Introdução a integrais triplas 45365001.doc

projecto de integrais triplas

1. Introdução
Neste presente trabalho vou falar das Integrais triplas são uma ferramenta do cálculo multivariável usada
para somar valores infinitesimais em regiões tridimensionais, análogas às integrais duplas para áreas e
integrais simples para intervalos. Matematicamente, são definidas como o limite de uma soma de
Riemann tripla, onde a função é avaliada em pontos dentro de subcaixas de um sólido e multiplicada pelo
volume infinitesimal de cada subcaixa, somando tudo isso e fazendo o número de subdivisões tender a
infinito. 

2. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS
A integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. E, para resolve-la é
necessário fazer uma análise da posição dos diferenciais na integral para que o cálculo seja feito na orden
correta. A integração tripla é dada por três integrações simples, cada uma sobre uma variável e
considerando as demais como constantes. São ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume,
centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros.
CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE
Em mecânica aplicada e física tem-se que, a terra exerce uma força gravitacional sobre cada partícula que
compõe um corpo. Estas forças podem ser substituídas por uma força equivalente igual ao peso do corpo
e aplicada no CENTRO DE GRAVIDADE do corpo. O centróide, também conhecido como baricentro,
de uma superficie plana é análogo ao centro de gravidade de um corpo. O conceito de momento de
primeira orden de uma superficie é usado para localizar o centróide.
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos
materiais (assim como na figura abaixo). A ao soma dos momentos dos pesos de todos os pontos
materiais em relação aos eixos x, y, z é então igual momento do peso resultante em relação a esses eixos.
Fig 1
O centro de gravidade em uma superfície plana, é um ponto localizado na própria figura, no qual se
concentra a superfície, é uma medida de distribuição da superfície da figura em relação a eixos
arbitrários.

3. Onde,

E, cg é centro gravitacional. X(vetorial) de G é a soma dos momentos em relação ao eixo y, e de maneira
semelhante efetua-se o somatório dos momentos em relação ao eixo para obtermos a coordenada
y(vetorial). Para um plano (x,y,z) como por exemplo, a imagem da folha anterior, temos que, embora os
pesos não produzam um momento em relação ao eixo z, podemos obter a coordenada Z(vetorial) de G
imaginando que o sistema de coordenadas, com os pontos materiais fixos, sofre uma rotação de 90° em
torno do eixo x (ou y). Logo, a operação de integração utilizada para resolver o problema é:
A densidade se relaciona com pela equação p.g, onde g é a aceleração gravitacional:

4. As fórmulas resultantes que definem o centróide de um corpo são independentes do peso dele,dependendo
apenas de sua geometria.
CENTRÓIDE (VOLUME)
Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV (Figura abaixo), a localização do
centróide C(x, y, z ) para o volume do objeto pode ser determinado pelo cálculo dos ‘momentos’ dos
elementos infinitesimais em relação a cada eixo de coordenadas. As fórmulas resultantes são:
CENTRÓIDE (ÁREA)
De forma análoga, o centróide para a área da superfície de um objeto, como uma placa ou uma concha,
pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em elementos de áreas infinitesimais dA e calculando-se
os ‘momentos’ dessas áreas elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é:
CENTRÓIDE (LINHA)
Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de um fio, o cálculo dos
momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a cada um dos eixos de coordenadas fornece:

5. Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por
meio das condições de simetria. Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria, o
centróide dela ficará sobre esse eixo. Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o
centróide se localizará na intersecção desses eixos.
Exemplo:
Localize o centróide do segmento circular do do fio conforme mostra a figura

6. RESOLUÇÃO:
Fio, conforme mostra. Como o arco é circular, serão usadas coordenadas polares para resolver o
problema.
É importante lembrar que, a grade diferença entre integral simples, dupla e tripla, é o número de
integrações que deve ser feita (1,2 ou3 simples) seguindo as ordens de integração mais adequadas para
cada caso (verificar propriedades), ou seja, deve-se ter em mente qual das incógnitas irá integrar primeiro
(x, y, ou z).
2.2 MOMENTOS E CÁLCULO DE MASSA
Seja T um corpo sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a
densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto ( x, y, z ) é dada pela função δ=δ(x, y,
z), contínua em T. Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos
planos coordenados.
∫ (sobre V) z dm Onde V é volume englobado pela corpo. Se for no espaço tridimensional, obtemos uma
integral tripla do tipo ∫ ∫ ∫ z dx dy dz, onde os limites de integração dependem da forma do corpo.

