Introduccion al Analisis Matematico - Robert Bartle Ccesa007.pdf

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1. Sherbert
Eastern Michigan University, Ypsilanti
University olIllinois, Urbana-Champaign
288268

2. Bartle, Robert G.
Introducción al análisis matemático de una variable == Introduction to real
analysis / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. --3a. Ed. --México: Limusa
Wiley,2010
xiv; 486 p.: il., fot.; 24 x 19 cm.
ISBN: 978-607-05-0216-3
Incuye bibliografía
Rústica
1. Análisis matemático 2. Funciones de variable real
1. Sherbert, Donald R., coaut. 11. Piña García, Rodolfo, tr.
Dewey: 515 I 22/ B2891 i
TRADUCCiÓN AUTORIZADA
DE LA EDICiÓN EN INGLÉS;
PUBLICADA POR JOHN WILEY & SONS, LTD. CON EL
TiTULO:
INTRODUCTION TO REALANALYSIS
© JOHN WILEY & SONS
NUEVA YORK, CHICHESTER, BRISBANE, SINGAPORE
ANO
TORONTO. NINGUNA PARTE DE ESTE LIBRO PODRÁ SER
REPRODUCIDA DE NINGUNA FORMA SIN LA AUTORIZACiÓN
POR ESCRITO DE JOHN WILEY & SONS, INC.
© EDITORIAL LIMUSA S.A. ANO JOHN WILEY & SONS
(HK), LTD.
COLABORADOR
EN LA TRADUCCiÓN
RODOLFO PIÑA GARCíA
LC: QA300
LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE
INTRODUCCiÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
DE UNA VARIABLE
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN
SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALQUIER SISTEMA DE
RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN), SIN
CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
DERECHOS RESERVADOS:
© 2010, EDITORIAL LlMUSA, SA DE Cv.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDE RAS 95, MÉXICO, D.F.
C.P. 06040
€lllJ 51 30 0700
ª 55122903
[email protected]
www.nonega.com.mx
CANIEM NÚM. 121
TERCERA EDICiÓN
HECHO EN MÉXICO
ISBN: 978-607-05-0216-3

3. A nuestras esposas, Carolyn y Janice,
con nuestro aprecio
por su
paciencia, apoyo y
amor.

4. El estudio del análisis real es indispensable para quien pretende cursar estudios
avanzados en matemática pura o aplicada. También es
de gran valor para el estu­
diante de licenciatura que desee ir más allá del manejo mecánico de fórmulas para
resolver problemas convencionales, pues le ayuda a desarrollar la capacidad
para pensar deductivamente, analizar situaciones matemáticas y extrapolar las
ideas a nuevos contextos. En años recientes, la matemática se ha convertido en un
elemento de valor en áreas como economía y ciencia
de la administración, cien­
cias físicas, ingeniería y ciencias
de la computación. Nuestro objetivo es ofrecer
un libro de texto accesible que poco a poco aumenta el grado
de complejidad en
el tratamiento
de los conceptos y técnicas fundamentales del análisis real para los
estudiantes
de estas áreas. El libro está diseñado para estudiantes que hayan cur­
sado cálculo en la forma convencional en que acostumbra impartirse esta materia.
Aun cuando hay quienes encuentran desafiante su contenido, nuestra experiencia
es que los estudiantes serios en este nivel son absolutamente capaces de dominar
el material aquí presentado.
Las dos ediciones anteriores de este libro tuvieron una excelente acogida y
nos hemos esmerado para mantener
el mismo espíritu y el mismo acercamiento
accesible para
el lector. Al preparar esta edición, hemos examinado cada sección
y grupo
de ejercicios, agilizado los razonamientos, agregado algunos ejemplos
nuevos, cambiado algunos temas de posición y hecho exhaustivas revisiones. Ex­
cepto por el nuevo capítulo 10, que trata la integral de Riemann generalizada,
no
se ha agregado mucho material nuevo. Aun cuando se incluye más material del
que puede estudiarse en un semestre, quizá
el maestro quiera usar ciertos temas
como proyectos especiales o para créditos extras.
Es deseable que
el estudiante haya tenido cierto contacto con demostraciones,
pero no damos por hecho que éste sea el caso. A
fin de apoyar al estudiante para
analizar las demostraciones de teoremas,
se incluye un apéndice sobre "Lógica y
demostraciones" que examina temas como implicaciones, cuantificadores, nega­
ciones, el contrapositivo y diferentes tipos
de demostraciones. La exposición se ha
mantenido en un nivel informal a
fin de evitar quedar entrampados en los detalles
técnicos de la lógica formal. En nuestra opinión,
es una experiencia más provecho­
sa aprender cómo construir demostraciones observando primero y haciendo des­
pués que leyendo acerca
de las técnicas de demostración.
VII

5. Viii Prefacio
Hemos adoptado un nivel medio de de manera consistente a lo
largo del libro:
se presentan resultados que son lo suficientemente generales para
cubrir los casos que surgen en la práctica, pero no nos afanamos para conseguir la
máxima generalidad. En principio, procedemos
de lo particular a lo general. Así,
consideramos las funciones continuas en intervalos abiertos y cerrados en detalle,
pero tenemos cuidado de presentar demostraciones que pueden adaptarse con
facilidad para situaciones más generales. (En el capítulo
11 se obtiene un particu­
lar provecho de este enfoque.) Pensamos que es importante proporcionarle al
estudiante muchos ejemplos que le ayuden en su aprendizaje; asimismo, compila­
mos unas listas bastante extensas
de ejercicios que le plantearán retos. Aun cuan­
do dejamos demostraciones rutinarias como ejercicios, no intentamos abreviar la
exposición relegando a los ejercicios las demostraciones difíciles. Sin embargo, en
algunas de las secciones al final del libro descomponemos un ejercicio moderada­
mente difícil en una sucesión
de pasos.
En el capítulo 1 se presenta un breve resumen
de las nociones y notaciones
para conjuntos y funciones que usamos aquí. Asimismo,
se incluye una discusión
de la inducción matemática, ya que son fi·ecuentes las demostraciones inductivas. Se
incluye también una breve sección sobre conjuntos finitos, contables e infinitos.
Se recomienda que este capítulo
se estudie con rapidez o que se use como material
de respaldo, para volver a él segíill sea necesario.
El capítulo 2 presenta las propiedades del sistema
de los números reales IR..
Las dos primeras secciones abordan las propiedades algebraicas y de orden, y
ofrecen cierta práctica en la elaboración
de demostraciones de resultados elemen­
tales.
La propiedad crucial de completez se introduce en la sección 2.3 como la
propiedad del supremo, y en el resto de este capítulo
se discuten sus ramificaciones.
En el capítulo 3 se presenta un tratamiento completo
de las sucesiones en ffi.
y de los conceptos asociados de límites. Este material es de la mayor importancia;
por fortuna, los estudiantes lo encuentran bastante natural, aun cuando les toma
algo de tiempo acostumbrarse cabalmente al uso
de . En la nueva sección 3.7 se
presenta una breve introducción a las series infinitas, por lo que este importante
tema no debe omitirse por problemas de tiempo.
El capítulo 4, sobre límites de funciones, y el capítulo
5, sobre funciones
continuas, constituyen la columna vertebral de este libro. La discusión
de lími­
tes y continuidad se apoya en gran medida en el uso de sucesiones, y el enfoque
estrechamente paralelo de estos capítulos refuerza la comprensión de estos te­
mas esenciales. Las propiedades fundamentales
de las funciones continuas (en
intervalos)
se tratan en las secciones 5.3 y 5.4. La noción de "medida" se introdu­
ce en la sección 5.5 y se usa para ofrecer demostraciones alternativas de estas pro­
piedades. Las funciones monótonas
se tratan en la sección 5.6.
La teoría básica de la derivada se presenta en la primera parte del capítulo
6.
Este importante material es convencional, excepto porque se ha empleado un
resultado de Carathéodory a fin
de ofrecer demostraciones más simples de la regla
de la cadena y del teorema
de inversión. El resto de este capítulo consta de apli­
caciones del teorema del valor medio y puede explorarse si el tiempo lo permite.
El capítulo 7, que trata la integral
de Riemann, ha sido objeto de una revisión
completa en esta edición. En vez
de introducir integrales superiores e inferiores
(como se hizo en las ediciones anteriores), aquí se define la integral como un lí-

6. Prefacio IX
mi
te de sumas de Riemann. Esto tiene la de que es consecuente con la
inicial
de los estudiantes a la integral en cálculo y en las
puesto. que no depende
de las propiedades de orden, permite la generalización
inmediata a funciones complejas y vectoriales que los estudiantes pueden encon­
trar en cursos posteriores. Contrario a la opinión popular, este enfoque
de límites
no
es más difícil que el de orden. También es consecuente con la integral
de Riemann generalizada, la cual se examina en detalle en el capítulo 10. La sec­
ción 7.4 presenta una breve discusión
de los' métodos numéricos comunes para
calcular la integral
de funciones continuas.
Las sucesiones
de funciones.y la convergencia uniforme se abordan en las dos
primeras secciones del capítulo
8, y las funciones trascendentes básicas se colo­
can sobre una base firme en las secciones
8.3 y 8.4 mediante el uso de la conver­
gencia uniforme. El capítulo 9 completa la discusión
de las series infinitas. Los
capítulos 8 y 9 son
de suyo importantes, a la vez que muestran cómo puede apli­
carse el material de los capítulos anteriores.
El capítulo
lOes completamente nuevo, presenta la integral de Riemann gene­
ralizada (también llamada integral de Henstock-Kurzweil). Para muchos estu­
diantes éste
es un tema nuevo y creemos que les sorprenderá descubrir que una
modificación en apariencia insignificante
de la definición de la integral de Riemann
puede llevamos a una integral aún más general que la integral
de Lebesgue. Cree­
mos que este enfoque relativamente nuevo a la teoría de integración
es accesible y
al mismo tiempo interesante para quien ya conoce la integral de Riemann básica.
El capítulo
11 final trata conceptos topológicos. Las demostraciones dadas
anteriormente para intervalos
se amplían a un contexto más abstracto. Por ejem­
plo, se hace el énfasis apropiado en el concepto
de compacidad y se introducen los
espacios métricos. Este capítulo será de gran utilidad para los estudiantes que con­
tinúen estudios
de pos grado en matemática.
A lo largo de este libro
se ha prestado más atención de la usual a los temas de
análisis numérico y teoría de aproximaciones. Se ha procedido así debido a la
importancia de estas áreas y para mostrar que el análisis real no es un mero ejer­
cicio de pensamiento abstracto.
Se han incluido prolijas listas de ejercicios, alglillos sencillos y otros desafian­
tes. En muchos de estos ejercicios se proporcionan "sugerencias" a fin
de encami­
nar
al estudiante hacia la solución o verificación de su "respuesta".
Es muy satisfactorio ver cómo aumenta la madurez matemática de los estu­
diantes y cómo gradualmente aprenden a trabajar con soltura conceptos que en un
principio parecían misteriosos. Pero
es indudable que se requiere mucho trabajo
arduo para ello por parte tanto de estudiantes como de maestros.
A fin de enriquecer la perspectiva histórica del libro,
se incluyen breves sem­
blanzas biográficas
de algunos matemáticos famosos que hicieron sus aportacio­
nes en esta área. Tenemos una deuda particular con el doctor Patrick Muldowney
por facilitamos la fotografía
de los profesores Henstock y Kurzweil. Agradecemos
asimismo a Wiley por conseguir las fotografias del resto
de los matemáticos.
Hemos recibido muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia va­
riedad de instituciones, quienes han impartido el curso utilizando las ediciones
anteriores y a quienes les agradó el libro
lo suficiente para expresar sus opinio­
nes acerca
de cómo mejorarlo. Apreciamos sus observaciones y sugerencias, aun

7. x Prefacio
cuando no seguimos sus Les por comunicarse con
nosotros y les deseamos lo mejor en su empeño por impartir el reto y la emo­
ción de aprender análisis real y matemática "real". Esperamos que encuentren esta
nueva edición aún más provechosa que las anteriores.
Ypsilanti y Urbana
A a Alpha
B (3 Beta
r y Gamma
,ó. O Delta
E [; Épsilon
Z
~ Zeta
H r¡ Eta
e e Theta
1 Iota
K
K Kappa
A A Lambda
M
tt
Mu
N v
c. ~
O o
II :¡¡;
P p
L a
T r
Y v
<I> cj>
X X
'P '!/J
Q (j)
Robert G. Baríle
Donald R Sherbert
Nu
Xi
Omicrón
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ípsilon
Phi
Ji
Psi
Omega

8. CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 5
PRELIMINARES 1
1.1 Conjuntos y funciones 1
1.2 Inducción matemática 14
1.3 Conjuntos finitos e infinitos 20
LOS NÚMEROS REALES 29
2.1 Propiedades algebraicas y de orden de IR 30
2.2 Valor absoluto y la recta real 40
2.3
La propiedad de completez de IR 45
2.4 Aplicaciones de la propiedad del supremo 49
2.5 Intervalos
56
SUCESIONES Y SERIES 65
3.1 Sucesiones y sus límites 66
3.2 Teoremas de límites
75
3.3 Sucesiones monótonas 85
3.4 Sub sucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass 93
3.5 El criterio de Cauchy 100
3.6 Sucesiones propiamente divergentes 107
3.7 . Introducción a las series infinitas 11
O
LÍMITES 121
4.1 Límites de funciones 122
4.2 Teoremas sobre límites 131
4.3 Algunas ampliaciones del concepto de límite 140
FUNCIONES CONTINUAS 149
5.1 Funciones continuas 150
5.2 Combinaciones de funciones continuas
156
5.3 Funciones continuas en intervalos 161
XI

9. Xii
5.4 Continuidad uniforme 169
5.5 Continuidad y medidas 179
5.6 Funciones monótonas e inversas 184
CAPÍTULO 6 193
6.1 La derivada 194
6.2 El teorema del valor medio
206
6.3 Reglas de L'Hópital 216
6.4 Teorema de Taylor 226
CAPÍTULO 7 LA INTEGRAL DE RIEMANN 239
7.1 La integral de Riemann 240
7.2 Funciones Riemann integrables 251
7.3 El teorema fundamental 261
7.4 Integración aproximada 273
CAPÍTULO 8 SUCESIONES DE FUNCIONES 285
8.1 Convergencias puntual y uniforme 285
8.2 Intercambio de límites 292
Contenido
8.3 Las funciones exponencial y logarítmica 300
8.4 Las funciones trigonométricas 308
CAPÍTULO 9 SERIES INFINITAS 317
9.1 Convergencia absoluta 317
9.2 Criterios de convergencia absoluta 321
9.3 Criterios para convergencia no absoluta 330
9.4 Series de funciones 334
CAPÍTULO 10 LA INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA 343
10.1 Definición y propiedades principales 345
CAPÍTULO 11
10.2 Integrales impropias y de Lebesgue 360
10.3 Intervalos infinitos 367
lOA Teorema de convergencia 375
UNA OJEADA A
LA TOPOLOGÍA
11.1 Conjuntos abiertos y cerrados en lR
1l.2 Conjuntos compactos 398
11.3 Funciones continuas
403
l1A Espacios métricos 408
389
390

10. contenido XII!
A y DEMOSTRACIONES 417
,",,""U''-'L,'"'' B CONJUNTOS FINITOS Y CONTABLES 429
C
LOS CRITERIOS DE RIEMANN Y LEBESGUE 433
D APROXIMADA 439
E DOS EJElVIPLOS 443
BIBLIOGRAFÍA 447
CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍAS 449
SUGERENCIAS PARA EJERCICIOS SELECCIONADOS 451
ÍNDICE 477

11. En este capítulo inicial se presentan los conocimientos previos necesarios para el
estudio del análisis real. La sección
1.1 consiste en un breve repaso de las opera­
ciones con conjuntos
y de funciones, dos herramientas vitales para las matemá­
ticas en general. En ella se establece la notación y se enuncian las definiciones
y
las propiedades básicas que se usarán a lo largo del libro. El término "conjunto"
se considera sinónimo de "clase", "colección" y "familia", pero estos términos
no se definen ni se presenta una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Este
enfoque pragmático, al que suele hacerse referencia como teoría básica de con­
juntos, resulta bastante adecuado para trabajar con conjuntos
en el contexto del
análisis real.
La sección 1.2 se ocupa de un método especial de demostración llamado
inducción matemática. Se relaciona con las propiedades básicas del sistema de los
números naturales
y, aunque se encuentra restringido a la demostración de propo­
siciones de tipos particulares,
es importante y su aplicación es frecuente. En el
apéndice A se incluye una discusión informal de los diferentes tipos de demostra­
ciones que se usan en matemáticas, como el contrapositivo y las demostraciones
por reducción
al absurdo.
En la sección
1.3 se aplican algunas de las herramientas presentadas en las dos
primeras secciones de este capítulo a
fin de analizar lo que significa que un con­
junto sea finito o infinito.
Se presentan definiciones precisas y se deducen algunas
consecuencias básicas de estas definiciones.
Se establece asimismo el importante
resultado de que el conjunto de los números racionales
es contablemente infinito.
Además de introducir los conceptos básicos y de establecer la notación y la
terminología, este capítulo también proporciona al lector cierta experiencia inicial
para trabajar con definiciones precisas y hacer demostraciones. El estudio atento
del análisis real implica de manera inevitable la lectura y construcción de demos­
traciones, habilidades que, como cualquier otra,
es necesario practicar. El presen­
te capítulo es
un punto de partida.
Para ellecíor: En esta sección se presenta un breve repaso de la terminología y
la notación que se usará en el libro. Se sugiere una lectura rápida y volver a ella
más tarde cuando necesite recordar el significado de un término o símbolo.
1

12. 2 Capítulo 1 Preliminares
Si un elemento x está en un se escribe
xEA
y se dice que x es miembro de A, o que x
escribe
aA. Si x no está enA, se
x~ A.
Si todos los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B, se dice
que
A es un de B y se escribe
o
B-;;;;¿A.
Se dice que un conjunto A es un de un conjunto B si A <;;;; B,
pero hayal menos un elemento de B que no está en A. En este caso, en ocasiones
se escribe
AcB.
1.1.1 Definición Se dice que dos conjuntos A y B son
A = B, si contienen los mismos elementos.
y se escribe
Así, para demostrar que los conjuntos
A y B son iguales, debe probarse que
A <;;;;B Y B<;;;;A.
Por lo general, un conjunto puede definirse ya sea enlistando sus elementos
explícitamente o especificando una propiedad que determine los elementos del
conjunto. Si
P denota una propiedad que tenga sentido y no sea ambigua para los
elementos de un conjunto
S, entonces se escribe
{XE S:P(x)}
para el conjunto de todos los elementos x en S para los cuales se cumple la pro­
piedad
P. Si el conjunto S se sobreentiende por el contexto, entonces con frecuen­
cia se omite esta notación.
A lo largo de este libro
se usan varios conjuntos particulares que se denotan
por símbolos convencionales, como se indica a continuación. (Se usará el símbo­
lo
:= para significar que el símbolo de la izquierda se define por el símbolo de la
derecha.)
El conjunto de los
números naturales N := {1, 2, 3, ... },
El conjunto de los enteros Z := {O, 1, -1, 2, -2, ... },
El conjunto de los números racionales QI := {m/n: m, n E Z y n *' O},
El conjunto de los números reales R
El conjunto
IR de los números reales es de importancia fundamental aquí y se
examina en detalle en el capítulo 2.

13. 1.1 Conjuntos y funciones.
1.1.2 a) El conjunto
{x E N: x2 -3x + 2 = O}
consiste en los números naturales que satisfacen la ecuación enunciada. Puesto
que las únicas soluciones de esta ecuación cuadrática son
x = 1 Y x = 2, este con­
junto puede derrotarse de manera más simple por
{l, 2}.
Un número natural
n es par si tiene la forma n = 2k para alguna k E N. El con­
junto
de los números naturales pares puede escribirse
{2k: k E N},
que es una expresión menos engorrosa que {n E N : n = 2k, k E N}. Del mismo
modo, el conjunto
de los números naturales puede escribirse
{2k-l : kE N}. o
Operaciones con conjuntos
Se definen ahora los métodos para obtener conjuntos nuevos a partir de conjuntos
dados. Adviértase que estas operaciones con conjuntos
se basan en el significado
de las palabras "o", "y" y "no". Para la unión,
es importante tener presente el
hecho
de que la palabra "o" se usa en el sentido inclusivo, lo cual deja abierta la
posibilidad
de que x pertenezca a ambos conjuntos. En la terminología jurídica,
este sentido inclusivo se indica en ocasiones por "y/o".
1.1.3 Definición a) La unión de los conjuntos
A y B es el conjunto
A U B := {x: x E A o X E B}.
b) La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto
A n B := {x: x E A Y x E B}.
c) El complemento de B con respecto lA A es el conjunto
A \B:= {x: x E A Y x ~ B}.
AUB lJIll] AnB~ A\B ~
Figura 1.1.1 a) A U B b) A n B e) A\B

14. Capítulo 1 Preliminares
El que no tiene elementos se llama vado y se denota por
el símbolo 0. Se dice que dos conjuntos A y B son si no tienen elemen-
tos
en común, lo cual puede e15presarse escribiendo A n B = 0.
A fin de ilustrar el método empleado para demostrar igualdades de conjuntos,
se establece enseguida una de las
leyes de DeMorgan para tres conjuntos. La
demostración de la otra ley se deja como ejercicio.
1.1.4
Teorema Si A, B Y e son conjuntos, entonces
a) A(B U C) = (A\B) n (A\C),
A(B n C) = (A\B) U (A\C).
Demostración. Para demostrar el inciso a), se probará que todo elemento de
A(B U C) está contenido tanto en (A\B) como en (A\C), y recíprocamente.
Si
x está en A(B U C), entonces x está en A pero no está en B U C. Por tanto,
x está en A, pero no está en B ni en C. En consecuencia, x está en A pero no en B,
y x está en A pero no en C. Por tanto, x E A\B Y x E A\C, con lo cual se demues­
tra que
x E (A\B) n (A\C).
Recíprocamente, si x E (A\B) n (A\C), entonces x E (A\B) Y x E (A\C). En con-
secuencia,
x E A, Y ambos x ~ B Y x ~ C. Por lo tanto, x E A Y x ~ (B U de
donde
x E A(B U C).
Puesto que los conjuntos
(A\B) n (A\C) y A(B U C) contienen los mismos ele-
mentos, son iguales
por la definición 1.1.1. Q.E.D.
Hay ocasiones en que es conveniente formar uniones e intersecciones de más de
dos conjuntos. Para
una colección finita de conjuntos {A 1, A
2
,
.. " Al1}, su unión es
el conjunto
A que consta de todos los elementos que pertenecen a al menos uno de los
conjuntos
AIC' y su intersección consta de todos los elementos que pertenecen a
todos los conjuntos A
lc
Lo anterior se hace extensivo a una colección infinita de conjuntos {A 1, A 2, .. "
Al1' ... } como sigue. Su unión es el conjunto de los elementos que pertenecen a al
menos uno
de los conjuntos Aw En este caso se escribe
co
U Al1 : = { x : x E An para alguna n E N}.
n=1
Del mismo modo, su intersección es el conjunto de los elementos que pertenecen
a
todos los conjuntos An-En este caso se escribe
co
n An : = { x : x E An para algun~ n E N}.
n=1
Productos cartesianos
A fin de discutir las funciones, se define el producto cartesiano de dos con­
juntos.

15. 1.1 Conjuntos y funciones
1.1.5 Definición Si A Y B son no entonces el ,,,":U1Ill1<0l',, car­
tesiano A X B de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados b) con
a E A Y b E B. Esto es,
A X B := {(a, b) : a E A, b E B}.
Por tanto, si A = {l, 2, 3} Y B = {1, 5}, entonces A X B es el conjunto cuyos
elementos son los pares ordenados
(1, 1), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5).
El conjunto A x B puede representarse como el conjlmto de los seis puntos del
plano con las coordenadas que acaban de enumerarse.
Es común trazar
un diagrama (como el de la figura 1.1.2) para indicar el
producto cartesiano de dos conjuntos
A y B. Sin embargo, es necesario te­
ner presente que este diagrama puede ser una simplificación. Por ejemplo, si
A := {x E ffi. : 1 :s; x :s; 2} Y B := {y E ffi. : O :s; Y :s; 1 o 2 :s; Y :s; 3}, entonces, en
vez
de un rectángulo, se tendria un trazo como el de la figura 1.1.3.
3
AxB
2
B AxB
b - - - - -~(a, b)
I
a
A
2
Figura 1.1.2 Figura 1.1.3
Se discute ahora la noción fundamental de fimción o mapeo.
Para el matemático de principios del siglo XIX, el término "función" significa­
ba una fórmula definida, tal como f(x) := x2 + 3x -5, que asocia a cada número
real
x otro número f(x). (Aquí,f(O) = -5,f(1) = -1,f(5) = 35.) Esta forma de
entender una función excluía el caso de fórmulas diferentes en intervalos diferen­
tes, por lo que las funciones no podían definirse "por partes".
A
me<;lida que se desarrollaron las matemáticas, llegó a ser claro que seria de
utilidad una definición más general de "función". También llegó a ser evidente la
importáncia de hacer una clara distinción entre la función en sí y los valores
de
la misma. Una definición revisada sería:
Una
función! de un conjunto A a un conjunto B es una regla de corres­
pondencia que le asigna a cada
x de A un elemento determinado de ma­
nera
únicaf(x) de B.

16. 6 Capítulo 1 Preliminares
Pero sin importar lo sugerente que pueda resultar la definición propuesta, presen­
ta la dificultad
de interpretar la frase "regla de correspondencia". A fin de clarifi­
carla, la definición
se expresa por completo en términos de conjuntos; de hecho,
una función
se definirá como su gráfica. Aun cuando tiene la desventaja de ser un
tanto artificial, presenta la ventaja
de no ser ambigua y de ser más clara.
1.1.6 Definición Sean
A y B conjuntos. Entonces una función de A a B es un
conjunto
f de pares ordenados en A x B tal que para cada a E A existe una b E B
única con (a, b) E f (En otras palabras, si (a, b) E fy (a, b') E f, entonces b = b'.)
Al conjunto A de los elementos que pueden figurar como primer componente
de una funciónf se le llama dominio de f y suele denotarse como DCf). Al con­
junto de todos los elementos
de B que pueden figurar como segundo componente
de f se le llama el codominio de f y suele denotarse por R(f). Obsérvese que,
aunque
D(f) = A, sólo puede tenerse R(f) k B. (Véase la figura 1.1.4.)
~
r
L-------------------~a--------~
¡...,I.-----A = D(f)-----~.I
Figura 1.1.4 Una función como una gráfica.
A la condición esencial de que:
(a, b) E f y (a, b') E f implica que
1
b = b'
se
le llama en ocasiones criterio de la recta vertical. En términos geométricos,
establece que cualquier recta vertical
x = a con a E A corta la gráfica de f exacta­
mente una vez.
La notación
f:A--'tB
suele usarse. para indicar que f es una función de A a B. Se dirá también que fes
un mapeo de A en B o que f mapea A en B. Si (a, b) es un elemento de f, se acos­
tumbra escribir
b = fea) o en ocasiones a f-7 b.

17. 1.1 Conjuntos y funciones
Si b = fea), con frecuencia se hace referencia a b como el valor defen a, o como
la de
a bajo!
Transformaciones y máqu.inas __________ -'-_. ______ _
Además de usar gráficas, una función puede visualizarse como una
transformación del
conjunto
D(f) = A en el conjunto R(!) ~ B. En esta perspectiva, cuando (a, b) E f,
f se concibe como si tomara el elemento a de A y lo "transfonnara" o "mapeara" en
un elemento
b = fea) de R(f) ~ B. Es común dibujar un diagrama como el de la
figura 1.1.5, aun cuando los conjuntos
A y B no son subconjuntos del plano.
b = fea)
R(f)
B
Figura 1.1.5 Una función como una transformación.
Hay otra manera de visualizar una función, a saber, como una máquina que
acepta elementos de
D(f) = A como entradas y produce los elementos correspon­
dientes de
R(f) ~ B como salidas. Si se toma un elemento x E D(f) Y se alimen­
ta en f, entonces se obtiene el valor correspondiente f(x). Si se alimenta un
elemento diferente y E D(f) en f, entonces se obtiene f(y), que puede o no ser
diferente
def(x). Si se intenta introducir enfalgo que no pertenezca a D(f), se
encontrará que no es aceptado, ya
quefsólo puede operar con elementos que per­
tenecen a
D(f). (Véase la figura 1.1.6.)
x
t
f
f(x)
Figura 1.1.6 Una función como una máquina.

18. 8 Capítulo 1 Preliminares
Esta última visualización clarifica la diferencia entrefy f(x): la primera es la
máquina en sí, la segunda
es la salida producida por la máquina f cuando se ali­
menta con x. Aun cuando seguramente nadie confundiría un molino
de carne con
la carne molida, tantas personas han confundido las funciones con sus valores que
bien vale la pena hacer un modesto esfuerzo para distinguir entre ambos concep­
tos por su notación.
Imágenes directa e inversa
~ ____ ~_~ __ _
Sea
f: A --7 B una función con dominio D(f) = A Y codominio R(f) ~ B.
1.1.7 Definición Si E es un subconjunto de A, entonces la imagen directa de
E bajo f es el subconjunto f(E) de B dado por
f(E) := {f(x) : x E E}.
Si H es un subconjunto de B, entonces la imagen inversa de H bajo f es el sub­
conjunto
f-
l
(E) de A dado por
f-I(E) := {x E A :f(;'C) EH}.
Observación La notaciónf-I(E) usada en este contexto tiene sus desventajas.
Sin embargo, se usará pues es la notación convencional.
Así, si
se tiene un conjunto E ~ A, entonces un punto YI E B está en la ima­
gen
directaf(E) si y sólo si existe al menos un punto Xl E E tal que YI = f(XI). Del
mismo modo, dado un conjunto H
~ B, un punto X2 está en la imagen inversa
f-I(E) si y sólo si Y2 := f(X2) está en H. (Véase la figura 1.1.7.)
E
H
Figura 1.1.7 Imágenes directa e inversa.
1.1.8 Ejemplos a) Sea quef: Jl{ --7 Jl{ esté definida porf(x) := x2. Entonces, la
imagen directa del conjunto E := {x : O S x S 2} es el conjunto f(E) = {y : O S Y S 4}.
Si G:= {y: O sY S 4}, entonces el conjtrntof-I(G) = {x: -2 S x S 2} es la
imagen inversa
de G. Así, en este caso, se observa quef-l(f(E)) =/:. E.
Por otra parte, se tienef(f-I(G)) = G. Pero si H:= {y: -1 sY S 1}, entonces
se obtiene
f(f-I(E)) = {y : O S Y sI} =/:. H.

19. 1.1 Conjuntos Y funciones 9
Un trazo de la a visualizar estos
Sea
f: A -+ B Y sean C y H subconjuntos de B. Se demostrará que
SI X E n entonces E C n de donde E C
y E H Pero esto implica que x E y que x E f-¡(H), de donde
x E f-I(C) n f-¡(H). Por tanto, la implicación enunciada queda demostrada.
[También se cumple la inclusión en el otro sentido, por lo que en realidad
se ha
establecido la igualdad entre ambos conjuntos; véase el ejercicio 13.] D
En los ejercicios se presentan otros hechos acerca de las imágenes directas e
inversas.
1J,,'u¡;¡n;~ de fuuciones
En las definiciones siguientes
se identifican algunos tipos de funciones que son muy
importantes.
1.1.9 Definición Sea
f: A -+ B una función de A a B. '
a) Se dice que la función fes inyectiva (o uno auno) si siempre que x ¡ *' Xl>
entoncesf(x¡) *' f(x2)' Sifes una función inyectiva, se dice también quefes
una inyección.
Se dice que la
funciónf es suprayectiva (o que mapea A en B) sifCA) = B; es
decir, si el codominio R(f) = B. Sifes una función suprayectiva, se dice tam­
bién que
f es una suprayección.
c) Sif es tanto inyectiva como suprayectiva, entonces se dice que f es biyectiva.
Sif es biyectiva, se dice también que f es una biyección.
A
fin de demostrar que una funciónf es inyectiva, debe establecerse que:
para toda
Xl, X2 en A, sif(x¡) = f(X2) , entonces x¡ = x2'
, Para ello, se supone que f(x¡) = f(X2) Y se demuestra que X¡ = x2'
[En otras palabras, la gráfica de f satisface el primer criterio de la recta hori­
zontal:
cualquier recta horizontal y = b con b E B corta la gráfica de f en a lo
sumo
un punto.]
Para demostrar que una función
f es suprayectiva, debe probarse que para cual­
quier
b E B existe al menos una x E A tal que f(x) = b.
[En otras palabras, la gráfica de f satisface el segundo criterio de la recta hori­
zontal:
cualquier recta horizontal y = b con b E B corta la gráfica de f en al
menos
un punto.]

20. o Capítu lo 1 Preliminares
1.1.10 SeaA := {x E lR : x * l} Y se definef(x) := 2x/(x - 1) para toda
x
E A. Para demostrar que f es inyectiva, se toman x 1 y X2 en A y se supone que
f(xl) = f(X2)' Se tiene, por tanto,
2Xl 2x2
--=--
lo que implica que Xl (x2 -1) = X2(xl -1), de donde Xl = x2' Por consiguiente,! es
inyectiva.
Para determinar el codominio de
f, se resuelve la ecuación y = 2x/(x - 1) para
x en términos de
y. Se obtiene x = y/(y - 2), que es válida para y * 2. Así, el codo­
minio de
f es el conjunto B := {y E lR : y * 2}. Por tanto,! es una biyección de
A sobre B. O
Funciones inversas
Si f es una función de A a B, entonces f es un subconjunto especial de A X B (a
saber, uno que cumple con el
criterio de la recta vertical). El conjunto de pares or­
denados en
B x A que se obtienen al intercambiar los miembros de los pares orde­
nados en
f por lo general no es una función. (Es decir, el conjunto f puede no
cumplir con
los dos criterios de la recta horizontal a la vez.) Sin embargo, sifes
una biyección, entonces este intercambio lleva a una función, llamada la "función
inversa" de
f
1.1.11 Definición Sif: A ~ B es una biyección de A sobre B, entonces
g:= {(b, a) E B xA: (a, b) E f}
es una función de B en A. A esta función se le llama la función inversa de f y se
denota por
f-l. A la funciónf-l también se le llama la inversa def
La relación entre f y su inversaf-l también puede expresarse advirtiendo que
D(f) = R(f-l) Y R(f) = D(f-l) y que
b = fea) si y sólo si a = f-l(b).
Por ejemplo, en el ejemplo 1.1.10 se vio que la función
f(x):=~'
x -1
es una biyección de A := {x E lR : x * 1} sobre el conjunto B := {y E lR : y * 2}.
La función inversa de
f está dada por
f-
l (y):= -y-para y E B.
y-2

21. 1.'1 Conjuntos y funciones 11
Observación En la definición 1.1.7 se introdujo la notaciónf-I(H). Tiene sen­
tido incluso tiene una función inversa. Sin embargo, si la función inversa
f-
l
existe, entoncesf-I(H) es la imagen directa del conjunto H ¡;;;; B
Es frecuente la necesidad de hacer la "composición" de dos funcionesf, g encon­
trando primero
f(x) y aplicando después g para obtener g(f(x)); sin embargo, esto
sólo es posible cuando
f(x) pertenece al dominio de g. A fin de poder hacer
esto para
toda f(x), debe suponerse que el codominio de f está contenido en el
dominio de g. (Véase la figura 1.1.8.)
A
I
~
B
gol
g
~
Figura 1.1.8 La composición de f y g.
e
1.1.12 Definición Sif: A ---7 B Y g : B ---7 C, y si R(f) ¡;;;; D(g) = B, entonces
la
función compuesta g o f(¡adviértase el orden!) es la función de A a C defini­
da
por
(g o f)(x) := g(f(x)) para toda x E A.
1.1.13 Ejemplos a) Debe observarse con atención el orden de la composi­
ción.
En efecto, seanfy g las funciones cuyos valores para x E lR. están dados por
f(x) := 2x y g(x) := 3x2 -1.
Puesto que D(g) = lR. Y R(f) ¡;;;; lR. = D(g), entonces el dominio D(g o f) también
es igual a
lR., y la función compuesta g o f está dada por
(g o f)(x) = 3(2x)2 -1 = 12x2 - l.
Por otra parte, el dominio de la función compuesta f o g también es lR., pero
(f o g)(x) = 2(3x
2
-
1) = 6x2 - 2.
Así, en este caso, se tiene g o f *" f o g.

22. 1 Capítulo 1 Preliminares
Al considerar g o 1, debe tenerse cuidado de verificar que el codominio de f
esté contenido en el dominio de g Por ejemplo, si
f(x):=1-x
2
y g(x):=.[;,
entonces, ya que D(g) == {x : x ~ O}, la función compuesta g o f está dada por la
fórmula
(gof)(x)=~
sólo para las x E D(f) que satisfacenf(x) ~ O; es decir, para las x que satisfacen
-l::O;x::O;l.
Se observa que si se invierte el orden, entonces la composiciónf o g está dada
por la fórmula
(f o g)(x) == 1 -x,
pero sólo para las x que están en el dominio D(g)
== {x : x ~ O}. o
Se presenta ahora la relación entre las funciones compuestas y las imágenes
inversas. La demostración
se deja como un ejercicio ilustrativo.
1.1.14 Teorema
Sean f: A .....¿ By g : B .....¿ e fim cion es, Ji sea H un subconjun­
to de C. Entonces se tiene
(g o f)-I(H) == f-I(g-I (H)).
Adviértase la inversión en el orden de las funciones.
Restricciones de funciones
Si
f: A .....¿ B es una función y.si A l e A, puede definirse una función j] : Al .....¿ B por
fl(x)
:== f(x) para x E Al'
A la función fl se le llama la restricción de f a A l' En ocasiones 'esto se denota
porf1
== f1A1.
Al lector podría parecerle extraño que alguien decidiera descartar una palie
de
una función, pero hay buenas razones para hacerlo. Por ejemplo, sif: lR .....¿ lR es
la fu.nción cuadrática:
f(x) :== x2 para x E lR,
entonces f no es inyectiva, por lo que no puede tener una función inversa. Sin
embargo, si
f se restringe al conjunto Al :== {x : x ~ O}, entonces la restricción
f
lA 1 es una biyección de A 1 sobre A l' Por lo tanto, esta restricción tiene una fun­
ción inversa, que
es la función raíz cuadrada positi.va. (Trace una gráfica.)

23. 1.1 Conjuntos y funciones 13
Del mismo modo, las funciones trigonométricas S(x) := sen x y C(x) := cos x
no son inyectivas en la totalidad de IR. Sin embargo, al establecer las restricciones
adecuadas
de estas funciones pueden obtenerse las funciones seno inverso y cose­
no inverso que sin lugar a dudas el lector habrá encontrado
ya.
Ejercicios de la sección 1.1
1. Si A Y B son conjuntos, demostrar que A ~ B si y sólo si A n B = A.
2. Demostrar la segunda ley de De Morgan [teorema 1.1.4b].
3. Demostrar las leyes distributivas:
a) A n (B U C) = (A n B) U (A n C),
b) A U (B
n C) = (A U B) n (A U C).
4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto D de todos los ele­
mentos que pertenecen ya sea a
A o a B pero no a ambos. Representar D con un dia­
grama.
a) Demostrar que
D = (A\B) U (B\A).
b) Demostrar que D también está dado por D = (A U B)(A n B).
5. Para toda n E N, sea An = {en + l)k: k E N}.
a) ¿Cuál esA! nA
2?
b) Determinar los conjuntos
U{A
I1
: n E N} y n{A
I1
: n E N}.
6. Dibuje los diagramas en el plano del producto cartesiano A x B para los conjuntos
A y B dados.
a) A={xElR.:1:S;x:S;203:S;x:S;4},B={xElR.:x=10x=2}.
b) A={1,2,3},B={XE lR.: 1:S;x:S;3}.
7. Sea
A := B := {x E lR. : -1 :s; x :s; 1} Y considerar el subconjunto C := {(x, y) : x2 + y = 1}
de A x B. ¿Este conjunto es una función? Explicar la respuesta.
8.
Seaf(x) := lIx
2
,
x"* O, X E R
a) Determinar la imagen directaf(E), donde E := {x E lR. : 1 :s; X:S; 2}.
b) Determinar la imagen inversa
f- G), donde G := {x E lR. : 1 :s; x :s; 4}.
9. Sean g(x) := x2 y f(x) := x + 2 para x E lR., y sea h la función compuesta h := g o f
a) Encontrar la imagen directa h(E) de E := {x E lR. : O :s; x :s; 1}.
b) Encontrar la imagen inversa h-!(G) de G:= {x E lR. : O:S;x:S; 4}.
10.
Seaf(x) :=x
2
para x E lR. y sean E := {x E lR.: -1 :s; x :s; O} y F:= {x E lR.: O:S;x:S; 1}.
Hay que demostrar que E n F = {O} Y f(E n F) = {O}, al tiempo quef(E) = f(F) =
{y E lR. : O :s; y:S; 1}. Por consiguiente,f(E n F) es un subconjunto propio de f(E) nf(F)·
¿Qué ocurre si se suprime el O de los conjuntos E y F?

24. Capítulo 1 Preliminares
H. Sean f y E, F como en el ejercicio 10. Encontrar los conjuntos E\F y f(E)(E) Y
demostrar que
no es verdadero quef(E\E) r;;;J(E)(E).
12. Demostrar que si f : A ~ B Y E, F son subconjuntos de A, entonces f(E U E) =
f(E) Uf(E) y f(E n E) r;;J(E) nf(E)·
13. Demostrar que sif: A ~ B Y G, H son subconjuntos de B, entoncesf-I(G U H) =
r1(G) Uf-l(H) y f-I(G n H) = f-l(G) nf-l(H).
14. Demostrar que la funciónf definida porf(x) := xhlx2 + 1, x E R, es una biyección de
R sobre {y: -1 <y < l}.·
15. Para a, bE R con a < b, encontrar una biyección explícita de A := {x : a < x < b} sobre
B := {y : O < Y < l}.
16. Dar un ejemplo de dos funciones!, g de R a R tales quef"* g, pero tales que f o g = g o.f
17. a) Demostrar que sif: A ~ Bes inyectiva y E ~ A, entoncesf-l(f(E)) = E. Dar lID
ejemplo que muestre que la igualdad no se cumple necesariamente sif no es in­
yectiva.
b) Demostrar que
sif: A ~ Bes suprayectiva y H ~B, entoncesf(f-l (H) =H. Dar
un ejemplo que muestre que la igualdad no se cumple necesariamente
sifno es su­
prayectiva.
18.
a) Suponer quefes una inyección. Demostrar quef-l of(x) =x para toda x E D(f)
Y quefo f-I(y) = Y para toda y E R(f).
b) Sifes una biyección de A sobre B, demostrar quef-l es una biyección de B
sobre A.
19. Demostrar que sif: A ~ Bes biyectiva y g: B ~ Ces biyectiva, entonces g 0fes un
mapeo biyectivo de A sobre C.
20. Seanf: A ~ By g : B ~ C funciones.
a) Demostrar que si g o f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
b) Demostrar que si g o
f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.
21. Demostrar el teorema 1.1.14.
22.
Sean!, g funciones tales que (g o f)(x) = x para toda x E D(f) Y (f o g)(y) = y para
toda
y E D(g). Demostrar que g = f-l.
La inducción matemática es un poderoso método de demostración que se usa con
frecuencia para establecer
la validez de proposiciones que se expresan en térmi­
nos
de números naturales. Aun cuando su utilidad se encuentra restringida a este
contexto bastante especial, la inducción matemática
es una herramienta indispen-

25. 1.2 Inducción matemática 1
sable en todas las ramas de las matemáticas. Puesto que muchas demostraciones
por inducción siguen las mismas líneas formales de argumentación, con frecuen­
cia sólo se indicará que un resultado se sigue
por inducción matemática, dejando
que sea el lector quien aporte los detalles necesarios. En esta sección se enuncia­
rá el principio de inducción matemática y se ofrecerán varios ejemplos para ilus­
trar la manera en que se llevan a cabo las demostraciones
por inducción.
Se dará por sentado que el lector se encuentra familiarizado con el conjunto de
los números naturales:
N
:= {l, 2,3, ... },
con las operaciones aritméticas básicas de adición y multiplicación y el significa­
do de que
un número natural sea menor que otro. Se supondrá, asimismo, la si­
guiente propiedad fundamental de
N.
1.2.1 La propiedad del buen orden de N Todo subconjunto no vacío de N tie­
ne un elemento menor.
Una enunciación más detallada de esta propiedad es la siguiente: si S es un
subconjunto de N y si S *" 0, entonces existe In E S tal que m :::; k para toda k E S.
Con base en la propiedad del buen orden, se derivará una versión del principio
de inducción matemática expresado en términos de subconjuntos de N.
1.2.2 Principio de inducción matemática Sea S un subconjunto de N que ten­
ga las dos propiedades:
1)
El número 1 E S.
2) Para toda k E N, si k E S, entonces k + 1 E S.
Entonces se tiene S = N.
Demostración. Suponer por el contrario que S*" N. Entonces el conjunto N\S
es no vacío y en consecuencia, por la propiedad del buen orden, contiene un ele­
mento
menor m. Puesto que 1 E S por la hipótesis 1), se sabe que m > l. Pero esto
implica que
m -1 también es un número natural. Puesto que m -1 < m y m es el
elemento menor
en N tal que m ~ S, se concluye que m -1 E S.
Se aplica ahora la hipótesis 2) al elemento k := m -1 de S, para inferir que
k + 1 = (m -1) + 1 = m pertenece a S. Pero esta afirmación contradice el hecho de
que
m ~ S. Puesto que m se obtuvo a partir del supuesto de que N\S es no vacío,
se
ha llegado a una contradicción. Por lo tanto, se ha demostrado que S = N. Q.E.D.
El principio de inducción matemática suele exponerse en el contexto de pro­
piedades o proposiciones relativas a números naturales. Si
P(n) es una proposición
plausible acerca de
n E N, entonces P(n) puede ser verdadera para algunos valo­
res de
n y falsa para otros. Por ejemplo, si p¡ (n) es la proposición: "n
2
= n", enton­
ces
p¡(l) es verdadera, en tanto que P¡(n) es falsa para toda n > 1, n E N. Por otra
parte, si
P
2
(n) es la proposición: "n
2
> 1", entonces P
2(l) es falsa, en tanto que
P
2
(n) es verdadera para toda n > 1, n E N.

