Interferencia y difracción.Problemas de Física.Tipler
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Sep 25, 2024
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Problemas Tipler, Interferencia y difracción. Física.
Slide Content
Interferencia y difracción
Diferencia de fase y coherencia.
1. Cuando se produce interferencia destructiva, ¿qué le ocurre a la energía de las ondas
luminosas?
La ene rgía es nula en las zonas de interferencia destructiva, pero se compensa con las
zonas de interferencia constructiva donde es dobla que en las ondas iniciales, en
definitiva la distribución de energía en el espacio no es uniforme, pero globalmente la
energía se conserva.
2. ¿Cuál de los siguientes pares de fuentes luminosos son coherentes?
a) Dos velas.
b) Una vela y su imagen en un espejo plano.
c) Dos pequeños orificios iluminados por un mismo foco.
d) Dos faros de un coche.
e) Dos imágenes de un foco puntual debidas a la reflexión en las superficies delantera y
trasera de una película de jabón.
Dos fuentes son coherentes si su diferencia de fase es constante.
Según esto la condición se cumple en los casos b, c y e.
3. a) ¿Qué diferencia de camino mínima se necesita para introducir un desplazamiento de
fase de 180
o
en una luz de 600 nm de longitud de onda?
b) ¿Qué desplazamiento de fase introducirá esta diferencia de camino en luz de 800 nm
de longitud de onda?
a) ????????????????????????????????????
????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????
b) ???????????????????????????????????? ????????????????????????∗
????????????????????????????????????
????????????
???????????????????????????????????? ????????????????????????
=????????????????????????????????????
????????????
4. Una luz de 500 nm de longitud de onda está incidiendo normalmente sobre una película
de agua de 10
-4
cm de espesor. El índice de refracción del agua es 1,33.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz en el agua?
b) ¿Cuántas longitudes de onda están contenidas en la distancia 2 t, siendo t el espesor
de la película?
c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre la onda reflejada en la parte superior de la
película y la reflejada en la interface del fondo agua-aire después de uq ha recorrido
esta distancia?
a) ????????????=
????????????
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; ????????????
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b)
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∗
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???????????????????????????????????? ????????????????????????
=????????????,????????????????????????
c) En la reflexión se produce un desfase de π rad.
La onda refractada sale con una diferencia de fase de: ????????????.????????????????????????∗(????????????∗????????????) ????????????????????????????????????
La diferencia total es:
????????????=????????????+????????????.????????????????????????∗(????????????∗????????????)=????????????????????????.????????????∗???????????? ????????????????????????????????????
Buscando la diferencia con el múltiplo de 2 π más cercano (12 π) será:
????????????????????????∗????????????−????????????????????????.????????????∗????????????=????????????.????????????∗???????????? ????????????????????????????????????
Diferencia de fase y coherencia.
1. Cuando se produce interferencia destructiva, ¿qué le ocurre a la energía de las ondas
luminosas?
La ene rgía es nula en las zonas de interferencia destructiva, pero se compensa con las
zonas de interferencia constructiva donde es dobla que en las ondas iniciales, en
definitiva la distribución de energía en el espacio no es uniforme, pero globalmente la
energía se conserva.
2. ¿Cuál de los siguientes pares de fuentes luminosos son coherentes?
a) Dos velas.
b) Una vela y su imagen en un espejo plano.
c) Dos pequeños orificios iluminados por un mismo foco.
d) Dos faros de un coche.
e) Dos imágenes de un foco puntual debidas a la reflexión en las superficies delantera y
trasera de una película de jabón.
Dos fuentes son coherentes si su diferencia de fase es constante.
Según esto la condición se cumple en los casos b, c y e.
3. a) ¿Qué diferencia de camino mínima se necesita para introducir un desplazamiento de
fase de 180
o
en una luz de 600 nm de longitud de onda?
b) ¿Qué desplazamiento de fase introducirá esta diferencia de camino en luz de 800 nm
de longitud de onda?
a) ????????????????????????????????????
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∗
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b) ???????????????????????????????????? ????????????????????????∗
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????????????
4. Una luz de 500 nm de longitud de onda está incidiendo normalmente sobre una película
de agua de 10
-4
cm de espesor. El índice de refracción del agua es 1,33.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz en el agua?
b) ¿Cuántas longitudes de onda están contenidas en la distancia 2 t, siendo t el espesor
de la película?
c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre la onda reflejada en la parte superior de la
película y la reflejada en la interface del fondo agua-aire después de uq ha recorrido
esta distancia?
a) ????????????=
????????????
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???????????????????????????????????? ????????????????????????
=????????????,????????????????????????
c) En la reflexión se produce un desfase de π rad.
La onda refractada sale con una diferencia de fase de: ????????????.????????????????????????∗(????????????∗????????????) ????????????????????????????????????
La diferencia total es:
????????????=????????????+????????????.????????????????????????∗(????????????∗????????????)=????????????????????????.????????????∗???????????? ????????????????????????????????????
Buscando la diferencia con el múltiplo de 2 π más cercano (12 π) será:
????????????????????????∗????????????−????????????????????????.????????????∗????????????=????????????.????????????∗???????????? ????????????????????????????????????
5. Dos fuentes coherentes de microondas que producen ondas de 1,5 cm de longitud de
onda están en el plano x y, una de ellas en el eje y en y = 15 cm y la otra en x = 3 cm, y =
14 cm. Si las fuentes están en fase, hallar la diferencia de fase ente las dos ond as cuando
llegan al origen de coordenadas.
|????????????
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????????????|=�????????????????????????−�????????????
????????????
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=????????????.????????????????????????????????????∗???????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????????????????
????????????
Interferencia en películas delgadas
6. La separación entre los anillos de Newton disminuye rápidamente cuando el diámetro de
los anillos aumenta. Explicar cualitativamente por qué ocurre esto.
Los anillos de Newton son un fenómeno de interferencia de la luz que se produce cuando
una lente convexa se coloca sobre una superficie plana, formando una delgada capa de
aire de espesor variable entre la lente y la superficie. Esta capa de aire genera un patrón
de franjas circulares concéntricas conocidas como "anillos de Newton", que alternan
entre regiones brillantes y oscuras.
Explicación cualitativa:
Espesor variable de la capa de aire: Cuando se observa la interferencia de la
luz en los anillos de Newton, el espesor de la capa de aire entre la lente y la
superficie plana cambia radialmente. A medida que se aleja del punto de
contacto (el centro de los anillos), el espesor de la capa de aire aumenta
gradualmente.
a) Condiciones de interferencia: Las franjas de los anillos se forman debido a
la interferencia constructiva (donde las ondas de luz se refuerzan) e
interferencia destructiva (donde las ondas de luz se cancelan). Las
condiciones para la interferencia constructiva y destructiva dependen del
espesor del aire t, la longitud de onda de la luz λ, y el ángulo de incidencia.
b) Relación entre el espesor y el radio de los anillos: El radio r de cada anillo
está relacionado con el espesor t de la capa de aire. En un modelo
simplificado, para interferencia de luz de longitud de onda λ, los máximos y
mínimos de interferencia ocurren cuando la diferencia de camino óptico es
un múltiplo entero o medio múltiplo de λ.
c) Crecimiento no lineal del espesor del aire con respecto al radio: El espesor t de la capa de aire no crece linealmente con el radio r; más bien, el espesor
del aire t es proporcional al cuadrado del radio ( t
∝r
2
) para superficies
esféricas en contacto. Esto significa que, para radios grandes, un pequeño
cambio adicional en el radio corresponde a un aumento mayor en el espesor
del aire.
d) Densidad creciente de los anillos con el radio: Como el espesor aumenta más rápidamente que linealmente, las diferencias en el espesor correspondientes a las diferencias de camino necesarias para la
interferencia constructiva o destructiva (es decir, para la formación de franjas claras y oscuras) se hacen más pequeñas para anillos de mayor
radio. Esto provoca que los anillos se vuelvan más cercanos entre sí a
onda están en el plano x y, una de ellas en el eje y en y = 15 cm y la otra en x = 3 cm, y =
14 cm. Si las fuentes están en fase, hallar la diferencia de fase ente las dos ond as cuando
llegan al origen de coordenadas.
|????????????
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????????????∗???????????? ????????????????????????????????????
????????????,???????????? ????????????????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗???????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????????????????
????????????
Interferencia en películas delgadas
6. La separación entre los anillos de Newton disminuye rápidamente cuando el diámetro de
los anillos aumenta. Explicar cualitativamente por qué ocurre esto.
Los anillos de Newton son un fenómeno de interferencia de la luz que se produce cuando
una lente convexa se coloca sobre una superficie plana, formando una delgada capa de
aire de espesor variable entre la lente y la superficie. Esta capa de aire genera un patrón
de franjas circulares concéntricas conocidas como "anillos de Newton", que alternan
entre regiones brillantes y oscuras.
Explicación cualitativa:
Espesor variable de la capa de aire: Cuando se observa la interferencia de la
luz en los anillos de Newton, el espesor de la capa de aire entre la lente y la
superficie plana cambia radialmente. A medida que se aleja del punto de
contacto (el centro de los anillos), el espesor de la capa de aire aumenta
gradualmente.
a) Condiciones de interferencia: Las franjas de los anillos se forman debido a
la interferencia constructiva (donde las ondas de luz se refuerzan) e
interferencia destructiva (donde las ondas de luz se cancelan). Las
condiciones para la interferencia constructiva y destructiva dependen del
espesor del aire t, la longitud de onda de la luz λ, y el ángulo de incidencia.
b) Relación entre el espesor y el radio de los anillos: El radio r de cada anillo
está relacionado con el espesor t de la capa de aire. En un modelo
simplificado, para interferencia de luz de longitud de onda λ, los máximos y
mínimos de interferencia ocurren cuando la diferencia de camino óptico es
un múltiplo entero o medio múltiplo de λ.
c) Crecimiento no lineal del espesor del aire con respecto al radio: El espesor t de la capa de aire no crece linealmente con el radio r; más bien, el espesor
del aire t es proporcional al cuadrado del radio ( t
∝r
2
) para superficies
esféricas en contacto. Esto significa que, para radios grandes, un pequeño
cambio adicional en el radio corresponde a un aumento mayor en el espesor
del aire.
d) Densidad creciente de los anillos con el radio: Como el espesor aumenta más rápidamente que linealmente, las diferencias en el espesor correspondientes a las diferencias de camino necesarias para la
interferencia constructiva o destructiva (es decir, para la formación de franjas claras y oscuras) se hacen más pequeñas para anillos de mayor
radio. Esto provoca que los anillos se vuelvan más cercanos entre sí a
medida que se alejan del centro, es decir, la separación entre los anillos
disminuye con el aumento del radio.
En resumen, la disminución de la separación entre los anillos de Newton con el
aumento del diámetro se debe a que el espesor de la capa de aire, que
determina las condiciones de interferencia, crece cuadráticamente con el radio.
Como resultado, los cambios incrementales en el espesor necesarios para las
condiciones de interferencia ocurren en radios más cercanos a medida que uno
se aleja del centro, causando que los anillos estén más juntos a medida que su
diámetro aumenta.
7. Si el ángulo de la película de aire en forma de cuña, como en la figura:
es demasiado grande, no se observan franjas. ¿Por qué?
El motivo es que las franjas están demasiado cercanas para ser resultas por el ojo.
8. ¿Por qué debe ser delgada una película que se utiliza para observar colores de
interferencia?
Una película debe ser delgada para observar colores de interferencia porque
los efectos de interferencia dependen de la diferencia en las longitudes de los
caminos ópticos recorridos por los rayos de luz reflejados en las dos superficies
de la película. La delgadez de la película permite que estas diferencias de
camino sean lo suficientemente pequeñas como para que la interferencia se
produzca dentro del rango visible de longitudes de onda de la luz, generando
así los colores observables.
Explicación detallada:
1. Interferencia en películas delgadas: La interferencia en películas
delgadas ocurre cuando la luz incide sobre una capa delgada de
material, como una burbuja de jabón o una capa de aceite sobre el agua.
Parte de la luz se refleja en la superficie superior de la película, y otra
parte penetra en la película, se refleja en la superficie inferior y luego
emerge de nuevo hacia el aire. La interferencia entre estas dos ondas
reflejadas puede ser constructiva o destructiva dependiendo de la
diferencia en el camino óptico que han recorrido.
2. Condiciones de interferencia: Para que ocurra interferencia
constructiva (colores brillantes) o destructiva (colores oscuros), la
diferencia en el camino óptico entre las ondas reflejadas debe ser un
múltiplo entero o medio múltiplo de la longitud de onda de la luz. Esta
disminuye con el aumento del radio.
En resumen, la disminución de la separación entre los anillos de Newton con el
aumento del diámetro se debe a que el espesor de la capa de aire, que
determina las condiciones de interferencia, crece cuadráticamente con el radio.
Como resultado, los cambios incrementales en el espesor necesarios para las
condiciones de interferencia ocurren en radios más cercanos a medida que uno
se aleja del centro, causando que los anillos estén más juntos a medida que su
diámetro aumenta.
7. Si el ángulo de la película de aire en forma de cuña, como en la figura:
es demasiado grande, no se observan franjas. ¿Por qué?
El motivo es que las franjas están demasiado cercanas para ser resultas por el ojo.
8. ¿Por qué debe ser delgada una película que se utiliza para observar colores de
interferencia?
Una película debe ser delgada para observar colores de interferencia porque
los efectos de interferencia dependen de la diferencia en las longitudes de los
caminos ópticos recorridos por los rayos de luz reflejados en las dos superficies
de la película. La delgadez de la película permite que estas diferencias de
camino sean lo suficientemente pequeñas como para que la interferencia se
produzca dentro del rango visible de longitudes de onda de la luz, generando
así los colores observables.
Explicación detallada:
1. Interferencia en películas delgadas: La interferencia en películas
delgadas ocurre cuando la luz incide sobre una capa delgada de
material, como una burbuja de jabón o una capa de aceite sobre el agua.
Parte de la luz se refleja en la superficie superior de la película, y otra
parte penetra en la película, se refleja en la superficie inferior y luego
emerge de nuevo hacia el aire. La interferencia entre estas dos ondas
reflejadas puede ser constructiva o destructiva dependiendo de la
diferencia en el camino óptico que han recorrido.
2. Condiciones de interferencia: Para que ocurra interferencia
constructiva (colores brillantes) o destructiva (colores oscuros), la
diferencia en el camino óptico entre las ondas reflejadas debe ser un
múltiplo entero o medio múltiplo de la longitud de onda de la luz. Esta
diferencia de camino óptico depende del espesor de la película, el índice
de refracción del material y la longitud de onda de la luz incidente.
3. Películas delgadas y longitudes de onda visibles: Los colores visibles
corresponden a longitudes de onda de luz que van aproximadamente de
400 nm (violeta) a 700 nm (rojo). Para observar colores de interferencia,
las diferencias de camino óptico causadas por la reflexión en una
película delgada deben ser comparables a estas longitudes de onda
visibles. Si la película es demasiado gruesa, la diferencia de camino
óptico puede ser mucho mayor que las longitudes de onda visibles, lo
que llevaría a la interferencia de múltiples órdenes. Esto podría hacer
que los colores de interferencia se superpongan y se mezclen, resultando
en un aspecto grisáceo o blanco sin colores distintivos.
4. Evitar la superposición de órdenes múltiples: Cuando una película es
delgada, los órdenes de interferencia están bien separados, y las
diferencias de camino óptico coinciden con las longitudes de onda de la
luz visible. Esto significa que para diferentes longitudes de onda
(colores), las condiciones de interferencia serán diferentes, lo que
permite ver colores distintos en diferentes áreas de la película. En
cambio, si la película es más gruesa, múltiples órdenes de interferencia
pueden superponerse para cada longitud de onda, lo que reduce la
saturación y la claridad de los colores observados.
5. Cambio en el espesor y colores observados: En películas
extremadamente delgadas, incluso pequeños cambios en el espesor
causan cambios significativos en la interferencia de la luz, lo que da
como resultado un rango de colores vivos y cambiantes. Esto es lo que se
observa en burbujas de jabón o películas de aceite muy delgadas sobre
el agua, donde las variaciones en el espesor de la película causan
patrones de colores vibrantes y dinámicos.
En resumen, una película debe ser delgada para observar colores de
interferencia porque esto asegura que las diferencias de camino óptico sean
comparables a las longitudes de onda de la luz visible. Esto permite que los
colores resultantes de la interferencia sean vívidos y distinguibles, sin la mezcla
y la superposición de colores que ocurriría si la película fuera más gruesa.
9. Un aro de alambre se introduce en agua jabonosa y se saca de modo que la película
jabonosa sea vertical.
a) Cuando se observa por reflexión con luz blanca, la parte superior de la película
aparece negra. Explicar razón.
b) Debajo de la región negra existen bandas coloreadas. ¿La primera de ellas es roja o
violeta?
c) Describir la apariencia de la película cuando se observa por transmisión de la luz.
a) El cambio de fase en la reflexión desde la superficie frontal de la película es de 180°;
el cambio de fase en la reflexión desde la superficie posterior de la película es de 0°.
A medida que la película se adelgaza hacia la parte superior, el cambio de fase
asociado con el espesor de la película se vuelve insignificante y las dos ondas
reflejadas interfieren destructivamente.
b) La primera interferencia constructiva surgirá cuando t = λ/4. Por lo tanto, la primera
banda será violeta (la longitud de onda visible más corta).
de refracción del material y la longitud de onda de la luz incidente.
3. Películas delgadas y longitudes de onda visibles: Los colores visibles
corresponden a longitudes de onda de luz que van aproximadamente de
400 nm (violeta) a 700 nm (rojo). Para observar colores de interferencia,
las diferencias de camino óptico causadas por la reflexión en una
película delgada deben ser comparables a estas longitudes de onda
visibles. Si la película es demasiado gruesa, la diferencia de camino
óptico puede ser mucho mayor que las longitudes de onda visibles, lo
que llevaría a la interferencia de múltiples órdenes. Esto podría hacer
que los colores de interferencia se superpongan y se mezclen, resultando
en un aspecto grisáceo o blanco sin colores distintivos.
4. Evitar la superposición de órdenes múltiples: Cuando una película es
delgada, los órdenes de interferencia están bien separados, y las
diferencias de camino óptico coinciden con las longitudes de onda de la
luz visible. Esto significa que para diferentes longitudes de onda
(colores), las condiciones de interferencia serán diferentes, lo que
permite ver colores distintos en diferentes áreas de la película. En
cambio, si la película es más gruesa, múltiples órdenes de interferencia
pueden superponerse para cada longitud de onda, lo que reduce la
saturación y la claridad de los colores observados.
5. Cambio en el espesor y colores observados: En películas
extremadamente delgadas, incluso pequeños cambios en el espesor
causan cambios significativos en la interferencia de la luz, lo que da
como resultado un rango de colores vivos y cambiantes. Esto es lo que se
observa en burbujas de jabón o películas de aceite muy delgadas sobre
el agua, donde las variaciones en el espesor de la película causan
patrones de colores vibrantes y dinámicos.
En resumen, una película debe ser delgada para observar colores de
interferencia porque esto asegura que las diferencias de camino óptico sean
comparables a las longitudes de onda de la luz visible. Esto permite que los
colores resultantes de la interferencia sean vívidos y distinguibles, sin la mezcla
y la superposición de colores que ocurriría si la película fuera más gruesa.
9. Un aro de alambre se introduce en agua jabonosa y se saca de modo que la película
jabonosa sea vertical.
a) Cuando se observa por reflexión con luz blanca, la parte superior de la película
aparece negra. Explicar razón.
b) Debajo de la región negra existen bandas coloreadas. ¿La primera de ellas es roja o
violeta?
c) Describir la apariencia de la película cuando se observa por transmisión de la luz.
a) El cambio de fase en la reflexión desde la superficie frontal de la película es de 180°;
el cambio de fase en la reflexión desde la superficie posterior de la película es de 0°.
A medida que la película se adelgaza hacia la parte superior, el cambio de fase
asociado con el espesor de la película se vuelve insignificante y las dos ondas
reflejadas interfieren destructivamente.
b) La primera interferencia constructiva surgirá cuando t = λ/4. Por lo tanto, la primera
banda será violeta (la longitud de onda visible más corta).
c) Cuando se observa con luz transmitida, la parte superior de la película es blanca, ya
que no se refleja luz. Los colores de las bandas son los complementarios a los colores
que se ven en la luz reflejada; es decir, la banda superior será roja.
10. Se prepara una película de aire en forma de cuña colocando un trocito de papel entre los
bordes de dos láminas de vidrio planas. Una luz de 700 n m de longitud de onda incide
normalmente sobre las láminas de vidrio y se observan bandas de interferencia por
reflexión.
a) La primera banda próxima al punto de contacto de las láminas, ¿es oscura o
brillante? ¿Por qué?
b) Existen cinco bandas oscuras por centímetro. ¿Cuál es el ángulo de la cuña?
La franja m ocurre cuando la diferencia de trayectorias 2 t es igual a m longitudes de
onda, podemos expresar la distancia adicional recorrida por la luz en el aire como m λ. El
espesor de la cuña, a su vez, está relacionado con el ángulo de la cuña y la distancia
desde su vértice hasta la franja m.
a) La primera banda es oscura, dado que la diferencia de fase debida a la reflexión por
la superficie posterior de la placa superior y la superficie superior de la placa inferior
es de 180°.
b) La franja m ocurre cuando la diferencia de trayectorias 2 t es igual a m longitudes de
onda: 2 t = m λ
Relacionando el espesor de la cuña de aire con el ángulo de la cuña: θ = t/x; t=x*θ
donde se ha usado una aproximación de ángulo pequeño para reemplazar una
longitud de arco por la longitud de una cuerda. Sustituyendo :
????????????∗????????????∗????????????=????????????∗???????????? ; ????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
∗
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∗
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∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
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−????????????
