρ(x,y)ds. nếu t?ch ph?n ? tồn tại.
•Chiều d?i của cungcAB?ợc t?nh theo c?ng thứcl=
Z
cAB
ds.
•T?ch ph?n ?ờng loại một c? c?c t?nh chất giống nh? t?ch ph?n x?c ?nh.
79

81. 80 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
1.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n ?ờng loại I
1. Nếu cungcABcho bởi ph??ng tr?nhy=y(x),a6x6bth?
Z
cAB
f(x,y)ds=
bZ
a
f(x,y(x))
q
1+y
02
(x)dx. (1)
2. Nếu cungcABcho bởi ph??ng tr?nhx=x(y),c6y6dth?
Z
cAB
f(x,y)ds=
dZ
c
f(x(y),y)
q
1+x
02
(y)dy. (2)
3. NếucABcho bởi ph??ng tr?nhx=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2, th?
Z
cAB
f(x,y)ds=
t2Z
t
1
f(x(t),y(t))
q
x
02
(t) +y
02
(t)dt (3)
4. Nếu cungcABcho bởi ph??ng tr?nh trong toạ ộ cựcr=r(ϕ),ϕ1≤ϕ≤ϕ2th? coi n?
nh? l? ph??ng tr?nh d?ới dạng tham số, ta ?ợcds=
p
r
2
(ϕ)+r
02
(ϕ)dϕv?
Z
cAB
f(x,y)ds=
ϕ2Z
ϕ
1
f(r(ϕ)cosϕ,r(ϕ)sinϕ)
q
r
2
(ϕ)+r
02
(ϕ)dϕ (4)
1.3 B?i tập
B?i tập 4.1.
T?nh
Z
C
(x−y)ds,C
l? ?ờng tr?n c? ph??ng tr?nhx
2
+y
2
=2x .
Lời giải. ặt



x=1+cost
y=sint
, 06t62π
I=
2πZ
0
(1+cost−sint)
q
(−sint)
2
+cos
2
tdt=2π
B?i tập 4.2.T?nh
Z
C
y
2
ds,C
l? ?ờng cong



x=a(t−sint)
y=a(1−cost)
, 06t62π,a>0.
80

82. 1. T?ch ph?n ?ờng loại I 81
Lời giải.



x
0
(t)=a(1−cost)
y
0
(t)=asint
⇒
q
x
02
(t)+y
02
(t)=2asin
t
2
⇒I=
2πZ
0
a
2
(1−cost)
2
.2asin
t
2
dt=
256a
3
15
.
B?i tập 4.3.
T?nh
Z
C
p
x
2
+y
2
ds,C l? ?ờng



x=a(cost+tsint)
y=a(sint−tcost)
, 06t62π,a>0
.
Lời giải.



x
0
(t)=atcost
y
0
(t)=atsint
⇒
q
x
02
(t)+y
02
(t)=at
⇒I=
2πZ
0
r
a
2
h
(cost+tsint)
2
+(sint−tcost)
2
i
.atdt=
a
3
3
q
(1+4π
2
)
3
−1

81

83. 82 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
§2. T?CH PH?N ?ỜNG LOẠI II
2.1 ịnh ngh?a
Cho hai h?m sốP(x,y),Q(x,y)x?c ịnh tr?n cungcAB. Chia cungcABth?nhncung nhỏ
∆s
ibởi c?c iểm chiaA0=A,A1,A2, ...,An=B.Gọi toạ ộ của vect?
−−−−→
A
i−1A
i=(∆x
i,∆y
i)v?
lấy iểmM
ibất k? tr?n mỗi cung∆s
i. Giới hạn, nếu c?, của tổng
n
∑
i=1
[P(M
i)∆x
i+Q(M
i)∆y
i]
sao chomax∆xi→0, kh?ng phụ thuộc v?o c?ch chia cungcABv? c?ch chọn c?c iểmMi
?ợc gọi l? t?ch ph?n ?ờng loại hai của c?c h?m sốP(x,y),Q(x,y)dọc theo cungcAB, k?
hiệu l?
Z
cAB
P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
Ch? ?:
•T?ch ph?n ?ờng loại hai phụ thuộc v?o h?ớng của cungcAB, nếu ổi chiều tr?n ?ờng
lấy t?ch ph?n th? t?ch ph?n ổi dấu,
Z
cAB
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=−
Z
cBA
P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
•T?ch ph?n ?ờng loại hai c? c?c t?nh chất giống nh? t?ch ph?n x?c ịnh.
2.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n ?ờng loại II
1. Nếu cungcAB?ợc cho bởi ph??ng tr?nhy=y(x), iểm ầu v? iểm cuối ứng với
x=a,x=bth?
Z
cAB
Pdx+Qdy=
bZ
a
×
P(x,y(x))+Q(x,y(x)).y
0
(x)
∗
dx. (5)
2. Nếu cungcAB?ợc cho bởi ph??ng tr?nhx=x(y), iểm ầu v? iểm cuối ứng với
y=c,y=dth?
Z
cAB
Pdx+Qdy=
dZ
c
×
P
−
x(y).x
0
(y)
∗
dy,y

+Q(x(y),y). (6)
3. Nếu cungcAB?ợc cho bởi ph??ng tr?nh



x=x(t)
y=y(t)
, iểm ầu v? iểm cuối t??ng
ứng vớit=t1,t=t2th?
Z
cAB
Pdx+Qdy=
t2Z
t
1
×
P(x(t),y(t)).x
0
(t)+Q(x(t),y(t))y
0
(t)
∗
dt (7)
82

84. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 83
B?i tập
B?i tập 4.4.
T?nh
Z
cAB
−
x
2
−2xy

dx+
−
2xy−y
2

dy
, trong ?cABl? cung paraboly=x
2 từ
A(1, 1) ếnB(2, 4).
Lời giải. ?p dụng c?ng thức (5) ta c?:
I=
2Z
1
h
x
2
−2x
3

+

2x
3
−x
4

.2x
i
dx=−
41
30
.
B?i tập 4.5.
T?nh
Z
C
−
x
2
−2xy

dx+
−
2xy−y
2

dy
trong ?Cl? ?ờng cong



x=a(t−sint)
y=a(1−cost)
theo chiều t?ng củat, 0≤t≤2π,a>0 .
Lời giải. Ta c?