26. 1 Capítulo 1 Preliminares
En este contexto, el principio de inducción matemática formularse de la
manera siguiente.
Para cada n E N, sea P(n) una proposición acerca de n. Suponer que:
1') P(1) es verdadera.
Para cualquier
k E N, si P(k) es verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera.
Entonces
P(n) es verdadera para toda n E N.
La vinculación con la versión precedente de la inducción matemática, dada en
l.2.2, se consigue haciendo S:= {n E N: P(n) es verdadera}. Entonces las conai~
ciones 1) y 2) de l.2.2 corresponden exactamente con las condiciones 1') Y 2'), res~
pectivamente. La conclusión de que S = N en 1.2.2 corresponde con la conclusión
de que
P(n) es verdadera para toda n E N.
Al supuesto "si P(k) es verdadera" de 2') se le llama la hipótesis de in.duc­
ción. Al establecer
2'), no nos preocupamos por la veracidad o la falsedad de
P(k), sino sólo por la validez de la implicación "si P(k), entonces P(k + 1)". Por
ejemplo, si se consideran las proposiciones
P(n): "n = n + 5", entonces 2') es lógi­
camente correcta,
ya que simplemente puede sumarse 1 en ambos miembros de
P(k) para obtener P(k + 1). Sin embargo, dado que la proposición P(l): "1 = 6" es
falsa, no es posible usar la inducción matemática para concluir que
n = n + 5 para
toda
n E N.
Puede ocurrir que las proposiciones P(n) sean falsas para ciertos números
naturales pero después sean verdaderas
para toda n ;:: no para una no particular. Es
posible modificar el principio de inducción matemática para tratar esta situación.
Se formulará el principio modificado, pero
su verificación se deja como ejercicio.
(Véase el ejercicio
12.)
1.2.3 Principio de inducción matemática (segunda versión) Sea no E N Y
sea P(n) una proposición para cada número natural n ;:: no. Suponer que:
1) La proposición peno) es verdadera.
2) Para toda k ;:: no, el hecho de que P(k) sea verdadera implica que P(k + 1)
es verdadera. '
Entonces
P(n) es verdadera para toda n ;:: no.
En ocasiones al número no de 1) se le llama la base, ya que sirve como punto
de partida, y a la implicación de 2), que puede escribirse
P(k) =} P(k + 1), se le
llama el
puente, ya que relaciona el caso k con el caso k + l.
Los ejemplos siguientes ilustran la forma en que se aplica el principio de in­
ducción matemática
para demostrar afirmaciones acerca de números naturales.
1.2.4
Ejemplos a) Para cada n E N, la suma de los n primeros números natu­
rales está dada
por
1 + 2 + ... + n = t n (n + 1).

27. .2 Inducción matemática
Para demostrar esta sea S el de todas las n E N para las cua-
les la fórmula es verdadera. Debe verificarse que se satisfacen las condiciones
1)
Y 2) de 1.2.2. Si n = 1, entonces se tiene 1 = t ·1· (1 +1), de modo que 1 E Sy se
satisface
1). Después se supone que k E S Y a partir de este supuesto se quiere infe­
rir que
le + 1 E S. De hecho, si k E S, entonces
Si se suma
le + 1 a ambos miembros de la igualdad supuesta, se obtiene
1+2 + ···+k +(k + 1) = ~k(le + 1)+ (k+ 1)
=~(l[+1)(le+2).
Puesto que ésta es la fórmula enunciada para n = k + 1, se concluye que k + 1 E S.
Por lo tanto, se satisface la condición 2) de 1.2.2. Por consiguiente, por el principio
de inducción matemática se infiere que S
= N, de donde la fórmula es válida para
toda
n E N.
b) Para cada n E N, la suma de los cuadrados de los n primeros números natura­
les está dada
por la fórmula
1
2
+2
2
+···+n
2
=-tn(n+l)(2n+1).
Para establecer esta fórmula, se observa que es verdadera para n = 1, ya que
1
2
= 1; . 1 . 2 . 3. Si se supone que es verdadera para k, entonces al sumar
(le + 1)2 en ambos miembros de la fórmula supuesta, se obtiene
1
2
+2
2
+···+k
2
+(k+l)2 =lk(k+1)(2k+1)+(k+1)2
6
=lCk+1)(2k
2
+k+6k+6)
6
= l(k + l)(k +2)(2k + 3).
6
Por consiguiente, la fórmula es válida para toda n E N.
e) Dados dos números reales a y b, se demostrará que a -b es un factor de
a
n
-
b
n
para toda n E N.
Se observa primero que la proposición es evidentemente verdadera para n = l.
Si se supone ahora que a -b es un factor de a
k
-
b
k
,
entonces
ak+1 _ bk+1 = ak+! -abk + abk _ bk+l
= a(ak -b
k
) + bk(a -b).
Por la hipótesis de inducción, a -b es un factor de a(a
k
-b
1
,) y es claramente un fac­
tor de
b
k
(
a -b). Por lo tanto, a -b es un factor de a
k
+ ! -b
k
+ !, Y por el principio
de inducción matemática se sigue que
a -b es un factor de a" -b
n
para toda n E N.

28. 1 Capítulo 1 Preliminares
A de este hecho es posible deducir varios resultados de divisibilidad. Por
ejemplo,
ya que 11 - 7 = 4, se observa que 1 p' -7" es divisible entre 4 para toda
n EN.
d) La desigualdad 2
n
> 2n + 1 es falsa para n = 1, 2, pero es verdadera para n = 3.
Si se supone que 2
k
> 2k + 1, entonces, al multiplicar por 2 se obtiene, cuando
2k + 2 > 3, la desigualdad
2
k
+
1
> 2(2k+ 1) = 4k + 2 = 2k+ (2k+ 2) > 2k+ 3 = 2(k+ 1) + l.
Puesto que 2k + 2 > 3 para toda k 2 1, el puente es válido para toda k 2 1 (aun
cuando la proposición es falsa para
k= 1,2). En consecuencia, se aplica el princi­
pio de inducción matemática, con la base
no = 3, para concluir que la desigualdad
es válida para toda
n 2 3.
e) La desigualdad 2
11
::;: (n + 1)! puede establecerse por inducción matemática.
Se observa primero que es verdadera para
n = 1, ya que 2
1
= 2 = 1 + 1. Si se
supone que
2
k
::;: (k + 1)!, del hecho de que 2 ::;: k + 2 se sigue que
2 k+ 1 = 2 . 2k::;: 2(k + l)! ::;: (k + 2)(k + l)! = (k + 2)!. /"
Así, si la desigualdad se cumple para k, entonces también se cumple para k + l.
Por lo tanto, el principio de inducción matemática implica que la desigualdad es
verdadera para toda
n E N.
f) Si r E ~,r"* 1 y n E N, entonces
1-r
11+
1
1+r+r
2
+···+r
11
=---
1-r
Esta fórmula corresponde a la suma de los términos de una "progresión geo­
métrica". Puede establecerse empleando inducción matemática de la manera si­
guiente. Primero, si
n = 1, entonces 1 + r = (1 -r
2
)/(1 -r). Si se supone que la
proposición es verdadera para
n = k y se suma el término r
k
+ 1 en ambos miem­
bros de la igualdad, se
obtien~ (después de un poco de álgebra)
1-rk+1 1-rk+2
___ +rk+l =---
1-r 1-r
que es la fórmula para n = k + l. Por lo tanto, el principio de inducción matemá­
tica implica la validez de la fórmula para toda
n E N.
[Este resultado también puede demostrarse sin emplear la inducción matemá­
tica. Si se hace s
11 := 1 + r + r
2
+ . . . + r
11
, entonces rs 11 = r + r
2
+ ... + r 11 + 1,
de donde
(1 -r)sn = sn -rS
n
= 1 -r" + l.
Si esta expresión se divide entre 1 - r, se obtiene la fórmula original.]

.1

29. 2
Inducción matemática L
19
g) La "1J'1va.vRIH a la del de inducción matemática llevar a
conclusiones a todas luces absurdas. Se invita al lector a encontrar el error en la
"demostración" de la siguiente afirmación.
Afirmación: Si n E N Y si n es el máximo de los números naturales p y q, enton­
cesp = q.
"Demostración". Sea S el subconjunto de N para el que la afirmación es verda­
dera. Evidentemente, 1
E S ya que si p, q E N Y si su máximo es 1, entonces
ambos son iguales a 1 y
p = q. Se supone ahora que k E S Y que el máximo de
p y q es k + l. Entonces el máximo de p -1 Y q -1 es k. Pero como k E S, enton­
ces
p -1 = q -1, Y por lo tanto p = q. ASÍ, k + 1 E S Y se concluye que la afirma­
ción es verdadera para toda
n E N.
Hay proposiciones que son verdaderas para muchos números naturales, pero
que no lo son
para tQdos.
Por ejemplo, la fórmulap(n) := n
2
-
n + 41 da un número primo para n = 1,
2, .. ',40. Sin embargo, es evidente que p(41) es divisible entre 41, por lo que no
es un número primo. O
En ocasiones otra versión del principio de inducción matemática resulta de
suma utilidad. Se le llama el "principio de inducción fuerte", aun cuando en rea­
lidad es equivalente a 1.2.2.
,
1.2.5
Principio de inducción fuerte Sea S un subconjunto de N tal que
1") 1 E S.
2") Para toda le E N, si {l, 2, ... , k} ~ S, entonces k + 1 E S.
Entonces S = N.
Se le deja al lector establecer la equivalencia de 1.2.2 y 1.2.5.
Ejercicios
de la sección 1.2
1. Demostrar que 1/1 ·2+ 1/2 . 3 + ... + l/n(n + 1) = n/en + 1) para toda n E N.
2. Demostrar que 1
3
+ 2
3
+ ... + n
3
= U n(n + 1)]2 para toda n E N.
3. Demostrar que 3 + 11 + ... + (8n - 5) = 4n
2
-
n para toda n E N.
4. Demostrar que 1
2
+ 3
2
+ ... + (2n - 1)2 = (4n
3
-
n)/3 para toda n E N.
5. Demostrar que 1
2
-
2
2
+ 3
2
+ ... + (-I)n + 1n
2
= (_1)" + 1n(n + 1)/2 para toda n E N.
6. Demostrar que n
3
+ 5n es divisible entre 6 para toda n E N.
7. Demostrar que 5
2n
-
1 es divisible entre 8 para toda n E N.

32. Capítulo 1 Preliminares
Puede parecer "obvio" que de un finito también es
pero la afinnación debe deducirse de las definiciones. Este hecho y la pro-
sp()l1(llelllte para infinitos se establecen a continuación.
1.3.5
Teorema Suponer que S y T son y que T ~ S.
a) Si S es un conjuntofinito, entonces T es un
Si T es un conjunto infinito, entonces S es un conjunto infinito.
Demostración. a) Si T = 0, se sabe ya que T es un finito. Por tanto,
puede suponerse que
T;{: 0. La demostración se hace por inducción en el número
de elementos de
S.
Si S tiene 1 entonces el único no vacío T de S debe
coincidir con S, de donde
T es un finito.
Se supone que todo con
k elementos es fini-
to. Ahora, sea S un que tiene
k + 1 elementos lo que existe una
ciónf de N
k
+ I sobre S), y sea T ~ S. + 1) ~ T, entonces considerarse
un subconjunto de
SI := S if(k + el cual tiene k elementos por el teorema 1.3 Ah
Por consiguiente, por la de T es un finito.
Por otra si
f(k + 1) E T, entonces TI := T if( k + l)} es 1m ~ ULIC,V.llI
de SI' Puesto que SI tiene k elementos, la hipótesis de inducción
un finito. Pero esto a su vez, que
T = TI U {f(k +
es un finito.
Esta afinnación es el el
auc,u'UJ-
ce A para una discusión del Q.E.D.
contables
Se introduce ahora un importante tipo de conjuntos infinitos.
1.3.6 Definición a) Se dice que un conjunto S es
enumerable (o contable-
mente si existe una biyección de N sobre S.
Se dice que un conjunto S es contable si es finito o enumerable.
c) Se dice que un conjunto S es
incontable si no es contable.
A partir de las propiedades de las biyecciones, es claro que S es enumerable si
y sólo si existe una biyección de S sobre
N. Asimismo, un conjunto SI es enume­
rable si y sólo si existe una biyección de
SI sobre un conjunto S2 que es enumera­
ble. Además, un conjunto
TI es contable si y sólo si existe una biyección de TI
sobre un conjunto T
2 que es contable. Por último, un conjunto contable infinito es
enumerable.
1.3.7 a) El conjunto
E := {2n : n E N} de los números naturales
pares es enumerable, ya que el mapeo de f: N -¿ E definido por f(n) := 2n para
n E N, es una biyección de N sobre E.
Del mismo modo, el conjunto O := {2n - 1 : n E N} de los números naturales
impares es enumerable.

33. 1.3 Conjuntos fillitos e infinitos
El Z de todos los enteros es enumerable.
Para construir una de
N sobre se mapea 1 en 0, se mapea el con-
de.los números naturales pares en el N de los enteros
y se
de los números naturales nnn~ll'p~
por la enumeración:
Z {O,I, 2, -2, 3, -3, ... }.
e) La unión de dos enumerables es enumerable.
De siA {a¡,aba3,···}yE={b¡, ... }, los elementos de
A U B enumerarse como:
D
1.3.8 Teorema El conjunto N X N es enumerable.
Demostración
Recuerde que N x N consiste en todos los pares orde-
nados donde
111, n E N. Estos pares enumerarse como:
(1, 2),
1), (1, (2, 2), (3, (1,
de acuerdo con la suma creciente
m + n y con In creciente. (Véase la figura 1.3.1.)
Q.E.D.
La enumeración que acaba de describirse es un ejemplo de un "procedimien­
to en diagonal",
ya que uno se mueve a lo largo de diagonales que contienen un
número finito de términos, como se ilustra en la figura 1.3.1. Si bien este argumen­
to es satlsfactorio
por cuanto muestra exactamente lo que la biyección N x N ---7
N debe hacer, no es una "demostración formal", ya que no define con precisión
esta biyección. (Véase el apél1dice
B para una demostración más formal.)
e
(1,4) (2,4)
® @
(1,3) (2,3) (3,3)
1.3.1 El conjlmto N X N.
Como se ha hecho notar, la construcción de una biyección explícita entre con-
o juntos con frecuencia resulta complicada. Los dos resultados siguientes son útiles
para establecer el carácter contable de conjuntos,
ya que no incluyen establecer que
ciertos mapeos son biyecciones. El primer resultado puede parecer intuitivamente
pero su demostración, que
se presenta en el apéndice es bastante técnica.

34. Capítulo 1 Preliminal'es
3.9 Teorema Suponer que S y T son conjuntos y que T ~ S.
a) Si S es un conjunto contable, entonces T es un conjunto contable.
Si
T es un conjunto incontable, entonces S es un conjunto incontable.
1.3.10
Teorema Las proposiciones siguientes son equivalentes:
a) S es un conjunto contable.
Existe una suprayección de
N sobre S.
e) Existe una inyección de S sobre N.
Demostración. a)::::;, b) Si S es finito, entonces existe una biyecciól1 h de
algún conjunto N
n sobre S y se define H en N por
H(k):= ' , ,
{
h(k) para k = 1 ... n
h ( n ) para k > n.
Entonces H es una suprayección de N sobre S.
Si S es enumerable, entonces existe una biyección H de N sobre S, que es tam­
bién una suprayección
de N sobre S.
b) ::::;, c) Si H es una suprayección de N sobre S, se define H¡ : S -7 N haciendo
H¡ (s) el elemento menor en el conjunto H-¡ (s) := {n E N : H(n) = s}. Para ver
que
H¡ es una inyección de S sobre N, se observa que si s, t E S Y n
st:= H¡ (s) =H¡ (t),
entonces
s = H(n
st
) = t.
c) ::::;, a) Si H¡ es una inyección de S sobre N, entonces es una biyección de
S sobre
H¡ (S) ~ N. Por el teorema 1.3.9a, H¡ (S) es contable, de donde el conjun­
to S
es contable. Q.E.D.
1.3.n Teorema El conjunto Ql de todos los números racionales es enumerable.
La idea de la demostración es observar que el conjunto Ql+ de
los números racionales positivos está contenido en la enumeración:
1 1 2 ¡ 2 3 1
1'"2'1'3'"2'1'4"'"
que es otro "mapeo en diagonal" (véase la figura 1.3.2). Sin embargo, este mapeo
no
es una inyección, ya que las fracciones diferentes + y f representan el mismo
níunero racional.
A fin de proceder de manera más formal, se observa que como N x N es
contable (por el teorema 1.3.8), del teorema 1.3.10b
se sigue que existe una
suprayecciónf de N sobre N x N. Si g : N x N -7 Ql+ es el mapeo que envía el
par ordenado
(m, n) al número racional que tiene la representación m/n, enton­
ces
g es una suprayección sobre Ql+. Por lo tanto, la composición g o f es una
suprayección
de N sobre Ql+ y el teorema 1.3.10 implica que Ql+ es un conjun­
to contable.

35. 1.3 Conjuntos finitos e infinitos
4
2
4
3
4
4 4
1.3.2 El conjlmto «r.
Del mismo modo, el conjunto 1Ql-de todos los números racionales negativos es
contable. Como en el ejemplo 1.3.7b, se sigue q)le el conjunto lQl = 1Ql-U {O} U 1Ql+
es contable. Puesto que lQl contiene a N, debe ser un conjunto enumerable.
Q.E.D.
El resultado siguiente se refiere a las uniones de conjuntos. Con base en el teo­
rema
l.3.l0, no es necesario preocuparse por el posible traslape de los conjuntos.
Asimismo, no
es necesario construir una biyección.
1.3.12 Teorema Si Am es un conjunto contable para cada m E N, entonces la
unión A: = U;=l Am es contable.
Demostración.
Para cada m E N, sea qJl11 una suprayección de N sobre Am' Se
define lfI: N x N ---¿ A por
lfI(m, n) := qJl71(n).
Se afirma que lfI es una suprayección. De hecho, si a E A, entonces existe una m
menor que está en N tal que a E A
I1l
,
de donde existe una n menor que está en N
tal que
a = qJl1l(n). Por lo tanto, a = lfI(m, n).
Puesto que N x N es contable, del teorema l.3.10 se sigue que existe una supra­
yecciónf: N ---¿ N x N, de donde lfI o f es una suprayección de N sobre A. Ahora
se aplica de nuevo el teorema 1.3.10 para concluir que
A es contable. Q.E.D.
Observación Una manera menos formal (pero más intuitiva) de ver que el teo­
rema l.3.12
es verdadero consiste en enumerar los elementos de A
l1
l' m E N,
como:
A
1
= {all ,a12' a13 ,oo.},
A2
= {a21 ,a22, a23 ,oo.},
A3 ={a31,a32,a33'''}

36. Capítulo 1 Preliminares
L''''''¡JI,'''''' se enumera este usando el en
como
se ilustra en la figura 1.3. L
El argumento
de que el conjunto CQ de los números racionales es contable fue
planteado inicialmente en 1874
por Georg Cantor (1845-1918). Fue el primer
matemático que examinó el concepto
de conjunto infinito con detalle riguroso. En
contraste con el carácter contable de
CQ, también demostró que el conjunto IR de
los números reales es Un conjunto incontable. (Este resultado se establece en la
sección 2.5.)
En una serie de importantes escritos, Cantor desarrolló una amplia teoría de
los conjuntos infinitos y la aritmética transfinÍta. Algunos de sus resultados fue­
ron absolutamente sorprendentes y generaron considerable controversia entre
los matemáticos de la época.
En una carta de 1877 a su colega Richard
Dedekind, escribió, después de demostrar un teorema inesperado: "Lo veo, pero
no lo creo",
Se concluye esta sección con uno
de los teoremas más memorables de Cantor,
1.3.13 Teorema de
Cantor Si A es cualquier conjunto, entonces no existe nin­
guna suprayección de A sobre el conjunto
P (A) de todos los subconjuntos de A.
Demostración. Suponer que cp : A -7 P (A) es una suprayección. Puesto que
cp(a) es un subconjunto de A, entonces a pertenece a cp(a) o no pertenece a este
conjunto,
Se hace
D := {aE A : a ~ cp(a)}.
Puesto que D es un subconjunto de A, si cp es una suprayección, entonces D =
cp(ao) para alguna ao E A.
Debe tenerse ao E Do ao ~ D. Si aO E D, entonces, como D = cp(ao), debe
tenerse
ao E cp(ao), lo cual contradice la definición de D. Del mismo modo, si
ao ~ D, entonces ao ~ cp(ao), de donde ao E D, lo cual constituye también una
contradicción.
Por lo tanto,
cp no puede ser una suprayección. Q.E.D.
El teorema de Cantor implica que hay una progresión interminable de conjun­
tos cada vez más grandes. En particular, implica que la colección
P (N) de todos
los subconjuntos de los números naturales N es incontable.
Ejercicios de la sección 1.3
1. Demostrar que un conjunto no vacío T¡ es finito si y sólo si existe una biyección de T¡
sobre un conjunto finito T
2
. '
2. Demostrar los incisos b) y c) del teorema 1.3.4.

37. 1.3 Conjuntos finitos e infinitos
3. SeanS:={1,2}yT:={a,b,c}.
a) Determinar el número de inyecciones diferentes de S sobre T.
b) Determinar el número lle inyecciones diferentes de T sobre S.
4. Encontrar una biyección entre N y el conjunto de todos los enteros impares mayores
que 13.
5. Escribir
una definición explícita de la biyecciónf de N sobre ;Z descrita en el ejemplo
1.3.7b.
6. Encontrar una biyección entre N y un subconjunto propio de sí mismo.
7. Demostrar que un conjunto
TI es enumerable si y sólo si eXiste una biyección de TI
sobre un conjunto enumerable T
2
.
8. Dar un ejemplo de una colección contable de conjuntos finitos cuya unión sea no
finita.
9. Demostrar en detalle que si S y
T son enumerables, entonces S U T es enumerable.
10. Detenninar el número de elementos en P (S), la colección de todos los subconjuntos de
S, para cada uno de los conjuntos siguientes:
a)
S:= {l, 2},
b)
S:={1,2,3},
c) S:={l,2,3,4}.
Asegurarse de incluir en P (S) al conjunto vacío y al propio conjunto S.
11. Aplicar la inducción matemática para demostrar que si el conjunto S tiene n elementos,
entonces
P (S) tiene 2
n
elementos.
12. Demostrar que la colección
F(N) de todos los subconjuntos finitos de N es contable.

38. En este capítulo se tratan las propiedades esenciales del sistema de los números
reales R Aun cuando es posible dar una construcción formal de este sistema con
base en un conjlmto más primitivo (como el conjunto N de los números naturales
o el conjunto
CQl de los números racionales), se ha decidido no hacerlo asÍ. En vez
de ello, se presenta una lista
de las propiedades fundamentales asociadas con los
números reales y
se indica cómo pueden deducirse propiedades adicionales a par­
tir
de ellas. Proceder de este modo resulta mucho más provechoso para el apren­
dizaje de las herramientas del análisis que examinar las dificultades lógicas de
construir un modelo
de R
El sistema de los números reales puede describirse como un "campo ordena-
docompleto", descripción que
se estudiará con gran detalle. En la sección 2.1 se
. empieza introduciendo las propiedades "algebraicas" -llamadas con frecuencia
propiedades
de "campo" en álgebra abstracta-que se basan en las dos operacio­
nes de adición y multiplicación. La sección continúa con la introducción de las
propiedades
de orden de lH., se deducen algunas consecuencias de estas propieda­
des y
se ilustra su uso al trabajar con desigualdades. La noción de valor absoluto,
que
se basa en las propiedades de orden, se trata en la sección 2.2.
En la sección 2.3
se da el paso final al incorporar la crucial propiedad de
"completez" a las propiedades algebraicas y
de orden de R Es esta propiedad, la
cual no
se entendía del todo hasta fines del siglo XIX, en la que se basa la teoría de
límites y
de continuidad, así como prácticamente el resto del contenido de este
libro. El desarrollo riguroso del análisis real no seria posible sin esta propiedad
esencial.
._:Ell la sección 2.4 se aplica la propiedad de completez para deducir varios
resultados fundamentales referentes a
lH., entre los que se incluyen la propiedad de
Arquímedes, la existencia de raíces cuadradas y la densidad
de los números racio­
nales en R En la sección 2.5 se establece la propiedad
de los intervalos anidados,
la cual se usa para demostrarla incontabilídad
de RSe estudia asimismo su rela­
ción con las representaciones binmias y decimales de los números reales.
Parte
de la finalidad de las secciones 2.1 y 2.2 es ofrecer ejemplos de demos­
traciones
de teoremas elementales a partir de supuestos enunciados explícitamen­
te. De este modo, los estudiantes pueden adquirir experiencia en la elaboración de
demostraciones formales antes de encontrarse con los razonamientos más sutiles
y complicados relacionados con la propiedad de completez y sus consecuencias.
Sin embargo, quienes hayan estudiado ya el método axiomático y las técnicas
de
29

39. Capítulo 2 Los nLlmeros reales
demostración en un cmso de pasar la sección
2.3
de una lectura de las secciones anteriores. En el A al
final del libro se una breve discusión de
y de los de demostra-
ClOnes.
Se con una breve discusión de la "estructura del sistema de
los números reales. Se una corta lista de las básicas de adi-
ción y multiplicación a de las cuales deducirse todas las demás pro-
como teoremas. En
la del el
sistema de los números reales es un con a la adición y la multi-
plicación. Las propiedades básicas presentadas en el apartado
2.1.1 se conocen
como los
axiomas de campo. Una operación binaria asocia con cada par b) un
elemento único
B(a, b), pero se usarán las notaciones convencionales a + b ya· b
cuando se estudien las propiedades de la adición y la multiplicación.
2.1.1 de IR;. En el conjunto IR;. de los números reales
hay dos operaciones binarias, denotadas por
+ y ., a las que se llama adición y
unHHi-'U~"">'''U, respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes pro-
piedades:
a + b = b + a para toda a, b en IR;. (propiedad conmutativa de la adición);
(A2) (a + b) + c = a + (b + e) para toda a, b, e en IR;. (propiedad asociativa
de
la adición);
existe un elemento O en IR;. tal que O + a = a y a + O = a para toda a en IR;.
(existencia del elemento cero);
para cada a en IR;. existe un elemento -a en IR;. tal que a + (-a) = O Y (-a) +
a = O (existencia de elementos negativos);
a . b
= b . a para toda a, b en IR;. (propiedad conmutativa de la multipli­
cación);
(a· b) . e = a . (b . e) para toda a, b, e en IR;. (propiedad asociativa de la
multiplicación );
existe un elemento 1 en IR;. diferente de O tal que 1 . a = a ya· 1 = a para
toda
a en IR;. (existencia del elemento cero);
para cada a '" O en IR;. existe un elemento l/a en IR;. tal que a . = 1 Y
(lIa) . a
= 1 (existencia de recíprocos);
a .
(b + e) = (a . b) + (a . e) y (b + e) . a = (b . a) + (e . a) para toda a,
b, e en IR;. (propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición).
Estas propiedades deben resultarle familiares al lector. Las cuatro primeras se
refieren a la adición, las cuatro siguientes a la multiplicación y la última relaciona
las dos operaciones. El objeto de
la lista es que todas las técnicas comunes del
álgebra pueden deducirse de estas nueve propiedades, en gran medida en el mismo
sentido en que los teoremas de la geometría euclidiana pueden deducirse de los
cinco axiomas básicos postulados
por Euclides en sus Elementos. Puesto que esta
tarea pertenece más bien a
un curso de álgebra abstracta, no se llevará a cabo aquí.

40. 2.1 Propiedades algebraicas y de orden de :IR
Sin a fin de mostrar esencia del proceso, se toman como muestra
nos resultados
y sus demostraciones.
Se establece el hecho básico de que los elementos O y
1, cuya existen-
cia se afirmó en (A3) y son en realidad únicos.
Se demuestra asimismo que
el resultado de una por O
es O.
Teorema a) Si z ya son elementos de lR con z + a = a, entonces z = O.
Si u y b '" O son elementos de lR con u . b = b, entonces u = l.
e) Si a E lR, entonces a . O = O.
Demostración.
obtiene
a)
Al usar
z = z + O = z + Ca +
la z+a=ay
= (z+ + =a+ = O.
se
Al usar
obtiene
la igualdad
u·b=by de nuevo, se
u = u . 1 = u . (b . = (u . b) . (1/b) = b . (l/b) = 1.
c) Se tiene qué?)
a + a . O = a . 1 + a . O = a . (1 + O) = a . 1 = a.
Por lo tanto, del inciso a) se concluye que a . O = O. Q.E.D.
Se establecen ahora dos importantes propiedades de la multiplicación: la uni­
cidad de los recíprocos
y el hecho de que el producto de dos números es cero sólo
cuando uno de los factores es cero.
2.1.3
Teorema a) Si a '" O Y b en lR son tales que a . b = 1, entonces b = 1/a.
Si
a . b = O, entonces o a = O o b = O.
Demostración.
obtiene
a) Al usar (M3), (M2), la hipótesis
a . b = 1 Y (M3), se
b = 1 . b = ((lIa) . a) . b = (l/a) . (a . b) = (lIa) ·1 = l/a.
b) Basta suponer que a '" O Y demostrar que b = O (¿por qué?). Se multiplica a . b
por l/a y se aplican (M2), (M4) Y (M3) para obtener
(l/a) . (a . b) = ((l/a) . a) . b = 1 . b = b.
Puesto que a . b = O, de acuerdo con 2.1.2c la expresión anterior también es
igual a
(l/a) . (a . b) = (lIa) . 0=0.
Se tiene, por tanto, b = O. Q.E.D.

41. Capítulo 2 Los números reales
Estos teoremas una muestra de las
cas del sistema
de los números reales. En los ejercicios se
secuencias adicionales de las propiedades de campo.
La operación de
sustracción se define por a -b := a + (-b) para a, b en R
Del mismo modo, la división se define para a, b en lR con b '" ° por alb := a .
(lIb). En lo sucesivo se usará esta notación convencional para la sustracción y
la división, y también
se utilizarán todas las propiedades comunes para estas
operaciones. En general, se omitirá el uso del punto para indicar la multiplica­
ción y se escribirá
ab para indicar a . b. Asimismo, se empleará la notación usual
para los exponentes y
se escribirá a
2
para indicar aa, a
3
para indicar (a
2
)a; y, en
general, se define
a
n+
l
:= (a
l1
)a para n E N. Se adoptará la convención de que
al = a. Además, si a '" 0, se escribe a
D
= 1 Y a-
l
para indicar l/a, y si n E N, se
escribirá a-
n
para indicar (lla)'l, cuando resulte conveniente hacerlo. En general,
se aplicarán con libertad todas las técnicas comunes del álgebra sin mayor expli­
cación.
Números racionales e irracionales
El conjunto N de los números naturales se considera un subconjunto de lR, iden­
tificándose el número natural
n E N con la suma n veces del elemento unidad
1
E R Asimismo, se identifica O E Z con el elemento cero de ° E lR, Y se identi­
fica la suma
n veces de -1 con el entero -no Por tanto, N y Z se consideran sub­
conjuntos de
R
Los elementos de lR que pueden escribirse en la forma bla, donde a, b E Z y
a
'" O, se llaman números racionales. El conjunto de todos los números raciona­
les en
lR se denotará por la notación común Ql. La suma y el producto de dos
números racionales es también un número racional (demostrar este hecho)
y, ade­
más, puede demostrarse que las propiedades de campo presentadas
al principio de
esta sección son válidas para
Ql.
El hecho de que hay elementos enlR que no están en Qlno es evidente a pri­
mera vista. En el siglo
VI a. de e., la sociedad de los pitagóricos de la antigua
Grecia descubrió que la diagonal
de un cuadrado con lados unitarios no podía
expresarse como un cociente
de enteros. De acuerdo con el teorema de Pitágoras
para triángulos rectángulos, esto significa que no existe ningún número entero
cuyo cuadrado sea igual a
2. Este descubrimiento tuvo un profundo impacto
sobre el desarrollo
de las matemáticas en Grecia. Una de sus consecuencias es
que a los elementos
de lR que no están en Qlllegó a conocérseles como números
irracionales, lo cual indicaba simplemente que no podían expresarse como
cocientes
de enteros. Aun cuando el vocablo "irracional" tiene una connotación
muy diferente en los idiomas modernos,
se adoptará el uso matemático común de
este término.
Se demostrará ahora que no existe un número racional cuyo cuadrado sea
2. En
la demostración
se utilizarán las nociones de números pares e impares. Recuérdese
que un número natural
es par si tiene la forma 2n para alguna n E N y que es
impar si tiene la forma 2n -1 para alguua n E N. Todo número natural es par o
bien impar, y ningún número natural
es a la vez par e impar.

42. 2.1 Pmpiedades algebraicas y de orden de 1Ft
2.104 Teorema No existe un número racional r tal que r
2
= 2.
Demostración. Supóngase, por el contrario, que p y q son enteros tales que
(p/q)2 = 2. Puede suponerse que p y q son positivos y que no tienen factores ente­
ros comunes además de
l. (¿Por qué?) Puesto que p2 = 2q2, se observa que p2 es
par. Esto implica que
p también es par [porque si p = 271 ~ 1 es entonces su
cuadrado
y = 2(2n
2
~ 2/1 + 1) ~ 1 también es impar]. Por lo tanto, ya que p y q
no tienen a 2 como factor común, entonces q debe ser un número natural impar.
Puesto que
p es par, entonces p = 2m para alguna m E N y, en consecuencia,
4m
2
= 2q2, de donde 2m
2
= q2. Por lo tanto, q2 es par, y por el razonamiento del
párrafo anterior se sigue que
q es un número natural impar.
Puesto que la hipótesis de que
(p/q)2 2 lleva a la conclusión contradictoria
de que
q es par e impar, debe ser falsa. Q.E.D.
Las pn~pied;adt~s de orden de IR
Las "propiedades de orden" de IR se refieren a las nociones de positividad y des­
igualdades entre números reales. Como en el caso de la estructura algebraica del
sistema de los números reales,
se procede aislando tres propiedades básicas a par­
tir de las cuales se deducen todas las demás propiedades de orden y las operacio­
nes con desigualdades.
La manera más sencilla de hacerlo es identificando un sub­
conjunto especial de
IR mediante la aplicación de la noción de "positividad".
2.1.5
Las propiedades de orden de IR Existe un subconjunto no vacío lP' de
IR, llamado el conjunto de los números reales positivos, que satisface las siguien­
tes propiedades:
(i) Si a, b pertenecen a lP', entonces a + b pertenece a lP'.
Si a, b pertenecen a lP', entonces ab pertenece a lP'.
([ii) Si a pertenece a IR, entonces se cumple exactamente una de las siguientes
afirmaciones:
a E lP', a O, ~a E lP'. 288 681
Las dos primeras condiciones aseguran la compatibilidad del orden con las
operaciones de adición y multiplicación, respectivamente.
La condición 2.1.5(iii)
suele conocerse como la
propiedad de tricotomía, ya que divide IR en tres
tipos de elementos distintos. Establece que el conjunto
{~a : a E P} de los
números reales negativos no tiene elementos en
común con el conjunto lP' de
los números reales positivos
y, además, que el conjunto IR es la unión de tres con­
juntos disjuntos.
Si
a E lP', se escribe a > O Y se dice que a es un número real positivo (o estric­
tamente positivo). Si a E lP' U {O}, se escribe a ¿ O Y se dice que a es un mime­
ro real no negativo. Del mismo modo, si
~a E lP', se escribe a < O Y se dice que
a es un número real negativo (o estrictamente negativo). Si ~a E lP' U {O}, se
escribe
a ::;; O Y se dice que a es un número real no posi.tivo.
Se define ahora la noción de desigualdad entre dos números reales en térmi­
nos del conjunto
lP' de elementos positivos.

43. Capítulo 2 Los númeroS(~aleS
2.1.6 Definición Sean a, b elementos de R
a) Si
a -b E lP', entonces se escribe a > b o b < a.
Si a -bE lP' U {O}, entonces se escribe a;:: b o b:::; a.
La propiedad de tricotomía 2. 1. 5 (iii) implica que para a, b E lR se cumplirá
exactamente una de las siguientes afimlaciones:
a> b, a = b, a < b.
Por lo tanto, si se cumple a la vez que a :::; b y b :::; a, entonces a = b.
Por conveniencia en ia notación, se escnbirá
a<b<c
para indicar que se satisfacen tanto a < b como b < c. Las otras desigualdades
"dobles"
a :::; b < e, a :::; b :::; e y a < b :::; e se definen de manera similar.
A fin de ilustrar cómo se usan las propiedades de orden básicas para deducir
las "reglas de las desigualdades", se establecen a continuación varios resultados
que el lector
ha usado en cursos de matemática anteriores.
2.1.7
Teorema Sean a, b, c elementos cualesquiera de R
a) Si a > by b > c, entonces a > c.
Si a > b, entonces a + c > b + c.
e) Si a > by c > 0, entonces ca> cb.
Si a > by c < O, entonces ca < cb.
Demostración. a) Si a -b E lP Y b -e E lP', entonces 2.1.5(i) implica que
(a -b) + (b -e) = a -e pertenece a lP'. En consecuencia, a > c.
b) Si a -b E lP', entonces (a + e) -(b + e) = a -b está en lP'. Por lo tanto,
a + e> b + c.
c) Si a -bE lP' Y e E lP', entonces ca -cb = c(a -b) está en lP por 2. 1. 5 (ii). Por
tanto,
ca > cb cuando e > O.
Por otra parte, si e < 0, entonces -e E lP', de donde cb -ca = (-c)(a -b) está
en lP'. Por tanto, cb > ca cuando e < O. Q.E.D.
Es de esperarse que los números naturales sean números reales positivos. Esta
propiedad se deduce de las propiedades de orden básicas. La observación clave es
que el cuadrado de cualquier número real diferente de cero es positivo.
2.1.8
Teorema a) Si a E lR ya'" 0, entonces a
2
> O.
b) 1 > O.
e) Si n E N, entonces n > O.
Demostración. a) Por la propiedad de tricotomía, si a '" 0, entonces a E lP', o
bien,
-a E lP'. Si a E lP, entonces por 2. 1. 5 (ii), a
2
= a . a E lP'. Asimismo, si -a E
lP', entonces a
2
= (-a)(-a) E lP'. Se concluye que si a '" 0, entonces a
2
> O.

44. 2,1 Propiedades algebraicas y de orden de lR
Puesto que 1 = 1
2
,
del inciso a) se sigue que 1 > O.
c) Se la inducción matemática. El enunciado es verdadero para n = 1 por
el inciso Si se supone que el enunciado es verdadero para el número natural k,
entonces k E lP, Y como 1 E lP, se tiene que k + 1 E lP según 2.1.5(i). Por lo tanto,
el enunciado es verdadero
para todos los números naturales. Q,E,D,
Cabe señalar que no puede existir un número real positivo mínimo. Este hecho
se establece observando que si
a > O, entonces, puesto que t > O (¿por qué?), se
tiene que
1
O < 'la < a.
Por tanto, si se afirma que a es el menor número real positivo, puede darse el
número positivo menor
tao
Esta observación lleva al siguiente resultado, el cual será de uso frecuente
como método de demostración:. Por ejemplo, para demostrar que un número
a :::: O
es en realidad igual a cero, se observa que basta demostrar que
a es menor que un
número positivo arbitrario.
2.1.9 Teorema Si a E lR es tal que O :::; a < 10 para toda 10 > O, entonces a = O.
Demostración. Se supone, por el contrario, que a > O. Entonces, si se toma
lOO := ta, se tiene O < lOO < a. Por lo tanto, es falso que a < E para toda E> O Y se
concluye que
a = O. Q.E.D.
Observación Se deja como un ejercicio demostrar que si a E lR es tal que O :::;
a:::; E para toda E> O, entonces a = O.
El producto de dos números positivos es positivo. Sin embargo, el carácter
positivo del producto de dos números no implica que ambos factores son positi­
vos.
La conclusión correcta se presenta en el siguiente teorema. Este teorema es
una herramienta importante cuando se trabaja con desigualdades.
2.1.10 Teorema Si ab > O, entonces
(i) a > ° y b > O, o bien
(ii) a < ° y b < O.
Demostración. Se empieza observando que ab > ° implica que a ;é ° y b ;é O.
(¿Por qué?) Por la propiedad de tricotomía, a > O, o bien, a < O. Si a > 0, enton­
ces
l/a> ° (¿por qué?) y, por lo tanto, b = (l/a)(ab) > O. Del mismo modo, si a < 0,
entonces l/a < 0, de donde b = (l/a)(ab) < O. Q.E.D.
2.1.11 Corolario Si ab < 0, entonces
(i) a < ° y b > 0, o bien
(H) a> ° y b < 0,

45. 36
(
Capítulo 2 Los!. números reales
Se sabe ahora cómo pueden usarse las propiedades de orden presentadas en esta
sección para "resolver" ciertas desigualdades. El lector debe justificar cada
tillO de
los pasos.
2.1.12
Ejemplos a) Determinar el conjunto A de todos los números reales x
tales que 2x + 3 :s; 6.
Se observa que se tiene*
X E A <=> 2x + 3 :s; 6 <=> 2x:S; 3 <=> x:S; t.
Por lo tanto, A = {x E IR : x:S; t}.
b) Detenninar el conjunto B := {x E IR: x2 + x > 2}.
La desigualdad se reescribe de tal forma que pueda aplicarse el teorema
2.1.10. Obsérvese que
xEB <=> x
2+x-2>0 <=> (x-1)(x+2»0.
Por tanto, se tiene (i) x - 1 > O Y x + 2 > O, o bien, se tiene (ii) x - 1 < O Y x + 2 < O.
En el caso (i) debe tenerse a la vez x > 1 Y x > -2, condición que se satisface si y
sólo si x
> 1. En el caso (ii) debe tenerse a la vez x < 1 Y x < -2, condición que se
satisface si y sólo si
x < -2.
Se concluye que B = {x E IR : x > l} U {x E IR : x < -2}.
e) Determinar el conjunto
Se observa que
{
2x +1 }
C:= xER--<l .
x+2
xEC ~ 2x+1_
1
<0 ~
x+2
x -1
--<O.
x+2
Por lo tanto, se tiene (i) x - 1 < O y x + 2 > O, o bien, (ii) x - 1 > O Y x + 2 < o.
(¿Por qué?) En el caso (i) debe tenerse a la vez x < 1 Y x > -2, condición que se
satisface si y sólo si
-2 < x < 1. En el caso (ii) debe tenerse a la vez x > 1 Y x <
-2, condición que nunca se satisface.
Se concluye que C {x
E IR: -2 <x < l}. D
Los siguientes ejemplos ilustran el uso de las propiedades de orden de
IR para
establecer ciertas desigualdades. El lector debe verificar los pasos seguidos en los
razonamientos identificando las propiedades que se aplican.
Cabe señalar que no se
ha establecido aún la existencia de las raíces cuadra­
das de números positivos; sin embargo, se supone la existencia de dichas raíces
*El símbolo {c} debe leerse "si y sólo si".

46. 2.1 Propiedades algebraicas y de orden de lR
para los fines de estos ejemplos.
la sección 2.4.)
existencia de las raíces cuadradas se trata en
2.1.13 Ejemplos a) Sean a ¿ O Y b ¿ O. Entonces
Se considera el caso en que
a > O Y b > O, dejándole al lector el caso a O. De
2.1.5(i) se sigue que a + b > O. Puesto que b
2
-
a
2
= (b -a)(b + a), de 2.1.7c se
sigue que
b -a > O implica que b
2
-
a
2
> O. Asimismo, de 2.1.10 se sigue que
b
2
-
a
2
> O implica que b -a> O.
Si a > O Y b > O, entonces -Ya > O Y -{b > O. Puesto que a = (-Ya)2 Y b = (-{b )2,
la segunda implicación es una consecuencia de la primera cuando a y b se susti­
tuyen
por -Ya y -{b, respectivamente.
Se le deja también al lector demostrar que si
a ¿ O Y b ¿ O, entonces
(1')
b) Si a y b son números reales positivos, entonces su media aritmética es t (a + b)
Y su media geométrica es -Vah. La desigualdad de la media aritmética-geomé­
trica para a, b es
-Vah <t (a + b), (2)
donde la igualdad ocurre si y sólo si
a = b.
Para poder demostrar este hecho, obsérvese que si a > O, b > O ya", b,
entonces -Ya > O, -{b > O Y -Ya '" -{b. (¿Por qué?) Por lo tanto, de 2.1.8a se sigue
que
(-Ya --{b)2 > O. Al desarrollar el cuadrado se obtiene
a -21ab + b > O,
de donde se sigue que
Por lo tanto, (2) es
válida(con la desigualdad estricta) cuando a '" b. Además, si
a = b (> O), entonces ambos miembros de (2) son iguales a a, en cuyo caso (2)
se convierte en igualdad. Con esto se demuestra que (2) es válida para
a> O, b> O.
Por otra parte, supóngase que a > O, b> O Y que 1ab = t (a + b). Entonces,
al elevar al cuadrado ambos miembros y multiplicar
por 4, se obtiene
de donde se sigue que
O = a
2
-
2ab + b
2
= (a -b i.