7. A coordenada do centro de massa com relação ao plano, é (∫ (sobre V) z dm)/M, sendo M a sua massa.
Fazendo isto com relação a 2 planos coordenados, você tem as coordenadas do centro de massa. Quando a
massa específica do corpo é constante, isto é o mesmo que (∫ (sobre V) z dv)/V, V o volume. Com isso
temos a fórmula: Para os momentos de massa têm-se as seguintes fórmulas: Momento de massa em
relação ao plano xy
Momento de massa em relação ao plano xz
Momento de massa em relação ao plano yz
Logo, a definição das coordenadas do centro de massa é dada por:
MOMENTO DE INÉRCIA
Analogamente podemos definir o momento de inércia, o momento de inércia está relacionado com
rotação, ou seja, quanto maior for o momento de inércia de um objeto mais difícil será iniciar um

8. movimento de rotação para com ele, analogamente à massa, o momento de inércia diz respeito ao quanto
o objeto irá dificultar o movimento de rotação. Conclui-se então que o momento de inércia está
diretamente relacionado a inércia rotacional do objeto.
Exemplos:
Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x +y +z= 1 e os planos coordenados,
sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional á distância até o plano xy.
A densidade da massa é dada por δ(x, y, z)= kz, onde K é uma constante de proporcionalidade.
Logo, para massa total temos:

10. 2x +y +z= 1
Z= -2x –y +1, logo os intervalos em z são
( -2x –y +1, 0)
Intervalo de (1,0) em y, pode ser notado na
imagem.
E, em x temos que: para z=0,
Z= -2x –y +1
0= -2x –y +1
X= (-y +1)/2
MOMENTOS
XY:
XZ:
Resolvendo esse cálculo obtemos:
YZ:

11. Resolvendo esse cálculo obteremos:
O resultado do cálculo é:

12. Jogaremos esses resultados (M, Mxy, Mxz e Myz) na fórmula das coordenadas do centro de
massa. Cujo resultado vai ser
EXEMPLO PARA O MOMENTO DE INÉRCIA
Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro
x²+y²=9 e pelos planos z=2 e z=4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x² +y²)kg/ms.
Por se tratar de uma forma circular, podemos
transformar a equação e seus intervalos para
coordenadas cilíndricas.
Se, r²= x² +y² a função em questão ficará da seguinte forma:
O intervalo em Z pode ser verificado facilmente
na figura, que é 4 e 2.
O raio é 3, pois x²+y²=9

13. Logo r²= 9, r=3. (descartar o valor negativo)
O ângulo terá intervalo de 2π e 0, pois o cilindro tem uma volta de 360° (na forma
em que está sendo analisado)
Resolvendo essa integração temos que o momento de inércia corresponde
a:

14. CONCLUSÃO
Feito o trabalho conclui-se:
Como nas integrais duplas, os limites das integrais internas podem ser funções das
variáveis externas.
Podemos usar uma integral tridimensional sempre que você tiver a sensação de que
precisa cortar uma região tridimensional em um número infinito de pequenos pedaços,
associar cada pedaço a um valor, e então somar tudo.
REFERÊNCIAS

15. http://www.ebah.com.br/content/ABAAABoGoAC/mecanica- figuras-planas.
Acessado no dia 8 de novembro de 2011.
Centro de massa, in: http://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_massa. Acessado no
dia 9 de novembro de 2011.
Centro de massa, in: http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_15.asp.
Acessado no dia 9 de novembro de 2011.
Centro de massa, in: http://www.coladaweb.com/questoes/fisica/cendmas.htm.
Acessado no dia 8 de novembro de 2011.