Goniometria

Nozioni base di goniometria e funzioni goniometriche

1. GONIOMETRIA.
MISURE DI ANGOLI ED ARCHI
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE.

2. α
rad
l
A
B
O
r
r
Definizione di misura in radianti di un arco di circonferenza.
Dalla definizione di misura in radianti di un arco si
ricava la misura dell’arco di crf.nza:
Dato un arco di circonferenza AB, si
definisce misura in radianti dell’arco il
rapporto tra la misura dell’arco
rettificato l
(rett)
e il raggio r della
circonferenza:
l
(rett)
= r α
rad

arco
(rettificato)
l
(rett)
α
rad
= =
raggio r

3. Premessa.
Teorema.
Archi di circonferenze aventi la stessa ampiezza sono
proporzionali ai raggi delle corrispondenti crf.nze.

l
1
l
2
l
3
l
n


= = =…=

r
1 r
2 r
3 r
n
α
r
1
r
2
r
3
r
n
l
n
l
3
l
2
l
1

4. α
O
Dal teorema precedente si perviene alla definizione
di misura in radianti di un angolo.
l
Dato l’ angolo ab , di vertice O, si
considera una circonferenza di centro O.
(1clic)
a
b
Si definisce misura in radianti dell’angolo ab
la misura in radianti dell’arco l di crf.nza.
L’angolo intercetta sulla circonferenza
un arco l. (1clic)
l
(rett)
α
rad =

r

5. Relazione tra misura in radianti e in gradi sessagesimali.
Premessa.
Gli archi di una stessa circonferenza o di crf.nze congruenti
sono proporzionali alle rispettive ampiezze.
l
1
: l
2
= α
1
: α
2
Data una circonferenza, consideriamo come arco l
1
l’intera
circonferenza, quindi la sua ampiezza è di 360° e come arco
l
2 un arco l ampio α° gradi.
La proporzione diventa:
2πr : l = 360° : α°
Dividendo i termini del primo rapporto per r, si ha:
2πr l
: = 360° : α°
r r

6. si ottiene:
2π : α
rad
= 360° : α°
e, dividendo per 2 gli antecedenti, si ha la regola di
conversione tra i gradi e i radianti:
Per la definizione di misura in radianti di un arco:
l
(rett)
α
rad =
r
π : α
rad
= 180°: α°
π
α
rad
= α°

180°
180°
α° = α
rad


π

7. Misura in radianti di angoli notevoli.
Se si considera l’angolo di ampiezza 360°,
esso individua su una circonferenza un arco
pari alla crf.nza stessa. Siccome la crf.nza
rettificata misura 2πr, si ha:
crf
(rettificata)
2πr
α
rad = = = 2π rad

raggio r
r
360°
Di conseguenza si ricavano i seguenti valori notevoli:
GRADI RADIANT
I
180° π
90° π
2
45° π
4
GRADI RADIANTI
120° 2π
3
60° π
3
30° π
6

8. Definizione geometrica di seno, coseno di un
arco (angolo)
In un sistema di assi cartesiani e si considera la la
circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).
Dato un arco a, si considera l’arco di crf.nza AP = a, avente il
primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il secondo estremo di
tale arco.
Definizione: si definiscono coseno e seno dell’arco (oppure
dell’angolo) ampio a rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del
punto P, quindi si può scrivere:
P(cosa; sena )

9. Dato l’arco di circonferenza AP=a, considerando il triangolo
rettangolo OPH (in figura), si constata che le misure dei cateti
coincidono con le coordinate del punto P della crf.nza goniometrica
mentre l’ipotenusa OP è uguale al raggio 1 della crf.nza. (1clic)
x
y
O
A(1;0)H
PH = y
P
= sensenaa.
OH = x
P
=coscosaa.
y
P
x
P
a
OP = 1
a
P(x;y)