47. Pero esta igualdad
implica que
a = b.
que a = b.
Capítulo 2 Los números reales
Por tanto, la ","U,,"'UUU en (2)
Observación La desigualdad de la media aliimética-geométlica general para
los números reales positivos
al, a2, .. " a
n es
al + a2 + ... + a
(ala2 ".a
l1
)1I11 ,,; n
n
donde la igualdad ocurre si y sólo si al = a2 = ... = a
n
. Puede este enun­
ciado más general por inducción matemática, pero la demostración
es un tanto
intlincada. En el ejercicio 8.3.9 del capítulo 8 se presenta una demostración más
elegante que usa las propiedades de la función exponencial.
c) de Bemoulli Si x > entonces
(1 + ;::: 1 + nx para toda n E N.
La demostración se hace por inducción matemática. El caso n = 1 produce
la igualdad, por lo que la afirmación
es válida en este caso. Enseguida, se supone la
validez de la desigualdad (4) para
k E N Y se deduce su validez para k + 1. De
hecho, los supuestos de que
(1 + x)k;::: 1 + loe Y de que 1 + x > O implican
qué) que
(1 + x)k+l = (1 + x)k . (1 + x)
;::: (1 + loe) . (1 + x) = 1 + (k + l)x + loe
2
;::: l+(k +l)x.
En consecuencia, la desigualdad (4) es válida para n = k + 1. Por lo tanto, (4) es
válida para toda n E N. O
Ejercicios de la sección 2.1
1. Si a, b E R, demostrar las siguientes expresiones.
a) Si a + b = O, entonces b = -a,
c) (-l)a = -a,
2. Demostrar que si a, b E R, entonces
a) -(a + b) = (-a) + (-b),
c) l/(-a) = -(l/a),
b) -(-a) = a,
d) (-1)(-1) = 1.
b) (-a)' (-b) = a . b,
d) -(a/b) = (-a)/b si b '" O.
3. Resolver las siguientes ecuaciones, justificando cada paso con la referencia a la propie­
dad o teorema apropiado.
a) 2x + 5 = 8,
c)
x2 -1 = 3,
b) x2 = 2x,
d) (x-1)(x+2)=0.

48. 2.1 Propiedades algebraicas y de orden de IR
Si a E IR satisface a a = a, demostrar que o a = ° o a = l.
S.Si a'" ° y b '" 0, demostrar que l/(ab) = (l/a)(l/b).
6. Aplicar el razonamiento usado en la demostración del teorema 2.1.4 para probar que
no existe un número racional
s tal que s2 = 6.
7. Modificar la demostración del teorema 2.l.4 para probar que no existe un níunero
racional
t tal que t
2
= 3.
8. a) Demostrar que si x, y son números racionales, entonces x + y y xy son números
racionales.
b) Demostrar que
si x es un número racional y y es un número irracional, entonces
x + y es un número irracional. Si, además, x '" O, probar que xy es un número
irracional.
9. Sea
K:= {s + t fi : s, tE Q1}. Demostrar que K satisface las siguientes condiciones:
a) Si
xl, x2 E K, entonces X¡ + X2 E K Y X¡X2 E K..
b) Si x'" O Y x E K, entonces l/x E K..
(Por tanto, el conjunto K es un subeampo de IR. Con las propiedades de orden hereda­
das de
IR, el conjlmto K es un campo ordenado que está entre QI y .IR.)
10. a) Si a < b Y e::; d, demostrar que a + e < b + d.
b) Si O < a < b Y O ::; e ::; d, demostrar que O ::; ae ::; bd.
11. a) Demostrar que si a
> O, entonces l/a> O Y l/(l/a) = a.
b) Demostrar que si a < b, entonces a < t (a + b) < b.
u. Sean a, b, e, d números que satisfacen O < a < b Y e < d < O. Dar un ejemplo donde
ae <
bd Y uno donde bd < ae.
13. Si
a, b E IR, demostrar que a
2 + b
2
= O si y sólo si a = O Y b = O.
14. Si O ::; a < b, probar que a
2
::;
ab < b
2
Demostrar con un ejemplo que no se sigue que
a
2<ab<b
2
15. Si O < a < b, probar que a) a < M < b, Y b) lIb < l/a.
16. Encontrar todos los números reales x que satisfacen las siguientes desigualdades.
a) x2 > 3x + 4,
c)
l/x <x,
b) 1 < x2 < 4,
d) l/x < xl.
17. Demostrar la siguiente forma del teorema 2.l.9: si a E IR es tal que O ::; a ::; E para toda
E> O, entonces a = O.
18. Sean a, b E IR Y suponer que para toda E> O se tiene a ::; b + E. Demostrar que a ::; b.
19. Demostrar que [tea + b)]2 ::; t(a
2 + b
2
)
para toda a, b E .IR. Probar que la igualdad se
cumple si
y sólo si a = b.

49. 40
1I1
" ,
"i'
20. a) Si O < e < 1, demostrar que O < e
2
< e < l.
b) Si 1 < e, demostrar que 1 < e < el.
Capítulo 2 Los números reales
21. a) Demostrar que no hay ninguna n E N tal que O < n < l. (Usar la propiedad del buen
orden de N.)
b) Demostrar que ningún número natural puede ser a la vez par e impar.
22.
a) Si e > 1, demostrar que en ;::: e para toda n E N Y que en > e para n > l.
b) Si O < e < 1, demostrar que en :s; e para toda n E N Y que en < e para n > 1.
23. Si a > O, b > O Y n E N, derriostrar que a < b si y sólo si a
n
< b
n
.
[Sugerencia: aplicar
la inducción matemática.]
24.
a) Si e > 1 Y m, n E N, demostrar que e
m
> en si y sólo si m > n.
b) Si O < e < 1 Y m, n E N, demostrar que e
m
< en si y sólo si m > n.
25. Suponiendo la existencia de las raíces, demostrar que si e > 1, entonces e
llm
< e
lln
si y
sólo si
m > n.
26. Usar la inducción matemática para demostrar que si a E lR Y m, n E N, entonces
a
m+
n == aman y (am)n == a
mn
.
Por la propiedad de tricotomía 2. 1. 5 (iii) , se tiene la seguridad de que si a E lR. Y
a .. O, entonces exactamente uno de los números a y -a es positivo. El valor abso­
luto de
a .. ° se define como el número que sea positivo de los dos anteriores. El
valor absoluto
de ° se define como O.
2.2.1 Definición El valor absoluto de un número real a, denotado por la I ' se
define como
lal:= j~
-a
si a> 0,
si a = 0,
si a < O.
Por ejemplo, 151 = 5 Y 1-81 = 8. Por la definición se observa que la I ¿ (
para toda a E lR. Y que lal = ° si y sólo si a = O. Asimismo, I-al = lal pan
toda a E R Se presentan a continuación algunas propiedades adicionales.
2.2.2 Teorema a) I ab I = la II b I para toda a, b E R
b) lal
2
= a
2
para toda a E R
e) Si c ¿ 0, entonces la I :::; c si y sólo si -c :::; a:::; c.
d) -1 al:::; a:S; I a I para toda a E R
Demostración. a) Si a, o bien b, es 0, entonces ambos miembros son O. Ha:
cuatro casos más por considerar. Si a > 0, b > 0, entonces ab > 0, de dond

50. 22 Valor absoluto y la recta real
1 ab 1 = ab = 1 a 11 b l. Si a > 0, b < 0, entonces ab < 0, de donde 1 ab 1 = -ab =
a( -b) = 1 a 1 1 b 1 . Los casos restantes reciben un tratamiento similar.
b) Puesto que
a
2
¿ O, se tiene a
2
= 1 a
2
1 = 1 aa 1 = 1 a 11 a 1 = 1 a 1
2
c) Si 1 a 1 :s: c, entonces se tiene tanto a:S: c como -a:S: e (¿por qué?), que es equi­
valente a
-c :s: a :s: c. Recíprocamente, si -c :s: a :s: c, entonces se tiene tanto a :s: c
como
-a :s: c (¿por qué?), de modo que 1 a 1 :s: c.
(d) Se hace c = 1 a 1 en el inciso c). Q.E.D
La importante desigualdad siguiente se usará con frecuencia.
2.2.3 Desigualdad del triángulo
Si a, b E lit, entonces 1 a + b 1 :s: 1 al + 1 b l.
Demostración. Por 2.2.2d, se tiene -1 a 1 :s: a:S: 1 a 1 y -1 b 1 :s: b:S: 1 b l. Al sumar
estas desigualdades,
se obtiene
-(Ial + Ibl):S:a+b:S: lal + Ibl·
En consecuencia, por 2.2.2c se tiene
1 a + b 1 :s: 1 a 1 + 1 b l· Q.E.D.
Puede demostrarse que la igualdad en la desigualdad del triángulo ocurre si y
sólo
si ab > 0, lo que es equivalente a decir que a y b tienen el mismo signo.
(Véase el ejercicio 2.)
Hay varias variantes útiles
de la desigualdad del triángulo. A continuación se
presentan dos
de ellas.
2.2.4 Corolario
Si a, b E lit, entonces
a) Ilal-lbll:S:la-bl,
b) la-bl:S: lal + Ibl·
Demostración. a) Se escribe a = a -b + b Y se aplica después la desigualdad
del triángulo para obtener
1 a 1 = 1 (a -b) + b 1 :s: 1 a -b 1 + 1 b l. Ahora se resta
1 b 1 para obtener 1 a 1 -1 b 1 :s: 1 a -b l· Del mismo modo, de 1 b 1 = 1 b -a + a 1 :s:
1 b -al + 1 al, se obtiene -1 a -b 1 = -1 b -a 1 :s: 1 a 1 -1 b l. Si se combinan
estas dos desigualdades, usando 2.2.2c,
se obtiene la desigualdad del inciso a).
b) Se sustituye
b por -b en la desigualdad del triángulo para obtener 1 a -b 1 :s:
1 a 1 + 1-b l· Puesto que 1-b 1 = 1 b 1, se obtiene la desigualdad del inciso b).
Q.E.D.
Una aplicación directa de la inducción matemática amplía la desigualdad del
triángulo a cualquier número finito
de elementos de lit.
2.2.5 Corolario Si al, al> ... , 3n son números reales cualesquiera, entonces
Los siguientes ejemplos ilustran cómo pueden usarse las propiedades del valor
absoluto.

51. Capítulo 2 Los nLlmeros reales
2.2.6 a) Determinar el A de todos los números reales x E lR
que satisfacen 12x + 3 1 < 7.
Por una modificación de 2.2.2c para el caso de la desigualdad estricta, se
observa que
x E A si y sólo si -7 < 2x + 3 < 7, que se satisface si y sólo si -10 <
2x < 4. Al dividir entre 2, se concluye que A = {x E lR : -5 < x < 2}.
Determinar el
conjuntoB:= {x E lR: Ix-11 < Ixl}.
Un procedimiento consiste en considerar los diferentes casos a fin de eliminar
los símbolos de valor absoluto. Dichos casos son los siguientes:
(i) x
¿ 1, (ii) O ::; x < 1, (iii) x < O.
(¿Por qué se eligieron estos tres casos?) En el caso (i), la desigualdad queda como
x -1
< x, la cual se satisface sin necesidad de más restricciones. En consecuencia,
todas las
x tales que x ¿ 1 pertenecen al conjunto B. En el caso (ii), la desigualdad
queda como
-(x -1) < x, la cual requiere que x > t. Así, este caso incorpora al
conjunto
B todas las x tales que t < x < l. En el caso (iii), la desigualdad queda
como
-(x 1) < -x, que es equivalente a 1 < O. Puesto que este enunciado es falso,
ningún valor de
x del caso (iii) satisface la desi?ualdad. Al fOilllar la unión de los
tres casos, se concluye que
B = {x E lR : x > t J .
Hay un segundo procedimiento para determinar el conjunto B, basado en el
hecho de que a
< b si y sólo si a
2
< b
2
cuando tanto a ¿ O como b ¿ O. (Véase
2.1.13a.)
De este modo, la desigualdad 1 x -1 1 < 1 x 1 es equivalente a la desigualdad
1 x -
11
2
< 1 x 1
2
.
Puesto que 1 a 1
2
= a
2
para toda a por 2.2.2b, puede desarrollar­
se el cuadrado
para obtener x2 -2x + 1 < x2, que al simplificarse queda como
x> t. Por tanto, se encuentra de nueva cuenta que B {x E lR : x > t}. Este pro­
cedimiento de elevación al cuadrado
en ocasiones puede ser conveniente, pero
con frecuencia resultará inevitable el análisis por casos cuando se trabaje con
valores absolutos.
e)
Seafla función definida porf(x) := (2x
2 + 3x + 1)/(2x - 1) para 2::; x::; 3.
Hallar una constante M tal que If(x) 1 ::; M para toda x que satisface 2 ::; x::; 3.
Se consideran por separado el numerador y el denominador de
I
x
1=12x
2
+3x+ll
f( ) 12x-ll'
Por la desigualdad del triángulo, se obtiene
12x
2
+ 3x + 11 ::; 21 x 1
2
+ 3 1 x 1 + 1 ::; 2 . 3
2
+ 3 . 3 + 1 = 28
ya que 1 xl::; 3 para las x bajo consideración. Asimismo, 12x - 11 ¿ 21 x 1 -1 ¿
2 . 2 -1 = 3, ya que 1 xl ¿ 2 para las x bajo consideración. En consecuencia,
1/ 12x -11 ::; 1/3 para x ¿ 2. (¿Por qué?) Por lo tanto, para 2::; x::; 3 se tiene If(x) 1 ::;
28/
3
,
Por consiguiente, puede tomarse M = 28/
3
, (Obsérvese que se ha encontrado
uno de los valores de
M; evidentemente, cualquier número H> 28/
3 también satis­
fará
If(x) 1 ::; H. También existe la posibilidad de que 28/
3 no sea la menor elección
posible
para M.) D
La recta real _______________________ _
Una interpretación geométrica conveniente y familiar del sistema de los números
reales es
la recta real. En esta interpretación, el valor absoluto 1 a 1 de un elemento

52. 2.2 Valor absoluto y la recta real
a de lR se considera como la distancia de a O. En ténninos más b""c".aH;;,',
la distancia entre los elementos a y b en lR es la -b l. la 2.2: l.)
-4 -3 -2 -1
°
~ 1(-2) -(3)1 = 5
2 3
. I
2.2.1 La distancia entre a = -2 Y b = 3.
4
Más adelante será necesario precisar el lenguaje para examinar la idea de que
un número real está "cerca de" otro. Si a es un número real dado, entonces decir
que un número real
x está "cerca de" a significará que la distancia Ix -a I que los
separa es "pequeña". Un contexto en el que puede explicarse esta idea lo propor­
ciona la tem1inología de vecindades, concepto que se define a continuación.
2.2.7 Definición Sean a
E lR Y E> O. Entonces la vecindad-e de a es el con­
junto
VE(a) := {x E lR: Ix -a I < E}.
Para a E lR, la afinnación de que x pertenece a Via) es equivalente a cualquie­
ra de los enunciados (véase la figura 2.2.2)
-E < x -a < E <::=> a E < x < a + E.
a-E
Figura 2.2.2 Vecindad-E de a.
2.2.8 Teorema Sea a E R Si x pertenece a la vecindad VE(a) para toda E > 0,
entonces x = a.
Demostración. Si una x particular satisface Ix -a I < E para toda E> 0, enton­
ces de 2.1.9 se sigue que
Ix -a I = ° y, por consiguiente, x = a. Q.E.D.
2.2.9 Ejemplos a) Sea U:= {x: 0< x < l}. Si a E U, sea E el menor de los
dos números a y 1 -
a. Entonces es un ejercicio demostrar que la vecindad VE(a)
está contenida en [J. Por ~nto, cada elemento de U tiene alguna vecindad-E del
mismo que está contenida en
U.
b) Si 1:= {x: ° ::;; x::;; l}, entonces para toda e> 0, la vecindad-E ViO) de ° con­
tiene puntos que no están en
1 y, en consecuencia, VE(O) no está contenida en J. Por
ejemplo, el número x
E
:= -Eh está en V¿O) pero no en I.
e) Si Ix -a I < E Y Iy -b I < e, entonces la desigualdad del triángulo implica que
l(x+y)-(a+b)1 1(x-a)+(y-b)1
::;; lx-al + Iy-bl <2E.
Por tanto, si x, y pertenecen a las vecindadeS-e de a, b, respectivamente, enton­
ces
x + y pertenece a las vecindades-2E de a + b (pero no necesariamente a la
vecindad-E de a + b). D

53. Capítulo 2 Los números reales
,,..""'''~~ de la sección 2.2
lo Si a, b E lR Y b '" O, demostrar que:
b)
la/bl = lal/lbl·
2. Si a, b E lR, demostrar que la + b I = la I + lb I si y sólo si ab ~ O.
3. Six,y,zE lRyx:S:z, demostrarquex:S:y:S:z siy sólo si Ix~YI + Iy-zl = Ix~zl·
Establecer la interpretación geométrica de este resultado.
4. Demostrar que Ix -al < E si y sólo si a ~ E < x < a + E.
5. Si a < x < b Y a < y < b, demostrar que I x ~ y I < b -a. Establecer la interpretación
geométrica de este resultado.
6. Encontrar todas las
x E lR que satisfacen las siguientes desigualdades.
a)
14x-51:s: 13,
7. Encontrar todas las
x E lR que satisfacen la ecuación Ix + 11 + Ix ~ 21 = 7.
8. Encontrar todas las x E lR que satisfacen las siguientes desigualdades.
a)
Ix~ 11> Ix+ 11, b) Ixl+lx+11<2.
9. Trazar la gráfica de la ecuación y = Ixl -I x ~ 11·
10. Encontrar todas las x E lR que satisfacen la desigualdad 4 < Ix + 21 + I x ~ 1 I < 5.
11. Encontrar todas las x E lR que satisfacen simultáneamente tanto 12x -31 < 5 como
Ix + 11> 2.
12. Determinar y graficar el conjunto de los pares (x, y) en lR x lR que satisfacen:
a) Ixl =
Iyl,
c) Ixyl = 2,
b) Ixl + Iyl =
1,
d) Ixl ~ Iyl =2.
13. Determinar y graficar el conjunto de los pares (x, y) en lR x lR que satisfacen:
a) Ixl:S:
Iyl,
c) Ixyl:S:2,
b) Ixl + Iyl
:s: 1,
d) Ixl -Iyl ~2.
14. Sean E> O yo> O, y a E lR. Demostrar que VeCa) n V ¡fa) y VeCa) U V ¡fa) son vecin­
dades-y de a para valores apropiados de y.
15. Demostrar que si a, b E lR ya'" b, entonces existen las vecindadeS-E U de a y V de b
tales que U n V = 0.
16. Demostrar que si a, b E lR, entonces
a) máx{a, b} = t(a + b + la -b 1) y mín{ a, b} = t (a + b ~ la -b 1).
b) mín{a, b, e} = mín{mín{a, b}, e}.

54. 2.3 La propiedad de completez de lR
17. Demostrar que si a, b, e E lR, entonces el "número medio" es med{ a, b, e}
mín{máx{a, b}, máx{b, e}, máx{c, a}}.
Hasta este punto del capítulo se han estudiado las propiedades algebraicas y las
propiedades de orden del sistema
de los números reales R En esta sección se pre­
senta una propiedad más de
~ que suele llamarse la "propiedad de completez". El
sistema
CQJ de los números racionales posee también las propiedades algebraicas y
las propiedades de orden estudiadas en las secciones precedentes, pero
se ha visto
que
-{i no puede representarse como un número racional; en consecuencia, -{i no
pertenece a
CQJ. Esta observación muestra la necesidad de una propiedad adicional
que caracterice
al sistema de los números reales. Esta propiedad adicional, la pro­
piedad
de completez (o del supremo), constituye una característica esencial de ~,
y se dirá que ~ es un campo ordenado completo. Es esta propiedad especial la que
permite definir y desarrollar los diferentes procedimientos para encontrar límites
que
se estudian en los capítulos subsecuentes.
Hay varias formas diferentes de describir la propiedad
de completez. Se deci­
dió presentar aquí el que quizá sea el tratamiento más eficaz, el cual consiste en
suponer que todo subconjunto no vacío acotado
de ~ tiene un supremo.
Supremos e ínfimos
Se introducen a continuación las nociones de cota superior y cota inferior de un
conjunto
de números reales. Estas ideas serán de suma importancia en secciones
posteriores.
2.3.1 Definición Sea S un subconjunto no vacío de R
a)
Se dice que el conjunto S está acotado superiormente si existe un número
u
E ~ tal que s :s; u para toda s E S. A cada uno de estos números u se le llama
cota superior de S.
b) Se dice que el conjunto S está acotado inferiormente si existe un número
w E ~ tal que w :s; s para toda s E S. A cada uno de estos números w se le llama
cota inferior de S.
c) Se dice que un conjunto está acotado si está acotado tanto superior como infe­
riormente; en caso contrario,
se dice que es no acotado.
Por ejemplo, el conjunto S:= {x E ~ : x < 2} está acotado superiormente; el
número 2 y cualquier número mayor que 2
es una cota superior de S. Este conjun­
to no tiene cotas inferiores, por lo que no está acotado inferiormente. Por consi­
guiente, el conjunto S es no acotado (aun cuando esté acotado superiormente).
Si un conjunto S tiene una cota superior, entonces tiene un número infinito
de cotas superiores, ya que si
u es una cota superior de S, entonces los números
u
+ 1, u + 2, ... también son cotas superiores de S. (Una observación similar
es válida para las cotas inferiores.)

55. Capítulo 2 Los números reales
En el
riores
de S, se
de las cotas
Qm,\p,·uvrpQ de S y en el
sus elementos mínimo
y HHUUíWJ, r,'c",pr·j·n,~~,'n'p
para en la siguiente definición.
2.3.1 ínf S y sup S.
2.3.2 Definición Sea S un subconjunto no vacío de IR..
a) Si S está acotado superiormente, entonces se dice que un número u es un
supremo (o una mínima cota de S si satisface las condiciones:
1) u es una cota superior de S, y
2) si v es cualquier cota superior de S, entonces u ~ v.
Si S está acotado inferiormente, entonces se dice que un número w es un infi-
mo (o una
máxima cota de S si satisface las condiciones:
1') w es una cota inferior de S, y
si t es cualquier cota inferior de S, entonces t ~ w.
No es difícil ver que únicamente puede haber un supremo de un subconjunto
S de :IR: dado. (Entonces es posible hacer referencia a el supremo de un conjunto
en vez de a
un supremo.) Para ver por qué, supóngase que u¡ y U2 son ambos
supremos de
S. Si U¡ < Ulo entonces la hipótesis de que U2 es un supremo implica
que
U¡ no puede ser una cota superior de S. Del mismo modo, se observa que
U2 < U1 tampoco es posible. Por lo tanto, debe tenerse que U¡ = U2' Puede usarse
un razonamiento similar para demostrar que el ínfimo de un conjunto se encuen­
tra determinado de manera única.
Si existen el supremo o el ínfimo de un conjunto
S, se les denotará, respecti­
vamente, por
sup S e
ínf S.
Se hace notar asimismo que si u' es una cota superior arbitraria de un conjunto no
vacío
S, entonces sup S ~ u'. Esto es así porque sup S es la mínima de las cotas
superiores de
S.
Antes que nada, es necesario hacer hincapié en que para que un conjunto no
vacío S en
:IR: tenga un supremo, debe tener una cota superior. Por tanto, no todo
subconjunto de
:IR: tiene un supremo; del mismo modo, no todo subconjunto de :IR:
tiene un ínfimo. De hecho, hay cuatro posibilidades para un subconjunto no vacío
S
de:IR:: puede
(i) tener tanto supremo como ínfimo,
(ii) tener supremo pero no ínfimo,
(iií) tener Ínfimo pero no supremo,
(iv) no tener ni supremo ni ínfimo.

56. 2.3 La propiedad de completez de JllI.
También se hace que a fin de demostrar que u = sup S para
no
vaCÍo S de lR, es necesario demostrar que se tanto la con-
dición
1) como la 2) de la definición 2.3 .2a. Resultará instructivo reformular estas
consideraciones. el lector deberá ver que los dos enunciados
acerca de un número
u y un conjunto S son equivalentes:
1) u .es una cota de S,
1 ') s::; u para toda s E S.
los siguientes enunciados acerca de una cota ti de un con-
S son equivalentes:
2) si
v es cualquier cota de S, entonces ti ::; v,
2') si Z < L/, entonces z no es una cota de S,
2") si z < u, entonces existe Sz E S tal que z < sz'
2"') si E> 0, entonces existe SE E S tal que u -E < SE'
Por lo tanto, pueden enunciarse dos formulaciones alternativas para el supremo.
2.3.3
Lema Un número u es el supremo de un subconjunto no vacío S de lR si
y sólo si u satisface las condiciones:
s::; u para toda s E S,
si v < u, entonces existe s' E S tal que v < s'.
Se le deja al lector desarrollar los detalles de la demostración.
2.3.4
Lema Una cota superior u de un conjunto no vacío S de lR es el supremo
de
S si y sólo si para toda E > ° existe una SE E S tal que u -E < SE'
Demostración. Si u es una cota superior de S que satisface la condición enun­
ciada y si
v < u, entonces se hace E := u-v. Entonces E> 0, por lo que existe
s
E E S .tal que V. = u -E < SE' Por lo tanto, v no es una cota superior de S y se con­
cluye que
u = sup S.
suponer que u = sup S y sea E> O. Puesto que u -8 < u,
entonces u -E no es una cota superior de S. Por lo tanto, algún elemento SE de S
debe ser mayor que
u -8; es decir, u -E < sE' (Véase la figura 2.3.2.) Q.E.D.
~
_________
~
_________ J
S
2.3.2 u = sup S.
Es importante percatarse de que el supremo de un conjunto puede ser o no ele­
mento del mismo. En ocasiones lo es, en ocasiones no lo es, lo cual depende del
conjunto particular. Se consideran a continuación algunos ejemplos.
2.3.5 a) Si un conjunto no vacío
S) tiene un número finito de ele­
mentos, entonces puede demostrarse que
S) tiene un elemento máximo u y un
elemento mínimo
w. Entonces, u = sup S) y w = ínf S), y ambos son miembros
de
S1' (Lo anterior es claro si S1 tiene un solo elemento, y puede demostrarse por

57. Capítulo 2 Los números reales
inducción matemática cuál es el número de elementos en SI; véanse los ejercicios
11 y 12.)
b) El conjunto
S2 := {x : O :s; x :s; 1} tiene evidentemente a 1 como la cota supe­
rior.
Se demuestra que 1 es su supremo como sigue. Si v < 1, existe un elemento
Si E S2 tal que v < Si. (Nombrar uno de estos elementos Si.) Por lo tanto, v no es
una cota superior de S2 y, ya que ves un número arbitrario v < 1, se concluye que
sup
S2 = 1. De manera similar, se demuestra que Ínf S2 = O. Obsérvese que tanto
el supremo como el ínfimo
de S2 están contenidos en S2'
c) El conjunto S3 := {x : O < x < 1} tiene evidentemente a 1 como cota superior.
U sando el mismo razonamiento que en el inciso b),
se observa que sup S3 = 1. En
este caso, el conjunto
S3 no contiene a su supremo. Del mismo modo, ínf S3 = O
no está contenido en
S3' D
La propiedad de completez de IR.
Con base en las propiedades de campo y de orden de IR. discutidas en la sección
2.1 no es posible demostrar que todo subconjunto no vacío de IR. que está acotado
superiormente tiene un supremo en
IR.. Sin embargo, es una propiedad profunda y
fundamental del sistema
de los números reales que éste es en realidad el caso. Se
hará un uso frecuente y esencial
de esta propiedad, en particular al tratar los proce­
sos
de límites. El enunciado siguiente referente a la existencia de supremos es el
supuesto final acerca
de IR.. Así, se dice que IR. es un campo ordenado completo.
2.3.6 La propiedad de completez de IR. Todo conjunto no vacío de números
reales que tiene una cota superior también tiene un supremo en
IR..
Esta propiedad también recibe el nombre de propiedad del supremo de IR.. La
propiedad análoga para los Ínfimos puede deducirse a partir
de la propiedad de
completez como sigue. Suponer que S es un subconjunto no vacIo
de IR. que está
acotado inferiormente. Entonces el conjunto no vacío
S := {-s: s E S} está aco­
tado superiormente
y la propiedad del supremo implica que u := sup S existe en
IR.. El lector deberá verificar en detalle que -u es el ínfimo de S.
Ejercicios de la sección 2.3
1. Sea S1 := {x E IR. : x ¿ O}. Demostrar en detalle que el conjunto S1 tiene cotas infe­
riores, pero no cotas superiores. Demostrar que
ínf S) = O.
2. Sea S2 := {x E IR. : x > O}. ¿El conjunto S2 tiene cotas inferiores? ¿El conjunto S2
tiene cotas superiores? ¿Existe ínf S2? ¿Existe sup S2? Demuestre sus afirmaciones.
3. Sea
S3 := {Un: n E N}. Demostrar que sup S3 = 1 e ínf S3 ¿ O. (Más adelante, en
la sección 2.4, a partir de la propiedad de Arquímedes,
se establecerá que ínf S3 = O.)
4. Sea S4:= {l -(-1 )n/n : n E N}. Encontrar ínf S4 y sup S4'
5. Sea S un subconjunto no vacío de IR. que está acotado inferiormente. Demostrar que
ínf S = -sup{-s: s E S}.

58. 2.4 Aplicaciones de la propiedad del supremo
111111111111111111111111111111111111111111111
2882681
6. Si un conjunto S <;::; R contiene una de sus cotas superiores, demostrar que esta cota
superior es el supremo de
S.
Sea S <;::; R no vacío. Demostrar que u E R es una cota superior de S si y sólo si las
condiciones
tER Y t > u implican que t íI' S.
8. Sea S <;::; R no vacío. Demostrar que si u = sup S, entonces para todo número n E N el
número
u -lln no es una cota superior de S, pero que el número u + 1/n es una cota
superior de
S. (El recíproco también es verdadero; véase el ejercicio 2.4.3.)
9. Demostrar que si A y B son subconjuntos acotados de R, entonces A U B es un conjun­
to acotado. Demostrar que sup(A U
B) = sup{sup A, sup B}.
10. Sea S un conjunto acotado en R y sea So un subconjunto no vacío de S. Demostrar que
ínf S S; ínf So S; sup So S; sup S.
11. Sea S <;::; R Y suponer que s*
sup(S U
{u}) = sup{s*, u}.
sup S pertenece a S. Si u íI' S, demostrar que
12. Demostrar que el conjunto no vacío finito S
<;::; R contiene a su supremo. [Sugerencia:
aplicar la inducción matemática y el ejercicio anterior.]
13. Demostrar que las afirmaciones
1) y 1') que anteceden al lema 2.3.3 son equivalentes.
14. Demostrar que las afirmaciones 2), 2'), 2") Y 2"') que anteceden al lema 2.3.3 son equi­
valentes.
15. Desarrollar los detalles de la demostración del lema 2.3.3.
Se examina ahora cómo trabajar con supremos e ínfimos. Se presentan asimismo
varias aplicaciones de
suma importancia de estos conceptos para deducir propie­
dades fundamentales de
JEt Se empieza con ejemplos que ilustran útiles técnicas
al aplicar las ideas del supremo y del ínfimo.
2.4.1
Ejemplos a) Es un hecho importante que los procedimientos para deter­
minar supremos e ínfimos son compatibles con las propiedades algebraicas de JEt
En calidad de ejemplo, se presenta a continuación la compatibilidad de la deter­
minación de supremos
y la adición.
Sea
S un subconjunto no vacío de :IR;, que está acotado superiormente y sea a
un número cualquiera en JEt Se define el conjunto a + S := {a + s : s E S}. Se
demostrará que
----
sup(a + S) a + sup S.

59. 50 Capítulo 2 Los números reales
Si se hace u := sup S, entonces x ::; u para toda x E S, por lo que a + x ::; a +
u. Por lo tanto, a + u es una cota del conjunto a + S; por consiguiente,
se tiene
supCa + S) ::; a + u.
Ahora bien, si v es cualquier cota superior del conjunto a + S, entonces a +
x::; v para toda x E S. En consecuencia, x ::; v ~ a para toda x E S, por lo que
v ~ a es una cota superior de S. Por lo tanto, u = sup S ::; v ~ a, de donde se obtiene
a + u ::; v. Puesto que v es cualquier cota superior de a + S, puede sustituirse v
por supCa + S) para obtener a + u::; sup(a + S).
Al combinar estas desigualdades se concluye que
sup(a
+ S) = a + u = a + sup S.
Para relaciones similares entre los supremos y los Ínfimos de conjuntos y las ope­
raciones de adición y multiplicación, véanse los ejercicios.
Cuando intervienen supremos o Ínfimos de dos conjuntos, con frecuencia es
necesario establecer los resultados en dos etapas, trabajando con un conjunto a la
vez. A continuación se presenta un ejemplo.
Suponer que
A y B son subconjuntos no vacíos de IR que satisfacen la propie­
dad:
a ::; b para toda a E A y toda b E B.
Se demostrará que
supA::;
Ínf B.
Porque, dada bE B, se tiene a ::; b para toda a E A. Esto significa que b es una cota
superior de
A, de donde sup A ::; b. Ahora bien, ya que la última desigualdad se
cumple para toda
bE B, se observa que el número sup A es una cota inferior del
conjunto
B. Por lo tanto, se concluye que sup A::; ínf B. O
La idea de cota superior y cota inferior se aplica a funciones considerando el codo­
minio de una función. Dada una función
f: D ---¿ IR, se dice que f está acotada
superiormente si el conjunto f(D) = {[(x) : x E D} está acotado superiormente
en
IR; es decir, existe B E IR tal que f(x) ::; B para toda x E D. Del mismo modo,
la
funciónf está acotada inferiormeníe si el conjunto f(D) está acotado inferior­
mente. Se dice que
f está acotada si está acotada superior e inferiormente; esto es
equivalente a decir que existe
B E IR tal que If(x) I ::; B para toda x E D.
El siguiente ejemplo ilustra cómo trabajar con supremos e Ínfimos de fun­
ClOnes.
2.4.2 Ejemplo Suponer que f y g son funciones reales con dominios comunes
D,;;; R Se supone quefy g están acotadas.

60. 2.4 Aplicaciones de la propiedad del supremo
a) para toda x E entonces :::; sup que en ocasiones
se escribe:
supf(x):::; sup g(x).
XED XED
Se empieza observando que f(x) :::; g(x) :::; sup g(D) , lo cual implica que el
número sup g(D)
es una cota superior de f(D). Por lo tanto, sup f(D) :::; sup g(D).
Se observa que la hipótesisf(x)
:::; g(x) para toda x E D del inciso a) no impli­
ca ninguna relación entre sup
f(D) e ínf g(D).
Por ejemplo,
sif(x):= x2 y g(x):= x con D = {x: O:::;x:::; l}, entoncesf(x):::;
g(x) para toda x
E D. Sin embargo, se observa que sup f(D) = 1 e ínf g(D) = O.
Puesto que sup g(D) = 1, es válida la conclusión del inciso a).
e) Sif(x):::; g(y) para toda x, y E D, entonces puede concluirse que sup f(D) :::;
ínf g(D) , lo que puede escribirse como:
sup
f(x) :::; ínf g(y).
XED yED
[Adviértase que las funciones del inciso b) no satisfacen esta hipótesis.]
La demostración
se hace en dos etapas, como en el ejemplo 2.4. lb. El lector
deberá desarrollar los detalles del razonamiento. D
En los ejercicios
se presentan otras relaciones entre supremos e ínfimos de
funciones.
La propiedad de Arquímedes
Debido a la familiaridad del lector con el conjunto
:IR!. y a la representación habi­
tual de la recta real, quizá parezca obvio que el conjunto N de los números
naturales no está acotado
en:lR!.. ¿Cómo puede demostrarse este hecho "obvio"?
En realidad no puede hacerse usando únicamente las propiedades algebraicas y
de orden dadas en
la sección 2.1. De hecho, es necesario usar la propiedad de
completez de:lR!. as~' como la propiedad inductiva de N (es decir, si n E N, enton­
ces
n + 1 E N).
La ausencia de cot s superiores para N significa que dado cualquier número
real x, existe un número natural n (el cual depende
de x) tal que x < n.
2.4.3 Propiedad de Arquímedes Si x E :IR!., entonces existe nx E N tal que
x <n
x
'
Demostración. Si la afirmación es falsa, entonces n :::; x para toda n E N; por
lo tanto,
x es una cota superior de N. En consecuencia, por la propiedad de com­
pletez, el conjunto no vacío N tiene un supremo
u E :IR!.. Al restar 1 de u se obtie­
ne un número
u -1 que es menor que el supremo u de N. Por lo tanto, u -1 no es
una cota superior de N, por lo que existe m E N con u -1 < m. Al sumar 1 se obtie­
ne
u < m + 1, Y como m + 1 E N esta desigualdad contradice el hecho de que u
es una cota superior de N. Q.E.D.

61. 52
IIL ..•
Capítulo 2 Los números reales
2.4.4 Corolario Si S := {1/n : n E N}, entonces Ínf S = O.
Demostración. Puesto que el conjunto S '" 0 está acotado inferiormente por O,
tiene un ínfimo y se hace w := ínf S. Es claro que w :2' O. Para toda E> O, la pro­
piedad
de Arquímedes implica que existe n E N tal que l/E < n, lo cual implica
que
1/n < E. Por lo tanto, se tiene
O::; w::; 1/n < E.
Pero como E> O es arbitraria, del teorema 2.1.9 se sigue que w = O. Q.E.D.
2.4.5 Corolario Si t > 0, existe nt E N tal que ° < l/n
t < 1.
Demostración. Puesto que ínf{ l/n : n E N} = O Y t> 0, entonces t no es una
cota inferior del conjunto
{l/n : n E N}. Por lo tanto, existe n¡ E N tal que ° <
l/n¡ < t. Q.E.D.
2.4.6 Si Y > 0, existe ny E N tal que ny -1 ::; Y < ny-
Demostración. La propiedad de Arquímedes asegura que el subconjunto Ey :=
{m E N : JI < m} de N es no vacío. Por la propiedad de buen orden 1.2.1, Ey tiene
un elemento mínimo, el cual
se denota por ny Entonces ny -1 no pertenece a Ey
y, por consiguiente, se tiene ny -1 ::; JI < ny Q.E.D.
Considerados en conjunto, en ocasiones se hace referencia a los corolarios
2.4.4-2.4.6 como la propiedad de Arquímedes de R
La existencia de fi
La importancia de la propiedad del supremo radica en el hecho de que garantiza
la existencia
de números reales bajo ciertas hipótesis. En muchas ocasiones se
hará uso de ella en esta forma. Por el momento, se ilustrará este uso demostrando
la existencia
de un número real positivo x tal que x2 = 2; es decir, la raíz cuadra­
da positiva de
2. Se demostró ya (ver el teorema 2.1.4) que dicha x no puede ser
un número racional; por tanto, en realidad
se estará deduciendo la existencia de al
menos un número irracionaL
2.4.7 Teorema
Existe un número real positivo x tal que x2 = 2.
Demostración. Sea S:= {s E lR: O::; s, s2 < 2}. Puesto que 1 E S, el conjunto es
no vacío. Asimismo, S está acotado superiormente por 2, porque si t > 2, entonces
t2 > 4, en cuyo caso t 7E S. En consecuencia, la propiedad del supremo implica que
el conjunto S tiene un supremo en lR y se hace x := sup S. Adviértase que x > l.
Se demostrará que x2 = 2 descartando las otras dos posibilidades: x2 < 2 Y
x2 > 2.
Se supone primero que x2 < 2. Se probará que este supuesto contradice el
hecho
de que x sup S encontrando una n E N tal que x + 1/n E S, lo cual impli-

62. 24 Aplicaciones de la propiedad del supremo
ca que x no es una cota superior de S.
1/n
2
:::; 1/n, de modo que
para ver cómo se elige
n, obsérvese que
(
1)2 2x 1 1
x+-=x
2
+-+-:5X
2
+-(2x+l).
n n n2 n
Por tanto, si n se puede elegir de tal modo que
1
-(2x+l)<2-x
2
,
n
entonces se obtiene (x + 1/n)2 < x2 + (2 -x2) = 2. Por hipótesis se tiene 2 - x2 >
O, de donde (2 - x
2
)/(2x + 1) > O. Por consiguiente, puede aplicarse la propiedad
de Arquímedes (corolario 2.4.5) para obtener
n E N tal que
2-x
2
-<---.
n 2x+l
Estos pasos pueden invertir se para demostrar que para esta elección de n se tiene
x + 1/n E S, lo cual contradice el hecho de que x es una cota superior de S. Por lo
tanto, no puede tenerse
x2 < 2.
Se supone ahora que
x2 > 2. Se probará que en tal caso es posible encontrar
m E N tal que x -11m es también una cota superior de S, lo cual contradice el
hecho de que
x = sup S. Para ello, obsérvese que
2
(
x-~) =x2_2x+_l_>x2_2x.
m m m2 m
Por tanto, si m se puede elegir de tal modo que
2x
-<x
2
-2,
m
entonces (x -l/m)2 > x2 -(x
2
- 2) = 2. Ahora bien, por hipótesis se tiene x2 -2 >
0, de donde (x
2
-2)/2x > O. Por tanto, por la propiedad de Arquímedes, existe
m E N tal que
X2 -2
-<---.
m 2x
Estos pasos pueden invertirse para demostrar que par~a elección de m se tiene
(x -1/m)2 > 2. Ahora bien, si s E S, entonces s2 < 2 < (x -l/m)2, de donde, por
2.1.13a, se sigue que s
< x -l/m. Esto implica que x -11m es una cota superior
de
S, lo cual contradice el hecho de que x = sup S. Por lo tanto, no puede tenerse
x2 > 2.
Puesto que se han excluido las posibilidades x2 < 2 Y x2 > 2, debe tenerse
x2 = 2. Q.E.D.
Haciendo ligeras modificaciones en el razonamiento anterior, el lector puede
demostrar que si
a > 0, entonces existe un número b > ° único tal que b
2
= a. A b
se le llama la raíz cuadrada positiva de a y se denota por b = -{;i o b = a
1
/
2
.
Es
posible formular
un razonamiento un tanto más complicado en el que se usa el teo­
rema del binomio para establecer
la existencia de una raíz n-ésima positiva única
de
a, denotada por n-{;i o a
1
/n
,
para toda n E N.

63. Capítulo 2 Los números reales
Observación Si en la demostración del teorema 2/t7 el S se reem­
plaza con el conjunto de los números racionales
T:= {r E QJ : ° :S r, ¡2 < 2},
entonces el razonamiento lleva a la conclusión de que
y := sup T satisface y2 = 2.
Puesto que en el teorema 2.1.4 se vio que y no ser un número se
infiere que el conjunto
T que consiste en los números racionales no tiene un supre­
mo que pertenezca
al conjunto QJ. Por tanto, el campo ordenado QJ de los núme­
ros racionales
no posee la propiedad de completez.
Densidad de los números racionales en IR'.
Se sabe ahora que existe ·almenos un número real irracional, a saber, -{i. En rea­
lidad, hay
"más" números irracionales que racionales en el sentido de que el con­
junto
de los números racionales es enumerable (como se demostró en la sección
1.3), en tanto que el conjunto de los números irracionales
no lo es (véase la sec­
ción 2.5). Sin embargo, se demuestra enseguida que
no obstante esta aparente dis­
paridad, el conjunto de los números racionales es "denso" en
IR'., en el sentido de
que dados dos números reales cualesquiera, entre ellos hay un número racional (de
hecho, hay un número infinito).
2.4.8
Teorema de densidad Si x y y son números reales cualesquiera con
x < y, entonces existe un número racional r E QJ tal que x < r < y.
Demostración. El hecho de suponer que x > ° no tiene efecto sobre el carácter
general del teorema (¿por qué?). Puesto que
y -x> 0, del corolario 2.4.5 se sigue
que existe
n E N tal que 1/n < y-x. Por lo tanto, se tiene nx + 1 < ny. Si se apli­
ca el corolario 2.4.6 a
nx > 0, se obtiene In E N con m -1 :S nx < m. Por consi­
guiente,
m :S nx + 1 < ny, de donde nx < m < ny. Por lo tanto, el número racional
r := m/n satisface x < r < y. Q.E.D.
Para completar la discusión del entrelazamiento de los números racionales y
los irracionales, se tiene la misma "propiedad de densidad" para
el conjunto de los
números irracionales.
2.4.9
Corolario Si x y y son números reales cualesquiera con x < y, entonces
existe un número irracional
z tal que x < z < y.
Demostración. Si se aplica el teorema de densidad 2.4.8 a los números reales
x/-{i y y/-{i, se obtiene un número racional r '" ° (¿por qué?) tal que
x y
{2<r<{2.
Entonces z := r-fi es irracional (¿por qué?) y satisface x < z < y. Q.E.D.
Ejercicios de la sección 2.4
1. Demostrar que sup{1 - l/n : n E N} = 1.
2. Si S : = {l/n -l/m : n, m E N}, encontrar ínf S y sup S.

