Integral calculus formula sheet

Formulas

1. Integral Calculus Formula Sheet 
Derivative Rules: 
0
d
c
dx
 

1nnd
xnx
dx

    
sin cos
d
x x
dx

sec sec tan
d
x xx
dx


2
tan sec
d
x x
dx
 
cos sin
d
x x
dx

csc csc cot
d
x xx
dx


2
cot csc
d
x x
dx
 
 ln
xxd
aaa
dx



x xd
ee
dx

 
 
dd
cf x c f x
dx dx

   
ddd
fx gx fx gx
dx dx dx
 

fg f gfg



2
fg fgf
gg

  



  
d
fgx f gx gx
dx

 
Properties of Integrals: 
() ()kf u du k f u du
 () () () ()fu gu du f udu gudu  

() 0
a
a
fxdx
  () ()
ba
ab
fxdx f xdx
 
() () ()
cbc
aab
fxdx f xdx f xdx
 
1
()
b
ave
a
f fxdx
ba


 
0
() 2 ()
aa
a
fxdx f xdx


 if f(x) is even  () 0
a
a
fxdx


 if f(x) is odd 
()
()
( ()) () ()
fbb
afa
gfx f xdx gudu 
  udv uv vdu
 
 
 
Integration Rules: 
du u C

1
1
n
n
u
udu C
n




ln
du
uC
u


uu
edu e C

1
ln
uu
adu a C
a

 
sin cosudu u C 
cos sinudu u C
2
sec tanudu u C
2
csc cotuuC 
csc cot cscuudu uC

sec tan secuudu uC 
 
22
1
arctan
du u
C
au a a



 

22
arcsin
du u
C
aau




22
1
sec
udu
arc C
aauu a

 
 

 
 

2. Fundamental Theorem of Calculus: 
   '
x
ad
Fxftdtfx
dx  where 
ft is a continuous function on [a, x]. 
  
b
a
fxdx Fb Fa , where F(x) is any antiderivative of f(x).  
 
Riemann Sums: 
11
nn
ii
ii
ca c a


111
nnn
ii i i
iii
ab a b

   
1
() lim ( )
b n
n
ia
fxdx f a i x x




n
ab
x


 
1
1
n
i
n


1
(1)
2
n
i
nn
i




2
1(1)(21)
6
n
i
nn n
i




2
3
1
(1)
2
n
i
nn
i







 height of th rectangle width of th rectangle
i
ii 

Right Endpoint Rule:





n
i
n
ab
n
ab
n
i
iafxxiaf
1
)()(
1
)()()()(
Left Endpoint Rule:
() ()
11
((1))() ( )((1) )
nn
ba ba
nn
ii
fa i x x fa i


  
Midpoint Rule:
 
(1) ( ) (1) ( )
22
11
()()()( )
nn
ii ba iiba
nn
ii
fa x x fa
   

 
 
Net Change: 
Displacement:  ()
b
a
vxdx
 Distance Traveled: 
()
b
a
vx dx
 
0
() (0) ( )
t
st s vxdx 
 
0
() (0) ( )
t
Qt Q Q xdx 
 
Trig Formulas: 

2 1
2
sin ( ) 1 cos(2 )
x x 
sin
tan
cos
x
x
x
  
1
sec
cos
x
x
  
cos( ) cos( )x x  
22
sin ( ) cos ( ) 1xx

2 1
2
cos ( ) 1 cos(2 )
x x 
cos
cot
sin
x
x
x
  
1
csc
sin
x
x
  
sin( ) sin( )x x  
22
tan ( ) 1 sec ( )x x
 
Geometry Fomulas: 
Area of a Square: 
2
As 
Area of a Triangle: 
1
2
Abh  
Area of an 
Equilateral Trangle:
23
4
A s 
Area of a Circle: 
2
Ar  
Area of a 
Rectangle: 
Abh  
  

3. Areas and Volumes: 
Area in terms of x (vertical rectangles): 
()
b
a
top bottom dx
 
Area in terms of y (horizontal rectangles): ()
d
c
right left dy
 General Volumes by Slicing: 
Given: Base and shape of Cross‐sections 
()
b
a
VAxdx
 if slices are vertical 
()
d
c
VAydy
 if slices are horizontal 
 
Disk Method: 
For volumes of revolution laying on the axis with 
slices perpendicular to the axis 

2
()
b
a
VRxdx
 if slices are vertical 

2
()
d
c
VRydy
 if slices are horizontal 
Washer Method: 
For volumes of revolution not laying on the axis with 
slices perpendicular to the axis 

