Introducción a sistemas de control fuzzy.ppt

Sistemas de control de procesos dinámicos aplicando lógica difusa. Control Fuzzy

1. 1
3. Introducción a la Lógica
Difusa
Jorge Cabrera Gámez
Departamento de Informática y Sistemas
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
© Todos los derechos reservados

2. 2
Contenidos
3.Introducción a la Lógica Difusa
3.1Teoría de conjuntos difusos
3.2Inferencia en lógica difusa
3.3Un caso de estudio
3.4Bibliografía básica: [Cox-94], [Bend-96].

3. 3
Introducción a la Lógica Borrosa
Teoría de conjuntos
difusos / borrosos
(Fuzzy set theory)
L. Zadeh, 1965
Modelos difusos
de
representación y
tratamiento de
la incertidumbre
Definición.
Conjunto: La reunión de todos los elementos
que verifican una condición
“El conjunto de todos los elementos de Y que
verifican A(x)”
)}(|{ xAYxA 

4. 4
Introducción a la Lógica Borrosa
Definición.
Conjunto: La reunión de todos los elementos
que verifican una condición
“El conjunto de todos los elementos de Y que
verifican A(x)”
)}(|{ xAYxA 
Teoría clásica de conjuntos (Crisp set theory)
}1,0{)(x
A

0)(x
A

1)(x
A

“No pertenece”
“Sí pertenece”
pertenencia de x al conjunto A
Teoría de conjuntos difusos (Fuzzy set theory)
]1,0[)(x
A

Existe un rango de grados de pertenencia entre las posibilidades extremas

5. 5
Introducción a la Lógica Borrosa
Idea
Un conjunto difuso es un conjunto cuya
fronteras no están bien definidas
(subjetividad, vaguedad, imprecisión, ...)
y, por tanto, la pertenencia o no de un
elemento al mismo contiene una cierta
incertidumbre
Bayes
Aleatoriedad
de eventos
definidos de
manera
precisa
Conjuntos Difusos
Subjetividad en
la calificación de
eventos no
aleatorios

6. 6
Ejemplo:
Sea el conjunto de las personas consideradas “altas” definido
sobre el conjunto de la población española, y consideremos un
elemento del mismo denominado “pepe”. La cuestión de si pepe
pertenece o no al conjunto de las personas “altas” puede
resolverse atendiendo a la medida altura(pepe) y una función
que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la
altura.
1.0
0.5
0.0

alto(altura)
1.0 1.5 2.0 altura (m)
))(()( pepealtura
Alto
pepe
Alto
 

7. 7
Definición de la Función de posibilidad (Función de pertenencia)
1. Como una función de cualquier conjunto de parámetros
p
k(x) del elemento x.
2. Por enumeración de pares definidos sobre elementos
discretos del conjunto
donde
–  no representa una suma, sino una agregación de
pares.
– a(x)/x no representa ningún cociente, sino un par
(posibilidad/elemento)
))(,),...(),(()(
21 xpxpxpx
nAA



Ux
A xxA /)(
Ejemplo:
Sea el ejemplo anterior donde se definía el conjunto de
personas “altas”. Si el conjunto de posibles alturas se
representa por un conjunto de alturas discretas, U, tal que,
U= { 1.30, 1.50, 1.70, 1.90, 2.10 }
podemos definir la distribución de posibilidad de “ser alto”
sobre el conjunto U como:
ALTO = 0.0/1.30 + 0.2/1.50 + 0.5/1.70 + 0.8/1.90 + 1.0/2.10

8. 8
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas


















 0,,),,;(
bc
xc
ab
ax
minmaxcbaxTriangular
1.0
0.5
0.0
0 50 100
)80,60,20;(xTriangular

9. 9
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas


















 0,,1,),,,;(
cd
xd
ab
ax
minmaxdcbaxlTrapezoida
)95,60,20,10;(xlTrapezoida
1.0
0.5
0.0
0 50 100

10. 10
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas

2
),;(


cx
ecxGaussiana


)50,20;(xGaussiana
1.0
0.5
0.0
0 50 100

11. 11
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas
b
a
cx
cbaxCampana
2
1
1
),,;(








)50,4,20;(xCampana
1.0
0.5
0.0
0 50 100

12. 12
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas
)(
1
1
),;(
cxa
e
caxSigmoide



