Independencia Lineal y Wronskiano

Independencia Lineal y Wronskiano

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. DE P E N D E N C I A EIN D E P E N D E N C I ALI N E A L
DEPENDENCIA EINDEPENDENCIA LINEAL
DEFINICI´ON Se dice que un conjunto de funcionesf1(x); f2(x); :::; fn(x)es linealmente
dependiente en un intervaloIsi existen constantesc1; c2; :::; cnno todas cero,
tales que:
c1f1(x) +c2f2(x) +:::+cnfn(x) = 0
Para todaxen el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
EJEMPLO
1
Las funcionesf1(x) =sen2x,f2(x) =senxcosx,f3(x) =e
x
son
linealmente dependientes porque:
(1)sen2x(2)senxcosx+ (0)e
x
= 0

4. DE P E N D E N C I A EIN D E P E N D E N C I ALI N E A L
SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
ELWRONSKIANO Sup´ongase que lasnfuncionesf1; f2; :::; fnson cada unan1veces
derivables. Entonces, su wronskiano es el determinante denxn:
W=













f1 f2::: fn
f
0
1
f
0
2
::: f
0
n
: : :
: : :
: : :
f
(n1)
1
f
(n1)
2
::: f
(n1)
n













CRITERIO PARA SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Seanyl; y2; ::: ; ynsoluciones de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de
n-´esimo orden en un intervaloI. El conjunto de soluciones es linealmente
independiente enIsi y s´olo siW(yl; y2; :::; yn)6= 0para todaxenI.

5. DE P E N D E N C I A EIN D E P E N D E N C I ALI N E A L
SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
EJEMPLO1
1
Las funciones
y1=x
3
, yy3=x
4
son soluciones linealmente independientes en el intervalo(0;1)para la
ecuaci´on:
x
2
y
00
6xy
0
+ 12y= 0.
Para vericarlo, se calcula el wronskiano.
W=




x
3
x
4
3x
2
4x
3




= (x
3
)(4x
3
)(x
4
)(3x
2
) =x
6
Debido a queW6= 0se concluye quey1; y2yy3son soluciones
linealmente independientes de la ED.

6. DE P E N D E N C I A EIN D E P E N D E N C I ALI N E A L
SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
EJEMPLO2
1
Las funciones
y1(x) =e
3x
,y2(x) =cos2xyy3(x) =sen2x
son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on:
y
(3)
+ 3y
00
+ 4y
0
+ 12y= 0.
Para vericarlo, se calcula el wronskiano.
W=






e
3x
cos2x sen2x
3e
3x
2sen2x2cos2x
9e
3x
4cos2x4sen2x






= 26e
3x
Debido a queW6= 0para todo valor dex, se concluye quey1; y2yy3
son soluciones linealmente independientes de la ED.

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M.,Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R.,Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B.,Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D.,Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.