Inducción magnética.pdf

Inducción magnética.
Flujo magnético
1. Un campo magnético uniforme de magnitud 2000 G es paralelo al eje x. Una espira
cuadrada de lado 5 cm forma un ángulo ϴ con el eje z como muestra la figura.
Determinar el flujo magnético a través de la espira cuando
a) ϴ=0. b) ϴ=30. c) ϴ= 60. d) ϴ=90.

????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
a) ????????????=�???????????????????????????????????????????????? ????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
�∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????=????????????,????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
b) ????????????=�???????????????????????????????????????????????? ????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
�∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
c) ????????????=�???????????????????????????????????????????????? ????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
�∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
d) ????????????=�???????????????????????????????????????????????? ????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
�∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=???????????? ????????????????????????

2. Una bobina circular tiene 25 vueltas y un radio de 5 cm. Se encuentra ene l ecuador donde el campo magnético terrestre es 0,7 G norte. Determinar el flujo magnético a
través de la bobina cuando
a) Su plano es horizontal.
b) Su plano es vertical y su eje apunta al norte.
c) Su plano es vertical y su eje apunta al este.
d) Su plano es vertical y su eje forma un ángulo de 30º con el norte.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????=????????????,????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=???????????? ????????????????????????
b) ????????????=????????????,????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
c) ????????????=????????????,????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=???????????? ????????????????????????
d) ????????????=????????????,????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

3. Un campo magnético de 1,2 T es perpendicular a una bobina cuadrada de 14 vueltas.
La longitud de cada lado de la bobina es 5 cm.
a) Determinar el flujo magnético a través de la bobina.
b) Determinar el flujo magnético para el caso en que el campo magnético forma un
ángulo de 60º con la normal al plano de la bobina.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????∗????????????,????????????∗????????????,????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
b) ????????????=????????????????????????∗????????????,????????????∗????????????,????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

4. Una bobina circular de radio 3,0 cm tiene su plano perpendicular a un campo
magnético de 400 G.
a) ¿Cuál es el flujo magnético que atraviesa la bobina, si ésta posee 75 vueltas?

b) ¿Cuántas vueltas debe tener la bobina para que el flujo sea de 0,015 Wb?
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????,????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
b) ????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
=
????????????,????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????,????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????
=????????????????????????????????????

5. Un campo magnético uniforme B es perpendicular a la base de una semiesfera de
radio R. Calcular el flujo magnético que atraviesa la superficie esférica de la
semiesfera.
Al ser perpendicular el campo a la base todas las líneas atraviesan la base:
????????????=????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????

6. Determinar el flujo magnético a través de un solenoide de longitud 25 cm, radio 1 cm
y 400 vueltas, que transporta una corriente de 3 A.
El campo magnético del solenoide:
????????????= ????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗ ????????????
????????????∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗ ????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=
????????????????????????????????????
????????????
????????????.????????????????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

7. Resolver el problema 6 para el caso de un solenoide de longitud 30 cm, radio 2 cm y
800 vueltas que transporta una corriente de intensidad 2 A.
????????????=
????????????????????????????????????
????????????
????????????.????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

8. Una bobina circular de 15 vueltas de 4 cm de radio se encuentra en un campo
magnético uniforme de 4000 G en la dirección positiva de x. Determinar el flujo que
atraviesa la bobina cuando el vector unitario normal al plano de la bobina es
a) ????????????��⃗=????????????⃗.
b) ????????????��⃗=????????????⃗.
c) ????????????��⃗=
(????????????⃗+ ????????????⃗)
√????????????
.
d) ????????????��⃗=????????????��⃗.
e) ????????????��⃗=????????????,????????????????????????⃗+????????????.???????????? ????????????⃗ .
a) ????????????=????????????∗�????????????��⃗∗????????????��⃗�∗????????????∗????????????
????????????

????????????��⃗=????????????.????????????∗????????????⃗
????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗�????????????��⃗∗????????????��⃗�=????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????⃗∗????????????⃗=????????????,???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
b) ????????????=????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????⃗∗????????????⃗=????????????
c) ????????????=????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????⃗∗
(????????????⃗+ ????????????⃗)
√????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
d) ????????????=????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????⃗∗????????????��⃗=????????????
e) ????????????=????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????⃗∗(????????????,????????????∗????????????⃗+????????????.????????????∗ ????????????⃗)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????

9. Un solenoide posee n vueltas por unidad de longitud, radio R
1 y transporta una
corriente I.
a) Una bobina circular grande de radio R
2>R1 y N vueltas rodea el solenoide en un
punto alejado de los extremos del solenoide. Determinar el flujo magnético que
atraviesa la bobina.

b) Una bobina circular pequeña de radia R3<R1 está introducida completamente
dentro del solenoide, lejos de sus extremos con su eje paralelo al del solenoide.
Determinar el flujo magnético a través de esta pequeña bobina.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗ ????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
b) ????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗ ????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????

10. Un alambre largo y rectilíneo transporta la corriente I. Una espira rectangular con
dos lados paralelos al alambre tiene los lados a y b, siendo d la distancia entre el lado
más próximo y el alambre, como indica la figura.
a) Calcular el flujo magnético que atraviesa la espira rectangular. Indicación:
Calcular el flujo a través de una banda d A= b dx e integrar desde x= d a x = d+a.
b) Evaluar la respuesta para a = 5 cm, b = 10 cm, d = 2 cm e I = 20 A.

a) ????????????????????????=????????????∗????????????????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗∫
????????????????????????
????????????
????????????+????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
�
b) ????????????=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????∗????????????.????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????.????????????????????????
????????????.????????????????????????
�=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

11. Un conductor largo y cilíndrico de radio R transporta una corriente I que está
uniformemente distribuida en su área transversal. Determinar el flujo magnético por unidad de longitud a través del área indicada en la figura.

Consideramos un elemento de área dA= L*dr con ????????????≤????????????.
????????????????????????
????????????=????????????∗????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
Usando la ley d’Ampére:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????

Por star distribuida uniformemente la corriente en el conductor:
????????????(????????????)
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
;????????????(????????????)=????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????=∫
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗∫????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????

????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????

12. Una bobina rectangular en el plano de la página tiene las dimensiones a y b. Un
alambre largo que transporta una corriente I se sitúa directamente por encima de la
bobina (figura).
a) Deducir una expresión para el flujo magnético a través de la bobina en función
de x para ???????????? ≤????????????≤???????????? ????????????.
b) ¿Para qué valor de x el flujo que atraviesa la bobina es máximo?
c) ¿Para qué valor de x el flujo es mínimo?

a) ????????????????????????
????????????=????????????∗????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????

????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
Para la región ????????????≤????????????≤ ???????????? :
????????????
????????????=∫
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????−????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????−????????????
�
???????????????????????????????????????????????? ???????????? ≥???????????? :
????????????
????????????=∫
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????+????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
�
b) El flujo es máximo (????????????
????????????→∞) cuando ????????????→????????????.
c) El flujo es mínimo (????????????
????????????→????????????) cuando x=1/2b, por simetría.
Fem inducida y ley de Faraday
13. Una espira conductora e encuentra en el plano de ésta página y transporta una
corriente inducida en sentido horario. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podía ser
cierta?
a) Un campo magnético constante está dirigido hacia la página.

b) Un campo magnético constante está dirigido desde la página hacia fuera.
c) Un campo magnético creciente está dirigido hacia la página.
d) Un campo magnético decreciente está dirigido hacia la página.
e) Un campo magnético decreciente está dirigido desde la página hacia fuera.
La afirmación d es la correcta.

14. Se establece un campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la espira de
radio 5,0 cm, 0,4 Ω de resistencia y una autoinducción despreciable. El valor de B se
aumenta a un ritmo de 40 mT/s. Hallar
a) La fem inducida en la espira.
b) La corriente inducida en la espira.
c) La producción de calor Joule en la espira por unidad de tiempo.
a) |????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) |????????????|=????????????∗???????????? ;????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
c) ????????????=????????????
????????????
∗????????????=�????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�
????????????
∗????????????.????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

15. El flujo que atraviesa una espira viene dado por ????????????
????????????=�????????????
????????????
−????????????????????????�????????????????????????
−????????????
????????????????????????, donde t
se da en segundos.
a) Hallar la fem inducida ???????????? en función del tiempo.
b) Hallar ????????????
???????????? ???????????? ???????????? para t =0, t = 2, t = 4 y t = 6 s.
a) ????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−
????????????
????????????????????????
��????????????
????????????
−????????????????????????�∗????????????????????????
−????????????
�=−(????????????∗????????????−????????????)∗????????????????????????
−????????????

b) ????????????=�????????????
????????????
−????????????????????????�∗????????????????????????
−????????????

????????????(????????????)=�????????????
????????????
−????????????∗????????????�∗????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????????????????
????????????(????????????)=−(????????????∗????????????−????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????? ????????????

????????????(????????????)=�????????????
????????????
−????????????∗????????????�∗????????????????????????
−????????????
=−????????????.???????????? ????????????????????????
????????????(????????????)=−(????????????∗????????????−????????????)∗????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????

????????????(????????????)=�????????????
????????????
−????????????∗????????????�∗????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????????????????
????????????(????????????)=−(????????????∗????????????−????????????)∗????????????????????????
−????????????
=−????????????.???????????? ????????????

????????????(????????????)=�????????????
????????????
−????????????∗????????????�∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????? ????????????????????????
????????????(????????????)=−(????????????∗????????????−????????????)∗????????????????????????
−????????????
=−????????????.???????????? ????????????

16. a) En el caso del flujo dado en el problema 15, representar gráficamente ????????????
???????????? ???????????? ???????????? en
función de t.
b) ¿En qué instante es máximo el flujo? ¿Cuál es la fem en ese instante?
c) ¿En qué instantes es cero el flujo? ¿Cuál es la fem en esos instantes?
a)

b) El flujo crece con el tiempo, si no s limitamos a los 6 s de tiempo es máximo en 6
s. En los 5 s vale 1,2 V la fem.
El flujo es mínimo a los 2 s, - 0,4 Wb. La fem vale 0 V.
c) El flujo es 0 a t = 0 y t = 4 s. La fem a t 0 0s es 0,4 V y en t = 4 s es - 0,4 V.

17. El campo magnético del problema 4 se reduce uniformemente a cero en 0,8 s. ¿Cuál
es la magnitud de la fem inducida en la bobina de la parte (b)?
N= 133
????????????????????????=−????????????∗????????????????????????∗????????????=−????????????????????????????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
???????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
=−????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????????????????=????????????,???????????? ????????????
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−
−????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????