64. 2.4 ,I\plicaciolles de la propiedad del supremo
3. Sea S c;;; R no vacío. Demostrar que si un número u en R tiene las propiedades: (i)
para toda
/1 E N el número u -1//1 no es una cota superior de S, y (ii) para todo
número
IJ E N el número u + 1//1 es una cota superior de S, entonces u = sup S. (Este
resuÍtado es
el recíproco del ejercicio 2.3.8.)
4. Sea S un conjunto no vacío acotado en R.
a) Sea a > O Y sea aS:= {as: s E S}. Demostrar que
ínf(aS) =
a ínf S, sup(aS) = a sup S.
b) Sea b < O Y sea bS:= {bs : s E S}. Demosh'ar que
ínf( bS) = b sup
S, sup(bS) = b ínf S.
5. Sea X un conjunto no vacío y sea que f: X --7 R tenga un codominio acotado en R. Si
a
E R, demostrar que el ejemplo 2.4.la implica que,
sup{a +f(x): x E X} = a + sup{f(x): x EX}.
Demostrar que se tiene
ínf{a
+ f(x): x E X} = a + ínf{f(x): x E X}.
6. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R y sea A + B := {a + b : a E A, b E B}.
Demostrar que sup(A + B) = su~ + sup B y que ínf(A + B) = ínf A + ínf B. $
7. Sea X un conjunto no vacío y sea que fy g estén definidas en X y tengan codominios
acotados en
R. Demostrar que
sup{f(x)
+ g(x): x E X} ::; sup{f(x): x E X} + sup{g(x): x E X}
y que
ínf{f(x):
x E X} + ínf{g(x): x E X} ::; ínf{f(x) + g(x): x EX}.
Dar ejemplos que muestren que cada una de estas desigualdades puede ser una igual­
dad o una desigualdad estrícta.
8. SeaX= Y:= {x E R: O <x < l}. Se define h : Xx Y --7R por h(x,y):= 2x + y.
a) Para toda x E X, encontrarf(x) := sup{h(x, y) : y E Y}; encontrar después ínf{f(x):
XE X}.
b) Para today E Y, encontmr g(y):= ínf{h(x,y): x E X}; encontrar después sup{g(y):
y
E Y}. Comparar el resultado con el obtenido en el inciso a).
9. Realizar los cálculos de los incisos a) y b) del ejercicio precedente para la función
h : X x Y --7 R definida por
h(x,y) := {~
si x < y,
six;:;: y.
1. O. Sean X y Y conjuntos no vacíos y sea que h : X x Y --7 R tenga codominio acotado en
.IR. Sea que f: X --7 R Y g : Y --7 R estén definidas por
f(x) : = sup{h(x, y) : y E Y} g(y): = ínf{h(x,y) : x E X}
Demostrar que
sup{g(y) :
y E Y} ::; ínf{f(x) : x E X}
En ocasiones esto se expresa escribiendo
sup
ínf h(x, y) ::; ínf sup h(x, y).
y x x y

65. Capítulo 2 Los números reales
Obsérvese que con los ejercicios 8 y 9 se demuestra que la desigualdad puede ser una
igualdad o bien una desigualdad estricta.
H. Sean X y Y conjuntos no vacíos y sea que h : X x Y -? lR tenga codominio acotado en
lR. Sea que F : X -? lR Y G : Y -? lR estén definidas por
F(:r) := sup{ h(x, y) : y E Y}, G(y):= sup{h(x,y): x EX}.
Establecer el principio de los supremos i.terados:
sup{h(x, y) : x E X; Y E Y} = sup{F(x) : x E X} = sup{ G(y) : y E Y}.
En ocasiones esto se expresa con símbolos por
sup
h(x, y) = sup sup h(x, y) = sup sup h(r, y)
x,y x y y x
fz. Dada cualquier x E lR, demostrar que existe una n E Z única tal que n -1 S; x < n.
13. Si Y > 0, demostrar que existe n E N tal que 1/2
n
< y.
14. Modificar el razonamiento del teorema 2.4.7 para demostrar que existe un número real
positivo y tal que
y2 = 3.
15. Modificar el razonamiento del teorema 2.4.7 para demostrar que si a > 0, entonces exis­
te un número real positivo
z tal que z2 = a.
16. Modificar el razonamiento del teorema 2.4.7 para demostrar que existe un número real
positivo
u tal que u
3
= 2.
17. Completar la demostración del teorema de densidad 2.4.8 eliminando el supuesto de
que
x > O.
18. Si u > ° es cualquier número real y x < y, demostrar que existe un número racional r
tal que x < ru < y. (Por consiguiente, el conjunto {ru : rE Q} es denso en lR.)
La relación de orden en IR determina una colección natural de subconjuntos lla­
mados "intervalos". La notación y terminología para estos conjuntos especiales
resultarán familiares por cursos anteriores.
Si a, b E IR satisfacen a < b, entonces
el intervalo abierto determinado por
a y b es el conjunto
(a, b) := {x E IR: a < x < b}.
A los puntos a y b se les llama los puntos terminales del intervalo; sin embargo,
en un intervalo abierto no están incluidos los puntos terminales.
Si ambos puntos
terminales
se incorporan a este intervalo abierto, se obtiene entonces el intervalo
cenado determinado por a y b, a saber, el conjunto
[a, b] := {x E IR: a ~ x ~ b}.
Los dos intervalos semiabiertos (o semicenados) determinados por a y b son
[a, b), que incluye el punto terminal a, y (a, b], que incluye el punto terminal b.

66. 2.5 Intervalos 57
Cada uno de estos cuatro intervalos está acotado y tiene una defi-
nida
por b -a. Si a = b, el intervalo abierto correspondiente es el conjunto vaCÍo
Ca, a) = 0, mientras que el intervalo cerrado correspondiente es el conjunto con un
solo elemento
(singleton) [a, a] = {a}.
Hay cinco tipos .de intervalos no acotados en los cuales se usan los símbolos
00 (o +00) Y -00 como convención de notación en lugar de los puntos terminales.
Los
intervalos abiertos infinitos son los conjuntos de la forma
(a,OO):={XEIR:x>a} y (-oo,b):={XEIR:x<b}.
El primer conjunto no tiene cotas superiores y el segundo no tiene cotas inferio­
res. Al agregar los puntos terminales se obtienen los
intervalos cerrados infini­
tos:
[a,OO):={XEIR:a::;x} y (-oo,b]:={XEIR:x::;b}.
Con frecuencia resulta conveniente considerar al conjunto IR en su totalidad como
un intervalo infinito; en este caso se escribe
(-00, 00) := R Ningún punto es un
punto terminal de
(-00, 00).
Atención Es necesario hacer hincapié en que 00 y -00 no son elementos de IR,
sino únicamente símbolos convenientes.
Caracterización de intervalos
Una propiedad obvia de los intervalos es que si dos puntos x, y con x < y pertene­
cen a
un intervalo 1, entonces cualquier punto que esté entre ellos también perte­
nece a
1. Es decir, si x < t < y, entonces el punto t pertenece al mismo intervalo
que
x y y. En otras palabras, si x y y pertenecen a un intervalo 1, entonces el inter­
valo
[x, y] está contenido en 1. Se demuestra a continuación que un subconjunto
de
IR que posee esta propiedad debe ser un intervalo.
2.5.1 Teorema de caracterización Si S es un subconjunto de IR que contiene al
menos dos puntos y tiene la propiedad
si x, y E S Y x < y, entonces [x, y] ~ S, (1)
entonces S es un intervalo.
Demostración. Hay cuatro casos por considerar: (i) S está acotado, (ii) S está
acotado superiormente pero no inferiormente, (iii) S está acotado inferiormente
pero no superiormente, y (iv) S no está acotado ni superior ni inferiormente.
Caso (i): sea
a := ínf Sy b := sup S. Entonces S ~ [a, b] y se demostrará que
(a, b) ~ S.
Si a < z < b, entonces z no es una cota inferior de S, por lo que existe x E S
con
x < z. Asimismo, z no es una cota superior de S, por lo que existe y E S con
z < y. Por lo tanto, z E [x, y], por lo que la propiedad (1) implica que z E S. Puesto
que z es un elemento arbitrario de (a,
b), se concluye que (a, b) ~ S.

67. Ahora bien, si a E
b ~ S, entonces S =
S=[a,b).
Capítulo 2 Los números reales
S Y
b E S, entonces S = [a, b]. qué?) Si a ~ S Y si
b). Las otras posibilidades llevan a S = b], a
I
Caso (ii): sea b := sup S. Entonces S C;;;; (-00, b] Y así se demostratá que
(-00,
b) C;;;; S. Ya que si z <b, entonces existen x, y E S tales que z E [x, y] C;;;; S.
(¿Por qué?) Por lo tanto, (-00, b) C;;;; S. Si b E S, entonces S = (-00, b] Y si b ~ S,
entonces S = (-00, b).
Los casos (iii) y (iv) se dejan como ejercicios. Q.E.D.
Intervalos anidados
Se dice que una sucesión de intervalos 111' n E N, está ani.dada si es válida la
siguiente cadena de inclusiones (véase la figura 2.5.1):
Figura 2.5.1 Intervalos anidados.
Por ejemplo, si 1/1 := [O, 1/n] para n E N, entonces 1/1 ;;;) In + 1 para toda n E N,
por lo que esta sucesión de intervalos está anidada. En este caso, el elemento O
pertenece a todo
In Y puede aplicarse la propiedad de Arquímedes 2.4.5 para
demostrar que O es el único elemento común. (Demostrarlo.) Lo anterior se deno­
ta escribiendo n~=l In = {O}.
Es importante entender que, en general, una sucesión anidada de intervalos no
tiene necesariamente un punto común. Por ejemplo, si
J
n
:= (O, 1/n) para n E N,
entonces esta sucesión de intervalos está anidada, pero los intervalos no tienen
ningún punto común,
ya que para toda x> O dada existe (¿por qué?) m E N tal que
11m < x, de tal modo que x ~ J
m
.
Del mismo modo, la sucesión de intervalos
Kn := (n, (0), n E N, está anidada pero no tiene ningún punto común. (¿Por qué?)
Sin embargo, una propiedad muy importante de
lR es que toda sucesión anida­
da de intervalos acotados cerrados tiene
un punto común, como se demuestra a
continuación. Adviértase que la completez de
lR desempeña un papel central en el
establecimiento de esta propiedad.
2.5.2
Propiedad de los intervalos anidados Si In = [~, b
n
], n E N, es una
sucesión anidada de intervalos acotados cerrados, entonces existe un número
~ E
lR tal que ~ E In para toda n E N.

68. 2.5 Intervalos
Demostración. Puesto que los intervalos están se tiene In S; I¡ para
toda
n E N, pOI lo que a
n
::;
b¡ para toda n E N. Por consiguiente, el conjunto no
vaCÍo {a
n
: n E N} está acotado superiormente y se hace que ~ sea su supremo.
Evidentemente,
a
n
::;
~ para toda n E N.
Se afirma asimismo que ~ ::; b
n
para toda n. Lo anteriDr se establece probando
que para cualquier
n el número b
n
es una cota superior del conjunto
{ak : k E N}. Se consideran dos casos. (i) Si n ::; k, entonces, como In ~ I
k
,
se tiene
ak::; bk::; b
n
. (ii) Si k < n, entonces, como Ik ~ !¡¡, se tiene ak::; a
n
::; bn-(Véase la
figura 2.5.2.) Por tanto, se concluye que
ak ::; b
n
para toda k, por lo que b
n
es
una cota superior del conjunto {ak: k E N}. Por consiguiente, ~::; b
n
para toda
n E N. Puesto que a
n
::; ~ ::; b
n para toda n, se tiene ~ E In para toda n E N. Q.E.D.
1«-----¡k ----------->-1
["
Figura 2.5.2 Si k < n, entonces In <;;; h
2.5.3 Teorema Si In := [~, bn], n E N, es una sucesión anidada de intervalos
acotados cerrados tal
que las longitudes bn - <l¡1 de In satisfacen
Ínf {b
n
-
~ : n E N} = 0,
entonces el número ~ contenido en In para toda n E N es único.
Demostración. Si 7] := ínf{ b
n
:
n E N}, entonces puede utilizarse un razona­
miento similar al de la demostración de 2.5.2 para probar que
a
n
::;
7] para toda n
y, en consecuencia, que ~ ::; 7]. De hecho, se deja como ejercicio (véase el ejerci­
cio 10) demostrar que
x E In para toda n E N si y sólo si ~ ::; x ::; 7]. Si se tiene
ínf{
b
n
-a
n
: n E N} = 0, entonces para cualquier E> ° existe una m E N tal que
° ::; 7] -~ ::; b
m
-a
m < E. Puesto que esta condición sólo se cumple para E> 0, del
teorema 2.1.9 se sigue que
7] -~ = O. Por lo tanto, se concluye que ~ = 7] es el
único punto que pertenece a
In para toda n E N. Q.E.D.
La innumerabilidad de IR;.
El concepto de conjunto enumerable se examinó en la sección 1.3, donde también
se estableció
la enumerabilidad del conjunto CQl de los números racionales. A con­
tinuación se usa la propiedad de los intervalos anidados para demostrar que el con­
junto
IR;. es innumerable. La demostración fue hecha por Georg Cantor en 1874 en
su primer escrito sobre series infinitas. Posteriormente publicó una demostración
que utilizaba representaciones decimales de números reales, que es
la demos­
tración que se presentará más adelante en esta sección.
2.5.4 Teorema El conjunto IR;. de los números reales no es contable.

69. Capítulo 2 Los números reales
Demostración. Se demostrará que el intervalo unitario 1:= [O, 1] es un conjun­
to no contable. Esto que
el conjunto IR;. es incontable, ya que si IR;. fuera con­
table, entonces
el subconjunto 1 también sería contable. (Véase el teorema 1.3.9a.)
La demostración
se hace por reducción al absurdo. Si se supone que 1 es con­
table, entonces el conjunto puede enumerarse como
1 = {x], X2, ... ,x
n
'
... }.
Se selecciona primero un subintervalo cerrado Ij de 1 tal que Xl e: 1), después se
selecciona un subintervalo cerrado
h de I¡ tal que X2 e: h, y así sucesivamente.
De esta manera
se obtienen los intervalos cerrados no vacíos
tal que
In ~ 1 Y xn e: In para toda n. La propiedad de los intervalos anidados 2.5.2
implica que existe un punto
~ E 1 tal que ~ E In para toda n. Por lo tanto, ~ '" Xn
para toda n E N, por lo que la enumeración de 1 no es un listado completo de los
elementos
de 1, como se afirmó. En consecuencia, 1 es un conjunto incontable.
Q.E.D.
El hecho de que el conjunto IR;. de los números reales sea incontable puede
combinarse con el hecho
de que el conjunto CQi de los números racionales es con­
table para concluir que el conjunto
IR;.\CQi de los números irracionales es incontable.
De hecho, ya que la unión de dos conjuntos contables es contable (véase l.3.7c),
si
IR;.\CQi es contable, entonces, ya que IR;. = CQi U (IR;.\CQi), se concluye que IR;. también
es un conjunto contable, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el conjunto de
los números irracionales
IR;.\CQi es un conjunto incontable.
*Representaciones binarias
Se hará una breve digresión para examinar de manera infonnallas representacio­
nes binarias (decimales)
de los números reales. Bastará considerar los números
reales entre O y
1, ya que las representaciones de los demás números reales puede
obtenerse sumando un número positivo o uno negativo.
Si x
E [O, 1], se usará un procedimiento de bisección repetida para asociar una
sucesión
(a
n
) de ceros y unos como se indica a continuación. Si x'" t pertenece al
subintervalo izquierdo
[O, t], se toma a¡ := 0, en tanto que si x pertenece al subin­
tervalo derecho
[t, 1], se toma al := l. Si x = t, entonces a¡ puede tomarse como
° o como 1. En cualquiera de los dos casos, se tiene
al al + 1
-:s;x:s;--.
2 2
Se hace ahora la bisección del intervalo
[t aj, t(al + 1)]. Si x no es el punto de
bisección y pertenece al sub intervalo izquierdo,
se toma a2 := 0, y si x pertenece
al subintervalo derecho,
se toma a2 := l. Si x = t o x = t, a2 puede tomarse ya
sea como
° o como l. En cualquier caso, se tiene
al a2 al a2 + 1
-+-:s;x:s;-+---.
2 2
2 2 2
2
"El resto de esta sección puede omitirse en una primera lectura.

70. 2.5 Intervalos 61
Se continúa con este procedimiento de bisección, asignando el valor a
n
:= O en la
n-ésima etapa si
x no es el punto de bisección y está en el subintervalo izquier­
do, y asignándole
el valor a
n
:= 1 si x está en el subintervalo derecho. De este
modo, se obtiene una sucesión
(a
n
)
de ceros o unos que corresponde a una suce­
sión anidada de intervalos que contienen al punto
x. Así, para toda n, se tiene la
desigualdad
al a2 a
n
al a2 an + 1
- + -+ ... + -:5 X :5 -+ -+ ... + ---. (2)
2 2
2
2
n 2 2
2
2
n
Si x es el punto de bisección en la n-ésima etapa, entonces x = ml2
n
con m impar.
En este caso, puede escogerse el subintervalo izquierdo o el derecho; sin embar­
go, una vez que se elige este sub intervalo, todos los subintervalos subsecuentes en
el procedimiento de bisección están determinados. [Por ejemplo,
si se elige el
subintervalo izquierdo de tal modo que
a
n = 0, entonces x es el punto terminal
derecho de todos los subintervalos subsecuentes
y, por consiguiente, ak = 1 para
toda
k :2: n + 1. Por otra parte, si se elige el subintervalo derecho de modo que
a
n
= 1, entonces x es el punto terminal izquierdo de todos los subintervalos sub­
secuentes
y, por consiguiente, ale = ° para toda k:2: n + l. Por ejemplo, si x = t,
entonces las dos posibles sucesiones para x son 1, O, 1, 1, 1, ... y 1, 1,0,0,0, .... ]
Para resumir,
si x E [O, 1], entonces existe una sucesión (a
n
)
de ceros y unos
tal que
la desigualdad (2) se cumple para toda n E N. En este caso se escribe
(3)
y a (3) se le llama
representación binaria de x. Esta representación es única
excepto cuando
x ml2
n
para m impar, en cuyo caso x tiene las dos representa­
CIOnes:
una que termina en ceros y la otra que termina en unos.
Recíprocamente, toda sucesión de ceros y unos es la representación binaria de
un número real único en
[O, 1]. La desigualdad correspondiente a (2) determina
un intervalo cerrado con longitud 112
n
y la sucesión de estos intervalos está ani­
dada. Por lo tanto, el teorema 2.5.3 implica que existe un número real único
x que
satisface (2) para toda
n E N. Por consiguiente, x tiene la representación binaria
(.a¡a2 ... a
n
.. ·h
Observación El concepto de representación binaria es de suma importancia en
esta era de la computadora digital.
Un número se ingresa en una computadora
digital en "bits", y cada bit se puede poner en uno de dos estados: dejar pasar
corriente o no dejar pasar corriente. Estos dos estados corresponden a los valores
1 y
0, respectivamente. En consecuencia, la representación binaria de un número
puede almacenarse en
una computadora digital en una cadena de bits. Desde
luego, debido a que en
la práctica sólo puede almacenarse un número finito de bits,
las representaciones binarias deben truncarse. Si se usan
n dígitos binarios para un
número
x E [O, 1], entonces la precisión es a lo sumo 112
n
.
Por ejemplo, para ase­
gurar
una precisión de cuatro cifras decimales, es necesario usar al menos 15 dígi­
tos binarios (o 15 bits).

71. Capítulo 2 Los números reales
Las representaciones decimales de los números reales son similares a las represen­
taciones binarias, excepto que los intervalos se subdividen en
diez subintervalos
iguales en vez de en dos.
Por tanto, dada
x E [O, 1], si [O, 1] se subdivide en diez sub intervalos
entonces
x pertenece al sub intervalo [b¡1l0, (b¡ + 1)/10] para algún entero b¡ en
{O, 1, ... , 9}. Procediendo como en el caso binario, se obtiene una sucesión (b
n
)
de enteros con O ::; b
n
::;
9 para toda n E N tal que x satisface
(4)
En este caso se dice que x tiene una ""';u."",,'."" decimal dada por
x = .b¡b
2
... b
n .. '.
Si x;:: 1 Y si B E N es tal que B::; x < B + 1, entonces x = B.b¡b
2
' . 'b,) . " donde
la representación decimal de x -B E [O, 1] es como la de arriba. Los números
negativos se tratan de forma similar.
El hecho de que cada decimal determina un número real único se infiere del
teorema 2.5.3,
ya que cada decimal especifica una sucesión anidada de intervalos
con longitud
1/1 on.
La representación decimal de x E [O, 1] es única, excepto cuando x es un punto
de subdivisión en alguna de las etapas, lo cual puede verse que ocurre cuando
x =
m/10
n
para alguna m, n E N, 1 ::; m::; IOn. (También puede suponerse que m no es
divisible entre lO.) Cuando
x es un punto de subdivisión en la n-ésima etapa, una
opción para
b
n
corresponde a seleccionar el subintervalo izquierdo, lo cual hace
que todos los dígitos subsecuentes sean nueves, y la otra opción corresponde a
seleccionar el sub intervalo derecho, lo cual hace que todos los dígitos subsecuen­
tes sean ceros. [Por ejemplo, si
x = t, entonces x = .4999 ... = .5000 .. " y si y =
38/100, entonces y = .37999· .. = .38000, . '.]
Decimales periódicos
Se dice que un decimal B.b¡b
2
' .
'b
n
' .. es periódico (o sea, que se repite) si existen
k, n E N tales que b
n
= b
n+
m
para toda n ;:: k. En este caso, el bloque de dígitos
bkbk+¡ ... bk+m-¡ se repite una vez que se llega al k-ésimo dígito. Al menor
número
m con esta propiedad se le llama el del decimal. Por ejemplo,
19/88
= .2159090 ... 90 ... tiene periodo m = 2 con el bloque 90 que se repite a
partir de k
= 4. Un decimal exacto es un decimal periódico en el que el bloque
repetido es simplemente el dígito
O.
Se prest:ntará una demostración informal de la afirmación: un número real
positivo es racional
si y sólo si su representación decimal es periódica.
Suponer que x = p/q, donde p, q E N no tienen factores enteros comunes.
Por resultar conveniente, se supone asimismo que O
< P < q. Se observa que el

72. 2.5 Intervalos
proceso de realizar la división de q da la decimal de
p/q. Cada paso en el proceso de la división produce un residuo que es un entero
de O a
q -l. Por lo tanto, después de a lo sumo q pasos, algún residuo ocurrirá
por segunda vez y, en ese punto, los dígitos en el cociente empezarán a repetir­
se en ciclos.
En consecuencia, la representación decimal de tal número racional
es periódica.
si
un decimal es peliódico, entonces representa un número
racional. La idea de la demostración se ilustra mejor con un ejemplo. Suponer que
x = 7.31414' . ·14· . '. Se multiplica por una potencia de 1 ° para recorrer el punto
decimal al bloque repetido, obteniéndose en este caso
lOx = 73 .1414 .. '.
Se multiplica ahora por una potencia de 1 ° para mover un bloque a la izquierda
del punto decimal, obteniéndose en este caso 1000x
= 7314.1414' . '. Ahora se
restan ambos resultados para obtener un entero, obteniéndose en este caso
1 OOOx -
10x
= 7314 - 73 = 7241, de donde x = 7241/990, que es un número racional.
La segunda demostración de Cantor
Se presenta a continuación la segunda demostración de Cantor de la incontabili­
dad de
R Se trata del elegante razonamiento de la "diagonal" basado en las repre­
sentaciones decimales de los números reales.
2.5.5 Teorema El intervalo unitario [O, 1 J := {x E IR;. : ° :s; x :s; 1} no es con­
table.
Demostración. La demostración se hace por reducción al absurdo. Se usará el
hecho de que todo número real
x E [O, lJ tiene una representación decimal x =
0.b
l
b
2 b
3
· . "
donde b¡ = 0, 1 .. ',9. Suponer que existe una enumeración XI, xb
x3 ... de todos los números en [O, 1J, la cual se desarrolla como:
Xl =O.b
llb
12b
13 ···b1n "',
x2 =O.b
21b
22b
23 ···b2n "',
x3 = 0.b
31
b
32
b
33
.. ·b
3n
"',
Se define ahora un número real y := 0Y¡Y2 Y3' . Yn' .. haciendo YI := 2 si b¡1 :::: 5
y
YI := 7 si b
ll :s; 4; en general, se hace
sib
nn
25,
si b
nn
::;; 4.
Entonces y E [O, 1 J. Adviértase que el número y no es igual a ninguno de los
números con dos representaciones decimales, ya que
Y
I1
'" 0, 9 para toda n E N.
Además, ya que y Y x
n
difieren en la n-ésima cifra decimal, entonces y '" x
n para
toda n
E N. Por lo tanto, y no está incluida en la enumeración de [O, lJ, lo cual
contradice la hipótesis.
Q.E.D.

73. Capítulo 2 Los números reales
"W"''''''''~ de la sección 2.5
1. Si 1:= [a, b] e l' := [a', b'] son intervalos cerrados en R, demostrar que 1 ~ l' si y sólo
si
a' s: a y b s: b'.
2. Si S ~ R es un conjlmto no vacío, demostrar que S está acotado si y sólo si existe un
intervalo acotado cerrado 1 tal que S ~ 1.
3. Si S ~ R es un conjunto no vacío acotado e Is := [ínf S, sup SJ, demostrar que S ~ Is.
Además, si J es cualquier intervalo acotado cerrado que contiene a S, demostrar que
Is ~J.
4. En la demostración del caso (ii) del teorema 2.5.1, explicar por qué x, y existen en S.
5. Desarrollar los detalles de la demostración del caso (iv) del teorema 2.5.1.
6. Si
1
1
;;¿ 1
2
;;¿ ... ;;¿ In ;;¿ ... es una sucesión anidada de intervalos y si In = [ano b
n],
demostrar que a1 s: a2 s: ... s: a
n s: ... y que b
1
¿ b
2
;::
... ¿ b
n
¿ ....
7. Sea In := [O, lln] para n E N. Demostrar que n';7=1 In = {O}.
8. Sea J
l1 := (O, lln) para n E N. Demostrar que n';7=1 J
n
= 0.
9. Sea Kn := (n, 00) para n E N. Demostrar que n';7=1 Kn = 0.
10. Con la notación usada en las demostraciones de los teoremas 2.5.2 y 2.5.3, demostrar
que se tiene
r¡ E n';7=1 In-Demostrar asimismo que [~, r¡] = n';7=1 1,¡-
11. Demostrar que los intervalos obtenidos de las desigualdades incluidas en (2) forman
una sucesión anidada.
12. Dar las dos representaciones binarias de
t y ?6.
13. a) Dar los cuatro primeros dígitos de la representación binaria de t.
b) Dar la representación binaria completa de t.
14. Demostrar que si ak, b" E {O, 1, ... , 9} Y si
entonces
n = m y ak = b
k
para k = 1, ... , n.
15. Encontrar la representación decimal de-l
16 .. Expresar + y lt como decimales periódicos.
17. ¿Qué racionales están representados por los deciriJ.ales periódicos 1.25137· . ·137·
.. y
35.14653· . ·653 .. ·7

74. Ahora que se han sentado las bases del sistema de los números reales lR, el terre­
no está preparado para tratar cuestiones de naturaleza más analítica, y se empieza
con el estudio de la convergencia de sucesiones. Quizá algunos de los resultados
iniciales le resulten familiares al lector por sus cursos de cálculo, pero la presen­
tación aquí pretende ser rigurosa y llevará a teoremas más profundos que los que
suelen abordarse en los cursos previos.
Se empieza precisando el significado de la convergencia de una sucesión de
números reales y se establecen algunos resultados básicos, pero muy útiles, acerca
de las sucesiones convergentes. Después se presentan algunos criterios importantes
de la convergencia de sucesiones. Entre ellos se encuentran el teorema de conver­
gencia monótona, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el criterio de Cauchy para
la convergencia
de sucesiones. Es importante que el lector aprenda tanto los teo­
remas como la forma en que éstos se aplican a sucesiones especiales.
Debido a las limitaciones lineales inherentes a un libro,
es necesario decidir dónde
ubicar
el tema de las series infinitas. Sería razonable que a este capítulo le siguiera
tilla discusión completa de las series infinitas, pero esto retrasaría los importantes
temas de la continuidad, la derivación y la integración. Por consiguiente, se ha deci­
dido adoptar un tém1ino medio.
Se presenta una breve introducción a las series infi­
nitas en la sección 3.7
al final de este capítulo, para ofrecer un tratamiento más exten­
so en el capítulo 9. Así, los lectores que deseen un examen más a fondo de las series
en este punto pueden pasar al capítulo 9 después de terminar el presente capítulo.
Augustin-Louis Cauchy
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nació en París justo después de
iniciarse la Revolución Francesa. Su padre era abogado en el depar­
tamento
de policía de París y la familia se vio obligada a huir duran­
te el Reinado del Terror. Como resultado, los primeros años de
Cauchy fueron dificiles y desarrolló intensos sentimientos antirrevo­
lucionarios y pro realistas. Después de volver a París, el padre de
Cauchy se convirtió en secretaría del senado recién formado,
el cual
incluía a los matemáticos Laplace y Lagrange. Éstos fueron impre­
sionados por el talento matemático del joven Cauchy y
lo ayudaron a iniciar su carrera.
Ingresó en la École Polytechnique en 1805 y pronto
se fOljó una reputación como
matemático excepcional. En 1815, el año en que se restauró la monarquía, fue nombrado
(continúa)
65

75. Capítulo 3 Sucesiones y series
miembro del cuerpo docente de la École Polytechnique, pero sus sólidas posiciones polí­
ticas y sus inflexibles criterios en matemáticas con frecuencia resultaban en relaciones
fallidas con sus colegas. Después de la revolución de julio de 1830, Cauchy se rehusó a
adherirse al nuevo voto de lealtad y abandonó Francia durante ocho años en un exilio
impuesto por voluntad
propia.En 1838 aceptó un puesto docente menor en París y en
1848 Napoleón III lo reinstaló en su antiguo nombramiento en la École Polytechnique,
donde permaneció hasta su muerte.
Cauchy fue sorprendentemente versátil y prolífico, realizando contribuciones sustan­
ciales en diversas áreas, como en análisis real
y complejo, teoría de los níuneros, ecuacio­
nes diferenciales, física matemática y probabilidad. Publicó ocho libros y 789 artículos, y
sus obras completas ocupan 26 volúmenes. Fue uno de los matemáticos más importantes
de la primera mitad del siglo
XIX.
Una sucesión en un conjunto S es una función cuyo dominio es el conjunto N de
los números naturales y cuyo codominio está contenido en el conjunto
S. En este
capítulo se tratan las sucesiones en
IR y se examina lo que se entiende por la con­
vergencia de estas sucesiones.
3.1.1 Definición
Una sucesióu de números reales (o sucesión en IR) es una
función definida en el conjunto N = {l, 2, . . .} de los números naturales cuyo
codominio está contenido en el conjunto
IR de los números reales.
En otras palabras, una sucesión en IR le asigna a cada número natural n = 1,
2, ... un número real determinado de manera única. Si X: N ~ IR es una suce­
sión, el valor de
X en n se denotará por lo general por el símbolo X
n
en vez de usar
la notación de funciones X(n). A los valores X
n
también se les llama los términos
o los elementos de la sucesión. Se denotará esta sucesión por las notaciones
X, (X
n
:
n E N).
Desde luego, con frecuencia se usarán otras literales, como
Y = (Yk), Z = (z;), etc.,
para denotar las sucesiones.
Se usan paréntesis a propósito a fin de enfatizar que el ordenamiento inducido por
el orden natural de N es una cuestión importante. Así, por medio de la notación
se
distingue entre la sucesión (x
n
:
n E N), cuyo número infinito de términos tiene lID
ordenamiento, y el conjunto de valores {X/1 : n E N} en el codominio de la sucesión,
los cuales no están ordenados. Por ejemplo,
la sucesiónX:= ((-1)/1: n E N) tiene un
número infinito
de términos que se alternan entre -1 y 1, mientras que el conjunto de
valores {(_1)/1 : n E N} es igual al conjunto {-1, l}, el cual sólo tiene dos elementos.
Es común definir sucesiones dando una fórmula para el n-ésimo término
Xn­
Con frecuencia resulta conveniente listar los términos de una sucesión en orden,
deteniéndose cuando la regla de formación parece evidente. Por ejemplo, la suce­
sión de los recíprocos de los números pares puede definirse escribiendo

76. 3.1 Sucesiones y sus límites
(
1111 )
X: = 2'4'6'8"" ,
aunque un método más satisfactorio consiste en especificar la fórmula para el
término general y escribir
(
1
X:= 2n : nENj
o, en forma más simple, X (l/2n).
Otra manera de definir una sucesión consiste en especificar el valor de Xl y dar
una fórmula para xn+l (n ;::: 1) en términos de X]1" En términos más generales,
puede especificarse
Xl y dar una fórmula para obtener xn+l a partir de Xl, Xb .. "
X
n
. Se dice que las sucesiones así definidas están definidas inductivamente (o
recursivamente).
3.1.2 Ejemplos a) Si b E lR, la sucesión B := (b, b, b, .. '), cuyos términos
son todos iguales a b, recibe el nombre de la sucesión constante b. Así, la suce­
sión constante 1 es la
sucesión (1, 1, 1, ... ), y la sucesión constante O es la
sucesión (O, O, O, .. -).
b) Si b E lR, entonces B := (H') es la sucesión B = eb, b
2
,
b
3
,
.. " b
n
,
.. -). En
particular, si b = -t , se obtiene entonces la sucesión
(
_1 : n E N) = (! l .!. ... _1 ... ).
2n 2' 4' 8' '2n'
c) La sucesión de (2n : n E N) de los números naturales pares puede definirse
inductivamente
por
o por la definición
Yl := 2, Yn+l:= Yl + Yn·
d) La famosa sucesión de Fibonacci F:= (In) está dada por la definición induc­
tiva
j¡ := 1, h.: = 1, fn+l :=fn-l +1" (n;::: 2).
Así, cada término después del segundo es la suma de los dos términos preceden­
tes inmediatos. Los diez primeros términos de
F resultan ser (1, 1,2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55,
.. -). O
El límite de una sucesión
Hay varios conceptos diferentes de límite en el análisis real. El concepto de lími­
te de
una sucesión es el más básico de ellos y será el centro de atención en este
capítulo.

79. Capítulo 3 Sucesiones y series
En se ha demostrado que el límite de la sucesión es cero.
e) lím(3n+2) =3.
71 + 1
Dada E> O, quiere obtenerse la desigualdad
1
3n+2_31<E
n + 1
cuando n sea lo suficientemente grande. Primero se simplifica la pv,c,,"pQ,rm del pri­
mer miembro:
1
3
::1
2
-3Ij=13n+~:~n-31=ln-:ll= n~l <~.
Ahora bien, si la desigualdad 1/n < E se satisface, entonces la desigualdad (l)
se cumple. Así, si l/K < E, entonces para toda n ¿ K también se tiene 1/n < E Y se
cumple (1). Por lo tanto, el límite de la sucesión es 3.
Si O < b < 1, entonces lím(b1') = O.
Se hará uso de las propiedades elementales de la función logaritmo natural. Si
E > O está dada, se observa que
b
l1
< E <=? n In b < In E <=? n > In E/In b.
(La última desigualdad se invierte porque In b < O.) Por tanto, si se elige que K sea
un número tal que
K> In E/In b, entonces se tendrá O < H' < E para toda n ¿ K. Se
tiene por tanto que lím(b
l1
) = O.
Por ejemplo, si b = 0.8 Y si está dada E = 0.01, entonces se necesitaría K>
In O.01/ln 0.8 '" 20.6377. Por tanto, K = 21 sería una elección apropiada para
E=O.Ol. O
Observación El K(E) Al trabajar con el concepto de convergencia de
una sucesión, una manera de recordar la conexión entre la E y la K consiste en
considerarla como si se tratara
de un pasatiempo llamado el juego K(E). En este
juego, el jugador A afirma que cierto número
x es el límite de una sucesión (x
l1
).
El jugador B refuta esta afirmación dándole al jugador A un valor específico
para
E> O. El jugador A responde a la refutación proponiendo un valor de K tal
que
Ix" -xl < E para toda n > K. Si el jugador A puede encontrar siempre un
valor de
K que funcione, entonces gana, y la sucesión es convergente. Sin
embargo,
si el jugador B puede ofrecer un valor específico de E > O para el que
el jugador A no puede responder adecuadamente, entonces el jugador B gana,
y
se concluye que la sucesión no converge a x.
Para establecer que una sucesión X = (x,,) no converge al número x, basta pro­
ducir un número
EO > O tal que, sin importar cuál sea el número natural K que se
elija, es posible encontrar un número nK particular que satisface nK ¿ K tal que
I X"K -x I ¿ Eo· (Lo anterior se examina con mayor detalle en la sección 3.4.)
3.1.7
Ejemplo La sucesión (O, 2, O, 2, .. " O, 2, ... ) no converge al número O.

80. 31 Sucesiones y sus límites
Si A afim1a que O es el límite de la
cuando el
B le el valor E < 2. Para ser sea que el juga-
dor
B le proponga al jugador A el valor Ea = . Entonces, sin cuál sea el
valor que el A para su respuesta no será porque el juga-
dor
B seleccionando un número par n > K. Entonces el valor corres-
iJV1LIU1~"'''~ es XlI = 2, de tal modo que I XlI -O I = 2 > 1 = Ea. Por el
número
O no es el límite de la sucesión. D
Colas de sucesiones
Es importante entender que la convergencia ( o divergencia) de una sucesión
X =
(x,,) depende únicamente del "comportamiento a la larga" de los términos. Con
esto se quiere decir que si para cualquier número natural
m se omiten los m pri­
meros términos de la sucesión, entonces la sucesión resultante
X
I11 converge si y
sólo si la sucesión Oliginal converge y, en este caso, los límites son iguales. Este
hecho se enunciará formalmente después
de introducir la idea de "cola" de una
sucesión.
3.1.8 Definición
SiX = (X1' Xz, .. " x,?' ... ) es una sucesión de números reales
y si
m es un número natural dado, entonces la coXa-m de X es la sucesión
Por ejemplo, la cola-3 de la sucesión
X = (2,4,6,8, 10, .. " 2n, ... ) es la
sucesiónX
3
= (8, 10, 12, .. " 2n + 6, .. -).
3.1.9 Teorema Sea X = (x
n
:
n E N) una sucesión de números reales y sea
m E N. Entonces la cola-m X
m = (x
m+
n
: n E N) de X converge si y sólo si X con­
verge. En este caso,
lím X
m = lím X.
Demostración. Se observa que para cualquier p E N, el p-ésimo término de x'n
es el (p + 111 )-ésimo término de X Del mismo modo, si q> 111, entonces el q-ésimo
término de
X es el (q -m)-ésimo término de X
m
.
Suponer que X converge a x. Entonces, dada cualquier E> O, si los términos de
X para n ;:o: K( E) satisfacen I X
n
-xl < E, entonces los términos de X,11 para k ;:o:
K( E) -m satisfacen I xk -xl < E. Por tanto, puede tomarse Km (E) = K( E) -In, de
modo que
X,11 también converge a x.
Recíprocamente, si los términos de X
m
para k ;:o: Km (E) satisfacen I xk -xl < E,
entonces los términos de X para n ;:o: K( E) + 111 satisfacen I x
n
-xl < E. En conse­
cuencia, puede tomarse
K(E) = Km (E) + In.
Por lo tanto, X converge a x si y sólo si X,11 converge a x. Q.E.D.
En ocasiones se dirá que una sucesión X posee cierta propiedad a la larga si
alguna cola de
X tiene dicha propiedad. Por ejemplo, se dice que la sucesión (3, 4,
5, 5, 5,
.. " 5, ... ) es "constante a la larga". Por otra parte, la sucesión (3, 5, 3,
5,
.. " 3, 5, ... ) no es constante a la larga. La noción de convergencia puede for­
mularse utilizando esta terminología: una sucesión
X converge a x si y sólo si los

81. Capítulo 3 Sucesiones y series
términos de X están a la en toda vecindad-E de Xo A continuación se presen­
de
"a la tan otros casos de esta TPrmrnnl
adicionales
Al establecer que un número x es el límite de una sucesión con frecuencia
se intenta simplificar
la diferencia I X
n
-
x I antes de considerar una E > O Y
encontrar
una como es requerido por la definición de límite o Se hizo esto
en algunos de los ejemplos anteriores o El resultado siguiente es una formulación
más formal de esta y en los ejemplos que siguen se hace uso de este pro­
cedimientoo
3.1.10
Teorema Sea (x
n
)
una sucesión de números reales y sea x E 1Ft Si (3n)
es una sucesión de números reales positivos con lím(3n) = O Y si para alguna
constante
C > O Y alguna m E N se tiene
I x
n
-xl:::; C3n para toda n ¿ m,
entonces se sigue que lím(x
n
)
= Xo
Demostración. Si E> O está dada, entonces como lím(a
n
) = O se sabe que exis-
te
K = K(EIC) tal que n ¿ K implica que
Se sigue en consecuencia que si tanto
n ¿ K como n ¿ m, entonces
Puesto que
E> O es arbitraria, se concluye que x = lím(x
n
)o
3.1.11 Ejemplos a) Si a > O, entonces lím (_1_) = 00
1 + na
QoEoOo
Puesto que a > O, entonces O < na < 1 + na y, en consecuencia, O < 1/(1 + na) <
l/(na)o Se tiene por tanto
1
1 1 (1)1 ---O < --
1+ na a n
para toda n E No
Puesto que lím(lIn) = O, puede apelarse al teorema 30LIO con e = l/a y m = 1
para inferir que
lím(l/(l + na)) = 00 -
Si O
< b < 1, entonces lím( b
n
)
= O o
Este límite se obtuvo antes
en el ejemplo 30 L6do Se presentará una segunda
demostración que ilustra el uso
de la desigualdad de Bernoulli (véase el ejemplo
20U3c)0
Puesto que O
< b < 1, puede escribirse b = l/(1 + a), donde a := (lIb) -1 de
modo que a > 00 Por la desigualdad de Bernoulli, se tiene (1 + a)11 ¿ 1 + nao Por
consiguiente,

82. 3.1 Sucesiones y sus límites
O<b
n
= ::;--<-.
( 1 + a ) n 1 + na na
por el teorema 3.1.10 se concluye que = O.
En particular, si b = 0.8, de tal modo que a = 0.25, y si se da s = 0.01, entonces
la desigualdad precedente da como resultado K(s)
= 4/(0.01) = 400. Al comparar
este resultado con el obtenido
en el ejemplo 3.1.6d, donde K = 25, se observa que
este método de estimación
no produce el "mejor" valor de K. Sin embargo, cuando
el propósito es establecer el límite, la magnitud de K no es relevante.
e) Si e
> O, entonces lím(e
J
/n
)
= 1.
El caso e = 1 es trivial, ya que entonces (e
l
/n
)
es la sucesión constante (1, 1, .. '),
la cual evidentemente converge a
l.
Si e > 1, entonces e
lln
= 1 + d
n para alguna d
n > O. En consecuencia, por la
desigualdad de Bernoulli 2.1.13c,
para n E N.
Se tiene por tanto e -1 ~ nd
m
de modo que d
n :::; (e -l)1n. Por consiguiente, se
tiene
para n EN.
Se apela ahora al teorema 3.1.10 para inferir que lím( e
lln
) = 1 cuando e > 1.
Suponer ahora que O < e < 1; entonces e
lln
= 1/(1 + h
n
) para alguna h
n > O.
En consecuencia, la desigualdad de Bernoulli implica que
1 1 1
e= ::;---<--
(1+h
n
)n
l+nh
n
nh
n
'
de donde se sigue que O < h
n < l/ne para n E N. Se tiene por tanto
O<I-e
lll1 =~<h <-
11
1 + h
n
ne
de modo que
lelln-ll«~); para nEN.
Se aplica ahora el teorema 3.1.10 para inferir que lím(e
1
/n
)
= 1 cuando O < e < 1.
lím(n
lln
) = l.
Puesto que nl/n > 1 para n > 1, puede escribirse nl/n = 1 + k
n para alguna k
n >
O cuando n > 1. Por consiguiente, n = (l + knY para n > 1. Por el teorema del bino­
mio, si
n > 1 se tiene
n = 1 + nkn +-!n(n -l)k; + ... ;;, 1 +-!n(n -l)k;,
de donde se sigue que

83. Capítulo 3 Sucesiones y series
Por consiguiente, k~ ::;: 2/n para n > l. Si E > O está de la propiedad de
Arquímedes se sigue que existe un número natural N
E tal que 2/N
E < E
2 Se sigue
que
si n ¿ sup{2, N
E
}, entonces 2/n < E
2
, de donde
0< n
1
/
11
-1 = k
n
::;: (2/n)1/2 < E.
Puesto que E> O es arbitraria, se deduce que lím(n
1
/11
) = 1. o
de la sección 3.1
1. La sucesión (x
n
)
se define por las siguientes fórmulas para el n-ésimo término. Escribir
los cinco primeros términos
en cada caso:
a) x
n:=l+(-l)n,
1
c) x
n:=---,
n(n+1)
b) x
n:= (-l)"ln,
1
d) X'=-­
. n2 +2'
2. Se presentan abajo los primeros términos de una sucesión (x
n
). Suponiendo que el
"patrón natural" indicado por estos ténninos persiste, dar una fórmula para el n-ésimo
ténnino X
w
a) 5,7,9,11,"',
c) 1/2,2/3,3/4,4/5,"',
b) 1/2, -1/4, 118, -1/16, .. "
d)
1,4,9, 16, ....
3. Enumerar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas inductiva­
mente.
a) xI:= 1, Xn+1 = 3xn + 1,
b) YI:= 2, Yn+l = t (Yn + 2IYn)'
c) zl:= 1,
d) sl:= 3,
Z2 := 2, zn+2:= (zn+1 + zn)/(Zn+1 -zn),
s2 := 5, sn+2:= S11 + sn+l'
4. Para cualquier b E lE., demostrar que lím(b/n) = O.
5. Usar la definición del límite de una sucesión para establecer los siguientes límites.
ay lím --=0,
. / ( n )
n
2
+1
01im( 3n+1) =~,
211+5 2
6. Demostrar que
b)
lím(~) =2,
11+1
d) lím( ~\ = 1
\.2n
2
+3) 2
.. h) lim(~) =2,
/ n+2
d) lím( n =0.
11
2
+1

84. 3..2 Teoremas de límites
Sea X
Il := 1/1n(n + 1) para n E N.
a) Usar la definición de límite para demostrar que lím(x
ll
) = O.
b ) Encontrar un valor específico de K( E) como se requiere en la definición de límite
para (i) E = 1/2 Y (ii) E = 1/10.
8. Demostrar que lím(x
n
) = O si y sólo si lím( I X
n 1) = O. Dar un ejemplo que muestre que
-. la convergencia de ( I xlll) no implica la convergencia de (x
n
)·
9 .. Demostrar que si x
n
¿ O para toda n E N Y lím(x
n
) = O, entonces lím(~) = O.
10. Demostrar que si lím(x
n
) = x y si x > O, entonces existe un número natural M tal que
X
Il > O para toda n ¿ M.
11. Demostrar que lím (.!. __ 1_) = o.
,n n + 1
12. Demostrar que lím(l/3
1l
)
= o.
13. Sea b E IR que satisface O < b < 1. Demostrar que lím(nb
n
)
= O. [Sugerencia: el
teorema del
binomio como en el ejemplo 3.1.11d.]
14.
Demostrar que lím«2n)1/n) = 1.
15. Demostrar que lím(n
2
/n!) = O.
16. Demostrar que lím(2
n
/n!)
= O. [Sugerencia: si n ¿ 3, entonces O < 2
n
/n! ~ 2(1)n-2]
17. Si lím(x
n
)
= x > O, demostrar que existe un número natural K tal que si n ¿ K, entonces
tx <xn < 2x.
En esta sección se obtienen algunos resultados que permitirán evaluar los límites
de ciertas sucesiones de números reales. Estos resultados ampliarán de manera
considerable la colección de sucesiones convergentes. Se empieza estableciendo
una importante propiedad de las sucesiones convergentes que se necesitarán aquí
y en secciones subsecuentes.
3.2.1 Definición Se dice que una sucesión
X = (xn)
de números reales está aco­
tada si existe un número real M> O tal que I x
n I s M para toda n EN.
Así, la sucesión (x
n
)
está acotada si y sólo si el conjunto {x
n
: n E N} de sus
valores es
un subconjunto acotado de IR..
3.2.2 Teorema Una sucesión convergente de números reales está acotada.