????????????????????????????????????
11. El diámetro de hilos finos puede medirse muy exactamente mediante diagramas de
interferencia. Se disponen dos láminas exactamente planas de vidrio de longitud L junto
con el hilo en la forma indicada en la figura. Este montaje se ilumina con luz
monocromática y se detectan las franjas de interferencia resultante. Supóngase que L =
20 cm y se utiliza luz amarilla de sodio para su iluminación (λ=590 nm). Si se ven 19
franjas brillantes a lo9 largo de la distancia de 20 cm, ¿Cuáles son los límites del
diámetro del hilo? Indicación: Puede que no este justo en el extremo de la franja 19,
pero no se ven 20 franjas.
La condición de que uno vea m franjas requiere que la diferencia de trayectoria entre la
luz reflejada desde la superficie inferior del portaobjetos superior y la superficie superior
del portaobjetos inferior sea un múltiplo entero de una longitud de onda de la luz.
La franja m se produce cuando la diferencia de trayectorias 2*d es igual a m longitudes
de onda.
????????????∗????????????=????????????∗????????????; ????????????=
????????????∗????????????
????????????
Porque se puede ver la franja brillante número diecinueve (pero no la vigésima),
�????????????−
????????????
????????????
�∗
????????????
????????????
<????????????<�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
que no se refleja luz. Los colores de las bandas son los complementarios a los colores
que se ven en la luz reflejada; es decir, la banda superior será roja.
10. Se prepara una película de aire en forma de cuña colocando un trocito de papel entre los
bordes de dos láminas de vidrio planas. Una luz de 700 n m de longitud de onda incide
normalmente sobre las láminas de vidrio y se observan bandas de interferencia por
reflexión.
a) La primera banda próxima al punto de contacto de las láminas, ¿es oscura o
brillante? ¿Por qué?
b) Existen cinco bandas oscuras por centímetro. ¿Cuál es el ángulo de la cuña?
La franja m ocurre cuando la diferencia de trayectorias 2 t es igual a m longitudes de
onda, podemos expresar la distancia adicional recorrida por la luz en el aire como m λ. El
espesor de la cuña, a su vez, está relacionado con el ángulo de la cuña y la distancia
desde su vértice hasta la franja m.
a) La primera banda es oscura, dado que la diferencia de fase debida a la reflexión por
la superficie posterior de la placa superior y la superficie superior de la placa inferior
es de 180°.
b) La franja m ocurre cuando la diferencia de trayectorias 2 t es igual a m longitudes de
onda: 2 t = m λ
Relacionando el espesor de la cuña de aire con el ángulo de la cuña: θ = t/x; t=x*θ
donde se ha usado una aproximación de ángulo pequeño para reemplazar una
longitud de arco por la longitud de una cuerda. Sustituyendo :
????????????∗????????????∗????????????=????????????∗???????????? ; ????????????=
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11. El diámetro de hilos finos puede medirse muy exactamente mediante diagramas de
interferencia. Se disponen dos láminas exactamente planas de vidrio de longitud L junto
con el hilo en la forma indicada en la figura. Este montaje se ilumina con luz
monocromática y se detectan las franjas de interferencia resultante. Supóngase que L =
20 cm y se utiliza luz amarilla de sodio para su iluminación (λ=590 nm). Si se ven 19
franjas brillantes a lo9 largo de la distancia de 20 cm, ¿Cuáles son los límites del
diámetro del hilo? Indicación: Puede que no este justo en el extremo de la franja 19,
pero no se ven 20 franjas.
La condición de que uno vea m franjas requiere que la diferencia de trayectoria entre la
luz reflejada desde la superficie inferior del portaobjetos superior y la superficie superior
del portaobjetos inferior sea un múltiplo entero de una longitud de onda de la luz.
La franja m se produce cuando la diferencia de trayectorias 2*d es igual a m longitudes
de onda.
????????????∗????????????=????????????∗????????????; ????????????=
????????????∗????????????
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Porque se puede ver la franja brillante número diecinueve (pero no la vigésima),
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12. Se utiliza luz de 600 nm de longitud de onda para iluminar normalmente dos placas de
vidrio de 22 cm de longitud que están en contacto por un extremo y están separadas en
el otro por un hilo de 0,025 mm de diámetro. ¿Cuántas franjas aparecerán a lo largo de
la longitud total de las placas?
????????????∗????????????+
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=????????????,????????????∗????????????,????????????∗????????????,…
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,????????????∗
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????????????
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−
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13. Una película delgada de índice de refracción 1,5 está rodeada por aire. Se ilumina
normalmente con luz blanca y se observa por reflexión. El análisis de la luz reflejada
resultante muestra que las únicas longitudes de onda que se han perdido cerca de la
parte visible del espectro son las de 360, 450 y 602 nm. Es decir, en el caso de estas
longitudes de onda existe interferencia destructiva.
a) ¿Cuál es el espesor de la película?
b) ¿Qué longitud de onda visible serán las más brillantes en el diagrama de
interferencia reflejado?
c) Si esta película está depositada sobre vidrio cuyo índice de refracción es 1,6, ¿qué
longitudes de onda del espectro visible se perderán en la luz reflejada?
a) ????????????∗????????????+
????????????′
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=
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????????????
,????????????∗
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????????????∗????????????=????????????∗????????????/????????????
Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
refracción de la película y m =1, 2, 3 ….
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12. Se utiliza luz de 600 nm de longitud de onda para iluminar normalmente dos placas de
vidrio de 22 cm de longitud que están en contacto por un extremo y están separadas en
el otro por un hilo de 0,025 mm de diámetro. ¿Cuántas franjas aparecerán a lo largo de
la longitud total de las placas?
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−
???????????? ????????????
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13. Una película delgada de índice de refracción 1,5 está rodeada por aire. Se ilumina
normalmente con luz blanca y se observa por reflexión. El análisis de la luz reflejada
resultante muestra que las únicas longitudes de onda que se han perdido cerca de la
parte visible del espectro son las de 360, 450 y 602 nm. Es decir, en el caso de estas
longitudes de onda existe interferencia destructiva.
a) ¿Cuál es el espesor de la película?
b) ¿Qué longitud de onda visible serán las más brillantes en el diagrama de
interferencia reflejado?
c) Si esta película está depositada sobre vidrio cuyo índice de refracción es 1,6, ¿qué
longitudes de onda del espectro visible se perderán en la luz reflejada?
a) ????????????∗????????????+
????????????′
????????????
=
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,…
????????????∗????????????=????????????′,????????????∗????????????′,????????????∗????????????′,….
????????????∗????????????=????????????∗????????????/????????????
Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
refracción de la película y m =1, 2, 3 ….
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
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b) La interferencia constructiva en la película cumplirá:
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′
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′
,????????????∗????????????
′
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′
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′
Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
refracción de la película y m =0,1, 2, 3 ….
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m 0 1 2 3 4 5
λ (nm) 3600 1200 720 514 400 327
En el visible tenemos 720, 514 y 400 nm.
c) Debido a que el índice de refracción del vidrio es mayor que el de la película, la luz
reflejada desde la interfaz película-vidrio se desplazará en λ /2 1(al igual que la onda
reflejada desde la superficie superior) y la condición para la interferencia destructiva
se convierte en:
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????????????′
????????????
,????????????∗
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????????????
,????????????∗
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,…
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�∗
????????????
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Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
refracción de la película y m =0,1, 2, 3 ….
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????????????∗????????????∗????????????
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????????????
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????????????∗????????????????????????????????????∗????????????.????????????
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m 0 1 2 3 4 5
λ (nm) 3600 1200 720 514 400 327
En el visible tenemos 720, 514 y 400 nm.
14. Una gota de aceite (n=1,22) flota sobre agua (n=1,33). Cuando se observa luz reflejada
desde arriba como se ve en la figura., ¿Cuál es el espesor de la gota en el punto en donde
se observa la segunda franja roja, contando desde el borde de la gota? Suponer que
dicha luz tiene una longitud de onda de 650 nm.
Debido a que hay un cambio de fase λ / 2 debido a la reflexión en las interfaces
aire-aceite y aceite -agua, la condición para la interferencia constructiva es que
el doble del espesor de la película de petróleo sea igual a un múltiplo entero de
la longitud de onda de la luz en la película.
????????????∗????????????
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=
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b) La interferencia constructiva en la película cumplirá:
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Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
refracción de la película y m =0,1, 2, 3 ….
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m 0 1 2 3 4 5
λ (nm) 3600 1200 720 514 400 327
En el visible tenemos 720, 514 y 400 nm.
c) Debido a que el índice de refracción del vidrio es mayor que el de la película, la luz
reflejada desde la interfaz película-vidrio se desplazará en λ /2 1(al igual que la onda
reflejada desde la superficie superior) y la condición para la interferencia destructiva
se convierte en:
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Donde ????????????′ es la longitud de onda en la película, ???????????? la longitud en el aire, n el índice de
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m 0 1 2 3 4 5
λ (nm) 3600 1200 720 514 400 327
En el visible tenemos 720, 514 y 400 nm.
14. Una gota de aceite (n=1,22) flota sobre agua (n=1,33). Cuando se observa luz reflejada
desde arriba como se ve en la figura., ¿Cuál es el espesor de la gota en el punto en donde
se observa la segunda franja roja, contando desde el borde de la gota? Suponer que
dicha luz tiene una longitud de onda de 650 nm.
Debido a que hay un cambio de fase λ / 2 debido a la reflexión en las interfaces
aire-aceite y aceite -agua, la condición para la interferencia constructiva es que
el doble del espesor de la película de petróleo sea igual a un múltiplo entero de
la longitud de onda de la luz en la película.
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′
,????????????∗????????????
′
,????????????∗????????????
′
,….
????????????∗????????????=????????????∗????????????
′
????????????
′
es la longitud de la onda en el aceite y m =1,2,3,.. .
????????????∗????????????=????????????∗
????????????
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; ????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????
15. Una película de aceite de índice de refracción n = 1,45 reposa sobre una pieza de vidrio
ópticamente plana de índice de refracción n =1,6. Cuando se ilumina con luz blanca de
incidencia normal, predominan en la luz reflejada las longitudes de onda de 690 nm y
460 nm. Determinar el espesor de la película de aceite.
Debido a que hay un cambio de fase λ/ 2 debido a la reflexión en las interfaces aire-
aceite y aceite-vidrio, la condición para la interferencia constructiva es que el doble del
espesor de la película de aceite sea igual a un múltiplo entero de la longitud de onda de
la luz en la película.
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????????????
????????????
; ????????????=
????????????∗????????????∗????????????
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????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????
16. Una película de aceite de índice de refracción n = 1,45 flota sobre agua (n=1,33).
Iluminada con luz blanca de incidencia normal, predominan en la luz reflejada las
longitudes de onda de 700 y 500 nm. Determinar el espesor de la película de aceite.
Debido a que el índice de refracción del aire es menor que el del aceite, hay un cambio
de fase de π rad ( λ /2) en la luz reflejada en la interfaz aire-aceite. Debido a que el índice
de refracción del aceite es mayor que el del vidrio, no hay cambio de fase en la luz
reflejada desde la interfaz aceite-vidrio. Podemos usar la condición de interferencia
constructiva para determinar m para λ = 700 nm y luego usar este valor en nuestra
ecuación que describe la interferencia constructiva para encontrar el espesor t de la
película de aceite.
????????????∗????????????+
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????????????
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′
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′
,????????????∗????????????
′
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′
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,
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m=2 para 700 nm.
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15. Una película de aceite de índice de refracción n = 1,45 reposa sobre una pieza de vidrio
ópticamente plana de índice de refracción n =1,6. Cuando se ilumina con luz blanca de
incidencia normal, predominan en la luz reflejada las longitudes de onda de 690 nm y
460 nm. Determinar el espesor de la película de aceite.
Debido a que hay un cambio de fase λ/ 2 debido a la reflexión en las interfaces aire-
aceite y aceite-vidrio, la condición para la interferencia constructiva es que el doble del
espesor de la película de aceite sea igual a un múltiplo entero de la longitud de onda de
la luz en la película.
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16. Una película de aceite de índice de refracción n = 1,45 flota sobre agua (n=1,33).
Iluminada con luz blanca de incidencia normal, predominan en la luz reflejada las
longitudes de onda de 700 y 500 nm. Determinar el espesor de la película de aceite.
Debido a que el índice de refracción del aire es menor que el del aceite, hay un cambio
de fase de π rad ( λ /2) en la luz reflejada en la interfaz aire-aceite. Debido a que el índice
de refracción del aceite es mayor que el del vidrio, no hay cambio de fase en la luz
reflejada desde la interfaz aceite-vidrio. Podemos usar la condición de interferencia
constructiva para determinar m para λ = 700 nm y luego usar este valor en nuestra
ecuación que describe la interferencia constructiva para encontrar el espesor t de la
película de aceite.
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????????????
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m=2 para 700 nm.
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????????????∗????????????
=
????????????????????????????????????∗(????????????+
???????????? ????????????
)
????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????
Anillos de Newton
17. Un aparato de anillos de Newton se compone de una lente de vidrio de radio de
curvatura R que descansa sobre una lámina de vidrio plana como se ve en la figura. La
película delgada entre ambas es aire de espesor variable. El diagrama se observa por luz
reflejada.
a) Demostrar que en el caso de un espesor t la condición para una franja de
interferencia brillante (constructiva) es
????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????
????????????
????????????=????????????,????????????,????????????,…
b) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de lados r, R-t e hipotenusa R,
demostrar que para t ≪R, el radio de una franja depende de t según la expresión
????????????=√????????????????????????????????????
c) ¿Qué aspecto tendrá el diagrama de la luz transmitida en comparación con el de la
luz reflejada?
d) Utilizar R = 10 m y un diámetro de 4 cm para la lente. ¿Cuántas franjas brillantes se
verán si el aparato se ilumina con luz amarilla de sodio (????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????) y se observa
por reflexión.
e) ¿Cuál será el diámetro de la sexta franja brillante?
f) Si el vidrio utilizado en el aparato tiene un índice de reflexión n = 1,5 y se coloca agua
(n
a= 1,33) entre los dos trozos de vidrio, ¿qué variaciones tendrán lugar en las franjas
brillantes?
a) Esta disposición es esencialmente idéntica a una configuración de ″película delgada″,
excepto que la ″película″ es aire. Se produce un cambio de fase de 180° ( λ /2) en la
parte superior de la placa de vidrio plana. Podemos utilizar la condición de
interferencia constructiva para derivar el resultado:
????????????∗????????????+
????????????
????????????
∗????????????=????????????,????????????∗???????????? ,????????????∗????????????,….
????????????∗????????????=
???????????? ????????????
∗????????????,
???????????? ????????????
∗????????????,
???????????? ????????????
∗????????????,…=�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????
Con ???????????? la longitud de onda en el aire y m=0, 1, 2,…
b) ????????????
????????????
+(????????????−????????????)
????????????
=????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
+????????????
????????????
+????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
Considerando ????????????≪????????????
????????????
????????????
≈????????????
????????????
+????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????≈√????????????∗????????????∗????????????
c) El patrón transmitido es complementario al patrón reflejado.
d) ????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗???????????? ;????????????∗
????????????
????????????
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???????????? ????????????
�∗????????????
????????????
????????????
=�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????∗????????????
17. Un aparato de anillos de Newton se compone de una lente de vidrio de radio de
curvatura R que descansa sobre una lámina de vidrio plana como se ve en la figura. La
película delgada entre ambas es aire de espesor variable. El diagrama se observa por luz
reflejada.
a) Demostrar que en el caso de un espesor t la condición para una franja de
interferencia brillante (constructiva) es
????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????
????????????
????????????=????????????,????????????,????????????,…
b) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de lados r, R-t e hipotenusa R,
demostrar que para t ≪R, el radio de una franja depende de t según la expresión
????????????=√????????????????????????????????????
c) ¿Qué aspecto tendrá el diagrama de la luz transmitida en comparación con el de la
luz reflejada?
d) Utilizar R = 10 m y un diámetro de 4 cm para la lente. ¿Cuántas franjas brillantes se
verán si el aparato se ilumina con luz amarilla de sodio (????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????) y se observa
por reflexión.
e) ¿Cuál será el diámetro de la sexta franja brillante?
f) Si el vidrio utilizado en el aparato tiene un índice de reflexión n = 1,5 y se coloca agua
(n
a= 1,33) entre los dos trozos de vidrio, ¿qué variaciones tendrán lugar en las franjas
brillantes?
a) Esta disposición es esencialmente idéntica a una configuración de ″película delgada″,
excepto que la ″película″ es aire. Se produce un cambio de fase de 180° ( λ /2) en la
parte superior de la placa de vidrio plana. Podemos utilizar la condición de
interferencia constructiva para derivar el resultado:
????????????∗????????????+
????????????
????????????
∗????????????=????????????,????????????∗???????????? ,????????????∗????????????,….
????????????∗????????????=
???????????? ????????????
∗????????????,
???????????? ????????????
∗????????????,
???????????? ????????????
∗????????????,…=�????????????+
???????????? ????????????
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Con ???????????? la longitud de onda en el aire y m=0, 1, 2,…
b) ????????????
????????????
+(????????????−????????????)
????????????
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????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
+????????????
????????????
+????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
Considerando ????????????≪????????????
????????????
????????????
≈????????????
????????????
+????????????
????????????
−????????????∗????????????∗????????????
????????????≈√????????????∗????????????∗????????????
c) El patrón transmitido es complementario al patrón reflejado.
d) ????????????=
????????????
????????????
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???????????? ????????????
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????????????
????????????
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???????????? ????????????
�∗????????????
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????????????
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???????????? ????????????
�∗????????????∗????????????
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????????????
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−
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????????????.????????????????????????
????????????
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−????????????
∗????????????????????????
−
???????????? ????????????
=????????????????????????.????????????
68 franjas brillantes.
e) ????????????=????????????∗????????????=????????????∗��????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????∗????????????
m=5
????????????=????????????∗��????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
f) La longitud de onda de la luz en la película se vuelve λ aire/n=444 nm. La separación
entre franjas y el número de franjas se verán aumentadas por el factor n = 1.33.
18. Unas lente plano convexa de radio de curvatura 2,0 m descansa sobre una placa de
vidrio ópticamente plana. El sistema se ilumina por arriba con luz monocromática de 520
nm de longitud de onda. Los índices de refracción de la lente y la placa son 1.6.
Determinar los radios de la primera y segunda franja brillante en la luz reflejada. (utilizar
la ecuación ???????????? =√???????????????????????????????????? del problema 17 para relacionar r con t).
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗???????????? ;????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
; ????????????=????????????,????????????,????????????,…
????????????=√????????????∗????????????∗????????????=�????????????∗????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????
????????????=????????????
????????????=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
m=1
????????????=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
19. Suponer que antes de colocar la lente del problema 18 sobre la placa, se deposita sobre
ésta una película de aceite de índice de refracción 1,82. ¿Cuáles serán entonces los
radios de la primera y segunda franjas brillantes en la luz reflejada? Utilizar la ecuación
????????????=√???????????????????????????????????? del problema 17 para relacionar r con t).
????????????∗????????????+
????????????
????????????
∗????????????
′
=????????????
′
,????????????∗????????????
′
,????????????∗????????????
′
,….
????????????∗????????????=
???????????? ????????????
∗????????????
′
,
???????????? ????????????
∗????????????
′
,
???????????? ????????????
∗????????????
′
,…=�????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????
′
=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
????????????=√????????????∗????????????∗????????????=�????????????∗????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????∗????????????
=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
????????????=????????????
????????????=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
????????????=????????????
????????????=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
Diagramas de interferencia de dos rendijas
20. En una cámara donde puede hacerse el vacío, se monta un experimento de interferencia
de doble rendija. Utilizando luz monocromática, se observa un determinado diagrama de
????????????
????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????
????????????=
????????????.????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????
−
???????????? ????????????
=????????????????????????.????????????
68 franjas brillantes.
e) ????????????=????????????∗????????????=????????????∗��????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????∗????????????
m=5
????????????=????????????∗��????????????+
???????????? ????????????
�∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
f) La longitud de onda de la luz en la película se vuelve λ aire/n=444 nm. La separación
entre franjas y el número de franjas se verán aumentadas por el factor n = 1.33.
18. Unas lente plano convexa de radio de curvatura 2,0 m descansa sobre una placa de
vidrio ópticamente plana. El sistema se ilumina por arriba con luz monocromática de 520
nm de longitud de onda. Los índices de refracción de la lente y la placa son 1.6.
Determinar los radios de la primera y segunda franja brillante en la luz reflejada. (utilizar
la ecuación ???????????? =√???????????????????????????????????? del problema 17 para relacionar r con t).
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗???????????? ;????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
; ????????????=????????????,????????????,????????????,…
????????????=√????????????∗????????????∗????????????=�????????????∗????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
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???????????? ????????????
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????????????=????????????
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????????????
m=1
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???????????? ????????????
�∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
19. Suponer que antes de colocar la lente del problema 18 sobre la placa, se deposita sobre
ésta una película de aceite de índice de refracción 1,82. ¿Cuáles serán entonces los
radios de la primera y segunda franjas brillantes en la luz reflejada? Utilizar la ecuación
????????????=√???????????????????????????????????? del problema 17 para relacionar r con t).
????????????∗????????????+
????????????
????????????