18. Un solenoide de longitud 25 cm y radio 0,8 cm posee 400 vueltas y se encuentra en
un campo magnético externo de 600 G que forma un ángulo de 50º con el eje del
solenoide.
a) Determinar el flujo magnético a través del solenoide.
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 1 2 3 4 5 6 7
FLUJO
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 6 7
FEM

b) Determinar la magnitud de la fem inducida en el solenoide si el campo
magnético externo se reduce a cero en 1,4 s.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
b) ????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−
−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

19. Una bobina circular de 100 vueltas tiene un diámetro de 2,0 cm y una resistencia de
50 Ω. El plano de la bobina es perpendicular a un campo magnético uniforme de 1,0
T. El campo sufre una inversión de sentido repentina.
a) Hallar la carga total que pasa a través de la bobina.
Si la inversión emplea un tiempo de 0,1 s, hallar
b) La corriente media que circula por dicho circuito.
c) La fem media en el mismo.

a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????=−????????????∗????????????∗????????????−????????????∗????????????∗????????????=−????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????

????????????=????????????∗????????????=
????????????
????????????????????????
∗????????????

????????????
????????????????????????
∗????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????

????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
b) ????????????=
????????????
????????????????????????
=
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
c) ????????????=????????????∗????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????

20. En el ecuador, una bobina de 100 vueltas, 300 cm
2
de área de sección recta y 15 Ω de
resistencia se orienta de modo que su plano es perpendicular al campo magnético
terrestre de 0,7 G. Si se hace girar 90º la bobina, ¿Cuánta carga fluirá a su través?
|????????????|=????????????∗????????????=
????????????
????????????????????????
∗????????????=
????????????????????????
????????????????????????

????????????=
????????????????????????
????????????
=
|????????????∗????????????∗????????????−????????????|
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????

21. Una bobina circular de 300 vueltas y un radio de 5,0 cm se conecta a un integrador
de corriente. La resistencia total del circuito es 20 Ω. El plano de la bobina se orienta
inicialmente de modo que sea perpendicular al campo magnético terrestre en un
punto determinado. Cuando la bobina gira 90º, la carga que pasa a través del
integrador se mide y resulta ser igual a 9,4 μ C. Calcular el valor del campo magnético
terrestre he dicho punto.
????????????=
????????????????????????
????????????
=
|????????????∗????????????∗????????????−????????????|
????????????

????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

22. Una espira conductora circular elástica se expansiona a una velocidad constante, de modo que su radio viene dado por ???????????? =????????????
????????????+???????????? ????????????. La espira se encuentra en una
región de campo magnético constante perpendicular a la misma. ¿Cuál es la fem
generada en la espira? Despreciar efectos posibles de autoinducción.
????????????=????????????∗????????????∗????????????

????????????=????????????∗????????????∗????????????∗(????????????
????????????+???????????? ????????????)
????????????

|????????????|=
????????????
????????????????????????
�????????????∗????????????∗????????????∗(????????????
????????????+???????????? ????????????)
????????????
�=????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗(????????????
????????????+???????????? ????????????)∗????????????

23. El alambre del problema 12 se sitúa en x=b/4.
a) Deducir una expresión para la fem inducida en la bobina si la corriente varía con
el tiempo según la relación I=2 t.
b) Si a = 1,5 m y b = 2,5 m, ¿Cuál debería ser la resistencia de la bobina para que la
corriente fuese 0,1 A? ¿Cuál es el sentido de la corriente?
a) ????????????=−
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????
????????????=????????????∗????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????

????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
Para la región ????????????≤????????????≤ ???????????? :
????????????
????????????=∫
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????−????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????−????????????
�=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????−????????????
�
????????????=−
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????−????????????
�=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????/????????????
????????????−????????????/????????????
�
????????????=−
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
�
b) ????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????
????????????
=−
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�=−
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????
????????????.????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�
????????????=????????????,????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
El flujo aumenta hacia la página, la corriente inducida tendrá sentido antihorario,
para oponerse al aumento anterior.

24. Repetir el problema 23 suponiendo que el alambre se sitúa en x = b/3.
????????????=−
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????−????????????
�=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????/????????????
????????????−????????????/????????????
�
????????????=−
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�
????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????
????????????
=−
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�=−
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????
????????????.????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�
????????????=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
El flujo aumenta hacia la página, la corriente inducida tendrá sentido antihorario,
para oponerse al aumento anterior.
Ley de Lenz
25. Dar el sentido de la corriente inducida en el circuito de la derecha de la figura cuando
a la resistencia del circuito de la izquierda repentinamente se le hace
a) Crecer
b) Disminuir.

a) Si R aumenta, I disminuye y también B. Según la ley de Lenz, la corriente
inducida es en sentido anti-horario.
b) Si R disminuye, la corriente inducida es en el sentido de las agujas del reloj.

26. Las dos espiras circulares de la figura tienen sus planos paralelos entre sí. Cuando se
mira desde A hacia B existe en A una corriente en sentido contrario a la s agujas del
reloj. Dar el sentido de la corriente en la espira B y establecer si las espiras se atraen
o repelen entre sí, si la corriente en la espira A está
a) Creciendo.
b) Decreciendo.

a) Al aumentar I en a aumenta el flujo en B, de forma que la corriente inducida
en b ha de hacer disminuir este aumento, el sentido será horario en B.
Usando ????????????��⃗=???????????? ∗ ????????????⃗⊗ ????????????��⃗, las dos espiras se repelen.
b) Al decrecer I la corriente en B será en sentido horario, las espiras se atraen.

27. Un imán en forma de barra se mueve con velocidad constante a lo largo del eje de
una espira como se indica en la figura.
a) Hacer un esquema cualitativo del flujo ????????????
???????????? que atraviesa la espira en función del
tiempo. Indicar el tiempo t
1 en que el imán está la mitad de introducido en la
espira.
b) Hacer un esquema de la corriente I que hay en la espira en función del tiempo,
escogiendo I positivo cuando tiene sentido contrario al de las agujas del reloj
vista la espira desde la izquierda.

Sabemos que, cuando el imán se mueve hacia la derecha, el flujo a través del
bucle primero aumenta hasta que el imán esté a la mitad del bucle y luego
disminuye. Debido a que el flujo primero aumenta y luego disminuye, la
corriente cambiará de dirección, teniendo sus valores máximos cuando el flujo
cambia más rápidamente.
Cuando el centro del imán pasa a través del plano de la bobina dφm /dt = 0 y la
corriente es cero.

28. Una barra magnética está montada en el extremo de un muelle arrollado en espiral
de modo que oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje de una espira,
como se muestra en la figura.
a) Representar gráficamente el flujo ????????????
???????????? que atraviesa la espira en función del
tiempo. Indicar el tiempo t
1, cuando el imán está a mitad de camino a través de
la espira.
b) Representar la intensidad de corriente I en la espira en función del tiempo,
eligiendo como positivo el sentido de I cuando coincide con el sentido contrario
al de las agujas del reloj, visto desde arriba.

Debido a que el imán se mueve con movimiento armónico simple, el flujo y la
corriente inducida variarán de forma sinusoidal. La corriente será máxima.
dondequiera que el flujo cambie más rápidamente y será cero dondequiera que el
flujo esté momentáneamente constante. El siguiente gráfico muestra el flujo, φm, y
la corriente inducida (proporcional a −dφm/dt) en función del tiempo.

Fem de movimiento

29. Una varilla de 30 cm de longitud se mueve a 8 m/s en un plano perpendicular a un
campo magnético de 500 G. Su velocidad es perpendicular a la longitud de la varilla.
Hallar
a) La fuerza magnética ejercida sobre un electrón de la varilla.
b) El campo electrostático E existente en la varilla.
c) La diferencia de potencial V entre sus extremos.
a) ????????????��⃗=???????????? ∗ ????????????��⃗⊗ ???????????? ��⃗
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????
????????????=????????????.????????????∗ ????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????∗ ????????????????????????
−????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????????????????
????????????
b) ????????????��⃗=????????????��⃗⊗ ????????????��⃗
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????
????????????=????????????∗????????????.???????????????????????? ∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????.???????????? ????????????/????????????
c) ∆????????????=???????????? ∗ ∆????????????=????????????.???????????? ∗????????????.????????????=????????????.???????????????????????? ????????????

3
0. Hallar la velocidad de la varilla del problema 29 si la diferencia de potencial entre sus
extremos es de 6 V. ∆????????????=???????????? ∗ ∆????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????????????????? ∗ ∆????????????
????????????=
∆????????????
????????????∗???????????????????????????????????????????????? ∗∆????????????
=
????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????.????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????

31. En la figura, sea B=0,8 T, v = 10,0 m/s, l=20 cm y R = 2 Ω . Hallar
a) La fem inducida en el circuito.
b) La corriente en el circuito.
c) La fuerza necesaria para mover la varilla con velocidad constante suponiendo un
rozamiento despreciable.
d) Hallar la potencia suministrada por la fuerza hallada en el aparte (c).
e) La producción de calor I
2
R por unidad de tiempo.

a) ????????????=???????????? ∗ ????????????
????????????=???????????? ∗(????????????+???????????? ∗????????????)
|????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????.????????????∗????????????.????????????∗ ????????????????????????=????????????.???????????????????????? ????????????
b) ????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.???????????? ????????????
El flujo entrante aumenta, la corriente circulará en sentido antihorario para
contrarrestar este aumento.
c) ????????????= ????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=
????????????.????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????

La
fuerza magnética está dirigida hacia la izquierda, la necesaria para el
movimiento hacia la derecha.
d) ????????????=???????????? ∗ ????????????=????????????.????????????????????????????????????∗ ????????????????????????=????????????.???????????????????????? ????????????
e) ????????????=????????????
????????????
∗ ????????????=????????????.????????????
????????????
∗ ????????????=????????????.???????????????????????? ????????????

32. R
esolver el problema 31 en el caso de B = 1,5 T, v = 6 m/s, l = 40 cm y R=1,2 Ω .
????????????=???????????? ∗ ???????????? ????????????=???????????? ∗(????????????+???????????? ∗????????????)
|????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????.????????????∗????????????.????????????∗????????????=????????????.???????????? ????????????
????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????.????????????
=???????????? ????????????
El flujo entrante aumenta, la corriente circulará en sentido antihorario para
contrarrestar este aumento.
????????????= ????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗????????????.????????????∗ ????????????.????????????=????????????.???????????? ????????????