85. Capítulo 3 Sucesiones y series
Demostración, que = x y sea E : = l. Entonces existe un
número natural K = tal que I X
n
-xl < 1 para toda n ;:.:: K. Si se aplica la
desigualdad del triángulo con
n ;:.:: K, se obtiene
Si se hace
se sigue entonces que
IX
n I :s:; M para toda n E N. Q.E.D.
Se examina ahora la fonna en que el proceso del límite interactúa con las ope­
raciones de adición, sustracción, multiplicación y división de sucesiones. Si
X =
(x
n
) y Y = (Jin) son sucesiones de números reales, entonces se define su suma como
la sucesión X
+ Y:= (xn + Jin)' su diferencia como la sucesión X-Y:= (xn -Jin)
y su como la sucesión X· Y:= (x,,}'n)' Si c E IR, se define el de
X por c como la sucesión
cX := (cx
n
). Por último, si Z = (z71) es una sucesión
de números reales con
zn ;é ° para toda n E N, entonces se define el cociente de X
y Z como la sucesión X/Z := (xizn)'
Por ejemplo, si X y Y son las sucesiones
X:= (2,4,6,··2n,. .. ), Y'= (! ~ ~ ... ~ ... )
. l' 2' 3' , n' ,
se tiene entonces
X+Y=
(3 9 19 2n
2
+1
~ 1'2'3'''' n
X-Y=
( 1 7 17 2n
2
-1
~ 1'2'3'''' n
X·y = (2,2,2,,",2,"'),
3X = (6,12,18,. .. ,6n,. .. ),
X/Y = (2,8,18, .. ·,2n
2
,
... ).
Cabe señalar que si Z es la sucesión

," ')'

,,')'
Z: = (O, 2, 0, .. " 1 + (_1)71, ... ),
entonces pueden definirse X + Z, X - Z y X . Z, pero X/Z no está definida ya que
algunos de los términos de Z son cero.
Se demuestra a continuación que las sucesiones obtenidas mediante la aplica­
ción de estas operaciones a sucesiones convergentes dan lugar a nuevas sucesio­
nes cuyos límites pueden predecirse.
3.2.3
Teorema a) Sean X = (x
n
)
Ji Y = (Yn) sucesiones de números reales que
convergen a x
Ji y, respectivamente, Ji sea c E IR. Entonces las sucesiones X + Y,
X -Y, X . Y Ji cX convergen a x + y, x -: y, xy Ji cx, respectivamente.

86. 32 Teoremas de límites
Si X = converge a x y Z = (ZI1) es una sucesión de números reales dife-
rentes de cero
que converge a z y si z '" 0, entonces la sucesión cociente XJZ con­
verge a
x/z.
a) Para demostrar que
lím(.:\:n + Yn) = x + y es necesario esti-
mar la magnitud de [ + Yn) -(x + y) [. Para ello, se usa la del trián-
gulo 2.2.3 para obtener
[(xlJ+Yn)-(X+Y)[ = [x
l1-x[ + [Yn-Y[
::;; [xn-x[ + [Yn-Y[·
Por hipótesis, si E> 0, existe un número natural K¡ tal que si n ;:: K¡, entonces
[x
n
-
x [ < El2; asimismo, existe un número natural K
2
tal que si n ;:: Kb enton­
ces
[Yn -y [ < E/2. En consecuencia, si K(E) := sup{K¡, Kú, se sigue que si
n ;:: K( E), entonces
[(X
I1+Yn)-(X+Y)[::;; [Xn x[ + [Yn-Y[
<tE+tE= E.
Puesto que E> ° es arbitraria, se infiere que X + Y (Xn + Yn) converge a x + y.
Puede usarse exactamente el mismo razonamiento para demostrar que X-Y =
(x
n
-
Yn) converge a x-y.
Para demostrar que X· Y = (xnYn) converge a xy, se hace la estimación
[XnYn -xy [ [(xnYn -xny) + (xnY -xy) [
::;; [xn(Yn-Y)[ + [(xn-x)y[
= [xn[[Yn-Y[ + [xn-x[[y[.
De acuerdo con el teorema 3.2.2, existe un número real M¡ > ° tal que [x
n
[
::;;
M¡ para toda n E N Y se hace M:= sup{M¡, [y [ }. En consecuencia, se tiene la
estimación
De la convergencia de X y Y se concluye que si está dada E > O, entonces existen
los números naturales
K¡ y K
2
tales que si n ;:: K¡, entonces [x
n
-
x [ < E/2M, Y si
n ;:: K
2
,
entonces [Yn -y [ < E/2M. Se hace ahora K(E) = sup{K¡, K
2
}; entonces,
si
n ;:: K(E) se infiere que
[xnYn -xy[ ::;; M[Yn y[ + M[xn -xl
< M( E/2M) + M( E/2M) = E.
Puesto que E> O es arbitraria, se ha demostrado que la sucesiónX· Y = (XnYn) con­
verge a
xy.
El hecho de que cX = (cx
n
) converge a cx puede demostrarse de la misma mane­
ra; también puede deducirse tomando Y como la sucesión constante
Cc, c, c, .. -).
Se le dejan los detalles al lector.

87. Capítulo 3 Sucesiones y series
Se demuestra a continuación que si es una sucesión de números
reales diferentes de cero que converge a
un límite Z diferente de cero, entonces
la sucesión
(l/zn) de los recíprocos converge a l/z. Primero se hace OC := ± 1 Z 1,
de tal modo que oc> O. Puesto que lím(zn) = z, existe un número natural K] tal
que si
n ¿; K], entonces 1 zn ~ Z 1 < oc. Del corolario 2.2.4a de la desigualdad del
triángulo se sigue que
-oc ~ -1 Zn - Z 1 ~ 1 Zn 1 -1 Z 1 para n ¿; de donde se
sigue que
± 1 Z 1 = 1 Z 1 - OC ~ 1 zn 1 para n ¿; K]. Por lo tanto, 1/ 1 zn 1 ~ 211 Z 1 para
n ¿; K], por lo que se tiene la estimación
para toda
n ¿; K
1
.
Ahora bien, si está dada 8> O, existe un número natural K
2 tal que si n ¿; Kz, enton­
ces
1 Zn -zl < t 81 Z 1
2
.
Por lo tanto, se sigue que si K(8) = sup{K¡, K
2
}, entonces
I
J..--~ I < 8 para toda n > K(8).
zn Z
Puesto que 8 > O es arbitraria, se sigue que
lím
(J..-) = ~ .
zn Z
Se completa ahora la demostración del inciso b) tomando Y como la sucesión
(l/zn) y utilizando el hecho de que x· Y = (xizn) converge a x(1/z) = xlz. Q.E.D.
Algunos de los resultados del teorema 3.2.3 pueden extenderse, por induc­
ción matemática, a un número finito de sucesiones convergentes. Por ejemplo,
si
A = Can)' B (b n),"', Z = (z¡¡) son sucesiones convergentes de números
reales, entonces su suma
A + B + ... + Z = Can + b
n + ... + zn) es una suce­
sión convergente
y
También su producto A . B ... Z := (anb¡¡ ... zn) es una sucesión convergente y
(2)
En consecuencia,
si k E N Y si A = Can) es una sucesión convergente, entonces
(3)
Se le deja al lector la demostración de estas afirmaciones.
3.2.4
Teorema Si X = (x
n
)
es una sucesión convergente de números reales y
si x
n
¿; O para toda n E N, entonces x = lím(x
n
)
¿; O.

88. 3.2 Teoremas de límites
Demostración.
ces E:= -x es
que
UC'f.'vm.,Á que la conclusión no es verdadera y que x < O; enton­
Puesto que
X converge a x, existe un número natural K tal
x -E< x
n < x + E para toda n 2. K.
En particular, se tiene XK < x + E = x + (-x) = O. Pero esto contradice la hipótesis
de que
X
n 2. O para toda n E N. Por lo tanto, esta contradicción implica que x 2. O.
Q.E.D.
Se presenta a continuación un útil resultado que es formalmente más sólido
que el teorema
3.2.4.
3.2.5
Teorema Si X = (Xn) y Y = (Yn) son sucesiones convergentes de números
reales
y si xn:S: Ynpara toda n E N, entonces lím(xn) :S: lím(Yn).
Demostración. Sea zn := y" - Xn de tal modo que Z := (zn) = Y -X Y Zn O
para toda n E N. De los teoremas 3.2.4 y 3.2.3 se sigue que
O :S: lím Z = lím(yn) - lím(x
n ),
Q.E.D.
El resultado siguiente afirma que si todos los términos de una sucesión con­
vergente satisfacen una desigualdad de la forma
a :S: x
n
:S: b, entonces el límite de
la sucesión satisface la misma desigualdad. Por consiguiente, si la sucesión es con­
vergente; es posible "pasar al límite" en una desigualdad de este tipo.
3.2.6 Teorema Si X = (x
n
) es una sucesión convergente y si a :S: X
n
::;; b para toda
n E N, entonces a :S: lím(x
n
) :S: b.
Demostración. Sea Y la sucesión constante (b, b, b, .. -). El teorema 3.2.5
implica que lím X :S: lím Y = b. El hecho de que a :S: lím X se demuestra del mismo
modo.
Q.E.D.
El siguiente resultado establece que si una sucesión Yestá "comprimida" entre
dos sucesiones que convergen
al mismo límite, entonces debe converger a dicho
límite.
3.2.7 Teorema de compresión Suponer que X = (xn), y = (Yn) y Z = (zJ son
sucesiones de números reales tales que
para toda n E N,
y que lím(xn) = lím(zn). Entonces Y = (Yn) es convergente y

89. Capítulo 3 Sucesiones y sel-ies
Demostración. Sea w:= Si E> O está entonces de la
convergencia de X y Z a w se sigue que existe un número natural K tal que si n ¿
K, entonces
y
Puesto que la hipótesis implica que
para toda n E N,
se sigue (¿por qué?) que
-E<y,,-W < E
para toda n ¿ K. Puesto que E> O es arbitraria, esto implica que lím(yn) = w.
Q.E.D.
Observación Puesto que cualquier cola de una sucesión convergente tiene el
mismo límite, es posible hacer menos rigurosas las hipótesis de los teoremas 3.2.4,
3.2.5,3.2.6 Y 3.2.7 a fin de aplicarlos a la cola de lilla sucesión. Por ejemplo, si en
el teorema 3.2.4
X = (x,,) es "positiva a la larga" en el sentido de que existe 111 E
N tal que X
I1
¿ O para toda n ¿ 111, entonces se cumplirá la misma conclusión de que
x
¿ O. Modificaciones similares son válidas para los demás teoremas, como el lec­
tor deberá comprobar.
3.2.8 Ejemplos a) La sucesión (n) es divergente.
Del teorema 3.2.2 se sigue
que si la sucesión X:= (n) es convergente, enton­
ces existe lill número real
M> O tal que n = 1 n 1 < M para toda n E N. Pero esto
contradice
la propiedad de Arquímedes 2.4.3.
b) La sucesión ((_1)11) es divergente.
Esta sucesión
X = ((-1)11) está acotada (tomar M:= 1), por lo que no se puede
apelar al teorema 3.2.2. Sin embargo, suponer que existe a := lím X. Sea E := 1
de tal modo que existe un número natural K
1
tal que
I(-l)-al < 1 para toda n ¿ K).
Si n es un número natural impar con n ¿ K), se obtiene 1-1 -al < 1, de donde
-2 < a < O. (¿Por qué?) Por otra parte, si n es un número natural par con n ¿ K
1
,
de esta desigualdad se obtiene 11 -al < 1, de donde O < a < 2. Puesto que a no
puede satisfacer ambas desigualdades, la hipótesis de que
X es convergente lleva
a
una contradicción. Por lo tanto, la sucesión X es divergente.
e)
lím( 2n
n
+ 1) = 2.
Si se hace
X:= (2) y Y:= (l/n), entonces ((2n + l)/n) = X + Y. Así, del teo­
rema 3 .2.3a se sigue que lím(X + Y) = lím X + lím Y = 2 + O = 2.
lím(2n+l) =2.
n+5

90. 3.2 Teoremas de límites
Puesto que las sucesiones + 1) Y (n + 5) no son
no es usar directamente el teorema 3.2.3b. Sin
211 + 1 2 + 1/n
n+5 1+5/n
la sucesión dada obtenerse en una forma en que el teorema 3.2.3b
aplicarse cuando se
haceX:= (2 + 1/n) y Z:= (1 + que se satis­
facen todas las hipótesis.) Puesto que lím
X = 2 Y lím Z = 1 '" O, se deduce que
lím((2n
+ 1)/(n + 5)) = 2/1 = 2.
e) lím(~) =0.
n
2
+
No se puede aplicar directamente
el teorema 3.2.3b. (¿Por qué?) Se observa que
2n 2
n
2 + 1 n + 1/n'
pero el teorema 3.2.3b tampoco se aplica en este caso, porque (n +
sucesión convergente. (¿Por qué no?) Sin embargo, si se escribe
2n 2/n
n 2 + 1 1 + 1/n 2 '
no es una
entonces se puede aplicar el teorema 3.2.3b,
ya que lím(2/n) = O Y lím(1 + l/n
2
)
1 '" O. Por lo tanto, lím(2n/(n
2
+ 1)) = 0/1 = O.
1) lím ( se: n ) = O.
No se puede aplicar el teorema 3.2.3b, ya que la sucesión (n) no es conver­
gente [como tampoco
10 es la sucesión (sen n)]. No parece ser el caso que una
manipulación algebraica simple permita reducir la sucesión a
una forma en que
se aplique el teorema 3.2.3. Sin embargo, si se observa que
-1 :<::; sen n :<::; 1,
entonces se sigue que
1 sen n 1
--:<::;--:<::;-
n n n
para toda n EN.
En consecuencia, puede aplicarse el teorema de compresión 3.2.7 para inferir que
lím(n-
1
sen n) = O. (Cabe mencionar que también pudo haberse aplicado el teore­
ma 3.1.10 a esta sucesión.)
g) Sea
X = (x
n
)
una sucesión de números reales que converge a x E IR. Sea p un
polinomio; por ejemplo, sea
donde
k E N Y aj E IR;. para} = O, 1, ... , k. Del teorema 3.2.3 se sigue que la secuen­
cia
(P(xn») converge a p(x). Los detalles se le dejan al lector como ejercicio.
h) Sea
X = (x
n
)
una sucesión de números reales que converja a x E IR. Sea runa
función racional (es decir, r(t) := p(t)/q(t), donde p y q son polinomios). Suponer
que
q(xn) '" O para toda n E N y que q(x) '" O. Entonces la sucesión (r(xn)) conver­
ge a
r(x) = p(x)/q(x). Les detalles se le dejan al lector como ejercicio. D

91. Capítulo 3 Sucesiones y series
Se esta sección con varios resultados que serán de utilidad en la
exposición que sigue.
3.2.9
Teorema Sea que la sucesión X = (x
n
)
converja a x. Entonces la sucesión
(1 x
n 1) de los valores absolutos converge a I x l. Es decir, si x = lím(x
n
), entonces
Ixl lím( I xn 1)·
Demostración.
sIgue que
De la desigualdad del triángulo (véase el corolario 2.2.4a) se
para toda
n E N.
La convergencia de (1 x
n 1) a Ixl es entonces una consecuencia inmediata de la
convergencia de
(;'(n) a x. Q.E.D.
3.2.10 Teorema Sea X = (xn) una sucesión de números reales que converge a
xy suponer que x
n
2 O. Entonces la sucesión (Ji;;) de las raíces cuadradas posi­
tivas converge y
lím(~) = '>/X.
Demostración. Del teorema 3.2.4 se sigue que x = lím(x
n
)
2 O, por lo que la
afirmación tiene sentido. Se consideran ahora dos sasos: (i)
x = O Y (ii) x> O.
Caso (i): Si x = O, sea E> O dada. Puesto que x
n
---¿ O, existe un número natu­
ral
K tal que si n 2 K, entonces
O s:; x
n
= x
n
-
O < i2.
Por lo tanto [véase el ejemplo 2.1.13a], O s:; -Yx;; < E para n 2 K. Puesto que E> O
es arbitraria, esto implica que
-Yx;; ---¿ O.
Caso (ii): Si x > O, entonces -Ix > O Y se observa que
La convergencia de
-Yx;; ---¿ -Ix se sigue del hecho de que X
n
---¿ X. Q.E.D.
Para ciertos tipos de sucesiones, el siguiente resultado proporciona un "crite­
rio del cociente" de convergencia rápido y sencillo. En los ejercicios pueden
encontrarse resultados relacionados.
3.2.11
Teorema Sea (x
n
)
una sucesión de números reales positivos tal que L :=
lím(x
n + ¡/x
n
) existe. Si L < 1, entonces (x
n
) converge y lím(x
n
) = O.

92. 3.2 Teoremas de límites
Demostración. Del teorema 3.2.4 se sigue que L 2 O. Sea r un número tal que
L < r < 1, Y sea E := r -L > O. Existe un número K E N tal que si n 2 entonces
I~-LI<E.
I x
l1
De esto se sigue (¿por qué?) que si n 2 K, entonces
XI1+1
--<L+E=L+(r-L)=r.
x
l1
Por lo tanto, si n 2 K, se obtiene
Si se hace
C := XI/rl(, se observa que O < X
n+1 < C,.n+l para toda n 2 K. Puesto
que
O < r < 1, de 3.1.11 b se sigue que lím(rl1) = ° y, por lo tanto, por el teorema
3.1.10, lím(x
n
) = O. Q.E.D.
Como una ilustración de la utilidad del teorema precedente, considerar la
sucesión
(x
n
) dada por X
n := n/2
11
• Se tiene
x
n
+1 = n+l '~=~(l+~),
x
n
2n+1 n 2 n
de modo que
lím(xn+l/xn) = t. Puesto que t < 1, del teorema 3.2.11 se sigue que
lím(n/2
11
) = O.
Ejercicios de la sección 3.2
1. Para x
n
dada por las siguientes fórmulas, establecer la convergencia o divergencia de la
sucesión X
= (x
n
).
a)
n
b) (-l)nn
x
n:=--, x
n:=---,
n + l n +1
c)
n
2
d)
2n
2
+3
x
n
:=--, x
n:=---·
n +1 n
2
+ 1
2. Dar un ejemplo de dos sucesiones divergentes X y Y tales que:
a) su suma X
+ Y converja, b) su producto XY converj a.
3. Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X y X + Y son convergentes, entonces
Yes convergente.
4. Demostrar que si
X y Y son sucesiones tales que X converge a x .. O Y XY converge,
entonces Y converge.
5. Demostrar que las siguientes sucesiones no son convergentes.
a) (2/)

93. 84 Capítulo 3 Sucesiones y series
6. Encontrar los límites de las siguientes sucesiones:
a)
lím( (2 + 11 n)2 ), b)
,
(( _1)11
hm~-),
n+2
c)
r ({;;-1
lm~ {;; + ¡) ,
d)
r (n+l
lm~n{;;)'
7. Si (b,,) es una sucesión acotada y lím(a
n
) = 0, demostrar que lím(a"b/1) = O. Explicar
por qué no puede aplicarse el teorema 3.2.3.
8. Explicar
por qué el resultado en la ecuación (3) que está antes del teorema 3.2.4 no
puede
usarse para evaluar el límite de la sucesión ((1 + 1/n)/1).
9. SeaYn := -.Jn+ 1 --{¡¡ para n E N. Demostrar que (Yn) y (-{¡¡Y/1) convergen. Encontrar
sus límites.
lO. Determinar los siguientes límites.
b) lím((n
+ 1)I/lnCn+1J).
( an+l +bn+1
11. Si ° < a < b, detenninarlím I ).
a" +b
n
12. Si a > 0, b> 0, demostrar que lím~(n + a)(n + b) -n) = (a + b)/2.
13. Usar el teorema de compresión 3.2.7 para determinar los límites de las siguientes suce­
SlOnes.
a) (n 1//12), b) ((nl)I//1
2
).
14. Demostrar que si Z/1 := (a
n + b
n
)l/n, donde ° < a < b, entonces lím(z/1) = b.
15. Aplicar el teorema 3.2.11 a las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen ° < a < 1,
b> 1.
a) (a
n
),
c) (nlb/1),
b) (b/112/1),
d) (23/1/3
2/1).
16. a) Proporcionar un ejemplo de una sucesión convergente (X/1) de números positivos
con
lím(xn+llxn) = 1.
b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente con esta propiedad. (Por tanto, esta pro­
piedad no puede usarse
como criterio de convergencia.)
17. Sea
X = (X/1) una sucesión de números reales positivos tales que lím(x
n
+ l/x,,) = L > 1.
Demostrar que X es una sucesión no acotada y, por consiguiente, que no es convergente.

94. 3.3 Sucesiones monótonas
18. Discutir la convergencia de las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen O < a < 1,
b> 1.
a) (n
2
a"),
e)
(bllln!),
b) (b"ln
2
),
d) (n !/n").
19. Sea (x,,) una sucesión de números reales positivos tales que lím(x;/") = L < 1.
Demostrar que existe un número r con O < r < 1 tal que O < X
n < r" para toda n E N lo
suficientemente grande.
Usar este resultado para demostrar que lím(x
n
) = O.
20. a) Dar un ejemplo de una sucesión convergente (xn) de números positivos con
lím(x;/") = l.
b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente (x
n
) de números positivos lím(xh/
n
)
= 1.
(Por tanto, esta propiedad no puede usarse como criterio de convergencia.)
21. Suponer que
(x,,) es una sucesión convergente y que (Yn) es tal que para cualquier E>
O existe M tal que I Xn -Yn I < E para toda n :2: M. ¿Se infiere que (y,,) es convergente?
22. Demostrar que si
(x
n
) y (Yn) son sucesiones convergentes, entonces las sucesiones (u,,)
y (vn) definidas por u
n:= máx{xI1'Yn} yvn:= mín{xl1'Yn} también son convergentes.
(Véase el ejercicio 2.2.16.)
23. Demostrar que si
(x
n), (yn), (zn) son sucesiones convergentes, entonces la sucesión (wn)
definida por w
n := med{xl1' YIl' z,,} también es convergente. (Véase el ejercicio 2.2.17.)
Hasta este punto, se han obtenido varios métodos para demostrar que una sucesión
X = (x
n
) de números reales es convergente:
(i) Puede usarse directamente la definición 3.1.3 o el teorema 3.1.5,
lo cual con
frecuencia (pero no siempre) resulta dificil
de hacer.
(ii) Se puede dominar
I x
n
-
x I con un múltiplo de los términos de tilla sucesión
(a
n
) cuya convergencia a O sea conocida para aplicar después el teorema
3.1.10.
(iii) Se puede identificar
X como una sucesión obtenida a partir de otras sucesiones
cuya convergencia sea conocida tomando colas, combinaciones algebraicas, valo­
res absolutos o raíces cuadradas y aplicando los teoremas 3.1.9, 3.2.3, 3.2.9 o
3.2.10.
(iv) Puede "comprimirse"
X entre dos sucesiones que convergen al mismo límite
y usar el teorema 3.2.7.
(v) Puede usarse el "criterio del cociente" del teorema 3.2.11.
Salvo por (iii), todos estos métodos requieren que
se sepa de antemano el valor del
límite
(o al menos que se tenga una conjetura del mismo) para después compro­
bar que es correcto.
Sin embargo,
hay muchos casos en que no se cuenta con un posible valor evi­
dente para el límite
de una sucesión, aun cuando un análisis preliminar sugiera que

95. 86 Capítulo 3 Sucesiones y series
la es En la sección y en las do.s se esta­
blecerán resultado.s que pueden usarse
para demo.strar que una sucesión es co.nver­
gente aun cuando.
no. se co.nozca el valor del límite. El método. que se introduce en
esta sección es de alcance más restringido. que
lo.s méto.do.s que se en las
dos secciones siguientes, pero su aplicación es mucho más sencilla. Se aplica a
sucesio.nes que
so.n mo.nóto.nasen el sentido. siguiente.
3.3.1 Definición Sea X = (x
l1
) una sucesión de números reales. Se dice que X es
creciente si satisface las desigualdades
Se dice que
X es decreciente si satisface las desigualdades
Se dice que
X es monótona si es creciente o decreciente.
Las siguientes sucesio.nes
so.n crecientes:
(1,
2, 3, 4, ... , n, ... ),
(a, a
2
,
a
3
,
... , a
l1
; .. ),
(1,2,2,3,3,3," '1
si a> l.
Las siguientes sucesio.nes so.n decrecientes:
(1,1/2,1/3, ... , 1/n, ... ),
(b, b
2
,
b
3
,
... ,b
l1
; .. ),
(1,1/2,1/2
2
,
... , 1/211-1, ... ),
SI 0< b < 1.
Las siguientes sucesio.nes no son monóto.nas:
(+1,-1, +1,"', (-1)11+1," .), (-1, +2, -3, ... , (-I)l1n, .. J
Las siguientes sucesio.nes no so.n monóto.nas, pero lo. son "a la larga":
(7, 6, 2, 1,2, 3,4, ... ), (-2, O, 1, 1/2, 1/3, 1/4, .. -).
3.3.2 Teorema de convergencia monótona Una sucesión monótona de núme­
ros reales
es convergente si y sólo si está acotada. Además:
a) Si X = (x
n
)
es una sucesión creciente acotada, entonces
lím(x
l1
) = sup{x
n
: n E N}.
b) Si Y = (y n) es una sucesión decreciente acotada, entonces
Demostración.
estar acotada.
lím(Yl1) = ínf{Yn : n E N}.
En el teo.rema 3.2.2 se vio que una sucesión co.nvergente debe
Recíprocamente, sea
X una sucesión monótona aco.tada. Ento.nces o. X es cre­
ciente
o. es decreciente.

96. 3.3 Sucesiones monótonas 87
a) Se trata el caso en que X = (x
n
) es una sucesión creciente acotada.
Puesto que
X está existe un número real M tal que x
n
:::; M para toda
n E N. De conformidad con la de completez 2.3 el supremo x* =
sup{x
n
:
n E N} existe en lR; se demostrará que x* = lím(x
n
).
Si E> O está dada, entonces x* -E no es tilla cota superior del conjunto {X
n
:
n E N} y, por consiguiente, existe un miembro del conjunto xK tal que x* - E < Xl(.
El hecho de que X es una sucesión creciente implica que xl(:::; x
l1
siempre que 11 ;::: K,
de donde
X* -E < xk :::; x
n
:::; x* < x* + E para toda n;::: K.
Se tiene, por lo tanto,
para toda
n;::: K.
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye que (x
n
) converge a X*.
b) Si Y = (Yn) es una sucesión decreciente acotada, entonces resulta claro que
X: = -y = (-Yn) es una sucesión creciente acotada. En el inciso a) se demostró que
lím
X = sup{ -Y
n
:
n E N}. Ahora bien, lím X = -lím Y y, por el ejercicio 2.4.4b,
se tiene también
sUP{--Yn : n E N} = -ínf{Yn : n E N}.
Por lo tanto, lím Y = -lím X = ínf{Yn : n E N}. Q.E.D.
El teorema de convergencia monótona establece la existencia del límite de una
sucesión monótona acotada. Ofrece asimismo una manera de calcular el límite
de
la sucesión siempre que pueda evaluarse el supremo en el caso a) o el ínfimo en el
caso b). En ocasiones resulta difícil evaluar este supremo
(o ínfimo), pero una vez
que se sabe que existe, muchas veces
es posible poder evaluar el límite por otros
métodos.
3.3.3 a) lím(l/v'n) = O.
Esta sucesión puede abordarse aplicando el teorema 3.2.10; sin embargo, se'
usará el teorema de convergencia monótona. Es evidente que O es una cota infe­
rior del conjunto
{1/W1 : n E N} y no es difícil demostrar que O es el Ínfimo del
conjunto {l/W1 :
n E N}; en consecuencia, O = lím(l/W1).
Por otra parte, una vez que se sabe que
X:= (l/W1) está acotada y es decre­
ciente, se sabe que converge a algún número real
x. Puesto que X = (l/W1) conver­
ge a
X, del teorema 3.2.3 se sigue que X . X = (l/n) converge a.xl. Por tanto, x
2
= O,
de donde x = O.
b) Seax
n
:= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n para n E N.
Puesto que
x
n+ 1 = xn + 1/(n + 1) > xm se observa que (x
n
) es una sucesión cre­
ciente. Por el teorema
de convergencia monótona 3.3.2, la cuestión de si la sucesión
es convergente o no se reduce a determinar si la sucesión está acotada o no. Los
intentos por usar cálculos numéricos directos para llegar a una conjetura respecto
del posible carácter acotado de la sucesión
(xn) desembocan en una frustrante situa-

97. Capítulo 3 Sucesiones y series
ción sin resultados concluyentes. Una computadora revelará los valores aproxima­
dos
X
I1
'" 11.4 para n = 50 000 y x¡¡ '" 12.1 para n 100 0'00. Estos hechos nmnéri­
cos podrían llevar al observador bisoño a concluir que la sucesión está acotada. Sin
embargo, la sucesión es en realidad divergente, lo cual se establece al advertir que
X2" =1+~+(~+~)+ ... +( 1 + ... +_1_)
2 34 2
11
-1+1 2n
>1+~+(~+~) + ... +(_1 + ... +_1 )
2 4 4 2
n 2
n
1 1 1
=1+-+-+···+-
2 2 2
= 1+!::..
2
Puesto que (x
n
)
no está acotada, el teorema 3.2.2 implica que es divergente.
Los
ténninos x
n
se incrementan con extrema lentitud. Por ejemplo, puede
demostrarse que alcanzar
un valor de x
n
> 50 implicarla aproximadamente 5.2 x
10
21
adiciones, y una computadora nonnal que realizara 400 millones de adicio­
nes
por segundo requeriría más de 400 000 años para poder realizar el cálculo (hay
31 536 000 segundos en un año). Incluso una supercomputadora que puede reali­
zar más de
un billón de adiciones por segundo requerirla más de 164 años para
alcanzar esa modesta meta. O
Las sucesiones que están definidas inductivamente deben tratarse de manera
diferente. Si se sabe que
una sucesión converge, entonces el valor del límite puede
detenninarse
en ocasiones utilizando la relación inductiva.
Por ejemplo, suponer que se
ha establecido la convergencia de la sucesión (x
n
)
definida por
Xl =2,
1
Xn+l =2+-,
X
n
nEN.
Así, si se hace X = lím(xn), entonces se tiene también X = lím(xn+l)' ya que la
cola-l (xn+l) converge al mismo límite. Además, se observa que x
n;:::: 2, de modo
que X '" O Y xn '" O para toda n E N. Por lo tanto, pueden aplicarse los teoremas de
límites
para sucesiones para obtener
x=lím(x
n
+I)=2+ 1 =2+~.
lím(x
n
)
x
Así, el límite x es una solución de la ecuación cuadrática x
2
-
2x -1 = O, y como
. x debe ser positiva, se encuentra que el límite de la sucesión es x = 1 + -v2.
Desde luego, la cuestión de la convergencia no debe pasarse por alto o supo­
nerse a
la ligera. Por ejemplo, si se supusiera que la sucesión (Yn) definida por
YI := 1, Yn+l := 2Yn + 1 es convergente con límite y, entonces se obtendría así
y = 2y + 1, de modo que y = -1. Desde luego, esto es absurdo.
En los ejemplos siguientes se emplea este método para evaluar límites, pero
sólo después de establecer con todo cuidado la convergencia mediante
la aplica­
ción del teorema de convergencia monótona.
En la sección 3.5 se presentan ejem­
plos adicionales de este tipo.

98. 3.3 Sucesiones monótonas
3.3.4 Ejemplos a) Sea que Y = (Yn) esté definida inductivamente por Y1 := 1,
Yn+1 := * (2YI1 + 3) para n ¿ 1. Se demostrará que lím.Y = 3/2.
Realizando cálculos directos
se establece que Y2 = 5/4. Se tiene en consecuencia
Y1 < Y2 < 2. Se demuestra, por inducción matemática, que )in < 2 para toda n E N. De
hecho, esto
se cumple para n = 1, 2. Si Yk < 2 se cumple para algl.ma k E N, enton­
ces
Yk+l =1.(2Yk +3)<1.(4+3)=1<2,
4 4 4
de modo que Yk+ 1 < 2. Por lo tanto, Y
n < 2 para toda n E N.
Se demuestra ahora, por inducción matemática, que Yn < Yn + 1 para toda
n E N. Se ha verificado que esta afirmación es verdadera para n = l. Se supone
ahora que
Yk < Yk+1 para alguna k; entonces 2Yk + 3 < 2Yk+1 + 3, de donde se
sigue que
1 1 )
Yk+l =-(2Yk +3)<-(2Yk+l +3 =Yk+2'
4 4
En consecuencia, Yk < Yk+l implica que Yk+1 < Yk+2' Por lo tanto, Yn < Yn+l para
toda
n E N.
Se ha demostrado que la sucesión Y = (Yn) es creciente y que está acotada supe­
riormente por
2. Del teorema de convergencia monótona se sigue que Y converge
a un límite que
es a lo sumo 2. En este caso no es sencillo evaluar lím(yn) calcu­
lando
sUP{Yn : n E N}. Sin embargo, hay otra manera de evaluar este límite. Puesto
que
Yn+1 = *(2Yn + 3) para toda n E N, el n-ésimo término de la cola-l Y1 de Y
guarda una relación algebraica simple con el n-ésimo término de Y. Puesto que,
por el teorema 3.1.9, se tiene
y := lím Y
1
= lím Y, del teorema 3.2.3 se sigue por
lo tanto (¿por qué?) que
y=¡(2y+3),
de donde se sigue que y = 3/2.
b) Sea Z
= (zn) la sucesión de números reales definida por ZI := 1, zn+l := .,,)2z
n
para n E N. Se demostrará que lím(zn) = 2.
Adviértase que
Z1 = 1 Y Z2 = --5; en consecuencia, 1 ~ zl < z2 < 2. Se afirma
que la sucesión
Z es creciente y que está acotada superiormente por 2. Para demos­
trar esto
se probará, por inducción matemática, que 1 ~ zn < zn+1 < 2 para toda
n E N. Este hecho se ha verificado para n = 1. Suponer que se cumple para n k;
entonces 2 ~ 2zk < 2zk+1 < 4, de donde se sigue (¿por qué?) que
1 < fi :5 zk+l = ~ < zk+2 = ~2zk+l < -J4 = 2.
[En este último paso seusó el ejemplo 2.1.13a.] En consecuencia, la validez de la
desigualdad
1 ~ Zk < zk+ 1 < 2 implica la validez de 1 ~ zk+ 1 < zk+2 < 2. Por lo tanto,
1 ~ Zn < zn+ 1 < 2 para toda n E 1\1.
Puesto que Z = (zn) es una sucesión creciente acotada, del teorema de conver­
gencia monótona se sigue que converge a un número Z
:= sup{zn}' Es posible
demostrar directamente que
sup{zn} = 2, de donde Z = 2. De manera alternativa,
puede usarse el método empleado en el inciso
a). La relación zn+1 = .,,)2z
n pro­
porciona una relación entre el n-ésimo término de la cola-l
ZI de Z y el n-ésimo

99. 90 Capítulo 3 Sucesiones y series
término de Z. Por el teorema 3.1.9 se tiene lím ZI = z Bm Z. Además, por los
teoremas 3.2.3 Y 3.2.10, se sigue que el límite
z debe satisfacer la relación
En consecuencia,
z debe satisfacer la ecuación 2
2
= 2z que tiene las raíces z = 0,
2. Puesto que todos los términos de z = (zn) satisfacen 1 :; zn:; 2, del teorema 3 .2.6
se sigue que debe tenerse 1 :; z :;
2. Por lo tanto, z = 2. D
CáIcUl.lo de raÍCes cUl.adrada.s
Se presenta a continuación una aplicación del teorema de convergencia monótona
para calcular
raÍCes cuadradas de números positivos.
3.3.5
Ejemplo Sea a > O; se construirá una sucesión (sn) de números reales que
converge a
.,¡a.
Sea sI> ° un número arbitrario y se define sn+1 := ~ (sn + a/sn) para n E N. Se
demuestra ahora que la sucesión
(sn) converge a .,¡a. (Este proceso para calcular
raíces cuadradas se conocía ya en Mesopotamia antes de 1500
a. de C.)
Se demuestra primero que
s~ ;:: a para n ;:: 2. Puesto que sn satisface la ecuación
cuadrática
s~ -2sn+ISn + a = 0, esta ecuación tiene una raíz real. En consecuen­
cia, el discriminante
4S~+1 -4a debe ser no negativo; es decir, S~+I ;:: a para n ;:: l.
Para ver que (sn) es decreciente a la larga, se observa que para n ;:: 2 se tiene
1 ( a 1 (s; -a)
s -s 1 =S --~S +-) =_. ;::0.
n n+ n 2 n 2
sn sn
. En consecuencia, sn + I :; Sn para toda n ;:: 2. El teorema de convergencia monóto­
na implica que s := lím(sn) existe. Además, por el teorema 3.2.3, el límites debe
satisfacer la relación
S=~(S+~),
de donde se sigue (¿por qué?) que s = a/s o s2 = a. Por tanto, s = .,¡a.
Para fines de cálculo, con frecuencia es importante contar con una estimación
de la
rapidez con que la sucesión (sn) converge a .,¡a. Como antes, se tiene.,¡a :; sn
para toda n ;:: 2, de donde se sigue que a/sn :; .,¡a :; sn-Se tiene, por tanto,
para
n;:: 2.
Utilizando esta desigualdad puede calcularse.,¡a con cualFluier grado de precisión
deseado. D
El número de Euler _____________ --'-________ _
Esta sección se concluye con la presentación de una sucesión que converge a uno
de los números "trascendentes" más importantes en las matemáticas, el segundo
en importancia sólo después de
n.

100. 3.3 Sucesiones monótonas 91
3.3.6 Sea en := (l + para n E N. Se demostrará ahora que la
sucesión
E = (en) está acotada y que es creciente; en consecuencia, es convergen­
te. El límite de esta sucesión
es el famoso número de Euler e, cuyo valor aproxi­
mado
es 2.718 281 828459045· . " el cual se toma como la base de los logarit­
mos "naturales".
Si se aplica el teorema del binomio, se obtiene
en =(l+~)n =l+~'~+ n(n-l)._l_+ n(n-l)(n-2)
n 1 n 21 n2 3! n3
n(n -1)···2'1 1
+ ... + '-.
n! nn
Si los numeradores de los coeficientes binomiales se dividen por las potencias de
n, se obtiene
en =1+1+~(1-~) +~(l-~)(l-~)
21 n 3! n n
Del mismo modo se tiene
e
n
+l = 1+1+~(1 __ 1 ) +~(1 __ 1 ) (1 __ 2 )
2! n+l 3! n+l n+l
+ ... +~(1 __ 1 ) (1 __ 2 ) ... (1-~)
n! n+l n+l n+l
+(n~l)Jl- n~I)(I- n~I)···(l-n:l)'
Adviértase que la expresión para en contiene n + 1 términos, en tanto que la corres­
pondiente a
e
n
+l contiene n + 2 términos. Además, cada término que aparece en
en es menor o igual que el término correspondiente de e
l1+1' Y en+l tiene un tér­
mino positivo más. Se tiene
por lo tanto 2 ::; el < e2 < ... < en < en+l < .. " de
modo que los términos de
E son crecientes.
Para demostrar que los términos de
E están acotados superiormente, se obser­
va que si
p = 1, 2, .. " n, entonces (1 -p/n) < 1. Además, 2P-l ::; p! (véase 1.2.4e),
de modo
que l/p! ::; 1/2P-
1
. Por lo tanto, si n > 1, se tiene entonces
1 1 1
2<e
n
<1+1+-+-+···+--.
2 22 2n-1
Puesto que puede verificarse que [véase 1.2.4f]
1 1 1 1
-+-+···+--=1---<1
2 22 2n-1 2n-1 '
se deduce que 2 < en < 3 para toda n E N. El teorema de convergencia monóto­
na implica que la sucesión E converge a un número real que está entre 2 y 3. El
número
e se define como el límite de esta sucesión.

101. Capítulo 3 Sucesiones y series
Al hacer más precisas las obtenerse
racionales más cercanas a
e, pero no es posible evaluarlo exactamente, ya que e es
un número irracional. Sin embargo,
es posible calcular e con tantas cifras decima-
les como se desee. El lector debe usar una calculadora
(o una para
evaluar
en para valores "grandes" de n. O
Leonhard EllIller
Leonhard Euler (1707-1783) nació cerca de Basilea, Suiza. Su
padre, un clérigo, esperaba que su hijo
lo siguiera en su ministerio,
pero cuando Euler ingresó en la Universidad de Basilea a los
14
años de edad su talento matemático fue advertido por Johann
Bernoulli, quien
se convirtió en su mentor. En 1727, Euler fue a
Rusia para reunirse con el hijo de Johann, Daniel, en la nueva
Academia
de San Petersburgo. Ahí conoció y contrajo matrimonio
con Katharina Gsell, la hija de un artista suizo. Durante su largo matrimonio tuvieron
13 hijos, pero sólo cinco sobrevivieron la infancia.
En 1741, Euler aceptó una oferta de Federico el Grande para incorporarse a la
Academia de Berlín, donde permaneció
25 años. Durante este periodo escribió libros
sobre cálculo que constituyeron hitos históricos, así como una serie continua de artícu­
los. En respuesta a una solicitud de instrucción en ciencias del príncipe de Anhalt­
Dessau, Euler escribió una obra en varios volúmenes que
se hizo famosa con el título
Cartas a un príncipe alemán.
En 1766 volvió a Rusia por invitación de Catalina la Grande. Su vista se había dete­
riorado con los años, y poco después de su regreso a Rusia quedó totalmente ciego. De
manera increíble, su ceguera afectó en escasa medida su producción matemática, pues
en este estado escribió varios libros y más de 400 artículos.
Se mantuvo trabajando y
activo hasta el día
de su muerte.
La productividad
de Euler fue notable: escribió libros de texto de física, álgebra,
cálculo, análisis real y complejo, geometría analítica y diferencial, y cálculo
de varia­
ciones. También escribió cientos de artículos originales, muchos
de los cuales recibie­
ron premios. Una edición actual de sus obras escogidas consta de 74 volúmenes.
Ejercicios de la sección 3.3
1. Sea XI := 8 y xn+1 := tX
n + 2 para n E N. Demostrar que (xn) está acotada y es monó­
tona. Encontrar el límite.
2. Sea xI> 1 Y x
l1
+1 := 2 -l/x
n para n E N. Demostrar que (,'n) está acotada y es monó­
tona. Encontrar el límite.
3. Sea
XI ¿ 2 Y x
l1+ I := 1 + 'l/xn-l para n E N. Demostrar que (xn) es decreciente y que
está acotada inferiormente por
2. Encontrar el límite.
4. Sea
XI := 1 y xn+1 := '1/2+ X
n para n E N. Demostrar que (xn) converge y encontrar el
límite.
5. Sea
YI := -YP, donde p > O, Y Yn+1 := '¡p+ Yn para n E N. Demostrar que (Yn) conver­
ge y encontrar el límite. [Sugerencia: nna cota superior es 1 + 2-yp.]

102. 3.4 Subsucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass
6. Sea a> O Y Zl > O. Se define zn+l := -Va + z-;; para n E N. Demostrar que (zn) converge
y encontrar el límite.
7. Sea xl
:= a > O Y X
n
+l := X
n + l/x
n
para
n E N. Determinar si (x
n
) converge o diVf,rge.
8. Sea (a
n
)
una sucesié> 'reciente, (b
n
)
una sucesión decreciente, y suponer que a
n
:; b
n
para toda n E N. strar que lím(a
n
)
:; lím(b
n
), de donde se deduce la propiedad de
los intervalos anidados
2.5.2 del teorema de convergencia monótona 3.3.2.
9. Sea
A un subconjunto infinito de lR'. que está acotado superiormente y sea ti := sup A.
Demostrar que existe lilla sucesión creciente (x
n
) con X
n
E A para toda n E N tal que
ti = lím(x
n
).
10. Sea (xn) una sucesión acotada y, para toda n E N, sea sn := sUP{Xk : k;:: n} Y tn :=
ínf{xk: k;:: n}. Demostrar que (sn) y (tn) son monótonas y convergentes. Demostrar asi­
mismo que si lím(sn)
= lím(t,J, entonces (x
n
)
es convergente. [A lím(sn) se le llama el
límite superior de (x
n
) y a lím(t
n
)
el limite inferior de (x
n
).]
11. Establecer la convergencia o divergencia de la sucesión (yn)' donde
1 1 1
Yn:=--+--+"'+-
n+1 n+2 2n
para n EN.
12. Sea x" := 1/1
2
+ l/2
2
+ ... + 1/n
2
para toda n E N. Demostrar que (x,,) es creciente y
que está acotada
y, por consiguiente, que converge. [Sugerencia: obsérvese que si k;:: 2,
entonces 1/1(2:; l/k(k-1) = 1/(k-1) -l/k.]
13. Establecer la convergencia y encontrar los límites de las sucesiones siguientes.
a) ((l+1/n)n+l), b) ((1+1/n)2/1),
( /1
C)l(l+n~l))'
14. Aplicar el método del ejemplo 3.3.5 para calcular ~ con cuatro cifras decimales de
precisión.
15. Aplicar el método del ejemplo 3.3.5 para calcular
-vs con cinco cifras decimales de
precisión.
16. Calcular el número
en del ejemplo 3.3.6 para n = 2, 4, 8, 16.
17. Usar
una calculadora para encontrar el valor de en para n = 50, n = 100 y n = 1000.
En esta sección se introduce la noción de una subsucesión de una sucesión de
números reales. De manera informal, una subsucesión de una sucesión
es una
selección de términos de una sucesión dada tal que los términos seleccionados

103. Capítulo 3 Sucesiones y series
forman una nueva sucesión. Por lo general, la selección se hace para un
sito determinado. Por ejemplo, las subsucesiones con frecuencia resultan de
utilidad para establecer
la convergencia o divergencia de la sucesión originaL
Se presenta, asimismo, el importante teorema de existencia conocido como el
teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual se usará para establecer varios resultados
importantes.
3.4.1 Definición
SeaX = (x
n
)
una sucesión de números reales y sea n¡ < n2 < ...
< nk < ... una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a
la sucesión
X' = (xnk) dada por
se le llama una subsllIcesión de
X
/
Por ejemplo, siX:= (+1,t,· .), entonces la selección de los términos con índi-
ce par produce la subsucesión
X' = (~ ~ ~ ... _1 ... )
2' 4' 6' , 2k' ,
donde n¡ = 2, n2 = 4, .. " nk = 2k, .. '. Otras sub sucesiones de X = (lIn) son las
siguientes:
(
~ ~ ~ ... _1 ... )
l' 3' 5' '2k-l' , (
1 1 1 1 ) 2!' 41' 6!'''' (2k)!'''' .
Las siguientes sucesiones no son subsucesiones de X = (l/n):
La cola de una sucesión (véase 3.1.8) es un caso especial de subsucesión. De
hecho, la cola-m corresponde a la sucesión de índices
n¡ = m + 1, n2 = m + 2, ... , nk = m + k, ....
Pero, evidentemente, no toda subsucesión de una sucesión dada es necesariamen­
te una cola de la sucesión.
Las sub sucesiones de sucesiones convergentes también convergen al mismo
límite, como se establece a continuación.
3.4.2
Teorema Si una sucesión X = (x
n
)
de números reales converge a un núme­
ro real x, entonces cualquier subsucesión X' = (x
n¡) de X también converge a x.
Demostración. Sean E> O dada y K( E) tal que si n ¿ K( E), entonces I X
n
-x I < lO..
Puesto que n¡ < n2 < ... < nk < ... es una sucesión creciente de números natura­
les, resulta sencillo demostrar (por inducción matemática) que
nk ¿ le. En conse­
cuencia, si
k ¿ K( E), se tiene también nk ¿ k ¿ K( E), de modo que I X
nk
-xl < lO.. Por
lo tanto, la subsucesión
(x
n¡) también converge a x. Q.E.D.