x
0
(t) =a(1−cost)
y
0
(t) =asint
n?n:
I=
2πZ
0
{[2a(t−sint)−a(1−cost)]a(1−cost) +a(t−sint).asint}dt
=a
2
2πZ
0
[(2t−2)+sin 2t+(t−2)sint−(2t−2)cost]dt
=a
2
2πZ
0
[(2t−2)+tsint−2tcost]dt
=a
2

4π
2
−6π

.
B?i tập 4.6.T?nh
Z
ABCA
2
−
x
2
+y
2

dx+x(4y+3)dy
ở ?ABCAl? ?ờng gấp kh?c i qua
A(0, 0),B(1, 1),C(0, 2) .
x
y
A
O
B
1
C
1
H?nh 4.6
83

85. 84 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
Lời giải. Ta c?









ph??ng tr?nh ?ờng thẳngAB:x=y
ph??ng tr?nh ?ờng thẳngBC:x=2−y
ph??ng tr?nh ?ờng thẳngCA:x=0
n?n
I=
Z
AB
...+
Z
BC
...+
Z
CA
...
=
1Z
0
h
2

y
2
+y
2

+y(4y+3)
i
dy+
2Z
1
2
h
(2−y)
2
+y
2
i
.(−1)+(2−y) (4y+3)dy+0
=3
B?i tập 4.7.T?nh
Z
ABCDA
dx+dy
|x|+|y|
trong ?ABCDAl? ?ờng gấp kh?c quaA(1, 0),B(0, 1),C(−1, 0),D(0,
x
y
O
A
1
B
C
D
1
H?nh 4.7
Lời giải. Ta c?













AB:x+y=1⇒dx+dy=0
BC:x−y=−1⇒dx=dy
CD:x+y=−1⇒dx+dy=0
DA:x−y=1⇒dx=dy
n?n
I=
Z
AB
...+
Z
BC
...+
Z
CD
...+
Z
DA
=0+
Z
BC
2dx
x+y
+0+
Z
DA
2dx
x−y
=
−1Z
0
2dx+
1Z
0
2dx
=0
84

86. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 85
B?i tập 4.8.T?nh
Z
C
4
√
x
2
+y
2
2
dx+dy
trong ?









x=tsin
√
t
y=tcos
√
t
0≤t≤
π
2
4
theo chiều t?ng củat.
Lời giải. ặtu=
√
t⇒0≤u≤π,



x=u
2
sinu
y=u
2
cosu
⇒



x
0
(u)=2usinu+u
2
cosu
y
0
(u)=2ucosu−u
2
sinu
I=
π
2Z
0
h
u
2

2usinu+u
2
cosu

+2ucosu−u
2
sinu
i
du
=
πZ
0

u
3
2
+2u

cosudu
=−
3
2
π
2
+2
2.3 C?ng thức Green.
H?ớng d??ng của ?ờng cong k?n: Nếu ?ờng lấy t?ch ph?n l? ?ờng cong k?n th?
ta quy ?ớc h?ớng d??ng của ?ờng cong l? h?ớng sao cho một ng?ờii dọc theo ?ờng
cong theo h?ớng ấy sẽ nh?n thấy miền giới hạn bởi n? ở gần ph?a m?nh nhất nằm về ph?a
b?n tr?i.
x
y
O
C
D
Giả sửD⊂R
2
l? miền ?n li?n, li?n th?ng, bị chặn với bi?n giới∂Dl? ?ờng cong k?n với
h?ớng d??ng, h?n nữaP,Qc?ng c?c ạo h?m ri?ng cấp một của ch?ng li?n tục tr?nD.
Khi ?
Z
C
Pdx+Qdy=
ZZ
D

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy
Ch? ?:
85

87. 86 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
•Nếu∂Dc? h?ớng ?m th?
Z
C
Pdx+Qdy=−
ZZ
D

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy
•Trong nhiều b?i to?n, nếuCl? ?ờng cong kh?ng k?n, ta c? thể bổ sungCể ?ợc
?ờng cong k?n v? ?p dụng c?ng thức Green.
B?i tập 4.9.
T?nh c?c t?ch ph?n sau
Z
C
(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy
bằng hai c?ch:
t?nh trực tiếp, t?nh nhờ c?ng thức Green rồi so s?nh c?c kết quả, với
Cl? ?ờng:
a)
x
2
+y
2
=R
2
x
y
O
H?nh 4.9 a
C?ch 1: T?nh trực tiếp
ặt



x=Rcost
y=Rsint
⇒0≤t≤π
I=...
=
R
3
2
2πZ
0
(costcos 2t+sintcos 2t)dt
=0
C?ch 2: Sử dụng c?ng thức Green



P(x,y) =xy+x+y
Q(x,y) =xy+x−y
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=y−x
⇒I=
ZZ
x
2
+y
2
6R
2
(y−x)dxdy
=
ZZ
x
2
+y
2
6R
2
ydxdy−
ZZ
x
2
+y
2
6R
2
xdxdy
=0
b)x
2
+y
2
=2x
x
y
O
H?nh 4.9 b
86

88. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 87
C?ch 1: T?nh trực tiếp.Ta c?x
2
+y
2
=2x⇔(x−1)
2
+y
2
=1 n?n
ặt



x=1+cost
y=sint
, 0≤t≤2π
I=
2πZ
0
{[(1+cost)sint+1+cost+sint] (−sint)+[(1+cost)sint+1+cost−sint]cost}dt
=
2πZ
0

−2 sin
2
t+cos
2
t−costsint+cost−sint−costsin
2
t+cos
2
tsint

dt
=...
=−π
C?ch 2: Sử dụng c?ng thức Green.
Ta c?:



P(x,y) =xy+x+y
Q(x,y) =xy+x−y
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=y−x
⇒I=
ZZ
(x−1)
2
+y
2
61
(y−x)dxdy,
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
,−
π
2
≤ϕ≤
π
2
I=
π
2Z
−
π
2
dϕ
2 cosϕ
Z
0
(rsinϕ−1−rcosϕ)rdr
=
π
2Z
−
π
2
≤
1
2
(sinϕ−cosϕ).4 cos
2
ϕ−2 cosϕ
≥
dϕ
=−π
c)
x
2
a
2+
y
2
b
2=1,(a,b>0)
87