∗????????????
′
=????????????
′
,????????????∗????????????
′
,????????????∗????????????
′
,….
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???????????? ????????????
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′
,
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∗????????????
′
,
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∗????????????
′
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′
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???????????? ????????????
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−????????????
????????????.????????????????????????
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−????????????
????????????
????????????=????????????
????????????=�????????????∗�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
Diagramas de interferencia de dos rendijas
20. En una cámara donde puede hacerse el vacío, se monta un experimento de interferencia
de doble rendija. Utilizando luz monocromática, se observa un determinado diagrama de
interferencia cuando la cámara está en contacto con el aire. Al hacer el vacío se observa
que
a) Las franjas de interferencia permanecen fijas.
b) Las franjas de interferencia se aproximan entre sí.
c) Las franjas de interferencia se separan alejándose.
d) Las franjas de interferencia desaparecen completamente.
La distancia en la pantalla hasta la franja brillante m está dada por ????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
donde L es la distancia desde las rendijas hasta la pantalla y d es la separación de las rendijas. Debido a que el índice de refracción del aire es ligeramente mayor que el
índice de refracción del vacío, la introducción de aire reduce λ a λ/n y disminuye ????????????
????????????−????????????
????????????−????????????. Respuesta b.
21. Dos rendijas estrechas separadas entre sí 1 mm se iluminan con luz de 600 nm de
longitud de onda y se observa el diagrama de interferencia en una pantalla situada a 2 m. Calcular el número de franjas brillantes por centímetro que se verán en la pantalla.
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????+????????????=(????????????+????????????)∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????
∆????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????????????????
−????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗???????????? ????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
−????????????
∗
????????????????????????
???????????????????????????????????? ????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????
22. Utilizando un aparato convencional de dos rendijas con luz de 589 nm de longitud de onda se observan, sobre una pantalla a 3 m, 28 franjas brillantes por centímetro. ¿Cuál
es la separación entre las rendijas?
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
∆????????????
=????????????∗????????????∗????????????=???????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗???????????? ????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
23. Se hace incidir luz de 633 nm de longitud de onda procedente de un láser helio-neón,
normalmente sobre un plano que contiene dos rendijas. El primer máximo de
interferencia se encuentra a 82 cm del máximo central cuando se observa en una
pantalla situada a 12 m.
a) Calcular la separación de las rendijas.
b) ¿Cuántos máximos de interferencia se observan?
a)
????????????≪???????????? ;???????????????????????????????????? ????????????
????????????≈
????????????
????????????
;????????????≈
????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????
Del triángulo rectángulo cuyos lados son L e y1 tenemos:
que
a) Las franjas de interferencia permanecen fijas.
b) Las franjas de interferencia se aproximan entre sí.
c) Las franjas de interferencia se separan alejándose.
d) Las franjas de interferencia desaparecen completamente.
La distancia en la pantalla hasta la franja brillante m está dada por ????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
donde L es la distancia desde las rendijas hasta la pantalla y d es la separación de las rendijas. Debido a que el índice de refracción del aire es ligeramente mayor que el
índice de refracción del vacío, la introducción de aire reduce λ a λ/n y disminuye ????????????
????????????−????????????
????????????−????????????. Respuesta b.
21. Dos rendijas estrechas separadas entre sí 1 mm se iluminan con luz de 600 nm de
longitud de onda y se observa el diagrama de interferencia en una pantalla situada a 2 m. Calcular el número de franjas brillantes por centímetro que se verán en la pantalla.
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????+????????????=(????????????+????????????)∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????
∆????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????????????????
−????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗???????????? ????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
−????????????
∗
????????????????????????
???????????????????????????????????? ????????????????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????
22. Utilizando un aparato convencional de dos rendijas con luz de 589 nm de longitud de onda se observan, sobre una pantalla a 3 m, 28 franjas brillantes por centímetro. ¿Cuál
es la separación entre las rendijas?
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
∆????????????
=????????????∗????????????∗????????????=???????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗???????????? ????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
23. Se hace incidir luz de 633 nm de longitud de onda procedente de un láser helio-neón,
normalmente sobre un plano que contiene dos rendijas. El primer máximo de
interferencia se encuentra a 82 cm del máximo central cuando se observa en una
pantalla situada a 12 m.
a) Calcular la separación de las rendijas.
b) ¿Cuántos máximos de interferencia se observan?
a)
????????????≪???????????? ;???????????????????????????????????? ????????????
????????????≈
????????????
????????????
;????????????≈
????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????
Del triángulo rectángulo cuyos lados son L e y1 tenemos:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????.???????????????????????? ????????????
�????????????????????????
????????????
+????????????.????????????????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????≈
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????∗???????????? ;????????????=????????????,????????????,????????????,….
Debido a que sinθ ≤ 1 determina el número máximo de franjas de interferencia que
se pueden ver:
????????????=????????????
????????????????????????????????????∗????????????; ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? , considerando un entero m= 14.
24. Dos rendijas estrechas están separadas a una distancia d. Su diagrama de interferencia ha de observarse sobre una pantalla a gran distancia L.
a) Calcular el espaciado y de los máximos sobre la pantalla para luz de 500 nm de
longitud de onda cuando L=1 m y d = 1 cm.
b) ¿Es de esperar que se observe en la pantalla la interferencia de la luz en este caso?
c) ¿A qué distancia deberán encontrarse las rendijas para que los máximos se
encuentren separados en 1 mm para esta longitud de onda y distancia de la
pantalla?
a) La posición de las franjas brillantes viene dada por:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????+????????????=(????????????+????????????)∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) No se puede observar a simple vista. La separación es demasiado pequeña para
observarla a simple vista.
c) ????????????=
????????????∗????????????
∆????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
25. Sobre un plano vertical que contiene dos rendijas de separación δ (figura) incide luz con
un ángulo Ф respecto a la normal. Demostrar que los máximos de interferencia están
situados en los ángulos ϴ dados por ???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=
???????????? ????????????
????????????
.
Sea d la separación de las rendijas. Podemos hallar la diferencia de trayectoria total
cuando la luz incide en un ángulo φ y establecer este resultado igual a un múltiplo
entero de la longitud de onda de la luz para relacionar el ángulo de incidencia en las
rendijas con la dirección de la luz transmitida y su longitud de onda.
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????+????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
26. Luz blanca incide con un ángulo de 30
o
respecto a la normal sobre un plano que contiene
un par de rendijas separadas en 2,5 μ m. ¿Qué longitudes de onda de luz visible dan un
máximo de interferencia brillante en la luz transmitida en la dirección normal al plano? (Véase problema 25).
???????????????????????????????????? ????????????+????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
Para ????????????=????????????.
????????????=
????????????.???????????????????????? ????????????
�????????????????????????
????????????
+????????????.????????????????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????≈
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????∗???????????? ;????????????=????????????,????????????,????????????,….
Debido a que sinθ ≤ 1 determina el número máximo de franjas de interferencia que
se pueden ver:
????????????=????????????
????????????????????????????????????∗????????????; ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? , considerando un entero m= 14.
24. Dos rendijas estrechas están separadas a una distancia d. Su diagrama de interferencia ha de observarse sobre una pantalla a gran distancia L.
a) Calcular el espaciado y de los máximos sobre la pantalla para luz de 500 nm de
longitud de onda cuando L=1 m y d = 1 cm.
b) ¿Es de esperar que se observe en la pantalla la interferencia de la luz en este caso?
c) ¿A qué distancia deberán encontrarse las rendijas para que los máximos se
encuentren separados en 1 mm para esta longitud de onda y distancia de la
pantalla?
a) La posición de las franjas brillantes viene dada por:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????+????????????=(????????????+????????????)∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) No se puede observar a simple vista. La separación es demasiado pequeña para
observarla a simple vista.
c) ????????????=
????????????∗????????????
∆????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
25. Sobre un plano vertical que contiene dos rendijas de separación δ (figura) incide luz con
un ángulo Ф respecto a la normal. Demostrar que los máximos de interferencia están
situados en los ángulos ϴ dados por ???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=
???????????? ????????????
????????????
.
Sea d la separación de las rendijas. Podemos hallar la diferencia de trayectoria total
cuando la luz incide en un ángulo φ y establecer este resultado igual a un múltiplo
entero de la longitud de onda de la luz para relacionar el ángulo de incidencia en las
rendijas con la dirección de la luz transmitida y su longitud de onda.
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????+????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
26. Luz blanca incide con un ángulo de 30
o
respecto a la normal sobre un plano que contiene
un par de rendijas separadas en 2,5 μ m. ¿Qué longitudes de onda de luz visible dan un
máximo de interferencia brillante en la luz transmitida en la dirección normal al plano? (Véase problema 25).
???????????????????????????????????? ????????????+????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
Para ????????????=????????????.
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????
m λ(nm)
1 1250
2 625
3 417
4 313
Corresponde al visible 625 y 417 nm.
27. Se hace incidir normalmente luz procedente de un láser sobre tres rendijas muy
estrechas e igualmente espaciadas. Cuando se cubre una de las rendijas de los extremos,
el máximo de primer orden se encuentra situado a 0,60
o
de la normal. Si se cubre la
rendija central dejando las otras dos abiertas, calcular
a) El ángulo del máximo de primer orden.
b) El número de orden del máximo que en estas condiciones se produce con el mismo
ángulo que lo hacía anteriormente el máximo de cuarto orden.
a) Para interferencia de dos rendijas, la posición angular de los máximos viene
dada por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
donde:
• d es la distancia entre las rendijas,
• θ es el ángulo de desviación,
• m es el orden del máximo,
• λ es la longitud de onda de la luz.
Para la primera configuración (dos rendijas separadas por d):
• Para m=1m y θ1=0.60
∘
, tenemos:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????=????????????
Para la segunda configuración (las dos rendijas de los extremos abiertas con separación 2d):
Queremos calcular el ángulo ϴ para el máximo de primer orden (m=1):
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????
Utilizando la longitud de onda encontrada para la primera configuración:
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
????????????
; ????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
????????????
�=????????????,????????????????????????
????????????
b) Para la primera configuración (dos rendijas separadas por d), el máximo de
cuarto orden (m=4m) está dado por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????
Aquí se cumple:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????
m λ(nm)
1 1250
2 625
3 417
4 313
Corresponde al visible 625 y 417 nm.
27. Se hace incidir normalmente luz procedente de un láser sobre tres rendijas muy
estrechas e igualmente espaciadas. Cuando se cubre una de las rendijas de los extremos,
el máximo de primer orden se encuentra situado a 0,60
o
de la normal. Si se cubre la
rendija central dejando las otras dos abiertas, calcular
a) El ángulo del máximo de primer orden.
b) El número de orden del máximo que en estas condiciones se produce con el mismo
ángulo que lo hacía anteriormente el máximo de cuarto orden.
a) Para interferencia de dos rendijas, la posición angular de los máximos viene
dada por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
donde:
• d es la distancia entre las rendijas,
• θ es el ángulo de desviación,
• m es el orden del máximo,
• λ es la longitud de onda de la luz.
Para la primera configuración (dos rendijas separadas por d):
• Para m=1m y θ1=0.60
∘
, tenemos:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????=????????????
Para la segunda configuración (las dos rendijas de los extremos abiertas con separación 2d):
Queremos calcular el ángulo ϴ para el máximo de primer orden (m=1):
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????
Utilizando la longitud de onda encontrada para la primera configuración:
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
????????????
; ????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
????????????
�=????????????,????????????????????????
????????????
b) Para la primera configuración (dos rendijas separadas por d), el máximo de
cuarto orden (m=4m) está dado por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????
Aquí se cumple:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????=????????????
Sustituyendo:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????.????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
En la segunda configuración, rendijas separadas por 2d, buscamos m’ que
cumple:
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′=????????????′∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′=????????????
′
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
Queremos ????????????????????????????????????????????????
????????????
′=???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
′
=
????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
=
????????????∗????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????
Diagrama de difracción de una sola rendija
28. Al ir reduciendo lentamente, pero de forma continua la anchura de una rendija que produce un diagrama de difracción de una sola rendija, ¿Cómo variará
dicho diagrama?
Al reducir la anchura de una rendija en un experimento de difracción de una sola
rendija, el patrón de difracción se ensancha, los máximos se vuelven menos intensos y
los mínimos se separan más angularmente. Esto es debido a que una rendija más
estrecha causa una mayor difracción de la luz.
29. Las ecuaciones ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…y ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????, son fáciles de
confundir. Definir para cada ecuación los símbolos que intervienen y razonar
sus aplicaciones.
La ecuación ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ???????????? expresa la condición para que se produzca un máximo de
intensidad en la interferencia de dos rendijas. Aquí d es la separación de rendija, λ la
longitud de onda de la luz, m un número entero , el ángulo
???????????? en el que aparece el
máximo de interferencia.
La ecuación
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????, expresa la condición para el primer mínimo en la
difracción de una sola rendija. Aquí a es el ancho de la rendija, λ la longitud de onda de
la luz y θ el ángulo en el que aparece el primer mínimo, suponiendo que m = 1.
30. Se hace incidir luz de 600 nm sobre una rendija larga y estrecha. Calcular el
ángulo del primer mínimo de difracción si la anchura de la rendija es
a) a = 1 mm. b) a = 0,1 mm. c) a= 0,01 mm.
a) ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????= ????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
b) ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
c) ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
31. Se observa el diagrama de difracción de una sola rendija de la luz en una
pantalla situada a una gran distancia L de la rendija. Obsérvese en la ecuación
????????????=
???????????? ????????????
????????????
que la anchura 2 y del máximo central varia inversamente con la
anchura a de la rendija. Calcular la anchura 2 y para L= 2m, λ = 500 nm y
a) a= 0,1 mm.
b) a= 0,01 mm.
c) a= 0,001 mm.
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????.????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
En la segunda configuración, rendijas separadas por 2d, buscamos m’ que
cumple:
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′=????????????′∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′=????????????
′
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????.????????????
Queremos ????????????????????????????????????????????????
????????????
′=???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
′
=
????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
′
???????????????????????????????????? ????????????.????????????
=
????????????∗????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????
Diagrama de difracción de una sola rendija
28. Al ir reduciendo lentamente, pero de forma continua la anchura de una rendija que produce un diagrama de difracción de una sola rendija, ¿Cómo variará
dicho diagrama?
Al reducir la anchura de una rendija en un experimento de difracción de una sola
rendija, el patrón de difracción se ensancha, los máximos se vuelven menos intensos y
los mínimos se separan más angularmente. Esto es debido a que una rendija más
estrecha causa una mayor difracción de la luz.
29. Las ecuaciones ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…y ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????, son fáciles de
confundir. Definir para cada ecuación los símbolos que intervienen y razonar
sus aplicaciones.
La ecuación ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ???????????? expresa la condición para que se produzca un máximo de
intensidad en la interferencia de dos rendijas. Aquí d es la separación de rendija, λ la
longitud de onda de la luz, m un número entero , el ángulo
???????????? en el que aparece el
máximo de interferencia.
La ecuación
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????=???????????? ????????????, expresa la condición para el primer mínimo en la
difracción de una sola rendija. Aquí a es el ancho de la rendija, λ la longitud de onda de
la luz y θ el ángulo en el que aparece el primer mínimo, suponiendo que m = 1.
30. Se hace incidir luz de 600 nm sobre una rendija larga y estrecha. Calcular el
ángulo del primer mínimo de difracción si la anchura de la rendija es
a) a = 1 mm. b) a = 0,1 mm. c) a= 0,01 mm.
a) ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????= ????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
b) ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
c) ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
�=????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
31. Se observa el diagrama de difracción de una sola rendija de la luz en una
pantalla situada a una gran distancia L de la rendija. Obsérvese en la ecuación
????????????=
???????????? ????????????
????????????
que la anchura 2 y del máximo central varia inversamente con la
anchura a de la rendija. Calcular la anchura 2 y para L= 2m, λ = 500 nm y
a) a= 0,1 mm.
b) a= 0,01 mm.
c) a= 0,001 mm.
a) ???????????? ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
b) ???????????? ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????? ????????????
c) ???????????? ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????
32. Se hacen incidir microondas planas sobre una rendija metálica larga y estrecha
de 5 cm de longitud. El primer mínimo de difracción se observa a ϴ=37º. ¿Cuál
es la longitud de onda de las microondas?
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????= ????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
33. En un láser de rubí de 694 nm de longitud de onda, el extremo del cristal de
rubí constituye la abertura que determina el diámetro del haz de luz emitido. Si
el diámetro es de 2 cm y se apunta el láser en dirección a la Luna, situada a 380
000 km de distancia, calcular aproximadamente el diámetro del haz de luz que
alcanza la Luna, suponiendo que los efectos se deben sólo a la difracción.
????????????=
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????−????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????=????????????????????????.???????????? ????????????????????????
Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas
34. ¿Cuántos máximos de interferencia estarán contenidos en el máximo central de difracción en el diagrama de difracción-interferencia de dos rendijas, si la
separación d de las dos rendijas es 5 veces su anchura a? ¿Cuántos habría si
????????????=???????????? ???????????? para cualquier valor de N?
Para resolver este problema, es necesario entender cómo se superponen los
patrones de difracción y de interferencia.
Necesitamos encontrar el valor de m para el cual el máximo de interferencia m-ésimo
coincida con el primer mínimo de difracción. Entonces habrá N = 2m−1franjas en el
máximo central.
• Parte 1: d=5a
1. Difracción: El máximo central de difracción corresponde a un ángulo
donde el patrón de difracción no tiene ningún mínimo. El ángulo para el
primer mínimo de difracción (que define el ancho del máximo central) está
dado por:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
2. Interferencia: Los máximos de interferencia están dados por la condición:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????
b) ???????????? ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????? ????????????
c) ???????????? ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????
32. Se hacen incidir microondas planas sobre una rendija metálica larga y estrecha
de 5 cm de longitud. El primer mínimo de difracción se observa a ϴ=37º. ¿Cuál
es la longitud de onda de las microondas?
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????= ????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
33. En un láser de rubí de 694 nm de longitud de onda, el extremo del cristal de
rubí constituye la abertura que determina el diámetro del haz de luz emitido. Si
el diámetro es de 2 cm y se apunta el láser en dirección a la Luna, situada a 380
000 km de distancia, calcular aproximadamente el diámetro del haz de luz que
alcanza la Luna, suponiendo que los efectos se deben sólo a la difracción.
????????????=
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????−????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????=????????????????????????.???????????? ????????????????????????
Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas
34. ¿Cuántos máximos de interferencia estarán contenidos en el máximo central de difracción en el diagrama de difracción-interferencia de dos rendijas, si la
separación d de las dos rendijas es 5 veces su anchura a? ¿Cuántos habría si
????????????=???????????? ???????????? para cualquier valor de N?
Para resolver este problema, es necesario entender cómo se superponen los
patrones de difracción y de interferencia.
Necesitamos encontrar el valor de m para el cual el máximo de interferencia m-ésimo
coincida con el primer mínimo de difracción. Entonces habrá N = 2m−1franjas en el
máximo central.
• Parte 1: d=5a
1. Difracción: El máximo central de difracción corresponde a un ángulo
donde el patrón de difracción no tiene ningún mínimo. El ángulo para el
primer mínimo de difracción (que define el ancho del máximo central) está
dado por:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
2. Interferencia: Los máximos de interferencia están dados por la condición:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
donde m es el número de orden del máximo de interferencia.
Para que un máximo de interferencia esté dentro del máximo central de
difracción, debe cumplirse que el ángulo θ
int esté dentro del ángulo θdif.
Dado que d=5a, esto significa que la separación de las rendijas es 5 veces la
anchura de cada una.
Entonces
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
Usando d= 5 a
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????;????????????=????????????
Esto significa que hay 2* 5-1=9 máximos de interferencia contenidos en el
máximo central de difracción.
•
Parte 2: d=N a
Siguiendo el mismo razonamiento, pero para una separación general d=N a.
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
Simplificando:
????????????
????????????
=???????????? ;????????????=????????????
Por lo tanto, habrá 2*N -1 máximos de interferencia contenidos en el máximo
central de difracción cuando d=N a.
35. Se observa un diagrama de interferencia - difracción de Fraunhofer producido
por dos rendijas con una luz de longitud de onda de 500 nm. Las rendijas
tienen una separación de 0,1 mm y una anchura a.
a) Hallar la anchura a si el quinto máximo de interferencia está en el mismo
ángulo que el primer mínimo de difracción.
b) En este caso, ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el máximo central de
difracción?
a) Relacione el ángulo θ
1 del primer mínimo de difracción con el ancho a de las
rendijas de la rejilla de difracción:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????
????????????
Expresar el ángulo θ5 correspondiente al quinto máximo de interferencia en función
de la separación d de las rendijas:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
Para que un máximo de interferencia esté dentro del máximo central de
difracción, debe cumplirse que el ángulo θ
int esté dentro del ángulo θdif.
Dado que d=5a, esto significa que la separación de las rendijas es 5 veces la
anchura de cada una.
Entonces
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
Usando d= 5 a
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????;????????????=????????????
Esto significa que hay 2* 5-1=9 máximos de interferencia contenidos en el
máximo central de difracción.
•
Parte 2: d=N a
Siguiendo el mismo razonamiento, pero para una separación general d=N a.
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
Simplificando:
????????????
????????????
=???????????? ;????????????=????????????
Por lo tanto, habrá 2*N -1 máximos de interferencia contenidos en el máximo
central de difracción cuando d=N a.