La
fuerza magnética está dirigida hacia la izquierda, la necesaria para el movimiento
hacia la derecha.
????????????=???????????? ∗ ????????????=????????????.????????????∗????????????=????????????????????????.???????????? ????????????
????????????=????????????
????????????
∗ ????????????=????????????
????????????
∗ ????????????.????????????=????????????????????????.???????????? ????????????

33. Una espira rectangular de 10 cm por 5,0 cm y con una resistencia de 2,5 Ω se mueve
por una región de un campo magnético uniforme de B = 1,7 T (figura) con velocidad
constante v = 2,4 cm /s. El extremo delantero de la espira entra en la región del
campo magnético en el instante t=0.
a) Hallar el flujo que atraviesa la espira en función del tiempo y dibujar un gráfico
del mismo.
b) Hallar la fem y la corriente inducida en la espira en función del tiempo y dibujar
un gráfico de las mismas. Despreciar cualquier autoinducción de la espira y
ampliar los gráficos desde t =0 hasta t = 16 s.

a) Mientras la espira esta entrando:
????????????=
????????????.????????????
????????????.????????????????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????=????????????,????????????∗????????????,????????????????????????∗????????????,????????????????????????????????????∗????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:
???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????.17 s y 4.17*2=8.34 s.
????????????=???????????? ∗ ????????????=????????????.???????????? ∗????????????.????????????∗????????????.????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
En el tramo de salida:
t entre 8.34 y 8.34+4.17=12.51 s
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗(????????????.????????????− ???????????? ∗(????????????−????????????.????????????????????????)
????????????=????????????.????????????∗????????????.????????????????????????∗(????????????.????????????−????????????.????????????????????????????????????∗(????????????−????????????.????????????????????????)=????????????.????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????

b) En
el intervalo inicial (0<t<4.17):
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=− ????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????

El signo indica que el sentido será antihorario.
En el intervalo central:
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
En el tramo final, de salida (8.34 s<t<12.51 s ):
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
La corriente será en sentido horario.

34. Un campo magnético uniforme de magnitud 1,2 T posee la dirección del eje z. Una
barra conductora de longitud 15 cm se encuentra paralelamente al eje y y oscila en la
dirección x con una elongación dada por x = (2 cm) cos 120 π t. ¿Cuál es la fem
inducida en la barra?
????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????)
????????????=????????????
.???????????? ∗
????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????)=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????)

35. En la figura, la barra posee una resistencia r y los raíles son de resistencia despreciable. Una batería de fem ???????????? y resistencia interna despreciable se conecta
entre los puntos a y b de tal modo que la corriente en la barra está dirigida hacia
abajo. La barra se encuentra en reposo en el instante t =0.
a) Determinar la fuerza que actúa sobre la barra en función de la velocidad v y
escribir la segunda ley de Newton para la barra cuando su velocidad es v.
b) Demostrar que la barra alcanza una velocidad límite y determinar la expresión
correspondiente.
c) ¿Cuál es el valor de la intensidad de la corriente cuando la barra alcanza su
velocidad límite?

a) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

???????????? − ????????????
????????????????????????????????????=???????????? − ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ????????????
????????????=
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????

???????????? ∗
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗ ????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

b) Para un máximo de la velocidad:
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
???????????? ∗
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗ ????????????=????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????

c) ????????????=
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????=
????????????−????????????∗????????????∗
????????????
????????????∗????????????
????????????
=????????????

36. En el ejemplo:

Determinar la ene rgía total disipada en la resistencia y demostrar que es igual a
????????????
????????????
???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????
.
En el ejemplo:
????????????=−???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????

−
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????=
????????????????????????
????????????

∫
????????????????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=−∫
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????

????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
�=−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
−�
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�

????????????=
????????????
????????????
????????????
=
(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????

????????????=∫
(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????
∗????????????????????????
∞
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
∗∫????????????
????????????
????????????
∗????????????
−????????????∗�
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�
∗????????????????????????
∞
????????????

Usando el cambio de variable:
????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????

37. Determinar la distancia total recorrida por la barra en el caso anterior.

????????????=
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????
−�
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�

∫????????????????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????∗∫????????????
−�
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�
∗????????????????????????
∞
????????????

????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????

38. La barra de la figura del problema 35 posee una resistencia R y los raíles son de
resistencia despreciable. Un condensador de carga Q
o y capacidad C se conecta entre
los puntos a y b de tal modo que la corriente en la barra se dirige hacia abajo. La
barra está en reposo para t = 0.
a) Escribir la ecuación del movimiento de la barra sobre los raíles.
b) Demostrar que la velocidad límite de la barra sobre los raíles está relacionada
con la carga final en el condensador.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????=
????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????

−
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????=−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????
∫????????????????????????
????????????
????????????
????????????
=−
????????????
????????????∗????????????
∗∫????????????????????????
????????????
????????????

????????????=????????????
????????????−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????=
????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????∗????????????
−
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????∗????????????∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????∗�
????????????
????????????−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????∗????????????
−
????????????∗????????????∗????????????
????????????
�∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????
????????????
∗�
????????????
????????????−
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
????????????∗????????????
−
????????????∗????????????∗????????????
????????????
�
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
−�
????????????
????????????∗????????????
+
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
�∗????????????
b) Para la velocidad límite
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????

39. En la figura una barra conductora de masa m y resistencia despreciable desliza sin
rozamiento a lo largo de dos raíles paralelos de resistencia despreciable, separados
por una distancia l y conectados por una resistencia R. Los raíles están sujetos a un
plano largo e inclinado que forma un ángulo ϴ con la horizontal. Como se indica enla
figura, el campo magnético está dirigido hacia arriba.

a) Demostrar que existe una fuerza retardatriz dirigida hacia arriba sobre el plano
inclinado dada por ???????????? =�????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????�/????????????.
b) Demostrar que la velocidad terminal de la barra es ????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????/
(????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????).

a
)
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ????????????????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????

????????????=
???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????=
????????????
????????????
∗ ????????????
????????????
∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
b) Aplicando la segunda ley de Newton:
???????????? ∗????????????∗????????????????????????????????????????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

Para la velocidad terminal
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
???????????? ∗????????????∗????????????????????????????????????????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????

40. Un péndulo simple formado por un alambre de longitud L soporta una bola metálica
de masa m. El alambre posee una masa despreciable y se mueve En el interior de un
campo magnético horizontal y uniforme B. Este péndulo ejecuta un movimiento
armónico simple de amplitud angular ϴ
o. ¿Cuál es la fem generada a lo largo del
alambre?
????????????=????????????
????????????∗???????????????????????????????????? (????????????????????????); ????????????=�
????????????
????????????

Los diferentes puntos de la varilla tienen velocidades diferentes, el campo eléctrico
inducido (relacionado con la fuerza magnética que sufren los electrones en la varilla)
será distinto en cada punto.

Supongamos la varilla dividida en elementos infinitesimales de longitud dr. Para el
elemento situado entre r y r+dr, tendremos que su velocidad de traslación es:
????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????? (???????????? ∗????????????)
|????????????|=�????????????��⃗⨂????????????��⃗�=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????? (???????????? ∗????????????)
|????????????|=∫????????????��⃗∗ ????????????????????????�⃗
????????????
????????????
=∫???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????? (???????????? ∗????????????)∗????????????????????????
????????????
????????????

|????????????|=???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????? (???????????? ∗????????????)∗∫???????????? ∗????????????????????????
????????????
????????????
=???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗???????????????????????????????????? (???????????? ∗????????????)∗
????????????
????????????
????????????

41. Un alambre situado a lo largo del eje z transporta la corriente I= 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Una pequeña esfera conductora de radio R= 2 cm se encuentra
inicialmente en reposo sobre el eje y a una distancia h = 45 m por encima del
alambre. La esera se deja caer en el instante t = 0.
a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el centro de la esfera en el instante t = 3 s?
Suponer que el único campo magnético es el producido por el alambre.
b) ¿Cuál es el voltaje a través de la esfera en el instante t = 3 s?

a)
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗(−????????????⃗)=−
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗ ????????????⃗
????????????(????????????)=????????????
????????????−
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
;???????????? (????????????)=????????????????????????− ????????????.????????????∗ ????????????
????????????
=????????????,???????????????????????????????????? ????????????
????????????��⃗(????????????)=−????????????.????????????∗????????????∗ ????????????⃗ ; ????????????��⃗(????????????)=−????????????.????????????∗ ???????????? ∗ ????????????⃗=−????????????????????????,???????????? ∗ ????????????⃗
????????????��⃗=????????????��⃗⨂????????????��⃗= (−????????????????????????,???????????? ∗ ????????????⃗ )⨂ �−
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗ ????????????⃗�
????????????��⃗=(−????????????????????????,???????????? ∗ ????????????⃗ )⨂ �−
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????
∗
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????
∗ ????????????⃗�=−????????????.????????????????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
∗ ????????????��⃗
b) La diferencia de potencial a través de la esfera depende del campo eléctrico
en el centro de la esfera y el diámetro de la esfera:
∆????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

4
2. En la figura del problema 39, sea ϴ = 30º, m = 0,4 kg, l=15 m y R=2,0 Ω. La barra parte
del reposo de la parte más alta del plano inclinado en el tiempo t = 0. Los raíles
tienen resistencia despreciable. Existe un campo magnético constante verticalmente
dirigido hacia arriba de magnitud 1,2 T.
a) Determinar la fem inducida en la barra en función de su velocidad hacia abajo
sobre los raíles.

b) Expresar la ley del movimiento de Newton para la barra; demostrar que la barra
se aproxima a una velocidad límite y determinar su velocidad.
a)

????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ????????????????????????=????????????.???????????? ∗ ????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????????????????.????????????∗ ????????????
b) ???????????? − ????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

???????????? ∗????????????∗????????????????????????????????????????????????− ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ????????????????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????

???????????? ∗????????????∗????????????????????????????????????????????????−
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????????????????????????????????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????

Para la velocidad terminal
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????
=????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????
????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????/????????????

43. Cuando la barra del problema 42 ha alcanzado su velocidad terminal, ¿Cuál es la
potencia disipada en la resistencia? ¿Cómo se modifica por unidad de tiempo la
energía potencial de la barra?
????????????=????????????
????????????
∗ ????????????=�
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
∗ ????????????==????????????
????????????
∗ ????????????=�
????????????∗????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗ ????????????=
????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????∗????????????.????????????
????????????
????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
∗ ????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
La barra perderá por unidad de tiempo una energía potencial dada por:
∆????????????
????????????
∆????????????
=???????????? ∗????????????∗
∆????????????
∆????????????
=???????????? ∗????????????∗
∆????????????
∆????????????
∗????????????????????????????????????????????????=???????????? ∗????????????∗ ????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
∆????????????
????????????
∆????????????
=????????????.???????????? ∗????????????.????????????????????????∗ ????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????(????????????????????????)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????