)50,2.0;(xSigmoide
1.0
0.5
0.0
0 50 100

13. 13
Modificadores (Hedges)
Es posible introducir conjuntos difusos por transformación
lingüística de uno dado. Algunos de los más frecuentes son:
muy A  
2
)()( x
A
x
Amuy
 
más_o_menos A  
5.0
)()(
__
x
A
x
Amenosomás
 
no A  )(1)( x
A
x
Ano
 
En general, pueden introducirse nuevas clases de
cualificadores o modificadores en la forma:
))(()( x
At
Fx
At
 


14. 14
Extensión cilíndrica
En el caso de que se quiera realizar la composición de dos
conjuntos cuyas bases de parámetros sean diferentes, será
necesario definir una base de parámetros comunes.
A este proceso se le denomina Extensión Cilíndrica.
Sea una distribución posibilista del conjunto A sobre el
parámetro definido por U
1, dada por:
U
1
= { 1, 2, 5 }
Y sea otra distribución posibilista del conjunto B sobre el
parámetro definido por U
2, tal que:
U
2
= { 8, 10, 15 }
5/6.02/7.01/3.0/)(
11
11 
Ux
A xx
15/3.010/7.08/0.1/)(
22
22

Ux
B
xx

15. 15
Extensión cilíndrica
Se define la extensión cilíndrica de A sobre el producto
cartesiano de los parámetros U
1 y U
2, dado por U
3 = U
1xU
2
como:
U
2
8 10 15
1 (1,8)(1,10)(1,15)
U
1 2 (2,8)(2,10)(2,15)
5 (5,8)(5,10)(5,15)
))15,5()10,5()8,5/((6.0
))15,2()10,2()8,2/((7.0
))15,1()10,1()8,1/((3.0/)(
3



Ux
A xx
))15,5()15,2()15,1/((3.0
))10,5()10,2()10,1/((7.0
))8,5()8,2()8,1/((0.1/)(
3



Ux
B xx

16. 16
Proyección
Es el proceso inverso al de Extensión cilíndrica. De él se obtiene
una distribución posibilista sobre un conjunto de parámetros
inferior de acuerdo con:
donde sup es el valor supremo sobre el parámetro x
n.
)},...,,({sup),...,,(
21121´ nA
x
nA xxxxxx
n
 

Ejemplo: Sea la distribución posibilista 
A
(x,y) dada por:
A = 1.0/(1, 3) + 0.9/(1, 6) + 0.8/(1, 9)
0.7/(5, 3) + 0.6/(5, 6) + 0.5/(5, 9)
0.4/(8, 3) + 0.3/(8, 6) + 0.2/(8, 9)
tiene una proyección sobre Y, 
A´
(x), dada por:
A´= 1.0/1 + 0.7/5 + 0.4/8

17. 17
Reglas de Composición
Dados los conjuntos A y B, cuyas distribuciones de posibilidad
son conocidas se define la distribución de posibilidad de una
composición de ambas como:

A*B(x) = F
*(
A(x), 
B(x))
Unión: 
AB(x) = F
(
A(x), 
B(x))
Intersección:
AB
(x) = F

(
A
(x), 
B
(x))
Complemento:
¬A
(x) = F
¬
(
A
(x))
F

(
A
(x), 
B
(x)) S-norma
F

(
A
(x), 
B
(x)) T-norma
Normalmente las funciones 
AB(x), 
AB(x) y 
¬A(x) serán
dependientes de la semántica del conjunto. Sin embargo, se
pueden simplificar tales funciones suponiendo que dependen
solamente de las distribuciones de los conjuntos A y B por
separado.

18. 18
Simplificación 1: Comportamiento monótono
)()( xxBA
BA
 
Por ejemplo: coches_veloces  coches
)_()_(
_
cochemicochemi
cochevelocescoches
 
Dado que se verifica:A  A  B
B  A  B
A  B  A
A  B  B
entonces por la simplificación anterior deben verificarse también:

A
(x)  
AB
(x)

B
(x)  
AB
(x)

AB(x)  
A(x)

AB(x)  
B(x)

AB(x)  max(
A(x), 
B(x))

A  B
(x)  min(
A
(x), 
B
(x))
Esto implica que deben cumplirse
las siguienes restricciones sobre
las operaciones de unión e
intersección

