Guía adicional del tema 4 análisis de sensibilidad

Guía adicional del tema 4 análisis de sensibilidad

1. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 1

TEMA 4: ANALISIS DE SENSIBILIDAD (Software Lindo)
1. Coeficiente de la Función Objetivo:
Si se cambia el coeficiente de alguna de las variables de la función objetivo dentro de los rangos
permitidos entonces la solución óptima no cambia.

a. Si el cambio pertenece a una Variable Básica (B), es decir que tiene valor positivo la función
objetivo registrará una variación (Δ)
Xi ≥ 0 i
Ci →


i

X
1
= X
Z
1
= Z + ΔCi Xi

b. Si el cambio pertenece a una Variable No Básica (N), es decir que tiene valor cero (0) la
función objetivo no registrará variación (Δ)
Xi = 0 i
Ci →


i

X
1
= X
Z
1
= Zi

Ejemplo:
Max Z= 100 X1 + 120 X2 + 50 X3
S.A
4 X1 + 8 X2 + 10 X3 ≤ 480
5 X1 + 6 X2 + 5 X3 ≤ 600
12 X1 + 8 X2 + 7 X3 ≤ 540
X1; X2 ≥ 0

Solución:
X1 = 7,5 X2 = 56,25 X3 = 0 Z = 7.500

Básica (X1,X2) No Básica (X3)
Variables Rangos Permitidos
X1 = 100 -40 ≤ ΔC1 ≤ 80 De 60 al 180
X2 = 120 -53,33 ≤ ΔC2 ≤ 80 De 66,67 al 200
X3 = 50 ∞ ≤ ΔC3 ≤ 85 De ∞ al 135

2. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 2

Ejemplo

Análisis de Sensibilidad del Software Lindo


1. Cambiar C1 de 100 a 102. De la variable X1
C1 = 102 → ΔC1 = 102 – 100 = 2
Z
1
= Z + ΔC1 X1 = 7.500 + 2 * 7,5 = 7.515

3. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 3

2. Cambiar C2 de 120 a 110. De la variable X2
C2 = 110 → ΔC2 = 110 – 120 = -10
Z
1
= Z + ΔC2 X2 = 7.500 - 10 * 7,5 = 6.937,5

3. Cambiar C3 de 50 a 70. De la variable X3
C3 = 70 → ΔC3 = 70 – 50 = 20
Z
1
= Z = 7.500

2. Términos Independiente de una restricción
a. Si el cambio hecho al término independiente pertenece a una restricción activa, es decir
holgura=0, entonces el valor de la función objetivo y punto óptimo cambian.

bi →


, donde i pertenece a una restricción Activa (Holgura)
Max → Zi = Z + Δbi yi
Min → Zi = Z - Δbi yi
Donde:
Δbi =


- bi
yi: Precio dual

b. Si el cambio hecho al término independiente pertenece a una restricción no activa, es decir
holgura ≥ 0, entonces el valor de la función objetivo y punto óptimo se mantiene.
bi →


, donde i pertenece a una restricción no Activa (Holgura)
X
1
= X
Z
1
= Zi

4. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 4

Ejemplo

Restricción Activa (R1,R3) Restricción No Activa (R2)

Restricciones (bi) Rangos Permitidos Precio Dual (yi)
R1 = 480 -300 ≤ Δb1 ≤ 60 De 180 al 540 10
R2 = 600 -225 ≤ Δb2 ≤ ∞ De 375 al ∞ 0
R3 = 540 -60 ≤ Δb3 ≤ 900 De 480 al 1440 5



Ejemplo:
1. Cambiar R1 de 480 a 500. De la restricción R1
b1 = 500 → Δb1 = 500 – 480 = 20
Z
1
= Z + Δb1 y1 = 7.500 + 20 * 10 = 7.700

5. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 5

2. Cambiar R2 de 600 a 580. De la restricción R2
b1 = 580 → Δb2 = 580 – 600 =- 20
Z
1
= Z = 7.500

PRACTICA DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Problema 1:
La empresa KAMIR se dedica a la fabricación de tres productos; A, B y C. El procedimiento de
producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de
ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación.