44. Un cilindro conductor sólido de radio 0,1 m y masa 4 kg descansa sobre raíles
conductores horizontales (figura). Los raíles, separados por una distancia a=0,4 m,
poseen una superficie áspera, de modo que el cilindro rueda en lugar de deslizar.
Una batería de 12 V está conectada a los raíles, como se indica en la figura. La única
resistencia significativa del circuito es la resistencia de contacto de 6 Ω entre el
cilindro y los raíles. El sistema se encuentra en un reposo próximo a la batería.

a) ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de B para que el cilindro tenga una
aceleración inicial de 0,1 m/s
2
hacia la derecha?
b) Determinar la fuerza sobre el cilindro en función de su velocidad.
c) Determinar la velocidad límite del cilindro.
d) ¿Cuál es la energía cinética del cilindro cuando ha alcanzado su velocidad límite?
(Despreciar el campo magnético debido a la corriente en el sistema cilindro-
raíles-batería y suponer que la densidad de corriente en el cilindro es uniforme).

a) ???????????? − ????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????
???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? − ????????????
????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

Teniendo en cuenta la rotación del cilindro:
????????????
????????????∗ ????????????=????????????
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? −
????????????
????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????
????????????????????????
∗ �???????????? ∗ ????????????+
????????????
????????????????????????
????????????
�=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????+
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????+
????????????
????????????
∗????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????

????????????=
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????

????????????=???????????? ∗ ???????????? ;????????????=
????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????∗
????????????
????????????
∗????????????
=
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????∗????????????∗????????????.????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????∗????????????.????????????
=????????????.???????????????????????? ???????????? Dirigido hacia abajo
b)
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????

????????????
????????????????????????????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

Teniendo en cuenta la fem inducida:
????????????=
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????∗
????????????−????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗�???????????? ∗ ???????????? − ????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????�
c) La velocidad terminal implica Fnet=0
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗�???????????? ∗ ???????????? − ????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????�=????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????.????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????/????????????
d) ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????
+
???????????? ????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗ �???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????
+
???????????? ????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
�=
???????????? ????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????

????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
????????????
????????????

45. Una barra de longitud l es perpendicular a un conductor rectilíneo largo por el que
circula una corriente I, según puede verse en la figura. El extremo cercano de la barra

está a una distancia d del conductor. La barra se mueve comuna velocidad v en el
sentido de la corriente I.
a) Demostrar que la diferencia de potencial entre los extremos de la barra viene
dada por
????????????=
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
�
b) Utilizar la ley de Faraday para obtener este resultado considerando el flujo que
atraviesa un área rectangular ????????????=???????????????????????????????????? barrida por la barra.

a
) El campo creado por el hilo:
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????

Con x siendo la distancia desde el hilo al punto considerado.
La barra tendrá diferentes valores del campo magnético dependiendo de su distancia
al hilo. Para un segmento dx de la barra:
????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????
Considerando toda la barra:
∆????????????=∫???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????
????????????+????????????
????????????
=???????????? ∗
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗∫
????????????????????????
????????????
????????????+????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
�
Siendo la parte positiva en el extremo de la barra más próximo al conductor.
b) ∆????????????=????????????=−
????????????????????????
????????????????????????

Para un segmento de la barra de longitud dx:
????????????????????????=???????????? ∗????????????????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????:
????????????=∫
????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????
????????????+????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
� ∗????????????
∆????????????=|????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????
????????????
�

46. La espira del problema 10 se mueve alejándose del alambre con una velocidad
constante v. En el instante t =0, el lado izquierdo de la espira se encuentra a una
distancia d del alambre largo rectilíneo.
a) Calcular la fem generada en la espira determinando la fem de movimiento en
cada segmento de la misma, paralelo al alambre. Explicar por qué se desprecia la
fem en los segmentos perpendiculares al alambre.
b) Calcular la fem en la espira calculando primero el flujo a través de la misma en
función del tiempo y después usando la expresión ????????????=−
????????????????????????
????????????
????????????????????????
; compárese la
respuesta con la obtenida en la parte (a).
a) ????????????=????????????(????????????)∗ ???????????? ∗????????????

????????????(????????????????????????+????????????)=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????

????????????(????????????????????????+????????????+????????????)=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????+????????????

Para el extremo cercano:
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????
∗ ???????????? ∗????????????
Para el alejado:
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????+????????????
∗ ???????????? ∗????????????
La diferencia de potencial:
????????????
????????????− ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????
∗ ???????????? ∗????????????−
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????+????????????∗????????????+????????????
∗ ???????????? ∗????????????
????????????
????????????− ????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗(
????????????
????????????+????????????∗????????????
−
????????????
????????????+????????????+????????????∗????????????
)
b) ????????????????????????=???????????? ∗????????????????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????=�
????????????
????????????
???????????? ∗ ????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????+????????????+????????????∗????????????
????????????+????????????∗????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗ ????????????
???????????? ∗ ????????????
∗????????????????????????�
????????????+????????????+???????????? ∗????????????
????????????+???????????? ∗????????????
�
|????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ �
????????????+????????????∗????????????
????????????+????????????+????????????∗????????????
� ∗ �
(????????????+????????????∗????????????)∗????????????−(????????????+????????????+????????????∗????????????)∗????????????
(????????????+????????????∗????????????)
????????????
�
|????????????|=
????????????????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗(
????????????
????????????+????????????∗????????????
−
????????????
????????????+????????????+????????????∗????????????
)

47. Una barra conductora de longitud l gira a velocidad angular constante ω alrededor
de un extremo en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme (figura).
a) Demostrar que la fuerza magnética sobre una carga q situada a una distancia r
del eje de giro es Bqrω.
b) Demostrar que la diferencia de potencial existente entre los extremos de la barra
es V=1/2Bωl
2
.
c) Dibujar una línea radial cualquiera en el plano a partir de la cual midamos el
ángulo ????????????=????????????????????????. Demostrar que el área de la región en forma de cuña entre la
línea de referencia y la barra es ????????????=????????????/????????????????????????
????????????
????????????. Calcular el flujo que atraviesa esta
área y demostrar que ????????????=????????????/????????????
????????????????????????????????????
????????????
se deduce a partir de la ley de Faraday a
dicha área.

a) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
b) ????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????
????????????=∫???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????

c) |????????????|=
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????

????????????=∫????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????=????????????∗????????????=????????????∗
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????

|????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????

Inductancia

48. ¿Cómo se modificaría la autoinducción de un solenoide si
a) La misma longitud de alambre se arrollara sobre un cilindro de igual diámetro
pero de longitud doble;
b) Una longitud doble de alambre se arrollara sobre el mismo cilindro;
c) La misma longitud de alambre se arrollara sobre un cilindro de igual longitud,
pero de diámetro doble?
a) ????????????
????????????=????????????∗???????????? ;????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????

????????????=????????????/????????????
Las dos áreas son iguales al tener el mismo radio.
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????
La longitud de los hilos y el radio de cada espira son los mismos en los dos casos,
el número de vueltas ha de ser el mismo:
????????????
????????????=????????????
????????????=????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????

El de longitud doble tiene la mitad de autoinducción.
b) En este caso, las áreas son iguales, el número de vueltas no lo será: ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????? ????????????
????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????

????????????
????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
???????????? ????????????
????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????∗????????????
???????????? ????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????
El que tiene el alambre más largo tiene 4 veces más autoinducción.
c) Les áreas serán:
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????
???????????? =????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗
????????????
???????????? ????????????
????????????∗????????????
=????????????
????????????
Son iguales.

49. Por una bobina con una autoinducción de 8,0 H circula una corriente de 3 A, y varía a
razón de 200 A/s.
a) Hallar el flujo magnético que atraviesa la bobina.
b) Hallar la fem inducida en función del tiempo.
a) ????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????(????????????)=????????????+????????????????????????????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????=????????????∗(????????????+????????????????????????????????????∗????????????)=????????????????????????+????????????????????????????????????????????????∗????????????
b) |????????????|=
????????????????????????
????????????????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????

50. Por una bobina de autoinducción L circula una corriente I, dada por ????????????=
????????????
???????????? ????????????????????????????????????(????????????????????????????????????????????????). Hallar el flujo ????????????
???????????? y la fem autoinducida y representarlos
gráficamente en función del tiempo.
????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ????????????
????????????∗ ????????????????????????????????????(???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????)

????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????∗????????????????????????????????????(???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????)

51. Un solenoide tiene una longitud de 25 cm, un radio de 1 cm y 400 vueltas. Por él
circula una corriente de 3 A. Hallar
a) B sobre el eje y en el centro del solenoide.

b) El flujo que atraviesa el solenoide admitiendo que B es uniforme.
c) La autoinducción del solenoide.
d) La fem inducida en el solenoide cuando la corriente varía a razón de 150 A/s.
a) ????????????=????????????
????????????∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????????????????
−????????????
∗
????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????
∗ ????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
∗ ???????????? ∗????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????????????????
c) ????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ;????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????

????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
d) ????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=−???????????? ∗
????????????
????????????????????????
(????????????????????????????????????∗????????????)=−???????????? ∗ ????????????????????????????????????=−????????????.????????????????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
∗ ????????????????????????????????????
????????????=−????????????????????????.????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

5
2. Dos solenoides de radios 2 cm y 5 cm son coaxiales. Cada uno de ellos tiene 25 cm de
longitud y poseen respectivamente 300 y 1000 vueltas. Determinar su inductancia
mutua.
????????????
????????????,????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????∗ ????????????
????????????∗ ????????????
????????????∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????
????????????
????????????,????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????????????????
−????????????
∗
????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????
∗
????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????
∗????????????.????????????????????????∗ ???????????? ∗????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

53. Un alambre largo y aislado comuna resistencia lineal de 18 Ω/m se utiliza para
construir la resistencia de un circuito. En primer lugar, el alambre se dobla por la
mitad y después se arrolla en forma cilíndrica como indica la figura. El diámetro de
esta forma cilíndrica es de 2 cm, su longitud 25 cm y la longitud total del alambre 9
m. Determinar la resistencia y la inductancia de esta resistencia.