19. 19
Simplificación 2: Definición del complementario
Para definir la distribución del conjunto complementario se
asume la siguiente simplificación:
1)()( 

xx
AA

Lo que equivale a:
)(1)( xx
AA
 


20. 20
Definición de la Función de posibilidad (Función de pertenencia)
1. Como una función de cualquier conjunto de parámetros
p
k(x) del elemento x.
2. Por enumeración de pares definidos sobre elementos
discretos del conjunto
donde
–  no representa una suma, sino una agregación de
pares.
– a(x)/x no representa ningún cociente, sino un par
(posibilidad/elemento)
))(,),...(),(()(
21 xpxpxpx
nAA



Ux
A xxA /)(
Ejemplo:
Sea el ejemplo anterior donde se definía el conjunto de
personas “altas”. Si el conjunto de posibles alturas se
representa por un conjunto de alturas discretas, U, tal que,
U= { 1.30, 1.50, 1.70, 1.90, 2.10 }
podemos definir la distribución de posibilidad de “ser alto”
sobre el conjunto U como:
ALTO = 0.0/1.30 + 0.2/1.50 + 0.5/1.70 + 0.8/1.90 + 1.0/2.10

21. 21
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas


















 0,,),,;(
bc
xc
ab
ax
minmaxcbaxTriangular
1.0
0.5
0.0
0 50 100
)80,60,20;(xTriangular

22. 22
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas


















 0,,1,),,,;(
cd
xd
ab
ax
minmaxdcbaxlTrapezoida
)95,60,20,10;(xlTrapezoida
1.0
0.5
0.0
0 50 100

23. 23
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas

2
),;(


cx
ecxGaussiana


)50,20;(xGaussiana
1.0
0.5
0.0
0 50 100

24. 24
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas
b
a
cx
cbaxCampana
2
1
1
),,;(








)50,4,20;(xCampana
1.0
0.5
0.0
0 50 100

25. 25
Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas
)(
1
1
),;(
cxa
e
caxSigmoide



)50,2.0;(xSigmoide
1.0
0.5
0.0
0 50 100

26. 26
Modificadores (Hedges)
Es posible introducir conjuntos difusos por transformación
lingüística de uno dado. Algunos de los más frecuentes son:
muy A  
2
)()( x
A
x
Amuy
 
más_o_menos A  
5.0
)()(
__
x
A
x
Amenosomás
 
no A  )(1)( x
A
x
Ano
 
En general, pueden introducirse nuevas clases de
cualificadores o modificadores en la forma:
))(()( x
At
Fx
At
 


27. 27
Extensión cilíndrica
En el caso de que se quiera realizar la composición de dos
conjuntos cuyas bases de parámetros sean diferentes, será
necesario definir una base de parámetros comunes.
A este proceso se le denomina Extensión Cilíndrica.
Sea una distribución posibilista del conjunto A sobre el
parámetro definido por U
1, dada por:
U
1
= { 1, 2, 5 }
Y sea otra distribución posibilista del conjunto B sobre el
parámetro definido por U
2, tal que:
U
2
= { 8, 10, 15 }
5/6.02/7.01/3.0/)(
11
11 
Ux
A xx
15/3.010/7.08/0.1/)(
22
22

Ux
B
xx

28. 28
Extensión cilíndrica
Se define la extensión cilíndrica de A sobre el producto
cartesiano de los parámetros U
1 y U
2, dado por U
3 = U
1xU
2
como:
U
2
8 10 15
1 (1,8)(1,10)(1,15)
U
1 2 (2,8)(2,10)(2,15)
5 (5,8)(5,10)(5,15)
))15,5()10,5()8,5/((6.0
))15,2()10,2()8,2/((7.0
))15,1()10,1()8,1/((3.0/)(
3



Ux
A xx
))15,5()15,2()15,1/((3.0
))10,5()10,2()10,1/((7.0
))8,5()8,2()8,1/((0.1/)(
3



Ux
B xx

29. 29
Proyección
Es el proceso inverso al de Extensión cilíndrica. De él se obtiene
una distribución posibilista sobre un conjunto de parámetros
inferior de acuerdo con:
donde sup es el valor supremo sobre el parámetro x
n.
)},...,,({sup),...,,(
21121´ nA
x
nA xxxxxx
n
 

Ejemplo: Sea la distribución posibilista 
A
(x,y) dada por:
A = 1.0/(1, 3) + 0.9/(1, 6) + 0.8/(1, 9)
0.7/(5, 3) + 0.6/(5, 6) + 0.5/(5, 9)
0.4/(8, 3) + 0.3/(8, 6) + 0.2/(8, 9)
tiene una proyección sobre Y, 
A´
(x), dada por:
A´= 1.0/1 + 0.7/5 + 0.4/8