89. 88 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
C?ch 1: T?nh trực tiếp
ặt



x=acost
y=bsint
⇒









0≤t≤2π
x
0
(t) =−asint
y
0
(t) =bcost
I=...
=
2πZ
0

−absin
2
t+abcos
2
t

dt
=0
C?ch 2: Sử dụng c?ng thức Green



P(x,y) =xy+x+y
Q(x,y) =xy+x−y
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=y−x
⇒I=
ZZ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
61
(y−x)dxdy
=
ZZ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
61
ydxdy−
ZZ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
61
xdxdy
=0
B?i tập 4.10.
T?nh
Z
x
2
+y
2
=2x
x
2
−
y+
x
4

dy−y
2
−
x+
y
4

dx.
x
y
O
H?nh 4.10
Lời giải. ?p dụng c?ng thức Green ta c?:
I=
Z
D

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy=
Z
D

4xy+
3
4
x
2
+
3
4
y
2

dxdy=
3
4
Z
D

x
2
+y
2

dxdyv?
Z
D
4xydxdy=0
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
, ta c?−
π
2
≤ϕ≤
π
2
, 0≤r≤2 cosϕ. Vậy
I=
3
4
π
2Z
−
π
2
dϕ
2 cosϕ
Z
0
r
2
.rdr=
3
4
π
2Z
−
π
2
4 cos
4
ϕ=
9
8
π
B?i tập 4.11.
T?nh
H
OABO
e
x
[(1−cosy)dx−(y−siny)dy]
trong ?OABOl? ?ờng gấp
kh?c
O(0, 0),A(1, 1),B(0, 2)
88

90. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 89
x
y
O
A
1
B
1
H?nh 4.11
Lời giải. ặt



P(x,y)=e
x
(1−cosy)
Q(x,y)=−e
x
(y−siny)
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=−e
x
y.
?p dụng c?ng thức Green ta c?:
I=
ZZ
D
−e
x
ydxdy
=
1Z
0
dx
2−xZ
x
−e
x
ydy
=
1
2
1Z
0
e
x
(4x−4)dx
=4−2e
B?i tập 4.12.T?nh
H
x
2
+y
2
=2x
(xy+e
x
sinx+x+y)dx−(xy−e
−y
+x−siny)dy
x
y
O
H?nh 4.12
Lời giải. ặt



P(x,y)=xy+e
x
sinx+x+y
Q(x,y)=xy−e
−y
+x−siny
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=−y−x−2.
89

91. 90 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
?p dụng c?ng thức Green ta c?:
I=
ZZ
D
−y−x−2dxdy
=
ZZ
D
−x−2dxdyv?
ZZ
D
ydxdy=0
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒ −
π
2
≤ϕ≤
π
2
, 0≤r≤2 cosϕ
=
π
2Z
−
π
2
dϕ
2 cosϕ
Z
0
(−rcosϕ−2)rdr
=−3π
B?i tập 4.13.T?nh
H
C
−
xy
4
+x
2
+ycosxy

dx+

x
3
3
+xy
2
−x+xcosxy

dy
trong ?C



x=acost
y=asint
(a>0).
x
y
O
H?nh 4.13
Lời giải. ặt



P(x,y)=xy
4
+x
2
+ycosxy
Q(x,y)=
x
3
3
+xy
2
−x+xcosxy
⇒
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=x
2
+y
2
−4xy
3
−1.
90

92. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 91
?p dụng c?ng thức Green ta c?:
I=
ZZ
D
x
2
+y
2
−4xy
3
−1dxdy
=
ZZ
D
x
2
+y
2
−1dxdyv?
ZZ
D
4xy
3
dxdy=0
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒0≤ϕ≤2π, 0≤ra
=
2πZ
0
dϕ
aZ
0

r
2
−1

rdr
=π

a
4
2
−a
2

2.4 Ứng dụng của t?ch ph?n ?ờng loại II
?p dụng c?ng thức Green cho h?m sốP(x,y),Q(x,y)thoả m?n
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=1ta c?:
S(D)=
ZZ
D
1dxdy=
Z
∂D
Pdx+Qdy
•LấyP(x,y) =0,Q(x,y) =xth?S(D)=
Z
∂D
xdy
•LấyP(x,y) =−y,Q(x,y) =0th?S(D)=
Z
∂D
−ydx
•LấyP(x,y) =
1
2
x,Q(x,y) =
1
2
yth?S(D)=
1
2
Z
∂D
xdy−ydx
B?i tập 4.14.
D?ng t?ch ph?n ?ờng loại II, t?nh diện t?ch của miền giới hạn bởi một nhịp
xycloit



x=a(t−sint)
y=a(1−cost)
v?Ox(a>0).
x
y
O 2π
A
n
m
H?nh 4.14
91

93. 92 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
Lời giải. ?p dụng c?ng thức
S(D) =
Z
∂D
xdy=
Z
AmO
xdy+
Z
OnA
xdy=
0Z
2π
a(t−sint).asintdt=3πa
2
2.5 iều kiện ể t?ch ph?n ?ờng kh?ng phụ thuộc
?ờng lấy t?ch ph?n.
Giả sử rằngDl? miền ?n li?n, li?n th?ng,P,Qc?ng với c?c ạo h?m ri?ng cấp một
của ch?ng li?n tục tr?nD. Khi ? bốn mệnh ề sau l? t??ng ??ng:
1.
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
với mọi(x,y)∈D.
2.
Z
L
Pdx+Qdy=0với mọi ?ờng cong ?ng k?nLnằm trongD.
3.
Z
AB
Pdx+Qdy=0kh?ng phụ thuộc v?o ?ờng i từAếnB, với mọi ?ờng congAB
nằm trongD.
4.Pdx+Qdyl? vi ph?n to?n phần. Ngh?a l? c? h?m sốu(x,y)sao chodu=Pdx+Qdy.
H?muc? thể ?ợc t?m theo c?ng thức:
u(x,y) =
xZ
x0
P(x,y0)dx+
y
Z
y0
Q(x,y)dy=
xZ
x0
P(x,y)dx+
y
Z
y0
Q(x0,y)dy
Giải b?i to?n t?nh t?ch ph?n ?ờng kh?ng phụ thuộc ?ờng i:
1. Kiểm tra iều kiệnP
0
y=Q
0
x.(1)
2. Nếu iều kiện(1)?ợc thoả m?n v? ?ờng lấy t?ch ph?n l? ?ờng cong k?n th?I=0.
3. Nếu iều kiện(1)?ợc thoả m?n v? cần t?nh t?ch ph?n tr?n cungABkh?ng ?ng
th? ta chọn ?ờng t?nh t?ch ph?n sao cho việc t?nh t?ch ph?n l? ?n giản nhất, th?ng
th?ờng ta chọn l? ?ờng thẳng nốiAvớiB, hoặc ?ờng gấp kh?c c? c?c cạnh song
song với c?c trục toạ ộ. Mặt kh?c, nếu t?m ?ợc h?mFsao chodu=Pdx+Qdyth?
I=u(B)−u(A).
92