La corriente entra por un extremo, circulo hacia la doblez final en un sentido,
llega a este punto y vuelve en sentido contrario. El flujo total enla bobina
construida es cero.
????????????=
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????=????????????????????????
????????????
????????????
∗???????????? ????????????=???????????????????????????????????? ????????????

54. La figura muestra dos solenoides largos cada uno de 2000 vueltas de alambre. El
solenoide exterior es de 20 cm de longitud y diámetro 2 cm. El solenoide interior es
de 10 cm de longitud y diámetro 1 cm. Determinar la inductancia efectiva de este
dispositivo.

El interior producirá un flujo en un sentido contrario al exterior dado que la corriente
circula en sentidos opuestos por ellos.

????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
????????????=????????????
????????????− ????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

55. E
l circuito 2 de la figura posee una resistencia total de 300 Ω. Cuando el interruptor S
del circuito 1 está cerrado, a través del galvanómetro del circuito 2 fluye una carga
total de 2 10
-4
C. Después de un largo tiempo, la corriente del circuito 1 es de 5 A.
¿Cuál es la inductancia mutua entre las dos bobinas?

Para el circuito 2 tenemos:
???????????? ∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
+????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
− ????????????
????????????∗ ????????????
????????????=????????????
???????????? ∗ ????????????????????????
????????????+????????????
????????????∗ ????????????????????????
????????????− ????????????
????????????∗ ????????????
????????????∗????????????????????????=????????????
???????????? ∗∫????????????????????????
????????????
∞
????????????
+????????????
????????????∗∫????????????????????????
????????????
∞
????????????
− ????????????
????????????∗∫????????????
????????????
∞
????????????
∗????????????????????????=????????????
???????????? ∗ ????????????
????????????∞+????????????
????????????∗ ????????????
????????????∞− ????????????
????????????∗ ????????????=????????????
????????????
????????????∞=????????????
???????????? ∗ ????????????
????????????∞=????????????
????????????∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∞
=
????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
=????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

56. Demostrar que la inductancia de un toroide de sección rectangular como indica la
figura viene dada por
????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
???????????? ????????????????????????�
????????????
????????????
�
????????????????????????

En donde N es el número total de vueltas, a es el radio interior, b el radio exterior y
H la altura del toroide.

????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????

Usando la ley de Ampere par a<r<b:
???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????
????????????∗ ????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????

Para un segmento de grosor dr:
????????????????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????=∫????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????=∫
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
�
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
???????????? ????????????
�

Energía magnética

57. Si la corriente que circula por un inductor se duplica, la energía que se almacena en
el mismo será
a) La misma.
b) El doble.
c) Cuatro veces mayor.
d) La mitad.
e) La cuarta parte.
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????

Si doblamos I, hacemos la energía almacenada cuatro veces mayor. Respuesta c.

58. Se conecta una bobina cuya autoinducción es 2,0 H y su resistencia 12,0 Ω a una
batería de 24 V y de resistencia interna despreciable.
a) ¿Cuál es la corriente final?
b) ¿Cuánta energía se almacena en la bobina cuando se alcanza el valor final de la
corriente?
a) En la situación final:
????????????−????????????∗????????????=???????????? ;????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ????????????
b) ????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=???????????? ????????????

59. En un volumen de 1,0 m
3
existe un campo eléctrico de 10
4
V/m y un campo
magnético de 1 T, hallar
a) La energía magnética.
b) La energía eléctrica.
c) La energía total.
a) ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????=????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????
????????????∗????????????=
???????????? ????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????=
???????????? ????????????
∗
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗(????????????????????????
????????????
)
????????????
∗????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
c) ????????????=????????????
????????????+????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
No coincide con los resultados del libro (¿?)

60. En una onda electromagnética plana, tal como una onda luminosa, los valores de los
campos eléctrico y magnético están relacionados por ????????????=???????????? ????????????, en donde ???????????? =
????????????/�????????????
????????????????????????
????????????
es la velocidad de la luz. Demostrar que en este caso las densidades de
energía eléctrica y magnética son iguales.
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
(????????????∗????????????)
????????????
=????????????

61. Por un solenoide de 2000 vueltas, 4 cm
2
de área y una longitud de 30 cm, circula una
corriente de 4,0 A. a) Calcular la energía magnética almacenada mediante la expresión ????????????/????????????????????????????????????
????????????
.
b) Hallar B en el solenoide.
c) Calcular la densidad de energía magnética a partir de ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
y compararla
con la obtenida en la parte (b).
a) ????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗ ????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????
∗ ????????????.????????????
????????????

????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????=????????????
????????????∗
????????????
????????????
∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????????????????
−????????????
∗
????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????
∗ ????????????=????????????????????????.????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
c) ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
(????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗ ????????????=????????????????????????????????????∗ ???????????? ∗ ????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????

6
2. Un alambre largo y cilíndrico de radio a=2 cm transporta una corriente I= 80 A
uniformemente distribuida en el área de su sección transversal. Determinar la
energía magnética total por unidad de longitud dentro del alambre.

Consideramos el anillo marcado:
????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????

Aplicando la ley de Ampére:
???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????
????????????∗ ????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
; ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????

????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
=
(
????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
)
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????

????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ ????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗∫????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????∗????????????
=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????????????????∗????????????
=????????????.????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????/????????????

63. Un toroide de radio medio 25 cm y un radio de la bobina de 2 cm está arrollado con
un cable superconductor de 1000 m de longitud por el que circula una corriente de
400 A.
a) ¿Cuál es el número de vueltas de la bobina?
b) ¿Cuál es el campo magnético en el radio medio?
c) Suponiendo B constante en toda el área de la bobina, calcular la densidad de
energía magnética y la energía total almacenada en el toroide.
a) Para obtener la solución dada en el libro tomamos como radio de la bobina 2 cm
y no los dos metros del enunciado.
La longitud de una vuelta es ????????????∗????????????∗????????????; el radio es de 0.02 m. Con los 1000 m
podremos hacer:
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
b) El campo magnético para un toroide:
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
c) ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????
????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????=????????????
????????????∗�????????????∗????????????
????????????
�∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????

Circuitos RL

64. Una bobina de 8,0 Ω de resistencia y una autoinducción de 4,0 H se conecta
repentinamente a una diferencia de potencial constante de 100 V. Supongamos que
el instante de la conexión es t = 0 y en él la corriente es nula. Hallar la corriente I y su
variación respecto al tiempo dI/dt en los instantes
a) t = 0.
b) t = 0,1 s.
c) t = 0,5 s.
d) t = 1,0 s.
a) ????????????
????????????−????????????∗????????????−????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ;
???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
−
????????????∗????????????
????????????

???????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????,????????????=∞:????????????
∞=
????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????(????????????)=???????????? ????????????

???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????
=???????????????????????? ????????????/????????????
b) ????????????(????????????.????????????)=
????????????????????????????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????�=????????????.???????????????????????? ????????????
???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????????????????????????????
????????????
−
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????/????????????
c) ????????????(????????????.????????????)=
????????????????????????????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????�=????????????.???????????????????????? ????????????
???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????????????????????????????
????????????
−
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
=????????????.???????????? ????????????/????????????
d) ????????????(????????????.????????????)=
????????????????????????????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????�=????????????????????????.???????????? ????????????
???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????????????????????????????
????????????
−
????????????????????????.????????????∗????????????
????????????
=????????????.???????????? ????????????/????????????

65. La corriente que circula por una bobina de 1 mH de autoinducción es 2,0 A en el
instante t = 0, cuando se pone en paralelo a la bobina una resistencia. La resistencia
total de la bobina más la resistencia es 10,0 Ω. Hallar la corriente después de
a) 0,5 ms.
b) 10 ms.
a) −???????????? ∗ ???????????? − ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????????????????
????????????????????????
=−
????????????
????????????
∗ ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????(????????????,????????????????????????????????????????????????)=????????????.????????????∗????????????
−
????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? A
b) ????????????(????????????,????????????????????????????????????)=????????????.????????????∗????????????
−
????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????

66. En el circuito de la figura supongamos que ????????????
????????????=????????????????????????,???????????? V, R=3,0 Ω y L=0,6 H. El
interruptor se cierra en el instante t = 0 s. Enel instante t = 0,5 s, hallar
a) El ritmo con que la batería suministra potencia.
b) El efecto calorífico de Joule por unidad de tiempo.
c) La velocidad con que la energía se está almacenando en la bobina.

a) ????????????=
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????(????????????????????????????????????????????????)=????????????
????????????∗ ????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????(???????????????????????????????????????????????? ,????????????.???????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????.????????????�=????????????????????????.???????????? ????????????
b) ????????????(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????)=????????????
????????????
∗ ????????????=
????????????????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????

????????????(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????,????????????,???????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????.????????????�
????????????
=????????????????????????.???????????????????????? ????????????
c)
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????
�=???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????� ∗
????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????� ∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????
(????????????,???????????? ???????????? )=????????????????????????.???????????? ∗????????????
−
????????????∗????????????.????????????
????????????.????????????=????????????.???????????????????????? ????????????

67. Repetir el problema 66 para los instantes t = 1 s y t = 100 s.
????????????(???????????????????????????????????????????????? ,???????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????.????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????,???????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????.????????????�
????????????
=????????????????????????.???????????????????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????
(???????????? ???????????? )=????????????????????????.????????????????????????∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????.????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????

????????????(???????????????????????????????????????????????? ,???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????????????????????????????
????????????.????????????�=???????????????????????? ????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????,???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????????????????????????????
????????????.????????????�
????????????
=???????????????????????? ????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????
(???????????????????????????????????? ???????????? )=????????????????????????∗????????????
−
????????????∗????????????????????????????????????
????????????.????????????=???????????? ????????????

68. La corriente en un circuito RL es cero en el instante t =0 y aumenta hasta la mitad de
su valor final en 4,0 s.
a) ¿Cuál es la constante de tiempo de este circuito?
b) Si la resistencia total es 5 Ω, ¿Cuál es la autoinducción?
a) ????????????=
????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????.????????????=????????????−????????????
−
????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????
????????????=????????????.???????????? ;−
????????????
????????????
=????????????????????????(????????????.????????????); ????????????=
−????????????
????????????????????????(????????????.????????????)
=????????????.???????????????????????? ????????????
b) ????????????=
????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????=????????????∗????????????.????????????????????????=????????????????????????.???????????? ????????????