35. Se observa un diagrama de interferencia - difracción de Fraunhofer producido
por dos rendijas con una luz de longitud de onda de 500 nm. Las rendijas
tienen una separación de 0,1 mm y una anchura a.
a) Hallar la anchura a si el quinto máximo de interferencia está en el mismo
ángulo que el primer mínimo de difracción.
b) En este caso, ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el máximo central de
difracción?
a) Relacione el ángulo θ
1 del primer mínimo de difracción con el ancho a de las
rendijas de la rejilla de difracción:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????
????????????
Expresar el ángulo θ5 correspondiente al quinto máximo de interferencia en función
de la separación d de las rendijas:
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) m=5; N=2*m-1=9
36. Se observa un diagrama de interferencia – difracción de Fraunhofer producido
por dos rendijas con luz de 700 nm de longitud de onda. Las rendijas tienen
una anchura de 0,01 mm y están separadas por 0,2 mm. ¿Cuántas franjas
brillantes se verán en el máximo de difracción central?
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????−????????????=????????????∗
????????????
????????????
−????????????=????????????∗
????????????.???????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????=????????????????????????
37. Supóngase que el máximo central de difracción correspondiente a dos rendijas contiene 17 franjas de interferencia para cierta longitud de onda de la luz.
¿Cuántas franjas de interferencia existirán en el primer máximo secundario de
difracción?
Hay 8 franjas de interferencia a cada lado del máximo central. El máximo de difracción
secundario tiene la mitad de ancho que el central. De ello se deduce que contendrá 8
máximos de interferencia.
38. Luz de 550 nm de longitud de onda ilumina dos rendijas de anchura 0,03 mm y
separación 0,15 mm.
a) ¿Cuántos máximos de interferencia caen dentro de la anchura total del
máximo central de difracción?
b) ¿Cuál es el cociente entre la intensidad del tercer máximo de interferencia a
un lado de la línea central (sin contar el máximo central de interferencia) y
la intensidad del máximo de interferencia central?
a)
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
; =
????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????−????????????=????????????∗
????????????
????????????
−????????????=????????????∗
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????=????????????
b) Expresando la intensidad de un patrón de difracción de rendija única como
una función de la diferencia de fase ϕ :
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
; ∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Para m = 3
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗
????????????
????????????
; ????????????=????????????∗????????????∗
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????
=�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
=�
???????????????????????????????????? �
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
????????????
=????????????.????????????????????????????????????
Suma de ondas armónicas utilizando fasores
39. Hallar la resultante de las dos ondas
????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????? y ????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? (???????????? ????????????+????????????????????????????????????
????????????
)
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) m=5; N=2*m-1=9
36. Se observa un diagrama de interferencia – difracción de Fraunhofer producido
por dos rendijas con luz de 700 nm de longitud de onda. Las rendijas tienen
una anchura de 0,01 mm y están separadas por 0,2 mm. ¿Cuántas franjas
brillantes se verán en el máximo de difracción central?
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????−????????????=????????????∗
????????????
????????????
−????????????=????????????∗
????????????.???????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????=????????????????????????
37. Supóngase que el máximo central de difracción correspondiente a dos rendijas contiene 17 franjas de interferencia para cierta longitud de onda de la luz.
¿Cuántas franjas de interferencia existirán en el primer máximo secundario de
difracción?
Hay 8 franjas de interferencia a cada lado del máximo central. El máximo de difracción
secundario tiene la mitad de ancho que el central. De ello se deduce que contendrá 8
máximos de interferencia.
38. Luz de 550 nm de longitud de onda ilumina dos rendijas de anchura 0,03 mm y
separación 0,15 mm.
a) ¿Cuántos máximos de interferencia caen dentro de la anchura total del
máximo central de difracción?
b) ¿Cuál es el cociente entre la intensidad del tercer máximo de interferencia a
un lado de la línea central (sin contar el máximo central de interferencia) y
la intensidad del máximo de interferencia central?
a)
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
; =
????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????−????????????=????????????∗
????????????
????????????
−????????????=????????????∗
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
−????????????=????????????
b) Expresando la intensidad de un patrón de difracción de rendija única como
una función de la diferencia de fase ϕ :
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
; ∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Para m = 3
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗
????????????
????????????
; ????????????=????????????∗????????????∗
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????.???????????????????????? ????????????????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????
=�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
=�
???????????????????????????????????? �
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
????????????∗????????????
????????????
????????????
�
????????????
=????????????.????????????????????????????????????
Suma de ondas armónicas utilizando fasores
39. Hallar la resultante de las dos ondas
????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????? y ????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? (???????????? ????????????+????????????????????????????????????
????????????
)
????????????=????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????+????????????)
????????????=�????????????
????????????
+????????????
????????????
=????????????.????????????????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
−????????????
????????????
�=−????????????????????????.????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????????????????.????????????
????????????
)
40. Hallar la resultante de las dos ondas
????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????? y ????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? (???????????? ????????????+????????????????????????
????????????
)
????????????=????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????+????????????)
????????????=�(????????????+????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????)
????????????
+(????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????)
????????????
=????????????.????????????????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????+????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????
�=????????????????????????.????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????+????????????????????????.????????????
????????????
)
41. En el segundo máximo secundario del diagrama de difracción de una sola rendija, la
diferencia de fase entre las ondas procedentes de la parte superior e inferior de la
rendija es aproximadamente igual a 5 π . Los fasores utilizados para calcular la amplitud
en este punto completan 2,5 círculos. Si I
o es la intensidad en el máximo central, calcular
la intensidad I en este segundo máximo secundario.
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
; ∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????;????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∅=
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
????????????∗????????????
????????????
�
????????????∗????????????
????????????
�
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????∗????????????
????????????
42. a) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de tres fuentes igualmente separadas (separación d, siendo ???????????? ≫???????????? )
vienen dadas aproximadamente por
????????????=�????????????
????????????
+????????????
????????????
=????????????.????????????????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
−????????????
????????????
�=−????????????????????????.????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????????????????.????????????
????????????
)
40. Hallar la resultante de las dos ondas
????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????? y ????????????
????????????=???????????? ???????????????????????????????????? (???????????? ????????????+????????????????????????
????????????
)
????????????=????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????+????????????)
????????????=�(????????????+????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????)
????????????
+(????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????)
????????????
=????????????.????????????????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????+????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????
�=????????????????????????.????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????+????????????????????????.????????????
????????????
)
41. En el segundo máximo secundario del diagrama de difracción de una sola rendija, la
diferencia de fase entre las ondas procedentes de la parte superior e inferior de la
rendija es aproximadamente igual a 5 π . Los fasores utilizados para calcular la amplitud
en este punto completan 2,5 círculos. Si I
o es la intensidad en el máximo central, calcular
la intensidad I en este segundo máximo secundario.
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
∅
????????????
�
∅
????????????
�
????????????
; ∅=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????;????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∅=
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????
????????????∗�
???????????????????????????????????? �
????????????∗????????????
????????????
�
????????????∗????????????
????????????
�
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????∗????????????
????????????
42. a) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de tres fuentes igualmente separadas (separación d, siendo ???????????? ≫???????????? )
vienen dadas aproximadamente por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
donde n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, …
En donde n no es múltiplo de 3.
b) Para L = 1 m, λ = 5 10
-7
m y d = 0,1 mm, calcular la anchura de los máximos de
interferencia principales (distancia entre mínimos sucesivos) para las tres fuentes.
c) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de tres fuentes igualmente separadas (separación d, siendo ???????????? ≫????????????
) vienen dadas aproximadamente por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
donde n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, …
En donde n no es múltiplo de 3.
a) Consideremos tres fuentes S 1, S2 y S3 igualmente espaciadas a lo largo de un eje, con
separación d entre ellas. Colocamos una pantalla a una distancia grande L de las
fuentes, con d ≫λ.
La diferencia de camino entre las ondas de dos fuentes cualesquiera puede
ser aproximada, en el límite de L≫d, por:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗(????????????−????????????)∗????????????
????????????
donde i y j son los índices de las fuentes e y es la posición en la pantalla.
La interferencia destructiva ocurre cuando la diferencia de fase entre las
ondas de las diferentes fuentes es igual a un múltiplo impar de π, es decir,
cuando la diferencia de camino es un múltiplo impar de λ/2.
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 1 y 2:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????
????????????
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 2 y 3:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????′∗
????????????
????????????
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 1 y 3:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????"∗
????????????
????????????
Donde m, m′ y m′′ son enteros impares.
Para que ocurra interferencia destructiva total, necesitamos que la suma de las tres amplitudes sea mínima (o nula). Para lograr esto, la diferencia de fase debe ser tal que los términos interfieran destructivamente en las posiciones mínimas. Esto lleva a que y debe satisfacer:
????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
donde n es un entero que no es múltiplo de 3. Esto se debe a que para n múltiplo de 3, la diferencia de fase entre las ondas de las fuentes hará que las interferencias parciales se cancelen de manera constructiva, no destructiva.
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
donde n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, …
En donde n no es múltiplo de 3.
b) Para L = 1 m, λ = 5 10
-7
m y d = 0,1 mm, calcular la anchura de los máximos de
interferencia principales (distancia entre mínimos sucesivos) para las tres fuentes.
c) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de tres fuentes igualmente separadas (separación d, siendo ???????????? ≫????????????
) vienen dadas aproximadamente por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
donde n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, …
En donde n no es múltiplo de 3.
a) Consideremos tres fuentes S 1, S2 y S3 igualmente espaciadas a lo largo de un eje, con
separación d entre ellas. Colocamos una pantalla a una distancia grande L de las
fuentes, con d ≫λ.
La diferencia de camino entre las ondas de dos fuentes cualesquiera puede
ser aproximada, en el límite de L≫d, por:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗(????????????−????????????)∗????????????
????????????
donde i y j son los índices de las fuentes e y es la posición en la pantalla.
La interferencia destructiva ocurre cuando la diferencia de fase entre las
ondas de las diferentes fuentes es igual a un múltiplo impar de π, es decir,
cuando la diferencia de camino es un múltiplo impar de λ/2.
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 1 y 2:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????
????????????
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 2 y 3:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????′∗
????????????
????????????
Para interferencia destructiva entre las ondas de las fuentes 1 y 3:
????????????????????????
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????"∗
????????????
????????????
Donde m, m′ y m′′ son enteros impares.
Para que ocurra interferencia destructiva total, necesitamos que la suma de las tres amplitudes sea mínima (o nula). Para lograr esto, la diferencia de fase debe ser tal que los términos interfieran destructivamente en las posiciones mínimas. Esto lleva a que y debe satisfacer:
????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
donde n es un entero que no es múltiplo de 3. Esto se debe a que para n múltiplo de 3, la diferencia de fase entre las ondas de las fuentes hará que las interferencias parciales se cancelen de manera constructiva, no destructiva.
Podemos utilizar conceptos fasoriales para hallar el ángulo de fase δ en
términos de la cantidad de fasores N (tres en este problema) que forman un
polígono cerrado de N lados en los mínimos y luego utilizar esta
información para expresar la diferencia de trayectoria ∆r para cada una de
estas ubicaciones. Aplicando una aproximación de ángulo pequeño,
podemos obtener una expresión para y que podemos evaluar para una
cantidad suficiente de diferencias de trayectoria para establecer el patrón
dado en el enunciado del problema.
Expresar el ángulo de fase δ en términos del número de fasores N que
forman un polígono cerrado de N lados en el primer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
Expresar la diferencia de trayectorias ∆r en términos de sen θ y la separación d de las
rendijas:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando la aproximación de ángulo pequeño: ????????????????????????=????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
Como tenemos tres fuentes, N=3.
Para tres fuentes igualmente espaciadas, el ángulo de fase correspondiente al primer
mínimo es:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Para el segundo mínimo:
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Cuando la diferencia de trayectoria es λ, tenemos un máximo de interferencia.
El cuarto mínimo:
????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Resumiendo:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
,????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????????????????,…
b) ????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
43. a) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de cuatro fuentes igualmente espaciadas (espaciado d >> λ) vienen
dadas aproximadamente por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????????????????,…
Es decir, n no es múltiplo de 4.
términos de la cantidad de fasores N (tres en este problema) que forman un
polígono cerrado de N lados en los mínimos y luego utilizar esta
información para expresar la diferencia de trayectoria ∆r para cada una de
estas ubicaciones. Aplicando una aproximación de ángulo pequeño,
podemos obtener una expresión para y que podemos evaluar para una
cantidad suficiente de diferencias de trayectoria para establecer el patrón
dado en el enunciado del problema.
Expresar el ángulo de fase δ en términos del número de fasores N que
forman un polígono cerrado de N lados en el primer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
Expresar la diferencia de trayectorias ∆r en términos de sen θ y la separación d de las
rendijas:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando la aproximación de ángulo pequeño: ????????????????????????=????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
Como tenemos tres fuentes, N=3.
Para tres fuentes igualmente espaciadas, el ángulo de fase correspondiente al primer
mínimo es:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Para el segundo mínimo:
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Cuando la diferencia de trayectoria es λ, tenemos un máximo de interferencia.
El cuarto mínimo:
????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Resumiendo:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
,????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????????????????,…
b) ????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
43. a) Demostrar que las posiciones de los mínimos de interferencia en una pantalla a una
distancia grande L de cuatro fuentes igualmente espaciadas (espaciado d >> λ) vienen
dadas aproximadamente por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ????????????
???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????????????????,…
Es decir, n no es múltiplo de 4.
b) Para L = 2 m, λ= 6 10
-7
m y d= 0,1 mm, calcular la anchura de los máximos de
interferencia principales (distancia entre mínimos sucesivos) para las cuatro fuentes.
Comparar esta anchura con la de dos fuentes con el mismo espaciado.
a) Podemos utilizar conceptos fasoriales para hallar el ángulo de fase δ en
términos de la cantidad de fasores N (tres en este problema) que forman un
polígono cerrado de N lados en los mínimos y luego utilizar esta
información para expresar la diferencia de trayectoria ∆r para cada una de
estas ubicaciones. Aplicando una aproximación de ángulo pequeño,
podemos obtener una expresión para y que podemos evaluar para una
cantidad suficiente de diferencias de trayectoria para establecer el patrón
dado en el enunciado del problema.
Expresar el ángulo de fase δ en términos del número de fasores N que
forman un polígono cerrado de N lados en el primer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
Expresar la diferencia de trayectorias ∆r en términos de sen θ y la separación d de las
rendijas:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando la aproximación de ángulo pequeño: ????????????????????????=????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
Para cuatro fuentes igualmente espaciadas, el ángulo de fase correspondiente al
primer mínimo es:
????????????=
????????????
????????????
y ????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Para el segundo mínimo:
????????????=????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
El tercer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Resumiendo:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
,????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,…
c) ????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
Para 2 rendijas:
????????????∗????????????
????????????=????????????∗�????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????∗????????????
????????????
????????????=???????????? ; ????????????∗????????????
????????????=????????????∗�
???????????? ????????????
�∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
El ancho para cuatro fuentes es la mitad del ancho para dos fuentes.
44. Se hace incidir luz de 480 nm de longitud de onda sobre cuatro rendijas; cada una de
ellas de 2 μm de anchura y separada por 6 μ m.
-7
m y d= 0,1 mm, calcular la anchura de los máximos de
interferencia principales (distancia entre mínimos sucesivos) para las cuatro fuentes.
Comparar esta anchura con la de dos fuentes con el mismo espaciado.
a) Podemos utilizar conceptos fasoriales para hallar el ángulo de fase δ en
términos de la cantidad de fasores N (tres en este problema) que forman un
polígono cerrado de N lados en los mínimos y luego utilizar esta
información para expresar la diferencia de trayectoria ∆r para cada una de
estas ubicaciones. Aplicando una aproximación de ángulo pequeño,
podemos obtener una expresión para y que podemos evaluar para una
cantidad suficiente de diferencias de trayectoria para establecer el patrón
dado en el enunciado del problema.
Expresar el ángulo de fase δ en términos del número de fasores N que
forman un polígono cerrado de N lados en el primer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
Expresar la diferencia de trayectorias ∆r en términos de sen θ y la separación d de las
rendijas:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando la aproximación de ángulo pequeño: ????????????????????????=????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
Para cuatro fuentes igualmente espaciadas, el ángulo de fase correspondiente al
primer mínimo es:
????????????=
????????????
????????????
y ????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Para el segundo mínimo:
????????????=????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
El tercer mínimo:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗????????????=
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
Resumiendo:
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
,????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,????????????,…
c) ????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
Para 2 rendijas:
????????????∗????????????
????????????=????????????∗�????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????∗????????????
????????????
????????????=???????????? ; ????????????∗????????????
????????????=????????????∗�
???????????? ????????????
�∗
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
El ancho para cuatro fuentes es la mitad del ancho para dos fuentes.
44. Se hace incidir luz de 480 nm de longitud de onda sobre cuatro rendijas; cada una de
ellas de 2 μm de anchura y separada por 6 μ m.
a) Calcular el ángulo al centro del primer cero del diagrama de difracción de una
sola rendija.
b) Calcular los ángulos de cualquier máximo de interferencia brillante que se
encuentre en el interior del máximo de difracción central.
c) Calcular la dispersión angular entre el máximo de interferencia central y el
primer mínimo de interferencia en ambos lados de éste.
d) Representar la intensidad en función del ángulo en una pantalla distante.
a) Los primeros mínimos ocurren cuando:
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
; ????????????=???????????????????????????????????????????????????????????????????????? �
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
b) Los máximos de interferencia ocurren cuando: ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????)=????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
Como coincide con el mínimo de difracción no podrá verse.
c) En el problema 43 teníamos:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
d) Utilizando el método fasorial para mostrar la superposición de cuatro ondas de la
misma amplitud A
o y diferencia de fase constante ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????????????????.
Expresando A en términos de δ ′ y δ ′′:
????????????=????????????∗(????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????+A
o*cos δ')
La suma de los ángulos externos de un polígono es igual a 2π:
????????????∗????????????+????????????∗????????????=????????????∗????????????
sola rendija.
b) Calcular los ángulos de cualquier máximo de interferencia brillante que se
encuentre en el interior del máximo de difracción central.
c) Calcular la dispersión angular entre el máximo de interferencia central y el
primer mínimo de interferencia en ambos lados de éste.
d) Representar la intensidad en función del ángulo en una pantalla distante.
a) Los primeros mínimos ocurren cuando:
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
; ????????????=???????????????????????????????????????????????????????????????????????? �
????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
b) Los máximos de interferencia ocurren cuando: ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????)=????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????)=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
Como coincide con el mínimo de difracción no podrá verse.
c) En el problema 43 teníamos:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????
d) Utilizando el método fasorial para mostrar la superposición de cuatro ondas de la
misma amplitud A
o y diferencia de fase constante ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????????????????.
Expresando A en términos de δ ′ y δ ′′:
????????????=????????????∗(????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????+A
o*cos δ')
La suma de los ángulos externos de un polígono es igual a 2π:
????????????∗????????????+????????????∗????????????=????????????∗????????????
Examinando el diagrama fasorial vemos que:
????????????+????????????"=????????????
Eliminando α y resolviendo δ '' se obtiene:
????????????"=????????????/????????????∗????????????
La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es (n − 2)*π :
????????????∗????????????+????????????∗????????????"=????????????∗????????????
De la definición de ángulo recto tenemos:
????????????−????????????
′
+????????????=????????????
Eliminando φ entre estas ecuaciones se obtiene:
????????????
′
=
????????????
????????????
∗????????????
Substituyendo δ’ y δ” en la primera ecuación:
????????????=????????????∗????????????
????????????∗�????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????�+????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????��
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda resultante:
????????????=????????????∗????????????
????????????∗
�????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�+????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????��
????????????
Considerando la envolvente de difracción
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
;???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
45. Tres rendijas, cada una de ellas separada de sus vecinas en 0,06 mm, se iluminan
mediante una fuente de luz coherente de 550 nm de longitud de onda. Las rendijas son
extremadamente estrechas, de modo que pueden ignorarse los efetos de difracción. Se
sitúa una pantalla a 2,5 m de las rendijas. La intensidad de la línea central es 0,05 W/m
2
.
Consideremos un lugar a 1,72 cm de la línea central.
a) Dibujar los fasores, de acuerdo con el modelo para la suma de ondas armónicas,
apropiado para este lugar.
b) A partir del diagrama de fasores, calcular la intensidad luminosa en dicha posición.
a)
????????????+????????????"=????????????
Eliminando α y resolviendo δ '' se obtiene:
????????????"=????????????/????????????∗????????????
La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es (n − 2)*π :
????????????∗????????????+????????????∗????????????"=????????????∗????????????
De la definición de ángulo recto tenemos:
????????????−????????????
′
+????????????=????????????
Eliminando φ entre estas ecuaciones se obtiene:
????????????
′
=
????????????
????????????
∗????????????
Substituyendo δ’ y δ” en la primera ecuación:
????????????=????????????∗????????????
????????????∗�????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????�+????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????��
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda resultante:
????????????=????????????∗????????????
????????????∗
�????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�+????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????��
????????????
Considerando la envolvente de difracción
????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????
∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
;???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
45. Tres rendijas, cada una de ellas separada de sus vecinas en 0,06 mm, se iluminan
mediante una fuente de luz coherente de 550 nm de longitud de onda. Las rendijas son
extremadamente estrechas, de modo que pueden ignorarse los efetos de difracción. Se
sitúa una pantalla a 2,5 m de las rendijas. La intensidad de la línea central es 0,05 W/m
2
.
Consideremos un lugar a 1,72 cm de la línea central.
a) Dibujar los fasores, de acuerdo con el modelo para la suma de ondas armónicas,
apropiado para este lugar.
b) A partir del diagrama de fasores, calcular la intensidad luminosa en dicha posición.
a)
Expresando δ para las rendijas adyacentes:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Para ángulos pequeños sen ϴ ≈ tg ϴ=y/L.
