Gourishankar vembu Conversión de Energía Electromecanica.

Circuitos Electromagnéticos,
Analogía con la Ley de Ohm
Circuitos Equivalentes de Transformador Real e Ideal

1. Conversion de Energia
Electromecánica

VEMBU GOURISHANKAR

Exito Consultor
ROBERT F. LAMBERT

Profesor de ingeniería Etétrica
Universidad de Minnesota

REPRESENTACIONES Y SERVICIOS DE INGENIERIA, 5.A.
MÉXICO, 1975.

2. PREFACIO

Durante los últimos diez años, la enseñanza de a Ingenlarfa eléctrica ha
teaido muchos cambios importantes con respecto al asia y al contenido
de las materias que se enseñan. Esto, por supuesto, ra de acuerdo con los
rágidos adelantos de la tecnología eléctrica en los éltimos años. El es-
tudiante que cursa la carrera de ingentería suelo tener que llevar cursos
‘on campos muy diversos y se ha visto en la necesidad de concentrar se más
en los principios básicos y técnieus analíticas, que en el funclonarpiento
detallado y diseño de tnstrumentos,

Una delas áreas afectadas por ésta nueva tendencia en la enseñanza de la
ingeniería, ou el estudio de maquinaría eléctrica y de transductores, En
al pasado, el conocimiento del funcionamiento de grandes máquinas en esta
do estable y 100 métodos empíricos de digeñarlas se omslderaban adecuados
‘on m mayor parte, auque se intentaran también anilista transitorios, Ea
por Ssto que muchos de 108 libros escritos en loa cuarentas y principios de
los cincuentas, dirigen su alención 2estos puntos. Sin embargo, con el cons
taste crecimiento del uso de sistemas complejos que abarcan componentes
eléctricos,mecánicos, electramecinicos e hidráulicos, ha sido necosario
ampliar el campo de jos cursasde conversión de energía y enseñarlos desde
el punto de vista de tocría de sistemas, En otras palabras, el Gnfasis ha.
cambiado, de la máquina rotatoria como una Integridadpeopia, a la máquina
que ea solamente parte de un gran sistema compuesto. El análisis lineal y
‘modelos matemáticas tienen gran importancia en el mero alcance y la
necesidad de escribir ihros de texto enestas ramas modernas es más grande
que antes, El autor espera haber producido un libro que, sin dajar de ser
comprensible para el estudiante, anfoque los nuevos estudios de 1a conversión
de euergía electromecánica. El autor 59 basó enmachosautores* y fuentes
diversas, las cuales so citan en las notas al calce de este texto, Es posible
que haya omisionos, las cuales se espera, sean excusadas,

Sin embargo, se desea señalar que un tratamimto comprensiva del
análisis de circultos magnéticon, del uso de gráficas de fijo de señales,
con 0 sin condiciones nlciales, del desarrollo de ecuaciones de ostado y de
12 derivación de modelos matemálicos usando la transformada do Laplace,
son características Importantes y distintivas de este Libro.

Como los cursos de conversión de energía electromecánica genural-
mente se enseña en el tercero y cuarto año del programa profesional, se
supone que el estudiaritehatomadoun curso de teoría en sistemas eléctricos,

e Proerores Adkina,Fitngcat, Mere, Kingsley, Whe, y Mouse, por mencionar

3. au
memoria de mi padre
ya
mal madre

4. GUILLERMO AGUILAR

SIRE cusrema
AA

Titulo de la Obra en Inglés:
ELECTROMECHANICAL ENERGY CONVERSION Copyright,
1965 por International Textbook Company

RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS,

DAR. ©, 1975, por Representaciones y Servicios
de ingeniería, SA.
Apartado Postal 76-180, México 20, DF

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial,
registro número 663
rimera reimpresión
ala primera Edición
Impreso en México

5. Preíacio

dad para el transductor de doble excitación. El siguiente punto trata ol
anáttals neal de la máquina de corriente direct, ya sea como generador
9 como motor. Se usan funciones de transferencia, ecuaciones de estado y
diagramas de computadora analógica. También se derivalafureién de trans.
fereveia de una amplidina; se presenta la operación en estado establo de
los generadores de corriente directa con excitación propia y las earacte-
risticas de fabricación de los motores de corriente directa; se introduce al
estudiante a un modelo de la máquina generalizada (máquina de Kron); ae
«ita el principio del balance de energía para obtener una expreniön para el
par desarrollado; se muestra que la máquina convenelonal de corriente
directa así como Is amplialoa son realmente derivadasde la máquina genera-
lizada. La razón para usar este principlo en ayudar al estudiante a compron-
der el significado de 16s ejes directos y en cugératura, antes de confrontar
el modelo de la máquina generalizada. Estarazón so considera más efectiva
podagogicamente

‘nel capitulo 9, último del libro, so muestra que las máquinas sincro-
sas y de inducción se derivan también de la máquina generalizada. Expre-
Sioues para el par, potenea, eto, se obtionen por una razonable modiflca-
ción de los resultados de la máquina generalizada; se derivan funciones de
transferencia del motor de inducción bifisico y del sixcro; también se
analiza la operación en estado estable de laa máquinas de inducción tri»
teas, así como de les máquicas sincronas biténican,

El material dol text estd arreglado de tal manera quese pueden omitir
varias sacolones on un capítulo, sin perder continidad En dos semestres
ae purde cubrir el texto completo; también nun semestre, omitiendo partes
de algunos capítulos, remita bastante efectivo, El programa típico para un
curso semestral puede ser como sigue: Cap. 1; Cap. 2; Cap. 3 (omitiendo de
la sección 3-8 a la 3-12}; Cap. 4 (omitiendo las secciones 4-11, 4-12, 4-13
y 4-15); Cap. 3; Cap. 6; Cap. 7; Cap. 8 (omitlendo de la tección 0-12 a la
3-17) y Cap. 9 (omitiendo as seceiones 9-11, 9-12, 9-13 y 8-16).

El autor agradece a toda persona de quien recibiera ayuda para el lo-
gro ds sate libro. En particular a los profesores E.C. Jordan y W.E, Miller
director y subdirector del departamento de Ingeniería Eléctrica de 1a Unt-
versidad de Tinols, Urbana Miinols, por au estimulo y apoyo. A las
señoras Rosa Townsend y Helen Barrymore quienes mecmografiaron el
mamuscrito, al señor C.G. Preston por haber realizado un excelente trabajo
en las Hustraciones en un tiempo record, y a gus alumnos de qulon
recibló 1a mayor inspiración para la realización de esto Libro. También su
agradectmiento, por la continaa ayuda rectbida al personal del departamento
de ingeniería "eléctrica, de la Universidad de Mligols a cuyo cargo so
encuentra la señora Marcia Peterman. Finalmente un reconocimiento a la
International Textbook Company, por la ayuda reeibida y la umpresion de
este texto,

Urbana, Dlipois

Agosto 1965.

Y. Gourtshankae, .

6. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

incluyendo arälisis transitorios, y otro en campos electromagnätieos en un
nivel de introducción: se tiene pues un conocimiento de ecuaciones dife-
renclales comunes. Para ayudar al eotudtante a comprender las matemáticas
usadas, ¥en algunos casos para refrescar su memoria, se exponen en el
apéndice: análisis vectorial. matrices y determinantes, series de Fourier
y tranetormadas de Laplace,

El resumen de los capítulos de este texto os como Sigue: El capítulo 1
erapieza con un repaso de eleotroatätica y magnetostática e introduce al
estudíante al concepto del circuito magnético,

El capítulo 2 versa sobre las propledades de los materiales ferromagné-
ticos y de los mótodos gráficos de análialg de estructuras ferromagnéticas
no lineales sujetas a excitactones de corriente directa de una o mas fuentes,

El capítulo 3 Lleva al estuatante dentro del dominio de los campos mag-
néticos variables en el tiempo y de la excitación de estructuras ferromagnet.
sas con corriente de vartación pertôdica. Se analizan también las pérdidas
debidas a la histéresis y a las corrientes parásitas, el concepto de la
permeabilidad incremental y los reactores saturables,

El capítulo 4 cubre la transformación de la energía a través de campos
magnéticos en los transformadores. Se introducen los conceptos de inductan
cia de dispersión y de inductancia propia y mutua, Se desarrollan circuitos
equivalentes con parámetros concentrados con elementos ideales paratrans~
formadores lineales y de núcico de hierro. Finalmente son cublertas las
características de fabricación de tranmormadores de potencia de baja
frecuencia y de transformadores de audio de (recuencia variable.

El capítulo 5 esuna parte importante de este Libro porque ae analizan los
principios del balance de enorgía y del desplazamiento virtual, Se oblienen
relaciones de conversión de energía en los transductores con una o dos ex-
citaciones. Estos resultados serán reteridos muchas veces en capítulos
posteriores.

El capítulo @ versa sobre la representación matemática de sistemas
indmicos lineales. Se obtienen modelos matemáticos de sistemas eléctricos,
mecánicos y electromecánicos con ayuda de la segunda ley de Newton 0 del
Principlo de D'Alembert y an el caso de transductores con acoplamiento de
‘campo elécteico 9 magnético los resultados abtenidos en el capítulo $ son
también usados. Se obtienen también funciones de transferencia utilzando
transformadas de Laplace, El uso de variables de estado para describir
sistemas dinámicos y la representación de sístemas por medio de ecuaciones
diferenciales en forma normal son características originales o importantes
da este capítulo.

El capítulo 7 versa sobre la representación de sistemas por medio de
gráficas de (lujo de senales. Las gráficas Integradoras de flujo de señales
incorporando condiciones iniciales y la representación en computadora ana
Tógica de sistemas electromecánicos, son características eopecíales de cn.
te capítulo.

El estudio de un transductor excitado doblemente como una máquina
rotatoria marea el principio det capítulo 8, el cual trata sobre máquinas de
corelente directa y de la máquina generalizada, Después de un anélisis
cualitativo de la operación de un generador de corriente directa, un modelo
de dos ejes de la máquina so usa para derivar las relaciones de contersión
de energía. En esta labor, sonusadoa los resultados obtenidos con anterior‘

7. Capitulo 2

Capftudo 2

Capítulo 3

Exctaciónde Estructuras Forromapnäleas con

21
22.
23

1 Conte del Cirulto Magnético

CONTENIDO x

Tntrodueción.
Algunas Leyes Básicas de Electrontática
Algunas Leyes Básicas de Magnetostálica -
Otras Conclusiones Utiles en Magnetostática-
Campo Magntico de un Toreo - Concepto de
Cireufto Magnético

Unidades .
Problemas

Corriente Directa .

Introducción - + - - :

Propiedades de los Materiales Ferromagnéti608.

Curvas de Magnetización Normal de los
Materiales Perromagnéticos .

Circuitos Aproximadog de Aparatos
Electromagnéticos . . -

Métodos do Análists de Circuitos Ferro-
magnéticos

Entreblerros en Cirouitos Ferromagnéticos .

Estructuras Magnéticas con más de un
Embobinado de Exoitación .

El Problema faverso - Determinación del Flujo
Dido a sa Fuerza Magretonatsiz Dada

Problemas ... . « ; 7

Exetacón de Estructuras Ferromoenétcas con

=

corriente Alterna . . .

Trtroducción

Lay de Faraday de Inducción Electromagnética.

Relación Entre Voltajo Aplicado Periédico,
Voltaje Indueldo y Flujo es un Núcleo
Magnético Exeltado por una sola Fuente

Forma de Onda de la Corriente de Excitación
‘en un Sistema Ferromagnética con Flujo
Senoidal

Energia Almacenada en un Nüelso Magnético
Ecitado por una sola Fuente

so

60

és

or

0

8. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

3-6. Pérsida de Energla en los Nictens Ferro.

magrélicos . ”
3-1. Representación Matemática de la Corriente de
Excitación no Senoidal . .. 88
3-8, Circuito Equivalente Aproximada de un Reactor
con Núeleo de Hierro ”
1-9. Determinación de los Parámetros del Circuito
Equivalente de un Reactor de Núcleo de
Hierro. à a
3-10 Permeabilidad incremental de los Núcleos
Ferromagráticos 101
9-11 Induetancia Incremental 0 Aparente, de Bobinas
en Nicloos de Hierro... in
3-12 Reactores Saturables . . . no
3-13 Rectificador Ideal en un Circuito de Reactor
Saturable . . . u
3-14 Reactor Saturable con un Reckificador en Serte
Con la Carga y un Embobinado de Control
Separado . . . . 13
A 180
Capítulo 4 Tranaformadoren 24 ee es 198
4-1. Introduccion 136
4-2. Un transformador [deal . . 197

4-3. Teanstormador No Weal de Nicleo Linea!!! 141
4-4 Concepto de Flujo de Dispersión y Circuito
Equivalente Parcial de un Transformador ... 142

4-5. Corriente de Magnetización y Circuito Bquiva-
lente Exacto de un Transformador ......., 147
4-8. Concepto de Intuctancian Propia y Mutua. : 148
4.2. Coeficiente de Acoplamiento y Constantes.
asociados a un Transformador de Nicleo
Lineal... 150
4-8. Forman Moditicadas de los Circultos |
‘Equivalentes de las Figuras 4-9 y 4-10 as

4-9. Circuitos Equivalentes de Transformadores de

Núcleos Ferromagnéticos 155
4-10. Diagramas complejos pura un Transformador de
Nicleo de Hierro 191
4-11, Circuitos Equivalentes Aproximados de un
"Transformador de Núcleo de Hierro . 100
4-12, Determinación de los Parámetros del Cireuito
Equivalente 102
4-13. Características de Funcionamiento de los
"Transformadores de Potencia . . .. 12
4-13-E. Transtormadores en Statomaa Elbctricos de
Potencia 185
4-14. Características de Operación do los Trans
formadores de Audio - Frecuencia 192
4-15. Autotransformadores . - en 108

9. Capítmto 5

Capitals 6

Capítulo 7

+

. Conexión de Transformadores
4-16. Energía Almacenada en el Campo Magnético

de un Transicrmador de Núcleo Lineal
Problemas See

Fuerzas Mecánicas en Sistemas Magnéticos . .-
5-1. Introducción . . .
5-2. Balance de Energía en un Sistema Magnótico
No Lineal, Escitado por una Fuente... .
5-3. Fuerzas Mecánicas en un Sistema Magnético No
Líneal-El Prinetpto del Desplazamiento
Virtual...
54, Fuerzas Mecánicas en un Sistema Magnético
Lineal Excitadó por una Puente -.......
5-5. Sistemas Magnéticos Lineales Exeitados por

E ee
5.6, Sistemas Magnéticos No Lineales Excitados ver
Dos Fuentes . . 5

5-7, Fuerza en un Conductor Portador de Corriente
Colocado en un Campo Magnético... . +
5-4, Voltajes Inducidos on un Conductor en Mo.
intento Colocado en un Campo Magie.
Problemas . . .

‘Rouactones Dinámicas de Sistemas Lineales
Eléctricos y Mecánicos u. 00...
1. Introducción . . . - :
2. Clasificación de los Sistemas |": ....
-3. Representación Matemática de los Sistemas
Eléctricos-Representación Convenctonal
y de Estado .
0-4. Reprenentación Matemática de los Sistemas
Tranalacionales Mecánicos .
0-5. Anzlogía Eléctrica de los Sistemas Transa- -
cionales Mecánicos .
6-6. Ecuaciones de Estado del Sistema Translaciomal
do la Fig 6-8 (a)... .. «
8-1. Un Sistema Translacional Mecánico con dos
Grados de Libertad . a #5
|. Sistemas Rotaclomales Mecánicos . . . .
Engranes y Acoplamiento Mecénico de lo
Sistemas Rotacionales Mecánico . . . . ..
6-10, Modolos Matemáticos de los Sistema
Electromoctnicoe nn
Problemas. . nee a

Representación Gráfica deSistemas Eloctromecánicos

7-1. Diagramas de Bloques de Sistemas Lineales

1-2. Geáficas de Flujo de Señales de los Sistemas
Te

205

zu
223

229
229

229

235
231

240
250
261
253

286
256
256
258
208
285
288

290
296

307

ar
338

346
346

383

10. CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

3-1. Algunas definiciones Utiles Reterentes à as

Gráficas de Flujo de Sehalea.......... 397
Formula de Mason para Calealar la Gananeta
deura Gráfica de Flujo ..... EN
1-5, Gráficas de Flujo de Señales y Condiciones
Inietales 368
7-6. Funetones de Transferencia y Gráficas
Integradoras de Flujo de Setales ES
1-1, Representación en Computadora Analógica de
Sistemas Dinámicos se JM
Problemas as

Capítulo 8 Dispositivos Rotatorlos de Conversión de Energía
Fieiromecänica; laces de C.D. yla
Miquina Generalizada . e
8-1. Introducción . . -
3-2. Un Transductor de Doble Excltasión como una
Máquina Rotatorta con un Enirehlerro,
Uniforme 387

388
386

8-3. Un Generador Elemental... - 359

8-4. Un Generador de C.D. 34

8-5, Características de Construcción de una Máquina
Práctica de C.D. 2.397

8-8. Expresión para la Fem, Generada en una

Máquina Práctica de C.D. .... son
8-1. Caractorfaticas de Magnotizaeidn de un

Generador de C.D. con Excitación

Independiente 402
8-8, Una Máquina de C.D. como un Tranadustor con

Doble Excítación . . 408
8-9. Análisis Lineal de un Generador de C.D. de |

Excitación tndependionte 409
8-10 Análisis Lineal de loa Motores de C.D. . .... 415
8-11 Exettación Propia de los Generadores de C.D... 425
3-12. Tips de xcitación Propia de ls Generadores

de C.D. " 432

8-13, Reacción de Armadura en un generador de CD... 433
8-14. Caractorísticas Voltaje-Corrieate on Estado

Estable de los Generadores de C.D. 38
8-15, Características de Operación en Estado Estable

de 108 Diferentes Tiposdo MotoresdoC.D. . . 441

8-18. Arranque de los Motores de C.D. .. + 450
8-17, Control de Velocidad de los Motores de C.D. 452
8-18. La Máquioa de C.D. como un Amplificador de

Potencia Rotatoria-La Amplidina .. . - 453
3-19. Uso de las Máquinas de C.D. en Sistemas de.

Control de Retroalimentación A as

8-20. Una Máquina Generaltzada . 0... an
Problemas da at

11. Contemán

Cafe?

Apdndier A

Apéndice &

Apéndice ©

Dispositivos Rolatorios de Conversión de Energía

Electromecánica; Máquinas de C-A sr
9-1. Introducción 407
9-2, Características Generales de Construcción de

las Máquinas de Inducción 408
9-1. Campos Magnéticos Rotatorios en Máquinas de
C.A. Polifíaicas . - Be)
3-4. Principio de Operación de un Motor de
duceién-Un Anälisis Cualitativo . . 497
9-3. Conversión de Energia en Máquinas de
Inducción Básicas Be

8-8. Máquinas de Indurelbo BUASicas-Operacton
‘Bajo Condiciones Balanceadas y en Estado
Estable Senoidal . - - + 308

Motor de Induceiba Bitisico-Operacton en
Estado Estable con Voltajes Desbalanceados. 515

9-2. Análisis Transitorio de un Motor de Inducción

Bufásico . . . an 38
9-9. Síneros . 330
9-10, Un Ejeraplo de un Sistoma de Control deC.A. ... 538

9-11. Motores de Inducción Trifásteos- Operación on
Estado Estable Senotdal, Condiciones

Balancesdas 542
9-12. Determinación de Jos Parámetros del Circuito

Equivalente de una Máquina de Intucción .. . 548

Arranque de los Motores de Inducción . ES

. Motores de Inducción Monatiisicoa

“Algunos Métodos de Arranque de los Motores
de Toducción Monofäsicos

Máquinas Sfocronas

Problemas -

558

Análisis Vectorial a ME
A-L, Introducción - . : : DESI 6
ACR. Suma de Vectores <2. TEE ee
AC Resta de Vectores ss
ACA. Multiplicación de un Vector por un Eacalar .. 586
ASS. Multiplicación de un Vector por Otro Vector... 587
426. Representación de Areas como Vectores ....- 589
ALT. Divergencia de un Vector. . 589
ALO. Rotacional de un Vector - . ee... SOL
Unidades y Factores de Converstôn . ............ 502
Serles de Fourter ing sm
C-1. Introduectén - - - su
C-2. Representación de ff enSeries de Fourier... 595
0-3. Algunas Propladades de las Series de Fourier. 595
CA. Valor Etectivo 6 Eficaz de una Función

Periódica ea 50

12. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Apéndice D Transformación de Laplace 600
Del. Introducción 22 600
D-2. Algunas Definiciones en Teoría de Variable
Completa . . . i Be)
D-3. Transtormaciön de Laplace . ¿2 so
Dad. Propiedades de la Transformación de Laplace. . 507
D-5. Transformada de Laplace inversa... > 809
Apéndice E — Escalas Logarítmicas ‘ O
E-L Introducción . . . 819
E-2. Escala do Magnitud. . .. Z 619
B-3. Escalas de Frecuencias . +00 ccoo one. 620
Apéndice F Determinantes y Matrices 62
F-1. Determinantes . . 2
F-2. Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
por la regla de Cramer . ...... s+ 624
F-3. Matrices... . 823
F-4. Representación Matricial de Eouaciones Lineales. 529

13. capita)

El Concepto del Circuito Magnético

Como ve indicó en el pretacio, elobjetivo de este texto es exponer los
principios de la conversión de energía elactromecánica y del desarrollo de
métodos para obtener modelos paramétricos de transductores", los cuales
son usados para este propósito.

El estudio de conversión de energía slectromecänica 98 importante
ya que en esta era moderna de automatización, la vida diaria se btce más
‘confortable y effetente debido al uso de diferentes clases de artefactos,
desde la ramradora eléctrica, y el teléfono hasta elevadores de alta
velocidad, ariones a reacción etc. Se podría decir, sin falta a la verdad, que
el hombre moderno sin toda esta gama de artículos, encontraría may
difícil el desarrollo de sus funciones. En su mayoría, estos aparatos
‘pueden ser clasificados como transáuctores, desde el momgnto que convierten
energía de wa 2 otra forma. Muchos de ellos son electromecánicos. Los
motores eléctricos usados en los aparatos domésticos, tales como:
“ventiladores, refrigeradores, eto,, convierten energía eléctrica en energía
mecánica. Los teléfonos transmiten información de un lugar à otro,
convirtiendo la anergfa mecánica originada por ondas sonoras en señales
eléctricas y reconvirtiendo estas señales eléctricas an ondas sonoras para
su recepción. La lista de estos aparatos eloctromecánicos es interminable,
Ea ffstoumente imposible agruparlas a todos y discutirios individualmente,
Ahora, no es necesario hacer eso. Es suficiente discutir los principios
básicos que gobiernan estos transductores y desarrollan métodos para
obtener modelos de los mismos. Estos von los Objetivos de este texto.

Todos lostranaductoroselectromecánicos pueden considerarse como
formados de partes que son eléctricas y de partes que pueden ser clasitica-
dos como megánicas, Debe ser enfatizado que esta clasificación no Implica.
que las partes eláciricas y mocánicas puedan wer alempre físicamente
separadas y operadas Independiontemente unt de otra. La energia ex
recibida 0 sministrada por estas partes dependiendo de la naturaleza y
aplicación de un tranaductor particular. Campos magnéticos y/o eläetrieos
‘steven como medio de acoplamiento. La representación de un transductor
‘on un dlagrama de bloques es mostrado en la figura 1-1.

El proceso de conversión de energía electromecánica también abarca.
‘usualmente el almacenamiento y transterencia de energia eléctrica. Campos

* Teunaductoven om aparatos que converter moría d un ara forma,

14. z CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Pa. 123 Amen de un lea de ati se un nr mini

magnéticos y cléctricos juegan un papel importante en estos dos últimos
procesos. El estudio de los principlos de conversión de energía electrome-
cánlca y al desarrollo de modelos paramétricos de transductores requieren.
por consiguiente. el conocimiento de las relaciones de entrada y salida
gue existen en 10s tres bloques componestes, mostrados an a figura 1-1.
Antes del estudio del trangductor como un todo, as necesacto desarroll=
métodos para la obtención de modelos para cada bloque componente. Una
lectura cuidadosa del indice de capítulos y del prefacio, indicarán al iector
la forma como este texto se propone lograr lo anterior. Consecuentemente
no será repetido aquí y procederemos a discutir los Objetivos de este
capitulo.

"Fué estabieciéo con antorloridadque los campos eléctricosy magnéticos
Juegan un papel importante en Los trangductaras elsctromecánicos, ES nece-
sario calcular la fuerza de estos medios de acoplamiento en estrutturas
lineales y no lineales y establecer la relación entro estos campos y Jos
parámetros de la parte eléctrica de log transductores, llamados voltaje
y corriente, Tales relaciones serán derivadas para los campos magnéticos
en este texto, La mayoría de estos resultados pueden ser extendidos por
analogía a los campos eléctricos.

La determinación de la relaciónentro laintenaldaddel campo magnético
y los voltajes y corrientes en un medio, utiliza en general cálculos en
‘wes dimensiones. El problema seri más dificil sí el medio pasa a ser so
lineal, Atortunadamente, por muy difícil que puedan ser considerados los
transductores electromécanicos, pueden realizarse suposiciones y aproxima-
clones apropiadas y el problema del campo tridimensional. “puede ser
Fedueido a un problema de redes o clreuitos de una dimensión; y resuelta
por eLuso de técnicas similares a las usadas en la teoría de redes eléctricas
El propósito de este capítulo, es dar los medios necesarios para poder
abordarios: enctras palabras, se introduce elconceplo de circuito manético,
‘Antes de hacer ésto, során ropasadas algunas leyes básicas referidas à
‘campos estáticos (lavariantes en el tiempo), eléctricos y magnéticos. En
capítulos posteriores serán introducidos, cuando sean necesarias, levas y
conceptos adicionales, referidos a campos magnéticos variables en el
tiempo,

El estudio selativo a sleotrostätien y magnetasrätlen no es cxausttio
y por consiguiente muchos resultados serán establecidos sin demostrar.

15. El Concepto det Civeuito Magnético 3

Estamos suponiendo que el lector tiene algunos conocimientos previos a
este respecto, y la presente exposición se hará solo como un repaso.

1-2 Algunas Loyer Básicas de Electrostática

Ley de Coulomb. Lacleétricidad es una característica de la materia,
y carga es una medida de esta característica. Dos classe de carga son
conocidas, positiva y nagoliva . Uno de los postuladesbiatcos de evidancta
experimental es la [ey de la conservación de la carga en donde la guna
Algebrálca de todas las cargan en un nlstema alalado es constante, Se han
hecho experimentos que demuestran que, cargas. cuerposeargados, ejercen
fuerzas unos contra otros. Estas fuerza9 son llamadas fuerzas eléctricas,
En 1785, Coulomb realizando una serte de experimentos con Cuerpos
cargados, encontró la siguiente oxpreatón para las fuerzas olócteicas entre
cargas. Ésta ley Llamada Ley de Coulomb, puede ser definida coma sigue:

PERA
E ay

donde q,,y q,» son las magnitudes de las cargas, R es la distancia entro
allas y £, 08 una constante de proporcionalidad, la cal, depende del me-
so donde el experimento as realizado y del alstema de unidades Usado.
‘Coulomb sacontró que cargas del mlamo algno ge repelen y cargas de signo
cóntrario se atraen.

Pueden ser usado cualquier sistema de unidades, EI sistema raclona-
lizado adoptado en 1995 y Jegalizado por acuerdo Isternaeimal en 1948, ha
sido preferido por los Ingenteroo. En este sistema donde el metro, kilogra-
mo, segundo y coulomb, son unidades de: longitud, masa, tiempo y carga
reapectivamente, la constants K ene un valor da 1/4 r¢.2l símbolo 81
es la constante dieléctrica (también Namada capacividad o permitividad )
del media. EL valor de € para el vacio cs1/(JOrs (Oly es usualmente
representado como .?

Sa conveniente escribir ta ecuación 1-1 on forma vectorial? (ver figu-
ra 1-2). Suponiendo que el vacío es el medio, se He € = Gy usando el
Sistema mks racionalizado de unidades, la ecuación 1-1 puede ser escrita
vn forma vectorial como

F- u
Far

(los símbolos obscuras Indican las cantidades vectoriales).
En las ecuaciones anteriores, se supone que los curpos cargados son

estacionarios en el espacio y pueden ger considerados como cargas

puntualas. El vector unitario en la dirección de la Maen de fuerza es r,

sto apo

* ta Bree expostidn de ter sar rucontras en el él A

Y ek mentado de ame valo será aprendo min att

16. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Pig. 1 Manu ee cuales +

La dirección de la Linea de fuerza en la figura nos indica que las dos
cargas se suponen similares.

1-3 Po ven dise rr.

Cuando se presentan más de dog cargan, la fuerza total ejercida por
ellas sobre una carga da prueta colocada en su vecindad puede ser obtan-
dx por una superposición lineal. La fuerza total es el vector suma de las
fuerzas ejercidas por cada carga del grupo, sobre la cargade prueba. Ver
figura 1-3, La fuerza total en g es dada por la relación

Pm re + Be) co)

17. El Concepto del Circuito Magnitico 5

Es 04

taf

donde el número total de cargas cjerciando su fuerza an q es N y E
indica suma

Campo Kidetricn. Como las cargas expuestas anteriormente están
físicamente separadas, es conveniente suponer que cada carga produce
un campo eléctrico que actúa como medio para ejercer su fuerza sobre
tras cargas colocadas bajo su Influencia; o el propio campo puede siponerse
ejerciendo sus fuerzas sobre otras cargas. Se asume que el centro del
campo está en el sitio donde se localiza la carga. SI esta interpretación es.
hecha y la carga de prueba q es suficientemente pequeña para no dis-
torslonar el campo producido por las otras cargas, la intensidad de ste
Puede ser representada por el vector E derinldo por

E
dE 1-5
A u

el ce

En el sistema ma racionalírado, F es expresada en nowtons y como q
está en coulombs, E se expresa en arwtons por coulomb, Otra forma de
expresar E en términos del potencial eléctrico será menciomés más
adelante en asta succión.

En el cago de un cuerpo cargado en el vacío, la intenstdad del campo

pen
ai [ine on

donde p es la densidad volumétrica de la carga y Y os el volen del
cuerpo sobre el cual sa realiza la integración. Una expresión similar puedo
ser escrita para el caso donde la carga en distribulda en una mpertiete,

Potencial Eléctrico. Consideremos el campo eléctrico debido a una.
carga q, (una de las N cargas del conjunto), Ver fig. 1-4. Supongamos
que deseimos mover una carga positiva upitarta del punto A al panto A
a lo largo de alguna trayectoria. Como al campo eléctrico dab a 4;
ejerce una fuerza en la carga de prusba uifavía, se debe ejecutar wn tra
bajo y consumir energía para mover la unidad de carga de À a 8. En
el punto P de la trayectoria AB , la intensidad del campo eléctrico E
devido a q, 64

18. CONVERSION DE ENERGIA ELBCTROMECANICA

a
EG" as

donde ra es el vector unitario y Ry es la distancia al punto P desde q,

Aquí hemos supuesto que el medio es el vacío,
El trabajo hecho sobre la unidad de carga para moveria una distancia

dia lo largo de la trayectoria AB

am En
Fur

a
a 19
AroRi ea

PAM de un rm anti co as ml vera.

donde ta dl = (1 (8D (cos 8) «ar. El signo negativo significa que al tra
bajo es echo sobre la carga en contra del campo eléctrico devido a q,. El
trabajo hecho para mover la unidad de carga de À a Bes

[ue

00

19. El Concepto del Circuito Magnético 7

Si hay Y cargas en un conjunto, el trabajo total realizado en la unidad de
carga es:

Sa 1
wi >) din

En la ecuación 1-11 W es dafinido como la diferencia de potencial eutre
Ay 8. Esto ol

02

El potencial abgoluto en el punto B dentro de un campo eléctrico es
obtenido al colocar el parto 4 ar al infinite, Como &,= de La ecuación
1-12 se obtiene (eliminando el subínalce 3)

“ .
AR Las

1 potencial Y es un escalar, a diferencia de la intensidad del campo eléc-
rico E el cual es un vector. La relación diferencial dW = - E - 41 puede
ser escrita.

dv = -Edieos® un

La componente del vector E en la dirección delatangente ala tra
yectoria AB en el punto Pes dada por.

Bex u

donde Y 09 dada por la semación 1-13.

En el sistema mks racionalizado, la unidad de potencial es el volt y
la magnitud de la Intensidad del campo eléctrico puede entonces ser
expresada en volts por metro. Con anterioridad se indies que E se expresa
también en newtons por color.

20. e CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ex Layos Dúsicas de Maguntostático

Fuerzas yan cw Menimienta : Campo Magnetostitico. Hasta
ahora, hemos conaldarado à las fuerzas sobre cargas colocadas en un
Campo elíctrico creado por otras cargas fijas. Si alguna o todas las
‘meluyendo à la de prueba están en movimiento, eatas cargas
“experimentan algunas fuerzas adiclonales (ademas de la fuerza
de coulomb). Estas fuerzas que son debidas à la velocidad de Las cargas
fon movimiento, son llamadas fuerzas megnáticas y la región en la cual
oxisten es Hamada somo campo magnético. En otras palabras, nosotros
definimos un campo magnático en términos de campos oldctricos en mori-
miento. Dado que la corriente eléctrica se define como la rapidez de
transferencia” o de transporte do cargas eléctricas en un medio (por
ejemplo una bobina 0 un alambre), un campo magnético est asociado a la
Bobina. Un campo magnético es usualmente considerado compuestoda líneas
de fuerza Mamadas ¡usas de fixjo olíneas de inducción representadas por
3. El número de líneas de inducción por unidad de Ares (el área ve mide en
{in plano perpendicular a Ins líneas de inducción), es una medida de la fuerza
el campo magnético y en Llamada densidad de flujo, representada por B.
Daremos ahora, otra definición de B relacionada con 5.

a

fy et ‘
a 4
h——— 1
ee,
2

Ma 18 Fueena que tien sabre coros en moin.

Consideremos dos cargas pantuales 9, y qa moviéndose con velocidades
uniformes vy 12 como #0 muestra en la figura 1-6. Supongamos que
En sea el vector de intensidad del campo eléctrico dabida 2 gy. Como
ds se está moviendo con una velocidad v:, el campo En está también
‘eh movimiento en la misma dirección, con la misma velocidad,

Observaciones experimentales han mostrado que al lado de la fuerza de

21. El Conecpto det Cırciuto Magnético A

coulomh esperada, una fuerza adicional ea experimentada por la carga en
movimiento g.. Examinaremos esta fuerza adietonal

Sea az el ángulo entre En y Li. Supongamos que Nes el vector per-
pendicular a Fy 7 1; Firalmente supongamos que a, es el ángulo entre
este vector perpendicular y el vector velocidad x

Por medición directa en e] Laboratorio, sea demostrado que la magni-
tud de la fuerza experimentada por «|, 08 dada por la relación:

F (ann an En ena) (19,

Se ha encontrado que la constante de proporcionalidad es L/yÿ, donde ¥
es la velocidad de la luz, En el vacio 4=3x10° ay seg. Por cónsigulente

F

lan ana Es om am

La dirección de esta fuerza es perpendicular tano a N como à +: y sigue
la regla de la mano derecha. Escriblendo ésto en forma vectorial tendremos

ı
Fm x (mx En)
nm

Es conventente visualizar un vector definido por la relación

A Q-19)

Nótese que este vector time la dirección de la normal N . Por consiguiente
a scvación 1-18 puede ser escrita como

FegnxB 11.20)

La ecuaciôn 1-20 es conocida como la ecuación ds la fuerza de Lorentz.
Una justificación para la anterior definición de 3 como densidad de flujo,

Para ona más completa istoemación. ver Flectromees Fle por Samuel Seely
MeGra il Dock Compas en 2980) Capo €

= La ecuación de atuerta de Lorenz evo veces se race lan aol 1a Si
de Cam. Resto à Sato 63 conveniente cect algunas albert str el metas de pre
mutación adoptada en ento explo. EN enfoque 2e nas cm ey de Elan la
Al pue ser lamas I asrenimaciónsóric, Souvamos ¡our praailmente Meta la

22. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

puede ser dada, usando la ecuación 1-19, La dimensión de 3 será ahora:

1

Bu La metro icgando NE vll] mtr)
o e e met

volesegundo
© petro cuadrado.

eben
* ro cuadrado an

Weber o volt-segundo es la unidad para flujo o línea de inducción.

Campo Magnético de un Elemento de Corrionte en el Vacín: Lay de
BiurSuvart, Consideremos ura longitud elemental dl de un conductor
Mevando ia corrtente 1 (ig. 1-8). Como ta corriente es la rapidez de
transterencia o transporte de carga,

de
1.4 y
2 22

La carga en la longitud elemental di es dq = 1 dt, La intensidad del campo
elécteico debido a esta carga enel punto P es, de acuerdo a la ocuación 1-6,
fsuponiendo «= €),

Lat
Front”

0-23)

"a

donde rs es el vector unitario en la dirección r. Ia velocidad de la
carga dy es (2/dl uy, donde up 25 el vector unitario en la dirección del
flujo de la carga en el conductor, ésto as,

el (28,
SESS SSH Bee ps Ser ESO Ee dará e worte

23. El Concepto del Circuito Magnético 2

Pe: compe Magnes unserer int lacio.

De la ecuación 1-19 el vector glemental dela densidad de flujo que describe
el campo magoético originado por el movimiento da la carga dq es

LL on)
nl)
tas
<a (125)

eo

El vector densidad de slujo AB esté.en un plano perpendicular al eje de dt
y es a su vez perpendicular al plano en ei cual está Jocalizado di y la línea.
que une dí con el punto P. A eausa de la simetrfa efreular, se entiende que
las líneas de Intucelön son círculos que se encuentran en el plano per-
pendicular al eje de di. La dirección de Las Uneas de inducción es igual à
1a que se tendría al girar un tornillo de cuerda derecha, de manera que su
avance sea an la dirección del flujo de la corriente, Esta ragla conocia
‘como la regia de la mano derecha es muy del.

En la práctica, la corriente fluye en trayectorias cerradas. Si la tra
yectoria del Mujo de la corriente es representada por C entonces el eam-
po magnético total en cualquier punto del vacío debido a la totalidad de la
corriente se obtiene al integrar la ecuación 1-23 a lo largo de C.

fax
Fea RT

Be 29,

Se introduce una meva constante yo \’qu y la ecuación 1-26 se puede
escribir

24. 2 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Esta es conocida como Ley de Biot-Smart.
La constante i ea Mamada permeabilidad del vacío.* En el sistema
mka racionalizado se le astgna un valor de 47% 10””, La dimensión de ty
85 webers por ampere-vuelta metros, Sl el conductor por el que clreula la
corriente tisne solo una vuelta y por consiguiente entaza laa líneas de Induo»
ción solo una vez, entonces la dimensión de us viene a der webers por
ampere metro, Puesto que el henry ea definido como enlaces de nujo
por ampere para circuitos de méltipies nieltas y es expresado en webers
por ampers en el caso de conductores de una Sola vuelta, para conductores
de una vuelta, de puede entonces ser expresado on henzys por metro. La
diferencia entre conductores de um o múltiples vueltas debe tenerse en
mente en cálculos de circuitos magnéticos (ver nota a la ecvación 1-47).
o en el Contre de un Anillo Circular de Corriente

i 7 Los 6 comnts

establecer un campo magmnético (ejom.: el transformador), el conductor por
el cual clrcula la corriente debe ser davanada on forma de alpina bobina.
Por lo que 20 solo es Gtil, sinonecesario el cálculo del campo magnético de

© En ta que el valor de 2 _ qu data co atertridad en ase capi nta celia
Sense se 3 secó de Mata ya decades ara dl ote e sta cata
ici de la Du à en ana caidas que e rd med tien $ ie ak aie 910"

25. El Concepto del Circuito Magnético 2

tales configuraciones, Considerese un antito circular de radio R por el que
circula una corriente 1 fig. 1-7. Como la corriente tiene una trayectoría
clreular, us conveniente el uso del siguiente sistema de coordenadas: @ .r. 2
‘donde

fa es el vector unitario en la dirección de la tangente al anillo circular
‘en al plano del papel,

To es el vector unitario en la dirección radical en el plano del anillo,y *

Zo eS el vector unitario perpendicular al plano del anillo. .

También
xr
xm he

iS 2h. -

En la figura 1-7 tenemos di=RdOR . La densidad de Mujo B en el punto P
Puede ser obtenida de ia ecuación 1-27:

(1-28)

Note que para el Majo de corriente on diraccién contraria a 138 maneeillas
el reloj, el vector densidad de flujo está en la dirección Z.

Si en lugar de una sola vuelta de alambre, la Bobina tiene N vueltas
muy juntas y todas esencialmente del mismo radlo, cada una contribuya de
‘manera igual al campo magnético. El campo magnético en P es

ua
TR

8, 029)

Campo Magnético de un Solenoid Largo. Considere el solenoide mos-
trado enla/igura L-b. Suponga que La longitud L ea mucho más grande que el
radio R.. La dengldadda lujo en cualquier punto producida por una corriente
1 circulando en la bobina, ya sea que el punto está an el eje del solenoide à
Cerca de él, pero ao muy cerca de los extremos, está dada por

ut
en

a

soy

Y para dervar I smatbe1-20verectromagnens Putz Samael Bei Med
Boon Company, Ines 409) ps

26. 2 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

tostéties

1-4 Otras Conclusiones Utiles on Mu

Continuidad de Líneas de Inducción. EI flujo o Linea de Inducción
producidas por las corrientes, siempre forman un circuito cerrado, En
una región específica, el mimero da líneas que entra es igual al número
de líneas que sale. Por ejemplo en la figura 1-9, as líneas puntuadas
representan una superficie cerrada. El flujo que entra a esta superficie

28 el mismo que sale.

Fi 129 Moprante cormnutie aa inci.
Esto se expresa matemáticamente por la relación

[one

Gan

27. EI Concepto det Circuilo Magnético 25

Otra farma de esta relación es

Divergncia B = 0 41-32)

Las ecuaciones 1-31 y 1-32 son algunas veces Llamadas Leyde Gauss para
campos magnéticos.»

Lex de Circuitos de Ampere. En el desarrollo del concepto del cit
cuito magnético, el cual es el principal objetivo de este capítulo, se da-
rá otra conclusión muy Útil, En la figura 1-10, se muestra un anillo por
el que circula una corriente, así como una de las líneas de inducción ori-
ginadas por ésta. La dirección de las Ifneas de inducción depende de Ja di-
rección del flujo de la corriente y es determinada por la regla de la ma-
no derecha.

ran 7

MEN N
PA

/ ma cea

* Las retacones correspondiente pra un campo eiktrio son

[ara fur a
Ba rn ii o

‘arsed de la corriente da Ansplaumn Sete que Jan Mea ci up lic 0 son
‘oni, emplean termina on punto donó oct ia ESF.

28. in CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Le Ley de C::zuins te Ampere establece que: La integral de línea del
sector densidad de iluja, alrededor de una trayectoria cerrada en la mis-
ma dirsoción de ins Ynsas de inducción, está relacionada a la corrient
por la acuación (suponiando que se encuentra en el vacío)

Sra = sot Sida ecc C enlaza cen ]

am
=0 Sl emyemari C no cul sta coateate}

Se supone que la travectoria 88 escogida de tal manera que cuando enlaza
a la corriente, no es normal a la dirección de 1, En otras palabras, se
supone que la Integral B + dl no es igual a cero. En La figura 1-10, la
trayoctoria Ce, enlaza a la corriente mientras que la trayectoria Ca no
lo hace.

SL 5 es la densidad de corriente on el amllo por el que circula ésta,
entonces 1 puede ser expresada como

- fs add u.

donde m 68 ol vector unitario normal al área de la sección transversal y
la integración de superficie se hace sobre el área de la sección trans
versal A. Suatituyendo en la ecvación 1-34 el valor de la corsiente E de
la ecuación 1-33, ao obtiene

Juan find 8 0 035

Esta integral también se puede escribir en forma difersnotal:
Rotactonal B= we) 6 © (136)

Vector de Intensidad Magnética H_. Es conventente detinir a un vector
HH relacionado a B por ia ecuación

Bot un

donde ea el vector de Intensidad magnética, La Ley de Circuitos de
‘Ampere, puede ser escrita on tórminos de À :

war fina 6 vn

29. El Concepto del Circuito Magnético 7

dependendo de la trayectoria de imegración C; en forma diferenctal
tenemos

Rotacional H=4 6 0 0-39

Las ecuaciones 1-38 y 1-39, son las formas más generales de la ley de
circuitos de Ampere, y son iles aún cuando el medio no sea el vacio. La
Ley de Ampora será ahora comprobada por un ejemplo especfico. Considere
el campo magnético originado por un conductor recto infintamente largo
5 Mevando una corriente J. Supongamos que el conductor está en el vacío
(Figura 1-10

amoo monde e un coa rc y wren de eo da Ansa

Usando la ecuación 1-27, se puede mostrar que la densidad de flujo D, on
Ja (ig 1-11 68

a0)

Abora vamos a evaluar la integral de la ecuación 1-33 alrededor de una
trayectoria © que enlaza a la corriente. Sustituyendo Ia ecuación 1-40 en
la ecuación 1-33 y observando que dl = R d9 Bo, tenemos

[rae th fra om

Observamos que la integración os independiance de À, y por lo tanto cualquier
trayoutoria de integración que enlace a la corrlente podría haber aldo 82
Hsfactoria. Por consiguiente la ley de Ampere se ha verificado.

30. 48 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

names RT

El 1.12 Carrie da nanan pe à io.

Caracteristion de Mugoctización para el Vacío, La relación entre B
y 1 estárepresentada grificamonte enlaligura 1-12, Esta as conoción como
la característica de wagnetizacién o la curva de B contra H en el vacío.

o de Cirevite

1-5 Comps Muguitico de un Torcide — €

El esquema de un torolde es mostrado en la figura 1-13. Puede ser
considerado coma un solenoide enrollado en círculo con sus terminales
unidas. Se vió con anterioridad (Eo. 1-80), que el vector de la densidad
de flujo en un solenoide es a Lo largo del eje. Por consiguiente se deduce
que las líneas de inducción dentro de un torald son ctroulares, Aunque
12 ecuación 1-30 puede ser usada también en el caso del toratde, esta
prestón para la densidad de flujo dentro de un torotde será derivada de
muevo haciendo go do la ley de circuito de Ampere en Jugar de la ley de
Biat-Savart.

Considerese una trayectoria circular dentro del toroide, Considerese
el radio de esa trayectoria igual a A. Por simotrfa, B 93 constante en
todos los puntos de esta trayectoria y mu diraceión 89 a lo largo de la
tangente de la trayectoria en cada punto, Upa aplicación directa de la
ecuación 1-38 dé

Lea a 2

donde C ea la trayectoria ctreular de radio R. Nótese que esta trayectoria
enlaza a la corriente /, N veces, lo cual axplica la presencia de N en el
ado derecho de la Ee. 1-42,

31. El Concepto del Circuito Magnético 19

I

Como 8 es constante a lo largo de la trayectoria de integración y B = 56,
Y dix @ d0 84, la ecuación 1-42, se reduce a

à [taster ni

1)

8 varta inversamente con el radio de la trayectoria y por consiguiente el
Sator de B na es constante en todos Los puntos de una sección transversal.
del toroide. Ahora, si el espesor del torolde (el difimetro da Ja bobina), es
pequeño comparado con las demás dimensiones del toronde fo sea, at d<<R
en la figura 1-13), entonces se puede suponer sin perder precisión que 8
8 constante en una sección transversal y por consígulente en todos los
puntos dentro del toroide. SI A, es el radio medio, la eireuferencia media
que es la longitud media de la trayectoria magnética dentro del torclde es
Jee 28, y la densidad de flujo es

rd a

Recordando que 8 es el flujo por unidad de área de la sección transversal,
el fisjo total dentro del toroide está dado por

NIA ML
PAT

#84

u)

32. 20 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La cantidad 1 es llamada la fuerza magnetomotria o fmm. para abreviar,
yla expresióní, /uades denominada a reluctancia de la estructura magne
tica.

Es interesante en este momento considerar el circuito eléctrico mos-
trado en la figura 1-14 y notar la similltud entre él yla estructura en
consideración. La corriente [en el circuito eléctrico es

Y v

PR Tex

(146)

donde a 8 la conductividad del material sado para fabricar el resistor, 1
es la longitud, y Aes el área de la sección transversal del resitor. La sic
militud entre las ecuaciones 1-45 y 1-46, es evidente Es por est razón
que el toroide de la tigura 1-13, es considerado como un eu magné.
fico, Como la ecuación 1-46 es la bien Conocida ley de Ohm para cies
cultos eléctricos, la ec. 1-45 se onpce como la lo; de Ohm para sipruios
magnéticos.

La analogía entre los círeuitos elfotrico y magnático se tauestra en
la tabla 1-1. La intensidad magnética £ definida con anertartd puede
expresarse en términos de la fuerza magretomotriz y de la longitad media

TABLA

>
Ets Pme Fi
ed ade Gone ei ann mg rs

do da trayectoria magnética del toroide, De las ecuaciones 1-37 y 1-44
tenemos

ne am

33. El Concepto del Circuito Magnético 21

La unidad de H es obviamente fuerza magnetomotr:z or unidad de longitud,*
Bn otras palabras IF ea el gradiente de potencial magnético,

Lo que hemos pretendido hacer en la exposie:‘s anterior es aproximar
una estructura magnätica tridimensional, tomando in circuito magnético de
una dimensión. Esto ha sido posible en virtua de que por la configuración
geométrica natural y simétrica del toroldo, el campo magnötlco establecido
por la corriente en la bobina está totalmente cortinado en el Interior del
torolde. De la ley del eirculto de Ampere, se obsersa fácilmente que el flujo
exterior del toroide es cero, debido a que la trasectoria exterior de éste
o enlaza a la corriente circulante en Ja bobina. (Ea la práctica, debido à lo
oblfcuo de las vueltas extste sin embargo un pequeño campo en el exterior).

‘Aun cuando el concepto de circuito magnélico se ha desarrollado para
una estructura particular, conteniendo aire o vasto; es también aplicable
à estructuras hechas de olros materiales. Si el material usado es alguno,
(ejem. lamadera), cuyas propiedades magnéticas son similares a las del
vacío, u, es usada como la permeabilidad. Afortunadamente, el concepto.
del eirculto magnético puede ser ampliado a extrucuras magnéticas hechas
también de materiales lerromagnéticos de alta permeabilidad, Diacutiremas
en detalle este tema en el siguiente capítulo. Terslnaremos este capítulo
considerando un ejemplo de una estructura magnética de pormenbilidad
constante do.

EJEMPLO 1-1. Un antllo de madera on forma da toroide tiene un radio
‘medio de 30 ems. Es embobinado con 000 vueltas uniformemente reparti-
das. El área de la sección transversal del toroide es de 4 cm”. Una co-
rriente de 2 amps. circula en el embobinado, Suponga que se usa corriente
directa. La permeabilidad del medio puede ser tomada como py. Calcular:
a) 1a reluctaneía R de la ostructuea magnética, 5) la pormeancia de la es-
tructura magnética, c) el gradiente de potencial magrático H, d) la densidad
de flujo B del campo magvético dentro del torolde, y ¢) al ufo total 6 den-
tro del torotde,

Solución: La fuerza magnetomotris total en el clreutto oa NZ = (600)
1200 amp.-vueltas, la longitud media de la trayectoria maguática es
(ar) (30) (10"*)= 1.884 m, el área de la sección transversal es À = (4)
ms y la permeabilidad 88 yy = dex 10°’ mebery amparo vuelta m.

a) mean de a meso mark
RL 07910 apa
wy Perms trance mann
Ph = CM heap
©) rate € mec make
1 7 = 68 cp

‚Bee ven par mateo cade, 1
iaa a 4 Sapere jor eo, I SEAS, os bere por np

34. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

4) Densidad de Mojo
8 = all = 0010" vete?
©) Fo tou
92 04 2 0210" bes
1-6 Unidades

El atstema de unidades usado an este texto on todas tas deducciones y
an Ja mayor parte de los problemas es el sistema mks racionalizado, La
adopción de ete alatema, en la gran mayoría de los libros de texto escri~
tos por ingenieros en los años rectentes, nos Indioa que au uso tiende à
goneralizarso en el futuro, Ahora bien, otros sistemas de unidades están
todavía en uso y no pueden desaparecer completamente.

Estos son el sistema gs, muy popular entre los físicos y el sistema
inglés, popular en la industria y cálculos prácticos en e diseño de aparatos

etromagnéticos y electromecánicos. Por consiguiente, la familiaridad
con estos tres aletemas es convoniente y aún necesaria en olerto grado,
Con objeto de ayudar al lector 3 esta familiaridad algunos de los problemas
estarán tanto on ol alatera cga comoan.el sistema inglés, Varias cantidades
que frecuentemente serán usadas en eate texto están enlistadas en una tabla
dal apindice B. También on el mismo apéndice se proporciona una tabla de
factores de conversión.

LT Sumario

Algunas de lag Leyes básicas de electrostática y magnetostitica están
desarrolladas on este capitulo. Algunas más serán introducidas más tarde
‘an los capítulos subaecuentes, an euanlo que son necesarlas para los temas
de este texto. Estas junto con alguna otras constituyen las conoetdas
ecuaciones de Maxwell, y no serán tratadas aquí. Estas ecuaciones son
axpresadas an forma diferencial o integral. Siendo osta les siguientes:

Ecuaciones de Maxwell en forma Integral:

Spa 0. fea LeydeGass (149)
fs mdd = 0 11-49)

onda À es una superticte cerrada.

[mar [rad une tn
rie

fear ES am

donde C es la trayectoria sobre la cual es vorificada la integral de línea.

35. Ex Concepto det Cireuito Magnético 2

fea-- [Bru on

Ecuaciones de Maxwell en forma diferenci

Deus Do V-D= 9 (153
Deepa V-B-0 (190

Rotacional Hô Vx Mes 15%

sono bo Va ee Be

Se introduce el conceyto de ctreuito da la analogía
entre circuits eléctricos y magnéticos. do una breve
discusión de diferentes sistemas de unidas

PROBLEM!

1-1. En el etreuito magnético del ehe el número
requerido de weltaa de la bobina de execor un finjo
de 10"? weber, cuando una corriente de fects) circala
en la bobina

522. Un torolde de madera de una smtforme de 3
putg.* tiene una circunferencia media de ie excitación
Keno 2500 vueltas. a) Determine el flucorriento de
2 amps. Exprese el flujo tanto en line determine
fl gradiente de potencial magnético A sor metro. c)
Cu es el valor del Mujo producido ptizante ff de
10 oerated? 4) ¿Qué valor de corrienteio para pro-
dueir un flujo de 10 veber?.

1-8. La estructura mostrada en la fie, está becs
ae un material oo magnético cuya permecorriente de

36. ws ENE ELECTROMBCANICA

Siege Sireula en 1a bobina de excitación, 1a cual tiene 100 vueltas,
Diboje una analogía eléctrica y calcule el flujo en los ramos ny
Sens Las reluctanciae son: segmento de (4) 10 amo. «vueltas meta
manto de (2)10° amp. -wueltas/ weber; segmento Sede (4) 10 amp cruel
‘weber.

Id En la satructura del problema 1-3, determine la corriente o.
Querida para establecer un flujo de (A}10”“ weber en tl ramet inn

37. capitulo 2

Excitación de Estructuras Ferromagnéticas
con Corriente Directa

21 Introducción

El ejemplo y problemas del capítulo primero, establecer que, aún
para lograr una Pequeña cantidad de flujo, se requiera de una gran fuerza.
magrotomotríz, si 36 esthonel vacío a en algún atro medio cuya pormeablli-
dad es también “o, menos que el área dela sección transversal, sea
extremadamente grande y la longited de la trayectoria magnética relativa~
mento pequeña. Es ouvio que limitaciones de espacto, y en algunos caños
costa, eritarä el uso de tales medidas en la construcción de transductores.
prácticos en los cuales una considarablo cantidad do flujo dabe sor asta.
‘lecida en una pequeña sección transversal. Desde hace muchos años se ha
estado trabajando on el desarrollo de materiales los cuales se ayudarán a
sí mismos para una fácil magnetización con una fuerza magstomotriz
reducida en áreas restríngitas. Estos materiales, os cuales on aleaciones
de hierro y de algunos otros metales, son conocidos como materiales
Jerromagnáticos, Estos matertales aon extensamente usmios en la cons.
irucción de transductores electromecánicos yendo deeds reveladores
pequenísimos hasta inmensos turbogeneradores. Junto con estan ventajas,
estos materiales tienen también algunas dosventafas. En el presente y
sigulentes capítulos, los temas a tratar serán: las propisdades de estos
malorialos ferromagnéticos; anf como los métodos de anilisisde estructuras
fabricadas con éntas. En este capítulo el punto que trataremos será la
excitación de estructuras magnéticas con corriente directa. Se supondrá
que la U riente en la baklmm de excitación es tnvartanle con el tiempo,
excepto durante el poríodo da conexión o desconexión de la excitación:
Estructuras magnéticas sujetas a campos magnéticos variables en el tiempo
serán tratadas en el alguiente cagítulo.

En el capitulo 1, introducimos 81 concepto de circuito magnético y lo
aplicamos a estructuras que como núcleo tienen el vario u otro material
no magnölico, Es posible y tambión Gil on tales casos, un cálculo directo
de la reluctancia, ya que la permeabilidad yp permanece constante. Será
mostrado en este capítulo que ásto no se cumple en el caso de estructuras
hechas con materiales ferromagnfticos en vista de que su permeabilidad
es una función de la densidad de flujo, El cálculo explícito de la reluctan=
cta no es (til y en algunos casos imposible. Introduciremos mátodos gráti-
cos para evitar eata dificultad. Sin embargo, los conceptas desarrollados en.
el capítulo precedente, particularmente la analogía entre ctrenitos magnéticos
y sléctricos, serán usados para formulas el procedimiento para el anfiisis
de estructuras ferromagnéticas.

38. 2 CONVERSION DE ENERCIA ELECTROMECANICA

2.2 Propiedades de los Materiales Ferri

Observaciones experimentales han mostrado que ciertos materiales,
cuando sen colocados en un campo magnítico, reaccionan con el campo y 19
modifican. Este fenómeno es llamado magactización y los matertales que
exhfven esta caracteríatlca son llamados materiales magnéticos.” Estos
materiales son clasificados en tres grupos: dlamagnéticos, parsmagnéticos
y terromagnéticos. Este último es de mayor interés 2 ingeniero electricista,
fen Vista de que la mayoría delos aparatos prácticos electromagréticos, hacen.
uso de materiales ferromagnéticos. Diriglremos nuestra atención solamente
à los materiales lerromagnéti003.

Las propiedades de los materiales forromagnétices son: 1) llegan a
magnetizarse fuertemente en la misma dirección del campo magnético donde
están colocados, 2) la densidad de flujo en los materlales ferromagnéticos
varía en forma no lineal con la intensidad magrállca, con excepción de
pequeños rangos donde la vartación es iimeal, y 3) oa materlalesorromag-
péticos presentan saturación, histéresis y retentividad.

Considere el torotde en la fig. 1-13 del eapftulo 1. Cuando al espa-
clo encerrado por al ambobinado de excitación ac je ha hecho el vacío ©
llenado de algún material no magaótico, la densidad de Flujo dentro del
toroide es dada por la expresión

PR paa

donde u, es la permeabilidad del medio, Como fy es constante, la densidad
de flujo” es proporciona! 3 la Intensidad maguética A y la característica
de magnotizaciónos una línea recta (vor fig. 1-12),

‘Abora bien, st el espacio dentro del embobindo toroldal se llena con
algún material ferromagnético y la misma corriente anterior se paña a
través del entbobinado, las medictores indican que la densidad de flujo es
diferente del valor dado por la ecuación 1-44. Esto puede ser expresado ma-
temáticamente por 22 ecuación

ang e

3 xo en pretend presets una exposición completa de ferromarutsao. Para un esto
bo so. #1 este jun constr Tas shqueees lor EE, Bate, Modern Aci,
ME Le, (Lena Cambrage) y 2. Slater y SH. Prime Elciromagratóma ae fore!
Secrest Book Company. fe, Ath

220 amado no cotos parque no

39. Exciteción de Estructuras Ferromacsiticas con C.D, a

donde 2 es la contribución dex material magnético à 1e densidad de “le
donde e adrraciones experimentales muestran también que ? puede ser

presada en terra:50s de H por la expresión

baw en
cata
el va

pars materiales ‘erromagniticos, X es una cantidad vartable, uevolmento
Pre que la unidad, à es Hamada densidad de fo intrínseco.
ctupendo la ecuación 2-2 en la 2-1. obtendremos

B= ae x a en

donde asp 8 Mamada la permeabilidad del material magnBtien,
soni ua conudad variable para materiales ferromagnäticns, machen
won Mucho más grande que m. La unidad de 1 dela misron que da
mt an webers por ampere-ruellas metro. También defioleamas
de Rad ela dimensión sy, llamada permaabitidad velaivn, dada por 18
relación.

Pe: es

rr

A
Taso mondes 7

cin 2-4 ae a praun atl romans

La variación de à con respecto a #7 la curva correspondiente de B con
TA Spurn un material farcomamétic® pico, son mostrados en as
Bi. 2.1 y 2-2 respectivamente

40. es CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Saturacién. En 1a Hg. 2-2 58 observa que 3 vara linealmente con
A para valores pequeños de fl; pero conforme Klande à incrambniacos
la partación de B gracualmente decrecerá y para valoren grandes de q
la curva caorá, a tal grado que, aunque M crezca rápidamente. D pret
mente se mantendrá sin incrementarse. Esta característica eg ones

3

Pio 22 Cura us 1 corespondirt à

ras

Jigitreste y Retenivided. Suponga ahora que el torcido de lag.
1-19 Meno con material ferromagnético, oa aujeto 2 ma magnetica
ee a Jasiación de B con respecto a se mostra en le tig 2
Sara Empezar. supoodrenioa que el material ea an un estado neutre eo
Si dun mo está magnetizado. La corriente en ol embotinado an coro y Sane
Sorglclén es Sepresentada por el punto an ia fig 2-8. La piston

Se Meeris Grande cundo H se dlsminuye, que cuando ae bre onu
apres MONEE que el flujo se retrasa Con tospecto a la mama

Fetes de remover la fuente de excitación eo concuide seer ae
precios ‘dy Onderada Od es la densidad de flujo residual. Dei
Fecion de eston y de otros términos, ae daria más adeinete se ee
“sección.

41. Excitación de Bstructuras Ferromagnéticas con C.D. 2

St se hace circular la corriente en direcclônopuesta y os incrementada
gradualmento, el material magnético se masnelizará en dirección opuesta,
La densidad de flujo 8 varía a 10 largo de la curva deb!, La intensidad
magnética Oc ea llamada fuerza coeveitioa o coercitividad. En el punto
91a intensidad magnötica 68 Fu. y la correspondiente densidad de Majo
en Bau. (La suposición de simetría es por conventencia y por lo tanto no
será necesario explicar el efecto de histéresia),

Bro

Fa.a-3 eter a lt un mo remate

SI gradualmente se dlsmtnuye la Intensidad magnética, 12 dengidad da
flujo varía a lo largo de la curva #d'b" debida a la históresta. EI punto
Of alfiere de > por una pequeña diferaneta por lo cual ta curva no llega
2 carrarse todavía. Si el materiales mijetoa ciclos repetidos de magnetiza-
ción, la curra B contra 4 formará finalmente un anillo cerrado. Este
anillo es conocido como el anillo o cielo de histéresis, La ampliiud de B
depende de la amplitud de K y la forma del antllo depende del material
ferromaguético usado.

En el siguiente capítulo se mostrará que el área dal anillo de histé~
resis 98 una medida del calor disipado en el material, debido al cielo de
magnetización e histéresis. Una familia de anillo de históregis puedo sor
obtenida al realizar pruebas a diferentes valores de Hu . Usa de ellas
Se muestra en la fig. 2-4,

42. SION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Anillos Scenndnrios » Awsifiures. — Ur anillo secundario se forma st
durante una prueba, auando el estado del material es representado por el
punto m en la fig. 2-3. se deelde por alguna razón decre

Bros

in 24 Rai dani

Hgoramente y regresarla posteriormente a su valor original (la intensidad
magnética se disminuye de A, 3 8, y aumenta de nuevo a 4). Los anillos
secundarios tienen un papel importante en reactores salurables con excita
clones tanto de ¢.d. como de c.a.. Se darán ahora algunas deftniciopes:

Remanencía es la densidad de flujo que permanece en un material
magnético después de haber suprimido alafuerza de magretización externa,

‘Retentividad es la densidad de flujo que permanece en un material des-
pués de haber aplicado y removido una fuerza magnética sufictente para
causar la saturación del material. La retentividad puede ser considerada
como el valor máximo de la remanenela,

Densidad de flujo residual an un material magnético, es el valor de la
densidad de flujo correspondiente a la Intenstdad magnética cero, cuando
el material essimétrica y cfelicamente magnetizado,

43. romaynstıcas con C.D.

Excitación de Estructuras Fev)

44. cures Dé ENERGIA BLECTROMECANICA

Fuerza coercitiva en la magnitud de la intensidad magnótica à a cual
la denaidad de flujo es cero cuando el material es cíclica y stmétricamente
magnetizado, SÍ el material eg magnetizado solamente hasta su saturación
y posterlormente desmagnetizado, la fuerza coere:tiva es llamada coerc
Huidad.

2-3 Corvas de Mi
le les Materiales Forrom

etización

En la fig. 2-4 la curva resultante 8 v9.1, obtenida al unir las puntas
extremas de uma familia de anillos de himkresis, au conocida como la.
curva da magnatización normal. SI los antecedentes históricos de tn ma
terial magndtico no son relevantes en el problema por resolver, entonces
todos tox cálculos prätioos del cireulto magnético pueden ser realtrados
usando la curra de magnotizaciónnormal, En lantigs, 2-5 y 2-6 se muestran
algunas curvas de magnetizacién normales típicas para algunos materiales
terromagnóticos. La fig. 2-5 está en el alstama mks racionalizado y la
2-8 an el siatema inglés.

1-4 Cirenitos Aprox SE

les Ebectro mega.

Muchos agaratos atectromagréticos prácticos, tales como releratores,
Toactoren, transformadores, magravoess,locadlscos, instrumentos de medi
ción, motores y generacores contienen partes hechas de materiales ferro-
magráticos. Con objeto de antudlar las caractaríaticas de funcionamiento
de extos aparatos y disetarlos de acuerdo con as especificaciones reque-
ridas, la densidad de flujo magnético en la estructura debe de ser deter=
rainada, Por lo general asta es un problara de campo tridimenslonal. Pero
en muchos casos puede sor reducido a un problema de una dimensión al re
emplazar el aparato por un ctrculto. Tal circulo generalmente consiste
de elementos mecánicos, eléctricos a magnéticos. En este capítulo limita.
emos muestra atención a la parte magnética. Los otros componentes de 108
aparatos electromagnätieos y electromecánicos serán considerados en cap
‘loa pontarloren.

Dos estructuras mpgnöilcas típicas y sus correspondientes representa»
ciones en circuitos magnáticos, son mostrados en laa fig, 2-7 y 2-8. La
tácalea de reemplasar los aparatos por circultos está basada en as aie
¡lentes svpoaiciones: a) la configuración gocméteica del aparato es simd-
{rien a ciertas ejes o planos, de tal manera que puede ser representado
como primer paso por un diagrama esquemático. Ejemplo: ver las fig. 2-1
©) y 2-8 (0 7 9) una constant o ligera variación del flujo magnético ena
la tendencia de limitarse a st nm, cas totalmonto 2 las trayectorias
de alta permeabilidad de las estructuras ferromagnéticas de una manera
que asemeja (m completamente), La tendenesa de una constante o igera
variación de corriente eléctrica, para limitarse a as trayectorian de alta
conduetiridad en un eireulto eléctrico.

Mientras la mayor parto de 108 circuitos eléctricos son tratados por
análisis Mineales, ls circuitos ferromagnéticos no son lineales porque la
ermeabilidad del medio es una vacianl y es función de In densidad de ue

45. Excitación de Estructuras Perromagnéticas con C.D. ss

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46. ss CONVERSION

V DE ENERGIA BLECTROMECANICA

=

4 ve de pe
wu dm =
o ación remuant

Ss

[2

cd woran

Sir Terabe
ren) Cr

Fin 2-7 Ca) Garon montée de un rate o ancora de cee de hero 1
‘Sram menden ste marco roms an (4d e Jane
oe out cea aon rs mate.

Jo magnético en la estructura. Una aplicación directa de la ley de Ohm es
impráctica, porque la reluctancia os una funolón dela densidad de ufo.En La
siguiente sección se coborarán los métodos de anflisis usando Jas curves
de magnetización normal de materíales ferromagnéticos.

Se observará que los dos componentes del flujo son mostrados en las
fig. 2-7 y 2-8; el lujo principal o itil 1. , que existe Únicamente dentro
del núcleo ferromagnético y el flujo de dispersién #, , que existe parte
adentro y parte afuera. El aire airve como alslador del flujo en les astruc-
turas ferromagnéticas, excepto cuando los entrehterros son Introduetdos
para otros propósitos. En un rango de operación umal, la permeabilidad
en la mayor parte de los materiales ferromagnéticos, es de 10* a 10%
veces A, la permeabilidad del aire o vacio. Esta relación, aun cuando sa

47. Excitoción de Estructuras Ferromagnáticos con C.D, 3

grande, no es lo guliclente como para ovitar que algunas de Is ens de
Ai tomen trayectorias del todo dectro de la bobina alectromagnétics.
Pal demsto, af la diferencia de potencial magnético entre dos puntos de
e mieles, los cuales están físicamente muy juntos, es alla, es probable
Ale "scurra una dispersión de Huf. Los circultos mostradas en la LE
Sey (ory 2.8 ol, suponen que es despreciable la diapension de fijo, Tal

cant cis Re eb Bed >
om pS
Crea) ARR
Fe ee" return
m per
Rar lo LAN

la

de erento, (0) Da =

rin 2-8 La Entra marées
RE {1 12) Pen mis

ee
Dr

«sepotción no deberá ser constderada para todos los casos, Cada problems
eo ser examinado para efectuar un Juicio aproplado. Es dirícil expresar
SE tiujo de dlaperston on términos ratemálicos exactos, en virtud de que Las
as que toma dlcze flujo son en general, ca dci determinación

\

48. LUN VERSION Là Es

Gia SLECTROMECANICA

Por consiguiente, son utllizadas fOrmulas empíricas en el cálculo de
Sircultos magnictcos donde la dispersión deflujadebe da tomarse on cuenta,

5 de à

2.5 Mit, Isis de Circultos Ferrol

Los siguientes princtpios forman las bases de los diferantes métodos de
anitivia de circuitos ferromagnéticos que serán presentados en este
capitulo.

a) Las dimensiones dela estructura maguática son tales que la densidad
de flujo en cuslquier sección transversal de la estructura puede ser const.
derada uniforme. Esto signitica entonces, que el flujo en el nicieo puedo
‚ger obtenido al mulisplicar la densidad de flujo por al área de la secsibe
transversal, donde B es la densidad de flujo y À ea al área de dich
sección

Flujo 6 = 8.4 es

2) La longitud media de la trayectoria magnética puede ser usada en
todos low eäleulas,

©) La ceuación 1-47 puede sor usada para calcular la fuerza magnetomo-
(riz total requerida para establecer una cantidad específica de lujo an el
eirculto magnético, Por ejemplo en la tig. 2-1 tenemos,

Gam F = NE Hoke eo

En la tig, 2-8 donde hay cuatro secciones en serie,

frum E NI Ham + ile Hola + Mao 27)

©, à, £a y Ea 88 refieren al núcleo, armadura y dos
entrebierros respecttramente. En general, tenemoa

tom Fe Me Due es

media de la trayectoria magnética de la sec-
y Hi 08 la intensidad magnética en Ja misma
acción La ecuación 2-8 cs análoga a 12 ley da volafe de Kirchnol pera
incultos eláctricos. Esta ley, datinida en tórmisos de cantídados magnéticas
Sa Coma sigue: En un círculo magnético la sumaalgebruicade dos Potencias
153 marniticos alradedor de una trayectoria cerrado, es cero, once dar
Aires: en wn circuito serte cerrado, la suma de las eleveciones de potencial
8 igual a la suma da las caidas de potenotal.

2) Ahora, consléérese ma región en una estructura magnática donde los
flujos magoáticos de varias partes se combinan. Por ejemplo,

‘eth envolviendo al punto
la divergencia Bu 0, la

49. Excitación de Estructuras Fervomegnsticas con C.D. ar

Fin 28 mere du concn o lou o je an ne unió one esc

suma de los flujos Airigidos hacla P es igual a la suma de fos flujos salien-
do de P.

anotó es
Esto es análogo a la ley de corriente de Kirchhaff para circuitos elécticos.

Los Ojos que se dispersan am desprectablos en la ecuación 2-9. Aplica-
remos ahora los principios anteriores a algunos ejemplos específicos.

EJEMPLO 2-1. Las dimensiones dela estructura magnética mostrada en

poe
if

a
(nes

TN
al Wave Fand rl e Fan

EEE bette

ESO CI |e = Omit

50. ES CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

a fir. 2-10 son las indicadas en a tabla 2-1. El embobinado de exeita-
ción ttene 100 vueltas. Determine es la estructura magnética, la corriente
que deberá de circular en el embobinado para establecer un Hulo de 1.31
(20st) webers, Desprerse los lujog que se

neuzación ¡ora los materiales aon cados en

Solución: El primer paso es dibujas un cireuito magnético equivalente,
Este es mostrado en la fig. 2-11. Suponga que A, y À, son la intensicad

FF E Aa
Fr

EE)

MB 2-11 Guevite magda au di Elmo 2-1
magnética y la densidad de flujo del Merro fundido, y #, y 8, serän tas
correspondientes al acero fundido. De la ecuación 2-3

ALBA y Bi

como 9, =5,y A, = 4, tenemos entonces 2

Obtenga los valores correspondientes de M, y 4, de las cuevas de magneti-
zación pars el hierro y el acero fundido, mostradas en la fig. 2-5

Hi = 212 amp welt
Hy = 90 amp- woltasfm

dela Ec. 2-8
ENE th + Hale 210

Sustituyendo valores numértoos en la ecuación 2-10. obtenemos

Fa M = GUANO = 90001 = Ts amp - vacas
Como Y =100wuellas, = 0.284 amp

/
A

51. Excitación de Estructuras Perromagnéticas con C.D, 9

EJEMPLO 2-2. Una estructura magnética serte-paralelo, hecha de
acero laminado, es mostrada en la Fig. 2-12, El Factor de apilamiento?
para el nücleo es 0.9. Determine la corriente, que debe circular en el
tmbobinaco de excitación, el cual tiene 300 vueltas, para establecer un
campo magnético de (9) (10) webers en el brazo derecho de la estructura.

ERE
Fin 2-92 Kaum mobi et Shela 2-2.

Solución: EL ctrouito magnético equivalente es mostrado en la Fig,
2-13, El Aroa de la sección trangversai es uniforme.

ia 2-12. Cno mag aut an Hana 22

Factor de aplomiets: Sa draomrará on el igsanta Capo qu ot jou santana
In ci tlempo avean prit vn om frroimagniien 7 cess párdas Se margin
ido à edienamieta Esta plein de amero sa Fede Af mine à culs al cio
‘fr fran laminar, salads cada Brun por Ialamiaut da ms aquel 9 evil
Scour spa ent evt lat, Eto hace que el área seca de la Mec arr
ren ciao md sen menor que a citada de su downiaee La relación dl tees
cava Sten taal doin mci ever] sn Hamata Jocs de lomo. Eta [noo

52. n CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Area total de la sección transversal « (0.05) .0.05) = 0.0026 m*
Factor de apllamiento -09
Area neta de la sección transversal = (0 9) (0.0023) « 0,00225 m*

De las dimensiones de la estructura magnética se obtiene la. longitud
media de las trayectorias magnática
Trarectoria 1: dafe 4 = 0.9 m; flujo »,; caída de potencial magnético

Ah,
Trayectoria 2: be 1, = 0.15 m; flujo 255 caída de potencial magnético

ede 1, = 0.5 m; Mujos; caída de potenctal magnético

Trayectoria
Bala
De las ecuaciones 2-6 y 2-9 se obtienen las siguientes relaciones:

FM Hilo Bl Hi Holy gas

Note que
CURE TEE en

Como el Srea de la sección transversal es la misma 4 través de toda la
estructura, Bi = 8, + Ba. Como 30 conoce el Cujo en el brasoderenhn
(trayectoria 3), los chleulos primaro se conducen a través dr esta teas
vector.

Trayectoria 3: dedos Flujo requerido 3, = (0) (10-*) webers; Grea
efectiva de la sección transversal = A, = 0.00225 1%; aonsited de flujo
Ba = 0.4 webers/ mt Obtenga H, dela curva de maquetización para acazo
Jaminado ilutrada en la Fig. 2-5, que es, H, « 59 amp.-ruelian/my la cal
de potencial E, 1, = (59) (0,8) = 29.5 amp vue

Trayectoria 2: be: Cafda de yotencia Ml, = Hal, = 20.5 amp vueltas;
longitud Ta = 15m; Ha = 197 amp.-mueltan/tn. Obtenga By de la curra de
magnetización: Ba = 1.08 webera/m.

Trayectoria 2: bafe: | Bs = By + By = 1.08 + 0.4 = 148 weborg/or"
Obtenga Hi de la curva de magnelizaciin: # = 1629 ampveellas/ay, Do
1a ecuación 3-11, F= NP = 762.54 29.5= 192 mp
Por consiguiente, {1,584 ampe,

2-6 Entrabierros an Circuitos Farremagnéticos

Jan estructuras magnéticas de muchos aparatos clectromagnéticos y
dlectromecánicos tienen entrehlerros. Estos entschlerros pueden aes
inherentes 9 introducidos intencionalmente, Uno de los métodos comune,
de fabricación de núcleos laminados ea usar troquelesde diferentes formas,
Por ejemplo, el núcieo laminado en el ejemplo 2-2 (g.2.12) puede sar.
hecho de laminaciones en forma de E y de piezas rectas, ambas Mustradas
on la Fig. 2-14. Aún cuando las láminas 9e colocan escalonadas (las láminas.
A y 2 se aplican alternändose), pequeños entrehlerros quedarán on la
unión de los brazos en forma de E y de las láminas rectas. Este os un
‘lemplo de entrehierra inherente en una estructura magnitica,

/

53. Excitación de Estructuras Ferromagnéticas con C.D. a

ma 246 Se nan a cris re

Dicho de otra manera, en el relevador electromagnético mostrado en
la Fig. 2-8 eu obrioque elentrehlerro1 os nacesario y es introducido Inten-
cionalmento. El entreblerro 2 es por supuesto, iaberente en la construc
ción del relevador y es ocasionado por la presencia de un pivote. Se puede
ver otro ejermplo de entrehlerros intencionales en los inductores de núcleo
de hierro de gran indactancia. Es necesario un núcleo ferromagnético para
poder obtener esa gran inductancia; pero para hacerla menos sensitiva a
los camblos de la corriente en la boblna da excitación, ae introducen
intencionalmente pequeños entrehlerros en el núcleo. En todas los c2808

otra reluctancia en el etreuito magnético y este efecto no puede ser Ignorado.

Efectos Manginales y de Dispersión de los Entrehferron — Considera
la estructura magnética mostrada en la Fig. 2-15. Al tenor la gran relue-
tancia del entrehierro, la diferencia de potencial magnético entre los
puntos A y B puede ser lomuficientemente grande (ain at el finjo es pequeño)
Para ocastonar que so esparsan las líneas de flujo que están cruzándolo,
Algunas lípoes 40 flujo pueden también pasar de C à D sin cruzar por el
entrehiorro. El esparcimiento de las líneas de Mujo es llamado efecto
marginal, y el salto dei flajo de C a D recibe el nombre de flujo de dis.
persión. El efecto marginal hace a 1a densidad de flujo en el entrehlerro
menor que la densidad de flujo on la porción ferromagnática del núcleo,
porque el área etectiva de la sección transversal del entreblerro es más
grande que el iron de la sección tranavorsal de la porción ferromagnética
del nteleo. Generalmente es dificil caleular el Areaefectiva del entrehierro
con algún grado de aproximación, excepto quisas con técnicas gráficas.

\

54. CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

E
rn
= | À,
:
Ty.

|

Fig 2-10 cto chown y Marine bon a un mero.

Sin embargo, en la práctica se usan fórmulas empirieas para el eéleulo del
entrehiorro afectivo, Algunas serán dadas más adelante. e Estas ofrecerán
‘resultados satisfactorios st la longitud del entrohierronoes mäs que qu
2 veinis por ciento de las dimensiones de la sección transversal del núcleo
terromagnölleo en el entrebierro y st mus caras opuestas son mutuamente.
Paralelas, En estas condiciones unentrohtorro es llamado entreblerro corto,
Caso 1: Los lado opuestos del entrehierro son paralelos y tienen las
mismas dimensiones en au sección transversal Ver Pig. 2-16, El área
etectiva de éste es dada por

Wa IAT + 1) es

donde en el entrehlerro, # y T son las dimensiones de la sección trans
versal del núcleo y L, es la longitud del ontrehierro.

BE

* Sau en conisecados solamente sus coa. Para informatie adicional, vec 4
amet Davies por H.C. Mera ten Yorks Ja Wiley 4 Sara ne, LABS

À

55. Excitación de Estructuras Ferromagnélicas con C.D. a

Caso 2: Los lados opuestos del antrehierro son paralelos pero tienen
en su sección transversal diferentes dimensiones. En este caso, el área
efectiva del entrehierro está dada por

Ay = + UAT + 2) ey

donde W y T aon las dimensiones de la sección transversal de la cara más
pequeña.

Para secelones transversales circulares en el primer canoel diámetro
as incrementado por la longitud del entrehierro y en el segundo el diámetro
de la cara más pequeña es incrementado por el doble de la longitu del
ontrehierro.

EJEMPLO 2-3, Considere la estructura magnética mostrada en la Fig,
2-15. El nícleo está hecho de hojas de acero laminado, y el factor de
apilamiento es 0.9. Las dimensiones de la sección transversal del núcleo
en el entrehierro som: W=5 cm. y 7 = 6 cm. La longitud del entrebierro es
0.5 om. La longitud media de la trayectoria magnética an la porción de
acero de la estructura tuagnética os 1.0 m. Determine la fuerza magneto-
motriz necasaria, para establecer un flujo de 0.0025 webers en el entre-
Aereo. Desprecte lon flujos de dispersión, pero haga lus correccionas
necesarias por efecto marginal en el entrebierro,

Solución: EI cireuito magnético equivalente se muentra enla Fig. 2-11.
El área electiva del entrehierro, do la eousción2-13, es A, = (5-0.5)6-0.5)
(35.75) (10) m?. La longitud media de la trayectoria marnética en el

"Ti

(es

PE 2.37 create mide aps de à meurs

entrohlerro es la longitud del entrehierro, o mea I, = 0.5c1m.8 (5) (10).
El Area efectiva de la sección transversal de la parte de ucero, tomando
en cuenta el factor de apilamionto, an A, = (5) (8) (0.9) = (27) (10) m8.
La longitud media de la trayectoria magodtica en elacero es I, =1m,
Y 2 » dy = 0.0025 webers puesto que se desprecia el flujo de dispersión.
En tarminos de densidades de flujo tenemos

Ann Body es

À

56. # CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Fein Hate Hig ee
Para a porción de acero
Bm m data = 0926 weber / a?

Obtenga el valor correspondiente de Hl, de las curvas B-H para acero lami
nado en la Fig. 2-5

4,

137 amp vues

Para el enmehiezo

0.7% orujo?
1 EE empuja

Sustituyento-alores muméricos en la scuación 2-16.

Fm A = CIAO) + (6SANIOIIKIO = (37 + 2700 = 2927 amp rote
La fuerza magnetomotriz necesariaos 2927 amp, -vueltao, Note que aunque
Ja longitud del entrehierro en 200 veces más pequeña que la longttud ds.
la trayectoria magnética en el acero, la caída da fuera magustomotria,
‘en el entrohierro, es 20 voces la caída de la fuerza magnetomotriy en la
porción de acero. La razón para esto en obvia,

Muchas estructuras magnéticas tienon más de un embobinado de
excitación. Consideraremos un ejemplo detal estructura.

EJEMPLO 2-4. La estructura magnética mostrada en la Fig. 2-18, está
hecha de laminaciones de acero paratransformadores de la USS > El Factor
de apllamiento os 0.9. Las dimensiones non Inaque se munstran. Determins
la magnitud y dirección de las corriantes que deben circular en las dos

embobinados de excitación, para establecer Los aigutentesflujos 9, = 0.0018
weber, 35 = 0.0008 weber, y 3 = 0.001 weber en los brazos, DY C
respectivamente en lag direcciones mostradas.

"ota: UBB es 1 areriión pars "Unte Sten Bel Corporation”

/

57. 45

Solución: El cirovito magnético equivalente de la estructura se muestra
en la Fig. 2-19. Se observarán los siguientes puntos: 1) La dirección de
la fuerza magnetomotriz de cada embobinado es determinada por al senti«
do del enrollado y la direcelön de la corriente en el circuito y 2) St hay
más de una fmm. actuando en cualquier parte del circuito, la dirección del
flujo en esa parte se. determina por la dirección resultante de la fmm.
EL flujo será on la dirección del components más fuerte de la (mm.

à | +
Je el
Y) ¡REAL
Mar Mala * 72
Cell St

ia 2-19 io mages ouai dd Demo

En este ejemplo, es fácil observar que la polaridad de la fmm. P, debe
ser como se mostró, porque %4 = 9a + 36, 7 24, Nene una dirección
descendente; en general, esto puede no ser aparente. El procedimiento
usado es similar al adoptado para la obtgncióo de yo y voltajes

En

58. CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

an cirou:tos eléctricos, donde las volavidades de las fuentes son arbitraria-
mente svpuestas. Si loa resuitades finales son positivos, las direcciones
supuestas son correctas. En caso contrario las polaridades serán ¿as
opuestas. En este ejemplo, por consiguiente, Las marcas positivas y negativas
en la Fig 2-19, son consideradas polartdades supuestas de las fuentes de
fmm. Puede no ocurrir, que éstosmarcos de polaridad supuestos arbitraria-
mente, sean los reales.

Las siguientes relaciones resolverán este eircufto magnético. Yendo en
alrección contraria a las manecillan del reloj, alrededor de los dos anilios
mostrados en la fig. 2-19 y suponiendo que las Caldas de fmm, son positi-
vas y las alevaciones negativas, tendremos

Malla 1: Fy = Nala = Haas + Bastos

+ Heeler + Heeler 2D

Mala: Fe Melo = Hactac = Her!

+ Here + Hoole G18)

Las calas de fmm. en las diferentes partes del circuito magnético, se
calculan con ayuda de la curva B-H para el material magnético y son
tabuladas en la Tabla 2-2, Sustifuyendo los valores apropiaios de caldas
y elevaciones de fmm. en las ecuaciones 2-17 y 2-18, obtendremos

Fun Mala 26,4 20 + 26 + 395 = 15,95 ampruelas
Fe = Nele = 10.15 - 395 4 10.5 + LE = 24.15 amprudtes

rasta 22
Re AJA [esse YT
Longin Ten
Ss vs | on os | a
under eng | sue) Fane) Fans
ajo a. on eben, NE | ‘an
Denis de Maye à
on be por 1 10 om | 06 | os
nero canada
Hm ungen:
men | 200 m | ws ” a
Era
cri 20 » 39 | ms | 7e

Como N, = 200 vueltas, la corriente [4 = 0,38 amp. y como Xe = 100
vueltas, la corriente 2. = 0.24 amp. Las fuerzas magnetomotrices resultan.
positivas y por consiguiente las palaridades supuestas son correctas. Con
objeto de que estas mma. sean en la dirección indicada, las corrientes
la € Le deberán entrer a sus correspondlentes bobinas por las terminales
marcadas con 2 y 4, respoctivamente,

/

59. Excitación de Estructuras Ferremagnéticas con 54D, 47

Los cuatro ejemplos considerados hasta ahora, tratan casos on los que
se obtiene una solución directa. Na siempre sucede así. Verbigracta, en sl
eiemplo 2-2, af se aspecifica el flujo en izquierdo de la estruc-
fara, en Aukar del brazo derecho 0 central, la ima, de la bobina de excita.
ción se encuentra solamente por experimentación; debido a la naturaleza
So lineal del material. la relación de los fijos on los brazos medio y
derecho, no puede ser determinada con anticipación. El método de ataque
Gn este caso sería suponer que el flujo total (el cual es conocido), se
Slvide en una cierta relación, digamos 60 por siento en el brazo medio y
10 por ciento en el brazo derecho, Las cafdas de fm. en varias partes de
la estructura magnética serán calculadas entonces como se hace en al
ejemplo 2-4. Las caídas y elevaciones de foam. alrededor de cualquier
Trayectoria Cerrada deben de sumar cero. Si este es el caso, la división
supuesta de flujo es correcta, #1 no, se supondrá nuevamente un valor
diferente para la relación de flujos y los cálculos serán repetidos basta
que se logre obtener la ley de voltaje de Kirchhot, Al final del capítulo
Se incluyen algunos problemas de esto tipo.

Inverse. minación del Flujo Dobi

astometriz Dede

2-8 El Probl

a ena Foon

En los ejemplos considerados hasta ahora, se dió a conocer el ie en
ciertas partes de la estructura magnética y se determinó La o las fuerzas.
Magnetomotriees del o de los embobinados de excitación. El problema de
pe inverse, es la determinacién del flujo en diferentes parts de la estruc-
fava magnética debido a fmm. o fmms, especificadas. Salvo raras exospcio-
nes, Jos problemas de sta tipo notionenuna solución directa. Para resolver
os se usan frecuentemente dos métodos: a) el método de prueba y error y
bp el método gráfico. Estos métodos serán descritos ahora por medio de un
ejemplo.

EJEMPLO 2-5, Determine el flujo en el entroblerro de la estructura
magnética mostrada en la Fig. 2-15, si la fuerza magnstomotrtz del embo-
Binado de excitación es 2000 amp.-vueltas. Las otras especificaciones del
problema son iguales a las del ejemplo 2-3. Resuelva este problema usando.
7) el método de prueba y error y 2) el método gráfico.

Solución: El cireuito magnötieo equivalente para este ejemplo está
dado en la fig, 2-17. Del ejemplo 2-3, tenemos

Entroherr: de 0970007 mE
UA
Porcion de acero Lama: Aa = (271107) m?
Loin

Las siguientes celciones satin!

fo ME = MOOmmpruitase Hl, x an

60. “ CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
A A e

Tenemos que encomrar 3; = 9. de manera que se satistaga la couación
2-19. La dificultad se debe al hecho de que 4, y 4. dependen del flujo, que
es el valor por encontrar.

Método 1: Método de Prueba y Error.

Paso 1: Suponga que es usada on el entrebierro la totalidad de la fmm,
de 2000 amp.-vueltas. (ipor supuesto no es verdad!), Entonces

Male = 2000 ampvuclias
donde 1, es conocido. Por consiguiente
He = 410" ampvuchasfm

By = nally = BOXE ONO”) = 0502 weberim?
ds = Body = 0.0018 weber

puesto que Ay 98 conocido,

Paso 2: Ahora supongamos que, en la porolón de acero laminado de
la estructura magnética, se usa la totalidad de la fmm. (Ide nuevo, es
mentiza!). Entonces

Hala = 2000 amp vueltas

donde 4 es conocida, Por lo tanto
Hq ~ 2000 amp-vueltas sa

Obtenga el valor correspondiente de A, de la curva 2-H para el acero
Jaminado representada en la fig. 2-5,

Da = 147 modern
90 = Bade = 0.0039 weber

ya que A. as conocida. Los valores de 2, y 3, obtenidos an los pasos
1 y 2 son valores extremos. Es olvio que el valor actual del flujo es menor
que ambos.

Paso 3: Suponga un valor de flujo más pequeño que los valores extremos
obtenidos. Ejemplo: lp”:m08 +, = $. = 0.001 weber. Calcule la fmm. en
varias partes de la “tructura magnética y tabilela según se muestra en

61. Excitación de Estructuras Ferromagnálicas con C.D. +

la tabla 2-3, Se observa que afm total es 1167 ammp.-rueltas ,salor menor”
e 1on 2000 amp.-vusitas disponibles; #1 valor supuestodel flujo fué entonces
demasiado bajo.

ram 2
va Tara de sows

to | ml

del ajo. amp | amg ar -

Seen EY ht] ent weet

[7 arr! Tas

EU e ou Tasio ión | me | Toews me —
vos foo] | wit | ter wm

New: do actual del lujo pends toos como 0.00172 vob

Repita los cálculos anteriores suponiendo un valor mayor de flujo,
0,0015 weber, La fmm. total que se obtiene es de 17392mp.-rueltasla.
cual todavia es bastante baja Repita los cálculos, ahora con un flujo de
9,0017 weber. La fmm. total que eo obtiene es 1982amp.-rueltas la cual
bastante aproximada a la que sa tene como dato. Sin cálculos adicio-
males, ei actual valor del flujo puede ser considerado ligeramente mayor
0017 weber. Hagimos que esto valor sen 0.00172 weber.

Flujo en el enter = 0.00172 weber

Método 2: Método Gráfico.

Resolveremoa ahora el mismo problema por el método gráfico. Et
procedimiento ea el siguiente:

1) Dimje la curva ó, ~ F, para el material magnético dado. Esta
curva se puede obtener de la curva B, vs. K, para el mismo material,
muitiplieando ¿a ordenada por ig Flzabscisa por Im.

2) Supergonga en este dibujo la curva invortida ¢, vs, Pı del entre
hierro según se muestra en la fig. 2-20, La longitud OA represente la
fuerza maguetomotriz total F, la cual se conoce, La peodiente de la
curva invertida $, vs, F, eu -P,, donde P, om la permeanch del entre
hierro y está dada por

Paty
4

Ae gan

El punto de intersección de estas dos curras nos dá el valor común deseado
del flujo. Este es ropresentado por el punto Pan la fig. 2-20. Se puede
observar tHelimerte que el punto Psatisface simultaneamente las ecuaciones
2-19 y 2-20. En la práctica, no es necesario ir a través del primer paso
y dibujar la curva >. va, Fu para ol material magnético. En la tig. 2-20,
sl las ordenadas son divididas por Au us

62. MiERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

Tate ty vee

on nenn (avt =)

own ply mps

Fig. 2-20 armando a. shee grite

t came By wenn Ay

37 vert 5 nico

Li becs

63. Excitacién de Estrmetures Ferromayméticas 2:1 D, a

as Zen
—
jo
aa | Run
Lo one mn 3

2-22 Solución wie u ion 28

fg. 2-21. Observe ahora una forma modiflenda de la curva invertida

? vs. Fe superpuesta on la curva By vs. Ma del material magnético. El

Punto de intersección P en la fig. 2-21 nos di cirectamente el valor de la

densidad de flujo en el material magnético, De la ecuación 2-20 se obtiene

la densidad de Cujo en ol entrehlerro, En sl ejemplo bajo consideración la

fig. 2-21 es redibujada en la fig. 2-22 usando los valores mumeroses apro-
imados. Estos valores mumáricos son:

Abora se puede dibujar la línea AD, La curva B, vs. Hy para el acero
léminado, 59° toma de la fig. 2-5 (a). La intersección de Ins dos curvas en
el punto P nos dá B, = 0.64 weber/mi.
05 + Ba An 0.00173 weber

aa
El valor de 5, = >. obtenido por este método coincide prácticamente con
el valor de 0.0112" weber obtenido por el método de prueba y error. Los
dos métodos analizados también tienen aplicación on otras áreas. Una de
llas es el análisis de circuitös on Tos que nos o lineales.

64. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Et método gráfico se puede extender a circultos magnéticos en los
que figuran más de dos medios. En tales casos el procedimiento as:
Construir lo que xe conoce, curvas de magnetización compuestas, Esto
será Ilustrado con un ejemplo sin usar valores numóricos.

EJEMPLO 2-6. Considere la estructura magnética mostrada en la fig.
2-20. La fmm. Lola! del embobinado de excitación os £ = NTamp.-vueltas.
Determine el flujo en el entrehterro, Desprecie los flujos de dispensión.

[A

24.

raza
RR PE Y AS

ue [owe a ET
Ten | Tr 7 à Tl
Piste E A Fa
ES A 21% EA

Solución: En la tg, 2-23 as mugstra el etreuito magnético equivalente.
Las relaciones apropiadas de fmm. y flujo son

Fe NE Hafer Hale > Hale am

EL flujo es el mismo en todas Jas secciones, porque a dispensión es despre=
table.

wenn am

65. Excitación de Estructuras Ferromagnsticos con C.D.

E,

Fi 2-24 Ciao megas eee
men magnon ot Emo 2

Paso 5: Considere la pacelta de la estructura magnética À 8 C D
(entrehiorzo y acero fundido), Supanga un valor de fmın. F, y calculo el
sie establecido por F, en esta porción, usando el método grâfico descrito
con anterioridad. Hagamos a este flujo igual a 9,. Replta esto para valores
diferentes de la Em, obteniendo La curva ¢ va. À (ig. 8-25) E

Esta curva es llamada curva compuesta de Jhdo vs. frum, (en este caso
para el acero fundido y el entreherro). Note que esta curva depende de
Tas dimensiones de las partes de la estructura y también de las caractoriay.
ticas del medio involucrado.

"Paso 2: Abora, el cirouito magnético original de la fg. 2-24 puede
ser reemplazado por el circutto simplificado N“ enla fig. 2-28.

66. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Fig 3-36 Gieuno aqua sept an emote 3-6.

Paso 3: La curva flujo ve, fmm. para el acero laminado se obtiene
ahora de su curva B vs 4 multiplicand la ordenada por Aa y la aboiea por
+ Esta curva es entonces invertida y superpuesta en la curva compuesta
de la fig. 2-23. La superposición se muestra en la fig. 2.27. (Aquí estamos
Usando el mismo procedimiento empleado en el ejemplo 2-5).

o e

‘lomo 2

El punto de irteraección de las dos curras nos dá ol valor Común del flujo
en la estructura mago'tica.
D

67. Excitación de Estructayss Ferromagnéticas con C.D. se

PROMEMAS

Un torside de acero fundido de una sección sransversal uniforme
de A em? tiene una cireunferencta media de 0.6 m, La bobina de excitación
es embovinada unliormemente alrededor del toroide y tiene 300 vueltas.

Encuentre el Eu en webera cuasdo la corrlente directa en la bobina
de exitacién es a) 1 amp. b) 2amp.y c) 4 amp. ¿Cuando la corriente se
uplica, el uso también se duplica? Explíquelo.