69. ¿Cuántas constantes de tiempo deben transcurrir antes de que la corriente en un
circuito RL, que era inicialmente cero, alcance
a) El 90 por ciento.
b) El 99 por ciento.
c) El 99,9 por ciento.
a) ????????????.????????????=????????????−????????????
−
????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????
????????????=????????????.????????????∶ −
????????????
????????????
=????????????????????????(????????????.????????????); ????????????=−????????????∗ ????????????????????????(????????????.????????????)=????????????.????????????????????????∗????????????
b) ????????????.????????????????????????=????????????−????????????
−
????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∶ −
????????????
????????????
=????????????????????????(????????????.????????????????????????); ????????????=−????????????∗ ????????????????????????(????????????.????????????????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????
c) ????????????.????????????????????????????????????=????????????−????????????
−
????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????∶ −
????????????
????????????
=????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????);
????????????=−????????????∗ ????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????

70. Una bobina de inductancia 4 mH y resistencia 150 Ω se conecta a través de una
batería de fem 12 V y resistencia interna despreciable.
a) ¿Cuál es el incremento inicial de la corriente por unidad de tiempo?
b) ¿Cuál es el incremento por unidad de tiempo cuando la corriente alcanza la
mitad de su valor final?
c) ¿Cuál es la corriente final?
d) ¿Cuánto tiempo tardará la corriente en alcanzar el 99 por ciento d e su valor
final?
a) ????????????=
????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
(???????????? ????????????)=
????????????
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????/????????????
b) ????????????.????????????=????????????−????????????
−
????????????∗????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????∗????????????
????????????=????????????.???????????? ;
????????????∗????????????
????????????
= −????????????????????????(????????????.????????????);????????????=
−????????????∗????????????????????????(????????????.????????????)
????????????
=−
????????????.????????????????????????????????????∗???????????????????????? (????????????.????????????)
????????????????????????????????????

????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????�=
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????
∗????????????.????????????=???????????????????????????????????????????????? ????????????/????????????
c) ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????

d) ????????????.????????????????????????=???????????? −????????????
−
????????????
???????????? ; ????????????
−
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∶ −
????????????
????????????
=????????????????????????(????????????.????????????????????????); ????????????=−???????????? ∗ ????????????????????????(????????????.????????????????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

71. Un gran electroimán posee una inductancia de 50 H y una resistencia de 8,0 Ω . Si se
conecta a una fuente de potencia de corriente continua de 250 V, determinar el
tiempo que tarda la corriente en alcanzar
a) 10 A.
b) 30 A.
a) ????????????=
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????∗????????????
????????????
????????????
=???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????
−
????????????∗????????????
????????????=???????????? −
????????????∗????????????
????????????
????????????

−
????????????∗????????????
????????????
=????????????????????????�???????????? −
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
????????????=−
????????????
????????????
∗????????????????????????�???????????? −
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
b) ????????????=−
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????�???????????? −
????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????
�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????

72. Dado el circuito de la figura, suponer que el interruptor se ha cerrado durante un largo tiempo, de modo que existen corrientes estacionarias en el circuito y que el inductor está formado por un alambre superconductor, de modo que su resistencia puede considerarse nula.
a) Determinar la intensidad de corriente continua suministrada por la batería, la
intensidad que circula por la resistencia de 100 Ω y la intensidad que circula por
el inductor.
b) Determinar el voltaje inicial entre los extremos del inductor cuando se abre el
interruptor S.
c) Determinar la corriente en el inductor en función del tiempo a partir del instante
de apertura del interruptor S.

a) Cuando el circuito se ha “estabilizado”, toda la corriente circula por el
inductor:
????????????
????????????????????????????????????=???????????? ????????????
???????????? − ????????????
????????????????????????∗ ????????????
????????????????????????=???????????? ;????????????
????????????????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ????????????.
????????????
????????????=????????????
????????????????????????=???????????? ????????????
b) Al abrir S, la diferencia de potencial será la de la pila, 10 V.
c) Una ves abierto S, la ecuación de la intensidad será:
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????

????????????(????????????)=???????????? ∗????????????
−
????????????????????????????????????∗????????????
????????????=????????????
− ????????????????????????∗????????????

73. Calcular la pendiente inicial dI/dt para t=0 mediante la ecuación ????????????=
????????????
????????????
????????????
�????????????
−
????????????
????????????� y
demostrar que, si la corriente disminuye uniformemente con esta pendiente, su
valor sería cero al cabo de una constante de tiempo.
(Nota: la ecuación que cita el enunciado no corresponde a la caída de intensidad al
abrir un circuito, es la de la subida al cerrar un circuito, cogemos la de bajada al abrir
un circuito.
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗ �????????????
−
????????????
????????????�=????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
=−
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
(????????????)=−
????????????????????????
????????????

Si la corriente disminuye uniformemente:
????????????=????????????
????????????−
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????=????????????
????????????−
????????????
????????????
????????????
∗???????????? ;????????????=????????????

74. Una inductancia L y una resistencia R se conectan en serie con una batería como
indica la figura. Un tiempo largo después de errar el interruptor, la intensidad de la
corriente es de 2,5 A. Cuando la batería queda fuera del circuito al abrir el interruptor S
1 y cerrar S2, la corriente cae a 1,5 A en 45 ms.
a) ¿Cuál es la constante de tiempo en este circuito?
b) Si R = 0,4 Ω, ¿Cuánto vale L?

a) ????????????
????????????=????????????
????????????∗ ????????????
???????????? ; ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????.???????????? ????????????
Al abrir S1 y cerrar S2, la If anterior es la inicial del nuevo circuito:
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????
−
????????????
???????????? ;
????????????
????????????
=−???????????????????????? �
????????????
????????????
????????????
�=???????????????????????? �
????????????
????????????
????????????
�
????????????=
????????????
???????????????????????? �
????????????????????????
????????????
�
=
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????�
????????????.????????????
????????????.????????????
�
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
b) ????????????=
????????????
????????????
;????????????=???????????? ∗ ????????????=????????????.???????????? ∗????????????.????????????????????????????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????

75. Cuando la corriente que circula por una bobina determinada es 5,0 A y está aumentando a razón de 10,0 A/s, la diferencia de potencial en los extremos de la

misma es 140 V. Cuando la corriente vale 5,0 A y está disminuyendo a razón de 10,0
A/s, la diferencia de potencial es 60 V. Hallar la resistencia y la autoinducción de la
bobina.
∆????????????=∆????????????
????????????+∆????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????+???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????????????????=????????????∗ ????????????+???????????? ∗ ????????????????????????
????????????????????????=????????????∗ ???????????? − ???????????? ∗ ????????????????????????
Resolviendo el sistema:
200=10*R ; ????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????
=???????????????????????? ????????????
????????????=
????????????????????????????????????−????????????∗????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ????????????

76. Determinar Enel circuito de la figura
a) La variación de la intensidad de corriente con el tiempo en cada inductor y en la resistencia en el momento justo después de cerrar el interruptor.
b) ¿Cuál es la corriente final? (Véase problema 92 y utilizar los resultados del
mismo).

a) Según el problema 92:
????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
+
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
+
????????????
????????????
;
????????????
????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ; ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????.????????????????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
En el momento de cerrar el interruptor, t = 0:
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????/???????????? enla resistencia i para el conjunto de las dos
inducciones.
Para las inducciones en particular a t = 0:
????????????????????????
????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????=???????????????????????? ????????????
???????????????????????? ????????????????????????
(????????????=???????????? ????????????????????????)=
????????????????????????
????????????( ???????????? ????????????????????????)
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????
=????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????

????????????????????????
????????????????????????
(????????????=???????????? ????????????????????????)=
????????????????????????
????????????( ???????????? ????????????????????????)
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????
=????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????

b) ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????

77. Para el circuito de la figura, determinar el tiempo En el cual la disipación de potencia
en la resistencia es igual al ritmo con que la energía magnética se almacena en el
inductor. L= 5,0 mH ; R= 15,0 Ω, ????????????
????????????=???????????????????????? V.

????????????=
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????

????????????????????????
????????????????????????
=???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

En la resistencia:
????????????=????????????
????????????
∗ ???????????? ????????????
????????????
∗ ????????????= ???????????? ∗ ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
; ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

Para la intensidad tenemos:
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????� ;
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????� ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????=????????????
−
????????????∗????????????
???????????? ;????????????=???????????? ∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????=−????????????????????????�
???????????? ????????????
�;????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????(????????????)
????????????=
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????
∗????????????????????????(????????????)=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????

78. Enel circuito de la figura, sea ????????????
????????????=???????????????????????? VΩ y L=0,6 H. El interruptor está
cerrado en el instante t = 0. Desde el instante t = 0 a t = ????????????, hallar
a) La energía total suministrada por la batería.
b) La energía total disipada en forma de calor en la resistencia.
c) La ene rgía almacenada en la bobina. (Indicación: Hallar la velocidad de variación
en función del tiempo e integrar desde t = 0 hasta t = ????????????=????????????/????????????).

a) La energía suministrada por la batería es:
????????????= ????????????
????????????∗ ???????????? ∗????????????
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗ ????????????= ????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗ �???????????? −????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
Integrando:

????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????∗∫�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
???????????? ????????????
????????????
∗(
????????????
????????????
−�−
????????????
????????????
∗????????????
−????????????
+
????????????
????????????
�=
????????????
???????????? ????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????

????????????=
????????????????????????
????????????
????????????
????????????
∗
????????????.????????????
????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
b) Para la resistencia:
????????????=????????????
????????????
∗????????????∗???????????? ????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????
=
????????????
???????????? ????????????
????????????
∗�????????????+????????????
−????????????∗
????????????∗????????????
????????????−????????????∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????=
????????????
???????????? ????????????
????????????
∗∫�????????????+????????????
−????????????∗
????????????∗????????????
????????????−????????????∗????????????
−
????????????∗????????????
????????????�∗????????????????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????∗�????????????∗
????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
�=
????????????
???????????? ????????????∗????????????
????????????
????????????
∗�
????????????
????????????
−
????????????
????????????
−
????????????
????????????∗????????????
????????????
�
????????????=
????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????
????????????
????????????
∗�
????????????
????????????
−
???????????? ????????????
−
????????????
????????????∗????????????
????????????
�=????????????.???????????????????????? ????????????
c) ????????????=
???????????? ????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=
???????????? ????????????
∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????∗�????????????−????????????
−
????????????∗????????????
????????????�
????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ????????????=
????????????
????????????

????????????�
????????????
????????????
�=
????????????
????????????
∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????∗�????????????−????????????
−
????????????∗
????????????
????????????
????????????�
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????∗(????????????−????????????
−????????????
)
????????????

????????????�
????????????
????????????
�=
????????????
????????????
∗????????????.????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−????????????
�
????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????