10. Seno e Coseno
O
x
y
a
a
cosa
sena P(x;y)
P(cosa; sena)
A(1;0)

11. Valori notevoli di Seno e Coseno
p

4p

6
p

3
p

6
½
√3
2
1
p
4
√2
2
√2
2
1
p
3
√3
2
½
1
x
y
Ricordando le regole dei triangoli
rettangoli con un angolo acuto
rispettivamente di 30°; 45°; 60°: si ha la
tabella:
seno
coseno
p

6
p

4
p

3
½
√2
2
√3
2
√2
2
½
√3
2
1clic

12. Valori notevoli degli archi (angoli) da 0 a 2π rad.
2
p
3
p

2
p

4p

6
p

3
3
p
45
p
6
7
p
65
p
4
4
p
3
3
p
2
5
p
3
7
p
4
11
p
6
p
0
2p
1 clic
Verso positivo
degli archi

13. -2 p
3
-p

2
-p

4
-p

6
-p

3
-3 p
4
-5 p
6
-7 p
6
-5 p
4
-4 p
3
-3 p
2
-5 p
3-7 p
4
-11 p
6
-p
0
-2p
Valori notevoli degli archi (angoli) da 0 a -2π rad.
1 clic
Verso negativo
degli archi

14. Variazioni di Seno e Coseno
O
x
y
P(x
P
;y
P
)
Aa
p

2
3 p
2
p 0
2p
1°quadr. Se 0 < a < ½p
P possiede ascissa POSITIVA e
ordinata POSITIVA.
Quindi
cosa >0 e sena >0
x
P
>0; y
P
>0x
P
<0; y
P
>0
x
P
>0; y
P
<0x
P
<0; y
P
<0
2°quadr. Se ½ p < a < p
P possiede ascissa NEGATIVA
e ordinata POSITIVA.
Quindi
cosa<0 e sena >0
3°quadr. Se p < a < (3/2)p
P possiede ascissa NEGATIVA
e ordinata NEGATIVA.
Quindi
cosa<0 e sena <0
4°q. Se (3/2) p < a < 2p
P possiede ascissa POSITIVA
e ordinata NEGATIVA.
Quindi
cosa>0 e sena <0
1CLIC
1CLIC1CLIC
1CLIC

15. In conclusione:
al variare di a da 0 rad. a 2p rad. sia il seno che il coseno
di a variano tra -1 e +1 (compresi tali valori)
0<a<½p ½p <a<pp<a<(3/2)p(3/2)p<a<2p
Seno 0 <sena < 11 <sena < 00 <sena < -1-1 <sena < 0
Coseno 1 <cosa < 00 <cosa < -1-1 <cosa < 00 <cosa < 1

16. Prima Identità Fondamentale
Ma, d’altra parte, abbiamo visto
che:
x
P
=cosa, y
P
=sena
Quindi, sostituendo nella
relazione (1), si ottiene:
Siccome il punto P(x
P
;y
P
), introdotto per definire il
seno e il coseno dell’arco a, appartiene alla
circonferenza goniometrica, le sue coordinate devono
soddisfare l’equazione di tale circonferenza, cioè:
x
P
2
+ y
P
2
= 1 (1)
O
x
y
P(x
P
;y
P
)
A(1;0)a
sen
2
a + cos
2
a = 1

17. Definizione di Tangente di un arco (angolo)
In un sistema di assi cartesiani e si considera la circonferenza la circonferenza
di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).
Dato un arco a, si considera l’arco di crf.nza AP = a, avente il
primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il secondo estremo di
tale arco. Si traccia la retta tangente alla circonferenza
goniometrica nel suo punto A(1;0) e si considera l’intersezione
con la retta OP. Detto T tale punto di intersezione, si definisce
tangentetangente dell’arco AP l’ordinatal’ordinata del punto T .