104. 3.4 Subsucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass
3.4.3 a) = O si O < b < 1.
Se ha visto ya, en el ejemplo 3.1.1 si O < b < 1 y si x
n
:= b'l, entonces
de la desigualdad de Bernoulli se sigue
qUé; (x
n
) = O. De manera alternativa,
se observa que como
O < b < 1, entonces xn+l = b
n
+
l
< b
n
= XI1' de modo que la
sucesión
(x
l1
) es decreciente. También es claro que O :s; xn:s; 1, por lo que del teo­
rema de monótona 3.3.2 se que la sucesión es convergente. Sea
x := lím xn-Puesto que (x2n) es una sub sucesión de (x
n
),
del teorema 3.4.2 se sigue
que
x = Iím(x2n). Además, de la relación x2l1 = b
2n
= (b
n
)2 = x~ y del teorema
3.2.3 se sigue que
En consecuencia, debe tenerse o x = O o x = l. Puesto que la sucesión (x
n
)
es
decreciente y está acotada superiorn1ente
por b < 1, se infiere que x = O.
lím(c
l
/n
)
= 1 para e > 1.
Este límite se obtuvo en el ejemplo 3.1.11c para e > O, haciendo uso de un
razonamiento bastante ingenioso. Se presenta aquí otro enfoque para el caso e >
1. Obsérvese que si zn := c
l
/n
,
entonces Zn > 1 y zn+l < Zn para toda n E N. (¿Por
qué?)
ASÍ, por el teorema de convergencia monótona, el límite Z := lím(zn) existe.
Por el teorema 3.4.2 se sigue que
Z = lím(z2,,)' Además, de la relación
y del teorema 3.2.10 se sigue que
Por lo tanto, se tiene
z2 = z, de donde se sigue que o Z = O o Z = l. Puesto que
Zl1 > 1 para toda n E N, se infiere que Z = 1.
Se deja como ejercicio para el lector considerar el caso O < e < 1. D
El siguiente resultado se basa en una cuidadosa negación de la definición de
lím(x
n
) = x. Lleva a una manera conveniente de establecer la divergencia de una
sucesión.
3.4.4
Teorema Sea X = (x
n
)
una sucesión de números reales. Entonces los
siguientes enunciados son equivalentes:
(i) La sucesión X = (x
n
) no converge a x E IR.
(H) Existe Ea > O tal que para cualquier k E N, existe nk E N tal que nk ~ le Y
I x
nk
-x I ~ Ea·
(iii) Existe Ea > O Y una subsucesión X' = (x
nk
) de X tal que I x
nk
-x I ~ Ea para
toda
k E N.
Demostración. (i) ::::} (ii) Si (x,,) no converge a x, entonces para alguna Ea> O
es imposible encontrar Uli número natural k tal que para toda n ~ k los términos x"

105. Capítulo 3 Sucesiones y series
satisfagan I x
n
-xl < EO' Es decir, para toda k E N no se cumple que para toda
n ¿ k la desigualdad I X
n
-
x I < EO es válida. En otras palabras, para toda k E N
existe
un número natural nk ¿ k tal que I x
nk
-x I ¿ EO'
(ii) ::::} (iii) Sea EO como en (ii) y sea n] E N tal que n] ¿ 1 Y I xn¡ -xl ¿ Ea·
Ahora sea n2 E N tal que n2 > n] y I x
n2
-x I ¿ Eo; sea n3 E N tal que n3 > n2 Y
I x
n3
-
x I ¿ EO' Se continúa de esta manera para obtener una sub sucesión X' = (x
nk
)
de X tal que Ixnk-xl ¿EoparatodakE N.
(iii) ::::} (i) Suponer que X = (x
n
)
tiene una sub sucesión X' = (x
nk
) que satis­
face
la condición del inciso (iii). Entonces X no puede converger a x, porque si lo
hiciera, por el teorema 3.4.2, la subsucesión
X' convergería a x. Pero esto es impo­
sible, ya que ninguno de los términos de
X' pertenece a la vecindad-Eo de x.
Q.E.D.
Puesto que todas las subsucesiones de lma sucesión convergente deben conver­
ger al mismo límite, se llega al inciso (i) del siguiente resultado. El inciso (ii) se
sigue del hecho de que una sucesión convergente está acotada.
3.4.5
Criterios de divergencia Si una sucesión X = (x
n
) de números reales
tiene cualquiera de las propiedades siguientes, entonces
X es divergente.
(i) X tiene dos subsucesiones convergentes X' = (xnJ y X" = (xr¡) cuyos límites
no son iguales.
(ji) X no está acotada.
3.4.6
Ejemplos a) La sucesiónX:= ((_In» es divergente.
La subsucesiónX' := (_1)2n) = (1,1, ... ) converge a 1; asimismo, la subsu­
cesión
X" ;= ((-1 )2n-]) = (-1, -1, .. -) converge a -1. Por lo tanto, por el teorema
3.4.5(i) se concluye que
X es divergente.
b) La sucesión (1,~, 3, t, ... ) es divergente.
Se trata de la sucesión Y =
(Yn), donde Yn = n si n es impar, y Yn = l/n si n es
par. Es fácil ver que Y no está acotada. En consecuencia,
por el teorema 3.4.5(ii),
la sucesión es divergente.
e)
La sucesión S ;= (sen n) es divergente.
Esta sucesión no es tan fácil de abordar. Para examinarla debe, desde luego,
hacerse uso
de las propiedades elementales de la función seno. Se recuerda que
sen(n/6) =
1 = sen(5n/6) y que sen x >~ para x en el intervalo J] ;= (n/6, 5n/6).
Puesto que la longitud de J] es 5n/6 -n/6 = 2n/3 > 2, hayal menos dos núme­
ros naturales que están dentro de
J]; se hace que n] sea el primero de estos
números.
Del mismo modo, para toda k E N, sen x > 1 para x en el intervalo
h;= (n/6 + 2n(k-1), 5n/6 + 2n(k-l)).
Puesto que la longitud de h es mayor que 2, hayal menos dos números naturales
que están dentro de
h; se hace que nk sea el primero de ellos. La subsucesión
S' ;= (sen nk) de S obtenida de esta manera tiene la propiedad de que todos sus
valores están en el intervalo
[~, 1].

106. 3.4 Subsucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass
Del mismo si k E N Y J
k es
+ 2n(k-11n/6 + 2n(k -
entonces se ve que sen x < -± para toda x E J
k Y que la longitud de J
k es mayor
que
2. Sea mk el número natural que está en J
k
.
Entonces la subsucesión
Sil := mk) de S tiene la propiedad de que todos sus valores están en el inter­
valo
[-1, -±l
Dado cualquier número real c, se observa de inmediato que al menos una de
las sub sucesiones S' y S" queda en su totalidad fuera de la vecindad-i de c. Por lo
tanto, c no puede ser el límite
de S. Puesto que c E lR es arbitraria, se infiere que
S es divergente.
O
La existencia de snbsncesiones monótonas
Aun cuando no toda sucesión es monótona, se demuestra a continuación que toda
sucesión tiene una sub sucesión monótona.
3.4.7 Teorema de la snbsncesión monótona Si X ,= (x
n
)
es una sucesión de
números reales, entonces existe una subsucesión de
X que es monótona.
Demostración.
Para los fines de esta demostración, se dirá que el m-ésimo tér­
mino
x
m es un "pico" si x
m ~ x
n
para toda n tal que n ~ m. (Es decir, x", nunca es
excedido por ningún término que lo precede en la sucesión.) Obsérvese que, en
una sucesión decreciente, cualquier término es un pico, en tanto que en una suce­
sión creciente ningún término
es un pico.
Se consideran dos casos, dependiendo
de si X tiene un número infinito o fini­
to
de picos.
Caso 1: X tiene un número infinito de picos. En este caso, la enumeración de
los picos se hace con subíndices crecientes:
x
m
¡' x
m2
' . " Xmk; . '. Puesto que cada
término
es un pico, se tiene
Por lo tanto, la subsucesión
(x
171
) de picos es una sub sucesión decreciente de X.
Caso
2: X tiene un número finito (posiblemente cero) de picos. Sea que estos picos
se ennmeren con subíndices crecientes: x
l11
¡' x
m2
' • " xm¡c" Sea s) := m
r + 1 el primer
índice después del último pico. Puesto que
x
S
¡ no es un pico, existe s2 > SI tal que
x
S
¡ < X
S2
' Puesto que X
S2 no es un pico, existe s3 > s2 tal que X
S2 < X
S3
' Al continuar
de esta manera, se obtiene una subsucesión creciente (x
s
) de X. Q.E.D.
No es difícil ver que una sucesión dada puede tener una subsucesión que es
creciente y otra que es decreciente.
El teorema de Bolzano-Weierstrass
Se usa ahora el teorema de la subsucesión monótona para demostrar el teorema de
Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada tiene una subsu-

107. Capítulo 3 Sucesiones y series
cesión convergente. Debido a la de este teorema, se también
una segunda demostración del mismo basada en la propiedad
de los intervalos ani­
dados.
3.4.8 El teorema de Bolzano-Weierstrass Una sucesión acotada de números
reales tiene una subsucesión convergente.
Primera demostración. Del teorema de la subsucesión monótona se sigue
que si
X = (x,,) es una sucesión acotada, entonces tiene una sub sucesión X' =
(x
n
) que es monótona. Puesto que esta subsucesión también está acotada, del
teorema de convergencia monótona 3.3.2 se sigue que la subsucesión es con­
vergente.
Q.E.D.
é)eJftUfZUU demostración. Puesto que el conjunto de valores {x
n
:
n E N} está
acotado, este conjunto está contenido en un intervalo
JI := [a, b]. Se toma nI := l.
Se divide ahora JI en dos subintervalos iguales Ji e Jj , Y se divide en dos par­
tes el conjunto
de índices {n E N : n > 1}:
Al: = {n E N : n > nI, X
n
E Ji}, B I = {n E N : n > nI, X
n E Ji'}.
Si A 1 es infinito, se toma h := Ji y sea n2 el menor número natural en A l' (Véase
l.2.l.) Si Al es un conjunto finito, entonces BI debe ser infinito, y se toma h := Jj
y sea n2 el menor número natural en B l'
Se divide ahora J
2 en dos subintervalos iguales J2 e J'2, y se divide en dos par­
tes el conjunto
de índices {n E N: n > n2}:
Si A
2 es infinito, se toma h := J2 y sea n3 el menor número natural enA
2
. Si A
2 es
un conjunto finito, entonces
B
2 debe ser infinito, y se toma J
3
:= J'2 y sea n3 el
menor número natural en
B
2
.
Se continúa de esta manera para obtener una sucesión de intervalos anida­
dos
JI ;;;2 h ;;;2 ... ;;;2 ¡le ;;;2 •.. y una sub sucesión (x
n
,) de X tal que X
n
" E h para
k E N. Puesto que la longitud de h es igual a (b -a)!2
le
-
l
,
del teorema 2.5.3 se
sigue que existe un punto común (único)
~ E ¡le para toda k E N. Además, pues­
to que tanto
x
nk
como ~ pertenecen a h, se tiene
de donde se sigue que la sub sucesión (x
n
)
de X converge a ~.
le
Q.E.D.
Al teorema 3.4.8 se le llama en ocasiones el teorema de Bolzano-Weierstrass
para sucesiones, porque hay otra versión del mismo que trata de conjuntos acotados
en
IR;, (véase el ejercicio 11.2.6).
Es evidente que una sucesión acotada puede tener varias sub sucesiones que
convergen a límites diferentes o que incluso divergen. Por ejemplo, la sucesión

108. 3.4 Subsucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass 99
tiene subsucesiones que convergen a otras que convergen a + 1, Y tiene
también subsucesiones que divergen.
SeaXuna sucesión de números reales y seaXluna subsucesión deX Entonces
X' es una sucesión por derecho propio y, en consecuencia, tiene subsucesiones. Se
observa que si
XII es una subsucesión de X', entonces también es una sub sucesión
deX
3.4.9 Teorema Sea X = (xJ una sucesión acotada de números reales y sea que
x E lR tenga la propiedad de que toda subsucesión convergente de X converge
a
x. Entonces la sucesión X converge a x.
Demostración. Suponer que M> O es una cota de la sucesión X, de tal modo
que
IX
n I ::; M para toda n E N. Si X no converge a x, entonces el teorema 3.4.4
implica que existe
EO > O Y una subsucesión X' = (x
n
)
de X tal que
para toda
k E N. (1)
Puesto que
XI es una subsucesión de X, el número M es también una cota de XI.
En consecuencia, el teorema de Bolzano-Weierstrass implica que XI tiene una sub­
sucesión convergente
X". Puesto que X" es también una subsucesión de X, conver­
ge a
x por hipótesis. Por tanto, sus términos pertenecen a la larga a la vecindad-Eo
de
x, lo cual contradice (1). Q.E.D.
Ejercicios de la sección 3.4
1. Dar un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión convergente.
2. Aplicar el método del ejemplo 3.4.3b para poder demostrar que si O < e < 1, entonces
lím(c
11n
) = 1.
3. Sea ([,,) la sucesión de Fibonacci del ejemplo 3.1.2d y sea X
n := fl1+1/fn-Dado que
lím(x
n
) = L existe, determinar el valor de L.
4. Demostrar que las siguientes sucesiones son divergentes.
a)
(1-(_l)n + 1/n), b) (sen nn/4).
5. Sean X = (xn) y Y = (Yn) sucesiones dadas, y sea la sucesión "barajada" Z = (Z/1) defi­
nida
por ZI := X¡, Z2 := Y¡, ... , Z2n-l := X
n
' Z211 := Yn, .... Demostrar que Z es conver­
gente si y sólo si tanto
X como Y son convergentes y lím X = lím Y.
6. Sea X
n
:= n1/n para n E N.
a) Demostrar que x
n
+l < X
n
si y sólo si (1 + 1/n)n < n, e inferir que la desigualdad es
válida
paran ~ 3. (Véase el ejemplo 3.3.6.) Concluir que (x
n
) es decreciente a la
larga y que
x := lím(x
n
)
existe.
b) Usar el hecho de que la subsucesión
(X2n) también converge a x para concluir
que
x = 1.

109. 100
SECCIÓN.3.5
Capítulo 3 Sucesiones y series
7. Establecer la convergencia y encontrar los límites de las siguientes sucesiones:
a) ((l + l/n
2
)"2),
c) ((l + l/n
2
)2n
2
),
b) ((1 + 1I2ny),
d)
((1 + 2/n)/1).
8. Determinar los límites de las siguientes sucesiones.
9. Suponer que toda subsuce~¡ón de X = (x/1) tiene una subsucesión que converge a O.
Demostrar que límX = O:
10. Sea (X/1) una sucesión acotada, y para toda n E N sean sn := sUP{xk : k ¿ n} y S :=.
ínf{sn}. Demostrar que existe una sub sucesión de (x/1) que converge aS.
H. Suponer que X
n
¿ O para toda n E N Y que lím((-IY'x/1) existe. Demostrar que (x
n
)
con­
verge.
12. Demostrar que si
(x/1) no está acotada, entonces existe una subsucesión (X/1') tal que
lím(l/x
nk
)
= o.
13. Si X
n
:= (-l)/1/n, encontrar la subsucesión de (x
n
) que se construyó en la segunda
demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass 3.4.8, cuando se toma
J
1
;= [-1, 1].
14. Sea (X/1) una sucesión acotada y sea s ;= sup{X/1 ; n E N}. Demostrar que si s E
{x/1 ; n E N}, entonces hay una subsucesión de (xn) que converge as.
15. Sea (In) una sucesión anidada de intervalos acotados cerrados. Para toda n E N, sea que
X
n
E In-Usar el teorema de Bolzano-Weierstrass para dar una demostración de la pro­
piedad
de los intervalos anidados 2.5.2.
16. Dar un ejemplo que muestre que el teorema 3.4.9 no se
cmnplesi se omite la hipótesis
de que
X es una sucesión acotada.
El teorema de convergencia monótona es de extraordinaria utilidad e importai:tcia,
pero tiene la desventaja significativa de que sólo se aplíca a sucesiones que son
monótonas. Es importante contar con una condición que implique la convergencia
de una sucesión que no requiera conocer de antemano el valor del límite y que no
esté restringida a sucesiones monótonas. El criterio
de Cauchy, el cual se estable­
ce en esta sección, es esta condición.
3.5.1 Definición Se afirma que una sucesión
X = (x
n
) de números reales es
una sucesión de
Cauchy si para toda E> O existe un número natural H(E) tal
que para todos los números naturales
n, m "2.. H( E), los términos x
m x
m
satisfacen
IXn -xml < E.
La importancia del concepto de sucesión de Cauchy se encuentra plasmada en
el teorema principal
de esta sección, el cual afirma que una sucesión de números

110. 3.5 El criterio de Cauchy 101
reales es si y sólo si es una sucesión de Este resultado pro­
porciona un método para demostrar que una sucesión converge sin necesidad
de
conocer su límite.
Sin embargo, antes
se Eone de relieve la definición de sucesión de Cauchy en
los siguientes ejemplos.
3.5.2 a) La sucesión
(l/n) es una sucesión de Cauchy.
Si
E > O está dada, se elige un número natural H = H( E) tal que H > 2/ E.
Entonces, si m, n :::: H, se tiene lIn::; 1IH < El2; del mismo modo, 11m < El2. Por
lo tanto,
se sigue que si 111, n :::: H, entonces
1
~-~I:5 ~+~ < ~+~ = E.
n m n m 2 2
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye que (l/n) es una sucesión de Cauchy.
b) La sucesión
(1 + (~l )") no es una sucesión de Cauchy.
La negación
de la definición de sucesión de Cauchy es: existe lOO > O tal que para
toda
H existe al menos una n > H Y al menos una m > H tales que I x
l1
-X
m I :::: lOo·
Para los términos X
n := 1 + (-1)", se observa que si n es par, entonces X
n = 2
. Y
xn+l = O. Si se toma lOO = 2, entonces para cualquier H puede elegirse un núme­
ro par
n > H Y sea m := n + 1 para obtener
Se concluye que
(x
n
) no es una sucesión de Cauchy. o
Observación. Se hace hincapié en que para demostrar que una sucesión (x
n
) es
una sucesión
de Cauchy no puede suponerse una relación entre m y n, ya que la
desigualdad requerida
I X
n
-
X
m
I <: E debe ser válida para toda n, m :::: H( E). Pero
para demostrar que una sucesión
no es una sucesión de Cauchy, puede especificar­
se una relación entre
n y m siempre que puedan elegirse valores arbitrariamente
grandes
de n y m de tal modo que I X
n
-
X
m I :::: lOO·
El objetivo que se persigue es demostrar que las sucesiones de Cauchy son pre­
cisamente las sucesiones convergentes. Se prueba primero que una sucesión con­
vergente
es una sucesión de Cauchy.
3.5.3 Lema Si X = (x
n
)
es una sucesión convergente de números reales, enton­
ces
X es una sucesión de Cauchy.
Demostración. Si x := lím X, entonces dada E> O existe un número natural
K(El2) tal que si n :::: K(E/2), entonces Ix" -x I < El2. Por tanto, si H(E) := K(E/2)
y si n, m :::: H( E), entonces se tiene
Ix" -Xm I I (Xn -x) + (x -X
I11
) I
::; Ix,,-xl + IXm -xl < El2 + El2 = E.
Puesto que E > O es arbitraria, se sigue que (x,,) es una sucesión de Cauchy.
Q.ED.

111. Capítulo 3 Sucesiones y series
Para establecer que una sucesión de es
siguiente resultado. el teorema 3.2.2.)
3.5.4
Lema Una sucesión de Cauchy de números reales está acotada.
Demostración. SeaX:= una sucesión de Cauchy y sea E:= 1. Si H:= H(l)
Y n ? H, entonces I X
Il x H I < l. En consecuencia, por la desigualdad del triángu­
lo, se tiene
I X
n I ::;; I XH I + 1 para toda n ? H. Si se hace
entonces se sigue que
I X
n
I ::;; M para toda n EN. Q.E.D.
Se presenta ahora el importante criterio de convergencia de Cauchy.
3.5.5
Criterio de de Una sucesión de números reales
es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.
Demostración. Se ha visto, en el lema 3.5.3, que una sucesión convergente es
una sucesión de Cauchy.
Recíprocamente, sea
X = (x
l1
) una sucesión de Cauchy; se demostrará ahora
que
X es convergente a algún número real. Primero se observa por el lema 3.5.4
que la sucesión
X está acotada. Por lo tanto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass
3.4.8, existe una subsucesión
X' = (x
n
/() de X que converge a algún número real
x* La demostración se completará probando que X converge a x*.
Puesto que X = (.;\:11) es una sucesión de Cauchy, dada E > O existe un número
natural
H(c/2) tal que si 71, m ? H(E/2), entonces
(1)
Puesto que
la subsucesión XI = (x
ll
) converge a x*, existe un número natural K?
H(E/2) que pertenece al conjunto {711' n2,· .. } tal que
Puesto que
K? H(EI2), de (1) con In = K se sigue que
para
n? H(E/2).
Por lo tanto, si 71? H(E/2), se tiene
IX
I1 -x*1 I (xn -XK) + (x¡cx*) I
::;; IXn-XKI + IXJ(-x* I
< E/2 + E/2 = E.
Puesto que E> O es arbitraria, se infiere que lím(x
n
)
= x*. Por lo tanto, la sucesión
X es convergente. Q.E.D.

112. 35 El criterio de Cauchy
3.5.6
Xl := 1,
a continuación
a) Sea que
X = (x,,) esté definida por
y
1
xn:= -(xn
-2 +x,,_l)'
2
103
para n >2.
demostrar por inducción matemática que 1 :;; x
n
:;;
2 para toda n E N.
Algunos cálculos indican que la sucesión X no es monótona. Sin embar­
go,
ya que los términos se fom1an sacando promedios, se observa de inmediato que
1
Ix" -xn+ll =--
2 n-l
para n EN.
(Demostrar esta afirmación por inducción matemática.) Por tanto, si m > n, puede
aplicarse la desigualdad del triángulo para obtener
IXn -xl11l:;;lxn -xn+ll+lxn+l -xn+21+···+lxl11-1 -xml
111
=--+-+ ... +--
2n-l 2n 2m-2
1 (1 1) 1
=--1+-+···+ <--o
2n-1 2 2111-n-1 2n-2
Por lo tanto, dada E > 0, si se elige un valor de n tan grande que 1/2" < E/4 Y si
m ;::: n, entonces se sigue que I X
n
-
X
m I < E. Por lo tanto, X es una sucesión de
Cauchy en IR. Por el criterio de Cauchy 3.5.5 se infiere que la sucesión X conver­
ge a
un número x.
Para evaluar el límite
x, primero se podría "pasar al límite" en la regla de defini­
ción
Xn = ± (xn-l + Xn-2) para concluir que x debe satisfacer la relación x = ±(x + x),
que es verdadera pero no informativa. Por consiguiente, debe intentarse algo más.
Puesto que
X converge a x, la subsucesión X' con índices impares también lo
hace. El lector
p~lede establecer,por inducción matemática, que (véase 1.2.4f)
1 1 1
x2n+1 =1+-+-+···+---
2 23 2211-1
=1+~J1 __ 1 ).
3 4
11
De lo anterior se sigue (¿cómo?) que x = lím X = lím X' = 1 + t = l
Sea Y = (Y11) la sucesión de números reales dada por
1 1 1 1 1 ( -1) 11+
1
Y1:=-, Y2:=---,", y :=---+ ... +
1 1! 2 n 1! 21 ni
Evidentemente, Y no es una sucesión monótona. Sin embargo, si m > n, entonces
(_1)11+2 (_1)n+3 (_l)m+l
Ym -Y
I1
= (n+1)1 + (n+2)! + ... + m!

113. 104 Capítulo 3 Sucesiones y series
Puesto que 21'-1 :::; r! (véase 1 se sigue que si 111 > n, entonces (¿por qué?)
1 1 1
IYm-Ynl,,;-C 1)'+( 2)'+"'+'
n + . n +. 111.
1 1 1 1
";.-+--+"'+--<--.
2n 2n+1 2111-1 2n-1
Por lo tanto, se sigue que (y,,) es una sucesión de Cauchy. En consecuencia, conver­
ge a un límite y. Por el momento no es posible evaluar y directamente; sin embargo,
pasando al límite (con respecto a
111) en la desigualdad anterior, se obtiene
IYn -yl :::; 1/2
n
-
1
.
En consecuencia, y se puede determinar con cualquier grado de precisión desea­
do calculando los términos
Yn para n suficientemente grande. Le corresponderá al
lector hacerlo y demostrar que
y es aproximadamente igual a 0.632 120 559. (El
valor exacto de
y es 1 -l/e.)
c) La sucesión (~+ ~ + ... +~) diverge.
1 2 n
Sea H := (h
n
)
la sucesión definida por
1 1 1
h
:= -+ -+ ... +-
n 1 2 n
para n E N,
que se consideró en 3.3.3b. Si m> n, entonces
1 1
h -h =--+ ... +-
111 n n+l m
Puesto que cada uno de estos m-n términos excede a 1/m, entonces h
m
-h
n >
(m -n)/m = 1 -n/m. En particular, si m = 2n se tiene h
2n
-h
n > 1-Con esto se
demuestra que
H no es una sucesión de Cauchy (¿por qué?); por lo tanto, H no es
una sucesión convergente. (En términos que se introducen en la sección 3.7, acaba
de demostrarse que la "serie armónica"
L':=1 l/n es divergente.) D
3.5;7 Definición Se dice que una sucesión X = (x
n
)
de números reales es con-
tractiva si existe una constante e, o < e < 1, tal que
para toda
n E No Al número e se le llama la constante de la sucesión contractiva.
3.5.8 Teorema Toda sucesión contractiva es una sucesión de eauchy y, por lo
tanto, es convergente.
Demostración.
Si se aplica sucesivamente la condición que define una suce­
sión contractiva, se puede avanzar hacia atrás hasta llegar al principio de la suce­
sión de la siguiente manera:
IXn+2 -xn+ll :::; ClXn+1 -Xn I :::; e
2
1x
n -xn-11
:::; e
3 I Xn-l -x
n-21 :::;.. . :::; en I X2 -xII·

114. 3,5 El criterio de Cauchy
Para m > n, se estima I x
lI1
-x
n I la del y
usando después la fórmula para la suma de una progresión geométrica (véase
1.2.4f), Se obtiene así
:5 (C
m
-2
+C
m
-3
+",+C
n
-l
)IX2 -xII
(1-c
m
-
n

=Cn-ll j1X2-Xll
l-C
:5 C
n
-1 (_1_) IX2 -xII.
I-C
Puesto que O < C < 1, se sabe que lím(C
n
)
= O (véase 3.1.11b). Por lo tanto, se
infiere que
(x
n
)
es una sucesión de Cauchy. Entonces, por el criterio de convergen­
cia de Cauchy 3.5.5 se sigue que
(x
n
)
es una sucesión convergente. Q,E,D,
En el proceso de calcular el límite de una sucesión contractiva, con frecuencia
es de suma importancia contar con
una estimación del error en la n-ésima etapa,
En el siguiente resultado se presentan dos de estas estimaciones: la primera inclu­
ye los dos primeros términos de la sucesión y
n; la segunda incluye la diferencia
x
n -Xn_j·
3.5.9 Corolario Si X := (x
n
) es una sucesión contractiva con constante C, 0<
C < 1, Y si x* := lím X, entonces
cn-l
(i) Ix * -X ni :5 --1 x 2 -xII,
1-C
(ii) Ix*-xnl:5~IXn -xn-ll·
1-C .
Demostración. Por la demostración precedente, si m > n, entonces I x
m
-
x
n I ::;
(en -1/(1 -C) I X2 -Xl l. Si se hace que m ~ 00 en esta desigualdad, entonces se
obtiene (i).
Para demostrar (ii), recuérdese que si m > n, entonces
Puesto que es inmediato, aplicando la inducción matemática, que
se infiere que
IX
m -xnl ::; (c
m
-n
+ ... + C
2
+ C) IXn -xn-ll
C
::; --Ixn -xn-ll,
1-C

115. 106 Capítulo 3 Sucesiones y series
Ahora se hace que In ---¿ 00 en esta Uv'H!',UUJ'''U," para obtener la afinnación
Q.E.D.
3.5.10 Se nos dice que la ecuación cúbica x
3
-
7x + 2 = O tiene una
solución entre O y 1 Y queremos obtener una aproximación de dicha solución. Esto
puede conseguirse por medio de un procedimiento de iteración de la siguiente
manera. Primero la ecuación se reescribe como
x = (x
3 + 2)/7 Y se usa esta expre­
sión para definir tilla sucesión. Se le asigna a
XI un valor arbitrmio entre O y 1 Y
después se define
.,--l( 3 2)
Xn+l .--Xn +
7
para n E N.
Como O <
XI < 1, se sigue que O < X
n
< 1 para toda n E N. (¿Por qué?) Además, se
tiene
IXn+2 -xn+II=I~(Xl;+] +2)-~(x~ +2)1=~lx~+1 -x~1
=~IX;+1 +xn+lxn +x~llxn+] -x¡¡I::;;%lx¡¡+] -xnl·
Por lo tanto, (x
n
) es una sucesión contractiva y en consecuencia existe r tal que
lím(x
n
)
= r. Si se pasa allúnite en ambos miembros de la igualdad x
n+ l = (x~ + 2)/7,
se obtiene r = (r3 + 2)/7 y, en consecuencia, r
3
-
7r + 2 = O. Por tanto, r es una solu­
ción de la ecuación.
Se puede obtener una aproximación de
r eligiendo un valor para XI y calculan-
do Xl> X3' ... , sucesivamente. Por ejemplo, si se toma XI 0.5, se obtiene (con
nueve cifras decimales):
X2 = 0.303 571 429,
x4 = 0.289188016,
x6 = 0.289 168 571,
X3 = 0.289 710 830,
Xs = 0.289 169244,
etc.
Para estimar la precisión, se observa que I
X2 -XI I < 0.2. Así, después de n pasos
se sigue, por el corolario 3.5 .9(i), que se tiene la seguridad de que I
x* - x¡¡ I S
3
n
-I
/(711-2 . 20). Así, cuando n = 6, se tiene la seguridad de que
Ix* -
x61 S 3
S
/(74 . 20) = 243/48 020 < 0.0051.
En realidad la aproximación
es sustancialmente mejor. De hecho, ya que I x6 -xsl <
0.0000005, de 3.5.9(ii) se sigue que Ix* - x61 S t IX6 -xsl < 0.000 0004. Por
consiguiente, las cinco primeras cifras decimales de
X6 son correctas. O
Ejercicios de la sección 3.5
1. Dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy.
2. Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes son sucesiones de
Cauchy.
b) (1+~+ ... +~).
21 ni

116. 3,6 Sucesiones propiamente divergentes
Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes no son sucesiones
de
Cauchy
b) (e) (In 11),
4. Demostrar directamente a partir de la definición que si (x
l1
) y (v/J) son sucesiones de
Cauchy, entonces (xn
+ YI1) Y (xnYn) son sucesiones de Cauchy
5. Si X I1 := >In, demostrar que (x¡¡) satisface lím 1 x/J+ 1 -x
l1
1 = 0, pero que no es una suce­
sión de Cauchy,
6. Sea
p un número natural dado, Dar un ejemplo de una sucesión (x
n
)
que no sea una
sucesión de Cauchy, pero que satisfaga lím
1 x
l1+
P
-
x/JI = O,
7. Sea (x
n
)
tilla sucesión de Cauchy tal que X
I1
es un entero para toda 11 E PiL Demostrar
que
(x
n
)
es constante a la larga,
8. Demostrar directamente que
una sucesión creciente; monótona y acotada es una suce­
sión de Cauchy,
9. Si
° < r < 1 Y 1 X¡¡+ 1 -Xn 1 < r' para toda 11 E N, demostrar que (xn) es una sucesión de
Cauchy,
10. Si
X1 < X2 son números reales arbitrarios y Xn := t(Xn-2 + X/J-I) para n > 2, demostrar
que
(x/J) es convergente, ¿Cuál es su límite?
11. SiYI <Y2 son números reales arbitrarios y
Yn:= tYn-1 + t Yn-2 para 11 > 2, demostrar
que
(vn) es convergente, ¿Cuál es su límite?
12. Si
X1 > ° y xn+1 := (2 + xnt
1
para n
;:c 1, demostrar que (x/J) es una sucesión contrac­
tiva, Encontrar el límite,
13. Si
Xl := 2 y xn+1 := 2 + l/x
n
para
11;:C 1, demostrar que (x
n
) es tilla sucesión contracti­
va, ¿Cuál es su límite?
14.
La ecuación polinómica x
3
-
5x + 1 = ° tiene una raíz r con ° < r < 1, Usar una suce­
sión contractiva adecuada para calcular
r con una precisión de 10-4,
Para ciertos fines, es conveniente definir lo que se entiende cuando se dice que una
sucesión (xn)
de números reales "tiende a ±oo",
3.6.1 Definición Sea
(x
n
)
una sucesión de números reales,
(i) Se dice que (x
n
) tiende a +00, y se escribe lím(x
n
)
= +00, si para toda oc E lR
existe un número natural K( oc) tal que si n 2 K( oc), entonces x
n > oc,
(H) Se dice que (x
n
)
tiende a -00, y se escribe lím(x
n
)
= -00, si para toda /3 E lR
existe un número natural K(f3) tal que si n 2 K(f3), entonces x
n < /3,

117. Capítulo 3 Sucesiones y series
Se dice que (x11) es
+00, o bien lím(x
n
)
= -oo.
en caso que se
El lector deberá tener presente que los símbolos
+00 y -00 se usan tan sólo
como una
notación conveniente en las expresiones anteriores. Los resultados que
se
han demostrado en secciones anteriores para límites ordinarios lím(x
l1
) = L
(para LE lR) quizá no sigan siendo válidos cuando lím(x
n
) = ±oo.
3.6.2 a) lím(n) = +00.
De hecho, si a E lR está dada, sea K( a) cualquier número natural tal que
K(ex) > a.
b) lím(n
2
)
= +00.
Si K( a) es un número natural tal que K( ex) > a y si n 2: K( a), entonces se tiene
n
2
2: n > a.
c) Si c > 1, entonces lím(c
l1
) = +00.
Sea c = 1 + b, donde b> O. Si a E lR está dada, sea K(a) un número natural
tal que
K( a) > a/b. Si n 2: K( ex), de la desigualdad de Bemoulli se sigue que
c
l1
= (l + b)11 2: 1 + nb > 1 + a > a.
Por lo tanto, lím(c
l1
)
= +00. o
Las sucesiones monótonas son particularmente simples en lo que a su conver­
gencia se refiere.
En el teorema de convergencia monótona 3.3.2 se ha visto que
una sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. El siguiente resul­
tado es
una reformulación de este hecho.
3.6.3
Teorema Una sucesión monótona de números reales es propiamente
divergente si
y sólo si no está acotada.
a) Si (xJ es una sucesión creciente no acotada, entonces lím(x
n
) = +00.
b) Si (xn) es una sucesión decreciente no acotada, entonces lím(x
n
) = -oo.
Demostración. a) Suponer que (xn) es una sucesión creciente. Se sabe que si
(x
n
)
está acotada, entonces es convergente. Si (x
n
)
no está acotada, entonces para
cualquier
ex E lR existe n( ex) E N tal que a < xn(o:)' Pero como (x
n
)
es creciente,
se tiene
a < X
n para toda n 2: n( a). Asimismo, puesto que a es arbitraria, se sigue
que
lím(x
n
) = +00.
La demostración del inciso b) se hace de manera similar. Q.E.D:i
El siguiente "teorema de comparación" se usa con frecuencia para demostnu:¿
que
una sucesión es propiamente divergente. [De hecho, se usó de manera impli-~
cita en el ejemplo 3.6.2c.]
3.6.4
Teorema Sean (xn) y (Yn) dos sucesiones de números reales y suponer
para toda
n E N.
a) Si lím(xn) = +00, entonces lím(Yn) = +00.
b) Si lím(Yn) = -00, entonces lím(xn) = -oo.

118. 3.6 Sucesiones propiamente divergentes 109
Demostración. a) Si Iím(x
n
) = +00 Y si a E IR está dada, entonces existe un
número natural K( a) tal que si n ;:c: entonces a < Xl]" Con base en se
sigue que
a < Yn para toda n ;:: K( a). Puesto que a es se que
lím(yn) = +00.
La demostración del inciso b) es similar. Q.E.D
Observaciones a) El teorema 3.6.4 sigue siendo válido si la condición (1) se
cumple a la larga; es decir, si existe
m E N tal que X
n
S; YI1 para toda n ;:c: m.
Si la condición (1) del teorema 3.6.4 se cumple y si lím(yn) = +00, no se sigue
que
lím(x
n
) = +00. Del mismo modo, si (1) se cumple y si lím(xn) = -00, no se
sigue que lím(yn)
= -oo. Al usar el teorema 3.6.4 para demostrar que una suce­
sión tiende a
+00 [o bien, a -00], es necesario demostrar que los términos de la
sucesión a la larga son mayores [o bien, menores] o iguales que los términos
correspondientes de
una sucesión de la que se sabe que tiende a +00 [o bien,
a
-00].
Puesto que en ocasiones es difícil establecer una desigualdad como (1), con
frecuencia la aplicación del siguiente "teorema de comparación de límites" resul­
ta más conveniente que usar el teorema 3.6.4.
3.6.5
Teorema Sean (x
n
) y (Yn) dos sucesiones de números reales positivos y
suponer que para alguna
L E IR, L > 0, se tiene
(2)
Entonces lím(xn) = +00 si y sólo si lím(Yn) = +00.
Demostración. Si se cumple (2), existe K E N tal que
1 / 3
-L<x y <-L
2 11 n 2
para toda n;;;: K.
Se tiene por tanto que (~L)Yn < xn < (~L)Yn para toda n ;:c: K. La conclusión se sigue
ahora de una ligera modificación del teorema 3.6.4. Se le dejan los detalles allecíor.
Q.E.D.
El lector puede demostrar que la conclusión no se cumple necesariamente si
L = ° o L = +00. Sin embargo, hay algunos resultados parciales que pueden
establecerse en estos casos, como se verá en los ejercicios.
Ejercicios de la sección 3.6
1. Demostrar que si (x
n
) es una sucesión no acotada, entonces existe una subsucesión pro­
piamente divergente.
2. Dar ejemplos de sucesiones propiamente divergentes (x
n) y (Yn) con Yn '" O para toda
11 E N tales que:
a) (x,/Yn) es convergente, b)
(xn/Yn) es propiamente divergente.

119. o Capítulo 3 Sucesiones y series
Demostrar que si x
l1
> O para toda n E N, entonces lím(x
l1
) = O si y sólo si
+00.
4. Establecer que las siguientes sucesiones son propiamente divergentes.
a)
(.[;;),
c) (~),
b) (~),
d) (n/~).
5. ¿La sucesión (n sen /1) es propiamente divergente?
6.
Sea (x
l1
) propiamente divergente y sea (YI1) tal que lím(xIlYIl) pertenece a IR. Demostrar
que (Vil) converge a O.
7. Sean (x
ll
) Y (Yn) sucesiones de números positivos tales que lím(x,/y,,) = O.
a) Demostrar que si lím(x ll) = +00, entonces lím(Yll) = +00.
b) Demostrar que si (Yll) está acotada, entonces lím(x
ll
) = O.
8. Investigar la convergencia o la divergencia de las siguientes sucesiones:
a)
(¡;:;2;2),
c) (~/.[;;),
b) (.[;;/(/12 +1»,
d) (sen.[;;).
9. Sean (x
n
) y (y,,) sucesiones de números positivos tales que lím(x,/Yn) = +00.
a) Demostrar que si lím(Yll) = +00, entonces lím(x
ll
) = +00.
b) Demostrar que si (x,,) está acotada, entonces lím(Yll) = O.
10. Demostrar que si lím(a,,/n) = L, donde L > O, entonces lím(all) = +00.
Se presenta ahora una breve introducción a las series infinitas de números reales.
Es un tema que se discutirá con mayor detalle en el capítulo 9 pero, debido a su
importancia,
se establecerán aquí algunos resultados. Se verá que estos resultados
son consecuencias inmediatas
de los teoremas que se han visto en este capítulo.
En textos elementales, una serie infinita
se "define" en ocasiones como "una
expresión de la forma"
XI + X2 + ... + X
n + .... (1)
Sin embargo, esta "definición" carece de claridad, ya que no haya priori ningún
valor particular que pueda asociarse con este arreglo de símbolos, el cual requie­
re la realización de un
número infinito de adiciones.
3.7.1
Definición Si X:= (x
l1
) es una sucesión en R entonces la serie infinita
(o simplemente la serie) por X es la sucesión S:= (sk) definida por

120. 3,7 Introducción a las series infinitas 11
S¡ :=X¡
S2:= S¡ +X2 (=X¡ +
A los números X
I1
se les llama los términos de la serie y a los números sic se les
llama las
sumas de la serie. Si lím S se dice que la serie es con­
"", ...... ,,,1,,,, y a dicho límite se le llama la suma o el valor de la serie. Si este límite
no existe, se dice que la serie S es
Es conveniente usar símbolos como
00
o o (2)
para denotar tanto la serie infinita S generada por la sucesión X = (x,,) como el
valor
lím S, en caso de que el límite exista. Así, los símbolos en (2) pueden
considerarse tan sólo como una manera de presentar una serie infinita cuya
convergencia o divergencia va a investigarse. En la práctica, este doble uso de
las notaciones
no lleva a confusión, siempre y cuando se sobreentienda que la
convergencia (o divergencia) de la serie debe establecerse.
Como en
el caso de una sucesión en la que pueden usarse los índices de tal
modo que su primer elemento no sea
Xl, sino Xo o Xs o x99, las series que tienen
estos números como su primer elemento se denotarán por los símbolos
00 00 00
o o
Cabe hacer notar que cuando el primer término en la serie es XN' entonces la pri­
mera suma parcial se denota
por SN'
Atención El lector deberá estar atento para no confundir los vocablos "suce­
sión" y "serie".
En el lenguaje no matemático, estos dos términos son intercam­
biables; sin embargo, en matemáticas no son sinónimos.
De hecho, una serie es
una sucesión
S = (s¡J obtenida de una sucesión dada X = (x
n
)
de acuerdo con el
procedimiento especial dado en la definición 3.7.1.
3.7.2
Ejemplos a) Considerar la sucesión X := (rn)~=o, donde r E IR, que
genera
la serie geométrica:
00
(3)
Se demostrará que si
Ir I < 1, entonces la serie converge a 1/(1 - r). (Véase
también el ejemplo
1.2.4r) De hecho, si sn := 1 + r + /2 + ' .. + r
n para n ~ O,
Y si se multiplica Sn por r y el resultado se resta de Sm se obtiene (después de sim­
plificar):

121. 11 Capítulo 3 Sucesiones y series
Por lo tanto, se tiene
1 r'H1
sn ---=---,
l-r 1-r
de donde se sigue que
Puesto que
Irln+l ---¿ ° cuando Irl < 1, se sigue que la serie geométrica (3) con­
verge a 1/(1 -
r) cuando 1 r 1 < 1.
b) Considerar la serie generada por ((_l)n)~=o; es decir, la serie:
00
2:(-1)n =(+1)+(-1)+(+1)+(-1)+···. (4)
n=O
Es fácil ver (por inducción matemática) que sn = 1 si n ;::: ° es par y Sn = ° si
n es impar; por lo tanto, la sucesión de sumas parciales es (1, 0, 1,0, .. '). Puesto
que esta sucesión
no es convergente, la serie (4) es divergente.
c) Considerar la serie
00
1 1 1
---=-+-+-+ ....
n(n + 1) 1·2 2·3 3·4
(5)
Por un golpe de perspicacia, se observa que
1 1
---=----
k(k+1) k k+l
En consecuencia, al sumar estos términos de k = 1 a k = n yadvirtiendo el pro­
ceso telescópico que tiene lugar, se obtiene
1 1
s =---­
n 1 n+1'
de donde se sigue que Sn ---¿ 1. Por lo tanto, la serie (5) converge a 1. o
Se presenta ahora una condición necesaria de gran utilidad y simplicidad para
la convergencia de una serie, la cual, sin embargo, se encuentra muy lejos de ser
suficiente.
3.7.3 El criterio del n-ésimo término Si la serie 2:xn converge, entonces
lím(x
n
)
= O.
Demostración. Por la definición 3.7.l, la convergencia de 2:x
n
requiere que
lím(sk) exista. Así, puesto que x
n = sn -sn-l' entonces lím(x
n
)
= lím(sn) -
lím(sn_l) = O. Q.E.D.