Problemas generales

79. Dos imanes en forma de barra, idénticos, se dejan caer desde alturas iguales. El imán
A se deja caer sobre tierra pura, mientras que el imán B cae sobre una placa
metálica. ¿Cuál imán llega antes al suelo?
a) Imán A.
b) Imán B.
c) Ambos llegan al mismo tiempo.
d) El que tenga el polo N hacia el suelo.
e) El que tenga el polo S hacia el suelo.
Al caer el imán sobre la placa metálica. Ésta detecta un campo magnético variable,
sobre ella e producen corrientes inducidas, que tienden a oponerse a la variación de
campo magnético que se produce en la caída, estas corrientes producen un campo
magnético opuesto al del imán, de forma que se produce una fuerza de repulsión
entre la placa i el imán en caída. Llega antes el imán A.

80. Verdadero o falso:
a) La fem inducida en un circuito es proporcional al flujo magnético que atraviesa el
circuito.
b) Puede existir una fem en un instante en el que el flujo a través del circuito es
cero.
c) La ley de Lenz está relacionada con la conservación de la energía.
d) La inductancia de un solenoide es proporcional a la variación con el tiempo de la
corriente que circula por él.
e) La densidad de energía magnética en un punto del espacio es proporcional al
cuadrado del campo magnético en dicho punto.
a) Falsa, la fem inducida es proporcional al cambio en el flujo del campo magnético
que lo atraviesa.

b) Cierta, siempre que el flujo está cambiando.
c) Cierta.
d) La inductancia de un solenoide está determinada por su longitud, área de sección
transversal, número de vueltas por unidad de longitud y la permeabilidad de la
materia en su núcleo. Falsa.
e) Cierta.

81. Una barra magnética se deja caer dentro de un tubo largo vertical. Si el tubo es
metálico, el imán alcanza rápidamente una velocidad límite, pero si el tubo es de
cartón, no ocurre así. ¿Por qué?

1. Durante el descenso del imán, el flujo del campo magnético se incrementa
en la región próxima al polo Sur del imán. Se origina en el tubo una
corriente inducida que se opone al incremento de flujo, en el sentido
indicado en la parte (1) de la figura.
2. El flujo del campo magnético disminuye en la región próxima al polo Norte,
se origina en el tubo una corriente inducida que se opone a la disminución
del flujo, en el sentido indicado en la parte (1) de la figura
El momento magnético del imán y el de las corrientes inducidas está
representado en la parte (2) de la figura.

En la figura (3), mostramos la equivalencia entre corrientes (espiras o
solenoides) e imanes, de modo que la corriente inducida por delante del polo
Norte equivale a un imán de polaridad opuesta, por lo que se repelen. Sin
embargo, la corriente inducida por detrás del imán tiene la misma
polaridad por lo que se atraen.

El imán que desciende por el tubo metálico es repelido por delante y atraído
por detrás. Esta es la explicación cualitativa de la fuerza de frenado en
términos de la ley de Lenz.
82. Una bobina circular de radio 3,0 cm posee 6 vueltas. Un campo magnético
B= 5000 G es perpendicular a la bobina.
a) Determinar el flujo magnético que atraviesa la bobina.
b) Determinar el flujo magnético a través de la bobina cuando ésta forma
un ángulo de 20º con el campo magnético.
a) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????.????????????∗ ???????????? ∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????????????????
b) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ????????????????????????=????????????∗????????????.????????????∗ ???????????? ∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????????????????

8
3. El campo magnético indicado en el problema 82 se reduce uniformemente a cero en
1,2 s. determinar la fem inducida en la bobina cuando
a) El campo magnético es perpendicular a la bobina.
b) El campo magnético forma un ángulo de 20º con la normal a la bobina.
Nota: En el libro pone problema 5, se refiera al problema 82 . a) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????????????????
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????.????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
b) |????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
=
????????????∗????????????.????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗ ????????????????????????
−????????????
????????????
84. Una bobina de 100 vueltas tiene un radio de 4,0 cm y una resistencia de 25 Ω . ¿ A
qué velocidad deberá variar un campo magnético perpendicular a la misma para
producir en ella una corriente de 4,0 A?
|????????????|=???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ????????????????????????=???????????????????????????????????? ????????????
|????????????|=
????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
;
????????????????????????
????????????????????????
=
|????????????|
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
=
|????????????|
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????

85. La espira rectangular de un generador de corriente alterna de dimensiones a y b tiene N vueltas. Esta espira se conecta a unos anillos colectores (figura) y gira con
una velocidad angular ω en el interior de un campo magnético uniforme B.
a) Demostrar que la diferencia de potencial entre los dos anillos es ????????????=
???????????? ???????????? ???????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ????????????.
b) Si a = 1,0 cm, b = 2,0 cm, N= 1000 y B = 2 T, ¿con qué frecuencia angular ω deberá
hacerse girar la bobina para generar una fem cuyo máximo valor sea 110 V?

a) |????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=�
????????????
????????????????????????
(???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)�
|????????????|=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)
b) ????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????∗ ???????????? ; ????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????

86. Antes de 1960, la intensidad del campo magnético se medía con un aparato que
disponía de una pequeña bobina de muchas vueltas que giraba alrededor de un eje
perpendicular al campo magnético a gran velocidad y conectada a un voltímetro de
c. a. por medio de anillos colectores como los que muestra la figura del problema
anterior. Supongamos que esta bobina tiene 400 vueltas y un área de 1,5 cm
2
. La
bobina gira a razón de 180 rpm. Si la intensidad del campo magnético es 0,45 T,
determinar la máxima fem inducida en la bobina y la orientación que ésta debe tener
respecto al campo para que tenga lugar la fem máxima.
|????????????|=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)
La fem será máxima cuando sen(ω*t) =1; cos(ω*t)=0 ; por tanto, cuando el flujo sea
cero. Por tanto, cuando el plano de la bobina sea paralelo al campo.
????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗ ????????????.????????????∗ ????????????????????????
−????????????
∗ ????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
∗
????????????????????????????????????????????????
???????????????????????? ????????????
∗
???????????? ∗ ???????????? ????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????????????????

????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????

8
7. Demostrar que en el caso de dos bobinas L
1 y L2 conectadas en serie, de tal modo que
ninguno de los flujos de una de ellas atraviese a la otra, la autoinducción efectiva viene dada L
ef= L1+L2.
????????????=????????????
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

Al estar en serie por el circuito pasa una única intensidad.
????????????=????????????
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
+????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????????????????=????????????
????????????+????????????
????????????

8
8. La bobina rectangular de la figura posee 80 vueltas y sus dimensiones son 25 cm de
anchura y 30 cm de longitud. Está localizada en un campo magnético B = 1,4 T
dirigido hacia fuera de la página como se indica, ocupando sólo la mitad de la bobina
en la región del campo magnético. La resistencia de la bobina es de 24 Ω. Determinar
la magnitud y sentido de la corriente inducida si la bobina se mueve con una
velocidad de 2 m/s
a) Hacia la derecha.
b) Hacia arriba.
c) Hacia la izquierda.
d) Hacia abajo.

a) No hay variación del flujo, fem 0. I = 0. b) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗(
????????????
????????????
+???????????? ∗????????????)
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????????????????∗ ????????????.???????????? ∗????????????.????????????????????????∗ ????????????=???????????????????????? ????????????

El flujo de B entrante desde abajo aumenta, la fem inducida tendrá que
producir un campo magnético hacia dentro , la corriente circulará en el
sentido de las agujas del reloj.
????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
c) No hay variación del flujo, fem 0. I = 0.
d) ????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????∗(
???????????? ????????????
−????????????∗????????????)
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????=???????????????????????? ????????????
El flujo de B entrante desde abajo disminuye, la fem inducida tendrá que
producir un campo magnético entrante de sde abajo, la corriente circulará en
el sentido contrario al de las agujas del reloj.
????????????=
|????????????|
????????????
=
???????????????????????? ????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????

89. Suponer que la bobina del problema 88 gira alrededor de su eje central vertical
comuna velocidad angular constante de 2 rad/s. determinar la corriente inducida en
función del tiempo.
????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
El área afectada por cambio de flujo es 0.25*0,15.
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
=
????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)

90. Suponer que la bobina del problema 88 gira alrededor de su línea central horizontal
comuna velocidad angular constante de 2 rad/s. Determinar la corriente inducida en
función del tiempo.
????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
El área afectada por cambio de flujo es 0.25*0,15.
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=
|????????????|
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
=
????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
91. Demostrar que si el flujo que atraviesa cada vuelta de una bobina de N vueltas y resistencia R varía desde ????????????
???????????????????????? hasta ????????????
???????????????????????? la carga total que pasa por la bobina viene
dada por ???????????? =????????????∗(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)/????????????.
|????????????|=�
????????????????????????
????????????????????????
�=????????????∗
|????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????|
????????????????????????

????????????=
????????????????????????
????????????????????????
=
|????????????|
????????????
=????????????∗
|????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????|
????????????????????????

????????????????????????=????????????∗
|????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????|
????????????

92. Demostrar que en el caso de dos bobinas L 1 y L2 conectadas en paralelo de modo que
el flujo de una de ellas no atraviese a la otra, la autoinducción efectiva viene dada
por
????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
+
????????????
????????????
????????????
.
????????????=????????????
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????

????????????=????????????
????????????+????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????????????????
????????????
????????????????????????
+
????????????????????????
????????????
????????????????????????

????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
+
????????????
????????????
????????????
????????????

Al estar en paralelo, ????????????=????????????
????????????=????????????
????????????.
????????????
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
+
????????????
????????????
????????????

93. Un solenoide largo posee n vueltas por unidad de longitud y transporta una corriente
dada ????????????=????????????
????????????????????????????????????????????????(????????????????????????). El solenoide tiene una sección transversal circular de radio R.
Determinar el campo eléctrico inducido en un radio r medido desde el eje del
solenoide para
a) r<R.
b) r>R.
a) Aplicando la ley de Faraday:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗=−
????????????????????????
????????????????????????