18. Tangente
a
x
y
O
x=1
T(1;y)
a
tanga
T(1;tanga)
A(1;0)
1clic
P

19. Campo di Esistenza della Tangente
Risulta evidente che la retta per O e P interseca la retta x=1,
tangente in A, se e solo se non è parallela a tale retta. Questo fatto
si verifica se P coincide con B opp. con C (vedi in fig.) cioè se:
a = p oppure a = 3p
2 2
Quindi la definizione di tangente
di a ha senso se e solo se:
a ≠ p e a ≠ 3p
2 2
O
x
y
P
A(1;0)a
B
C
x=1
T
¤
¤

20. Variazioni della Tangente
Se 0 < a < ½p
(cioè: se P appartiene al 1° quadrante)
La tangente varia da 0 a +∞
Se ½p < a < p
(cioè: se P appartiene al 2° quadr.)
La tangente varia da -∞ a 0 .
P’’’
O
x
y
P
A(1;0)a
B
C
x=1
T
¤
¤
P’
P’’
T’
Se p < a < (3/2)p .
(cioè: se P appartiene al 3° quadr.)
La tangente varia da 0 a +∞
Se (3/2)p < a <2p.
(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)
La tangente varia da -∞ a 0 .

21. Sintesi grafica delle definizioni

a
x
y
O
x=1
T(1;y)
a
A(1;0)cosa
P(x;y)
T(1;tanga)
P(cosa;sena)
1clic
tanga
sena

22. I triangoli OAT e OHP sono simili essendo rettangoli e avendo
l’angolo in O in comune (1°criterio di similitudine). Si ha la seguente
proporzione: AT : AO = PH : OH
Sostituendo le misure dei lati:

si perviene alla relazione:
T
A(1;0)
P
x
y
H
O
cosa
sena
tanga
PH = sena OH = cosaAT = tanga OA = 1

sena
tanga =
¾¾¾



cosa
Seconda identità
fondamentale

23. Definizione di cotangente di un angolo
In un sistema di assi cartesiani e si considera la circonferenza di la circonferenza di
centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).
Dato un arco a, si considera l’arco di crf.nza AP = a, avente il
primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il secondo estremo di
tale arco.
Si traccia la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel
suo punto B(0;1) e si considera l’intersezione con la retta OP.
Detto T tale punto di intersezione, si definisce cotangentecotangente
dell’arco AP l’ascissal’ascissa del punto T .

24. Cotangente
a
x
y
O a
T(cotanga;1)
A(1;0)
1clic
B(0;1)
y = 1
P

25. Variazioni della Cotangente
O
x
y
P
A(1;0)
aD
y=1
T
B
¤ ¤
T’
P’
P’’’
P’’
Se 0 < a < ½p
(cioè: se P appartiene al 1° quadrante)
La cotangente varia da +∞ a 0
Se ½p < a < p
(cioè: se P appartiene al 2° quadr.)
La cotangente varia da 0 a -∞
Se p < a < (3/2)p .
(cioè: se P appartiene al 3° quadr.)
La cotangente varia da +∞ a 0
Se (3/2)p < a <2p.
(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)
La cotangente varia da 0 a -∞

26. Campo di Esistenza della Cotangente
Risulta evidente che la retta per O e P interseca la retta y=1,
tangente in B, se e solo se non è parallela a tale retta. Questo
fatto si verifica se P coincide con A o con D (vedi in fig.) cioè se:
a = 0; a = p; a = 2p
Quindi la definizione di
cotangente di a ha senso se e
solo se:

a ≠ 0; a ≠ p; a≠2p

O
x
y
P
A(1;0)
aD
y=1
T
B
¤ ¤

27. Definizioni di Cosecante Secante
x
O a
A(1;0)
P
y
S
R
Dato l’arco AP = a, per il punto P si traccia la retta
tangente alla crf.nza goniometrica. Tale retta interseca
l’asse delle ordinate nel punto S. Si definisce cosecante
dell’arco a, l’ordinata del punto S. Quindi si può scrivere :
S(O; cosec a)
La stessa retta tangente interseca l’asse
delle ascisse nel punto C. Si definisce
secante dell’arco a, l’ascissa del punto C.
Quindi si può scrivere: R(sec a; 0)