El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la
compañía.

6. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

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Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se
optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se planteó el
modelo de programación lineal:

Variable de Decisión:
X1: número de productos tipo A.
X2: número de productos tipo B.
X3: número de productos tipo C.

Función Objetivo:
Max Z= 20x1 35x2+45x3
Sujeta a:
2x1+6x2+2x3≤480 → Minutos de Formación
3x1+6x2+2x3≤480 → Minutos de Inspección
2x1+2x2+4x3≤480 → Minutos de Acabado
X1, X2 ≥ 0

Solución Análisis de Sensibilidad por el Software Lindo 6.1.

Responda las siguientes preguntas.
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual
permanece:
X2 está entre 22.5 y 135.00. X3 está entre 20.01 y 70.
La variable X1 no es básica, es decir no se recomienda producir del producto A.

7. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 7

2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?
Para formación se puede tener entre 480 y ∞ (ilimitado) minutos.
Para inspección se puede tener entre 240 y 480 minutos.
Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.

3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por qué?
En acabado, por ejemplo con 2 horas más en acabado se producirían 132 unidades del producto C,
actualmente son 96. Con una nueva utilidad de 7,200.00 contra 6,000 que actualmente se obtienen.
El intervalo lo permite con una costo de por minuto de U$10.

4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección,
cambiaría la función objetivo?
No cambiaría la función objetivo, la cual permanecerá igual porque no se afectaría la producción.
Los 20 minutos que darían como sobrantes, es decir no se aprovecharían.

5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el
departamento de formado?
La utilidad óptima seguiría siendo la misma que la actual, no habría incremento en la producción, y
los 50 minutos no serían utilizados.

6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento
en el departamento de acabado?
Si se programan 30 minutos de acabado solo contaríamos con 450 minutos para este proceso, lo que
afectaría la producción de la siguiente manera: se producirían 51 unidades tipo B y 87 unidades tipo
C, para una utilidad óptima de 5,700.00, teniéndose una pérdida de U$ 300 por el tiempo perdido
en mantenimiento.

7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se afecta la
base actual y el objetivo?
Actualmente los costos de producción del producto B es U$50.00 con 25% menos los costos de
producción serán de U$ 37.50. Por lo tanto la utilidad por unidad producida será de
(U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida en U$100.00 por lo que la utilidad será de U$ 47.50.
Esto afectará la función objetivo, la que lógicamente aumentará su óptimo a U$6,600.00
produciendo los mismos productos.

8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, ¿recomendaría
usted tiempo extra?, si lo recomienda, en qué departamento y cuánto tiempo extra puede
programarse sin cambiar la mezcla actual?
El modelo recomienda de acuerdo a los intervalos que se pueden contratar minutos extras en
inspección y acabado, siendo el acabado el de mayor costo. Si hay una disminución de costo. Se
podría aumentar al máximo recomendado de 8 horas extras o sea 480 minutos en acabado para un
total de 960 minutos en acabado. Esto permitirá óptimo de U$ 10,800.00 con una producción
concentrada en el producto C. que es de mayor rentabilidad.

8. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 8

9. ¿Qué pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A?
Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se reducirían a U$ 5,925.00 o sea se
tendría una pérdida de U$75.00 con respecto a la utilidad actual.
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus tiempos
de fabricación en a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)
Seguiría siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca utilidad en comparación con los
productos B y C. de manera que se seguiría produciendo la misma cantidad de B y C y por lo tanto
obtendríamos el mismo óptimo actual.

11. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes
características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué recomendaría?
Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo producto según el análisis de
optimalidad con los parámetros del nuevo producto se vuelve atractivo producirlo, ya que la nueva
utilidad neta sería de U$ 9,600.00 con tiempo de procesamiento menor. Esto implica ahorro en
maquinaria y horas-hombres.