94. 2. T?ch ph?n ?ờng loại II 93
B?i tập 4.15.T?nh
(3,0)
Z
(−2,1)
−
x
4
+4xy
3

dx+
−
6x
2
y
2
−5y
4

dy.
x
y
O
A
−2
−1 C
B
H?nh 4.15
Lời giải. Nhận x?t rằng
−
x
4
+4xy
3
0
y
=
−
6x
2
y
2
−5y
4
0
x
n?n t?ch ph?n ? cho kh?ng phụ
thuộc v?o ?ờng i. Vậy ta chọn ?ờng i l? ?ờng gấp kh?cACBnh? h?nh vẽ.
I=
Z
AC
Pdx+Qdy+
Z
CB
Pdx+Qdy=62
B?i tập 4.16.
T?nh
(2,π)
Z
(1,π)

1−
y
2
x
2cos
y
x

dx+
−
sin
y
x
+
y
x
cos
y
x

dy
x
y
O
B
A
12
π
2π
H?nh 4.16
Lời giải. ặt



P=1−
y
2
x
2cos
y
x
Q=sin
y
x
+
y
x
cos
y
x
⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
=−
2y
x
2cos
y
x
+
y
2
x
3sin
y
x
n?n t?ch ph?n ?
cho kh?ng phụ thuộc v?o ?ờng i từAếnB. Khi ? ta chọn ?ờng lấy t?ch ph?n l?
?ờng thẳngAB, n? c? ph??ng tr?nhy=πx.
I=
2Z
1

1−π
2
cosπ

dx+
2Z
1
(sinπ+πcosπ)πdx=1
93

95. 94 Ch??ng 4. T?ch ph?n ?ờng
94

96. CH??NG5
T?CH PH?N MẶT
§1. T?CH PH?N MẶT LOẠI I
1.1 ịnh ngh?a
Cho h?m sốf(x,y,z)x?c ịnh tr?n mặt congS. Chia mặt congSth?nhnmặt nhỏ
∆S1,∆S2, . . . ,∆Sn. Tr?n mỗi∆S
il?y m?t i?mM
ibất k?. Giới hạn, nếu c?, của tổng
n
∑
i=1
f(M
i)∆S
i
khin→∞v?max
1≤i≤n
d(∆S
i)→0kh?ng phụ thuộc v?o c?ch chia mặt congSv? c?ch chọn
c?c iểmM
i?ợc gọi l? t?ch ph?n mặt loại I của h?m sốf(M)tr?n mặt congS, k? hiệu l?
ZZ
S
f(x,y,z)dS.
1.2 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n mặt loại I
Giả sửSl? mặt ?ợc cho bởi ph??ng tr?nhz=z(x,y);((x,y)∈D⊂R
2
),hay l? h?nh
chiếu củaSl?n mặt phẳngOxyl?D, ở ?z(x,y)c?ng với c?c ạo h?m ri?ng của ch?ng
li?n tục tr?nD. Khi ?
ZZ
S
f(x,y,z)dS=
ZZ
D
f(x,y,z(x,y))
s
1+

∂z
∂x

2
+

∂z
∂y

2
dxdy
1.3 B?i tập
B?i tập 5.1.
T?nh
ZZ
S

z+2x+
4y
3

dS
trong ?S=

(x,y,z)|
x
2
+
y
3
+
z
4
=1,x>0,y>0,z>0

95

97. 96 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
y
z
x
O B
C
A
H?nh 5.1
Lời giải. Ta c? h?nh chiều của mặtSl?n mặt phẳngOxyl?
D=
n
(x,y)|
x
2
+
y
3
61,x>0,y>0
o
=
n
(x,y)|06x62, 06y63

1−
x
2
o
Mặt kh?cz=4(1−
x
2
−
y
3
)⇒



p=z
0
x=−2
q=z
0
y=
4
3
⇒dS=
p
1+p
2
+q
2
dxdy=
√
61
3
dxdyn?n
I=
ZZ
D
≤
4

1−
x
2
−
y
3

+2x+
4y
3
≥√
61
3
dxdy=4
√
61
3
2Z
0
dx
3−
3x
2Z
0
dy=4
√
61
B?i tập 5.2.
T?nh
ZZ
S
−
x
2
+y
2

dS,S=

(x,y,z)|z=z
2
+y
2
, 06z61

.
y
z
x
O 1−1
1
H?nh 5.2
96

98. 1. T?ch ph?n mặt loại I 97
Lời giải. Ta c? h?nh chiếu của mặt cong l?n mặt phẳngOxyl?D=

(x,y)|x
2
+y
2
61

Mặt kh?c,z=x
2
+y
2
⇒



p=z
0
x=2x
q=z
0
y=2y
n?n
I=
ZZ
D

x
2
+y
2
q
1+4x
2
+4y
2
dxdy
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒0≤ϕ≤2π, 0≤r≤1
I=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
r
2
p
1+4r
2
rdr
=
π
4
1Z
0
r
2
p
1+4r
2
d