122. 3,7 Introducción a las series infinitas 1
Puesto que el criterio de que se a continuación es tan sólo una
reformulación del teorema 3.5.5, se omite la demostración.
3.7.4
Criterio de para series La serie 2xn converge si y sólo si para
toda E > O existe M( E) E N tal que si m > n ¿ M( E), entonces
(6)
El siguiente resultado, aunque de alcance limitado, es de gran importancia y
utilidad.
3.7.5
Teorema Sea (xJ una sucesión de números reales no negativos, Entonces
la serie
:Z:Xn converge si y sólo si la sucesión S = (sk) de sumas parciales está aco­
tada.
En este caso,
Demostración.
na creciente:
n=l
Puesto que X
n > 0, la sucesión S de sumas parciales es monóto-
Por el teorema de convergencia monótona 3,3.2, la sucesión S
= (s,J converge si
y sólo si está acotada,
en cuyo caso su límite es igual a sup{ sk}' Q,E,D,
3.7.6 Ejemplos a) La serie geométrica (3) diverge si Ir I ¿ 1.
Esto se sigue del hecho de que los términos r
n
no tienden a ° cuando Ir I ¿ l.
00
b) La serie armónica
1 d'
-lVerge.
n
Puesto que los términos 1/n ---c> 0, no puede usarse el criterio del n-ésimo tér­
mino 3.7.3
para establecer esta divergencia. Sin embargo, en los ejemplos 3.3.3b
y 3.5.6c se vio que la sucesión
(sn) de sumas parciales no está acotada. Por lo
tanto, del teorema 3.7.5 se sigue que
1'1-serie armónica es divergente.
00
e) La serie 2 "\:' _1_ es convergente.
,¿ n2
n=l
Puesto que las sumas parciales son monótonas, basta (¿por qué?) demostrar que
alguna subsucesión de
(s,J está acotada. Si k
1
:= 2
1
-
1 = 1, entonces s'c¡ = 1.
Si k
2
:= 2
2
-
1 = 3, entonces
sA = ~ + (_1_+ _1_) <1 +~ = l+~,
'2 1 22 32 22 2

123. Capítulo 3 Sucesiones y series
y si k3 := 1 = 7, entonces se tiene
Por inducción matemática se encuentra que si
Ir¡ := 2i -1, entonces
1 (1)2 (1)i-1
O<s¡ <1+-+ - + ... +-
S 222
Puesto que el término de la derecha es una suma parcial de una serie geométrica
con
r = ±, está dominada por 1/(1 -±) = 2, Y el teorema 3.7.5 implica que la serie
2 converge.
00
La seriep
1
-converge cuando
p > l.
nP
Puesto que el razonamiento es muy similar al caso especial considerado en el
inciso c), se le dejan al lector algunos de los detalles. Como antes, si
k) := 2
1
-
1 = 1, entonces SIc¡ = 1. Si k
2
:= 2
2
-
1 = 3, entonces, ya que 2P < 3P, se tiene
s¡ = _1_+ (_1_ +_1_) <1 + 2.-= 1 +_1_.
(2 lP 2P 3P 2P 2P-1
Además, si k3 := 2
3
-
1, entonces (¿cómo?) se observa que
411
sk <sk +-<1+--
1
+--1'
3 '2 4P 2P-4P-
Por último, se hace r := 1I2P-); como p > 1, se tiene O < r < 1. Aplicando la induc­
ción matemática, se demuestra que si
Ir¡ := 2i -1, entonces
1
O<sk <1+r+r
2
+"'+rJ-1
<--
] 1-r
Por lo tanto, el teorema 3.7.5 implica que la serie p converge cuando p > 1.
00
e) La serie p
l. d
-dlverge cuan o
0< P ,,;1.
nP
Se usa la desigualdad elemental nP S; n cuando n E N y O < P S; l. Se sigue que
1 1
-S;-para n EN.
n nP
Puesto que las sumas parciales de la serie armónica no están acotadas, con esta
desigualdad se demuestra que las sumas parciales de la serie
p no están acotadas
cuando O
< p S; 1. Por consiguiente, la serie p diverge para estos valores de p.
1) La serie armónica alternada, dada por
111 (_l)n+l
=---+-_ ... + ,~ + ...
1 2 3 n
(7)
es convergente.

124. 3,7 Introducción a las series infinitas 1
El lector deberá comparar esta serie con la serie armónica del inciso que es
Por tanto, la sustracción de algunos de los términos en
(7) es esencial
si esta serie tiene que converger, Puesto que se tiene
S2n = (i-±) + (~-¡) + , .. +( 2nl_1 -2
1
n)'
es claro que la subsucesión "par" (S2n) es creciente, Del mismo modo, la subsuce­
sión "impar"
(S2n + 1) es decreciente ya que
s2n+l =}-( ~-1) -( ~-5) -"'-(2~1 -2nl+1)'
Puesto que O < S211 < S211 + 1/(2n + 1) = S211+1 ~ 1, estas dos subsucesiones están
acotadas inferiormente por O y superiorn1ente por l. Por lo tanto, ambas son con­
vergentes y al mismo valor. Así, la sucesión
(sn) de sumas parciales converge, con
lo que se demuestra que la serie armónica alternada (7) converge. (Se encuentra
lejos de ser evidente que el límite de esta serie es igual a
In 2.) O
Criterios de """'"",,w,''''''
El primer criterio indica que si los términos de una serie no negativa están domi­
nados por los términos correspondientes de tilla
serie convergente, entonces la pri­
mera serie es convergente.
3.7.7 Criterio de Sean X := (xn) y Y := (Yn) sucesiones reales y
suponer que para alguna
K E N se tiene
para
n;::: K.
a) Entonces la convergencia de 2:Yn implica la convergencia de 2:xn,
La divergencia de 2:xn implica la divergencia de 2:Yn-
(8)
Demostración. a) Suponer que 2Yn converge y, dada t: > O, sea M(t:) E N tal
que si
m > n ;::: M(t:), entonces
y 11+ 1 + . , . + Ym < t:.
Si m > sup{K, M(t:)}, entonces se sigue que
O ~xn+l + ... + Xm ~Yn+l + ... + Ym < t:,
de donde se sigue la convergencia de 2:xn-
b) Este enunciado es el contrapositivo de a). Q,E,D,
Puesto que en ocasiones es difícil establecer las desigualdades (8), el siguien­
te resultado suele ser de gran utilidad.

125. 16 Capítulo 3 Sucesiones y series
3.7.8 Criterio de 1WlIJf./V!' que X := (x
n
)
y Y :=
son sucesiones o0t¡~lr,lnm y suponer que el límite existe en lR:
a) Si r ;o' 0, entonces es convergente si y sólo si es
Si
r = ° y si 2Yn es convergente, entonces es convergente.
Demostración. a) De y del 3.1 17 se sigue que existe K E N tal
que
±r ~ x,/Yn ~ 2r para n ¿ de donde
para
n:2: K.
Sí se aplica dos veces el criterio de 3.7.7, se obtiene la afirmación
de a).
Si
r = 0, entonces existe K E N tal que
° <xl1 ;S;Yn
para n ¿
en cuyo caso se el teorema 3.7.7a. Q.E.D.
Observación Los criterios de 3.7.7 y 3.7.8 dependen de contar
con un acervo de series cuya convergencia (o divergencia) se conozca. El lector
encontrará que la serie
p suele ser de utilidad para este fin.
oc
1
---converge.
n
2
+ n
3.7.9 a) La serie
Es evidente que la desigualdad
1 1
0<--<-
n
2
+n n
2
para nEN
es válida. Puesto que la serie 2 es convergente (por el ejemplo 3.7.6c), puede
aplicarse el criterio de comparación 3.7.7
para obtener la convergencia de la serie
dada.
00
1
----es convergente.
n
2
-n+1
La serie
Si
la desigualdad
----<­
n2-n+1-n2
(lO)
fuera verdadera, sería posible usar un razonamiento como el del inciso a). Sin
embargo, (10)
esfalsa para toda n E N. Es probable que el lector pueda demos­
trar que
la desigualdad

126. 3,7 Introducción a las series infinitas
2
0<----:5-
-n+l n
2
es válida para toda n E N, Y esta Uv'>'F,uu,cuelU funcionará
go, tomar de
eX!JerlmlEmaClon
establecerla,
Si en vez de ello se toma
X
I1
:=
x
n n
2
Yn n
2
-n+
- n + 1) Y YI1:=
----------;;;,l.
1-(1In)+(1/n
2
)
, entonces se tiene
Por lo tanto, la
"C),,,,pr,,c'n de la selie dada se criterio de ""'01"'''''''
de límites 3.7,8a.
00
e) La serie
1 d'
~es lvergente.
11 n + 1
Esta serie se parece mucho a la serie que es una serie con p = i; por
el ejemplo 3.7.6e, es divergente, Si se hace X
n
:= y Yn := entonces se
tiene
_X_11 = _[;;_n_ = 1 ---;;;, 1
Y
n
~ ¡¡-;u;; .
Por consiguiente, puede el teorema de de límites 3 I8a.
00
La serie
1
-es convergente.
n!
Sería posible establecer esta convergencia demostrando (por inducción mate­
mática) que
n
2
< n! para n ¿ 4, de donde se sigue que
1 1
0<-<-
n! n
2
para n;:: 4.
De manera alternativa, si se hace x := l/n! y Yn := 1/n
2
,
entonces (cuando n ¿ 4)
se tiene
x n
2 n 1
0::;;----'7...-=-= <-----;.0.
Y
n
n! 1·2···(n-) n-2
Por tanto, puede aplicarse el teorema de comparación de límites 3.7.8h (Adviértase
que la aplicación de este teorema resultó
un tanto complicada porque no se conoce
de imnediato la convergencia de cualesquiera series para las que el límite de
x'/Yn
es realmente fácil de determinar,) D
de la sección 3.7
1. Sea 2an una serie dada y sea 2bn la serie en que los términos son los mismos y en el
mismo orden que en
2am excepto porque los términos para los que an = O se han omi­
tido, Demostrar que
2an converge aA si y sólo si 2bn converge aA,

127. 1 Capítulo 3 Sucesiones y series
2. Demostrar que la convergencia de una serie no resulta afectada si se cambia un núme­
ro
finito de sus ténninos. (Desde luego, el valor de la suma puede cambiar.)
3. Utilizando fracciones parciales, demostrar que
00
a)
00
b)
00
c)
1 = 1
( n + 1)( n + 2) ,
1 .
-------=->0 sla>O
( a + n )( a + n + 1) a' ,
n(n+1)(n+2) 4
4. Si ¿x" y ¿Yn son convergentes, demostrar que ¿(x" + YI1) es convergente.
5. ¿Puede citar un ejemplo de una serie
CO¡lVergente ¿x
l1
Y una serie divergente 2,YI1 tales
que
2,(x
l1 + Yn) sea convergente? Expliq~;Sii-respuesta.
ca
6. a) Demostrar que la serie ¿ cos n es divergente.
n=l
ca
b) Demostrar que la serie ¿ (cos n)/112 es convergente.
11=1
7. Utilizar un razonamiento similar al del ejemplo 3. 7.6f para poder demostrar que la serie
ca ( 1)"
¿
----es convergente.
11=1 ¡;;
8. Si ¿a
l1
con a
l1
> O es convergente, entonces ¿¿a; es convergente siempre? Demostrarlo
o dar un contraejemplo.
9. Si
¿a
n
con a
l1
> O es convergente, entonces ¿¿-rc;;: es convergente siempre? Demostrarlo
o dar un contraejemplo.
10.
Si ¿a
l1
con a" > O es convergente, entonces ¿¿ 'l/a" a 11+ 1 es convergente siempre? Demos­
trarlo o dar un contraejemplo.
n. Si ¿a
n
con an > O es convergente y si b" := (al + ... + a,,)/n para n E N, demostrar
que
¿b
l1
es divergente siempre.
ca
12. Sea ¿ a(n) tal que (a(n)) es una sucesión decreciente de números estrictamente
11=1
positivos. Si sen) denota la n-ésima suma parcial, demostrar (agrupando los términos
en
s(2") de dos maneras diferentes) que ~ (a(l) + 2a(2) + ... + 2"a(2n)) ::; s(2
n
)
::;
(a(1) + 2a(2) + ... + 21-
l
a(2"-1») + a(2"). Usar estas desigualdades para demos-
ca ca
trar que ¿ a(n) converge si y sólo si ¿ 2"a(2
n
)
converge. Con frecuencia se hace
11=1 n=1
referencia a este resultado como el criterio de condensación de Cauchy; es muy
poderoso.

128. 3.7 Introducción a las series infinitas
13. Utilizar el criterio de condensación de Cauchy para discutir la serie p
parap > o.
11
(l/n
P
)
14. Usar el criterio de condensación de Cauchy para establecer la divergencia de las
series:
a)
nlnn
b)
n(lnn)(lnlnn) ,
c)
n (Inn )(In Inn )(ln In Inn)
15. Demostrar que si e> 1, entonces las siguientes series son convergentes:
n(lnn)C
b) a)
n (In n )(lnlnn)C

129. Generalmente, por "análisis matemático" se entiende la rama de las matemáticas
en la que se hace uso sistemático de varios conceptos de límites. En el capítulo
precedente se estudió uno de estos conceptos: el límite de una sucesión de núme­
ros reales.
En este capítulo se trata la noción del límite de una función.
La noción rudimentaria de un proceso de límite surgió en los años 1680, cuando
Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716)
se enfrascaron en la crea­
ción del cálculo infinitesimal. Aunque en
lm principio ninguno de los dos conocía el
trabajo del otro y sus enfoques creativos eran muy diferentes, ambos
se percataron de la
necesidad de fonnular la noción de funbón, así como de la idea
de cantidades que
estaban "cerca" una de otra. Newton usó la palabra "fluente" para denotar una rela­
ción entre variables y en 1687, en su obra principal
Principia, examinó los límites "a
los cuales se aproximan más cerca que cualquier diferencia dada, pero nunca ni van
más allá ni en efecto los alcanzan hasta que las cantidades disminuyan
in infinitum".
Leibniz introdujo el término "fimción" para indicar una cantidad que dependía de una
variable e inventó números "irrfinitesimalmente pequeños" como una fonna
de manejar
el concepto de límite. El ténnino "función" pronto se convirtió en la tenninología con­
vencional y Leibniz también introdujo
el ténnino "cálculo" para este nuevo método.
En 1748, Leonhard Euler (1707-1783) publicó su tratado en dos volúmenes
Introductio in Analysin Infinitorum, donde examina las series de potencias, las fimcio­
nes exponencial y logarítmica, las fimciones trigonométricas y muchos temas relacio­
nados. Fue seguido por
Institutiones Calcu/i Differentialis en 1755 y por los tres volú­
menes de
Institutiones Calculi Integralis en 1768-1770. Estas obras se mantuvieron
como los libros
de texto obligados durante muchos años. Pero el concepto de límite
era
muy intuitivo y su vaguedad desembocó en varios problemas. Descripciones ver­
bales del concepto
de límite fueron propuestas por otros matemáticos de la época, pero
ninguna
de ellas era adecuada para proporcionar las bases de demostraciones rigurosas.
En 1821, Agustin-Louis Cauchy (1789-1857) publicó sus cátedras sobre análi­
sis en su
Cours d'Analyse, el cual estableció la norma del discurso matemático
durante muchos años. Cauchy estaba comprometido con el rigor
y elevó en muchas
fonnas el nivel de precisión del discurso matemático. Formuló definiciones y pre­
sentó razonamientos con mayor solicitud que sus predecesores, pero el concepto de
límite seguía sin dejarse atrapar.
En un escrito temprano dio la siguiente definición:
Si los valores sucesivos atribuidos a la misma variable se aproximan inde­
finidamente a un valor fijo, de tal modo que al final difieren de él
por una
121

130. Capítulo 4 Límites
cantidad tan pequeha como se
todos los demás.
a este último se le llama el límite de
Los pasos finales para
fom1Ular una definición precisa de límite le correspondie­
ron a Karl Weierstrass
(l815~ 1897). Weierstrass insistía en un lenguaje preciso y en
demostraciones rigurosas, y su definición de límite es la que se usa hoy en día.
Gottfried Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, Ale­
mania. Tenía seis años de 'edad cuando su padre, profesor de filoso­
fia, murió, dejándole a
su hijo la llave de su biblioteca y una vida de
libros y aprendizaje. Leibniz ingresó a la Universidad
de Leipzig a
los
15 años de edad, se graduó a los 17 y recibió su doctorado en
derecho por la Universidad de Altdorf cuatro años más tarde.
Escribió sobre cuestiones legales, pero tenía mayor interés en la
filosofía. También desarrolló teorías originales sobre
el lenguaje y
la naturaleza del universo. En 1672 estuvo en París como diplomático durante cuatro
años. Mientras estuvo ahí empezó a estudiar matemáticas con
el matemático holandés
Christian Huygens. Sus viajes a Londres para visitar la Academia Real estimularon aún
más su interés en las matemáticas. Sus antecedentes en filosofia
lo llevaron a resultados
muy originales, aun cuando no siempre rigurosos.
Sin conocer
el trabajo inédito de Newton, en los años 1680 Leibniz publicó artícu­
los que presentaban un método para encontrar áreas que hoy
se conoce como el teore­
ma fundamental del cálculo. Acuñó el término "cálculo" e inventó las notaciones
dyjdx
y la "S" alargada que se usan en la actualidad. Desafortunadamente, algunos seguidores
de Newton acusaron a Leibniz de plagio, situación que redtmdó en una disputa que se
prolongó hasta la muerte
de Leibniz. Las formas en que abordaron el cálculo fueron
muy diferentes y
hoyes evidente que sus descubrimientos se hicieron de manera inde­
pendiente. Leibniz
es reconocido hoy por su trabajo en filosofia, pero su fama como
matemático descansa en su creación del cálculo.
En esta sección se introduce la importante noción de límite de una función. La idea
intuitiva de que la función
f tiene un límite L en el punto e consiste en que los valo­
resf(x) están cerca de L cuando x está cerca (pero es diferente) de e. Sin embargo,
es necesario contar con una forma técnica para trabajar con la idea de "cerca de",
lo cual se consigue con la definición
E-O que se presenta a continuación.
Para que la idea del límite de una función
f en un punto e tenga sentido, es
necesario quefesté definida en puntos cercanos a e. No necesita estar definida en
el punto e, pero debe estar definida en un número suficiente de puntos cerca de e
para hacer de interés el estudio. Ésta es la razón de la siguiente definición.
4.1.1 Definición Sea A
~ IR. Un punto e E IR es un punto de acumulación de
A si para toda o> O existe al menos un punto x E A, x -=1-e, tal que Ix -el < o.

131. 4.1 Límites de funciones
Esta definición se reforrrmla en el de vecindades como un
e es un punto de acumulación del conjunto
A si toda vecindad-o Vo
(e) =
(e -o, e + o) de e contiene al menos un punto de A distinto de e.
Nota El punto e puede o no ser miembro de pero inCluso si está en se
ignora cuándo se decide si es o no un punto de acumulación de ya que se re­
quiere explícitamente que puntos en
Vo n A distintos de e para que e sea
un punto de acumulación de A.
Por ejemplo,
si A := {1, 2}, entonces el punto 1 no es un punto de acumula­
ción de
A, ya que si se elige 0:= ~ se obtiene una vecindad de 1 que no contiene
puntos de
A distintos de l. Lo mismo se cumple para el punto 2, por lo que se ve
que
A no tiene puntos de acumulación.
4.1.2 Teorema
Un número c E IR. es un punto de acumulación de un subconjun­
to A de
IR. si JI sólo si existe una sucesión (éln) en A tal que lím( éln) = c JI éln -:f. c para
toda n E N.
Demostración. Si c es un punto de acumulación de entonces para cualquier
n E N la vecindad-(l/n) V
1jn
(c) contiene al menos un punto a
n
en A distinto de e.
Entonces a
n
E A, a
n
-:f. e, y la
n
-
el < l/n implica que lím(a
n
)
= c.
Recíprocamente, si existe una sucesión (a
n
)
en A\{ e} con lím(a
n
)
= e, enton­
ces para cualquier
o> ° existe K tal que si n :::: K, entonces a
n
E Vo ( e). Por lo tanto,
la vecindad-o V
o
(e) de c contiene los puntos al1' para n :::: K, que pertenecen a A y
son distintos de
c. Q.E.D.
En los siguientes ejemplos se hace hincapié en que el punto de acumulación
de un conjunto puede pertenecer o no al conjunto.
4.1.3
Ejemplos a) Para el intervalo abierto A
1
:= (O, 1), todo punto del interva­
lo cerrado
[O, 1] es un punto de acumulación de A 1. Adviértase que los puntos 0, 1
son puntos de acumulación de
A 1, pero no pertenecen a A 1. Todos los puntos de
A 1 son puntos de acumulación de Al'
b) Un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.
e) El conjunto infinito N no tiene puntos de acumulación.
d) El conjunto A4
:= {1/n : n E N} sólo tiene al punto ° como punto de acumu­
lación. Ninguno de los puntos en A4
es un punto de acumulación de A4'
e) Si 1:=
[O, 1], entonces el conjunto As := 1 n CQl consiste en todos los números
racionales en
1. Del teorema de densidad 2.4.8 se sigue que todo punto en 1 es un
punto de acumulación de As.
O
Habiéndose hecho esta breve digresión, se vuelve ahora al concepto de límite
de una función en un punto de acumulación de su dominio.
Definición de límite .. ___________ _
Se enuncia a continuación la definición precisa de límite de una función
f en un
punto e. Es importante advertir que en esta definición resulta inmaterial si f está

132. Capítulo 4 Límites
definida o no en e. De
minación del límite. e se de consideración en la deter-
4.1.4 Definición SeaA
~ ~ y sea e un punto de acumulación de A. Para una fun­
ción!: A -7 ~, se dice que uu número real L es el limite e si, dada cualquier
E> O, existe o> O tal que si x E A Y O < Ix -el < o, entonces If(x) - LI < E.
Observaciones a) Puesto que el valor de o por lo general depende de E, en oca­
siones se escribirá
o( E) en vez de o para enfatizar esta dependencia.
La desigualdad
O < Ix -.el es equivalente a decir x:;é e.
Si L es el límite de f en e, entonces se dice también que f converge a L en c.
Con frecuencia se escribe
L = lím f(x) o L=límf.
X-7C X-7C
Asimismo, se dice que ''f(x) tiende a L cuando x tiende a e". (Pero debe tenerse
presente que los puntos en realidad no se mueven a ningún lado.) También se usa
en ocasiones la simbología
f(x) -7 L cuando x-7e
para expresar el hecho de que f tiene el límite L en e.
Si no existe el límite de f en e, se dice que f diverge en e.
Nuestro primer resultado es que el valor L del límite se encuentra determina­
do de manera única. Esta uuicidad no es parte de la definición de límite, sino que
debe deducirse.
4.1.5 Teorema Si
f: A -7 ~ Y si c es un punto de acumulación de A, entonces
f puede tener un solo límite en c.
Demostración. Suponer que los números L y L' satisfacen la definición 4.1.4.
Para cualquier
E> O, existe 0(E/2) > O tal que si x E A Y O < Ix -el < O(E/2), enton­
ces
If(x) - LI < E/2. También existe ahí o'(E/2) tal que si x E A Y O < Ix -el <
O' (E/2), entonces If(x) L'I < E/2. Sea ahora 0:= Ínf{ o( E/2), o' (E/2)}. Entonces
si
x E A Y O < Ix -el < o, la desigualdad del triángulo implica que
IL -L'I :::; IL -f(x) 1 + If(x) - L'I < EI2 + c/2 = E.
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye que L -L' = O, de donde L = L'.
Q.E.D.
La definición de límite puede describirse muy bien en términos de vecindades.
(Véase la figura 4.1.1.) Se observa que como
V
8(e) = (e -o, e + o) = {x: Ix -el < o}.

133. 4.1 Límites de funciones 1
la O < Ix -el < O es a decir que x *-e y que x Y"';;'ho,n~,'~
a la vecindad-o de e. Del mismo la Ifex) -LI < E es
equivalente a decir
quef(x) a la vecindad-E de L. De este modo,
se obtiene el siguiente resultado. El lector debe desarrollar el razonalJ1iento deta­
llado para establecer el
y
L
Dada VECL)./"i"-----;/
-------+--------~~~H+~----------~x
e
Existe V¿¡C e)
Figura 4.1.1 El límite de f en e es L.
4.1.6 Teorema Sea f: A ~ :IR;, y sea c un punto de acumulación de A. Entonces
los siguientes enunciados son equivalentes.
lím fex) = L.
X-7C
Dada cualquier vecindad-E VE (L) de L, existe una vecindad- O V c,( c) de c tal
que si
x *-c es cualquier punto en Vii (c) n A, entonces f( x) pertenece a VE (L).
Se presentan-ahora algunos ejemplos que ilustran cómo se aplica la definición
de límite.
4.1.7 Ejemplos a) lím b = b.
X-7C
Para ser más explícitos, seaf(x) := b para toda x E R Quiere demostrarse que
lím
f(x) = b. Si s> O está dada, se hace 8 := l. (De hecho, cualquier 8 estrictamente
p¡;~itiva servirá a este fin.) Entonces si O < Ix -el < 1, se tiene If(x) -bl =
lb bl = O < s. Puesto que s> O es arbitraria, de la definición 4.1.4 se concluye que
lím
fex) = b.
X-"7C
lím x = e.
X----7C
Sea g(x) := x para toda x E ffi.. Si s> O, se elige 8(s) := s. Entonces si O <
Ix -el < 8(s), se tiene Ig(x) - cl = Ix -el < s. Puesto que s> O es arbitraria, se
deduce que lím
g = c.
X-7C
e) lím x2 = e
2
.
X-7C
Sea h(x) := x2 para toda x E R Se quiere hacer la diferencia
menor que una
s> O preasignada tomando x lo suficientemente cerca de e. Para
ello, se observa que
x2 -e
2
(x + e)(x -e). Además, si Ix -el < 1, entonces
de donde

134. 1 Capítulo 4 Límites
Por lo tanto, si Ix -el < 1, se tiene
Ix
2
-
e
2
1 = Ix + el Ix -el ~ (21el + l)lx - el,
(1)
Además, este último término será menor que E siempre que se tome Ix -el <
E/(2Iel + Por consiguiente, si se elige
entonces si O
< Ix -el < 8(E), se inferirá primero que Ix -el < 1, por lo que (1)
es válida y, por lo tanto, ya que Ix -el < E/(2Iel + 1), que
Puesto que se cuenta con
una manera de elegir 8(E) > O para una elección arbitra­
ria de
E> O, se infiere que lím h(x) = lím x2 = e
2
.
X-7C X-7C
1
, 1
l· O
1m -x = -:; SI e > .
X-7C (;
Sea cp(x) := l/x para x> O Y sea e > O. Para demostrar que lím cp = l/e, quiere
hacerse
la diferencia X-7C
menor que una E> O preasignada tomando x lo suficientemente cerca de e > O. Se
observa primero que
I
~-~I = I~(e- X)I = ~Ix- el
xe ex ex
para x> O. Resulta conveniente obtener una cota superior para el término l/(ex)
que sea válida en alguna vecindad de e. En particular, si Ix -el < 1e, enton­
ces
~e < x < ~e (¿por qué?), de modo que
1 1
0<-<-
ex e
2
para
Por lo tanto, para estos valores de
x se tiene
lx-el < te.
I
cp(X) -~I ~ ~Ix -el·
e e
2
(2)
A fin de hacer este último término
menor que E basta tomar Ix -el < ~e2E. Por
consiguiente, si se elige
"( ) . -' f {l 1 2 } vE.-m 2e'2eE.
entonces, si O < Ix -el < 8(E), se seguirá primero que Ix -el < ~ e, por lo que
(2) es válida
y, en consecuencia, ya que Ix -el < (~e2)E, que

135. 4.~1 Límites de funciones
Puesto que se cuenta con una fonna de escoger 8(E) > O para una elección arbitra­
ria de
E> O, se infiere que Iím tp = l/c.
x--;.c
-4 4
e) lím--=-.
X---72 x2 + 1 5
Sea lf/(x):= (x
3
-
+ 1) para x E IR.. Entonces, después de algo de álge-
bra, se obtiene
1
41 1
5x3
-4x2 -
24
1
lf/ (x) --= -------'
5 5(x2 + 1)
15x
2
+ 6x + 121
= 5(x2 +1) .[x-2[.
A fin de obtener una cota para el coeficiente Ix -21, se restringe x mediante la
condición 1
< x < 3. Para x en este intervalo, se tiene 5x2 + 6x + 12 :s; 5 . 3
2
+ 6 .
3
+ 12 = 75 Y 5(x2 + 1) ¿ 5(1 + 1) = 10, de donde
I
lf/(X) - ±I:s; 75[x - 2[ = ~[x -2[.
5 10 2'
Ahora, para E > O dada, se elige
8 (E) := ínf {l, ~5 E}.
Entonces si O < Ix -21 < 8(E), se tiene Ilf/(x) - (4/5)1 :s; (15/2)lx - 21 < E. Puesto
que
E> O es arbitraria, la afirmación está demostrada. O
Criterio de sucesiones para limites
La siguiente importante fonnulación del límite de una función se hace en térmi­
nos de límites de sucesiones. Esta caracterización
pennite aplicar la teoría del
capítulo 3 al estudio de límites de funciones.
4.1.8
Teorema (Criterio de sucesiones) Sea f: A ~ .IR;, y sea c un punto de acu­
mulación de
A. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.
lím f=L.
X--;'c
(ii.) Para toda sucesión (x
n
)
en A que converge a c tal que x
n
=f. c para toda n E N,
la sucesión (f(x
n
)) converge a L.
Demostración. (i) => (ii). Suponer que ftiene el límite L en e y suponer que (x
n
)
es una sucesión en A con lím(x
n
)
= e y x
n
=f. e para toda n. Debe demostrarse que
la sucesión
(f(x
n
)) converge a L. Sea E> O que está dada. Entonces, por la defini­
ción
4.1.4, existe 8> O tal que si x E A satisface O < Ix -el < 8, entonces f(x)
satisface If(x) -LI < E. Se aplica ahora la definición de sucesión convergente para
la 8 dada a fin de obtener un número natural K( 8) tal que si n > K( 8) entonces

136. 1 Capítulo 4 Límites
IX
I1 cl < 8. Pero para cada una de estas X
I1
se tiene
n > entonces If(x
n
) -LI < E. Por lo tanto, la
(ii)
=? (1). [La demostración es un razonamiento del contrapositivo.] Si no
es verdadera, entonces existe una vecindad-Eo tal que, sin importar cuál sea
la vecindad-8 de c que se elija, habrá al menos un número Xli en A n VIi(c) con
Xli -=1-c tal que f(xli) ~ ASÍ, para toda n E N, la de c contie­
ne un número
X
n
tal que
o < IX
n cl < l/n y
pero tal que
para toda
n EN.
Se concluye que la sucesión (x
n
)
en A {c} converge a c, pero la sucesión (f(x
n
))
no converge a L. Por lo tanto, se ha demostrado que si (i) no es verdadera, enton­
ces (ii) no es verdadera. Se concluye que (ii) implica (i).
Q.E.D.
En la siguiente sección se verá que muchas de las propiedades básicas de los
límites de funciones pueden establecerse utilizando las propiedades correspon­
dientes de las sucesiones convergentes. Por ejemplo, se sabe
por el trabajo previo
con sucesiones que si
(x
n
)
es cualquier sucesión que converge a un número c,
entonces (x~) converge a c
2
.
Por lo tanto, por el criterio de sucesiones, puede con­
cluirse que la función
h(x) := x2 tiene el límite lím h(x) = c
2
.
X-7C
Criterios de "'¡i,'"v'''4'n
Con frecuencia es importante poder demostrar: (i) que cierto número no es ellími­
te de una función en un punto, o (ii) que la función no tiene un límite. en un punto.
El siguiente resultado es una consecuencia (de
la demostración) del teorema 4.1.8.
Se dejan los detalles de su demostración como importante ejercicio.
4.1.9
Criterios de divergencia Sea A c;;;; IR, sea f: A ~ IR Y sea c E IR un punto
de acumulación de A.
a) Si L E IR, entonces f no tiene el limite L en c si y sólo si existe una sucesión
(x
n
) en A con x
n
-=1-c para toda n E N tal que la sucesión (x
n
)
converge a c pero la
sucesión
(f(x
n
)) no converge a L.
b) La fitnción f no tiene limite en c si y sólo si existe una sucesión (x
n
)
en A con
x
n
-=1-c para toda n E N tal que la sucesión (x
n
)
converge a c pero la sucesión
(f(x
n
)) no converge a IR.
Se presentan ahora algunas aplicaciones de este resultado para mostrar cómo
puede usarse.
4.1.10
Ejemplos a) lím (l/x) no existe en IR.
X-70
Como en el ejemplo 4.1.7d, sea cp(x) := l/x para x> O. Sin embargo, aquí se
considera c = o. El razonamiento usado en el ejemplo 4.1.7d deja de ser válido si
c
= O, ya que no puede obtenerse una cota como la de la expresión (2) de ese

137. 4.1 Límites de funciones 29
De hecho, si se toma la sucesión con x
n :== para n E N, enton-
ces
lím(xJ1) == O, pero == n. Como se la sucesión (¡p(x
n») == (n)
no es convergente en lR'., ya que no está acotada. En por el teorema
4.1.9b, lím
(l/x) no existe en 1Ft
x ...... o
lím sgn(x) no existe.
x ...... o
Sea que la función sgn esté definida por
{
+l para x>O,
sgn(x) :== O para x == O,
-1 para x < O.
Obsérvese que sgn(x) == x/lxl para x -=1-O. (Véase la figura 4.1.2.) Se demostrará
que sgn no tiene límite en
x = O. A este fin, se probará que existe una sucesión (x
n
)
tal que lím(x
n
)
== O, pero tal que (sgn(xJ1)) no converge.
4.1.2 La función signo.
De hecho, sea X
n
:== (-l)"/n para n E N de tal modo que lím(x
l1
) == O. Sin embar­
go, ya que
para
n E N,
del ejemplo 3.4.6a se sigue que (sgn(x
n
)) no converge. Por lo tanto, lím sgn(x) no
existe.
x ...... o
c)* lím sen(l/x) no existe en 1Ft
x ...... o
Sea g(x) :== sen(l/x) para x -=1-O. (Véase la figura 4.1.3.) Se demostrará que g no
tiene límite en e == O presentando dos sucesiones (x
n)
Y (Y11) con X
I1
-=1-O Y Y
n
-=1-O para
toda n E N Y tales que lím(x
n
)
== O Y lím(Yl1) == O, pero tales que lím(g(x
n
)) -=1-
lím(g(yn))' Con base en el teorema 4.1.9, esto implica que lím g no puede existir.
(E l
· . )
x ...... o
xp lcar por que.
De hecho, se recuerda del cálculo que sen t == O si t == nn para n E Z y que
sen
t==+ 1 si t==!n+ 2nn paran E Z.Ahora bien, seax
n
:== l/nnparan E N; enton­
ces
lím(x
n
)
== O Y g(x
n
)
= sen nn== O para toda n E N, de donde lím(g(x
l1») == O. Por
otra parte, sea
Yn :== (~n + 2nn)-1 para n E N; entonces lím(Yl1) == O Y g(Yn) ==
sen(tn+ 2nn) == 1 para toda n E N, de tal modo que lím(g(yn) == 1. Se concluye que
lím
sen(1/x) no existe. O
x ...... o
*A fin de contar con algunas aplicaciones interesantes en este ejemplo yen otros posteriores, se hará uso de propie­
dades muy conocidas de las
funcioJOes trigonométricas y exponenciales que se establecerán en el capítulo 8.

138. 130 Capítulo 4 Límites
Figlllra 4.1.3 La función g(x) = sen(l/x) (x;t O).
D""""",.ne de la sección 4.1
1. Determinar una condición sobre Ix -11 que asegure que:
a)
Ix
2
11<1, b) Ix
2
-
11 < 1/10-
3
c) Ix2-11<1/n para n E N dada, b) Ix
3
-
11 < l/n para n E N dada.
2. Detenninar una condición sobre Ix -41 que asegure que:
b)
I-Vx -21 < 10-
2
3. Sea e un punto de acumulación de A ~ IR Y seaf: A -+ IR. Demostrar que lím f(x) = L
x--+c
si y sólo si lím If(x) - LI = O.
x..-...?c
4. Sea f: IR -+ IR Y sea e E IR. Demostrar que lím f(x) = L si y sólo si lím f(x + e) = L.
X--7C' X---7C
5. Sea J:= (O, a), donde a > O, Y sea g(x) := x2 para x E J. Para cualesquier puntos x, e E I,
demostrar que Ig(x) - e
2
1 ~ 2a Ix -el. Usar esta desigualdad para demostrar que
lím x2 = e
2
para cualquier e E J.
x---tc
6. Sea J un intervalo en IR, sea f: J -+ IR Y sea e E 1. Suponer que existen las constantes
K y L tales que If(x) - LI ~ K Ix -el para x E J. Demostrar que lím f(x) = L.
x--+c
7. Demostrar que lím x
3
= e
3
para cualquier e E IR.
X---7C
8. Demostrar que lím -Vx = -Vc para cualquier e > O.
x--'?c
9. Utilizar la definición E-8 de límite o el criterio de sucesiones para límites a fin de esta­
blecer los siguientes límites:
a) lím
_1_ =-1
x--'?2 1 x '
b) lim _x_ =.!.
x--'?l 1 + x 2 '

139. 4.2 Teol'emas sobre límites
2
c) lím~11 =0,
X-i>O X
d) lím x2 -x+l
x-i>l x+l 2'
10. Usar la definición de límite para demostrar que
a) IÚll (x2 + 4x) = 12, d) Hm x+S =4.
X-i>l 2x+ 3 x-i>2
11. Demostrar que los siguientes límites no existen.
a)
Hm _1_ (x > O), b)
r 1
(x> O), llTI-
X-i>O x2 x-i>O ¡;
c) lún (x + sgn(x», d) lím sen (lIx2).
X-i>O x-i>O
12. Suponer que la funciónf: lR. -> lR. tiene límite L en ° y sea a > O. Si g : lR. -¿ lR. está
definida por
g(x) :=f(ax) para x E lR., demostrar que Iím g(x) = L.
x-i>O
13. Sea CE lR. Y seaf: lR. -¿ lR. tal que Iím(f(x)f = L.
x-i>c
a) Demostrar que si L = O, entonces límj(x) = O.
x--.¿c
b) Demostrar con lffi ejemplo que si L "" 0, entonces es posible que f no tenga lúnite en c.
14. Sea que f: lR. -¿ lR. esté definida haciendof(x) := x si x es racional y haciendo f(x) := °
si x es irracional.
a) Demostrar que
f tiene límite en x = O.
b) Usar un razonamiento de sucesiones para demostrar que si c"" 0, entoncesfno
tiene límite en c.
15. Seaf: lR. -¿ lR., sea J un intervalo abierto en lR. y sea c E 1. Si/¡ es la restricción defa J,
demostrar que fl tiene límite en c si y sólo si f tiene límite en c y que los límites son
iguales.
16. Sea
f: lR. -¿ lR., sea J un intervalo cerrado en lR. y sea c E J. Si f2 es la restricción de f
a J, demostrar que siftiene límite en c entoncesf2 tiene límite en c. Demostrar con un
ejemplo que no se sigue que sih tiene límite en c entoncesftiene límite en c.
Se obtienen a continuación resultados que son de utilidad para calcular límites de
funciones. Estos resultados son paralelos a los teoremas sobre límites para sucesio­
nes establecidos en la sección 3.2. De hecho, en la mayoría de los casos estos resul­
tados pueden demostrarse usando el teorema 4.1.8 y los resultados de la sección
3.2. De manera alternativa, los resultados
de esta sección pueden probarse usando
razonamientos
[0-(5 que son muy similares a los que se emplearon en la sección 3.2.
4.2.1 Definición Sea
A ~ lR, seaf: A --¿ lR y sea e E lR un punto de acumulación
de
A. Se dice que f está acotada en una vecindad de e si existe una vecindad-(5
V
8
( e) de e y una constante M> O tales que se tiene If(x) I ::; M para toda x E A n V
8
( e).

140. 1 Capítulo 4 Límites
4.2.2 Teorema Si A ~ ][{ y f : A -7 ][{ tiene límite en c E ][{, entonces f está aco­
tada en
alguna vecindad de c.
Demostración.
Si L := lím f, entonces para 10 = 1 existe 8> O tal que si O < ~'( -cl < 8,
X-7C
entonces If(x) - LI < 1; en consecuencia (por el corolario 2.2.4a),
If(x) I -ILI :::; If(x) I -L < l.
Por lo tanto, si x E A n V
5
(c), x =F c, entonces If(x) I :::; ILI + l. Si c ~ A, se toma
M = ILI + 1, mientras que si c E A se toma M:= sup{lf(c)1, ILI + l}. Se sigue
que si
x E A n V5(C), entonces If(x) I :::; M. Con esto se demuestra quefestá aco­
tada en
la vecindad V
5
(c) de c. Q.E.D.
La siguiente definición es similar a las que se dieron en la sección 3.2 para
sumas, diferencias, productos y cocientes de sucesiones.
4.2.3 Definición Sea
A ~ ][{ y sean f y g funciones definidas de A a R Se defi­
ne la
suma f + g, la diferencia f -g y el producto fg de A a ][{ como las funcio­
nes dadas por
u + g)(x):= f(x) + g(x), U - g)(x):= f(x) -g(x),
Ug)(x):= f(x)g(x),
para toda x E A. Además, si b E ][{, se define el mú.ltiplo b f como la función dada por
(bf)(x) := bf(x) para toda X EA.
Por último, si h(x) =F ° para x E A, se define el cociente fl h como la función dada por
(
fJex):= f(x) para toda x E A.
h h(x)
4.2.4 Teorema Sea A ~ ][{, sean f y g fitnciones de A a ][{ y sea c E ][{ un punto
de acumulación de A. Además, sea b E R
a) Si lím f = L Y lím g = M, entonces:
X---tC X-7C
lím (f + g) = L + M, lím (f -g) = L -M,
X-7C X-7C
lím (fg) = LM, lím (bf) = bL.
X-7C X-7C
b) Si h : A -7 ][{, si h(x) =F ° para toda x E Ay si lím h = H =F 0, entonces
... x--..¿c
lím( fJ =!::...
X-7C h H
Demostración. Una demostración de este teorema es exactamente similar a la
del teorema 3.2.3.
De manera alternativa, puede demostrarse haciendo uso de los

141. 4.2 Teoremas sobre límites 1
teoremas 3.2.3 Y 4.1.8. Por sea sucesión en tal que x
l1
*-e
para n E N Y e = lím(x
l1
). Del teorema 4.1.8 se sigue que
=L, =M.
Por otra parte, la definición 4.2.3 implica que
Por lo tanto, al aplicarse el teorema 3.2.3 se obtiene
lím(([g)(.,YI1)) = lím([(xn)g(xn))
= [lím([(xn
))][lím(g(x
l1
))] = LM.
Por consiguiente, del teorema 4.1.8 se sigue que
lím([g) = lím((fg)(x
l1» = LM.
X---7C
Las otras partes del teorema se prueban de manera similar. Se le dejan los
detalles al lector.
Q. E.D.
Observaciones 1) Se hace notar que, en el inciso b), se establece el supuesto adi­
cional de que
H = lím h *-O. Si este supuesto no se satisface, entonces el límite
x-Joc
lím f(x)
x-Joc h(x)
puede o no existir. Pero incluso si este límite existe, no puede usarse el teorema
4.2.4b para evaluarlo.
2) Sea A <;;;; lR Y seanl! ,12, ... , /" funciones de A a lR, y sea e un punto de acu­
mulación de
A. Si
Lk := lím I¡e para k = l,.··,n,
x-Joc
entonces del teorema 4.2.4, por un razonamiento de inducción matemática, se
SIgue que
L] + L
2
+ ... + Ln = lím ([] + 1
2
+ ... + In)'
x-Joc
y
En particular, se deduce que si L = lím I y n E N, entonces
x-Joc
Ln = lím([(n))n.
X-Joc

142. Capítulo 4 Límites
4.2.5 a) Algunos de los límites que se establecieron en la sección 4,1
pueden demostrarse usando el teorema 4.2.4, Por ejemplo, de este resultado se
sigue que como lím
x = e, entonces lím x2 = e
2
, y que si e > 0, entonces
X-7C X-7C
b) lím(x
2
+ 1)(x
3
-
4) = 20,
x--+2
, 1 1 1
lím-=--=-,
x-!>c X lím x e
x-!>c
Del teorema 4.2A se sigue que
lún (x2 + l)(x
3
-4) = (lím (x
2 + 1))( lún (x
3 -4))
x--+2 x--+2 x--+2
= 5,4= 20,
e) lún
(x
3
-4J = ~
x--+2 x2 + 1 5 .
Si se aplica el teorema 4.2Ab, se tiene
3 lím (x
3
-
4)
lún x -4 = .:::,x--+...:...=,2 __ _
x-!>2x2
+1 lím(x
2
+1)
x-!>2
4
5
Adviértase que como el límite en el denominador [es decir, lím
(x
2
+ 1) = 5] no es
.
l'bl ~
Igual a 0, entonces el teorema 4.2Ab es ap lca e.
X2 -4 4
d) lún =--=-
x-!>2 3x-6 3
Si se hace f(x) := x2 -4 Y h(x) := 3x -6 para x E ]R, entonces no puede usar­
se el teorema 4.2Ab para evaluar lím
(f(x)¡h(x)) porque
x--+2
H = lím h(x) = lím (3x -6)
x-!>2 x-!>2
= 3 lún-x - 6 = 3·2 - 6 = O.
x--+2
Sin embargo, si x =;t. 2, entonces se sigue que
X2 -4 = (x+2)(x-2) =~(x+2),
3x-6 3(x-2) 3

143. 4.2 TeoremCis sobre límites 1
Se tiene, por tanto,
, x2 -4 ,1 1 ( , ) 4
lnn
--= lnn -(x + 2) = -lnn x + 2 =-.
X--72 3 x -6 X--72 3 3 X--72 . 3
Adviértase que la función
g(x) = (x
2
-4)/(3x -
6) tiene límite en x = 2 aunque no
esté definida ahí.
e) lím -xl no existe en IR.
X--70
Desde luego, lím 1 = 1 Y H:= 1ím x = O. Sin embargo, ya que H = O, no puede
X--70 X--70
usarse el teorema 4.2.4b para evaluar lím (l/x). De hecho, como se vio en el ejemplo
X--70
4.1.l0a, la función cp(x) = l/x no tiene límite en x = O. Esta conclusión también
puede seguirse del teorema 4.2.2, ya que la función
cp(x) = l/x no está acotada en una
vecindad de x
= O. (¿Por qué?)
1) Si p es una función polinómica, entonces lím p(x) = p(c).
X--7C
Sea p una función polinómica en IR tal que p(x) = anx
n
+ an_jX
n
-
j
+ ... +
ajX + ao para toda x E IR. Del teorema 4.2.4 y del hecho de que lím xk = c
k
se
X--7C
sigue que
lím
p(x) = lím [anx
n + a
n
-
1
x
n
-
l + ... + al x + a
o
]
X--7C X--7C
= lím (a
n
xn) + lím (a
n
-l
xn-l) + ... + lím (al x) + lím a
o
X--7C X--7C X--7C X--7C
= anc
n + an_lc
n
-
l + ... + alc + a
o
= p(c).
En consecuencia, lím p(x) = p(c) para cualquier función polinómica p.
X--7C
g) Si p y q son funciones polinómicas en IR y si q( c) * O, entonces
lím
p(x) = p(c) .
X--7C q(x) q(c)
Puesto que q(x) es una función polinómica, de un teorema de álgebra se sigue que
haya lo sumo un número finito de números reales al, ... , a
m
[los ceros reales de
q(x)] tales que q( a) = O y tales que si x ~ {al, ... , a
m
}, entonces q(x) * O. Por
consiguiente, si
x ~ {al, ... , a
m
}, puede definirse
p(x)
r(x):=-.
q(x)

144. 1 Capítulo 4 Límites
Si c no es un cero de entonces q(c) i= ° Y del inciso f) se sigue que lím q(.y;) =
x~c
q(c) i= O. Por tanto, puede aplicarse el teorema 4.2.4b para concluir que
· lím
p(x)
lím p(x) = x~c p(c)
o
X~C q(x) lím q(c)
x~c
El siguiente resultado es el análogo directo del teorema 3.2.6.
4.2.6
Teorema Sea A <;;;; lR, sea f: A -c7 lR Y sea c E lR un punto de acumulación
de
A. Si
a:::; f(x):::; b para toda X E A, i= c,
y si lím f existe, entonces a :::; lím f:::; b.
x~c x~c
Demostración. De hecho, si L = lím f, entonces del teorema 4.1.8 se sigue que
x~c
si (x
ll
) es cualquier sucesión de números reales tal que c i= x
n
E A para toda n E N
Y si
la sucesión (x,,) converge a c, entonces la sucesión (f(x
n
)) converge a L. Puesto
que
a :::;f(x,,):::; b para toda n E N, del teorema 3.2.6 se sigue que a:::; L:::; b.
Q.E.D.
Se enuncia ahora el análogo del teorema de compresión 3.2.7. La demostra­
ción se le deja al lector.
4.2.7
Teorema de compresión Sea A <;;;; lR, sean f, g, h: A -7lRy sea c E lR un
punto de acumulacióri de A. Si
f(x) :::; g(x) :::; h(x) para toda X E A, x i= c,
y si lím f = L = lím h, entonces lím g = L.
X-7C X-7C X-7C
4.2.8 Ejemplos a) lím x
3
/
2
= ° (x> of
X-70
Seaf(x) :=x
3
/
2
para x > O. Puesto que la desigualdad x < x
1
/
2
:::; 1 se cumple para
° < x :::; 1 (¿por qué?), se sigue que x2 :::; f(x) = x
3
/
2
:::; x para ° < x:::; 1. Puesto que
lím
x2 = °
x~O
y límx=O,
X~O
del teorema de compresión 4.2.7 se sigue que lím x
3
/
2
= O.
X-70
b) lím sen x = O.
X-70
Más adelante se demuestra (véase el teorema 8.4.8) que
-x:::; sen x:::; x para toda x;::: O.