Encuentre el valor de la corriente directa que deberá circular on la
bobina de excitación, pars establecer en el torcide un flujo de (8; (10)
ober.

2 2.Eneueatre la corrie:se directa en amperes necesaria para estable-

El núcleo esta construido con hojas de acero laminado con un factor de
apilamiento de 0.95

Pron 22

2-3 ¿A que valor deberá ser incrementada la corriente en el problema
2-2 al un entrehierro de 0.1 em. es interoalado en el núoleo? Considere
‘nel entrahierro el efectomarginal, pero desprecie tos fiujos de dispersión.

2-4.£n la estructura magnétiea mostrada en lafigura que se acompaña,
la densidad de flujo en el sntrehlerro es 0.8 weber/mt. El núcleo esta
hecho de hojas de acero laminado con un factor da apilamiento de 0.9.
Encuentre la fmm, y la corriente de la bobina de excitación. Considere
en el entrehierzo el efecto marginal, pero desprecie las lujos de dispersión.

ent com dd a

Ela @ ©

68. 36 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

2 5. El núcleo magnitico mostrado en la figura que se acompaña está
hecha de laminacimes de acero para transtormadores fabricado por la
SS., El factor se apilamiento es 0.85, El flujo an el entrehicero fe ihe
weber. Calcular la fmm. y la corriente en ot embobinado de excita.

1. Desprecie los efectos marginales y de disversión.

re tn — 4

Er 3 5
AE]
ti
2000 tf
E = | a
ar E 2
Pa 5

(910) weber, 54 = (6110°%) weber, y 34 = (2) 110”)
weber, en las direcciones mostradas, Encuentro la corrignte an ody
Bobina, dando su magoltud y dirección.

E] le
Gb mm | | |

Bent o hdd

aim =] [I
(Him MozEh

u 2 aq U

2-1. En el problema 2-6, ai el flujo on los brazos 4 y 8 as (4) (10)
peer en dirección contraria a las manecillas del alo} y el flujo en az
brazo C es cero, encuentre la magnitud y dirección de las corrientes u lan
dos bobinas de excitación.

1

69. Excitación de Estructuras Fervomagnétions con C.D, 3?

1000 tweltas x por ambas bobi dan 6 amp. Determine +! rümero de
sueltas “e la bobina B. Desprecie los [lujos de dispersión. pero considere
los efecs95 marginales.

coed] T

2-8.E1 núcleo magnético de acero fundido mostrado en la figura tiene
una sección transversal uniforme de 8 cm. X 8 cm. Tiene dos bobinas de
excitación, una en el brazo À y la otra en el brazo B, La bobina À tiene
1000 vueltas y ctecula a través de ella una corriente de 0.5amp.en la
úirección mostrada. Determine la corriente que debo ofrcular en la bobina
3 en la dirección mostrada, cou objeto de que en ol brazo central se tenga
flujo nulo, La babina tiene 200 malas.

[ca] Ec]
4 fram SEL in a T
Ta = = zion © |
er
pro 29

2-10.20 la estructura magnética mostrada enla figura que se acompaña,
‘el material usado es acero laminado. Las dos ramas laterales son simétri-
cas. La sección transversal de la estructura deun valor de 5 cm. X Sem. es
uniforme, La fmm. de la bobinz es 2000 amp.-vueltas, y Ia longitud del
entrehierro es 0.2 em. Determine el flujo en el entrehierro, Desprecie
‘ujos de dispersión pero considere el efecto a en el entreblerro.

70. as CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

[LR

j
2 I

Pros 2410

3-11. En el núcleo magnético mostrado on latígura, calculo 1a corriente
cu amperes mecesaria para establecer un flujo de 7x 107 weh en al
brazo central B. Resvélvalo yor los métodos: a) de prucha 3 abc an
gráfico, usando curvas compuestas
Lorgitud medía de la travectoria; ba‘ea72em; bexi0om; hede=80om,
Longitud del entrohierro: 9.1 em.

Area de la sección transversal; dafe=40em*; bec60em*; bode n4em?

Nimero de vueltas de la bobina de
xcitación: jy + 1000 vueltas

Material = Acero para transtormadores de La USS
Desprecie log efectos marginales y de dispersión en el entrehlerro,

Fun zit

12. El núcleo magnético mostrado en la figura que sa acompaña usta
hecho de hojas de acero laminado con un factor de apilamiento de 0.9, La
bobisa de excitación tiens 200vacliasy circala através de alla una corniare
de 2 amp. Determine el flujo en el emrehierro. Desprecie los flujos de
dispersión, pero considere los efectos marginales en el entrehleren 1a
longiud media de la trayectoria mages en el acero es 80 tim y ie
lonyitue del entrehlerto es 0.1 cm. La sección transversal del nina qa

/

71. Excitación de Estructuras Forromagnéticas con C.D, 3

uniforme y es de Sem, X Som. Resuelva este problema por a) método de
prueba y error 5 b) mélodo gráfico y compare resultados.

2-18. El micleo magnético mostrado on la figura conglato de tres
secciones hechas respectivamente de acero fundido, hierro fundido y un
entrehlerro. Encuentre el ZLujo en el entrehlerro st los amp.-vueltas de ta
bobina de excitación son 800. El área de la sección transversal es unitor-
me de 8 cm. * 8 cm. La longitud media de las trayectorias magnéticas
son: en el hierro fundido, 40 cm, en el acero fundido, 50 cm. La longitud
del entrehlerro es 0.1 cm. Deaprecie los efectos marginales y de dispersión.
(Sugoraneta; Construya las curvas compuestas de flujo va. (mm. y reauélva-
lo por el mátodo gráfico),

Pe

ros. 215

72. capitulo 3

Excitacién de Estructuras Ferromagnéticas
con Corriente Alterna

Homos considerado hasta ahora, estructuras magnéticas (tanto lineales
como no lineales), conteniendo campos megnéticos que no varían con el
tempo, excepto cuando se están creando o son remoridas, Sin embargo,
los, campos magnéticos varían con el tempo cuando están relacionados con
muchos aparatos maméticos prácticos, tales como: transformadores,
motores, y generadores, En la mayarla de estos casos, dicha variación es
periódica, En ol caso de aparatos cuyos campos magnéticos no varían con
ol tiempo, nog Interesaremos primoramente en ladaterminación de la fuerza
magnotomotriz requerida para establecer una cierta densidad de flujo, 0
en la determinación da la densidad de flujo para una fuerza magnetomotriz
dada. En el caso de aparatos sujetos 2 campos magnéticos variables en.
‘eltiemnpo tienen que ser examinados algunos factores adicionales; Por ejomplo,
32 le estructura magoitica natä hecha de un material ferromagnétieo, es
necesario examinar la pérdida de energía en el núcioo debido al campo
magnótico y las formas de onda del flujo y de Ia corriente da excitación.

‘Supondromos, al no se aspecítica ctra cosa, quelos cainpos magnéticos
variables on el tempo por analizar, son periódicos y que la frecuencia
de las señales periédican usadas es suficientemente baja para no considerar
1a radiación do energía.

3-2. ley de F

y de Indección Electromegoótica

Analizaremos ahora, una ley básica necasaria para el entendimiento de
Joe aparatos que tienen campos magnéticos variables enel tiempo. Considere
la configuración de la tig. 3-1. Se muestran un conductor en forma de anillo
y algunas líneas de flujo o de inducción. Para simplifiear, Suponga que las
líneas de flujo, son debidas a un magneto © a una bobine portadora de co-
rriente, que no su œuestra en 1a figura, (Se verá más adelante que esta,
distinción entra Ja fuente de campo magnético y el conductor, no es necası-
ría). Como las iíseas de flujo se clerran sobre sf mismas y el conductor
eno forma de anillo, podgmos decir que las Mneas de flujo están enlazando
al conductor. Este concepto de enlaramientor de jo. es muy Útil, eape-
elalmente cuando el conductor tene más de una vuelta y por lo tanto enlaza
2 las líneas de (lujo tantas veces como vuellas tiene, En la fig, 3-1, el
némero de vueltas es 1 y el número de enlazamientos de flujo es Igual al
número de líneas de fio. Por otro lado, en la fig. 3-2, tenemos una bobina

nl

73. excitación de Estrscturas Fervomsenéticas con CA. a

(0.323 Lines de this mme una Bobine une,

con tres vueltas, el número de enlazamientos de finjo será tres veces el
comers de Macas de flujo.” En el sistema mks, el flujo está dado on webers
Jeledlabonam onto oenlazarstente de Aujo_estä, por consiguiente, expresado

en webers-roeltas,

‘En la primera parte del siglo XIX, elojentitico ingiés Michael Faraday,
sealisd experlmentos con conductores de slectricidad y magaetos. ObseryS
Jue una corriente eléctrica ae induce en una traycctoria conduetara cerrada
ado se mueve un magneto en la vecindaddel conductor, También observó
amo con otros cientificos, el llojo de una corriente cuando el conductor e
divido relatéramente al magneto, © cuando se cambia la intensidad del
campo mage “den ser sintetizadas enla siguente
Gehncite: Usa fuerza electromotrís (fem, para simplificar es inducida on
va medio cuando 59 cambia al
Y momo. Si etmedio es weconduclarde electricidad y forma wsa trayectoria
da, wa corviente fauye en él debibo a la fem. inducida, La magnited
ejem inducida es proporcional a la rapidez de cambio en sitiempo de
e demamientos del flujo. Esta definición es conocita como la lay de
Faraday de inducción eiectromagnética,

Otra ley conocida como ley de Lenz, nosayuda a determicar el sentido
o diveceibn de la tem. lnducida y de la corriente. El sentido de la fem
aia es tal que ocasiona el flujo de wa corriente en una Irayecioria

à pu gas naciona eine à eng ae zante ne e Lt, mas
ey EAM Ue ocr Pur am a Gt, lei pt ena
Lane Pr ee N rs Mas Compu,

74. 52 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

3-2 a a mundo un Dina 9 me

cerrada con una dirección (al que la corriente tiende a contrarrestar el
‘cambio de los entazamientos de fhÿo.Por ejemplo en la fig. 3-1, ai se ampone
que las leas de Cujo están dismimyendo, entonces la corriente Induclda
Circulará en la dirección de 124 mengoillas del reloj, de tal manora que al
flujo establecido por la corriente (por rogia de la mano derecha), tiendo 2
cancelar la dlgminución del flujo original. Las leyes de Faraday y de Lenz
Pueden combinerse y el resultado expresarse matemáticamente por la

ecuación

TOME en

donde ej es la fem. inducida, + es el flujo, Y es el número de vueltas del
conductor y 2 son los enlazamieutos dal flujo, En el sistema mks, à está
expresado en weber-wueltas, í en segundos y £ en volts. Por lo tanto, vo
weber-vueltas por segundo. El significado del signo negativo en Ja ecuación
3-1 es que ef es considerado como una elevación de vollaje fuente) y se
opone al voltaje aplicado en cada instants de tiempo. Si se elimina el signo
negative, se considerará que ol vollaje inducido es una caf de voltaje.=

La esuación 3-1 puedo ser escrita en la forma (suponiendo Nal para
simplificar)

owen 31 epa ce

os tas PUBS. a presanciaoausene dl no cepto en
1a mar econo iad Sie lens de referee para op vols.

f

75. Excicación de Estructuras Ferromaméticas cot SA s

bear -f Lou on
gel

(Ver 1a fig. 3-1 para comprender el siguiticado de tos simbolos sados).
e ón Si pueda también escrinirse en forma diferencial o
puntual como:
8

Rotacional E = =P or

Are Yoltaja Aplicado Paciódico, Volteie Indeciéo Y
étice Excitado por ana sole Fuente

En la fig 1-3 se muestra un núcleo cor una bobins de excitación. E
cha puede’ gor 0 no fecromagnético. Un role periótico vil (no

ano À

A hina ae sechs, Un cera:
ae sel # 00" alee en len, ae ae
de Le ae oe on in ote có. Boca
cena a as ca aun de sie
iene or def Leone on na de vale, nens

NE 69

+ pura va daran tds delas ecuacion 2 trai eto e cm
O IN
RA oo Com, 1990, Camilo 8 techn,

76. 98 pequeña comparada
ión 3-4 se puede escribir como

de
AS es

Supongamos que v(t) sea com lg. 3-4. Entonces vit) on
Blmétrica con respecto al efe del Mempo

0 se muestra on a

dy » frecuencia de u) es f ciclos por segundo y el período en 7
gundos

1,2
Fi 05

Jaconexión Inicíal ban expírado y que el sistema en
co del, fuentra, estable; Por consiguiente, tas weiss a voltaja
inducido a situ en Tespecto aleje daltiempo.

77. Excitación de Estevehuras Ferromamétices con Ca.

Ben La tig, 3-4. Za A at voltaje vi es
sers“ tiende a incrementarse, Por lo tanto dard es cero > también tiende
3 insremomtarse, La sesunda derivada de 2 es posiiva an 4. xt tiene
un minimo relativo en a. Por lo Canto, se observa que 40 tiene un máximo
relativo en 2. Como -/tles pertódica y estable, los valores miximo y mínimo
ane tay, Y Char Fespeetivamente,

Integrando ambos lados de la ecuación 3-7 de A à 4 y aplicando los
límites apropiados.

Consideremos 195 puntos

[avs

tea bajo medi co de w(t

Le Voraaalts = 1
Léon 1.)

Yoremaio
fu OE es
Hemant INFO as

En el sistema más, uff está expresado en volts y 9 en webers. Podemos
definir el factor de forma para configuraciones de ondas periédicas como

Factor de forma = Falorefcss_

tor de f ees, EU)
Los tactores de forma para algunas configurariones típicas de ondas están
dados en la tabla 3-1. Los factores de forma para otras configuraciones de
ondas periódicas pueden ser calculadas si se necesitan,

Tama 31

ae romeo | Term

Welw ANTE

an ELA MIEL ue
LE Vout 1)

De las ecuaciones 3-8 y 3-10 tenemos

ana = Alfactor de forma) a om

78. CONVERSION DE ENERGLA ELECTROMECAN ICA

8 no sennidsles, que = tienen configuración geomätri-
imple, es más fácil usar la souación

dm = 24h medio ciclo de st) qa

La cual se obtiene de la ecuación 3-8,
Para formas de onda sennidsles. ta
ecuación 11 queda

DEEE cas

Si iy est en volts y fenep.s, sem está en wabersi

Los resultados anteriores se aplicana materiales tanto magnéticos como
ño magnéticos, El (lujo establecido enunnúcleo depende de a forma de mag
mamis? y frecuencia del voltaje aplicada y del número de rualtos de ty
boblza de exellaciôn. Contrariamente al caso de estructuras magnätiene 7
Elticas con corriente directa, en donde 1 la naturaleza del materias ey
las dimensiones del núcico afectan el valor de ny. En la stguiemto sect
ión se mostrará que tanto la magnitud como La forma de onda de a corrio
{ de excitación dependerá de la naturaleza del núcico sal come da eng
dlmensiones.

ESEMPLO 3-1. Si el voltaje wt) on la fig, 3-3 es como se ve en la
SE Jus Caleute, por Tos dos métodos, la amplitud de la denaided de fae
Pra on el nücleo, El área de la sección transversal del nucleo es 10 un -
y el número de vueltas de la bobina de excitación es Jon

nae 300

79. Bxcitaciôn de Estructuros Ferromagnäticas con C.A. sr
Mélodo 1: Use la ecuación 3-11 y la Tabla 3-1, De la Tabla 3-1,

Fita = OSTEN = (0.578)(300) = IMA vola
Factor forma = 1.16
Frecomeis > 120cps
mero de vuelta = 300
CRUE TT
mu (DIO weber
Area =107/ m7
Bam = 108 webersin?

Método 2: Use la ecuación $-12

Área bajo medio ciclo de voltaje (DON (1/240)
os A 400

= (101079 weber
Bau 108 weber?

Este es el mismo resultado que el obtenido por el método 1.

Como la caída de voltajo on la roslstencia es desproctable, el voltaje
aplicado y el voltaje inducido son iguales en magnitnd y opuestos cada uno,
en cada instante de tiempo. La forma de onda del voltaje inducldo 93, por
consiguiente, la misma que la del voltaje aplicado. La forma de onda del
flujo se puede abtener por la integración gráfica de Wt), esto es, calculando
el área bajo la curva vf) a diferentes instantes de tiempo y dfbujando al
Area como una función de tiempo. Esta curva representa a #00.

19 de Excitación
tico con Fleje Sa

3-4 Forme de Onda de le Co
au on Sist

Se describirá ahora, un procedimiento gráfico para obtener 1a forma de
onda de In corriente de excitación. Sila cafda de voltaje en la resistencia.
Re Ag en la fig. 3-3, se considera despreciable y si Wl) so supone senoidal,
“e deduce de la ecuación 3-5 que el flujo 9/4) es también senvídal. Quedando.

MO Hunt y cl El (HM)
Considerando e(0 como una caída de voltae, Yau = Eau.

OU) = bam cos ur es

Bode le dis

donde seu. se obtione de la ecuación

80. ENERUIA ELECTROMECANICA

La fig. 3-8 muestta u y 3/5, pero no à el. También se muestra la
onda de flujo vs. i, para el núcleo. Eats se obliene de ¡a onda va. #
del material del nóctoo. al multiplicar la ordenada por el ároa de la
Sección sransversa! iv la abscisa por 2’, donde I ws la longitud media
de la wavsctoría misránica en el núcleo y N el nimero de vueltas de la
obina de excitación La forma de onda de ijt) puede ser obtenida añora.
Eráficamente.

Los puntos 1, 2, 9. ... son escogídos dela curvas vs. i, segin se
muestra en a fig. 3-5. Horizontal 7 verticalmente, se dibujan lineas de es-
tos puntos. Los valores de tiempo correspondientes a los valores del flujo
en estos puntos se nbtieren del eje tiempo de la curva 2(by se transfla-
ren al eje tiempo de Lit. Las valores de ¿fl correspondientes a estos
instantes de tiempo son leídos en el anillo de histéresis, en los puntos
1. 2, 3, ... Se dibuja entonces la curva i, ve, tiempo, Como el antilo de
histéresis es no lineal + tiene dos valores zara una misma abacisa, Ja
forma de onda de la corriente de excitación no es senoidal, aún cuando el

sd aaa]

Er eel Se

hanna

é

81. Excitación de Estructuras Fevromagnéticas con Cde ss

hoje es senoidal Más tarde será presomaca eneste capitulo, ina expresión
flo ee me corriente de excitación no senoidal en términos de la
Seria de Fourier.

ee talus anterior, a eafda de voltaje en ts resistencia de a Mola
de en Ense sapono paquña, lo cual amplifica la determinación de ¡es
as del valtae inducido y del iso. Ahora: pueden asus In
lentes casos: al #1 voltaje induc ai) es rentrant pequeño
Den con la caída de voltaje en a resistencia da la acuación Ich, ast,
que puede escribirse

He) = WOR + D EU]

D ambos términos del lado derecho dea ecuación 3-4 pueden ser Ex

caso a: Stel voltaje wit) se supone senakdal,
HD = Yau nt on

Entonces de la ecuación 3-18

IN = Ina st on
onde Mi
ur aR en

La forma de las ondas de ví) o iff) ea a misma. Abajo pe descritos
en proben para detereinas las deman de nda de 90 y ef) PTA un
micieo ferromagnético.

e, ST gon mostradas las curras v(D, itt y 9 mm lo Como ee
le 112,3, etc. non escogios enla curva 978 fy De esos
eo jan ness tacto vertical como porizostalment. Tos DS
pat me ‘canreqyendientes a estos puntos en la curva fa son savant
Get fe tiempo de la curva y tranafcidon al fe tempo de 1a curt of,
ge le de eres del Mojo à correspondientes 2 estos instants de
tempo, Por consiguiente at) puede ser traxada,

MO. e gpseevar que la forma de onda del flujo 9 oa mts o sones
plans on 1a parte superior, aim cunado Ta corriento de esta ee ee
plana on > Rovio, devido à Ta característica de histärante del material
forromagnéticn del núcleo.

La forma de onda del vollaje inducido as obtiene al trazas la derivada
arm emecto al Kenpo, à diferentes valores de éste, end
O amero de vueltas de la bovina de excitación; se podi otr.
ue esta cueva tiens forma de pico.

aso br Cuando ambos términos del ado derecho de la ecuación 3-2,
gon Sguticatvas y el núcleo está hecho de un material torromagrálic:
de las formas de onda de inet; y si, cuando ve Se
e Semadamente dic, porque 01 fami y forma de 1 nt

82. CONVERSION DE ENERULS ELECTROMECANICA

Formen e onde de EU ily OU). us oline

de flujo vo, corriente de excitación depende de (0 ei (bs, las cuales no
Pueden set determinadas independientemonte una de la at. Las formas dy
nde pueda ser obtenidas sôlo por prueba < error. Lo mejor que ar mese
wager a falta de observaciones experimenrates. es suponer las forms de
Quda de ih y 8. usando como guta los resultados de tos das canas
Extremos, aualizades con anterioridad. Parece tazonable Sxponer see
Guando Wil) es senoidal, no serán senoidales (s(t). eve Is, Los forros
de onda de en € 1-04 deberan de ser tales que ws distorsicnes Renan

3-5 Energia Almacenado en
por exo Sola Farate

23 un de lox postulados Dai

dela En
0s uso por mueti ramas de la ctenctac mentors para explicar ruca
/

La les de la Congarvai

83. Excitacin de Estructuras Ferromagnéticas con CA.

Fig 1-8 Forma. onde mater aL) Y EL stan 94) manon y 00100 don
casa AO AR, +)

fenómenos observados. Este postulado juegaun importante papeten el estudio
de sistemas alectromagnéticos y alectromecánicos.

Evidonciay experimentales muestran que para crear un campo magnético,
tiene que emplearse energía en una u otra forma. Esta energía es almas
cerada por sl campo magnético y la totalidad o parte de ella, ea regresada
a su fuente inicial o convertida en otras formas files, cuando se cambla 0
destraye el campo magnético. Lo anterior es efectivo también para los.
‘campos eléctricos.

Considere el sistema mostrado en la fig. 3-3. Se harán las siguientes
supostctone

1.- El espesor del núcleo es relativamente pequeño comparado con sus
demás dimensiones, de modo que la densidad de fujo es uniforme a través
de la sección transversal del nücleo; en al cálculo, se puede usar la
longitud de la circuoterencia media en substilución de la longitud de la
trayectoría magnética.

2.- Aunque la realsloncia de la boblna deoreitación es efectivamente
distribulda à 10 largo de la bobina, se representará como un parámetro
concentrado por la R axterna y se supondrá que la bobina en af a0 tiene
resistencia.

3.- El flujo establecido por la corrieme «Y confinado a la sección
transversal del núcleo,

84. DE ENERGIA ELECTROMECANICA

.. que la bobina de excitación está conectada una
fuente de energía eléctrica {por ejemplo una bateria) y se incrementa !2
corriente ¿;: data establecs un "lujo. Una fem. 99 insuce en ia botana
durante +1 "período de cambio de “Iwo y Ja magic de esta fem. es, de
acuerdo coa la les de Paradas,

020

donde * = Ns ea el valor instantäneo de los enlazamientos de (lujo asocta-

do con la bobina en euslquier instance de tiempo, En vista de la supostión

3. el flujo enlaza todas las Y vueltas de la bobina pudiéndose escribir la
n 3-20 como

de
a

aa

Ss la corriente correspondiente al flujo > 68 is, la energía eléctrica
suministrada por la fuente de la bobina en un tiempo de (excluyendo la
péralda Óhmsca en la resistencia arteraa Ri es

MA o [>
Sustituyendo la ecuación 3-21 en la 3-22, obtenemos

dW = Nigdé = isdn = Fdo 62»

donde di = No es el cambio en el número de enlazamientos de flujo en
un tiempo dé y F = Ms es la fmm. correspondiente a la corriente 4.
Supongamos que el núcleo tiene flujo y corriente cero inicial, la cual, ai
es incrementada a un valor /a, setendrä que la energía total suministrada
al nüeleo por la fuente, está dada por

we [Cuan fra 0m

donde =, ys, son respectiramente, el flujo y los erlaramtentos de flujo,
correspondientes a le corriente 4,

La ecuación 3-24 muestra que cuando se incremental campo magnético
asociado con un núcleo, la energía fluye de la fuente al campo. Así pues
esta enecgla es almacenada por el campo magnérico tanto tiempo como el
campo se mantenga al mismo valor, en este caso à 2. Por esta razon,
dicha energía se llama energía almacenada y es recuentemame representada.
por 4, 0 W,

85. Escuación de Estructuras Ferromagnétsss con Gude m
me [rune [ra e

La ecuacié 3-25 so representa gráficamente en a ig, 3-9 por al área
centro la curva de fijo vs. man, Yel e de Mos (8 zona somimenta NTI
ee) La curva está cibujada ierementando los Valores de corriente

partiendo da cero. La zona sombrenda horizcatalmeste an Ia ig, 3-9 68
Tramada coenergía y está dada por la expresión

Cosnergía no t
en el cálculo de

le un significado lísico, pero se ha encontrado de wtilldad:
esas en aparatos electromagneticos

ver ox Ment ie el Conse ox Cart ol Proc te

anus ni.

86. » CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Con frecuencia se expresa la

ergfa almacenada y la coenergfa en
términos de la densidad de flujo B yde la fuerza magneltzärt

$. Tenemos

Fojo @ = 8-4
de = Ada
FH
dF = fd

Cuando : varía de 0 a 5, B variade Oa By Sustituyendo de enla

ecuación 3-25, obtenemos

- [uvas [as em

puesto que A es el volumen del nieleo. La energía almacenada por unidad
de volumen es Mamada densidad de energía. Para la densidad de energí

tenemos
wee [nas 62

igualmente, haciendo las sustituciones apropladas en la ecuaclôn 3-26
obtenemos para la coenersia

nav [san 629

y para la densidad de coenergía
wi [nae 630

La suma de la energía almacenada y de la coonorgía en el núcleo, es of
Area del rectangulo F, +, de allg 3-3

Si una estructura magnética conste de un número de ramas en sorte
y/o on paralelo, las ocuactones 1-27 y 3-29 pueden ser usadas para calen-
lar la energfa 6 coenorgfa en cada parte de la estructura donde la Sección
transveroal es uniforme y el total de org, o Coenergía, puede ser obte-
mida como su suma, En otras palabras.

Encegía total mass = Dr [MdB 630

Cenas = Su faa van

El nümero total de secciones ag representado por n

87. Excitación de Estructuras Ferromagnéticas con Ci. 2

conn Expocial: Le curva B ve. H del nöch os lines, Los rames
dot eres pueden simplficarsn más sl la curva B vs. i (0 ¢ 18.5)
o Os res en este caso, la energfa almacenada 7:2 comer,
dl cales. La ecuaciones 3-25 y 3-26 pueden ser representadas Por
fa siguiente ecuación.

Wee Fibs Ret PF 139

1
1

dense R y P aon la reluctancia 7 la permeancia del näeleo, respectivar
mente,

"vamente las eouclones 3-28 y 3-30 pueden ser rapresentadas poz
la ecuación

6%

donde: à es Ta constants de permeabilidad del material magnético Mets
tends ción 1-33 puede también expresarso en términos de la inductancia
de 1a bobina de excitación.

o uctancia es un parfmetro pasivo de an cirouito eléctrico, el
cant es una medida, de los efectos del campo magnético asociado con ts.
parte det circuit, debido al flujo de una corriente
eek orten, En la fig 3-3 la Dobina de excitación es el clresito eiSemieh

Si el material magnético del wücieo ee Lineal,
rojo rusenilico asociados con la bobina de excitación pueden sar vids
Dn e emponentes A; 7 Au donde à, representa los enlazamientos de
dan à la carriente circulante en la propia bobina do excitación y
AE cpresenta a os enlazansientos de flujo debidos alas corrientes ce
en us circuit adyacentes. Los enlazamientos de £ujo son divas.
e proporcionales a las corrienten. Envel presents anflisis, 12 Dobla
aviones nada de los demás circultoseléctricoS y consecuentemente
sete gere. La iniuctaneta propia L de la boba de excitación es de,
e tazamjentos de flujo), establecttos por unidad de corziente

A 635

En el atstema mks nacionalizado, 1. está expeesadaen benrys. Un Raney de
ae elta por ampere 0 volt-segundo por ampers. La ecuación 3-20
puede escribirse como.

636

3-3, tn para materiales
agro no a expo (ccm 2-10)
PT Sint tete weremeial de Bobo e en

88. vs DE ENERGIA

TROMECANICA

AdeınalStarcia propia puede ser expresada entérmicosde la permeancia del
aúcleo, s: el núcleo eu lineal,

Flo 6 + mm permeancia) = FP = (M)? (a:

Enlaramiento de Fo A = Mo = MP1,

Por consiguiente
Lave G38)

La ecuación 3-33 pasa a er

Fl umacenamieneo de energía en sistemas de excitación mdtigie meh
analizado en el siguiente capítulo.

3-6 Pérdida de Energia an los M

Cuando son disminuidos
fervomagnéticos, parte de la

3210 nto ge nr moi orem eden.

89. tación de Estructuras Ferromaznsticas con

de energía an núcleos sujetos 1 magnetizaciones y desmaynetizacionss cí-
teas por metio de excitasiones periódicas. Analizaremos primeramente la
pérdida de erarsía dedida à la histéresis.

Pérdidax de Itisidresin. Supongamos que el núcico terromamnética
mostrado en a (lg, 3-3 05 2xcitado por una Dobina alimentada de una fuente
de variación periódica de corriente y que la onda de histérests (curva 2
vs. Hi del material magnético os como se muestra en la (ig. 3-10. Suponga-
mos que la amplitud de la fuerza magnetizante varía entre + Huy, Y “Haye

la correspondiente variación de la densidad de flujo #8 de + Zur 2 Doy
Considerese un ciclo completo de magnetización a-0=0-4-0-/=a, Durante la.
parte ac del cielo, H se inerementa de 0 a #., y 3 se Incrementa de -B,
2 -BuDe la ecuación 3-28, la enorgfa abeorbida por el campo magrático
y almacunada durante esta parte del ciclo es

wer [na om

El signo positivo de W, se verifica fécilmente por el hecho de que Has
positive y que el límite superior de Integración es más grande que el
Interior. 3 eta energía oa dividic por el volmon del aúcteo Y, obtenamo
la densidad de energía M. que es representada por el área sombreada de
ES

‘Ahora bien, durante la porción cd del ciclo, H diamimye de + Huy
a Oy B disminuye de + Baz 2 8, Debido ala Matérenis, la dkmicución
tiene lugar a lo largo de una curva oferente de la que se tomó en cuenta
cuando se incrementó la densidad de flujo. La energía es segresada ala
fuente durante esta parte del ciclo porque

wen [ms om

ves negativa, El área sombreada en la fig. 3-41 (b) representa la densidad.
de ensrgía Correspondiente a esta porción,

Durante la parte df del ciclo, el micle es magnatizado on sentido opues-
to, y la energía es absorbida por el campo porque

arte va

es positiva. Observe que el límite superior #8 menor que el límite inferior
y Hes negativo. El área sombreada en la fig. 3-11 ic) representa a la.
‘densidad de energía para esta porción.

Finalmente, durante el segmento fa del ciclo, se regresa la energía
a la fuente porque

wer" na \ 0

90. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

es negativo. Para esta Última parte, la densidad de energía 1a representa
el área sombreada en la tig. 3-11 (0). La energía neta absorbida por el
campo magnético durante un ciclo completo de magnetización es

Win Wit War War 7 a
= Mn me) 049
= Vies dl alo de stos) SS) (340)

donde S, y Sa son los factores de escala. Por ejemplo, allas líneas del
papel gráfico usado son acotadas en centímetros, entonces en la gráfica Sy
es el número de ampere-vueltas por metro por centímetro y 3, es el númoro
de webers por metro cuadrado por centímetro. El área es medida en
centímetros cuadrados y la energía es expresada en joules o en watt-
segundos. La ecuación 3-36 os válida también enotros sistemas de unidades.
Se deberän usar factores de escala apropiados.

91. + magnéticas son €.

La energia # ao se rogresa à la fuezte. sinn que 2 disfpada en el
maternal ferromarrétien en forma de calor. Tomo esta pérdida de energía
Ta a de zacterística de Mistóresis ‚a material, se llama pérdida
Jb pistérosis # El término w_ representa = ta pérdida de histéresis por
helo por unidad ce volumen del material masıätien.

eects, es coavenvente hablar de pérdida de energía por segundo
en un aicleo, Si el número de ciclos de magne'zación completa por seguro
ray D es la frecuencia de la señal de excwaclbo periódica), entonces 1a
sedida en un segundo debido a la histéresis 23 dada 20°

a» fi pan

por ansiad de volumen del núcleo. La ecuación 3-47 es independiente de 12
Pme de onda de ia fuente de excitación, ode la forma de onda del ajo
ne Depende solamente de la amplitud de la densidad de flujo, a Zr”
encia de la fuente y la naturaleza del material magnético. En este ande
amos suponiendo que no hay anilics menores dentro del anillo
Arineipal de bistéresis, En el caso de que ¿aya algunos anillos menores,
de neegía. pérdida se calcula sumando las ireas de los anillos pequeños
ai área del anillo principal de histéreals.

“Eevmuia de Steinmetz para pérdidas de ustéresis. $i bien el método
más aproximado de eälculo detaspérdidas de histéresis en un material
Pleromagnéticn es usando la ecuación 3-46, para esto propósito, «8 120
a usar una trmula empirica propuesta por C.P. Steinmetz en 1952
De acuerdo a esta fórmula, deduclda por Steinmetz de un gran número de
raciones y mediciones experimentales, la pérdida de energía debida.
à la histéresis vn un material magnético está dada por

me = 18. 648

por unidad de volumen por ciclo, donde n llamado coefíctente de Steinzeit?
Do una constante cuyo valor depende del material y del sistema de unidades
Mao, y m. (lsmada exponente de Steinmetz. umlalnsentn se supone CON Ya
valor de 1.6.

LA eouacién 3-48 Hana que ser usada con precaución porque, aún pars
el mismo material, los mismos valores de n yde 7 no promorciónas
Cosultados aproximados si la densidad de flujo varia en un amplio Tango,
Varas que son correctos para pequeñas densidadesde lujo pueden no 36500
para las grandes. Además el valor de n= 1.8 propuesto originalmente Par
Rime no es satisfacterio para muchas de las muevas aleaciones de
tro que han entrado en uso en 105 años cecientes y que no existían en
oca. La fórmula, sin embargo, es todavia may dll en aplicaciones
fonds ja párdida de histéresis es conocida 3 una cierta densidad de flujo

+ ces nme e
EN Came ares ms ercomagrdics ais
sp pin er ai se Parois
RSR pe Stace ca ete ep

92. un ÉASGN DE EXERGIA ELEC TROMECANICA
Bow 1, Se fequlere calcular 12 pérdida a otra valor de 2. en el mismo
pie? dulzás en otra frecuencia. Una ventaja Importante de vale tino
25 que es Independionte de la forma de onda,

Si Joe ja frsciencia de magnetizaeiin en cíclos por segundo, entonces
de las ecuaciones 3-47 y 3-48

Pérdida de potencia debido al tons pa = n/(Bau)” (40)

esti de volumen. St Y oselvolumen del núcleo de material magnético,
la pérdida total on el aicleo debida a a histäresis as dada paa

om

Forma Modificada de la Fórmula de Steinmetz para Casos Especiatos
Casa 1: Es conveniente expresar la pérdida de histärests on términos
del voltaje inducido en la bobina de excitación. El voltaje inducido Zu er dass
por

En corto NA Ba

del cual obtenemos

£
Boa = Eta 351
Ama en
onde A es el érea do la sección transversal del nieleoy N es ei amero
de queltas do 1e bobina de excitación. Suatinuyendo la estación Sree
3-60.

7 Em). es

donde

‘aE as

Fi {actor de forma depende de 12 (orma de onda dol voltaje yla ecuación
3-52 no es independiente de dicha forma de onda.

éso 2: La variación de P, cuando la frecuencia varía y la densidad
Pale, ss mantiene constante. En Ia ecuación 3-30, si Bus es contrario
Fes variable,

many 654)

donde
Bas 053)

Ta ecuación 9-58 es bependiente de la forma de onda del jo

93. Exciación de Estructuras Persomagnétions son €. a
Párdidar por Corrientes Parónime en Núclcas Ferenmogn dticas.
Considereso el núcleo ferromagnético mostrado en la tig. 3-3, Además de
oscar una alta permeabllidad, los materiales fertomagaéticos aon tambien
Conductares de electricidad, aunque su conductividad sea pequeña comparada.
‘con la del cobre. Siel campo magnálico establecido en un micleo ferromagné=
tico varía con el tiempo, se induce un voltaje en el nicleo, ocasionando en
éste una circulación de corriente. El núcleo tiene una resistenala finta,
por lo tanto se disipa enorgía dobidoa pérdidas óhmicas. Por razonea que
más tarde se aclararán en esta secelôn. estas corrientes inducidas son
Hamadas corrientes parásitas. No se debe conunfir estas corrientes
con la que cireula en el embobinado de axcitación ni tampoco confundir la
pérdida Shmica en el núcleo con la que se tiene en el embodinado, Ahora
Se obtendrá una expresión para la pérdida por corrientes pardaitas,
Una sección transversal aumentada delmücleo de lafig. 1-3 es mostrada
en la fig. 3-32. Aún cuando la sección transversal mostrada es rectangular,
la expresión por obtener será válida también para otras formas de secciones
transversales.
Se supone que la sección transversal está an el plano £-7, y el oje del
‘hyo à lo largo de la dirección Z. Si en un clarto instante el flujo. 640)
está en la dirección -Z y se ostä incrementando. según se muestra, las
corrientes inducidas serán en dirección contraria a las manecillas del
reloj, de suerte que los flujos establecidos por las corrientes inducidas,
(por ‘la regla de la mano derecha), se opondrán al camblo en el flujo y
tenderán a contrarrestar sucambio. Como las corrientes inducidas forman
anillos semejando un remoliao, son llamadas corrientes parásilas 0 de re
molino. Realmente bay un número intinito de anillos de corriente cubriendo
‘completamente la sección transversal del nficleo,

D Flu route
© rive rte

A A

94. e CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Efecto de las Corrientes Pardsilas on la Distribución del Flujo (Efecto
Superficial). Como se entablectó con anterioridad, la dirección de las co-
rrientes parásitas os tal que ge opone al cambio del flujo en el núcleo.
Pero la variación del flujo con el tiempo, se determina por ol voitaje ex-
terno aplicado a la bobina de excitación Las corrientes paräaltas, por
consigutente, no puedan prevenir camblos de flujo en al núcleo; pero en el
proceso ocastonado al tratar de hacerlo, forzan las Ifseas de flujo hacia
las orillas de la sección transversal, El efecto de esto ferómeno eS hacer
que la distribución del flujo en la sección transversal no sea uniforme. La
Amplitua de la densidad de flujo Ba, 00 tiene sf mismo valor en todos las
puntos de la secotin transversal; 8 mínima en el centro y máxima en las
Oritias, El área de la sección transversal noes utilizada completamente por
el Nufo, en vista de que las líneas enden a concentrarse muy cerca de ia
superficie exterior del núcleo. Por esta razón, la oposición de las corrian-
tes parásitas al flujo, es Llamado efecto muperticial magnético. Este efecto
‘es muy notable a altas frecuencias,

Zl cálculo de las pérdidas por corrientes parásitas, tomando en cuenta
el efecto duperticial, es diffeil, Afortunadamente, sin embargo, el efecto
superfictal puede ser despreciado en muchos aparatos prácticos electro
magnéticos y olectromecánicos, porque los núcleos de estos aparaton están
generalmente hechos de láminas aisladas unas de otras y aplicadas, de tal
manera que confinan las corrientes parásitas a laminaciones Individuales
y asf de este moto minimizan lanpérdidasdebicas a ellas, La colocación
de las láminas se nmestran en la fig. 3-13, Como el espesor de cada lámina
0 muy pequeño comparado con las otras dimensiones, puede suponerse que
la amplitud de la densidad deflujo Bou es la misma a través de la sección
transversal de cada lámina.

Cálculo de las Périidas debidas alas Corrientes Parásitos Despreciando

el Efecto Superficial, Una vista amplificada de una lámina es mostrada en
Ja fig. 3-14. El sistema de coordenadas mostrado es el mismo representa:
do en la fig. 3-12 y 3-19. Las dimensiones de la lámina son h, Ly w. Se
supondrá que À y L son varias veces más grandes que w, espesor de la
lámina. De ahf que el flujo es uniformemente distribuido en zu sección
transversal.
Consideresa wna tira delgada en forma de un anillo rectangular dentro de
la sección transversal de la lámina, Fagaso que el anillo esté colocado
aimétricamente con respecto al ejo X y que los lados mayores están a una.
Alstaneia x del eje Y EL espesor de la tira as de, Este anillo leva una.
corriente 4,6) y encterra un flujo 4,(0, Este flujo ea distribuido sobre
un área de 2x h entonces

A] 56)

De acuerdo con 1a ley de Faraday de indicetén electromagnética, al voltaje
inducido en el anillo (el cual puede ser considerado como una bobina de
Na 1) es dado por

E
2 et) O a +
10) $ an

? de

95. Excitación de Estructuras Ferromaméticas con C.A, es

A nina.

96. 7 CONVERSION DE EXERCIA ELECTRONECANICA

SU resieiestaddol material ferromagnéticos pa reslatenelace:anitto as

Rah us

dende, 1 85 la circunferencia del anillo de corrtente y a, es et área dela
Leg pere, medida perpendioutarmente a là dirección del Moje
de corriente, Notese que

Loaded como hie x as
“ik 60)

Sustituyendo las ecuaciones 3-59 y 3-60 en la ecuación 3-58, obtenomos

De sy

La péréida de potencia instantänen en el anillo (pératda öhmten) en

dun = E

as

ye ge A. de la ccuación 3-61 e integrando de 0 4 0/2,

ana dmbida a las corrientes parásitas por unidad de volumen dal ue
Heo es, For consiguiente, (eliminando al subindiee 1, que
e refiere a una sola lámina),

vo lay as)

nes men 95 IL expresar esta pärdita do potencia (pérada por
sa anios) In sl núcleo, en términos del voltaje indie weer
embobinado de excitación por el propío Mojo variable en el tonto it

97. Excitación de Estructuras Perromagnéticas con Cad. 85

Si el área de la sección transversal del núcleo (tomando an cuenta el
factor de aptlamiento), es A y el número de vuellas del embobinado de
excitación está dado por

PTE]
ayant na es
del eval
æ 1
2-00 69

Sustituyendo la ecuación 3-88 en la ecuación 3-64, La pérdida de potencia
instantánea es

wien en

MO ayo

Si se supone que el voltaje y el flujo son funcionen periódicas del tiempo,
la pérdida de potencia promedio debida a las corrientes paräsitas puede sor
calculada al Integrar, por ambos lados, 1a ecuación 3-87 sobre un efclo
completo y dividiendo por el período del ofelo. SI T es el período en
segundos de 244) y 0(£, la pérdida de potencia promedio está dada par

mi EL p
Prlpromedi) = TNT T [iota ne 0

u

4 fer = ey

por definición. Las ecuaciones 3-68 y 3-89 son válidas en cualquier sistema
consistente de unidades, Por ejemplo, en al sistoma mku ractonatizado, al
w está on metros, p en olm-metros, A en metros cuadrados y E an volts,
Ja pérdida por corrientes parásitas estará en watts por metro cúbico. La
ecuación 3-68 es independiente de la forma de onda y de la frecuencia,

Casos Especiales de la Ecuación 3-68,
Caso 1: El voltaje inducido en el embobipado de excitación y el flujo
en el núcleo son funciones senoldales de tiempo, es decir,

Zr

En = SAME. «2 gras N 620

98. si CONVERSION DE 8!

'ERCIA BLECTROMECANICA

Sustirasendo 1a acuación 3-70 an la 3-68

sa

mo

por wnidar 18 volumen,

Caso 2: La densidadde flujo Bay, es constante y la frecuencia j variable.
De la ecuación 3-11, Ey = 4 factor de forma) N/AB au: SÍ Bay Permanece
constante y / varía, entonges

eL eR»
donde
Ki = NAB, am

Sustitusendo la ecuación 3-72 en la 3-68

PA promediod = KıRıf? = Ks?

por unidad de volumen, donde

Ki ary

Nota, Cuando la scuación 3-74 es usada a diferentes frecuencias, la forma
de onda deberá ser la misma, puesto que ta constants" involuers al factor
de forma.

Pérdidas en el nücloo. EI total de pérdidas de potencía on un núcleo
es In suma de las pérdidia debidas a Ia histéresis y a las corrientes
parásitas, Son Mamadas pérdidas en el núcleo, pérdidas en el hierro o
Pérdidas de excilación y son designadas por P., donde

PoR a0

Esto ecuación dä 1a totalidad de las pérdidas en el núcloo. Podemos también
expresar las pérdidas en el núcleo por unidad de volumen, como

pomo em

Ahora ilustraremos el uso de algunas de tas férmulas demostradas en Las
páginas anteriores por medio de un ejemplo. Otras aplicaciones de estas
y otras fórmulas se encontrarán en los problemas localizados al final del
capítuto.

EJEMPLO 3-2, Considere elnicleo mostrado en la fig, 3-3. La longitud
media de la teavector:ay magnética es SOcm.y ol área efectiva de la sección
transversal del nücleo da 10cm*. Elsúmerode vueltas de la bobina de exci-
tación es 300. Cuando un voltaje senoidal de 200 voits (eficaz), aura fre-

99. premación de Estructuras Ferromasnéticas con Cs À. ar

concis de 60 eus. tetelos zor securda). aa aplica à la bobia de explo
e esten que cas pördicas por hastäranis son 40 watts y las pére
aioe entes pardaıtas 20 atte. Se suponeque el exporente Stone
da Por material maenérco, permanees constante a un valor de LE Du
anne ES péedidas por histéresis y por corrientes parásilas cuando un
en neular or mostrado on la fig, 3-5 es aplicado ada Bobi de
coal Gn guponga desprecia 1a caída de voltaje en a resistencia de it
hahina de excitación

ne Saponsamos que ei subíndice 1 se relere al voltaje senoidal
y aos Memes 7 el subíndico 2 al voltaje triangular,
Fan con aus correspondientes valores. Do la ecuación 9-13, la densidad
Ge flujo correspondiente a Ve, = 200 volts, ES

200

A <A
OS

- 248 ueders/m

La densidad de flujo debida al voltaje triangular fué calculada en el ejem-
plo 3-1. Correspondiendo a Y, = 113.4 volts,

Bau, = 1.04 weberson?

si P. 05 1a pérlda de histéresis correspontiant a Ban, Y Pyle 000189"
pondidnee à Bry, entonces de la ecuación 3-50, obtenemos

A a m

$ P, es la pérolda por corrientes parásita correspondiente 2 les Y
nicorrespondiente & Yı,, de la acuación 3-68 obtendremos

mme

nf

Becto de las Corrientes Perésitas on el Ale de Histéresis, SEXE
en Et os Gaon de las corrienes parástas an el anllo de bate,
ramos hors teria ferrowagnéties. Se mostró con anterioridad. sr aña
e el area que encorca ol anio de nntresis eS una mA
Garden debao à 1a Mstéresis durante un ciclo completo de
ae ener "dl material Hato será verdad ablo st la magnet ose
magnet ucida por medio de corriente direct combinando su magmas
Celica egin ges necesarto), 0 por corriente altersa a muy Walk fee
Emi Mlle de histbresia ast obtenido es conocido como el ardid
re. ico de histeresie, De otra manera, el material magnésics ee
a dot ena corriente alterna conunafrecuenspamayor de unos quate
ado por cundo, emonces las corrientes paräststas inaucidas en ol
hücleo afectarán al auillo de hlatöresis,

100. se CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

(ego derene el ano estático de histéresis del material ‘erromagnético
Parade en la fe. 3-15. Por conventeneia, el anillofitio ve, een.
Cap mazado en lugar set anillo B-H. La corriente requerida para omo
Bernie rio Flujo es denendiente de la magnitud del flujo 7 del pang
Bavirico del náciso. Por ejemplo, la corriente requerida vara anna
un flujo 2 es i..6 6. dependiendo de la part

e filo Sa 28 da 6 in. Suponga que la excitación en tas
Sea Suriente directa es variabló on el tiempo, Suponga que 1a Iremos
ey uciente para inducir una canticad signfteativa de corrientes partons
de Taye et tendencia delas corrientesparisitas es oponerse a] mu
Some. En ol degmeno Ja à 6 del anlilo de bstéreata el lana
anne con el tempo y las corrientes partsltaa tendon à Voces
deuecer. Por consiguiente, con objeto de mantener unflujo 2. I coria
perde será ahora más grande que en el caso del all eaten ns
faerie Sorrento sa days da -Esta corriente aolonl es abtatecias pur it
An A 2, Sal era coneiada la Bobina de excitación Salas mosto eas
Inevewent agi parte ascendente del anillo, La corriente requete re
Incrementa de iy, a ing 6,7 ast sucestramente,

PASTE. Ann de Dis cos y tdo ds mear romanas,

101. Escitación de Estructuras Ferromagniticas con C. A. æ

Considerese ahora el segmento descendiente c d e f del anlllo da
histörenia. Decrece el flujo con el Htempo x por tanto, lan corctentes pará»
sitas tlenden 3 oponerse a que suceda, Para contrarrestar el efecto aditivo
de lan corrtentes parásitas en la dismimeiôn del flujo, la excitación neta
“suminatrada por la (uente decrece, por consiguiente, la corriente requerida
para mantener un flujo 4; en la parte descendiente del antllo es reducida de
iy, à de, “hs, y ant sucosivamente, El anillo así obtenido es mostrado en
reas punteadis on la fig. 3-15, Este anillogs Llamaco antlio de ca 0 dind-
mico (frecuentemente trazado usando 3 y H como ordenadas), tentendo en
ea mayor que la correpondiente al anillo estático. Mientras el anillo
estático representa las pérdidas de históresis por ciclo por unidad de
volumen, el anillo dinámico representa a las párdidas en el núcleo por elclo
por unidad de volumen. (esto último supone que los anfilos son trazados en
51 plano BA). EL tamafio del anillo dinámicode histéresta será afectado por
la frecuencia de magnetizacién puesto que las corrientes paräsitas son
funciones de la frecuencia.

ítica de le Cerri
dal

En la sección 3-4 se mostró que La forma de onda de la corriente de
excitación is( oo en sonoidal cuando -W es senoidal y ei nicleo en
ferromagnético, excepto cuando el voltaje inducido es conslderablemente
pequeño, En el caso de que In caída de voltaje en la resistencia da la
bobina da excitación sea despreciable y el voltaje vit) sencidal, las ex-
presiones para wi, eft) y 20 son las dadas por las ecuaciones 3-14 y
3-15, respectivamente. Las formas de onda dev) y de e/t), son laa mostra-
das en la fig. 3-6. La corriente de excitación ¿4/1 12 cual eano senoidal,

2:10 Forma de on coin de omtentèn ft,

102. ” CONVERSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

es también la mostrada en la fig. 3-6. Para ‘Sell reforencta ge ha vuelto
a represontar en la fig. 3-16. El procedimiento para la determinación de
1a forma de onda de Ib de la relación flujo 73. corriente, fué descrtta en
la sección 3-4. Laformade onda de f(t tiene las siguientes características.
a) A causa de la simetría delanillo de histéresis (anillo flujo vs. corriente),
con respecto 2 los eses coordenados y de La simotría de la forma de onda
del voltaje aplicado con respecto al eje tiempo, La forma do onda ¿¿(8 es,
también stmétrica con respecto al eje de tiempo, por ejemplo, el medio
ciclo positive y el medio ciclo negativo son semejantes y de igual área.
) Además la forma de onda aatistace la condición

1 = (+?) om

donde T ex el período, Esta es la condición de almetría establecida en el
apéndice C. 0) La función it) no es impar nl par, yde £(0 natisface las
condiciones de Dirichlet (ver apöndice C)

La forma de onda puede, por consigutente, expresarse como una sente
de Fourier. En vista de las características mencionadas, la roprosanta=
ción de la serle de Fourler de (¿(1) contlene solo harménteas imparos. El
término constante es suprimido, ostando presentes Anicamente los téemiros
senos y cosenos. Podemos por conaiguierte escribir

y DE + Fran CO8 30 + «+
+ an Eat + D Dot + ce (79)

donde w = 2/7. La función ig(t) puede también ser expresada en los valo-
res effeaces de aus componentes.

alt) = VE 608 Wt + ly 608 dut + +

+ la matt lo dor] GO)

La potencia instantanea suministrada por la fuente a la bobina de excita-
ción esta dada por.

PO O om

Sustituyendo en la ecvación anterior los valores de u(t) g(t de las
ecuaciones 3-14 y 3-70, obtenemos

PU) Pe Ugg 208 9 + a cos Ds
lo gg noi + D, gen doter + 0d 032)

* paca un breve ass an Is series de Fourier, ver Apindiee €

103. Excitación de Estructuras Ferromagnäticas con C. A a

La potencia promedio está dada por

4 ros

7
U [wenn at
pana s

sh e

Br

ados 108 demás productos no contrituyan en nada a la integral SES
Tae o ln sen wt de a corriente de excitación af conivayo à
e promo, En otras palabra, la Gnicn components que PR
e Tapnlenea promedio, es aquella componente de la corriente 4 cito
aye ae en fase von el voltaje aplicado y tiene la misma fem
e cate ankeis la resistencia de a bobina de excitación de Mr
mecs, ta potencia promedio avtregada a la bobina de excitación 62
Aisipada en el miamo nücieo, En otras palabras

Pértida en el nicloo Pe = Vat lie Gt

Por esta razón, el término Vin, sen ut enla ocuacton 3-80 en Namido
Perso de lan pérdidas on el cle de La cortiente de excitación, Los
component antos en esta ecuación establecen el ujo Y por consiguen
a la componente, de magpetización de la corriente de excilcón
e eente de pérdidas on el mcleo es reprosentado por A y IE OR
es magaetizacion por (0. Tenemos por 10 tato las Silent rela
clones

140 = fa) de) 045
donde
al) = Va OEE lay Gode en + da ot +
us
140 = Vb want om

Si el miclen fuese lineal, no habría ninguna distorstoa en i= Qt. 12
conca de pérdidaa en ol núcleo sería cero. Para un micieo lines!

¿alo = VE y meer

140 = 0 GH

En muchas aplicaciones prácticas, algunas veces se pueden despreciar
tas Marmónicas de orden elevado de la corriente de excitación ala manos-
‘abo de mi aproximación. SI esto se hace, ontoncesy

e) = Ving coset y O Va 6

104. |» DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Estas componentes fundamentales pueden ser
complejo como se muestra en la fg. 3-17.

Anpresuntchen complete

Pg 3:17 taprsamaciôn compi de a

El coeficiente La; de la ecuación 3-49 es negativo porque «ty
com ot y la corriente de maguetización 4, (1) ostá en fase con oft) con ne
pecto al tiempo. Esto explica porque los vectores representativos de #0) y
1.0 están mostrados atrás del voltaje por 90%,

St lan harmónicas de orden elevado en € . (1) no son despreciables exton-
ces In representación vectorial mo es válida. Sin ombargo, pueden usarse
vectores 31 I, de Ja fig. 3-11, se representa como sl valor eficaz de la
corriente de mágmatización no senoidal.

hae PEA 3-90)

Bat ee +

y se supone que 1s corrioate de magretización no senoial es reemplazada
jor la corriente senoldal equivalente, cuyo valor elicaz es dado por 28 eue
Sión 3.00. No es necesario puntualizar que la validez de esta representación
decrece conforme te incrementa la armónica def, 8

La dascomposición de a corriente de excltación ansus componentes de
magretzación y de pérdidas en el núcleo es ficticia y se realiza solamente
Jara facttar el andlisis. En realidad 3610 hay una corrigte en la bobinn
de excitación. Esta corrriente, 3,(0, no es senoidal y em atrasaca en el
tiempo, com respecto A la ondé Senoidal del voltaje. El ángulo do fane
(usando representación compleja), entre la corriente de excitación y el
voltae. aplicado, depende de las caractorístivas del material terromag-
ético, de las dimensiones del nácleo y de a frecuencia del vltaje aplicado
Como sl comportamiento dn sistema Cecromagntico en la fig 1-1 en
similar al comportamiente de ina red indvetva, el sistema magnético ex
frecventemonte mencionado como un rucctor con niclao de Merro

105. Excitación de Estructuras Ferromarndtices con G. A. 9

3.3 Circuito Equivalonte Aproximado de on Reecter

can Wachee de Hierro

La relación ente a corriant del nbobinado de exeiacin y A Vote
je avieao en la fig. 3-3 y 1a Mpottic dessompen cl de La coertente,
cerda un elrculto elóctrico que consiste, on un úcorabinación en
eel de un resisto y un Induear deal (in ra ‘ponectadas en una.
pare de voltaje. Tal cirnuito en mostrado en a Hg, 9-18

A Oran rie romaines mt mi

si el contenido de harmónicas dela corriente de excitación MUC Le
ig, 3-3 es suticientemente bajo para jstficás el "uso de complejos y sl
e deci del embobinado de excitación es desprecio, Ml
Pres razonable consideras el circuito d la fg. 9-18 Sita, equivalente al
leo de Merro do Ut fig. 3-3. ubongamon tun PAL e Hin
Da De ages”, so entiende que el circuito de LE St tone
e Por cies terminales de1abebina de excitación de 2 PE, 3-3,
{as miso sora, aol rescior dentileode Hierro es reemplannd a)
wn ata combiaclin an paralelo, del resistor e Andi Ue fig. 3-28,
inte uo se dará cuenta de la diferencia. EI civeia equivalente, sin
1a fu Son excopetin de algunos casos no representará Tat condiciones!
internas del aparato original.

106. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Si la resistencia dat emibemnado de excitación del reactor 20 es despre-
ciable, un resistor R, , igual a la resistencia electiva de) embobinado de
excitación puede ser Intarcalado en serie entre lafuente y la combinación en
paralelo de) resistor e inductor de la ‘ig. 3-18? El cireullo resultante es
mostrado en la Lig, 3-19,

Este es sólo un circulto equivalente aproximado, en virtud de que es un
circuito lineal con parámetros concentrados, eh el cual los elementos sin
pérdidas y con pérdidas son distintos y paraun voltaje aplicado senoidal, las
corrientes son también senoidales, De otra manera, el reactor es un dls
positivo no lineal, con características de saturación y de bistéragis, La
Sorriente de exostación como se mencionó con anterioridad, no es senoidal
aún cuando sl voltaje aplicadolo sea. Además, hay 5610 una corriente y como
tal no puede verificarse una diferencia en el reactor entre laa partes sin
pérdidas. Sin embargo, el valor eficaz de la corriente total en el circuito
equivalente es igual al valor eticaz de la corriente de excitación en ol

patents

de Hierro

Método 1. Este método puedo utilizarse st el reactor con núcleo de
hierro está disponible para hacer pruebas,

Determinación de R,. La resistencia Ohmica del embobinado de
excitación se determina primero por al método del vóltmetro y del ampär-
metro. Se usa para este propösito unafuente de bajo voltaje dec.d. ‚con dis-
úponlbllidad para variar la corvieate, Elooeiente del voltaja sobre la corriente
es la resistencia 6hméea dol embobinado. Se toman varias lecturas, y ae
calcula el valor promedio de la resistencia Shmica. La resistencia del en
uobinado de excitación, cuando una corriente alterna fluyo a través de 61,
será mayor que la resietencla óhmica debido al “efecto superficial”.

Efecto Superficial, La corriente alterna circulando en el embobinado
de excitación establece un {jo variable en el tiempo el cual, de acuerdo
con la Ley de Lem, tiende a oponerse al cambio de la corriente. Como la.
corriente en controlada por una fuente externa, el flujo indueldo en rea.
1409 no puede prevenir el cambio de corriente con el tiempo, pero al
tratar de hacerlo, forza a la corriente a circular cerca de la superficle del
conductor causando de asta modo una distribución no uniforme de corriente
en la sección transversal del conductor. El Area efectiva de la secotén
transversal utilizada por la corriente es entonces menor que el área dis-
ponible. Como la resistencia es toversamente proporcional al área de la
Sección transversal, la resistencia eticaz del embobinado de excitación a
las corrientes variables on el tiempo os más grandequela resistencia
Álmica. Este efecto es una función de la frecuencia. La presencia de un
‘material magoótico en la proximidad del conductor también incrementa este
‘efecto, A 80 c.p.s., ea usual tomar de 110 2 125 por ciento del valor de La
resistencia óhmica 6 de corriento directa, como valor de la reststencla
eficaz de corriente alterna.

t
I sonic de la cesleencis mumlende ed explicado en a ige sección

107. Exctación de Estructuras Ferromagnäticas con C. A 98

Regresando a la determinación de R. »

= Lite 125 Rea an

Deierminaciön deg, y »..Para este propbsitoseusa el eine ROC
ee 3220. se alice à 1a baba de excitación, tn NO senoidal
de Lo E y erecammelas conocidas. El voliale corriera y Prenant
An representóndolas como Vas 14, Y P Feapectivamens

A Sy ae

Como ta vesttenca A, ha sido determinada, se canoes entencet la
errs, Menta à reitet, de labia de rt GBP} 0
A SINT oe ee
Pr tn Ja cometa a Ylajeinucio dela babina de excitación
Soderaos encribir entonces

“vi P- HR.

de la cual g, puede calcularse.

1
gee Hip - BR 392
so ROP BRD oon

La componente de pérdidas en el cleo de In coriante de excitación está
dada por

hon Ys an

La componente de magnatizaciön de la corrionte de excitación 03 entonces

1 = VER ES)

=p y 19

108. VERSION DE ENERCL

en LECTROMECANICA

fia of ducto SRE Degariva do In ecuación 3-95 ea que In suaceptane
cía 08 inductiva,

cia es ttt 7 algunas veces necesario, conocer

seactor de núcleo de hierro antes de

Cuando un material ferromai
Stan ae ade Summa con la curva 8 - 4 del material. De otra mangas,
ad ae ala 3 una excilación periódica al lado de le relacio
ono, flujo, y de la fuerza de maguetízación os también care ne
Senmetinia variación de Las pércidas an el núcleo como ora hina ase
due, santa 7) frecuencia. Las relaciones son complicadas por el heat ne
cons o y donsiéad de uo, como la fuerza de magnetización ue
a dal Hmpo, Y Para una vaz ación sonoiéal de la densidad de fine
Hon qua, de magretización varia no senotdalmente. Por esta sachs 15 100°
Anette las dos cantidades eu expresada en trama de Du Hye Se
muestra en Is fig. 3-21, una curva típica. La curva de pardidue nn

lao, atar / md,

Denon de

I

PI Cre Boe en Ma mr UE, 4, conn de Ut
‘a Wate Sia Coonan

109. Excitación de Estructuras Ferromagnéticss con C. A. 97

de frecuencia, la cual se muestra ena lg. 3-22, Para Información con
respecto a otros materiales, el lector pude referirse a Ins manuales
publicados por las compañías acereras. *

El uso de dichas curvas en la deterzinaelön de £, y 6, se flustra por
medio de un ejemplo.

TACA

lr no met

a. 3 12 Cara da praia ana io vorn Dan mars lio U 53 ca
corns e Ur Sete Sr Came

EJEMPLO 3-3. Considere ol reactor de núcleo de hierro de la fig. 3-3.
La longitud de la trayectorta magnética es 50 cm. y el área efectiva de la.
sección transversal del núeleo es 10 cm”. El número de vueltas del
embobinado de excitación os 300. Encuentre los valores de g, y 5. del
circulto equivalente si ol voltaje de operación en uf!) = 150 sen 3771. La
caída de voltaje en la resistencia del embobinado de excitación se puede
considerar despreciable comparada al voltae inducido. El material del
húcleo es acero calibre 24 eléctrico de la USS. El paso del núclao es 0.02
lb/cm”. Las características de magnetizacifn de c.a, para este material
son dadas on tas fig. 3-21 y 3-22, La sección transversal del néclao es
rectangular y ous dimensiones son 4 cm. X2,5 em,

50cm. » 0.5m,
Wem! > 10° m,
500 cur,

Longitud media de la trayectoria magnética I
Area de la sección transversal a
Volumen del aúeleo

a

À gg ng ut Set Maal (Pt, Pa Des
sueet Corporation 155

110. 9. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Peso del núcleo (500) (0.02) = 10%,
Ya = 106 volts,
De la ecuación 3-13 Bam = 1.92 webers/m.?

De la fig. 3-21, Bu correspondiente a aste valor de Bay, ne puede en-
contrar.

bee ya = 290m

De la fig, 3-22, laa pérdidas on el núcleo por libras, correspondientes a
Bau = 1.32 webers/ ma? y a frecuencia = 60 c.p.3, es 2.9 wattay tb, Come el
peso del núcleo es 10 I, las pérdidas totales en ai nGeleo aon

Pon vats

ne Bew

0274 amp (valor eficaz)

Le Yate
Los parámetros dal cireuito equivalents son

Be ELO MR y dy SINO mo

EL valor eficaz de 1a corriente de excitación en el em-
7 + 77 = 0.623 amp. Este valor Será adecuado, ai
1 embobinado de exeitacion es capaz de conducir de $ à 6 amp. sin sobrecas
lentarse, Esto permitirá un (actor de seguridad cercano a 10 para eutáacas
de sobre-voltajes, ste. De acuerdo con el US National Electric Coda,
(Cdigo Eléctrico Nacional de los Zstados Unidos), corriente permitida pará
el alambre de cobre con aislamiento de tle im 18 AWG en 6 amp La
resistencia Öhmica de este alambre os (13,5) (10) obm/m. La longitud
arroximada del conductor en el embobinado de excitación puade ser.
calculada de las dimensiones del núcleo, La sección transversal del récles
3 rectangular de 4 cm. X2.5 em. La clrcunterencía es 13 cm, Considaranao
el espesor del alslamiento, la longitud de una voslta puede considerarse.
como de 16 cm. Como hay 300 vuritas, la longítad total del conductor on el
embobinado de excitación es de 48 m. ÿ A4; = (13.5H10-)(48) = 0.88 arm
De la ocuación 3-91, suponiendo un valor de 1.2 como factor del elena
superficial, R, = (L.2X0.85) = 0.78 ohm.
Se obsertará que en los dos métodos descritos para determinar los
parámotros del circuits equivalente, ae especiicaron la magnitud y ia
frecuencia del voltaje aplicado. Pueden surgie eneste momento ine progustan

111. Excilación de Estructuras Ferromagnéticas con ©. A. 2

de si esto es necesario y de st los valores de los parámetros depende:
voltaje aplicado: la mejor formade contestarlas es por medio de un ejer

EJEMPLO 3-4.- Repita los cáleulos del ejemplo 3-3, y determ:
y >. vara los siguientes valores del voltaje aplicado: a) uf = 150 ser.
1, 9D vita 75 sen 1994,

Solución.

a Como en el ejemplo 3-3, Y + 106 volts. También / = 50 c.p.n. De la
ecuación 3-18, ay, = 1.585 veberay m.* Usando las caracterfstieas da las
figuras 3.21 73-22, tenemos

La = 208 amp ef)
ba = 90 mio
Le = O2amp( ef )

8, = OU año

»
Yu o
f= Des

Bag 132 berga”

‘como en el ejemplo 3-3. Usando el procedimiento anterior,

La = 0366209 Cel }
DETTES
La = 021Banp (of }
se = 4.007) mho

Estos resultados conjuntamente con los obtenidos del ejemplo 3-3, son tar
bulados para su comparación en la Tabla 3-2; de igual manera que el valor
de la inductancta L, correspondiente acada valor de b.. Tome en cuenta que
Ba» Vale

tama 32

ER en see | mafia
Gem 5% | à AE]
Heng ay | 0 | m ou | 30
teens) | Ss | w am | u

Se observa que los valores de loa parámetros £, y L, son dependientes
de la amplitud de la densidad de Majo y de la frecuencia, las cuales son
determinadas por el voltaje aplicado para un reactor dado. Estos valores,
por consiguiente, no se usarán en cálculos a diferentes candictones de
Operación de las que se urillzaron para su detgrminacién. Por ejemplo,
al la densidad de flujo es sufielentemente pequeña para no causar saturación
del nicleo y si la pérdida de histérests en desprectable comparada con la

112. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

pérdida debida a las corrientes parásitas {no es una suposición realista),
Sntonees se puede demostrer que £ FL, pueden ser tratadas como cons=
tantes a diferentes condisioneg de operación.

Efecio de los ontremerros on 4. y Lq, Examinaremos como siguiente
punto, el efecto que se produce en los parámetros del circuito equivalente
Al netoductr un entrehl ‘al nécieo. Coneiderese ol siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3-5. Sí un entreberro de 1 mm. de largo es Introducido en el
múcleo del ejemplo 3-3, ¿como se afectarán los parámetros z. y Lu?
Suponga el mismo voltaje de operación del ejemplo anterior. Calcule ios
valores determinados on ese ejemplo.

Solución:

Gage = 132 meteria? y meumeisf = SOPs

Las pérdidas en el núcleo para la parte de acero del miamo, permanecen
invariables. No hay pérdica de energía en el entrehierro, Por consiguiente,
las pérdidas totales en el súcleo sonlas mismas. Las pérdidas en sl aúctoo,
representadas por 2,, no resultan afectadas por el entrenterro,

Por el contrario, el eutrehierro incrementa a la reluctancia de la
trayectoria magnética del nicleo. Por Lotante, se requiere una fmm. mayor,
con objeto de establecer el mismo flujo anterior (o que significa una mayor
corriente de magnetizacléa). La fam. para la porciónde acero sigue siendo
la misma del ejemplo 3-3. El Incremento ge debe a la fmm. adicional
requerida para establecer el mismo flujo en el ertroblerro. La fmm. 0 la
corriente de magnetizactönparaelentrehlerro se puede calcular como sigue.

En el antrehlerro, Bau = He Mau donde pe 08 la permeabilidad del
entrehierro e igual a (4mXi0) weber/amp.-wueita m. Correspondiendo a
Bau = 1.32 webors/m®. ya Mau = (1.05310-%) amp. vuelta/m®. Como el
entrehierro 08 un modo lineal, a fuerza de magnetización varía senoldal-
mente cuando la densidad de flujo varía senoldalmente. A diferencia da los
materiales ferromagnéticos, on este caso no hay hormónicas en la fuerza
de magnotización: por consigutente, Hy = Hu / VE = (0.744)110°) amp.
vueltas/m2. La corriente de magvatización senoidal que corresponde a la.
fuerza de magnetización se obtiene de la exprestän

Mya
nu Ne.

donde 1, as la longitud del entrehlerro y Mes el número de vueltas en 81
embobinado de exttación. En este ejemplo M « 300 y 4 « 10" metros, de
manera que Zu, = 2.48 amp. Elvalor eficaz de la corriente de magnetización
para la parte de acero del núcleo (del ejemplo 3-3), eu Lay = 0.568 amp.

Estrictamente hablando, estos doa valores oficaces no débartan sumarse
directamente para obtener la corriente de magnetización total porque una.
1) representa a una corriente no senoidal. Sila corriente de masnetización
ad la parte de acerobes expresada en una Serie de Fourier, entonces la
corriente ét) para el entrehlerro deberá ser sumada à su componente

113. nC de 101

Excitación de Estructuras Ferromasráticis

fundamental y el valor eficaz de le corrieste de magnettzación total deberá
Ser estculado de la expresión resultante, Enrate ejemplo, no se proporeiona
Beta intermación. Por consigurente, tendremos que conformarnos con la
Tespuesta aproximada que se obtiene al sumar directamente los dos valores
eficaces.

La (tal = La elacero)+ (a (eatrelierro)
2 05566 + 2K = 3.0H6amp

El valor correspondiente de 2. = 4/5. = {28.8)(10°°) mho, y L. 20,0926

heney. Por lo tanto Z.. es afectada por el entrehierro.

3-10 Permeabilidad Incrementa! de los Mácleos Ferrol

Cuando un material ferromagnético as sujeto a un campo magnötico
constante 1a pormeabilidad del material es una función de la densidad de
iujo. La pendiente de la curva 2 vo, H del material calculada en el pinto.

% ee nics À

W323 Permanent vibe da un mund romanes

de operasion dá la permeabliidad a ese punto, En la tag, 3-23, se muestra
Je curva de magnetización normal de un material ferromagnético, La
densidad de flujo, correspondiente a un valor H, de la fuerza de magnetiza-
ción. es 8, y la permeabilidad es dada gor

114. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

y para ta Jevsidad de flujo A, correspondiente a la fuerza de magnetización
da permeabilidad 09

im, 2%
Tr

En la práctica es suficientemente aproximado tratar la permeabilidad de un
material ferromagnético como una constante si lavdensidad no ‘aria sobre
un rango amplio. La curva B-H puede ser aproximada por segmentos
rectos según se muestra en la fig, 3-34 y el valor constants apropiado de 1a
permeabilidad usada en cálculos, dependo del valor ovalores de la densidad
de (lujo de operación,

SÍ el material ferromagnético está sujeto a una excitación periódica,
la relación entre 8 y H es descrita por un anillo de histéresis, El tamaño
y forma del anillo es determinada por la naturaleza y forma del material
Terromagnético, las dimenstones del núcieo, la magnitud y frecuencia del
voltaje aplicado a la bobina de excitación y el número de vueltas de la bobina
de excitación

Nara. 8-4 setas

Fours ca magnenbe Fh
3.28 Aoronimectin con ace al cure = den ma ora

En la fig, 3-25 se muestra un típico anillo de histöresis. Observe que el
anillo es simétrico con, -especto a los ejes coordenados. (Con anterforidad
se indicó que las formds de onda de ta densidad de flujo y de la fuerza de
maqnetización no aon las mismas para un material magnético),

115. Excitación de Estructuros Ferromagnéticas con C. A 109

Es obvio que la permeabilidad varía periódicamente, SL no es grande la
amplitud de la densidad de flujo y el contenido harmónico de la densidad
de flujo y de la fuerza de magnetización no 29 mus algrificante, puede ser
sado en los cáleulos un valor promedio de la permeabilidad dado porla re
lación

09

BH” Arm

que puede ser asado en cálculos.

ee]

LT

3.28 Ano 0a Moro abri da un mental aromates ads a un sc
‘She pets de net ong.

Homos considerado hasta aquí casos de núcleos forromagnéticos sujetos
ya sea a fuerza de magnetizacion constante o de variación periódica. Hay,
por consiguiente, algunos aparatos electromagnéticos amplificadores rexc-
tores magnéticos, en rectifieadores de potencia), en los cuales, tanto la
excitación constants como la periódica so presentan al mismo tlerapo. Dos
arreglos típicos de los micleos y embobinados para estos sistemas de ex-
eltación se dan en as fig. 3-26 y 3-21. En la fig. 3-26, el campo magnético
establecido por la corriente directa existe en todas las partos del núcleo,
mientras que el flujo establecido por la corriente alterna, existe solamente
cn la trayectoria exterior deinücleo, envirtudde que los flujos componente
establecidos por los das ambobinados de c.a. se cancelan en el brazo central
pero se suman en log brazos de loo extremos En la tig. 3-27 las dos
corrientes, directa y alterna fluyen en ol mismo embobinado de excitación,
de manera que tantos flsjodec.a. como el de c.d tenen la misma trayectoria
en el núcleo. La inductancia L mostrada en serte gon la fuente de corrtente
directa, evita que la corriente alterna fluya had la bateria (o fuente de
cd.) mientras que el capacitor no deja que la corriente directa circule
hacia la fuente de 6.2,

116. SUN! AMSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

CT

mr

Se analizará ahora el efecto que produce la suporpostción de las exeita-
siones de corriente directa y de corriente alterna en la permeabitided de
um material ferromagrático. Se supondrá que las trayectorias de los flujos
tanto de c.d. como de c.a,en el núeleo son esencialmente las mismas. Por
corveniencia, la amplitud y la frecuencia del flujo alterno (senoidal, por
tiemplo) serán mantenidas constante y la excitación de cd. sera var
Se supondrá también que la amplitud de la densidad de flujo alterna au
pequeña comparada con los limites de saturación del núcleo,

(Cuando la excitación de c.d.es cero yla de ca. tiene el valor requerido
para dar la densidad de fiujo predeterminada, el anillo de histéresis sera
simétrico con respecto a los cjescoortenados como se muestra en la fig
3-25. $1 la excitación q; c.d.es ahora incrementada, el punto de operación
se mueve hacia arriba à lo largo de la curva de magoetización normal del
material (eromagnético, Aunque la amplitud de la densidad de flujo alterno

117. Excltación de Estructuras Ferromagnéticas con C. A. 105

permanece constante, la fuerza de magnetización alterna requerida so
incrementa, 7a que el núcleo se iré satırandomäs y más conforme aumente
la excitación de cd La fuente de c.a. proporciona us incremento de
corriente de magnetización. EI anillo de kistérests se elonga en la dlrección
Hy Mega a hacerse más y más asimötries con respecto a los ejes coordena-
408. conforme la excitación de e.d. es inorementada. Esto lo demuestra la
serie de anillos de histérasis de la fig. 3-28. Como se supone que tanto la
densidad de flujo como la fuerza de magnetización alternas son pequeñas
comparadas son los límites de saturaaión del nüoleo, el uso de la eeuación
3-96 se justifica para definir la permeabilidad promedio de c.a. del material
Terromagnético. La permeabilidad promedio asf calculada dismimye cuando
In exeltación de C.d. aumenta. da >= .,>4-,,COrTeSpondiendo à Me

118. 10% CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECASICA

He H....Esta permeabilidad de ca. esilamada permeabitided incremen-
dol. La pertmeabic-tad ineremental do 6.2. correspondiente à cualquier
de excitación se >. es menor que la pendiente de la curva de magnetiz
normal en ese punto.

Es comprersible que el análisis anterior no es muy riguroso. Es
diffeil obtener una expresión matemática más precisa pars la perincabisidad
incremental, debido a las características no Kneales y de histhresis del
material ferromagnätico. Afortunadamente, sin embargo, los valores de la
permeabilidad incremental calculados de acuerdo al procedimiento indicado
Anteriormente, aon lo suficientemente aproximados para justificar su uso
en cálculos de diseño. Para el diseñador, losfabricantes de acero han suesto
a su disposición grupos de curvas para varios materiales ferrotagnéticos
indicando su permeabilidad incremental (o más bien su permeabiisad
incremental relativa), la amplitud de la densidad de flujo periódica y la
fuerza de maguetización constante, Un grupo de estas curvas es mos:rado
en la fig 3-20.0 Estas se considerarán como típicas sólo porque la
construcción actual del núcleo y las condiciones bajolas cuales se cenäucen
las pruebas, atectan los valores de 1a permeabilidnd, El uso de estas curvas.

IH TT
== pees
i Feen!
Eier h
ca
PE Sense
: EHRE
FH E le
ie HU LL
E st
arias aes
wi ipl LT TT
o ia 5 19

cs de Fale Spey, tr

1 eee Soma de slo eme y de le ars demi ae ot ae
i

"Ean Curvas son lomas del Electricas Sheets Mam, dy. ción Ptehuren Du
Stel Corp 185

119. Excllacién de Estructuras Ferromasnólicos con O, a, 207

en el cálculo de la inductancia aparente o incremental del enrollado de las
bobiras en los núcleos de Aurro será tratado en el siguiente pu

al a Apareate de Bobi

Considere la bobixa en el nûcleo de hierro mostrado en la fig. 3-27, La
inductancia propia del embobinzdo es la relación del cambio de los enlaza-
mientos del flujo con respecto à la corriente que en Él eircula. En otras paz
abras

a
ces 397)
a u m

donde +, = Ne son los enlazamientos de flujo. Si el nimero de vueltas

permanete constante, la acuación 3-97 puedo escribirse como

cn ve 6m

Substituyendo AB (1) por siti y HA) UN = i,(, obtenemos

FE ee 0)

donde A es el área de la sección transversal del núcleo, ! a longitud media.
de la trayectoria magnética on ol mismo núcleo y a... es la permeabilidad.
de 0.2 del material magnético,

EJEMPLO 3-8, Calcule la inductancia incremental de corriente alterna
del reactor de núcleo de hiorro mestradoen la fig. 3-27, cuando la corriente
‘directa en el embobinado de excitación es 0) 0,5 amp y 8) 0.25 amp. £1 nú:
iso esta echo de acero para tracsiormadores de la USS calibre nm. 12 Las
curvas de permeabilidad de c.a. para este material se ¡lustran en a fig, 3-29.
La longitud media de la trayectoria magnética es 100 em. vel área efectiva.
e la sección transversal es 10 em*, El voltaje senoidal de c.a. aplicado a
las 1600 rueltas del embobinado de excitación tiene un valor eficaz de 30
volts y una frecuencia de 60 c.p.s. Le eaida de voltaje on La resistencia del
embobinado de excitación es desprectable comparada con el voltaje índucido.
De 1a ecuación 3-11,

E]

+ ee A
CRIBA pm

oy
tea = 05 ame ‘
Ming 0040.51
= AHO 500 amplios
7" oo

Hes

120. 10 CONVERSION DE ENERGIA ELECTHOMECANICA

= 800 am
8110)

De la Hg 3-29, correspondiente à By, 20.07 weber, m=. y #
vueltas, m. obtenemos 4... + 230 0 in (230) 400
weber, amp.- vuelta m. De da seuacıön 3-90. la incverancte

DE

24003

»
lea = 025 amp

Hea = $00 amp-vuetesin
Ban igual como antes

fre * 40020 = (50810 webet/amp melts m
Inductancia L + 1.29 hennys

Efecto de los Enivehierros enlainductanciatncrementat de las Sobinas
qn ücleos de fierro. Si existe un entrehlerzo en el nünleo ferromagnatios
de un reactor, la reluctaneia total delatrasectorta magnétiea se incremento
y Para una corriente directa dada en el embobinado de excitación es monas.

EJEMPLO9-1 Repita la parte 2)delejemplo anterior, tomando encuenta
la presencia de un entrahlerro de mm. de largo en el nicleo de la fe 3.27
La curva de magnetizaciön normal del material magnéticousado (mise dal
ojempio anterior), es dada en la tig. 3-5 (a). El efecto marginal en el
entrehierro es deapresiabie,

He. « Para la parta de acero es determinada como sigue: la from, debida
a la corriente directa de 0.5 amp. es

Fog + (1600X0.5 = BOOamprutae Hale + Hal

donde los suhfntioes m y 4 se refieren al acero y al entrohlerro respectic
Jamente, El valor de Ha, que es el valor H de que estamos buscando, pardo
er determinado por el método grifico descrito en la secolón 2.8

La longitud de la trayectoria magnética en el acero’ 1, <1 m
Area de la sección transversal de la porción de Acero AL = 10m
Longitud del entrenterro 22 10m,
Area de la sección traysvereal del entrehierro Als 10m,
Permeabilidad del entrehierro Ha = (4 (10°

weber: amp-wuelta m.

121. vera de Estrucluras Ferromaméticas con €, à 199

La pendiente de la curva del entrehierro invertida modificada 23

2-10") weber/ampruel m

ote
En la fig. 3:30 se muestra la construcción gráfica, de la cual abtendremos
OA = F/l. = 800 amp.-vueltas/ m. De la fig. 3-30, A. =ff = 160 amp.-
vucitas/m. La permeabilidad incremental correspondiente à 8...

0.7 weben’mé. (misma que an el ejemplo antertor) Y If...“ 180 a

es. dela fig, 3-29

Mea = Os = 127410) weber! amporelca m

omo a mol
rm mi |

7 Vin tanins rie ren

20 mein #
= | een

0.2030 Concón ine ne demi if gol éme 3

La seluctancia total del núcleo es

Retail porción de ceo + reluctrcia elenteitho= Le. ¿E

(100)

122. no CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
Sustituyendo valores numéricos en la ecuación 3-100
Reluetancta “ota! A = (1TON10)* amp-wueltas/ weber

La ecuación 9.99 para la inductancia incremental pueda ser escrita

won

si no hay entrehierro. En el presente caso, con un entreblerro en el núcleo,
a »cuación 3-98 es modificada al reemplazar la reluctancta del acero por
la reluctaneta total obtenida en la ecuación 2-99, siendo entonces la in-
duetancla sual a

en

Am

Sustituyendo valores quméricos obtenemos.

uso?

= - Lans

3-12 Reactares Setveables

Todos los materiales ferromagnéticos presentan características de
saturaclôn y de histéresis. Mientras la mayor parte tienden 2 saturarse gr
duslmente conforme se inorementa la excitación, en algunos de ellos el
paso al estado de saturación es muy violento y promunciado, siendo sus
anillos de histéresia en forma "rectangular". Un anillo típico es mostrado
en la fig. 3-3. Estos materiales son usados er reactores saturables y en
amplificadores magnéticos, Estos materiales tan fsctlmente saturables son
usualmente aleaciones de acero y niquel o de acero y manganeso, los cuales
son generalmente conocidos por sus nombres comerciales tales como
Supermalloy, Hypernik, Deltamax, Orthonol, ete.

Primeramente consideraremos un reactor cayo núcleo está hecho de un
material que presenta una pronunciada saturación pero no asf la histärosis,
se comprendo que esto as una idealización. El reactor es mostrado en la
fig. 3-32 (a) y su caracteríatica flujo v. 9, corriente en la fig. 3-32 (2), Esta
curva es obtenida de la curva 3 vs. H del material del núcleo usando las
relaciones

Fo $ = 84

a
Corse i = À
donde A es el área de la sección transversal del núcleo, I 1a longitud de
la trayectoria magnética en dicho núcleo, y M el número de vueltas de la
bobina de excitación.

123. Excitación de Estructuras Fervomamélicas com ©. A ui
Se supondrá que la resistencia externa À incluyea la resistencia de 12

ea Jr aretación. SI se conoce el voltaje aplicado, vi, emonces de la
ley da Kiremnoll podemos escribir

vn RO + el au

ma. pata op hen mi un mr fren Heimann ene

donde ec es el voltaje inducido en a bobina de excitación. De 14107,
de Faraday

æ
ayant 3-104)
ki = NT 60)

donde zit es 1 fujo on eLnúclco, (Aqut a(t es considerada como una salda
e VOIS. por eto se omite el signo negativo que aparece en la ecuación 3-3)

124. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

sok fend + a an

orde #7 es el valor inictal dellluo al tiempo £, y x es una variable muda
de integración. La ecuación 3-105 es válida solo ai
SS +6, cuando 40 > 0

62-106)
> 6 cuando (0 € 0

|

wo

lg 3:32 Un renos sunny utara fe vera ara.

k

Durante ol período en el cual af satistace cualquiera de las desigual-
dades anteriores, la corriente on la Bobina de excitación es caro y el vol

125. icas con, À ua

Excitacién de Esimetiras Ferromag

taje aplicado vi es igual a erh de la ecuación 3-103, Por consiguiente
er la ecuación 2-108, 27% puede ser reemplazada por “(1

Obtendremos ahora las formas de onda del roltaje y corriente de flujo
inducido cuando el voltaye aplicado es senoidal. Tenemos

HO ases on

En In ecuación 3-108, suponga que & + 0 y #4 0

A Eu onu im

Considere dos casos:

CPE
y Le co,

Caso 1: Ya [Mu =Ko,, donde K > 1. La ecuación 3-108 puede ser escrita

40 = Kai - cost) 108)

EI tiempo tomado por 2/0 para alcanzer el Unite de eaturactin +
<btenido a susi =. Por w(t) en el lado iuquierdo de la ecuagtôn 2-109
y resolverse para £, Esto corresponderá al punto marcado cod al número
3 de la curvafiujo vs, corrtentede Ja fig, 3-32 3. Suponiendo que tó tiempo
sea 45, Entonces;

fl
why = cos = 5 eo

Esto

vältdo para Kat.

El flujo ostarä en aste valor durante el resto del medio ciclo postive
de u(t). En este intervalo (de £ = t, at = w/w) el voltaje inducido es cero,
y por 16 tanto la corriente la determina la resistencia A.

E

i= neck em

Cuando £ = 2/1, el voltaje aplicado de signo y la corriente es cere, El flujo
empleza decreciendo porque u(t) = N (ds/dly < o. Por consiguiente

1
wo Ef rc wets ‘

= Ohl =X) Roco ter y Kot (12

126. DE ESA ELEC IRGMECANICA

Cosmin 1 = 1; corresnectiento al santo 2 an la fig 2232 M, 00 aa

ty = oo y Ket tt

La corriente es sora 3e > 1,102 t= la. Durante el resto del medio ciclo
sten de ole el fo 48 constante a - >, yla corriente es dada por

aM

En 12277 a, wleambia size de muevo y d »/d1 es positivo

Kou ten ax de

= (1 = KjO,— Kéeosut Kal yes do il)
Eni ty > 2e/wol) = =a y

ef 2) ong

tn) =

El Mlujo permanece constante à =>. hasta que ! « 39/4, empezando entances

à decrecer

UD = all A) Keycosur K>1 y > dejo im

Se puede observar que para 1> + «Jas formas de onda son repetidas, y
se dice que el sistema está en un estado continuo, las formas de onda de
An 200, eit) © if) son mostradas en la fig. 3-33

+ Caso 2:

oc Fu ep
mio re

donde 0" K 1. La ecuación 3-108. suponiendo E. = Oy 5 [DI «0. puede
Ber escrita

ou) = Kal — cour) er

in 2 medida que sl análisis continue, primeras
ores de K entre los límites > vi.

Por razones que se aelarar
menta restesmaremos low

127. Excitación de Estructuras Ferromagnéticas con C. 4 us

+s
sv

| zu

El tiempo 1, cuando «(1 alcanza el Limite de saturación >., se obtiene de
1a ecuación

em sti

<Kel eus

Este ángulo está en el segundo cuadrante. El (lug permanece constante at
valor de - : hasta que {=#/u, Durante el intervalo de 1, ams, el voltaje

128. : CONVERSION DE ENERGIA ELECTRO

ECANICA.

3 28 cero y la corrieme 4 ef dada por laecuación 3111 En #2
+1 íluzo empezará a decrecer y

OU = AL — KV Kam > Ja y he Ket (4120)

El Aujo decrece mientras vf es negativa es decir hasta !
lave

da. En

URN Kel Gray

Este valor mínimo permanece entre 0 y 9. No llegará à ==, à menos que
K = 1 El míalmo valor del flujo es representado por el punto $ en ta
Gg 3-32 ds,

Durante el intervalo de £ =2 4312 39/4, el flujo so incrementa y

tp
SU) BL — 28) + [O wowed

OR Késcosur Y < Kel O (6122)

Esto es lo mismo que la ecuación 9-118. El valor pico de 3, se obtiene
cuando £ =35/0 decrectendo éste inmediatamente. El núcleo no permaneee
en estado de saturación. EL sistema estará en un ostado constante para
tva Observe que el núcleo alcanza su saturación solamente en una
dirección. Cuando el núcteo permangeo saturado por algúntiempo, la consigna
te tiene un valor diferente de cero solo durante parte del Primer radio
cielo, siendo posteriormente cero en todo tiempo. Las formas de onda 8e
muestran en la fig. 3-34,

St X toma valores entre 0 y E, la ecuación 3-119 no es válida, debido
2 que el cos uta no puede ser más grande que la unidad. En otras palabras,
erty no alcanza el valor de saturación + v,. El valor pico de al) an aan
caso es 2s, el cual es menor que 9, para 0< 4 < 4, Esto valor ples co
alcanzado a / = Va. El valor mínimo de ¢(t) es cere, y xl) Mchun oot
9 y 29, El núcleo munca ge satarará. La corriente es tere todo el tlompa,
Se recomienda al estudiante checar estos resultados y trazar las formes da
onda de wt, oft y eft). Es conveniente recordar que en el análisis anterior
Se supuso que el valor Infeiat del flujo era cero. Sl, no obstante, el flujo
Inicial tiene un valor posttivo apropiado, es entonces posible para sin
Alcanzar una ver + 9,, pero an un estado estable los resultado serán ioe
mismos que antes,

Una. de Ins aplicaciones del reactor saturable es el contro! del flujo.
de energía on un elemento de disipación (por ejemplo, um resistor) ony
conversor de energía electromecánica (por ejemplo, un motor), Se ko
mostrado que una
saturable solamente en y, saturato. Fuera
de ese tiempo, el rector actía como un interruptor ablerto y la cormiene

129. Exciticción ls Estructuras Ferromaunétieas con ©. A. ur

nl

2 Peruana ms a arate

es cero, La poteneia promedio surainistrada porlafuente al elemento de di-
sipaciôn R depende del valor eficaz de la corriente en estado estable, la
cual a su vez depende de la amplitud del voltaje periódico aplicado y de la
duración de los intervalos saturados.

En la exposición anterior se vió que la corriente es cero cuando K<1 y
or lo tanto, en este caso. no hay necesidad de calcular la potencia. Cuando.
K>1 veremos que la potencia promedio depende de K.

La potencia promedio disipada en A delafig. 3-32 (a) bajo condiciones
de un estado estable,es

Bevan Tue R ¥
ise \ im

130. ne CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

à fone cu

Ver fig. 3-38, De la ecuación 3-119 se obtiene fy y de la ecuación 3-114
48). Sustituyendo estos valores en la ecuación $124 9 integrando, obtenemos

ons,
Suatituyondo 1a ecuación 3-126 en La ecuación 3-128, tenemos
O mt i
Far at emp) © Gus

donde sf, » cos~ (2-KYK para K> L. Suponiendo que Niue, 7 R son cons
tantes en un sistema dado, los valores de Fm para difereates À {ea den
Six, para diferentes valores de You.) során calculados y regiatrados ea la
Tabla 3-3,

TABLA 33

« > ne
Fa 40
3 Gn
i ie

Existen algunas desventajas en este método de control
Aneremento on la amplitud de la fuente do voltajo ea necesario para efectuar
cambios apreciables en el flujo de potencia, y2) el flujo de potencia ea cero
para pequeñas amplitudes,

‚En aplicactones prácticas, puede no ser conveniente ofactible variar la
amplitud del voltaje periódico aplicado ut), Además, podría ser necesario
trabajar con voltajes de c.a. con amplitudes relativamente pequeñas. Por
consiguiente es necesa.lo Investigar otros métodos de control en los orales
la amplitud del voitaje de corrtento alterna, puede ser pequeño y mantenigo
constante. Como veremos, tales mátedos involucran elusode rectificadores
‘en serie con La bobina de excitación del reactor y además, eorollado en el

131. actin de Estructuras Ferromasnéticas con C. A, 19

mismo nácieo, un segundo emboblnado conduciendo corriente directa. Un
actor saturable con un rectificador y dos bobinas de excitación (una de
ste alterna + la otra de corriente directa) constituye ‘2 configuración.
básica de lo que es conocido como un omplificador magnético.

3-13 Rectiti Circuito de Reactor Seterable

Considere la configuración mostrada en 1a fig. 3-35 (a). Es similar al
mastrado en la fig, 3-32 (a) con excepción de que en esta se incluye un
rectcicador ideal, Se supondrá que el rectificadar ideal tiene resitencia
cero sara la corriente que fluye enuna dirección (la marcada en la dirección

PRI 1a Un race sac con un rro maar) Ca Fl rc

132. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

de la fecha) y resistencia Intinita para la corriente que fluye en dirección
oduesta. En el presente caso, ésto significará que el rectificador "oondı-
rá”: cuanto bil) >0 y no conducirá cuando WU<0. La curva flujo vs. co-
Friente para el núcleo se muestra en la fig. 3-35 (o

Los resultados de la sección anterior so extenterán à este tema hasta
donde sea necesario, Hagamos

HO) + Pau sen wi (3.107)

donde Y... = KNus. Dejemos que et valor inieial del flujo sea cero cuando
¿=0. Eatonces so aplicará la ecuación 3-108.

où = Koll — cos wn) (3-109)

Consiéere dos casos.

Caso 1: K > 1. Durante los medios ciclos positivos de v/s, el recti-
Hicador estará conduciendo, La ecuación 3-110 di el tiempo f cuando el
flujo s(t alcanza el límite de saturación + .. Durante el períódo en que el
dojo se desarrolla la corriente ey cero. De t= 4 à (2/4, el flujo Der
manece constante a s. EI voltaje inducido es cero y es determinada la
corriente if por la resimencia R,

ay = Bru)

Cuando t =1/u vith cambia de algno, dejando de conducir al rectificador.
El flujo permanece constante a + %,. Y la corriente ea cero debido a que
el rectifleador actúa como un etreulto abierto durante el tiempo en que
viti<d, Medio stela después, x £=29/a, D) a8 positivo de nuevo, empezan-
do otra vez a conducir el rectificador, El flujo no puede incrementarse más
allá y permanece constante a + 6j. El voltaje inducido es cero y el reac-
tor actúa como un circuito corto, La corriente it) es dada por la ecuación
3-111 cuando v(t)>0, siendo cero cuando i(t)<0. Las formas de onda en
estado estable son mostradas en la fig. 3-36.