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????=????????????????????????????????????
????????????
Los tres fasores, separados 270°, se muestran en el diagrama de la derecha. Observe
que forman tres lados de un cuadrado. En consecuencia, su suma, mostrada como la
resultante R, es igual a la magnitud de uno de los fasores.
b) ????????????∝????????????
????????????
????????????
????????????∝????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
46. Cuatro fuentes coherentes están situadas sobre el eje y en +
????????????????????????
????????????
,+
????????????
????????????
,−
????????????
????????????
,−
????????????????????????
????????????
. Emiten
ondas de longitud de onda λ e intensidad I
o. a) Calcular la intensidad neta I en función del ángulo ϴ medido desde el eje +x.
b) Hacer una representación polar de I( ϴ).
a) La diferencia de fase debida a la posición de una fuente respecto a un punto
de observación en un ángulo θ desde el eje x depende de la diferencia de
caminos recorridos. La diferencia de camino entre una fuente en posición y
y la dirección del ángulo θ es:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Para ángulos pequeños sen ϴ ≈ tg ϴ=y/L.
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????=????????????????????????????????????
????????????
Los tres fasores, separados 270°, se muestran en el diagrama de la derecha. Observe
que forman tres lados de un cuadrado. En consecuencia, su suma, mostrada como la
resultante R, es igual a la magnitud de uno de los fasores.
b) ????????????∝????????????
????????????
????????????
????????????∝????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
46. Cuatro fuentes coherentes están situadas sobre el eje y en +
????????????????????????
????????????
,+
????????????
????????????
,−
????????????
????????????
,−
????????????????????????
????????????
. Emiten
ondas de longitud de onda λ e intensidad I
o. a) Calcular la intensidad neta I en función del ángulo ϴ medido desde el eje +x.
b) Hacer una representación polar de I( ϴ).
a) La diferencia de fase debida a la posición de una fuente respecto a un punto
de observación en un ángulo θ desde el eje x depende de la diferencia de
caminos recorridos. La diferencia de camino entre una fuente en posición y
y la dirección del ángulo θ es:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
La diferencia de fase entre una fuente y el observador es entonces:
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Cada fuente emite una onda con la misma amplitud, pero con una diferencia de
fase que depende de su posición y del ángulo θ. La onda emitida por una fuente
en la posición y
i será:
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????�
Donde Eo es la amplitud de la onda asociada a cada fuente.
El campo eléctrico total en el punto de observación es la suma de los campos eléctricos de las cuatro fuentes:
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????=????????????
????????????∗(????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+
????????????????????????????????????�????????????∗????????????+
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+????????????????????????????????????�????????????∗????????????+
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�
Aplicando ???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? �
????????????+????????????
????????????
�∗????????????????????????????????????�
????????????−????????????
????????????
�
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????
????????????∗�????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????∗???????????????????????????????????? �????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????��
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico total. Por lo
tanto, la intensidad I(θ) será:
????????????(????????????)=????????????
????????????∗�????????????∗????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????��
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????�
Esta expresión describe cómo varía la intensidad en función del ángulo θ , mostrando los
máximos y mínimos de interferencia.
La diferencia de fase entre una fuente y el observador es entonces:
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Cada fuente emite una onda con la misma amplitud, pero con una diferencia de
fase que depende de su posición y del ángulo θ. La onda emitida por una fuente
en la posición y
i será:
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????�
Donde Eo es la amplitud de la onda asociada a cada fuente.
El campo eléctrico total en el punto de observación es la suma de los campos eléctricos de las cuatro fuentes:
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????=????????????
????????????∗(????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+????????????????????????????????????�????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+
????????????????????????????????????�????????????∗????????????+
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�+????????????????????????????????????�????????????∗????????????+
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????�
Aplicando ???????????????????????????????????? ????????????+???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? �
????????????+????????????
????????????
�∗????????????????????????????????????�
????????????−????????????
????????????
�
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????
????????????∗�????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????∗???????????????????????????????????? �????????????∗????????????−
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????��
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico total. Por lo
tanto, la intensidad I(θ) será:
????????????(????????????)=????????????
????????????∗�????????????∗????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????��
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????�
Esta expresión describe cómo varía la intensidad en función del ángulo θ , mostrando los
máximos y mínimos de interferencia.
47. En el caso de la difracción por una sola rendija, calcular los tres primeros
valores de ϕ (que es la diferencia de fase total entre los rayos procedentes de
cada borde de la rendija) que producen máximos subsidiarios mediante
a)El empleo del modelo de fasores.
b) haciendo dI/dϕ=0, en donde I viene dada por la ecuación
????????????=????????????
????????????∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
a)
Vemos que el primer máximo subsidiario ocurre cuando:
????????????=????????????∗????????????
valores de ϕ (que es la diferencia de fase total entre los rayos procedentes de
cada borde de la rendija) que producen máximos subsidiarios mediante
a)El empleo del modelo de fasores.
b) haciendo dI/dϕ=0, en donde I viene dada por la ecuación
????????????=????????????
????????????∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
a)
Vemos que el primer máximo subsidiario ocurre cuando:
????????????=????????????∗????????????
Se produce un mínimo cuando:
????????????=????????????∗????????????
El siguiente máximo será en:
????????????=????????????∗????????????
Por lo tanto, los máximos subsidiarios ocurren cuando:
????????????=(????????????∗????????????+????????????)∗????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…
y los tres primeros máximos subsidiarios están en φ = 3π, 5π y 7π.
b)
La intensidad en el patrón de difracción de una sola rendija está dada por:
????????????=????????????
????????????∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
Estableciendo la derivada de esta expresión igual a cero para los máximos o
mínimos:
????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????∗ ????????????
????????????∗
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
????????????
????????????
∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????�−
???????????? ????????????
∗???????????????????????????????????? �
???????????? ????????????
∗????????????�
�
???????????? ????????????
∗????????????�
???????????? =????????????
Operando:
????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�=
???????????? ????????????
∗????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????; ????????????.????????????????????????∗ ????????????; ????????????.????????????????????????∗????????????
Difracción y resolución
48. Una luz de 700 nm de longitud de onda está incidiendo sobre un orificio
de diámetro 0,1 mm.
a) ¿Cuál es el ángulo que hay entre el máximo central y el primer mínimo
de difracción correspondiente a una difracción de Fraunhofer?
b) ¿Cuál es la distancia entre el máximo central y el primer mínimo de
difracción en una pantalla situada a 8 m?
a)
El ángulo entre el máximo central y el primer mínimo de difracción para un
patrón de difracción de Fraunhofer viene dado por:
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????
El siguiente máximo será en:
????????????=????????????∗????????????
Por lo tanto, los máximos subsidiarios ocurren cuando:
????????????=(????????????∗????????????+????????????)∗????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…
y los tres primeros máximos subsidiarios están en φ = 3π, 5π y 7π.
b)
La intensidad en el patrón de difracción de una sola rendija está dada por:
????????????=????????????
????????????∗�
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
???????????? ????????????
∗????????????
�
????????????
Estableciendo la derivada de esta expresión igual a cero para los máximos o
mínimos:
????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????∗ ????????????
????????????∗
????????????????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�
????????????
????????????
∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????�
???????????? ????????????
∗????????????�−
???????????? ????????????
∗???????????????????????????????????? �
???????????? ????????????
∗????????????�
�
???????????? ????????????
∗????????????�
???????????? =????????????
Operando:
????????????????????????�
????????????
????????????
∗????????????�=
???????????? ????????????
∗????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????; ????????????.????????????????????????∗ ????????????; ????????????.????????????????????????∗????????????
Difracción y resolución
48. Una luz de 700 nm de longitud de onda está incidiendo sobre un orificio
de diámetro 0,1 mm.
a) ¿Cuál es el ángulo que hay entre el máximo central y el primer mínimo
de difracción correspondiente a una difracción de Fraunhofer?
b) ¿Cuál es la distancia entre el máximo central y el primer mínimo de
difracción en una pantalla situada a 8 m?
a)
El ángulo entre el máximo central y el primer mínimo de difracción para un
patrón de difracción de Fraunhofer viene dado por:
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
b) ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? (????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
49. Dos fuentes de longitud de onda 700 nm están a 10 m del orificio del problema 48.
¿A qué distancia deben estar entre sí las fuentes para que sus diagramas de
difracción sean resueltos por el criterio de Rayleigh?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Relacionando αc con la separación Δy de las fuentes de luz:
????????????
????????????≈
∆????????????
????????????
???????????????????????? ????????????
????????????≪????????????
De ambas:
∆????????????
????????????
≈????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
∗????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
50. Dos fuentes de longitud de onda 700 nm de longitud de onda están separadas por una distancia horizontal x. Están a 5 m de una rendija vertical de 0,5 mm de anchura. ¿Cuál es el menor valor de x que permite que el diagrama de difracción de las fuentes sea resuelto mediante el criterio de Rayleigh?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
Para las rendijas, el criterio de Rayleigh es:
????????????
????????????=
????????????
????????????
De ambas:
???????????? ????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
b) ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? (????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
49. Dos fuentes de longitud de onda 700 nm están a 10 m del orificio del problema 48.
¿A qué distancia deben estar entre sí las fuentes para que sus diagramas de
difracción sean resueltos por el criterio de Rayleigh?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Relacionando αc con la separación Δy de las fuentes de luz:
????????????
????????????≈
∆????????????
????????????
???????????????????????? ????????????
????????????≪????????????
De ambas:
∆????????????
????????????
≈????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
∗????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
50. Dos fuentes de longitud de onda 700 nm de longitud de onda están separadas por una distancia horizontal x. Están a 5 m de una rendija vertical de 0,5 mm de anchura. ¿Cuál es el menor valor de x que permite que el diagrama de difracción de las fuentes sea resuelto mediante el criterio de Rayleigh?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
Para las rendijas, el criterio de Rayleigh es:
????????????
????????????=
????????????
????????????
De ambas:
???????????? ????????????
=
????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
51. Los faros de un pequeño coche se encuentran separados por una distancia de 112
cm. ¿A qué distancia máxima pueden resolverse estos faros si el diámetro de las
pupilas es de 5 mm y la longitud de onda efectiva de la luz es de 550 nm?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
52. Los cazadores suelen decir que no se debe disparar hasta que se observa el
blanco de los ojos del animal. Si los ojos se encuentran separados entre sí por
una distancia de 6,5 cm y el diámetro de la pupila del observador es de 5 mm, ¿a
qué distancia pueden resolverse los dos ojos utilizando luz de 550 nm?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
53. a) ¿A qué distancia deben estar entre sí dos objetos en la Luna para que puedan
ser resueltos por el ojo sin la ayuda de ningún instrumento? Considerar que el
diámetro de la pupila del ojo es de 5 mm, la longitud de onda de la luz es de 600
nm y la distancia a la Luna es de 380 000 km.
b) ¿A qué distancia deben estar los objetos en la Luna para que sean resueltos
mediante un telescopio que tiene un espejo de 5 m de diámetro?
a)
cm. ¿A qué distancia máxima pueden resolverse estos faros si el diámetro de las
pupilas es de 5 mm y la longitud de onda efectiva de la luz es de 550 nm?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
52. Los cazadores suelen decir que no se debe disparar hasta que se observa el
blanco de los ojos del animal. Si los ojos se encuentran separados entre sí por
una distancia de 6,5 cm y el diámetro de la pupila del observador es de 5 mm, ¿a
qué distancia pueden resolverse los dos ojos utilizando luz de 550 nm?
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
53. a) ¿A qué distancia deben estar entre sí dos objetos en la Luna para que puedan
ser resueltos por el ojo sin la ayuda de ningún instrumento? Considerar que el
diámetro de la pupila del ojo es de 5 mm, la longitud de onda de la luz es de 600
nm y la distancia a la Luna es de 380 000 km.
b) ¿A qué distancia deben estar los objetos en la Luna para que sean resueltos
mediante un telescopio que tiene un espejo de 5 m de diámetro?
a)
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
b) ????????????=????????????.????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
=????????????????????????,???????????????????????????????????? ????????????
54. Normalmente el techo de las bibliotecas se recubre de un tipo de aislante
acústico que posee pequeños orificios separados por una distancia
aproximada de 6,0 mm.
a) Utilizando luz con longitud de onda de 500 nm, ¿a qué distancia debería
encontrarse una persona para resolver estos orificios? El diámetro de la
pupila del ojo del observador es de aproximadamente 5 mm.
b) ¿Podrían verse mejor estos orificios si se utilizara luz roja o luz violeta?
a)
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????
b) K es inversamente proporcional a la longitud de onda, a mayor longitud de
onda menor L. Se resolverán mejor con luz violeta al tener esta menor
longitud de onda.
55. El telescopio de Monte Palomar posee un diámetro aproximado de 5 m.
Suponiendo que las condiciones fueran ideales, observamos una estrella
binaria que se encuentra a 4 años luz. ¿Cuál debe ser la separación mínima
de las dos estrellas del sistema para que sus imágenes puedan ser resueltas
utilizando luz de longitud de onda 550 nm?
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
b) ????????????=????????????.????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
=????????????????????????,???????????????????????????????????? ????????????
54. Normalmente el techo de las bibliotecas se recubre de un tipo de aislante
acústico que posee pequeños orificios separados por una distancia
aproximada de 6,0 mm.
a) Utilizando luz con longitud de onda de 500 nm, ¿a qué distancia debería
encontrarse una persona para resolver estos orificios? El diámetro de la
pupila del ojo del observador es de aproximadamente 5 mm.
b) ¿Podrían verse mejor estos orificios si se utilizara luz roja o luz violeta?
a)
????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????? ????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
;????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????
b) K es inversamente proporcional a la longitud de onda, a mayor longitud de
onda menor L. Se resolverán mejor con luz violeta al tener esta menor
longitud de onda.
55. El telescopio de Monte Palomar posee un diámetro aproximado de 5 m.
Suponiendo que las condiciones fueran ideales, observamos una estrella
binaria que se encuentra a 4 años luz. ¿Cuál debe ser la separación mínima
de las dos estrellas del sistema para que sus imágenes puedan ser resueltas
utilizando luz de longitud de onda 550 nm?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Al ser la distancia muy grande ????????????
????????????≪????????????:
????????????
????????????≈
∆????????????
????????????
∆????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
; ∆????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗
???????????? ????????????ñ???????????????????????? ????????????????????????????????????∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
???????????? ????????????ñ????????????
∗
???????????????????????? ????????????
???????????? ????????????????????????????????????
∗
????????????????????????????????????????????????????????????
???????????? ????????????
∗
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
???????????? ????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
56. La estrella Mizar de la Osa Mayor es un sistema binario formado por dos
estrellas de magnitudes iguales. La separación angular entre las dos
estrellas es de 14 segundos de arco. ¿Cuál es el diámetro mínimo de la
pupila que permite la resolución de las dos estrellas utilizando luz de
longitud de onda 550 nm?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
???????????????????????? "∗
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????"
∗
???????????? ????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
Redes de difracción
57. Cuando una red de difracción se ilumina con luz blanca, el máximo de luz verde de primer orden
a) Está más próximo al máximo central que el de la luz roja.
b) Está más próximo al máximo central que el de la luz azul.
c) Solapa el máximo de luz roja de segundo orden.
d) Solapa al máximo de luz azul de segundo orden.
Respuesta correcta (a).
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Al ser la distancia muy grande ????????????
????????????≪????????????:
????????????
????????????≈
∆????????????
????????????
∆????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
; ∆????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????∗????????????
????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗
???????????? ????????????ñ???????????????????????? ????????????????????????????????????∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
???????????? ????????????ñ????????????
∗
???????????????????????? ????????????
???????????? ????????????????????????????????????
∗
????????????????????????????????????????????????????????????
???????????? ????????????
∗
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
???????????? ????????????
∆????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
56. La estrella Mizar de la Osa Mayor es un sistema binario formado por dos
estrellas de magnitudes iguales. La separación angular entre las dos
estrellas es de 14 segundos de arco. ¿Cuál es el diámetro mínimo de la
pupila que permite la resolución de las dos estrellas utilizando luz de
longitud de onda 550 nm?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
???????????????????????? "∗
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????"
∗
???????????? ????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
Redes de difracción
57. Cuando una red de difracción se ilumina con luz blanca, el máximo de luz verde de primer orden
a) Está más próximo al máximo central que el de la luz roja.
b) Está más próximo al máximo central que el de la luz azul.
c) Solapa el máximo de luz roja de segundo orden.
d) Solapa al máximo de luz azul de segundo orden.
Respuesta correcta (a).
58. Una red de difracción con 2000 rendijas por centímetro se utiliza para
medir las longitudes de onda emitidas por el gas hidrógeno. ¿Para que
ángulos ϴ, en el espectro de primer orden, encontraremos las dos líneas
violetas de 434 y 410 nm de longitud de onda?
Los máximos de interferencia en un patrón de difracción se encuentran en
ángulos θ, dados por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�
El número de líneas por centímetro cumple:
????????????=
????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????∗???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????
????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????∗???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????
59. Con la red utilizada en el problema 58 se encuentran otras dos líneas del
espectro de hidrógeno de primer orden en los ángulos ϴ
1= 9,72 10
-2
rad
y ϴ
2= 1,32 10
-1
rad. Hallar las longitudes de onda de estas líneas.
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????∗(????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????)????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????∗(????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????)????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
60. Repetir el problema 58 en el caso de una red con 15000 líneas por
centímetro.
Los máximos de interferencia en un patrón de difracción se encuentran en
ángulos θ, dados por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�
El número de líneas por centímetro cumple:
????????????=
????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????∗???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????.????????????????????????
????????????
????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????∗???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????.????????????????????????
????????????
61. ¿Cuál es la longitud de onda más larga que puede observarse en el
espectro de quinto orden utilizando una red con 4000 rendijas por
centímetro?
Podemos utilizar la ecuación con sinθ = 1 y m = 5 para encontrar la
longitud de onda más larga que se puede observar en el espectro de
quinto orden con el espaciado de rejilla dado.
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
medir las longitudes de onda emitidas por el gas hidrógeno. ¿Para que
ángulos ϴ, en el espectro de primer orden, encontraremos las dos líneas
violetas de 434 y 410 nm de longitud de onda?
Los máximos de interferencia en un patrón de difracción se encuentran en
ángulos θ, dados por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�
El número de líneas por centímetro cumple:
????????????=
????????????
????????????
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????????????
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????????????
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????????????
59. Con la red utilizada en el problema 58 se encuentran otras dos líneas del
espectro de hidrógeno de primer orden en los ángulos ϴ
1= 9,72 10
-2
rad
y ϴ
2= 1,32 10
-1
rad. Hallar las longitudes de onda de estas líneas.
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????
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????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
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−????????????
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−????????????
????????????
60. Repetir el problema 58 en el caso de una red con 15000 líneas por
centímetro.
Los máximos de interferencia en un patrón de difracción se encuentran en
ángulos θ, dados por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
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El número de líneas por centímetro cumple:
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????????????
????????????
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????????????
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???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????.????????????????????????
????????????
????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????∗???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????�
????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=????????????????????????.????????????????????????
????????????
61. ¿Cuál es la longitud de onda más larga que puede observarse en el
espectro de quinto orden utilizando una red con 4000 rendijas por
centímetro?
Podemos utilizar la ecuación con sinθ = 1 y m = 5 para encontrar la
longitud de onda más larga que se puede observar en el espectro de
quinto orden con el espaciado de rejilla dado.
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
62. Una red de 2000 rendijas por centímetro se utiliza para analizar el
espectro del mercurio.
a) Hallar la desviación angular de primer orden de las dos líneas de
579,0 y 577,0 nm de longitud de onda.
b) ¿Cuál deberá ser la anchura del haz en la red para que puedan
resolverse estas líneas?
a) ????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????????????????=????????????
????????????????????????????????????−????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)−????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
b) Expresando el ancho de banda para la resolución:
????????????=????????????∗????????????
Relacionando el poder de resolución de la rejilla de difracción con el número
de rendijas N que deben iluminarse para resolver estas longitudes de onda
en el orden m:
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
N=
????????????
????????????????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
∗
????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????????????????
∗
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
63. Una red de difracción que posee 4800 líneas por centímetro se ilumina
con incidencia normal por luz blanca (longitudes de onda en el intervalo
400 a 700 nm). ¿Cuántos órdenes pueden observarse en el espectro
completo de la luz transmitida? ¿Se solapan algunos de estos órdenes?
En caso afirmativo, describir las regiones de solapamiento.
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
Si queremos ver el espectro completo:
???????????????????????????????????? ????????????≤???????????? ;????????????≤
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????,????????????????????????
Podemos ver el espectro completo para m=1 y m=2.
Expresando la condición de superposición:
????????????
????????????∗????????????
????????????≥????????????
????????????∗????????????
????????????
Dado que 700 nm < 2× 400 nm, no hay superposición del espectro de segundo
orden con el espectro de primer orden; sin embargo, hay superposición de
longitudes de onda largas en el segundo orden con longitudes de onda cortas
en el espectro de tercer orden.
64. Una red de difracción cuadrada con un área de 25 cm
2
tiene una resolución de 22
000 en el cuarto orden. ¿con qué ángulo deberá realizarse una observación para
ver una longitud de onda de 510 nm en el cuarto orden?
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
62. Una red de 2000 rendijas por centímetro se utiliza para analizar el
espectro del mercurio.
a) Hallar la desviación angular de primer orden de las dos líneas de
579,0 y 577,0 nm de longitud de onda.
b) ¿Cuál deberá ser la anchura del haz en la red para que puedan
resolverse estas líneas?
a) ????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????????????????=????????????
