Graficas de funciones cuadraticas

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.

1. FUNCIONES FUNCIONES
CUADRATICASCUADRATICAS

2. ►Todo número elevado al cuadrado da Todo número elevado al cuadrado da
como resultado un valor de signo como resultado un valor de signo
positivo. Es así que la ecuación positivo. Es así que la ecuación
y y =   tiene como =   tiene como dominiodominio a todos los a todos los
reales y como conjunto reales y como conjunto imagenimagen los reales los reales
positivos incluido el cero. El valor mínimo positivos incluido el cero. El valor mínimo
(en la imagen) de esta función será para (en la imagen) de esta función será para
xx = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que
denominaremos vértice de la parábola.denominaremos vértice de la parábola.
x
2

3. ►Una Una función cuadráticafunción cuadrática es toda función que es toda función que
pueda escribirse de la forma pueda escribirse de la forma f(x) = a + b x f(x) = a + b x
+ c+ c, donde , donde a, b y ca, b y c son números cualesquiera, son números cualesquiera,
con la condición de que con la condición de que aa sea distinto de 0 . sea distinto de 0 .
x
2

4. La función cuadrática más sencilla es La función cuadrática más sencilla es
f(x) = cuya gráfica es:f(x) = cuya gráfica es:
►x = -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3 x = -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
►f(x) = 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9f(x) = 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9
►Esta curva simétrica se llama parábola. Esta curva simétrica se llama parábola.
x
2
x
2

5. ►Trace la gráfica de Trace la gráfica de g(x) = x2 – g(x) = x2 – 44
Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 -
4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27,
podemos ver que para valores correspondientes de
x, los valores y de g son cada uno de 4 menos que
los de f..
Véase la figura 27. El vérti-ce de esta parábola, en
este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje
de la parábola es la recta vertical x = 0.

6. g(x) = x
2
– 4 f(x) = x
2
xy
-2
-1
0
1
2
0
-3
-4
-3
0
xy
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
g(x) = x
2
– 4
f(x) = x
2
- 2
(0.0)1
(0.-4)
x
y

7. ►Trace la gráfica de Trace la gráfica de g(x) g(x) = (x - = (x - 4)24)2
Al comparar los valores que aparecen con la figura Al comparar los valores que aparecen con la figura
28 se observa que la gráfica de 28 se observa que la gráfica de g(x) g(x) = (x - = (x - 4)24)2es es
la misma que la de la misma que la de f(x)f(x) = = x2, x2, pero trasladada 4 pero trasladada 4
unidades a la derecha.unidades a la derecha.
El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la
figura 28, el eje de esta parábola es la recta figura 28, el eje de esta parábola es la recta
vertical vertical x = 4.x = 4.

8. g(x) = (x – 4)
2
f(x) = x
2
xy
2
3
4
5
6
0
-3
-4
-3
0
xy
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
g(x) = (x
2
– 4)
2
f(x) = x
2
4
(0.0) (4,0)
x
y
x = 4

9. ►Trace la gráfica de la función cuadrática Trace la gráfica de la función cuadrática f(xf(x) = ) = x2 x2
- x - 6.- x - 6.
►Como Como a > 0a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre , la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre
la intersección con el eje la intersección con el eje y.y.
f(xf(x) = ) = x2 - x – 6x2 - x – 6
f(0f(0) = 0) = 02 - x - 62 - x - 6 Determine Determine f(0)f(0)
f(0f(0) = ) = - 6 - 6
►La intersección en el eje de La intersección en el eje de y y es es (0, -6)(0, -6). Ahora encuentre las . Ahora encuentre las
intersecciones en el eje intersecciones en el eje x.x.
f(xf(x) = ) = x2 - x – 6x2 - x – 6
00 = = x2 - x – 6x2 - x – 6 sea sea f(x) = 0f(x) = 0
00 = = (x - 3) (x + 2)(x - 3) (x + 2) FactoriceFactorice
x - 3 = 0 x - 3 = 0 o o x + 2 = 0x + 2 = 0 Igual cada factor a 0 y resuelva Igual cada factor a 0 y resuelva
x = 3x = 3 o o x x = -2= -2

10. ►Las intersecciones en el eje Las intersecciones en el eje x x son (3,0) y (-2,0). El son (3,0) y (-2,0). El
vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, - vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, -
25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y 25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y
ubique cualquier punto adicional como sea necesario. ubique cualquier punto adicional como sea necesario.
Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se
muestra en la figura 30muestra en la figura 30
0
(0,-6)
(-1,-4)
(-2,0) (3,0)
x
y
x=½ f(x) = x
2
-x –6
)
4
25
2
1
(-
(2,-4)

11. Como hemos visto, el vértice de una parábola Como hemos visto, el vértice de una parábola
vertical es el punto más alto o el punto más bajo de vertical es el punto más alto o el punto más bajo de
la parábola. La ordenada del vértice da el valor la parábola. La ordenada del vértice da el valor
máximo o mínimo de y, mien-tras que la abscisa máximo o mínimo de y, mien-tras que la abscisa
indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.