30. 30
Reglas de Composición
Dados los conjuntos A y B, cuyas distribuciones de posibilidad
son conocidas se define la distribución de posibilidad de una
composición de ambas como:

A*B(x) = F
*(
A(x), 
B(x))
Unión: 
AB(x) = F
(
A(x), 
B(x))
Intersección:
AB
(x) = F

(
A
(x), 
B
(x))
Complemento:
¬A
(x) = F
¬
(
A
(x))
F

(
A
(x), 
B
(x)) S-norma
F

(
A
(x), 
B
(x)) T-norma
Normalmente las funciones 
AB(x), 
AB(x) y 
¬A(x) serán
dependientes de la semántica del conjunto. Sin embargo, se
pueden simplificar tales funciones suponiendo que dependen
solamente de las distribuciones de los conjuntos A y B por
separado.

31. 31
Simplificación 1: Comportamiento monótono
)()( xxBA
BA
 
Por ejemplo: coches_veloces  coches
)_()_(
_
cochemicochemi
cochevelocescoches
 
Dado que se verifica:A  A  B
B  A  B
A  B  A
A  B  B
entonces por la simplificación anterior deben verificarse también:

A
(x)  
AB
(x)

B
(x)  
AB
(x)

AB(x)  
A(x)

AB(x)  
B(x)

AB(x)  max(
A(x), 
B(x))

A  B
(x)  min(
A
(x), 
B
(x))
Esto implica que deben cumplirse
las siguienes restricciones sobre
las operaciones de unión e
intersección

32. 32
Simplificación 2: Definición del complementario
Para definir la distribución del conjunto complementario se
asume la siguiente simplificación:
1)()( 

xx
AA

Lo que equivale a:
)(1)( xx
AA
 


33. 33
Operadores de Zadeh:
Zadeh estableció como definición de las leyes de pertenencia
a los conjuntos intersección y unión las cotas máximas y
mínimas respectivamente de dichos conjuntos:

AB(x)  max(
A(x), 
B(x))

AB(x)  min(
A(x), 
B(x))

AB(x) = max(
A(x), 
B(x))

AB(x) = min(
A(x), 
B(x))

¬A
(x) = 1 - 
A
(x)
Estas definiciones no están exentas de paradojas, por ejemplo:

A¬A(x) = max(
A(x), 1 - 
A(x))  1
Un elemento puede no pertenecer “del todo” a un
conjunto y su complementario

A¬A
(x) = min(
A
(x), 1 - 
A
(x))  0
Un elemento puede pertenecer a un conjunto y su
complementario

34. 34
 
p
pp
bamax
1
1)1()1(,01 
  
p
pp
bamax
1
1,0



),(p
ab
abba
)1(1
)2(




))(1( abba
ab

),0(










1
)1)(1(
1log1
11
s
ss
ba
s 








1
)1)(1(
1log
s
ss
ba
s
),0(s
 
www
bamin
1
)(,1   







w
ww
bamin
1
)1()1(,11 ),0(w
),1,1(
)1,,(


bamax
baminabba


),,(bamax
ab
)1,0(


1
1
1
1
1
1
1























ba
),0(


1
1
1
1
1
1
1





















ba
Uniones difusas Intersecciones difusasRango

35. 35
Lógica Difusa
• Se construye a partir de la teoría de conjuntos difusos
• El grado de verdad o certeza de una proposición p es un
valor
en el contínuo [0,1]
proposiciónp: X es A

p(x) = 
A(x)
Para completar el cálculo de proposiciones se definen los
conectores AND, OR y NOT
p  q : (X es A)  (Y es B)
p  q : (X es A)  (Y es B)
 p: (X es  A)

36. 36
Lógica Difusa
Para completar el cálculo de proposiciones se definen los
conectores AND, OR y NOT
p  q : (X es A)  (Y es B)
p  q : (X es A)  (Y es B)
 p: (X es  A)
Puede ocurrir que las distribuciones posibilistas 
p
y


q
no
estén definidas sobre la misma base de parámetros. En ese
caso es necesario extender cilíndricamente dichas
distribuciones.
Por otro lado debe recordarse que :

pq(x)  max(
p(x), 
q(x))

pq
(x)  min(
p
(x), 
q
(x))