Caso 2: 0 < K < 1. St K>3, Ja ecuación 8-119 ak el tiempo £, cuando
20 alcanza el Mmite de saturación + 2,. Este tiempo l, es derente del
Obtenido de la ecuación 3-110 para K >1, Con excepción de esta diferencia
sl resto del análisis es igual al primer caso. Por lo tanto no sa devolverá.
A repetie aquí

Si K<i, fué mostrado en la sección anterior que el flujo no alcanza
la saturación bajo condiciones estables. El valor pico de al fu 2%,
Lounto 5 en la hig. i-35 1b)] obeeniendo este valor cuandot= +, punto
final del primer medio cielo positivo de vf). La corriente es cera du
rante este primer medio ciclo,

133. MC. A za

Excitación de Estructuras Ferromagnáticas

2/2, vt) es negativo y al rectificador no conduce, El

Dersvaa te 2
nte es coro. Cuando 1-29/ €,

riujo permanece constante a 2K2.<6, „Lac
V0 y el ftujo ampezard a crecer de 2K =

ab ee ok [teammates a kamen u

sl

a]
a0

iy. 3-28 Ferma ge ance de un cer muna co un rede

El tiempo la > 29/w cuando =/1) alcanza + €. es dado por

a»
wot aun

134. 122 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

(Nota: Esta «cuación no ag válida para &- 2 . Esto significa entonces
que 4 no alcanza la saturación durante el segundo madio ciclo positive
dev
Supones que Koi. Entonces ula tiene un valor entre 2r/uy3 9/2
Furante este segundo medio ciclo positivo de vie, s/t) alcanza 47 El
resto del análisis es igual al caso cuando K>1. Las formas de onda son
mostradas enla fig. 2-37

La conclusión Importante y significante que se obtiene del análisis de
esta sección es que la presencia de un rectificador en el circuito del reac,
lor asegura que tarde O temprano será saturado y permanecerá on esas
condiciones an adelante. El número de cielog tomados por el sicleo para
alcanzar la saturación depende de Ya, y del valor inictal del flujo. Una.

aa

TE ”

vez que el núcleo se gatura el reactor actin como un clyeuito corto, + la
corriente fluye en el rebistor R durante loa medios ciclos positivos de vi)
en circuito puramente resistivo con rectificación de media onda, La den.
Ventaja 03 que la potencia disipada en el resistor bajo condiciones estables

135. Exeitactén de Estructuras Ferromagnéticns con C. A, 123

ser cambiada solo por variación de la amplitud del voltaje aplicado
vit Para un voltaje dado i, la potencia promedio en estado estable es
lisa. 24 virtud de que tardo > temprano el núcleo alcanza zu saturación
una vez que el nücleo llega a este estado. permanece sasurado, Por con-
siguiente, mientras 21 rectifleador ayuda al núcleo a alcarzar la saturación
an con pequeñas amplitudes de wi, no resuelveel problema de controlar
la potencia cuando la amplitud del voltaje aplicado off) es conservada a un
valor constante,

pu

can le €

3.14 Reactor Sater
yan Embobin

gs
lo de Control Separade

Del análisis de la sección anterior, és claramente intuitivo, que la üni-
ca forma en que el núcleo puedo ser extraido del estado de saturación, con
atti = = 9,, es por medio de una fuente de suficiente magnitud de fuerza
magnstomotriz negativa actuaado eo el nücleo. Una manera de alcanzar este
objetivo 08 proveer en el mismo núcleo un segundo embobinado {llamado
embobinado de control) Mevando corriente directa,

Considerando la configuración mostrada en la fig. 1-38 (a) donde v(t?
representa una fuente de voltaje de amplitud constante de corriente alter-
na y Y, una fuente de vollaje de corriente directa, también de magnitud
constando. Observe que las juerzas magnetomotrices de c,a. y dec.d.se
oponen mutuamente. La curra 8 vs. H para el núcleo es mostrada en la
tig, 3-38 (b) Como en al número aetfan dos fuerzas magnetomatrices, cuyos
embobinados pueden 0 no, tener al miamomimerode vueltas, es conveniente
trabajar con la curva 2 vs. Jen Jugar de la curva > vs, ¡que fuá usada
en las secciones anteriores. Hagamos

HD = Fan senor 69
donde
Saut, = eo, 600,

El voltaje de control os Y cy Hay dns maneras de operación del reactor.

Manera 1: EL núcico es saturado, 2(t) = ¢). (Será supuesto aquí que
1a saruración tiene lugar solamente en una dirección). Bajo esta condición,
Los voltajes inducidos e, (1 enelembobinado de carga y £. (0 on al embobina-
o de control son cero, Las corrientes en los dos embobinados son

Cum: id Bt ene if >0
-0 dome G-131)
Ê

El rectificador impide el paso al flojo de é; 4 negativo

136. voltayes sneuc:dns son.

12

onto) = 4 3132)
Com tn = Zi Gus:
{mm neta actuando en el aicleo = Mele = No eB

donde 4,

E son obtenidas de las dos cousciones anteriores.

2 rt

pan)

E ¡au E)

Manera 2

núcleo no Se satura, 2/)< 3 , y varía con el tiempo. Log

ene

CONVERSION DE BNERGIA ELECTROMBCANICA

137. Excitación de Estructuras Farromamäticas con C, A.

de

ex + NE ons
Las corrientes 22 10 dos embobinados son
Wo = edo)
iy = =) gig 0
0-7 0
de otra manera 04136)
ian = Hat edo CE)

Rea

Ex esta forma de operación, la fuerza magnetomotriz neta actuando en el
úcleo ea cero esto es,

Nola = Md) = 0 6-58

donde #, e 3, son obtenidas de lan dos ecuaciones satariore:

Supóngamos que el núcleo no se satura cuando el voltaje peribdico es
aplicado al embobinado de carga y que v(f es positivo 7 se incremente.
Como se indicó en la sección anterior, la presencia del rectíficador en
serie con el embobinado de carga asegura que tarde o temprano, el núcico
se saturará en dirección positiva, slempre que

EL añeleo alcanza gu saturación durante un medio cielo positivo de v(th y
permanece en ese estado hasta que la fmm. neta, actuando en el núcleo,
Mega a cero. Esto correspande al punto 3 en la curva 8-H de La fig. 3-38
(0). Como al núciooestá ena manera , gon aplicables las ecuactones 3-131,
5-192 y 3-193, EI tlempo !, cuando el núcleo cambia de la manera 1 à 12 2
e obtiene al igualar la ecuación 3-193 2 cero; esto es,

icli) = Nobels) = 0

6-59)

138. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

posición de 7, en +: aye tiempo puede. por consiguiente, ser escogida.
jara corresponder con al valor de 2.7 obtenido en la ecuación 3-139,

vamos que 21 Angelo sl, está an el serunto cuadrante. Camo el
seitate 240 es positive, el rectificador está todavía conduciendo,

El flujo ampieza a decrecer con al tiempo, ¡2 im, es cero, esto es
sepresentado por la porción vertical de la curva 3-4 Durante el período
Ss jue el flujo está cambiando se puede obtener de la ecuación 3-138 una
exsresión para determinarlo, quedando como

(3-40)

Obtenemos >/ al integrar la ecuación 3-140 de :
valor inicial de ~ », para el flujo.

a y suponiendo un

HO = Kacosur + Ku + Ka ey
donde

e in 3-139). El recnticador dejará de conducir
cuando 1,0 lloga a ser negativa, Cuando esto pasa, el tiempo £, se obtiene
Al Igualar la ecuación 3-136 con cero; esto es

we) = et), ha
Ro

o 6-42

un =

Sustituyendo d2/dt de la zeuucibn 3-137 en la 3-142 y simplificando, bbte~

cu»

139. Excitación de Estructuras Ferromagniticas con €, À. 127

está en el tercer cuadrante. Un rápido exámen del valor de
fe iat sustitutr Ta seuación 3-143 en la 3-140), muestra que
todavía es negative, lo cual significa que el flujo ostá sodavía decrecterdo
ain cuando hr e it; son cero. De la ecuación 3-101, tenemos entonces

in x 5
de 1a cual
de Ma
2-00 a)
y
Ka
oy = re 6-15

donde #1.) as obtenida de la ecuación 3-143,

Mientras tanto, el voltaje aplicado s(t está cambiando dirigiendose à
traves del medio ciclo negative, El voltaje a travès del rectificador es

end

Mas '
saat + GE SO 1)

You

Cuando este voltaje Mega a cero, el rectificador empieza a conducir mera-
mente. Cuando esto pasa, el tiempo f es dado por

Nata

14
Er a

El Angulo wts está on al cuarto cuadrante, El flujo está todavia decreciendo
Fa) di es dado por la ecuación 3-140. La disminución del ftujo se dettene
cuando de/dt= Oat = tr

LAA

met eta)

EX ángulo wt) está en el primer cuadrante gel segundo ciclo de 1%

El valor mínimo del “lujo, se obtiene al sustituir Ia ecuación 3-148
en la »cuación 3-141. Suponga que este Zn, es fal que 47 7.23. Cuando
Ft, al flujo empezará a incrementarse: Se Obtiene una expresión para el

140. 128 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

flujo que aumenta al integrar la ecuación 3-140 de £, a £ usando un valor
Inicial de ~~

BO = Kos + K+ K, G-us)
donde

= PLU
Ken Kecosty + du

&

El tiempo ta cuando el flujo alcanza of Límite de aaturación + $, se obtione
una vez más al establecer 40) = + 4, on la ecuactén 3-149 y resolviendo
para ty. El flujo permanece al valor + 6, hasta que el voltaje vil) descienda
a tal valor que se satisfaga la ecuación 3-139. En este punto al fljo

6: 339 Former am ande in ado eat par ru rule marred an a 3:98
Bt at: Lon wires contivos 60,0) y on 1) (onen son orinar
Senden Ie ercbinason nadal oa na Mele |

141. Excitación de Estructuras Ferromagnéticas con C. A, 129

empieza a decrecer y el ciclo se repito, Cuando el sistema alcanza un es-
tado estable, ta será Igual à fa, dado por la ecuación 3-139, Las formas de
onda en un astado estable sa muestran en la fig. 3-39.

La corriente 1, / en todo el tiempo 0 muy pequeña 0 cero, excepto
cuando el núcleo está saturado, La duración de los intervalos de satura-
ción determina el valor eficaz de £,(8, y por lo tanto, la potencia pro-
medio distpada en R,. La duración del intervalo de saturación para un vol-
tajo dedo wi) puede ser controlado con el voltae de control Vu . La
relación de la potenela promedio disipada en A, a la potencia promedio
de entrada al embobinado de control ca definida como la relación de la
potencia de amplificación. Puede verse al examinar las diferentes relaciones.
que fueron derivadas en esta sección, que la poteneta disipada en A, di
minuye cuando Y. .. ae Inerementa. Una Característica plc de transtoren-
cia de lo establecido en la fig. 3-88 (a) puede parecerse a la mostrada
en la ig. 3-40, En vista de la propiodad de amplificación que esto principio

(0-3 +20 Uns came de mani spin e Un emo magico de md ma

tiene y como el rectificador suprime los valores negativos de iz (t), el
Principio es conocido como amplificador magnética de media onda.

Los análisis de ésta y de las doa secciones anteriores están muy 18,09
de ser completos. El propósito ha sido introdueix al lector a los princi
plos Básicos de operación de los reactores saturables y de los amplifica-
dores magnético». Existen algunos excelentes libros enteramente dedicados
a este tema.” _ El lector puede consultarlos, para un estudio más detalla-
do y compranstro.

,

"algunos a estos iros ane 13 GM. Altar, Mapa Amplifier Engineering Cow York:
MeGras itil Boer Company, oc, BOL 7 W. Ceyger. Mara Ames Circus Wee York
MeGraw Hull Company, Tor 154; ALE. More, Magalie Amparo Dem York foun Wiley &
Sane, te. 1082.

142. 10 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
PROBLEMAS

4-1. El reactor del núcleo de hterro de la fig. 3-3 tiene una Jongitud
media de su trayaotoria-Magnätica de 1 m, el Area de su sección tranevér=
“sal es de 80 cm.*.E1 número de vueltas de la bobina de excitación es 200.
Determine la amplitud de la densidad de flujo Bu, en el núcleo cuando un
volaje senoidal de 200 volts (eficaz), a una frecuencia de 60 €-p.8., es
aplicado a la bobina de excitación. La restatencia de la bobina de excita-
ción es despreciable.

9-2 La longitud de la trayectoria magnética en el problema 3-1 es
cambiada a 1.5 m; todo lo demás permanece igual. Encuentre Mus. DE
los fundamentos para su respuesta.

3-9. Un entrehierro de 1 mm. de largo os cortado en el möeleo del
problema 3-1. Las demás condiciones permanecen sin cambiar. Encuentre
Bog y 6 las razones para su respuesta

3-4 Repita el problema 3-1 para un voltajo aplicado de onda cuadrada
con un valor pico de 240 volts y una frecuencia de 60 ¢.p.2. Use los dos
métodos.

3-3, Repita el problema 3-1 para un voltaje aplicado de onda triangular
con valor pico de 260 volts y una/recuencia de 80 c.p.a. Use los dos métodos.

Der so

Pro0.2:8 12) Estación on ura tia de Y ua Pa a mer tet yy
e rr

143. reitncitn de Esimicturas Ferromagnésicas con C. À ai

Là 4» material magnético lineal 28 excitado con tres diferen-
\s bobinag de excitación sei: se muestra an la Tizura que
ve semipada. La resistencia de las bobinas de excitación es Sespraciable.
EL mano voltaje senoidal se aplica a la dobina o bobinas de excitación
th nada caso. Si la densidad de flujo y la corriente de excitación son en

Sl caso ar Mon + 0 webera’m? y do, © 10 amp, encuentre los valores
de estas cantidades para los casos 3 y 0% Dé les (undamentos de sus
respuestas,

‘hoz. ay Repita el problema 3-1 para un voltaje no senoidal ut = 250
sen 377 Le TES sen 1191 €, M Si la amplitud de la componente de Ja ter-
tera harménica de il puede ser ajustada tanto en magnitud como en signo.
determine sus valores mites de tal manera que el anillo de histeresis del
icles no tenga anillos menores. Considere el valor de la amplitud de la
tercara armónica tanto positivo como negativo. ¿Podrá vit) en la parta as
ocasionar algunos anillos menores?

3.8. Los valores de la mitad de un anillo de histérisis simétrico de
‘ux material ferromagrético son dados en la tablaque se acompaña. El valor
pico de la densidad de fluo es 1 weber/m.* a) trace las ondas del flujo y
Jel voltaje incucido como funciones de tiempo suponiendo que la corriente
de excitación es senoidal; y 0) Trace lag ondas de la corriente de excltación
y del voltaje inducido, suponiendo que el flujo es senoidal,

7 7 7;

PES er!
+0. a 0”
er de 090
>80 os on
733 se E
La 0 os
us 0 54
ms 09 | 02
RE 13 °

3-2. Un núeteo esta hecho de acarofundido. El área de su sección trans-
‘versal es 40 cm? y la longitud media de la trayectoria magnética es 1600m.
Te bovina de excitación tiene 400 vueltas y os magnetizada con corriente dl
fects, Use la curra de magnetización normal para el material y determine
In energia almacenada en el campo magnético del núcleo cuando la corriente
wo damp. Calcule la ioductancia de la bobina de excitación a esto valor de
Serciente, Compare los resultados con los obtenidos al usar la curva BA
Sproniziade con una linea recta. La aproximación puede ser hecha al unir con
Sa inen recta clorigen y elpunto de la curva B-H correspondiente a 2 amp.

3.10. La relación entre el flujo y 1a corriente de exitagión de un nie
‘cleo Terromagnätico está dada por la expresión q=(4. 2101091192 ), don-
en Webers e | enamperes. a) Encuent las expresiones para la
ersfa almacenada en el campo magnético del nicieo y para la coonergía
ce [Eeminos de la corriente de excitación; ») encuentre la inductancia de 1a

144. ase CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMBCANICA
bovina de excitación como una función de la corriente de exoltación. La bo-
Dina de excitación tiene 1200 vueltas,

1-1. Trea diferentes voltajes son aplicados sucesivamente a ¡a bobina.
de excitación del núcleo del problema 3-1. La resitencia de la bobina de
excitación es despraciable. El exponente de Steinmetz es n 1.8. Parte de
de los datos obtenidos son dados en la tabla que ae acompaña. Llene los
espacios en blanco.

a ren a

onaeameno [persa an nous], Perd var [Perdre 0
ot CCS aca E
Ivars ee at
LAS nee srt - Lo
Drum 2 sen ad
ean 77e _ - so.

2 Vu en una onda cuadrada;
valor pco 387 mi,
Ferenc 120 0p.

3-12. Complete la tabla que se acompaña. Todos los datos sa refieren
al mimo núcleo ferromagnético, El exponente de Steinmetz eon=1.6

‘ate miete [per a tacto, Perens por [radar on ot
on ee Fe

Dan Eco tut |
à 40d cou Tat |
2) aya) + En ental + 9 !
1205900 rar. 307) == À
3 g(a ona da triangular,
Per eo ME vote |
J trestencia 120 Da.

3-13. Complete la tabla que se acompaña. Todos los datos se refieren
al mismo nüeleo magnático. Los vollajes y flujos son nenoidales. El
exponente de Steinmetz es n= 1.8

Voltaje ticas Densidad de fijo [Frecuencia [Perdida de Histhrasie| coeyrass persas
O | Ce) Dr Zins)
aus m E FT +»
wu so = =
om 20 =

145. Excitación de Estructuras Ferromagnéticas con ©. A 133

3-14. Cuando un voltaje senoidal de 200 voi
aplicado a la bobina de excitación de un núcleo fe
2 alstécests es de 40 watts y la debida a las =
Sata, La densidad de finjo es 0.03 weber/m.# Calezie estas pérdidas cuando
Gn voltaje no senoidal ví) = 250 san 377 L + 71.5 sen 1131 ¿es aplicado a la
Bovina de excitación. La resistencia de la bobina de sxcitación es despracta-
bie. El exponente de Steinmetz 29 1.6.

3-15. Los datos sigulantes se refieren aunreacior de ndcieo de hierro:

(eficaz) y 80 eps. es

Voltaje aplicado a la bobina de excitación = 200 volts (ef), frecuoneta 60 cps

Flujo en el núcleo oA) ag sen 17M

Coreiente de excitación ig = LA sen 970 + 0.7 sen LISIE
+0.35 cos 917€
$0.2 os 11310

La resitencta de la dobina de excitación es despreciable, Determine a)
las peraidas en el alielen en watts y 6) el valor delos parámetros 6, 764
fen el circuito equivalente mostrado en la fig. 3-19.

in EL voltaje inducido en la bobina de excitación de un reactor
múeleo de hierro es e(t) = 200 sen 377 t, y ia corriente de exci
Tg © 10 sen (G77 Le 30°) + 12 sen (1191 1 - 60% Calculo o) las pérdidas
de ex mécleo en watts, 8) el valor eficaz de la corriente de magostizactón
Sn amp, y 6) el valor afieaz de la carriento de excitación.

SE Ta vovina de excitación de un núcleo de hierro laminado tiene
1500 vueltas. EI nücleo tiene una sección transversal de 20 cm .? Cuando
un voltaje senoidal de 500 volta (eficaz) y una frecuencia de 30 cpa es
Spllcada 2 la bobina de oxsitación, la corriente da magaetización (compo
Some. reactiva de la corriente de excitación) es da 0.4 amp (etlcaz) 2)
Seule Bun en el nieleo, 2) Sl un entrehierro de 6 um. de largo en in-
Groucido en el núcleo, calcule By. y 18 corriente de magnotización to”
fal (valor eficaz) requeridos para establecor el flujo, Comente la prectsién
el método usado, La resistencia de la bobina de excitación es despreciable,

Mia. Un nécleo terromagnätieo sujeto a una excitación de 0.a.está
echo de acero eléctrico USS y tiene las siguientes especificaciones:

Bobina de exeitación, 800 vueltas

Longitud media de la trayectoria magrática, 80 em.
‘Area de la sección transversal, 50 cm.*

Voltaje aplicado (aenoldal), 600 volts (eficaz)
Frecuencia, 60 pa.

Resietencia de la bobina de excitación, despreciable
Peso del núcleo, 24 Ib.

Calcule los valores de los parámetros £, y bx del ctrouito equivalente
Cael Sto, Las características de magrotización dec. 2. del material
ei möcieo son dadas en las figs. 3-21 y 3-22

SO ai un ontreklerro de 3 mm de largo es troducido an el núcleo
den teoviema "anterior, ¿cuales serán 108 meds valores de 4, 7 Bu?

20. Una bobina de 600 vueltas on anrollada enunncleodeacero.eltc-
entes USS. Las características de magnatizaciin de 6.2. del material del
Fo son dados en las figs. 3-21 y 3-22. La longitud media de la trayoo-

146. 131 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

orın magnética es 70 cm. y el Area de la sección transversal 22 30em?
E: voltaje aplicado es » = 600 (1.414) cos 377 1. La corriente de excita.
ohn es

LA = LA Ra UK, sen373-0.11 cos 377+ 0.05 sen 1131 1 0.04 cos 131t1

La resistencia de la bobina de excitación es despreciable. El pego del ni-
Giro es 24 lb. a) Determine Is, y #, en la expresión de is). Encuentre
LM Shun entrehierro de 4mm. de largo es introdueido en el núcleo, cúal
SF la nueva expresión de al), y cual será su valor eticaz? Desprecto los
flujos de dispersion y los efectos marginales an el eatrebierro.

221, El reactor mostrado en la tg. 3-27 tiene un núcleo hecho de acero
para transformadores USS del No. 72; tiene las siguientes especificaciones:

Longitud media de 1a trayectoria magnética, 20 cm.
Area de la gccción iransversel del núcleo, 80 cm?
Número de vueltas de la bobina de excitación, 1000 vueltas:
Voltaje senoidal de c.a., 100 volts (eficaz)

Frecuencia, 120 ep.

Corriente directa en la bobina de excitación, 0.24 amp.

Caleule 1a permeabilidad incremental de ¢.a-del acleo de hierro y la
inductancia aparente de la bobina de excitación. Las características de la
permeabusdad dac.a.v8. Bay son dadas on la Lig. 3-29,

3-22. Replta el problema 3-21 tomando en cuenta un entrehlerro de 1
mm, de largo on al mûcleo, Desprocte los efectos marginales en ol entre.
hierro.

3-23. Considere el reactor saturable mostrado en la fig. 3-21 (a) y su
característica flujo vs. corriente mostrada en la fig. 3-32 (0). Haga uf) =
20 sen 100 2 volts, R=200chma; #, = 10-* weber y M = 1000 vueltas. a) Haga
los croquis de las formas de onda de flujo y de la corriente; 5) Encuentre
la potencia promedio disipadaen R;c) Repita los cálculos en a) y 2) para una
amplitud de v(t) = 8 volts; à) repita los cálculos en a) y 4) para una amplitud
de w = 4 volts; y 0) Repita la parte d), con un rectifezdor Ideal en serie
eon el resistor de 200 ohms; esto es, use el mostrado en la fig. 3-33.

3-24. En el análisis de la sección 3-12 los efactos de histéresis de
material ferromagnético fueron ignorados y se usó un solo valor de flujo
vs. corriente. En algunos casos, sin embargo, esta idealización puede no
ser satisfactoria. En tales casos, puede ser apropiado el uso de un anillo
rectangular como el mostrado en la (igura que se acompaña, en el cual £
= K UN, donde HL es la fuerza coeretva, 11a longitud dela travectoria mag-
mtica en el núcleo, y N el número de vueltas en la bobina de excitación.
Repita el andlisis tratado en la aeoción 3-12, suponiendo lo siguiente: 1)
Vi = Van sen wl; 2) RE es despreciable: 3) El valor inictal del flujo < (0)
+ 0 cuando £ = 0, Discuta don casos: a) Ven = 2 un, 9 D) Va 2 Nas.
Las especificaciones siguientes se ratieren al amplificador
magpético de media onda de la ig, 3-38 (a) y a 2a curva de la fig. 3-38 +

2

= 13S webers/m 4 + 100m
A cm Ra = 100mm;

147. 135

Excitación de Estructuras Forromagniticas con C. À,
Fu $
|
|
e
i
Fu Le pr
Pron
Me 300 vueltas A, = ¡00 0hms
vu = volts

À, = MO vueltas
a) Haga los croquis delas ondas en estado estable de 40), $,(0, e 3b) Cal
Ahle la potencia promedio disipada en A, c)Caleule la relación de la potencia
‘de amplificación.

3726. Repita ef problema 3-25con ¥,.,=30 volta y compare Ina resulta-

dos.

148. capitulo 4

Transformadores

4-1 lntrodocci

En el capítulo 1 se estableció, que el almacenamiento y transferencia de
energía, se asocian con la conversión de energía electromecánica. Se
mostró que un campo magnético almacena energía. El propósito de este
capítulo es demostrar que la energía eléctrica puede ser transferida de un
circuito eléctrico a otro, estando esto último aislado conductivamiente del
primero, al hacer el acoplamiento por medio da un campo magnético
variable en el tiempo, Este acoplamiento magrético se realiza usando un
aparato ol cual, en su forma más simple, consiste de un nücleo con un
mínimo de dos embobinados. El nficleo puede ser lineal (por eserplo núcleo
de aire) g no lineal (por ejemplo micleo ferromagnético). SI es necesario,
30 usan más de dos embobinados, dependiendo del número de circuitos por
acoplar. Este aparato, además de transterir energía, sirvo para transtormar
voltajes, corrientes e impedancias. Por esta razón as llamado fransfermador,

EI estudio de lostranatormadoras os Importante a causa de sus extensas
y variadas aplicaciones y de sus interrelaciones con procesos y aparatos
para la conversión de energía electromecánica. De acuerdo con ol Área de
Aplicación, los transformadores pueden ser generalmente clasificados entres
grupos: a) transformadores de potencia, 106 cuales se usan conjuntamente
con generadores para una transmisión y distribución eficiente de energía
eléctrica, b)-tanstormadores de comunicación, usados conjuntamente con
amplificadores electrónicos para impedancias aparejadas de cargas y fuentes
‘com objeto de realizar uns máxima transferoncia de potencia a las cargas, y
en algunos casos también para aislamiento conductivade diferentes partes de
un sistema, y c) transformadores do Instrumento, usados para medir altos
voltajes y corrientes por medio de Instrumentos sensitivos de escala va-
dueida, conjuntamente con relevadores para protección del equipo en contra
de danos debidos 2 sobrecargas, cortos circuilos, ete, Las características
da los transformadores de potencia y da comunicación ge analizarán en ante
capítulo. Se detallarán otroultos equivalentes de losaparatos. Para informa-
ción concerniente a transformadores de instrumento, el lector podrá consul.
lar la literatura citada.

\
* Por ejemplo ver A. Puhstein,.C-Liod,y AG. Conta, Armen Current Machines,
An ein (New York omo Wiley & Sone, Ine, 1368) Capa 1

149. Transformadores 137

4-2 Un Teansformedor Ideal

Con objets de comprender los principios de operación de un transtormador
práctico $ determinar aus características, es conveniente visualizer se
delo ideal y obtener primero sus características. Después de esto, se
en cuenta las diferencias de un transformador práctico y un modelo
Jaen y las relaciones obtenidas para el modelo ideal se modifican conve-
mientemente

‘El dtagrama esquemático de un transformador ideal se muestra en la
fig, 4-1. Se hacen las siguientes suposiciones:

La curva B-A del material del sâcleo es lineal y de un solo valor.
La permesbiltaad del ndcleoes muy grande, jr=, El núcleo no tiene pärdisan-

2) Los flujos establecidos por las corrientes en los camboblnados son
encerrados eoteramente en el núciso, En otras palabras, el acomplamiento
eratico de as dos embobinados es perfecto, Todo el flujo establecido por
tuna bobina enlaza al de la otra y vicoversa.

3) Los embobinados no tionen resistencia.

OS Gecprecisblea la capacitacia entre 108 embobinados atelados y
el núcleo, asf como entre las vueltas y entre Jos esbobirados.

e

Lan [a u
E REC + .

a A i ” in
nn av 0
2 de M Ma * e

a am

Es obio que un aparato que satiaface todos estos puntos no ge logra an
1a práctica y como tal debe de considerarse ideal «

‘Gon roapecto a referencias positivas on la dirección delos flujos,
corrientes y voltajes, serán usadas las siguientes convenciones, Se deberá
estar. que las referencias no implican que las diferentes cantidades seso
wempre “en In atreceiön de La referencia positiva, ni tampoco que todas las
Cantidades tengan, todo el tempo, ol mismo signo.

1) EI mudo an el núcleo en dirección de las manectilas del celo] aa pO-
itive.

D Corrientes positives son aquellas que establecen fujos positivos, *

N

+ al enger I rechne 13 corroe con eeerenis postr, tnt Some, ai
we MS ses da yolaje intrpendies. Sia embueg® ya en da pricy, wo di
nta da Joe. No sac a era e 13 cornet rte te
er he mis que on panteon

150. 238 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

3) Los puntos colocados enlas terminales gupe=tores de 108 dos amöchl-
ados son llamadas marcas de polaridai, Su significado oa el sigutent
Una corriente varlable en el tiempo entrando por la terminal puntuada de un
embobinado, establece un flujo an el núcieoental dirasclän, que toa voltajes
inducidos en los dos embobinados tienen la misma polaridad relativa (en
este caso positiva) al de las terminales puntuadas,

EL arreglo de los embobinados mostrados en la fig. 4-1 no es el único.
Se pueden usar otros. Dos de ellos son mostrados en la fig. 4-2,

RS

a

ca

ig 4-2 Out amas aa fot encinas mme an un anton

Relaciones bésiras en un Transformador Ideal. Supongamos que los
sigutentos datos nos describan al embobinado 1:
M (0 voltaje entro las terminales del embobinado 1
iM corriente en al embobinado 1
da (D Majo establecido por é (6)
e, (0 voltaje lnducido en el embobinado 1 por el Mujo que Jo enlaza,
Mi número de vueltas en al embobinado 1.
Hagamos que a(t, daft) alt), Bo) y Na sean los datos correspon
dentes al embebinado 2
En vista de la suposición 2, tanto ¢y(t) como Sail) son Conlinadas
dentro del núcleo. Así por superposición, se obtiene que el flujo total
entazado de 108 dos embobinados es #1 mismo.

151. Transformadores 139

jo tor pit = dul) + ali) en

Los votajes inducidos en los embobinados son, de acuerdo con la ley de
Faraday, de Inducción electromagnética, en el embobinaso 1

ain (2)
en 4 embobinado 2:
en. me es
por consiguiente
so M (4)
a” e”

Como los exsbobinados no tienen resistencia, la aplicación de la Jey de

voltaje de Kirehhotf a los mismos nos dä:

HK = et) Ce]
wf = 0) ws

Pr an

De acuerdo con la suposteiön 1, como are la fm, neta requerida para
establecer flujos an el núcleo es Cero.

MAG + Mk en

de La cual obtenemos.

50 de en
an m . en

‚ntes son de diferente signo en un

El signo negativo indica que las corrien
130 1 en balanceado (o cancelada)

mismo instante, La tmm, del embodina:
por la fm. del embobinado 2.

152. 0 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Muttiplicando entre sí los lados correspondientes à las ecuaciones
4-7 v 4-9, obtenemos

OUD = (0 4-10)

La energía circula en direcciones opuestas en los dos embobinados, SI
un embobinado recibe una cierta cantidad de energía de la fuente a la cual
está conectado. el otro embobinado entregará la mismacantidad de energía
a la fuente a la que esté conectado. Un transformador ides] no puede
Almacenar energía.

Otra propledad Importante de un transformador ideal, se puede obtener
al reemplazar weft) en la fig. 4-1 por una resistencia R, como se muestra
ena fig. 4-3,

Suponga que, en cierto instante de Hempo, las polaridadas de los
voltajes y las direcciones de las corrientes son según se muestra. La
corriente actual en R, es 1, (0 y en términos de la referencia positiva de
la corriente, es igual à - (4.

e
in

un “E E

Re acy - er ay

De La ecuación 4-7, va(t) « vu) (Na/N.) y, de la ecuación 4-0 -taft) = f(t)
Avy). Sustituyendo estas relaciones en la ecuación 4-11,

EA;
A
rl) en

Una resistencia R, conectada al embobinado 2 parece tener un valor A}
cuando se ve del lado 1. En general, para una impedancia Z, , tenemos

6 wen fit cn

theming 27 69 llamado el valor de Zu referido al alo 2 del transtor=
ur

153. Transformadores a2

CI

4.3 Transtormader Mo Ideal de Micleo Li

Comparado con el ideal, este transtormador tiene las siguientes
imperfecciones

1) La curva 9-1 del nücleo es todavia lineal, pero la permeabilidad del
‘material es finita. Por Jo tanto la fmm. no es cero,

2) Los ttujos establecidos por las corrientes no son confinados entera-
mente al núctoo. El enlazamiento del flujo total en cada embobinado no
el mismo.

3) Los embovinados tlenen resistencia,

4] Ea transformadorea a muyaltas frecuencias, en el sango de radio
frecuencias los efectos de capacstancia no son despreciables.

‘En el presente análisis continuaremos despreciando los efectos de la
capacitancia,

‘En la tig. 4-£encontramos un trangtormador no ideal de núcleo lineal,
Ra y R son las resistencias de los dos embebinadoe. Los términos Auf)
y "2310 Son los enlazamientos de flujo en los embobinados 1 y 2 respectiva-
mente.

Las ecuaciones del circuito (basadas en a loy de voltaje de Kirchhott)
para 103 dos emabcblnados son: para el embobinado 1:

te nt pm ii

in — 0
HA me a
? 2
we moo
A Br fe 2

Rn cer

3 tas to
8-44 Un nato Lt on te Pw

a

Para el emboblnade 2:

deu
a

nt) = Rah) + Me

(15)

x
Estas ecuaciones no serán de mucho uso a menos que los flujos sift)
y Halt): sean referidos a la configuración geométrica del transformador y 2

154. pe:

1 CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMBCANICA

las corriente en los embobinados, Esto puede hacerse en dos formas 1)
usando el concepto de Flujos de dispersión, y 2) usando el concepto de flujos
propios y mutuos, Desoriblremos los dos,

te de Flujos de Dispersi
Eyutvaleate de va Trenstormad

Flujos de Dispersión. En La fig. 4-4, supongamos que el embobinado 1
leva una corriente #,/2) mientras i,() en el embobinado 2 as cero. Bajo

y Circuito Percat

44 Con

estas condiciones se muestran en a ti. 4-5 (a) y 19) respecsivamente, un
transtormacor y un etreuito representativo del nlicleo, Hagames
nt lO + en) win

donde Auf es el flujo total establecido por i,(t? solamente, 7a tes la
parte de Sul) que existe totalmente dentro del núcleo, por lo tanto enlaza
al embobinado 2, y 3: (6 es la parte de sul) que enlaza únicamente al eme
bobinado 1, se: no al 2. El término 4/0 es llamado flujo de dispersión
del embobinado 1 con respecto al embobinado 2.

7

101 Cut reprenne dl mico ar en Tay ST

155. Frans formadores 103
De la tig. 4-5 (bi, tenemos:
an = FAO ain

Sud = PaMeill) ws

donde P., es la pormeanela de Ja trayectoria magnética del flujo de diaper -
sión : fb, P es la permeancia de la trayeciorla magnätica dentro del
núsleo. komin à ambos ambobinades.

La ecuación 4-16 puede ser escrita

uk = (Pi + PAN à Pu Nie (19

Pu = P+ Pa 20)

Similarmente, son trazadas las fig, 4-0 (a) 7 (b), para el caso donde
hmv 08 dales £0, tomemos.

ould) = & + dto wen

psn as

— nro |
=H an
nn
Nala

Là Un sat med nn Ana in En 1) = 08 iii = 0.102
coreana Gl ices Sad eL.

sua.

156. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

donde tall) es el flujo total debido a i,(0 solamente, ses la parte

de “ut que existe enteramente dentro del núcleo y por lo tanto enlaza al
oinade 1, y 2 ft) es la zarte de que enlaza ünicamante al embo-

biraco 2, y no al°1. El término 3, /0 es llamado flujo de dispersión del
nado 2 con respecto al embobifado 1.

Ce ta tig. 4-8 (0),

40 = Pi) un

ETAT) Ren}

donde Pı, es la permeancia de la trayectoria magnética de &;, y P, esla
antes detinida La ecuación 4-21 puede ser escrita

dal NEON = Peed at
wii
nenn Per
ETA
un A un
= in \f] -
ns
ea ee ee

A 1 Or forte ice Anne un Ce)

157. Transformadores 10

‘Ahora, cuando ambas corrientes due iyf) están elsculando
embominados respectivos, como se representa en la (lg. 4-7 (2) y (0), el
Cnlazamiento tota! de flujo en estos es; Embobinado L

BAN) elo) + ét
#00 + entr) + 90

= D + A) ws
donde
PIE an
Embobinad 2
a=
= al) + ul + dal
= eo + 0400 an

Sustituyendo 4100 y 340 de las ecuaciones 4-26 y 4-28 on las ecuaciones
4-14 y 4-15 respectivamente, obtenemos. ë

nb RATS dy y Hot) ”
nenn a
y

vay ao e O tan

‘st definimos la Induetancia de dispersión del embobinado 1 can respecto al
embobinado 2 como

LW eo we)

y la inductancia de dispersión del embobinado con respecto al embobinado 1

dents)
La = Sed wn
A) we
st dejamos
wos
,
y

(430

158. sn ehe

16 CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMBCANICA

las ecuaciones 4.29 y 4-30 se pueden escribir como

A, oy
DEE Teer eo
,
mona o fans
nt
2e. x (437)
CE

un transformador ideal). Las inductancias de dispersión sa pueden expresar
an términos de las permesncias, De las eeuaciones 8-17 y 4-31, Lenenios

(4.38)

Similarmente, de la scuación 4-22 y 4-92

Ly = MP, (439)

Giulio Equivalente Parcial. Considera el circuito mostrado on la
e des. Las ocuaciones del circuto, basadas en LYK (lay de voltajer de
Pelt Bara los dos embobinados son dadas por Las octaciones 4-88 y
4+38, las cuales son también las ecuaciones para al transformation de Ie

A fy Re Le
mn mn
u AA
nen an gps nn
I ————

Rues

FOIE Cell anaes ara rantemmader no onu à

‘he. Ach: Por esta razón el eircuito de la fig. 4-8 es el ctreuito equivalente
parcial ¡dol transtorn.ador no ideal. Parcial” porque la fmm neta en of
posormador no Ideal es diferente de cero, mientras que en la fig, 4.0
Pann neta en ol translormador ideal es cero; equivalente” paris ion
cuatro bornes terminales de la fig. 4-8 tienen las mismas cordioiore

159. Transformadores 107

terminales que las del transtarmacor de la fig, 4-4 Esta discrepaneta será.
tomada en cuenta en la sigulente sección.

Se recordará que el circuito equivalente no describe Jas condiciones Inter-
nas del aparato. Representa al aparato golamente encuanto a las cordlotones
terminales,

Ahora continuaremos con el desarrollo del cireufto equivalente. EL
circuito de la fig. 4-8, tone que ser modificado para tomar en cuanto el
hecho de que la fmm. neta que actúa en el núcleo de un transformador no
deal es diferente de cero porque la y del afeleoesfinita. Esto significa que
Mi + Nag 40, Ambas corrientes it e i,t) no pueden ser cero al
mismo tiempo excepto cuando el transformador se desconecta de ia fuente
y de la carga. SI el embobinado 2 Se deja en ctreullo abierto y un voltajo
vb es aplicado à las terminales del embobinado 1, el transformador
ctia como un reactor y requiere por Lo tanto, una corriente de magnetiza-
ción para establecer ol (lujo du!) en el mícleo, Suponga que (0 es
dividida en dos componentes

100 = (O) + 60) 40)
donde f(t) sattatace la ecuación
MO + MAD = 0 ay

La ecuación 4-41 indica que cuando i,( = 0, entonces ihft es también
Igual à cero, © A = i (), 1a cual eo la corriente de magnetización del
transformador. Este cambio es incorporade 41 cirouito equivalente de La
fig. 4-8 al conectar una inductancia La a través de las terminales del
embobirado 1 del franslormador Ideal, El cisculosquivalonte completnos
mostrado en la fig. 4-9.

160. He CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

pto de Inductances Propia y Mu

En esta sección se desarrollará otro elrculto equivalente del transtor-
mador de la fig. 4-4. Refirtändonos a la tig. 4-7 (a) y (1), los anlazamientos
de flujo totales de los dos embobinados son zul) y 0 cuando ambas
corrientes tienen valores diferente de cero,

AO A + Gale) ny,

donde Auf) 98 el flujo debido a i,t) y aa Namado flujo propio, a(t)
es el componente de flujo debido a yt) enlazando al embobinado 1 y es
amado flujo mutuo, debido a ¿af

En términos de las permeanelas de las trayectorias magnéticas, de las
ecuaciones 4-19 y 4-23

(0) = Padi + Poio) “un

Similarmente para el embobinado 2,
210 = bat) + alt (40)

‘donde sali) es el flujo proplo debido a ¿(0 y ésos el flujo mutuo
debido a 4,1. De lan ecuaciones 4-18 y 4-24,

Hl) = Paie) + PAN) u

Sustituyendo las ecunciones 4-42 y 4-44 en las ecuaciones 4-14 y 4-15,
respectivamente, obtenemos

nn A

= Fr 46)

CCE

we m

0 = VER és

Detinamos las cantidados siguientes: Taductancia propia del embobinado L:

Lan Be (4-48)
Inductancia propia del ex bobinado 2
bout (449)

a

161. Transformadores

xo al embobinado Le

inductancia mutua del embobinado 3 con reap

Ha= MS
en

Ben]
Incuetaneta mutua del embubinade 1 con respecto al embobinado 2

den i
My = as

sustruyendo las esvaciones 4-48 y 4-50 en a 4-45 y las 4-40 7 4-31 08
Ya 4-47 y simplificando, obtenemos

PEO 3
et) = Ril) + La SE + Ma Gm cs)

Las induetaneias gropla y muun puden ser expresndas en terminos de Las
permeancias, De las scuaciones 4-10 y 4-48,

La (4-54)
Deinen a
a sa
betas ken 4 ya
Ma = NP (4-56)
eine ten MB y #51
a = OE, un
ni mao es
Las cocos 457 48 pue eat
a dm

> que come we gerne ambit al altar cría mue 1 Sm
AA como meri parse erate

162. 4
i

150 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Ai), dit
ate

De Ral) + be

«m

Estas dos ecuaciones describen al transformador no ideal de núcleo lineal
de da tig. #4.

Ahora considere el eircuito de la fig. 4-10. Las ecuaciones del circulto
para este sistema, son igualos 2 las ecuaciones 4-59; 4-80, Este ctrcutto
es por consiguiente un circuito equivalente del transfor

Fle 4-10 Oo cru sau ds nana no Kal |

La aiferencia importante entre este cireuite equivalente y el obtenido.
con anterioridad (ig. 4-9), es que éste no tiene transforimador ideal y que
los elementos inductivos de la fig. 4-10, no tienon ningún acoplamiento
magnético entre af, Una característica interesante de este circuito, es que
ya zen Zu - M 0 Ly - M, casi siempre alguno serä negativo, debldo a que
fen la mayor parte de los transformadores, el valor de inductancia mua
pata, usuajmente, entre los valores de lag dog inductancia propias.

Log "circuitos equivalentes de las fig. 4-9 3 4-10, obtenidos por dos.
diferentes métodos, no son mutuamente exclusives. Se puedo demostrar
utilizando pasos apropiados, que uno de ellos puede ser obtenido del otro.
Para llevar a cabo esta transformación, son necesarias algunas definiciones
y suposielones básicas.

10 y Constantes Asociados a saw
ui

Coeticlente de Acoplamiento. De las ecuaciones 4-54, y 4-55, 4-58 y
4-58

4-7 Cosficiante de Acoplamis
Transtormeder de Múct

MI Laly = NENEPL — NEM Pu Pa sn

SI no hay dispersión, ent noes

Pan Pas Pa (462)

163. Trans ‘ormadores 1
Un trasstormador semejante es conocido como transformador perfecto
En un cransiormador perfecto,

MO Lili 0 463)

à 61 jo de Aiaperain no on caro, PyR, 7 PRE à
AN a Puy y Pa. La ecuación 4-63 viene à 205 ES

en res
desigualdad,

Lala = MINHO = Pond < 0 oo)

Esta desipualiad desaparece al tncroducir un 1e ‘eouacién una constants

Kl0<2<ib.

à Le MA Ft 68)

e Mekvoh u

un

La consane K os Yamada confiant de eroplom eue En un transforma
a conta a. EL valor de os independiente 2 “mers de los embo-
Dr nde solamente, de las pormaaneias de 14 trayectorias de 108

upon.
nductancies de Disporsión en Términos de das Inductancias Propi

y Moe De as eesactones 4-9, 4-54 y 4-60

Must (4-88)
me P
zur, on so 38,1867 ES,
tenet wm

teh Formas Modificadas de los Circuitos EN ivalostes de Las
Figs. 4-9 1 4-10
ry
a esta apcesbn, eh circuito equivalente de I D 4-3 será modificado.
‘con micas à eliminas el transformador, Ideal Se obtendrä una forma, más
en mamada del circuito equivalente de la ME 210, y se mostrasá que

164. sa CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ana forma general no ex más que una delas formas modificadas dela
die, ¿70 En esta labor serán en particular muy útiles, aa ecuasionee 3a
7 4-60.

as Multiplique la ecuación 4-38 por à a
teniendo

Y, / Na on ambos lados, ob.

+ ant)

ath, O ey (4-70)
à
De ta ecuación dul
sn = 2
SET ery

Pa ta eeretacién 1:71 enla 4-70, De la ecuación 4-37, tonemos ae,
= ait), La ecuación 4-30 queda como

Be = ante) + Ri) + at, O. en
de

temor, MA ecuación 4:72 m la ecuación 4-35 para ae = auf,
obteniendo

y= Rat +8 ty IN

También sabemos de la ecuación 4-40 que 4, = ia à dj)
orn parauito de la fig. 4-11 es descrito por lag ectaciones 4-40 y 4-13
À un forma modificada de la fg. 4-0, Todos Ins sarhmetton son reteriane
a} dejo dei transtormador; 41 transtormader ideal ha sido ellmiaade
2, De una manera similar, divida ambon ladoa de la ecusciie do
entre a.

“0 Aa 4 au eis

nd
O a SO

De las ecuaciones 4-36 y 4-37, tenemos

o = ne - Akt, au (475

165. Transjormodares 183

Sustituya la ecuación 4-13 en la ecuación 4-74, obtentendo,

A bed diy
Oe Sait + SF DE Rad — La + KO 479

Fig 4-17 cheat aim to 1

de las ecuaciones 4-40 y 4-41, tenemos.

al) = le) + alte)

(0) aia) ~ iO) = alle) + 60) wm

Las ecuaciones 4-76 y 4-77, que describen al transformador na (deal, tam
blön representan al eircuito mostrado en la fig, 4-12, Esta figura en, por
consigulanta, un circuito oquivalente dal transformador 7 se puedo obser-
var fácilmente que es una modificación de Iatig. 4-9. Todos los parámetros
on releridos al lado 2, y el transformador ideal 99 ba eliminado, Observe

Fg 4-12 Gent ans reise ide 2

166. 154 CONVERSION DB ENERGIA ELECTROMECANICA

que el valor de la inductancia enparalelons Lu / 2” puesto que la corriente
circulante en ella es at, Alu y el voltaje entre sus torminaies 25 2, (tra

Te A continuación consiceremos el circuito equivalente mostrado en la
fig. 4-10, Las ecuaciones 4-59 y 4-60 desoriben este circuito. Escribamos
nuevamente estas dos ecuaciones coma

fa

WC = Rit + by BO + au BO (8)

FO)

ann = BRD + à um

El circulto de la (lg, 4-10 es modificado al establecer las ecuaciones 4-18
y 4-70. El circuito modificado se muestra en la fig. 4-13.

Una comparación de las fig. 4-11 y 4-13 (observando que Ls - aa
L., y La - M/a2 L, de las ecuaciones 4-68 y 4-69 respectivamente),
qué son idénticas exceptuando las industanelas paralelas La y as, Así
“se demuestra fácilmente que estas dos Inductancsas son iguales,

Fin 4-18 Forma medias ito data Fin 4-10

Supongamos que el lado 2 del transtormador (tig. 4-4), om abierto

y un voltaje mí es aplicado al lado L. La inductancia total ala que

aplica v.(t es la inductancia propia del emboblnado 1, según la detinl~

ción de autoindctancie. Por conslguiante, w(t) se aplica a una inductancia

L;. Ahora, en el circuito equivalente de la fig. 4-11, x(t) se aplica à

Li, + La. En el etreutto equivalente de la tig. 4-13, v(t) es aplicado a
13} Por consiguiente

Cerler (5-80)

Lo > Li alt (4-68)

167. Transformadores 155
sustiuyendo la ecuación 4-68 en a ecuación 4-80, obtensmos

Lon am a)

De este modo queda establecida la completa identidad da los etrcuitos do
las fig, 4-11 y 4-13,

Mg: artes son algunos comentarios sobre las selativas ventajas
tas los dos Sircullos equivalentes. El circuito de la tig: 4-9
Dado en el concepto de flujos de dlspersi6n, presenta un cuadro rene
ee en op Haieo que se presenta on un transformador; por esta razón
an dh para compronder el funcionamiento del aparato, Pero la presencis
e Digemadores ideales hace difícil la representación del circiito
di Iaboratorio. Basado en el concepto de Tas inductancias BEOBIA 7
Ma ai otro circuito equivalente mostrado en ta lis. 4-10, tiene le
me de que solamente son usados elementos pasivos y de que no bay
laaiento. maagnético etre los elementos, Este clreulio, por son
antes encuentra una gran aplicación en análisis transitorioe, dp Anne
pres y 28 aplicable al uso, ya sea de teansformaciones de Laplace,

o de otto tipo.
des Circuitos Equivatontes de Transformadores de Nidens
Farr áticos

Consideramos no hace macho transformadores con núcleos linsales.
a tronarormadores, sin embargo, tienen ncleos ferromagnéticos, 10%
Mer omo. hemos viso, Poseen Características de saturación y de
Reis. Es dirfell obtener ım circuito equivalente para un transforms

nues de hierro que represente, con suficiente aproximación, 128
ee erninates del aparato bajo ditacentes condiciones de operación.

a 4-14 e sauts urn en

168. CON VERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Sin embargo, la mayoría de los tranaformadores de núcleo de hierro son
sometidos en general a una excilación senoidal y operados la mayor parte
del tiempo en un estado estable. Un circuito equivalence que será satistac~
torın tajo estas condiciones, Se obtiene al incorporar al elreuito de la
fig. 4-3 una vesistoncia (mostrada como conductancta z ) en paralelo con
la faductancia Ly. El efrouito modificado se muestra enla fig, 4-14,
Como el circuito equivalente es trazado para una operación senoidal en
estado estable, los voltajes 5 corrientes son representados por números
complejos; las inductanciaa son mostradag como reactarciza o susceptan-
elas según el caso. La conductancia g representa Ins pérdidas en el
núcleo del transformador, y la corrionte /, circulando en h, representa
la equivalente senoidal de la corriente de magnetización no senoidal,
Debldo a esto, entoquemos muestra atención al arálisis en el capítulo 3
concerniente al circuito equivalente de un reactor de núcleo da hierro,
Las mismas observaciones se aplican al circuito equtvalonte de un trans-
formador de núcleo de hierzo en cuanto interesan ag, yb, . Para el caso
de una excitación menoidal y una operación en estado estable, las ecua-
ciones 4-35 y 4-38 son (en forma de complejos y valores eficaces).

Ra, Be din

Pia 4-08 Co ) Croviro equlvetonte a um wanuarmedor de núcine de hero con 10408 1on
macro raides stage MI = a) (8) Cieako anto un
armes be nie de hero son sos on soma ra a ce 3.
A a

169. Pransformadorss
Y, = WR, + Jah) + En
y
Vy MR, + job) + Be
donde
Mk + Mila = 0
heat
y
L-L+h

CE]
a

(5)
(439

(439

De 1a misma forma on que se realizó en el caso del eircutso equitas
ente do un transformader de núcleo LUnexl, los parámetros del ctreun

Monte de un wansformador de núcleo de hierro pueden ser seteriión
autor lado del tranatormadot, 7 el transtormader ideal de la Oe.
liceo ser movido a un extremo, 9 ain ser eliminado, Los cirovitos

«equivalentes reaultantes son mostrados on Ja fig. 4-15 (a) y (D).

4-10 Diagres
de Hierro

sc Treaster

leales para

Como un transformador de clea de Merro opera la mayor parte del
amoo en ontado estable senoidal, en Gil el trazo de diagramas complejes,
ene Stgramas pueden ser usados para detorminar la diferencia enire

Moe Woltajes ain carga y à plena carga, o para ealealar el fact

tor de potencia

soe a del transformador. El circuito equivalente de la tle, 4-14 es
ans nueramenie en la tig. 4-16, mostrando el suministro de potencia

Gel transformador a una carga de Impedancia Z,..

at -
Tg ms |
Tn]
Fonte Y; Ml eg Be,
i e

M]

pere à

4216 mangeant nerfs cm

170. 158 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Los diagramas complejos para ambos lados del transformador son
trazados separadamente (ver fig. 4-17). Se supondrá que Z, es inductiva,
ésto es, la corriente de carga 1, está atrazada un ángulo 3, con respecto
al voltaje Vy. La corriente de carga, =-1,, donde [; es la corriente de
referencia positiva. Sustituyendo esto “en. la ecuación 4-84, obtenemos

“mn

En da fig. 4-17 (a) el vector E, representando al voltaje inducido en el
embobinado 2 se obtiene al sumar an forma compleja a Vy la caída de
voltaje en la Impedancia de dispersión del lado3. El complejorepresentando
al flujo es ditujado atrazado 90* de E, debido aque exit) =N, ds, dt,

» E

uno Mb
mmm no

Are,
tado 2
io

PE

e
t wo

"e417 Olegamas complejos de un tunen

171. Trensformadores 159

En la tig. 4-17 (b) los complejos E,, © e K estan en fase con Ey, &
«1, dela fig. 4-17 (a) respectivamente, y E, «aE, e 21, /c.

La componente de pérdidas en el núcleo de la corriente de excitación
esti en fase con E, y la componente de magnetizaciin I, está atrazada
90" de Ej. La corriente total /, es el complejo suma dels, Le. Y,
es el complejo suma de E, el, Zi, la caída de voltaje en la impedancia de
lapersión del lado 1 debido al, cifculando en el embobinado 1.

Los diagramas también pueden trazarse usando los circuitos equiva-
lentes de 1a fig. 4-15 (a) y (0), Estos se muestran en la fig. 4-18 (a) y (0),
respectivamente, para una carga con factor de potencia atrazado. Es
imeresante construir los dlagramas complejos para cargas con factor de
potencia unitario y adelantado.

(a

atea oor

172. 150 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Imados de un Translarmador

4-11 Circaltos Equivalentes Ape
de Nides de Hiorrs

En la mayoría de 109 transformatores de nicleo de Merro, que son
operados a frecuencias de potencia (500806.p.s.) y usados en la alstriuelßn
de energía eléctrica a casas, Industrias, etc. la corriente de excitación
14 será pequena, 2 a 4% de la corriente suministrada por los anstorma-
döres a las cargas. Consecuentemente, la raza en derivación, que consiate
de la combinación paralela de 4, yy enla ig. 4-25 (a) y @) puede ser
movida à cualquier extremo del Circulo. Usualmente la rama en deriva-
ción se mueve al extremo Izquierdo enla sig. 4-13 (2) y al extremo derecho
en la ig. 4-15 (0). Loa olzcuttos remuiantes, conooidos como cireuttos
equivalentes "aproximados", son mostrados en la fig. 4-19 (a) y (). Las
Siguientes cantidades están definidas con rospecto a La fig. 4-19 () y (9.
En 1a fig. 4-10 (a) la resistencia equivalente del tranatormador referida
al lado 1

7 on ¿e ve

1

e418 rein emt a wun unter sa sa na

173. Transformadores 10
La reactancia de dispersión equivalente del transformador referida al lado
Yes

Xan La, + aly) = le, (4-89)

Sumilarmente en la fig. 4-19 (b), la resistencia equivalente raferida al
ado 2 es

a)

>

La reactancia de dispersión equivalente referida al lado es

+ La) sim aon

Es obvio que los diagramss complejos para los circuitos equivalentes
aproximados serán much más simples que los expuestos com anterioridad
part circuitos "exactos".

4-12 Daserminación de los Párámetros

el Circuito Equivalent

En las secciones4-4,4-5y 4-6 se desarrollan dos circuitos equivalentes
básicos para el transformador del núcleo lineal, uno basado an el concerto
de fajos de dispersión y el otro en el de inductancia propia y mutua. Se
oa en la nección 47, que las inductancins de dispersión se puede
Calcular, si se conocen las inductanciaa propia y mutun.

‘Por’ ous parte, para desarrollar un circuito equivalente en el caso de
m tranatormiador de núcleo de hierro, es necesasiousar el concepto de flujo
We Aapersibn. La razón para esto es que las pérdidas en el núcleo dependen:
ar voltaje inducido en la bobina debido al flujo tota colocado dentro del
múcleo, Mamado nef + Sait).

“Los mátodos y procedimientos de prueba que pueden ser usados para
delerotnar los parámetros del eirculto equivalente da un transformados,
dekemten de que 91 mieleo sea lineal o no, y de que si timen o no pérdidas.
FRE dependen de la capacidad do corriente y la frecuencia de opera”
ón del transformador. For ejemplo, en el caso de transformadores
Sqeñon con núcico de aire, 30 hacen las mpátclones precisas de 198
Patimetros por medio de un puente apropiado Je corriente alterna. Por
Ps parte, en el caso de transtormadores operando a frecuencia bajas,
(iecccncizs de potencia), on los cuales Las magnitudes de las corrienten Y

174. 22 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
da ios voltajes son razonablemente grazdes, es adecuado usar Instrumentos
alternos de medición tales como ampórmetzos, vóltmetros y wättmetros

No analizaremos los métodos que se refieren al uso de puentes de
corriente alterna para la medicion de los parámetros, * Usando Instrumentos
de medición, describiremos las pruebas de circulto ablerto y de corto
cuito an 108 transformadores, tanto para los de núcleo lineal como para
los de núcleo de hierro.

Medición de los Parémeiros de un Tranformadar de Xúcloo Lineal.
Los parámetros de interés son la resistencla, las induccancias proplas y la
seductancia mutua de los dos erbobinados. Estas pueden ser determinadas al
enlizar lo que usualmente se conoce como la prueba de ciscuilo abierto,

Considere el ctreuito mostrado ena ig, 4-20, Los transtormadores son
diseñados y construidos para operar a ciertos voltajes y corrientes. La
información concerniente al voltaje y corriente nominal, usualmente se
joe en una placa anos al transformador. La relación de vueltas del

Fraise de micos mt
lp. 4-20 Prue dera able on un werner

nominales de los dos

transtormador es Igual a la relación de los voltaje
embobinados.

Un voltaje senoidal (sin exceder su valor nominal), es aplicado al lado
1 segim se muestra en la fig. 4-20. Las terminales del lado 2 permanecs
ablortas Un vóltmetro de alta impedancia Y, puedo ser conectado a través
de silos. Se conectan instrumentos de medición para registrar el voltaje
aplicado, la corriente de entrada yl potenola en el lado 1. También ae regia-
tua el voltaje en ol lado 2. Hagamos que estos sean Pa, , Im, Pe, Y Eu,
respectivamente. Los voltajes y corrientes son valores etitacas.

Como el núcleo es lineal y sis pérdidas, la potencia consumida &.,, 03

disipada en la resistencia del embobinado 1.
La resistencia efleaz de ca. R, del embobinado L es por consiguiente
dada por

(4-92)

ag BEER en colar tono annonce crias, Der cima er MB. So,
ine. 100 “ ” q

175. Transformadores 163

La impedancia propia Z, del embodinado & +3

vo
= us»

Te

z

La inductancia propia del embobinado 1 es

Le can)
donde Y es 1a frecuencia del voltajo usado.
‘La inductanela mutua del transtormador 08
1 Ew aon

Mae

Los parámetros R, y La del embobinado 2 del transformador se obtienen
e PR anges similar, al realizar la prusba de circulto abterto, con el
atinado 1 en vacío y aplicando un voltaje senoidal (sin exceder el
or nominal) al lado 2. Las mediciones de voitaje, corriente y potencia,
on ahora etsctuadas en el Lado 2.

Tas scuaciones 4-68 y 4-89 a0 usan para obtener los valores de las
inductancias de dispersión de los dos embobinados.

EJEMPLO 4-1. Los siguientes datos se obtienen de las prueban de
aire abierto en Io» dos embobinados de un transtormador de seine
ae 2 retaelte de vusttas as M/Na = 0.5. Cuando con ol embobinado 2
Mo se aplican 20 volta eficaces al embobinado 1, a una frecuencia de
Too ero la corrieme es 4 amps, y la potencia 64 watts, Cuando con nl
e cei 1 abierto se aplican 60 volts eficaces al embobinada 2, a te
a de 100 e-p.s., la corriente es 3 ampe. y la potencia 144 waits
Denis Jaa restetencias Rı Y Ra, las inductancias propias La y la 1
art mutia M, as inductancias de dispersion Ls, y Loy Y et coeficiente
do acoplamiento K del transtormador.

in: Uae el circutlo equivalente del transformador mostrado on
la fig. 4-10,

erh: (embobinado 2 abierto): Impedancia propla del embobiazdo 1

0
2 - sone

Resistencia:
‘

PE som
6

wt, = VIE - Johns

176. mm: CONVERSION DE ENERGIA ELEC TROMECANICA
inductancia propia
La a * ak milihenrys
"aa i >
Ineuetancia mutua;
6
eL som
Ma A. 63m
a

Prueba 2: (con el embobinado 1 abierto): Impedancia propia del embo-
binado 2

= $- monms
7

Resistencia:
Re eS ohne
wt VRR» ohm

Induetaneta propia:

La relación de vueltas:

Inductancia de dispersión:

Let

iM = LS mh
Induetancia de dispersión:

wen Lo ma
L
Sie dem Purimeras de un Tapaormaor de cea de Her,
Lo pasitos for dern wn D re ee
is don grins en nn 0
CT

177. Transformadores 165

En al caso de los transtormadores de núcleo lineal no es necesario
realizar las pruebas a los valores nominales de voltaje, corriente y {re-
cuencia, porque loa valores de loa parámetros gon Independientes de estas
cantidades. Por otra parte, los parámetros de un transformador de núcleo.
de hierro, en particular & y du, son afectados por las condiciones de
operación. Los valores de £, y Lu (la inductancia correspondiente a D, )
determinados a una clerta denaldad de flujo y trecuenola no permansceran
constantes mt la densidad de flujo 3/0 la frecuencia es variada, como so
presentan los efectos de histárentoy de saturación, afectan los valores de las
pérdidaa en el núclooy delacorriente de magnetízación. ES por consiguiente
habitual, determinar los valores de los parámetros de un transformador de
mieleo de hierro a su voltaje, corriente y frecuencia nominales on vista
de que, por lo general, 30 esperaque el tranatormador opere la mayor parte
del tiempo a condlolones nominalas o muy cerca de ellas.

Los parámetros son determinados de don prusbax corto circuito, y
circuito abierto. Estas se desertotcán a continuación.

Prueba de corto circuito. Eletreuftousado para asta prueba se muestra
en la fig. 4-21. En esta prueba uno de los embobinados del transformador
9 puesto en cortovircuiba Se puede (nchuir un ampérmetro (que es un
aparato de muy baja impedencia), para medir la corriente en el embobinado
en corto oireutto,

7 el me

4-20 Prada ds or an un MALO nica bare

Se aplica al lado 1 un voltajo senoldnt a frecuencia nominal), (#0 au
pone que el lado 2 30 encumtra en esto análisía on corto circuito), y
ajusta su valor de tal manera que, circulen en gus dos embobinados Las
corríantes nominales corremondientes, Se registrarán el yltaja de entrada
Ys, la corziente de entrada Le, (la corriente nominal del embobinado 1)
y la potencia de entrada Ry. Sl nos referimos al circuito equivalente
prenne" mostrado en tavig.4-10(a), son evidentes la Folación de astas
lecturas à los parámetros del transformador. Este cireait ee representado
meramente on la fig. 4-22 (a) para la prueba de corto circulo.

En 1a mayoría de lostransormadores de núcleo de hierro, los fabrican-
tes se esfuerzan continuamente por mantener las pérdidas on el núcleo y
Ja corriente de excitación, tan bajas como nea poryble. En lag. 4-18 (a)
entonces, cuando el transtormadar se opera bajo conilciones nominale
19 serk pequeña, unualmente del al por Ciento de 1a corriente nominal,
Cuando uno de los ensbotinadoe ss pone en corto circuit, se requiere 2610
un pequeño voltaje para obtener as corrientes nominales en los emboblnadan

178. 166 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

debido a que dichas corrientes son limitadas por la impedancia de dlaper~
“ión de los embobinados. En consecuencia, la densidad del flujo en el núcleo
será pequeña en la prueva de corto clrcutto y las pérdidas en al nicteo y la
corriente de magnetización será todavía mia pequeñas que sus valores bajo
condiciones sominales. Por consiguiente es permisible para los cálculos en
Ja prueba de corto circuito, omitir la rama en derivación y usar el circulto
equivalente simplificado mostrado en la fig. 4-22 (b).

Le, Fea, Yea,

tol

vor
ig 4-22 13 Chin acuvaantasoronimado vr de Y pre la probe se co

rune. | 2} Circuit Amplia meto pena! on tral

La impadascia de dispersión equivalente del transtormador referida al
lado L os

Zao wo
La resitencia equivalent? referida al lado L os

“m

179. Trarsiormadores 187

La resclancia de dispersión equivaiente referida al lado L es

Kun VA TRE (4-98)

tna vez que 30 conocen Ru, Y Xm Pueden caleularse 2, Ra,X,, y Xs
por ica métodos. En el primer método, se harán las siguientes suposicto-
es 2) los dos emboblnados tienen la misma longitud por vueltas, 2) el área
de 1a sección transversal dal conductor es proporcional ala corrlente
Nominal del embobinado, y 3) la trayectoria magnética de los flujos de dise
persion de los dos embobinados es esencialmente la misma. Bajo estas
condiciones, se puede mostrar que

Rar y eo 99)

donde a = 24/N,, la relación da vueltas,
De las ecuaciones 4-97, 4-08 y 4-99,

Arta y a As +100)

y ane (0

En el segundo método, las remtrtencias Shmicas de c.d.de lox dos
‘embobinados son determinados por el método del vélmetro y ampérmetro,
Se supone entonces que

Be ty Ra
Babe te (4102)

Usando asta relación se puede mostrar que

Roe KR Y Ram Ka
a E oly Kike (103)

à se deja a estodanto com erro, In anión de a canciones 4-99 74-103

180. 158 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La prueba de corto cireuito puede también realizarse al poner en corto
eircuito al embobinado 1 y aplicar el voltaje apropiado al embobinado 2 £5.
ta prueba proporcionará R,, y Xu, resistencia y reactancia de dispersión
squivalentes reteridas al ladó 2 del transtormador, 8,, Ru, X, y X, pueden
ser obtenidas por los des métodos descritos con una apropiada modifica.
ción de las ecuaciones 4-100 y 4-104. La potencia consumida y al factor de
Potencia serán los mismos que en el casoanalizada antertormente, siempre
y cuando en ambas pruebas circulen en los embobinadoa las corrientes
nominales, Esta potenela consumida, a corriente nominal, en la prueba de
corto circuito es la pérdida nominal en el cobre del transformador.

Prueba de circuito abierto, El circuito mostrado en la tig. 4-20 para
transformadores de núcteo Lineal go puede usar también para transtorma-
dores de núcleo de hierro. Sin embargo, en el presente caso, el procadi-
miento de la prueta y la interpretación de los resultados son diferentes.

Como el núcleo no os lineal y eno pérdidas, los parámetros de 4, y be
de un transformador de núcleo de hierro dependen de las condiciones de
operación. Voltaje y frecuencia nominales se usan como regla en esta
prueba.

Con el lado 2 ablerto{un vóltmetro de alta impedancia puedo concentrar-
se a través de aus terminales), se aplica al lado 1 voltaje y frecuencia
nominales, registrando en dicho lado el vollaje, la corriente y la potencia.
El circulto equivalente aproximado de la fig. 4-19 (a) se represente nueva
menta on la fig. 4-23 para la prueba de circulo abíerto. Hagamos que Ya y
Lx, Y Ea, » Fepresenten ol voltaje, corriente y potencia de entrada respacil-
vamente.

ft, Ho

Fig 4-22 Elcano aidan probo pers la pr de cuis ablarto e un ane
forme se née error

Es obvioque losúnicos parámetros que tlenenque ser considerados en la
Prueba de circuito abierto a0ng, y bw . La impedancia de dispersión no afecta
a los datos de prueba.

Admiianca y dolarama paralela I (2105)

181. Transiormatores 159
donde
tibe y ele VERTE (4-106)
2
„Zu «one
ce CT
Por consiuiente
bu n VE 108)

EL sino negtirosolamente indica que ben una suscestania inductivo. La
pare do eee De reprana L por nominal en ei el del
narrado

Ta Feet de eurcuto abierto puedo tambn realizaca con el Io 1
acierto, y apleando sl voltae nomial a lado 2 a Potencia de era y el
{actor puanea serán foe mlomos queen el cago anterior, a echran
= Tilley Cri deca Urra to educa y Ir tana
Si A Obadrvese ang.
ro

“EM BLO 4-2. Los siguente datos sonparaun tanstormado de nácieo
de erro de Oka, 1000 vlt/ 200 ots 0 cps. Los tales ycorientes
fon dudo en valores efieaces

Vala | CR | Paes
ka Camp ‘eur.

‘Corie dato 100 y 73000 | Lado dora

en coto cl

Citas | 200 » om | Lado deis al

L Lance ee

Calcule las resistencias y las reactanciarde disporsiónde los embobina~
dos, así como la conductancia 7 y la susceptancia da . Trace un etreulto
equivalente exacto referido a) al lado de alto vollajo y dal Lado de bajo
voltaje, & indique en cada caso los valores de loa parámetros del circuito.

Solución: El subfadice 1 se usará para referir el lado de alto voltaje
y el sublndice 2 para el lado de bajo voltaje. La relación de meltas 09

Pr Pe)
am

* Alguna ree ta pica en leo del minado, A, o sm demprocaes,
seein renames Pu, Ya valor correo we art para Clear Y

182. 179 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Las corrientes nominales de los embobinados se cetienen al dividir Jos
volt-amperes nominales del transformador por los raspecttvos voltajen
nominales de cada emboint=ado.

La cosrieme zomizal del
amps, x, slmilarmente, para el embobinado de bajo voltaje la corriente es
La = 300 amps.

Prusda de corto circuito, Como el lado de bajo voltaje está en corto
cireuito y “odas las medidas se hacen en at lado de alto voltaje, los valores
de los parámetros calculados de esta prueba serán referidos al lado de
alte voltaje.

La impedencia de dispersión equivalente, referida alladode alto voltaje

Ye 100

Eo

y la resistencia equivalente

Ra = Te

La reactancia de diaperstén equivalente

VAR

0.98 ohm

De la ecuación 4-08
R= Oiohm y 22 00060hm
X,=0490hm y X= D0I96ohm

Brusba de ctrcuito abierto: Como el lado de alto voltaje esta abterto y
todas las medidas son hechas en el Lado de bajo voltaje, los valores de los
Parámetros obtenidos de esta prueba son reteridos al lado de bajo voltaje.

ne VAE alos Be ou to

m

- - VON WR = -0.097 mo

183. formadores

Be Le, = 9.001 mb

= -0.003 tho

Reo
— ww
1,
Y im,

An 000 01006

Win +
[a
do" RS Ye

ip. 424 (a) Gui aura ect el matarme a cis nam et alee 42 re
(e ano vale. Cirat waives ac al unternäder de nd

Los valores de los parámetros calculados de las pruebas de cizculto abierto
y de corto oireuito están indicadas en los ciroullos equivalentes mostrados
enla fig, 4-24.

184. im CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
4.13 Carectorísticas de Foacionamiento de los Trunstormudo
de Potencia

La regulación de voltaje y la efictencta son las dos cardeterfsticas de
mayor importancta en el funclonamientade Los transtormadores de niclco de
hterro, los cuales son usados en alatemas de potencta para la transmisión y
distribución de la energía eléctrica, Al analizar estas características, se
¡supondrá que Los transtormadores están eujetos a voltajes senoidales y on un
estado establo, Esta as una suposición válida, porque la mayor parte del
tiempo los transformadores de potencia operan en un estado establo senoidal.

Reyuluvion de Voltaje de los Transformadores de Patencia. La
regulación de voltaje es una medida de la variación de la tensión de salida.
de un transiormador, cuando la corriente de carga con un factor de potencta
constante, vacía de cero a su valor nominal. Considerense los dos embobinados
del transformador mostrado en la fig. 4-25 (a). La carga está conectada al
lado 2 y la fuente de voltaje allado 1. Supongamos que a] transformador está
entregando à la carga una corrrionte nominal a un voltaje nominal y con un
factor de potencia específico, La fuente de voltaje es ajustada para obtener
voltaje y corriente nominales en los terminales de la carga. Si la fuente
de voltaje se mantiene constante a este valor y 1a carga es desconectada del
transtormador, el voltaje de salida del tranaformador cambiará;la diferen-

valores del voltaje de salida cuando está sin carga, y el
carga, expresada como una fracción del valor nominal, 83
detinida como la regulación del voltaje nominal de] transformador a un
factor de potencia específico. Referida a la fig. 4-25 (al,

Porciento de regulación de vottaje =100 Hu. = Ln -
mal (109)

Como generalmente, la corriente de excilaión sorá pequeña congarada con
Ja eorriente nominal de un transformador de nicleo de Morro a rama en
derivación consistente de £, Y Da puede no considerara pare clairs de
regulación de voltaje. Eatecireultoequimlente plie referido al lado
Lie muestra en La (lg 4-25 D). Sponiendo que la carga es inti, es
trarado en la tig, 4-25 (0), un diagramme complejo pare Oh
Cuando el transformador ostá entregando la corriente nominal,

a un factor de potencia cor 9, y el voltaje de carga os Va, El corrempas®
tente vola de entrada us Y; /0 referido ai lado, Cuando la carga 20
Fermuevo, manteniendo e voltae de entrada constante. 20 observe en ig
£25 (o) que el vita on las terminales de carga, canto, = 0,66
Via Por conalgtento Ia scuación4-109 puede eseribiese como

Lai = 41
Porcienta de regulación de voltaje = 100 HAB (4.119)
aj Ti ]
donde y
Y
GR + ita) “un

Los términos Vz Y I, son los valores nominales.

185. Transformadoves

ig. 4.28 (0) Un aratarmacar da nöche #4 Hure doe waibinses manande una cage I
a O Un ciate seven rp raid ao 2 ot ratones
tro an (a) pactos ora aoc a vto (En drame mel dl parto (1)

En el análisis anterior, el otreutto equivalente referido al lado 1 bien
pudo haber sido usado para calcular ia regulación de voltaje. También
pueden ser intercambiadas, la posición de la carga y la fuente, Sólo se
muestra en la (ig, 4-25, una de las cuatro posibles combinaciones, las otras
tres, que pueden presentarse, se muestran enla ig, 4-26. Para la regulación
de voltaje en ostos tres casos las expresiones son las siguientes:

Enla fig. 4-26 (a), Vy e 1,, son valores nominales y

oi lea it) ein

lav,

Fa eu»
D

Porcento de ral de ole = 100 LY

En la fig. 4-26 (b), Y, @ IL, Son valores nominales

OV, = Vi + la, + Med an

186. CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

Laval In!
Potciento de regalación de voltje = toy Let LEE

ens)

nm
% Má

ta

ie 4:20 Oups ren ula penis para cc del coat eva 4)
La ora ono 0 Zy o rauhen mailen sde Yo Tal Game
‘= Se ya eeu sen reir tesa Y Le rain teas?

En la fig. 4-26 (0), VE e I, son valores nominales y

Me la ete) a

187. Fransformadares ars

[val

Porciento de regulación de voltae = 100 LE «m

Ahora obtendremos una expresión para iz segulación de voltaje; para
este propóailo, se teaza mevamente en la fig. 4-27, el diagrama complejo
de la tig. 4-25 (c), La construcción de las líneas adicionales es para {ac
1a derivacién.”

De la tig. 4-27, tenemos

Ivy] 04 ena)

(4-119)

o Ss + -] e119)

Como CD/OD generalmente será musho más pequeño que 1a unidad, La
serte infinita converge rápidamente; por consiguiente, puede realizarse una
tu aproximación sin perder precisión al conalderar solamente 10s dos
primeros términos de la serte infinita de la ecuación 4-119 Da

+ Or mbtod pur aber eta prendo es usa Agr compleja, ero e, escribe Va»
10 Y la corrio ty, como Ly con, = ly mre as cesante, Los dette be

188. 116 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

[y] 1 [coy
= 00 - 00 « (£2 se
fa + (0) ad
oC - of
rico de pación dv = 10 ( 2S 04
Pe pe de 10(2€ 2)
= 100/42, 1 cn |
toa * Y 047% (0AXAD),
AD 1 fcoy]
we]
Ber] emo

Como (0 A) (A Di < <0 A? en el segundo término, De la fig. 4-27, también.
tenemos las siguientes relaciones

AD = AF + ED IR C088, + le Koa ae (46122)

CD = CE - DEIN — LR real, — (4123)

Sustituyendo las ecuactoses 4-118, 4-122 y 4-123 on la 4-121, obtenemos -

pr fit

(factor potencia de la carga atrasado ) [m st +

L flo cosy, gen] (eno

"IVE % 7

En el análisis antorior, la carga fué supuesta inductiva. SI 8, es consi»
derado positivo cuando la carga es Inductiva, entonces eg negativo para.
cargas capacitivas. Como cos 6, = cos (-9,) y sen 8, == sen (-9, )
para cargas capacitivas 1a ecuación 4-124 llega & ser

Porc de mgulción de ole 0
(factor potencia de In cargeudelanude) ”

+ fale en

189. termadores a

Las scuaciones 4-124 x 4-125 pueden también sseribirse en términos de los
parinvetros del voltaje de la corriente reteridz 4 lado 1 del -ranstormador:
Estas ecuaciones se usarán en el siguiente ejersplo,

EJEMPLO 4-3. Calcule el porctentonominal de regulación de voltaje del
transformador descrito en el ejemplo 4-2 cvardo el factor potencla de la

area as 0.6 adelantado. D} la unidad y c? D.6 atrasado,
‘Se usará el circuito equivalente referido al lado de alto voltaje {lado 1

en al ejemplo 4-2). Del sjemplo 4-2, tener

Ba 20m y Xu, = 0980hm.

poros Damp

Ham = 1000 volts y
Por consiguiente

y

as Factor de potencia de la carga, 0.8 adelante
cor = 06 y md = 08

Al sustituir valores muméricos en la ecuación 4-125 noe dá.

Porciento de regulación de voltaje =- 8.38 porciento
El signo negativo implica que el voltaje sin carga es menor que el voltae
nominal a plena carga.

> Factor de potencia de la carga, unitarto:
comet yen nt
Pardes ser usadas ya sea la ecuación 4-124 o 52 ccuación 4-125
Porciento de regulación de voltaje = 1.57 porciento

©) Factor de potencta de ta carga, 0.8 atrasado;

4006 y wend = O8

ecuación 4-124 obtenemos.

Porctento de regulación de voltaje + 9. W porciento

Klicivucia de los Trausrormudures de Potencia. — Consideremos el
travsformacor de núcleo de hierro mostrado en lafig. 4-25 (a). Supongamos
que el voltaje de salida se mantiene constante al valor nominal y el trans-

190. 178 CONVERSION DE ENERGLA ELECTROMECANICA

tormador con factor de potenela cos 8, , está entregando a la carga, una
corriente /., {no necesariamente del valor nomirail. Las pérdidas on el

ansormaddr son las que se tleses en el núcleo debidas ala histarests,
a las corrientes parisitas y las Shmicas en las resistencias de los dos
embobinados. Por P representemos a las pérdidas en el núcleo; Como las
pérdigas en el neuleo son dependientes de La densidad de flujo y de La tre~
cuencia (ge supone enesteantlisisuna operación en estado establo senoidal),
puede considerarse que ?, permanece constante el tiempo que el voltaje
de sallda y la frecuencia sean mantenidos constantes.8 Las otras pérdidas,
las thmieas en los embobinados, están en unción de la corriente. A cuaiquier
corriente 1,, las pérélas óhmicas totales en eltransformader son /2, Re;
estas péraldas son llamadas pérdidas en el cobre,

potencia de sli
DEEE TES TT
tal. cost,

” Finest + P+ Re,

Eficiencia del transformador 4 =

es

Si 1, es la corriente nominal, entonces se obtiene la fictenota nominal

del trinstormador.
EJEMPLO 4-4, -Calcule la eficiencia del transformador del ejemplo
4-2 bajo las siguientes condiciones: 1) el factor de potencia de la carga de
0.8 atragado con @ f;,igual al 25% del valor nominal, ») /, goal al 50% y
€) ldual al 100% del mismo valor nominal.
Repita los cálculos indicados 12)um factor da potencia de 0

y 3) un factor de potencia unttario.

Solución: Voltaje nominal = 200 volta; corrtente nominal = 500 amps.
De la prueba de circuito ablerto, las pórdidas nominales en el núcleo son
P, = 1000 watts. De la prueba de corto círculto, las párdidas nominales en
el cobre son 2000 watts; mientras las pérdidas en ol mieloo permanecen sin
cambiar, las párdidas en el cobre dependen de la corrieste de salida, como
sigue:

adelantado”

tes a
or commet =

ester nomina ES
28 le dl vtr nominal is

La eficiencia puede ser caleulada, sustituyendo los valores apropiados
en la ecuación 4-126. Los resultados son tabulados en la tabla

* nay una rareté en À dada acablon en el oo e ete que son eecrados para.

Variación de # aerkpegonts y por Le ano puedo zer ceapreinds,

191. Transformaiores 179
ama 4
Ton LE
rene BEL EEE
3597 dl nor nal mr | MD
5091 de var sat ms | Sea
Valor neal Sa, CI

Effciencia Maxima, Una comparación de las efictencia a diferentes
valores de la corriente de salida y al mismo factor de potencía, indican que
la eficiencia tiene un máximo valor a alguna fracción de la corriente
normal. Eniaecuieiin4-126, I,, asla Única variable si el factor de potencia.
de la carga se mantiene conatante. El valor de L,, al cual la eficiencia ea
máxima puede ser encontrado al establecer “ind, ) =D resolviéndola para
Le. Si el signo de la segunda derivada (dy, l'es negativo a coto valor
AL, » entonces la eflciencta será maxima,

de a
DE (costa + Fe + HR Hor,

(sls, cos) (Kost + Au Em
Innos, + P+ Regd 0

quedando al simplitiear

fae VE @127)

El signo de 49/42, , a ente valor de L,, es negativo. La ecuación 4-127
por consiguiente, 24 el valor de i, Pura la máxima eficiencia, Mul-
Eplicando y dividiendo el lado derachb de la ecuación 4-127 por el valor
nominal de /,,, Oblevemos

EA

laz (par mixta aie) + Pnau Vp

- ES
Losas Y EEE (4.128

Si las pruebas de circuito ablerto y de corto circuito se realizan a condi-
clones nominales, como generalmente sucede, la equación 4-128 llega a ser

7 ¡Po
I, Co br ec) = Manas YE 1129

192. COVERS

N DE EXERGIL ELECTROMECANICA

dore oa eux teísa an la prueba de circuito asrerzo y 2. es la
veria yeti am la prueba de corto circuito.
‘plore lo máxima eticiencia a cuelquter factor de potanc

4 ge “tiene al sustinar 1a ecuación 4-128 en la ecuación 4-126.

y FT Pr 00504
V Pai Pecos, = 2

Eficiencia mixin 4-130

Multiplicando ambos lados de la couación 4-129 por F,. obtenemos

Vottanperes delta pur máxima eficiencia AE is
Voltamperes nominales de saida del transformador ” Y Pu 3

Esta relación os la misma para todos los valores de cos 9,

EJEMPLO 4-5, Caleular la máxima eficiencia del transformador del
ejempiod-2 aun actor de potencia dela carga de 1) 0.8 atragado y 2) unitario
y en cada caso, calcular a que porciento de los volt-amperes nominales de
salida, ocurre la máxima eficlencta.

Solución: De la ecuación 4-191, la eflctencta mixima ocurre cuando

RL VE 000709 ss .

Esto es, la máxima eficiencia ocurre al 70.7% de los volt~amperes nomina-
les de Salida, siendo en este caso 70.7 kva. independiente del valor del
factor de potencía. El valor de la eficiencia máxima, sin embargo, dependa
del factor de potencia de la carga. Sustituyendo valores ruméricos en la
acuación 4-190, la máxima efictencia so obtiene como sigue:

Etiotencta Máxima

Factor Potenela de la Carga (porciento)
004 atrás 96.5
2) unitario 95

St las pördidas enelcobrea corriente nominal son menores que las pérdidas
en el núcleo à voltaje nominal on un transformador, entonces la eficiencia
máxima ocurrirá a un valor de salida superior al nominal.

Dursmerus Normalizados de un Traunfommsdar de Núcleo de Hierro.
Con frecuencia se ha visté la conventencia de expresar os parámetros de un
transformador como cantidades normalizadas, Los valores nominales de
voltaje y de corriente y los volt-amperes nominales del transformador se
usan como cantidades bases para esta normalización. Las ventajas de este
procedimiento serán evidentes si, por ejemplo, consideramos al etecto de

193. Tronstormaores 281

las resistencias de los embobinados en la construcción del transtormador.
Us afecto Le la presezcia de las resistencias es hacer al voltaje disponible
en las torminales de salida, menor que ol voltaje aplicado a las terminales
Se emrada del transformador. En Mgar de hablar acerca de 304 valores
ónmicos 22 las resistencias y de las corrientes circulando en elias, puede
Ser mnie All expresar la calda de voltaje on las resistencias somo una
fraceiin 2 vollaje nominal del embobinado respectivo, Ex la fig. 3-19 (a)
Ra es la resistencia equivalente de un transformador referida al lado 1,
2 fol voltaje y corriente oomisales respectivamente en el lado
1. à te

no fy Ra, Y, es detinide como la resistencia normalizada, 0
mejor conrcida como ia resistencia por unidad, fa

hab

7 “im

Similarmente el valor normalizado de la reactanciade dispersión del trans
formador es

4133)

any

Los valores Rye Xyr Y Zp, pueden también definirse en térmicos de as
cantidades veferidas al lado 2, Se puedo demostrar fácilmente que las si-
entes relaciones son verdadaras,

voltaje enla pruebe de coto cet a corcinte nominal

a A
"voltaje nominal BD

Ze

ambas mediciones en el mismo lado y

ae

Como ¿os transformadores de potencia generalmente operan con voltajes.
sominales. a valor normalizado del voltaje de salida es tomado som la
nidad, es caeir,

CA eon

La corriente de salida puede variar. 61 valor normalizado de la corciente
de salida es

194. 'ERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

orient de salida en amperes PER

I omite —

ones en el mismo lado. Daremos ahora algunas otras definl-

Pérdidas en el cobro normalizadas:

ETA

(2 =
Voltamperes nominales del transformador

Es sencillo mostrar que
(Pathe = Row 4140)
Conductancia en derivación normalizada

Yin He
- Een 14
ee Corny

#

donde E = ag, se expresa en mbos, y tanto voltafe como corrientes
‚son Talords nomináleg,
Péraidas en el núcleo normalizadas

= Pilea mama en nt (7)
‘eltampees nominales dei transformador ©

‘tendo sencillo mostrar que

- wi

La regulacion de voltaje y la eticlencia del transformador se pueden expre-
sar en términos de cantidades normalizadas. Las ecuaciones $-184 y 4.123

See nae ICO cord, à Kunde)
UH RGO a = Amen] (6140

donde Los signoe supertores son para un factor de potencia atrasado y toa
signos infertores aon para un factor de potencia adelantado.

195. Transformadores

SI en la ecuación 4-126, Y, e I, son ssixres nominales, se obtiene
la efieieneta nominal. En términos de caltidados normalizadas
Ein aun factor „Wh
porencindecam O38," a A

Las ecuaciones 4-128 y 4-190 roferidas a la eficieneia méxima quedan como

Corrente de suda para máxima eficiencia (Ilan = (146

Esta es también la tracción de los volt-amperes nominales de salida a la
cual ocurre la máxima eficiencta.

Eficiencia máxima a factor _ Vial Ansó
potencia de cata cos ~ Y go] Ricos bs + dr

am

Las cantidades normalizadas son espectalmente útiles al comparar laa
características de operación de un amero de transturmadoces delas
mismas 0 de Gerentes capacidades, Por ejemplo, considere dos transe
formadores, uno de 100 kva. 1000/100 volts y el tro de 20 kva. 200/100
‚its. St 108 dos tienen Las mismas fey, X, 7 Z,entoncen tendrán el mismo
porciento de regulación de "voltaje y de Kileizaia aun factor de potencia
especilico cos 9, . Ga ventaja de las cantidades normalizadas ca que aan
ain dimenstones y la relación de transtormación no entra en Los cáleulos
de 1a regulación y de la eficienola.

Frecuentemente las cantidades normalizadas se expresan como por-
centajes en Jugar de fracciones, Por ejemplo.

Porcinto de resistencia RY = OR. 6148)

Similarmente para Xy Zu.

EJEMPLO 4-6. Para el transformador del ejemplo4-2, calcular Ay, Xu
78, „ande estos valores normalizados, calcuar Lrapuaclén de vol,
LFalistenla somal yl ciencia mba E un factor de poteala de la
ar ar 08 are,

Solución” Perales on el cobre nominales = Py = 2000 wats, De las
ecuaslones #138) der

El voltaje en la prueba de corto circuito a corriente nominal es igual a
100 volts medidoenel ladode alto voltaje, cayo voltaje nominal ea 1000 volta.

196. 2OMECANICA

2e € WARSION DP ENGAGE ELE

De ta cruarión 42425

Pela ecuación 4-196

2 OVZR CRE OOO = ons

Perdiias es el núoteo nominales = A, = 1000 watts. De las ecuaciones 4-142

RTE

v0

mS me o 10005 7
Pe da vouaeién 4-144 a factor Je potencía 0.8 atrasado,

A kan (3) + (0.098 (05)
Pelee de ela "a KOH) - (MED.
= soupe + = Were

Pe la ecuación 4-145, à f.p 0.8 atrasado

os
Efiincla nomial = yO
+ 09642 6 96.42 porciento

De ta couación 4-146, la aficienela máxima ocurre a

co
Ve = Y az = 07070 702 porcino

fe los volt-amperes nominales de salida del transformador, esto es, a 70.7
kva. De la ecuación 4-147 se ottieno el valor de la eficiencia máxima a 0
Zo arrasado

0.707108)

Eine máxima =a TO = 096600965 porcento

Los resultados de
anteriores

te ojempio concuerdan con los Obtenidos en ejemplos.

197. Transformadores 185

Sistomas Eléctricos de Potencia

413€. Teensformedores

Colaboración del Ing. Rafael Cristeraa

Es de todos conocido, que 103 grandes sistemas eléctricos acmales
han contribuido enormemente a la productividad del hombre, por lo tanto,
es conveniente destacar el papel que representan los transformadores en
un sistema, así como la forma en que se estudian, al tratar de observar
su comportamiento y efectos dentro del mismo sistema.

Un sistema de potencia consta de generadores, transformadores y
cargas conectados entre sf por distintas lineas de transmisión. Según la
‘muagnitud de las potencias y las distancias a las que so van a trangmitir
por las lineas, existen diferentes voltajes que permiten resultados má
económicos. En estas condiciones, se comprende que 1a aplicación de los
transformadores con el fin de obtener distintos niveles de voltaje, es de
vital importancia.

Como ya se ha mencionado, uno de loa métodos más poderosos para.
la solución de problemas que involucrantransformadores (así como máquinas.
eléctricas), es el uso de circuitos equivalentes. Se ha aceptado como
sireuito equivalente de un elemento físico del sistema, aquel circuito que
es capaz de reproducir en gus terminales el comportamiento eléctrico del
Alspositivo correspondiente,

El podarío del método anterior, se refuerza aún mia cuando se hace
‘uso de parámetros pormaligados o valores en "por unidad", En esta sece
(fn, se establecerá la necegidad, ventajas y uso de los parámetros noema”.
izados, cuando sa estudian sistemas de potencia quo Incluyen transforma-
ores.

Objeto del Uso de Parfimetros Normalizados. Fundamentalmente, no ea
ostrictamente necesario un método especial para tratar los problemas que
ocasionan la presencia de transformadores y diferentes niveles de tenaión
an un sistema de potancía. Un sistema se podría analizar estableciendo dos
grupos de relaciones:

1.- Relaciones de las lMneas de transmisión para cada nivel de tenaién,

9 sea, las leyes de Kirchhoff y de Joule.

2.- Relaciones de transtormaciéa para voltajes y corrientes.

Sin embargo, aun cuando se pudlera dar cierta organización al método,
la cantidad de traiajo sería excesiva y la solución final no presentaría
facilidades en la comparación de 109 resultados obtenidos acerca del funcio
namiento de la red, con resultados de análisis semejantes,

En ingenleria se hace uso (recuente de parámetros normalizados con
objeto de simpllflesr y unificar los problemas, en el sentido de permitir
su comparación directa con análisis semejantes, Sin embargo, en esta caso,
además de la veotaja anterior, el uso de parámetros normalizados wos
permite eliminar las relzclonos de transformación existentes en la rod En
otras palabras, mediante la selección apropiada de 108 valores escogidos
como base reducimes el número de ecuciooes fo condiciones) que debe
satislacer el circulto equivalente de la red.

Condiciones Bajo las Cuales Deben Calowlarse los Parámetros Norma-
lizados, Las magnitudes de base en una Fed, eléctrica, deben seleccionarse
fn tal formaque el circuito equivalente resultantaen por unidad sea 1somarto.

198. 1 CONVERSION DE ENERGLA ELECTROMECANICA

ai real: es decir, que las leves fundamentales an electricidad sean también
5 en el sistema equivalente o transformado.

Se weed que s/t 26 necesario tomar dos velores de base arbitrarios y
lun ends quedan autamAticamente determinados.

En loque sigue de esla sección, consideraremosque los transformadores
los en Sistemas de potencia tienen una impedancia de circuito abierto
ética, © sea que, podemos considerar despreciable a la admitaneia trans.
versal

Primero veremos las condictones que deben cumplir las magnitudes
de ase en un circuito sin transformadores (con un solo nivel de voltaje) y
posteriormente consideraremos la presencia de transformadores an un
Ciroutto. Se procede así porque 90 necesitan los resultados del primer caso
para obtener Jos del segundo

Como las características topolägicas de la red no se alteran en este
tipo de transtormación que nos ocupará, sólo nos interesará como in-
variante la forma de las ecuaciones de Ohm y de Joule, ya que las de
Kirehhoff se preservarán automáticamente.

Si se escogen Y, e I, como voltaje y corriente de hase, los vaiores
en por unidad o pardmetcos cormalizados de Y, 1, 2 y potencia Pee
se definen como:

Riad

A
el £ CE

St sólo se conocen Ya © Ly, es necesario determinar Z, y £, En la
figura. (4-E-1) se ha representado esquemáticamente al sistema original,el
cual al tranaformarse se convierte en el sistema normalizado, con la
nica condición que en este Último siguen siendo válidas tanto la ley de Ohm
como la de Joule.

fr N à

Conservación de la Ley de Ohm:

Se tiene
1 4-82)

y se desea

WE

199. 187

Transjormadores
De (edt) y (-E-9) obtenemos
LE va
T Was
Entonces:
Zola WE

La Leydaohm as Välidaen el Cirett Normalizodo, Unicamente cuando
las Magnitudes de Base la Salisfacen,

En forma semejante, de

se cbtisne
(4505)

decir:

Bntre los Magnitudes de Base, se debe Cumplir la Ley de Joule,

Para la admitaneıa,
Y, = Es (8-8)

Las eousctones {4-E-4), (4-5-8) y (-E-6) bacon ver que conociendo
doo rames de beso, aulomiticamente quedan definidas las ras Ses,

a Caso de un sistema trifásico balanceado, los voltajes 58 expr,
aan land de torsión de lea a neutro, Jas corrientes en os Whats
Sam coy de Lines y las impedarciaa en por nidad de bm de he a
ron embargo, 10 más camin es tener como datos el role MRS
Dr Se ancia eritégica en KV y MVA sospectivamente, Uulizando 128
Jeriniciones anteriores, la impedancia de base resulta:

ETA
wi

Y, M OUEN
CR Vo TARA,

uen

conaiguientemente, la impedancia en por unidad eh

MVA

a ee

200. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

188
% + Ohms
AV, : Mezavolt amperes trifásicos
KV, + Bilevolts entro lineas

Presencia de transformadores. En un sistema de potencia aparecen
distintos riveles de voltaje y con objeto de climinar gate inconveniente al
expresar el sistema en por unidad, so desea saber que relación, aparte de
las 4-E-4) y (4-E-5), deben guardar las distintos magnitudes tomadas
‘como base para cada nivel de voltaje, La figura 4-E-2 representa un trans-
formador y el circuito equivalente ideal normalizado que se desea obtener.

q :G Su 55) ee hs

trat gi trite merase
mecs

Se desea expresar laa ecuaciones del sistema original, al transtormarse
en un istema Lomorfo, de tal manera que este nuevo sistema no contenga
ai transiormador. El problema consiste en obtener la relación axtente
entre las maguitides tomadas como base en uno y otro lado del tran
formador, es decir

Es Bag, Pray Poo Ds Logs
En fa figura 4-8-2

Circuito Original:

(84+1,2,) ME

Circuito Normalizado:

y 1,2, = €, 61,2, (42-10)

Definiendo las magnitudes en por unidad para ambos lados del trans-
formador de acuerdo con (4-E-1) y utilizando las relaciones (4-E-4) y
(4-E-10) se obtiene

Eu LA
= + WE

201. 199

Trensformadores

Ast concluimos que:

La Razin delos Yolteies de Base Tomados para tro y Otro Ni
ser iguat a la Relación del Tranjormador.

De la figura 4-E-2, para el circuito normalizado:

Por lo tanto
pero
a
We
Por lo tamo
EN
E + O)
de (4-E-31) y (4-E-12) ne obtiene
Bag la > Es 4-13)

es decir:

La Potencia Tomada como Base Debe ser la Misma para Ambos Lados
dei Transformaior.

Interpretando las magnitudes de base bajo las coneluniones (4-E-4),
ar CECA) y -E-19), es posible aplicar el método de análiaia con
Des normalizadas à sistemas de potencia exeasos, Ya que siempre
eue seleccionas una potencia de base comin para rodo ul sistema, así
‘Somo las tensiones de base para cada nivel de tensión.

Transformación de Magnitude Normalizadass Diferentes Bases. En
general los fabricantes expresan lan impedancias de transformadores y má-
Mas déetrices en por undad, tomando como base el voltaje y capacidad
nales. Debido a que en cualquier problema específico, pueden aparecer
Prades diversos aparatos co distintas características nominales, fre-
amente ae hace necesario normalizas las impedancias auna base dite;
Fuste Por ejemplo, supongamos un transformador con datosde placa de 10000
EVA, 60000 12200 vols, y que tiene a impedancia de corto circulo 2. =
FOR. Et problema consiste en conoces sl valor de exa impedancia en Por
Acad respecto a las bases de 10000 KVA y S60Q0 Volts m el lado de alta
tensión del csrcusto.

Podemos etectuar el siguiente razonamiento, 51 suponemos que ineial-
mente la impedancia 2 está normalizada (»Z, ) respecto a las tasas MVA:
PV à ahora deseamos obtener ol valor 2, para la misma impedancia

202. 190 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Z, pero normalizada respecto a las bases MVA, y KV. Para ambos
Juegos de bases se tiene

(4-0-14)

(48-15)

atvidiendo (4-E-15) entre (A-E-16) on ambos lados y despajando 7,

u (HE) (BES a eu

sustituyendo los datos anteriores

2 = (BB) cos = ana

El ojomplo siguiente describe el uso de los conceptos desarrollados
on esta sección.