????????????????????????????????????−????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)−????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
b) Expresando el ancho de banda para la resolución:
????????????=????????????∗????????????
Relacionando el poder de resolución de la rejilla de difracción con el número
de rendijas N que deben iluminarse para resolver estas longitudes de onda
en el orden m:
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
N=
????????????
????????????????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
∗
????????????
????????????
=
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????????????????
∗
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
63. Una red de difracción que posee 4800 líneas por centímetro se ilumina
con incidencia normal por luz blanca (longitudes de onda en el intervalo
400 a 700 nm). ¿Cuántos órdenes pueden observarse en el espectro
completo de la luz transmitida? ¿Se solapan algunos de estos órdenes?
En caso afirmativo, describir las regiones de solapamiento.
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
Si queremos ver el espectro completo:
???????????????????????????????????? ????????????≤???????????? ;????????????≤
????????????
????????????
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????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
=
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????,????????????????????????
Podemos ver el espectro completo para m=1 y m=2.
Expresando la condición de superposición:
????????????
????????????∗????????????
????????????≥????????????
????????????∗????????????
????????????
Dado que 700 nm < 2× 400 nm, no hay superposición del espectro de segundo
orden con el espectro de primer orden; sin embargo, hay superposición de
longitudes de onda largas en el segundo orden con longitudes de onda cortas
en el espectro de tercer orden.
64. Una red de difracción cuadrada con un área de 25 cm
2
tiene una resolución de 22
000 en el cuarto orden. ¿con qué ángulo deberá realizarse una observación para
ver una longitud de onda de 510 nm en el cuarto orden?
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
El poder de resolución R viene dado por:
????????????=????????????∗????????????
La relación de d con el ancho w de la rejilla:
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
Usando la condición de máximo:
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
�=????????????????????????
????????????
a) Se hace incidir luz de sodio de 589 nm d longitud de onda normalmente
sobre una red de difracción de 2 cm
2
con 4000 líneas por centímetro. Se
proyecta el diagrama de difracción de Fraunhofer sobre una pantalla
situada a 1,5 m mediante una lente de 1,5 m de distancia focal situada
justo enfrente de la red. Calcular
a) Las posiciones de los dos primeros máximos de intensidad en uno
de los lados del máximo central.
b) La anchura del máximo central.
c) La resolución en el primer orden.
a)
La distancia en la pantalla hasta la franja brillante m se puede encontrar
utilizando
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗???????????? ,
????????????
????????????=????????????∗�????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????�=????????????.????????????????????????????????????∗????????????
m=1; ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
m=2;
????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
b) El ángulo θmin que ubica el primer mínimo en el patrón de difracción viene
dado por:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????∗????????????
donde Δy es el ancho del máximo central.
∆????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????????????????∗
????????????
????????????????????????????????????????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
c) La resolución R en el orden m está dada por:
????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????????????????????
b) El espectro del neón es excepcionalmente rico en la región visible.
Entre las múltiples líneas hay dos que corresponden a las longitudes
de onda 519, 313 y 519,322 nm. Si la luz procedente de una descarga
de un tubo de neón incide normalmente sobre una red de transmisión
de 8400 líneas por centímetro y se observa el espectro en el segundo
orden, ¿Cuál debe ser la anchura de la red iluminada para que
puedan resolverse estas dos líneas?
????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????
Tomamos λ el promedio de las longitudes de onda dadas:
????????????=????????????∗????????????
La relación de d con el ancho w de la rejilla:
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
Usando la condición de máximo:
????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????
�=????????????????????????
????????????
a) Se hace incidir luz de sodio de 589 nm d longitud de onda normalmente
sobre una red de difracción de 2 cm
2
con 4000 líneas por centímetro. Se
proyecta el diagrama de difracción de Fraunhofer sobre una pantalla
situada a 1,5 m mediante una lente de 1,5 m de distancia focal situada
justo enfrente de la red. Calcular
a) Las posiciones de los dos primeros máximos de intensidad en uno
de los lados del máximo central.
b) La anchura del máximo central.
c) La resolución en el primer orden.
a)
La distancia en la pantalla hasta la franja brillante m se puede encontrar
utilizando
????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗???????????? ,
????????????
????????????=????????????∗�????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????�=????????????.????????????????????????????????????∗????????????
m=1; ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
m=2;
????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
b) El ángulo θmin que ubica el primer mínimo en el patrón de difracción viene
dado por:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????∗????????????
donde Δy es el ancho del máximo central.
∆????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????????????????∗
????????????
????????????????????????????????????????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
c) La resolución R en el orden m está dada por:
????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????????????????????
b) El espectro del neón es excepcionalmente rico en la región visible.
Entre las múltiples líneas hay dos que corresponden a las longitudes
de onda 519, 313 y 519,322 nm. Si la luz procedente de una descarga
de un tubo de neón incide normalmente sobre una red de transmisión
de 8400 líneas por centímetro y se observa el espectro en el segundo
orden, ¿Cuál debe ser la anchura de la red iluminada para que
puedan resolverse estas dos líneas?
????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????
Tomamos λ el promedio de las longitudes de onda dadas:
????????????=
????????????
????????????
∗(????????????????????????????????????,????????????????????????????????????+????????????????????????????????????,????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
∗
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????∗(????????????????????????????????????,????????????????????????????????????−????????????????????????????????????,????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
c) El mercurio tiene varios isótopos estables, entre ellos
????????????????????????
????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????
????????????????????????????????????
. La línea espectral intensa del mercurio de unos
545,07 nm está formada por varias líneas espectrales que
corresponden a diversos isótopos del mercurio. Las longitudes de
onda de esta línea para el ????????????????????????
????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????
????????????????????????????????????
son 546,07532 y 546,07355
respectivamente. ¿Cuál debe ser el poder de resolución de una red
capaz de resolver estas dos líneas isotópicas en el espectro de tercer
orden? Si la red se ilumina en una región de 2 cm de anchura, ¿Cuál
debe ser el número de líneas por centímetro de la red?
????????????=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????−????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
d) Una red de transmisión se utiliza para estudiar la región espectral de 480 a 500 nm. La dispersión angular de esta región es 12º en el tercer orden.
a) Determinar el número de líneas por centímetro.
b) ¿Cuántos órdenes son visibles?
a) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Usando 1/d=n
???????????????????????????????????? ???????????? =
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
Usando 1/d=n
????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????
≈
∆????????????
∆????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
∆????????????
∆????????????
=
????????????
????????????
∗√????????????−????????????????????????????????????
????????????
????????????∗
∆????????????
∆????????????
Usando la expresión de sen ϴ del principio:
????????????=
????????????
????????????
∗√????????????−????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗
∆????????????
∆????????????
????????????
????????????
∗�????????????+�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
∗????????????
????????????
�=
????????????
????????????
????????????
∗�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
∆????????????
∆????????????
�????????????+�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗
????????????
��
∆????????????
∆????????????
�
????????????
+????????????
????????????
????????????
????????????
∗(????????????????????????????????????,????????????????????????????????????+????????????????????????????????????,????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
∗
????????????
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????∗(????????????????????????????????????,????????????????????????????????????−????????????????????????????????????,????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
c) El mercurio tiene varios isótopos estables, entre ellos
????????????????????????
????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????
????????????????????????????????????
. La línea espectral intensa del mercurio de unos
545,07 nm está formada por varias líneas espectrales que
corresponden a diversos isótopos del mercurio. Las longitudes de
onda de esta línea para el ????????????????????????
????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????
????????????????????????????????????
son 546,07532 y 546,07355
respectivamente. ¿Cuál debe ser el poder de resolución de una red
capaz de resolver estas dos líneas isotópicas en el espectro de tercer
orden? Si la red se ilumina en una región de 2 cm de anchura, ¿Cuál
debe ser el número de líneas por centímetro de la red?
????????????=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????−????????????????????????????????????,????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
d) Una red de transmisión se utiliza para estudiar la región espectral de 480 a 500 nm. La dispersión angular de esta región es 12º en el tercer orden.
a) Determinar el número de líneas por centímetro.
b) ¿Cuántos órdenes son visibles?
a) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Usando 1/d=n
???????????????????????????????????? ???????????? =
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
Usando 1/d=n
????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????
≈
∆????????????
∆????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
∆????????????
∆????????????
=
????????????
????????????
∗√????????????−????????????????????????????????????
????????????
????????????∗
∆????????????
∆????????????
Usando la expresión de sen ϴ del principio:
????????????=
????????????
????????????
∗√????????????−????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗
∆????????????
∆????????????
????????????
????????????
∗�????????????+�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
∗????????????
????????????
�=
????????????
????????????
????????????
∗�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
∆????????????
∆????????????
�????????????+�
∆????????????
∆????????????
�
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗
????????????
��
∆????????????
∆????????????
�
????????????
+????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
�????????????????????????
−????????????∗????????????
∗(�
????????????????????????????????????−????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????
∗
???????????? ????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
+�
????????????????????????????????????+????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
????????????????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????,????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
≈????????????
e) Una luz blanca incide normalmente sobre una red de transmisión y
el espectro se observa sobre una pantalla situada a 8,0 m de la red.
En el espectro de segundo orden la separación entre las longitudes de
onda de 520 y 590 m es de 8,4 cm.
a) Determinar el número de líneas por centímetro de la red.
b) ¿Cuál es la separación entre estas dos longitudes de onda en los
espectros de primer y tercer orden?
a)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Si ϴ
2<<1:
???????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≈???????????????????????? ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∆????????????=????????????
????????????−????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????−????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
(????????????
????????????−????????????????????????
)
=
????????????.????????????????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
Para confirmar ϴ2<<1:
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
)=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
<<1
???????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≈???????????????????????? ????????????
????????????≈????????????
???????????? b) ∆????????????=????????????
????????????−????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)=????????????∗????????????∗????????????(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=????????????
∆????????????=????????????∗????????????∗(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????
∆????????????=????????????∗????????????∗(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
????????????
????????????
∗
????????????
�????????????????????????
−????????????∗????????????
∗(�
????????????????????????????????????−????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????
∗
???????????? ????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
+�
????????????????????????????????????+????????????????????????????????????
????????????
�
????????????
=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
????????????????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????,????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
≈????????????
e) Una luz blanca incide normalmente sobre una red de transmisión y
el espectro se observa sobre una pantalla situada a 8,0 m de la red.
En el espectro de segundo orden la separación entre las longitudes de
onda de 520 y 590 m es de 8,4 cm.
a) Determinar el número de líneas por centímetro de la red.
b) ¿Cuál es la separación entre estas dos longitudes de onda en los
espectros de primer y tercer orden?
a)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Si ϴ
2<<1:
???????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≈???????????????????????? ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∆????????????=????????????
????????????−????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????−????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
(????????????
????????????−????????????????????????
)
=
????????????.????????????????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
Para confirmar ϴ2<<1:
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
)=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
<<1
???????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≈???????????????????????? ????????????
????????????≈????????????
???????????? b) ∆????????????=????????????
????????????−????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
(????????????
????????????−????????????
????????????)=????????????∗????????????∗????????????(????????????
????????????−????????????
????????????)
????????????=????????????
∆????????????=????????????∗????????????∗(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????
∆????????????=????????????∗????????????∗(????????????????????????????????????−????????????????????????????????????)∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
f) Una red de difracción posee n líneas por metro. Demostrar que la
separación angular de dos líneas de longitudes de onda λ y λ+Δλ
metros es aproximadamente
∆????????????=
∆????????????
�(????????????/????????????????????????)
????????????
−????????????
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
????????????????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
=????????????∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
∆????????????
∆????????????
∆????????????=
????????????∗????????????∗∆????????????
???????????????????????????????????? ????????????
=
????????????∗????????????∗∆????????????
�????????????−????????????????????????????????????
????????????
????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
∆????????????=
????????????∗????????????∗∆????????????
�????????????−????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
∆????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
g) En el caso de una red de difracción estamos interesados no sólo en
el poder de resolución R, que es la capacidad de la red para separar dos longitudes de onda próximas, sino también en la
dispersión ????????????=
∆????????????????????????
∆????????????
en el orden m-ésimo.
a) Demostrar que puede escribirse D como
????????????=
????????????
�????????????
????????????
−????????????
????????????
∗????????????
????????????
b) Si se han de resolver las dos rayas amarillas del sodio
(longitudes de onda 589,0 y 589,6 nm) mediante una red de
difracción de segundo orden con 2000 rendijas por centímetro,
¿Cuántas rendijas deben ser iluminadas mediante el haz?
c) ¿Cuál será la separación entre estas líneas amarillas resueltas
si se observa el diagrama en una pantalla situada a 4 m de la
red?
a) En el problema anterior:
∆????????????=
∆????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
????????????=
????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
=
????????????
�
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????
�????????????
????????????
−????????????
????????????
∗????????????
????????????
b) ????????????=
????????????
????????????????????????
=
????????????????????????????????????.????????????
????????????.????????????
=????????????????????????????????????
????????????=????????????∗????????????;????????????=
????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
????????????=???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
????????????=
????????????????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
c) ???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
Para λ1= 589,0 nm
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????
separación angular de dos líneas de longitudes de onda λ y λ+Δλ
metros es aproximadamente
∆????????????=
∆????????????
�(????????????/????????????????????????)
????????????
−????????????
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
????????????????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
=????????????∗ ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗
∆????????????
∆????????????
∆????????????=
????????????∗????????????∗∆????????????
???????????????????????????????????? ????????????
=
????????????∗????????????∗∆????????????
�????????????−????????????????????????????????????
????????????
????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
∆????????????=
????????????∗????????????∗∆????????????
�????????????−????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
∆????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
g) En el caso de una red de difracción estamos interesados no sólo en
el poder de resolución R, que es la capacidad de la red para separar dos longitudes de onda próximas, sino también en la
dispersión ????????????=
∆????????????????????????
∆????????????
en el orden m-ésimo.
a) Demostrar que puede escribirse D como
????????????=
????????????
�????????????
????????????
−????????????
????????????
∗????????????
????????????
b) Si se han de resolver las dos rayas amarillas del sodio
(longitudes de onda 589,0 y 589,6 nm) mediante una red de
difracción de segundo orden con 2000 rendijas por centímetro,
¿Cuántas rendijas deben ser iluminadas mediante el haz?
c) ¿Cuál será la separación entre estas líneas amarillas resueltas
si se observa el diagrama en una pantalla situada a 4 m de la
red?
a) En el problema anterior:
∆????????????=
∆????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
????????????=
????????????
��
????????????
????????????∗????????????
�
????????????
−????????????
????????????
=
????????????
�
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
−
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????
�????????????
????????????
−????????????
????????????
∗????????????
????????????
b) ????????????=
????????????
????????????????????????
=
????????????????????????????????????.????????????
????????????.????????????
=????????????????????????????????????
????????????=????????????∗????????????;????????????=
????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
????????????=???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????
−????????????
∗
???????????????????????????????????? ????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
????????????=
????????????????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
c) ???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????
Para λ1= 589,0 nm
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????????????????)=????????????????????????.????????????????????????
????????????
Para λ
2= 589,6 nm
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????????????????????????????)=????????????????????????.????????????????????????
????????????
????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????=????????????∗????????????????????????=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
h) En el caso de una red de difracción en la que todas las
superficies son normales a la radiación incidente, la mayoría de
la energía se consume en el orden cero, que resulta inútil desde
el punto de vista espectroscópico puesto que las diversas
longitudes de onda corresponden al ángulo 0
o
. Por
consiguiente, las redes modernas tienen los surcos con forma
especial como se ve en la figura. Estos surcos así conformados
desplazan la reflexión especular, que contiene la mayor parte
de la energía, del orden cero a otro superior.
a) Calcular el ángulo de inclinación ϕ en función de a
(separación entre los surcos), de λ (la longitud de onda) y de
m (el orden en el que ha de producirse la reflexión
especular).
b) Calcular el ángulo adecuado para que la reflexión especular
se produzca Enel segundo orden para la luz de longitud de
onda de 450 nm que incide sobre una red con 10 000 líneas
por centímetro.
a) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Los ángulos ϴ y ϕ
tienen sus lado izquierdo y derecho mutuamente
perpendiculares:????????????
????????????=????????????
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�
b) ????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
�=????????????????????????.????????????
????????????
i) En este problema se deducirá la ecuación ???????????? =
????????????
????????????????????????
=????????????∗???????????? que da el
poder de resolución de una red de difracción que contiene N rendijas separadas entre sí por una distancia d. para ello, se calculará la
separación angular entre el máximo y el mínimo para una cierta
longitud de onda λ y la haremos igual a la separación angular del
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????????????????)=????????????????????????.????????????????????????
????????????
Para λ
2= 589,6 nm
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????????????????????????????????????????)=????????????????????????.????????????????????????
????????????
????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????=????????????∗????????????????????????=????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
h) En el caso de una red de difracción en la que todas las
superficies son normales a la radiación incidente, la mayoría de
la energía se consume en el orden cero, que resulta inútil desde
el punto de vista espectroscópico puesto que las diversas
longitudes de onda corresponden al ángulo 0
o
. Por
consiguiente, las redes modernas tienen los surcos con forma
especial como se ve en la figura. Estos surcos así conformados
desplazan la reflexión especular, que contiene la mayor parte
de la energía, del orden cero a otro superior.
a) Calcular el ángulo de inclinación ϕ en función de a
(separación entre los surcos), de λ (la longitud de onda) y de
m (el orden en el que ha de producirse la reflexión
especular).
b) Calcular el ángulo adecuado para que la reflexión especular
se produzca Enel segundo orden para la luz de longitud de
onda de 450 nm que incide sobre una red con 10 000 líneas
por centímetro.
a) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
Los ángulos ϴ y ϕ
tienen sus lado izquierdo y derecho mutuamente
perpendiculares:????????????
????????????=????????????
????????????
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????
????????????
�
b) ????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
�=????????????????????????.????????????
????????????
i) En este problema se deducirá la ecuación ???????????? =
????????????
????????????????????????
=????????????∗???????????? que da el
poder de resolución de una red de difracción que contiene N rendijas separadas entre sí por una distancia d. para ello, se calculará la
separación angular entre el máximo y el mínimo para una cierta
longitud de onda λ y la haremos igual a la separación angular del
máximo de orden m -ésimo correspondiente a dos longitudes de onda
próximas.
a) Demostrar que la diferencia de fase ϕ entre la luz procedente de dos
rendijas adyacentes viene dada por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????? ????????????
b) Derivar esta expresión para demostrar que una pequeña variación en el ángulo dϴ da como resultado un cambio de fase dϕ dado por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????? ???????????? ????????????????????????
c) Enel caso de N rendijas, la separación angular entre un máximo de interferencia y un mínimo de interferencia corresponde a un cambio
de fase de ????????????????????????=
???????????? ????????????
????????????
. Utilizar este hecho para demostrar que la
separación angular dϴ entre el máximo y el mínimo para una cierta longitud de onda λ viene dada por
????????????????????????=
????????????
???????????? ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
d) El ángulo del máximo de interferencia de orden m-ésimo para la
longitud de onda λ viene dado por la ecuación ???????????? ∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗
????????????;????????????= ????????????,????????????,????????????,… . Calcular la diferencial de cada miembro de esta
ecuación para demostrar que la separación angular del máximo de orden m-ésimo para dos longitudes de onda muy cercanas que
difieren en dλ viene dada por
????????????????????????=
????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????
e) De acuerdo con el criterio de Rayleigh, se resolverán en el orden m-
ésimo dos longitudes de onda si la separación angular de las mismas
dada por la ecuación ????????????????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
es igual a la separación angular del
máximo y el mínimo de interferencia dados por la ecuación ???????????????????????? =
????????????
???????????? ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
. Utilizarlo para deducir la ecuación ???????????? =
????????????
????????????????????????
=????????????∗???????????? que nos da
el poder de resolución de una red.
a) Expresando la relación entre la diferencia de fase φ y la diferencia de
trayectoria Δr:
∅
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????
; ????????????=????????????∗????????????∗
∆????????????
????????????
Usando ????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
b)
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
�????????????∗????????????∗
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
�; ????????????????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????∗????????????????????????
c) ???????????? ????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando
????????????∗????????????
????????????
=????????????????????????
???????????? ????????????=
????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
d) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
???????????? ????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
???????????? ????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????
e) Utilizando las expresiones de dϴ de c y de d:
????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
=
????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????
próximas.
a) Demostrar que la diferencia de fase ϕ entre la luz procedente de dos
rendijas adyacentes viene dada por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????? ????????????
b) Derivar esta expresión para demostrar que una pequeña variación en el ángulo dϴ da como resultado un cambio de fase dϕ dado por
????????????=
???????????? ???????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????? ???????????? ????????????????????????
c) Enel caso de N rendijas, la separación angular entre un máximo de interferencia y un mínimo de interferencia corresponde a un cambio
de fase de ????????????????????????=
???????????? ????????????
????????????
. Utilizar este hecho para demostrar que la
separación angular dϴ entre el máximo y el mínimo para una cierta longitud de onda λ viene dada por
????????????????????????=
????????????
???????????? ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
d) El ángulo del máximo de interferencia de orden m-ésimo para la
longitud de onda λ viene dado por la ecuación ???????????? ∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗
????????????;????????????= ????????????,????????????,????????????,… . Calcular la diferencial de cada miembro de esta
ecuación para demostrar que la separación angular del máximo de orden m-ésimo para dos longitudes de onda muy cercanas que
difieren en dλ viene dada por
????????????????????????=
????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
????????????????????????
e) De acuerdo con el criterio de Rayleigh, se resolverán en el orden m-
ésimo dos longitudes de onda si la separación angular de las mismas
dada por la ecuación ????????????????????????=
???????????? ???????????? ????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
es igual a la separación angular del
máximo y el mínimo de interferencia dados por la ecuación ???????????????????????? =
????????????