28. Campo di esistenza della Cosecante
Risulta evidente che la retta tangente in P interseca l’asse delle
ordinate y se e solo se non è parallela a tale asse. Questo fatto si
verifica se P coincide con A o con D (vedi in fig.) cioè se:
O
x
y
P
A(1;0)
aD
B
¤ ¤
S(0;coseca)
a = 0; a = p; a = 2p
Quindi la definizione di cosecante
ha senso se e solo se:

a ≠ 0; a ≠ p; a≠2p

29. Variazioni della Cosecante
Se
0 < a < ½p e ½ p < a < p .
(cioè: se P appartiene al 1° opp. al 2°
quadrante)
La cosecante varia, rispettivamente
da +∞ a 1 (1°quadr.); e da 1 a +∞ (2°q.)
Se
p < a < (3/2)p e (3/2)p < a <2p.
(cioè: se P appartiene al 3° opp. al 4°
quadrante)
La cosecante varia da -∞ a -1
(3°quadr.) e da -1 a - ∞∞ (4°q.)
O
x
y
P
A
aD
B
¤ ¤
S(0;coseca)

30. Campo di esistenza della Secante
Risulta evidente che la retta tangente in P interseca l’asse delle
ascisse x se e solo se non è parallela a tale asse. Questo fatto si
verifica se P coincide con B o con C (vedi in fig.) cioè se:
Quindi la definizione di secante ha
senso se e solo se:
a = p oppure a = 3p
2 2
a ≠ p e a ≠ 3p
2 2O
x
y
P
A
a
C
B
¤
¤
R(seca;0)

31. Variazioni della secante
Se 0 < a < ½p .
(cioè: se P appartiene al 1°quadrante)
La secante varia da 1 a +∞
O
x
y
P
A
a
C
B
¤
¤
R(0;seca)R’
Se (3/2)p < a < 2p .
(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)
La secante varia da +∞ a 1. ∞
Se ½p < a < p
(cioè: se P appartiene al 2° quadr.)
La secante varia da -∞ a -1.
Se p < a < (3/2)p
(cioè: se P appartiene al 3° quadr.)
La secante varia da -1 a - ∞

32. Relazioni tra Seno,Coseno e Cosecante, Secante
x
O a
cosa
sena
A(1;0)
P
y
S
C
Dato l’arco AP = a, per il punto P si traccia la retta
tangente alla crf.nza goniometrica.
Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo
rettangolo OPS si ha: OS: OP = OP : OQ
Sostituendo le misure: OS : 1 = 1 : sena ,
H
Q
Applicando il primo teorema
di Euclide al triangolo
rettangolo OPC si ha:

OC : OP = OP : OH
Quindi: 1
OS = = cosec a .
sen a
Quindi: 1
OC = = sec a .
cosa

33. Funzioni dirette e reciproche
Seno Cosecante
Coseno Secante
Tangente Cotangente

34. Archi associati
Si definiscono archi associati gli
archi:
a p - a p + a 2p-a (-a)
Se l’angolo a è acuto, gli archi
associati hanno il secondo estremo
coincidente con un vertice di un
rettangolo inscritto nella crf.nza
goniometrica e avente i lati paralleli
agli assi.
ap-a
p+a
2p -a
-a
a

35. sen(p-a) = sena
cos(p-a) = -cosa
tg(p-a) = -tga
cotg(p-a) = -cotga
Funzioni goniometriche di p-a
sen(p+a) = -sena
cos(p+a) = -cosa
tg(p+a) = +tga
cotg(p+a) = +cotga
Funzioni goniometriche di p+a

36. Funzioni goniometriche di 2p-a Funzioni goniometriche di -a
sen(2p-a) = -sena
cos(2p-a) = +cosa
tg(2p-a) = -tga
cotg(2p-a) = -cotga
sen(-a) = -sena
cos(-a) = +cosa
tg(-a) = -tga
cotg(-a) = -cotga

37. In conclusione.
Le funzioni goniometriche degli angoli:
p-a, p+a, 2p-a, -a,
in valore assoluto, coincidono con le stesse funzioni di a.
Regola pratica:
Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale
quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, a partire dal
quadrante in cui a si trova.