EJEMPLO 1.- Un circuito de distribución monofásico tlene una longi-
tud de 8 KM Con una impedancia en serio de 0.65 + ¿LO G/Km. En ol
extremo final de la línea ae tiene conectado un trangíormador con datos
de placa de 1000 KVA - 13200/480 Volts y una Impedancia de corto circuito
de 0.054 por unidad.

Supongamos que el transformador tiene una impedancia de ctrouito
abierto infinita y que la impedancia de corto cireuito es completamente induc-
tiva sin resistencia. Calculo el ciresito equivalente para la tinea y ol trang=
formador conectados en serie, según las bases de 1.0 MVA y 13.8 KV.

Solución

Inmpedancía de la línea = (0.85 + 11.0) (8) = 3.90 + 36.0 3.

Impedancia de la Iisea en pu. (3.9 39.0) = 0.0205 + J0.0315

Impedancia da erstormador ena. « 40.04) (134) = 30.000.

ca e vom

ota de ve onan (2

EL etreuito oguivatente para la linea y el transformador se muestra en
la figura 4-E-3,

203. Transformadores 19

man

El circuito equivalente total es el de la Fig, 4-E-A-

mu cm)

sto circuito simplifica enormiemente cualquier problema conser sects
su oftauto-de regulación o de cortos ctrcultostajo diferentes conticions? de
Speración del sistema lnen=transtormador.

EJEMPLO 2.- Suponga que con el sistema anterior se denen allen
e renier de 809 KW (Lp. = 1), sosteniendo on sus terme
ar E210 p.0.Caleule la tensión en pa. y en volts, que se requiert
Spliear on el extremo emisor de Ta Línea, Fig. 4-E-4

Solución:

Tomando como reterencia Es = 3 + 30,

LE ELLES
2

08 oi
hy = ope

JO + 0.8 (0.0205 + $ 0.0809)

,
= 1.0154 + 0.06472 pau.

E, = {0164 + à 0.06472) (13.8) = 14.06 + 30.893 KY

204. COSTERSON DE ENERGIA ELECTROMECANICA

4214 Caracteristhei
de Ardio- Fev

de Operación de los Transform:
nie

Los transformadores de núcleo de hierrousados on sistemas de potencia
operan a frecuencia constante bajo condiciona normales de operación,
excepto cuando son conectados o son sujetos 2 odas de voltajo causadas
por selímpagos. Por otro lado, transformadores de pequenos núcleos de
hierro usados en audio ampllicadores operan sobreunrango de frecuencias
de 10 6 20 c.p.s. a 20000 c.p.s. Estos tranaformadores son frecuentemento
“usados como transformadores de sallda para equilibrar la Impedancia de la
carga (usualmente un raagravoz) 2 la impedancia de salida del amplificador
para obtener máxima potencia transferida, con el requisito de que dabe de
ocurrir may poco o ninguna distorsión de Yaw formas de onda, Estos trans
formadores también evitan que en el otrculto de placa del ampliticador la
corriente directa fluya a travbudela carga, En la figura 4-26 (a) ae muestra
un dlagrama esquemático de mn amplitteador sumtnistrando potencia a una
resistencia de carga a través de un transformador, En la figura 4-28 (0) se
muestra un elreuito equivalente completo del sistema.

Aún cuando los transformadores de salida tienen núcleos de hierro,
lus pérdidas en dichos xúcicos son usualmente despreciables comparadas
‘con la potencia que suministran a la carga, debido a que operan a densida-
des de flujo suticiontemento bajas para mantener a los núcleos sin satura
sión y ant evitar la distorsión de las formas de onda. Además, en Ina
rangos de frecuencias en los cuales estos transformadores operan, las
capacttancias entre Las vueltas de cada embobinado y entre los dos embobina-
‚dos, vo tienon un efecto stgnificante on sus caracterfaticas de construcción.
‘Las capacitancias pueden entonces ser omitidas. El círculto equivalente
aprorimado, como el mostrado en la tig, 4-28 (0) so usará omitiendo 5,
y la capacitancia para obtener las características de operación de los tran
formadores de salida.

Para nosotros la característica més interesante de la operación de un
transformador de salida, es la relación del voltaje de salida al voltaje de
entrada, sobre el pango de operactóndo lan frecuencias, para una operación
satistacioria del sistoma mostrado en la fig. 4-26 (a), os vecosario que
esta relación de voltaje permanerca constante = independiente de ia ire-
cuencia on el más amplio rango posible. Como se escogo un transformador
de este tipo an, por lo general, tasándose en asta consideración.

EL método directo para calcular la relación del voltaje de salida al
de entrada, por el análisis de mallas del circuito de la tig. 4-28 (0) bajo
condiciones de estado estable sonoidal conduce a expresiones complajas
las cuales no llevan fácilmente x wna Ut) interpretación. Por consiguiente,
sacrificando algo de precisión, se usa un método aproximado. Los resulta»
dos obtenidos, se correlaciona hastaste con las Observaciones erperimen-
tales. Este método implica la división de las ¢racuencias de operación del
transtormador de salida entres rangos: a) rango de baja frecuencia, de 10
2.2.8. à 100.0.9.5.; bi Tango de media frecuencia o Intermedio, de 100 c.p.8
a 10000 c.p.s.; y €) rangd de alta frecuencia, sobre 10000 c.p.s. El circuito
equivalente de la tig, 4-28 (c) se simplifica haciendo suposiciones aproptadas.
Para cada uno de los trea rangos de frecuencia se obtiene un circuito
equivalente diferente.

205. Transformadores

tel

‘te 4-28 A de yon crazy emer tae Mn PE
Ca ve somes kan sans ano on par (a (0 Cee
a sen tal.

A bajas tracuencias, todas las reactancias son pequeñas; las reactance
de dispersión, las cuales de muestran en serie con Las resistencias de los
encon tenen un efecto pequeño en la impedancia del circuit sql»
o de la fig. 4-28 (e). Consecuentemente pueden ses omiidas det eir-
culto equivalente.

cuencias altas, la reactancia on derivación uL. os grande y la
corriente a través de ella es desprectahle. Por lótanto, La puede Dr
re del ctrouito equivalesto en esta rango de frecuencia,

go intermedio de trecuencias, las ceactanciaa de disperzida
‘son vta pequenas comparadas à las resistencias de los embobinados.

206. TROMECANICA

eus

m COMLERSIUS oh ENBRGÍ

dati #5 suficiememente grande la reactaae:a en derirución L- de
cea que su nfecte es tespresianle. Par lo tanto, para este rango de Ire-
municia, solamente se dein las resistencias on el Circuit equivaieate
Las eireultns equivaleıtes stasplificados, para cada uno de los tres

‘te sracuencias, se muestran on lo fig. 4-29 ta), hy {ch

6

29 enter guise imo de un waneormadoe de monja à Mi /M =
3 Paro ele maca, {8 } bare econo named, Le pers am

En la fig. 4-20 (a) L. se obtiene de la prueba de circuito abierto en
el transtormador. Los otros parámetros del transformador se obtienen de

la prueba de corto circuito.
La relación del voltaje de salida al voltafe de entrada, se caloulará

añora, para cada uno de los tres rangos de trecuencias.

Relución de Voltaje a Run Frecuencias. Enlatig 4-29 (a) suponga-
mos las corrientes de malla I," 1; según se muestra, Las dos ecuaciones de
‘malta son

BY, = hr + Ri + jake) = joel (4149)
De job + (Re + Rid + Gall (150)
detacual
pela,
u rn 150

Ry > Joba +
av RE

na

TER Pje

Relación de vote = (4152)

207. Transformadores 195

sustituyendo I, de la acuación 4-161 en la ecuación 4-152

An, KR dal wi
ORAR + RO + joke,

onde Ry 17; + Bal al, + Bo) Dividlendo tanto ei numerados cote a
Gore eur del indo derecho de la ecuación 4-152 entre AmBe obtiene

Jule
5 wiss
net + 0, ju,
Sea =
Arme + Rdg ‘aun

Ahora dividamos el mamerador 7 el denominador del lado derecho de te
‘cuacibn 4-154 entre Jul para obtener.

av: eRe 44-156
WH” Be, JU er. d
La magnitud de la relación de voltaje es

Va} ER: (en

ax] Re, WO + Relate

Esta magnitud es cero cuando us = 0 y se anrazlma al valor 2A En
to embargo, como la ecuación 4-187 as válida slo Fart
Eojas Irecuncias, Ja magnitud de la relación dal voltale nance ‘aleanza el

valor 0*R:/R 2 bajas frervenclas.
A RECO do tape de la rolación de voltaje baja frecuencia se Gene

de 1a ecuación 4-186.

Ea CE]

EX voltae de anita se adelanta al de entrada a bajas frecuencias. El
Bas de fase ea 90 cuando u = O y se aprasima a caro cuando « se IRON

monta.
tA sachin de Voie a Frecuencias Intermeaiga. De la fig. 4-29 0),

la relación de voltaje es

ELA
on Re GE]

208. tex CONVERSION DE ENFRGIA ELECTROMEC,

a retación do vollaje es independiente de la frecuencia, y los volta
Les de salida y de entrada están en fase.”

Metas de Ve a Alta Berne à En la fi: 4-28 (0, Lys
SL, + La inductancia de dispersión equivalente de un transformador ri
ferida al lado 1, y Ut, + r,)+ a(R, - Ry)» Aye. La relación de voltaje oo

ER tk 1

AG RR (0
La magnitud de esta relación de voltaje es
161)

La magnitud es a*%,/R,, cuando x = 0 y decrece a cero conformew=~
Ahora, como la ecuación 4-161 es válida sólo para altas frecuencias, ol
valor a?’ Ru, no Se alana un este rango de frecuencias.

El ángulo de fase de la relación de voltaje de alta frecuencia es

4 mt) (4162)

El signo negativo indica que a altas frecuencias, el voltaje de sallda está
atrasado con respecto al voltaje de entrada. El ángulo de fase tiene algunos
valores fiuitos diferentes de cero en el extremo bajo del rango de alta
frecuencias y se aproxima a = 90° conforme u = =.

lores Normaltzados de las Relaciones de Voltaje. La magnitud de
las relaciones do voltaje a baja y alta frecuencia pueden ser normalizadas
con respecto a la relación de voltaje a frecuencias intermedias, De lac
ecuaciones 4-187, 4-150 y 4-161,

Race vo romande, 1
a bajas frecuencias VT + (Ru fol e

epenlees e la Treen

its más exacto none crete equivalent dela esuación 4-28

‘ity el mu a de Ia Felt del Wai oe
388 ve 0 rege intro, por obra pares VAR
are Se Tale qu el tantormaane puts ener motas
Emile Seht dh oración. y evo co arte a a Icon ati
Pe one orme ndo cenas. re or coc a nena ee
or 0 ru MIT INew York John Wily y Son, lt) Espa, Aci

209. Transiormadores 287

Relacion de volt normalizada. de:

à frecuencia intermedia i Ken

Reich de ole rommalinda 1 (165)
a altas frecuencias. VU+ lola Red?

Frecuencias de Media Potencia. Cuando se opera el transformador
de salida a bajas frecuencias, sa observa de la ecuación 4-163 que, a una
particular frecuencia, A, = La, y a esta frecuencia al voltaje normalizado
es 0,701. Como la potencia suministrada al resistor de carga Res VE,
Ja potencia sumintstrada, cuando Bus we, esla mitad que la suministrada.
à frecuencias intermedias. Esta frecuencia a la cual Au = abe está dada
por la relación

ar (4-166)

y es llamada frecuencia boja de media potencia. .
Similarmente a altas frecuencias, la frecuencia alta de media potencta.
se obtiene de la ncuación 4-165 al igualaria a 0.107.

LR.
hone (4167)

El ángulo de fase oatre los vollajes de entrada y salida es + 45° a
£ yA, respectivamente,

Son significativas las feecaencias baja y alta de media potencia, en la
«operación de un transtormador de salida, puesto que ellas determinan
range de las frecuenelan sobre las cuales la potencia de salda del rans
ormador no cae por abajo de da mitad del valor máximo. >

‘Como funciones de la frecuencia we muestran en La flg 4-30, típicos
trazos de las magnitudes (yaloros cormalizados) y ángulos de fase de la
relación de voltaje. Usualmente las magnitudes se expresan on decibels.
Como la frecuencia var‘ado0a20000 .p.s., fracuentemente se usan escalas
Togeritmicas, "Estos trazos constituyen las curvas frecuancia-respueta
de us transtormador de salida.

a an E date pe DT sa cis
SR Sater una di rn ya
Senet En rps oo a ca yon! eta vs
un máximo, entonces Ja ZA E

En el apándice Ese entra un bene ans de ecos

e rats logras

210. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTRUMECANICA

4-15 Avtotransformedores

Hasta ahora hemos analizato las caractessticas de operactinde trans
formadores de dos embobinados enios cuales ambos devanados eatin alslakın

om

g

E

Reise de vate nema
3

+
i
4

0.4230 Cur de suit de tocara ln de un wentormader de sanyo un
pri

Elgctricamente uno del otro, Mostcaremos on esta secciónque el alslamiento
fléctrico de los embobinados no es necesario y laa partes da un able ato?
binado en un núcleo pueden ser hechas para servir como los dos "laden ao
um transformador. Este transformador es Hamado eutolrensformul

El analista en esta sección, cubrirá dog aspectos importantes de log.
Autotransfermadores, Primero, trataremos las ventajes de un autatrara,
formador sobre un transtormador de dos ombobinados para una capacidno 7
Felaoign de transtormadión dada. Segundo, analizaremos el uso de an kurs.
formador de dos embobinados como un aufotranstormader.

Para simplificar supondremos que los transformadores son ideales.
También supondremos una operación en estado establo senoldal y se usec in
valores eficaces tanto de voltajes como de corrientos.

211. Fransiormaviores 199

Motatrunsormadur Leu Consideremos el transformador de dos
-mbebinados ideal mostrado en la fiz. 4-31 12), Tenemos las siguientes

EM
Aetacion de oleae D = B= Rene 4-168)
Voltamperes nominales Kl = Kile (4169)

{mm neta actuando en el múcteo = Midi

Mike = 0 (470)

Si la densidad de corriente J es la misma oa los dos embobinados y
la longitud por vuelta | del conductor de cobre usado es la misma en ambos
embobinados, entonces

Volumen de sobre enel embobinado ı Mitt «m
y
Nal
Vohumen de cobre nel embobinada 2 = A ain
Volumen total de cobren" _ 1
ej AAN)
u

An o Ea m

Consideremos el arreglo mostrado en lafig. 4-31(0). EI núcleo os igual
al de la parte (a). Solamente esusadoun erabobinado de N, vueltas, dividl-
do en dos secciones; la sección ab tiene X; « N, vueltas y la sección cd Na
vueltas. Las dos secciones son conectadas en serie y el voltaje Y, se aplica
2 la combinación; El resistor de carga R, se conecta a través de la sección
ed. Este acregloes lamadoawolrans formador, Enlafig. 4-31 (c) ne muestra
un diagrama esquemático simplificado del autotransiormador. La sección
ab es llamada el embobinado serie y la secelôn cd el embobinado en
derivación, en virtud de que se encuentra conectado en paralelo con la
carga.

Tenemos, en el sutotranstormador, las siguientes relaciones: El voltaje
ingucido en la sección ab es

"m

EY (174)
El voltaje induetdo en la sección cd es

ws

212. zu CONVERSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

obige id amants una reteenia de cari)

213. Transformadores 201

y
Eat E Ys (rs

-. «ım

Relación de volje

Los voltamperes de salida Ful, son iguales a los voltamperes de entrada.
Yi debido a que el transformador es ideal, Por consiguiente la corriente
as entrada es

Wile

he ir

Esta corriente fluya en la sección ab. Ahora, ya sea aplicando la ley de
corriente de Kirchhoff a la conaxién be de 12 fig. 4-31 (o), u observando
que la fmm. neta actuando an el nücleo eg cero, se puede mostrar ?Gcil-
mente que la corriente en la sección od es

Len 179)

Si la densidad de corriente J y la longitud por vuelta del alambre de
cobra son Iguales como en el transformador de dos embobinados,

Volumen de cobre en „ 1

Uoutotrnsformador = 7 OM Mad + Malle = 6)

a 2
E o (4180)

Comparando 125 ecuaciones 4-13 7 4-180, se abserva que para la
capacidad en voltampores y la misma relación de transtormación, el
autotransformador de la fig. 4-31 (0) requiere menos cobro que el trans-
formador de dos embobinados de la fig. 4-31 (a).

Atos tse = À cen

Expresando ésta en por clento del cobre requerido para el transformador de
dos embotinadon,

UDI Wo,
Port are ea IA

deun 50e

Por ejemplo, ai la relación de mltaje a=2, el aborro en cobre

214. 202 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

El ahorro se incrementa conforme 1a relación de voltaje se aproxima ala.
nidad, Sin embargo, La ecuación 4-182 no es válida para a + 1.

Del análisis anterior se zuede ver queun autolranstormador es “is ba-
rato que un transformador de dos ambobinados dela misma capacidad igual
retación de transformación. El ahorro es significativo sólo cuando la rela
ción de wltaje no ea muy diferente de la unidad. El ahorro en costo se
‘compensa hasta cierto punto por el hecbo de que en un autotransformador,
no hay aislamiento eléctrico entre 1a fuente y la carga. Si la seguridad del
personal tiene una Importancia conatderable, puede ser aconsejable el uso
de un autotranstormador espectalmente en altos voltajes. Otro aspecto del
autotransformador se exponderd a continuación.

u mi

Ple.4-32 Le) Un retarda ga so seat nt erste como un mure
for. Ce) Dune me reine a in pers Le}

215. Transiormatores 203

ren e den combined came An nama eS la
ge. 3.32 la muestra un transformador. deal de des. 'embobinados conectados.
ie Y, está aplicado a las torminales oot emisobizado 1. Y
on arr de carga Ry está conectado a través de la combinación serie de
FE ads. En la fg 4-2 (0) se amer a un SINS esque
ao simplificado del arrerlo

ot ampees nominales del tenformador de dos embobiandos
hm CE

Relación de vola del tranaformador dedos embobinados

e el
como ei transtormador as ideal, el voltaje Ya en Jas terminados del
za on lane con Y: Cuando 108 dos AR atin co-
do a Serie, el voltaje e las termizsles os es + Ya. Este es
je de salida en la fig, 43260) (0) EL vorsie ‘de entrada al auto-
transformador es

slain vole corso towanormados
N Mi 4419
en OP

con sea Corriente de salda [ puedo afustarss nt regular Ra
tin de que Y, sen la corriene nominal del embabizado 2, 28 sá on serie
ti eae ge lo tanto Mera a misma corrienté que dt

1 enr 3 nota en el mes es cero, 1a corriente en e embobinado
à (came Le tlaye en el ensiobinado 2) 69 Ty, su Tal ‘nominal. Al aplicar
Lande o de Kircibad a 1a conexión 2, la corer de entrada
MD A ELA eapaciaad en voltamperes como autotransformador 28, POF
consigulente

ie He HU = 1) e186)
Renando de a csuaciónd-106 a caacind comotrardlormada, de dos embo-

o qe por 1a ecuación 4-183), cbtenemos el “incremento de la capa-
idad en voltamperes:

hay + ha Kas File CE
cuando el transtormador de dos embobinados se Pesar Vers wun autatrans-
Cea ene. una mayor capacidad en voltamplres, Pe Tos valores Y
formader eines de ls dos emboblnados 00 son sm,

es uapares tories Y, (fy «10,108 woltamperes F1
edou por in Genie a la carga a rardg de la acción a “inducción del trana-
De y Ve LL voltamperes son entregados à raus de la conducción,

216. 20 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Sada como autotransformadoe HU + td
Salida como transformador de dos embabínados “E *
“un

En resumen, para una capaoidad y rolación de voltaje dadas, un auto-
transformador #8 más barato que un transformador de dos embobinados. La
salida de un transformador de dos ersbobinados se puede inorementar al
conectarse como un autotransiormador. Haciendo eo se cambiala relación
de voltaje

Para almplificar en el anflists anterior se usa como carga un resístor.
Como se usan complejos los resultados también se aplican cuando ia carga
es una Impedancia; esto se ilustra por medio de un ejemplo,

EJEMPLO4-7, Un transtormador ideal de dos embobinados Liene una.
capacidad de 3000 va (voltamperes), y mu relación de voltaje es 200, 100
volts. Este transformador ge conecta como un autotransformader y se usa
para transformar 200 a 300 volts. Una Impedanota do carga de (6 + 38) ohms
se conecta a las terminales de 300 volts, Encuentre a las corrientes an la
‘carga y en ios dos embobinados; | la potencla total de salida, la entrega
a la carga por inducción y la entrega por conducción por ei avtotranator-
wador; ch la relación de la capacidad envoltamperos como gutotranstorma-
dar a su capacidad como transformador de dos exbobinados, y d) relación
da voltaje como autotransformaor.

Solución: En la tig, 4-83 se muestra un diagrama esquemático de cone»
xfones del transformador de dos emboblaadoa como autotranstormador. Sea
200 + 70 6 200/ 0° volts, Entonces Va = 100 + j0 8 100/ 0° volta, y Vi +
100 + 30 $ 30020 volts.

a) La Impedancia de carga Zu = 8 +8 61059" ohms. La corriente de
carga I = 30 /- 59" amp. La corriente está atrasada con cespacto al val-
tajo. Como al transtormador es Ideal, la fmm. neta actuando en sl núcleo
89 caro, Las corrientes I, e 1, enlor dos embobinados están en fase puesto
que fluyan en diracclones opuestas en los embobinados. Por consiguiente
Y, 18 ¿258% amps, La corrieme de entrada 5 ¿587 amps.

217. Transjormadores 208

bi La pores total de salida como autotranstormader #5 Tu + Va) de con
À LARG (0.0) = 5800 watt. La polancia entregada zo a ación dol
decaer es la potesela nominal de salida como transformador de
o obinadoa = (100) (30) 0.6) = 1800 watts. Por constgulento a poten”
la entregada por conducción es 5400-1800 = 3600 watts.

CM y

tapas nominal como mistmasfornudor —
GR anne den de don mp ~ 008
a
lación de vole como morantormados = Sip = 15

Esta sección se ha limitado a avalizar autotransformadoren sdeales, E
en puede ser extendido a aatransformadores no ideals de nácico de
sree de pueden obtener circuitos equivalentes y calcular tanto 12 PORN,
le como la efeencia, de La misma form en que se secta
a teanatormadoren de dos embobinados. El lector interesado puedo con
Par textos sobre transformadores,

4-15-E. Conexión de Transtormadoros.

Colaboracit del Ing. Guillermo Aguilar.

sertó analizadas soméramete en este tera algunas de las prine paies
o. pueden verificarse en los tranaformadnees, para 0 221
noo con las wonotinlcas, posteriormente se verás as bifasicas Y
o de cstuclarán las que se wilizan para cambiar el rümero de fases
a través de los transformadores.

Conexiones en transformadores monofásicos

Operación paralela. La consrióm paralela de los danmormadaros
e laje característico en el lado del embcblnado primarto Y AN
one aractaristico común en el secundario. Esta conti se rope ones
o A Les. Entonces la aiterencia eptre ol voltaje del lady de QU
et thre ación de vus y l voltaje on el lado de baja os ca
a dancia interna. Eo conclusión, al ver esta relación, podemos
de Rein valca de impetancta dentro de dos tranatormadores copes;
a aratelo es la misma. Así enla figura 4-E=6, B, en el recor SORT
o ito voltaje, Es representa al vector voltale en e ago de PAL
SAS o ana 12, la cala de Impedaneia, 1a cual ez común a ambos Iränd-

Loyty AG Cuad 6 Machi

ange de los nestor nen AF Pana, T
10) y po MIT ue Circ à

de ca os orks Joe wey à Sms, In
eet a ee York Jota ie Son Le 156),

218. 206 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Ti _ |

[pr |

Pa 46 Cannan parto petite

formadores. Asf entonces, tajo cualquier condición de carga, 1a caída de
impedancia será debida al producto de la corriente e impedancia en un trans~
formador, el cual deberá ser igual también al producto de la corriente e
impedancia en el otro transformador. También puede suceder, que la rela-
ción de transformación no sea la misma en ambos transformadores, por 10
cual, como el voltaje en el lado de alta y en el lado de baja es 91 misma,
es evidente que debe circular una corriente constante entre los dos transe
formadores.

Pig 4-04 Operate pa e tratare mentee

¡uclones para la conexión en parelelo de los transformadores
‘om Para ofectuar esta tipo de conexión, es necesario tener en
ambos transtormadores una relación de transformacitn déntica, el porcien-
lo de impedancia igual y la miama relación de reactancia a resiatencia.

A partir de estas condiciones, enruelven una u otra división antíeconó-
mica de corriente, o una corrtente circulante, las cuales bajarán notable-
menta la eflelencia y docrecerän la carga maxima que el banco puede evar,
Por lo cual se considera que no es recomendable practicar esta clase de
<onexión cuando se tlenen Las stgulentas condiciones.

1) Cuando la división de carga es tal, que con una carga total iguala los
KYA combinados de ambos, la corriente fluye en cualquiera de elloe a más
det 110% del valor nordial de plena carga.

3} Cuando la corriente circulante sincarga, en cuatques transformador,
excede ol 10% de la relación de plera carga.

(©) Cuando la suma aritmética de La corriente etreulants y la corriente
de carga, es más del LIOR de la corriente normal de plena carga.

219. Transformadores zu

Se sobreentiende que 1a corriente circulante esla que Thuye ein card
ao e ‘ouinados de alta y baja tensión. Corriente de carga 28 14 die
Faye en los transtormadores bajo carga.
ión paralelo verte. Aparte de la conexión en paralelo ya dos
cation iste en los transtermadores monctsieos cos ipos de cones ony
atid, ce importantes que la anerior, perogue vale Ja Pera mencionas
os conexiones pueden ser dotrestipospriscigales, a saber: en Parás
co primario en serie de lado secundario, en serie del primario
MA Saralelo del secundario y finalmento e serte en ambas lados,

ente nos couparemos del primer caso, represents ss
ae ee is tura 4-8-1. E voltaje aplicado a ado primario ent de,
diagrams RE dei generador, mientras que el del secundario, ©

Be

mn. a Comentan par zu

hamado tensión de carga, puedo ser ta mumao la diferencia de lan tensiones
mo. de los secundarios, según dichos secuodastos se Salles co
cae a où mismo sentido o en sentido contrario. Sl las tenoiones se
cias non elevadas, el aislamiento puede estar en peligro

arias ea artes mencionado, que cepresen este tipo de cones
ns Cansformadorea monaästcos Iguales de por ejemplo a Tony,
crete 200110 vola, se obtienen por lo tanto 220 volts y una corrienia
cual à ta que puede rendis une solo de ellos

LO de que los secundarios hayan sido protados a más de 1220
onto, ns th ura firme seguridad de que ol potencia! de M
o on Manque y una terminal no signifie peligro alguno, por 10 cu
ions conexión puede ser usada indefinidamente.

a conenién e untlén puede Levarse un tercer hilo ¢ entre 91 € y e de
ne come "tay" para poder obtener tensiones de L10 volts, al Tame
Tiempo que se obtienen las de 220 volts.

po ae On amerior Here la propiedad de ser estable, o sea que ls
rene ho Danke dtiitas y Solo varían par las caídas Ay XZ, por lo ott
tenstonee ont unde ser montada igualmento entre transformadores In”
dc ea o entre enrollamientos separados de wn mismo transfor cee,
penes in cani todos los transformadores wilizadoa en distribución.

A menido serie paralelo. En otras ocasiones Iaconexibn serio Paris
to ER mans goneetad en serie y secundar o en paralolo, es Urads.
Dicha conexión se representa enlafigura4-E-

ón alimentadora se divide endos partes, ue on proporciona
ne has delos transtormadores, de manera que Cada transformer
2, las relnciones kenaidaa de Corriente pero con diferente potencial

220. 204 CONVERSION DE Es:

RCÍA ELECTROMECA

sta conexión con la condie
ión ampliamente sobrados.
Finalmente, añadíremos que esta conexión oe
haber un tugs rates de doble primario y bie secundario man a
Fiber un {Taj Gnico no es posible sotretensión en alguno one devanados. .
Fuera de este caso, dicha conexión es impracticabla.

Conexiones en lun trausformadoren

2 Conexión a utilizar,
Os à naar someras estos puntos de vista,

para después entrar de Meno al tema que nog veupa

Rec % arte de Lan conexiones de los teanstormadores titiiens
todas ae arrestar tres transtormadores idénticos concen
Cotte anzaratieriene, o las fases de Un transormador eu uno
at ado una ay cono, Formando aaf de un lado una Comentan, U
tro lado una conexión estrella,

denen os casos, los tres transformadores idénticos, 9 et risa,
role el conexión es simétrica obslanceads,exto en, que las pe,
Das dades, en cada una de las fases son las mismas y estr relacionadas a
E Corrientes y voltajes de Mea de una miema torte Supongamos que
Jang presenta al voltaje de Linea e 4a corriente de ieee trifásica, entonces
par 1a esten Del cadatase recibaun ole E y una comme css
doe casos e lo gual entrefanes es £11.73 yl corriente nn Sere
Gee casos el valor de cata fame en 53/1.3 el valo del banca El.

221. Transjormadores 209

Ahora bien, como la potencia asociada con un voltaje de línea £ y una
corriente de lnea I es también 1.13 El, para todas las cargas triffsicas
balanceadas, se sigue que los KVA actuales en los transtomadores son :zuales
a tos liberados por el circuito, y asfla relación de KVA de carga a los KVA.
presentados en el banco es la unidad.

EL hecho de que todas las demás conexiones de los transformadores
trifésicos tengan esta relación más baja que la unidad, hace que se prefiera
la conexión delta o la conexión estrella sobre todas las demás; así por
ejemplo st tenemos la conexión della abierta, la T o la ziz zag, vemos que
esta relación es inicamente de186.9%, osea que por medio de stas conexi
nes. sólo se es capaz de liberar 86.86 de su relación total de transformación.

Otra importante base de comparación es la debida a la simetría con
respecto a las Líneas y también con respecto al neutro. La simetria del
voltaje y la corriente, ambas con respecto a las tres líneas y también con
respecto al neutro, son obtenidas únicamente eu la conexión delta y en la
zig 22g, Todas las demás Conexiones poseen diferentes grados de asimetría,
los cuales, aunque con carga trifásica balanceada, introducen diferentes
operaciones objetables, tales como una regulación deshalanceada y una dis-
torsión en la corriente.

Las conexiones delta abierta y la T son obviamente asimétricas con
respecto a las líneas y como consecuencia ellas introducen en ambos
circuitos una regulación destalanceada y corrientes magnetizantes do tercera.
harmönfea. En cambio, la coverión estrella, aunque simétrica, introduce
voltajes y corrientes asimétricas de tercera harmónica entre líneas y
neutro, debido a Jo cual la conexión estrella estrella no es muy usada. Por
otra parte las conexiones talanceadse triffsicas delta delta, estrella delta
y delta estrella, no introducen terceras harmónicasy por tal razón la forma
de la onda de las corrientes magpetizantes obtenidas en dichos circuitos
es superior a la forma de onda de bancos asimétricos.

Conexión delta delta, Esta conexión, representada enla figura 4-£-9,
por medio de La cualnos damos cuenta que cada embobinado está conectado a
dos kilos de la línea, pudiendo determinar de una manera más precisa el
voltaje aplicado y desarrollado por cada enrollamiento. También podemos
observar que los tres de cada Jade forman un circuito serrado, pudiendo

A

Pi 46. cane dt dt

222. 210 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ftuie por dicho circutto la corriente de tercera harmóniea, que por razón
natural deba tener al mismo tiempo el mismo sentido en las tres fases.

Se puede emplear esta conexión :2mto para elevar Ja tonsión como para
reducirla, En el caso de que los reglamentos 0 las necesidades oxtjan que
el sistema secundario esté puesto a tierra, se puede hacer esta conexión
2 partir de umo de los hilos, o del centro de una de las fases, Se puede
recurrir también a transformadores de tierra.

La flexibilidad de la corriente inherente de la conexión delta delta ha
sido catalogada a ser una de las características más usadas, por el hecho
de poder continvar su operación después del deterioro de una de las tros
fases del banco, 0 también permite 1a adición de una unidad monofäsica al
banco trifásico con el fin de incrementar el rendimiento permisible. Esto
se muestra en la tabla adjunta, la cual nos proporciona once diferentes
combinaciones de transformadores idénticos on varios grupos, arreglados
desde el banco simátrico en delta (primer caso) en el cual la división de la
Corriente os perfecta, al banco de la delta abierta (caso dos), en que se
experimenta la omisión de la tercera fase, fluyendo en general, la corriente
de línea en cada fa99. En la última columna de la tabla está representada.
la relación del rendimiento de KVA del banco, al total de KVA, los cuales
fueron determinados en La base de que la relación de carga no as excederá
en ninguna fase. Esta relación es la unidad solo cuando las fases aon
ymejantes, la más grande es Ia descripción entre grupos de varias fase;
y finalmente la más chica lega a ser el porcentaje do carga que el banco
puede Ubrar.

Los valores dados on la última columna solamente son vâfidos cuando
el porciento de impedancia de los transtormadores de que está compuesto
sl banco son iguales, el cual, por supuesto sors igual en el caso de que las
unidades sean idénticas.

La necegidad de combinar up pümero de transformadores ‘gules eu
‘varios grupos como se pos muestraen ostatabla, es casi alempre ocasionada

Caso | Mumerode | Conexiones | Capacidad trifásica del grupo
transformador en & valor monolásico.

1 3 ES 100

2 2 A 86.8

3 2 T 86.8

4 6 AA 100

5 5 AA so

6 4 AA 88.8

1 4 AL a

a 9 © aaa 100

9 1 BAL Et
10 1 BAA a
1 a AAA as

223. Transformadores zu

¿or el dese de incrementar el rondimiento des EN IN banco por ia
For ede uno 9 dostranstormadores mas. Eneste nn ee SU, conventente
adleitn ov tad dela conexión deta delta por lo chal Ro muestra
ne Dee abtigne una retucción en el zendimene de It transformadores
involucrados en la conexión.

Manque 1a tabla fué reallzada en la base de que todas las unidades
ens VA y tambo uals porciento de SBE, Ya división
E no so altera st dos o más transformadores ‘compontenda una 2018
En ‘gotitaldos por un transformador aus (SP Se, úrolación igual a
fase, oem a delos transformadores, teniendo también ola Act "manera
e idéntico porcentalo de impedancia.

tenon e cateo della y delta estrella Patan aies
presentadas en 1a figura 4-E-10, tienen varias características especiales
Eee a hacen dferemes a ina demás, entre Jas Cuales 30 ‘pueden anotar Las
‘igulentes:

rte nea del ado de la antreila casi siempre His D hilos,
send) Ho oo pasa a lía, y el cuarto, denominado nes park
conectarse a terra

case nes del lado de 1a delta dicen delas del Indo de ia
estrelia por no estar éstas en fase.

— ILL

“Tb

ru 14:10 Cono etn dam

€) Dot lado de la estrela ae tenen conectadas a des Tice a. serie.
2 En er Lado de la deux existe la tercera armónica donde
cree ctiment oo las minmaa condiciones qu laconció delta delta.

da ed uno qua nas connenga y que 23 le marquer os reglamentos
extetricos, el indo de la estrella so puede con ‘el neutro
Série, con el fin de que los potenciales PO
respecto a tierra.

ate ación más frecuente ne encuenta m algunas eos SES
que actin entre las lineas de transmisiön de terlón extraclevadas
Y tas lineas de distribución primaria,

eae colla eetrodia. La covexion egrell estres, (TAP
joe Ta aid veltiramente impopular dede à Mt operación
Pc Main dress Anetaniidad neutra, Este tio, PS A pro-
PRE así como Ungar a ser peligronoenlos trans nn sistemas
munclade erterir seriamente con a propia peracióndo 10% transtor-

224. VOSVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

|
i
aul

u

j

Len tes casos do inestabilidad neuen,
Tercera harméniea

de las corrientos y e) Carga de linea a nostro:
San de Zn eliminarlas completamente, 1a mayor parte de 149 des.

tipo laico. À cee tre Atrea ae aupeimen a les ana

Be ta ce, A causa de la uniénmagnétton entre las tres tate

de In tercera harmónica es reducido grandemente y re

Apreciablemente otabilizado. Esto se debe a que la ene

Pas

{ojo debe producir una tercera harménica del volta
“lrección en las tres ties,

225. Transformadores az

reluotancia, el fljo remuitante ea mucho meror que en unidades monotisicas
9 en unidades trifänicas del tipo acorazado, En ambas de las cuales es con~
vensente un conducto cerrado de hierro para 12 tercera harménica del flujo.

El objeto del camino de ata roluctáncia es reducir La tercera harmónica
inberente del flujo en transtormadores trifásicos dl tipo ndeleo a aproxima—
damente del 2 al $2 del voltaje fundamental, dependiendo, en densidad
magnética del 30 al 10% apareciendo únicamente en unidades monotásicas.

Conexión den ahlerin. Por medio de la consxión delta abíerta, la
cual es un caso especial con transformadores no semejantes, que resulta
‘cuando una fase del banco delta delta ge ha dañado, manteniendone en opara-
ción; la figura 4-E-13 nos muestra dicha conezión. Con transformadores
monofásicos, al dafarse uno de ellos, se pone enteramente fuera de la
conexión sin peligro alguno de perjudicar los transformadores restantes

ua A

«ma à (IC & \ .

- AA

(a 2048 Comtcón ou ou

con el solo hecho de toner cuidado de que la carga sea normal para dichos
transtormadores. Los tranaformadores trifásicos del tipo núcleo sí es
posible operarios en delta abierta, pero sälo cuando el embobinado dañado
sth. en cireulto abíerto, alendo todavía capaz de resistir el voltaje normal.
Como la corriente que fluye en los embohlnades det transtormador os
corríento de lisez, ol valor del banco es reducido por la relación de la
corriente normal del transformador a ia corriente normal de Linea, siendo
asta relación del S7.% del valor de la conexión delta delta,

Las principales propiedades de esta cooexión son las siguientes: a)
tensiones detinidas por estar conectadas directamente la ines; D) la tercera.
harmónica existe en parte como potencíal y en parte como intensidad (en
virtud de que el eireutto ge cterra através del generador, teniendo que tomar
en consideración la impedancia de la línea; c) La carga monoféalen es
admitida unicamente basta Hegar al limite de capacidad de los embobinados,
y Si conectamos dicha carga por milados, 0 sea una entre a, y D, y la tra
entre € y dz, la capacidad total la podemos aprovechar integramente; d)
la carga trifásica que admito os solo hasta el 86.9% de la capacidad del
grupo, devido 2 que como ya dijimos as el 57.7 de la capacidad del banco
Completo, 0 sea del delta delta.

Conexión T-T. Dicha conexión está reprenaitada en a tigura 4-E-14,
etectuandose al unir una terminal del primer transtormador con el centro
del otro, por Jo cual el segundo transformador debe tener tres boquillas en
alta y tres enbaja, excépivando el ca90 de que esten colocadas on el mismo
tanque.

226. us CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Por medto de la figura nos podemos dar cuenta que mientras el primer
transformador sólo tiene un hilo conectado a la 1ínea a, el segundo tiene
dos. sierto estos hilos 3 y C, dwsuciendo por tanto, que la tensión en este
“semundo raustormader está bien Jefiniéa, no ocurriendo lo mismo con el
primero, que solamente lo está por reflejnentre las dos unidades del segundo

transformador. De donde podemos ver que si las dos unidades del trans
formador 2 no se encuentran magnéticamante onlazadas al grado máximo,
Podemos obtener varfaciôn en el potencial del enrollamieno del primero,

La tensión en dicho primer transtormador es e186.0% de la del segundo,
¡según ao puede deducir ayudándoros con Iafigura4-B-15, en la cual OA oa 1a
altura de un triángulo equilétero quo tiene como base a la tensión del tran
formador número 2, Siendo también por supuesto en el lado secundario la
misma relación, 0 Ses que 02, 93.1 86,6% de be, como se representa también
an la mencionada figura.

Mi 8-18 Tenants dete

Por lo tanto, se puede construir el primer transformador para una
tensión 13.4b más reducida que el otro translormador, claro está para
alta como para baja, zunque en La mayoría de Los casos suele preferirse
que sean Iguales dichos transformadores.

En este tipo de conexión encontramos a la tercera harmönica en
tonsidad y en potencial, dominando esta Última cuando la impedancia de la
línea de alimentación es alta,

‘Cuando se aplica carga monofisica entre dos hilos, ésta debe llegar
hasta el Limite que permito ta capacidad del transformador, no pudiéndose.
aplicar la carga al doble como en ia conexión delta bierta, porque en este
caso cada hilo corresponde a una sección de bobina; si por algún motivo.
aplicáramos dicha carga, una de las secciones Nevaria 73,2% de sobre
carga,

227. Transformadores 25

«on el fin de que se compcenda Ja conexión ramos a conectar 108 dos
teaniormadores a una Lima de 1000 volta Por el lado de alla y a otra de
nao tad de aj; el ranatormados Os à y secibtrd el 60.0%
oo, cits Foro sen 868 vall, produciendo 06-5 Te "nientras el segunda
de jou el 1005 del vale o sen 1009 vola rogucierdo 100, St conectas
cara de 1000 amperesentrelas sisi 2, ip pasarán 1000 amperes
vo el ranstormado? 1 también loa SUD smpeces par ek tramo do; Llevando
Dr ölo 100 ampares on 1 7 en BO, E cambamos la carga ya
e tlsamos entre De, sólo el transformador e evar’ 1000 amperes en baja
ao La conenin es entre 96 suene Sractamente lo mismo que
2 100 er cago, Pero, afinaimente conectamos, carga de 1000 amperes
oy ra Cama amilar entre Ay ‘genre ay e, und de los
ados tendrá que evar 1130 amperes Sovecargante demasiado dicho
transformador:

no nerión iene la gran ventala de Me al existir un punto en el
o de transformador 1 aue ss Alte a fa tercera parte de
as que tay de 0 à À 7 de 0% 5 Bl sr Men ta propiedad de ser el
tas PA esiangule y además el neutro del sistema; se le puede conectar
centro malo el cal aneviia para alimentar car? Tnoncrásicas st eS que
estas fueran necesarias.

ren zig zug Esta conexión, Tamas ART in zeta, requiere
que cate fase tenga das secundarios EIN figura 4-E-18), en primer
nc ae toma un secundario da cada fade Formanda con ellos una estrella
Matar, grados, representada por las Jete venta figura. Abora,
nation restates se forma fra cena “de 180 grados, que 20
rada y que sus brazos a, DY Cl pet "conectados en serie con las
era ostras, con la Unica condición de fo Ot de 1a misma (aso.

era la comento eig 235 queda forme "mostrando dicho

mo e Coman name

soso en 1a figura 4-E-LT cm los dE vectoriales de potencial
mario y secundario. Es el final de Ah figura, quedas representados
primario à $Speaganos, conclayonao vor Jo MO E ta tensión en
Trem cio eo da tercera arte dea total. Mn También que los potenciales
ecos tienen una variación de 90 grados “on respecto a los primeros,
carer en la conexión anata al grupo de ee 20 grados.

228. conte a DE ENER GG

TROMECANICA

Grande cenectamos el neutro N al neutro del generador > de un banco
e dera del miso ciremto, Observamos que Son los Unicos ease.
ecu meets harminica und Cir, debiendo existir sta en ine tengo
de cada secundario

El primario pues
completo la tercera

ar conertado en delta, eliminändose entonces por
monica, Ex algunas ocasiones se puede emplea ta

8447 locas vna e patent dl conning sop

rm Sila zeta con terciario en dela para eliminar la tercera
harmónica y conservar el primario en estrella.
sta conexión son laa siguientes;

on cla zeta en servicio general de dstrihurén, en bajas capaciéa-
des, con transtormadores trifásicos tipo de columees

am rola delta zea en bancos de unidos monoftsicas de gran
capacidad con terciarto,

sh Delta zeta para comertidores síncronos de tres anios, operando
so coma do? de tres los, sistema Edison. El neutro dela Corriente eine
se toma del centro de la seta.

4) Zeta delta para bancos de tierra,

Cambio de Fases con los trunstormadores,

rong in Stl Esta conexión es usada cuando ay que transformar
tn elrcusto trifísico a uno que tenga solamente dos acer,

mn gta, conexión pueden usarse dos translormadores iguales, 108
gmt ado a A 50% LEBE del emanado, estando dichos “lazos
en el lado trifásico,

229. Transformadores ar

del embotivado del nüclon, con el lin de prevenir la distorsión del fluo y
‘una pobre regulación.

CEST

Del ado secundario se pueden ver doscireutths separados cuyastansiones
son las mismas en módulo pero con un argumento que difiere uno del otro
90 grados, en virtud de que el transformador complementario tiene el 60%
de la relación del principal, por lo cual, de asta manera se compensa la
monor tenslén recibida y 50 produce wea tensión completa.

Las relaciones de corriente en la conezión Scott pueden ser realmente.
derivadas por la aceptación de que elladobifásico setä conectado a la carga,
siendo la carga principal y la secundaria independiente una de otra. Al
reterirnos a la figura 4-E=19, lacargaprincipal / produce una corriente
Primaria ea el transformador peineipal igual a//7, no produciendo ninguna
corriente en el complementario. Estas corrientes ostin represeatadas por
la línea aótida de latlgura. La cargaapiicadaal transtormador complemetario
Jt, produce una corriente primarla en el transformador complementario
‘gual a 1.15 j//r 1a cual, como se dijo antes de las tensiones, también tiene

230. ERSION DE EXERS:

28 co: ELECTROMECANICA
una diferencia de 50 grados can respecto ala corriente en el transtormador
principal La corriente en el transformador complementario se divide
en dos parte, una mitad 0.587 Jr fluyo en et primario prineipal à y la
atra en el primario principal a. Dicha corriente en el complementario está
representada en la figura con la línea puntuada. Viendo por tanto que esta
corriente fluye en direcsiones opuestas en las dos mitades, y por lo tanto
también hay que tomar en cuenta la relación e cuadratura entre la corriente
principal y la corriente complementaria; la corriente complementaria está
90 grados atrás de la corriente princtpai en el embobinado a y en el embo-
binado & está 00 grados adelante de dicha corriente principal. Estas
corrientes na tienen corrientes secundarias equivalentes on el ranstor mador
principal. y por lo tanto, ellas son iquales y fluyen en dirección opuesta en
à y 5, neutralizando a cada una en 10 que concierne al efecto magnetizante.
‘Asi las bobinas a y 5 pueden ser consideradas con relación a las corrientes
complementarias las cuales fluyen en bl, como un transformador monolá-
ico, siendo una bobina primaria y la otra secundaria. La necesidad de tener
una baja reactancia entre los embobinados a y à con of fin de obtener una
buena regulación es una consecuencia directa de este factor.

Conexión Fortesque. Esta conexión sirve para transformar de tres à
dos fases, utilizando treo transtormadores, oo de lbs cuales es estandar y
los otros doa tienen "tapa" ospucialos an el lado de baja, al 74% del embo-
binado completo, Una ventaja de esta conexión es que se pueden entregar

LIA UL _
een A

plc o on

Pa 44-20 Caranta Portero

al mismo tiempo tanto corrientes bifäsieas como trifásicas. (Esta conexión
2e repregenta on la figura 4-E-20). Con objeto de no ir a sobrecargar Loe
transformadores, cabe mencionar que la suma de la potencta entregada
tanto an las doa como enlestres(ases, deberá sor algo menor que la Capas
cidad normal de 108 mismos.

Conoxión Taylor. Esta conexión es muy similar a la anterior, según
puede verse en la figura 4-8-21, siendo laúnica diferencia de que en los dos
transformadores con sus derivaciones especiales, dstas se encuentran al
86.0% del embobimado total

231. fransíormadores

pn 8-1 Come Tenir

según se representa en la figura 4-E-22, esta
Wf dou debaja tension de cada Lranstormador.
puestos. Pueden conectarse entre

Comes
«conexión requiere que los embobir
ida conectados a puntos dtametralmente:

Fra. 0-22 comen damen!
.

i tos pos medios de los ambotinados diametralen, formazdo Éstas ©

toe el ransformador. Cuando se requiera que la potencia de salida 202

rere ar chento completa almismo voltaje, ya sea en tres 0 en seis fases,

usa trecuentommente La conexión delta delta.

232. 7 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Conexión lotta delta. Para reaiizar esta conexión, la cual se repre
senta en la figura 4-E-23, se requiere que los ombobinados de baja tensión
Ze cada transtermador estön dividises an os. completamente independientes.

Pin 6-23 Conan ol at

Ambos grupos están conectados en delta, pero una de ellas está delasada
180 grados con respecto a la otra, Según se puede observar.

Transfummndon» trifásicos, Un transformador trifásico es una unidad
fistea en 1a cual los núcleos de cres diferentes transtormadores monorásicos,
están unidos entre sí, con objeto de economizar material del núcleo, sin
interferir en su operación básica. Las figuras4-E-24 a y 4-E-24 D muestran
las dos diferentes formas de construcción de estos transtormadores. an
primer término el tipo núcleo y en segundo el tipo concha,

El ahorro de material en el núcleo viene acompañado de un ligero
desbalanceamiento en 108 circuitos magnéticos, pero se puede mostrar,
sin embargo, que uo existe una diferencia significante en las earactorísticas
eléctricas, ya sea, de un transformador trifásico tipo núcleo. o de un trans-
formador trifásico tipo concha, O de un banco de tres transtormadores
moncfásicos.

Se puede afirmar con certeza que un transformador trifásico con la
misma capacidad de un banco de tres unidades monorágicas, cuesta menos.
pesa menos y ocupa menag espacio; pero ılane mayor peso por unidaa y por
consiguiente es más difícil de transportar. Desde el punto de vista de
contabilidad, un banco de tres unidades monofásicas es preferible, en
virtud de que una unidad adicional de refacción incrementará la relativa
confiabilidad a menor costo.

233. Tronsformadores za

Img. 28-24 rnetormetare ben Ton sc Ts cna

En et capítulo 3, sección 5, se ltuvlaron exprestonee pazo 1a ner
an SL campo magoético de eatruccuras excitadas por uña Sc.
ee Mideraron tanto estructuras lineales como 10 lineates, DT
jee de las para estructuras cxcitadas por mio do wna fueate es
O alo de aparatos de conversión da energía electromecssir':
a oo eet dano general an que la estructura 20 es Imal, es amy Ach
nando pages una wie excitación. El anlsia restrtngies.
came, a estrosturas Unsales. Como unelemplode a SATTE"
Fo con ible excitación usaremos el tranaformador do ncleo Hines
o on da fig. 54 En la fig, 4-34 se camera mevamonte Pr:
raaiencia, un dlagrama esquemático de cate transtormado”.

Tas inductancian propias de los dos en
induetancia mutua del transformador es M. La cese
ends We en el campo magabtico de un medio lineal escitado por uns
sola fuente.

mo hid 09

234. ES CONTERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

saura faneifn de tiempo, 1 camblén 10 es. Como ol trunsformae
jeleo lineal consiste de dos bobinas de excitacién, ba ranorette
tsperar que la energfa simaconada depender de tas inductaccias monies
mütun y de jas corrientes en los embobinados.

La expresión para la energía almacenada se obtendrá para valores
{toa de corrientes en os dos embobinados. Comoestos rainres “Jos puedes
ser considerados como valores frstamáneos de i, fir a un cierto
instante de tiempo, los resultados obtenidos pueden ser considerados pánico
Para corrientes variables en el tiempo.

¡Supongamos que las corrientes 1, e ¿, 6) en los dos embobinados son
imiclalmente cero La corriente 1/0 08 inerementada de Oah mr.
sand, mientras que la corriente i pormanece en cero. EI voltaje
inducido en el embobinado 1 durante el Intervalo on que ©“) to ingre
de 0 ad, está dado por

de, diy

CORRE ETES (4-189)

Fie 4-34 Um mantomador de cio ne

La energía transferida al campo magnético es

wn» [wna Lots

- fi Anal) «LAON = Alt — (4-190)

Ahora, 1a corriente /, se mantlene constante y la corriente ia(t) en el
Embobinado 2 se incrementa de 0 a I, en T, segundos, Duran aan
intervalo se Inducen voltajes en ambos embobinados. El voltaje inducido ay
el embobinado 2 es

‘

du)
“a

delo
CORNE 297 “in

235. Transformadores
El voltage inducido en el embobinado 1 debido al cambio de (,() es

ento = my SBOE y SD

= à ci

La eoergía tranaterida al campo magnético en T, segundos consste de
dos componentes. Una componente es debia al voltaje eat intacido en
el embobinedo 2 y a la cocrionte #,(0. La otra Se debe al vollaje #2 0)
ingucido en el ambobinado 1 y a la dorriezte constante I, fluyendo en él

4-199)

y de
ent dt -[ AE dt
+ [ana ra ess

La energía total almacenada on el campo maguético cuando las corrientes
sont, ef es

en a+ Wet Wa OL + LUE Mh (199

La enorgfa almacenada cuando las corrientes non 4,00 e i,(t)
MO = RL) + YO + MALE (198)

En un transtormador físico ol coeticlente de acoplamiento X stempre es
menor que la unidad. Las Inductancias de dispersión no aon cero. Puede
ser demostrado con ayuda de estos hechos, que la energía almacenada dada
por la ccuación 4-196 siempre es positiva,»

PROBLEMAS

4-1 Se muestra co la fig, 4-3 un traostarmador ideal con una resist
cía Ry conectada a las terminales del embobinado 2. a) Si la relación de
vueltas N,/Ns = 2, st v(t) = 20 sen 317 +, y st Ry = 5 ohms, determine la
magnitud 'y dirección de las corrientes /, 04, (1) en los dos embobina-
dos así como la magnitud y polaridad del voltaje inducido 3/4 en el embo-
binado 2 a mn cierto instante de tempo cuando el valor instantáneo de
malls 2-12.32 volts y está decreciendo, #) Repits®la parte a) supontendo que
1a carga es una impedancia capacitiva de 3-74 008,

gato se dur como Ejercicio. Alınas occu este resulta ve supone verdadero y 9
ie de naplsmtene as me menor que a ias

236. 224 CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

4-2 Un transtormador de núcleo de aire 2 60 0.2.5, toma tna corriente
de 10 ames. cuando un voltaje senoidal de 125.8 volts (eficaces), se aplica
al embobinaco 1, teniendo el otro embobinado an circulto abierto. El
voltaje inducido an el segundo embobinado es 47.1 volts, La relación de
vueltas del transformador es N, / N, 2. Las resistencias de los eme
bobinados son despreciables, Encuentre al ja inductancia propia L, del
amboblnado 1. 0) La inductancia de diapersisn L,, del embobinado L y c>
1a inductancia mutva de los dos embobinados.

'4-2. En un transformador de núcleo de aire, las resistencias de los am-
obinados son despreciables. La Inductaneia propta del embobinado L es Imh.
La relación del voltaje inducido en el emboblnado 2, que se encuentra on
elreuito ablerto al voltaje aplicado al embubinado 1 as 0,5, El coeficiente
de acoplamiento £ = 0.8. Determine las corrientes en estado estable en los
dos embobinados cuando las terminales del embobinado 2 ge ponen en
corto eireusto y ge aplica al embobinado 1, un voltaje senotdal vi() = 14.14
sen 10001.

4-4. Un transtormador da dos embobinados con núcleo lineal tienen
una relación de vueltas X, / N, = 4. Las inductancia proplas de los dos

0h (henry), para el embobinado 1 y La = 5h para el
embobinado 2. ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo del coeficiente
para los cuáles los valores de los otros parámetros del
rán ffalcamente realiza
4-5, En el tranaformador no ideal da aleteo lineal mostrado en la figura.
acompaña, 1os voltajes y corrientes son todos senoidales, a) Escriba
las gonactonea de malla del transtormader. #) Trace un circulto equivalente
de lop transformadores con uso de transtarmadores no ideales.

su 2)

Pros +5

4-0. Un transtormador de 60 c.p.s. tlens en el núcleo 4 exbotirados
Idäntfeos, Sus valores nominales (de cada embobinado) son 100 volta y 10
amps. (eficaces). ¿Cuáles sonlosvolt-amperes máximos segaros de salida
que se pueden obtener (utilizendo los custro embobinados) a las siguientes
Felactones de voltaje a 100/200 volta ) 100/100 volts c) 200/200 volts y
à) 100/200 volts? Las capacidades en valtaj y en corriente de los embobina-
dos Individuales no serás excedicas. En cada caso se requiere alalamiento
entre la fuente y la carga. Trace en cada cano los dtagramas osquemáticos.

4-7. El embobinada de bajo voltaje do un transformador de 2 Kya,
400/100 volts se conecta a una fuente da 100 volts, y su ombobinado de alto
voltaje se deja abierto, La corriente de estrada es 10 amps. y la potencia

237. Transformadores 25

20 watts, ¿Cuál será la corriente y la potencia sí se aplican al exbovinade
e atta teusión 400 volts y se deja abierto el otro embobinado?

e tobirado de alto voltaje de un transtormader de núcleo de
aterra de BK 400, 100 volta se pone en corto circuito. Cuando se alimentan
RS en el emboninado z+ baja tensión, la corriento de entrada sa 20
e e in potencia de entrada 40 watts. Si se pore en corto circuit) dl
ame do de baja tensido y se alimenta el embobinado de alta tensión
e el voltaje de alimentactén y la potencia de entrada cuando se tene
Una corriente de entrada de 4 amps.

Cee te prueba, de corto circuito en un transtormador de núcleo de
Mrs de dos embobinados, 5 va. 500/100 vols, se electa a cortiama
e otencia de entrada es 100 watts y el factor de potencia 0.707
a) Caloular los valores de Lan resistencias y de las Teactancias
e raion de los dos emboblsados b) ¿Cuál es la regulación de Var
He tranaformodor cuando está entregando a la carga $Kra 2.100
volts y con un factor de potencia de 0,8 atrasado?

"710, Los dos-erabobinados de un transformador de mlcleo de blerro de
rt 1, 1 ae conectan en oposición serte y se aplica a la combinación
halo Sencital. Una corriente de 10 amps. (efleaseo) fluye en 108
ue La caida de voltaje en el embobinado 1 es 50 volts y en «l
amboirado 2 es 28.3 volts, La resistencia del embobinado Les 3 ohms y el
made 2 es 2 ohms, Calcale Las reactanclas de disperotón de los dos
embobínados.

A Las siguientes datos de prueba son de un transformador de don
úexobinados de 10 Ka, 2000/200 volts

+ va AAA
py

cas] vengas | Vencmal | 10 | cum

RRA 03 suis

cateule los parámetros de los circuitos equivalentes mosteados on la
tig, 4-18 teteriaos a 0) el ado da alto voltaje y bal tad de bajo voila.
‘Trace lon circuitos & indique el valor de los parámetros,

do al circuito equivalente aproximado mostrado en la fig. 4-19
{a)teace un dlagrama complejo para cuando el transtormador ests entrego
ne efente nominal con volaje nominal auna capacitancia pura Conecta
da en el lado de baja tensibn,

Sn de tone un eranaformador de dos emboblnados de 5 Kra. 250/ 100
volta, Se efectian on Él las pruebas de circuito ablerto y de corto elr-
vote a voltage y corrionte nominales respectivamente, Los datos de prueba
on como algu:

—+
= Vane orn Co
ot ome fon
Ge ee [7 A im
Con ciate © El Ex

238. 26 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

al Calcule la restetencia y la reactanela de dispersión equivalentes:
del transformador referidos al lado de alto voltaje. 5) Caleule la regu-
lación de voltaje nominal para una carga Induetiva con un factor de poten-
eta de 2.8

1-12. Los siguientes datos de prueba son de un transformador de dos
embobinados de una capacidad nominal de 8.45 Kya, y una relación de
voltaje de 2400/240 volts. Las pruebas son realizadas bajo condiciones
nominales.

Fate var | JO
pars fo

ala ke — mee a
TA 2 mé

a Encuentre los parámetros normalizados Ry 7 X, del transformador.
b) St el voltaje y la corriente de salléa se mantienen constantes a sus valores
nominales y el ángulo de fase entre allos varía al cambiar el factor de
potencia de la carga, determine of factor de potencia al cual la regulación
de voltaje del tranaformador tendrá su máximo valor. Encuentra la regula~
ción máxima. cilA qué factor de potencía de la carga será cero la regula
ción de voltaje nominal?

4-14. Se tieno disponible la siguiente información perteneciente a un
traustormador de 50 kva, 2500/250 volta, 60 c.p.a, a) Con el Lado de bajo
voltaje en corto circuito, se requieren 100 volts en el lado de alta para
ocasionar en los embobinados, el flujo de la corriente nominal. 2) Con el
ado de alta abierto y con 250 volta a 60 c.p.s, aplicado en el lado de baja,
la potencia de entrada en de 288 watts, c) La eficiencia máxima del trans.
formador a factor de potencia Unitario ocurre cuando el tranaformador

th entregando 30 kva a la carga,

Calcule 1) la eficiencia del transformador cuando está entregando 40
kva, a 0.8 fp. factor de potencia) y a voltaje nominal, 2) la restatoneta.
normalizada Ra y la reactancia de dispersión normalizada X, del trans-
formador, y 3) la regulación de voltaje del transformador cuzbdo se tiene
a mu salida 40 kw a 0.8 fp. atrasado.

4-16 Los siguientes datos de prueba son do un tranatormador de dos
embobinados de § kva, 500/100 volts.

> Vom T Corn Fos
oa. per) tes
1 2 =

Inde de bajo vl ma orto so 10 "No anto.
T

St ocurre la eficiencia míxima del transformador cuando se tlene a la
salida del mismo 3 kva, encuentre la eftolencta nominal del tranaformador
2 0.8 fp. atrasado,

239. Transformadores 227

1-18. Un transtormador de núcleo de hierro de dos embobinados Hene
la mom affetencia tanto a una lercera parte como al valor nominal de mu
ee voltaje de salita y ol factor de potencia de la carga son los
Flames en ambos casos. Encuentre el por ciento de los voltamperes nomina-
Teo de salica al cual el transtormador tendrá máxima allclencia.

NE rçaistencia 7 la conductancia de excitación normalizadas de
un wansformador de núoleo de bierro son Ry 0,04 y Gaya 0.02. a) Encuentre
qe encia nominal del transformador à un factor de potencia de carga
de 0.8 atrasado,

118, Repita el problema 4-6 suponiendo que se requiere an cada caso
um autotranstormador. Trace los diagramas esquemiticos.

O, Un transtormador de dos emboblnados de 2 Ira, 400/100 volta,
50 cine, de va à conectar como autotranstormador para transformar $00
Fate à 400 volts. ¿Cuáles son los voltamperes märimos de salída que el
(Sunsformador puede entregar trabajando como un autotranstormador sin
dor "las. corrientes y voltajes nominales de los dos embobinados?
Determine los voltamperes entregados por acción del transformador y 108
Volemperas entregados a la carga por conducción directa. Suponga que sl
anstormador 28 ideal.

ES Se tiene un transformader de dos embobinados de 6 eva, 600/150
volta, Se dispone de una fuente de 600 volts y se desea usar el transformador.
Tara transformar de 600 volta a 750 y a 480 volts. Mueates con ayuda de
Tagramaa esquemáticos como se puede efectuar ain exceder los voltajes y
antes nominales de los dos embobinados, ¿Cuáles seränios voltazaperes
Grtainos seguros de anlıda del transformador en cada casa? Suponga que el
transtormador es Ideal.

EL Un transformador de núcioo de hierro de 5 xva, 100/200 volta se
conecta. como autotransformador para transformar 200 a 300 volts. Si la
Sroteneta nominal del transtarmador de los dos embobinados ea 95% cuando
Si factor de potencia de la carga es la unidad, calcular su eficiencia como
Auokranstormader cuando está entregando su galida máxima segura factor
e potencta unitarto,

22. Un transtormador de salida operando an el rango de audiotre-
cuencia tiens las siguientes especificaciones; relación de vueltas, 20:
Enductancia propia del erbobinado de alto voltaje, 20 % Inductancia de
Hlspersiön equivalente referida al lado de bajo voltae, 0 mb; resistencia
de los emboblnados, despreciable; resiatencia Interoa dolafuente de voltaje
ta al embobinado de alta, 2000 Olmo; resistencia de la carga
conectada al embobinado de baja, 4 ohms.

Calcule a) laa frecuencias de media potencia del transformador y ») ol
valor maximo de la relación de voltaje y la frecuencia a la cual éste ocurre,

“1228. Un transformador de sullda tiene una rolación de vueltas de 2
1. se usa para igualar una fuente que tiens una resistencia interna de 4000
Srna a una carga cuya rentatencia es de 10 ohms para máxima potencia.
Qumptertda. Las frecuencias baja y alta de media potencia del transfor-
Fier gon 50 ¢.p-2, y 10000 c.p.s. respectivamente. Suponga que el núcleo
Ea linea y que las resistencias de los embobinados son despreciables, Der
mine a) a induclancia de dispersión equivalente del transformador.
Wwerida al lado de bajo voltaje 0 de carga, 6) la inductancia propia del
cm ebinado de alto voltaje, y¢)elvalor máximo de la relación de voltaje del
transformador.

240. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

1-24. Muestre que en un transformador tfsicamente realizable con un

nûcleo lineal. la energía almacenada en el campo magnético (En. 1.190)
83 siempre pssitiva,

241. capitata 5

Fuerzos Mecánicas en
Sistemas Magnéticos

5-1 Intradacci

Se demostró en el capítulo 3queun campo magnético almacena energía.
En suma, un campo magnético también ojorce fuerzas mecánicas en las
estructuras o partes de lan estructuras ascctacas con él; en vista de estas.
dos características, se usa como un enlace entre las partes eléctricas y
mecánicas de muchos dispositivos macénicos. El campo magnético sive
como agente en la conversiónde energía eléctricaen mecánica o viceversa!,

Las fuerzas mocénicas ejercidas por un campo magnético pueden
examinarse de variag maneras. Eluso de la ecuación de la fuerza de Lorentz.
(ecuación 1-20) es an método: otro, que se usa comunmente, ae basa en el
priocipio de la consorvación de la energía al cual se encuentran sujetos
todos los alstemas ffsicos, De acuerdo con este bien conocido principio,
la energía no pueda ser creada ni destrulda, sino que solamente puede,
tranatormarso de un estado 2 otro. El objetivodo este capítulo es la aplica-
ción de este principio a sistemas magnéticos.

Sistema Megnético Mo Lineal

Excitado por une Fuente

Consideremos el sistema magnético mostrado en la figura 5-1; cuando
una corriente fluys en a bobina de excitación, el campo magnético establecido
en el núcico tiende a atraer ala cara B de la armadura movible hacia la
cara A de la parte fija. Para mantener separada por un entrehierro à la
armadura de la parte fifa, se requiere una fuerza de retención. Esta fuerza.
(Y en a figura 5-1), ox igual y opuesta a la fuerza de atracción ejercida por
el campo magnético sobre la armadura. En la figura 5-1, c os la longitud
Yarlable del entrehterro, La dirección de referencia positiva para € se
supone arbitrariamente en la dirección de la fuerza restringente f.

Las relaciones de anergla en esto sistema magnético se estudian mejor
por métodos gráticos ya que el sistema no es lineal. El procedimiento para
la construcción de las curras de flo compuesto Ya, fm. para dos mocos

Du de astararae que 20 tale Is aaponitvs elecromcicos sn prendo à La

Homme. An ue an aan cs seine creía abe de operat pa cia.

242. 230 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

os)

PUR Un sons trempé cto or un sla fm,

magnéticos de describió en el capítulo 2 (ver figura 2-25). Una familia de
estas curvas compuestas pueden obtenerse de la estructura magnética de
la figura 5-1 al auponer diferentes valores de c, o sea de la longitud
dol entrenierro. Estas curvas se muestran en la figura 5-2.

ergo

Oasen,

‘mF, aaa

Mi 32 Cure de Mu compuerto vus tam du seems mugadten
ma

Si Ja corriente circulante en la bobina 98 mantlane constante a un valor
la, oeaslonando una fuerza magnetomotriz Fo, el valor del flujo dependerá
de La longitud del entréiterro c. Los puntos As, A,, Ay, Y A, representan
108 puntos de operación para diferentes posiciones de la armadura.

De las cuatro posicionas de la armadura mostrada on la figura 3-2,
considremos las don extremas: © Ca yey. Lan curvas compuestas para
estas dos posiciones son representadas nuevamente en la figura 3-3 (a)
(v). Se mostró en el capitulo 3 que la energía almacenada en un campo mag-

243. Fuerzas Mecánicas an Sistemas Magnáticos zu

a F mm À erecta
a
sue de er
dol
4
2 % ‘en Feet

a

a) Enersn nana me caros magndien anda ¢ = 9:40) Er.

ms.
(ica ent canine magie man 6

ético está dada por

we [ru B26

In energía.

donde © es el valor de flujo en el nüclco; on la figura 5-

“almacenada deponde del punto de operación.
el punta Ay, cuando O= te y En cs «0, la energla almacenada os

wur [re ep

244. 232 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Ahora bien, en sl punto À, cuandod= 25 y0=0,1a energía almacenada

Wur [re 62

La relación funcional entre 9 y F está dada por la curva compuesta
respectiva,

El area sombreada verticalmente 04,2, delafiguraS=S (a) represerta
Wo. y la de la sigura 5-9 (0) representa Wa, ES onvio que astas don
áreas no son iguales 7 por lo tanto 13,4 Vas. Como la energie no puede
crearse ni destrurse, el cambio de la energía almacenada puede explicarse
de dos maneras; sí el cambio de Ws, a Wo, representa una disminución
en la energía almacenada, entonces parte de La energía puede convertirse
en forma mecánica, otra parte puede retornar ala fuente y una Última puede
faiparse en forma de calor. Si el cambio de Wa, a Wa, representa un
incremento an la energía almacenada, entonces una parte de eae Incremento
puede venir de la fuente y otra por la conversión de energfa mecánica en
energía eléctrica o magnética. De otra forma, se violaria el principio de
la energía electromecánica.

Deberá notarse aquí que la transferencia de energía entre al campo
maguético y la fuente eléctrica, tene lugar aún cuando la corriente sea

. Esto es posible a causa del voltaje nacido cuando cambia el flujo

debo recordar que si 14 velocidad del movimiento de las partes
mavibles dol sistema magnético es grande y/o, si los clomentos mecánicos
tales como resortes capaces de almacenar energía potencial están presentes,
parte de la energía será por cuente del cambio delas enargfas cinálca y de
Potencial almacenadas en los elementos mecánicos del sistema. En geoeral,
la relación del balance de energfa en un sistema puede ner expresado como

sigue:

Wan = Wave + Wee + W, + Pérdidas oy

donde Wi: 95 la entrada eléctrica al sistema durante el morimiento de la
armadura, M la energía convertida en forma mecánica como salida,
Mpx el incremento de la energía potencial y cinética almacenada en los
slementos micanicos del sistema, y #5 el Incremento de la energía alma-
Cenada on el CARES mages. —

No es necesario para el lector estar Interesado sobre el uso de las
palabras "entrada" a "ineromento" on la definición anterior, SI en un pro-
blema particular, la energía eléctrica es regresada por el siatema o st
una reducción en las otras componentes de energfa, signos negativos eu log
lugares apropiados de la ecuación 5-3 tomarán a su cargo la situación,

En el presente análisis, se supondrá que la velocidad del movimiento
de la armadura no eg suficientemente grande para ofectuar un cambio
significativo en la energía cinética y que no hay resortes capaces de
almacenar energía potenctil, (Los sistemas que tneluyen tales elementos
serán expuestos posteriormente), El término Wr de la ecuación 5-3 puede
ser despreciado entonces. Se supondrá tamblén que las pérdidas son de:
preciables, La forma simplificada de la relación de balance de energía es

245. Peres Mecánicas en Sistemas Mayréticos 238

por consiguiente
un = Wan + We on

Haremos un exámen más etenso de la ecuación 5-4. Supongamos que
la armadura de la ecuación 3-1 9s movida de da a à, por medio de una
fuerza externa fen contra de la fuerza de atracción del campo magnético
establecido por la mm. Fa, la cual se mantiene constanle. SI el cambio de
ay 2 3, se efectúa muy despacio, el camblo relativo del flujo será muy
Sequeto’y prácticamente so se inducirá voltaje en el embobinado de
Excicación. La corriente permanecerá en estado estable al valor Ih. La
Curva lujo vs. fmm, durante el movimiento de la armadura, 25 la línea ver=
tica: que une A, con a; esto Se muescra an la figura 3-4

Pitt de enero

on Aoc

o. 5:4 Curves uo or an dete movimento de armature An A

Si, por otra parte, In armadura so muove de A, a À, muy rapide, ol
fujo ho tendrá tiempo para cambiar apreciablemente antes de que la
armadura esté abierta con c=23, Durante el movimiento la curva flujo vor
fmm. se representa por la lnea horizontal 4,45. Como la fmm. en estado
estable se mantiene a un valor Fo, el punto de operación se moverá de A
a 4, à lo largo de la curva Compuesta para c = Ca.

‘si ol movimiento de la armadura no es nf muy lento ni muy rápido,
caso que por lo general se tendrá enla práctica, podemos esperar que la
Curva lujo vs. fmm, esté localizada entre los limites extremos A4, Y
A A.. Supongamos que An Ba, represente la curva flujo vs. fmm, durante
al movimiento de la armadura.

SI el cambio de flujo de = #%6, tiene lugar alo largo de ke Ba, en fo
segundos, entonces la entrada de la Cuenta eléctrica al campo magnático es

wu [sam ~ f°

= [mde - [ra - aa casa) 69

246. zu CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La integral es negativa porque sl límite superior % es menor que el
Interior <e y el integrando es positivo, El significado del signo negativo ea
que la energía es regresada por el sistema magnético a la fuente eléo=
teica en Jugar de ser absorbida.

Cambio ea La energía almacendada
‘=, energía almacenada final - energía almacenada nical
= (irea 04,DO) ~ (área 04.C0) 54

Sustituyendo las ecuaciones 5-5 y 5-6 en la 3-4, obtenemos

(Grea CAaBA,D) = Wane + Area 04,DO — área OA9CO (N

de la cual ta erergía mecánica de salida es dada por

Wan = -ildrea 041 DO) + (área C4984,D)
~ lárea OACO)] = —fárca 0408410) — (58

EL signo negativo en la ecuación 5-8 tnúlca que el trabajo oa hacho por la
armadura con la ayuda de la fuersa externa / en contra de la fuerza de,
atracción del campo magnético, y el Area Ole FA,O representa a a energie
mecánica de entrada al sistema.

Similarmomo, of la armadura ox sostenida inicialmente en puetcón
ablerta (punto A, de la curva compuesto) y entonces soltada, Esta de moverd
2 1a posición cerrada (punto As de la curva compuesta) debido a la fora
de atracción del campo magnético. La figura 3. muestra las curvas come

jestas para las posiciones abierta y cercada y las curvas flujo m
Frum “durante ‘el movimiento “de de armadura Daza. os tres beck e
consideramos anteriormonto que don a movimiento muy anto A, dae
morimlanto muy rápido 4,43 A, y c) movimiento intermedio A, Ga

Se puede mostrar fácilmente que en este cano la energía on absorbida
por el campo magnético durante el movimiento de Ja armadura y pare de
Ella ae convierte en forma mecánica paraatraerlay noveria dec ses a cace
=0. Esta energía mecánica de salida está dada por el Area dor
04,040.

El análisis anterior muestra que un sistema magnético que se excita
por una fuente de energía eléctrica y cuyas partes eatructurnies puedan
moverae relativament« una con respecto a la otra, puedo ser uaada como un
enlazamiento entre sistemas eléctricos y mecánicos y también para convertir
energía eléctrica en energía mecánica o viceversa. El alotema masnético
mostrado en la figura 5-1 ex básicamente un dispositivo de conversión de
energía electromecánica, Es obvio, sin embargo, que no será la mima la

247. Fuerzas Mecánicas en Sistemas Magnáticos 235

construcción actual yla configuraeiôn fsica de todos los dispositivos electro»
sro será svidente la similaridad básica entre alos * ol sistema

dela Figur

ute de 0

5-3 Feerzas Mecánicas e
El Principio. del Despleremiente Virt

Los resultados obtenidos en la sección anterior pueden usarse para
derivar ma expresión para la fuerza mecánica ejercida por el campo
magnético enla armadura de la figura 5-1, o la fuerza externa necesaria para.
moter à la armadura de la posición cerrada a la poslción abierta,

Supongamos que la armadura de la figura 5-1 serden la posición
cerrada, 0=c4=0 (punto Ay en la figura 5-2 que la bobima de excitación
eva una corriente Is, producida por la fm, Fo; que una fuerza externa J
se aplica y la armadora se desplaza de su posición inlcial una distancia
Ac. Realmente no es necesario para la armadura ser despiazada, se puede
Imagirar que se ha movido una distancia Ac. En otras palabras, se supone.
un desplazamiento ficticio © virtual, Las curvas compuestas para las
posiciones snicial y desplazado se muestra en la fig. 5-6 Como ol des-
plazamiento Ac es infinitamente pequeño, no existe ninguna diferencia si
la armadura se mueve muy lento o muy rápido, porque, después de todo,
Ac-0 enel Limite. Por lo tanto puedo tomarse ya sea Ag, Ódyá A, como.
la curva flujo vs. fmm. durante el movimiento.

Caso 1: Si Auf A, 8e toma como curva transitogia, el lujo permanece
constante a 9, . Dela acuación 5-8, al trabajo mecánico hecho en la armadura.
por el campo magnético es dado porel área Oa-1[ O. El signo xogativo puede
Suprimirse, y el trabajo realizado por la armadura es

Wane = âtea 04,410 = (área OA¡CO) ~ (área DdoCO) (5-9)

248. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Fi. 5.6 Curva e Majo mie me pora un eee
lada ad e amasar

El lado derecho de la ecuación 3-9 representa el cambio de la energía
almacenada en el campo magnético a un flujo constante 4, (ver fig. 3-0)
SL $ es a fuerza externa actuando en la armador:

CAES ANUN (0)

em

En el límite, como Ac + 0, observando que la energía almacenada es una
funeión de ¢ y de ¢, la ecuación 5-11 puede escribirse como

(5-2)

Caso 2: Si AyA, se toma como la curva de flujo transttorto vs. fra.
durante el morimiento'de La armadura,

Wan = $56 = área 044,0
= (área 04,60) - (área 04,60) — ($13)

249. Fuerzas Mecánicas on Sistemas Magnéticos 237

El lado derecho de la ocuasiön 5-13 representa la disminucton en cosnergía
del campo magnético a un valor constante dela fmm. Fs. En otras palabras

SAA G14)
$
ae
am 1
dla
En el Limite, como Ac - 0,
LATE] 45-16)

Similarmente si la armadura se muevo dela posíción ablecta a cerrada,
la fuerea mecánica de atracción experimentada por la armadura está dada.

por

LATE)
de

MES
No

Las ecusclones 5-12, 5-16 5-11 son resultados importantes y fundamentales
Y son aplicables en general a cualquier alstema magnético.

SA
Excitade

‘AGn cuando 109 resultados obtenidos en las dos secciones anteriores
nos dan una idea de la naturaleza de las fuerzas mocánicas en un sistema,
no son muy usadas debido al trabajo que Implica el trazo de Las curvas.
compuestas. El trabajo y la complejidad se incrementan si el sistema
magnético se excita por más de ma fuente. Afortunadamente,
dispasitivos electromecánicos, sa presentan entrekierres, y la mayor parte
e la energía se almacena en sus campos magnéticos. Así se pueden obtener
resultados satisfactorios por aprextmaciones lineales del sistema magnético
0 lineal,

En un sistema magnético lineal, el flujo varía Unealmente con la
corriente (o con fmm.) de tal manera que lao gararteristicas flujo vs,
ram. son líneas rectas y la energía almacenada y 18 coenergía son iguales.
Le las ecuaciones 3-34 y 3-39, tenemos

Men Wie GR = RO = APPA GIE (S18)

250. 258 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La ecuación 5-12 llega as

cz 519

La ecuación 5-18 Moga a ser

IE a pide

foe lie” 7" en

Como una F constante significa una i constante, la ecuación 5-16 puede
también expresarse en términos de la inductancia propia L, que

1 ad
q" (5-21)
<uecando la Be. 5-17 come
ELATON Ear
ours ehr LE om
aw; Lah
I-+ er 62

En tármicos de la inductancia del sistema magnético, la Ec. 3-17 puede
escribir

1 de
Pr 629

La aplicación de eatos remltadoa ae Ilustrará por medio de algunos
ejemplos.

EJEMPLO 5-1. En la fig. 5-7 se muestra un olectromagneto, EL campo
magnätico producido por la bobina de excitación ejerceuna fuerza mecánica
en la armadura, la cual en capaz de deslizarse horizontalmente. Suponga-
mos que ol material ferromagrático tiene una muy alta permeabilidad com-
parada a la uy del eatrehierra y consecuentemente toda la energía en el
‘campo magnético so almacena on el entrebiorro. La densidad de flujo on el
entrehlerro es le y se mantiene constante durante el movimiento
de la armadura. Calculo la fuerza de atracción del campo magnético sobre
la armadura. El área de la sección transversal en el entrehlerro ea A,
Los efectos marginales y de dlspersión en el entrehlerro pueden ser des
prestados,

251. Fuersas Mecánicas en Sistemas Magnéticos 239
Solución: Sea f 1a fuerza requerida para mantenar a la armadura er
|. posición abierta. Esta fuerza os igual y oguesta a La fuerza de atracción
Bel campo magnético. El desplazamiento < es positivo en la disección de À
‘Como la densidad de flujo (por tano, {tio en este ezso) se mantiene
constante durante el movimiento de la armadura, no hay entrada al sistema
igotrico durante este período ya que el voltaje inducida en cero. Por
Consiguiente la Ec. 3-4, de balance de energía, llega a ser para un pequeño
“desplazamiento de er la dirección de f.
Energía mecánica de entrada = Incremento en la energía almacenada en
el campo magnético 16-20)

La Ec.3-35 puede usarse para la densidad de energía, ya que el sistema ea
lineal y la densidad de flujo constante.

ans 4 TE 1 ==

e mi
IT

106-7 rro del jalo 1

La ecuación 5-25 Llega à ser

18
fie y ade

$
A om
D
donde Aceon e canto e amenés rein. (La fera de rain

del campo magnético es -f)
“Podemos haber obtenido este resultado de la Ec, 5-19.
La reiuetanela del antrehlerro es

RO A (52D

252. 210 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Da la Ee. 3-19, la fuerza axtorna os

(520

En el sistema mks raclonalizado, si Basti en webers/m%, A está an m?
y wy esiquala4ex 10-7 wabers/amp-vuelta m, la fuerza / está en newrons.
La Inductanela del entrehlerro ide la Ec. 3-97) es

Len 625)
De Ins ees, 5-21 y 5-29

fen 630)

La Ec. 5-30 puede expresarse en términos de i, fmm. por unidad de
longitud de la trayectoria magnética, Como Æ = Me, la Eo. 5-30 cambia a

Leg ne 3)

Una conclusión interesante puedo obtenerse de la Ec. 5-28, Dividiendo
ambos lados de la Ec. entre A, área de las superficies que Umitan al
entrehlarro, obtenemos

Le won

Be

1
z

es decir, la fuerza por unidad de área de los limites del entrehierro, es la
densidad’ de energía en el campo magnético encerrada bajo los Hmites
mencionados. Este resultado significa que una superficie interpuesta entre
dos regiones de diferentes permeabilidades on un campo magnético experi-
menta una prenión mecánica. Este concepto es básico para toa dispositivos
de conversión de energía electromecánica y para muchos Instrumentos de
medición. El lector deberá verificar la exactitud de las unidades de esta
ecuación.

Los resultados «tenidos hasta aquí para los sistemas magnéticos
translacionales pueden extenderse a sistemas magnéticos rotacionales
como se muestra en 21 ejemplo que sigue.

EJEMPLO 5-2. Par Mecánico on un Sistema Magnético Rotacional
Excitado por una Fuente. La sección transversal de un sistema magnético

253. Fuerzas Mecánicas en Sistemas Magnéticos 2a

rotacional se muestra en la fig. 5-8, El radio del rotor es r, y la longitud
del entrehierro entre el rotor y el estator es I. an cada tado. (Observe
que has dos entrehierros). La longitud axial perpendicular al plano del
Papel es D, Supéngase que toda la energía se almacena en el campo

i

9. Shes sae ral de lomo 5-2.

magnético del entrehlerro. La densidad de fujo es B,. Para pequeños
desplazamientos del rotor de la posición mostrada en la fig. §-8, calcu-
lar sl par restaurador ejercido en el rotor por el campo magnético,

Solución: La relación de balance de energía dada por la Eo. 5-4 es
aplicable aquí.

Woe = Wane + My sa

Como la densidad de flujo es constante durante el moviiniento, 91 voltajo
Anducldo en la bobina de excitación escero. Así que no hay energía elédteica
de entrada, St T es el par restamrador del camuo magnético y da es el
pequeño desplaramiento angular, la energía convertida en forma mecánica
es -T de. Aquí el signo negativo siguifica que el par restaurador tlende a
disminuir el desplazamiento angular a.

El incremento de la energía almacenada W, ae obtiene al multiplicar
la densidad de energía constante por el cambió en el volumen de tos dos
entrehíerros, La densidad de energía es 1/2 (B? /4). El cambio en volimon

254. 2e CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Ef lo» entreherros es Ar da: D), Suntttuyendo estas expresiones en la

Ee, 54

orto

0 el par restaurador as

La Fe. 9:33 puede también derivarse al constderar el cambio de la reluctan.
cía en el entreníerto, La Ec. 8-22 para al

modificarse al sustituir a poro y T por f. ol
hierros, el par restaurador 68 dado por

[U 44
rs. om
on
E, Emme ue permite te cso ne à
cts dl eto a
Durs om
seen te HRT
Meloni 6
EEE a oc as
tine
1. (5-38)

En

‘

mn ce tl mero total de vueltas de La bobina de excitación, y (ra D es
el Area color entreblerzo comofuncióndel demplazaratento angular del nee

mes a argento M la bobina de oxottación se supone constante.
entonces la Eo. 5-24 puede ser modificada y weeds,

255. Fuerzas Mecánicas en Sistemas Magnéticos 28

lad
Tar om

Sustituyendo L de la Eo. 3-38 en 125.39, queda.

Mardi?
rm cm

Es sencillo demostras que las Ecs. 5-97 y 5-40 son idénticas, Sabemos que

Mm
Bm mille = mi 54)

donde N ea at mero total de vueltas, Si se sustituye la Be. 5-41 en la
5-37, se obtiene la Ee. 5-40, El significado de ésto ea que ya sea el jo
© la corrienta pueden suponerse constantes al derivaruna expresión para el

par restaurador del campo magnético,
El efecto del par restaurador en al rotor ae muestra en la fig. 5-0.

\M
4 7,

256. 24 CONVERSION DE ENERCIA ELECTROMECANICA

maior Je desplaza de la postción vertical un ángulo ao an dlracción
par aan san mnocillas del reloj como se muegtra en la fig 0.9 he
pe anestsurador es en dirección de las manecillas del rei SA cn
asa abrazar el FOUT a la posición vertical debido à su moments
direction asta. Posición, ei campo maqnético ejerce entonces un mer
Suey” orale a las manecillas del reo) como ae musica en ae
5-9 0b).

anta sa? Balabras, el campo magnético on loa entréhierro es
Bo an diese en at que se ejerce sobre l rotor no ca uniairescioma, nass
por o gema Oruesta al que elroto tiende à moverse, Consesventenicen:
Te inact ral l For permanece ostaiorarioen estado estable puso que
ndo ¿icsión serán suflcientemente grandes para revente eu
tendencia a oscilar.

Fe mogard en un capítulo posterior que el rotor de la fg. 5:3 puede
en aniiuamente en la misma Girección al hacer al Campo marae
denen Periódica de tempo, Tal dlspositivo ae conace como una
de reluctancia y eno muchas aplicaciones Giles,

5-5 Sistomas Muy

com an ositivos prácticos usados para la conversión de energía
age mecánica Henen como mínimo dos embobinados de excitación meda
regula, ya sea corriente directa, o alterna; La mayoria am ene
Kennen aontideraremon un sistema magnético rotacional con dos Rone
tes de excitación. Este sistema se muestra en a fig Sein
en lineal.

257. 24 CONVERSION DE ENERCIA ELECTROMECANICA

maior Je desplaza de la postción vertical un ángulo ao an dlracción
par aan san mnocillas del reloj como se muegtra en la fig 0.9 he
pe anestsurador es en dirección de las manecillas del rei SA cn
asa abrazar el FOUT a la posición vertical debido à su moments
direction asta. Posición, ei campo maqnético ejerce entonces un mer
Suey” orale a las manecillas del reo) como ae musica en ae
5-9 0b).

anta sa? Balabras, el campo magnético on loa entréhierro es
Bo an diese en at que se ejerce sobre l rotor no ca uniairescioma, nass
por o gema Oruesta al que elroto tiende à moverse, Consesventenicen:
Te inact ral l For permanece ostaiorarioen estado estable puso que
ndo ¿icsión serán suflcientemente grandes para revente eu
tendencia a oscilar.

Fe mogard en un capítulo posterior que el rotor de la fg. 5:3 puede
en aniiuamente en la misma Girección al hacer al Campo marae
denen Periódica de tempo, Tal dlspositivo ae conace como una
de reluctancia y eno muchas aplicaciones Giles,

5-5 Sistomas Muy

com an ositivos prácticos usados para la conversión de energía
age mecánica Henen como mínimo dos embobinados de excitación meda
regula, ya sea corriente directa, o alterna; La mayoria am ene
Kennen aontideraremon un sistema magnético rotacional con dos Rone
tes de excitación. Este sistema se muestra en a fig Sein
en lineal.

258. cénicas en Sistemas Magnéticos 245

Fuerzas 5

El sistema magnético puede considerarse que es un núcleo Meal de
un transtormador no ideal an el cuallas Inductanclas propias Ly y La de los
dos embobinados y sus inductanciaa muruas M son funciones de la posición
angular del rotor, Esto es así porque la reluctancia de la trayectoria
magnática en el sistema es una función de la postción del rotor (observe
que la longitud del entrehlerro no es constante conforme gira el rotor)
y porque las inductancias proplas dependen de la reluctancia. Recuerdo las
Ben. 4-54 y 4-55. El acoplamiento magnético entre los dos embobinados es
una función de su relativa orientación y la roluctancia de 1a trayectoria de
su flujo común.

SI la energía cinética y potencial almacenada en la parte mecánica del
sistema y las pérdidas en los embobinados son dospreciables, la ecuación de
balance de energía del sistema durante el movimiento de rotor es

ATA 6

en la cual sus términos tiesen el mismo significado que en la Eo. 5-4 para
Sistemas con una sola excitación. Una expresión para el par elercido en el
rotor de la fig. 5-10 puede derivarse de esta ecuación.

Wii y wall) serán los voltajes aplicados 2 los dos embobinados de la
fig. 5-10 y £,() e ig(t) las corrienles correspondienles. Las direcciones
de las corrientes indicadas en la figura son las dirvecioass de referencia.
positiva, las cuales se sacogea de tal manera quo los joa establecidos
Par ellas se sumen a la trayectoría magnética. Las corrientes po alempre
pueden clrcular en las direcciones de referencia,

T,(@ y La(o) serán las inductancias propias de los dos embobinadon
y Ma) la inéuctancia muta. Camo se estableció con anterioridad, Ian
Inductanctes son funciones de las poslciones angulares del rotor. Si la
posición angular indicada con a varía con el tiempo, como ocurre trecuente-
mente en los transductores prácticos, entonces las inductancias pueden
considerarse como variables con el tiempo.

‘Loa enlazamtentos de ‘Tajo de los dos embobinadns pueden exprosarse
en términos de las corrientes y de sus inductancias propia y mutua.

Los enlazamientos de flujo del embobinado 1 son

AUD = LOC + MD sn
y los del embobinado 2 son
axle.) = Llane) + Maid) 64

Como en el presente anklisis, estamos primeramente interesado an el
par mecánico ejercido en el rotor, supondremos, por conveniencia, que
las resistencias de los embobinados de excitación son despreciable

259. 26 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Fenemos entonces

4 a
¿Udo + Maio!

Hale) de

a
“u, Aue de
+40 =

ira)

+ ça BO

4545)
Simllarmente

ta,
un. Ale Hierin + Main)

so dla) do
See

si MU) de

+ Ma) 2 + ie) =

CCE + any

45-46)

Las Boa, 5-45 y 5-48 pueden escribirse an forma matricial?

- D

Lie) Mi “|
0] [+ taco] | te
no ) La o)

de) am [1
SO en Fig

| = de de a
Ma dire) | [a

we da | |

donde p = d/di.6
IEA (5-48)

donde wit) = dujdı y

ba),

un. feo B
Luco, a

Ma ES (59)

"En el Apflcn E, puedo encourarie us beer alii scr determines y matrices

260. Fuertas Mecánicas en Sistemas Magráticos

tae pi 650
PE
es Hamada la matriz de inductancia y
Hua) AM (ah
a o (52
US desta u
da da

estiamadaln matris de inductoncia en movimiento, > puesto quo [ Le Jus
genera de [ Le ] por el movimiento angular del rotor.

Para obtener una expresión para la energía almacenada en ol sistema
magnético de la fig, 3-10, se puede usar a Ec. 4-196, La energía almacenada

Ha = had) + ALA) + MOMO (553)
Escribiendo esta ecuación on forma matricial queda
Wan = BULLE (55)
donde

UE «Ge HEL 655)

es 1 transpuosta de 1].
Considerese un pequeño cambio da on la posición angular del rotor 0.
Sea este cambio de lugar en un tlempo de El cambio on energía almacenada

fat)
SOO de (556)

tind de sydney Austria, sm unnds eto enfoque en mu
ibe étre. ES lector que 2e ares en aro.

lesa Theory" AEE
Fronsoctons® Power Apparate &Spatens, abil 196, UL Mester, Drome eut

261. ISO 2

FRGIA ELECTROMECANICA

Sustituyendo W, (a,1) de la Ec, 5-58 obtenemos
SM = ite) + Mari der
+ lalala) + M(apintondedey + ALÍ)
+ nA, + ANNE (5-57
FI cambio de la energía eléctrica sntrodicide en un ttempo dt, ea dado por
Bae COÑA + NCE de (5-58)

guptituyendo MA) y vail) de las Eos. 5-45 y 5-48 respectivamente, ja
Ec. 5-58 queda

We + OL: + HAL: + AO)
+ LO + MY a,
+ (adi + MILE) a (5-59)

‘Sustituvendo las Ess, 3-57 y 6-59 on la Eo. 3-42, obtanemos

Man DAL + AÑO dE ¿(DAM (550)

En un sistema rotacional, sí T ea el par desarrollado, entonc
Wa Td (5-61)
Las Eos. 5-80 y 5-61 dan
0 = go LH, Lou te
Tat = 27) +740 SO

+040 8 (sem

262. Fuerzas Mecámicas en Sistemas Magnéticos 249

En farma matricial la expresión 5-62 puede escribirse como

That) AOL (56)

donde [ by ] es la matriz do inductancla en movimieni: definida von
anterioridad. À los dos primeros iérminos de la Ze. 5.43 se les suede
onaiderar como la eonteibulin de los dos sistemas de exclación, el
fatstor consiture un sistema y el totor otro, Como se supone limaridad,
& peicipe de superposición erapieaie. El sercar toraina es el emule
de acoplamianto magnético one el etator 7 cote.

SUE veluctancla da la Eayecori apnea no cambiaapreciabe-
mente cuando el volor cambla deposición (este es frecuentameste el cas
en un rúmero de transductores prácticos), las inductancias propias L. y La
permanecerán más o menos constantes, es decir, d1,,/da y dL¿/da son muy
Jescaros à 0. Por conique la conrioución ‘Princip ala energía
mécanies de salida vlene del cambio an el acoplamiento magnstico estro
los des embobinados de excación y consecuentemente del cambla en a
¿nductancia mutua. En tales cases, la Be. 5-82 so reduce à

Te) = one LE (64)

Se deberá notar que en la derivación de 1a Ec. 5-62, no se hacen
suposiciones concernientes a la constancia de las corrientes o del campo
magaético. Lo único que se requiere es que el aístera sea lineal.

SI ig( = 0, a Eo. 5-02 98 reduce a la Ec. 5-39 para sistemas excitados
con una fuente.

5-6 Sist

Una comparación de la Ee 5.38 para la energía almacenada en el
campo magnético del sistema de la fig. 5-10 y de la Ee. 5-62 para el par
desarrollado muestra que

Huvales Excitados par des F

as Mi .

ticos

EAN]
e

r (5-658)

Como la esergía y la coenergfa son iguales en un sistema magnético lineal,
1a Ec, 5-84 puede escribirse en términos de la coenergía; esto es

e (5-650)

T

Para un nate ranslactonal con do uses deercitación, usado a variable para presente
encino reims Ja emprende. para In lugeza ere en à are monble en

263. 250 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECAMICA

Puede mostrarse que la Ec. 5-65 y 1-65 b son verdaderas también para
sistemas magnéticos no lineales,

5-7 Fuerza as un Conductor Portador de Carrlonte Colocado on an
Campo Meguático

Homos considerado fuerzas ejercidas por un campo magnético en
partes del sistema magnético. En esta sección obtendremos una expresión
para la fuerza ejercida por un campo magnético en un conductor portador
de corriente colocado en $l mismo.

En el capítulo 1, considerando las fuerzas existentes entre cargas en
movimiento, {como ústintas de las fuerzas de Coulomb), se introdujo ol
concepto de un campo magnético debido a este movimiento da las cargas.
La eeunelbn de ta fuerza de Lorentz, que indica

F-9x8 129)

se puede interpretar como sigue. El tirmino F 09 la fuerza sobre una
carga en movimiento q colocada en un campo magnético, cuya denaad
de flujo es B. La carga 2 29 movida con una velocidad v.