???????????? ???????????? ???????????????????????????????????? ????????????
. Utilizarlo para deducir la ecuación ???????????? =
????????????
????????????????????????
=????????????∗???????????? que nos da
el poder de resolución de una red.
a) Expresando la relación entre la diferencia de fase φ y la diferencia de
trayectoria Δr:
∅
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????
; ????????????=????????????∗????????????∗
∆????????????
????????????
Usando ????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
b)
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
�????????????∗????????????∗
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
�; ????????????????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????∗????????????????????????
c) ???????????? ????????????=
????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
Usando
????????????∗????????????
????????????
=????????????????????????
???????????? ????????????=
????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
d) ????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????
???????????? ????????????
(????????????∗???????????????????????????????????? ????????????)=
????????????
???????????? ????????????
(????????????∗????????????)
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗
????????????????????????
???????????? ????????????
=????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????
e) Utilizando las expresiones de dϴ de c y de d:
????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
=
????????????
????????????∗????????????????????????????????????????????????
∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? =
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
Problemas generales
j) Verdadero o falso:
a) Cuando ocurre interferencia destructiva entre dos ondas, la energía se
convierte en energía térmica.
b) Sólo se observa interferencia en ondas procedentes de fuentes coherentes.
c) En el diagrama de difracción de Fraunhofer correspondiente a una sola
rendija, cuando más estrecha es ésta, más ancho es el máximo central de
diagrama de difracción.
d) Una abertura circular puede producir un diagrama de difracción de
Fraunhofer y uno de Fresnel.
e) La capacidad de resolver dos fuentes puntuales depende de la longitud de
onda de la luz.
a)
Falso. Cuando se produce una interferencia destructiva de las ondas de luz, la
energía ya no se distribuye uniformemente. Por ejemplo, la luz de un dispositivo de
dos rendijas forma un patrón con partes muy brillantes y muy oscuras.
Prácticamente no hay energía en las franjas oscuras y mucha energía en la franja
brillante. La energía total en todo el patrón es igual a la energía de una rendija más
la energía de la segunda rendija. La interferencia redistribuye la energía.
b) Verdadero
c) Verdadero.
d) Verdadero.
e) Verdadero.
k) En una demostración en clase, se utiliza un rayo láser para iluminar dos
rendijas separadas por 0,5 mm, y se observa el diagrama de interferencias
producido sobre una pantalla situada a una distancia de 5 m. La distancia
en la pantalla a la franja brillante numero 37 es de 25,7 cm . ¿Cuál es la
longitud de onda de la luz?
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? á ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????ñ????????????????????????:???????????????????????????????????? ????????????≈???????????????????????? ????????????≈
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
l) Una rendija larga, estrecha y horizontal está situada a 1 mm por encima
de un espejo plano. El diagrama de interferencias producido por la
rendija y su imagen se ven en una pantalla situada a una distancia de 1 m
de la rendija. La longitud de onda de la luz es 600 nm.
a) Hallar la distancia del espejo al primer máximo.
b) ¿Cuántas bandas oscuras por centímetro se ven en la pantalla?
a)
Como y0 << L, la distancia desde el espejo hasta el primer máximo viene dada
por:
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????
Expresando la condición para la interferencia constructiva:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗???????????? , m= 0, 1, 2, 3, ….Debi do al cambio de fase en
la reflexión de π rad.
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
Problemas generales
j) Verdadero o falso:
a) Cuando ocurre interferencia destructiva entre dos ondas, la energía se
convierte en energía térmica.
b) Sólo se observa interferencia en ondas procedentes de fuentes coherentes.
c) En el diagrama de difracción de Fraunhofer correspondiente a una sola
rendija, cuando más estrecha es ésta, más ancho es el máximo central de
diagrama de difracción.
d) Una abertura circular puede producir un diagrama de difracción de
Fraunhofer y uno de Fresnel.
e) La capacidad de resolver dos fuentes puntuales depende de la longitud de
onda de la luz.
a)
Falso. Cuando se produce una interferencia destructiva de las ondas de luz, la
energía ya no se distribuye uniformemente. Por ejemplo, la luz de un dispositivo de
dos rendijas forma un patrón con partes muy brillantes y muy oscuras.
Prácticamente no hay energía en las franjas oscuras y mucha energía en la franja
brillante. La energía total en todo el patrón es igual a la energía de una rendija más
la energía de la segunda rendija. La interferencia redistribuye la energía.
b) Verdadero
c) Verdadero.
d) Verdadero.
e) Verdadero.
k) En una demostración en clase, se utiliza un rayo láser para iluminar dos
rendijas separadas por 0,5 mm, y se observa el diagrama de interferencias
producido sobre una pantalla situada a una distancia de 5 m. La distancia
en la pantalla a la franja brillante numero 37 es de 25,7 cm . ¿Cuál es la
longitud de onda de la luz?
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,????????????,…
????????????=
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? á ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????ñ????????????????????????:???????????????????????????????????? ????????????≈???????????????????????? ????????????≈
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
l) Una rendija larga, estrecha y horizontal está situada a 1 mm por encima
de un espejo plano. El diagrama de interferencias producido por la
rendija y su imagen se ven en una pantalla situada a una distancia de 1 m
de la rendija. La longitud de onda de la luz es 600 nm.
a) Hallar la distancia del espejo al primer máximo.
b) ¿Cuántas bandas oscuras por centímetro se ven en la pantalla?
a)
Como y0 << L, la distancia desde el espejo hasta el primer máximo viene dada
por:
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????
Expresando la condición para la interferencia constructiva:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗???????????? , m= 0, 1, 2, 3, ….Debi do al cambio de fase en
la reflexión de π rad.
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????��????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????
????????????
�
???????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????á????????????????????????????????????????????????,????????????=????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????��
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
�
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????????????????��
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
�
????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????????????????��
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????
�=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
b) La separación de las franjas en la pantalla viene dada por:
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
El número de bandas oscuras por centímetro es el recíproco de la
separación de franjas:
????????????=
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
m) En una demostración en clase de la difracción, se hace pasar un haz laser de 700 nm de longitud de onda a través de una rendija vertical de 0,5 mm de anchura que luego incide sobre una pantalla distante 6 m. Hallar la longitud horizontal del máximo principal de difracción
en la pantalla, es decir, hallar la distancia entre el primer mínimo a la izquierda y el primer mínimo a la derecha del máximo central.
Expresando la longitud horizontal del máximo de difracción principal en la
pantalla:
∆????????????=????????????∗????????????
???????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
Como ???????????? ≪????????????,???????????????????????? ???????????? ≈???????????????????????????????????? ????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
Los puntos de intensidad cero para un patrón de difracción de rendija única
están determinados por la condición:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…. ????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????=????????????∗????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
�∗
????????????
????????????
�
???????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????á????????????????????????????????????????????????,????????????=????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????��
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
�
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????????????????��
???????????? ????????????
�∗
????????????
????????????
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????????????
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???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????????????????
�=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
b) La separación de las franjas en la pantalla viene dada por:
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
El número de bandas oscuras por centímetro es el recíproco de la
separación de franjas:
????????????=
????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
−????????????
m) En una demostración en clase de la difracción, se hace pasar un haz laser de 700 nm de longitud de onda a través de una rendija vertical de 0,5 mm de anchura que luego incide sobre una pantalla distante 6 m. Hallar la longitud horizontal del máximo principal de difracción
en la pantalla, es decir, hallar la distancia entre el primer mínimo a la izquierda y el primer mínimo a la derecha del máximo central.
Expresando la longitud horizontal del máximo de difracción principal en la
pantalla:
∆????????????=????????????∗????????????
???????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
Como ???????????? ≪????????????,???????????????????????? ???????????? ≈???????????????????????????????????? ????????????
???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
Los puntos de intensidad cero para un patrón de difracción de rendija única
están determinados por la condición:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????,????????????=????????????,????????????,????????????,…. ????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=
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????????????∗????????????
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???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
????????????????????????=????????????∗????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
a) ¿Cuál es la abertura necesaria (en milímetros) en unos prismáticos de
ópera (binoculares) para que un observador pueda distinguir las
pestañas de una soprano (separadas entre sí 0,5 mm) situada a una
distancia de 25 m? Suponer que la longitud de onda efectiva de la luz
es de 550 nm.
Podemos utilizar el criterio de Rayleigh para expresar α
c en términos
de λ y el diámetro de la lente de los anteojos de teatro D y la
geometría del problema para relacionar α
c con la separación y de las
pestañas del cantante y la distancia de observación L.
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≪???????????? ; ????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
b) El diámetro de la abertura del radiotelescopio de Arecibo, Puerto
Rico, es de 300 m. ¿Cuál es el poder de resolución del telescopio
cuando se sintoniza para detectar microondas de longitud de onda
3,2 cm?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
c) Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de refracción de 1,30 como un recubrimiento antirreflejante en la superficie de vidrio de índice de refracción 1,50. ¿Cuál deberá ser el espesor para que la película no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda?
????????????????????????=????????????∗????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
a) ¿Cuál es la abertura necesaria (en milímetros) en unos prismáticos de
ópera (binoculares) para que un observador pueda distinguir las
pestañas de una soprano (separadas entre sí 0,5 mm) situada a una
distancia de 25 m? Suponer que la longitud de onda efectiva de la luz
es de 550 nm.
Podemos utilizar el criterio de Rayleigh para expresar α
c en términos
de λ y el diámetro de la lente de los anteojos de teatro D y la
geometría del problema para relacionar α
c con la separación y de las
pestañas del cantante y la distancia de observación L.
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????
???????????? ≪???????????? ; ????????????
????????????≈
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
b) El diámetro de la abertura del radiotelescopio de Arecibo, Puerto
Rico, es de 300 m. ¿Cuál es el poder de resolución del telescopio
cuando se sintoniza para detectar microondas de longitud de onda
3,2 cm?
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
c) Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de refracción de 1,30 como un recubrimiento antirreflejante en la superficie de vidrio de índice de refracción 1,50. ¿Cuál deberá ser el espesor para que la película no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda?
Nótese que la reflexión en ambas superficies implica un cambio de fase de π
rad. Podemos aplicar la condición de interferencia destructiva para encontrar
el espesor t del revestimiento no reflectante.
La condición de interferencia destructiva es:
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
d) Un interferómetro Fabry-Perot consta de dos espejos semiplateados
paralelos, separados entre sí una pequeña distancia a. Demostrar que
cuando la luz incide sobre el interferómetro con un ángulo de
incidencia ϴ , la luz transmitida tendrá una intensidad máxima
cuando ????????????=????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Para que haya interferencia constructiva en la luz transmitida, la diferencia de
trayectorias debe ser un múltiplo integral de la longitud de onda de la luz. Esta
diferencia de trayectorias se puede encontrar utilizando la geometría del
interferómetro.
∆????????????=
????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????
∆????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,…
????????????∗????????????=
????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????
e) Una lámina de mica de 1,20 μm de espesor se encuentra suspendida
Enel aire. Ene l espectro de luz reflejada en la lámina se encuentran
ventanas en el espectro visible a 421, 474, 542 y 633 nm. Calcular el
índice de refracción de la mica.
rad. Podemos aplicar la condición de interferencia destructiva para encontrar
el espesor t del revestimiento no reflectante.
La condición de interferencia destructiva es:
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????=????????????
????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
d) Un interferómetro Fabry-Perot consta de dos espejos semiplateados
paralelos, separados entre sí una pequeña distancia a. Demostrar que
cuando la luz incide sobre el interferómetro con un ángulo de
incidencia ϴ , la luz transmitida tendrá una intensidad máxima
cuando ????????????=????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Para que haya interferencia constructiva en la luz transmitida, la diferencia de
trayectorias debe ser un múltiplo integral de la longitud de onda de la luz. Esta
diferencia de trayectorias se puede encontrar utilizando la geometría del
interferómetro.
∆????????????=
????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????
∆????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,????????????,????????????,…
????????????∗????????????=
????????????∗????????????
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????
e) Una lámina de mica de 1,20 μm de espesor se encuentra suspendida
Enel aire. Ene l espectro de luz reflejada en la lámina se encuentran
ventanas en el espectro visible a 421, 474, 542 y 633 nm. Calcular el
índice de refracción de la mica.
Los huecos en el espectro de la luz visible son el resultado de la interferencia
destructiva entre la luz incidente y la luz reflejada.
Si observamos que hay un cambio de fase de π rad en la primera interfaz aire-
mica, podemos utilizar la condición de interferencia destructiva para encontrar
el índice de refracción n de la lámina de mica. Como hay un cambio de fase de
π rad en la primera interfaz aire-mica, la condición de interferencia destructiva
es:
????????????∗????????????=????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
;????????????=????????????,????????????,????????????,….
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
Para λ=474 nm
????????????∗????????????=????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
Para λ=421 nm
????????????∗????????????=(????????????+????????????)∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=(????????????+????????????)∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????=???????????? para λ=474 nm
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????,????????????????????????
f) Una lente de una cámara fotográfica se construye de vidrio cuyo
índice de refracción es 1,6. Esta lente se recubre con una película de
fluoruro de magnesio (n=1,38) para mejorar su transmisión luminosa.
Esta película ha de producir una reflexión cero para la luz de longitud
de onda 540 nm. Considerar que la superficie de la lente es un plano
liso y que la película tiene un espesor uniforme.
a) ¿Cuál deberá ser el espesor de la película para realizar su objetivo
en el primer orden?
b) ¿Existirán interferencias destructivas para otras longitudes de
onda visibles?
c) ¿En qué factor se reducirá la reflexión en esta película en el caso de
longitudes de onda de 400 y 700 nm? Despreciar la variación de la
luz reflejada procedente de las dos superficies.
a)
Nótese que la luz reflejada tanto en la interfaz aire- película como
en la interfaz película-lente experimenta un cambio de fase de π
rad. Podemos usar la condición de interferencia destructiva entre
la luz reflejada desde la interfaz aire- película y la interfaz película-
lente para encontrar el espesor de la película.
Expresando la condición para la interferencia destructiva entre la luz
reflejada desde la interfaz aire-película y la interfaz película-lente:
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????,????????????,????????????,...
destructiva entre la luz incidente y la luz reflejada.
Si observamos que hay un cambio de fase de π rad en la primera interfaz aire-
mica, podemos utilizar la condición de interferencia destructiva para encontrar
el índice de refracción n de la lámina de mica. Como hay un cambio de fase de
π rad en la primera interfaz aire-mica, la condición de interferencia destructiva
es:
????????????∗????????????=????????????∗????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
;????????????=????????????,????????????,????????????,….
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
Para λ=474 nm
????????????∗????????????=????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
Para λ=421 nm
????????????∗????????????=(????????????+????????????)∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=(????????????+????????????)∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????=???????????? para λ=474 nm
????????????=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????,????????????????????????
f) Una lente de una cámara fotográfica se construye de vidrio cuyo
índice de refracción es 1,6. Esta lente se recubre con una película de
fluoruro de magnesio (n=1,38) para mejorar su transmisión luminosa.
Esta película ha de producir una reflexión cero para la luz de longitud
de onda 540 nm. Considerar que la superficie de la lente es un plano
liso y que la película tiene un espesor uniforme.
a) ¿Cuál deberá ser el espesor de la película para realizar su objetivo
en el primer orden?
b) ¿Existirán interferencias destructivas para otras longitudes de
onda visibles?
c) ¿En qué factor se reducirá la reflexión en esta película en el caso de
longitudes de onda de 400 y 700 nm? Despreciar la variación de la
luz reflejada procedente de las dos superficies.
a)
Nótese que la luz reflejada tanto en la interfaz aire- película como
en la interfaz película-lente experimenta un cambio de fase de π
rad. Podemos usar la condición de interferencia destructiva entre
la luz reflejada desde la interfaz aire- película y la interfaz película-
lente para encontrar el espesor de la película.
Expresando la condición para la interferencia destructiva entre la luz
reflejada desde la interfaz aire-película y la interfaz película-lente:
????????????∗????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????=????????????,????????????,????????????,...
????????????=�????????????+
????????????
????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) Consideramos m = 1
????????????∗????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????.????????????
=
????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????.????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
La longitud de onda no es del visible.
c) ????????????∝????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????�
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????�
Donde la diferencia de fase entre las ondas reflejadas cumple:
????????????
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
; ????????????=
∆????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????
Como ∆ ????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????�
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
�=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
�
Para λ=400 nm
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????,????????????????????????????????????
Para λ=700 nm
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????,????????????????????????????????????
g) En una cámara de orificio pequeño se obtienen imágenes borrosas
debido al tamaño finito del orificio (es decir, debido a los rayos que
llegan al punto imagen procedentes de diferentes partes del orificio)
y a los fenómenos de difracción. Cuanto más pequeño es el orificio,
la imagen es más definida, pero el efecto borroso debido a la
difracción se incrementa. El tamaño óptimo de la abertura para la
imagen más definida es aquel para el cual la dispersión debida a la
difracción iguala a la dispersión debida al tamaño. Estimar el
tamaño óptimo de la abertura si la distancia desde el orificio a la
pantalla es de 10 cm y la longitud de la onda de la luz 550 nm.
Expresando el ancho angular de un objeto distante en la película en
términos del diámetro D del orificio y la distancia L desde el orificio hasta el
objeto:
????????????∗????????????=
????????????
????????????
; ????????????=
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????.????????????????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) Consideramos m = 1
????????????∗????????????=�????????????+
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????.????????????
=
????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????.????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
La longitud de onda no es del visible.
c) ????????????∝????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????�
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????�
Donde la diferencia de fase entre las ondas reflejadas cumple:
????????????
????????????∗????????????
=
∆????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
; ????????????=
∆????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????
Como ∆ ????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
???????????? ????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
∗????????????∗????????????�
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????í????????????????????????????????????????????????
�=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
�
Para λ=400 nm
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????,????????????????????????????????????
Para λ=700 nm
????????????=????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗????????????∗????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�=????????????,????????????????????????????????????
g) En una cámara de orificio pequeño se obtienen imágenes borrosas
debido al tamaño finito del orificio (es decir, debido a los rayos que
llegan al punto imagen procedentes de diferentes partes del orificio)
y a los fenómenos de difracción. Cuanto más pequeño es el orificio,
la imagen es más definida, pero el efecto borroso debido a la
difracción se incrementa. El tamaño óptimo de la abertura para la
imagen más definida es aquel para el cual la dispersión debida a la
difracción iguala a la dispersión debida al tamaño. Estimar el
tamaño óptimo de la abertura si la distancia desde el orificio a la
pantalla es de 10 cm y la longitud de la onda de la luz 550 nm.
Expresando el ancho angular de un objeto distante en la película en
términos del diámetro D del orificio y la distancia L desde el orificio hasta el
objeto:
????????????∗????????????=
????????????
????????????
; ????????????=
????????????
????????????∗????????????
Utilizando el criterio de Rayleigh, expresamos el ancho angular de
la difracción
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=√????????????.????????????????????????∗????????????∗????????????=√????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
h) El pintor impresionista Georges Seurat utilizaba una técnica
denominada “puntillismo”, en la cual sus pinturas estaban
compuestas por puntos pequeños cercanos de color puro, cada uno
de ellos de unos 2 mm de diámetro. La ilusión de la mezcla de
colores de forma suave se produce en el ojo del observador debido a
efectos de difracción. Calcular la distancia mínima de visión para
que este efecto actué adecuadamente. Utilizar la longitud de onda
de la luz visible que requiere la máxima distancia, de modo que nos
aseguremos que el efecto funciona para todas las longitudes de onda
de la luz visible. Suponer que la pupila del ojo tiene un diámetro de
5 mm.
Podemos utilizar la geometría de los puntos y la pupila del ojo y el criterio
de Rayleigh para encontrar la mayor distancia de visualización que
garantice que el efecto funcionará para todas las longitudes de onda
visibles.
????????????≈
????????????
????????????
Si el diámetro de la pupila del ojo es D, aplicamos el criterio de Rayleigh
para obtener:
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Si ϴ=????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????
i) Un refractómetro de Jamin es un dispositivo para medir o compara
los índices de refracción de los fluidos. Este dispositivo divide un
haz de luz monocromático en dos partes, cada una de las cuales es
Dirigida a lo largo del eje de un tubo cilíndrico para luego
combinarse de nuevo en un solo haz que se hace pasar a través de
un telescopio. Suponer que la longitud de cada tubo es de 0,4 m y
que se utiliza luz de sodio de 589 nm de longitud de onda. Ambos
tubos se someten inicialmente al vació y se observa una
interferencia constructiva en el centro del campo de visión. Según
la difracción
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=√????????????.????????????????????????∗????????????∗????????????=√????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
h) El pintor impresionista Georges Seurat utilizaba una técnica
denominada “puntillismo”, en la cual sus pinturas estaban
compuestas por puntos pequeños cercanos de color puro, cada uno
de ellos de unos 2 mm de diámetro. La ilusión de la mezcla de
colores de forma suave se produce en el ojo del observador debido a
efectos de difracción. Calcular la distancia mínima de visión para
que este efecto actué adecuadamente. Utilizar la longitud de onda
de la luz visible que requiere la máxima distancia, de modo que nos
aseguremos que el efecto funciona para todas las longitudes de onda
de la luz visible. Suponer que la pupila del ojo tiene un diámetro de
5 mm.