Función Objetivo:
Max Z= 60x1 35x2+45x3
Sujeta a:
2x1+6x2+2x3≤480 → Minutos de Formación
1x1+6x2+2x3≤480 → Minutos de Inspección
3x1+2x2+4x3≤480 → Minutos de Acabado
X1, X2 ≥ 0

9. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 9

Problema 2:
World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: a. Petróleo crudo ligero a un costo de
$ 25 por barril y b. Petróleo crudo pesado a un costo de $ 22 por barril. Cada barril de petróleo crudo,
ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las
cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo
crudo:
Gasolina Turbosina Queroseno
Crudo Ligero 0.45 0.18 0.30
Crudo pesado 0.35 0.36 0.20
La refinería se ha comprometido a entregar 1260 mil barriles de gasolina, 900 mil barriles de turbosina
y 300 mil barriles de queroseno. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de
petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda
apropiada.

Variables de decisión:
XL= número de miles de barriles de petróleo crudo de tipo ligero
XP= número de miles de barriles de petróleo crudo de tipo pesado

Función Objetivo:
El objetivo es minimizar el costo de compra de los dos tipos de petróleo crudo, es decir
Min Z= 25 XL + 22 XP

Sujeta a: Las restricciones son (restricciones de demanda):
0.45 XL + 0.35 XP >= 1260 → Unidad de Gasolina
0.18 XL + 0.36 XP >= 900 → Unidad de Turbosina
0.30 XL + 0.20 XP >= 300 → Unidad de Queroseno
XL, XP >= 0

10. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 10

Responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la solución óptima?
Se va a producir 1.400 barriles de petróleo crudo de tipo ligero y 1.800 barriles de petróleo crudo de
tipo pesado, con un mínimo costo de $ 74.600

2. ¿Cuál es el óptimo valor de la función objetivo?
Con un mínimo costo de $ 74.600

3. ¿Cuáles son las restricciones activas?
Restricción 1: de Gasolina y Restricción 2: Turbosina.

4. ¿Cómo se puede interpretar las columnas de holgura y los precios duales?
 Restricción de gasolina: holgura=0, entonces esta restricción se cumple en igualdad=agotamos
las 1260 mil barriles disponibles
 Restricción de turbosina: holgura=0, entonces esta restricción se cumple en igualdad=agotamos
las 900 mil barriles disponibles
 Restricción de queroseno:, hay una holgura de 480 mil barriles = estamos utilizando 480 mil
barriles más de las permitidas )

5. ¿Cómo cambiaría el precio mínimo del petróleo crudo si la refinería ahora entregue 1270 mil
barriles de gasolina en lugar de los 1260 mil barriles?
(El precio dual de restricción de gasolina es -50,909092, es decir, con los 1.270-1.260=10 mil
barriles más, el valor de la función objetivo se va a subir unos 10*50,909092 = $ 509,09092.
Entonces el costo total se va a subir a=$ 75.109,09)

El ‘-‘en el precio dual significa que el valor de la función objetivo va a aumentar en un problema
de minimización (como es el problema anterior).


6. ¿Cómo cambiaría el precio mínimo del petróleo crudo si la refinería ahora entregue 905 mil
barriles de turbosina en lugar de los 900 mil barriles?
El precio dual de restricción de turbosina es -11,616161, es decir, con los 5 mil barriles más, el
valor de la función objetivo se va a subir unos 5*11,616161 = $ 58,080805. Entonces el costo total
de petróleo crudo se va a subir a $ 74.658,0805.

11. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 11

7. ¿Cómo cambiaría el precio mínimo del petróleo crudo si la refinería ahora entregue 400 mil
barriles de queroseno en lugar de los 300 mil barriles?
(400-300=100 y 100<480) El precio dual de la restricción de queroseno es cero, es decir, nada va a
cambiar si relajamos la restricción por unidades menos de holgura=480 mil barriles)

Las columnas OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES determinan la cantidad máxima en que
podemos aumentar / disminuir los coeficientes objetivos sin variar la solución óptima.