1+4r
2

=
π
4
5Z
1
t−1
4
√
tdt

ặtt=1+4r
2

=
π
16

20
√
5
3
+
4
15
!
97

99. 98 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
§2. T?CH PH?N MẶT LOẠI II
2.1 ịnh h?ớng mặt cong
Cho mặt congStrong kh?ng gian. Tại mỗi iểmMch?nh quy của mặt congSc? hai
vect? ph?p tuyến ?n vị l?
−→
nv?−
−→
n.
•Nếu c? thể chọn ?ợc tại mỗi iểmMcủa mặt một vect? ph?p tuyến ?n vịnsao cho
vect?nbiến thi?n li?n tục tr?nSth? ta n?i mặtSịnh h?ớng ?ợc. Khi ? ta chọn
một h?ớng l?m h?ớng d??ng th? h?ớng c?n lại ?ợc gọi l? h?ớng ?m.
•Ng?ợc lại, th? mặtSgọi l? kh?ng ịnh h?ớng ?ợc. V? dụ nh? l? Mobius.
2.2 ịnh ngh?a t?ch ph?n mặt loại II
Cho một mặt cong ịnh h?ớngStrong miềnV⊂R
3
v?n=(cosα, cosβ, cosγ)l?
v?ct? ph?p tuyến ?n vị theo h?ớng d??ng ? chọn củaStại iểmM(x,y,z). Giả tr?ờng
vect?
−→
F(M)=(P(M),Q(M),R(M))biến thi?n li?n tục tr?nV, ngh?a l? c?c toạ ộ
P(M),Q(M),R(M)của n? l? những h?m số li?n tục tr?nV. Chia mặtSth?nhnmặt
cong nhỏ, gọi t?n v? cả diện t?ch của ch?ng lần l?ợt l?∆S1,∆S2, ...,∆Sn. Tr?n mỗi∆S
ilấy
một iểmM
ibất k? v? gọi vect? ph?p tuyến ?n vị theo h?ớng d??ng ? chọn của n? l?n
i=
(cosα
i, cosβ
i, cosγ
i). Giới hạn, nếu c?, của tổng
n
∑
i=1
[P(M
i)cosα
i+Q(M
i)cosβ
i+R(M
i)cosγ
i]∆S
i
?ợc gọi l? t?ch ph?n mặt loại II của c?c h?m sốP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)tr?n mặtS,
v? ?ợc k? hiệu l?:
ZZ
S
P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy
2.3 C?c c?ng thức t?nh t?ch ph?n mặt loại II
Giả sử
I=
ZZ
S
Pdydz
|{z}
I
1
+
ZZ
S
Qdzdx
|{z}
I2
+
ZZ
S
Rdxdy
|{z}
I3
.
Ng?ời ta t?nh t?ch ph?n mặt loại II bằng c?ch ?a về t?ch ph?n k?p. Chẳng hạn x?t t?ch
ph?nI3. Giả sử mặtSc? ph??ng tr?nhz=z(x,y),z(x,y)c?ng với c?c ạo h?m ri?ng của
ch?ng li?n tục tr?n miềnDl? h?nh chiếu củaSl?n mặt phẳngOxy. Khi ?:
98

100. 2. T?ch ph?n mặt loại II 99
•Nếu vect? ph?p tuyến ?n vị theo h?ớng d??ng
−→
ntạo vớiOzmột g?c nhọn th?
ZZ
S
Rdxdy=
ZZ
D
R(x,y,z(x,y))dxdy
•Nếu vect? ph?p tuyến ?n vị theo h?ớng d??ng
−→
ntạo vớiOzmột g?c t? th?
ZZ
S
Rdxdy=−
ZZ
D
R(x,y,z(x,y))dxdy
T??ng tự nh? vậy ch?ng ta c? thể ?aI1,I2về t?ch ph?n k?p.
B?i tập
B?i tập 5.3.
T?nh
ZZ
S
z
−
x
2
+y
2

dxdy
, trong ?Sl? nửa mặt cầux
2
+y
2
+z
2
=1,z>0 ,
h?ớng của
Sl? ph?a ngo?i mặt cầu.
y
z
x
O
D:x
2
+z
2
≤a
2
−→
n(x,y,z)
H?nh 5.3
Lời giải. Ta c? mặtz=
p
1−x
2
−y
2
, h?nh chiếu củaSl?n mặt phẳngOxyl? miềnD:
x
2
+y
2
≤1, h?n nữa
−→
ntạo vớiOzmột g?c nhọn n?n:
I=
ZZ
D
q
1−x
2
−y
2

x
2
+y
2

dxdy
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒0≤ϕ≤2π, 0≤r≤1
=
2πZ
0
dϕ
1Z
0
p
1−r
2
r
3
dr
=
4π
15
99

101. 100 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
B?i tập 5.4.T?nh
ZZ
S
ydxdz+z
2
dxdy
trong ?Sl? ph?a ngo?i mặtx
2
+
y
24
+z
2
=1,x>
0,y>0,z>0
.
y
z
x
O
−→
n(x,y,z)
H?nh 5.4
Lời giải. T?nhI1=
ZZ
S
ydxdz
•MặtS:y=2
√
1−x
2
−z
2
•H?nh chiếu củaSl?nOxzl?
1
4
h?nh tr?n,D1:x
2
+z
2
≤1,x≥0,z≥0.
•β= (
−→
n,Oyl? g?c nhọn.
n?n:
I=
ZZ
D
1
2
p
1−x
2
−z
2
dxdz
ặt



x=rcosϕ
z=rsinϕ
⇒0≤ϕ≤
π
2
, 0≤r≤1
=
π
2Z
0
dϕ
1Z
0
2
p
1−r
2
rdr
=
π
3
T?nhI2=
ZZ
S
z
2
dxdy
•MặtS:z
2
=1−x
2
−
y
2
4
•H?nh chiếu củaSl?nOxzl?
1
4
elip,D2:x
2
+
y
2
4
≤1,x≥0,y≥0.
•γ= (
−→
n,Ozl? g?c nhọn.
100

102. 2. T?ch ph?n mặt loại II 101
n?n:
I=
ZZ
D2
1−x
2
−
y
2
4
dxdy
ặt



x=rcosϕ
y=2rsinϕ
⇒0≤ϕ≤
π
2
, 0≤r≤1,J=−2r
=
π
2Z
0
dϕ
1Z
0
(1−r
2
)2rdr
=
π
4
VậyI=
7π
12
B?i tập 5.5.T?nh
ZZ
S
x
2
y
2
zdxdy
trong ?Sl? mặt tr?n của nửa mặt cầux
2
+y
2
+z
2
=
R
2
,z≤0
.
y
z
x
O
H?nh 5.5
Lời giải. Ta c?:
•MặtS:z=−
p
R
2
−x
2
−y
2
•H?nh chiếu củaSl?nOxyl? h?nh tr?n,D:x
2
+y
2
≤R
2
.
•β= (
−→
n,Oz)l? g?c nhọn.
101

103. 102 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
n?n:
I=−
ZZ
D
x
2
y
2
q
R
2
−x
2
−y
2
dxdy
ặt



x=rcosϕ
y=rsinϕ
⇒0≤ϕ≤2π, 0≤r≤R,J=−r
I=
2πZ
0
dϕ
RZ
0
sin
2
ϕcos
2
ϕ
p
R
2
−r
2
.r
5
dr
=−
2R
7
105
2.4 C?ng thức Ostrogradsky, Stokes
Giả sửP,Q,Rl? c?c h?m khả vi, li?n tục tr?n miền bị chặn, o ?ợc trongV⊂R
3
.V
giới hạn bởi mặt cong k?nStr?n hay tr?n từng mảnh, khi ?:
ZZ
S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=
ZZZ
V

∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z

dxdydz
trong ? t?ch ph?n ở vế tr?i lấy theo h?ớng ph?p tuyến ngo?i.
Ch? ?:
•Nếu t?ch ph?n ở vế tr?i lấy theo h?ớng ph?p tuyến trong th?
ZZ
S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=−
ZZZ
V

∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z

dxdydz
•Nếu mặt congSkh?ng k?n, c? thể bổ sung th?nh mặt congS
0
k?n ể ?p dụng c?ng
thức Ostrogradsky, r?i tr? i phần bổ sung.
B?i tập 5.6.
T?nh
ZZ
S
xdydz+ydzdx+zdxdy
trong ?Sl? ph?a ngo?i của mặt cầux
2
+
y
2
+z
2
=a
2
.
102

104. 2. T?ch ph?n mặt loại II 103
y
z
x
O
−→
n(x,y,z)
H?nh 5.6
Lời giải. ?p dụng c?ng thức Ostrogradsky ta c?
ZZ
S
xdydz+ydzdx+zdxdy=
ZZZ
V
3dxdydz=3V=4πa
2
B?i tập 5.7.
T?nh
ZZ
S
x
3
dydz+y
3
dzdx+z
3
dxdy
trong ?Sl? ph?a ngo?i của mặt cầux
2
+
y
2
+z
2
=R
2
.
Lời giải. Xem h?nh vẽ 5.6, ?p dụng c?ng thức Ostrogradsky ta c?:
I=
ZZZ
V
3

x
2
+y
2
+z
2

dxdydz
ặt









x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
⇒









0≤ϕ≤2π
0≤θ≤π
0≤r≤R
,J=−r
2
sinθ
I=3
2πZ
0
dϕ
πZ
0
dθ
RZ
0
r
4
sinθdr
=
12πR
5
5
103

105. 104 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
B?i tập 5.8.T?nh
ZZ
S
y
2
zdxdy+xzdydz+x
2
ydxdz
trong ?Sl? ph?a ngo?i của miềnx≤
0,y≤0,x
2
+y
2
≤1,z≤x
2
+y
2
.
y
z
x
O
H?nh 5.8
Lời giải. ?p dụng c?ng thức Ostrogradsky ta c?:
I=
ZZZ
V

y
2
+z+x
2

dxdydz
ặt









x=rcosϕ
y=rsinϕ
z=z
⇒









0≤ϕ≤
π
2
0≤r≤1
0≤z≤r
2
,J=−r
=
π
2Z
0
dϕ
1Z
0
dr
r
2
Z
0

r
2
+z

rdr
=
π
8
B?i tập 5.9.T?nh
ZZ
S
xdydz+ydzdx+zdxdy
trong ?Sl? ph?a ngo?i của miền(z−1)
2
6
x
2
+y
2
,a6z61,a>0
.
104

106. 2. T?ch ph?n mặt loại II 105
y
z
x
−→
n
a
1−aa−1 O
H?nh 5.9
Lời giải. ?p dụng c?ng thức Ostrogradsky ta c?:
I=
ZZZ
V
3dxdydz=3V=3.
1
3
Bh=π(1−a)
3
2.5 C?ng thức li?n hệ giữa t?ch ph?n mặt loại I v? loại
II
ZZ
S
[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ]dS
=
ZZ
S
P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy
(5.1)
trong ?cosα, cosβ, cosγl? cosin chỉ ph??ng của v?ct? ph?p tuyến ?n vị của mặtS.
B?i tập 5.10.
GọiSl? phần mặt cầux
2
+y
2
+z
2
=1 nằm trong mặt trụx
2
+x+z
2
=
0,y≥0
, h?ớngSph?a ngo?i. Chứng minh rằng
ZZ
S
(x−y)dxdy+ (y−z)dydz+ (z−x)dxdz=0
105

107. 106 Ch??ng 5. T?ch ph?n mặt
y
1−1
z
1
x
O
H?nh 5.10
Lời giải. Ta c?y=
p
1−x
2
−y
2
n?n v?ct? ph?p tuyến củaSl?
−→
n=±(−y
0
x, 1,−y
0
z). V?
(
−→
n,Oy)<
π
2
n?n
−→
n= (−y
0
x
, 1,−y
0
z) =

x
√
1−x
2
−z
2
, 1,
z
√
1−x
2
−z
2

Do ?|
−→
n|=
q
x
2
1−x
2
−z
2+1+
z
2
1−x
2
−z
2=
1
√
1−x
2
−z
2
. Vậy













cosα=cos(
−→
n,Ox) =
n1
|
−→
n|
=x
cosβ=cos(
−→
n,Oy) =
n2
|
−→
n|
=y
cosγ=cos(
−→
n,Oz) =
n3
|
−→
n|
=z
?p dụng c?ng thức li?n hệ giữa t?ch ph?n mặt loại I v? II 5.1 ta c?
I=
ZZ
S
[(x−y)cosγ+ (y−z)cosβ+ (z−x)cosα]dS
=
ZZ
S
(x−y)z+ (y−z)x+ (z−x)ydS
=0
106

108. CH??NG6
L? THUYẾT TR?ỜNG
§1. TR?ỜNG V? H?ỚNG
1.1 ịnh ngh?a
ịnh ngh?a 6.3.
ChoΩl? một tập con mở củaR
3(hoặcR
2). Một h?m số
u:Ω→R
(x,y,z)7→u=u(x,y,z)
?ợc gọi l? một tr?ờng v? h?ớng x?c ịnh tr?nΩ.
Choc∈R, khi ? mặtS={(x,y,z)∈Ω|u(x,y,z) =c}?ợc gọi l? mặt mức ứng với gi? trị
c(?ng tr?).
1.2 ạo h?m theo h?ớng
ịnh ngh?a 6.4.
Chou=u(x,y,z) l? một tr?ờng v? h?ớng x?c ịnh tr?nΩv?M0∈Ω .
Với
−→
l
l? một v?ct? kh?c kh?ng bất k? v?M(x,y,z) sao choM0Mc?ng ph??ng với
−→
l
, ?t
ρ=



p
(x−x0)
2
+ (y−y0)
2
+ (z−z0)
2 nếu
−−−→
M0M↑↑
−→
l
−
p
(x−x0)
2
+ (y−y0)
2
+ (z−z0)
2 nếu
−−−→
M0M↑↓
−→
l
(6.1)
Giới hạn (nếu c?) của tỉ sốlim
ρ→0
4u
ρ
?ợc gọi l? ạo h?m theo h?ớng
−→
l
tạiM0của tr?ờng
v? h?ớng
uv? ?ợc k? hiệu l?
∂u
∂
−→
l
(M0)
.
Ch? ?:
107