Podemos utilizar la geometría de los puntos y la pupila del ojo y el criterio
de Rayleigh para encontrar la mayor distancia de visualización que
garantice que el efecto funcionará para todas las longitudes de onda
visibles.
????????????≈
????????????
????????????
Si el diámetro de la pupila del ojo es D, aplicamos el criterio de Rayleigh
para obtener:
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
Si ϴ=????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????.????????????????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????????????????.???????????? ????????????
i) Un refractómetro de Jamin es un dispositivo para medir o compara
los índices de refracción de los fluidos. Este dispositivo divide un
haz de luz monocromático en dos partes, cada una de las cuales es
Dirigida a lo largo del eje de un tubo cilíndrico para luego
combinarse de nuevo en un solo haz que se hace pasar a través de
un telescopio. Suponer que la longitud de cada tubo es de 0,4 m y
que se utiliza luz de sodio de 589 nm de longitud de onda. Ambos
tubos se someten inicialmente al vació y se observa una
interferencia constructiva en el centro del campo de visión. Según
se permite entrar el aire lentamente en uno de los tubos, el campo
de visión central varía alternativamente de oscuro a brillante un
total de 198 veces.
a) ¿Cuál es el índice de refracción del aire?
b) Si se pueden contar las franjas con un error de ±0,25 franjas, en
donde una de las franjas es equivalente a un ciclo completo de la
variación de intensidad en el centro del campo de visión, ¿con
qué precisión puede determinar este experimento el índice de
refracción del aire?
El número de franjas observadas es proporcional a la diferencia de
camino óptico entre los dos haces de luz cuando se introduce aire en
uno de los tubos. La diferencia de camino óptico es:
????????????????????????=????????????∗(????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????)
???????????????????????????????????? ????????????=????????????,???????????? ???????????? ,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.
Cada vez que la diferencia de camino óptico es igual a un múltiplo de la
longitud de onda, se observa una variación de la intensidad en el centro
del campo de visión. El número total de franjas N observadas está
relacionado con la diferencia de camino óptico por: ????????????=
????????????∗(????????????????????????????????????????????????????????????−????????????)
????????????
Donde ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????+
????????????∗????????????
????????????
=????????????+
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????+
(????????????±0.25)∗????????????
????????????
=�????????????+
????????????∗????????????
????????????
�±
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????±????????????∗????????????????????????
−????????????
j) Luz de longitud de onda λ se difracta a través de una rendija única
de anchura a y el diagrama resultante se observa en una pantalla
situada a una distancia grande L de la rendija.
a) Demostrar que la anchura del máximo principal en la pantalla
viene dada aproximadamente por
???????????? ???????????? ????????????
????????????
.
b) Si se corta una rendija de anchura
???????????? ???????????? ????????????
????????????
en la pantalla y se
ilumina, demostrar que la anchura de su máximo principal a la
misma distancia L, es decir de nuevo sobre el plano de la
rendija, es igual a a con la misma aproximación.
a)
Los puntos de intensidad cero para un patrón de difracción de rendija
única están dados por:
de visión central varía alternativamente de oscuro a brillante un
total de 198 veces.
a) ¿Cuál es el índice de refracción del aire?
b) Si se pueden contar las franjas con un error de ±0,25 franjas, en
donde una de las franjas es equivalente a un ciclo completo de la
variación de intensidad en el centro del campo de visión, ¿con
qué precisión puede determinar este experimento el índice de
refracción del aire?
El número de franjas observadas es proporcional a la diferencia de
camino óptico entre los dos haces de luz cuando se introduce aire en
uno de los tubos. La diferencia de camino óptico es:
????????????????????????=????????????∗(????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????)
???????????????????????????????????? ????????????=????????????,???????????? ???????????? ,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.
Cada vez que la diferencia de camino óptico es igual a un múltiplo de la
longitud de onda, se observa una variación de la intensidad en el centro
del campo de visión. El número total de franjas N observadas está
relacionado con la diferencia de camino óptico por: ????????????=
????????????∗(????????????????????????????????????????????????????????????−????????????)
????????????
Donde ????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????+
????????????∗????????????
????????????
=????????????+
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????+
(????????????±0.25)∗????????????
????????????
=�????????????+
????????????∗????????????
????????????
�±
????????????.????????????????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????±????????????∗????????????????????????
−????????????
j) Luz de longitud de onda λ se difracta a través de una rendija única
de anchura a y el diagrama resultante se observa en una pantalla
situada a una distancia grande L de la rendija.
a) Demostrar que la anchura del máximo principal en la pantalla
viene dada aproximadamente por
???????????? ???????????? ????????????
????????????
.
b) Si se corta una rendija de anchura
???????????? ???????????? ????????????
????????????
en la pantalla y se
ilumina, demostrar que la anchura de su máximo principal a la
misma distancia L, es decir de nuevo sobre el plano de la
rendija, es igual a a con la misma aproximación.
a)
Los puntos de intensidad cero para un patrón de difracción de rendija
única están dados por:
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗????????????;????????????=????????????,???????????? ,????????????,….
???????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????? á???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????ñ????????????,???????????????????????? ????????????≈???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
La anchura del máximo central es 2 y, con m = 1:
????????????∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
b) Ahora es ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????
88. Los telespectadores de zonas rurales observan frecuentemente que
la imagen del televisor parpadea cuando un avión vuela en sus
proximidades. El parpadeo es debido a la interferencia entre la
señal recibida directamente desde el transmisor y la reflejada en la
antena del avión. Supongamos que el receptor se encuentra a 36 km
de la estación transmisora a una frecuencia de 86,0 MHz y un avión
vuela a una altura de unos 600 m por encima del receptor y en
dirección al transmisor. La frecuencia de oscilación de la imagen es
4 Hz.
a) Determinar la velocidad del avión.
b) Si la intensidad de la imagen pasa por un máximo cuando el
avión está en la vertical del receptor, ¿Cuál es la altura máxima
del avión sobre la antena receptora?
a)
El parpadeo se produce debido al desplazamiento de fase entre la señal
directa y la reflejada. Este desplazamiento cambia cuando la longitud
del camino recorrido por la señal reflejada varía, lo que ocurre
conforme el avión se mueve. La frecuencia de oscilación de la imagen
se debe al efecto Doppler , que depende de la velocidad del avión y de
la frecuencia de la señal transmitida.
La longitud de onda λ de la señal se puede calcular a partir de
la velocidad de la luz c=3×10
8
m/s y la frecuencia f:
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????,???????????????????????????????????? ????????????
Cuando el avión se mueve, el cambio en la longitud del camino
reflejado genera un cambio en la fase de la señal reflejada, lo que provoca una oscilación en la intensidad observada. Esta oscilación tiene una frecuencia igual a la frecuencia de la señal Doppler que se produce debido al movimiento del avión.
Sabemos que la frecuencia de oscilación observada f=4 Hz está relacionada con la velocidad del avión y la longitud de onda de la señal. La relación entre la frecuencia de oscilación y la velocidad del avión v es:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
???????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????? á???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????ñ????????????,???????????????????????? ????????????≈???????????????????????????????????? ????????????
????????????∗
????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
La anchura del máximo central es 2 y, con m = 1:
????????????∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
b) Ahora es ????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????∗????????????
????????????∗
????????????∗????????????
????????????
=????????????
88. Los telespectadores de zonas rurales observan frecuentemente que
la imagen del televisor parpadea cuando un avión vuela en sus
proximidades. El parpadeo es debido a la interferencia entre la
señal recibida directamente desde el transmisor y la reflejada en la
antena del avión. Supongamos que el receptor se encuentra a 36 km
de la estación transmisora a una frecuencia de 86,0 MHz y un avión
vuela a una altura de unos 600 m por encima del receptor y en
dirección al transmisor. La frecuencia de oscilación de la imagen es
4 Hz.
a) Determinar la velocidad del avión.
b) Si la intensidad de la imagen pasa por un máximo cuando el
avión está en la vertical del receptor, ¿Cuál es la altura máxima
del avión sobre la antena receptora?
a)
El parpadeo se produce debido al desplazamiento de fase entre la señal
directa y la reflejada. Este desplazamiento cambia cuando la longitud
del camino recorrido por la señal reflejada varía, lo que ocurre
conforme el avión se mueve. La frecuencia de oscilación de la imagen
se debe al efecto Doppler , que depende de la velocidad del avión y de
la frecuencia de la señal transmitida.
La longitud de onda λ de la señal se puede calcular a partir de
la velocidad de la luz c=3×10
8
m/s y la frecuencia f:
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????,???????????????????????????????????? ????????????
Cuando el avión se mueve, el cambio en la longitud del camino
reflejado genera un cambio en la fase de la señal reflejada, lo que provoca una oscilación en la intensidad observada. Esta oscilación tiene una frecuencia igual a la frecuencia de la señal Doppler que se produce debido al movimiento del avión.
Sabemos que la frecuencia de oscilación observada f=4 Hz está relacionada con la velocidad del avión y la longitud de onda de la señal. La relación entre la frecuencia de oscilación y la velocidad del avión v es:
????????????
????????????????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????????????????????????????????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????/????????????
b) La intensidad de la imagen pasa por un máximo cuando la
interferencia es constructiva, lo que ocurre cuando la diferencia de
camino entre la señal directa y la reflejada es un múltiplo entero de
la longitud de onda λ. Esto significa que el camino extra recorrido
por la señal reflejada debe ser un múltiplo entero de λ.
La diferencia de camino es aproximadamente 2h (doble de la altura
del avión, ya que la señal viaja hacia arriba y luego hacia abajo).
Entonces, para que ocurra un máximo de interferencia, debemos
cumplir:
2*h=m*λ
Considerando los 600 m del enunciado:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????,????????????????????????????????????
≈????????????????????????????????????
donde m es un número entero (múltiplo de la longitud de onda). Con m= 344:
????????????∗????????????=????????????????????????????????????∗???????????? ;????????????=
????????????????????????????????????∗????????????
????????????
≈???????????????????????????????????? ????????????
89. Para la situación descrita en el problema 88, demostrar que la frecuencia de oscilación de la intensidad de la imagen es un mínimo cuando el avión está justamente sobre el punto medio entre el transmisor y la antena receptora.
Supongamos que el avión está exactamente sobre el punto medio entre el transmisor y el receptor. La distancia entre el avión y ambos puntos (transmisor y receptor) será la misma en ese momento.
Cuando el avión está en este punto medio, la longitud de los caminos para la señal reflejada es aproximadamente la misma tanto desde el transmisor como desde el receptor.
Interferencia de señales:
La interferencia observada es el resultado de la superposición de dos señales: una que llega directamente desde el transmisor al receptor, y otra que se refleja en el avión.
La interferencia depende de la diferencia de caminos entre la señal directa y la reflejada. Cuando el avión se encuentra en el punto medio entre el transmisor y el receptor, la diferencia de caminos varía muy poco con el movimiento del avión porque el avión está equidistante de ambos puntos. En este caso, las trayectorias de la
señal directa y la reflejada cambian de forma casi simétrica.
Cálculo de la diferencia de caminos:
Sea x la posición horizontal del avión desde el transmisor. La distancia total entre el transmisor y el receptor es d=36 km.
????????????????????????????????????????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????/????????????
b) La intensidad de la imagen pasa por un máximo cuando la
interferencia es constructiva, lo que ocurre cuando la diferencia de
camino entre la señal directa y la reflejada es un múltiplo entero de
la longitud de onda λ. Esto significa que el camino extra recorrido
por la señal reflejada debe ser un múltiplo entero de λ.
La diferencia de camino es aproximadamente 2h (doble de la altura
del avión, ya que la señal viaja hacia arriba y luego hacia abajo).
Entonces, para que ocurra un máximo de interferencia, debemos
cumplir:
2*h=m*λ
Considerando los 600 m del enunciado:
????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????,????????????????????????????????????
≈????????????????????????????????????
donde m es un número entero (múltiplo de la longitud de onda). Con m= 344:
????????????∗????????????=????????????????????????????????????∗???????????? ;????????????=
????????????????????????????????????∗????????????
????????????
≈???????????????????????????????????? ????????????
89. Para la situación descrita en el problema 88, demostrar que la frecuencia de oscilación de la intensidad de la imagen es un mínimo cuando el avión está justamente sobre el punto medio entre el transmisor y la antena receptora.
Supongamos que el avión está exactamente sobre el punto medio entre el transmisor y el receptor. La distancia entre el avión y ambos puntos (transmisor y receptor) será la misma en ese momento.
Cuando el avión está en este punto medio, la longitud de los caminos para la señal reflejada es aproximadamente la misma tanto desde el transmisor como desde el receptor.
Interferencia de señales:
La interferencia observada es el resultado de la superposición de dos señales: una que llega directamente desde el transmisor al receptor, y otra que se refleja en el avión.
La interferencia depende de la diferencia de caminos entre la señal directa y la reflejada. Cuando el avión se encuentra en el punto medio entre el transmisor y el receptor, la diferencia de caminos varía muy poco con el movimiento del avión porque el avión está equidistante de ambos puntos. En este caso, las trayectorias de la
señal directa y la reflejada cambian de forma casi simétrica.
Cálculo de la diferencia de caminos:
Sea x la posición horizontal del avión desde el transmisor. La distancia total entre el transmisor y el receptor es d=36 km.
La distancia desde el avión al transmisor es aproximadamente
√????????????
????????????
+????????????
????????????
donde h es la altura del avión.
La distancia desde el avión al receptor es aproximadamente
�(????????????−????????????)
????????????
+????????????
????????????
.
La diferencia de caminos, ΔL, entre la señal directa y la señal
reflejada es:
∆????????????=√????????????
????????????
+????????????
????????????
−�(????????????−????????????)
????????????
+????????????
????????????
Para el caso en que el avión está en el punto medio entre el
transmisor y el receptor, x=d/2, y ambas distancias son iguales:
∆????????????=????????????∗��
????????????
????????????
�
????????????
+????????????
????????????
−????????????
Sustituyendo d=36 km y h=600 m :
∆????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????. ????????????????????????−????????????????????????×????????????????????????
????????????
=????????????????????????.???????????????????????? ????????????
Cuando el avión está en el punto medio, la diferencia de caminos es
pequeña (casi nula, en este caso aproximadamente 17.96 m ) en
comparación con otras posiciones.
Frecuencia de oscilación:
La frecuencia de oscilación de la intensidad depende de la rapidez
con que varía la diferencia de caminos, lo que afecta la interferencia.
Como la diferencia de caminos cambia muy poco en el punto medio,
la tasa de variación de la fase también será muy pequeña. La
frecuencia de oscilación es proporcional a esta variación de la fase.
En resumen, cuando el avión está en el punto medio entre el
transmisor y el receptor, la diferencia de caminos entre la señal
directa y la reflejada es mínima y varía lentamente. Esto produce
una interferencia relativamente estable, lo que implica que la
frecuencia de oscilación de la intensidad es un mínimo.
90. Un experimento de doble rendija utiliza un láser helio- neón con una
longitud de onda 633 nm y una separación entre rendijas de 0,12
mm. Cuando se coloca una lámina delgada de plástico delante de
una de las rendijas, el diagrama de interferencia se desplaza en 5,5
franjas. Cuando se repite el experimento bajo el agua, el
desplazamiento es de 3,5 franjas. Calcular
a) El espesor de la lámina de plástico.
b) El índice de refracción de la misma.
a) Cuando una lámina de plástico con un índice de refracción n
plas se
coloca delante de una de las rendijas, introduce una diferencia de
√????????????
????????????
+????????????
????????????
donde h es la altura del avión.
La distancia desde el avión al receptor es aproximadamente
�(????????????−????????????)
????????????
+????????????
????????????
.
La diferencia de caminos, ΔL, entre la señal directa y la señal
reflejada es:
∆????????????=√????????????
????????????
+????????????
????????????
−�(????????????−????????????)
????????????
+????????????
????????????
Para el caso en que el avión está en el punto medio entre el
transmisor y el receptor, x=d/2, y ambas distancias son iguales:
∆????????????=????????????∗��
????????????
????????????
�
????????????
+????????????
????????????
−????????????
Sustituyendo d=36 km y h=600 m :
∆????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????. ????????????????????????−????????????????????????×????????????????????????
????????????
=????????????????????????.???????????????????????? ????????????
Cuando el avión está en el punto medio, la diferencia de caminos es
pequeña (casi nula, en este caso aproximadamente 17.96 m ) en
comparación con otras posiciones.
Frecuencia de oscilación:
La frecuencia de oscilación de la intensidad depende de la rapidez
con que varía la diferencia de caminos, lo que afecta la interferencia.
Como la diferencia de caminos cambia muy poco en el punto medio,
la tasa de variación de la fase también será muy pequeña. La
frecuencia de oscilación es proporcional a esta variación de la fase.
En resumen, cuando el avión está en el punto medio entre el
transmisor y el receptor, la diferencia de caminos entre la señal
directa y la reflejada es mínima y varía lentamente. Esto produce
una interferencia relativamente estable, lo que implica que la
frecuencia de oscilación de la intensidad es un mínimo.
90. Un experimento de doble rendija utiliza un láser helio- neón con una
longitud de onda 633 nm y una separación entre rendijas de 0,12
mm. Cuando se coloca una lámina delgada de plástico delante de
una de las rendijas, el diagrama de interferencia se desplaza en 5,5
franjas. Cuando se repite el experimento bajo el agua, el
desplazamiento es de 3,5 franjas. Calcular
a) El espesor de la lámina de plástico.
b) El índice de refracción de la misma.
a) Cuando una lámina de plástico con un índice de refracción n
plas se
coloca delante de una de las rendijas, introduce una diferencia de
camino óptico debido al cambio de velocidad de la luz dentro del
plástico. Este cambio provoca un desplazamiento de las franjas de
interferencia. El desplazamiento de las franjas Δm es proporcional a la
diferencia de fase introducida por la lámina.
La diferencia de fase que provoca el desplazamiento se puede
expresar como:
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�∗????????????
donde t es el espesor de la lámina, λ 0 es la longitud de onda en aire, y
n
plas es el índice de refracción del plástico.
El número de franjas desplazadas Δm está relacionado con la
diferencia de camino óptico:
????????????????????????=
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�∗????????????
????????????
????????????
Para el desplazamiento en aire, tenemos un desplazamiento de 5.5
franjas:
????????????=
????????????????????????∗????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
Considerando el mismo razonamiento para el caso del agua:
????????????=
????????????????????????∗????????????????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
=
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
Tenemos dos ecuaciones con dos incognitas.
????????????=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
????????????=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
Dividiendo las dos:
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�=
????????????.????????????
????????????.????????????
∗????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�=????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
plástico. Este cambio provoca un desplazamiento de las franjas de
interferencia. El desplazamiento de las franjas Δm es proporcional a la
diferencia de fase introducida por la lámina.
La diferencia de fase que provoca el desplazamiento se puede
expresar como:
∆????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�∗????????????
donde t es el espesor de la lámina, λ 0 es la longitud de onda en aire, y
n
plas es el índice de refracción del plástico.
El número de franjas desplazadas Δm está relacionado con la
diferencia de camino óptico:
????????????????????????=
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�∗????????????
????????????
????????????
Para el desplazamiento en aire, tenemos un desplazamiento de 5.5
franjas:
????????????=
????????????????????????∗????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
Considerando el mismo razonamiento para el caso del agua:
????????????=
????????????????????????∗????????????????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
=
????????????????????????∗
????????????????????????
????????????????????????????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
Tenemos dos ecuaciones con dos incognitas.
????????????=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�
????????????=
????????????.????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
Dividiendo las dos:
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�=
????????????.????????????
????????????.????????????
∗????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????�=????????????.????????????????????????∗�????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????.????????????????????????�
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
????????????=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????
91. Dos fuentes coherentes están situadas sobre el eje y en λ /4 y -λ/4.
Ambas emitenondas de longitud de onda λ e intensidad I
o.
a) Calcular la intensidad neta I enfunción del ángulo ϴ medido desde
el eje +x.
b) Construir un diagrama polar de I(ϴ).
a) Cuando un observador está en una dirección que forma un ángulo θ
con el eje x, las ondas emitidas por las dos fuentes viajan distancias
diferentes para llegar a ese punto. La diferencia de recorrido Δd
entre las ondas emitidas por las dos fuentes es:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????
La diferencia de fase Δϕ entre las ondas debido a la diferencia de
recorrido Δd está dada por:
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
La intensidad de la interferencia de dos ondas coherentes está
relacionada con la diferencia de fase. Para dos ondas que tienen la
misma intensidad I
0, la intensidad resultante en cualquier punto está
dada por la fórmula:
????????????(????????????)=????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????????????????
????????????
�=????????????(????????????)=????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
�
b)
Ambas emitenondas de longitud de onda λ e intensidad I
o.
a) Calcular la intensidad neta I enfunción del ángulo ϴ medido desde
el eje +x.
b) Construir un diagrama polar de I(ϴ).
a) Cuando un observador está en una dirección que forma un ángulo θ
con el eje x, las ondas emitidas por las dos fuentes viajan distancias
diferentes para llegar a ese punto. La diferencia de recorrido Δd
entre las ondas emitidas por las dos fuentes es:
????????????????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????
La diferencia de fase Δϕ entre las ondas debido a la diferencia de
recorrido Δd está dada por:
????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
La intensidad de la interferencia de dos ondas coherentes está
relacionada con la diferencia de fase. Para dos ondas que tienen la
misma intensidad I
0, la intensidad resultante en cualquier punto está
dada por la fórmula:
????????????(????????????)=????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????????????????
????????????
�=????????????(????????????)=????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
�
????????????∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????
�
b)
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