Considérese un conductor de Tongitua / portando una corriente L Se
puede consideras que el conductor es parte de un circuito an el cual hay
“na trayectoria cerrada para la circulación de corríente y su coloca en un
campo magnético de densidad 1, como se muestra on la tig. 5-11; formando
un Angulo 8 con el ejo del campo magnético, La En. 1-20 se puedo aplicar
a cote caso puesta que la corriente se datino como la rapidez de transporte
de carga Si la carga en una longitud elemental de conductor dl ee de,
entonces

E
ma us
y la velocidad à a cual so mueve la carga
a
e on

La Meran jc por ol campo magico en dps dea. Lt
aria 04m, — 66

donde vs, Be y F, son vectores unitarios constituyendo un sistema coordenado
ortogonal, La magnitud de la fuerza

dE Blind 66)

donde 8 es el ángulo entre y y B. La fuerza total en el conductor se obticke

264. Fueraos Mecánicas en Sistemas Magnéticos 251
a integrar ambos lados de la Ec. 5-09.
Fe Blend (510

Si el conductor se coloca perpendicular al ele det campo magnético,
entonces @ = 90° y sen G+ 1, La Ec. 5-70 queda

Full em

donde F esta an newton, B enwebers/m?,Len m, e [en amps, en el states
mks de untdades.

gun da un ron enone co.
Le a conven une conte

Canductor an Movimienta Colocado

inducidos
Campo Mus

‘Elector probablemente e asombro al ver comoeste táplco es relevante
ai theo ‘principal del anáissis en este capítulo, proplamente, (uerzas
mecánicas ejercidas por un campo magnético.

Dl etores. de electricidad contienen electrones libros, 108
a aon cargas negativas, Un conductor moviéndose ex mm cano
US es equivalente a cargas en movimiento porque log el
mention St conductor, se mueven con el conductor. De acuerdo con If
Ves ee isa toarsa de Lorentz (Ec. 1:20hura huersa es aforción ee
Cade por sl campo magnético, y ae vers que esta Fuerza vante
De demon de electrones libres de una a otra parte del conductor
D REA trabajo moviendo los electrones y consecuentemente de
a diferencia, de potencial eléctrico, Recuirdese la defiricin
cia eléetrico dada en el caphulo St está disponible un trayactoria

265. CONVERSION DE BNERG;

a ECTROMECANICA
percata. entonces ‘lure una corriente en el conductor, La dirección del
dolo de corriente es, de acuerdo a la práctica establecida, open a
Airecr:An es la cual ns electrones son transportarosa lo largo del sondear

Cousiderese el diagrama esquemático de la fig. 3-12, Pare ever
emplicaciones malemäticas, se supone que el conductor ae colons pero
pendicular al campo magnético y a su propia longitud,

De acuerdo a 12Ec,1-20lafuerzaon los electrones libres del conductor.
en movimiento es

Fe (ax B (5-73

El gigno negativo ae usa para tomar en cuenta el hecho de que loa atactrenes
están cargados negativamente, Notando que + y B son perpundicalaren une
sí, la magnitud de la (uerza es

Fe qa 7

Y la dirección es de tzquierda a derecha a Lo largo del conductor. à

Esta fuerza F transporta los electrones libres del extremo izquierdo
al derecho del conductor. La longitud del conductor es 1. EI tpabaja hooky
en Jos electrones es por consiguiente

Ww Fl gb (5-74)
En el capítulo 1, a diferencia del potencial eléctrica entre dos puntos en
An Sampo elóctrico se define como el trabajo Meho para mover una Conga

positiva umitaría da uno a otro punto. En este caso la diterencia pales
rire las terminales del conductor ag

Lan (575)

Sende el extremo izquierdo del conductor está a un potencial mayor que el
extremo derecho, como se indica con loa signos =

do ip en volts. Usualmente 0 se rafiere como al vollae iaucrdo e semen
mese ser (sl llamar a esta e el voltaje de velocidad o fem een nee
Yimiento, para distinguirlo de Ion voltajes toducidos por el io varia

EN ma sets más female conductor puede 10 more a va dirección perpeno
‘ene Samp sente de Sonor punde meerperpnaiener ai combo
Garten. Es tal 320 a prom yrs la unten an aie es

266. Fuerzas Necänicas en Sistemas Magnéticos 252

en el tiempo enlazando a un conductor. Esto último ae retiere somo a low
voltajes de transformador,

vi son ae

Fie 8-12 Fours slecramonts Inch a un nr mando an un sao ne

PROBLEMAS

5-1 En el sistema magnético mostrado on la tig. S-1, la curva flujo
vs. (mm. del sistema magnstico, exando la longitud del entrablerro as D,
se obtiene de los algulentes datos:

a mad] aj on eben 07 [la mag rs cn vob 1
» ES E 2
El E E de
Fl as ie E]
w is eo 10
159 me = =
m m = ES

EI área de la sección transversal es 20 cm?. Es uniforme a través del
sistema magnético. Dosprecio los efectos de dipersión y marginales en el
entrebierra, El número de vueltas en la bobina de excitación es 1000, La
corriente constante en a bobina de excitación es 4 amps, de corrtante
directa.

Trace las curvas flujo compuesto va. Imm. del sistema magrático para
tres valores de la longitud del entreblerro a) cy = 0.2 cm, y d €, = LE om,
©) ¢y = Zem. En cada caso, calcule gráficamenteda energía almacenada en
el campo magnético y 1a coenergía en joules.

3-2 Repita el problema 5-1 despreciando la fmm, en la porción de
hierro.

5-2 En ol problema 5-1, a) calcule el trabaja mecánico hecho por la
armadura cuando sa muevo lentamente de €, =0.30m2c,=2cm, y la

267. 254 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

correspondiente energía eléctrica de entrada (exeluyendo la pérdida ühmica
‘en la bobina de excitación). 2) Repita la parte 0) para un movimiento rápido
da la armadura de ¢. =0.3 em. a ©, = 2 em.

54, Repita el problema 6-3 pars el caño cuando La armadura se muere
dec, = dem. aes = 0

6-5. Repita el problema 3-3 supontendo insalidad (despreciando la (mm.
en 1a porción de hierro). Compare los resultados con los obtenidos en el
problema 5-3,

5-8 Repita el problema 5-4 suponiendo linealidad. Compare los
resultados con los obtenidos en el problema 5-4.

3-7. Para las condiciones supuestas en el problema 5-8 encuentre una
expresión para la fuerza mecánica f actuando en la armadura. Trace una
cueva de fuerza inewtons) va, longitud del entrehierro (metros). Del area
bajo esta cueva calcule el trabajo mecánico hecho por el campo magrético
en la armadura cuando la longitud del entrehlerro ae reduce de 2 em, 20.3
em. Compare los resultados con los obtenidos en al problema 5-5,

5-8. En el sistema magnético mostrado en la fig. 5-1 ot 13 relación
funcional entre la corriente en la Bobina de excitación, 1a posición de la
armadura longitud de) entrohierro) y el enlazamiento de flujo en el sistema
es dado por

WO.) AN Ryde?

Ryne + KA

donde 4 es la corriente, ¢ 1a longitud det antrohtorro, À el enlazamiento de
flujo y Ku, K, y £, son constantes, encuentro la fuerza mecánica ejercida
por la armadura en 61 campo magnético,

3-9. Suponga que el sistema magnético mostrado en la fig 5-73
lineal y que toda la energía es almacenada en el campo magnético del
entréhierro. La bobina de excitación tens una inductancia de 2 h cuando la
Tongitud del entrohlerro.es 0.8 cm. (c=0.8cm). Bl una corriente constante de
2 amps. fluye en la bobina de excitación, calcule a) la energía almacenada
fen el campo magnätieo, cuando la longitud det entrehierro es 0.8 em. 6 la
fuerza mecánica Í enlaarmadura cuandoc=0.8 cm. y c) el trabajo mecánico
hecho por la armadura cuando se mueve de o=0.8 em. a c=1.4 om.

=

Done 2

Pros. 310

268. mas Mecánicas en Sistemas Masnéticos 2

#10 En un sistema magrético linenl excitado por dos fuentes al
mocimntentn de las dos bohizas, una con respecto a lastra es translacióna!
nr eerra an la tizora que se acompata. La inductancia propia dela
less. ach. La inductaneta propia de la bobina 2 es La = 43 >
‘ones | uctancia mutun de as dos bobinas es Af = 4-¢ . Las resisten
Fa ae os embobinados son despreciables, al sí la bobina 1 leva des
e constante de + L2amps. labobina 2 leva ura corriente, constants
os, enguentre eltrahajomecdnico hecho cuando © se incrementa de
de irante el movimiento de las bobinas en la parte a), calculo 18
showin serada por las fuentes conectadas a las dos bobinas.

mama magnético Lineal del problema 5-10 suponga que
e PME n'y que Ma 5. LOC h, donde € está en metros. La bobina
Pda nectada a una fuerte de corriente senoidal id » 3 cos 20. 7 la
2" tiene una resistencia de 50 ohma conectada a través de sis
Male. Encuentre la fuerza mecánica promedio entre tas bobinas. Cal-
le el promecio sobre un ciclo de corriente i (2),

o sistema magnético doblemente excitado mostrado en la
ig. 3.16. Suponga que toda la energía as almacena en el campo magnícioo
Bg: S10 anterros, Las inductanclas son Li=2-0.020 La = 12-0015
de 9 280.008 a, donde a está en grados y varía de 0.2 80" Es medida
dirección de las manecillas del reloj de 1a posición vertical del naar
encia. Caleule el par mecánico en el rotor cuando a = 0% y
las corcientes en las dos bobinas son como algue:

(Warm Y (ORO
Mit = y dam= Bam
{he amp y iat = Bann
@@) A) = 10amp. 9 af) -8 amp.

Si hl) © 14.14 son 101 y la bobina 2 esti en corto elrculto en mus
terminales, calcule el par promedio sobre un ciclo de corriente,

tn un sistema maguético rotacional doblemente excitado, Lineal,
à ester y el rotor son cilínricos, de tal manera que L y La no cambio
noción del rotor. Sea Ly 20.5 mb La = 0.2 mb y M = (0-1 0020) fy
Com PPS ln posición angular del rotor medida de una referencia a > 0,
e lavan corriente senoidales, y did = fell = 14.16 sen 10 4 0d
Amine ro una expresión para el par en el rotor como una función det
Se nb. Encuentre el par promedio comounafunciónde a, Dibujeuna curva
de Ton vo

269. enpitulo &

Ecuaciones Dinámicas de Sistemas
Lineales Eléctricos y Mécanicos

6.1 Introducción

Los sistemas síetcos constan de componentes oelementos inter conecta.
dos, Al analizar un 1 objetivo es determinar su comportar.

dao, dmálisto de sistemas el primer paso 88 obtener un modelo
Aasemätico det mismo, el éfal en solouna colección de Felasiones macia
Gado, Bare a entradas y salidas o excitaciones y respuesta de un stave

antes de tomar bajo consideración astos tópicos, se analizarán
Fistor amte algunas definiciones y conceptos básicos relacionados a yes,
sistemas en general.

in de los Sistemes

Mn ala. 6-1, Se muestra una representación esquemática conventante
San sme El símbilo G representa al sistema; el ral vi ete
de ne camada, Of a salida y representa al Hempo. La mayor para
ara cameidades físicas son funciones de tempo. Solamente we erect
ade," Y una aida, pero puede haber en general mentradas y a
salidas,

270. Beusetones Dirimicus de Sistemas Lineales 257

ne Simone en
Cr 6 ode
PI CO menti on deere

La relación ontrads-salida para el alstema G se puede escribir
ett) = Geto) 6H

la salida de G debida a la entrada vi," 0 "considere G
Entonces G operando en r(t) produce (i

Los sistemas puedan ser clasificados de diferentes maneras. So
detiatrén algunas de las categorías más comunes. Todas las definiciones se
darán para G en términos de r(4 y c(t.

Sistemas de Datos Coniínuos y Décrets. El sistema G es contínmo
st rd) y ef) som funciones contirmas del tiempo. Sus valores soa capaces
de cambiar en cualquier instante de tiempo, El sistema G ea un sistema de
datos discretos st 7) y/o cf!) cambian solamente en clertos instantes.
Aiseratos de tiempo.

Sistemas Varis bles en el Tiempo e Invartables en el Tiempo . El sis-
tema G es invariable en el tiempo (0 fo ), Bi su relación entrada-salida
20 depende del tiempo en el instante en que es observado, Esto se expresa
matemáticamente como sigue, St c(t) = Gl] implica que

cle + D = Gr + MM (63

para cualquier ri} y 7, entonces G es invariable en el tiempo.
El sistema G en variable en el tiempo si no se cumple la Ec 6-2
Sistemes Lineales y no Lineales. El sistema Ges lineal st y sola-
mente at el prlaciolo de superposición se cumple; esto es,

a = GOL y a) = Gin)
significa que +
Glen) + BAD = get + Aaılı) 6

donde ay 7 be son constantes.
El sistema G es no lineal at 1a Eo. 8-3 no ve cumple.

271. 258 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Sintomas de Porámetros Conernrados y Disrihufdon. Se dies que el
sistema © es soncentrado st ge consideran todas aus componentes localiza
das en un solo punto en el espacio. En otras palabras, las relaciones
;matemáticas que describan G no comprenden ninguna variable de espacio.
Por otro lado, G se considera como un sistema distribufdo si ésto no es
verdad, Por ejem., una Linea de transmisión de 1000 m. de longitud puede
tratarse como un sistema de parámetros concentrados al la frecuencia a la
cual opera es baja A una frecuencia de 100 c.p.s. la longitud de onda de la
“sonal eléctrica en la lnea 0 acera a 3000 tm, La Jongítud de la Moa es
3000 veres más pequeña. Por otro lado si la misma línea de transmisión.
se opera a unafeecuencia de 10 megaciolos, la longitud de onda es aprazima-
damenta 30 m. La longitud de la Linea es más de 10 veces la longitud de
onda. En el último caso, la lfnea de transmisión se considera como va
sistema distribuido,

En este capítulo se considerará que los sistemas son continuos,
lineales, concentrados y en gu mayor parte, invariantes en el tiempo.

ten de los Sistemes Eléctricos! —
y de Esta

Elementos. Los elementos en un sistema eléotrico pueden ser activos
o pasivos. Los restatores, inductores y capaciloras son elementos pasivos,
on tanto que las fuentes de voltaje y de corriente, los tubos de
transistores son Mamados
de estos elementos y de sus modelos matemáticos se muestran on la fig.
6-2. Las relaciones entrada-salida de los elementos pasivos 32 derivan de
observaciones experimentales.

Resistancia (Ley de Ohm). Este an un elemento on el cust la rolación
de voltaje a corriente es usa constante y en donde la onergía se disipa
como calor, La relación voltajo-corriente se escribe como

M0) = Rial) 64)
ial) = Grats) (65)

ondo R, 1a constante de proporcionalidad, sa llama la resistencia. SI y, (0
está en volts y ii!) en amperes, ontonces R está en ohms. En la Ec. 85
G es la conguetancia fexpresada en mhos), 6 =1/2.

La potencia diaipada en R es

Pete) = OR (6-6)

Se pone que el ctor pen por Le men un snc elements e nds de
eles trous etecnicos Se Lea ul el alain como reino, para aclara BIT.
te Je alí entre atenas eine y mecano clas as aaron min er

272. 259

Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales

putt) = LOG en

( elemento en cal

tancia (Ley de Faraday). Hensos analizado est

Indu
1. Laa relaciones corriente voltaje son

stos anterlore

Emme ote acon
8
sv in Fi
ui
a
a sun
af A wg 5
o are fun or E fase a
1 .

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Eee) Un eur
LES Une Nowe e cone a

mo 15 en

273. 20 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

iat fra 1 Loue 6»

ALI) 2.39)

ut cn

Gepaeitaneia (Ley de Cowlombi, Las retactonescorsiente voltaje de una
Gemaettancia © se obtienen del hecho de que la carga slreacinaias
anal al voltaje aplicado al capacitor y que la corriente on ce
Sapacitor es la rapidez de transporte de la carga'airavda de EI La corra

a cu) (611)
y
un 12)
Por consiguiente.
4 = 61)
y

i 1 os
0 E fina = Elena) 630

dodo la capacitancia C osti en tarads y Cv. (0) esla carga inicial en el
realer nmediatamente después de la aplicación de la corrianta iin
Es fácil mostrar que la energía almacenada an el capatitos an

wen KONO win
‘
y que 1a potencia es
am do
Geo Cray 20 (616)

274. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineaizs 201

uu Del capítulo 4, tenemos

Trust

IN
nu) MO” M en

Leyes Ränlcan. Dog leyes básicas usadas en el arálisia de sistemas
eléctricos son las leyes de voltaje y de corriente de Kischhotl La ley de
voltaje establece: La sume algebraica de las caflas de voltaje a alevacio=
nes) alrededor de cualquier malla cerradaen un circuito eléctrico es cero.
La ley de corrientes establece: Lo sumsalgebratca delas corrientes a
syendo hacia (o saliendo 2e, ınaunidn, enum circuito e elementos slácricos

Ve de Ais, Los métodos de arista comúnmente empleados en
al análisis de circuttos eléctricos son 1) Análisis do malas vasado en la
ley de voltaje de Kirchhaft y 2) Anäisie de nodos basado en la ley de
corriente de Kiremol. (En algunos casos, se usa una combinación de estos
métodos),

"Un tercer método, también basado en las leyes de Kirehhaft, ha venido
à sor muy popular últimamente, purticolarmente entre 109 Ingenleros de
Sistemas de control. Este método slliza el concepto del "estado? de un
sistema. Las variables usadas on las ecuaciones dinámicas son las asociadas
generalmente con los elementos de slmacenamlento de energía en el sistema.

"Un cuarto mátodo, bazado en funciones de energí y an el famoso
priaciplo de Hamilton, también ae uilen para obtener modelos matemáticos.
de sistemas dinámicos.

El uso de Io trea primeros métoospara obtener modelos matemáticos
do sistomas eléctricos se Mlustrarí en esta sección por medio da ejemplos.
Los modelos matemáticos de sistemas metanicos y electromecinicos De
tomarán en cuenta en Secciones Auboecuenles de este capitulo.

EJEMPLO 6-1, AnSlista de Mallas de un eircalto Eléctrico, El primer
paso de este método de análisis ca identificar las mallas " independientes”
y asignar una corriente a cada ma. Las mallas independientes son las
que producen iinealmente ecuaciones integroditerenciales independientes
para permitir la obtención de una solución única de las variables des
conocidas. En este ejemplo, es sencillo ver que hay dos mallas indepen-
dientes? Estas se designan como mallas 1 y 2, y las corrientes de mallas
1,40 6 £,(0 ne asignan a ellas como se muestra en la fig. 6-3,

* La dermato en mero de malas ¡prota 09 aa sere seele. opaca
mante a va ine machen cad cientos + my end en solo plana En general ero
de its irdepndintey an N = N e, donde Y 08 € nero fe amas, or eme de
Soe D eo sumer da artes aria que 23 Aura AT conduit 0 cape
om el cout de la md, Ea asta emo br curo rra em 2 furte de le of y
Sia resistencia 4, cons una Tama, seu sos y un pate, porque 1a let ened ses
aan comctaosen compro. WUptrapeormador ena ted Se dos partes) Pr siguiente
seen pad cda Le 2. 2a o que eocontramot pr pci. Para ells má pls y
(Sew Yor Jom Wiley a Sonate, 100

275. 252 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Sumando las caídas de voltaje alrededor de cada malla e igualando mu
suma a la Suma de las elevaciones de voltaje, obtenemos las sigutentes

wl
er à [mo

win

1 1
[iva a + Al 16
& [ward [warnen in

Las Eos. 6-18 y 8-19 constituyen un modelo matemático del ctrcusto de la
fig. 6-3

Mala 2

CCE

ue
Ryd ame in in

Mie 6-9 Med ati el ami andy de main,

Estas ecuaciones pueden resolverse en el dominio de tempo o pre-
£eriblemente en al dominio de frecuencia usando transformadas de Laplace, >
Tomando las transformadas de Laplace de las Ecs. 8-18 y 6-19 y rengru-
pando loa términos obtenemos

ı 1 0 a
(vats un a an 6m
y
la 1 08)
no + (e «¿Ju un) em
Y

2 para elector que mo eth fumiatrado on a Wasaformaettn de Laplace, sed tal
testo eemeta de la malen enh spinon D,

276. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 259

Jas cuales, al suatituirse numéricamente los elementos, quedan.

fesse ann ve TE)
y A
0,0

ue E an

6-22 y 6-23 pueden resolverse para 1 (6) e La(s) por el método

Las fea
as Eee Na ende las Eos. 6.22 y 6-2 en forma mario
obtenemos
jet + As + iy Trin = 1.0) 0
ess! mo] LE o
We com
+ 22 [se |

pes
De acuerdo con la rois de Cramer
Rs
PE +
hw -
non er
Be 1
O A + D = 20") Pen
me
Suntlarmene,
esca 10"
presto o
so
a 107
: o ‘
AA
APA
Pess +S em

ar et apnétee E paran breve ania de determine mario

277. INVERSION DE E,

2 e RGLA ELECTROMECANICA
Sea vil » 10 volts, corriente directa, sea i, 10) «1 amı
gon ¿Entonces F6 - 10.5. Para estos vaiored numéricos,
de las fracctonoz parciales de f(s; 0 1.191 quecan

xy sea, 21
3 expansiones

Leis ous

dass
18

CORRE
Wes

Tomando las transtormadas de Laplace inversas de js e Is), tenemos

MD 2 SISI prs im e

Al 2 0615498 y 5,00 Wane

en los nodos Ly 2 son

a 4
MO AR GE

2 + EA zart 16.32

7

Nado 2:

PO RO O = 2 O eg rn)

io Gor das. Andliis nodal de un cireuito eláctsco. El trabajo en ef
fe muestra Es analizará an este ojemplopor el método de posos" BY de)
Segler de Son e, Bd May cas n0d08, uno delos cuales, el mode Se
parties toma como nodo de referencia. Estos voltajes sen mua vato
de pres ae y 2 Fespectivamente. En una red con, nodos Gi pato
severe de nodos independientes 68 N,-1, y date ex terior a ur de
inten Er eq ‚dos independientes requeriäs para obtenez una a os
Ses esta ejemplo solo e requiren dos ecuacion, exes ou PIE se
Seinen usando la ley de corriente de Kirchhaffy armen 10 corrientes
en los modos L y 2.

F9 et Merle Paertams a se ion ae te autres ape

are en aaa der a ua erde ceene ee ores ar as park
En tate y en oe emploie ate

278. Ecuaciones Dinámicos de Sistemas Lineales 263
Nota 1;

we

Nodo 2:

nora eue E ean

Las Eos. 8-24 y 6-25 constituyan otro modelo matemático de la red de La
fig. 6-3. Estas ecuaciones pueden resolverse usando transformadas de
Laplace. Las ecuactones transformadas son, en forma matricial,

vol

ss)

Sustituyendo los mismos valores mméricos del ejem. 6-1 las expansiones
de las fracciones parciales de Y, (8, y de ¥,(s) son

datos 10, 2
CURE ECTS EE:
re zen

Besen 2

MO TS say

"Tomando jas transformadas inversas de Vi(s) y V,(8), obtenemos

ML = 2 4 EE (638)

Pl = 2 OS. Lense (640)

Una comparación da la Ec. 6-89 cm la Ec. 6-32 y de la Be, 6-40 can la
Ec. 0-33 muestra que, como debe ser, ambos métodos de análisis arrojan.
los mismos resultados.

EJEMPLO 6-3, Ecuaciones de estado de un circuito o red eléctrica.
En los análisis de mallas y nodal de la red de la fig. 6-3 expuestos en los
ejem. 8-1 y 6-2, la solución completa de las variables dependientes en el
modelo matemático, laa corrientes de mallas i, (0 © ¿a(2) en ol ejemplo 8-1
y los voltajes de modos vs(t) y vall) en el ejom. 82, dependen de (además
do la señal de entrada), low valores iniciales de fa corriente a través del
inductor L; y da log de voltajo entre las terminales del capacitor C,, Esto
es así porque L, y Cy son loa elementos de almacenamiento de energía
en la rod, y del futuro trabajo de la misma, esto es, oa valores de lan
varlables dependiontea para £>0°, depandennaturalmente de los antecedentes.

279. ze CONVERSION DE ENERCIA ELECTROMEGANICA

de la red antes de + hasta 0. Esto antecadanto as alntetizado por la energía
almacenada en el inductor y en el capacitor al tiempo de aplicación de la
señal de entrada ull at=0. Además, al Z,,/ 7 v./ son conocidos,
entonces el estado de jared en cualquier insiants’de tiempo, está completa»
mente determinado, Por consigulente parece razonable 7 lógico escoger.
dí, (0 y v.,(0 como las variables dependientes en el modelo matemático
de'la rea. Estas variables son conocidas como variables de estado, y las
ecuaciones resultantes son llamadas ecuaciones de ostado de la red. En este
ejemplo, hay dos elementos de almacenamiento de energía y consecuenta-
mente hay dos variables do estado, Generalmente esto es cierto? El
voltaje a través del inductor Li en la fig. 5-3 88, an tárminos de las
vaciablos de estado,

“0
E

= = OR,

un vn

La corriente a través del capacitor C es

a un
a

Las Kos, 6-41 y 6-43, tas cuales constiluyentodaría otro modelo matemático
de la red de la fig. 6-3, son llamadas ecuaciones de estado.
‘Sustituyendo los valores numéricos de los elementos de la red

ohms, Zy=1 B, Cal £ Garad), y Ra=L ohm y reagrupando términos, obtene-
mos
ao = nt er (64
y
O nun 60 16-44)

a

En forma matricial, estas quedan

pn] 4 fice] [i
+] Inn oy

man lo,

La Ee, 6-45 se cone como la forma normal ola forma matriz-vector
de las ecuaciones diferduciales del circutto.

"Una excepto à asta rei veure a 1 items Lev um malla expira 79 un no
one en iat satel amd de varlblen Se esco Inma ndepardienio sa ence
(on el nano Into y de empatan an a Fo.

280. Ecuaciones Dinámicas de Sistamas Lineales 26

La ventaja do las Eco. 4376-44 sobre Ins Ecá, 6-18 y 6-19 0188 Be
a que laa ecuaciones de estado son scuactonas diereneiales de
ken mientras que lan ecuaciones obtenldas er, 108 Sende
Delmer orden cqunciones diferencales de segundo orden, +4 solución de
anteriores de ervaciones diferenciales de primer orden, es relatiramente
la que 1a solución de un sistema de segundo o de un orden maras,
alle, se mostrará más tarde que las ecuacionos de estado 20
Em fae mis deli y rectamente la snnlaciön del circulo en ana coin
rr topes, Tambien, con al advenimiento de compytadoras ARS
ren eprala, el enfoque de las variables de estado a Ta teoría de MURS
del iene ventajas. alguáficativas sobra los métodos tradicienaias O
Uineales UrMaesventaja 0 Himstacióo dei enfoque de la variable de enlace.
emo on apionarades que contienen solamente cesietores, sin Siemens
Geo almacenamiento de energía

mn tranetormatas de Laplace de ambos lados delas Zea. 6-43
y 9-44, onienemos

A = tag") = ALO a + OD we)
BU ON = Hats) = Fo Cu

gustiaponde Vi) 2 10/8, de, (0°)= 1, (O7 2 2, y reaprapando, otenaımos

EC

Las expansionse de tracctanes parciales de I, (5) ¥ de Y, (5) son

Pa wee 2 ts ‚a wm

Aw =
ices ETS: et

La cual es igual a la Ee. 6-28, como debería de ser, Y

AAA 066 SE (so
ro EES bea nn 7

La cual en igual a la Eo. 6-38
Las transtormadas inversas de las Eos. 6-40 y 6-50 #08

fay = 2 - 10er + os de sn
sales © 2 + OSM ~ 1815 (6)

À C0, estas ecuaciones producen te, (0°) 1 y 0 (0% = Lies culos son
os valores iniclalew supuestos con antertoridad,

281. 268 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMEGANICA

6-4 Representación Matomitica de los Sistemes Tronsiucionalos

Mecánicos

Los sistemas mecánicos pueden clasificarso en tras categorías basadas
ón la naturaleza del movimiento,

1) Sistemas Translacionales: Estos son aistemas mecänicos en los
cuales el movimtento es a 10 largo do una línea rect.

2) Sistemas Rotactonales; Estos son sistemas mecánicos en log cuales
sl movimiento es otroular; esto es, se mueven sus partes con respecto
à un ejo io,

3) Sistemas Translacionales y Rotacionales: Son sistemas enlos cuales
simulténeamente se tlenen movimientos translacionales y rotacionales,

En este capitulo se expondrá el procedimiento gara derivar los
modelos matemáticos de los alstemas mecánicos translactonales y rotactona-
Jes, En esta socción se analizaränprimeramente log sistemas translacionales

Sistemos Translacionales-Elementos. Los elementos activos son
tuecza y velocidad, Las elementos pastvoa son maga, alasticidad y amortigua-
miento; estos elementos reprosentan inerofa, rigidoz y fricción respectiva.
mente. La representación simbólica de estos elementos y sus modelos
matemáticos 0 muestran on la fig. 6-4. Las relaciones entrada-salida de
los elementos pasivos se derivan de observaciones axporimentalos

Masa. Lamasa M mostradaenlatig. 6-4 (a) ea el elemento de inorcla.
Una fuerza aplicada a la masa ocasiona una aceleración en la misma, en la
direcctén de la fuerza aplicada, Se encuentra que la aceleración es divecta-
‘mente proporcional a la fuerza aplicada. La masa M de un cuerpo so de-
Mine como el factor de proporcionalidad entre la fuerta aplicada y la
aceleración que ella produce. Esto fué establecido por primera vez por
Newton de una manera formal. Le segunda ley de movimiento de Newton
expresa

wa.
ws

an donde la aceleración se mide en la dirección de la fuerza aplicada. Se
supona que la masa M permanece constante y tamblön se supone que as
fijo el sistema coordenado en sl cual sebacen lan medidas de desplazamiento.
velocidad y aceleración? En otras palabras, la Ec.6-53 04 válida on un
sistema de referencia inercial La masa A almacena energía cinética.

| Late 8.3 aucuns e een del restado más general conde La mann nen conan
1a arganda dy de Neme aa que la era evga D rein cochablagl pete a
emo 0 sei, #(Peit As), donde m e aaa Sable) su veer A mar M4
Esa a valer one, anton PM deo

2 5 1 ina cross 0 es (Jo, pera alr. ES. 4-3 0 men que
como fii: "usra aca y sors ns 0 Seile) Dira earth ai
ors moses de 1a sapo ly de Remon henson a ca se een

282. Ecucciones Dinámicas de Sistemas Linsales 268

ame Modelo numéro
Re 2
Eb]
x sn Fe 6
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quin BE
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Em
ein C— sinn) $
? qu 4 cul
cs iene ZEA
an Lorna
a a

A Sram mein vente a mein meas e NS
Se e NS
Ver

Resorte Lineal, La representación simbólica de un resorte nest es
a tig. 6-40) Los téeminas (7 Caf) san Los desplazamientos
o extremos del resorte de sus posiciones iniciales, Los desplaza
de miden en la dirección de la fuerza externa FO). SI Cones 08
migmog giles que et resorte experimenta slonpeiim. La compres
Post. inte que ce ea fuese negativo, Se supone que 1a slongarlän
Gel Tenor nels es directamente proporcional ala uersa externa ADS,
de suerte que

FO = Ki al (650)

283. 270 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECASICA

donde K es ta constante de proporctonalidad. Se encuentra que ia linealidad
del resorte es válida sólo sobre pequeños rangos de desplazamientos. Une
curva Mpica estuerzo-deformación de un resorte ae muestra en la fig 6-3
El factor K es llamado rigidez del resorte. El recíproco de K es llamado
complianza, Un resorte cuya K ea constante sa Llama resorte de Hooks
Porque la Eo. 6-54 se llama ley de Hooke. Un resorte almacena energía
Potencial.

Amortiguador (Elemento Viscoso öde Fricciön Lineal). Los cuerpos mó
viles experimentan resistencia friccional al movimiento de diferentes mane.
ras. Frecuentemente se encuentran situaciones, donde los euerpos.en man
miento experimentan oposición debida al arrastre de un flufdo viscoso que
es usado como lubricante, Se encuentra que esta fuerza fricolonal rasta
Mnealmente en la velocidad relativa de 109 cuerpos involucrados. St el laz

mas F

Penge losas

Train (0,702)

POE 0 ce inant de rre

bricante está entre el cuerpo móvil y una guía fija o soporte, la fuerza frie
clonal es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo en moni.
miento. Tal fricción se lama fricción viscosa o lineal. No obstante, de que
»o ss posible que exista stempre un elemento fístcamente reconocible que
ocasione la fuerza triccional, ex conveniente representar la extatencia de,
la fuerza friccional por medio deun amortiguador. En au forma más simple,
un amortiguador consiste de un recipiente lleno con un fluído viscoso) rar
Mg. 6-4 (e). Un pistón comprime contra el fluído. SI el fluído en un lado es
comprime por el movimiento del pistón, él ejerce una presión en sl pistón

imparte energía cinitica al fluféo y esta energía se convierte en calor y

284. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales on

por lo tao se pierde, La fuerza requerida para mover el pistón está dada
Dor la expresión

2 55

donde &ı £s son respectivamente, los desplazamientos det platón y del
reciplente de sus posiciones iniciales. Los desplazamientos se miden en
la dirección de la fuerza aplicada. La constante de proporcionalidad 5,
se lama coeficiente de fricción viscosa o coeficiente de amortiguamtento,

Lo que hemos descrito es solamente una de lag tros clases de fuerzas.
Iriccionales encontradas en los cuerpos en movimiento. Las otras dos cla-
ses son Mamadas fuerzas límite de Irteción estática (riccidn estática) y
Fricción de coulomb. Fuerza límite de (ricelôn estática ea la fuerza que
tiende a dejar estático un cuerpo en movimiento. En otras palabras, tuer
za límite de fricción estática es una fuerza que proviono a que el cuerpo
empiece &u movimiento; existe solamente cuando la velocidad del cuerpo
an movimiento es cero.

La fricción de coulomb es una fuerza friccional constante, la cual
slempre resiste o se opone al movimiento. La magnitud de la fuerza es
Constante, pero m Blgno cambia con la Inversión on la dirección de la
velocidad dat cuerpo en movimiento.

‘Como la fuerza limite de trioción estática y la fricción de coulomb
‘son electos no lineales, no los tomaremos en cuenta en este capítulo, ya
‘que se dedica al estudio de sistemas lnealen.

Dinensdenes y Unidnden de los Elementos Translacionales Mecánicos.
Los ingenieros usan, tanto el sistemade unidades mks ractooaligado, como
sistema inglés, Las unidades de los elementos mecánicos an los dos sistemas
‘se registran en la Tabla 9-1.

TABLA 61
ides de los elementos de un isos tentacion mecca
pa smeoto._ [sima MRS. ERE
Fora FT pew re =
Dessin | ms pe putes
Voit dejar | mewsspoe | pi por | puertas
one | “umo eos
colación aera? | one | papas, | pus
sado wende? | gado?
Ma “| xaopames | “ame | +
Rights aan | Kf sewtonapor | Upon | comma
mers m Br
Costo de a mevionpor | ubew por | om pe
‘aie vic mexopor | Pepe | ‘are
Ces ESSE

Zn 2 ne A Mama wm aan a pa
NT I ee +

285. 27 cos

VERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Relaciones de Energa de los Elementos Trunslacionales Mertaicos.
Masa M. La energía cinética de una masa en movimiento ostá dada
por la expresión

ve [ra 39

rath dida dy fey
wan [ua Lust) es

La energía cinética es almacenada por la masa. La unidad de snergia en el
sistema mks 69 ol joule[1 j joule) = 1.newton-m (vewton-metra)]y en el
sistema inglés es el ple-lbra,

Resorte lineal £. Un resorte lineal almacena energía potencial cuando
se comprime una distancia c de au longitud normal Esta energía sata dada,
por

as [ra sn

Sustituyendo F de la Ec. 6-54 y notando que c, = cu = c, obtenemos

me frac I Ret (639)

Friccién Yiscasa B. En contraste con la masa My con ol resorte K,
la fefoción viscosa ocasiona disipación de energía en farma de calor, Ba
onorgía está dada por

me [ru ow

sustituyendo F de la Ec. 8-55 tomando on cuenta que ci~ca=c, obtenemos

a aa
me feda. [san
a [2994

286. Eewaciones Dindmicas de Sistemas Linzales 213

[are [je en

tempo tomado por el pistön del amortiguador para moverse
© de su posición Inicial (suponfendo que el recipiente es jo).

La integral en la Ec. 6-61 s6lo puede evaiuarse si conocemos de/dt
como una función del tiempo !. Sin embargo, como la potencia es energía
Por segundo, podemos escribir

mo [na es

donde P, es la potencia distpada en el amortiguador. De las Ece. 6-61 y
6-62, obtenemos la expresión para la potencia

pla won"

Sistemas Translacionales-Leyos Bésicas. Las ecuaciones dinámicas
y loa modelo matemáticos de loa sistemas mecánicos puedo derivarse con
la ayuda de Ja soganda ley del movimiento de Newton. También puede usaras
para el mismo propósito, otro método, que implica el principio de la
conservación de la energía y el principio de Hamilton. Eu este capítulo se
representará el método basado enla segunda ley de Newton.

‘La segunda ley de Newton su estableció con anterioridad en esta sección
(Be, 6-53) Sólo se supuso una fuerza externa. Esta ley se restableverá
nuevamente en términos más generales.

Un sístema translactonal mecánico es una combinación de los elementos
mecánicos descritos con anterioridad en esta aecelön. En tal alatemz, una
masa M está sujeta a varias fuerzas. Estas fuerzas pueden clasificarse
como 1) fuerzas de restricción y 2) fuerzas cinóticas. Las fuerzas de re:
tricción, son aquellas que proveen las restricciones necesarias en un
sistema Las restricciones son provistas en sistemas /Ísicos por loa rieles.
do guía, paradas, ote. Las fuerzas cinéticas son aquellas que realmente
controlan el movimiento de las masas en un sistema. Estas fuerzas cinétt-
cas pueden ser, ya soa, fuerzas extornas o Juerzas de reacción, generadas.
por los elementos pasivos on el sistema.

La segunda ley de Newton puede establecerse como sigue: Si varias
fuerzas (uerzas cináticas) actúen en un cuerpo rígido, e! cuerpo es acelera
do en la direcciénde la resultante de estas fueraas, y la magnitud de la ace»
leraciónes proporcional la resultante de las fuerzog. La constante de pro-
porcionalidad es la masa del cuerpo,

Para un cuerpo que posee un grado de libertad, esto ea, para un cuerpo

© La cad Fa, 24.080 nn Ltrs recuetement en
energia es os sitemas mecincos.

287. an CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

esya posición puede representarse por una sola variable en el sistema
coordenado, la deiinielön anterior puede exresarse por la ecuación

Lo y
e (664)

actuando en la dlrscción c, donde Mes la mana del cuerpo, c es su dasplaza-
miento, y N el número total de fuerzas actuando en el cuerpo.

La ecuación 8-84 se escribe frecuentemente en la forma
= de
FO = MLE wo
AS (6-65)

Esta 10 conoce como el principio de D'Alembert, ol cual an palabras
establece que; La suma de los fuerzas cinSticas instantineas que actuan en
‘un cuerpo on una dirección dada, y la fuerza de reacción del cuerpo en esa
disección debida a la inercia, es cero,

Mientras la segunda ley de Sowton y el principio de D'Alembert
expresan la misma idea, la Última se asemeja a la ley de corrientes de
Kirchhoff para los circutosoléctricos.2

‘Sisiemas Trenelacionalos-Métado de Análisis. El procedimiento para
obtener el modelo matemático de un sistema tranglacional consta de los
siguientes pasos:

1) El origan del sistema coordenado desde el cual se miden los
desplazamientos, oe localiza en la posición de equiltrio estático intetal
tomada por la masa o mazas bajo la acción de la gravedad, de tal manera
que la fuerza gravitacional no aparece en las scuotones dinámicas:

2) Se asocia un demlazamiento variable con cada maga. Esto se
realiza aún cuando ol sistema no está sujeto a ninguna fuerza externa.

3) Se traza un diagrama de cuerpo libre por cada masa, indicando todas
las fuerzas cinéticas que actían en cada una.

4) So aplica 2 cada mana, la segunda ley de Newton (Ec. 8-84) 0 ol
principio de D'Alembert (Ec. 6-65) usando la conversión de que cualquier
fuerza que actúa on la dirección del desplazamiento supuesto es positiv.

Este método se aplicará ahora a algunos sistemas.

EJEMPLO 6-4, Constdere ol sistema translacional mecánico mostrado
‘en la tg, 8.6 (a). El sistema consiata de un solo cuerpo rígido con una masa
M, El cuerpo se desltza en la estructura bajo la influencia de una fuerza
externa Fit; está sujeto al marco por un resorte cuya rigidez es K.
Oponténdose al movimiento del cuerpo, las fuerzas de reacción son dobidas

* aquí se hacen an sguetes spcsltones: 3) EI sistema corsenaa es jo. Resort
esto, vel la nein margin levis la Be. 65-3) El cube es rg eo es, na e derma.
te Zone de iu de Das fare que act a

5e Ba intenso que 2 sua apropada de fon despuzamteno aeróndr de unn mala

iron para cicomtss een
‘Graphs and Compas Por
sa

288. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Líneales 275

en
pe
i
E,
qu De
rum Fin x
am —|
”
Arten
posa] Y
in € 65
gin
E
re
vn
au ef
a

pin 8-8 (2) Un imma aio meh con un ndo de Ira. (0) Oran
a e menos car (el

al rosorte y a la tricción sutre ol cuerpo y el soporte. Se supone que el
marco del soporte es fijo con reopecto a un sistema coordenado de Inercia.

Eo tig, 8-8 (D). Se muestraundiagrama de cuerpo Libre de la masa M.
Las Wuerzas einötieas que actuán en la masa, también se indican, De la Be.
8-84 0 de la 6-68, obtenemos

der de
mis ro re BE
EL] 7

Peak
wwe. she ke (666
Fy = ME + OG + Ke (oo

La Ec. 6-68 an un modelo matemático del sistema pecinico. 3
‘Loe valores iniclales del desplazamiento y de la velocidad a 1-0”,
inmediatamente después de la aplicación de la fuerza externa FU, pueden
ag ser cero. En general, vamos a suponer que con cl0*) y (de/dt 10%)
rn
"Tomando las transtormadas de Laplace de ambos lados de la Ec. 6-66,
obtenemos

289. 276 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
Fos) = MAC = 3010") = MOI + BIC — AO + KCI
= (Ms + Bs + RICE) = Ur + MON) = MOT) (660
El coeftetente de C(s/ puede escribirse

4) = 29) ey

donde
x
zum (oo

es Mamado el operador de impedancia mecánico, El significado de este
nombre se explicará más tarde en este capítulo,
'Sustitupendo la Ec. 8-88 en la Ec. 6-67 y reagrupando, obtenemos

Aa, yo) Ht

Misi — wm
ET) zz N

CE

El desplazamiento c(t) es la transformada Inversa (2-1 ) de Cie), as decir,

an = BCU, A)

‘Un examen de Ja Fe, 8-70 muestra que el desplazamiento consta de dos
partes: una, el primer término del lado derecho, debida a la fuerza aplica-
da externamente, y la otra parte, el segundo y el tercer término de) lado
derecho, debida a lan condiciones inlctales, Como el sistema es lineal,
aplicable el principio de superposición, Es conveniente, por consiguiente,
visualizar la respuesta total del sistema como la suma de las doa respue
taz componentes, una componente que es la respuesta del sístema (con con-
diciones inictales cero) a una excitación externa o función conductora y la
otra componente es la respuesta del sistema a la energía Intcíal almacena-
da en el mismo. Consideraremos por separado estas dos respuestas compo-
nentes.

Respuesta a una Función Forzadora Externa. de un Sisiema Rele:
Jodo Iniciolmente. Suponga que el sistema mecénico da le Ig. 6-6 (a) está
relajado infeiaimente, esto eg, c(0*) = Oy HO") = 0. Lake. 6-70se reduce a

w= E
Dl 127] om

donde sZ, (si = Ms® + Bs + K, La relación C(s//F(s) es la relación de ta
transformada de Laplace de la respuesta de salida, a la transformada de

290. Ecuactones Dinámicas de Sistemas Lineales Ed
Laplace de la función forzadora (entrada) de un sistema lineal, el cual está

relajado intctalmente 3 se conoce como la función detransferenciadel sis-
tema. En este ejemplo

Dr (573)
CET

Se tratará más tarde algo más acerca de las funciones de transterencia.
‘Sl Pd) 08 una función escalón, es decir, F(t) = Row!) donde ut) es la
función escalón unitaria, entonces

he
Ay 2 «my
La sustitución de la Be. 6-74 en la Ee, 6-12 produce

A Ra AIM

e BG (rss
nn ar Lo
Y
suponiendo que X 4 Oy M0,
A Eo. 8.750, pone arica
Rh el
-&___ 6-15)
creer) ier)
dente
6 (6%
’ a
= À er
iw, = 2 im
Do as Eos, 8-78 y 6-7, obtenzmos
a om)

Vem

por razones que serán aciaradas más tarde on gsta sección, después de
abtener la solución de c(t), un de la Eo, 6-16 es amada frecuencia natural
desamortiguadora, y 5 de la Ec. 8-78 es llamada relación de amortigua-
miento del sistema.

EL desplazamiento c(t) es la transformada de Laplace Invorsa de CH);
donde Cs) está dada por la Re. 0-15. La forma de ef? obviamente dependerá.
de los valores de 6 y de &,, los cuales dependen a su vez de los parámetros.

291. 278 CON VERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
M, K y 8 del sistema mecánico. SI fl) se obtiene tomando la exposición
fen fracciones parciales de C/s) o examinando la tabla de las transformadas
de Laplace directas e inversas en el apéndice D, los factores de primer
orden del polinomio cuedrático en el denominador de la Eo, 6-15, deberän
Ser determinados. Estos valores se Oblienen de las raíces de la ecuación.

+ 25 + u 0 (679)

La Ee. 6-19 +8 conocida como la ecuación característica del sistema.
Las raieea de la Ee. 8-19 son

sun» du a VIA (6-80)

St la masa M + la rigidez del resorte X se mantlenon constantes y el
costiciente de fricción viscosa B se varía, entonces, de las Eon. 8-76 y
5-18, encontramos que w, permanece constante y à varía. Como M, Ky B
son todos positivos, uw, es una constante positiva y 6 varía de 0 a. El
valor y la naturaleza de las rafces s, y $, dela acuación caractorística
dependen del valor de 6

dos raíces
Sib=0, Sif = ley purariente
Emaginarias
un par de raíces
SOCK <I, sus conjugadas
complejas (681)
dos races
Soa Bus make a
iguales
ELZER nr = de, ze

Los lugares geométricos de las dos rafces s, y 5, on el plano de re.
cuencia compleja según 6 varía de O a=, se muestran en la fig. 6-7. El
término u, es constante

Examinemos la forma de c(t) para valores diferentes de 5.

Caso 1: 8=0. Sea 51. 32=2 jus, entonces la Ec. 8-75 queda

ce Re Ca Ry E
ORIGIN
Ra 5

. are on
tw ma)

el) = BCU, u(t) = coset]

Re
its

QU core) pans 20 (683)

292. Ecuaciones Dinámicos de Sistemas Lineales 279

mer rn to me rien

Las cseñaciones no desaparecen gradualmente. Por esta razón cuando
lacas el caso mo amortiguado y la frecuencia de nactlación es
llamada frecuencia nabural no amartigwäda.

‘Gore 2: 0cd« 1. Las raíces de la ecuación característica son

un Aa VTT RE ne

donde a=5w, y 3 » ue VIRE son ambas reales y positivas
Nate que w? La + 3%, La Ee, 6-75 puede oneribirse

Ro ae R a+ sm

na ES ES E
Oi Kale ar + Ol

De la tabla de las transformadas de Laplace inversas en ol apéndice D.
obtenemos

16:86)

293. 280 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMEGANICA
Cuando t=, el valor en estado establo de c(t se aproxima à Re/ Las
oscilaciones ‘son amortiguadas por al término exponencial € Cons af
tiempo requerido para que las oscilaciones desaparezcan gradialmene
depende de 0, a es Llamado el factor de amortiguamiento. Como a= ta,
5 es lamado la relación de amortiguamiento.

Volor Máximo de e (1) . El valor pleo de c(t) puede obtenerse como
sigue. De la Eo. 6-85,

Rosi 0 -

A]

* Haciendo do/dt=0, obtenemos

ACOS(BI — 6) - aen(Br- 6) =0 6 “tantar — 9) =

Pero de la Eo. 8-88

#= un ung (639)

La Ec. 6-88 llega a ser
un (Gr - 9) = -ung (650,
La Ec. 6-00 es clerta sólo cuando & » nr 6

+ (651)

Ente valor de í corresponde ya sea al valor máximo o mínimo de c(t.
Sustituyendo este valor de t en la Ec. 6-85, obtenemos

RNA a 1692

‘
El primer pleo, el cual ocurre cuando nal, es el pico mayor.

Parcero, (699)

aoe

294. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales za

El valor en estado estable de cl es Ry K. El valor máximo de o(t) con
pecto a pata referencia es

im misma «BCT 1690)

Los valores de la máxima eloogación o sobretiro,como una fracción
Ka Kpara diferentes valores de A están dados en la tabla 8-2

TABLA 8-2

MAXIMA DEL SISTEMA MÉCANICO DE LA FIG.

ter nme + Tolox Tos [0.5 | 0.707
tome meine paros | i [0.73] 0.37] 0.1701 0.05 [0.02

Caso 3: Hm. 55, 52 =, “ay. La Bo. 6-75 llega a ser

Ro à a e
coy E A
nes NE

De La tabla de las transformadas de Laplace en el apéndice D,

| (696)

No hay oscilación, Este caso es llamado el caso amortiguado criticamente
‘porque una dismimuolén muy Ligera en 6 introduce oscilación.
Caso 4:5> 1.
Mutis do, 0 VIT

Arras raíces son reales, Sea 6,4

Re
OR ar ©
De la tabla de las transformadas da Laplace en el apéndice D,

.

u (690)

ar = bu, + GES

295. 282 CONVERSION DE ENERGIA ILECTROMECANICA

En este caso tampoco ay sobretiro. Este caso se llama el caso sodre-
amortiguado. Es {cl mostrar que 0503 = @? , detal manera que ol valor
An estado estable de es BK

Resumiendo, el desplazamiento del sistema mecánico de la fig. 6-6
(a) devido a la enrada de una función escalón tiene oscilaciones sostenidas

Las oscilaciones desaparecen cuando 0<3= L(0<8<2
1 sistema es amortiguado erftica~

mente y para 4>1(B>2 1 sistema es sobreamortiguado. Los
trazos de c() como wa función de w,t para valores diferenten de de
muestran en Ja tig, 6-2, El término £a/ À es tomado como la unidad, Sl
términa w,t es el Uempo normalizado y no Mene dimensiones. La ventaja
de usar 2.2 como la variable independiente en lafig. 9-8 es que estas
curvas pueden usarse para diferentes valores de My de À enla fig. 8-8 I).

En el análisis anterior se supuso que nl M ni X son cero y que Bseya-
sia. Si ot resorte 0 oxite, seottienewn resultado interesante. Este caso
se incluyo en 108 problemas 22 nal del capítado.

Respuesta del Sistema Mecánico de la Fig 60(8) Debida Solo a low
Condiciones Iniciales. Suponga que la fuerza externa F(0 en a ig.
(a) es cero y el sistema tiene alguna energía incl! almacenada on él, esto
28, €(09) 4 0 y AO") #0. La Ee. 6-10 30 reduce a

erry
SS
ë.
LL

PORO 10) où una fini ow mt ame manie 0 la Fi 6 dl ru de

a non

296. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineatas 283

a Aa]
_ Mic(0"} = 8000") + Me(O")
Wie ds À
50) +(8/M090") + HY um
+ (B/ Ms + KIM

La ecuación característica

Er ke ra
apego 16-100)

es 1a misma que en la Eo. 6-18, por lo tanto af =K/M y 3-B/2VEicomo
Sites. Los cuatro casos analizados con antartoridad (rer Es. 6-81) se
Sptlcan Kamındn aout, suponiendo que M0, K #0 se mantienen constantes y
que se varía 8

Gone E 6 «018 20), coso no amovtiguado, Las raíces de la ecuación
caracteristica son 84, 84 2 à fan La Eo. 6-09 queda,

coy NO ee FO ci)

"Tomando la transformada de Laplace inversa de C(s), obtenemos

a0 = pren mau O

Las oscilseiones son sostenidas

Caro 2: 0< 5 <1 (0<B<2 VKM), caso subamortiguado. Las raloes son
31, Se =-a 333, donde a = du, 320, VI- 8", y20=B/M,como antes, La
ER. 6-09 se convierte en

£e00*) + (B/ M)e(0*) + WO)

CO Gras ETE
1600) 220) + 1009) “a

Gears BF
.

Se puede mostrar que la transformata inversa de C{s) esta dada por

ete) er cost + kısendr) 46-109

297. CONVERSION DE ENERGIA ELSCTROMECANICA

ha) y A Geigy
Caso3: 8 = 18:2 VRR, caso amortiguado criticamente Las
Pet on sd nef Bb a ee

Gin + MO) + (LADA) + nor)
+ we)
3007) + 2u.cl0*) + 0")
uF
4 4
mo Gre,

5 16-106)

ans
a fes wee

= (0%)

Ara kr a) COL. = 10°) + wxel0*)

La Ec. 8-108 se convierte en

20) | MO°) + en)
le) = O2 , 207) + we) he
Ore are? un

La transformada de Laplace inversa de C(s) es
AD = HE + 07) + o c(O rer paras > 0 (6-108)
Caso 4:8 >11B> 2VRM), caso amortiguado, Las raíces son

= Gus = a VIT

? Be 00 = (buy + 0 VTT T)

'
como antes. La Eo, 6-99 de convierto un

2510") + (8/40) + 119")
et e+ ane +a) m

298. Bouaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 285

donde B/M = 280, = a, + Ga y K/M a = ayaa. Se puedo demostrar que
1a expansión parcial de C/s) es

Jec(O®) + HO; = a), [meld*) + r(0")las - as)

+0 +2

ci
no)

La transfarmada de Laplace inversa de C(s) se obtiene fácilmente.

geo) + WO) ay, mel0") + 10")

et) = (e

Canoe Especiales. 1) St cl0% x 0yW(0*) y 0, La Ec, 6-111 so re
duee a

a= ei
2) 81 0%) £0 pero DO") +0, La Be. 6-111 se reduce a
(0) =O) eee a) (6113)

Eléctricas de los Sistemas Tr

Considere el sistema mecánico mostrado en la fig, 6-6 (a). La Be, 6-68
dk un modelo matemático del sistema.

de, gt
FW) GEA BA Ke 16661

TABLA 63
Analogs ele del ita de ria meca.
Cr)

Pedi ‘Same moine
Fee develo «(7 E
Cm a) Desplezmieso cl)
Cono ie) ‘Yala
Tobar L Maca M
Pons À Pate 8
Cats € Defommeción LK,

299. 285 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

* el circuito mostrado en la Ig. 6-9, La ecuación de mallas para

Conste
"star.

wre fi tert, (ne

donde att) es la carga y dg/dt = if. Una comparación de las Eca, 6-66 y
6-14 rerealas similitudes mostredasen la tabla 6-3. La red de la fig. 6-0
es una analogía eléctrica del sistema mecánico de la fie. 6-6 (a) Esta
analogía es Hamada analogía de malla.

Otra analogía basada en el anfileis nodal puedo obtenerse de la six
guiente manera, Considere el circuito mostrado en la fig, 8-10, La seua.
ción de nodos para esta rod se obtiene al sumar las corrientes del no.
doi.

ens

donde >+N <= fa(tidt son. tos eniazamientos de flujo. La analogía
antre 128 cantidades eléctricas 7 mecánicas en base ala comparación
de las Eca. 6-66 y 6-115 29 muestra en la tabla 6-4,

La red de La fig, 8-16 esuna analogía de base nadal del sistema mecäni-
co de la fig. 8-8(a), La red de la (ig. 8-10 es la "red dual” del olrculto de
la fig. 6-9.

Las soluciones obtenidas en la sección anterior para cil) en el sistema
mecánico pueden usarse en el caso de loa circullos eléctricon de las fig
8-9 y 6-10 puesto que Éstos tienen el mismo modelo matembtico que el
sistema mecánico, La interpretación en cada caso es, ain embargo, hecha

300. Ecuaciones Dinimicas de Sistemas Lineales 287

con respecto a las variables fíaicas que comprenden. Por ejem. cf de la
fig. 6-6 (a) se reemplaza por g(t) de la fig. 6-0 yA(0 de La fig. 5-10.

da]

geo tn

1597

TABLA 64
Analogie Eléctrica dl stone de Toma mecinico
(aes de node

fet Eve es Morini
Fuente de Content 10) ==
Fj de Daparsèn Desplazamiento (0) 5
Vois elo, seed 0)
Gran € M
Coduetnei G Fri 8
Indvennni L Patocmeón 1/4

Para simular grandes sistemas mécanicos én el laboratorio, frecuemte~
mente ge usan analogías oláctricas de los sistemas mecánicos, para estudiar
el efecto de la variación de parámetros en el fancionamiento del sistema.

La forma transtormada de la Es. 6-14 (suponiendo condictones inelales.
cero) es

à on el N Ñ
Fe (es Res ¿Jl (ure as Ejea
.
= eens ro - zum ene
donde

1
Zl) RET m

301. 288 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

El término 2, (81 se lama operado» de impedencia sláctrica, Ahora queda
clara porquä Z./8) = Ms + + K/s do la Ec. 6-60 as llamado operador de
impedancia mecáni

6-6 Ecuncionas de Estado del Sist
de $0)

En la socelón 6-3 (ejem, 8-3) ae describió el congepto de estado da una
red eléctrica. Se establectó que la corriente en el inductor y el voltaje a
través del capacitor se escogleron lógicamente como las variables de estado.
Raclondo uso de la analogía entre redes o circuitos eléctricos y sistemas
mecánicos establectaz en la sección anterior (ver tabla 6-9), las variables
de estado on el alstema mecánico de la fig. 6-6 (a) son la velocidad de la
masa de/dty la fuerza enel resorte Fy(t)» K,(). Sin embargo, como Fit
y c(t) son linealmente dependientes, ef conveniente escoger cf) como tna,
de las variables de estado en lugar de Ft La otra variable de estado es,
por supuesto,dc/dt= vit. Sea

Translecional

wer Ban enn

Los términos x, (by xa(0 son las variables de estado. Una ecuación de estado
se obtiene de la Ec. 6-128

de
en (6119)

La otra ecuación de estado se obtions de la Eo. 8-68

de e
FO = MEE. 8 Es ken
(= MES + BE + Kel)

Esta ecuación puede reeseribirse

des
MO — Br + FO

(6:20)

302. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Línaales 299
Las Bes, 6-119 y 6-120 pueden ponerse en forma matric:al como

E © tt fxm} fo
H +], fro win

a
| 2
El ll ao la
La Es, 6-121 os la forma normal delas ecuaciones diferenciales del sistema
mecänleo de la fig. 6-8 (a).
‘Las transformadas de Laplace delas Eos. 6-119y 6-120 con condiciones
iniclales apropiadas, dan

Kl) - x(0*) = Kl) (6-122)
2009 = Ex - 2 20) + ta
Kl) — 200°) ri Xs) = A) + 7 (123)

Note que 240) = c(0) 7 xa(0 = v(0), Reagrupando lan Ecs, 6-122 y
6-128, obtenemos

, XG) 0")

# on
x LA FG) + Mri0*)|
B ae ] Ed [ra Fa] |

Remriendo para Ka),

<0") a
[Et + Mor) 5
Ab) = x #

Es 2
iM LAN
FED + OM + D +
Mele Bee K
F6), ONMS+ 8), go _M
ae "OR E

LUS

‘La oval es la misma que La Ec, 6-10 para C(9).

Ale) = ve) = OK, gery + HHO) Gus

303. 290 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Las correspondientes funciones de tiempo x, (t) =c(17%a(0= vit) pueden
obtenerse tomando las transtormadas de Laplace inversas de X,(3) y de

Kuss) respecivamenta,

Io

6-7 Un Sistema Trenslucionel Mec
con dos Gradas de liherta

Ahora será ilustrado por medio de un ejemplo, el procedimiento para
derivar el modelo matemático de un sistema translacional mac
os variables dependientes.

EJEMPLO 6-5, Considero el sistema mecánico mostrado en la fig.
5-11. Los diagramas de cuerpo More (uno para cada masa) del sistema
mecánico se muestran en la fig. 8-12

un e
ie

RU a 2 ei
1 i
a u Were) a
y a e
— Ke
a lo,
dea 2

8-12. Digne nes rn de en meni ata APE 11

Las ecuaciones diferenciales del sistema se obtienen aplicando la segunda
ley de Newton o el principio de D'Alembert a cada mass.

304. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Linsales ast

de

a

die da we
ou SF omy À + He + le 12)

Las analogías eléctricas del sistema mecánico se muestran en la fig.
6-13. Sean cy(0*) y v2(0*) los valores iniciales del desplazamiento y de
la velocidad respectivamente de la masa M :y sean Ga(0*) y va(0*) 108 ve
lores correspondientes de la masa M,, Iomedistamente después de la apli-
cación de la fuerza externa Fit).

ein a &

te

o

(armee on tase e male Tee
Bu 8.7 (0) A un bane à mocos [To
m

Tomando las transformadas de Laplace de fas Eos. 6-127 y 6-128 y
reagrupando, obtenemos

is Be RC) — Kcal)
FG) + (0 Mis +B) + Min) 16129)

305. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

RE Oss? Bis + Ki KC)
Mas + BeleXO") + Mir (O”) (6130)

En forma matricial estas quedan

Mie = Bis + Ky
ok, Mas? + Bas + Ry + Ke,

[F Us) = Os à 8) + 416,005]
7 listas + Bet + Mn(0) sell
El determinante del sistema es
ists Bis + Ki ki
a =k, iste Bis + Ki + Ky)
= ast + aus + aus + as + a (6-132)
donde
= My
= MBs + 8,
= MK, + Ky) + BB à K, (6-139)

BK, + Kil + KB
ETS

Por la regla de Cramer,

Flat + lO Mis + Bi) + Mint")

(stos + Bide") + Man) Ans

Cee z =

„ Fin FeO" Ms Be MO Su
3 3
ABER ARD EN R
fe te (us
donde

Cofuetor ay + Me + 54 KK y Cofactor A = Ai

(6-135)

306. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 293

Simitarmente

Mist Bis Ky Flay + CO (M3 + 8) + Min (O")

Gal En DOS + BD + Mini)
Aa, Os + 81) + Mine
= Fos) Sg COs Bs Mini
An
FIGs + BAO) + MONTE — (6136)
onde
Cofactor dn = Ki y Cofactor du = Mist + Br + Ki

137)

Estas ecuaciones son similares en forma a la Ee. 6-70 excepto porque
son más complicadas y tienen más términos.

Sí el sistema está inicialmente relajado, todos los valores intciales
son cero. Las expresiones para C,(s) y Ca(s) quedan

Cit) = Fe) AE (6138)
o
Ge A
Fo". GAs) (6-139)

donde Cy(s) es la función de transferencia del sistema, tratando ac.)
‘como la salida y a F(t) como la entrada, Similarmente,

aa) = Fo

GG) „Au
Fo OO) 46-140)

donde G,(t) es la función de transterencia del sistema, tratando a(S) como
la salida y F como la entrada. S Fit) es conocida, entonces pueden
resolverse las Eca, 6-14 y 6-138 y obtenerse las funciones de tiempo ¢, (1
y call. El procedimiento es corsecto, paro envuelve una cantidad de deta-
Mes de cálculo, en vista del hecho de que la ecuación característica del
sistema à = 0 es una ecuación de cuarto grado en @ Este ejemplo muestra
que la dificultad en el cálculo se incrementa rápidamente conforme se
Incrementa el número de variables dependientes en el sistema.

La determinación de las fuciones de transferencia por el método de
dotermainantes no siempre es fäcil, especialmente cuando el sistema tiene
varios grados de libertad. En el algitente capítulo se describirá otro método
que usa gráficas de flujo de señales.

307. 2 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Ecuaciones de Esado del Sistema Mecánico del Ejemplo 6-3. Como
hay cuatro elementos de almacenamiento de energía 9n este sistema, so
requieren cuatro variables de estado.” En la analogía eléctrica, las vari
bles de estado aon las corrientes en los inductores 7 el voltaje a través
de los capacitores, La carga puede usarse en lugar del voltajo puesto que
Cell) = at). Entonces por analogfa, las variables de estado en el sistema.
mecánico son laa velocidades de las dos masas y los desplazamientos de los
dos resortes. Dealgnemos a las cuatro variables de estado por x, M.xaft)
att) y zul. Son

Velocidad de la masa 1, 6 sea v(t) = desd = zum
Desplazamiento dei resorte A, $ sea cx(t) - ca = wall)
Velocidad de la masa 2, 6 sea vof > dea/dt = xs)
Desplazamiento del resorte Ka, 6 sea ca) = zul

6-14

Dos de las cuatro ecuacionés de estado se obtlenen de la Ec. 6-141. Las dos
«ecuaciones restantes se obtienen de las Zcs. G-127y 6-128, De la Ec. 6-141
tenemos va(t) = xaf 7 cal) = x,t). Pero Vall = des/dt, Por conmigulente

des
O) (142)

s(t) ~ Call). Por consigulente,

De la Ec, 6-141, tenemos x, (0

“a (6143)

de Kan And FO
o
da A FO
a. 2) = Fee mA (6-14)

Podemos hacer ets aseveración con conianes porqe Jo reorce ro xn conectados
ere sf drectamente, 7 la mat tamblin ein separadan pr un resorte, En cena palabras,
fr las analogías elttricas dl sistema mechnieo mostrado en al 3-1, to ay mallas cp
Cora o nr inductores. So Bay robinet de variable de eta. El nero de vascos
estad roquero en ipa! al mero de elementos de Amen de erg

308. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 295

De la Ec, 6-128 tenemos

d'a
PAR
“gi
de KB Ke
Beggs Rx 16-145)

Aeagrupando las Ec. 6-142, 6-143, 6-144 y 6-145 y ascribióndolaa en forma
matricial, obtenemos

EA] Lo o o [ua FA
E Pr ° ° Il [o FR
des] En -El la] *
dl: ss an]:
a) zu

(en

La Ee, 6-146 es La forma normalds tas ecunelones diferenciales del sistema,
mecánico de la fig. 6-11

Tomando las transformadas de Laplace de las cuatro ecuaciones de esta-
do y teniendo en cuenta los valores iniciales de las variables de estado en
La 07, obtenemos

kan HHO rn) 6147)

XD TEE OBEN) (6-148)
46) + b + #) au + a Xa) = nor) 16-249)
DCE TEE CE) (6-150)

Poniendo estas ecuaciones en forma matricial, obtenamos

mo ok FS e ajos
o o] fra] True]
Si 3 tof [xt] | to
o He RE
lo 0 a al [aw] [ue

(6151)

309. 296 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
Notando que

O° O) yO") = 07) ~ e110")
A

puede demostrarse que la Ec. 8-151 conduce al mismo resultado que las
ecuaciones 6-134 y 6-136.

6-8 Sistemas Rotacionoles Mecdnices

Elementos. Los elementos activos sonel par y la velocidad angular.
Los elementos pasivos son el momento de inercia, la rigidez del resorte
torsional y la fricción de los amortiguadores rotatorios. La representación
simbólica de estos elementos y sus modelos matemáticos ae muestran en
1a fig, 6-14

en a
au
rae yo de _ de
+ arth. Se
an ra ain RR
> Blamed
BE Be
face
Cena y Amortmaser

ta

Fig, 0-14 Repremneatin rta y modelos mepemtice los alemanas pis un
Lema mecinice rover. (a Y Mamma de ne À ET mes tonal
(oT Amaro rocora.

310. Ecuaciones Dinämicas de Sistemas Lineales 297

Momento de Inercia J, Este elemento se muestra enla fig. 6-14(8). La
relación entre el momento de inercia y el par aplicado está dada por

LER] (6-152)

en donde T(t) es el par, wel desplazamiento angular de la posición de rot
rencia y J es el momento de inercia respecto a un eje fijo. La Ec. 6-152
2e basa en la segunda ley de Newton y pueda derivarge de ella.

Resorte Torsional (Fig. 6-24 9). SL ambos extremos del resorte están
Ubres para moverse y los desplazamientos angulares son ay!) y œuf,
entonces para pequeños cambios en el desplazamiento, la relación entro el
par aplicado y el cambio en el desplazamiento está dada por

Tu) = Ka = a) (6-153)

donde K es la rigidez del resorte:

En la práctica, un resorte torsional no puede ser identificado finica-
‘mente Como tal, pero puede representar una flecha o eje la cual no os per-
fectamente rígida.

Amortiguador Rotecional (Fricción.viscosa), Fuerzas fricotonalos:
‘sistemas rotatorios son ocasionadas por la trieción entre flechas rota-
torías y las chumaceras que las soportan. Usualmente, las chumaceras son
Iubricadas con un fluido viscono, y la energía se pierde en ellas en forma
de calor. Es conveniente representar al elemento friccionante en un sls-
tema rotatorio por un amortiguador rotacional. (Amortiguador rotatorio).

311. 29 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

El par necesario para girar la echa [ ver Lig. 8-14 (e) ] contra la oposición
dal (ido viscoso está dado por

no olía. de) 6150

donde a, y a, son los desplazamientos angulares de la flecha y ta cafa, res
pectivamente, de acuerdo a algma posición de referencia. La constante
de proporcionalidad B se Mama coeficiente fviccional o coeficiente de

amortiguamiento.
Las dimensiones y unidades de los elementos rotacionales están dadas

enla tabla 8-5.
Relaciones de Enorgia de Elementos Rotacionules Mecánicos.
Momento de inercia J. La energía cinética almacenada está dada por

la expresióo.

Wa f Tda (6-155)

Sustituyendo T de la Ec. 6-152 y reemplazando « bajo el algno da in-
tegración par una variable Supuesta 9 para ovítar confusión entre la var
rable de integración y el límite a, obtenemos

(6156)

Esta energía está almacenada enlamasa, La unidad de energía en el sistema
‘mks on el joule y en el sistama inglés es plo-Ubra.

Resorte Torsional K. Un resorte torstonal o una flecha, almacena
energía potencial cuando se tuerce de su posición normal relajada. Esta

energía está dada por

Ma [ras isn

Sustituyendo T de la Ec, 6-153 y reemplazando « - 2, por a, obtenemos.

mas [re

Pricción Viscosa B, La energía disipada en B está dada por

¿Ke (6-158)

me [ran wi

312. Ecuaciones Dindmicas de Sistemas Lineales 299

Sustituyendo 7 de la Ec. 6-154 y reemplazando a - da por a, obtener

- [ota [elija (eo

donde 4, es el tiempo tomado por la Mecha del amortiguador rotatorio para
girar un ángulo a relativo a su caja.

me fra eu

donde Pa as ta potencia (engegta por segundo) islpada en el amortiguador.
Por consiguiente, de In He. 6-160 y 6-16,

aa
a (ón 16
nal) wi

Leyes Básicas. Las ecuaciones dinämicas de los sistemas rotaciona-
les mecánicos pueden encontrarse por la aplicación de In segunda ley de
Newton 0 por el principio de D'Alembert Para alstemas rotaciones, la
Be. 6.04 e modifica como sigue

da e
¿LE na (18)

actuando en la dirección a, donde J es sl momento de inercia de la masa
rotatoria y u es el desplazamiento angular. El término N ea el número total
de pares componentes (ya sean pares externos e internos de reacción),
‘Similarmente, la Eo. 6-53 se modifica como

(6-164)

rw

el cual es el principio de D'Alembert.

Métodos de Análisis. El procedimiento para obtener el modelo mata-
mático de un sistema rotacional es similar al usado en un sistema transla-
cional. El procedimiento se Ilustrard por mediodeun ejemplo, Como hemos
adquirido por ahora, algunafactlidad para encontrar modelos matemáticos de
sistemas, tomaremos directamente bajo conaideraglönun sistema rotactonal
con dos grados de libertad, También obtendremos las analogías eléctricas,
asf como las scuaciones de estado dei sistema mecánico.

EJEMPLO 6-8. Un sistema Rotacional Mecánico, con dos Grados de
Libertad. Considere el sistema rotacional mecánico mostrado en la fig.
EXCA

313. am CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Un mue mecdetco rotura on en pedo de srta

Dos masas rotatorías con momentos de inercia J, y Ja están acopladas
por una flecha flexible cuya rigidez es K,

El costiolente fricalonal de las chumaceras 172 es para cada una 8/2,
y el coeficiente de fricción de Las chumaceres 3 y 4 es B,/2 para cada una, de
tal manera que la fricolón efectiva enla masa 1 es B, y on la masa 2 68 Ba.

Se aplica un par Ti) alalstora, como so muestra. Los desplazamientos
angulares son cu} y auf). Las Correspondientes velocidades angulares
Son ws ft) y wall).

Los diagramas de cuerpo libre (uno para cada masa) están trazados en
la sig. 6-16, Suponga que la dirección de La rotación vista del extremo
izquierdo es on el de las manecillas del reloj.

TABLA 66
‘Analogs en eos Elmntos y Verb nn
‘Sema Mecano Rowfone

ee veia Lors à voie ow Bere ive Andi:
Poe. CAT ee

CET voltaje an Comes un)
Desplazamiento Poo,

Angus a) com ae) de Dispersión AU)
Veleciad

Anar A) Conte it) Voie ee)
Momento de Inercia ®| Ideas L Conan C
Deformscibn eset |

tersonal” 1/8 Capacitancia © Inductance /.
Fasción h

Viacom Rectora | Resiencia A Conductancia 6

314. Ecuaciones Dinámicos de Sistemas Lineales 301

Por la ley de Newton 0 el principio D'Alembort, las scuaciones dife-
renolalas det sistema son

Tay = 1) a ler ka wi,
5 a
y
Po tes
- +. o to, 7
Venen Fe Kt 166)

Las analogías oláctricas pueden trazarse usando la lista de las can-
tidades análogas mostradas on la tabla 6-8. Las analogías elíctricas del
sistema de la ig. 6-15 ae muestran en la fig. 8-17

Fig.0-10 Digne ce CA tt toma mecinice al a Fi. 8: 18.

315. 302 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

‘dee atrio
1

AT Aroa lic dol set medien de
la Pg: #16) Argon man mañas ie)
na oa bate ne,

"Tomando las transformadas de Laplace de las Eos, 6-105 y 6-168, con
los valores tniciales a, (0°), @,(0"), m(0*) y es,(0*), obtenemos

AR + Bis + Mark) - Ka) = TE) + yr + BD 0) Jo")
(167)

Kal) + (48 + Bis + Mae) = as + BO) - 0)
wi

Escribiendo estas en forma matricial

Pi + Bye x Fash
x ie + Ba + rece)

TO) + (ye + 8) (07) - 40,0
- “in

(as + 29807) - 430,0)

316. Reuactones Dinámicas de Sistemas Lineales 208

El determisante del sistema es

jae geen er
Ae + Bs Kl
FR LB, (Utd s EA)
TA Ws IR.
wi
Por la regla de Cramer
ar] SE rst = Cys + BO) rl
+ Ie + pa m
y
Las = us + Be" = JO
Ay
a BID
donde

Cofactor dy = Jat + Bye + &
Colación dy = K = dy wm
Comer Ay = HS + 8 + K

Funciones de Transferencia del Sistema Mecánico, En las Ecs. 6-171
y 6-172 si los valores intctales 21(0°), 0% (0), 10°) y woa(0') son igualados
2 cero, obtenemos

css = ena
Te PSS
y
ee can ens
Tune

donde G ($) y Gafa) son las funeionesde transferencia del sistema rotacional
mecánico de la fig, 6-15, Enla Fe. 6-14 a ( es la salida y T(t) es la entra
da, en la Ec. 6-175,a,(0 es la salida y TA) ea la entrada.

En la prälfes, frecuentemente es necesario conocer las expresiones
para las velocidades de las masas. Si las condi iones inieiales son cero,

sn = Bit so wre

11 = Blast = sah wim

317. zo CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Con objeto de ilustrar los detalles de cálculo involucrados, ae cal-
cularán las velocidades «, (1) y ws (1) gupontendo valores numéricos para
los parámetros y para un par el cual es una (unción escalón. Sea J, = Y
= 10 kg-m?, By = Ba: Lnewton -m. seg/radión, £ = 1 newton - m /rädlän,
y Ti = 10 uf newion~m. Esto es, Te) = 0 paraf< 0 y 7/0 = 10 para
1>0, Para estos valores numéricos, obtenemos

à = 00s! + 025" + 021 + 003

= tons + Os ~ 093% + OM
ay ll IO à Our e Qu
Sue duel Tuy = 10/4

De las Bea. 8-174 7 8-176

ro

ds ou oi
TREO + 009 + ©

à . oa
"e005 TEA

M rato)

GE]
La transformada inversa se obtiene de la tabla de las transformadas de
Laplace

IDEE = Se + 4,424 pen 44e «im
Similarmente, de las Bes. 6-175 y 6-177,

9 3 Bt Ty =
Dalat w soais) A (6180)

ato 2H (6181

Ea lógico que los valores on estado estable (cuandof==) de un (Y y de
aff} deberán ser 103 mismos porque las masas están consctadas juntas
y por conslgufente no pueden girar a velocidades diferentes en estado estable.

Con la ayuda de la analogía eidetrica, puede realizarse una prueba par—
cial para la precisión de Jos resultados obtenidos en las Eos. 6-179 y 8-183,
en cuanto a los valores eh estado estable de las velocidades concernant

En el sistema mecánico, al valor en estado estable de us { y de Wa(f
as 5 radlanas/seg.

En la analogía en base de mallas mostrada en la ig, S-17(2) el par
TA) se representa por el voltaja ef, Como T(t) = 10 newton - m para t= 0,
el voltaje add) = 10 volts, corriente directa, para t>0. En estado eatabte,

318. * Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 305

12 corriente, que es anfloga a taveloctiad, se determina por las resistencias
Como 5, = By = 1, fi = Ass ahme cada una. La corriente en estado
estable I « Ka 2 10/2 6 5 amp.

Ecuaciones de estado, Lan ecuaciones de estado del sistema rotacional
pueden oltenerso por el procedimiento usado en el ejemplo 6-5 (sistema
tranelactooal con dos grados de Ubertad), Hay tres elemertos de almacena-
mento de energía y por lo tanto se raqularen tres variablos de atado, Las
variables de estado son

st = = td dama!
so = lo = aa deta un

SMA + et = as) desplazamiento del reoeie £

Dos de lan tres ecuaciones de estado se obtlenen de las Eos. 6-165 y 6-166
ylatercerado la Eo, 6-182, La Ec. 6-165 puede reesoribirse como

Busy — Kxy + TO

x, »
5,7 ei

ds

Le de
DE er ayn + Key
An. PR hs,
Pu ies,
de la Re, 6-182
de dar de
nen
o = 0 wi

En forma matricial, las ecuseiones de estado quedan.

EN Kl in

a % Al dl

ee ak

Ello -& Elluol=[o [70 ww
de Lo

sel lo ol loo] fo

319. 308 CONVERSION DE ENERGIA ELEC TROMECAMICA

Las ecuaciones transformadae con condiciones iniciales son, en forma
matricial,

£ run
E El [ro] [Li aor
| fro] 12 + “on
x] ETS) um
+) Low 0

La solución de la Es. 6-187 productrá elmismo resultado que ae obtuvo oon
anterioridad, Con objeto de mostrar que este es realmonte el caso, susttu=
amos log valores numéricos usados con anterioridad, y resolvamos para
if) y alt, los cuales son las velooldades w(t) y anf. De este modo
J. = 4, 19 néuton - mé, B, = B, = 1 newton -m.- seg/radtin, X= 1 newton
/radtins y Tit) = 10 w(t) newton - m.6 T(s) = 10/8. Supondremos que las
condlctones inicíalos son cero, La Eo. 6-187 queda

Geo oo] fo] fx
@ seu a lle jo emmy
lL ul Le
Por la regla de Cramer,
xo Sat in
y
nyo fat pen
donde
ae rong sor +09
Color yy = # +O +01
Cofactor ag = 01
Poe conquis

PERTE cut

EEE ET TTENT:]

la cual es la misma de la Ee, 8+178 . Similarmente,

os

EE] Ms

2e = 0) =

que es la misma de la Ec. 6-180,

320. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 307

Los engranes y los trenes de engranes son usados en muchos sistemas
mecánicos y electromecánicos, El objetivo puede ser uno o más de los
‘siguientes: 1) Acoplar partes de un sistema, 9] cual está girando a diferentes
velocidades, 2) Reducir la velocidad y ampiificar el par entre al primotor y
1a carga, con objeto de obtener la máxima potenela transferida 5 la acelera~
ción de la carga.

La representación stmbôlica 6 esquemática de un tren de engranes,
consistente de dos engranes se muestra en la fig, 6-18, Para este tren 28
encontrarán las relaciones entrada-aalida y una analogía eléctrica. Se
‘supone que e] númerode lentes de los engranes es directamente proporcional
a la ofreunferencia de los mismos, En otras palabras,

AA,
EEE 5
nn (6-19)

Cuando dos ruedas dentadas se engranan conjunlamante, como se muestra
ón ta figura, la distancia recorrida por ollas es la misma. Si a ya, son
109 desplazamientos angulares de las ruedas en radianes desde una posictön
de referencia común, tenamos la relación (suponiendo que no existe juego
entre los dientes de los engranss)

Raye Ria à 199

Supéngage que el engrane wim. 1.56 conectaa un primotor y el engrane né. 2
se conecta à una carga Sea 7, el par de entrada y Taol par de salida si

ogame M0 1
A air, momento deine di.
male My, wie 8

FRECHE Un om ari on dren rm.

321. 308 CONVERSION DE ENERGIA ELSCTROMECANICA

los momentos de Inercia de lon angranes y la iricefôn entre ellos se
desprecia por un momento, entonces la energía de emrada al engrane núm.1
eve sor igual ala onergín de salidaen la Ulscha del ongrane núm. 2, Esto ea,

Tata $ Fao (6-195)

A (6196)

para un tren de ongranes ideal,

Es sencillo observar que la analogía eléctrica de un tren de ongranes
Ideal es un transformador ideal, cuyas propiedades fueron analizadas en el
capítulo d. De la Ec. 4-7, tenemos

OM a

mn en

Dependiendo de que se usen las ecuaciones de mallas o de rodos, la relación
de vueltas será N,/N, 6 Na/W,. Las dos analogías se muestran on la
fig. 6-19.

"Trenes de Bagranes no Ideales. Si los efectos Iriccimales entre los
engranes no son despreciables y sus momentos de inareia son también
significativos entonces las relaciones entrada-salida de la Ec. 5-196
tienen que ser modificadas, Si T, es ol par de entrada alengranenúm.1
(cuyo momento de inercia es J, y el coeficiente fricciomal es 8,), a 7 Ba
cstros del angrane núm. 2, 7 Ta 88 el par de salida,

m
,
(6-198)
at
un.“ m

322. Ecuaciones Dinámicas de Sistemes =insales 309

an nn ner
En = ain APRES)
lo a

F819 artis sue de un won e eri il Analog ein 8
‘slog sa rod.

Las analogías oléctricas para esto tron de engranes no ideal ae muestran
en la fig. 6-20, La tabla6~6 seusa para determinar las cantidades análogas.
La aplicación de estos resultados se ¿lustrará por medio de un ajeraplo.

EJEMPLO 6-7.- Un Sistema Rotactonal con Engranen. Considere el
sistema mostrado en la fig. 6-21. El primotor puede ser una máquina, un
motor eléctrico, una turbina de vapor o cualquier otro disposittvo de
potencia. Este desarrolla un par Ta, (1, El desplazamiento angular del pri-
motor es ay (6). Las flechas que conectan la carga y el primotor no son
rígidas. Sus Figideces, como se muestra, son X, 7 K,. Los otros parámetros
son los mostrados, Se debe obtener un modelo matemático de este sistema,
tanto en forma convencional como en forma normal, se requieren también.
las analogías eléctricas, Se trazan cuatro diagramas de cuerpo Ihre, uno
para el primotor, otro para la carga 7 los restantes para los des engranes.
Estos diagramas se muestran en la fig. 8-22. Cuundo se observa del lado
izqulerdo se supone que el primotor está girando en dirección de lan
manecillas del reloj.

Ecuaciones en el Dominio del Tiempo. Las ecuaciones diferenciales
que describen el sistema se obtiznen aplicando la segunda ley de Newton ©
el prineipio de D'Alembert 2 cada uno de los cuatro diagramas de cuerpo
libre de la fig. 6-22,

Primotor:

.
Lan, gf 6 ru
tat = 2, La eo Le am (020)
Engrane :

Sarg a, 1 + Kua, - ond +
ou Ss 8, Be Ken — eu + Ti wo

323. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ain agin a
Aun 6 | | Fa 3%
und Bien
| m
Anz rn
na = cin
ons
623
w

ia 6-20. Analoglen seine de tre de annee no Ks (2 Ag mai. (1
‘Anatoge de nodos

donde 7,( es el valor cerlejado de Tari) lo cual ocurre en la siguiente
ecuación.

CC

Engrane 2:

da;
* (6-203
as ky (6203)

324. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales su

Seti |
née ovens 2 À
ae eme My À
%
fda Boe
Carga:

CPE RTE o a) wo

Las analogías eléctricas basadas en estas ecuaciones están trazadas en la
fig, 6-23.

AL estudiar transformadores en el capítulo 4, se mostró que los
parámetros de un lado del transformador pueden ser transferidos al otro
lado, moviendo al transformador ideal 2 un extremo del circuito egulvalento
& aún eliminándolo. Tal transformación puede realizarse por al sistema
mecánico tajo consideración con la ayuda de laa analogías eléctricas de la
fig. 6-23. Esta operación puede también reallzarse combinando las ecua-
ciones diferenciales, Ecs. 6-200, 6-201, 6-202, 6-203 y 6-204; usaremos
este último procedimiento. Los pasos a seguir son:

1) Resuelva la Eo. 6-204 para A(o,-a) y sustituya el resultado en
la Ec. 6-208 y obtenga

fa, 9 sy Pe
Te ES + 8, He 4 7, SH eo, ee

Le ess

2) Regusiva la Ee, 6-201 para Ailey a) y sustituya el rewultado en
la Eo. 8-200 y obtenga

den

da
ren ome

325. a CONVERSION BE ENERGIA ELECTROMECANICA
3) De la Be, 6-202, tenemos

mean on

‘Muliplicands ambos lados de la Ec. 8-205 por N./N. y sustituyendo el
resultado en te Ee, 6-206 para 7, se obtiene

Lag to, Le eg de
mo En Hee, Gun de
vite

añ 77 al ep

Ronde demas 1

Ea aa

Ve)

Ponca sonne 2 ANSE

AE
eat

A, 6 1er au sons
laca lo fa Ky ru

= Kyla O) CU

Fig. 6-22 lagrima o cupo ove el stars men

meat

326. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Linsales 313

4) De la Ee, 6-202, también tenemos
% A
a= a 10209)

Reemplace a, en la Ec, 6.208a (M /N,)y Obtenga:

nit 2
Yertoreder o
Frech
an
Le
un
de ACI TO ti
1 A an
|, Ll]
|
ñ à à
O4 BS ke
MOT 2 Tas Id El % i
wie Fen
Dr cn
an = run
anata
e
wi

6-23 Aros mins du sre manie 061 Fi. 21. (>) Analog de me
(Ey Annealed nee

La analogía eléctrica (usando el voltaje como el análogo del par) que
correspande a la Ec. 6-210, semuestra enla (ig. 6-24. Note que el transtor-
mador ideal de la fig. 6-23 (a) ha sido eliminado de la (ig, 6-24

327. a CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

Caso Especial: Las Flechas son Perfectamente Rigidas.Enla Fig. 6-21
sen Kim Kamm Para este caso eapectal

ann y men wa
La Eo. 6-210 so almplifica a
Baw

T= da Sie + an Se em

donde Jm (momento de inercia equivalente) se representa por

huy
een eus

MR
tale

Y Bu (Costtelente detricción equivalente) se representa por
Da = (By + BY + MIMO, + BD 6218)

Esta stmplíficación equivale a suprimlr las capacitancias O, y Ca(We/¥,)*
del circuito equivalente, mostrado en la fig. 6-24.

328. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Linsales as

Ecuaciones Transformaias (Condiciones Iniciales Caro). Tomando las
transtormadas de Laplace de las Ros, 6-200 4 la 6-204 con condiciones
Antales cero y reagrupando términos, obtenemos.

Ta) = (4 8" + 85 4 Kidd) = Kits) (6215)
Om (Ar + Bs + Koda lo) — Kıraala) + THs) (6216)

CAM

m ba

Taie) = (Ja? + Bus + Koda) ~ Krad) 16218)
0 = (4s? + Bes + Reis) - Kral “nn

Es una tarea formidable resolver estas ecuaciones para una entrada
específica o tan solo tene aa datistasyvarlaa funcioes de transfer encla
tales como /81/ Tale), ota, por el método de determinantes (usando 18
rela e Ctambr y_cafactaren), Eatalabor serápospuest por consigulente,
harta que en el siguiente capilo ae describa ol procediento del trazo de
las gráficas de Aufo de señales.

"Scuxciones de Estado del Sistema Mecónico con Engranos. Bay velo
slomentos de almacenamiento de energfa on este sistema. Estos elementos
ae representan DOT Jo, Ju du Jus Ea Y Ka, Auf e podria esperar que se
raquieran sels vartablts da estado y mola SovacioneN de atado para dan-
rir completamente el sistmza y olener una soluciónénca. Sn embargo,
la presencia de ongranonintroses redundancia, y escribis seis ecuaciones
de ustadoantárminos de as variables de estado anocladas con I elementos
listados, se notará que solo cinco de las gets ecuaciones son Ungalment
inedependientes. La razón para esta redundancia se puede ver fácilmente at
se examinan las analogías eléctricas dal sistema mecinion, Por ejemplo,
em a fg. 6-23(), 80 mnienren cuatro inductores y dos capacitores y esto
implicaría la necesidad da seis varlahlen da estado, Sin embargo, esta
analogía ha sido símplificada en ta tig, 6-24 y el transformador ideal ha
sido eliminado. En esta analogía simplificada, hay sólo tres inductores.
Andependlentes y don capacitores, De aruerdo con la fig. 8-24, no requleren
solamente ¿ico variables de estado" Las cinco variaes de atado del
sistema mecánico son seleccionadas usando como guía la fp. 8-24, notando
que lar corrientes Corresponden alas roocióades y lan cargas correspondan
3 los desplazamientos. Las varlablee de estado para el sitema macánico
son {var fig. 8-21)

240 = ed = SP td,

2300 + a = 5, desplazamiento je K,

= ge yb en ei jam 6-3 qu La ruta de ls vases de cuado ocurre
fed ecc tiens un modo completamente aver 3/6 tna malla compitan capacita
Repas al ransormasor MU 7 la 7 La on la Mg 0: (8) Dl a croi Spurl
‘Tver He A0), puede montar e y ln ado completamente Inc e le ig 8-23 al!

329. ne CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

eae SE mine om

di) = as = a, desplazamiento deX,

xt) ma = velocidad de J,

De la Ee, 6-220, obtenemos

de rare
WE ca a 86 + To
6
a x Tal)
EEE (2)
De la Ee, 6-220
dey la
E. A) em

De las Ees. 6-201, 6-202 y 8-203, obtenemos.

+f BPs

et ne ihn un

de 1as cuales obtenemos

épouses

eus

ons

on 62H

330. Ecusciones Dindmices de Sistemas Lineales

De la Ec. 6-204,

ar

Ya EL ass ky
GE Bast Ras
em. ee
m Inn (62m

Poniendo las Eo!

6-221, 6-222, 6-224, 6-228 y 6290 en forma matrictal,

ox
o «lle

© [pajelo [mo wma
<i flay Jo

a

sola] Le

"Tomando las transformadan de Laplace de las ecuaniones de estado y reagru-

pando términos, obtenemos

Tall, „or
ES

: o feel | men

x A

o -# o nal] ner

oo al | mer

: » »

Lo o lo] | nen
om

La solución de esta ecuación, usando las técnicas de las gräficas de flujo

de señales, será descrita en el siguiente capítulo,

6-10 Modulos Matamáticos de los Sistemas Ele

Hasta aquí hemos considerado sistemas dinámicos completamente 916c-

tricos o completamente mecánicos. Pero muchos sistemas prácticos Involı-
cran tanto partos eléctrieas como mecánicas, y la transterenola de onergía
de una parte a la otra es umuaimente ejecutada con la ayuda de un campo

331. us CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

elSctrieo o un campo magnätico, el cual actúa como el acoplamiento entre
las dos partes, Los parámetros dela parte olfctrica pueden ser afectados por
cambios en las variables de la parte mecánica; eato complica ol anälimts de
estos sistemas. En la mayoría de los caños, las ecuaciones diferenciales de
estos sistemas alectromecásicos contienen productos de lan variables
dependientes y de sus derivadas, La solución de estas ecuaciones diferen-
clales no Lineales es engeneral muy diffell; sólo un algunos casos anpeeialen,
es posible una solución analítica; on otros, habrá que conformarse con
las soluciones admericas,

Afortunadamente, sin embargo, hay un gran número de sistemas
electromecánicos en los cuales las variables tales como corrientes, des-
plazamiento mecánico, ete. experimentan desviaciones relativamente paque-
Bas, con respectoa sus valores, aun punto de equilibrio estático del sistema.
Haciendo suposiciones simplificadas apropiadas, estos sistemas pueden
describirse con ecuaciones dforonciales linsales con coeficientes constantes.
Algunos ejemplos de estos sistemas electromecánicos de movimiento
incremental se considerarán en esta sección.

EJEMPLO 8.8, Sistema Electromecánico con Acoplamiento Magnético,
Un electromagnsto se muestra en lafig. 6-25. Es el mismo al de la fig. 5-27
excepto porque en el presente cago la armadura está enganchada a un
soporte fijo por un resorte cuya rigidez es X. La maga de la armadura es
M. Latricción entre elnicleoy Ja armadura es B.. La bobina da excitación
se conscta 2 una fuente de voltaje v,(f). La corriente en la bobina de ex-
citación de N vueltas so representa por if) EI movimiento de la armadura
eth restringido a la dirección horizontal. EL desplasamiento variable es

PL Un tone PIO lis nr.

(8), La resistencia R mostrada engérie con La bobina de excitación Incluyo
la resistencia de Ja bovina, El voltajo inducido en la bobina de excitación
CE

En el capítulo 5, se mortré (supontendo que toda la energía se almacena
‘en el entrehterro del electromagneto y por 10 tanto el sistema magnético on

332. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 29

lineal), que Ja fuerza de atracción ejercida por el campo magnético en la
armadura está dada por

poa mo,

donde la longitud del entrohterro c está medida en la dirección de la fuerza
restringente la cual sostiene a la armadura en posición separada de la
cara polar del núcleo por un entrehterro. .£(c) ea la inductancia de la
bobine.

El voltaje inducido en 1a bobina debido al movimento de la armadura
y el consecuente cambio en flujo y en inductancia está dada por

4
Ati

«0-2.

Lo + 10 duo

4

al de

om con

ei A
PAEZ «on

donde N es el númaro de vueltas da la bobina de excitación, A en el área
de la sección transversal del entrebierro y c na la Jongiind del entre
hierro. La inductancia dismimye conforme se incrementa c.

duo
Le. (625

ETE
10230)

La variación de Lici y de dl/de con respecto a c se muestra an la fig.
6-26,

Supongamos que la tensión del resorte se ajuste de manera que el
sistema está en equilibrio estático, con una corriente I, clreslando en la
Bobina. Sea c, 1a longitud del entrehierro en esta posición. Para esta
condicióo de equilibrio estático, las Eco. 6-230 a la 6-284 quedan

(6235)

.
Esta es la fuerza de atracción del campo magnôtico on la armadura, Está
balanceada por la tensión an ol resorte. La fuerza restriogente debida al
resorte es.

(6-236)

333. 320 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMICANICA

ued

2
2
ie bedienen LS

Fie-8- 28 Valine Lie) ¥ de aL /ae con moco 6

El voltaje inducido of os ceropuestoqueno hay movimiento de la armadura
y la corriente es constante a J,. Sin embargo, el voltaje aplicado

eam
won
(6239)

(6-200)

Sustituyendo de la Ee. 6-239(4L/dc/|coenlas Kes. 6-235 y 6-238, obtenemos

se
(y= Y Bs um

; 1 AM)

. 1 AM 0

Fe (my

El signo menos am la Ec, 69241 indica que fie, tends a decrecer a El
término File) lende a Incrementar 0 a mantener el valor de c.

“Supongamos que 1a armadura pierde su posloión de equilibrio estático

por un pequeno desplazamiento bc. Este desplazamiento puede supongrse

334. Ecuseiones Dinámicas de Sisiomas Lineales 321

etectuado por un pequeño cambio Ai en la corriente. El cambio incremental
en el desplazamiento afecta los valores de la inductancia L y de sus
deriradas en vista de que son funclones de c. Supongamos que los corres
pondientes cambios de L,dL/4e y d2L/dc* sean AL, ML: GAL), respec
tivamente,

Para pequeños cambios (perturbaciones) alrededor de c,, lasporcionea
de tas curvas de la fig. 8-26 pueden considerarse como líneas rectas. En
otras palabras, las hipotenusas de los triéngulos rectáogulos curvilíneos

tude ein mo ca va E gots ios 8 oe
Be ER
Co
2
Game tk em
eu
nao oe

Los valores modificados o "perturbados" de las variables dependientes (ti
y eft son

Weyer win

Los valores "porturhadon" de la inductancta L y sus derivados son

26 = Le + b+ te + Le ex
4.4 eus
Podemos (zan tna rota

como el término de segundo orden (611*es muy pequeño se puede despreciar.
Las ecuaciones diferenciales para el desplazamiento incremental de la
armadura del punto de equilibrio estático, pueden obtenerse al sustituir
los valores perturbados de las variables c(t) e 44) dadas en la Ee. 0.244
y las expresiones de Lie) y 4L/de dadas en las Eos. 5.245 y 8-246 en las
Eos. 6-230 y 8-231, Tomemos primero la Ec. 8-230

335. 322 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

LEA + RCE] Gas quo S|
rat à LÉ mem,

PL
+l aan em

Despreciando el último término del lado derecho de la Ec. 6-248, puesto
que involucra sl producto de M y dc y es por lo tanto muy pequeño, y
sustituyendo (dL/4c) | ce de la Eo. 6-290 (d*L/do* les de la Eo. 6-260
obtenemos:

EJ signo menos indica que la fuerza está actuando en 1a dirección dscre-
ciente de ©. Podemos escribir / = -/? donde

E Pato Kan Ham He o à Lt ad es

Nétaso que al primer término del lado derecho de la Ec. 6-250 us F (ey)
de acuerdo con la Be. 6-242.

