Gioi han ham so giai tich 1 dai học bach khoa

Giai tich

1. Chương 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

2. KHÁI NIỆM (CONCEPT)sin
( ) ,
x
fx
x
=
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x
0 ( có thể không
xác định tại x
0). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ
gần x
0 thì a gọi là giới hạn (limit) của f tại x
0.
VD:
khi x  0
x f(x)
f(x) không xác định tại 0, nhưng
khi x  0 thì f(x)  1

3. Đồ thị của hàm sốsin
( ) ,
x
fx
x
=
không bị đứt tại x  0
Lúc này coi như f(0)  1
(giới hạn của f tại x = 0 là 1)

4. ĐỊNH NGHĨA (definition) GIỚI HẠN HÀM SỐ0
lim ( )
xx
f x a
→
= 0
0, 0: , ( )x D x x f x a         −   − 
x
0
a


(hữu hạn)
x
f (x)

5. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY0
lim
n
n
xx
→
= lim ( )
n
n
f x a
→
= 0
lim ( )
xx
f x a
→
= 
0
& ,
nn
x D x x  
nếu thì
Tiện ích của định nghĩa:
1.Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay x
o là .
2.Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn
đúng cho giới hạn hàm số.
3.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới
hạn.

6. Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn0
lim lim
lim ( ) lim ( )
nn
nn
nn
nn
x x x
f x f x
→ →
→ →
==



 1
()fx
x
= 1
1
n
n
x
n
x
n
=
=− ()
n
f x n=
Chọn 2 dãy {x
n} và
{x’
n} sao cho:
Ví dụ: 1.Chứng minh không có gh khi x → 0
Chọn 0,
0,
n →()
n
f x n=− n →
n →n →
+ 
−lim ( ) lim ( )
nn
nn
f x f x
→ →


7. GIỚI HẠN MỘT PHÍA (one – sided limit)0
lim ( )
xx
f x a
+
→
=
x
o0
lim
n
xx= 0
lim ( )
xx
f x a
−
→
= 
0
& ,
nn
x D x x  
nếu thì lim ( )
n
f x a=
•Giới hạn trái tại
x
0:
(left – hand limit)
•Giới hạn phải tại x
0:
(right – hand limit)
(Xét x
n > x
0 và x
n → x
0)

8. GIỚI HẠN MỘT PHÍA0
lim ( )
xx
f x a
+
→
= 0
lim ( )
xx
f x a
→
= 0
lim ( )
xx
f x a
−
→
= 
VD:1
, 1,
1/ ( )
2 1 , 1,
x
fx x
xx


=
−
Xét gh của f (x) tại x
0 = 11
lim ( )
x
fx
+
→ 1
1
lim
xx
+
→
= 1= 1
lim ( )
x
fx
−
→ 1
lim(2 1)
x
x
−
→
−= 1
lim ( ) 1
x
fx
→
= =

9. Giới hạn cho hàm mũ
()
( ) ( )
vx
f x u x= 0
0
lim ( )
lim
0
()
xx
xx
ux
v x b R
a
→
→
=


=


 0
lim ( )
b
xx
f x a
→
= 
0
()
lim ( )
vx
xx
ux
→
Xét hàm số có dạng:
Chứng minh:0
( ) ln ( )
lim
v x u x
xx
e

→
=

10. Tiêu chuẩn giới hạn kẹp (squeeze)()()(),h x f x g x
với mọi x trong lân cận C,() () ()lim lim lim
x C x C x C
h x a g x f x a
→ → →
= =  =
C có thể là số, là vô cùng, hay một phía.

11. Một lưu ý
Nếu()
0
lim 0,
xx
fx
→
= ()
0
,
x
g x M x V  
thì()()
0
lim 0.
xx
f x g x
→
=
Giới hạn của tích một hàm tiến về 0 với một hàm bị
chặn thì bằng 0.

12. 7 DẠNG VÔ ĐỊNH 0
,0 , ,
0

− 
 00
1 ,0 ,

 ()
()vx
ux
• Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia:
• Đối với dạng mũ

13. BẢNG TÓM TẮT GIỚI HẠN CƠ BẢN1 lim ,lim 0
0 1 lim 0,lim
xx
xx
xx
xx
a a a
a a a
→+ →−
→+ →−
  =+ =


   = =+
 0 lim ,

0 lim 0
x
x
x
x




→+
→+
  =+


  =
 1a 01a 0
limln
limln
x
x
x
x
→+
→+
=+


=−
 0 0

14. BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢNln
lim 0, 09/
p
x
x
x


→+
=   lim 0, 1
x
x
x
a
a

→+
=   ()
1
0
1/lim 1 x
x
xe
→
+= 0
ln(1 )
lim2/ 1
x
x
x→
+
= 0
1
3/lim 1,
x
x
e
x→
−
= 0
(1 ) 1
5/lim
x
x
x


→
+−
= 0
1
lim ln4/
x
x
a
a
x→
−
= 0
sin
lim 16 ,/
x
x
x→
= 2
0
1 cos 1
lim
2x
x
x→
−
= 0
tan
lim 1 ,
x
x
x→
= 0
arcsi
l17/im ,
n
x
x
x→
= 0
arctan
lim 1,
x
x
x→
= 0
sinh
8/lim 1,
x
x
x→
= 2
0
cosh 1 1
lim
2x
x
x→
−
=

15. GIỚI HẠN CƠ BẢN()
1
0
1/lim 1 x
x
xe
→
+= 0
ln(1 )
2/lim
x
x
x→
+ 0
1
3/lim 1,
x
x
e
x→
−
= 00
1
lim lim
ln( 1)
x
xu
eu
xu→→
−
=
+ 1
0
limln(1 )
x
x
x
→
=+ ln 1e==
vì với phép đặt : e
x
– 1 = u, ta có0
1
lim 1
ln( 1)u u
u
→
==
+

16. GIỚI HẠN CƠ BẢN0
(1 ) 1
5/lim
x
x
x

→
+− 0
1
4/lim
x
x
a
x→
− ln
0
1
lim ln
ln
xa
x
e
a
xa→
−
= lna= ln(1 )
0
1 ln(1 )
lim
ln(1 )
x
x
ex
xx



+
→
−+
==
+ 00
arcsin
7/lim lim 1
sin
xu
xu
xu
→→
== 0 0 0
sinh 1 1 1
8/lim lim lim 1,
22
x x x x
x x x
x e e e e
x x x x
−−
→ → →
− − −
= = + =

−

17. LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN
1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.
2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp.
3.Nếu dạng VĐ là 0 ,  − , chuyển về 0/0 hoặc /
4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau:
a. lấy lim của ln f (x)
b.[u(x)]
v(x)
= e
v(x)ln u(x)
c.Dạng 1

, thường dùng gh (1+x)
1/x
→ e() ()
00
5. lim 0 lim 0
x x x x
f x f x
→→
=  =