37. 37
Lógica Difusa
En general, definiremos las funciones and(), or() y not() como:

pq(x) = or(
p(x), 
q(x))

pq
(x) = and(
p
(x), 
q
(x))

¬p
(x) = not(
p
(x))
En el caso más general:

pq(x,y) = or(
p(x), 
q(y))

pq(x,y) = and(
p(x), 
q(y))
Las funciones and(), or() y not() son dependientes de la
semántica de las proposiciones o Universo del Discurso.
Deben verificar en cualquier caso las siguientes relaciones
para ser compatibles con los valores booleanos en el límite
de no borrosidad:

38. 38
Lógica Difusa
Las funciones and(), or() y not() son dependientes de la
semántica de las proposiciones o Universo del Discurso.
Deben verificar en cualquier caso las siguientes relaciones
para ser compatibles con los valores booleanos en el límite
de no borrosidad:
or(1, u) = 1
or(0, u) = u
and(1, u) = u
and(0, u) = 0
not(1) = 0
not(0) = 1
Un conjunto muy amplio de funciones
cumplen estas restricciones.
Dos modelos muy empleados son los
siguientes
Modelo de Zadeh:
or1(u, v) = max(u, v)
and1(u, v) = min(u, v)
not(u) = 1 - u
Modelo Pseudoprobabilístico:
or2(u, v) = u + v - u·v
and2(u, v) = u·v
not(u) = 1 - u

39. 39
Lógica Booleana
A) p   p  1
B) p   p  0
C) p  (q  r)  (p  q)  r
D) p  (q  r)  (p  q)  r
E) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
F) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
G)  (p  q)   p   q
H)  (p  q)   p   q
Modelo de Zadeh
or1(u, v) = max(u, v)
and1(u, v) = min(u, v)
not(u) = 1 - u
A) max(u, 1- u)  1
B) min(u, 1 - u)  0
C) 
D) 
E) 
F) 
G) 
H) 

40. 40
Lógica Booleana
A) p   p  1
B) p   p  0
C) p  (q  r)  (p  q)  r
D) p  (q  r)  (p  q)  r
E) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
F) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
G)  (p  q)   p   q
H)  (p  q)   p   q
Modelo Pseudoprobabilístico
or2(u, v) = u + v -u·v
and2(u, v) = u·v
not(u) = 1 - u
A) u + (1- u) - u·(1-u)  1
B) u·(1 - u)  0
C) 
D) 
E) 
F) 
G) 
H) 

41. 41
Demostración de la primera ley de Morgan
p  q=max(p,q)
p  q p 1 - p 1 - p
p < q q 1 - q 1 - q
(p q)=1-max(p,q) p  q = min(1-p,1-q)
 (p  q)   p   q
p  q
p+ q - p·q 1 - p - q + p·q (1 - p)(1 - q) = 1 - p - q + p·q
(p q) p  q

42. 42
Inferencia Difusa
La operación de implicación se puede expresar en la forma:
p  q : si (X es A) entonces (Y es B)
donde A y B son variables lingüísticas definidas como conjuntos
difusos sobre los universos de discurso de X e Y
respectivamente.
Ejemplos:
• Si la presión es baja entonces el volumen es grande
• Si el tomate es rojo entonces está maduro
• Si la velocidad es alta entonces frenar ligeramente

43. 43
Inferencia Difusa
El principal problema para establecer un valor de certeza a este
operador estriba en definir una interpretación del mismo.
Sea imp() una función que proporciona la certeza en una
fórmula con implicación. Veamos posibles interpretaciones:

44. 44
A) Basada en la equivalencia siguiente, válida en el límite booleano
p  q  ¬ p  q
p q p  q ¬ p ¬p q ¬ q p ¬q ¬(p ¬q)
T T T F T F F T
T F F F F T T F
F T T T T F F T
F F T T T T F T
))()),((())(),((),( y
q
x
p
notory
q
x
p
impyx
qp
 

De acuerdo con esta interpretación y según los operadores ya definidos:
imp1(u, v) = max(1 - u, v)
imp2(u, v) = (1 - u) + v - (1 - u)·v
))))((),((())(),((),( y
q
notx
p
andnoty
q
x
p
impyx
qp
 