Se traza un diagrama de cuerpo bre de la armadura, mostrando las
fuerzas clnéticas que en ela actían durante el movimiento Incremental

js.
Lure
r mn, CT)
[pee

IFILE-27 rane de eo lore le Fig. 0-28 ar un lozamíamo Inc
e eel uen”

(wer fig. 6-21). Aplicando a la armadura la segunda ley de Newton 6 el
principio de D'Alambert, obtenemos

a 4
Lo + Ln + GO +7 Fale) (625

336. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 323

Surituyendo 71 de la Ec, 6-250 y observando que

# = we Fes)

de la Be, 6-242, entonces La Be, 6-251 queda

PCR a

a

Lo rag = BA a Le un

(6252)
Kabinen

(6259)

la amamos rigidez efectiva y si reemplasamos Ge por ¢ y dt por i, la

fey ahs ke
PI
a

£ 0 (6250

donde

2Feles) an

La ecuación 8-254 solo es válida para pequeños valores de c y de i.
Similarmente, partiendo de la Ee. 0-231 y sustituyendo log pertur-
ados de c(t, 10, Lie y dl/de en ella, obtenemos

tot bé

= [to + cof un + om of + LA oo]

2 unt 8) er

Los tros términoa de La Ee. 6-256 son despreciables puesto que involueran
productos de Si y de Sc y consecuentemente son muy pequeños.

337. ‘ CONVERSION DE ENERGIA SLECTROMECANICA

Sustituyendo (dL/de) | co de la Be. 8-22 y reemplazando 80 por € y
IN por i. La Ee, 6-256 queda

Esta ecuación es vélida sólo para pequeños valores dec y del, Usando
la relación de la Ec. 6-242, la Ec. 6-257 puede escribirse

wo «tn le)

aw Med

ae obtiene de la Ec. 6-255. Tenemos también la relación

nek) = ROL) + a (0259

Lan Hea, 6-254, 6-250 y 6-259 constituyan un modelo matemético del
sistema aloctromecánlco de a fig. 6-25.

"analogía Eidotrica del Sistema Electomocinico. So ha encontrado
con frectoncla que as convesientetranar analogías eléctricas de los siaternan
Stectromecinicoa, especialmente ai los Sistemas van a ser simulados en st
faboratorio o enteblecidos en una computadora analógica. La selección de
ino analogías as, restringida porque las ecuaciones diferenciales de lon
transcuctares slectromecinicos no tienen simetrfa En sus términos de
Scopluiento. Por ejemplo, un examen de Jas Bes, 6-254 y 6-250 muestra.
que mientras a €s comin à amas souaciones, los signos de los tárminos
de acoplamiento ai en 1a Ec. 8-28 y =a(de/d0 en la Be. 6-298 no son los
miemos. La presencia de los términos de acoplamiento, meteren la nece-
Saad de un tranaformador ideal enla analogía eléctrica. La dimensión ce
idos dy en 1a Eo. 6-290 ea la de volao, in cual sugtere que deberá usarse
la analogía en base de nodos (tabla 6-4). El signo negativo de la Ee, 6-258

ie A eri li ol romane ai Fi 28 e e ca

338. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 328

no presenta ninguna dificultad porque de/d! an análogo a un voltaje. Una
analogía sn base de nodos se muestra en ta tig. 8-28.

Por otro lado, no es posible trazar una analogía eléctrica para a1 3
tema usando la base de mallas (tabla 6-3)para la parte mecánica, sin hacer
nogativa la relación de vueltag del transformador Ideal, lo cual 20 a
folcamente realizable, Se invita al lector a resolver los detalles 7 2 cone
Tencorsa que este ou realmente al caso.

El transformador deal de la fig. 0-28 puede ellminarse transtirtendo
los parámetros dal lado derecho del transformador ¡deal al lado laquierdo,
La analogía slmplificada se muestra on a fig, 6-29

nou
son 5 u a
of >

e420 > Analia oder de la Pig 6-8 cn à reefer ut ri.

Ecuaciones Transformndas de los Sistemas Electromocánicos. Los
valores inlolales de las variables incrementales ce ten las Eva, 6-254,
8-258 y 6-250 ae pueden suponer que valencero, puesto que estas acuaciones

sscriven el movimiento incremental del alstemaa partir de una postolón de
equilibrio estático. También se puede guponer que las derivadas de las
variables son iguales a cero, Tomando las transformadas de Laplace de laa
tres ecuaciones para condiciones iniolales cero, obtenemos

1 = a wo
Els) = sLi@)IG) - ach) (6-261)
(Ms? + Bs + K)C(5) + alls)
= s€(s)Zals) + all) (6-262)
amis
zum, 0m

Combinando las Eon, 6-260 y 6-281, obtenemos

Hs) = ZU) - sch) (6-264)

339. 326 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ZU) = B+ shies) 16-265)

Las siguientes funciones de transtorencia se obtienen fácilmente de las

Bon. 8-262 y 6-204
su) e

= (62

Wis) Zus)Zub) + en

’ =

LY Eee) (sn

VG)” zz +e

St está dada la entrada ¥, (3 y se conoce la posición de la armadura en
equilibrio, las Ea. 0.260 y 6-267 se pueden usar para obtener expresiones:
para la velocidad de la armadura y la corriente on la bobina, para des-
Plazaralentos tnorementales

Ernaciones de Estado de los Sistemas Electromecdnvos. Hay tres
elementos de almacenamiento de onergía: la bobina de excitación, el re-
orte y la armadura, Se requieren tres variables de estado, Sea

xl) =) Corriente en la bobina
210) = ete) > desplazamiento del resorte (6268)

de
200 = À velocidad de In masa

Las tres ecuaciones de ostado se obtienen da las Bos. 6-254, 8.258, 6-250

y 65-268. Combinando las Eos. 8-258 y 6-259, obtenemos

(9 ORAL
WO = HOR + U

Sustituyendo las variables de estado y reagrupando, obtenemos

de A a 2)
Te (6-26)

La Ee, 6-268 produce

(«m

340. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 327

Sustituyendo las variables de estado en la Ec. 6-254 y reagrupando,
obtenemos

ea KE, 8
E --roEnla (“m

En la forma matricial las ocuaelones de estado quedan

ñ
a Tei} |") | ae
de 0 "(0
el" 0 o 1 ie +10 “(0
de

“ lu] L°

(6-272)

Tomando las tranaformataa de Laplace de las Eon, 6-260, 6-270 y 8-271 y
“suponiendo condiciones inictales cero, obtenemos

R A
se «Elie
* Tel Ten} |
o 5 2 [ase] = m
“ x 2
& om te] [sm] Le

0 fácil demostrar que la Ec.
‘cuaciones convencionales, Por ejemplo, resolvieado por la regla de Cra-
mer, obtenemos

ak)

Ke eo _
er Zi)Zuis) + a

(6-274)

La cual produce el mismo resultado que la Ee. 6-268 puesto que Kyle) « sC
@.

El olstema electromecánico mostrado enlatig. 8-26 puede considerarae
‘como una representación de paramétros concentrados de ciertos dispositivos
prácticos tales como micrófonos de bobina móvil y receptoros telefónicos,
de suerte que la derivación del modelo matemático dé estos dispositivos para.
desplazamientos incrementales pueden conducirae a lo largo de las Iineas
del elem. 8-8. El lector tendrá la oportunidad de ensayar este procedimiento
en algunos de los problemas al final de esto capítulo.

May otros dispositivos prácticos los cuales hacen uso de un campo
eléctrico como medio de acoplamiento en lugar de un campo magnético;
micrófonos de capacitoresy magnavocus son ejemplos de estos dispositivos.

341. ses CONVERSION DE ENERGIA ELEC TUOMECANICA
El procedimiesto para obtener su modelo matemático es simular ai des-
exito an el elem. 6-8. La principal dificultad en todos estos casos depende
ex obtener una ropreseuracin de parámetros Sonccatrados del dispositivo
real. Una vez que se ha hecho esto, ertonces la derivacién del modelo
matemático para cargas incrementales de las variables dependientes no es
muy Gisfcii. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para der:var el
modelo matemático de un transtuctor electrostático,

EJEMPLO 6-8. Sistema Electromecánico con Acoplamiento de Campo
Eléctrico, Se muestra en la lig. 6-30un transductor electrostática capaz
de convertir presión mecánica en señales eléctricas. Puede considerarse
como una versión simplificada de un micrófono de capaeitnres, en el cual
la presión mecánica es originada por ondas de sonido chocando con el
diatragma,

rifcio de scan de a

A

N

Bargas metálico eibmieo

N

ij}

ren

i 4

Seton net écris }

Pa. 8:30 Un transductor ecroriic pars conver prior macknk er ai ideen

La parte mecánica del transductor mostrado en la fig. 8-30 consiste
de un recipiente metálico leno de aire. Los lados cortos del recipiente
son aisladores. El fondo'es rígido. El lado frontal as un diafragma metálico
el cual se deforma cuando actian en él fuerzas metálicas, pero el dfafragma
as sufleientemente elástico para recobrar su forma original cuando no
existen fuerzas actuando en al. El aire que se encuentra en la parte de atrás
del dlafragma dentro del recipiente tiene un efecto de amortiguamiento en.
las fuerzas. La onergía ea disipada como calor conforme se va permitiendo
que el aire escape a través de pequeños hoyos en el plato fo. Como una

342. Lomgwnes mens de Sesi=mmis Linenies 229

erwimactän. el dias side sonsiderarse como ut

feo corsistemte de usa masa, um resorte y Un amortiguador y su
miento ss asional

rade, constituyen un capacitor
de placas una función del desplazamiento
mecánico ar! atateagma,

La pare eléctrica del transductor consiste de una fuente de valtaje
de nd. E y an resistor A en sorte, Como se mostrará la caída de voltaje
a través de. resistor depende del movimiento del diafragma y por lo tanto
es una merk. de la salida del transductor.

Fu ads Fi)

E

Bey +

a 0-21 Perkmano autant dere m rod

Como unprimer paso para obtener un modelo matemático del transductor
electrostático, es conveniente representar al transductor con un sistema
electromecánico de parámetros concentrados equivalente, con elementos
diseretos ideales. Este sistema se muestra enla ig. 8-31. Puede mostrarse
que le capacitaacia © del capacitor de placas paralelas es

. ern

secciin 24 cepreseotard à las capaces sortable, Pars ear Samen tre

343. am CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

donde à es el área de la sección transversal de las placas, €, la constante
dteléctrica del alre entre las dos placas y x en la distancia de separación
entre placas.

En el sistema mks, A está an metros cuadrados, x en metro
(1. 3641 x 10-* farads por metro y C está en farads,

Si un capacitor C se conecta a una fuente de voltajo @, (1), la corriente
en el capacitor es C(de ./d1 y la energía almacenada

DEP EE «ro
Puesto que la carga 44 = Ca,

or

joa
at

Lee, 16m)

El campo eléctrico establecido por E; en la región entre las placas
elerce una fuerza de atracción en las placas y tiende a juntarlas. Es
necesario una fuerza restringente para mantener la soparación de las placas.
Esta tuerza puede calcularse aplicando el principio del desplazamiento
‘virtual al capacitor de placas paralelas.

Suponga que el capacitor está llevando una carga constant Q. La energía

e

me
E

,
7
de

ce

SL ahora la separación de las placas so incromenta de por una fuerza
externa Fu, entoncas, de las consideraciones de balance de energía, el
trabajo mecánico hecho es balanceado por el cambio wn la energía almace-
nada. Esto es,

Ends + a

donde Q/C

fae tes es

344. Ecuaciones Omámicas de Sistemas Lineales an
Que esta fuerza extema Fu es verdaderamente una fuerza restringente,
Actuando en la dirección del Incremento de x, se ve del hecho de que La
pacltanela C. decrece conforme x se iacrementay por lo tanto dC/de
es negativa. Diferenclando ambos lados daga Ec. 6-275,

E tem
aoe

Diferenctando mevamente,
ee, 2
EC, Me 16230)
= a

om

La fuerza de atracción del campo eléctrico es

La
Le an
?

pears,

Las variaciones de C y dC/dxcon rempecto a x se muestran en la tig. 6-32

æ
oe 4 z

Persien E

8:32 Vatclôn au Cindy ae AC eon raat 5.

345. Be CONTERSION DE ENBUGÍA ELECTROMECANICA
sardo al transdustor electrogtático, supongamos que la separación
entre lag placas es x, cuando no existe fuerza oxteraa ueruando en a
placa movible. La fuerza de atracción del campo eléctrico estableelda
por best balanceada por la elasticidad del diafragma (compresión del
Fesorve K en la fig. 6-31)

La fuerza de reacción del resorte en la dirección del inoremento de x
se obtiene substituyendo x=x0 y e, = Eu en la Eo, 6-282.

wed Eh
Pang) q LES ony

La caída de voltaje a través del resistor R es cero en este estado de
equilibrio, porque en estado establo no otroula corriente por el capacitor
resistor, Los valores de los diferentes parámetros y variables

a
AA
Capucacia Ci) « Ls és
del da
4-4 en
Pi Pe
carp dl) = cu) tam
Vo aient = et) = 6 ea
Vale see = ela) = 0 eam
Contain 16) 0 pe

Supongamos que la placa móvil del capacitor en la Hg. 6-31, se
desplaza una pequeña distancia de de 1a poslolón de equilibrio estático
Gebido a una fuerza externa Fi. Dependiendo de Fit, & será positiva o
negativa. Por consistencia matemólica, se supondrá que es ponitiva. Este
camblo incremental en x ocasiona cambios correspondientes en las otras
variables y gus dertvadas, Estos valores quedan

Desplazamiento x = £o + Se ern
Voltaje de salia ex = 0 + den 29101

Volta a trivts del capacitor e, = Ey + de, We
Corrente (= 0 + di 62918,

Capactancia Cixi = Co) + sc 218

CT

Carta QU) = Dra) + $0 sn

346. raciones Dinémicas de Sistemas Lunszies #3

Los cambies se . M, ele, se punden exprisaren términos de Ax y Seq, las
dos variables inerementales las eualeg son de primordial interés.

“Observando las polaridades do E ~ fe, en la fig. 9-31, se ve ffeil
monte que

Bee des oma

Wee m

suponiendo la dirección positiva para i como se muestra en la fig. 6-31.

isuendo el procedimiento usado en el ejemplo anterior, los cambios
em Cixi y dC/dz se puede obtener como una primera aproximación de la
fig. 8-32

ac El (oe) cmo
neo ES) m Lan ama

80 = Ole) = 2x) = (Etre) - QU)

{es + wafer + | ox] - ao

= fis» ol de)

1a qual (despreclando los productos de dx y 52, ) se reduce a

un
so if) (oe oom
A u
muon ao ee]

347. 334 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La ecuaciôn dinámica para la parte mecánica se obriene aplicando la segunda
ley de Newton 0 el principio de D'Alembert a la masa M en la fig. 6-31.
Antesquehagamosesto, obtengamos una expresión para la fuerza de atrao-
ción, ejercida por el campo eléctrico en las placas durante el desplaza-
malento incremental de 1a posición de equílibrio estático. Esta se obtiene
sustituyendo los valores perturbados de las variables en la ecuación

(6295,

(Ver Eos, 6-279 y 8-283), Sustituyendo los valores perturbados de e, y de
dC/de enla Eo. 8-205, obtenemos para la fuerza de atracción,

Aye, + sean (El
satus + wll

LER + Ge + 261 (~
= Li eve sea (

la cual (despreciando 198 términos de segundo orden que fera los
productos de de y de deg) 96 reduce

Lea mEl e.
nei Men) 6

‘medida en 1a'dlrección del incremento de x, El signo negativo eoafirma que
Í es una fuerza de atracción tendiendo a dlamimulr la separación entre las
placas. Es conveniente escribir

«m
onde
+ 6 dites) ow

está actuando en la dirección del deorecimiento de x.

‘Un diagrama de cuerpo libre de la masa M de la (lg. 6-21 9e muestra
en la fig. 6-33, Están'indicadas todas las fuerzas cinéticas que actían en
la masa La fuerza externa F(t, ocasionada, por ejemplo, por ondas de
sonido que chocan en el dlafragma de la fig. 8-30, está actuando en la
dirección del decrecimiento de x. Las fuerzas de reacción internas están
proporcionadas por el resorte y el amortiguador, La compresión inieial del
rasorte ax, provee una fuerza contuctora F,(xq) en la dirección del incre-
mento de x,

348. Ecuociones Dinámicas de Sistemas Lineales ES

Fe

nu —
Porc FU

A

agen 4

39 Plomo de ctr dre dt dolar Irre de ameno Mi fi.

SE parta o vale eon

Aicando 1a seguna ly de Newton o ei pice de D'Alambert
CODEC ONE TETE TE kee amy

Haciendo notar que el primer término de /' dada on la Ec. 6-208 os Fr.
ar (ver la Ec. 6-294). 1a Be, 6-299 se simplifica à

# a Lo x) di
Go + Dax + a tee le Lie alan 6A sey
COLE TETE (e Sas CE LES)

(6300)

Las Eos. 6-294 y 6-300 son las ecuaciones dinámicas del transductor paca
un desplazamiento ineremental.

Por convenlencia y facilidad de notación en esta parte podemos
reemplazar 6x por £, x y Cody" por 0,0n las ecs. 6-284, obteniendo

(on

Y
on

onde
630)

Analogia Eléctrien del Transductor Flectrostétiro. Las ecuaciones
disarenciales 6-301 y 8-302 carecen de simetria e: sus terminos de acopla=
miento. La selección dela analogía enbase de mallas para la parte mecánica
#3 salisfactoria porque el término de acoplamiento - a,e_() tiene la
dimensión y signo apropiacos de suerte que puede ¿Sarge un tPanstormador.

349. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

4. Um
sleetrast
ital.

elación de vueltas positiva, Tat analogía se mussten en la fi,
Deia 7 hase de nodos no puede rrázarso para al transductor
5 sin hacer negativa la relación de vuritas del transformador.

La analogía en la fig. 6-34 puede simplificarse eliminando al trans-
tarmador ideal. La analogía stmeliflcada se muestra en la fig. 8-35.

6-94 Us emdogie seules dt gucci (dam.

Se ig

Hu

jones Tras formados del Trantduttor Elverrustático Tomando
las transformadas de Laplace de ambos lados de las Ecs. 6-301 y 6-202 y

suporiendo valores iniciales cero para las variables inerementales x y €,
obtenemos

VAN ENO — art = 0 (6-708)
ENS + Zur =

su) 6
donde

A tate meres (en

350. Ecuacionas Dinémicas de Sistemas Lineales 357

Por la regla de Cramer, se oblienen las siguientes funciones de transteren-

run
re (6.307
NEY Y ‚won

y
(6-308)

“Fin” Fiza) + at

La entrada Fiss es la transformada de Laplace de la función de tiempo
Fu. da cual es la fuerza mecánica generada, por elemplo, por ondas
1» Smido chocando on el diafragma. SL F(t) os conocida, entoncos el voltaje
de salida e,/t) puede obtenerse de la Ec. 6-208. El signa negativo en las
Bes. 6-407 y 8-308 se produce porque se supone que la dirección de Fit)
ds tal que hace decrecer x, el desplazamiento variable,

Ecuaciones de Estado del Teausduetor. El procedimiento para obte-
ser las ecuaciones de estado del transductor es el mismo al visto en el
ejemplo anterior. Hay tres elementos de almacenamiento de energía, a saber:
la masa MM del chafragma, la elasticidad X del diafragma y la capacitancia.
CH entre el diafragma y la placa fin. Las variables de estado son

“e
un Fun re (630

Las Ecuaciones de estado se obtienen de las Eos, 6-301, 8-302 y 6-300,
De la Ee. 8-308, obtenemos.

CE cm
be a 8,602, oenemen

HBr, Kn = at) = Fin

de _K a a Fo
DE to Ba = on

De la Ec. 6-301. obtenemos

ca - 20
use) LE + Chay BE a

de, En)
ET REN - Cane

CE)

Fu forma matricial, las Eca. 6-310, 6-311 y 6-312 quedan

351. a E o, o au] Fo
rl ed wo] bE] eu eat
ol Le
eal zoe}

‘Tomaudo las sransformadas de Laplace de las Eos, 8-310, 6-311 y 8-312
isupamendo condiciones intciales cero), obtenemos

à » Kr o
Em r
ran} in
1
Lot °
El determinante
Rz + a] (6315)

a)
Usando la regle de Cramer, as sencitlo mostrar que la Ee. 8-314 proporciona
iguales resultados que las Eca. 6-304 y 8-805.
PROBLEMAS
6-1. Para la red eléctrica Uincalmostrada enla figura que 29 acompaña,

Pa an el dominio de la variable tiempo a) el sistema de seuaciones
de mallas, b) el sistema de ecuaciones nodales ÿ c) las ecuaciones de estado.

eros

352. Ecuaciones Dindmicas de Sistemas Lineates 339

8-2. Suponiendo que los valores iniciales de a corriente del inductor
y de los voltajes del capacitor son cero en el sircuito mostrado en la fig
prob. 6-1, obtenga la función de transferencia Y", (5,7 V, (81 por eh método.
e determinantes.
8-3. En la red mostrada en la figura que se acompaña, las capacitan-
las no tenen inicialmente ninguna carga. Se aplicaun voltaje v(t) ala reda
0, Para >0,4,(0=20 volts y para 1<0, v,(00, Encuentre la Corriente en
la resistencia A, como en el dominio de la variable tiempo. ¿Cuál es el
valor en estado estable de la corriente en A, Y mal en el voltaje en estado
estable a través de Ra?

Area CRT
{+

Gr Sen

vin

Pron 63

8-4. Para cada uno de los sistemas mecánicos Moealos mostrados en
la figera que so acompaña, 0) escriba laa ecuaciones diferenciales en forma.
convencional en el dominio de la variable tiempo y b) Trace las analogías
eléctricas en base de nodos y de mallas.

la

o

©

353. 2 CONTERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

rin

Pom 64

45, Para cada uno de los sistemas mecánicos mostrados en la fig.
dei prob. 8-4, suponga condiciones iniciales cero y obtenga las ecuaciones
transformadas en forma matricial. Eserfoa las funciones de transferencia
de las variables del desplazamiento y de la fuerza, No es necesario
desarrollar los determinantes,

6-8. Para cada Uno de los sistemas en la fig. del prob 8-4 escriba las
ecuaciones de estado a) en el dominiodela variable tiempo y 2) en términos
de transformadas de Laplace. Suponga condiciones iniciales cero. En b)
escriba las ecuaciones transformadas en forma matricial.

8-7. Una barra perfectamente rígida (rigldezK ~ =) puedo girar en un
pivote como se muestra en la figura que se acompaña. a) Escriba las
ecuaciones diferenciales del sistema b) Trace las analogías eléctricas en

354. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales 34

hase de mallas y de nodos. Supongaque los desplazamientos son suficiente-
mento pequeños de suerte que pueden considerarse verticales y la rotación
de la narra rígida puede despraciarse,

(4-8. Para el sistema mecánico mostrado en 1a figura que se acompaña.
as Escriba las ecuaciones de estado en el domino de la variable tempo. D)
Suponiendo condiciones iniciales cero, escriba las ecuaciones de estado con
transformadas de Laplace on forma matrictal. ©) Por el método de deter-
minantes. obrenga las expresiones de las variables de estado transtormadas.
No es necesario desarrollar Ins determinantes

%

rin A

6-9. En el prob. 6-8 suponga los siguientes valores numéricos en el
sistema mks, y para condiciones Inielales cero obtenga una expresión
para la velocidad de la masa M como en el dominio de la variable tiempo.
M, = 1, Bi = Ly Ky 008; Ma =2, Ka = 2, Fitlal0 parat >0 y FD -0
para t<o. Refigrase a la tabla 6-1 paralas dimensiones de Jos parámetros.

355. CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

6-10. Para el sistema mecánico rotacional mostrado en la figura que
se acompaña, as 2scriba las ecuaciones diferenciales en el dominio de la
varíable tiempo. 3 Trace dos analogías eléetrieas, vc) escriba las ecuacio-
nes de estado en el dominio de la variable tiempo. Los momentos de inercia
y fricción de los engranes pueden despreciarse, Pueden suponerse rígidas
las flechas IK-=).

“8-11. Para elsistemade la figura del problema 6-10, obtenga la función
de transferencia 5:182/ T,(s,, donde %(s) es la transformada de Laplace
de 2,/t, la velocidad de la masa J, y donde T, es al par de entrada

8-12. Un sistema mecánico rotacional se muestra en la figura que se
acompaña Consiste de dos cilindros, uno dentro del otro. La fricción
entre ellos es 2, Eleilindro interior es sólido y tiene un momento de inercia
a: el cilindro exterior es hueco y su momento de inercia es Jz, Los radios
Son ra y rı respectivamente.

Se aplica un par T como se muestra on la figura, 0) Escriba las ecuaciones
Aiferenciales del sistema en el dominio de la variable tempo. 6) Trace
una analogía eléctrica en base de mallas c) Encuentro la relación entre las
transformadas de Laplace de las velocidades de loa dos Cilindros, En atras
palabras, encuentre la función de transferencia N, (5)/ dafsr, donde (8)
es la transformada de Laplace de w(t, velocidad del cilindro J, y donde
206) es la transformada de Laplace de ua), velocidad del cilindro J,
8-18. Una forma modificada del sistema electromecánico de Ja 11.
5-25 se muestra en la figura que 9e acompaña, Suponga los siguientes
valores mumóricos cn ol alstema mks (vor tabla 6-1: M=0.5; 8=0.150.1;
Monde 210 Ani0%m*:No200; y Cax2 cm. La longitud del entrehlerro as
2.8 cm. cuando ¡/0=0s Encuentre el voltaje inducido en la bobina ei la
velocidad de la armadura debida a una Fi) exterra es u(Y=200- sen 3772
Siga el procedimiento descrito en el texto y obtenga las relaciones para el
desplazamiento incremental
8-14, Una masa M se desliza a lo largo de dos barras verticales. Su
movimiento es restringido por un resorte cuya rigidez es X. La fricción
entre la masa y las barras es despreciable. La combinación de la masa y

356. Ecuaciones Dinámicas de Sistemas Lineales us

an

Pron. 6

las barras forma un circulto eléctrico de reststencta R y esta conectado
2 través de una fuente de voltaje 0 (9 como se muestra en la figura que se
acompaña, Un campo magnéticode densidad de flujo constante 2, existe entre
las barras en la dirección mostrada. La fuente está iniclalmente de
conectada del sistema y ol sistema eat en reposo. Un voltaje ¢,(t) es
aplicado al sistema a 4-0. La velocidad de la masa es MO. a) Supontendo
que el sistema es lineal, obtenga las ecuaciones diferencíales que relacionen
la velocidad de la masa, el voltaje e,() y la corriente en la bobina, $)
Trace una analogía eléctrica del sistema electromecánico. cy Suponiendo
condiciones inieiales cero, derive la función de transferencia 718) / E (sI
doode V(s, es la tranaformada de Laplace de la velocidad wi). d) Obtenga
la impedancia de entrada del sistema E,(8)/ IQ.

6-13. El transductor electromecánico en la figura que se acompaña
puede considerarse como ura representación con parámetros concentrados
de un brazo de un tocadiscos del tipo magnético. lat fuerza mecánica creada
por la aguja al seguir las ranuras en el disco, os convertída en una señal
eléctrica por el movimiento de la vobina en el campo magnético de un
magneto permanente. El movimiento de la bobina puede suponerse vertical.
La bobina tiene „N vueltas y la longitud media de cada vuelta es J, La donsl-
dad de flujo constante en el entrehlerroesA,. La bobina riens una rasisten-
cla R y una inductancia L. El voltaje de salida de la bobina es art) y la

357. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

L- a camo

corriente es if. a Escriba las ecuaciones diferenciales del sistema en el
dominio de la variable tiempo para el desplazamiento Incremental. 5)
Suponiendo oondielones iniolales cero, derive la función de transterencta
1(31/ Fis) del sistema. c)Traceuna analogía eléctrica del sistema. d) Escriba
las ecuaciones de estado del sistema en términos de transformadas de La
place, Suponga condicionrs intctales cero.

8-18. En el sistema translacional mecánico mostrado en la fig. 6-8
(a), suponga que el resorte 98 retira, la masa os movida bajo La acción de
una fuerza externa y la única restrictoraea provista por la fricción viscosa,
Obtenga expresiones para la respuesta del sistema cuando está sujeto a una
tunción escalón unitaria de entrada A,uf). Suponga condiciones iniciales

359. copine 7

Representacién Grafica
de Sistemas Electromecánicos

ramos de Bloques de Sistemas Linstes

Con objeto de llevar a efecto el análisis de un sistema ffsico, primero
debemos comprender los papeles da lan diferentes componentes del sistema
y la interacción de sus diferentes variables, Un primer paso, necesarto con
objeto de alcanzar este objetivo, es trazar un diagrama esquemático del
sistema. En el caso de un sistema simple con pocas componentes, se puede
obtener un diagrama esquemático mostrando la interconexión de las compo=
mentes infividsales. Sin exbargo, ente método Llega a ser poco efictente
y complicado si el alstema tions varias componentes y más de un grado de
Ubertad. Por ejemplo, todon nosotros estamos (amiliari2ados con la com=
plojidad de conexiones entre las componentes de un radio receptor. Mien-
tras ea enenctal un diagrama detallado de conexiones al técnico que está
ensamblado el receptor, se encuentra que eg mia GM un diagrama con
‘menos detalles para muchos otros propósitos, Tal representación se ob-
ken agrupando las diferentes componentes de acuerdo a la función que
ejecutan y representando cada grupo por wa caja o bloque. Loa diferentes
bloques se interconectan apropiadamente para indicar la interacción entre
ellos. Se muestra una representación en diagrama de bloques de un radio
receptor en la fig. 7-1,

Es cuestión del ingentero escoger la complejidad de un diagrama de
bloques, pero es abrio que un diagrama de bloques que ext muy detallado
pierde su propósito y utilidad.

‘Si va a ser de utilidad en lou análisis, on un dlagrama de bloques de un
sistema tílco, la función efecutada por cada bloque deberá ser capaz de
describirse on términos matemáticos. Como cada bloque tendrá cuando me-
nos una entrada y salida, la relación de entrada-sal1da puede servir como la
descripción del bloque. En el caso de olstemas linealos, La relación entrada-
Salida se axpresa como una función de transterencta, la cual 69 definida en
el capítulo 8 como la relación de la transformada de Laplace de la salida,
2 la tranaformada de Laplace de la entrada, con las condiciones iniciales del
sistema fijadas encero. Gada bloque en el dtagrama de bloques de un sistema
lineal ge describe por su función de transferencia. El procedimiento para
trazar diagramas de bloques se describirá por medio de algunos ejemplos.

EJEMPLO 7-1. Diagrama de Bloques deuna Red Eléctrica. Considers la
red eléctrica Lineal de la fig. 8-3. SL 1,1 e 4,(0 se toman como las salidas
y v(t) como la entrada, las funciones de transferencia se obtienen de las

360. Representación Gráfica de Sistemas Electromecénicos sr

PTE

Er

PTA Un pace Dun dem mu

Een. 6-25 y 6-27. Para condiciones iniciales cero, estas scuaciones quedan

ACTES iR
COG Fes en
6:6) = De re a

Wa TT

Un diagrama de bloques dea red, basado on las Eca, 7-1 y 7-26 muestra
on la fig. 7-2. El punto À en la fig. 7-2 en llamado punto de arranque. La

| nt
comes ED
a .
vis) CE
ces Tis)

PU ja F2.

361. GIA ELECTROMECANICA

senal en cada rama de salida de un punto de arranque as la misma que la
Señal de entrada. Este diagrama de bloques no muestra la Interacción entre
135 dos salidas. Se puede obtener un diagrama de bloques más significativo
regresando a las Ses, 6-22 7 6-23. Si las condiciones tnictates se fian en
cero, estas ecuaciones pueden reescribirae como

yy = LOL (Us oh es

Pe
zum macro l es

Y h
‚cn

nn» Bee 7
Za os

donde
zur oa

Un diagrama de bloques basado en las Res, 7-3 y 7-5 so muestra en a fi.
7-3. El punto 2 on La fig. 7-3 09 un punto "de suma”, Las señales se suman
© restan en el mmo de suma La suma de dos o más señales 2e indica
on signos positivos, y la resta se Indica con signos negativos.

re
Bau a

rs

73 Ge dame de boues ara si el Ig 6-3.

Manipulaciones del %ugrams de floques. EI diagrama de bloques
de 1a fig. 1-3 puede modificarse como se muestra en la fig, 7-4 (a) y ().
En la parte (a), Is) es la sallda; en La parte b), /,(6) eslasalida, y en
ambos casos la entrada es V/s). Las flechas indiean la dirección del flujo
de la señal o la secuencia de causas y efectos. Una trayectoria que va
desde la entrada a la salida o en asa dirección se Mama trayectoria hacia
adelante o directa, Una trayectoria que va de la salida a la entrada o en

362. Representación Gráfica de Sistemas Blectromecänicos 3

esa dirección se lama trayectoria de retyoclimentación. En la parte (a),
Gis) se Mama función de transjereneia de la trovectoria hacia adelante
HQ) se Mama Auneiön de transferenciado la :rayectoria de retroalimenza-
ción. Las funciones correspondientes en la parte (0) aon 257 y K'(S),
respectivamente, La naturaleza de la retroallmentación es positiva
ambos casos porque las señales se están sumando on el punto "de suma'
Sila señal de retroalimentación de la salida se resta de la señal de entrada,

ere vis) vs sus
> sui Aish
L ma
os
tomas V5) DE) pa
sis) a
ihe aril
OO az
win Bun
wit
o

MW7-4 Oleg de logs mocos na ma dla 2) 66 Tin como
ey {by con RON en a Mr) ele an no eo

se dice que la naturaloza de la rotroaliméntación es negativa. Las funciones
de transferencia £,/61/V(a) # 1,(51/V(9) son Uamadas fiaciones de trans-
Jerancia del anillo cerrado,

Es ti) obtener una expresión para la función de transterencía del
anillo cerrado en términos de las funciones de transferencia de las tra-
yeetorias hacla adelante y de retrcallmentación. Por ejomplo, en La fig. 7-4
(a) tenemos.

.

A) = KG) an

HG) = Mr + HEA) 0

363. 350 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Combinando las Bes. 1-7 y 7-8, obtenemos

Ais) = IMG) + ANGE)

Aw) as)

os
VO” T= Game) e
Sustituyendo Gi y Hs) de La ig 1-4 (a)
lo 141
Yo)" FE TS ela
La cual esla misma que la Ec. 7-1
Simarmente en isfy. 1-4 0,
I = Kuna am
donde
RO = oy + OH) an
Combinande las Bes, 7-11 y 1-12, obtenemos
an
Sustituyendo 06) y Al de La fig. 7-4 (D.
Bo. en

Vis)” Fa Sees

la cual on igual ala Be. 7-2

En la fig, 7-4 (a) sl La entrada se representa por una función arbitraria
Rs) y la salida por C(s) la función de transferencia del anillo cerrado está
dada por

co Su) as

RO)” Tr Gao

done el signo negativo es para slstemas de retroalimentación pasttivos
Y ol signo positivo es para alstemas de retroalimentacién negativos. La
Eo. 1-15 es una relación Importante an el estualo de sistemas de retro»
alimentación.

‘Los dlagramas de bloques para el sistema tranelacional mecánico de la
fig, 6-11 y para el sitema rotacional de la (ig. 6-15 se muestran en las
tig. 7-5 y 1-8 respectivamente.

Se puede mostrar fáctimente que la aplicación de la Ec, 1-15 a estos
diagramas de bloques proporciona expresiones para las funciones de

364. Rapresentacién Gráfica de Sistemas Blectromecánicos 3st

transfereneta Gy (s) / Fi, Gifs / Fish, (0) * Té) aufs) / TG), las
cuales son iguales 2 tas obtenidas en los ejemplos 8-5 y 6-6 en el capitulo
anterior. Los detalles se dejan al lector para que los veríique.

Fi lat

za

4

£
Zoo mys + 8 +
Re

EEE

Fig 74 oran m chum an Dr term maman mino dela

ris R
e Ex

PE
En

ES
EUER Fre

Smit" s+ By

PT Seeman can tt mrt me si
.

No es sencillo obtener las fuzcionos de transferencia de un sistema por

el uso de la Ec. 7-15 sieldiagrama de bloques tiene más de una trayectoria
hacía adelante y de rerroalimentación, y al todos ellos no emplezan y
terminan en el mismo punto. Como un ejemplo de tal caso, considereso el
sistema rotacional con engranes mostrado en la fig. 8-21.

365. 252 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

EJEMPLO 7-2. Diagrama de Bloques del Sistema Mecánico Rotacicnal
de ta fig, 6-21. Reesoribsendo las ecuaciones transformadas, 8-215 a la 3-219

0-16)
onde
2,6 can
TE can
donde
PTE ais
THe can
ants) au
CCE can
donde
Zu = s+ 8 + E a
Ty) = 2 Get - Kb) Cony
donde
Zu her as

Un diagrama de bloques basado an las Eos. 7-16 a la 7-26 se muestra
en la fig, 7-7. La aplicación de la Eo. 7-15 2 este diagrama de bloques como
Se establece no es posible, puesto que Jas funciones de transferenela hacia
Adelante y de retroalimentación no pueden ser identificadas. Han sido pro-
puestos otros métodos para simplificar los dlagramas de bloques moviendo
1 sumando y/o tomando puntos alrededor, hasta que se obtienen los sistemas
de anillos simples del tipo mostrado en la fig. 1-4. Para beneficio del
lector interesado, alguna) de las manipulaciones se muestranen la fig. 1-8,
Para información adicional, el lector puede consultar la literatura citada
El avalßo de las funciones de transferencia de la fig. 1-7 por manipulación
det diagrama no se realizará aquíporque enla siguiente sección se expondrá
un método más fácil y más versét!) usando gráficas de flujo de señales.
Por lamósmarazón, nose trazacán los diagramas de bloques de los sistemas
electromecánicos analizados en el capítulo anterior.

366. Representación Gráfica de Sistemas Electromecánicos 353

aaa rola]
=

ES
@-

8.727 Amormanteiin an clams blau det ern sii rome son

les de los Sistemes Lineales

7-2 Gráficus de Flujo de 5.

Una gráfica de flujo de señales es similar, conceptualmente, aun diagra-
ma de bloques y están estrechamente relacionados, ya que elle también
representa, como el diagrama de bloques 10 hace, el eexuema de la depen»
dencla do variables en un sistema y las diferentes trayectorias del flujo
de señales. 8. J. Mason delMassachusotts Institute of Technology: fué el
primero que lo formuló y presentó, Una gráfica de flujo de señales de un
sistema en más flexible y transmate Información relalivaal fluo de señales.
y a la interacción entre diferentes variables, con más detalles que un
Glagrama de Wloques. El cálculo de las funciones de transferencia de un
sistema complejo llega a ser una labor directs y mecánica debido a la
ispombtlidad de una fórmula general desarrollada por Mason.

La tenica de la gráfica de flujo de señalo puede extenderse para
tomar en cuenta condiciones iniciales y obtener Lo que es conocido como
un diagrama Integral, el cual pueda ser usado fácilmente para simular
en una computadora analógica el sistema que representa la gráfica de Au-
Jo de setales,

Las componentes de una gráfica de flujo de señales son: a) nodos que
representan à las variables en un sistema, tanto conocidas como des-
conocidas, y 5) ramaa que conectan lon diferentes nodos y do asta modo
mmsesian la interacción entre ls rartabes. Coosidéreso sa simple eue

eranten . 026)

Sd Masan "Force Tier Some Properties of Slat Flow Gap, Prctdimeentod
ini, votan ty md 9, Srta 195.7 5, Moron "Pesca Tory > Free
Properties e Signal Plow Graz”, Proceimlenlos del IRE, Volumen 4, nim, Jas 1986,

367. CONVERSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

Pr de [oterams e oque medias

a camaras à | 2H 3,

a == a
mz lante gaara

a commit à

wl a bancs ge arc
rue 6

2 £| enminento
in evermore

"corra rune

Fach Atgunas de ls manipulaciones de un claras de Boquilla son menden
Aigen Ge la. Pa Interac scan, vt 7. D Greta, “task Doro
Necworh Trmslormenien”. Elrnial Enginaring, Von JO, Ne 11.1981

St eae considera como la salida y Y, y Ta como laa entradas, entonces
puede trazarse una gráfica de flujo de señales representando esta ecua-
Sión escogiendo tran najos para representar las variables y conectándolas
‘eon ramas como se muestra en la fig. 7-9

Las camas se Indican por segmentos de linea contínua, Las flechas
indican la dirección del flujo de la señal o tranemisión, En la Ec, 7-26, ¢
fea a] atecto y 7, y Ya las causas. La grállca de flujo de señales representa
está'celación causa-efecto. En una gráfica de flujo de señales, la trans
misión de la señal tHene lugar solamente en Ja direcciôn de las flechas. Los

368. Representación Créfics de Sistemas Electromecánicos ES

IR. 79 Lua Gs toca de Majo de af fur sao Y dee mr

términos 4, y 9, se llaman tronsmitancias de las ramas porque indican
la manera en que y, y ya afectan ac
Constderense las ecuactones

aoe y arg am

donde c, y ca se consideran como entradas y y como la salida. Una repre
sentación gráfica del flujo de señales de estas ecuaciones aa muestra en
1a fig. 7-10. Las figuras 7-9 y 7-10 pueden extenderse a cubrir casos más
gonerales. Esto su muestra on la tig. 7-11) y M).

La fig. 7-11(2) representa una ecuación en la cual la variable cy está
intluenclada por N variables, Y,, r,, ... fe Esta se expresa por la relación

ce = Dear 728)

a: 140 oom grt san de tae ta ra y ann oué

369. 356 CONVERSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

Similarmente la fig. 7-11 ‚bb representa un sistema de ecuaciones en el
qual una entrada Y, influencia ¿13alÍdaSC;, Ta, cie, Esta se expresa por

Ja relación

Ginger Ge Cw Bawls (7-29)

Deben observarse dos puntos en la fig. 7-11 (a) y (0):

1) El valor de una variable representada por un nodo os la Suma de
todas las señales entrando a ese nodo. Una señal entrando a un nodo es igual
AT producto de Ja transmitancta de la rama y la señal representada por al
node donde se origina la rama Por ejemplo, on la fig. 1-11 (al, N señalos
entran al nodo Ge, La señal en la rama i 08 7, Zig

2) Una rama que deja un nodo no cambiá a la variable representada
por el nodo donde se origina la cama, En la fig. 7-11 (D), lasoñalen «|
extremo inicial de cada una de las M ramas #8 Y,

Tas variables en una gráfica de flujo de señales pueden ser funciones
de tiempo, en cuyo Caso las transmitancias represonterán operadores

%

wi wi
Fin 7-11 Grilen dn fj de is de Et 7-20 y 7-23

diferenciales e Integrales y/o constantes. Por ejemplo, a Ke. 7-28 puede
fer de la forma (tomando ¥=3)

eed) =

donde 01, 69, y a, son constantes, Las transmitanctas en la fig. 7-11 (a)
son Fi

Las variables pueden ser funciones de La variable de frecuencia compleja,
esto es, tranaformadas de Laplace de funciones de tiempo. Por ejemplo,

370. Representación Grifica de Sistemas Blectromecánicos a

tomando la transformada de Laplace de la Ec, 1-30 (aupontenda condiciones
inlelales cero) obtenemos

RG)

if aan

Cal) = as) + ar: + 5

Las transmitanelas para este caso son

Guns Gree Gurt

las cuales pueden conslderarse como funciones de transtereneia. El pro-
cedimionto para trazar las gráficas de flujo de sefales será Ilustrado
a continuación por medio de un ejemplo. Se usarän las ecuaciones trans~
formadas de Laplace y as supondrá que las condlolones intolales son cero.

EJEMPLO 7-3. Un sistema lineal es sometido a una entrada 7,(t). Las
salidas que son de interés son cf, Cafl caí0 y cA(b. A contiaunciön se
di el sistema de ecuaciones transformadas, Las condictones inleiales son

CA = Galias) — An(OG + Hat)
CH) = Gas) 1) — HC) + Hats}C ts)
GE) = CUCA + AOC)

CAD = GAGA) + Mal CUA + Gul RL

ean

Como este es al primer ejemplo Hustrando el procedimiento para
trazar gráficas de flujo de señales, setrazaráprimero una gráfica asparada
por cada ecuación Entonces se funtarán las gráficas para obtener la grä-
lea compuesta delsistema completo. Una vez que el lector haya obtenido
safictente habilidad, estará en condiciones de trazar la gráfica “compuesta.
sin necesitar los trazos de las gráficas camponentas.

Los nodos Rs), Ciel, Ca(87, Cats) Y Ca(s) 2e colocan de izquierda a
derecha usando al principio de eausa y efecto. Este arreglo es, solamente,
por conveniencia y claridad, pero no 68 esoncial. Las gráficas de flujo de
señales componentes se muestran en la fig. 7-12 (a) al (d). La gráfica de
flujo de señales compuesta se muestra on la tig. 1-12(0).

7-3 Algunos Definiciones Utiles Reforentes a les Gráficas

de Flujo de Seiten

1) Nodo fuente o de entrada. SI todas las ramas salen de un nodo, y
ninguna entra al mismo, este es Ilamado nodo fuente o de entrada, En ia
fg, 1-12, Rofs) es sl Gatco nodo que satistace la defintetön.

2) Nodo "sumidero" a de salida. Por anatogía, un nodo del cual no sale
ninguna rama ed un nodo "sumidero" o de salida. En la gráfica de flujo de
señales de la fig. 7-12 ninguno de los nodos satistace asta definielén. Pero

371. 358 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

X $

Gia Gal RS A CIA + Mylo)

% 1 Gr 2a
> o,
“He
Ce Gal Ge) HAC © Mets)
io
"
% 4 by ta
É é ES

Gifts Gps Gus Mash Cs!
3 GS
mn

esta carencia no tiene ninguna Importancta, porque cualquier nodo en una
Griftea puede volverse nodo de salida introduciendo la ecuación trivial
G = Ct. En le fig. 1-12 esto significará la introcucción de cuatro nodos
Ahicionalen, Cf, Ca, Ch ¥ CL) conectados por una rama de transmisión
Snitaría a Cy, Ca Cy, Y Ce: respectivamente, Esta Summa se muestra
enla fig. 7-13.

372. Representación Gráfica de Sistemas Electromecénicos 359

Debe aclararse que no es tan sencillo como en el caso anterior, can
vestir los nodos Cy, Cy, C 7 C, en nodos de entrada. La introducción
de los nados fietictos CL. Ci, Ci YC; como nodos de entrada, significará
que el sistema tiene cinco entradas en lugar de una. Tenemos un problema

qa ai Ey

P.7215 Le erotuccin de na ds Heli gto de ieee min de la
CRAN ENS

completamente diferente en mestrasmanos, Elúnico caminopara lograr que
los nodos C,, Ca, Cy y Cy satisfagan la definición de un nodo da entrada,
sin cambiar el problema, es reescribir la Ec. 7-32 y trazar mevamente
la gráfica de flujo de sagales, An entonces, Jon cuatro nodos oo pueden
convartirae al mismo tlempo en nodos de ontrada.

Supongamos que queremos conalderar a C, (s) como la entrada y a Ca(s),
Cat, C,(9) 3 Rofa) como Jas salidas, La Eo. 7-32 we reeucriba como

ld. E
Ru = i + Ha eye) ~ HG e,
uy "ag ca, Geo le Gus)

CU = Gut) CH) - Mate) Cu) + Hal) CAS
CL) = Gy) Culo) + Male) Cola
Cats) = Culo) Ca) + Hal) Cala) + Cote) Role)

03

Obsáruese que ablo la primera ecuación de la Ec. 1-33 en diferente; Lan
otras son iguales a las de la Bo, 7-92, Una gráfica de flojo de señales
basada en la Ec, 7-33 a8 muestra an la fig. 7-14

Frecuentemente surgela necesidad de intercambiar los papeles de las
variables en una gráfica de flajo de señales de un sistema fisteo. Por
ejemplo, el sistema electromecánico mostrado an le tig. 6-30 puedo usarse,
ya sea como un micrófono capacitor o como un magnavor capacitor. En el
primer caso FM), la fuerza mocánica ocasionada por ondas de sonido
chocando en e) dtatragma, es Ja entrada y la señal eléctrica 8,/), la salión.
En el segundo caso, Ja antrada os la señal eléctrica 6, yla salida es la
fuerza mecánica F(t) la cual a mu vez se convierto en ondas de sonido. El
proceso del trazado de una gráfica de flujo de señales, contorme a 108
Papeles combinados de sus variables, se Mama inversión de trayectoria.

373. 360 CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

Pa 7:14 Modificación dam Fig 7 pe Rear Ca) of nodo a na

detintetén de términos útiles en ia aplicación de gritioas de Majo de señales
al andliais de sistemas.

3 Treyoctoria, SÍ dos nodos cualesquiera están conectados pos una s0-
cuencia do tamas unidireccionales, la secuencia de las ramas constitiyo
Ana trayectoria. Sstá permitido atravesar más de una vez el mismo nodo
Guardo de traza una trayectoria. En la fig. 7-13, algunas de las trayectorias
Son Ry CCC, y Cy-CyOsnCy-Ca, Emtaten otras dierentes

4s Trayectoria hacia adelante o directa... Este es un tipo especial de
trayectoria; parto de un nodo de entrada y termisia en un nodo de salida,
Und rosteiceiGn importante es que ningún nodo debe de srurarse más de una
vas. Por ejemplo, de las dos trayectorias en ta fig, 7-12 citadas en la
definición anterior, Ra-C;=CarC=C,-04 ea una trayectoria hacía adelante
porque parte del nodo de entrada A, y termina en el nodo de salida C1.
Por otro lado la otra trayectoria Cy-C4-Cy-Cy-C's no en um trayectoria
hacia adelante por dos razones! C, uocaun nodo de antrad y la trayactoría
atraviesa el nodo C, dos veces, lo cual no está permitido, En la ig, 7-13,
hay otra trayectoria” hacia adelanto entre R, y C2. Esta es A,-C,-C}. Hay
otras tratectortas hacta adelante en a fig. 7-13 si A, 30 considera como la
entrada y Cf, Ci y C3 son considerados como nodos de saliás, cada und à
‘in tiempo. Por ejemplo, st CZ es al nodo de salida lxs trayectortas hacia
adelante son Re Cz ~Cy-Cl y Ha Cl

3) La trayectoria o anillo de retroalimantación, es una travectoria que
parte y termina en el mismo nodo. La restricción es que ningún nodo inter
medio en la trayectoria puede cruzarse más de una ver. Son 1}C. -Ca-Cı,
DIC, Cyrano. 3) CynCynCyy 4) CyoCy-Cy=0 0 5) CC 6) CO,
No obstante C.-Cy-C.-Cy-C, "puede parecer una trayectoria de rétro

374. Representación Gréjica de Sistemas Blectromecénicos 361

alimentación, pero no Io es, porque el nodo dos ea cruzado dos veces. Las
trayectorias de retroallmentación C,-C, y C, -C, son Mamadas anillos
propios.

6) Los anillos ajenos son aquellos que no tienen ningún nodo corto,
En la fig. 1-19, tenemos los slguientes grupos de anillos ajenos; Los antllos
1, 8 y 6 son intocables. Los anillos 2 y 6 son ajenca, Los anallos 3 y 6 son
timbién ajenos,

7a) La transm tancia de una trayectoria hacia adelante directa) o ganan
cía hacia adelante se obtiene al multiplicar las transmitancias de las rares
individuales las cuales constituyen La trayectoria hacia adelante, En la fig.
7-13 las ganancias de las dos trayectorias hacia adelante de Ry a CL son
Gus) Gul2) Go) Gul) y Cyst, respeotivament

76) La transmitencia de una trayectoriade retroalimantacióno ganoncia
del anillo es el producto de las transmitancias de las ramas las cuates
constituyen al anillo. En la fig. 7-15, la ganancia del alo 1, por ejemplo,
Cl ys!

7-4 Fórmula de Meson pura Celcular lu Ganancia de
mms Grática de Flaje

La ganancia de una gráfica de Flujo de Sedales se define como la
relación de las variables de salida y de entrada, En el presente andilais,
Puesto que se usan las ecuaciones teanaformadas de Laplace y las con
diciones Iniclales son cero, osta ganancia pasa a sor la función de trans.
ferencia definida en el capítulo 6.* EI método de Mason no reduce o elimina
la cantidad de cálculo necesario para obtener la función de transferencia
ero habilita a uno para proceder alstemálicamente, sin importar que tan
complicada sea la gráfica de flujo de señales. La formula de Mason será
presentada aquí sin probarse. Si f(s) as la variable de entrada y C/8) on la
variable de salida en la gráfica de flujo de sefalen, la ganancia total de la
gráfica de flujo de señales está dada por

co Last

0-01 17:38
CET EE SEEN 0
donde N es el número de trayectorias hacia adelaute, My es la ganancia de
la trayectoría K hacta adelante, y donde

1 - aumade lasgansacias de los anállos intividuales
+ suma de los productos de las ganancias de todos
los anillos ajenos tomados dos ala vex - guma de
Jon productos de Ian ganancias de todos log anos 1.354)

©” afenos tomados tras a la vez + suma de tha pro»
de las ganancias de todos los anillos ajenos
Cuatro à la ver =...-, y asf suceaiva-

se pr en todo por tomar cuenca conticonsa

‘atsatesAferemen da coo uae re

375. 362 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

à para la parte de la gráfica de (lujo de señales (7,
aus que lec sla trayectoria baca adelante X, (72)

El uso de esta formula se Mestrará calculando la gananela de la
grática para la gráfica de flujo de señales de la fg. 7-13. EI término ¿(5
eMigraiderari como la variable de salida y Rule) como la variable de
entrada.

Yümero de trayectorias hacía adelante N =2

D Re GE aC AAC ALS
00)
» Garancia Ms = Guts) am
Número de malas =6
rc Games Pi = Gal Ala
2 CG Cr Ci GanancinPs) = Gil Gt) ns
DOC Gamme © Go) om

4) CCC, Cs GananciaPay = CMI al

9 GCs GananciaPa = Ho
0 CeCe Ganancia Pa = Hals)
Anillos Ajenos

1) Tomando dos a la vez, se obtienen las siguientes combinaciones de
anillos ajenos

Mallas no tocadas Producto de gananciae de mallas
1ys Pan Pula
1yó Pa
sy6 Pa 03m
zy 6 Pa
3y6 Pa

2) Tomando 3 a la vox, se obtienen las siguientes combinaciones de
anillos ajenos.

Ly 6 Pan Palau 0
No huy combinaciones de anillos ajenos tomados 4 a la ver, tampoco de

5 a la vez y así sucesivamente, Sustituyendo las Eos. 7-38, 7-39 y 1-40,
an la Ec. 7-35 obtenemos

321 (Pye By + Pur Pa + Par + Pad
+ (PnP + Par Pa + Po Pu + Puta + Pa Par)
= Cala Pa) CAD

El símbolo 4;, que es 4 para la parte de la gráfica de flujo de señales que

376. Representación Gréfica de Sistemas Blectromecdaicos 363

no toca la trayectorla hacia adelante 1, es unilarto, puesto que la primera
trayectorta hacia adelante cruza todos 168 nodos de la ¿rifica.

ae (7-42)

Por otra parte, la segunda trayectoria hacta adelante atraviesa solo los
nodos Ry Cyy CL. La parte dela gráfica que no está tocando asta trayectoria
acia adelante se muestra en lafig. 7-15. La subgräfica tiene cuatro anillos,
dos de los cuales (1 y 5) son ajenos. Usando la Ee. 7-35 2

Fie Tk Le para da fe jo Ge fas dl Fl. 2-13 we 723 an te
amore erecta haci nimm Run CSS Ch

obtenemos,

RA ls) 049

La pananeia Mio) = Cf/s//Ryst=C,(6//Re(s) ae obtiene al sustituir 1as Eos.
7-36, 1-37, 7-41, 1-42 y 1-43 on la Ec. 7234.

Ch _ Miss + M,
TE] a

Ma =

049

Se construirán a continuación laa gráficas de flujo de sefalen de algunos
de Jos sistemas eléctricos, mecánicos y electromecánicos descritos an al
capitulo anterior y las funciones de transferencia, se calcalacán usando Ta
fórmula de ganancia de Mason.

EJEMPLO 1-4. Grática de Flujo de Señales de una Red Eléctrica.
Considera la red eléctrica lineal mostrada en la fig, 6-3. aunque las Ecs.
7-1 y 7-2 pueden usarse para trasar la grática de flujo de señales es más
‘coureniente usar una combinación de ecuaciones de mallas y de nodos, La red
de la fig. 6-3 es representada nuevamente por conveniencia en la fig. 7-15.

377. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

sora vial

‘Supontendo condíctones iniciales cero, las siguientes ecuaciones transforma=
das se escriben en tórminos de Vf), 1,15), V.(s) € Z,(6) como variables,

M = Hu. Men
cy = HR, Mn _ ku 0
no Ry sky Ryo shy Ry = sk qa

WIR fs | hin a
Wee a à ga
CCR
au - HE oan

Puede trazarse una gráfica de flujo de señales basada en lan Eon, 7-45,
46 y 7-47. Los nodos representan a lus variables V6), 1,69), (9) 0 Late)
arregladas en este orden por oonvenlancja. La gráfica de flujo de señales
26 muestra en la fig, 7-17.

6.7 V7 Une pit eae drid rod

Se introducen los dos nodos fleticlos Z}(6)e 14/8! de suerte que, , 6)
+ 1,(8) pueden considerarse como nados de salida para los propósitos de la
formula de Mason.

378. Representación Gráfica de Sistemas Electromectntcos 365

Cálculo de la Punción de Transferencia 1,(91/V(8) por la Fórmula de
Mason. El término V(s) ea et nodo de entrada a 1/6) = /,(5) es el nodo de
‘sallda, Hay solo una trayectoria hacia adelante Vis) — (5) - 1166) cuya.
ganancia

MR e
Hay dos mallas
Mall ı
LG) Y) = NG) Camana -
Malta 2: aa ao 0
HA = Bu = 10) Ganancia» pl
No hay nodos ajenos. Do la Ec, 7-35,
Farm aa)
ae
ART RG
HG » st, + RARO à Rs + Rh ‘cay

CoRR, + aL)
El anillo 2 no toca a la trayectoris hacia adelante. Por consiguiente,

Amir an

a
RG

Sustttuyendo las Ges. 7-48, 7-49, 7-50 y 7-51 en la Ec, 7-34, obtenemos

(nf os

la cual, al stmplilcar y sustituir los valores cuméricos A, = 4 ohms, Ly
by 6 =11y Ry st ohm, se reduce a

hey se
DE TE

am

la cual es la misma que la Ec. 7-1
Cálculo de la Función de Transferencia Iafsı/Viel. Hay solo una
trayectoria hacia adelante, (Si - 1,(5) = ¥,(e) ~ [a(8) - 14(8), cuya ganancia

es

379. 366 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
El término à es el mismo que antes y está dado por la Ec. 7-50.
ae 035)

Sustituyendo las Ees, 7-50, 7-54 y 1-55 an la Ee, 7-34, obtenamos

ts) „in 1
Fay" Yor an oem Ve un

la cual, al simplificar y oustituir los valores numéricos, se reduce a

MU SR VE 17-57)
TES

‘que os Igual a la Es, 7-2,

EJEMPLO 1-5. Geáfica de Flujo de Señales de un Sistema Mecántoo
Rotacional, Considere el sistama mecánico rotacional mostrado an la ti.
6-21. Escribiendo mevamente las ecuaciones transformadas, Eca. 6-215
ala 6-219, obtenemos

Tate)

x
A as

onde Z,,(6) está dado por a Eo. 7-17.

cA Fur

ae A at) = as

donde Zu fs) ent dado por la Ec. 1-10.
nua = Brae ve
auto = À aus) 0
ado) = AE ante (ry

onde Z,, (5) estk dada por la Ec. 1-23,
Ti) ¿Zola ~ Krane) ce

donde Z., (3) está dado por ia Ee, 1-28.

380. Representación Gréfica de Sistemas Slectromecónicos 360

Una gráfica de flujo de señales basada on lan Eo, 7-58 a la 7-63, con
(si como la variable de entrada, se muestra enla (Ig, 1-18. Supon-
gase que deseamos calcular la función de transterencia aa Ten.
Se introduce un nodo tHeticto aj(9) como semuestra enla tig. 7-18, Hay solo

Fa. Le él dj da tte del ema macaj otters a Fig

una trayectoria basta adelante, Turno 0m -a{. La ganancia de la
Arayectoria tacta adelante esta dada por

OACI MK
CTO AZ

lennon 0m
u KE 04)

202,0" Tn

Ganancia Fy

04

ze)

[CARA
FEE

on

381. 368 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
No hay antilos ajenos. De la Ee. 1-35,

O gen
Como la trayectoria hacia adelante atraviesa todos los nodos de la gráfica,

et a

si „a | Mads

Tu Ti” a

ca

donde M,, 2, y à se obtienen de las Es. 7-84 a la 1-69. Sustituyendo, la
Ec, 7-10 queda

+ Pz zz.

May] oan

£IEMPLO 1-6. Gráfica de Flujo de Señales de un Slatama Eloctromecá-
hloo. Considera al sistema electromecánico mostrado enla Mg. 6-25. E
eriblendo nuevamente laa ecuaciones transtormadas, Ecs. 8-260 a la 6-285,
obtenemos

40, ac
Ze ZO

Ko = om

ze
Oo Zo

Ko om

Una gráfica de flujo da señales del sistema se muestra en la fig. 7-19.
Las funciones de transtorencia I(s) / Vifs) y SC(s)/Fj(s) se obtienen
fácilmente usando la fórmula de Mason,

zw EX aa
TH UZ ” ZR + a

la cual es Igual a la Ec 6-267, Similarmente

ESTACA E]
ZEN ZG) ne

7
vun as

que es igual a la Ec. 6-266.

382. Representación Gráfica de Sistemas Eloctromecónicos 309

ka)

7-5 Gráficas de Flv s Iniciale?

Señales y Condich

A lo largo del análisis en la sección anterior, se supone que las
condiciones intetales del sistema tajo consideración son cero. Pero
frecuentamente, en la práctica no sucede así. Debido al pasado histórico
dol sistema, antes de ta aplicación do una clerta señal de entrada, las
variables dependientes pueden taoor valores diferentes de cero, En esta

La idea en este método, as tratar law
cero como entradas adicionales al
sistema. La introducción de entradas atictonales no presente ningún problensa
Porque el alstama se considera lineal y el principio de muperposicién e
válido.

Se cometa un inductor L a través de la fuente de voltaje W2) como se
muestra en la fig. 7-20 (a), El iodictor tiene una corriente Inttal 4 (0-).
El interruptor se cierra a! =D. Inmediatamente después de que el interruptor
sa cierra la corriente en el inductor es L{0+) = ¿¿(0-). Tenemos

wont 070

Tomando las transformadas do Laplace de ambos lados de la Eo. 7-78,

HG) = skits) — 11,0

DEREN 2
st) = suo, am

‘Tambien tenemos
165) = sete a)

383. Ed SONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Se traza una gráfica de flujo de señales usando las Ees, 1-71 y 7-78 como
se muestra en la fig. 7-20 (b). Esta gráfica es llamada gráfica de flujo de
senales integral porque 3"! corresponde a la integración en función det
tiempo.

Las dos entradas al sistema son Visie i(0*), o Is) es !a salida, Este
ejemplo simple, prorae una guía al procedimiento que se usa al incorporar
condiciones iniciales en las gráficas de flujo de señales. 51 las ecuaciones
dserenciales de un sistema puedan resscribirse de tal forma (ya sea en
Tunción del tiempo 0 en términos de las transformadas de Laplace) que
todas las operaciones de diferenciaeién se transforman en operaciones de
integración, entonces las condiciones Inielales de las variables pueden
insertarse Táctlmente en la gráfica de flujo de senales en los nodos que van

to

ET
tor
7-20. Ca} Un inductor conecto auna uno de vta. Uns arc de aos an

Men intra el m lin 30 In Fi, Ou an la camaleones

81 Aut = L fé - (0, once

tomando a tard de Laplac eames

Node F(a) en a teaaormate de Lepage de 40 y fer en a tanaormada de Laplace +
Tite Eitri SA Corren sa Integración

384. Represemación Gréfica de Sistemas Zlectromecdnicos sa

2 ser integrados, Esto indica que esta transformacidn está provista por Las
ecuaciones de estado de un alatema.

EJEMPLO 1-7. Considere la red eléctrica usada en el ejemplo 1-4
y mostrada en la fig. 7-16. La gráfica de flujo de señales de la rad
Son condiciones Iniciales cero se muestra en la (ig. 1-11. En este ejer.
plo, se trazará una gráfica de flujo de señales que incluye à la corriente
inicial an el inductor y al voltaje intciala través del capacitor. Las variables
de estado de la red son a(t) y ut). Las ecuaciones de estado están dadas
por iss Een. 8-41 y 6-42. Aquí se resroducen por conveniencia,

MEX « 5
= GAR, «o om,

de

“an

a

Tomando las transtormadas de Laplace de ambos lados de las Eos, 7-19 y
11-80 y reagrupando términos, obtenemos.

+10 es

am

Una gráfica de flujo de señales Integral basada on las Fes. 7-81 y 7-82
ge mueatra an da fig. 1-21, Las variables de entrada son Hl, (0)
740") Las variables de salida son 1.07 fl.

FI 7-29 Outen da lon de stain o. sed eben de E 716 ci
po im conos era

385. MECASICA

CUNLERSION DI FNEHUGILA ELECTR

el sise
35. 3

La tármula de Mason puede usarse para calcular la respues
hemo para una -ofrada y condiciones iniciales dadas, De la Es.
para el sistema será zado por

739,

DE

Sustituyendo los valores numéricos usados en el ejmplo 7-4, a saber À
Ca lty Ry= Lohm, la Ec, 1-43 queda

doams, Ly = 1h.
pts ae

a-

Cuando se calcula ¥,(s1/Vistusando la fórmula de Mason, 9°)x (0-3 se
supone que valen cero. Similarmente cuando se caleula, 7.181 4,(0°) Vis?
SP so supone valor cero. Cuando se calcula V,(s)/ v,(0-), Visreis,

(0-) se supone que valen cero,

0
om
a. os
“en
La esque tlm stem pS ere,
A Beer] oan

sustituyendo 3 y 108 valores numéricos de los parámetros, la Ec, 7
queda

Vo) + Or à 0,

< ¿En 8

van = TE
dl ES

sunilarmente
m

386. Reprosomación Grâfien de Sistemas Electrmmecánicos 373

csv

am

parpersendo,

tan E |

ue E ve] ay
Sustirurendo à y los valores numéricos por R,, &,, ote. obtenemos

Vin += 48 + MG O) = #0)

Mrs: Fees

0

St Flers 10/5, 1,(0°) = 1 amp., 9,0) » 1 volt, las Eos. 7-89 y 7-9 quedan,
respectiramente,

PM
sen 2
ze CRETE) we

% e lOs + 10
rt a)

Estos resultados están de acuerdo con los obtenidos en ol capítalo 6 por el
método de determinantes (ver las Eos. 6-49 y 6-50)

La gráfica de flujo de señales integral de la fig.
gráfica posttle.

1-21 10 08 la única

EJEMPLO 1-8, Considere el sistema electromecánico mostrado en la
fig, 6-25. Una gráfica de flujo de señales con condiciones intíales cero se
muestra en la fig. 7-19. Ahora se obtendrá en este ejemplo, una gráfica
de señales de flujo integral incluyendo condiciones iniciales.

Tomando las transformadas de Laplace de ambos lados de Tas ecua-
ciones de estado, Eon. 8-269, 5-270 y 6-271 y suponiendo condiciones

Innes rentes de ero, namo Ö
R ir ee

ann u HE + non cm

A = + 50 am

une ron En Brunnen am

387. am CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

donde las variables de estado x (tl, sal) y x(t) son definidas por la Ec.
45-288, Una gráfica de flujo de señales integral se muestra enla iz 7-22,

#0 + 0

ig. 7-2 een Auen mai nar! at imma eremenun où
Fin 8228 ie ls conaconm nae

ds

6 Fendi sfersadie y Gráficas
de Flvlos de Señales Integr

BI procedimiento descrito en la sección anterior paratrazar una gräfl-
ca integradora de flujo de gefales de un alstema, supone que las ecuaciones
de estado del sistema están disponibles, sin embargo, esto puede no ser
siempre el caso. Es mis probable que una o más funciones de transferencia
asociadas con el sistema soan conocidas, Las funciones de transferencia,
por definición, implican condiciones iniciales coro, Soráitiltonor a muestra
imposición un método o métodos para obtener gráficas de flujo de señales
integrales focluyendo las condiciones Inielales de lafunoión de transferencia
del sistema. Uno de estos métodos será descrito en esta sección. En este
método, el cual se llustrará por medio de un ojomplo, Ix función de trans-
ferencia del sistema bajo consideración se descompone de manera tal como
para producir un grupo de ecuaciones de estado. Entoneos 50 unan las seu
ciones de estado, como se hizo an la sección anterior, para trazar una
grálica do flujode señales integral. Conrelacióna esto, se deberá mencionar
que, con excepción de casos muy simples pueden escogerse más de un grupo
de vartables de estado para representar un sístema dado, y como tal, puede
obtenorse más de una gráfica de flujo de señales Integrales, Sin embargo,
cualquier grupo de variables de estado puede vxpresarse como Combinaciones
lineales de cualquier otro grupo de variables de estado. Similarmente,
cualquier gráfica de flujo de sensles integrales puede reducirse a otras
formas para concordar con las otras selecelones de variables de estado.

EJEMPLO 7-9. Obtenga una gráfica de flujo de señales integral de 12
rea eléctrica de la tg. 7-18, partiendo de la función de transterencia dada
por la Ec. 7-2

aay 1 :
TORRES ES ua

388. Representación Gráfica de Sistemas Elactromecénicas EZ

Dirida tanto numerador como denominador del lado derecho de la Ee, 7-100
entre 4%, que =s la potencia mayor de sen la función de transferencia y
obtenga.

E
ES

aes got

Multiplique y divida el lado derecho de la Ee. 7-101 por una función ar-
btraria X(G), de suerte que

(102

Como X(s) es una fanción arbitraria, la Ec, 7-102 puede escribirse

NO) 0-09
Yo) a Us Sr à SODA = KR + Ser GON
sa

o = x) 0109
FO) 00) 106)

Note que
Ah =k cn

y

20 = sx 0-108)

“sustituyendo las Bes, 7-105, 7-108 y 7-108 en las Een 7-108 y 7-104,
obtenemos

ve) + run) 109)
CRETE SHG) + SX)

0 = Ste + Hin) 7.410)

70)

Una gráfica de flujo de sefiales Integral se obtiene de las Ecs. 7-107, 7-109
y 7-110. Esta se muentra eo la fig. 7-28 No obstante que 1as condiciones
iniciatss no aparecen en las Eco, 7-107 y 7-110, pueden incorporarse,
como se muestra, an lan gráficas de (sjodo sefalea Esto se puede justificar
exarsinando las Ea, 7-107 y 1-110, Considere, por ejemplo, la Ee. 7-107.

ÉTÉ

7.107)
La relación correspondiente en función del tiempo es

ut

ne em

389. ave CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

vis >

7-23 Om ica e Mn e mada tara 6 I od lei del Fo. 716

Supóngase que asumimos condiciones intetales diferentes de ceroy tomamos
la transtormada de Laplace de la Ee, 7-111, obtenemos

ETES)

2) = A) + 40) am

la cual es lo que la gráfica de flujo de señales produce si ue suman las
señales en el nodo 9X,(8), Se justifica la introducción de x,(0°) al nodo
SX(s) en una forma Similar. 5

Las ecuaciones de estado del mistoma se obtienen de la grática de flujo
de señales integral escogiendo las salidas de lou integrandos como variables
de estado, O 02 X, fe) y Xa(s). Las ecuaciones de estado están dadas por lan
Eos. 7-107 y 7-110. En forma matricial quedan

Edd e:
La pan ant nets SSI:
e cr
nn ER a as
o tres
1 wantin À =
en
ae es Se rr

fateh = Val + AO = XG) O HO LIS)

390. Roprasentaciin Gráfica da Sistemas Electromecánicos ar

La gräfiea de fo de señales de La fl, 1-23 puede sor modificada para
Actor 7, (6). Esto de muestra en La fg. 7-26.

‘Aunque las gráficas de flujo de señales de las ig. 1-21 y 7-24 no
parecen Iguales, ambos producirán fas miamas expresiones pars VA) €
Lio

9008

tablocid con anterioridad que las scuaciones de estado de un
sistema pueden obtenerse de la gráfica de flujo de señales escogiendo las
variables de salida de los integrandos como las variables de estado. Este
método es muy itil en el caso de sistemas cuyas acuaciones diferenciales
contienen no solo la función de salida sino también las derivadas de la
entrada. Por ejemplo, al un laters está descrito por la ecuación diferencial

DD à LHD, 5 MY ayy a
U aus

las ecuaciones de estado de este sistema son fácilmente obtenidas dns-
compontendo las funcionen de transferencia del sistema,

MO ss an
E m

de acuerdo con al procedimiento descrito en el ejemplo 7.9. Los detalles:
dejan como un ejercteto al extudiante,

7-7 Representa
de Sistemes DI

Las computadoras analógicas son muy étiles en el anállala y diseño de
sistemas dinámicos complejos. En la computadora anplógica pueden resolver-
39 ecuaciones diferenciales simultáneas que representen un sistema y
obtenerse los resultados gráficamente como fanciónes del tiempo. Puede
estudlarso con facilidad el efecto de la variación de uno o más parámetros
del sistema sobre wn rango de valoros en la respuesta de salida,

En esta sección, el análisis se limitará a la representación de sis
temas eléctricos y electromecánicos en una computadora analógica, No
se intentará aralizar en la computadora, las técnicas de la resolución de

391. 378 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
problemas, El estudiante podrá consultar varios tertos excelentes que
tratan esta materia. *

En una computadora analógica las variables en las ecuaciones diferen~
clales de un sistema Se representan por voltajes. La computadora consiste
de clertas componentes que están interconectadas en una manera apropiada
y la compitadora es capaz entonces de realizar operaciones matemáticas
de suma, resta, multiplicación, divtalón e integración. No es recomendable
la diferenelaciön. Siempre que vaya a realizarso una diferenciación, el
problema se arregla de tal ranera que pueda resolverse por una integra-
ción repetida. Se deseribirán a continuación los componentes básicos de
una computadora analógica.

Components de una Computadora Anológlcs.

Amplificador Directamente Acoplado de Alta Ganancia, La components
más Importante de una computadora analógica es el amplificador directa
menta acoplado de alta ganancia, Una representación eoquemsitica del di
positivo se muestra on la fig. 7-25.

rents Su

{tivo amplifica voltajes de entrada en relactonea tan altas como

Este duspa

10° a 10 veces. Comotieneunnúmero impar de pasos, el voltaje de entrada
‘sufee una inversión en fase, En la fig. 7-25
en + Ae eus

Amolficador Operacional. Un ampltieador operacional consiste de un
amplificador de corriente directa de alta Fanancia y Ge elementos pastros
Gales como resistoras y capacttores en las trayectorias hacia adnate
y de retroallmentación. Dependtendo de la naturaleza 7 localización de Toa
Suomentos pasivos, un amplificador operacional rauirard las siguientes
Operaciones matemáticas a) multiplicación por una constante, 6) uma y
esta y «integración.

"Ti ampllicador operacional puede realizar una combinación delas ope-
raciones inícadas en una entrada. Poe ejemplo, con objeto d realizar La
multiplicación por una Eonstante, lag conexiones aon las mostradas en la
fig. 7,26. Puede verse que, on lad. 1.28

- GA Korn y TM Koro, Bletronie Ang Computers,
company Ine 192) yio CE dohnaen, decos Compro Tachira
Braun Bove Compay Be. 1000

392. Representación Gráfica de Sistemas Electromecéricos ar

so
6 tac miter mate Gin

donde fb representa retroalimentación. Para derivación de este resultado
el estudtante puedo refertrse a la Uteratura cltada. SI Ry= 4 Ra, entonces
La

Pro
Ama en
samy -a ul
© CE

1

Mg. 728 Cannon d un ptdr operacion ur mitten por ma conte
{ants (0) Comer fen topo un constan.) Aapraentció

bites an mu

a ù das
a—ı >——*
a y

w

Ma. 7.27 Constant se ua ampliados opracona par tota a operación de
‘Sime: (9 Comas pre mama e ets) Representation Mme

393. in CONTERSION DE EsERúla ELECTROMECANICA

Las conexiones para sumar se muestran en la fig. 7-27. En la fig
1-21 de las Eos. 7-119 y 7-120, tenemos

lu le tated om

sr
to > ean
. so

Fig, 7:22 Consslse de un amolficaor prions pare nturación (= Canaxiones au
Mengen Repremntción vember de nner

wor

394. wctin Grática de Sistemas Electramecánicos 381

presen

Las conexiones para realizar integración se mu
En la ig. 7-28, puede verse que

ı
fee om

donde 1 /KC es la gananela. SI 1 /RC 7 1, entonces la señal de salida
se multiplica por una constante, se integra y sufre un cambio de signo.

Polenciómotro, Otra componente importante en wma computadora
analógica es el potenciómetro, Una representación esquemática del dis-
positivo se muestra en la fig. 7-29. En esta figura,

an en la fig, 7-28.

Eu = Ken Caza

Donde 0 - K< 1.
Hay otras componentes, tales como servo multiplicadores, resolvedores,
eto., que no se descríbirán aquí. El estudiante puede consultar la literatura
citada con anterloridad.
Esubleviwiento de una Ecuación Diferencial en uno Computadora
Anatégice. Conaidérese la ecuación diferencial lineal con coeflclente
constante.

Belt) 95 del) i A
ED + 25 SD à cw = 1) eng

donde 6 varía de O a 1. Rooweriba la Eo, 7-124 y expreso la derivada de
‘orden mayor en términos de las otras cantídados

|
e

Fin. 7-20 rams ap comanones par muslo £4. 7 > 128 an un compu an
LA

Het)
a

- ew) 025

delo)
- 0-2 40

395. 2e CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

St d’el/dt” está disponible, entonces c/t) puede obtenerse intagrando das
veces la segunda derivada. El dlagrama de {a fig. 7-30 Indica como au realiza
esto, Las condiciones inielales se Incorporan en el diagrama según se
muestra,

Relación entre Diagramas de Computadora y Grificas de Flujo de
señale» Imcgrules, Una gráfica de flujo integral para la Es. 7-124 puede
obtenerse transtormändola primero, Tomando laa transformadas de Laplace
(suponiendo condiciones iniciales cero), obtenemos

u.
RK + dos +

(7-126)

De acuerdo al procodimiento de descomposición descrito en la sección
anlertor, obtenemos

cu si
Rs) 1 205° {el
ca, ra _ (7-128)
COMES +
de a cat obtenemos
Cl) Xx) (7-129)
ROS) = X) + 265" N) + a As) (7-130)
Sendo
eK) = Lu gas
,
sx) = Xs) (7-132)
MO) = A) ony
v
x cass

396. Representación Gráfico de Sistemas Electromecaniros 383

Las sevaciones 7-129 y 7-130 quodan

Cs) = Kas [607]

Vis) = eats) = RR (7136

Una gráfica de flujo de señales integral se obtiene de las Ec. 7-139, 7-135
y T-136, Esta se muestra en la (lg. 1-31. Después de que se ha trazado la
gráfica de flujo de señales, sí 28 necesario laa condlctonos Iniciales pueden
incorporarse como ae muestra.

209 on 20!

entr >

DA

ES

Una comparación de las Fig. 1-30 y 1-31 muestra que el diagrama de
computadora se obtiene de la gráfica de flujo de señalas Integral . Este
puede ser un procedimiento conveniente an el caso de alstemas Complejos.

El diagrama de computadora analógica, del sistema electromecánico
considerado en el ejemplo 7-8 puede obtenerse de la gráfica de flujo de
señales integral del sistema mostrado en la fig. 7-22, El diagrama de
computadora se muestra on La tig. 7-32.

PROBLEMAS
TALE] diagrama de bloques de un sistema lineal se muestra en la

figura que se acomputa. Calcule las sigulentes funciones de transferencia
usando la Es.

cua] 29)

Cu) Cat o
Roe "Rl

cr ui

397. EN CONVERSION DB ENERGIA ELECTROMECANICA

[ais —

Syst

Gla)

Prog, 7

1-2, Construya una gráfica de flujo de señales para el sistema des-
erito en el prob. 7-1 y calcule las funciones de transferencta describas en
‘el mismo problema usando la formula de Mason. .

7-3. Trace ma gráfica de flujo de senales para el sistema eléctrteo
lineal del prob. 6-1, y usando la fórmula de Mason calcule la función de
transferencia ¥,(01/V;(s. Use los siguientes valores numéricos para
Tos parámetros: R, = 4, B,=2,8,=138,=2:C,=C,=1; Lu = 1. Restá
en ohms, C en faradays y L en henrya. Compare el resultado con los
obtenidos en el prob. 6-2 por el método de determinantes.

7-4. Trace las gráficas de flujo de señales para cada uno de los cna-
tro sistemas mecánicos de la figura del prob. 6-4. Caleule las funeion
de transferencia de las vartableg de! desplazamiento y de la fuerza usando
la fórmula de la gananela de Mason en cada caso.

7-3, Trace una gráfica de flujo de señales para ol sistema meciaico
rotacional del prob. 8-10 y calcule 1a función de transfer enoia aa(5//T,(5
Modifique la gráfica de flujo de señales para Inclulr el efecto de un par
disturbador de carga 7, que acia en J, tendiendo a oponorae a la ro.
tación de ja. ¿Cual es el efecto del yar 7, an as, que es desplazamiento
angular de la masa Ja? '

7-8. Trace una gráfica de flujo de señales ara el sistema electromesa-

nico del prob. 8-15 y calcule 1a función de transferencia 1(s7/F(e) del
sistema. Compare el resultado con el obtenido en el prob. 6-15.
@ Trace una gráfica de flujo de señales integral para la red
eléctrica del prob. 8-10. Suponga condlelones iniciales apropiadas para
la red. 6) Trace un diagrama del circulto para resolver el sistema de
ecuaciones en una computadora analógica,

398. Reprasentariôn Gréfica de Sistemas £lectromecánicos 39

24. a) Trace una gráfica de flujo de señales Integral para el sistema
mecánico del prob. 8-8. Suponga valores iniciales apropiados para las
variables de desplazamiento y de velocidad. 5) Trace un diagrama del
irouito de computadora analógica zara el sistema.

Ta, Un sistema lineal está descrito por la ecuación diferencial

ato, 5 #40 2 à 0

a tu a

donde rd) ea la entrada y ei) es la salida, Trace una grilles de flujo
de señales integral para el sistema, Ineluya condiciones Infeíales de las
Variables apropiadas.

7-10. Para el sistema del prob. 7-9, trace un diagrama del circuito de
computadora analógica.

7-10. La función de transferencia de un sistema Lineal está dado por

2 4 10
a6

co.
Ro)

‘Trace una gräfica de flujo de señales integral para el sistema.

399. capitate 8

Dispositivos Rotatorios de Conversión
de Energía Electromecánica,
Máquinas de CD. y la
Máquina Generalizada

1 Introduce

Los Alspositivos rotatorios de eonversiön de energía electrometanica
son conocidis popularmente como máquinas rotatorias. Eetin clasificados
como máxsonas de corriente directa s aus salidas son en corriente direc
ta o si la energía de entrada à las máquinas proviene de una fuente de
corriente directa, Se llaman miquixas de corriente alterna si sus salidas
son periódicas o si la energía primaria de entrada proviene de una fuente
de corriente alterna,

"Ina máquina rotatoria se llama goneradoy si convierte energía me-
cánica en energía eléctrica y se llama motor si convierte energía eléctrica,
en mecánica. En privoipio la misma máquina puede ser usada, ya sea como
generador © como motor, pero consideraciones de diseño práctico pueden
favorecer su uso como generador o como motor. Esto Megará a ser evident
durante el curso del anállats de esto capítulo y del siguiente, de gun tanto
la acción generadora como la motora se presentan en una móquina Indepan-
Gentemente 4 quí sea “usada” como generador_o como motor. ER diras
palabras, mientras la función de un motor, es Ta prodiceión de un par
mecáaico, se generan fuerzas electromotrices en clertas partes dei dis-
positivo devido al movimiento. Similarmente. mienteas la función de un
Kenerador es la generación de la fuerza electromotriz, se produce un par
mecánico que se opone al movimiento en ciertas partes de la máquina.

Hay dos tipos principales de aplicaciones de las máquinas rotatoras,
Como generadores, son usadas para proporcionar energía eléctrica a ae
casase industriasy como motores pars hacer girar dispositivos mecánicos
tales como ventiladores, bombas, ete. El otro tipo de aplicación ao relier
al uso de las máquicas en sistemas de OS Ag las EMT SOSA
como dispositivos de posición y'a para transportar información de una
Harte Wel sistema ¡Ta Otra =

Los métodos de análisis son doterminados ampliamente por la aplica-
ción de las máquinas y par las condicionestajo las cuales operan, En algunos
casos, pueden ser adecuadas las características de fabricación en estado
estable: en otros casos pueden ser necesario determinar tanto el comporta.
miento transitorio como en estado estable de la máquina: en algunos otros
podemos estar interesados solamente en una miquina aislada v en otros
la máquina bajo contideración puede ser parte de un sistema complejo

Las máquinas en cencral. som en st dlspositivos no lineales, Mientras
ae requiere no Imealidad bars Te operación de “algunas de Tas máquinas

400. Dispositivos Rotatorios; Mízainos de C. D. 387

en ciertas formas, es dife la formulación matemática de las relaciones
entrada-satida. En anilisis de estado estable, los sfectos de la no linea
idad son generalmente :omados en cuenta usando !onleas gráficas apropia-
das. Por otra parte, las aproximaciones Jlneales son necesarias à Lin de
proceder con análisis transtigeiog.

Antiguamente los bros de texto que estudiahan máquinas rotatoria
trataban primeramente con las características de operación en estado
establo. En años recientes, con el advenimiento de grandes sistemas de
potencia interconectados, y en las Industrias el uso extenso de control
automático de ios motores y los generadores, el comportamiento tranaltorto
de las máquinas ha llegado a ser más importante y consecuentemente tienen.
que desarroliarsa nuevos métodoa de análisis. Todos loa intentos recientes
han ido directamente hacta el desarrollo de eirouttos equivalentes lineales
y de modelos matemáticos de máquinas rotatorias de los cuales pueden
obtenerse las características on estado ostable y de comportamiento
transitorio. La aproximación moderna es esencialmente un análisis lineal
de máquinas Fotatorian, aungae af se Fequiere, aa pueden tomar on cuenta
efeciós no IIncalea. Otro aspecto de la aproximación moderna ou ontatizar
la unidad básica de todas las máquinas rotatorias a pegar de sun di
ferenclas aparentes. Mientras una máquina de c.d. y una máquina de c.a.
Parecen à primera vista pertenecar a grupos enteramente diferentes, puede
mostrarse que son básicamente Iguales y ao derivan de la misma máquina.
básica o generalizada,

Han sido propuestos varios modelos de la máquina básica o gonera-
lizada y presentaremos mo de ellos aquí Este modelo conocido como
méquna primitiva da Kron puede considerarse como una extensión de la
máquina de conmutador de cd; por esta razón se expondrá primera-
mente la máquina de c.4, antes de que se abordo ol modelo generalizado.
Debe de enfatizarse que este procedimiento de comenzar por el final se
debe a que se mpone que el lector no iniciado encontrará más fácil la
comprensión del modelo generalizado, si primero se famillariza con una
de mus derivadas, llamada máquina de 6.4.

AL analizar la máquina de c.£, los resultados obtenidos en el capitulo
5 para un transductor rotacional dôblemente excitado se extenderán aquí,
primeramente considerando el transductor de la fig. 5-10 como una
miquina rotatoria. Esto será de utilidad en la dertvación de las relaciones
49 ana máquina de corriente directa. A continuación se discutirá el análisis
oeal de una máquina de c.d. Las técnicas gráficas para tomar en cuenta lon
‘efectos no lineales se expundrän más tarde en este capitulo,

8-2 Un Transductor de Deble Excltución come
Mégsina Rotaterla can on emtrobiarro Uniforme

Enel sistema mostrado en la fig. 5-10, supongamos que los lineamientos:
de construcción de la estructura magnática son tales que 1a reluctancia de
la trayectoria magnética no varía contorme el rotor cambia su pogletón.
Esto signifies entonces que las inductanelas propias L, y Z, de lon dos
embobinados son invartables con respecto 2 0. (Supongamos que el rotor
ira à una velocidad angular constante «, de modo que «= ut). La inductancia
mutua de los dos embobinados, M, vartará con a, porque la ortentación

401. 308 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

entre sf de Ins dos emboblnados cambia conforme cambla a y consecuentes
mente cambia el acoplamiento magzético entre ellos. La magnitud de ja
inductancia mutua Ma es máxima cuando los dos embobinados están
magnéticamente alineados a lo largo del mismo eje. Sea este máximo valor
Max, © abreviando Ma. Cuando los ejes de los dos embobinados son per-
pendiculares entre Sí. Mía) es cero. El valor de Mía) en otras posielones
depende de la distribución espacial del campo magnético en el entrehlerro,
En la mayoría de los transduetores prácticos esta distribución puede consi
derarse senoidal. Si este se supone que es el caso de la fig, 5-10, la varia-
ción de la inductancia mutua con respecto 2 a está dada por

Mía) = Mau cos a en

a medida a partir del eje del embobinado estacionario. El valor de a
implica que los dos embobinados están alineados a lo largo del mismo eje
y que su orientación es tal que log (lujos debidos a 4,(0) e £40) se suman en
la trayectoria magnética.

En el capítulo 5, se desprectaron las resistencisa de los embabinados.
En el presente análisls mupöngase que las resistencias son R, 7 Ra, 189-
pectivamente. Recordando que L, y La son invariables con respecto a a y
que Mla) = May, 008 @ la Ec. 5-47 queda

ma] _ [fr © Li Mau 605]
eco) "Île Ral Alarcos La
0 Mad Vio

Ama 9 [ko 7

donde p = d/dto
1) = WR) + pide) + (La el) CE)

Los siguientes puntas sn notoriamente de conaderación. Los elomen-
von airs ria de inductancia en movimiento [Le] ene magritud máxima
o os oa bution astkn formando un ngilo toco o, con más
SEO “endo los jee magnéticos delos dosembaimados sets forma”
Botan angulo recto once Eq teas palabra, la inductancia en mort
ea meule condo la bacilo Como me ded son an.
terioridad, ef término D[£_[/Jen la El presenta los voltajes indu:
see trauma, {CO que el término [La] (representa os vol.
taj cn mosimienío "9 ponorados, Debe notario que los voltajes incl
da yn movimiento no sloanzan af mimo Tong su mimo y Timo
Fe ms 2 Is Pate muay en movialeno son gules
EAN enunciado ca verdadero ablostiadistivucion de fo en el entre:
Kane nolan! como se" oupone es el caso del presente ands, El
Abende Tas tnductanctas mutuas y en movimiento fon cas! Iguales para
Ses dstribectones e uo.

402. Dispositivos Rotatorios; Mäquinas de C. D. 289

El par desarrollado puedo obtenerse de las Eos. 5-64 y 8-1. Tenemos

Ta, = OHM 880 a By

donde à = wi.

En el anilisis anterior so supone que los dos emboblnados son concen-
trados, por lo tanto, la inductancia mutua depende solo de la distribución
espacial del campo magnético y del ángulo de orientación entre 10s dos
embobinados. En transductores prácticos los embobinados dei rotor son
usualmente distribuidos sobre una superticte cilíndrica, Puede mostrarse
que 12 Ec 8-1 es también válida para tales casos, Esto significa que un
embobinado distribuido puede roemplazarse por un emboblrado concentrado,
equivalente para propésitos de anilisia,

Los resultados obtenidos enesta sección pueden aplicarse a una máquina
de c.& práctica, sl puede astablecerao que la máquina de c.d. es un trans»
ductor de dos embobinados similar al considerado en esta sección y que
pueden determinarse relaciones apropiadas para laa inductancias propia y
mutua como funciones de la postción angular a. En la Ee. 8-3 primero se
obtendrá la evolución de una máquina de ed, asi como resultados básicos
que relacionen los parámetros de la máquina à los elementos. Después
de hacer esto, la aplicación de la Ec. 8-3 2 una máquina de 6.4. se conal-
derará en la sección 8

Poe couventenela y ala alnguna pérdida de generalidad, puede suponer-
se que la máquina de c.d. est actuando como un generador. Tal exposición
es Mil al describir la función de lo que se conoce como conmutador

el

8-3 Un Generador EI

La mejor forma de analisar la evolución de una máquina de c.d. es en
tárminos de un generador elemental. Se mostrará que el generador de o.d.
e obtiene al modificar este generador elemental.

Un generador elemental compuesto de un sistema de polos fijos y de
una armadıra rotatoria se ustra en La fig. 8-2 (a). La armadura tiene
una bobina que est colocada en Tag ramrasde la misma, Los dos extremos
de la bobina están conectados a dos antllos deslizantes montados en la f18-
cha. Los anillos deslizantes están conectados a circuitos externos por medio
de escoblilas de cartón filas, laa cuales hacen contacto continuo con los
anillos deslizantes. Otra vista de la bobina y de los anillos deslizantes
se muestra en a fig. 8-1 (0),

El campo magnético está establecido por una corriente directa fluyendo
en las bobinas de excitación devanadaa alredador de los polos. En máquinas
pequetas, pueden usarse magnetos permanentes, Los polos y la armadura
están hechos de material ferromaspélico. An cando el campo magnético
que enlaza a la armadura es invariable en el ttompo, la magretización de lá
armadura rotatoria se invierte dos veces en cada revolución de acuerdo à
como las partes de 1a armadura se sometan 2 La influencia de los dos polos
altersadamente. Esto causa pérdidas por histéresis y por corrientes
parásitas que tienen lugar en la armadura. En 1a construcción se usa un
‘material ferromagnétieo apropiado de baje reluctancia para minimizar las

403. 300 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

oy wr

Fig. 81 Un pme amant, 8) na it el ció ranean a8 poto nie
armes (0 Una sb del bobina y delos iin dati

pérdidas de histéresis rotacionales y la armadura es de láminas para
minimizar las pérdidas por corrientes parásitas.

La armadura gira por medio de un primotor; Como ella gira, Ins
enlazamientos de fiufo asociados con la bobina cambian. Por ejemplo, en ,
la posición mostrada en la fig. 8-1 (a) muy poco flujo está enlazando la
böbina porque su plano 3 paralolo a las líneas de fAujo. Los enlazamientos
de flujo están on un máximo cuando el plano de la bobina está parpendi-
cular a los ejes del campo magnético. De acuerdo con la ley de Faraday de
inducción electromagnética, está claro que el cambio de enlazamientos de
lujo ocasiona wma fuerza electromotriz generada enla bobina, Una expresión
para la fuerza electromotriz generada en la bobina puede derivarse por una

Fig. 0-2 La glutton daras d ajo a cota bao os son Gas
SLA iota mio era ore acetone

404. Dispositivos Rotatorios; Múquinas de C. D. 392

aplicación directa de la ley de Faraday o usando la Ee. 5-75. Se desoribt-
rán ambos métodos.

La distribución del flujo en sl entrehlerro bajo caca polo puede su-
ponerse uniforme, Se muestra una dlstriburión típica en fa fig. 8-2, Como
las tineas de flujo tienden a tomar la trayectoria más corta, entran y salen
de la armadura radlalmente,

Derivación de la Fuerza Eleciromotriz Generada en una Bobina

Método 1 fusando la Ec. 8-51 Sean: I la longitud de cada lado de la
bobina bajo la influencia del campo magnético, r el radio de la armadura,
3, la densidad de flujo en el entrehterro y w la velocidad angular de la
armadura en radianea por segundo.

Como el flujo en el entrehlerro entra y sale de la armadura radial-
mente, ambos lados de la bobiaa son perpendiculares al campo magnético.
El movimiento de los lados de la bobina se efectúa en dirección perpendi-
cular al ejo de la bobina y al eampo magnético; la Ec. 5-15 on par conai-
guiente aplicable. Supongamos que el lado de la bobira A, está bajo la
infiuencta del polo norte y A, bafo la Influencta del polo war. Durante media
revolución de la armadura, À, 98 muevo de ízquierda a derecha bajo al
polo norte y A, se mueve de derécha a Isqulerda bajo el polo sur.

La volocidad lineal de los lados de la bobina es

veer en

Dela Ee, 5-75, fa fom, genaradaen A, eu

ea = Bar es
Comparando la tig. 8-1 (a) con la 5-12, es sencillo ver que la polaridad de
eq ta como se muestra en la fig. 8-1 (b). Similarmente lafem. enel lado.
A} de la bobina ea

= ler en

y su polaridad em como se muestra en La fig. 6-1 (D). La fem, generada to-
tal (gen. on la bobina está dada por

a a $n 28, lr on
.
La Es. 9-8 puede exprosarae on términos de Flsjo por pola El área super

ficial bajo cada polo se toma como la mitad del área superficial de la
armadura.