Coeficientes actuales de la
función
objetivo

Cantidad máxima en que los
coeficientes de la función
objetivo se pueden aumentar sin
variar la solución óptima
Cantidad máxima en que los
coeficientes de la función
objetivo se pueden disminuir sin
variar la solución óptima


Por ejemplo, el precio del petróleo crudo ligero se puede aumentar hasta 25+3,285714= $ 28,285714
por barril sin afectar la solución óptima. Del mismo modo un incremento en el precio del petróleo
crudo pesado a un costo de 22+28= $ 50 por barril no afectará los valores de XL y XP en la solución
óptima. Es decir, la cantidad de miles de petróleo crudo pesado será 1800 mil barriles, como antes,
aunque el costo de este tipo de petróleo se suba a $ 50 por barril.

¡Observar que, dentro de los rangos especificados, los cambios en uno de los coeficientes objetivo no
alterarán la solución óptima (número de miles de barriles XL y XR) , pero sí harán variar el valor final
de la función objetivo (mínimo coste total)!

12. Tema 4: Análisis de Sensibilidad

Investigación de Operaciones: Prof. Wilfredo Díaz Página 12

Las columnas RIGHTHAND SIDE RANGES determinan la cantidad máxima en que podemos
aumentar / disminuir los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la
desigualdad (=RHS righthand side) sin variar los valores de los precios reducidos y los precios
duales.

Valores actuales (términos
independientes) situados a la
derecha de la desigualdad de
cada restricción
Cantidad máxima en que los
términos independientes de cada
restricción se pueden aumentar
Cantidad máxima en que los
términos independientes de cada
restricción se pueden disminuir

Como ya hemos comentado, el precio dual asociado a una restricción nos informa de cuánto mejoraría
el valor de la función objetivo si relajásemos la restricción en una unidad. Ello nos da una idea de la
cantidad que estaríamos dispuestos a pagar por cada unidad adicional del recurso asociado. Por
supuesto, no es posible seguir aumentando indefinidamente los recursos disponibles sin que ello afecte
a la clasificación actual de variables básicas y no básicas. La información que el “output” nos
proporciona es, precisamente, el rango en el cual este precio sombra es válido.
Así, en la primera de las restricciones anteriores, podríamos aumentar el número de miles de barriles de
gasolina disponibles hasta un total de 2250 miles (1260+990) de barriles sin cambiar los valores de los
precios duales, incrementando con ello el valor de la función objetivo en unos $ 50400,0011
(990*50,909092) (¡ver la columna de los precios duales!).
El valor INFINITY significa que ningún cambio en la cantidad en el lado derecho de la desigualdad de
una restricción afectará los valores de los precios duales ni los valores de los precios reducidos.

Problema 3:
El siguiente problema de Programación Lineal refiere a una compañía que produce dos tipos de lanchas
acuáticas: Maximizar beneficios = 30 X1 + 80 X2
Sujeto a:
2 X1 + 4 X2 <= 1000 (horas de mano de obra disponibles)
6 X1 + 2 X2 <= 1200 (kg. de materia prima disponibles)
X2 <= 200 (motores de lancha tipo 2 disponibles)
Se pide:
a. Escribir el problema en LINDO
b. Resolver el problema y hacer un análisis de sensibilidad
c. ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Cuál es el beneficio máximo?
d. ¿Cuánto valen los precios duales? Una vez alcanzada la solución óptima, ¿qué recurso tiene un
valor marginal más elevado?
e. Para cada recurso, ¿cuál es el rango de tolerancia en el que son válidos los precios duales?
f. ¿Cuáles son los rangos de tolerancia en que pueden variar los coeficientes objetivo?