45. 45
B) Basada en la idea: “La certeza del consecuente es superior o igual
a la conjunción del antecedente e implicación”
p  (p  q)  q (modus ponens)
)()))(),((),(( y
q
y
q
x
p
impx
p
and  
vvuimpuand )),(,(
B1) min(u, imp(u, v))  v
B2) u * imp(u, v))  v









vuv
vu
vuimp
1
),(3










vu
u
v
vu
vuimp
1
),(4
C) Implicación de Lukasiewicz
imp5(u, v) = min(1 - u + v, 1)

46. 46
Modus Ponens
Empleando alguna de las definiciones anteriores de implicación es
posible definir el proceso de inferencia difusa empleando “modus
ponens”.
p  (p  q)  q
Dadas las certezas de un antecedente y la de la implicación, la
determinación de la certeza del consecuente se realiza en base a una
función generadora del modus ponens que denominaremos mod()
La función mod() debe verificar una serie de propiedades, algunas
de las cuales son las siguientes:
a) mod(u, imp(u, v))  v
b) mod(1, 1) = 1
c) mod(0, u) = v
d) u  v  mod(u, w)  mod(v, w)
a) La función mod() tiene como
cota superior la certeza del
consecuente
b) Este es el límite booleano
del
modus ponens
c) De un antecedente
completamente
falso puede concluirse cualquier
cosa
d) La función mod() debe ser
monótona creciente con la
certeza
del antecedente

47. 47
Funciones generadoras del modus ponens que resultan de las
definiciones de la función implicación presentadas
anteriormente:









uvv
uv
vuvumaxvuimp
1
10
),(1mod),1(),(1










0)0,1(
00
),(2mod1),(2
uvumax
u
vuvuuvuimp
),(),(3mod
1
),(3 vuminvu
vuv
vu
vuimp 









vuvu
vu
u
v
vu
vuimp 










),(4mod
1
),(4
)0,1(),(5mod)1,1(),(5  vumaxvuvuminvuimp

48. 48
Todas estas expresiones son válidas para la realización de
inferencia en casos análogos al siguiente:
regla: si (x es A) entonces (y es B)
premisa: (x es A)
(y es B)
),(yx
qp

)(x
p

)(y
q

Y también en casos como el siguiente, donde A y A’ poseen la
misma base de parámetros:
regla: si (x es A) entonces (y es B)
premisa: (x es A’ )
(y es B’)
),(yx
qp

)(
'
x
p

)(
'
y
q






















 ),(),(
'
modsup)(
'
yx
qp
x
p
x
y
q

regla: si (el coche es viejo) entonces (el coche es ruidoso)
premisa: (el coche es bastante viejo)
(el coche es bastante ruidoso)

49. 49
Razonamiento difuso basado en la composición Max-Min
Sean A y A’ conjuntos difusos en X y sea B otro conjunto difuso en
Y. Supongamos que la implicación difusa (A  B) definida sobre X
x Y se expresa como:
))(),((),( y
B
x
A
minyx
BA
 

Nótese que esta definición de la implicación no es sino una
expresión equivalente a imp3(u, v).








vuv
vuu
vuminumin )),(,(
Consideremos la regla,
si (x es A) entonces (y es B)
y la premisa
(x es A’ )
El conjunto difuso inducido B’, se define según hemos visto como





















 ),(),(
'
modsup)(
'
yx
BA
x
A
x
y
B










 ),()(
'
yx
BA
x
A
x


50. 50
1. Una regla con un único antecedente
)(
)()()(
'
))(),((),(
'
sup)(
'
y
B
w
y
B
x
A
x
Ax
y
B
x
A
minx
A
min
x
y
B















































Para este caso la ecuación anterior se transforma en:
donde w representa un índice de compatibilidad entre la premisa
y el antecedente de la regla.

x
AA’

x
w
B
B’

51. 51
si (x es A) y (y es B) entonces (z es C)
(x es A’ ) y (y es B’ )
(z es C’ )
2. Una regla con dos antecedentes
Una regla de este tipo puede representarse por una
implicación A x B  C de manera que:










)(),(),(),,( z
C
y
B
x
A
minzyx
CAxB

 


























































)(),(),(,)(
'
),(
'
,
sup
),,(,)(
'
),(
'
,
sup)(
'
z
C
y
B
x
A
miny
B
x
A
minmin
yx
zyx
CAxB
y
B
x
A
minmin
yx
z
C



52. 52



































 )(),(),(,)(
'
),(
'
,
sup)(
'
z
C
y
B
x
A
miny
B
x
A
minmin
yx
z
C

 
   