22
() ()
b
a
VRx rxdx
 if slices are vertical 

22
() ()
d
c
VRy rydy
 if slices are horizontal 
Shell Method: 
For volumes of revolution with slices parallel to the 
axis 
2
b
a
Vrhdx
 if slices are vertical 
2
d
c
Vrhdy
 if slices are horizontal 
 
Physical Applications: 
Physics Formulas  Associated Calculus Problems 
Mass: 
Mass = Density * Volume      (for 3‐D objects) 
Mass = Density * Area           (for 2‐D objects) 
Mass = Density * Length       (for 1‐D objects) 
Mass of a one‐dimensional object with variable linear 
density: 

()()
bb
distanceaa
Mass linear density dx x dx
 
 
Work: 
Work = Force * Distance 
Work = Mass * Gravity * Distance   
Work = Volume * Density * Gravity * Distance 
Work to stretch or compress a spring (force varies): 

'
() ()
bbb
Hooke s Lawaaa
for springs
Work force dx F x dx kx dx
 
Work to lift liquid: 
()()( )( )
9.8* * ( )*( ) ( )
d
c
volume
d
c
Work gravity density distance areaof a slice dy
WAyaydyinmetric



 
Force/Pressure: 
Force = Pressure * Area 
Pressure = Density * Gravity * Depth 
Force of water pressure on a vertical surface: 
()()()()
9.8* *( )* ( ) ( )
d
c
area
d
c
Force gravity density depth width dy
Faywydyinmetric



  
 
 

4. Integration by Parts: 
 
Knowing which function to call u and which to call dv takes some practice.  Here is a general guide: 
   u   Inverse Trig Function  (
1
sin ,arccos ,xx

etc) 
     Logarithmic Functions  (
log3 ,ln( 1),xx
etc) 
     Algebraic Functions  (
3
,5,1/,xx x etc ) 
     Trig Functions     (
sin(5 ),tan( ),xx etc ) 
   dv   Exponential Functions  (
33
,5 ,
xx
e etc ) 
Functions that appear at the top of the list are more like to be u, functions at the bottom of the list are more like to be dv. 
 
Trig Integrals: 
Integrals involving sin(x) and cos(x):  Integrals involving sec(x) and tan(x): 
1. If the power of the sine is odd and positive: 
Goal:  cosux  
i. Save a 
sin( )du x dx    
ii. Convert the remaining factors to 
cos( )
x(using 
22
sin 1 cosx x.)   
1. If the power of  
sec( )
xis even and positive:  
Goal:
tanux
  
i. Save a 
2
sec ( )du x dx    
ii. Convert the remaining factors to 
tan( )
x (using 
22
sec 1 tanx x.)   
2. If the power of the cosine is odd and positive:
Goal:
sinux 
i. Save a 
cos( )du x dx  
ii. Convert the remaining factors to 
sin( )
x(using 
22
cos 1 sinx x.)   
2. If the power of 
tan( )
xis odd and positive: 
Goal:
sec( )ux
  
i. Save a 
sec( ) tan( )du x x dx  
ii. Convert the remaining factors to 
sec( )
x (using 
22
sec 1 tanx x.)   
3. If both  sin( )x and cos( )xhave even powers: 
Use the half angle identities:  
i. 
2
1
2
sin ( ) 1 cos(2 )
x x              
ii. 
2
1
2
cos ( ) 1 cos(2 )
x x 
 If there are no sec(x) factors and the power of 
tan(x) is even and positive, use 
22
sec 1 tan
x x
to convert one 
2
tanxto 
2
secx 

Rules for sec(x) and tan(x) also work for csc(x) and 
cot(x) with appropriate negative signsIf nothing else works, convert everything to sines and cosines. 
 
Trig Substitution: 
Expression  Substitution  Domain  Simplification 
22
au   sinua  
22

   22
cosau a   
22
au   tanua  
22

  22
secau a   
22
ua   secua   0,
2

   22
tanua a   
 
 
Partial Fractions: 
Linear factors:  Irreducible quadratic factors:
21
111 1 1
()
...
()()() () ()
mmm
Px A B Y Z
xrxrxr xr xr

  
     2222212
111 1 1
()
...
()()() ()()
mmm
PxAxBCxD WxXYxZ
xrxrxr xr xr

 
  
  
 
If the fraction has multiple factors in the denominator, we just addthe decompositions.