????????????∗????????????∗????????????∗????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=−????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�
????????????=−
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗ ???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)
b) ????????????∗????????????∗????????????∗????????????=−
????????????????????????
????????????????????????
=−
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=−????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�
????????????=−
???????????? ????????????
∗
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗ ???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)

94. Un alambre hueco de paredes delgadas de radio a tiene su eje a lo largo del eje z y
transporta la corriente I en el sentido positivo de z. Un segundo alambre idéntico al
anterior con su eje a lo largo de la línea x =d, transporta la corriente I en el sentido
negativo de z.
a) Determinar el flujo magnético por unidad de longitud que atraviesa el espacio
comprendido entre los alambres en el plano xz.
b) Silos extremos de los alambres están conectados de modo que los alambres
paralelos forman los lados de una espira, determinar la autoinducción por
unidad de longitud de la espira.
a)

????????????��⃗
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗ ????????????⃗

????????????��⃗
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗(????????????−????????????)
∗ ????????????⃗

????????????��⃗=????????????��⃗
????????????+????????????��⃗
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ �
????????????
????????????
+
????????????
(????????????−????????????)
� ∗ ????????????⃗

????????????
????????????=∮????????????��⃗∗ ????????????????????????��⃗
????????????
=∮
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ �
????????????
????????????
+
????????????
(????????????−????????????)
� ∗ ????????????⃗∗ ???????????? ∗????????????????????????∗
????????????
????????????⃗

????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ ???????????? ∗(∫�
????????????
????????????
� ∗????????????????????????
????????????−
????????????
????????????
????????????
????????????
+∫�
????????????
(????????????−????????????)
� ∗????????????????????????
????????????
????????????−????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗ ???????????? ∗ �????????????????????????�
(????????????−????????????)
????????????
�+????????????????????????�
????????????−????????????
????????????
��
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗ �????????????????????????�
(????????????−????????????)
????????????
��
b) ????????????
????????????=???????????? ∗ ????????????;????????????=
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗ �????????????????????????�
(????????????−????????????)
????????????
��

95. Un cable coaxial se compone de dos cilindros conductores de paredes muy delgadas
cuyos radios son r
1 y r2 (figura). La corriente I circula en un sentido por el cilindro
interior y en sentido contrario por el exterior.
a) Utilizar la ley de Ampère para hallar B y demostrar que B = 0 excepto en la región
comprendida entre los conductores.
b) Demostrar que la densidad de energía magnética en la región comprendida entre
los cilindros es
????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????
????????????

c) Hallar la energía magnética de un elemento de volumen de la corteza cilíndrica de longitud l y volumen ????????????
????????????=???????????????????????????????????????????????????????????????????????? e inte4grar el resultado para demostrar
que la energía magnética total en el volumen de longitud l comprendido entre los cilindros es
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????
???????????? ????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�
d) Utilizar el resultado de la parte (c) y ????????????
????????????=????????????/????????????????????????????????????
????????????
para demostrar que la
autoinducción por unidad de longitud es
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�

a) Para r>r
2 la corriente total interior es nula, aplicando la ley de Ampère B =0.
Para la zona entre cilindros:
???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=????????????
????????????∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????

b) ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
�
????????????
∗
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

c) ????????????????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗ ???????????? ∗????????????????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
∗∫
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�
d)
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�=
????????????
????????????
∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????

????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�

96. En la figura del problema anterior calcular el flujo que atraviesa un área rectangular
de lados l y ????????????
????????????− ????????????
???????????? comprendida entre los conductores. Demostrar que la
autoinducción por unidad de longitud puede hallarse a partir de ????????????=????????????
???????????? (Véase
parte (b) del problema 95).
????????????????????????=???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗???????????????????????? ;
????????????????????????
????????????
=???????????? ∗????????????????????????=????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗∫
????????????????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�
????????????=
????????????
????????????
;
????????????
????????????
=
????????????/????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????�
????????????
????????????
????????????
????????????
�

97. La figura muestra una espira rectangular de alambre de 0,30 m de anchura y 1,50 m
de longitud en el plano vertical y perpendicular a un campo magnético uniforme 0,40
T dirigido hacia dentro como se indica. La porción de espira que no se encuentra en
el campo magnético tiene 0,10 m de longitud. La resistencia de la espira es 2,0 Ω y su
masa 0,50 kg. La espira se deja libre desde el reposo En el tiempo t = 0.
a) ¿Cuál es la magnitud y sentido de la corriente inducida cuando la velocidad de la
espira hacia abajo es v?
b) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la espira por causa de esta corriente?
c) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la espira?
d) Expresar la ecuación del movimiento de la espira.
e) Deducir una expresión para la velocidad de la espira en función del tiempo.
f) Integrar la expresión obtenida en la parte (e) para calcular el desplazamiento en
función del tiempo.
g) Del resultado obtenido en la parte (f) calcular t para y = 1,40 m, es decir, el
tiempo que la espira deja la región del campo magnético.
h) Determinar la velocidad de la espira en ese instante.
i) ¿Cuál sería la velocidad de la espira después de una caída de 1,40 m si B = 0?
Tomamos anchura 0.3 m en lugar de 0.1 m, en caso contrario no habría solución
para el apartado g.

a) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????

Para contrarrestar la disminución del flujo hacia dentro del papel creado por
el movimiento la corriente inducida ha de crear un campo magnético hacia
dentro del papel, por tanto, circulará en sentido de las agujas del reloj.

b) ????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
La fuerza sobre la espira, aplicando la regla de la mano izquierda sobre el
segmento superior, será hacia arriba.
c) ????????????=????????????????????????−????????????
????????????=????????????∗????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
d) ????????????∗????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

e)
????????????????????????
????????????????????????
=????????????−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
Al tener una aceleración proporcional a la velocidad, tendremos una velocidad terminal que hará dv/dt=0 :
????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????????????????
????????????????????????
=????????????−
????????????∗????????????
????????????
????????????
=????????????∗�????????????−
????????????
????????????
????????????
�
????????????
�????????????−
????????????
????????????????????????
�
∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????????????????
�????????????−
????????????
????????????????????????
�
=????????????∗????????????????????????
∫
????????????????????????
�????????????−
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
=∫????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
Si hacemos:
????????????=???????????? ;????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????

∫
????????????????????????
(????????????−????????????∗????????????)
????????????
????????????
=∫????????????????????????
????????????
????????????
−
????????????
????????????
∗????????????????????????�
????????????−????????????∗????????????
????????????
�=????????????
????????????(????????????)=
????????????????????????
∗�????????????−????????????
−????????????∗????????????
�
????????????(????????????)=????????????
????????????∗�????????????−????????????
−????????????/????????????
�
Con:
????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????

f)
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗�????????????−????????????
−????????????/????????????
�
????????????????????????=????????????
????????????∗�????????????−????????????
−????????????/????????????
� *dt
∫????????????????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????∗∫�????????????−????????????
−????????????/????????????
�∗????????????????????????
????????????
????????????

????????????(????????????)=????????????
????????????∗�????????????−????????????∗�????????????−????????????
−
????????????
????????????��
g) ????????????(????????????)=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗�????????????−????????????∗�????????????−????????????
−
????????????
????????????��

????????????.????????????????????????=
????????????.????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????.????????????
????????????
∗????????????.
????????????????????????
????????????
∗�????????????−
????????????.????????????∗????????????
????????????.????????????
????????????
∗????????????.
????????????
????????????
∗�????????????−????????????
−
????????????
????????????��
????????????.????????????????????????=????????????????????????????????????.????????????????????????∗�????????????−????????????????????????.????????????????????????∗�????????????−????????????
−
????????????
????????????????????????.????????????????????????��
Buscando la solución numérica:
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????

h) ????????????(????????????.????????????????????????????????????)=????????????????????????????????????.????????????????????????∗ �???????????? −????????????
−
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????.????????????????????????�=????????????.???????????????????????? ????????????/????????????
i) Espira en caída libre.
????????????.????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
;????????????=�
????????????∗????????????.????????????????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
Prácticamente el mismo resultado.
????????????(????????????.????????????????????????????????????)=????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????/????????????

E
n algunas ediciones los valores numéricos de la espira son diferentes:
anchura l=0,3 m, m = 0.05 kg.

98. La espira del problema 97 se sujeta a un muelle de plástico de constante k (figura)
a) Cuando B=0 el período de las oscilaciones verticales de pequeña amplitud del
sistema masa muelle es de 0,8 s. Determinar la constante del muelle k.
b) Cuando ???????????? ≠????????????, se induce una corriente en la espira como resultado de su
movimiento arriba y abajo. Deducir una expresión para la corriente inducida en función del tiempo cuando B = 0,40 T.
c) Demostrar que la corriente inducida actúa como un mecanismo de
amortiguamiento.
d) Determinar el valor del campo magnético para el cual el valor de Q del sistema
masa muelle es 100.

a) ????????????
????????????
=???????????? ∗ ????????????
????????????
∗
????????????
????????????
;????????????=???????????? ∗ ????????????
????????????
∗
????????????
????????????
????????????
=???????????? ∗ ????????????
????????????
∗
????????????.????????????
????????????.????????????
????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????/????????????
b) ????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)
????????????=????????????
????????????∗ ???????????? ∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????

c) La oscilación de la espira produce una fuerza de amortiguación:
????????????
????????????=???????????? ∗ ???????????? ∗ ????????????=−???????????? ∗
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)=−
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)
????????????
????????????=−=−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
∗ ????????????=− ???????????? ∗ ???????????? ;???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????

d) Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento alrededor del punto de equilibrio del muelle:

????????????
????????????− ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????

− ???????????? ∗ ???????????? − ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????

− ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????
− ???????????? ∗ ????????????=???????????? ∗
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????

????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
+
????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
+
????????????
????????????
∗ ????????????=????????????
La solución de la ecuación diferencial es:
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)∗????????????
−�
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�

????????????=− �???????????? ∗ ????????????
????????????∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)+
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????????????????????????????(???????????? ∗????????????)�∗????????????
−�
????????????
????????????∗????????????
∗????????????�

Para el movimiento amortiguado:
????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????=�
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=�
????????????∗????????????∗????????????.????????????∗????????????
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????.????????????
????????????
=????????????.???????????? ????????????

99. Demostrar que la inductancia efectiva de dos inductores L
1 y L2 conectados en serie y
muy próximos es ????????????
????????????????????????=????????????
????????????+????????????
????????????±???????????? ????????????. ¿Cuándo debe utilizarse en esta expresión el
signo más o menos?

????????????
????????????=????????????
????????????∗ ????????????+???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗ ????????????+???????????? ∗ ????????????
????????????
????????????=−
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=−????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
− ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????=−
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=−????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
− ???????????? ∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????=????????????
????????????+????????????
????????????=−(????????????
????????????+????????????
????????????+???????????? ∗ ????????????)∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????????????????=????????????
????????????+????????????
????????????+???????????? ∗ ????????????
Dependiendo de la convención de puntos (la dirección del flujo magnético), la
inductancia mutua puede sumarse o restarse de la inductancia total.

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