)(
21
)()()(
'
)()(
'
)()()()(
'
)(
'
,
)()()()(
'
)(
'
,
)(
'
z
C
ww
z
C
y
B
y
B
y
x
A
x
A
x
z
C
y
B
x
A
y
B
x
A
yx
z
C
y
B
x
A
y
B
x
A
yx
z
C

























































donde w
1  w
2 se puede asociar con el grado de satisfacción
o intensidad de disparo de la regla

53. 53

x
AA’

x
w
1
C
C’
 
   
)(
21
)()()(
'
)()(
'
)()()()(
'
)(
'
,
)()()()(
'
)(
'
,
)(
'
z
C
ww
z
C
y
B
y
B
y
x
A
x
A
x
z
C
y
B
x
A
y
B
x
A
yx
z
C
y
B
x
A
y
B
x
A
yx
z
C

























































2. Una regla con dos antecedentes

x
BB’
w
2
min

54. 54
3. Múltiples reglas con múltiples antecedentes
La interpretación de múltiples reglas se toma usualmente como la
unión de las inferencias difusas obtenidas de cada una de las
reglas.
hecho: (x es A’ ) y (y es B’ )
regla 1: si (x es A
1) y (y es B
1) entonces (z es C
1)
regla 2: si (x es A
2) y (y es B
2) entonces (z es C
2)
consecuencia: (Z es C’ )
Resulta intuitivo observar que del caso anterior C’ = C
1
 C
2

55. 55

x
A
1A’

x
w
11
C
1
C’
1

x
B
1B’
w
12
min

x
A
2A’

x
w
21
C
2
C’
2

x
B
2B’
w
22

x
C’
max

56. 56
Cuando una regla difusa asume la forma
“si (x es A) o (y es B) entonces (z es C)”
la intensidad de disparo de la regla (w) viene dada por el máximo
de los grados de correspondencia de los antecedentes. Esto es:
donde:
  )(
21
)(
'
z
C
wwz
C
 
 )(
'
)(
'1
x
A
x
Ax
w  
 )(
'
)(
'2
y
B
y
By
w  

57. 57
Métodos de concentración (Defuzzification)
La utilización de reglas de
inferencia difusas produce, tras la
evaluación, un conjunto difuso
para cada variable del modelo:
Ejemplo:
si (x es X) entonces (D es A)
si (y es Y) entonces (D es B)
si (z es Z) entonces (D es C)
El conjunto resultante D es un
conjunto difuso que representa a
una cierta variable D a la que
normalmente es necesario asignar
un valor escalar.

x
A

y
B

y
C

y
D
Valor escalar

58. 58
Métodos de concentración (Defuzzification)

x
menor de maximos
media de maximos
mayor de maximos
centroide
Posibles medidas
Todos son métodos heurísticos
para encontrar “el valor” que
mejor representa o sintetiza la
información contenida en el
conjunto difuso.
Uno de los más empleados:
Centroide:



i
i
x
i
i
x
i
x
d
)(
)(



59. 59
Un caso de estudio:
Control Difuso de una turbina de vapor
Introducción:
Se pretende controlar la inyección de
combustible en una turbina de vapor al objeto de
mantener constante la velocidad. La cantidad de
combustible que se consume por unidad de
tiempo (tasa de consumo) se incrementa o
disminuye mediante la apertura o cierre,
repectivamente, de la válvula de inyección en
función de la temperatura y la presión en la
caldera.

60. 60
Se pretende controlar la inyección de combustible en una
turbina de vapor al objeto de mantener constante la velocidad.
La cantidad de combustible que se consume por unidad de
tiempo (tasa de consumo) se incrementa o disminuye mediante
la apertura o cierre, repectivamente, de la válvula de inyección
en función de la temperatura y la presión en la caldera.
Sensor de
temperatura
Sensor de
presión
Controlado
r de la
válvula de
inyección
Planta de la
turbina
P(t)
T(t)
Sensores
Sensor
RPM
RPM(t)
I(t)
Sensor
RPM
RPM(t)

61. 61
1. Descomponer cada variable del modelo en un
conjunto de regiones difusas (vocabulario de cada
variable)
110 220 330 ºC
1
M
U
Y
_
B
A
J
A
B
A
J
A
O
P
T
I
M
A
A
L
T
A
M
U
Y
_
A
L
T
A
TEMPERATURA