109. 108 Ch??ng 6. L? thuyết tr?ờng
•Giới hạn trong c?ng thức 6.1 c? thể ?ợc thay bằng
lim
t→0
u(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−u(x0,y0,z0)
t
,
trong ?cosα, cosβ,cosγl? c?c cosin chỉ ph??ng của
−→
l.
•Nếu
−→
l↑↑Oxth?
∂u
∂
−→
l
(M0) =
∂u
∂x
(M0).
•ạo h?m theo h?ớng
−→
ltại iểmM0của tr?ờng v? h?ớnguthể hiện tốc ộ biến
thi?n của tr?ờng v? h?ớngutạiM0theo h?ớng
−→
l.
ịnh l? 6.16.
Nếuu=u(x,y,z) khả vi tạiM(x0,y0,z0) th? n? c? ạo h?m theo mọi h?ớng
−→
l6=0
tạiM0v?
∂u
∂
−→
l
(M0) =
∂u
∂x
(M0). cosα+
∂u
∂y
(M0). cosβ+
∂u
∂z
(M0). cosγ, (6.2)
trong ?cosα, cosβ,cosγ l? c?c cosin chỉ ph??ng của
−→
l
.
1.3 Gradient
ịnh ngh?a 6.5.
Chou(x,y,z) l? tr?ờng v? h?ớng c? c?c ạo h?m ri?ng tạiM0(x0,y0,z0) .
Ng?ời ta gọi gradient của
utạiM0l? v?ct?

∂u
∂x
(M0),
∂u
∂y
(M0),
∂u
∂z
(M0)

v? ?ợc k? hiệu l?
−−→
gradu(M0)
.
ịnh l? 6.17.Nếu tr?ờng v? h?ớngu(x,y,z) khả vi tạiM0th? tại ? ta c?
∂u
∂~
l
(M0) =
−−→
gradu.~
l
Ch? ?:
∂u
∂~l
(M0)thể hiện tốc ộ biến thi?n của tr?ờng v? h?ớngutạiM0theo h?ớng~
l.
Từ c?ng thức
∂u
∂~
l
(M0) =
−−→
gradu.~l=



−−→
gradu






~l


. cos

−−→
gradu,~l

ta c?




∂u
∂~
l
(M0)




ạt gi? trị lớn
nhất bằng



−−→
gradu






~
l


nếu~
lc? c?ng ph??ng với
−−−→
gradu. Cụ thể
•Theo h?ớng~
l, tr?ờng v? h?ớngut?ng nhanh nhất tạiM0nếu~
lc? c?ng ph??ng, c?ng
h?ớng với
−−−→
gradu.
•Theo h?ớng~l, tr?ờng v? h?ớngugiảm nhanh nhất tạiM0nếu~lc? c?ng ph??ng,
ng?ợc h?ớng với
−−−→
gradu.
108

110. 1. Tr?ờng v? h?ớng 109
1.4 B?i tập
B?i tập 6.1.T?nh ạo h?m theo h?ớng
−→
lcủau=x
3
+2y
3
−3z
3
tạiA(2, 0, 1),
−→
l=
−→
AB,B(1, 2,−1).
Lời giải. Ta c?
−→
AB= (−1, 2,−2)n?n
cosα=
−1
|
−→
AB|
=
−1
3
,
∂u
∂x
=3x
2
⇒
∂u
∂x
(A) =12
cosβ=
2
|
−→
AB|
=
2
3
,
∂u
∂y
=6y
2
⇒
∂u
∂x
(A) =0
cosγ=
−2
|
−→
AB|
=
−2
3
,
∂u
∂z
=−9z
2
⇒
∂u
∂x
(A) =−9
?p dụng c?ng thức 6.2 ta c?
∂u
∂
−→
l
(A) =12.
−1
3
+0.
2
3
+ (−9).
−2
3
=2
B?i tập 6.2.T?nh m?nun của
−−→
graduvớiu=x
3
+y
3
+z
3
−3xyztạiA(2, 1, 1). Khi n?o th?
−−→
gradu⊥Oz, khi n?o
−−→
gradu=0.
Lời giải. Ta c?
−−→
gradu=

∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z

= (3x
2
=3yz, 3y
2
−3zx, 3z
2
−3xy)
n?n
−−→
gradu= (9,−3,−3)v?



−−→
gradu


=
√
9
2
+3
2
+3
2
=3
√
11.
•
−−→
gradu⊥Oz⇔
D
−−→
gradu,
−→
k
E
=0⇔
∂u
∂x
=0⇔z
2
=xy
•
−−→
gradu=0⇔









x
2
=yz
y
2
=zx
z
2
=xy
⇔x=y=z
B?i tập 6.3.T?nh
−−→
graduvớiu=r
2
+
1
r
+lnrv?r=
p
x
2
+y
2
+z
2
.
B?i tập 6.4.Theo h?ớng n?o th? sự biến thi?n của h?m sốu=xsinz−ycosztừ gốc toạ
ộO(0, 0)l? lớn nhất?
109

111. 110 Ch??ng 6. L? thuyết tr?ờng
Lời giải. Từ c?ng thức
∂u
∂~
l
(O) =
−−→
gradu.~l=



−−→
gradu






~l


. cos

−−→
gradu,~l

ta c?




∂u
∂~
l
(O)




ạt gi?
trị lớn nhất bằng



−−→
gradu






~
l


nếu~
lc? c?ng ph??ng với
−−→
gradu(O) = (0,−1, 0).
B?i tập 6.5.T?nh g?c giữa hai v?ct?
−−→
gradzcủa c?c h?mz=
p
x
2
+y
2
,z=x−3y+
p
3xy
tạiM(3, 4).
Lời giải. Ta c?
•
−−→
gradz1=

x
√
x
2
+y
2
,
y
√
x
2
+y
2

n?n
−−→
gradz1(M) =

3
5
,
4
5

.
•
−−→
gradz2=

1+
√
3y
2
√
x
,−3+
√
3x
2
√
y

n?n
−−→
gradz2(M) =
−
2,−
9
4

. Vậy
cosα=
D
−−→
gradz1,
−−→
gradz2
E



−−→
gradz1


.