‘Area serial dede polo = ari en

405. 302 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

SI + es el Hufe sallendo o entrando 2 un polo, la denetaad de flujo es
a. eo

Sustituyendo B; de la Ee. 8-10 en la Eo. 8-8, obtenemos
2
em = + 90 ein
SL ta bobina consiste de Y vueltas, entonces

en = iin CE

St 9 está en webers y u en radianes por segundo, 2, está en volts

AL final de la primera mitad de revolución, las lados 4e las bobinas
A. y A, cambian posiciones bajo los polos. Por lo tanto la polaridad de
¿qu Se inrierte una vez cada mitad de revolución. La forma de onda de la
fem. generada se muestra on la fig. 8-

\

a,

Método 2 Usando la Ley de Faraday). Se mencionó con antecioridad
que el cambio en los eplazamientos de flujo asociados con la bobina ea 2,
donde 3 es el flujo por polo, cuando la armadura gira un cuarto de revo-
lución de la posición horizontal a la vertical de la bobina o viceversa. El
tiempo tomado por la armadura para hacer este está dado por

a na ein

406. Dispossticos Rolelorios; Máquinas de

De acuerdo con la ley de Faraday,

aya
ando dede em

Ca Na as

como Y = 1, Susttuyendo > por As y#/2wpor At, ol valor promedio de
Ly está explicado,

et cual es Igual al de ta Be. 8-11 obtenido por el método 1. La Ec. 8-15 dá
1a maguitud de en. Como se estableció con anterloridad, la polaridad de la
fem. de invierte Cuando Lo lados de la bobina cambian de poniión bajo 100
Polos, yla forma de onda de la lem. es la mostrada ental. 8-3

Otro Método para Determinar la Poloridad de la Fen-Generada. Ei
ruétodo usado oon antertoridad en sta sección para determina la polaridad
de la tem. generada, esti basado en la ecunción de la fuerza de Larentz y
en el Majo de electrones Ures en un conductor moviéndose eh un eampo
magnético. Pueden usarse algunos atroa métodos, à continaciéa se de
Orb un método basado on a ley de Lanz,

Suponguos que La bobina del generador elemental está en a posición
amostrada on La fig, 0-4 (2). La bobina no está enlazando jo algaeo en esta
posición. Para una rotación dela armadura on dirección de las manectijas
del reloj, el enlazamiento de fo ae Incrementa conforme la bobina, se
muere de la posición vertical. [ Fig. 8-4 (b)]. De acuerdo con la ley de
Lenz (suponiendo que 1a bobina está Conectada a un oirclto externo y en
disponible una trayectoria cerrada para al fyjo de corriente), a polaridad
de la fem. generada deberá sor tal que la corriente que fluye en Ja bobina

e +
O Sm La cota aan irme
nata ge tuje lance fale
a a ve

407. a CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

iderá a oponerse al incremento en enlazamientos de flujo. La dirección
Ta corriente se muestra en la £3. 8-4 (e). La corriente fluye hacia el
savel en el lado .A de la hobina y después Hupe fuera del papel, La po-
laridad de la fem. es por consiguiente la misma que se muestra en la
ie. 8-1 (D.

3-4 Un Generador de CD,

Supongamos que, en lugar de usar dos anillos deslizantes, una por cada
lado de bobina del generador elemental como en la tig. 6-1, se usa un
lo deslizante, cortado en dos mitades y separado por un medio ajslante,
La bobina esti conectada al circuito por dos escobillas fijas, B y By. La
¿scobilla 3, está alternadamente en contacto con los lados A, y Aa de la
bobira y de la misma forma la escobilla B,. La inversión de conexiones
de los lados de las bobinas a las escobillas ae efectia dos veces an tna.
revolución y coincide con la inversión do las posictonos de los lados de
las bobinas bajo los polos. La encobilla 2, siempre est en contacto con el
tado de la boblna bajo la Influencia del polo norte, miantras que la escobilla

PA as caos ato

B, está siempre en edhtacto con el lado de 1a Dobina bajo la influencia del
polo sur. Consecuentemente, no obstante que 1a polaridad de la fem. en la
bobina se invierte dos veces enuna revolución, la polaridad de la fem. medida
en las escobillas pormanece invariable. Los anillos deslizantes divididos
actúan como un rectifivador mecánico. Este arreglo se llama conmutador,
à forma de onda de la fem., como se observa en las terminales de las
escobillas, se muestra en la (ig, 8-8. Un generador elemental con antilos
deslizantes alvicidos constituye el generador de c.d. elemental.

408. Dispositivos Rotatoris; Máquinas de C. 2. 55

An œuando la polaridad de la fem. Atsponible en las escobillas del
generados elemental no cambia, la magnited aparece pulsante y alcanza el
Valor cero dos veces en una rovolución de la armadura, La fem. puede ha-
‘corse más constante agrogando bobinas a la armadura, Por ejemplo, supon-
Zumos que en Jugar de una bobina, se colocan dos, formando entre ellas un
ángulo recto como se muestra enafig. 8-7. El conmutador tiene ahora cua-
tro" segmentos, cada uno conectado a uno de los cuatro lados de las bo-
binas. Se usan dos grupos de escobillas. Las foma. obtenidas se mueutran
en la fig. 8-6 (a). Lan dos bobinas pueden conectarse en serie y in forma de

409. 395 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

wo,
% Asa,
147 Ayn ay

wo

Fig 20 la) Formen Se re de fot Yorn mma nl bobines Ay = Aa Y Ay = Ay
moscas seredamanta. 1) Forma and se tn at Sani meca
ha os Babies a so

onda de la tem. resultante se muestra on ia fig, 3-8 (b), Lab escobillas
están interconectalas y el circuito externo se conecta a través de las

Bcobitlas B, y B,. So cbserva quelafem, obtenida en las escobillas 2, y By
es más constante que la fem. de las bobinas individuales, Agregando más
bobinas e incrementando el número de segmentos del conmutador es posible
obtener una tem. casí constante. La Flg. 8-0 muestra la fem. que se obtendrá.
con cuatro bobinas en la armadura, con los ocho lados de las bobinas
separados 43° entre si

Fla. = Poma on Su tou bid sam cure Denis conectadas ns

410. Dispositivos Rotutunnas; Mégianas de €, Da 207

$5 Ca
de eno Ragu

Una máquina de c.d. consiste de una coraza estacionaria de acero la
cual soporta a los polos. Muy frecuentemente, las ménsulas que soporten
las cmmaceras de la armadura están también fijas a La coraza. Un número
par de polos igualmente espaciados, fijos a la coraza, están excitados
por bobinas que conducen corriente directa, Las bobines están aanecta-
“as en serie de tal forma que se establece en el entrehierro un campo
rmagnético con polos morte y sur que se alternan. Una vista de la sección
‚ransvorsal de una mäguina de cuatro polos se muestra en la fig. 9-10.

Fu 8-10 Una via at la sl vier de une gues 6 ¢- ds emt polo.

La parto rotatoria de la máquina os Mamada crmaiura. Está hecha de
acero laminado, Se cortan ramas en la superficie exterior de la armadura
para sostener los lados de lasbobinas. Una parte Importante de la armadura
de una máquina de 0,4. es el conmutador, El conmutador es de forma
cilíndrica. Consiste de segmentos de cobre colocados paralelamente al
eje del cilindro v atslados cada uno entre ai. El conmutador está mon=
tado en la flecha, le cual lleva las láminas ranuradas. Los lados de las
bobinas están conectados a los segmentos de} conmutador en tarios
diferentes formas, dependiendo del tipo de embobitfide deseado.

El eslabón entre les bobinas en la armadura rotatoria y el circuito
exterso está provisto con escobillas estacionarias, lascuales están alojadas
en portaescobllias fijas a la coraza de la máquina y hacen ur contacto
ontínuo con los segmentos del conmutador. Las escobillas están localizadas
de tal manera, que cuando una eseobilla conecta dos segmentos advacentes
dei conmutador, la bobina conectada a estos then, hajo condiciones ideale,

411. 398 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

cero de fem. En otra palabras, la escobilla pone an corto cireulto una
bobina en la armadura cuando loa don lados de 1a bobima están aproximada»
mente on las posiciones de cambio bajo los polca y la polaridad de la fem.
{eneracda en La bobina está punto de invertirse. En la práctica, sin embargo,
asta inversión o commueción toma un tiempo finito, porque la esccbilla
tiene una anchura fina, y porque la inductancia de la bobina detiene o re-
tarda en ella, la inversióndelafera. > la corriente. Este proceso os tamblén
afeetado por la distorsión en el campo magnético causado por carrientes
circulando en Jas bobinaa de la armadura y al consecuente cam cal eje
heutro magnético, El tema de conmutación es algo complejo y no será ana
lisado aquí. Para tnsormación mia amplia, se pueden consultar libros de
texto dedicados exclusivamente a máquinas de cd Como se estableció con
anterioridad, hay un rúmero deformas op las cuales Jas bobinas de la arma-
dura pueden conectarse entre ellas y a los segmentos del conmutador. Se
deseribirä brevemente un tipo de embobinado, conocido como ombobinado
imbricado.” Dos vistas del exbobinado se muestran on las fig. 8-11 0-12.
Por simplicidad y conreniencia se usa como ejemplo una méquina de dos
polos, con ocho ranuras en la armadura y un lado de bobina por ranura. En
=uáquinas actuales, existen más ranuras y como ráínimo se localizan dos
Tacos de bobina en cada ranura.

talas liga, 8-11 y 8-12, las cuatro bobinaa son Ay + Ay, da = Aus As =
das A, = Ay, Los lados de la bobina partanectentes à la misma bobira
colocan con Una separación de un paso golas. En otras palabras, la distancia
periférica entre los lados de la misma bobina es igual ala distancia entre
flee de dos polos adyacentes. La fig. 8-12 muestra 1a colocación de los
ados de las bobinas en relación alas escobillas estacionarias. Esto diagra-
ma es aplicable a otros Inmtantes de tiempo por Lo conerntente al patrén
de conexiones. Sin embargo, las marcas que identifican los lados de bobina
Inaiviaxalea íenen que ser cambiados, puesto que las obinas camblan poal-
tones conforme gira la armadura.

En la fig. 8-42 las flechas indican la polaridad de las fema. generadas
an cada lado de bobina, El extremo tracero de la flecha está a un potenalal
mis bajo que el otro extremo cuando la máquina está actuando como
generador, Nétese que lon lados de las bobinas bajo la influent dl
Polo norte tienen tems. de una polaridad, mientras que los lados de las
Babinas bajo la influencia del polo sur tenon fems. de polaridad opuesta.

Es fácil ver que en este tipo do devanado, el amebiaado de armadura
completo entá dividido en tantas secciones paralelas como nämera de po-
Jos, Por ejemplo, en la ig. 8-12, st ompezamos on la escobálla 2,, la cual
anti tocando el segmento 1 del conmutador, 7 traramos las conexiones à
través de los lados de las bobinas siguiendo las flechas, encontramos que
. y Ba. Las dos

+ Poe ejemplo, ver RG Klier. BA
sachinery (how York: The Mar Min

tence sire muenae, 169 sient ros: C.5 Skin, Doro Current lacher (New tort
Bal Current Machinery Gen ork. The MacMillan Company LI. me

413. mo CONVERSION DE ENERGIA ELECTHUMECANICA
trayectorias gon By T-dy~Ay-dy-Ay-3-By y Bi úledgrdy rd; nd, dd

Como la máquina está trabajando como generador, es una fuente de
‚nergfa eléctrica. De acuerdo con la convención usual, la corriente sale
de la terminal positiva de 1a fuente y regresa a ella por la terminal negasiza,
as por esto que la escobilla 8, está marcada como positiva y la escobilla.
5, como negativa.

La máquina de las figs, 8-11 y 8-12 Uene dos polos; por lo tanto hay dos
travectorias paralelas en el embobinado Imbricado. Si una máquina de 0.4.
tiene p polos y la armadura tiene un embobinado Imbricado, entonces serän
p trayectorias paralelas.

‘Otro tipo de embobinado comúnmente usado es el llamado emhohínado
ondulado. En este tipo, elnúmero de trayectorias paralelas es siempre dos,
sin tomar en cuenta el túmero de polos.

SL en un clerto instante de tiempo, las escobillas conectan dos segmentos
adyacentes del conmutador, labobina conectada a estos dos segmentos está
en corto eirculto y la fem. obtenida enlas escobillas será la contribución de
los otros lados de las bobinas en serie entre las escobillas, Conaidérene
1 caso cuando, en latig. 8-12, laescobilla B, está puenteando los segmentos
del conmutador 1 y 2 y la escobilla B, está puenteando los segmentos 3 y4.
En esta posición, las bobinas A, - Aa y A, - A, están en corto circuito por
las escobillas y no contribuyen a la fem. total entre ellas. Los elementos
activos de las dos trayectorias paralelas son 2,~ Ida. À, = 3-8, y By -
1 = Au Ay = 3 - By. En ma miquina práctica habrá un gran número de
bobinas y fin cuando una o dos bobinas estón en corto circuito, la fem,
generada no variará apreciablemente. (En el presento ejemplo, el número
de lados de bobinas on serle deeroce de cuatro a dos, pero esto no en lo
que sucedo en la práctica).

Una representación esquemática de una mfquina de c.d. se muestra en
la fig. 8-18. El sistema de campo que egtableca.el campo magnético está”
'epcesentado por una bobina. La armadura se representa por un ofrculo.
Las escobillas están representadas por pequeños rectángulos sombreados
Jocalizados en los extremos opuestos de un diámetro, EI oje de la bobina de
campo, el cual representa al eje del campo magnético principal, es Ilamado
eje directe. El eje de la armadura indleado por la línea que une las

CES

414. Dispositivos Rolatorios; Méqunas de C. D. so

escobillas en la fig. 9-13 es llamado eja en cuatratura, porque el campo
magnético establecido por las corrientes de armadura es perpendicular
al campo magnético principal Con relación a esto, la discrepancia entre
la localización de las escobillas en La fig. 8-11 y su localización an la fg
8-12 deberá ser explicada. En la fig. 9-11, aunque las escobillas ostän
Físicamente localizadas en el eje directo, la bobina de armadura que se
one en corto eirculto está localizada enel eje de cuadratura. Por esta razón,
las escobillas están localizadas en el ejo on cuadratura en los diagramas
esquemáticos,

8-6 Expresión para la Fem Generado
+ Práctica de C.D,

‘ae una expresión para la fem. generada en un generador
práctico de c.d., por una aplicación directa de la Ley de Faraday, uno de
los dos métodos usados con anterioridad en el caso del generador elemen-
tal de cd.

En un generador de dos polos con una bobina en Ia armadura, el Mujo
que enlaza In bobina #8 cero, cuando está en la posición vertical paralela
AL eje del campo magnático. El flujo que enlaza ia bobina 9a 3, donde o es
al flujo por polo, euando la bobina está en la postción horizontal, En otras
palabras, elcambiown Aujooelenlazamtento de ajo $ tiene lugar cuando la
armadura gira «/2 radiangs, 81 u 26 la velocidad angular de la armadura en
radianes por segundo, el tiempo requerido para un cambio en el flujo es

Me mudos eo

SI el generador tiene cuatro polos, el flujo enlazando la bobina cambia
de 0 à # cuando la armadura gira #/4 radianes, puesto que hay dos polos
morte y dos polos sur y la distancia entre dos polos adyacentes es 9/2
radianes. En general, si lamáquina tiene p polos, el ángulo que la armadura

tondeá que girar para que el flojo cambie de 0 2 + ea#/9 radianes.
‘St à en la velocidad angular de la armadura,
dr Eo <mgundos em
Zo

Si hay Z lados de bobines en la armadura y a traveetor{as paralelas
(a = p para una armadura con embobinado imbricado y a =2 paraunaarmu-
tura con embobinado ondulado) entonces hay 2/a lados de bobina en serte
entre las escobillas, Estos Z/a lados da bobina pueden considerarse equi-
valentes a Z/2a bobinas da una vuelta en sarle con el propósito de la aplica»
ción de la ey de Faraday, De acuordocon la ley de Faraday, la fem. generada

es

415. 02 CONVERSION DE ENERGIA ELECTRO:

Sustituyendo 3: de la Ec, 8-17, obtenemos

z
i= Ot in ey

‘ae
nek um

ei CD.

con Excitación Independiente

La Ec. 8-19 muestra que la fem. generada de un generador de ed. de=
pende de la velocidad de rotación y del flujo por polo, La velocidad de
rotación se determina a partir de a velocidad del primotor, el cual está
moviendo la armadura. EL flujo por polo dapende de la corriente directa
que eircula en el emboblnado de excitación de los polos y de la reluctancia
del circuito magnético de la miquioa de ed. El clrculto magnético consta
de partes lineales y no lineales, Los entrehierros entre las caras polares
y la armadura son lineales, la coraza, polos y núcleo de la armadura están
hechos de material forromagnético, el cual, como sabemos, es no lineal.

Consideremos las características de excitación on estado enable de
un generador de ed. El embobinado decampoestá conectado a una fuente de
1a cual puede obtenorse 1a cantidad deseada de corriente directa. Esta fuente-
es usualmente una batería con una realstencia variable en serie con ella,
La armadura ea movida por un primotor cuya velocidad puede variarse en
c2s0 necesario. Tal máquina de c.d. es lamada generador de 6.4, con excita-
ción Independiente. Se muestra un diagrama esquemático en la fig, 8-14.

yemas

LAS

Caso le La Corriente de Campo I, se Muntione Countuone à Varia la
Velocidad Angular. De la Ec, B-19, tenemos

En = Kyou = Ke am

416. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. D. 403

donde KI» K;9 es una constante ya que > ea una constante,

o. 1 Sven cansan Scene.

La fem. generada es diractamente proporcional a la velocidad angular.
La tig, 8-15 describe gráficamente esta relación.
Caso 2 La Velocidad Angular u se Mantiene Constante y Varia la

: Corriente de Campo I, La Ee. 8-10 queda.
En KG (622)
donde A" = Kio, Como una parte del circuito magnétion consiste de mate

rial terromagnético, la relación entre la corriente Jj y el flujo 6 es no
Lineal. Esta es descrita por la curva compuesta para la estructura magné-

Fao ser
pao $

ig. 428 Cu de fe compuesto van corny
anos Sel gener dtd

417. sas CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

tica. mostrada en la. fig. 8-16. A menos que los polos sean exeitados por
primera vez. se presentará algún magnetismo residual, Esto se represena
por el punto 4 en la fi. 8-10. Además, las curvas zara valores de corriente
que aumentan o dismimiven son diferentes devido à la histérasis.

La relación entre B.. e /, a unvalor constante de w están descritas por
una curva similar en forma a la curva compuesta de la tig. 8-18, Una
familia de wurvas se obtiene conservando constante w para diferentes valores,
La fig. 8-17 muestra una familia típica, Las curvas para un solo valor
pueden tomarse como la media de las curvas sbtenidas para valores de I

mane,

Criado Ty

Le

418. Dispositivos Rotatorios; Méquiras de ©. D. 405

que aumentan o disminuyen, Estas curvas se llaman características de
magneticación o características de saturación de un genarador de c.d.

‘Sin embargo, sl ae supone que la estructura magnética no es aaturable
y por lo tanto es lineal, las características de magnetización quedan como
líneas rectas y pasan a través del orígen sa quo la media magnática lineal
no tiene magnetiamo residual. Las características para el cago lineal se
muestran en la fig. 3-18. Para el casolineal, la Ec, 8-19 puede modificarse
‘como sigue: By = Kuss. Podemos exprasar + = £/1,. Entonces

En = Kyokyly = Kkjalg = Kool em
donde Ky = Ke K;. El significado de los subindicos af se aclararä en la
siguiente sección. St ij representa una corriente de campo variable con
el tempo entonces 1a fem. generada astá dada por

elt) = 70) 629

8-8 Us ED. «
a Doble Excitaci

we Transdactor

Los resultados obtenidos en la sección 8-2 pueden aplicarse a la
miquina de c.d. puesto que se ha establecido que la maquina de 6.4. puede

Emmsblande de como yon
see ce =...
N sin

ow

Pig 8-18 (a) Une mésuine de moments como un anna
Eee)

419. 46 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

‘gpresentarae eequemáticamente por des embodinados cayos les magnéticos
están en cuadratura. La representación esquemática 16 muestra en la Tig.
8-19 da cual es esencialmente igual ala de la fig. 8-14).

ALembobinado de campo estacionario, está localizado enel eje directo;
el voltaje y la corriente en este emboblnado eatin representados por v/(0
e it. La armadura rotatoria, la cual tiene un embobinado distribufdo, se
representa por un embobinado concentrado equivalente sGire el Bia on
O A Ne an
va Kb, Se gupone que la armadura gira a una velocidad angular constante
se. de tal wänera que la posición angilar imedidx debde dl sje directo sa
REO E
establecido por la corriente is que circula en Él, está slempre à lo
largo del eje en cuadratura. ESO ne dat a las Conexiones del embobinado,
Gon Tos segrseniós del conmutador y a la localización de as escobilias.
ÉL Feferiree a ta fig. 8-11 será de utilidad en la compresión de esto factor.

Laestruciura magnética e emondrá lineal en este análials, Con
cuentemente, Jas_tadictancias L, son constantes, Wo hay
acoplamiento. eae lane AR 1 campo mangbtico 0, establecido po
Sampo magnätica_ 740 establecido por it? porque sun ojos estin on
Gundraßirä, ya nea que la armadura sea estacionaria 5 rotatoria Conse
guentemente 1a inductänciA muisa de 108 dos embobinados es caro, que de

Ha) = 0.
EG tem. en moviento 6 pnerada en of orbobinado el eje en cua-

deatura debido a 1,09. De la Ex. 8-24 obtenemos
Calo = Root)

Coino el embobinado de campo y el campo magnético 9,[ son estar
clonarios con respecto a ellos mismos entre sf, no hay fom, en movimier:.
to en el embobinado dal ea directo debido a if.

Las ecuaciones de voltaje para la máquina de c.d lineal mostrada eo
la tg, 8-10 son

axe)
AO = Bao + LÉ 625

MO = RU + £, HO

+ Kysidt) 26

de

Por analogía con el transductor doblemente excitado analizado an la
secc. 8-2, las Ecs. 8-25 y 0-25 pueden escribirse en forma matricial

Fee fees le
dl de JR fet

em

420. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. D. 407

e
(7) = {RIM + pleite + oft (228)

La inductancia en movimento de una máquina de c.d. es Ky. So obtiene
experimentalmente de la característica de magnetización de la máquina.
Se estableció con amertoridad que en un transductor deblemante exsltae,.
los valores máximos de las inductancias en movimiento y mutuas son.
iguales. Enel caso dela máquina de 9.4, la cual es un transuctor doble.
mente excitado, como la inductancia en movimiento permanece constante
à Ky y la inductancia mutua entre el ombobinado de campo del eje directo
y el embobinado de armadura del ejo en cuadratura os cero, parecería
que emos trabajado en un ejemplo contrario. Sin embargo, un pequeño
andlisia mostraría que nohay contradicción, La orientación del ofe magrático
ie a
depende dela localización de las oacobilias. Como ve explicó con anterioridad
5 este capítulo (ec. 0-8), el efecto combinado dol conmutador y de las
scobillas estacionarias es alvidir al embobinado de armadura on trayec»
torias paralelas entre las escobillas, de suerte que, el eje del campo.
magnético establecido por las corrientes de armadura está siempre a lo
largo del eje en el cual se localizan las escobias. En el modelo de la
máquina de c.d. que aquí se considera, las escobills están localizadas en
ei eje encuadratura. Consecventemente los eles magnéticos de los embobtae-
dos de campo y de armadura están en cuadratura y la inductaneia mutua entre
los embobinados vale cero. Si las escobillas se giran 60", los dos embobina-

D man ice ADS y Tn CA DUO etna
i Ya que con 00° escoroy Ma) = Ma cos a, el valor cero de la
Inóuotancia mutua obtenido cuando las escobillas están Incallzadan en e eje
en cuadratura pueden considerarse como un remiftadode que el ángulo entre
los ejes magnéticos es de 3. Este valor méximo Muy, se Teprasanta
frecuentemente como M, puesto quo ea la inductancia mua entra el embobl-
nado de campo y el embobiaado de armadura en el eje directo y os Igual a
Xy, la. inductancia en movimiento.” Kei = Man & Me

Las relaciones de conversión de energia en una máquina de o.d se
obtienen calculando la potencia total en el sistema La potenciz total en el

transductor mostrado en lag. 8-19 está dada por
ee (TH (8-29)

onde =
iar ol 630)

rereblers a void. Es prom
ed ee nc e aria

ero de ono de la má
Se aa un m ot

mère ca plone Ia mana. La made pars emita

421. 108 CONVERSION DB E,

GIA ELECTROMECANICA

es la traspuesta de [7]

mC

como se definid con anterioridad. Sustituyendo [de la Ec. 1
Ee. 8-29, obtenemos

anta

Pw ATRIO + I PLL + UNE em

Examinemos los términos del lado derecho de la Ec, 8-31, El primer
término se reduce 2

era wo on [fp] Bo)

: = RO + Ryley en

el cual, por supuesto, es 1a resistencia o pérdida Shica, en loa dos em-
bobinados. El segundo término se reduce à

", fa 0] fe
UL = WA) Cop l 2 [ec]
= Pl LAW) + he Lor
fi
or en

er cual es el valor en que la energía almacenada en el campo magnático
cambia, El último término del lado derecho de la Ec. 8-31 se reduce a

crias tan on fe ae {40}
iO (8-34)
Coma 1a energía total an l sistema doberáconsarvarss y a] balance de

energía debe establecerse, es claro del análisis en el capítulo 5 que la
Eo. 8-34 representa la potencia convertida a la forma mecánica, Por

consigufente,

Pane = OK 700) 039
Como'la máquina de c.d as un sistema rotacional, la potencia mecánica
está relacionada al par desarrollado y a la velocidad angular de rotación
e la armadura por la expresión

Pane = Tu (036)

422. Dispositivos Rotatorios; Méquinas du C, D. +09
de La cual obtenemos el par
Tm Kyif Oi = Mai) em

La operación de una máquina, (anto motor como generador, está descsita
por la Ec. 8-37

“Cuando la máquina de corziente directa está actuando como motor, re-
cibe energía eléctrica de las fuentes conectadas a ella y convierte parte
de esta energfa en ?orma mecánica. Ambas 4,0 e v(t) eirculan en los respec-
tivos embobinados y son positivas. De la Ec. 8-37 se ve que el par desa-
rrollado es positivo cuando ambas corrientes son positivas, Esto corres-
pande 2 1a operación como motor.

Cuando la máquina de c.d. está actuando como generador, recibo enar-
gía eléctrica de la fuente yjfl) para establecer el campo magnético. (Má-
quinas con excitación propia, las cuales se analizan mis tarde en ante
capítulo, son excepetones). La máquina recibe energía mecánica de un
primotor. El voltaje generado en la armadura se aplica a wa carga 7 la
salida de la máquina es on forma de energía eléctrica. Cuanto (0 circula
en el embobinado de campo, la corriente ff) circula hacía afuera en la
armadura. Consecuentemente, al É/ es positiva, £,(0 es negativa. Bajo
estas eircunstanelas el par desarrollado dado por la Ec. 8-37 es negativo,
Esto significa que un generador de c.d. desarrolla un par mecánico el cual
se opone al movimiento causado por el primotor, De este modo se obtiene
equilivelo dinámico y el equilibrio de energía so mantiene.

‘Abara que han sido descritos loa principios do operación generadora
y motora & una máquina de c.d., es útil considerar algunas aplicaciones de
estos resultados básicos.

rador de CD.
de Excitación Independiente

La velocidad angular de rotación w se mantieno constante. La ener gia
mecánica requerida la proporciona un primotor acoplado mecínicamente à 1a
armadura. La característica de magnetización es una línea recta, de suerte
que sl generador puede considerarse como un dispositive lineal y pueden
usarse los resultados obtenidos en la sección anterior. Esta suposición de
Mnealidad es válida en el caso de generadoros de c.d. muy pequeños usados
en aplicaciones de control. Son de importante conalderación dos modos
de operación del generador.

Mado 1. La corriente 0 = ~{(t) on La armadura es tan pequeña, que
la armadura esencialmente está en ctrcuxo abierto, Es Gill expresar la
relación entre el voltaje u, el cual so considera como la entrada + al
voltaje ett), el cual es el voltale generado ena armadura debido 2 la
rotación y se considera como la salida, en la forma de una función 4e
transtereneia, De la Eo. 8-25 obtenemos

140 = Ril + 1 BO 1

423. CONTERSON DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Haciendo ¿1 «0 en la Ee. 8-26, obtenersos
lO) = TEE) es
Como w es una constante, sea
Kye m Ky em
La Ec. 8-36 queda

eel = Ku (8-40)

Suponiendo que las condiciones inletales son cero y tomando las teanstor=
madas de Laplace de las Bes. 8-5 y 8-40, obtenemos

HOO = (Ry + LLO am
Eule + Kyle) 642)

Eliminando /,(s) de las Eos. 841 y 8-42, obtenemos la función de trans-

ferencla

AA
Wo” Bail,” Tem

(43)

donde 7; = Li/R; 98 la constante de tiempo del embobinado de campo.
Modo 2. Se muestra en la fig, 8-20un diagrama esquemático para este
modo de operación. La corriente que circula de la armadura a la carga es

424. Disposttwos olarorins; Suns de C, D, m
im. La consiente it = = fl. La corriente no es despeeciable. El voltaje
gsterado ¢ A) vel voltate de salida en las terminales e la carga no es el
mismo, Ri Stzno negativa antes de 1,0 indica que está czreulando en direc-

sión opuesta a la referencia pnsıtwwa de la corriente if. La magnitud y
natoraleea de la corriente está determinada por vf y la carga, la cual
estate e un resistor. Keun inductor Lan serie, Las cs. 8-25 y 8-26 dan

a

mo = Rri + 1829
Ri) + L “e + Keith
ro - BO + rio es)
Pero o
WO = Rio + LÉ a
Combinando las ea, 8-44 58-15
(846)
donde
R4R y en

jones iniciales cero y tomando las tranmormadas de
. 9-25 y 8-46, obtenemos.

HO = (Ry + LOLA (6-48)

Kylie) = (Ry + std 49)

de la cual obtenemos

419 PTA
Win RARA Tar oO

donde == L./R, es la constante de tiempo del embobinado de campo y
“Li /Ries la constante de tiempo del circulto db Ia armadura,

Si Li as despreciable comparado con L., como algunas veces lo es,
la Ec. 8-50 se reduce a

sn

425. DE ENERGÍA ELECT

Coarse PEANICA

sn vez que 1.51 se conse!

]

Us) = LR + sh) ss

De ia sta 8420 se trazará abra una grácica de flujo de señales del gencrader

<—oacatamente, Beaerumando. los. términos an las Bes.
49, amenos
CRETE) ws
donde
ee eg) asd baad
Es = Ke 655)
: AAsh= EASY) 18-56)
donde
CCE sy

Fg Gd Gil

Puede ahtenersn una gráfica de flojo de señotos Etap v una ce
presentación en computadora analögien del generador de 6,1 excitado sro
Davadamente. coscomponiande la función de transterenola cada en ia Ee
8-56 de acuerdo con el procedimiento descrito en la sec. 2-6. La Ec. 8-30
purde escribirse como

LE) AU) Eads)

fy” By 18-58)

dune & 187 1716, esti darla pur

Ec. 8-49. Cémstdéres 2 (near. De ia Be. 8-33

BAS, EEE (or se chier de

Et Kur

A eso
EE Rita E

426. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de ©. D. ns

Pivtatando el numerador 7 el denominador del lado derecho de la Ec. 8-39
por s, e introdaciento una variable aweillar Xs), obtenemos.

Esto (8-60)
ento BE rea eso
, z
Vy) = XCD + XI) (8-62)
sa
SX) = Kl) (8-63)
de modo que
PPT eon
Tas es 8-51 y 8-62 quedan
Ka
Eafe) Kt x (259
2

qa neun

ta

top Fw LR

x

ta

427. oie

4 CONVERSION DE ENERGIA SLECTROMECANICA

Lu

ETC)
”

Lx (8-66)
7

Se muestra en 1a fig (a) una gráfica de lujo de señales integral
trazada usando las Ecs. 8-85 y 8-68. Un nodo /,(2) se introduce. Nótese
que Its) = A/R)X, (8). Similarmente, partiendo con la Ec. 8-39

16. 1
LO. és
Ends) RU + ret) er

obtenemos la gráfica de flujo de señales Integral mostrada en la ig. 8-22
(0), Note que

26) = LOR, eon

Una gráfica de flujo de señales integral compuesta que representa al gene-
rador de c.d. de la fig. 8-20, se obtiene combinando Las gráficas componen”
tes de la fig. 9-22 (a) y tb} en cascada, Esto se muestra en la fig. 8-22(0)
Un diagrama de computadora analógica puede oblenerse {écilmente de esta.
gráfica compuesta. El dlagrama de computadora se muestra en la fig, 8-23.

Eeuaciones de Estado det Generador de C.D. Las ecuaciones de
estado del generador de c.d. pueden obtanerse dela fig. 8-22 (c), escogiendo
las salidas de los dos integradoras como variables de estado, Las variables
de estado son

ad = RK = REO 0)

428. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. Da sis

w= 2H » 777) en

22 (e), obtenemos las sigulentes relacione

A FA Hi em

1

m= = EM € OL EE 0 = Lo em

a Be

on el dominio det tiempo son, an forma

Las ecuaciones Correspondiente
matricial,

“ho am

8.10 Anéllsis Ui

Se menelonS con anterioridad que Los motores do 0.4. se usan extensa.
mente en sistemas de control como dispositivos de posición. En este caso,
se requiere frecuentemente un control preciao de mu velocidad y par, are
un rango amplio. Los motores unados como dispositivos de postción pueden
considerarse como dispositivos linealos, puesto que el diseñador hace tados
198 esfuerzos que permitan aseguras que operarán en el rango Limal de aus
carasteríeticas de magnetización, de suerte que el campo magsético
directamente proporcional a la corriente de excitación y no hay histbres,

El control de los motores de c.d. usados en sistemas de control se
realiza usualmente on dos formas diferentes: 1) La armadura se conecta
2 una fuente de corriente constante, de suerte que /, permanece constant
La excitación del campo en derivación se varía, (La señal de entrada al
campoon derivación esla sefal de error, amplificada por un amplificador
a un nivel aatistactorio). Tal motor de c.d. es llamado motor de cd. de
campo controlado, 2) La corriente en el embobinado de campo en dert-
vación se mantiene constante, de Suerte que el campo magnético as coms.
tante. La armadura se conecta a una fuente À roltaje variable, (Esta
fuente es usualmente la salída de un amplificador, el cual amplifies la
sonal de error en el sistema de control). Tal motor de c.d. es llamado
motor de c.d. dearmadura controlala,

Motor de C.D. de Campo Controlado. Lafig. 8-24 muestran motor
de cd. de campo controlado acoplado mecánicamente a una carga. En esto
caso la carga está dlrectamente acoplada al motor. Sin ombargo, en general,
se usan trenes de engranen entre el motor y la carga.

429. ui CONVERSION DE ENERGIA SLECTROMECANICA

a. 0:24 Uy mata a 6-4 de camps camote.

La entrada al embobinado de campo del motor es vf. La velocidad
angular del motor y da la carga, u, = u, ge considera como le sallda, Los
términos A; y L son la resistencia y la Induetancia, respectivamente, del
embobinado de campo; íx(1 es la corriento; ist = L es la corriente de
armadura constante, J. y f gon el momento de inercia y la £riccíón
‘viscosa asociada con el motor; y J, y f, son los parkmetros correspondier
tes de la carga! La flecha que Conecta Ja carga al motor ge supone
completamente rígida, Tenemos las sigulentes relaciones. De la Ec. 8-25,

à
did = Rio + by OO (8251

El par desarrollado por el motor astá dado por la Eo. 8-37 en ta cual la
corriente 4,4) = I. 98 una constante, Consecuentemente, la Ec. 8-97 queda

TO = Kept Ole = Ki Cony
donde
Kumk, (es
también tenemos
Tall) = Ua + JE + Um + Sidhe (8-76)

donde 9,4, = &(t) es sI desplazamiento angular de jas flechas del motor
y de da carga. ‘También d0q/dt y 8, = d*0,/d?, La velocidad del
motor y de la carga 08 un Vet Ty fas fot hes

= Anuf se notará el cio en a notación En os capis 5 y 7 atera D en usada para
cepeasentae a unclön ven. En 9 renerd Capo anal sites se vases a LR

430. Dispositivos Rofatorivs; Máquinas de C. D. ar

“Tomando las transformadas de Laplace de las Eos, 8-25, 8-34 y 8-16
(supontende condiciones Intctales cero}, obtenemos

He) = Ry + Ld em
Tals) = Kn) (028)
También
Tali) = (ag + Segal) = (A + LDC) e
donde 5_(si + 58. (s) = E [ive (11). Combinando las Eos. 8-11, 8-18 y 8-78,
20 Kye u KullByrhe) um

Va" WE + ple

donde 7, = LR; es la constante de tiempo del embobinado de campo y
Tu = 34/14 ea la constante de tiempo de la parte mecánica del motor y
carga, La Ée. 8-40 es una función de transferencia del motor de c.d. de
campo controlado.

Deberá mtarse aquí la similaridad entre las Eos. 8-80 y 6-50, de
suerte que la gritica de flujo de señales, la gráfica de flujo de señales.
Integral, el diagrama de computadora analógica y Jas ecuaciones de
estado de un motor de cd de campo controlado, pueden obtenerse sin
hocesidad de algına computación y manipulación detallada. La gráfica de
flujo de señales se muestra en la fig, 8-25; la gráfica de flujo de señales

qu asa mist Apis

625 Une ati filo de setae du motor de 528 de

integral en la fig, 8-26 y el diagrama de computadora en la fig. 8-27
Las eevactones de estado están dadas en forma matricial en la Ec, 9-81,
.
GD na A IN Ai Dat

431. na CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Me.
sel %
mare i
E

a. 127 sapetannctn an computadora ance di moter de 0-4 e compo contr
measure a.

Rouaciones de Estado del Motor de C.D. de Campo Controlado,

ol kw! |
. A + luto am
- 2] bol fo
210) = Ro em
y
20 fl em

EJEMPLO 8-1. En la fig. 8-24 suponga que la entrada v,( = Y, un
voltaje de cd aplicadosa £ = 0, Calcule la velocidad de estado estable del
motor a partir de la función de transferencia dada en la Ee. 8-80,

Solución:

[TEL om

yy) = vis es

432. Duspositivos Rotatorios; Máquinas de C. D. 419

Sustituyendo ¥j(s) en la Be. 8-80, obtenemos

TA
a CORTE e.

El valor en estado estable dela velocidad ait) está dada por
im val = Im 62460 em

de acuerdo con el teorema de valor (inal, ol cual está establecido en ol
apindice D, sobre la transtormada de Laplace.
La velocidad en estado establo está dada por

LA
CR ws

De la Be. 8-85, tenemos.
(23)
A 2
e
eon

El mmerator de la Ec. 8-91 reprenonta el par, en ostado establo, desarro-
Lado por el motor, puesto que puede obtenerse de la Ec. 8-37 sustituyendo
og valores en estado estable de 1, o /,para las corrientes de campo y de
armadura à (2) e if) = iQ). La Bo. 8-01 dá

Par en estado estable Tag

an
Ta

Velocidad en estado estable u, «+

donde fa es la fricción viscosa total del motor y de la carga.

Motor de C.D.de Armadura Controlnds. La fig. 8-28 muestra un
motor de ed. de armadura controlada. La corriente if) en ol embobinado
As campo se mantiene constante a Jj, por tanto el campo magnático $
constante. La armadura está conectada eltctricamante à las terminales de
salida de un amplificador el cual amplifica la señal de error del sistema
que está stendo controlado. La carga está mecánicamente acoplada a la
armadura, ya sea dlrectamente o a través de tronos de engranss.

Los siguientes cambios en notación se bacon por conveniencia, El
voltaje aplicado a la armadura (0) está representado por y,(0 en La fig.
8-28. Otros cambios son la resistencia de la armuadura Ry R,; la induetan-
cia de la armadura Li = L; la corriente en la armadura If) = 4,00 y el

433. GUS VERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

‚oitale gensrado an la armadura debido al movimiento #.,(t) > 2.00, De
la Ee, 8-24 obtenemos

ro Re LÉO ua,

re o 2

I ara

oF
ia 0:20 Un motor eee a rmaaureconbointe

donde

Kyl (8-94

es conocida como la fuerza contraelectrumotriz constante, El término J;
es la corrtent de campo Constante y u¥(t) es la velocidad angular del
motor y de la carga.

El término K, también es Uamado constante de par, por razones que
se aclararän más tarde en este análisis. Cuando se designa como fuerza.
contraelectromotriz constante, la dimensión de Ay está en volta por radién
en ei sistema mks de unidades.

De la Ec. 8-37, el par desarrollado por el motor es

TaD DROID = Kerli) = Kain) us)

es la constante de par y tiene la dimensión newton-metros por
ampere on et sistema mis de unidades.

El par está también expresado en términos del momento de inercia y
1a fricción viscosa del motor y de la carga.

ropeoganacias por es simon, 5.7 R, fexpectiramente, porque no Hanen El mare
‘stor mumirice ras de undses. Par jmp, e 1 Site ngs doe A e
Frprenada en wets por radián or seguro y Ken pla por amperes Ste

434. Dispositivos Hotatorios; Máquinas de C. Da #1

Tot) = Je + Sate Je = hes 1896)
donde 9, = 8, es el desplazamiento angular de laflecha del motor, Ju =
A

Tomando las transtormadas de Laplace de ambos lados de las Ecs.
8-93, 8-05 y 8-08 y suponiendo condiciones Intelales cero, Obtanemos

YG) = Re shh) + 0 (697)

Tals) = Ka (69
y

ToS) = igs + fg) Dad (199)

donde 0,(6) = transtormada de Laplace de w,(1). Combinando estas tres
ecuaciones y eliminando Z,/6), obtenamos

A ere
His) RF Vy + ad > Rh m

Là Be, 8-100 puede sscriiros en diferente formas, Dividend anto
1 numerador como el denomimato de lado derecho de fa BS: 6100 sire
(Rt So) Un + SL), obtenemos

Bob) EIA IE A
Ke) IA RR + UL + tad K 1 + GHG)
conte
, A
ara “
y
CEA en

La Ee. 8-101 es de la misma forma a la de la Be. 7-15, 7 como tal, un
diagrams de bloques similar al de la fig. 7-4 (a) puede trazarse para el
motor de ed, de armadura controlada

Otra forma de la Ec. 8-160 se obtiene factortzagfo A, Y Ju.

20 . MIA

Hy” Te Re) YA wn

donde +, = 1,/R.es la constante de tiempo de la armadura 7 7.2 44/48
la constante de tiempo de la parte mecánica de a armadura y de la carga.

435. ee ee cd

122 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Puede trazarse una gráfica de flujo de señales usando ina Bos, 8-97, 8-08

y 8-90, De la Ec. 8-77
ACA]
to) = A Ku Bl
fs) ES Re (8-105)
Dela Ec. 8-98
Tale) = Khel) (2109)
Dela Es. 8-99
ao u y
0) = E on

La gráfica de flujo de señales se muestra en la tg, 8-20.
Gráfica de Flujo de Señales Integra! y Diagramade Computadora Ana~
Wgica. De las Ec. 8-91, 6-08 y 8-09, obtenemos

(8-108)
r
E senta wm
Ai
E
Bray
an
Cox

iO ET AA

Pi. #90 Une gr a jo sas

436. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C, D. 423

Puede ahora trazarse una gráfica de Mujo Integral (fig. 8-20). La re-
presentación en computadora del motor de c.d. de armadura controlada se.
muestra en la fig. 8-31, Las ecuaclones de estado, en el domintode tiempo,
on fácilmente obtenidas de las Ecs, 8-108 y ‘8-109, Están dadas on la
Ec. 8-110. Las variables de estado aon i) y wall).

®
E
+
yay %
lu
Le
To

3031 Bopssenoaón on compren angles a metas de 24 de ermano

"Tomando las transformadas de Laplace inversas de las Bes. 8-108 y
8-109 y pontendolas en forma matricial, obtenemos las ecuaciones de 0
tado del motor de e.d. de armadura controlada.

Pr

EA Ku

[é A aaa
E À

ES E sq o

EJEMPLO 8-2. Un voltaje v,(1=Y esaplicadoa las terminales de arma~
dura en la fig, 8-28 a £ = O. Encuentro la relación antro el par en estado
estable y la velocidad en estado estable de la armadura.

Solución: Do la Fc. 8-95, Tu)» Kai,(0. El par en estado estable

ey

donde 1, es el valor en estado estable de la corriente de armadura. La
velocidad en estado estable puede calcularse usando el teorema del valor

437. des CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA
tinal. Si w(t)» Y,
v
TEE en

Sustituyendo la Be. 8-112 en la Be. 8-100, obtenemos

ent)» Ts, CE)
Lavin nos
a. tqm i
he (8119)
Rely KR

Ven. Var
Re oe
d wan
€ em

entro el par on estado estable y lz velocidad en estado
ta por una familia de líneas rectas paralelas, como
en la fig. 8-32

Los siguientes puntos son espocialmonte importantes:

1) En vacío, la velocidad en estado estable cuando 7, > 0 es la inter-
‘cepetin de las curvas en el eje un,. De la Es. 8-117, el eje so, interceptado
enla fig. 8-32 está cado por

us "Re as)

de 1a cual obtenemos

CET CE

Esto es lórico, porque bajo condiciones ideales de vacío no hay corriente

438. Dispositivos Rotatorios; Möquinas de C. Da 425

Pa 1.22 Cures de pa a ara ata vas mages gular an sao stale e

en la armadura y consecuentemente la fuerza contraelectromotriz os igual
al voltaje aplicado.

2) La intersección de las curvas con eleje del par corresponde a a, =
0 y por lo tato,

A SF ano

Deberá aclararse que la respuesta completa del motor a una entrada
escalonada vf) = Y, puede obtenerao tomando la transformada de Laplace
inversa de la Be. 6-113,

8-11 Excitación Proy sde CD.

Una mayor aplicación de una máquina de c.d es usarla como una fuente
de corriente directa. Una excitación de campo constante dA lugar a un
voltaje constante en las escobillas enla armadura, al la velocidad angular de
rotación ss mantiene constante. Esto as evidente de la Ec, 8-23, Sin
embargo, la desventaja obvia de un generador da c.d. con axcitacién
¡separada es que, excepto en el caso de generadores pequeños, se requiere
una fuente de ed, para oxcitar el embobinado de campo. En el caso de
generadores pequeños, puede usarse una bateria para excitar ol smbo-
Dinado de campo, o Aún algunas vecesunmagnato permanente puede proreor
un campo magnético adecuado, Sin embargo, cuando se pretendo el uso de
grandes generadores de c.d. como fuentes de corriente directa, las posibl-
lidades. son que otras fuentes de corriente directa puedan no ser dispo-
mibles, Puede, por consiguiente, llegar a ser necesario usar el voltaje de
salida de la máquina para excitar su propio embobinado de campo. El ob=

439. 126 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Jeto de esta sección es mostrar que la excitación propia de loa generadores
de cd. es factible siempre que acan satistechas clortas condiciones.
En el caso de operación de axsitación propia, el embobinndo de campo
ado a las términales dela armadura. Se muestran cuatro posibles
configuraciones de un generador de c.d. con propia excitación en la fig.
8-33, Estas se examinarán con detalle mis tarde on esta sección. Una
representación esquemática simplificada de un generador de c.d. con excita
ción propia se muestra en la fig, 8-34. Por razones de simplicidad, en esta

está cone

unre cos. 5 most à polaco al rares e, y rito,
{et ebobinede de compo permeree al

ocasión no se conecta carga externa a la armadura. La corriente que
elrcala en la armadura es Igual ala que está circulando en el embobinado
de campo, ya que no se tiens carga conectada,

Se verá primeramente que el análisís lineal fracasa en mostrar la
posiblidad de 1a exeit¥etin propia.

Sea la Yelooidad angular de rotación de la armadura constante a un valor
«. En estado estable, sea el vollaje aplicado al embobinado de campo Y,
volts. Si la resistencia del embobinado de campo es Hj, la corriente es
Le En otras palabras,

e

440. Dispositivos Rolatorios; Méquinas de C. D. 427

De acuerdo con la Ec.

En kate em

LE

Pan uns

También
Ver En Ly Ram Key = Badly 48-123)
Tgualando las Bes. 8-121 y 8-123 obtenemos
GR, > (Kay Badly

Ky (Re + RY = © (29

Esta ecuación conduce a resultados absurdos. Si Ky= R, + Ry, entonces I,
es indeterminada, $i Ky no es igual a 2, » Ry, entoncer I, es cero. St 1/68
cero, Ey 08 cero, si fos indeterminado, By es también indeterminado,
Esta dificultad se debe como se verá más adelante en esta sección, a la
langencía de la característica de magnetización y a la lítea de resistencia
de campo,

Se mostrará a contimación que la propia excitación es posible su-
ministraria si la estructura magnética ea no lineal; esto es, ai posee algún
magnetismo residual y saturación; algunas otray condiciones deberán
también satistacerso. El anélisia 0 entocará a la operación en estado
estable del generador de cd. Haremos lag siguientes suposiciones (ver
fig, 8-33):

1) Hay algún magnetismo reatdual en los polos. La polaridad del cam-
po magnético residual se indica con las letras NyS, La polarsdad es la
misma en los cuatro casos mostrados on la fig. 8-33

2) Para la polaridad supuesta del magnetismo residual, la escobila

441. 428 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

supertor tiene polaridad positiva si la dirección de rotación de la ar-
madura es la de las manecillas del reloj, La escobilla inferior tiene
polaridad positiva sila armadura gira en dirección contraria a las manecillaa
del reo).

3) El sentido de loa embobinados en los polos es el mismo en los cuatro

Es obvio que no puede esperarse que el generador con excitación
propia produzca fem. en sus bobinas de armadura si ae hay algún campo
magnético residual, Aún con este requerimiento básico, tienen que satis-
facerse algunas otras condiciones.

Un exámen de la fig. 8-33, (a) a la (d), muestra que la fem. generada
debida al magnetismo residual cuando se aplica al embobinado de campo,
ocasione una corriente que fluye en 81, En lag partes de la figura (a) y
(e), el embobinado de campo está conectado a las escobillas, de tal manera
que esta corriente ayudaa aumentar el campo magnético residual, Por otra
parte, en las partes (b) y (4), las conexiones del embobinado de campo a las
llas están hechas de tal manera que la corriente orea un campo
magnético en oposición al campo magnático residual, (consecuentemente ol
voltaje residual se plerde. Las configuraciones en las partes (0) y (d) no
se considerarán más, La configuración en la parte (a) se examinará más
ampliamente. Los omunclados que se hagan en conexión con la parte (a)
se aplicarán también a la parte (0).

Para propósitos de este análisis la velocidad angular de la arma-
dura se supondrá constante, Sea la velocidad w = «,, La caracterfation de
maguetización del generador de c.d. a esta velocidad se muestra en la fg.
8-35, La lnea recta mostrada enla misma figura se Llama linea de resisten-

andare tamos

UR ems 4

arctan de
\ merci

Cru © Ian depa y

Fin 8:95 Crecen da mugretickn da gemmnder e £

442. Dispositivos Rotalarios; Méquinas de C. D. 29

cia de campo; representa La relación entre Ia caída do voltaje (cafda ¿hmica)
en la resistencia del embobinado de campo, incluyendo resistores externos
en serle si los hay, y la corrlente de campo. La pendiente de la linea de
resistencia de campo representa la resistencia total en el circuito de
campo. Conforme la resistencia se disminuya, la pendiente da la Luca
decrece, y en el limite, como A-0, línea alcanza el eje / Similarmente
conforme se incrementa la resistencia, la lnea de resiatencia de campo
Hoga 2 ser más y más vertical y como Ry=u,aleanza al oje E,.(El término
A, incluyo la rosistenela del embobinado y el reöstato de control externo en
serie).

Se aclaró con anterioridad que debido al magnetismo residual, Ia fem.
generada en la armadura produce una corriente circulante en ol embobinado
de campo, la cual tiende a incrementar al campo magnätico. La fem. se
representa por OA en la fig. 8-35; sea esta fem. E,. Coma el flujo residual
es generalmente pequeño, al embobinado de campopuede considerarse como
un ctrculto puramente resistivo en esta etapa. Lacorriente en el embobinado
de campo está determinada por la resistencia Ry. La corriente inicial Z,,
Ey/R,, Esta corriente se representa por el puntoa en la tig. 9-35. De acuerdo
a la característica de magnetización del generador, una corriente 1), pro
duce una fem E,. Puera de esta fem. E,, una parte de Ja misma cac en La
resistencia y la fom. remanente E, - E, incrementa 2 la corriante de campo.
El nuevo valor de la corriente de campo eatá determinado por la ecuación
alterencial

GR + MS (us

Esta es una ecuación diferencial no íneal, ya que el iocremento de fijo
4 con respecto a jes no Lineal La solución de la Es. 8-125 no se realizará
aquí. La generación de la fem. es unproceso contimo; pero para propöaltos
da explicación, podrmos suponer que asta generacido llene lugar an pasos
discretos, Por ejemplo, podemos suponer que la (om. E, astableco um
corriento fj, donde /, =5,/Ry. Esta corriente I, (punto à en la fig. 8-35)
genera una lem 2. La fem. À, establece una criente I, (punto en a
fig. 8-38), e I,, genera E, yasí sucesivamente, En otras palabras, mientras
que Ta fem. génorada correspondiente a un valor pariculas de la corriente
de campo es más grande que la cafóa Ghmica a coa corriente, ol flujo se
incrementará. Un punto de equlibrio e alcanza en P, donde la fem. generada.
Ey = ly A, y el Duo no pueden lncrementarse más. En la Ec. 8-125, de
Vb eg a der cero.

Es (Goll ver que un generador con excitación propia requiere que la
característica de magnetizacion sta no lineal, S la estructura magnética
es lineal, y consecuentemente no tiene magratismg residual, la caracte-
rística de magnetización sea no lineal, St la etiructura magnética es
lineal, y consecuentemente o liene magnetiamo residual, la característica
de magnetización es una línea recta que pasa através del origen, precise.
mente como la línea de resistencia de Campo. Las pendientes delas dos
líneas cectas pueden 0 no ser las mismas. En Cualquier cago no es posible
un único punto de intersección de estas dos ines rectas. Consecuentemente,
la fem. 00 se producirá de ninguna manera. Sl meede que las dos lneas
son tangentes, entonces la fem. es indeterminada, Este es un ejemplo en

443. PE

430 ‘CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

sido. rc 1 opa Wan os i GS
ee

o ae

ee,

Re O ió ia
ro e Tete ts ane cee aon
Ds e Oe ae
e eres perme
Sd re à cage acne vane naan cae
Sn ne es
EI lesen
PR oe or ee re
fal bee Look ne cits ae ee re

En
te
a
>
5

o Envie de po Y

Fig: 890 thtrac sl fat e om generada
sever In ara de samp lv
Lans w oe muros caer.

resistencio critica a velocidad s. La resintenola crítica de un generador
de c.d. con excitación propia a una velocidad dada puede detinirse como el
valor de Ry, para el cual poqueñas variaciones causan un razonablo gran
cambio en ia fem. generada. Por ejemplo, en la fig. 8-27, R,, esta situado
en algún lugar entre Ry el eje vertical E,.

El lector puede Considerar vaga seta definición. La presencia de la
fom. residual OA y la no linealidad de la curva da magnetización, hacen
diffell la formulación de una definición más precien de resistencia crítica,
La definición anterior se considera adecuada para la mayor parte de los
propósitos.

Caso 2: La resistencia de campo a0 mantione constante a Ry. La velo=
cidad angular varía.

444. Máquinas de C, D, «2

Dispositivos Rotatorios,

Se estableció en la Secelönd-T, que una familia de curvas de magnetiza-
ción se obtione conservando ws constante a difsrentee valores 7 variando la
corriente de campo. (ver fig. 8-17). Elefectode la vartación de w en la fem.
generada en un generador con excitación propia se muestra en la fig. 8-37.
Se ba visto que, para un valor constante de resistencia R. la Jem. gonorada
decrece conforma u decrece y el valor de la fem. generada en cada caso

o Corn dames fy

127 Home sa arte lau pareada a nier fe eee de bin, a

está dada por el punto de interseectin de la curva de magnetización y la
lnea de resistencia de campo. En la tig, 8-37, E, es la em. away, Es,
es la fem. avian y Ey, 08 a (em, swat,

Para un valor dado de resistencia de campo, hay volocidad m,, La cual
es Mamada velocidad crítico. Pequeñas vartaciones de la velocidad erftica
ocastonan razonables grandes cambios en la fem. gonerada.

Rosumiremos ahora el análisis en esta sección hasta este punto y
estableceremos las condiciones que deberán satistacerse con objeto de
que un generador con excitación propla pueda producir fem. a un nivel
satisfactorio. Estas condiciones son:

1) Deberá astar presente of magnetiemo residual, La polaridad de la
fem. generada esti determinada por la polaridad dal campo magnético
residual y la dirección de rotación de In armadura.

2) El embobinado de campo deberá estar contotado à la armadura
de tal masera que la corrlente que fluye en Él debido a la fem impresa
ayuda al campo magnético residual.

3) Si la velocidad angular se mantiene constante y la resistencia en
el clreuito de campo varía, entonces la resLstancia total en este circuito
deberá ser menor quelaresistenciacrílica a esa velocidad, De otra manera,
la fom. generada puede ser may pequeña para poder tener algún uso
práctico.

445. COSTERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

4) Si la resistencia en el elreuito de campo se mantlene constante
y la velocidad angular varía, entonces la velocidad no deberá ser menor
que la velocidad critica al valor específico de la resiatencia de campo. De
otra manera la fem. generada puede sor muy pequeña para tener algún
uso práctico.

3:12 Tipos de Excitación Prople de los Generadores de C.D.

Hasta ahora sólo hemos usadounode los embobinados de campo, los cua-
les ostän, usualmente, locallzados en los polos de las máquinas de c.d.
Este embobinado es llamado embohinado de campo en derivación porque
está conectado en paralelo con la armadura. Por esta tazón, la configura.
ción mostrada en la fig. 8-34 es llamada generador an derivación con exci~
lación propia 0 simplemente generador en denvacién. También se loca.
izan embobinados adicionales en los polos, Estos gon eléctricamente ine
dependientes del embobinado ea derivación, pero operan en la misma trac
yectoria magnética. Estos embobinados están conectados en serle con la
armadura de tal manera que conducen la corriente de armadura y establecen

ia

air | corm
agan sema pr
ol

CE

446. Dispusitives Ratatorios; Máquinas de C. D. saa

|
1
nn — = —

ses

‘cruel elos enbobinede de euro la armature y 2 e org. (0 Chem

un campo magnético proporcional a ella, por esta razón se Uaman emhobina-
dos en serie. Los generadores que usan embobinados en derivación y en se-
rie son llamados generadores compuestos. Sedlee que un generador es com-
puesto aenmulativo st la fmm. del embobiada en serie avuda a la (mm. del
‘embobinado en derivación. Se dice que el generador es compuesto diferen~
cial sí la tmm, del embobinado en serie tiende a oponerse a la Imm. del
embobinado en derivación. Las figs. 8-38 y 8-39 muestran las conexiones
para los dos tipos de generadores compuestos. Debe aclararse que los em=
bobinados en serte tienen muy poco efecto en la fem. generada cusado el
generador esta entregando poca 9 ninguna corriente a ia carga,

En algunos casos, el generador tlene solo un embmbinadt de campo en
sus polos y está conectado en serte con la arnıadyra. como sa muestra en
la fig. 3-40, Este es llamado generados serie

3-13R adorn en an Generador de C.D,

de ds

Com» ya hemos visto. al campo magnético prinripal o de eje directo,
en un generador de c.d. se establece por lu corriente que fluve en los

447. 5 UN VERSION DE ENERGÍA ELECTROMECANICA

Dobisadas te campa La dissrimución de líneas de flujo, cuacido la co.
rriente de camp está actuando sola, se muestra enla its 8-41. Ta
Astrihuerän es uniforme + la densrias de flu er todos los pentos batas

polares es más o menos la misma. Esto se representa on la

wo

40. Un sensor mein ea (a Conexión actua ét emvotinedo

fig. 8-41 por el igual espaciamiento entre Laa líneas de Majo y por su dts-
ribución uniforme de un extremo a} otro de la cara polar.

En un generador excitado separadamente, la corriente de campo es
independiente de la fem. generada en la armadura porque la sxoitaciSn está
Suministrada por una fuente independiente, Por otra parte, en un genera.
dor con excitación propia, la corriente de campo es suministrada por la
armadura y por lo tanta es depentiente del voltaje terminal en las escobillas.
Este voltaje terminal decrece contorme la corriente de carga aumenta,

448. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de O, D. as

porque parte de la fem. generada se pierdo en La reslatencia del embobinado
de armadura. (Si las señales dependen del tiempo, la inductancia ha de
tomarse en cuenta). Como se mostrará más adelante en esta sección, la
fem. generada decrece debido 2 la disminución en el valor del campo
magnético, lo eval es originado por la llamada reacción de armadura y yor
la disminución en la corriente de campo, Consideraremos la relación del
voltaje terminal a la corriente de carga en la siguente sección.

En esta sección, consideraremos la reacelôn de armadura, Cuando
una corriente fluye en el ambobinado de la armadura, establece un cam-
po magnético como se muestra en la fig. 8-42. Este campo magnético es.
perpendicular al principal y por esta razón algunas veces ea llamado campo
magnético cruzado o campo magnético en el ajo de cuadratura,

Eh nou ments

42 Din de cr mené un der de nme

SL la fig. 8-42 a0 muperpone a la fig. 8-41, se observa que el flujo
principal, debido a la corriente de campo, y ol flujo de armadura están en
la misma dirección cerca de los extremos polaras 8 y 4, y están en direc»
iones opuestas cerca de los extromos polarescy c. La distribución de (lao
entre los polos, e} cual originalmente estuvo uniforme cuando la corriente
de armadura valía cero, ya no es uniforme. Elfujotlende a concentrarse
más cerca de los extremos polares 5 y d, Esto, obviamente, resulta en ima
lstorsión del lujo 3 en una inclinación de las Mnea de flujo entre los polos.
EL eje neutro magnético se desvía también en la dirección de rotación del
generador. La distribución de flujo combinado se muestra en la fig. 8-43,

Si el sistema fuera lineal, el incremento en 1y densidad de flujo cerca
de y an los extremos polares by d sería Compensado por una cantidad igual
de dlaminución en la densidad de flujo cerca y en los extremos polares aye
y el flujo total entre los polos permanecería mis o menos el mismo. Pero
las estructuras maméticas de la mayor parte de los generadores de c.d.
prácticos se hacen de material forromagrético y las densicades de flujo de
operación están usualmente cerca del codo delacurva E va. H del material.
El efecto de la corriente de armadura an la magnitud del flujo resultante

449. 136 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

entre los polos puede entenderse examinando el efecto de la fmm. de
armadura en el valor original de la densidad de flujo bajo y en las caras.
polares, Por propósito de este análisis, podemos suponer que las Imms.

del campo y de la armadura están actuando esencialmente en la misma
trayectoria magnitica de modo que puede usarse una curva B va. fmm, del
circuito magnölico. Esta curva se muestra en la fig, 8-44. La densidad de
flujo debida a la corriente de campo como si actuara sola es E corres- „
pondianta a la fmm. de campo Fa. Sea la contribución de la corriente de

450. Dispositivos Rotatortos; Máquinas de C. D, 437

armadıra 2 Fl. £1 signo positivo se aplica a los puntos cercanos a los
extremos polares > y d, donde las fmma. están actuando en ia misma Airec-
«ción, + el signo negativo se aplica a los puntos cercanos a los extremos
polares a y c donde las fmma. se oponen,

En la fig. 8-44 debido a la saturación se ve que al incremento on ia
densidad de (lujo cerca de los extremos polares 6 5 d es mucho menor que
el decremento en la densidad de flujo cerca de los extremos polares a y c-
Consecuentemente el fujo total entre los polos dleminuye. Las don efectos
de la corriente de armadura en la «istribueiön de cazpo, es decir, la
distorsión de la distribución de flujo y consecuentemente el Yesplazamiento
del eje neutro magnético y la disminución en el flujo total constituyen lo
que cominmente se Llama reacción de armadura.

Los efectos de la reacción de armadura en el trabajo ze un generador
dec. tienen un doble papel y se originan directamente por los dos aspectos
de la reacolón de armadura mencionados arriba.

El primero, conocido como el efecto magnetízante cruzado de la reac-
ción de armadura, afecta a la conmutación. Hemos visto con anterioridad
que las escobillas estacionarias eatin localizadas en tal poalción que
puentean segmentos adyacentes del conmutador an los instantes de tiempo,
en que las bobinas conectadas a estos segmentos, están en el eje neutro
magnético y consecuentemente sulren conmutación cuando lafem. generada
en ellos es coro, Sin embargo, el efecto de la corriente de armadura es
desplazar el eje neutro magnético y consecuentemente la fom. en las
bobinas en corto circuito provocado por las escobillas no vale cero, esto
casiona chisporroteo en las mismas. Una manera de resolver este pro-
blema parecería ser el desplazamiento de las escobillas, de suerte que sus
ejes siempre serían perpendiculares al eje nautro magnético. Pero la
dificultad aquí estriba en que ei desplazamiento del eje neutro magnético
depende de la corriente de armadura y de la dirección de roración, Como la
corriente de armadura no puede permanecer constanto, las escobillas tienen
que ser desplazadas constantemente conforme cambia La corriente de arma-
dura. Obviamente esto no se uma solución satistactoria. Esta dlficultad 9
resuelve introduciendo polos adielonales, conocidos como polos de conmuta-
ción o interpolos, entre los polos principales, Las polaridades de dichos
polos de conmutación son tales que contrarrostan la fem. ganerada on las
bobinas de armadura sufrlendo conmutación.? La fig. 8-15 muestra un
arreglo típico de los polos de conmutación. Las bobinas de excitación de
estos polos están conectados en serte con la carga en el cireuito de arma-
dura. Las escobillas están permanentemente localizadas en el eje neutro
‘magné:lco original de los polos principales. Como] dirección de la corrien-
te de armadura se invierte, cuando la dirección de rotación se invierte, las
polaridades de los polos de conmutación también se Inviertenlo cual es
lo que se sequia ,

El segundo efecto de la reacción de armadura es llamado efecto des-
mametwenle. El flujo total se dismimye y consecuentemente la fem.
generada ge reduce. Aquí nuevamente le disminución en la fem. generada
es proporcional a la corriente de carga. Los embobinados de compensa-

Lin paie commutacal toba cotearreste lo qe se ono com ole de re
Sancuso erm Did la propia acl, que se Conte

451. ass CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ción se localizan uauaimente en las caras polares y están conectados on
serte con la carga y con el circuito de armadura, de tal manera que el
campo magnético establecido por los ambobinados de compensación contra
trestan eletecto desmagnetizarte de lareacción de armadura. Los embobina-
dos de compensación se muestran en la fig. 8-45

Lise

Enotinse e
us Polos nom

Fla. 6-43 Lacatación sul ambobionto de comportan y Incalzación y ets

sto en Estado Estable

Los generadores de c.d. frecuentemente operan en estado stable su-
‘mintstrado potencia a cargas resistivas o a cargas dinámicas tales como
‘motores de c.d. Es Gt? examirar una característica Importante de trabajo
de los diferentes tipos de generadores de c.d, Esta caracteríatica muestra
Ya variación del voltaje terminal o de aalida de un generador de c.d. con
respecto a Ja corriente de carga, Los diagramas esquemáticos para genera
dorea con excitación separada, excitación propia on derivación, areitaciön
propia compuesta y generadores serio, se muestran an la fig. 8-48.

En este análísis, se harán las stgulentes suposiciones: 1) La velocidad
angular w es constante. 2) El generador está operando en estado estable.
3) Los voltajes y corrientes en las distintas partes del generador no
varían en ol tlempo, 4) La resistencia oa ol cirosito de campo está ajustada
en forma tal que la fem. generada en la armadura con cero corriente de
carga es el valor nominal; esta resistencia se mantiene constante después.

Las analogías oléctricas para los cuatro tipos de generadores de cd.
se muestran en a fig. 8-47,

“Generador con Eschtación Separada. De la fig. 8-47 (a) ol voltajo de
salida

TA (21260)
El thrmino L, es La corriente en el embobinado de armadura, R. es la re
sistencia del embobinado de armadura y £, ea la fem generada.

452. Dispositivos Rotatorios; Mézsuinas de C. D.

En kégu = K" (61266)

se incrementa, LR, $e incrementa,
«tsmimuve y consecuentemente 8.

puesto que w es constante, Como I.
Denico a la reacción de armadura,

a

ig 846 Digas nquemdton da os eeneadote 6-4.) Estación ndwpancin
Tec an dación (e) Ertan comp.) Sra

Aumenta. Esta dise

dismainsye, El término Y, dismimye conforme J, =

minución se muestra en la tig. 8-48 (a)
Generador en Derivavión con Exc Propio. Las relaciones son
Ce
(8-128)

‘

129)

453. za CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Exaeclon incenecinm ciación an den) Sache one

PIAR Carrion oa ves co

454. Dispositivos Rotatorios; Máguinas de C. D. wu

Aquí el nujo > dismimye más rápidamente que en la parte (a) de la figura.
porque 1: disminuye conforme Y, dismaimpo. La curva Y, va. I, se muestra
en la fig 8-48 (bo); está más inclinada que la curva de la fig. 6-48 (2).
Desde el momento en que los generadores en derivación con excitación
propia tienen un valor máximo de 4, más allá del cual la desmagretización
puede ser tan rápida que cualquier intento de incremento de 1, decreciendo
Re resulta en 1, una disminución en lugar de un ineremento, La intersección
de la curva con elejel, esla corriente que fluye cuando R, sereducea cero,

“Generador compuesto con Excitación Propia. EI trabajo de este tipo
de generador depende de la naturaleza de su composición, esto es, ya sea
que el campo serte está ayudando al campo en derivación o se está oponiendo
a 61 y en cada caso también en las fuerzas relativas del embobinado en
derivación y del embobinado serie. Las características voltajo ya. corriente
de carga se muestran en la fig, 8-48 (e) para tres formas: compuesta
diferencial, compuesta plana y compuesta acumulativa. La compuesta
plana es compuesta acumulativa. El efecto acumulativo del campo serie es
Justo el adecuado para neutralizar la caída /, R, y la disminución en flujo
‘debido a la reacción de armadura.

Generador Serie. EI flujo es proporcional a la corriente de carga
hasta que tos polos emplezan a saturarae, La fem. generada so incrementa
conforme $ se Incrementa. La curva Y, va, I, de un generador serie se
parece a la caractorística de magnetización del generador. La fem. sin
carga es debida al magnetismo resldwal La característica Y, #8. L, se
muestra en la fig 8-48 (4). Obeörvene que una vez que los polos se han
saturado, Y, decrees Conforme I, se incrementa, Esto es asf porque 5,
pormanece substancialmente constante para grandes valores de L,.

de Trabajo on Estado esteble de Diter

1 émbobinado de campo y la armadura están
conectados a diferentes fuentes, de suerte que la corriente en cada embobte
nado puede controlarse independientemente. ¿stos métodos son usados en
sistemas de control y los motores pueden considerarse como dispositivos.
lineales.

Consldoraremos todavía otra aplicación de los motores de c.d en esta
sección. En esta aplicación, los motoren de c.d. son usados como primoto=
Para mover cargas de tamafos variables. En este modo de operación,
el embobinado de campo y el de armadura están frecuentemente conectados
en paralelo (0 algunas vecs on seria) a través de la- misma fuente de c.d.
Si el embobinado de campo está conectado en paralelo a la armadura, el
motor se llama motor en dertvación, si está conectado en serte, es llamado
motor serie, Algunas veces se usa más de un embobinado de campo;
uno de ellos se conecta en paralelo a la armadura 7 el otro on serie con.
alla. Estos motores son llamados motores compuestos, Los diagramas
osquemáticos de los motores de c.d. er derivación, compuesto y serie
se muestran en la fig. 8-49. Los ctrouttos equivalentes para operación en
estado estable se muestran en la fig. 6-50.

455. we CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Las características de trabajo de estos motores, especialmente los
motores grandes, están influenciadas en gran magnitud par ia presencia
de aaturación en sus ostructuras magnétleas. Consecuentemente, los
Análisis ‘ineales que desprecian ésto y otros efectos no lineales 10 explican
‘completamente el comportamiento de estos dispositivos, Sin embargo, la.
tormulaciónmatemática de su comportamiento tomando en cuerta la satura
ción es fie. El análisis en esta sección seri, por consiguiente en elerto
jodo, cualitativo. Esto no se considera una seria deficiencia. va que en
sta sección, estamos primeramente Interesados en lan características de
trabajo en estado estable. Las características de interés son: 2) par ve,
corriente de armadura, D par vs. velocidad angular y €) velocidad angular
va, corriente de armadura.

le 2 eu
* caros

456. Dispositivos Rotator:os; Máquinas de C. D. #3

Pue xs. Corriente de Armadura. _ El efecto deviitane de reacción de
armadura se despreciará en este anilieis, Como se tomará en cuenta la
Tamuración, la expresión del par, dertvada con anterioridad para 0: caso
lineal, ene que ser modificada,

‘Con anterioridad se mostró an este capítulo (sece. 8-6) que el par
desarrollado en una máquina de c.d. está dado por

TO = Kyi 18-37)

A
4
+ LE
4 fH
5
wr
fart
% R
fy "E>
wr

donde Ky, « KK: (ver Ec. 8-23), La constante K, está dada por la Ec. 8-20
y depende de 108 parámetros da Ja máquina. El término X, ea una constante
que relaciona a la corriente en el embobinado de campo, el campo mag-

457. 44 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

nético establecido por ella en un medio magnético lineal. En otras pa
labras, 9/0 = K£(0. Para un motor de c.d.. it + (0. Usardoun mb.
{Indice m, la Ze. 8-37 puede escribir:

TAO = KK (DO 6-130)

para un motor de c.d, lineal. Esta ecuación puede escribirse en una for-
ma más general como

TAO = KIO ein

La Ec. 8.131 puede usarse ain œuando esté presente la saturación. (La his-
téresia y la reacción de armadura deben desprectarse). Bajo condiciones
en estada establo, el par desarrollado por un motor de c.d. está dado por

GE]

t ~ compu setulae

Pu

F051 Curmrtrmlen dee vera corn

458. Dispositivos Rotalorios; Mäguinas de C, D. 415

Motor en Derivación de C.D. Delastig.8-49 (a) y 8-50 (a) es claro que
+ es constante ai V. es constante. La Ec. 8-132 queda

Ta Kb = TA CE

El par varía Unealmente con L. La corriente de armadura /, se incr
menta conforme la carga mecánica del motor ae incremento. La variación
Se muestra en la tg. 8-51 (a).

Motor Compuesto de C.D. 1) Compuesta acumulativo, El fluo 6 se
incrementa conforme L se incrementa. Sea

9. ht Ki, (8-134)
BI ineremento está Imitado por Ja sararacón. La Ee, 8-192 queda
> Abla Kale + RE us
Ever fig. 8-51 09)
2) Compuesta diferencial
Fu 90 Kid, 26)
Ta = Kool, = Kytule ~ K&L m

[rer tig.8-51)} Elpar puede Inrertirne y gar a sor negativo para gran
dos valores dh.

Motor Serie da C.D. El flujo # as directamente proporcional a, para
pequeños valores de J, y una vez que los polos se Saturan, $ permane-
e constante, Por consiguiente, para pequetos valores de 1,

CE

138)

{ver fig 9-51 09]

nd amgrtar. De la Eo. 8-132, 7, 2 K,

Ln LR, + E LR + K 90 139)
de la cual obtenemos

1-0)

459. 46 CONVERSION DE ENERGIA ÉLECTROMECANICA

Sustizuyendo la Es. 8-140 on la Ee. 8-192, obtenemos

Kun
ne en)

Motor en Derivación de C.D.Elflujo 3 ws constante. La Ee. 8-141 queda
Ts 4-80 (8.142)

donde A « (KY/R,) 9 y 3 9X7 8'/R, son constantes, La curva Ta 95. w
se sentra en A ig. 8-82 (a.

Motor Serie de C.D. El (lujo vasta Uncalmente con J, para pequenos
valores de 1, y permanece saenetalments constante a grandes valores de /,
porque los polos se saturan. Considérense primero, valores pequeños. Es-
erase

$-£L, eo)
Dela ig. 8-31 (c) y de la Es. 8-19, tenemos
Em LAR + Ry) + B= LARA Ry) + 00 (81)

Sea R, + Ry = Ri. Sustituyendo la Ec. 8-149 on la Be, 8-144yreagrupando
thembios, obtonemos

¥ -
sh a 8-14
Krk wu
Sustituyendo las Bes, 8-143 y 8-145 en la Ec. 8-192,
7. ei)

Para grandes valores de L, 3 es esencialmente constante. De la Ec, 8-198

D Tas Kula donde Ka = Kyo. La Es. 8-144 queda,
hi Re an
Okeke
ñ
z an
Susttuyendo la Ec. 8-148 en la Ee. 8-198 (0),
Tee E (8-149)

460. Dispositivos Rotatorios; Möquinas de C. D. 47

CE

in

Pp. 4-82 cute an per oros sce angular dls mern on tele y era
ni @) Mer zur tres pts de ,) (6) Motor socia
ee ee L) (9 Motor mie (une conned

Antes de trazar la característica T, vs. 4, debemos examinar el rango
de valores sobre los cuales son válidas las Eos. 8-146 y 8-149, La Be.
BLAS es válida para pequeños valores de L,; la 8-149 para grandes valores
be L, De la fig. 8-51 (0), los pequeños valoresce Z, correspondena pequeños
faces de To y grandes valores de [, corresponden a grandes valores de
To Consecuentemente, la Eo, 8-146 es válida para pequeños valores de
TT y la Eo. 8-140 es vilida para grandes valores de 7. Como la austitu-
Gibs de pequenos valores de w en la Ec. 6-146 produce grandes valores de
Ta. esta ecuación no es válida para muy pequetgs valores de w. Similar.
Rime a sustitución de grandes valores de en la Ec. 8-149 produce
Pequeños y ain valores negativos de 7. Esta ecuación es válida sólo para
Tray pequeños valores de w. Los trazos correspondiendo a las Eos. 8-146
33-149 se muestran separadamente en la fig. 8-52 (D) y (0), respectiva:
frente y el trazo combinado 7, va, w 3a muestra en la fig. 8-52 (4) La
Velocidad uy se obtiene igualando las Ecs. 8-146 78-149 y resolviendo
Jara w.. El valor posítivo más pequeno se escoge como la velocidad a la
ual hay reunión del trazo para pequeñas y para alias velocidad

461. se CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

Las características par vs, velocidad de los motarea compuestas pue-
den obtenerse en forma similar.

Veloeldud en Extado Establo vs. Corriente de Armodura, Se aclaró
con anterioridad que Ja fem, generada en un motor de c.d. se opone al vole
tafe aplicado Y, y por esta razón es llamada fuerza contraelectromatriz.
Se considera más apropiado representar esta fem. por B, en lugar de E..
De la Ec. 8-18, tenemos E, + K, eu. También tenemos

Beh (18-150)

donde R} = R, en un motor en derivación y R} = R,+ R, en un motor serie
o compuesto, Combinando as Eos, 8-10 y 8-180, obtenemos

LA,

sn

Re

En estaccuación Y, R¿y K,son constantes, El flujo puede o no ser constante,

‘Molor en Derivación de C.D, El flujo # es esencialmente constante
st el efecto deamagretizante de /, no es muy significativo. La Ee, 8-15)
‘puede escribirse como

(152

f
ne

donde wy = V,/Ky9 os avelocidad sin carga. La varlación de w con respecto
27, se muestra en la fig. 8-59 (a)

Motor Serie de C.D. Como se mencionó con anterioridad, ol lujo
varía linealmente con la corriente para pequeños valaresde J, y en esencial»
mente constante para grandes valores de £,.

Para pequeños valores de L, la Ec. 8-101 puede escribirse, reempla-
zando 4 por KL, como

LAA

KT," KK TI, KK,

mn esa

Esta ecuación no es válida para grandes valores de I, Para grandes va-
lores del,

1m.
DES CS

wis

La variación de w con respecto a I, so muestra en la fig. 8-53 (0).
El valor de la corriente /,, se obriene igualando las Eos. 8-153 y 8-154
y resolviendo para L.

462. Dispositivos Rotatarios: Máquinas de C. D. us

Pr coro drei
Vene u Compas eue
%

in

mus
Ct armen. Mo mr Il var comme

Motor Compussto de C.D.
1) Compuesto acumulativo. De la Ec. 8-194, tenemos

eno» wis”

donde 6 está limitado por la saturación. La Ee, 8-151 queda

= LA
°° Ra RD u

463. 450 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

La velocidad sin carga

En CE]

Conforme se incrementa J, la disminución on el sumerador es menor que at
Ineremento en el denominador. Consecuentemprto la curva velocidad
corriente decas, segin se muestra enlafig, 4-69 (cl. La calda en la velocidad
es mayor que en un motor en derivacién para el mismo valor de /

2) Compuesto diferencial. De la Ee. 8-196, tenemos 3 =+, - Kyl
‘Sustituyondo la Ec. 8-136 en la Ec. 8-151, obtenemos

KR

5 (8-158)

La disminsción en flujo es más rápida que la diamimsetbn en el numerador,
Por consiguiente, & se incremente conforme I, se incrementa tig, 2-33
(e) ] La velocidad sin carga ea la misma que en el motor compuesto
acumulativo,

8-16 Arranque de los Moteras de C.D.

“Tienen que tomarse ciertas precauolonss durante el arranque de los
motores de c.d. Considérene la Ea. 8-150. Puede escribirae como

48-159)

Mn By 4 LR Ko + LR

En el momento del arranque, w = 0 y consecuentemente la fem. vale
cero y Ja corriente círculando en la armadura está limitada por la re-
sistencia de la armadura, la cual generalmente es muy pequeña, Por ejem-
plo, en el caso de un motor de £.d. de 120 volls, 1 HP, la resistencia de la
armadura ea alrededor de 0.5 a 1 ohm. La corriente nominal de plena
carga de la armadura es 148/ 12058 amps. aprorimadamente. El embobinado
está umualmente diseñado para resistir aovrecargas de 30 a 50%. El valor
del coeficiente da seguridad del embobinado puede tomarse como 10 amps.
En el momento del arranque, la fom. es cero y la corriente que eireula en
la armadura es 120/1 0 120 amps, o más; esta corriente excesivaquemaria
el embobivado, Se podría disponer de un arreglo que permitiera la aplicación
de un pequeño voltaje 2 las terminales de la armadura en el momento de
arrancar el motor. EL oltajo puede entonces incrementarse gradualmente
conforme el motor aumenta qu velocidad y la (em. se genera.

El exámen de la Ee, 8-132 muestra que el par se proporcional al
producto del flujo y de la corriente de armadura. Puesto que Ta corriente de
armadura no puede ser muy grande, será muy deseable tener un flujo
máximo en el arranque, con objeto de Sbtener un par de arranque máximo,
En el caso de los motores en derivación y compuestos, esto puede ser
ajecutado aplicando pleno voltaje al emboblnado de campo an deriracibn.

464. Dispositivos Rotatorws; Máquinas de C. D. 4st

Un arrancador Incorpora alementos los cuales nos permitirin aplicar
un pequeño voltaje à la armadura y pleno voltaje al campo en derivación
En al momento del arranque. La ig, 3-54 muestra las partes saracterfa-
ficas de construcción de un arrancador y las conexiones del mismo x un
motor compuesto de 6.4, Enlafig.8-550e muestra un dlagrama esquemático
“Simplificado, omitiendo los detalles internos del arrancador.

© mane

© amore

© Pira wrt

@ benim ae mvt

© Premció or mar serena

La palanca as mantiene en la osiciónde""ARRÍNQUE" por medio de un
cesorte, teniendo uno de sus extremos conectado a la palanca y el otro
2 Ia caja donde se aloja la resistencia de arranque. La terminal 1, está
Coneetada al extromo de dicha palanca por un conductor alalado.

Para arrancar el motor, el ntereuptor $ se cierra, yÍa palanca se coloca.
en A. La armadura y los circuitos de campo están ahora conectados de la.
uence de vollaje. El voltaje total Y, está aplicado al circuito de campo. La
Fesistenela externa mostrada en Serle con el embobinado en derivación

465. 452 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

vale cero en el momento del arranque, La armadura recibo Sólo una pequeta
parte del voltaje aplicado ¥,, porquela resistencia de arranque abaorte la

mayor parte de #1. La armadura empleza a girar lentamento y conforme va
adquiriendo velocidad la palanca sa mueve lentamente hacia 5, La palanca.
30 sostiene en la posición 3 por medio de un electromagneto el cual atrag
da pleza de blerro suave adherida a la palanca. La ventaja de este Arregio
es que la palanca automáticamente regresa à la postelón de ARRANQUE
larapre que haya una pérdida o falla del voltaje de alimentación. Por esta
razón el electromagneto os llamado bobina de no voltaje, La protección de.
Sobrecarga se proves en forma de un interruptor ajustado a un clerto valor
de la corriente,

8-17 Control de Velocidad de les Motores de C.D,

La Ec. 8-151, que se reproduce aquí para una referencia fäcll, sugiere
métodos de controlar la velocidad de los motores de 5 4,

— eis)

La velocidad del motor puede variarse cambiando Y,, RI, 6 0 €;
de estas cuatro posibilidades, la más uml es varlar RL y 5. Como lo
velocidad ea directamente proporcional a Y, - L,R!, pueden obtenerse bajes
volocidadeg sin saerifidar el par al agregar una resistencia an serie son
la armadura, Otrométodo es vartar laremistencia en serie con el eus
de campo en derivación. Este método es usualmente satisfactorio, para
Yarlar la velocidad del motor on la cercanta de su velocidad nominal y
también es especialmente “til si se requieren altas velocidades cuando un,
par bajo no prosonta seria dificultad.

Otro método de controlar la velocidad de los motores en derivación
y Sompuestos, es apllcar un voltaje 4j al campo en derivación y un vokaje

466. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C, D, 458

variable de un generador de cd. auxiliar a la armadura La magnitud del
volate de salida del generador se varía cambiando su excilación. De este
modo resulta sencillo obtener un amplio rango de velocidades. Como es
sencillo cambiar la polaridad del voltaje generado, este método se usa
también para invertir la dirección de rotación de) motor. Este ae conoce
como el método Ward Leonard de control de velocidad.

En el caso de un motor serle, un método de controlar la velocidad os
agregar una resistencia variable en serie con la armadura.

Amplificador de
Potencia Rotaterie-te Amplidina

Homos considerado hasta aquí a la máquina de e.d. como un dispositivo
para convertir energía do una forma a otra, ya aea como un generador que
convierte energía mecánica en energía eléctrica 0 como un motor que con-
vierte energía eléctrica en energía mecánica. Obtuvimos las caracterís

s de operación en estado estable de los generadores y motores de c..
tomanéo en cuenta la saturación de la estructura magnética de las má
quinas. Estos rasultados son gereralmente aplicables a máquinas de tamaño
grande y mediano, que operas en estado estable la mayor parte del tiempo
y tienen características de magnelisación no lineales, No obstante que la
eliciencia de estas máquinas no fuí calculada, será obrio que, además
de 1a regalación de voltaje en loa generadores y de la regulación de velo-
cidad en los motores, la eficiencia es un indice importante del comporta-
miento de estas máquinas, (por eficiencia se entiende la relación de la
Potencia de salida Gti ata potencia de entrada total)

‘También analizamos el uso de las máquinas de c.d. en aplicaciones de
control, coma generadores o dispositivos de poalción. La eficiencia de las
máquinas de c.d. cuando se usan en sistemas de control, no ea tan Im-
portante como su velocidad de respuesta y el comportamiento transitorto
relacionado. Las máquinas usadas en sistemas de control ao esencialmente
élspositivos Unealas, y como tales, se pueden obtener de ellas funciones
de transterencta.

‘Analizarergos otra aplicación de las máquinas de 0.4, a saber: su uso
comoamplificadores de potencia. Como ge mostrará, estas máquinas difieren.
de 1a máquina convencional en muchos aspectos, pero los principios básicos
que gobiernan zu operación 300 los mismos que los de Ian máquinas da 6.4.
convencionales.

11 uso de lus Máquinas de C.D.convencionates com Amplificadores
de Potenvin. Congidérese el generador de c.d. con excitación independien-
te mostrado en la fig. 8-56. La velocidadde rotacign se mantieno constante.
La armadura está entregando 10 amps. a 200 volta'a un resitor de 20 ohms.
La máquina está en estado estable, La potencia de salida de la armadura
es de 2000 watts. La entrada al ombobinado de campo de 100 vueltas es
0.5 Amp. a 40 volts, en corriente directa, La potencia de entrada al embo-
binado de campo es de 20 watts, (El primotor proporciona la cantidad re—
querida de energía mocáoloa al generador). Considérese la relación de la
potencia de salida de la armadura, a la potencia de entrada del embobinado
de campo del generador.

467. CON! ERSON DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Potencia de salida de la armadura 2000 watts

Forenein de entrada al embobinado de campo” 20 wats ~ ©

win

Esta relación se define como el factor de amplificación o ganancia del
generador de cd

me

|.

La principal ventaja de usar un generador de c.d. en esta forma en que
pequenos cambios en lo entrada del embodínado de campo resullan relativa-
mente grandes en la salida de la armadura, Por ejemplo, st la corriente
en el embobinado de campo 2e Incrementa de 0.5 a 0.8 amp. (un incremento.
dol 20%), muponiendo linealidad del circuito magnético y que la calda de”
voltaje en la resistencia del embobinado de armadura es poqueda, el voltaje
a través de la carga se incrementa a 240 volts y la potencia de salida se
Ancrementa de 2000 a 2880 walte, un Ingromanto dol 34%.

Doro lea desventajas contrarestan esta ventaja. Las desventajas son:

1) La istuctancia del emboblnado de campo de ana máquina de c.d
‘convencional cuya salida es de unos pocos miles de watts as grande y coute
cuentemente el erabobinade de campo Mene una gran constante de tiempo. La
respuesta de la salida cambiando a entrada es lenta, Esto puede no ser
satiatactorio.

2) La potencla de entrada al ambobinado de campo no es pequeña. En
muchos sistemas de control la señal disponible para excitar el embobinado
de campo es usualmente muy pequeta, ia potencta es del orden de unos
pocos miltwatts.

3) La ganancia o ; mpliflcación que puede obtenerse en generadores
de c.d. convencionales ea muy baja para ser GL on muchas aplicaciones de
contra.

El problema de baja amplificación puede resolvorse consctando dos
generadores de ¢.d. convencionales en cascada como se muestra en la fl,
8-37. $1 cada máquica ttene una ganancia de 100, vu ganancia combinada es
10000. La entrada a la primera mâquint +8 muy pequeña. Sin embargo,
las otras don desventajas permanecen, Realmente la constante de tempo

468. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. D. 455

efectiva del amplificador de dos pasos se ha incrementado algo debido a
la presencia de los dos embobínados de campo.

La número de sequemas han sido proyectados con objeto de rancar estas
dificultades. En uno de ellos ambas máquinas dela fig. 8-57 están Incorporar
as en una sola coraza con un ombobinado de campo y uno de armadura,

Rot 0 dm

PIBE Dos georsgores dee à an made come un A us patente dor

Esto arreglo se llama amplidina. Se discutirá ahora la evotución de la
amplidioa y su función de transtorencia. Acerca de «tros esquemas ol
actor podrá consultas la Literatura correspondiente,

"Evolución de una Ampliding. El generador de cd de la ig. 8-59
se dibuja mevamente en la fig. 8-58 y ahí so muestran mayores detalles.

El campo magnético principal es de » 4,, el cual es establecido por la
corriente directa fluyendo en el embobinado do campo de 100 vueltas. El
ffs de este campo es el eje directo. La corriente de 10 amp circulando en
{a armadura establece un campo miagnético 9,, cuyo eje es perpendicular al
fie del campo magnético principal. Supondramos que la densidad de fujo
3 baja y los polos no están saturados, E1 flujo de armadıra no cambiará al
Fijo total en el entrehferro, En las amplídinas, 4, es cast igual à ¢,, Por
corveriencia sea ¢, m 9, Las escobillas 3,,y B,, están fístcamento.
localizadas bajo los polos, pero se muestran an el eje de cuadratura por
que ponen en corto circuito a las bobinas de la armadura en el ejo de
usdrakura. Una fem. so genera entre las escobillas By, y Bj De acuer-

ll guts SEO PR Sr Compo es SE

469. 456 CONVERSION DE ENERGIA ELEC TROMECANICA

do ala Ee, 8-19

En kes ay
wh
x
TH 50 vs 100 num
os ‘Dore
sel 200 ¥$ 20 00m in
“or =
4 ay Fee 010m Ka
l mars
HE
5
La]
CO

Up marées de € - con encuen Indendine (a oies pa art
ln emia

En esto análisis w es constante y 4, es tal que By es 200 volts, Esta Ey
ocasiona una corriente de 10 amps. que cireula en una restatencia de 29
ohm. La potencia de salida útil es 2000 watts. Los datos del embobinado de
Sampo son: el número de vueltas ex 100; 1a corriente 0.5 argpo; la fou. es
50 amp-vueltas; el voltajo ea 40 volts, la resistencia 80 ohma y la potencia

Pi 0-58 de muestra as sacra By on

470. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C, D. 457

de entrada 20 watts. La ganancia del amplificador do potencia es 2000/20 =
10.

Supongamos ahora, que al reslstor de 20 ohms se quita y la armadura 59
pone en corto circuito en las escobillas B,, Y B,,, como se muestra en la
Hg. 8-59,

Como se supone que Ja reststoricia del embobinado de armadura 09 0,1
‘ohm, una tem. de 1 volt 08 adecuada para ocasionar que 10 amps. (la misma
corriente anterior) elrculen en la armadura, Siendo constante la velocidad
w e Igual 2 la anterior, el flujo >, requerido ahora es mucho menor, Real-
ments 3,, = (1/20) 8,. Sin embargo, 5, ve igual al anterior, que es 4, = #4
= 200 3, debido a que la corrienteen la armadura es todavia L0 amps. Más
tarde analizaremos el efecto de la reducción on el flujo del ejo sstacto en las
características del embobinado de campo. Primero trataremos de contestar
las siguientes preguntas: Ahora quelas escobillas By y 24, han sido puestas
en corto circuito, ¿para qué es buena lamáquina? ¿Cómo puede usarse para
Suministrar potencia a una carga externa? ¿Puedo 4, utllizarse on alguna
forma?

a: 8.80 Su muera el segon gro de spot
Ba y Ray à om do com.

Supongamos que colocamos un segundo grupo de escobillas Ba y By
de tal manera que ponen en corto cireuito a las bobinas de iz armadura en
al oje directo (ver fig. 8-60). Uo Aterencía de porencial aparecerá entre
sata escobillas originada por ta Cem. gerarada por las bobiaas de la ar-
madura que cortan 54. Como 5, = ¢, yla Yelociéad es invariable, esta fem

471. 458 CONYERSON DE ENERGIA ELECTROMECANICA
Eve = Kuda = 200 volts win

Parecerá que esta (em. puede utilizarse para suminlätrar potencta a una
carga externa Si una resistencia R, se conecta a través de las escobillas
Ba, Y Ba, un corriente Z, Oye hacía Ia carga. Las direcciones del flujo
de ésta corriente en los segmentos de bobioa de la armadura estan indicadas
por Los puntos y cruces del circuito exterior de la fig. 8-00. Los puntos y
Srucen del círculo Interior representan la corriente de corto etteulto, la
cual produce %.* En el momento en que Z, empieza a circular es la
armadura, establece an flujo $; que se opone à 3, y lo destrure. Size
destruye od,, la corriente de corto cireuto no puede existir y 4, es cero,
St 4 es cero, Ey = 0 a I, no puede existir. En otras palabras, no se puede
obtener potencia da salida de las escobillas Ba, y Buy. Esta difteuiad se
resuelve colocando un embobinado on 108 polos e jo directo y courctindolo
fen serio con la armadura, de tal manera que el lujo establecido por 81
neutraliza el efecto de ®,. Por esta razón, este embobinado adicional ex
Hamado embobinado de compensación 7 el flujo establecido por él se
Fepresonta Por San,. Este generador de corziente directa especial con doe
grupos de escobilles, se conace como amplidina.

Se encontró con anterioridad que el campo magnético de eje directo
Sa, és muy poqueño. En este caso $7, = (1/200) 6. Supontendo linealidad,
la mm. requerida para establecer 44 es 1/200 de ia from, requerida park.
establacer &,. Por consigulónte, la imm. requerida para establecer 94 =
50/200 = 0.25 amp-vueltas. EI némerode ueltaner ol embobinado de campo
puede reducirse a 10 y 1a corriente a 25 ma (milfamperes). SI ol Area de la
sección transversal del conductor usado para el embobinado de campo
Permanece igual que antes, la resisteneta as abora 1/10 del valor original,
Porque la Joogitud es 1/10 de la longitud original. La roslatencia es, por ~
consiguiente, 8 ohms. La potencia de entrada es JR = (D,025)8% 8 = 0.005
watts, Si 21 = 20 ohms, la potencia de salida es 2000 watts y la ganancia es
2000/0.008 = 4 x 10%, comparada con 100. Como la inductancia en un medlo
magnético lineal es proporcional al cuadrado del número de vueltas dol
erabobinado, la inductancia se reduce par un factor de 100. Con anterioridad
de mostró que la resistencia se reduce por un factor de 10. Conseruenten
mente la constante de tiempo ao reduce por un factor de 10, Eato signiica
que la velocidad de respuesta ca die veces más alta que 1a de la nition
de c.d. convencional de la fig 8-58, Resumiendo, veta máquina de ce
especial que utiliza el flujo de La reacelón de armadura tiene una Fananeta
muy grande y una velocidad de respuesta rápida.

En el análisis antorior, se ha supuesto un valor muy pequeño para la
reststencia de armadura, primeramente para dramatizar el mejoramiento
en operación cuando ILS escobillas del eje de cuadratura están en corto
Firouito, En la práctica A, puede tener un valor grande. SI, por ejemplo.

brise de da corne de corto circule y dol irrimie de circa Sete que terri.
Fade corriente qu ioe conductores cl sence y srt aran 167 =

472. Dispositivos Rolalorias; Méquinas de C, D. 459

AR. tiene un valor de 1 ohm, es (hell mostrar que con un embobinado de
campo de 10 vueltas la ganancís de la ampltdina será 1000 y la velocidad de
respuesta 10 veces mis grande que la de la máquina convencional,

Las Amplidinas con ganancias do 5000 a 8000.son muy corıumas, aunque
han sido construidas unidades con ganancias tan altas como 100000. El di-
sefador se enfrenta usualmente con ol problema de obtener un buen arre-
lo entre Ja ganancia y la velocidad de respuesta. La velocidad promedio
de respuesta de las amplidinas (la cual es usualmente descrila en térmi-
nou del valor al cual el voltaje de aallda se incrementa cuando la corriente
en el embobinado de campo se cambia repentinamente de un valor a otro)
es de alrededor de 2500 volty/ seg.