62. 62
10 120 230 Kg/m2
1
M
U
Y
_
B
A
J
A
B
A
J
A
O
P
T
I
M
A
A
L
T
A
M
U
Y
_
A
L
T
A
PRESIÓN

63. 63
-60 0 60 cm/sg
1
C
E
R
R
A
R
_
M
U
C
H
O

(
C
M
)
C
E
R
R
A
R

(
C
)
D
E
J
A
R
_
I
G
U
A
L

(
O
K
)
A
B
R
I
R

(
A
)
A
B
R
I
R
_
M
U
C
H
O

(
A
M
)
ACCIONES SOBRE
LA VÁLVULA
C
E
R
R
A
R
_
U
N
_
P
O
C
O

(
C
P
)
A
B
R
I
R
_
U
N
_
P
O
C
O

(
A
P
)

64. 64
2. Sintetizar las reglas de control (base de conocimiento)
Por ejemplo:
[R1]Si la temperatura es baja y la presión es muy_baja
entonces la acción sobre la válvula es abrir_mucho
[R2]Si la temperatura es baja y la presión es baja
entonces la acción sobre la válvula es abrir
[R3]Si la temperatura es baja y la presión es óptima
entonces la acción sobre la válvula es dejar_igual
[R4]Si la temperatura es baja y la presión es alta
entonces la acción sobre la válvula es cerrar

65. 65
3. El Algoritmo
A. Leer los sensores de presión y temperatura
B. Hacer 
solución
(x) = 0
C. Para todas la reglas cuyos antecedentes no sean nulos
C.1 Obtener el mínimo de todos los predicados conectados por
operadores conjuntivos (AND) en el antecedente de la regla.
P
certeza = min(E
1, E
2, ..., E
n)
C.2 Obtener la certeza de la regla

control(x) = min( 
regla(x), P
certeza )
C.3 Asignar el conjunto difuso obtenido en 
control(x) al conjunto
solución mediante una operación de máximo (OR)

solución(x) = max( 
solución(x), 
control(x) )
D. Concentrar 
solución
(x) (p.e. obteniendo el centroide) para obtener
el valor escalar que requiere la acción de control.

66. 66
Veamos como funciona
Supongamos que tras leer los sensores, la presión cae dentro
del dominio de los conjuntos difusos OPTIMA y BAJA; y la
temperatura se incluye dentro del conjunto difuso BAJA.
Las reglas cuyos antecedentes no son nulos son:
[R2]Si la temperatura es baja y la presión es baja
entonces la acción sobre la válvula es abrir
[R3]Si la temperatura es baja y la presión es óptima
entonces la acción sobre la válvula es dejar_igual

67. 67
110 220 330 ºC
1
M
U
Y
_
B
A
J
A
B
A
J
A
O
P
T
I
M
A
A
L
T
A
M
U
Y
_
A
L
T
A
10 120 230 Kg/m2
1
M
U
Y
_
B
A
J
A
B
A
J
A
O
P
T
I
M
A
A
L
T
A
M
U
Y
_
A
L
T
A
-60 0 60 cm/sg
1
C
E
R
R
A
R
_
M
U
C
H
O

(
C
M
)
C
E
R
R
A
R

(
C
)
D
E
J
A
R
_
I
G
U
A
L

(
O
K
)
A
B
R
I
R

(
A
)
A
B
R
I
R
_
M
U
C
H
O

(
A
M
)
C
E
R
R
A
R
_
U
N
_
P
O
C
O

(
C
P
)
A
B
R
I
R
_
U
N
_
P
O
C
O

(
A
P
)

68. 68
110 220 330 ºC
1
BAJA
10 120 230 Kg/m2
1
BAJA
-60 0 60 cm/sg
1 ABRIR (A)
0.48
0.57
110 220 330 ºC
1
BAJA
10 120 230 Kg/m2
1
OPTIMA
-60 0 60 cm/sg
1 DEJAR_IGUAL (OK)
Temperatura Presión
Acciones de control
sobre la vávula
-60 0 60 cm/sg
1 DEJAR_IGUAL (OK)
Centroide= 23 cm/sg
0.48
0.25

69. 69
Bibliografía.
[Cox-94]E. Cox
The Fuzzy Systems Handbook
Academic Press, 1994
[Bend-96]E. Bender
Mathematical Methods in Artificial Intelligence
IEEE Computer Society Press, 1996.