38. Altri archi (angoli) particolari
Altri archi (angoli) associati ad a :
(il complementare di a): e inoltre:

p _ a
2
a
p + a

2
p - a
2
3 p - a
2
3 p + a
2
x
y
3 p + a
2
p + a;
2
3
p - a;
2

39. sen = +cosa
cos =+sena
tang = +cotga
cotg =+tanga
sen = +cosa
cos = -sena
tang =-cotga
cotg =-tanga
Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di
p _ a
2
p + a
2
p _ a
2
p _ a
2
p _ a
2
p _ a
2
p + a
2
p + a
2
p + a
2
p + a
2

40. sen = -cosa
cos =-sena
tang = +cotga
cotg =+tanga
sen = -cosa
cos = +sena
tang =-cotga
cotg =-tanga
Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di
3 p - a
2
3 p + a
2
3 p - a
2
3 p - a
2
3 p - a
2
3 p - a
2
3 p + a
2
3 p + a
2
3 p + a
2
3 p + a
2

41. In conclusione.
Le funzioni goniometriche degli archi (angoli):

in valore assoluto, coincidono con le rispettive cofunzioni
goniometriche di a. [seno <-> coseno; tangente <-> cotangente]
Regola pratica:
Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale
quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, supponendo
che a si trovi nel primo quadrante.
(ad es.: supponendo a Î1°q. -> p-a Î2°q.; p+a Î 3°q.)
3 p + a
2
p + a;
2
3
p - a;
2
p - a;
2

42. TABELLA VALORI DELLE FUNZIONI
GONIOMETRICHE PER ARCHI NOTEVOLI
seno
0 1
coseno
tangente
cotg.nte
p

2
p

4
p

6
p

3
0
√2
2
√3
2
√2
2
√3
2
√3
3
√3
√3
√3
3
½
½
1 0
1
1
0
0
$
$

43. radsencostg ctg




2 p
3
p

2
p

4
p

6
p

3
3 p
4
5 p
6
p
0
√3
2½
1
√3
3
0 0
-10 0
√3
1 1
$
½
√3
√3
3
1 0
$
√3
2½
- √3
3
-√3
-1
-1
$ 0
-½ -√3
- √3
3
radsencostg ctg




5 p
3
3p

2
5p

4
7p

6
4p

3
7 p
4
11 p
6
2p
-½
+√3
3
+10 0
+√3
+1 +1
-½
√3 √3
3
-1 0
$
-½
- √3
3
-√3
-1 -1
$ 0
+½ -√3
- √3
3
1clic 1clic
√2
2
- √3
2
- √3
2
- √3
2
+ √3
2
√3
2
√3
2
√2
2
- √2
2
√2
2
- √2
2
- √2
2
- √2
2
√2
2

44. Grafico della funzione f(x) = senx
p
2pp/2
3p/2-p/2-p-3p/2-2p
O

45. Grafico della funzione f(x) = cosx
pp/2 3p/2-p/2-p-3p/2-2p
O
2p

46. Grafico della funzione f(x) = tangx
pp/2 3p/2-p/2-p-3p/2-2p
O
2p

47. Grafico della funzione f(x) = cotangx
pp/2 3p/2-p/2-p-3p/2-2p 2p
O

48. Grafico della funzione f(x)=cosecx

49. Grafico di f(x)= secx
x
O
y = 1
y = -1