Las amplidinas se usaa en muy diversas aplicaciones. Son usadas como
excitadares o reguladores de velocidad de motores, £l embotinado de campo
se rellere usualmente como embobinado de Control. Las Amplidinas präcti-
‘cas comúnmente tlenea más de un embcbinado de control. Una representa
ción esquemática de una ampildina se muestra en la fig. 8-61.

a
oe
“ A
RAR .
G
e

COR EE

El uso de una Amplidins como el Regulador de Voliaje de un
Genvrador de C.D. La fig. 9-62 muestra esquemáticamente ol uso de una
amplidina como regulador de voltaje con excitación acumulativa da un gone
rador de c.d. que suministra potenela aura carga, El embobinado de control
1 se excita de una fuente de cd separada. El embobinado de control 2 está

473. 160 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Fin 2.62 Amonane coma un rue con een une de oise de un ge

conectado a las terminalea de salida de un amplificador. La entrada ai,
amplificador es la diferencia entre el valor deseado Y de la Salida de
voltaje del generador y el valor real ¥;. V, es dada por una fuente de vote
taje de c.d. constante. Los dos campos de control están conectados de
tal manera que sus fms, se ayudan mmitaamente,

El voltaje en circuito abierto del generador se ajusta a Y, volts,
ajustando la corriente 4j, en al campo de control 1 de la amplidina” Como
Y, = Va, la corriente en al campo de control 2 es cero. Los primotores que
mueven a la amplidina y al generador a velocidades constantes u,v us
respectivamente no se muestran en la figura, Una carga Z, está conectada a
través del ganerador. Dicha carga puede ser una resistencia, o el embobinado
de campo o la armadura de un motor de ¢.d.

Cuando V, fluctúa debido al cambio en 1,4, la diferencia Y¿-V,(0 =
Y, 1d) se amplifica y un voltaje v, 4) aparece a través del campo de control
2 de la amplidina, originando en 81 el flujo de una corriente 0. Si bar
un adecuado número d: vueltas en el campo de control 2, la fam, creada
acicionalmente, inerementa el voltaje de salida de La amplidina y Ésta a su
vez incrementa la excitación del generador de 0.0, de suerte que Y, es
restaurada rápidamente à su valor deseado V,. La steatividad de estos
arreglos dependen de que el embobinado de compensacién de la amplldlas
suministra el 100% de compensación y de que Ia ganancia A del amplificador
y el número de weltas en el campo de control 2 sean suticientemente
grandes. El mejoramiento en la regulación de voltaje que resulta cuando se
Usa el campo de control 2, 9a muestra en la fig. 8-89,

474. Disposttivos Rotatorios; Máguinas de C. D, 161

= Con el amneninaso se con
(re

Vole e ne
4

o————_____-

‘carine de caros Ty

Función de Transforeneia de una Amplidinu
Caso 1: La Salida de la Amplidina es Cero. La fig. 8-64 (a) muestra
una amplidina cuando es excitada por un campo de control y cuando las
terminales de ou armadura de efe directo están en clrculto abierto,

En la fig. 8-64 (0) se muestra una representación equivalente, en
términos de dos generadores de c.d. convencionales en cascada, Esta re~
presentación es (tu al derivar 1a fanción de transferoncia do una amplidina.
Haremos las siguientes suposiciones en este análisis: @) El circuito
‘magnétleo es neal. El flujo es directamente proporcional a la corriente
y la superposición es aplicable. à) los efectos de la reacción de armadura
fen el campo magnético de eje directo son despreciables. ©) La velocidad
de primotor sersantiene constante. d Los efectos de inductancta mutua entre
los embobinados en el mismo efe son despreciables. Tenemos las siguientes
relaciones

rhe) BO + VE 6:16)

De 1n Ec. 8-40, después de hacer un cambio en la notación, dejando Xy
obtenemos. .

ek = Kin (e169

onde K,es la fem. constante del embobinado del campo de control. En otras
palabras, X, es la (em. generada en el eje en cuadratura de la armadura,
cuando una Gorriente de À amp. fluye en el embobinado de control del eje

475. 162 CONVERSION DP ENERGIA ELECTROMECANICA

directo, a una velocidad constante w, También tenemos

(0 = Rata) + 1 EU $16
eat) = Rallo + by HO 00)
y

cli) = Keil) (8168)

donde K, es la fer. generada en ol eje directo de la armadura, cuando una
corrlente de 1 amp. fluye en el embobinado de armadura debido al corto
reuito de las escobillas del eje en cuadratura. De nuevo la velocidad w
es constante.

= —
2 7

ww

Fig. 9-446) Une rohe. (I Uns oración mien de an amine we

Suponiendo que la, condiciones intciales son cero y tomando las trang=
formadas de Laplace de las Ecs. 8-168 a la 8-168, obtenemoa

Ed Kık,
IT RARE

KK, ü

"RRE Or een

476. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de O, D. 493

donde +. = L:/Ry es la constante de tiempo del smbobinado de control y
T. = L,/Ryes la constante de tiempo del eje en cuadratura de la armadura.
En la ds, 8-65 se muestra una gráfica de flujo de señales 32 la amplidina
basada en lan ecuaciones transformadas de la misma.

ya ge a
7 Loa?

a 2208 Grin an Mo de ait sl molina an In 8 in

Caso 2: Se dispone de Cien por ciento de Compensación. La amplidina
está entregando una corriente lo La compensación es del 100%. La in-
uetanela mutua entre el control y los embobtnados de compensación se des
precia en este anélisis. Como la compensación ea 100%, la fmm. del
‘embobinado de compensación neutraliza al etacto de Ia corriente de carga
y consecuentemente 9,11) no es afectada por ig(ti. Necesitames otra rola-
ción,

eat) = (Ra + Re + RU Hg + Le + LYSE (ER)

donde Ra y Lu son los parämotros del eje directo de la armadura, Ry
1, son los parámetros del embobinado de compensación y Ry Z son los
parámetros de la carga.

Dejando Ry + R, + R = Rb Lit Let
mada de Laplace de ambos ados de la Ec.

Li, y tomando la transfor-
168, obtenemos

Ens) = (Ri + SLDS) wi

La función de transteroncta

PCR
Wey Rr ali
Kk, 1

(8-170)

RRR (+ PO FE
donde 1] = 11/84 es la constante de tiempo del circuito de armadura del
eje directo, el Gua Lneluve a la carga.

La gráfica de flujo de señales para esta caso se muestra en là fig
a6,

‘Caso 3: Solo se Dispone de Compensación Parcial, Si a compensa
ción no es perfects, 1a corriente de carga fl) onde a diamant el lujo
fective à lo largo del eje directo. Consecuentemente el decrece. Con
compensación total, cualquier tendancia dee decrecer os contrarrestada

477. tes CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECAYICA

por el embobinado de compensación. Como la armadura y el embobinado de
“compensación llevan la misma corriente, y la trayectoria mamnética sobre
la cual las (mms. correspondientes actían es Ia-mlama, el efecto dese

a CORRE t i yi
Se E
TR Tr Te

magnetizante de #,(t) que fluye enlaarmadura puede expresarse en términos
del efecto magnetizante de la misma (0), que fluye en el embobinado de
Compensación ajustado para compensación total. Por ejemplo, concompensa=
ción total, si Lt tiende a decrecer e, por 10 volts, el embobinado de
compensación ayuda a generar 10 volts adicionales en la armadura para
contrarrestar esta disminución. Por otra parte, ai la compensación es sólo
dei 50%, el embobinado de compensación incrementaría la fem. generada en
el eje en cuadratura por 5 volta y la reducción neta en 6.) será de $ volta

Si X, es la fem generada eneleje en cuadratura de IA armadura, cuando
fluye una corriente de 1 amp. en el emıbobinado de compensación (ajustado
para compensación total) a una velocidad constante w entonces, con
compensación parctal, la dismimciön neta en Ep), está dada por Kit)
[1-K), donde A es la fracctin de la compensación total. La Ec. 3-164 queda

eal) = Kil = Kal = WO em

donde X varía de O a 2. Todas lag demás relaciones son invartables. Las
ecuaciones transtormadas Son, suponiendo condiciones inleisles cero,

YAS) = (Ry + LOLAS en)
DORE TEE Kl = KE em
Ends) = (Ry + HLL) em)
Et) = KE) en

Eqs) = (RG + SLI) eg

Se muestra en la Hg. 68-87 una gráfica de flujo de señales basada en estas
ecuaciones. La función de transterencia J,(s!/', (2) puede ser obtanida de
la gráfica de flujo de señales por medio de la fórmula de ganancia de
Mason, analizada en el capítulo 7, La función de transferencia está dada por

a] Kak,

on U in
YO RADAR REN E

478. Dispositivos Rotalorios; Máquinas de C. D. 465

Con compensación total; X = 1; Ba sencillo ver que la Ee. 8-177 se reduce a
la 80. 8-170.

ya

1 de Conte:

8-19 Uso
de Retro,

los Máquinas de C.D. en Sista
ta

Las máquinas de corriente directa se usan para suministrar un vol-
tajo constante a una carga, o para mover una carga mecánica a una volooi-
dad constante, o para controlar una posición angular de una carga mecänt-
ca montada en una flecha, la cual está conectada a un motor ya sea direo-
tamente o a través de engranes. En todos estos casos el valor desendo de la
variable controlada as predeterminado y sa llama entrada de referencia al
aisteme, El valor real do la variable controlada, Mamada salida, puedo
fluctuar debido a variaciones paramétricas, disturbios externos, ete. En
tales sistemas se hacen arreglos para comparar el valor deseado y el actual
de la varlable controlada (voltaje, velocidad, posteión angular conforme
son el caso) y se Introdusenenel sistema, en los puntos apropiados, segales
de corrección proporcionales a la diferencia para restaurar la variable
controlada al valor deseado. Tales atstemas son llamados sistemas de control
de veiroalimentaciön,

Se describo en asta sección un sistema de control de ratroalimentación
usando un motor de c.d. de armadura controlada. Se ciscucirá su función
de transferencia y su comportamiento cuando se sujeta aclertas entradas
típicas. En los problemas al final del capítulo se incluyen ejemplos de
otros sistemas de control.

La variable, para ger controlada en ol alstema de control de retro-
alimentación mostrado en la fig. 8-58, es la postción angular 0,1) de la
Mecha a la cual entá conectada la carga. La carga está conectada al motor
a travis de engranes, La entrada de referencia es 8,($, El objetivo es hacer
9 = 9,(U. El dispositive de postoión es un mor de c.d. de armadura
controlada,

Actían como detectores de errores, dos potenciómetros de embobinado
Ge alambre, conectados en paralelo a través de un voltaje fjoY. La entrada
al amplificador es cero cuando 9,f0 = 8,6).

SI los valores deseados y el actual de la variable controlada no son los
mismos, aparece un voltaje proporcional a la difereneta en las terminales.
de entrada del amplificador, (St la potencia requerida por el dispositivo de
posición vale más que unos santos watts, el amplificador se reemplaza por

479. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

=

una amplidina). La salida del amplificador se conecta a la armadura de un
motor de 0.d. cuya excitación de campo se mantiene constante. La armadura.
ira de tal forma que 8,4 = 8,(0.

So muestra enla fig. 8-60, una represcutación en diagrama de bloques
del alstema de control. Una gráfica de flujo de señales más detallada se

83 narración a lame de bogus el ture decoro a 8 68.

trazará más tarde. La función de transferencla del sistema de control 9, (1
7/048) se dertvará a cóntimuación, La relación entre las variables en forma.
transformada os:

1) Detector de error.

A = 8,02) - 8) (8-178)

Vis) = Kl) (8.179)

480. Dispositivos Rolatorios; Méquines de ©. D. 47

A. es Mamada la sensibilidad del detector decrror. Se expresa en volts
por radlán.
2) Amplificador.

Wi) = AKAs) (8-180)
donde À es la gananeta del amplificador.

3) Motor de ed. de armadura controlada, (Ver el anflisis anterior
úhecno en este capltulo y en particular las Eos. 3 x

HU = (Re + shy)lats) + Kuda)
(Ra + she dele) + sKubal8) 8-181)

Como
(5) = 50.(0) (6182)

La Ec. 6-181 puede escribirse como

(6189)
Tale) = Kuda) a)

También
TO) = (des? + Jan) @185)

done
G-186)
y
wm
4) Carga,

(5) a)

Una gráfica de Mujo de señales basada en estas seuaclones aa la
trazada an ta fig. 3-10. La función de transterencta del sistema puedo.
Gutenerse de la gráfica de flujo de señales aplicando la fórmula de ga-
mania de Mason. Con objeto de calcular la función de transterencia 0.(9/
9.18), necesitamos la siguiente información:

'Kúmero de trayectorias hacia adelante: Una, 9,-8, =V,-V,-L-Ta-0.

481. 438 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

PK AKIN)

en) (8.189)
hote
Enz us) Anis At Ay
GA

7O Une gites de Majo a

mais de dame de coma de la Fin 8-68

Nümero de anillos de ratroalimentaciön: Dos
Anillo 1) 8,-,-V,-L,-T,-0,-0,-8,

Ke AKul Na)

Gamac Py = €-190
Were om,
Anite 2) Le Bus,
Conan Pa A e
(Re + SL) + fq)
Nümero de anis separados: Xinguno.
A 1 (Pur An) 48-192}
ai e193)

‘como ambos anillos tocan la única trayectorta haelaadelante. De acuerdo con
la fórmula de Mason

At) Mia,
y 7a Lis

Sustituyendo My, &, y à de las ecuaciones anteriores y simplificando,
obtenemos

an | KARAM, 185)
BA (Ra + SLAVE ay + fq) + KARIM IM) + SKE

(4195)

482. Dispositivos Rolatovios; Méquinas de C. D. 469

$1 a intactancia L, del embobino de armadura se desprecia, porque
nene sn peqoeba a Be Sls Seca
na (KAR WMI Rad ae
BAS) SP URL + KRM Redal + (KAR GN Ru)
Esta on dela forma
= 9.190
DE ETS] ®
donde
a = PRETO En
,
¿199

a —
IVRTRAR MIND

El término w, es la frecuencia natural no amortiguada y $ es la relación
de amortiguamiento. Este es un sistema de segundo orden. La respuesta
de tal sistema para entradas típicas se analizó en el capítulo 6.

EJEMPLO 8-3, En la fig. 8-68, suponga los siguientes valores nume-
isos para los parámetros:

TABLA BL
Sonia del detector de erores Ki = | volt {dl

Constante del Par Ky = 1 none ape

naan de da a Keo Vale/amp

Marea de era det motor 320008 Kem?

Nomen de inercia de laura Ho kgm?
Cheers de ció del motor Je = 0.002 aawton-m jain er
Gerichte de colón de lacaga fe = 0.002 win a / de! my.
esten de armature Rn Some

Inden de la arm La = despacio

Raabe de engranaje TEE

@ Para una ganancia del amplifieador de A = 100, evalúe la salida
But cuando 8.00 es una función escalón unitaria. ds ¿Cal os el valor
final de 6,2, es decir, lim, 9,(U? 0) Si la entrada de referencia 9.(1)
= 1, una función de rampa unitaria, determine el mínimo valor de À de
auerte que 8, (11 seguirá 2 3.(1) comun orror de posición 3, (4 = 6,(0)~9, 12)
que no exceda 1? medida en la flecha de carga.

Solución: Como la inductancia de la armadura es despreciable, las
Bes. 8-108 a la 8-199 se aplican. El sistema es de segundo orden.

483. 1 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

(= 0015 Kent

2)» not means

De la Ec. 8-108, sustituyendo valores numéricos, obtexemoa

IT
a PEL va ns,

Similarmente de la Ec. 8-199 obtenemos

; CAT
od 1
VETERE VA

© A = 100; vo « 11.5 radtanes/seg.; 6 = 0.505, La Ec, 8-197 queda

un. _
dan Bis

St fet = M, la función escalón unitaria; 0,(8)= V/s y 9,69) = 129/5 (et
dels + 120). El término 8.0) puede obtenerse refiriéndose à urd tata
de transtormadas de Laplace,

ue

COST EEE TEA
tn: a TE]
BU NETTE GEN. = 143

2) El valor final de 8,0) 8 Mm 9, ti « 1,
e, Cuando 8,(0 = t, antonces 8,137 = 1/59. Dela £e. 8-1
caso, tenemos

, para este

ee ee)

La función de errores

1
nn isha nr nn
ee

+2

ART na ech

484. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. D, sa
El valor on estado estable de 9,(f) puede encontrarse aplicando al teorema
del valor final de lan transformadas de Laplace.

fim 0,0) = ti a)

DREI
PS FOS ios eo
sho. _2

ei

En este ejemplo, 6=5.95AA'y w, = 1.15 V4, de suerte que el valor en estado
estable de error de posición es

nda) » 2. 2099. 1038
nin A A

Este error debe ser menor que 1° 0 1/57.3 radianes. De este modo 10.35
(As 1/91.3:0 À 2 594. El mínimo valor de A= SM.

20 Une Méquiaa Gonerelizado

Como se establació con anterioridad, han sido propuestas varias
máquinas generalizadas. Una de ellas, conocida como máquina de Krom,

rá en esta sección. Pära Informacién eancernientea los otras modelos,
tor puede consullar Ia Uteratura cátada.

Conaldéresa al modelo de la umuina generalizada mostrado en late,
8-71. Esta máguisa generalizada es una máquina conmutadora, con ds
<mbotinados de campo estacionnrine Independientes, colocados en cuadra
Tura_uno_con respecto al otro, Uno de los embobinados de campo es lla”
mada embobinado de compo del eje directs y el otro ambodinado de compo
del_eje en cundrature. Estos embobinados be Wenifiearin más tarda com
‘los subíndices d/y qfasignados a los voltajes, corrientes y otros parámetros.

El rotor o armadura lleva un embobinado que está conectado al con-
mutuador como en a ig. 8-LL y es el mismo que en la máquina convencio.
mai de c.d Se usan dos grupos de escobillas, les cuales sirven para hacer
que el embobinado simple de armadura actúe como dos embobipadas de
armadura en cuadratura, Independlentes eléctrica y magubticamente. Un
grupo de escobillas está colocado en el eje en cuadratura y tiene la tarea
Ge hacer el embobinado de armadura equivalente aun embobinado concentra.
do an el ejo en cuadratura, Un segundo grupo de escobillas está localizado
en el “eje directo y tiene por objeto Racer al embobinado de armadura
equivalente a un embobinado concentrado enel eje directo.

"ins. The Ganaral Theory of Btrco! Machen (Sew York John Wey Lon
Ing 1817 BC, mae y HH. Woodkan, Elctronchonce Energy dame

485. #5 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

i]

wll

ET

Paar da matin
+, Sarasa
stint samp haa
a in le

w

Der
wf TL

an

a

P1671) tamal Ge una mains maite (9) Raprmenatiôn atomica dota
PR cee BSD To, Lo nepeemtn

486. Dispositivos Rotatorios: Máquinas de C. D. 173

La representación de un embobinado simple de armadura por una com-
binación equivalente de dos embobinados independientes en cuadratura, es
válida, porque 30 supone que el sistoma ea Leal eléctrica y magnética
mente y el principio de superposición apllcable.

Las ecuaciones diferenciales que describen a la máquina generali-
zada en ja fig. 0-11 se obtiene siguiendo el procedimiento usado con
anterioridad en este capítulo para la máquina de ¢.4, Se definirán primero
los diferentes parámatros,

‘Ry, = resistencia del embobinado de campo del je directo

La = iructancia propia del ambobinado de campo del eje directo,

y = resistencia del embobinado de campo del eje en cuadratura,

‘Ly, = inductancia propia del embobivado de campo del je en cuadra.
tura,

A, = resistenela del emboblnado de armadura del ele directo,

LE = Induetancia propia del embobinado de armadura del eje directo,
resistencia del embobinado de armadura del ojo on cuadratura.
inductancia zropla del embobinado de armadura del eje en cuadras

tura,
My = inductancia mutua entre los embobinades de campo y de armas
duea det eje directa.
M, * inductancia mutua sutre los embobinados de campo y de arman
dura del eje en cuadratura.

Como hay sólo un emboblnado de armadura en el sentido fíalco o ma-
terial, Ry = Bu = R,, Solamente al ol entroberro es uniforme Las Im
En general y on ináqutnas de polos sallentes, La Ly.

Las inductancias mutuas M, y M son praitivas y ae definen usando
las direcciones de referencia para los Zujos mostrados en la Ig. 8-21 (0),
La dirección do rotación de la armadura en contra de las manecillas del
toloj se considers como positiva,

‘i las corrientes fluyen un los embobinados de campo y de armadura
como se muestra en la fig. 8-11 y at ésta está girando a una velocidad.
angular 2, 36 generan cuatro voltajes de movimiento en los embobinados de
armadura. En adición a los dos voltajes goserados debidos acorrientes
que ctreulan en los embobinados de campo, wm voltaje de movimiento se
genera on el embobinade de armaduyo del eje en cuatratura debido a una
Sorrlenta eirculante en el embobinado de aymara del eje directo, Similar-
mente, un voltaje de movimiento se genera en al embobinado de armadura
del eje directo debido lacorriente circulante en el embobinado de armadura
dei eje on cuadrasura,

‘No hay voltajes de movimiento generados en los emibobinados de campo
porgue los flujos establecidos por las corritifen de armadura son asta
ciorarios cón resbeeto a los embobinados de came, ain cuando la arma-
dura entá grande. La razón para esto se explo cos anterioridad en este
capítulo mientras se analizaban las máquinas de c.d. enla Sec. 8-8.

A = Kayla 8-200)

en el voltaje de movimiento generado on el embobinado de armadura del
eje en cuadratura debido a una corriente que circula en el embobinade de
campo del eje directo.

487. 470 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

BO = Kaine e)

es el voltaje de movimiento generado en el embobinado de armadura del ajo
en cuadratura debido a una corriente que circuia en el embobinade de
armadura del ele directo, &

HO = Kika 6203)

es el voltaje de movimiento generado en el embobinado de armadura del eje
directo debido a una corriente que circula en el embobinado de campo del
je an cuadratura,

EN = Kuri an

8 el voltaje de movimiento generado en el embobinado de armadura del ele
directo debido a una corriente cireulante en el embobinado de armadura del
eje an cuadratura.

Las sigulentes relaciones son Gilles: En la fig. 8-71 (a) las osco-
billas del eje en cuadratura deben de moverse 90° en Ia direcalón posi-
tiva para alinear el eje de a) con el eje de ouf). Consecuentemente
(sasado on el análisis que siguió a la Ec. 8-28)

Kun Me (8-204)
Stmbarmente, las escobillas del oje directo deberán moverse 60° en a
¿lirección negativa para alinear ef je de #0) con el oe de Sy Por
consiguiente
(2205)
simtlarmente
Kan the 6-20
Kun nly am)
Las relaciones de voltae son
vo O = Ra + Ply diqh + Malo (8208)
Yall) = PM + Ba + PLAY + Kai D + Kuala)
209)
walt) = (By + PLN + Mail aan

Yall) = Ky ith D+ Kagel) + PM iD + (Ay + dial
em

488. Disgositivos Rotatorios; Máquinas de C. D. ars

endo las Eos. 8-208 a la 8-211 en forma matricial, obtenemos.

Ey] [Rus pie Me o o ig
wen | PM. Rat Ply Kye Rue 150]
ay o 0 Rye rey PM ||
ol A Ry # Pll)
A
141 = LRU + PEAU + lll 212)
donde
[rut
vato]
| o)
nel C
Le
zo)
1.00)
a ar
jo) sun
0)
Re, 9 o à
om 0
melo FS a o 625
o 0 © Ry
EA
Wal, 6216)
o 0 Mm L
Y
o 0 o 6
0 0 Kye Kul .
Et 3 7% ea
Ku Km 0 0
de
ES (6218)
as la retocidad angular y
4
E 219)

489. ik ELECTROMECANICA

El término L, es la matriz de induerancia y La es la matriz de inductancia
de movimiento Sustituvendo las fems. constantes en términos de las
inductancias propia y mutua de las Ges, 8-204, 8-205, 80806 y 8-207,

la Eo. 8-217 queda
fe oo o
00M Ll

ela o 0 o
bé 0.

(8.220)

La Be, 8-242 es de la misma forma de la Eo, 8-28, Como ae hizo en el caso
42 la máquina de 6.4. las relaciones de conversión de energia pueden
obtenerse calculando la potencta total en el sistema

Potencia total P = (AV) en
donde

(= iol og) (8-222)

es la transpuesta de [1]
Sustituyendo la Ec, 8-212 en le Ec. 8-221, obtenemos

Po FERNEN + pth + Oat) (8-223)

Siguiendo el procedimiento usado con anterioridad para examinar la Ec.
8-31, resulta £Acil demostrar que el primer término del lado derecho de la
Eo. 6-223 represente La pérdida dhmica en el sistema, el Segundo término,
la razón a la cual la energía almacenada en los campos magnéticos cambla,
y el tercero la potencia convertida en forma mecánica, El tercer término.
merece un exámen adiclonal,

Prone m USO en
Suotituyendo Ins Eos. 8.214, 8-217 y 8-222 an la Eo. 8-224, obtenemos

Pme ol Dial Kg + bal Diy K pe
LEE + Kuo! (8225)

Notando que

Pan = Ta 8.226)

490. Dispositivos Kotatorios; Méquinas de €, D. ar

donde T es el par desarrollado por ta máquina generalizada, obtenemos

T = Cain = ty Oar

TATI Ku) (8-222)
La Ec. 8.227 también puede escribirse en términos de parámetros de in-

ductancias propia y mutua de la máquina generalizada. Sustituyendo las
Eos. 8-204 a La 8-207 en la Ec. 8-227, obtenemos

To tt M — ble) Me
+ DIE — Lol (828)
En el caso de máquinas con entrehierros uniformes, Ly, = Lu. Para
‘este caso especial

A AAA 6-229)

Se muestra fácilmente que la mfquina de c.d. nonvenelonal se deriva
de la máquina generalizada, Sabiendo que el modelo de Ja máquina de c.d.
en la tig; 8-19 se obtiene de la fig. 9-71, si se quitan las escobillas en el
eje directo y el embobinado de campo en el eje en cuadratura. Matemática-
mente esto se realiza suprimiendo la segunda y tercera hileraa de las
matrices en las Eos. 8-218 y 3-214 y suprimiendo las segunda y tercera
hueras y columnas de las matrices mn las Eos, 8-215, 9-218 79-217,
Las ecusclonesresultantes son las mismas que las obtentdas con anterioridad
en la sección 8-6.

También, st hacemos 4,44}
obtenemos

0 9 fait) = O on las Bes, 8-224 y 8-228,

A AA

ción 8-18, se derivó la fanción de transferoucia de una am-
plidina suministrando Potencia a una carga resistiva Inductiva, Se const-
deraron dos casos, uno con 100% de compensación y el otro con compensa-
ción parcial, (ver Bes. 8-170 y 8-177), Estas funciones de transferencia
pueden también derivarse de las acuacinoss do la máquina generalizada.

Se muestra en la fig. 8-72, una representación esquemática da usa
ampliding allmentando una carga resistiva inductiva.

Comparando las igs. 8-71 (9) y 8-12 (b}, notamos lo siguiente: an el
modelo de la amplidina, el embobinado de campo del eje en cuadratura.
está ausente y el embobinado de armadura está en corto circulto. También
un tercer embobinado, conocido como embobinado de compensación, se
localiza en el ele directo. En resumen, la amplidina tiene tres embobınados.
en el eje directo y uno en el eje en cuadratura, mientras que La máquira.
generalizada tiene dos embobinados del ejo directo y dos embobinados del
eje en cuadratura. El modelo de la amplidina puede derivarse del MODELO
de la máquina generalizada haciendo los siguientes cambios en las ecua~

491. ua CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Embobinado de campo de cono
pri

en
PAD)

so ai?

Erassinée de comparación À

Froctinado de wmaaure |
de ja en cundrerure

ciones do la máquina generalizada, Suprfinanse todos los parámetros del
embobinado de campo del eje en cuadratura asf como las coostantes que
dependen de la presencia de este embobinado de las matrices de las Ein.
8.212 a la 8-217, y reemplicense por log correspondientes elementos del,
© debido], embobinado de compensación. Las Eca. 6-213 a la 8-217 quedando

492. Dispositvos Rolutorios; Mäqunas de C. D 47

fr
vato!
EU]
vun

gt
tal
- es
o 230,

RT

me 4.230)

me 9 0 }
Ro ©

la} = 2

(a o 2. (2-232)
o 0 0 R

donde v.(# es el voltaje en elembobinado de compensación, I, la corriente
fuyendo en él y A, su rentetencia.

Representando por My a a inductancia mutua entre el embobinado de
compensación y el embobinado de campo del eje directo, y a la inductancia
maria entre el embobinado de compensación y el embotínado de armadura
del eje directo por Mu y haciendo notar que M, es cero, obtenemos

Ly Me May 0

Mala Maw 0

May Mu Le 0 enn
000 La

(Lal =

En lo que respsota a la matriz de inductancia an movimiento, se
reemplazan por caros los términos que denotan la contribución del umbo-
binado de campo del eje en cuadratura al voltaje en movimlento, » intro
uciendo la constante de fem. Xy, se toma en cuenta el voltaje generado en.
el embobinado de armadura del eje en cuadratura debido al flujo estab
cido por el embobinado de compensación. L, queda entonces

oo
o Kel 5

a (8-234)
Ky 0

493. orenemas

PU (Ru m pla Viol) + MO + Pot ars
rato
PM AD + (Rag PO Mi ll) (8236)
VAD = PM arin (1) + PM sieht) BOLO en
Wels Kal Kia + AC)
+ Ret Pediat) (8238)

Como el embobinado de compensación y el embobinado de armadura del oje
directo están conectados en serie e £,(1) «¿.(0, las Eos, 8-298 y 8-297
pueden combinarse, Representando el Voltaje total en las tárminales de
la carga por Val), tenemos

AA 6-239)

Yall) PMH Meg igh) + Ry + RD + pln + Lal)
EM + OK pill) (240)

SI hay 100% de compensación, el jo astablecido por el embobinado de *
compensación neutraliza completamente al flujo establecido por la corriente
en el embobinado de armadura del eje directo. Consecuentemente, para.
100% de compensaci

Met Moy =O Mag CET

Las Bes. 8-235, 3.288 y 8-240 quedan

"D = (Ra à plait (620)
Walt) = (Rae RO + Plan + L Wa

HAMANN + eK PR
M = O whayl (0) + (Rye + DL dint) CE)

ya que el embobinado de armadura del eje en cuadratura está en corto
Circuito en !a amplidina,

494. Dispositivos Rotarorivs; Máquinas de C. D. st

La inetancta mutua M., ‚entre el embobirato de compensación y el
embobinado de armadura del eje álrecto, puedo despreciarso. Nótese que

omens de carga ia) = -iat eo
También tenemos

Hal) = (R + PL aan
donde R y L representan los parfsmetros dela carga, Tomando las transtor-

madas de Laplace de ambos lados de las Eos. 8-243, 8-244, 8-245 y 8-247
y suponterdo condiciones Inlelales cero, obtenemos

Vash (By + #777) ern

Vola) = CR + SL) = AR, + SLDS) + Kalos) (8:249)

donde Ry= Bu Roy Las Lut Le

WK galls) + (Ry + Lilo) 6250)

Combinando estas ecuaciones, obtenemos la función de transferencia

1) AK Moka)
VAR + ER + SLR + tha)
KK [RRA

METE oa)

donde Rp Re Rs dim he bt re LR UK ka Kay = 6,
Rus y to = balay

La Ec. 8-251 es igual a la Bo, 8-170, El signo negativo en la Ec. 8-251,
se debe al hecho de que ladirecciónactual del flujo de {fen al embobinado
de armadura del eje en cuadratura, es opuesta a la dirección de referencia
mostrada en la fig. 8-72 cuando el embobinado esti en corto circuito

La función de transferencia cuando la compensación es sólo parcial
puede obtenerse de las Eca, 8-235 2128-28, esto se deja como ejercicio al
uctante. La derivación de las máquinas de ¢.4. de Inducción y síncronas
de la máquina generalizada se tratará en el capítulo siguiente

PRODLEMAS

$-1, Una máquina de corriente directa se opera como generador con
excitación separada, en la porción lineal de su curva de magnetización. Es
aceicnach por un primetor auna velocidad angular constante de 100 radianes:

495. ine CONVERSION DE EXERULA ELEC TROMECAN

seg, Las especificaciones de lamáquina (ver‘g, $-20) son: js = 100 volt;
amp. en el embobinado de campo; A, = 40 ohms; L, « 20 b; R. = 0,5 shes
y Les desprectable.

31 Un voltaje de 6.4. de 80 volts se aplica repentinamente al embobi-
nado de campo teniendo a la armadura en eircullo abierto, Oblenga una
expresión para la fem. generada 64/1, ¿Cuál es el valor final en estado
estable de 6,4? ¿Cuánto tiempo toma la fem. para desarrallar el 95% del
valor final? b) Trace una curva de la corriente de armadura £.(0 come un
función de tempo si una carga veslativa de 10 ohms se Conecta a las tor.
minales de la armadıra y repentinamente se aplican 30 volta de corriente
directa al ombobinade de campo. ¿Cual es el valor en estado estable de
ito?

8-2. Ropila In parte à) del problema «1 usando el enfoque de La variable
de estado y compare resultados

8-3. Una méquina de c.d. se opora como un motor de campo controlado
(ig. 8-24). La estructura magnética no está saturada y al motor puedo
constdsrarse como un dispositivo lineal, La armadura está conectada = una
fuente de corriente constante y la corriente en la armadura eg 20 apa.
de corriente directa, Los parámotrog de la máquina de c.d. sont R/2 40
ohms; Ly = 20 h, da = 1 Kg- mt, fa = 0.1 newton-1 radián/ cop, J, = 2
Ke-m?, /,= 0.18 nowton-ny radían/ seg, Kj,» 10 nevton-ny amp. de eorriene
te de campo, Se aplica al embobinado de campo un vollaje v, tt) = 120 4/0,
en donde u(t) es una función escalón unitaria. Obtenga las expresiones pa:
ra Hé y wi, la corriente de campo y La velocidad de la flecha, re
pectivamenta. ¿Cuáles son los valores en estado estable de estas santi”
dades?

3-4. Obtenga los valores en estado estable de jy) y de uff) para el
motor del problema 8-3 usando las ecuaciones de astato,

8-5. E] motor de armadura controlada mostrado en la fig. 8-28 tene
las siguientes sapecificaciones: A,=1 olin; Lies despreciable; &y = 1. volt/
radián/sog., Ky = 1 newton-m/amp, en la armadura, Ju 0.08 Kgomo;
A, = 0-05 Kg-m%, f, = f, = 0.01 newion-m/radiän/seg. La corriente en el
embobinado de campo as constante. La máquina está inicialmente en reposo.
Un voltaje 2,6) = 50 ult ae aplica à las terminales de la armadura, (Se
supone que la alta corriente que fluyo en la armacura en el momento del
Arranque no se prolonga suficientemente para dañar ala armadura). Obtenga
una expresión para la velocidad auf). Trace la curva par (on estado es.
table) vs. velocidad (en estado estable) para el moto.

8-0. Los datos para la característica de magretización de un genera-
dor de cd. son tabuiados abajo. La velocidad angular de la armadura es
100 radtanes/eg.

Camperes) | 0 [025/050] 075| 10 [1.2 200 1225 | 250
Ten ends
(ols) 15/57 Jos Fass | 167) 195 man! 256

496. Dispositivos Rotaforios; Méquinas da C. D, 483

a) La maquina está conectada como un generador can excitación propia
en derivación y gira a 100 radianes sag. ¿Cuál deberá ser la zeststencta
total on el circuito de campo para obtener una fem. generada de 225 volts
en la armadura? 8) Si la resistencia semantlone constantea este valor y
la velocidad angular se varía, ¿cuál será la fem, generada a 80 rattanes/
seg. y à 120 radianes/ seg respectivamente? ¿Cuál es el valor crítico de la
velocidad angular? c) Si la corriente de campose ajusta para Laser un valor
de 1 amp. ¿Cuál deberá ser la velocidad angular para que la for. gemarada
sea 250 volts?. La caída de voltaje en la resistencia de armadara debida a
la corriente de campo que circula en elaes despreciable. d) Si la velocidad
angular se mantiene constante a L0Dradianes/ segy la resistencia total en el
circuito de campo varía ¿Cuál será la fem. generada cuando la cesletencia
5 125 ohms? ¿Cuál es la resistencia critica?

8-7. Suponga que un generador con excltación propia en derivación de
5 KW, deed ené lamisma caractoristica de magnetizacién que la máquina.
del problema 8-6. El generador está girando a una velocidad angular
constante de 100 radianes/ seg. y la resistencia du campo sa ajusta de tal
manera que el voltaje terminal sin carga sex de 250 volts. Una carga re-
sistiva se conecta a la armadura. La resistencia del embobinado de arma-
dura es 0.5 ohms. Determine el vollaje terminal del generador cuando la
corriente de armadura es 20 amps. EI efecto de la reacción de armadura
23 despreciable.

3-8. En el genarador de c.4. del problamad-7, la corriente de armadu-
ra se mastiene constante a 10 amps y el voltaje terminal a 200 volls. De-
termine el Incremento en la corriente de campo necesaria para mantener.
esta condición cuando la velocidad angular se disminuye de 100 radianes/
seg a BO radianes/ seg. El efecto do lareacción de armadura es despreciable.

8-9. Un motor de c.d. en derivación opera alimentándose coo 250 volts.
La velocidad sin carga del motor es 120 radianes/seg. La corrienta de
armadura 08 de 2 amp. operando sin carga. La resistencia del embobinado
de armadura vale 0.8 ohms, La carga mecánica en el motor se Incrementa.
hasta que la corriente de armadura llega a 20 amp. ¿Cuál es la velocidad
en estado estable del motor en esta condición?. ¿Cuál es el par desarrollado
motor?

8-10. Un motor en dorivación, de 250 volts de c.d. está moviendo una
carga mecánica a una velocidad de 100 radlanes/seg., cuando 1a corriente
de armadura es 10 amps. La resistencia del embobinado de armadura vale
0.5 ohms. Se introduce ahora una resistencia externa de 1 obm en serie
‘con la armadura y la carga mecánica se ajusta de modo que la corriente
de armadura valga nuevamente 10 amps, ¿Cuál es la velocidad angular del.
motor y cuál enel par desarrollado?. Compare estos valores con la velocidad

a la introducción de la resistencla externa,
Las especificaciones para la amplidina y el generador de e.&
de la fig. 8-62 son las siguientes:

a Amplidina: La velocidad angular w, está en radianes por sag. (cons-
tante)

on 2

497. si CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

tie la 4
Fam constants a x
vas % *
Comines % i

La excitación del campo de control 1 está ajustada para obtener el 7ol-
taje deseado en circuito abierto. Esta excitación I,, se mantiene constante.

Embobinado de compensación (100% de compehsación): resistencia A,
e inductancia L,

Armadura:
End Einen curar
ean A
teur 4

Fam ccoo

dy Generador de c.d. La velocidad angular constante a w, está en ra-
dianes por seg,

Embobinado de campo; resistencia, Ry; inductancia, Ly y fem. cons
tante Kir.

Armadura: fem. generada, ¢,(t); resistencia, R, e induetancia L,.

Carga: resistencia, R; inductancia, £; corriente, ¿(t); y voltaje, vf.

¡Ganancia del amplificador A,

Voltaje de referencia Vz
La fem. generada en ol eje en cuadratura de la amplidina debida a la co-
Friente constante %, en el emboblaado de control 1es ey, = Ki, dy. -

2 Suponiendo lihealidad, escriba las relaciones entre la distintás
variables, ambas en el dominio de tiempo y de frecuencia, usando transe
formadas de Laplace. 5) Tratando Va Y oy, como entradas, trace una grä-
fica de flujo de señales del alstema; Incluyendo (5). c) obtenga lag siguientes
funciones de traneferencia:

zn

FAG en me = 0 o

su

con MeO ily

van

eo o

d Bor el principio de superposición, obtenga una oxpresión para Vs)
cuando el sistema está entregando una corriente 1, (2, Calcule el valor on
estado estable de vt por medio el teorema del valor tinal

8-12. En el sistema de control de retrcalimentación mostraoen la
Hgura que se acompaña, se desea mantener constante el voltaje de salica
a 200 volts. El generador de c.d. acclonado por un primocor esa girando
4 una velocióad angular constante. El control del voltaje de salida ae
efectúa aplicando un voltaje A |. - Kv;(li]al embobinado de camp del

498. Dispositivos Retatorios: Mögunas de C, D, «83

generador, donde A es la ganancla del amplificador, Y; es el voltaje de
crferenoia (jo y À es el ajusto dal potenciómetro (OKI Sia carga, el
voltaje te salide del generador se ajusta desilzando el conacto del poten-
&iömerzo hasta que Y = 200 vll. 2) Escriba las ecuaciones dlferencialea
del sistema en la forma transformada. 5) Trace um grillen de flujo de
Señales, considerando ¥,(si © Zs) como entradas y Y, (5; como la salida
© Cateute la función de transterencia Y,(81/V,(8/ dela gritica de flujo de
señales. Use los valores mméricos siguientes para los parámetros del
Sistema y encuentre ol valor de 4, > de K correspondientes à un valor,
#7 estado establo, de 200 volla para v,") ain carga: = 0 ohms, Z = 20
. ganancia À = 100, Y = 50 olts, yu = 100 volte: amp. en el embobi-
ado de campo, A, = 0.1 ohm, 4, en despreciable. d Calcule las funciones.
de transferencia V.(5)/ (si con Le «0 y Y,(0/L9) con y= 0, partiendo de
la gritica de flujo de soñalos. Obienga por superposición, el valor de P/ 1)
en estado establo con Y = 50 volta Z, (estado estable) = 80 amp. e) El sis
tema está en estado estable como se describió en la parte d con Y = 50
volts e 1, 2 50 ampo. El interruptor S, se abre repentinamente. Encuentro
Vina expresión para 2,0

motor A
oH PY
5 lat
\ an 4

8-13, En la figura que se acompaña, se muestra un sistema de control
en el cual la velocidad angular sa, 08 1a variable controlada. La relación de
ertrada-salida del tacómetro iel cual es un generador de e.d. con excita
ción separada y constante) es Yac(b = K 00,0), donde K. es la tem. constante
expresada en volts por radidnpor segundo, El gar desarrallazo por el motor
de campo controlado es Ty( = Kpidti donde K4 ey la constante de par a1
Escrita las ecuaciones diferenciales del sistema de control en la forma
translormada. 6 Trace una gráfica de flujo de señales. con YA como la
entrada 7 w, #) como la sallaa y obtenga La función de transterenela 3: /8//
Lis. er Modifique la gráfica de flujo de señales para mostrar el efecto
de un par externo de disturhio 7; el cual se ejerce en la carga, El par 7,
e opcne a la rotacióndo la carga. Calculo la función de transiereneia 3,7
7,10) euando Y, = 0

499. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ole

500. conte 9

Dispositivos Rotatorios de Conversión
de Energía Electromecánica
Máquinas de C.A.

9-1 Introducción

Se mostró en el capítulo anterior que la máquina de c.d. convencio-
mal y la amplldina, son derivadas do la máquina generalizada, de la cual
se muestra un modelo en la fig. 8-71. No obstante, cada una se obtiene
haciendo cambios apropiados, pero diferantes, en el modelo de la máquina
generalizada, las dos máquinas tienen rasgo en comin. Eto es, se usa una
fuente de c.d. para suministrar energía elbetrica en ambos casos. Por esta
razón la amplidina se considera también como una máquina de c.d.

De una manera similar, puede derivarse una clase diferente de máquinas
a partir de la máquina generalizada, usando una fuenta de €.2. como la fuente,
única o mayor, de energía eláctrica, Estas máquinas son llamadas máquinas.
de corriente alterna, o para abreviar máquinasdec.2. La fuente de c.a. más
trecuenteraente usada es una en la cual ol voltaje y la corriente varían
Senoidalmente con raspacto al tlempo, fata se llama fuente de voltaje at
la amplitud dal mismo permanece constante mientras que la amplitud de la
corriente puede variar, dependiendo de las necesidadas; 6 fuente de
corriente al la amplitud de la misma permanece constante mientras la
amplitud del voltaje puede vaciar. Pueden er fuentes monctisicas, bifásicas
0 tritksteas

Las máquinas de corriente alterna se clasitican de diferentes formas.
Se clasifican como móquinas monofásicas, biräsicas trifästcas dependiendo
del tipo de fuente usada, Las máquinas trifásicas encuentran una extensa
aplicación en grandes establecimientos industriales como generadores y
motores. Los motores de don fases son muy usados como dispositivos de
posición en sistemas de control automático. Los motores monofásicos
encuentran una amplia aplicación en el hogar y en 1a industria como pri-
motores de utensilios tales como ventiladores, fonógratos, bombay, ate.

Las máquinas de corriente alterna se clasifican también como: sfncrnas
y asfncronas. Las máquinas síncronas derivan su nombre del hecho de que
giran a una velocidad angular constante, la cuales llamada velocidad angular.
Sfrcrona, La velociiad angular de máquinas asincronas (popularmente
conoeidas como máquisas de inducet6n), es vartable y menor que la velocidad
angular afherona.

Deberá hacerse notar nuevamente que a pesar de sua diterenctas aparen-
tes las máquisas sínoronas y de inducción son básicamente iguales, ya que
ambas pueden derivarse del mismo modelo de miquina generalizada. Las
máquinas de Inducción se verán primero. Las máquinas síneronas se analiza-
rán posteriormente en asta capítulo.

501. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Antes de que se lleve a cabo la obtención de las relaciones de conversión
de energía de las máquiras de inducción, apartir de los resultados sbtenidos
en el capítalo anterior para la máquina generalizada, es Gi! y aún necesario
alzuna ampliación. para familiarizarse con las características de construc-
ción general de las máquinas de indvectén, y también derivar algunas
relaciones básicas aplicables a los máquinas de inducción sineronas.

9-2 Carectoristicas Generales de €
de las Máquinas de Induccl

Las máquinas de inducción (o, para este caso, todas las máquinas de
ea, rotatorias) tienen una parte estacionaria, la cual se conoce como
estator , y una parte rotatoria llamada rotor

El estator está hecho de láminas da acero circulares con ranuras a lo
largo de mu periferta interior. Los lados de las bobinas se localizan en
estas ramıras. En el caso de máquinas monotisicas habrá al menos una
bobina (dos lados de bobina) on el estator, En la práctica, por supuesto, el
embobinado consistirá de varias bobinas distribuidas '2 lo largo de la
periferia. Los astatores de las máquinas de dos fases llevarán dos ombo-
binados separados los cuales se colocan en eusdratura. Si el estator se om.
hobína para dos polos, el desplazamiento espacial entre los dea embobina-
dos es 90” mecánicos, En un estator embobinado para P polos, el despla-
zamlento espacial es DO" aléctricos, donde los grados eléctricos = P/2 gra-
dos meciinicos. Este punto so aclarará más tarde en est capítulo, En el
caso de máquinas trifánicas, los tres emboblaados se localizan en el esta-
tor con separación entre ellos de 120° eléctricos, La tig. 9-1 muestra el
arreglode los embobinados en los trea casos.

El rotor deuna máquina de inducción puede ser o un rotor embobinado
© un rotor jauls de ardilla. El rotor embobinado está provisto con embobina-
dos similaras a aquolios del estator coneloual está asoctado, El rotor debe
de embobinarae con el mismo número de palos del estator. El número de
fases en el rotor no necesita ser el mismo que en el astator, aunque en.
general es el mismo. El embobinado del rotor está conectado a antilos
deslizantes montados en la flecha. Las escobillas estacionarias hacen
contacto continuo con las anillos deslizantes y hacen posible para los ele-
mentos externos, tales como reststencias o fuentes de voltaje, su conexión
al rotor para obtener un alto par de arranque a bajas corrientes 0 para con-
trol de velocidad. Un dtagrama esquemático de un rotor embobinado de dos
fases se muestra en la tig. 9-2 (a), y un rotor trifásico en la fig. 9-2 (b).

El otro tipo de rotor, conocido como rotor jaula de ardilla, consiste de
conductores colocados en ranuras e igualmente distribuidos a lo largo de la
periferia del rotor. Los extremos de los conductores se ponen en corto
circuito por anillos metálicos terminales, como se muestra en la fig. 9-2
fe). La ventaja principal del rotor jaula de areila, al lodo de su Simplicidad
de construcción y de su robustez, es que el número de polos del rotor es
siempre igual al número de polos del estator con el cual está asocíado, El
mismo rotor puede usarse con un estator de um, de dos, o de tres fases.
La desventaja es que no son posibles las conextones externas al rotor.
Consecuentemente el control del motor deberá efectuarso enteramente an el
estacor.

aes

502. otatorıos; Méquines de C. A 423

Dispositivos

o:

03

Or

or

o:

TUE erat monarin. 1 Un erator bldln. (0 Un ut li,

9-3 Compos Magnéticos Rotat
an Máquinas de CA. Polifásicas

Una única característica de cualquier máquina de c.a. polifásica es 1a.
presencia de campos magnéticos rotatorios en el entrehierro existente entre
el estator y el rotor de la méquina, Estos campos son establecidos por
corrientes variables en el tiempoque circalan en los embobinados polifásicos.
del estator y rotor. La creación de campos magnéticos rotatorics en má-
quinas de dos y tres fases se analizará on esta sección. Las máquinas trie
Tásicas se considerarán primero,

Máquinas Trifüsicas. Considérese el estator de la máquina de c.a.
teitásica mostrada on la fig, 9-1 (0). Una vista desarrollada del embobina-

503. capínulo 9

Dispositivos Rotatorios de Conversión
de Energía Electromecánica
Máquinas de C.A

Se mostré an el capitulo anterior que 1a máquina de c.d. convencio
mal y la amplídina, son derivadas de la máquiva generalizada, de la cual
se muestra un modelo on la fig, 8-11. No obatente, cada una se obitene
haciendo cambios apropiados, pero diferentes, so el modelo de la máquina
generalizada, las dos máquinas tlonen rasgo en común, Esto og, se usa una
fuente de c.d. para suministrar energía eléctrica en ambos casos. Por esta
razón la ampildiza ge considera también como ana maquina de 6.4.

De una manera similar, puede derivarse una clase diferente de máquinas
a partir de la máquina generalizada, usando unafuentedec.a. como lafuento,
única o mayor, de energía eléctrica: Estas máquinas son amadas máquinas
de corriente alterna, o para abreviar máquinas de c.2. La fuente de c.a. más
trecuentemente usada es una en la cual el vollajo y la corriente varían
senoldalmente con respecto al Hempo. Eata se llama Aumte de voltaje si
la amplitud del mismo permanece constante mientras que la anplitud de la
corriente puede variar, dependiendo de lan necesidadea; 6 fuente de
corriente at la amplitud de la misma permanece constante mientras la
amplitud del voltaje puedo varias. Pueden ser fuentes monalásicas, bilásicas
otrifisteas,

Las mäquinas de corriente alterna se clasifican de diferentes formas.
Se clasifican como miquinas monc£áalcas, bitásicas tritésieas dependiendo
del tipo de fuente usada, Las máquinas trifásicas encuentran una extensa
aplicación en grandes establecimientos industriales como generadores y
motores. Los motores de dos fases son muy usados como dispositivos de
posición en sistemas de control automático. Las motores monofásicos
encuentran una amplia aplicación en el hogar y go la industria como pri-
motores de utensilios tales como ventiladores, fonógratos, bombas, etc.

Las máquinas decorriente alterna ae clasifican también como: sfncronas
y asíncronas. Las máquinas sineronas derivan eu sombre del becho de que
iran a una velocidad angular constante, la cuales Mamada velocidad angular
síncrona. La velocidad angular de máquinas asíncroras (popularmente
conocidas como máquinas de inducción), es variable y menor que 1a velocidad
angular sinerona.

Deberá hacerse notar mevamente que a pesar de sus diferencias aparen-
tes las máquinas sínezonas y de inducción son básicamente iguales, ya que
ambas pueden derivarse del mismo modelo de miquina generalizada. Las
máquinas de inaucciónse veránprirero, Las máquinas síncronas se analiza-
rán posteriormente en este capítulo.

504. COS VERSION DE ZNERCIA ELECTROMECANICA

w Er

Foca Un ear dana Bitte. (9) Un row

do del estator se muestra en la fig. 9-3 (a). Por simplicidad, se supone sólo
una bobina por fase. Si se aplican voltaje trifásico balanceado al embobina-
do trifásico (el cual puede conectarse en estrella o en delta), cireularän
corrientes en los embobinados. SI los voltajes son senoidales, las co-

505. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. A. se

rrientes también pueden suponerse senoidales aunque puede ocasionarse algu-
a dlstorstén en la forma da onda por La no lIngalidad on la estructura mag-
mitten, La corriente en cada fase establece un campo magnética pulsatorlo
on el entreblerro. La mayoría de los estatores se díseñan para hacer
Senotdal la distribualön espacial de flujo en al entrehierro. La magnitud del
lujo en un punto particular en el entrehierro variará senoidalmente con ol
tiempo. La fig. 9-3 (c) muestra la distribución espacial del flujo en el
entrehlerro a un clerto instante de tiempo representado por la postción
de los complejos en la fig. 9-3 (b)

o a
ATA pe
A |
| ga |
I 11 po”
el
ye
E
Amor, Amos
>

SI la amplitud de las corrientes s» representa por Jay entonces los
valores instantáneos de las corrientes en las tros fases están dados por

¡AO ba cos on

506. we CONVERSION DE ENERGIA SLECTROMECANICA

i=

fan cos (wt ~ 120°) 62

il) = tam cos (ot = 240°) CE]

A Data 0 oh = 0° (fr 8-3 (DI). Las Eos. 9-4, 9-2 9-3 producen

40 = +a,
40 = 40)

la

La distribución de los flujos establecidos en el entrehierro por estas co-
rriontes se muestra en la fig. 9-3 (c). Nótese que las ondas de flujo compo—
rentes estándesplazadas una con respecto a otra por 120° eléctricos y el
flujo componente (0 densidad de flujo) es un máximo al centro o en el eje
de cada fase, Estos valores máximos varfan senoldalmente con el tiempo.
Si estos valores máximos se representan por 8, (8, dal) y Bud), entonces

BA) = Bun 008 01 04
DA) = Bau cos ~ 120°) 65
y
5) = Ban cos (ui = 240°) es)

donde Bay es la densidad de flujo en el eje de cada fase cuando Inu es la
corriente en esa fase, Ahora bien, enunpunto R on al entreblerro, looaliza-
do a grados del eje de la fase 1 la cual se usa como la referencia para la
medición de angulos, la densidad de flujo total se obtiene sumando la con-
tribución de las tras ondas componentes de densidad de flujo. Como la dis-
tribución espacial se supone senoidal, tenernos (suponiendo linealidad),

bats = bike) eos + bale) costa — 120")
+ bo) cos(a - 240) (9-7)

Sustituyendo D, (1)
la Ec. 9-7 queda

da(0 y Ba de las Bos. 9-4, 0-5 y 9-6 respectivamente,

Bela, 1) = Bu feos wr cose + 606 {ui — 120") cos(a — 120)
+ cos(ur - 240)cos(a - 240)] (9-8)

La Ec. 9-8 puede aimpliticarse con la ayuda de Identidades trigonométricas
las cuales relacionan el producto de funciones trigonométricas a sumas y

507. Dispositivos Rotatortos; Méquinss de C. A. 492
diferencias. Es sencillo mostrar que

balay 1) = (3/2) Bras cosa = ur) 09

De la Eo. 9-9, las sigulentes conclusiones son evidentes

a) A cualquier Instante de tiempo, particular f = f,la Ee. 9-9 queda

brast) = Bela) = Ye Bra costa ~ 04) 010

donde wo uty. La distribución espacial do la donaldad de flujo es senoidal
bi A um punto fijo &, distante cu del centro del eje de fase 1,

blast) = balt) = Y Bau cosas ~ ei)
2 Bau C08 {ui ~ 21) en

La densidad de flujo en R varía senoidalmente con el tiempo.
e) Sta a ut en la Ec. 9-8, obtenemos

bn = YB Kar)

El olgnificado de esta relación puede explicarse como sigue. Sl un pro-
bador para medir la densidad de flujo Se inserta en el entrehlerro y se
muevo de punto a puntoa lolargo de una trayectoria etrcular a una velocidad
de « radianes eléctricos por segundo, encontrará una densidad de flujo
constante, En otras palabras, parecerá al probador como st un par de polos
magnéticos, uno norte y uno sur, están girando en el entreMerro a lo largo
de una trayectoria circular a una velocidad de « radianes eléctricos por
segundo. La relación entre grados eléctricos y grados mecánicos se
"mencionó conanterioridaden este capítulo. Si el estator se embobina para P
polos, entonces una velocidad de w radianes eléctricos por segundo corres»
ponde a 2u/P radlanes mecánicos por segundo. Esto se representa usual-
meute por Wa, o para abreviar w, y es llamada velocidad angular síncrone
del campo magnético rotatorio, Esto es,

le
u CAE)

En la práctica, frecuentemente hablamos acerca de la velocidad de rota-
ción en lugar de velocidad angular. Es por consiguiente itil obtener la
siguiente relación. Haciendo notar que w=2y/,donte / es la frecuencia de
las corrientes senvidales en ciclos por segundo y una revolución equivale
2 Ze radianes mecánicos, la velocidad de rotación del campo magnético
rotatorio es

revcluciones por segundo

508. a CONVERSION Dis ENERGIA ELECTROMECANICA

ny
= “FH revoluciones por mimto Kun}

El término N, es llamado velocidad s/ncronadel campo magnético rotakorio,

En la exposición anterior, se hizo referencia al número de polos en el
estator y la diferencia ancre los grados eléctricos y mecánicos, El siguien
te andlisis está déstinado para aclarar estas afirmaciones.

La fig. 9-4 muestra al estator de una máquina trifásica. Cada fase
consiste de una bobina y las bobinas astän desplazadas entre af por 120
grados mecánicos. Los complejos de corriente se muestran para tres
diferentes instantes de tiempo, Los valores instantáneos de Las corrientes

y 2
uso
N
A 20.868 Ings 2
Leo
RE 2866 Imar
3
wu
2
400
EEE fo
5-866 foe
wen

Fie9-4 Um campo mn roar bipolar etc an un or iin

509. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. A 495

se indican en cada caso. Las direcciones del fujo de la corriente en las
tres fases en cada inode low tres instantes de tiempo se muestra por Cruces
y puntos. El efecto combinado de las corrientes crea un sistema magnético
bipolar. Se ha visto que el eje de este sistema magnético bipolar cambia.
conforme los complejos de corriente ocupan diferentes posiciones. La
cantidad de desplazamiento angular en el eje del campo magnético es Igual
al del ángulo que giran los complejos, Se verá que la dirección de rotación
del carpo magnético es opuesta a la de los complejos. Si los fasares de
corriente giran en dirección contraria a las manecillas del reloj, à una
velocidad angular de w radianes por segundo, ol campo magnético gira en
irecoién de Tas manecillas del relo] auna velocldza angular de &, radianes
por segundo.

la t= tul

Ar oa
OS

wo
À * 985 los 2
2:0
iy 866 fran

4

ax
10 3
+ 886 max
imo ah

>
wa

6.84. Un conos meine reale e polo abide an une mini do où

510. 495 CONVERSION Dé ENERGIA ELECTROMECANICA

La fig, 0-5 también muestra el estator de una máquina trifásica. En
este caso hay dos bobinas por fase. El desplazamiento entre bobinas de <i
ferences fases es ahora 60 grados mecánicos, Las direcciones del flujo de
corriente en las tres fases a tres diferentes instantes de tiempo se in
dican como antes. En este caso se ve que las corrientes establecen un siste=
tema magnético de cuatro polos y 198 ejes de los don pares de polos giran
alrededor conforme los complejos de corriente giran. Sinemibargo, como hay
dos polos norte ; dos polos sur, los fasores de corriente giran dos rovolus
ciones por cada revolución del campo magnético {lu} = "2/2 |).Cons
cuentemente, 360 grados mecánicos son equivalentes a 120 grados eléctric
cos. En general, a el estator de una máquina esti embobinada para P polos,
entonces un grado mecánico es equivalente a P/2 grados eldetricen

Máquinas de dos Fases. — Consídéresa el estator de una máquina.
da dos fases mostrado en a fig. 9-1 (5). Las dos bobinas en el eatator están
desplazadas entre af 90 grados mecánicos, Hay sólo una bobina por cada.
fase. SI ae usan dos bobinas por fase, el desplaramlento espacial entre las
bobinas de Las dos fases será 45 grados mecánicos a 90 grados eléctricos.
Sí des voltajes senoidales de igual amplitud y frecuenela y con un ángulo de
fase de 90 grados eléctricos entre ollos, se aplica a las dos fases del
‘embobinado del estator; es sencilio mostrar que un campo magnético rota-
torio es orginado por las corrientes que circulan en las bobinas, El pro.
cedimiento para mostrar esto es igual al usado con anterioridad para el
estator trifásico.

Reprogentemos con In à las amplitudes de las corrientes en las dos
fases. Los valores instantáneos de lag corrientes son

U = fou sur CE)
y
146) = Jeu 608 (wt ~ 90°) 0-16)
Los flujos establecidos por ostas corrientes son distribuidos senoidal-
mente en el espacio, Sus amplitudes varían senoidalmente con el tiempo. Si

Ba (0 y ba(b son los valores máximos de los flujos,
DE) = Bas 605 01 ein
Bl) = Baye 608 (ut ~ 90") (0-18)

donde Ba, es la densidad de flujo en el eso de cada fase cuando la corrien-
ta en esa fase esunmáximo. Ahorzon un punto A en el entrehierro localiza.
do a grados del eje de la fase 1, la densidad de flujo es

beta) = hldcosa + ba(1)cos(a - 90") (9-19)

511. 497

Dispositivos Rotatorios; Máquinas de 2.

Sustituyendo de las Eos. 9-17 y 9-18, B,(0 y daft), respectivamente,
en 1a Be. 9-19 simplificando, obtenemos

Bale. 1) © Baux 068 - a) 02)

Las siguientes conclusiones pueden hacerse de la Ee, 9-20, La dis-
tribución espacial de la densidad de flujo es senoidal, La densidad de
flujo en cualquier punto R en ol extrehierro varía senoidalmente con el
tiempo, Un campo magnético rotatorio de amplitud constante Ay distri-
buido sencitalmente en el espacio sa produce en el entrehierro, La veloct-
dad angular del campo magnético zoratorio está dada por la Eo, 9-13,

r de Induced

neipie de Operación
Un Análisis Cuolitativo

94

Antes de que se obtengan las relaciones matomáticas de conversión
de energía de las máquinas de inducción, usando los resultados obtenidos
en el capítulo anterior para la máquina generalizada, se presantaró un
anélisis cualitativo del fenómeno físico correspondiente a la operación de
las máquicas de Infucción, para ayutar en el entendimiento de las opera-
ciones matemáticas que se llevarán a cabo posteriormente y para deftnir
algunas cantidades útiles.

Supóngase que el campo magnético rotatorio
les mifäsieos balanceados a un estator de dos fases, o aplicando voltajes
trifásicos balanceados à un estator trifásico, SI los complejos de voltaje
tran en dirección contraria a las manecillas del reloj a una velocidad angu-
lar de «, raflangs por segundo, entonces el campo magnético girará on
lrección de las manecillas del reloj con una velocidad angular de ©, ra-
lanes por segundo donde la relación entre w, y w, está dada en la Be. 9-13.

Como se estableció en la sección anterior, el campo magnético rota-
torio puede representarse por un sistema de polos norte y sur girando con
respecto al centro del estator. Por simplicidad se usará un sistema de
dos polos para representar al campo magnôtico. Supóngase que un rotor
que ¡leva un embobinado en corto elrculto está colocado en la posición como
la que se muestra en la fig. 9-8. Sólo una bobina del embobinado del rotor
Se muestra por claridad. Esta no es una limitación seria, ya que en el pro-
sente análisis estamos interesados en un exámen cualitativo del fenómeno
Essen.

Se aclaró en la sección anterior que ol campo magnético establecido
por las corrientes que circulan en el ambobinado del estator es aenoldal-
mente dlstrRuida en el espacio y este flujo patrón senoidal se muevo alre-
odor del entrehlerro a una velocidad angular sínerona, Es importante que
esta imagen so tanga en cuenta concojerode entender al principio de opera=
ción de un motor de induación.

AL priocipio, el rotor es estacionario. El campo magrático rotatorio
recorre los conductores del rotor a a; radianes por seguado. De acuerdo
con la ley de Faraday de inducción electromagnética, una fer. se induce
en la boblna del rotor. Como se tiene una trayectoria oerrada, empieza a
circular una corriente en la bobina del rotor. Las direcciones del flujo
de corriente, por la polaridad y la dirección de rotación del campo magnd-

produce apltcando volta

512. es CON VERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

ras.

‘leo supuesto en oste análista, aon como las mostradas en la ig. 9-6, Estas
están de acuerdo con 1a ley de Lenz, la cual establece que la dirección de
las corrientes inducidas se opondrén al cambio en los enlazamíentos de -
flujo. Nétese que las corrientes inducidas debilitan el campo magnético
rotatorio en el lado delantero da los conductores y lo fortalecen an el lado
de atrás. Una ver que han sido establecidas, las dirocclones del lujo de la
corriente, es fácil ver que los conductores exporimentanfuerzas mecánicas
en la dirección mostrada, Las direcciones de las fuerzas ae obtionen de la
ecuación de la fuerza de Lorenz (Rc. 1-20), Por etecto de estas fuerzan
el rotor gira en la misma dirección del carpo magnético rotatorio, En el
caso ideal, cuando el rotor no tiene inercia o pérdidas, éste aleanzará.
finalmente una velocidad de u, radianes por segundo. En este estado sorá
estacionario eon respecto al campo magnético rotatorío y consecuente
mente no se inductrá fem. en la bobina dei rotor y no elreulard ninguna,
corriente. El par desarrollado vale cero también,

Sin embargo, en la práctica, el rotor tendrá alguna inercia y pördi-
das y consecuentemente debe recibir energía para vencer a ésta y a aquellas.
La energía puede transferirse al rotor de la fuente de voltaje conectada al
estator, solo si la velocidad angular del rotor es menor que la velocidad
angular del campo magnético rotatorio. La velocidad angular del rotor no
puede exceder a la velocidad angular s{nerona a menos que el totor ze
esté accionando por un primotor externo, en virtud de que por al mismo
el rotor no puede generar una velocidad mayor que la velocidad sfhcrona.

Si ©, es la velocidad angular síacrona dol campo magnático rotatorio
y Wy es la velocidad actual del rotor, la diterencia entre las dos se define

513. Dispositivos Rotatorios; Méquinas de C. A. 499

como el deslizamiento. Este es frecuentemente expresado comouna fracción
de La velocidad síncrona. Deslizamiento:

e)

‘Cuando una máquina de inducción opera como un motor, el deslizamiento
varía entre O y 1. St el rotor ve mueve en la misma dirección que el campo
magnético a velocidades mayores que w,, ao dice que la máquina do Indue-.
ción tiene deslizamiento negativo lo cual significa que la máquina está
actuando como generador.

La magnitud y frecuencia de la fem en movimiento, generada on los
ambobinados del rotor, se examinará a contimación. Como la distribución
del campo magnätico m el entrehlerro es senoldal y el flujo patrón está
giraodo a una velocidad angular constants, la fan. on movimiento, inducida
en el rotor, varía senoidalmente con respecto al tlempo y está en fase con
la densidad de flujo. Por ejemplo, la fem. esti con un máximo cuando el.
ico de la onda de flujo atraviesa los conductores del rotor. Como el rotor
está también girando a una velocidad angular so, en la misma dirección que
gira ol flujo patrón, la magnitud y frecuencia de la fem. en movimiento en
el rotor om proporcional a la diferencia de las velocidades angulares «,
Y We, esto 08, proporcional al desiizamiento.

‘BL 20 evita que el rotor gire con una fuerza de restricetän externa,
la tem. inducida en el rotor dependerá de la magnitud del voltaje aplicado
al estator. La frecuencia de la fem. del rotor será igual a la frecuencia de
los voltajes aplicados al estator, La magnitud de la fem, inductda en el
rotor parado, se relaciona al voltajo del estator por una constante, la cual
dependo de la relación do vueltas y de la distribución de los embobinados
on el estator y en el rotor. Esta constante, la cual puede determinarse
experimentalmente, es Hamada relación de transformación.

SI los embobinados del estator y dat rotor Lienen el mismo número de
tases y al e,(t) 08 el voltaje par fase on ol estator, ol voltaje inducido en
el rotor estacionario (por fame) es.

el 62)

donde a es 1a relación de tranatormación.
St A, es la frecuencia del vollaje en el estator, entonces la frecuencia
dat voltafe inducido en el rotor parado es la misma. Esto es

eh 6-2)
Bajo condletones de marcha, las relaciones son, para un deslizamiento s,

sat

Voltje en el roar ee) = sende) = EUR 029

514. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

Frecuencia en el rotor / = sf = th 6 mes (9-25)

Aunque el análisis hasta aquí ha sido on términos de una sola boblna
en el rotor, deberá recordarse que el rotor realmente tiene un embobinado
polifásico con el mismo número de polos y generalmente con el mismo
húmero de fases que el ombobinado del estator. Consecuentemente las co-
Frientes pollfésicas que fluyen en el embobinado del rotor establecen zu
proplo campo magnético rotatorio, La velocidad angular de este campo mag
nético, con respecto al rotor, está dada por Zun/P.

Ahora mostraremos que este campo magnético rotatorio es estactona=
lo con respecto al campo magrático rotatorio establecido por tas corrien=
tes en el embobinado del estator atodaslas velocidades angulares del rotor,
La velocidad angular del campo magnético del rotar con respecto al rotor

Zu | Zu
Be te se, 026)

La velocidad angular del rotor con respecto al estator es
li) em

La velocidad angular del campo magnético del estator con respecto al osta-
tor es

EN

oF 02)

a la Ec. 9-13, La velocidad angular del campo magnético
del rotor con respecto al ostator es

$0, ha stelle 629)

la cual es igual a la velocidad angular del campo magnético del estator
con respecto at estator. Por lo tanto se desprende que los dos campos
magnéticos rotatorios son estacionarios uno con respecto al otro a todas
las velocidades angulares del rotor. En otras palabras, una máquina de
inducción puede considerarse como un transformador estático, Este ton
cepto será particularmente Gt al desarrollar un circuito equivalente para
la máquina de inducción Se verá más tarde en este capítulo que este
círcuito equivalente se parece al circuito equivalente de un tranatormador
obtenido en el capitulo 4 de este texto.

515. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. A, se

9-5 Conversion de Energie an Máquinas de Inducción Bifásico

Ahora que tenemos una comprensión intultiva y cualitativa de la op
ración de una máquina de Inducción, estamos listos para desarrollar ex-
preslones matemáticas para la conversión de energía en máquinas de
inaucción. Las miquinas trifästcas y monofásicas se analizarán más tardo
‘an esto capítulo,

Como se estableció con anterioridad, el estator y el rotor de una
máquina de inducción bifásica tiene dos embobinados en cuadratura espa-
cial Se aplican voltajes bifásicos a los embobinados del estator y los
‘embobinados del rotor están, ya sea en corto circuito en sus torminalos, 0
an corto olreuito través da resistores externos an el caso de máquinas
de rotor devanado. Por consiguiente, una máquina de inducción de dos
fases puedo representarse esquemáticamente como se muestra on la fig.
9-1

En este análisis se supondrá que la estructura magnética de la mäqul-
na de inducción no está saturada y como tal, la máquina puede considerar-
se como un dispositivo lineal. Aunque en un principio el modelo de una má-
quina de inducción parece ser igual al modelo de la máquina generalizada
mostrado en la fig. 8-71, una diferencia Importante ae evidencfa trás una
detallada inspección; la máquina generalizada es una máquina de con-
matador. En la fig, 8-11, los ejes de los campos magnéticos establecidos

bance

i.D-7_ Reprise maumité una mune indem bike,

516. 502 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

por los embobinados en el rotor a lo largo de los ejes directo y en cuadra=
fura no cambian posiciones ain cuando la armadura o rotor asté girando.
Esto se debe como se explteó enelcapítulo 8, a la presencia del conmutador
y de las escobillas estacionarias. Por otra parte, no hay conmutador en una
máquina de inducción. Los embobinadoa del rotor terminan en anitlos des-
Hizantes montados en la flecha. Las Escobillas estactonartas hacen contacto
continuo con los embobinados a través de los anillos deslizantes, Los ejos
de los campos magnéticos 5. Y 8,¿U establecidos por Las corrientes.
del rotor camblan de posición contorme el rotor gira. Por consiguiente
tendremos que transformar los ejes móviles a ojes estacionarios antes do
que podamos aplicar los resultados de la máquina generalizada a la
máquina de inducción mostrada en la fig. 9-8, Esta tranaformación se
ejecuta dividionds los campos magnéticos 3,/1) y é,(@) en componentos
a lo largo de dos ejes estacionarios mutuamente perpendiculares, conocidos
como los ejes directo y en cuadratura, tal como se muestra on la fig, 9-8,
Las direcelones positivas se indican en a fig. 9-7 con las flechas asociadas
Gon #40 y dal) loss del sect y en cundratra de oa enbobina-
dos el eatatar
La componente de 4,40) à 10 largo del oje directo es 9, cosa, don-
de a es el Angulo en radianes eléctricos medido del eje directo al oje de
ft) en la dlrecciôn positiva. SimUarmente la componente de 8, a lo
largo del ajo directo os 9,6) son
Las componentes de “9,4 y 3,1 a lo largo del eje en cuadratura son
-9,,(0 sen a y 0,1) cosa, respectivamente.

CEA

Md dt eto e rca

Einen dl rotor de eo reto

waren cara

O a main de nu Des ml cies

517. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. A. sa

Los campos magnéticos totalea debidos a los embobinados del rotor
a lo Largo de los ejes estacionarios directo y en cuadratura son

COR

cosa + 9, (0 sena 030
elt) = - Alsen + 9, (0 cosa on)

Coma al diapositive es lineal y 108 flujos son directamente proporcio-
nales a las corrientes, podemos suponer que los flnjos #1 7 y(t) son
establecidos por dos embobinados de rotor ficticios localizados en las ejes
directo y en cuadratura, de una manera similar a los embobinados del rotor
de la fig. 8-71, de modo que los ejes de Los flujos astablecidos por ellos
ho cambian posiciones conforme el mismo rotor cambla de posición. Las
corrientes en estos embobinados obviamente estarán relacionadas 2 las
corrientes fl e i) en la fig, 0-7 por las siguientes relaciones.

LD = info cosa + dale) 08 (9-32)

fet

= ina + int cosa em

Las cuales, en forma matrlell, quedan
ia] f cos a "anal fi.)
. : +34)
Cor Es lo oan
La fig 9-8 muestra à I máquina de drei transtormnada con
embobinados del rotor ficticios en el oje directo y en cuadratura tomando el
far del ombobinedo del rotor blásico real. La simalilud entre esta
máquina transtormada y la máquina generalizada es avidate,
Las corrientes 4,(0 0 inf) pueden expresarse en términos de f(t
y de 5,0 resoiviando Tas Bes, 8.32 y 9-39

1A = igloos a — fet) CI 035

1,40 = iO wena + ile) cos. (9-36)
las cuales en forma matrictal, quedan
E. oi la: se] [o] es

La, 60] ” Jen a cos a] lit]

La matriz costictente an ol lado derecho de la Ec. 9-37 es la inversa de la
matriz coeficiente del lado derecho de 1a Ee. 9-34.

De una manera similar, las siguientes relaciones son fáctimente ob-
tenidas entre los voltajes v, (0 y v,,(0 de una forma y vd y VU en la otra.

518. 504 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

E SJ] 0
,
E E om»

Deberá aclararse que los embobinados det rotor en los ejes directo
y en cuadratura ficticios, tionen los mismos parámetros de realstencia y
o inductancia propia que los embobinacos blíásicos reales del rotor. La
inguctancia mutua en la máquina trenaformada es el valor máximo de la
Inéuctancia mutua variable en la máquina de induectén aiffaica real?

Los parámetros de 1a máquina trahsformada ig. 0-8) 400 por consi-
ulente: Ay = Ray, rosiatencia dal tmbobinado del estator en el eje directo;
Ry = Rs, resistencia del emboblnado del estator en el eje en Cuniratura,
Cómo los tos embobinados son ıdkatioon, Ry = Ry = Ai

Ru = Re resistencia del emboblnado del rotor an el eje directo, y
Ry = R,,, resistencia del ombobinado del rotor en el eje en cundratura, De
move AS Ber = Rao

Simitarmente aa inductancias proptas do los embobinados del esta-
tor #00 Ly = La, «Le =L,, Las inductancias propias de 108 embobinados del
O OPERA

La Induetanola mita shire los embobinados del estator y del rotor
del cle directo os M. La Indictancta mutua entre los embobinados del
estator y del rotor del eje en cuadratura 88 M,. Como el rotor es clin
drico 7 su ontrehierro es uniforme, M,= M, = M.

‘Podemos ahora obtener las ecuaciones de voltaje de la máquina de In--
ducción buástca con la ayuda de las Ee. 9-212 y 8-220, ta cu:
refieren a la máquina goneralizada. Con objeto de hacor 250, deberemos
primero notar la correspondenela etre la notación usada con anterlaridad
para la máquina generalizada y la notación en el presente análisis. Los sub-
Indices fy a enla máquina generalizada correspondan a los subfndices s y 7,
respectivamente, en la máquina de Inducción. También u, = 0 y vit) = 0
ya que v= Oy ufo O,

La Velocidad angular del rotor a, está en radianes mecánicos por
segundo, La velocidad equivalente an radianes eléctricos por segundo sa
obtiene multiplicando w, por 2/2, donde P es el número de polos. (Aquí
al lector deberá tener Cuidado de no confundir P.con pe} cual, en la Eo.
8-212, representa a 4/d!). La frecuencia angular del estator a, se aplica à
voltajes y a corrientes. 91 ae Supone que u; es positiv, entonces u,(P/2)
deborá considerarse como negativa, Eato se garantiza usando un signo
negativo, En otras palabras, la velocidad angular del rotor es - w, (P/2)
radlanos eléctricos por segundo, donda sn 98 la magnitud dela velocidad
en radlanea mecánicos por Segundo.

» Esta ae punde mostrar que ex verdadero atando que 0
Envarttins en at curan de ia Aransormación Para detalles dieu ver K Messerin,
amie Cireult Theory tnd ıl New Aron to Paver": Alesis ant Michal Eng
metre Fronssetans, The Iaition of Engpeera Amaral Maya ds 181

519. Dispositivos Rotstorios; Méquinas de C. À. 505

Las ecuaciones de voltaje para la máquina de inducción bifásica se
obtienen haciendo lan sustituciones apropiadas en las Eos. 8-212 y 8-220.
Las ecuaciones (en forma matricial) son

fat] [Ri + pta PM o o fu
o pm Ret pl, MUI) Lose /D)| lalo)
ao o Ret pl, Milo
o | [merma alero pM Ri + pe [Lt]

640

Para las ecuaciones del eje directo. La Eo. 9-40 puede esoribirse en forma
desarrollada como sigue:
tat) (Ri + PEDO + PMI (O en
0 Mh + (Rs + PLD inl) + ME on ight)

leo 642

y para las ecuaciones del eje on cuadratura:

Malo) = (Ri + PL lle) + PME) e.
De ME lO Lilo)
+ PMU + + PLY (9-44)

El par desarrollado se ohtlane con la ayuda de las Ec. 9-228 y 8-229. Sin
embargo, al usar estas ecuaciones para una máquina de inducción, el
húmero de pares de polos debe tomarse en cuenta. (En el caso de la más
quina de cé, éste ns tomado en cuenta definiendo apropiadamente las
Constantes de lem. y de par Ay;). La expresión para el par en una máquina
de 6.2 es por conalgutente,

i (ik
T- E [nico DORE ACER >]

[ato = u +0] 0-5)

donde P/2 es el número de paren de polos. Las ecuaciones 9-40 à la 9-45
son perfectamente generales, Sin embargo son de gran interés práctico
dos casos especiales. Sox 1) cuando los voltajes aplicados al estator
constituyen un sistema blfásico balanceado, esto es, Los voltajes son de
igual magnitud, tienen ta misma frecuencia, forma de onda senoidal y un

520. GUS ERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

ángulo de fase de 90 grados eléctrieas y 2) cuando los voltajes aplicados
constituyen un sistema bifásico deshalanceado; esto es, sus amplitudes

son diferentes. Todo lo demás es Idintice al caso 1, Al examinar estos des
modos de excitación estaremos intergsadog en el comportamiento en estado
estable y transitorio, Analizaramos primeramente la operación en estado
estable.

Baja Condi

dencendas y on Estado Estable Soi

En estado estable senoidal, los voltajes y corrientes pueden represen-
tarse por complejos y por valores eficaces, El operador p= d/dt en las
Eco. 9-41 2 la 9-44 se reemplaza por ju, Dober& aclararse que también
los operadorea > asociados con las corrieates del rotor son reemplazados
por jus porque log campos magnéticos rotatorios astablecidos por las
corrientes del rotor y por las corrientes del estator giran a velocidad
síncrana con respecto al astalar. En otras palabras cuando se refiere
al estator el valor real de la frocuencla del rotor w, viene 2 ser an.

Para operación en estado estable senoldal, las Ec. 9-41 y 9-12 quedan

Va = (Ry + Job la + jos Ma (0-49)

Oe iM ee estas mE
“Län 0m

Bajo condiciones en estado estahle senoldal, las corrientes on los em-
bobinados en eundratura deberán ser de la misma forma de onda y deberán
toner la misma amplitud y érecuancia que lag corrientes en los embobina-
dos del eje directo exceptoquetengan tm ángulo de fase de 90" eléctricos
entre ellos, En otras palabra

how il (0-48)

“ihe 09

Sustituendo 1, en términos de 1, e E, entórminos de ly, la Eo. 9-47

queda,

mofa [coma

Py

N
omo ls
À

El destizamtento se define en la Ye. 9-21 como à = (a - m, wa, de la
qual obtenemos we =, (1-8) = (2 oy ¿PMI y

= al) 65)

521. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C. A 507

Sustituyerdo w,P/2 en lao, 9-50 y dividiendota Ec.9-50 entre s, obtenemos

o nats + (Elu om

De una manera similar, partiendo con las ecuaciones del eje en cuadratura,
Ecs 9-43 y 9-44, obtenemos

Ve (Ry + fae dy + ja Ml en

O jante + (Er + fe) ty (9-54)

Gon objeto de que sean útiles las Eos. 9-48, 9-52, 0-53 y 9-54, debe-
remos reemplazar los voltajes y corrientes de loa ejes directo y en sua
aratura por voltajes de fase y corrientes da fase. Considóreso la corrlen-
te de fase dei rotor 4. En estado estable puede escribirse

AW = VER cos (ardt = RI) es
donde I, es el valor eficaz de la corrionte de fase, su es su frecuencia

Y Re significa parte real. La frecuencia de la corriente del estatar 08 4 7
3 es el destizamiento. La Eo. 9-55 puede esoribirae

EO = REVERE CAI = REMO] (9-56)
doute
Le Vine esa
De a Be, 9-25, tenemos
4,0 = igi) cone — iy ft) sence

Lunel mb 0

puesto que a= ~ m,(P/21; el significado del steno negativo fué explicado con
anterioridad. De la Ee, 1-51 tenemos wn P/2= u, (L-a). La Eo. 9-58 puede
escribirse como

ifn) = Rello + JC (9.59)
Comparando las Bes, 9-56 y 9-59, obtenemos.

y = + JA vn
ar (9-60)

522. N DE By.

COS RSI il ELECTROMECANICA

En tériminos de tasoras. ta Fe. 9-60 nnada

I= be + ily 61)

fatty VE e Ly = ¿p(0/VZ. Nótese que 1, 08 la forma exponencial
rientes de fase; esto es, representa a las corrientes en lag dos
fases del rotor de 1a máquina de Inducción. De este modo hemos orpresado
las corrientes de fase en términos de las corriontes del ejo directs y a
cuadratura y referida la frecuencia del rotor al estator.
‚De una manera similar obtenemos las sigulentes relactones, voltajes
de tase del astator:

A yy an
7 ica a skh
hn. 0 + Halt
lo van On, >
Yi Weil (9-63)

Sl en la Ec. 9-62 gustituimos Va yVw por sus exprestones de las Bos. 6-48
y 9-33 y, hacemos uso de las Ec. 9-61 y 9-83, obtenemos

Vom (Ri + jos dd, + jas Md, (9-64)

Y, + me, de Aer,
Y sim L són,
a 0

Fvpresntcón Compeja de 1 votes Biken coment ntticus
olancacos alas empotinagos Ga astro dela Pg D

523. Dispasitivns Rolatorios; Máquinas de C, À 50

St multpicamos 1a Ee, 8-54 por yla sumamos a la Ec, 952, obtenamos
Oma + (+ poc 94

Los voltajes y corrientes on las Bes. 9-64 y 9-65 son valores de fase; Y,
representa un sistema hifäsico balanceado de voltajes del estator; 1, repre-
sonta un sistema bllásico balanceado de corrientes del astator; 1, representa
un sistema dfásico balanceado de corrientes del rotor. Estos se muestran en
fg. 9-9

Las Bes, 9-64 y 9-85 representan a la red de dos anillos mostrada en
la fig, 9-10, Se muestren dos formas de la rod, La resisteneta R/5 90
ha dividido en dos resistencias A, y Ra (I-s)/s, en serie, Ha de notarse la
Similitud ertro el circuito equivalente de 1a fig. 9-10 (0) y el circuit
equivalente de un transformador estático de dos embobinados lineal (ver
fig. 4-10]. En un transformador estático, lafrecuencia es la misma en todas

, à a
PO A y

yo * a *
mr mn my mS

PIO chon theme de ua us de tin its O ome

4 partes. En una máquina de indscoión las frecuencias reales en los
embobinados del rotor y del estator soe diferentes. Sin embargo, se mostró
con anterioridad que el valor reflejado de 1a frecuencia del rotor es Igual al
de la frecuencia del estator. Consecuentemente el circuito equivalente de un
translormador estático puede usarse para representar una máquina de
inducción.

524. 520 CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA

“Generalmente n9 es conventente (en leasode rorores jaula de ardilla es
imposible) medie dtrectaments las corríentea det rotor. Consecuentomento.
es mike Stil un circuito equivalente en el cual todos los zarámetros ae se-
tieren al estator; tal circuito se muestra en la fig. 9-11. Nétese que la
relación de transtormación "a" se detinl6 con anterioridad en la Ec. 9-22.
El procedimiento para obtener el eirculto de la ‘ig. 0-11 del circuito de la
fig. 9-10 (b) es igual al utilizado en transformadores y fué analizado en el
cspítalo 4. Nótese qua las Inductancias serie L, y La son las Industanclas de
Ainperni6n de los exbobinados del estator y del rotor por fase.

Par. Congléfress el producto 4, * L,, donde signitlea conjugado. De
las Eos, 9-60 y 9-62,

ba = Hule Se
Y Y

= Palliat + fede) +

lalo = inte)! 66

ET
Antenne copar da ctl roe LL Hi

amiens son atras par ma

La expresión para el par dada por la Be. 9.45 puede escribirse (on vista de
1a Eo. 9-86) como

T~ Em Genta parte imagisaria hth) (967

dela Eo. 9-85, obter

PRICE th | EEN
Eu Wiad

525. Dispasıtıvos Rutatarios; Máquinas de C. A,

de ta cual ostenemos.

Br]

LA
Sustiturendo la Ee, 9-58 an 1a Ec. 9-87
Bean 9-8)

Nosotros sabemos que la Telocidad angular alherona ‘| =20/P 0 an =
NOR El signa negativo indica que, si sé, es en dirección contraria a las
Fpaneciilas del elo}, w, es en dirección de las manecillas del reloj.

aR

Te Ubi (9-10)

ain Ral = ss

7 em

ya que wes oy (1-3). Es también conveniente excribir las Bos. 9-10 y 9-1
ESAS A

La expresión para el par puedo también obtenerse directamente del
circuito equivalente. Como el principio de conservación de 1a energía dede
Ghuntenerge y las pérdidaa en la máquina son representadas por Rı y Rar La
mena variable Ra (1-9)/s en la ig. 8-10 debe representar a [a carga.
En otras palabras, la potancia disipada en este resistor es a potencia
merca en forma mecánica. De la fig 9-10, Pou = 11% Aa (=a)/S por
fase. Como Pa = Tiny

Inland = M/s

Par por fase

Sei par total paca las dos fases es

ULA

T

la cual es igual ala Eo. 9-11

Caracteristira Par ve Dest
ns, la necesitaremos más adelante para derivar la fanción de transferencia,
e an motor de Inducción bifäsico, Esta característica puede obtenerse de

526. 2 CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

la Ec. 9-72 si ly, se conoce, El primer paso, por consigulente, es resolver
la red de la fig. 8-11 para 1,/a para un valor dado de V, y diferentes
valores de deslizamiento. Sin embargo, para muchos propósitos prácticos,
puede hacerse una aprcximación. Esto es, la inductancia. Ju,a puedo.
moverse al extremo izquierdo de la re4y el cirouito equivalente aproximado
mostrado on la fig, 9-12 puede usarse para caloular Iy/a,

Se supone en este análisis que los parámetros del circuito equivalente
son conocidos. Los mátodos para determinar éstos so analizarán más
tarde en el presente capítulo, Delatig. 9-12, se obtiene la magnitud de I/a.

1 iw

I".
AAA 0m

Sustituyendo esta expresión en la Ee, 9-72 obtenemos

HLAL aRy
Ear 000

Fin 9012 Un vocal orde thas dla Fi. 11

La característica par vs. deslizamiento se obtiene evaluando la Zo. 9-74
para diferentes valores de deslizamientos, Nótese que Y, ay m, también
como los parámetros Ry, Rs, Ly y Ly son constantes conocidas en este
cálculo. La siguiente información será Gill al trazar la característica par
vs. deslizamiento.

1) A velocidad sínerona (la cual no 99 alcanza con motores prácticos),
220. La sustitución de s=0 en la Ec. 9-74 conduce a que el valor del par sea

2) A rotor parado, s=1. La sustituciónde este valor de deslizamiento on
la Be, 9-74 produce

21V. de
Tan 2S
a fe Fer 079

527. Dispositivos Rotatorios; Máquinas de C, A, 513

Esta se conoce como el par de arranque de un motor de Inducción. St se
75, es fácil mostrar que el par de arranque se In-
a

varía R, on la Ec.
crementa conforme À, se incrementa. (Es posible incrementar Ra, 3610
caso de motores de Inducción con rotores devanados, agregando una re
sistencla externa on serlo con cada fase del embubtnado del rotor).

3) El deslizamiento al cual el par os máximo, y el valor de ente par
máximo se obliene diferenciando la Ec. 9-74 e igualindola a cero, Re
solviendo dT/ds=0 para s, obtenemos el valor del deslizamiento para el par
máximo

ee
VANE PL)

07%

La sustitución de este valor de denlizamiento en la Ee, 9-14 proporciona.
el valor del par máximo

Ta

Leal ES em
lee ET Er)

Si se varía R,, eldeslicamientoalcualel par máximo ocurre se incrementa,
pero la magnitud dal par máximo permanece igual ya que no depende de Ay.

4) St ae valGa la exprestón d7/de diferentes valores de deslizamiento,
es fácil mostrar que la expresiónes positiva para $ <4, y negativa para s >
Su Como w, decrece linsalmento conforms ol deslizamiento se incrementa,
12 puodieote de Iacurvapar v8. we, que es, dT/du, es negativa para 3 € Sp
y positive para 5-5, Para un valor específico del par, el deslizamiento 95
proporcional a la Fesistencia en el circuito del rotor. (Una forma para
controlar 1a velocidad del motor de Inducción ea varlar la resistencia en el
olrculto del rotor, Este método tiene la desventaja de que la energía se
pierde en la resistencia del rotor, y por lo tanto disminuye la eficiencia
total).

5) Para 1 <5 <2 se ve de la fig. 9-12 que la potenela disipada en el
resistor vartable R, (1-5) es negativa. Esto signitica que la energía me
cánica se convierte en energía eléctrica, pero eata energía eléctrica ae
disipa en el rotor. Esto se verifieapor el hecho que R,,/5 ea todavía poaltiva.
Esta región de operación de la máquina de inducción se conoce como la.
región de frenado.

8) SI el rotor gira acolonade por un primotor externo a velocidades w,,
>u,, el deslizamiento llega a ser negativo. Bajo estas condiciones la
resistencia total Ra/s es negativa y la máquina de inducelén actúa como un
generator. Deberá recordarse que una máquina de inaucción actuará como
Un generador solamente si otros generadores están en paralelo con ella
para suministrario la excitación requerida.

Una típica característica par vs. deslizamiento de una máquina de in-
ducción bífásica se muestra en la Cig. 9-13, La parte para operación como
motor es mevamente trazada en la fig. 9-14 para diferentes valores de
resistencia del rotor.

Es necesario notar la relación entre el deslizamiento y la estabilidad

529. Dispositivos Rotatorios: Mt&quinas de C. A, #5
de un motor de inducción, 8e dice queun motor de inducción es estable a un
cierto deslizamiento si el motor Hands a retornara este punto de operación.
cuando es sacado de élpor pequeñas variaciones on el par; En cago contrario
se dirá que el motor es inestable. Es Ciel! mostrar que el punto A en
curva par vs. deslizamiento de La fig. 9-14 89 un punto de equilibrio estable,
mientras que eu el punto 2 el motor está en equilibrio inestable

En el caso de pequeños motores biffsicos de inducción usados en
sistemas de control, la resistencia del rotor se construye grande comparada
à la reactancia, ¿or lo tanto la región de inestabilidad ocurre on la segión
de frenado, Una caraoterística Hípica de tal motor se muestra en la fig. 3-15,
Es costumbre expresar el par como una fracción del par a rotor frenado
y velocidad angular u,. Es más apropiado lamar à asta característica, la
característica par normalizado vs. velocidad normalizada,

tar

ES
ES 75

Fin sibs con um ga alar an tor | Fr où par es.
means 0 e ps zon ray pomo)

vu Estado Estable

de Inducción Bifésico—Oporaci
Voltajes Desbetanceados

En la sección anterior se supone que los voltajes V y V. (tig. 9-9)
aplicados à lon embobinados del estator tlenentamizma amplitud y la malama
frecuencia y que las amplitudes pormanocon constantes. En la práctica, sin
embargo, los motores bifásicos son operados mis frecuentemente bajo
condiciones desbelanceadas, Esto 08 ol caso cuando se usan los motores
bifásicos en sistemas de control. Un voltaje semoidalde amplitud constante y
trecuancía constante se aplica à uno de los embobinados. Este voltaje en
Mamado vollaje de referencia y ol embobirade al cual se aplica es llamado
emboblnado de referencia. Las frecuencias más usadas son 80 y 400 cielos
Por segundo. La otra fase su excita con un voltaja de la misma frecuencia

530. En CONVERSION DE ENERGIA BLECTROMECANICA

pero de una amplitud variable, Bl control direccional se ejecuta invirtiendo.
la polaridad relativa de este voltaje variable, Esta señal es llamada voltaje
de control y el ambobinado al eval se aplica es llamado embodinado de
control. Los voltajes de referencia y de control están generalmente 80°
uera de fase con respecto a ellos mismos, aún cuando esto no es necesario.

En esta sección, so considerará la operación de un motor básico, bajo
condiciones desbalancendas. Se supondrá que los dos voltajes de variación
senoidal v(t) y v,(f) están en cuadratura en el tiempo. Se supondrá que la
amplitud de v,(% se manttene constante mientras que »,A} 30 varía, La
estructura magnética del motor se supone Lineal, por lo tanto puede aplicarse
el principlo de superposición cuando sea necesario. Los dos voltajes se
representan por complejos en la fig, 9-16 (a). Los lérminos V y Y, son
valores eficaces.

Es conveniente considerar el sistema de vollajes deshalanceados Va y
Y, como compuesto de dos sistemas de voltajes bifísicos balanceados de
secuencia de fase opuesta. En la fig, 9-18 (a), Va y V, son mostrados y Va
está adelantado de Y. por 80°, po son Iguales. La dirección de los complejos
en contra de las manecillas del relo} se considera como positiva; y la
secuencia Vz, Y, se define como la secuencia pusitiva delos complejos.

Me
A la
4
ln
1557 VA
A
La Hg 8-1 (9) muestra un grupo de votaes bitten blared Y, y

Y',- Como Ya, está adelantado de, estos voltajes por definición corb-
tiliyen un sistima de secuencia positiva. La fig. 0-16 (c) muestra un grupo
de voltajes bifásicos balanceados Vs, y Via. Como V,, está adelantado de
Va, estos voitajes constituyen un sistema de Secuencia hepativa de vollajos,
Lob voitajes de secuencia positiva y de secuencia negativa son escogidos de
tal manera que cumplen las Siguientes relaciones

Ve + Va, [2179

Von Vat Va (9-780)

531. Dispositivos Rototorios; Méquinas de C. A, sir

donde todos los voltajes están en valores eficaces, También tenemos tas
‘sigulentes relaciones entre los voltajes de la fg. 9-16 (b) y (e)

Vo Ma, 0-79)

Van + Va, 09)

Sustituyendo Y, y Va en la Ec, 9-18 b, obtenemos

Va + Ve = Ve 9-90)

Resolviendo las Eee. 9-78a y 9-80 para Vx, Y Vez,

AA (9-8ta)
y

Va = th (Va N) es)

Ve Ve Va) CAC)
y

Vo, (Vo + Va) 9810)

De este modo se re que sl los voltajes bifísicos dashalanceados son aspe-
clficados, los voltajes balanceados de secuencia positiva y de secuencia
negativa pueden determinarse fácilmente.

Sean los voltajes bifásicos Vs y V, aplicadas a los embobinados de re-
ferencia y da control, respectivamente, da un motor de Inducción bithstco
coma se muestra en Ta fig. 9-L7 (a). Puesto que se supone que la estructura.
magnética del motor no es saturable y por lo tanto lineal, et par total don
arrollado por el motor en estado establo debidoa los voltajes desbalanceados
Va y Vis puede encontrarse calculando el par desarrollado por el motor
debido à tos roltajes bifístcos balancezdos de secuencia positiva Va, y Y
y 21 par desarrollado por os voltajes tifágicas balanceados de socuencia
negativa Y, y Ve, y calculando la suma algobratca de los dos pares,

Supongamos que los voltajes de secuencia positiva balanceados Vx, y
Y, cuando ge aplican a Jos embobinados del estator establecen un campo
magnético rotatorio $,, girando a una velocidad angular sincrona w, en
dirección de las manecillas del relo} como se muestra en 1a ig, 9-17 (ol.
Sea el par desarrollado T.. Esto par tiende 2 girar al rotor en dirección
de las manecillas del relo}. Los voltajes de secuencia negativa balancradas
establecen un campo magnético rotatorio #,, girando a La misma velocidad
angular sincrona w, que ©» pero en dirección contraria a las manecillas
del reloj, Este campo ejerce un par Ty en el motor y Hende a girar al
motor en dirección contraria a las maneeillas del reloj. Sin embargo, como
3, Y 6, están presentes en el entrehierro al mismo tiempo, la dirección de
rotación y lan magnitudes de 7,7 7, están determinadas por las intonaidades
relarivas de los dos campos magnóticos rotatorios. Si se aupone ques, >> ¢,,