−−→
gradz2



=
−12
5
√
145
110

112. 2. Tr?ờng v?ct? 111
§2. TR?ỜNG V?CT?
2.1 ịnh ngh?a
ChoΩl? một miền mở trongR
3
. Một h?m v?ct?
−→
F:Ω→R
3
M7→
−→
F=
−→
F(M),
trong ?
−→
F=Fx(M)
−→
i+Fy(M)
−→
j+Fz(M)
−→
k
2.2 Th?ng l?ợng, dive, tr?ờng ống
a. Th?ng l?ợng: ChoSl? một mặt ịnh h?ớng v?
−→
Fl? một tr?ờng v?ct?. ại l?ợng
φ=
ZZ
S
Fxdydz+Fydzdx+Fzdxdy (6.3)
?ợc gọi l? th?ng l?ợng của
−→
Fi qua mặt congS.
b. Dive: Cho
−→
Fl? một tr?ờng v?ct? c? th?nh phầnFx,Fy,Fzl? c?c h?m số c? ạo h?m
ri?ng cấp một th? tổng
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
?ợc gọi l? dive của tr?ờng v?ct?
−→
Fv? k? hiệu
l?div
−→
F.
c. Tr?ờng v?ct?
−→
Fx?c ịnh tr?nΩ?ợc gọi l? một tr?ờng ống nếudiv
−→
F(M) =0với
mọiM∈Ω.
T?nh chất:Nếu
−→
Fl? một tr?ờng ống th? th?ng l?ợng i v?o bằng th?ng l?ợng i ra.
2.3 Ho?n l?u, v?ct? xo?y
a. Ho?n l?u: ChoCl? một ?ờng cong (c? thể k?n hoặc kh?ng k?n) trong kh?ng gian.
ại l?ợng
Z
C
Fxdx+Fydy+Fzdz (6.4)
?ợc gọi l? ho?n l?u của
−→
Fdọc theo ?ờng congC.
b. V?ct? xo?y: V?ct?
−→
rot
−→
F:=



−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
FxFyFz



111

113. 112 Ch??ng 6. L? thuyết tr?ờng
?ợc gọi l? v?ct? xo?y (hay v?ct? rota) của tr?ờng v?ct?
−→
F.
2.4 Tr?ờng thế - h?m thế vị
Tr?ờng v?ct?
−→
F?ợc gọi l? tr?ờng thế (tr?nΩ) nếu tồn tại tr?ờng v? h?ớngusao cho
−−→
gradu=
−→
F(tr?nΩ). Khi ? h?mu?ợc gọi l? h?m thế vị.
ịnh l? 6.18.
iều kiện cần v? ủ ể tr?ờng v?ct?
−→
F=
−→
F(M)
l? một tr?ờng thế (tr?n
Ω) l?
−→
rot
−→
F(M) =0
với mọiM∈Ω .
Ch? ?:Nếu
−→
Fl? tr?ờng thế th? h?m thế vịu?ợc t?nh theo c?ng thức
u=
xZ
x0
Fx(x,y0,z0)dx+
y
Z
y0
Fy(x,y,z0)dy+
zZ
z0
Fz(x,y,z)dz+C (6.5)
2.5 B?i tập
B?i tập 6.6.Trong c?c tr?ờng sau, tr?ờng n?o l? tr?ờng thế?
a.
−→
a=5(x
2
−4xy)
−→
i+ (3x
2
−2y)
−→
j+
−→
k.
b.
−→
a=yz
−→
i+xz
−→
j+xy
−→
k.
c.
−→
a= (x+y)
−→
i+ (x+z)
−→
j+ (z+x)
−→
k.
Lời giải. a. Ta c?
−→
rot
−→
a=





∂
∂y
∂
∂z
Q R





,





∂
∂z
∂
∂x
R P





,





∂
∂x
∂
∂y
P Q





!
= (0, 0, 6x−20y)6=0
n?n tr?ờng ? cho kh?ng phải l? tr?ờng thế.
b. Ngo?i c?ch t?nh
−→
rot
−→
a, sinh vi?n c? thể dễ d?ng nhận thấy tồn tại h?m thế vịu=xyz
n?n
−→
al? tr?ờng thế.
c. Ta c?
−→
rot
−→
a=





∂
∂y
∂
∂z
Q R





,





∂
∂z
∂
∂x
R P





,





∂
∂x
∂
∂y
P Q





!
= (0, 0, 0)
112

114. 2. Tr?ờng v?ct? 113
n?n
−→
al? tr?ờng thế. H?m thế vị ?ợc t?nh theo c?ng thức 6.5:
u=
xZ
x0
Fx(t,y0,z0)dt+
y
Z
y0
Fy(x,t,z0)dt+
zZ
z0
Fz(x,y,t)dt+C
=
xZ
0
tdt+
y
Z
0
(x+0)dt+
zZ
0
(t+y)dt+C
=
x
2
2
+xy+
z
2
2
+yz+C
B?i tập 6.7.Cho
−→
F=xz
2
−→
i+
2
−→
j+zy
2
−→
k. T?nh th?ng l?ợng của
−→
Fqua mặt cầuS:
x
2
+y
2
+z
2
=1h?ớng ra ngo?i.
Lời giải. Theo c?ng thức t?nh th?ng l?ợng 6.3 ta c?
φ=
ZZ
S
xz
2
dydz+yx
2
dxdz+zy
2
dxdy
?p dụng c?ng thức Ostrogradsky ta c?
φ=
ZZZ
V
(x
2
+y
2
+z
2
)dxdydz
Thực hiện ph?p ổi biến trong toạ ộ cầu









x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
,









0≤ϕ≤2π
0≤θ≤π
0≤r≤1
,J=−r
2
sinθ
ta c?
φ=
2πZ
0
dϕ
πZ
0
dθ
1Z
0
r
2
.r
2
sinθdr=
4π
5
B?i tập 6.8.Cho
−→
F=x(y+z)
−→
i+y(z+x)
−→
j+z(x+y)
−→
kv?Ll? giao tuyến của mặt
trụx
2
+y
2
+y=0v? nửa mặt cầux
2
+y
2
+z
2
=2,z≥0. Chứng minh rằng l?u số của
−→
F
dọc theoLbằng0.
Lời giải. Theo c?ng thức t?nh l?u số 6.4
I=
I
L
x(y+z)dx+y(z+x)dy+z(x+y)dz
113

115. 114 Ch??ng 6. L? thuyết tr?ờng
?p dụng c?ng thức Stokes ta c?
I=
ZZ
S





∂
∂y
∂
∂z
Q R





dydz+





∂
∂z
∂
∂x
R P





dzdx+





∂
∂x
∂
∂y
P Q





dxdy
=
ZZ
S
(z−y)dydz+ (x−z)dzdx+ (y−x)dxdy
=0(theo b?i tập 5.10).
114