145. 4.2 Teoremas sobre límites 1
Puesto que = 0, del teore~1a de cornuíreS:lon se sigue que lím sen x = O.
x-c>O
e) lím cos x = 1.
x-c>O
Más adelante se demuestra (véase el teorema 8.4.8) que
para toda
X E lR. (1)
Puesto que lím (1 -~ x2) = 1, del teorema de compresión se sigue que lím cos x = l.
x-c>O x-c>O
(
cosx -1)
lim ---=cO.
X-tO x
No puede usarse el teorema 4.2Ab para evaluar este límite. (¿Por qué no?) Sin
embargo, de la desigualdad (1) del inciso
c) se sigue que
para
x>O
y que
° ::; (cos x -1) / x ::; -~x para x < O.
Ahora seaf(x) := -x/2 para x ¿ ° y seaf(x) := ° para x < 0, y sea h(x) := ° para
x ¿ 0, y sea h(x) := -x/2 para x < O. Se tiene entonces
f(x) ::; (cos x -1) / x ::; h(x) para x;toO.
Puesto que se observa de inmediato que lím
f = 0= lím h, del teorema de compre-
x-c>O x-c>O
sión se sigue que lím (cos x -1) / x = O.
x-c>O
l
sen xJ
e) lim --= 1.
x-tO X
De nueva cuenta, no puede usarse el teorema 4.2.4b para evaluar este límite.
Sin embargo, más adelante se demuestra (véase el teorema
8A.8) que
x -i x
3
::; sen x ::; x para x ¿ O.
Y que
x ::; sen x ::; x -i x
3
para x::; O.

146. Capítulo 4 Límites
Por lo tanto, se que
1 -
i X2 ::; (sen x) / x ::; 1 para toda x;t O.
Pero como lím (1 -1..6 x2) = 1 -1..6 . lím x2 = 1, del teorema de compresión se infiere
x~o x~o
que lím (sen x) / x = 1.
x~o
1) lím (x sen(l/x)) = o.
x~o
Seaf(x) = x sen(l/x) para x ;t O. Puesto que -1 ::; sen z ::; 1 para toda z E lR.,
se tiene la desigualdad
-1 xl ::;f(x) = x sen(l/x)::; Ixl
para toda x E lR., x;t o. Puesto que lím Ixl = O, del teorema de compresión se sigue
x~o
que lím f= o. Para una gráfica, véase la figura 5.l.3. O
x~o
Hay resultados que son paralelos a los teoremas 3.2.9 y 3.2.10; sin embargo,
se dejarán como ejercicios. Se concluye esta sección con
un resultado que es, en
cierto sentido, el recíproco parcial del teorema 4.2.6.
4.2.9 Teorema Sea A e lR., sea f : A --¿ lR. Y sea c E lR. un punto de acumulación
de
A. Si
límf> O
x--?c
[
O
bien, límf < 0J,
x--?c
entonces existe una vecindad V
8
(c) de c tal que f(x) > O [o bien, f(x) < O] para
toda
x E A n V
8
(c), x;t c.
Demostración. Sea L := lím f y suponer que L > O. Se toma 8 = 1..
2
L > O en la
x~c
definición 4.1.4 y se obtiene un número 8> O tal que si O < Ix -el < 8 Y x E A,
entonces If(x) -LI < 1 L. Por tanto (¿por qué?), se sigue que si x E A n V
8
(c),
x;t e, entoncesf(x) > 1 L > O.
Si L < O se sigue un razonamiento similar. Q.E.D.
de la sección 4.2
1. Aplicar el teorema 4.2.4 para determinar los siguientes límites:
a) lún (x + 1)(2 x + 3) (x E lR),
(b)
r x2 +2
(x > O), 1lll---
x~l
x--?lx2 -2
c)
lím ( 1
X--72 x+1 LJ
(x > O), (d)
r x+1
(x E lR), Iill--
X--70X
2 +2

147. 4.2 Teoremas sobre límites 1
2. Determinar los límites siguielJ,tes e indicar los teoremas que se usan en cada caso.
(Quizá el lector desee hacer uso del ejercicio
14 siguiente.)
) , f$X+l
a hm --(x> O),
X-12 x+3
2 -4
(b) lím _x __ . (x > O),
x-12X
2
-2
(x+l)2 -1
a) lím (x> O),
X-10 X
(b) lím ¡; -1 (x> O).
X-11 x-l
3. Encontrar l' .JI + 2x -53 d d O
Illl , on e x > .
X-10 x+ 2x2
4. Demostrar que lím cos(l/x) no existe pero que lím x cos(l/x) = O.
X-10 X-10
5. Sea que f, g estén definidas de A (;;; IR a IR y sea e un punto de acumulación de A.
Suponer que f está acotada en una vecindad de e y que ,~!;~ g = O. Demostrar que
límfg = O.
X-1C
6. Usar la definición de límite para demostrar el primer enunciado del teorema 42Aa.
7. Utilizar la formulación en términos de sucesiones del límite para demostrar el teorema
42Ah
8. Sea n E N tal que n ~ 3. Deducir la designaldad -x
2
:::; xn :::; x2 para -1 < x < L Usar
despnés el hecho de que
lím x2 = O para demostrar que lím xn = O.
X-10 X-10
9. Sea que f, g estén definidas de A a IR y sea e un punto de acumulación de A.
a) Demostrar que si ,tanto lím f como lím(f + g) existen, entonces lím g existe.
x---fc x---..?c X-7C
b) Si lím f y lím fg existen, ¿se sigue que lím g existe?
x--.?c X-7C X-7C
10. Dar ejemplos de funciones fy g tales que f y g no tengan límite en un punto e, pero
tales que tanto f
+ g como fg tengan límites en e.
11. Determinar si los siguientes límites existen en IR.
a) lím sen(1/x2) (x oF O),
X-10
b) lím x sen(l/x2) (x oF O),
X-10
c) lím sgn sen(l/x) (x * O),
X-10
d) lím ~ sen(l/~) Cx> O).
X-10
12. Seaf: IR ~ IR tal quef(x + y) = f(x) + f(y) para toda x, yen IR. Suponer que lím f = L
X-10
existe. Demostrar que L = O Y probar después que f tiene límite en todo punto e E IR.
[Sugerencia: adviértase primero quef(2x) = f(x) + f(x) = 2f(x) para x E IR. Adviértase
asimismo
quef(x) =f(x-e) + fCe) para x, e en IR.]

148. Capítulo 4 Límites
B. Sea A c:;;; lIl:., sea!: A -7 lIl:. Y sea e E lIl:. un punto de acumulación de A. Si }~~ f existe
y si Ifl denota la función definida para x E A por Ifl(x) := If(x)l, entonces demostrar
que
l~ Ifl = I}~fl
14. Sea A c:;;; lIl:., sea f: A -7l1l:. Y sea e E lIl:. un punto de acumulación de A. Suponer además
quef{x) ;". O para toda x E A, Y sea -{J la función definida para x E A por Ul) (x):=
-Vf(x). Si l~~fexiste, demostrar que }~~ -{J = ~1~~f.
En esta sección se examinan tres tipos de ampliación de la noción de límite de una
función que ocurren con fiecuencia. Puesto que todas las ideas presentadas son estre­
chos paralelos de las que ya se han tratado, esta sección se puede leer con facilidad.
Limites por un lado
Hay ocasiones en que una función f puede carecer de límite en un punto c y, no
obstante, el límite existe cuando la función se restringe a un intervalo a uno de los
lados del punto de acumulación
c.
Por ejemplo, la función signo considerada en el ejemplo 4.1.1 Ob, e ilustrada en
la figura 4.1.2, no tiene límite en c = O. Sin embargo, si la función signo se restrin­
ge al intervalo
(O, 00), la función resultante tiene el límite 1 en c = O. Del mismo
modo, si la función signo se restringe al intervalo
(-00, O), la función resultante
tiene el límite
-1 en c = O. Los anteriores son ejemplos elementales de límite por
la derecha y por la izquierda en c = O.
4.3.1 Definición Sea A E ~ Y seaf: A -7 R
(i) Si c E ~ es un punto de acumulación del conjunto A n (c, 00) = {x E A : x > c},
entonces se dice que L E ~ es el límite por la derecha de f en c y se escribe
lím f=L
X--7C+
o lím f(x) = L
X--7C+
si dada cualquier 8> O existe 8 = 8(8) > O tal que para toda x E A con O < x­
c < 8, entonces If(x) - LI < 8.
(ii) Si c E ~ es un punto de acumulación del conjunto A n (-00, c) = {x E A :
x
< c}, entonces se dice que L E ~ es el límite por la izquierda de f en c y
se escribe
lím
f=L
x~c-
o lím f(x) = L
X--7C-
"Gran parte de esta sección puede omitirse en una primera lectura de este capítulo.

149. 4.3 Algunas ampliaciones del concepto de límite
si dada cualquier e > O existe 15 > O tal que para toda x E A con O < c -x < 15,
entonces If(x) - LI < E.
Notas 1) Los límites lím f y lím f se llaman limi.tes un lado en c. Es
X-J>c+ X-J>C-
posible que ninguno de los dos límites por un lado exista. Asimismo, uno de ellos
puede existir sin que el otro exista. Del mismo modo, como es el caso de
f(x) :=
sgn(x) en
c = O, ambos pueden existir y ser diferentes.
2) Si A es un intervalo con punto terminal izquierdo c, entonces se observa de
inmediato que
f: A ---¿ lFk tiene límite en c si y sólo si tiene límite por la derecha
en
c. Además, en este caso el límite lím fy el límite por la derecha lím f son
x-J>c x-J>c+
iguales. (Una situación similar ocurre para el límite por la izquierda cuando A es
un intervalo con punto tenninal derecho
c.)
El lector puede demostrar que f sólo puede tener un límite por la derecha (o
bien,
por la izquierda) en un punto. Estos resultados son análogos a los que se
establecieron en las secciones 4.1
y 4.2 para límites por los dos lados. En particu­
lar, la existencia de límites
por un lado puede reducirse a consideraciones en tér­
minos de sucesiones.
4.3.2
Teorema Sea A ~ 1Fk, sea f : A ---¿ lFk Y sea c E lFk un punto de acumula­
ción de
A n (c, 00). Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
(i) lím f= L.
X-J>C+
(ii) Para cualquier sucesión (x
n
) que converge a c tal que X
n
E A Y x
n > c para
toda
n E N, la sucesión (f(x
n» converge a L.
Se le deja al lector la demostración de este resultado (y la fonnulación y
demostración del resultado análogo para límites por la izquierda). No se ocupará
espacio para repetir las formulaciones de la versión para un lado de los demás
resultados de las secciones 4.1 y 4.2.
El siguiente resultado relaciona el concepto de límite de una función con los
límites por un lado. La demostración se deja como ejercicio.
4.3.3
Teorema Sea A ~ 1Fk, sea f : A ---¿ lFk Y sea e E lFk un punto de acumula­
ción tanto de
A n (e, 00) como de A n (-00, e). Entonces Iím f = L si y sólo si
x-J>c
lím f = L = lím f.
X-J>C+ X-J>C-
4.3.4 Ejemplos a) Seaf(x) := sgn(x).
En el ejemplo 4.1.1 Ob se vio que la función signo no tiene límite en O. Es claro
que Iím sgn(x) =
+ 1 y que lím sgn(x) = -l. Puesto que estos límites por un lado
X-J>O+ X-J>O-
son diferentes, del teorema 4.3.3 también se sigue que sgn(x) no tiene límite en O.

150. Capítulo 4 Límites
Seag(x) := el/x para x ,,= O. (Véase la figura 4.3.1.)
-------------------------~-~-~-----
--------------~~------------------~x
Figura 4.3.1 Gráfica de g(x) = el/x (x *" O).
Se demuestra primero que g no tiene límite por la derecha finito en e = ° ya
que no está acotada en ninguna vecindad (O, 8) a la derecha de O. Se hará uso de
la desigualdad
0< t < el para t> 0, (1)
que se establecerá más adelante (véase el corolario 8.3.3).
De (1) se sigue que si
x > 0, entonces ° < l/x < el/x. Por consiguiente, si se toma x
n
= l/n, entonces
g(x
n
)
> n para toda n E N. Por lo tanto, lím el/x no existe en R
x~o+
Sin embargo, lím el/x = O. De hecho, si x < ° y se toma t = -l/x en (1), se
x~o-
obtiene ° < -l/x < el/X. Puesto que x < 0, esto implica que O < e
l
/
x
\< -x para
toda x < O. De esta desigualdad se sigue que lím el/x = O.
x~o-
e) Sea h(x) := l/(e
l
/x
+ 1) para x,,= O. (Véase la figura 4.3.2.)
En el inciso b) se vio que O < l/x < el/x para x> 0, de donde
1 1
0< <--<x,
ellx+l el/x
lo cual implica que lím h = O.
x~o+

151. 4,3 Algunas ampliaciones del concepto de límite 143
----------------------------------
--------------------~----------------~~x

Figura 4.3.2 Gráfica de h(x) = 1/(e
1
/x
+ l)(x * O),
Puesto que en el inciso b) se vio que lím el/x = 0, del análogo del teorema
4.2.4b para límites por la izquierda se sigJe'&ue
lím ( 1 J = 1 = _1_ = 1.
X-70-el/x + 1 lím e
1
/x + 1 0+1
X-70-
Obsérvese que para esta función existen ambos límites por un lado en ]R, pero son
diferentes.
O
Límites infinitos
La función/(x) := 1/x2 para x =f. ° (véase la figura 4.3.3) no está acotada en una
vecindad de
0, por lo que no tiene límite en el sentido de la definición 4.1.4. Aun
cuando los símbolos
00 (= +00) Y -00 no representan números reales, en ocasio­
nes es útil poder decir que
''f(x) = 1/x2 tiende a 00 cuando x -¿ O". Este uso de
±oo no causará ninguna dificultad, siempre que se tenga cuidado de no interpretar
nunca 00 o -00 como números reales.
==~~------+------=~~x
Figura 4.3.3 Gráfica de
f(x) = l/x
2
(x * O).
Figura 4.3.4 Gráfica de
g(x) = l/x (x * O).

152. 144
4.3.5 Definición Sea A ~ IR, sea f: A -¿ IR Y sea e E IR un
ción de A.
Se dice a 00 cuando x -¿ e y se escribe
lím
f = 00,
X---7C
Capítulo 4 Límites
de acumula-
si para toda
a E IR existe (j = (j( a) > O tal que para toda x E A con ° < Ix -el < (j,
entoncesf(x) > a.
Se dice que f tiende a -00 cuando x -¿ e, y se escribe
lím
f = -00,
X--7C'
si para toda [3 E IR existe (j = 8([3) > O tal que para toda x E A con O < Ix -el < 8,
entoncesf(.,y) < [3.
4.3.6 a) lím (l/x2) = oo.
X--70
Ahora bien, si a > ° está dada, sea 8 := l/fa. Se sigue que si O < Ixl < 8,
entonces x2 < l/a, de donde l/x2 > a.
Sea g(x) := l/x para x i' O. (Véase la figura 4.3.4.)
La función g no tiende ni a 00 ni a -00 cuando x -¿ O. Esto es, si a> 0, enton­
ces
g(x) < a para toda x < O, por lo que g no tiende a 00 cuando x -¿ O. Del mismo
modo, si
[3 < 0, entonces g(x) > [3 para toda x> 0, por lo que g no tiende a -00
cuando x -¿ O.
Aun cuando muchos de los resultados de las secciones 4.1 y 4.2 tienen amplia­
ciones de acuerdo con este concepto de límite, no es el caso para todas ellas,
ya
que ±oo no son números reales. El resultado siguiente es el análogo del teorema
de compresión 4.2.7. (Véase también el teorema 3.6.4.)
.
4.3.7 Teorema Sea A ~ IR, sean f, g : A -¿ IR Y sea c E IR un punto de acumu-
lación de A. Suponer que f(x) :'S: g(x) para toda x E A, xi' c.
a) Si lím f = 00, entonces lím g = oo.
X--7C X--7C
b) Si lím g = -00, entonces lím f = -oo.
X--7C X--7C
Demostración. a) Si lím f = 00 y a E IR está dada, entonces existe 8( a) > ° tal
X--7C
que si ° < Ix -el < 8(a) y x E A, entoncesf(x) > a. Pero comof(x):'S: g(x) para
toda x E A, x i' e, se sigue que si O < Ix -el < 8( a) y x E A, entonces g(x) > a.
Por lo tanto, lím g = oo.
X---7C
La demostración del inciso b) es similar. Q.E.D.
La función g(x) = l/x considerada en el ejemplo 4.3.6b sugiere que podría
resultar conveniente considerar límites infinitos
por un lado. Se definen tan sólo
los límites infinitos
por la derecha.

153. 4.3 Algunasampliaciones del concepto de límite
4.3.8 Definición Sea A <;;; ~ y seaf: A ~ R Si C E ~ es un
ción del conjunto A
n 00) = {x E A : x > c}, entonces se dice
[o bien a -00] cuando x ~ c+ y se escribe
lím
f= 00
X--7C+
[
obien, Iím f=-ool,
X--7C+
de acumula­
aoo
si para toda a E ~ existe 8 = > O tal que para toda x E A con O < x -c < b,
entoncesf(x) > a [o bien, f(x) < al
4.3.9 a) Sea g(x) := l/x para x =!= O. En el ejemplo 4.3.6b se estable-
ció que lím
g no existe. Sin embargo, es un ejercicio sencillo demostrar que
X--70
lím (l/x) =00 y lím (l/x) =-00.
X--7O+ x-+o-
b) En el ejemplo 4.3.4b se vio que la función g(x) := el/x para x =!= O no está aco­
tada en ningún intervalo
(O, b), 8> o. En consecuencia, el límite por la derecha de
el/x cuando x ~ 0+ no existe en el sentido de la definición 4.3.l(i). Sin embargo,
puesto que
Vx
< el/x para x> 0,
se observa de inmediato que lím
el/x = 00 en el sentido de la definición 4.3.8. D
X--7O+
Límites en el infinito
También es deseable definir la noción del límite de una función cuando
x ~ oo.
La definición cuando x ~ -00 es similar.
4.3.10 Definición Sea A <;;; ~ y sea f: A ~ R Suponer que (a, 00) <;;; A para
alguna
a E R Se dice que L E ~ es limi.te de f cuando x ~ 00 y se escribe
lím
f=L o lím f(x)=L,
X--7CXl X--7CXl
si dada cualquier 8 > O existe K = K( 8) > a tal que para cualquier x > K, entonces
If(x) -LI < 8.
El lector debe advertir la estrecha semejanza entre 4.3.10 y la definición de
límite de
una sucesión.
Se le deja al lector demostrar que los límites de
f cuando x ~ ±oo son únicos
siempre que existen. También se cuenta con criterios
en términos de sucesiones
para estos límites; sólo se enuncia el criterio cuando
x ~ oo. Para ello se usa ahí la
noción de límite de una sucesión propiamente diyergente (véase la definición 3.6.1).

154. 146 Capítulo 4 Límites
4.3.11 Teorema Sea A e lR, sea f: A ~ IR Y suponer que (a, 00) e A para algu­
na
a E IR. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
L=límf.
X-'7oo
(H) Para cualquier sucesión (x
n
)
en A n Ca, 00) tal que lím(x
n
) = oo,la sucesión
(f(x
n
)) converge a L.
Se le deja al lector la demostración de este teorema y la formulación y demos­
tración del resultado correspondiente para el límite cuando
x ~ -oo.
4.3.12 Ejemplos a) Sea g(x) := l/x para x 1= O.
Es un ejercicio elemental demostrar que lím(l/x) = O = lím (l/x). (Véase la
X----7CXJ X----7-00
figura 4.3.4.)
b) Seaf(x):= l/x
2
para
x 1= O.
El lector puede demostrar que lím (l/x
2
)
= O = lím (l/x2). (Véase la figura
X-'7OCl X-'7-OCl
4.3.3.) Una manera de hacerlo es prol)ar que si x?: 1, entonces O:::; l/x2:::; l/x. Con
base en el inciso a), esto implica que lím
(l/x
2
) =
O. D
X-'7oo
Así como resulta conveniente poder decir que f(x) ~ too cuando x ~ c para
c E IR, también lo es contar con la 'nocióncorrespondiente cuando x ~ too. Se
aborda el caso en que
x ~ oo.
4.3.13 Definición SeaA e IR y sea!: A ~ IR. Suponer que (a, 00) CA para algu­
na a E A. Se dice que f tiende a 00 [o bien, a -00] cuando x ~ 00 y se escribe
lím
f=oo
X-'7oo
[
O bien, lím
f = -00],
X-'7OCl
si dada cualquier a E IR existe K = K( a) > a tal que para cualquier x > K, enton­
cesf(x) > a [o bien,f(x) < a].
Como antes, hay un criterio en términos de sucesiones para este límite .
. .
4.3.14 Teorema Sea A E IR, sea f: A ~ IRy suponer que (a, 00) cApara algu­
na a E IR. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
(i) lím f= 00 [o bien, lím f= -00].
x -'700 X-'7oo
(ii) Para toda sucesión (xJ en Ca, 00) tal que lím(x
n
) = 00, entonces lím (f(xJ) = 00
[o bien, lím(f(x
n
)) = -00].
El siguiente resultado es el análogo del teorema 3.6.5.
4.3.15 Teorema Sea A e IR, sean f, g : A ~ IR Y suponer que (a, 00) e A para
alguna
a E IR. Suponer además que g(x) > O para toda x > a y que para alguna
L E IR, L 1= O, se tiene
lím f(x) = L.
X-'7oo g(x)

155. 4.3 Algunas ampliaciones del concepto de límite
Si L > 0, entonces f == 00 si y sólo si
Si L < 0, entonces lím f == -00 si y sólo si
X-7DC
g ==00.
Demostración. (i) Puesto que L > 0, la hipótesis implica que existe al> a tal que
Por lo tanto,
se tiene (~L)g(x) < f(x) < (~L)g(x) para toda x> a¡, de donde se
sigue
de inmediato la conclusión.
La demostración
de (ii) es similar. Q.E.D.
Se le deja al lector formular el resultado análogo cuando x -¿ -oo.
4.3.16 Ejemplos a) lím xl1 == 00 para n E N.
X-700
Sea g(x) :== xl1 para x E (O, 00). Dada (X E IR;" sea K :== sup {1, (X}. Entonces para
toda
x> K, se tiene g(x) == xl1 ¿ x> (x. Puesto que (X E IR;, es arbitraria, se sigue que
lím
a== oo.
X---700 b
lím xl1 == 00 para n E N, n par, y lim xn == -00 para n E N, n impar.
X-700 X-7-00
Se trata el caso en que n es impar, por ejemplo, n == 2k + 1 con k == O, 1, .. '.
Dada (X E IR;" sea K:== ínf{ (x, -1 }. Para cualquier x < K, entonces como (x
2i' ¿ 1,
se tiene que xn == (x
2)" x S x < (x. Puesto que (X E IR;, es arbitraria, se sigue que
lím
xn == -oo.
X-7-00
e) Sea p : IR;, -¿ IR;, la función polinómica
Entonces lím
p == 00 si a
n > O Y lím p == -00 si a
n < O.
x--ioo X---700
De hecho, sea g(x) :== xl1 y se aplica el teorema 4.3.15. Puesto que
p(x)
:== a
n + an-l (~) + ... + al (_1-.) + ao (_1 ],
g(x) x xn-l xn
se sigue que lím (P(x)/g(x)) == an0 Puesto que lím g == 00, la afirmación se sigue
X---700 X---700
del teorema 4.3.l5.
d) Sea p la función polinómica del inciso c). Entonces lím p == 00 [o bien, -00]
X---7-00
si n es par [o bien, impar] y a
n > O.
Se le dejan los detalIes al lector. D

156. 148 Capítulo 4 Límites
de la sección 4.3
1. Demostrar el teorema 4.3.2.
2. Dar
un ejemplo de una función que tenga límite por la derecha pero no por la izquier­
da en un punto.
3.
Seaf(x) := Ixl-
1/2
para x"" O. Demostrar que lím f(x) = lím f(x) = +00.
x--¿Ü+ x--¿ü-
4. Sea e E R Y sea que f esté definida para x E (e, 00) y j(x) > ° para toda x E (e, 00).
Demostrar que lím f = 00 si y sólo si lím l/f = O.
x~c x~c
5. Evaluar los siguientes límites o demostrar que no existen.
a) lím _x_ (x"" 1), b) lím~ (x"" 1),
x--¿l+ x-l x--¿lx-l
c) lím (x + 2)/f; (x > O), d) lím (x + 2)/f; (x> O),
x--¿ü+ x-+co
e) lím (.Jx + 1 )/x (x> -1), f) lím (.¡;;+i )/x (x> O),
x--¿ü X-7CXJ
g)
f; -5
h) r f; -x ( O)
lím --:¡;;--(x > O), Illlf; x>.
x--¿oc x + 3 x--¿oc X + x
6. Demostrar el teorema 4.3.11.
7. Suponer
quef y g tienen límites en R cuando x ~ 00 y que f(x) :s; g(x) para toda
x E (a, 00). Demostrar que lím f:S; lím g.
X---7oo X----"-7CO
8. Sea que f esté definida de (O, 00) a :IR. Demostrar entonces que lím f(x) = L si y
sólo si lím
f(l/x) = L. • x--¿CX)
x--¿ü+
9. Demostrar que sif: (a, 00) ~ R es tal que lím xf(x) = L, donde LE R, entonces
lím f(x) = O. x--¿oc
X-.700
10. Demostrar el teorema 4.3.14.
11. Suponer que lím f(x) = L, donde L > 0, y suponer que lím g(x) = oo. Demostrar que
X---7C X----tC
límf(x)g(x) = oo. Si L = 0, demostrar con un ejemplo que esta conclusión puede fallar.
X--7C
12. Encontrar las funcionesfy g definidas en (O, 00) tales que lím f= 00 y lím g = 00, y
X----7CXJ x---+oo
x~~ (f -g) = O. ¿Puede el lector encontrar funciones que cumplan con estas condiciones,
y con g(x)
> ° para toda x E (O, 00), tales que }~~ fjg = 07
13. Sea quefy g estén definidas en (a, 00) y suponer que lím f= L Y lím g = oo.
~ X---700 X----tOO
Demostrar que 11m f o g = L.
X--7oo

157. Se inicia ahora el estudio de la clase más importante de funciones que surge en el
análisis real: la clase de las funciones continuas. El tém1ino "continua" se ha
usado desde la época de Newton para referirse al movimiento de un cuerpo o para
describir una curva sin interrupciones, pero no se hizo preciso sino hasta el siglo
XIX. Los trabajos de Bernhard Bolzano en 1817 y de Augustin-Louis Cauchy en
1821 identificaron la continuidad como una propiedad muy importante de las fun­
ciones y propusieron definiciones, pero como el concepto está vinculado con
el de
límite, fue el meticuloso trabajo de KarlWeierstrass en los años 1870 el que apor­
tó la comprensión apropiada de
la idea de continuidad.
Se definen primero
las nociones de continuidad en un punto y de continuidad en un
conjunto, para después establecer que varias combinaciones
de nmciones continuas dan
lugar a funciones continuas. Después, en la sección 5.3,
se establecen las propieda­
des fundamentales que hacen tan importantes las funciones continuas. Por ejemplo,
se demuestra que una nmción continua en un intervalo acotado cerrado debe alcan­
zar un valor máximo y un valor
mÍnin10. Se demuestra asimismo que una nmción
continua debe asumir todos y cada uno de los valores intermedios entre cualesquiera
dos valores que alcance. Las nmciones en
genE'ral no poseen estas y otras propieda­
des, como se ilustra con varios ejemplos,
yen consecuencia son esas propiedades las
que distinguen a las nmciones continuas como una clase muy especial
de funciones.
Karl Weierstrass
Karl Weierstrass (también Weierstrap) (1815-1897) nació en
Westfalia, Alemania. Su padre, agente aduanal en una salina, insis­
tía en que estudiara derecho
y finanzas públicas en la Universidad
de
BOIm, pero Weierstrass tenía más interés en la bebida y la esgri­
ma,
y dejó Bonn sin recibir lID diploma. Posterionnente se inscribió
en la Academia de Münster, donde estudió matemáticas con
Christoph Gudermann. De
1841 a 1854 impartió clases en varios
ginmasios en Prusia. A pesar de no haber tenido contacto con
el
mundo matemático durante este periodo, trabajó con ahínco en la investigación matemá­
tica
y pudo publicar algunos artículos, uno de los cuales atrajo considerable atención. De
hecho, la Universidad
de Kiínigsberg le otorgó el doctorado honorario por este trabajo en
1855. Al año siguiente, Weierstrass obtuvo puestos en
el Instituto Industrial de Berlín y
en la Universidad de Berlín. Permaneció en esta última ciudad hasta su muerte.
(continúa)
49

158. 50 Capítulo 5 Funciones continuas
Estudioso metódico y concienzudo, Weierstrass desconfiaba de la intuición y traba­
jaba para colocar todo sobre bases lógicas y firmes. Realizó trabajos cardinales sobre los
fundamentos
de la aritmética y el análisis, el cálculo de variaciones y la geometría alge­
braica. Debido a la meticulosidad con que preparaba sus presentaciones, fue un confe­
rencista en extremo popular; no era raro que disertara sobre temas de matemáticas
avanzadas frente a auditorios
de más de 250 asistentes. Entre quienes lo escucharon se
encuentran Georg Cantor, Sonya Kovalevsky, Gosta Mittag-Leffier, Max Planck,
atto
Holder, David Hilbert y Oskar Bolza (quien tuvo muchos alumnos de doctorado esta­
dOlmidenses). A través
de sus escritos y conferencias, Weierstrass ejerció una profunda
influencia sobre las matemáticas contemporáneas
..
En la sección 5.4 se introduce la noción de capital importancia de continuidad
unifonne. La distinción entre continuidad y continuidad uniforme es un tanto sutil
y no fue apreciada del todo hasta
el trabajo de Weierstrass y los matemáticos de
su época, pero resultó ser
de gran importancia en las aplicaciones. Se presenta una
aplicación
de la idea de aproximar funciones continuas mediante funciones más
elementales (tales como polinomios).
En la sección 5.5
se introduce la noción de "medida" y se utiliza como un mé­
todo alternativo para demostrar las propiedades fundamentales de las funciones
continuas. El significado principal
de este concepto se encuentra, sin embargo, en
el área
de la teoría de integración, donde las medidas son esenciales para definir
la integral
de Riemann generalizada. El tema se examina en el capítulo 10.
Las funciones monótonas son una clase importante de funciones con sólidas
propiedades
de continuidad y se estudian en la sección 5.6.
En esta sección, que
es muy similar a la sección 4.1, se define lo que se entiende
al decir que una función es continua en un punto, o en un conjunto. noción
de continuidad constituye uno de los conceptos centrales del análisis matemático
y
se usa prácticamente en todo el resto del material de este libro. Por consiguien­
te,
es esencial que el lector lo domine.
5.1.1 Definición Sea A ¡;;;; lR, sea f: A ~ lR Y sea e E A. Se dice que f es conti­
nua en e si, dado cualquier número e > 0, existe 8 > ° tal que si x es cualquier
punto de
A que satisface Ix -el < 8, entonces If(x) - f(e) I < c.
Sifno es continua en e, entonces se dice que fes discontinua en c.
Como en el caso de la definición de límite, la definición de continuidad en un
punto puede formularse muy bien en términos
de vecindades. Esto se hace en el
siguiente resultado. Se le deja al lector la verificación como un importante ejerci­
cio . Véase la figura 5.1.l.

159. 5.1 Funciones continuas
/~
/
151
e
5.1.1 Dada ,Vi/Ce)), debe determinarse una vecindad V¿¡Ce).
5.1.2 Teorema Una fitnción f: A -7 IR es continua en un punto c E A si y sólo
si dada cualquier vecindad-e V€(f(c)) de fCc) existe una veeindad-b VoCc) de c tal
que si
x es cualquier punto de A n VoCc), entonces f(x) pertenece a V€(f(c)), es
decir,
feA n VoCe)) ~ V
8
(f(e)).
Observaciones 1) Si e E A es un punto de acumulación de A, entonces la com­
paración de las definiciones 4.1.4 y 5.1.1 indica que
f es continua en e si y sólo si
fCe) = lím f(x). (1)
x-¿c
Por tanto, si e es un punto de acumulación de A, entonces deben cumplirse tres
condiciones para que
f sea continua en e:
(i) f debe estar definida en e (para que f( e) tenga sentido),
(ii) el límite de
f en e debe existir en IR (para que lím f(x) tenga sentido), y
x-¿c
(iii) estos dos valores deben ser iguales.
2) Si e
E A no es un punto de acumulación de A, entonces existe una vecindad
V
i5
( <;) de e tal que A n V
i5
( e) = {e}. Se concluye por tanto que una funciónf es con­
tinua automáticamente en un punto e
E A que no es un punto de acumulación de
A. Tales puntos suelen denominarse "puntos aislados" de A. Son de escaso interés
práctico aquí, ya que no tienen relación con los procesos de límites. Puesto que la
continuidad
es automática en tales puntos, por lo general sólo se investiga la con­
tinuidad en puntos de acumulación. Así, la condición (1)
se considera caracterís­
tica de la continuidad en
e.
Una ligera modificación de la demostración del teorema 4.1.8 para límites da
lugar a la siguiente versión en ténninos de sucesiones de la continuidad en un
punto.

160. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
Criterio de sucesiones para la continuidad Una f : A -+ lR es
continua en c E A si y sólo si para toda sucesión (x
n
)
en A que conver-
converge a
El siguiente criterio de discontinuidad es una consecuencia del teorema ante­
rior. Deberá compararse con el criterio de divergencia 4.1.9a con
L = fCe). Le
al lector desarrollar la demostración en detalle.
5.104 Criterio de discontinuidad Sea A ~ lR, sea f: A -+ lR Y sea c E A. En­
tonces f es discontinua en c si y sólo si existe una sucesión (x
n
)
en A tal que (x
n
)
converge a c, pero la sucesión (f(x
n
)) no converge a f(c).
Hasta ahora se ha examinado la continuidad en un
punto. Para tratar la conti­
nuidad de una función en un
conjunto, tan sólo se plantea el requisito de que la
función sea continua en cada punto del conjunto. Lo anterior se enuncia formal­
mente en la siguiente definición.
5.1.5 Definición Sea A
~ lR Y seaf: A -+ R Si B es un subconjunto de A, se
dice que
f es continua en el B si f es continua en cada punto de B.
5.1.6 a) La función constante f(x) := b es continua en R
En el ejemplo 4.1.7a sévio que si e E lR, entonces se tiene lím f(x) = b. Puesto
X-J>C
que f(c) = b, se tiene lím f(x) = f(e) y, por consiguiente,! es continua en cada
x-J>c
punto c E R Por lo tanto,j es continua en R
g(x) := x es continua en R
En el ejemplo 4.1.7b se vio que si c E lR, entonces se tiene lím g = e. Puesto
x-J>C
que g(e) = e, entonces g es continua en cada punto e E R Por lo tanto, g es con­
tinua
enR
c) h(x):= x2 es continua en R
En el ejemplo 4.1.7c se vio que si e E lR, entonces se tiene lím h = e
2
.
Puesto
x-J>c
que h(c) = e
2
, entonces h es continua en cada punto e E R Por lo tanto, h es con­
tinua en R
cp(x) := l/x es continua enA := {x E lR : x > O}.
En el ejemplo 4.1.7d se vio que si e E A, entonces se tiene lím cp= l/c. Puesto
x-J>c
que cp(e) = l/e, con esto se demuestra que cp es continua en cada punto e E A. Por
lo tanto,
cp es continua en A.
e) cp(x):= l/x no es continua en x = O.
De hecho, si cp(x) = l/x para x> O, entonces cp no está definida en x = O, por lo
que
no puede ser continua ahí. De manera alternativa, en el ejemplo 4.1.10a se
vio que lím cp no existe en lR, de modo que cp no puede ser continua en x = O.
x-J>O
1) La función signo sgn no es continua en O.
La función signo se definió en el ejemplo 4. 1. lOb, donde también se estable­
ció que lím sgn(x) no existe en
lR. Por lo tanto, sgn no es continua en x = O (aun
x-J>O
cuando sgn O sí está definida).
Éste es un ejercicio que demuestra que sgn es continua en cada punto e
-:t-O.

161. 5.1 Funciones continuas
g) Sea A :=:[1{ y "función discontinua" de Dirichlet definida por
f(:r):= {l
. O
SI X es racional,
SI x es inacional.
1
Se afirma que f es no continua en cualquier punto de JI{. (Esta función fue intro­
ducida en 1829 por P
G. L. Dirichlet.)
De hecho,
si c es un número racional, sea (x
n
) una sucesión de números irra­
cionales que converge a
c. (El corolario 2.4.9 del teorema de densidad 2.4.8 ase­
gura la existencia de esta sucesión.) Puesto que
f(x
n
)
O para toda n E N, se tiene
lím
(f(xn) = O, mientras que f( c) = l. Por lo tanto, f es no continua en el número
racional
c.
Por otra parte, si b es un número irracional, sea (Yn) una sucesión de números
racionales que converge a
b. (El teorema de densidad 2.4.8 asegura la existencia
de esta sucesión.) Puesto
quef(Yn) = 1 para toda n E N, se tiene lím (f(Yn» = 1,
mientras quef(b) = O. Por lo tantoJes no continua en el número irracional b.
Puesto que cualquier número real es racional, o bien irracional, se deduce que
f es no continua en todo punto de JI{.
SeaA := {x E ]!{: x > O}. Para cualquier número irracional x > ° se define h(x) = O.
Para un número racional en A de la forma m/n, con los números naturales m, n sin
factores comunes excepto
1, se define h(m/n) := 1/n. (Véase la figura 5.1.2.)
0.8
0.6
OA
0.2
o
Figura 5.1.2 Función de Thomae.
Se afirma que h es continua en cualquier número irracional en A y que es dis­
continua en cualquier número racional en
A. (Esta función fue introducida en
1875 por
K. J. Thomae.)
De hecho,
si a > ° es racional, sea (x
n
) una sucesión de números irracionales
en
A que converge a a. Entonces lím (h(x
n
)
= 0, mientras que h(a) > O. En con­
secuencia,
h es discontinua en a.
Por otro lado, si b es un número irracional y E> 0, entonces (por la propiedad
de Arquímedes) existe
un número natural no tal que l/no < E. Sólo existe un núme­
ro finito de racionales con denominador menor que
no en el intervalo (b -1, b + 1).
(¿Por qué?) En consecuencia, puede elegirse 8> ° tan pequeña que la vecindad

162. Capítulo 5 Funciones continuas
(b -6, b + 6) no contenga números racionales con un denominador menor que no.
Se entonces que para Ix -b I < 6, x E se tiene I h(x) -h(b) I = I h(x) I :::;
lino < s. Por tanto, h es continua en el número irracional b.
Por se deduce que la de Thomae h es continua precisa-
mente en los puntos irracionales de
A. O
5.1.7
Observaciones a) En ocasiones una funciónf: A --7 IR es no continua
en un c porque no está definida en ese punto. Sin embargo,
si la funciónf
tiene límite L en el punto c y si se define F en A U {c} --7 :IR;, por
. {L
F(x):= f(x)
para
para x=c,
xEA,
entonces F es continua en c. Para ver por qué, es necesario verificar que lím F = L,
pero este hecho se infiere (¿por qué?), ya que lím f = L. X-'7C
x-'7c
Si una función g : A --7 IR no tiene límite en c, entonces no hay forma de obte­
ner una función G :
A U {c} --7 IR que sea continua en c definiendo
e {e
G(x):=
g(x)
para
para x=c,
xEA.
Para ver por qué, obsérvese que si lím G existe y es igual a e, entonces lím g
x~c x~c
también debe existir y ser igual a C.
5.1.8 a) La funcióng(x):= sen(l/x) parax:;é ° (véase la figura 4.1.3)
no tiene límite en
x = ° (véase el ejemplo 4.1.10c). En consecuencia, no hay nin­
gún valor que pueda asignarse a
x = O a fin de obtener una extensión continua de
g enx = O.
b) Seaf(x) = x sen(l/x) para x:;é O. (Véase la figura 5.1.3.) Puesto quefno está
definida en
x = 0, la función f no puede ser continua en este punto. Sin embargo, en
el ejemplo 4.2.8f se vio que lím
(x sen(l/x» = O. Por lo tanto, de la observación
X-'70
5.1. 7 a se sigue que si se define F : :IR;, --7 IR por
F(x):=
{
O x sen(lI x)
entonces F es continua en x = O.
y
para
para x =0,
X;é O.
Fi.gura 5.1.3 Gráfica de ¡(x) = x sen(lIx) (x:;é O).
o

163. 5.1 Funciones continuas 1
~~"'~'"~~ de la sección 5.1
1; Demostrar el criterio de sucesiones 5.1.3.
2. Establecer el criterio de discontinuidad 5.1.4.
3. Sea
a < b < e. Suponer quefes continua en [a, b], que g es continua en lb, e] y que
f(b) =g(b). Definir h en [a, e] por h(x) :=f(x) para x E [a, b] y h(x) :=g(x) para x E (b, e].
Demostrar que h es continua en [a, el
4. Si x E IR, se define [x] como el entero mayor n E ¿z tal que 11 S; X. por ejemplo,
[8.3]
= 8, [:re] = 3, [-:re] = -4.) La función x f-7 [x] se llama la función del entero
mayor. Determinar los puntos de continuidad de las funciones siguientes:
a)
f(x) := [x],
c) h(x):= [sen x],
b) g(x) :=x[x],
d) k(x):= [l/x] (;r *-O).
5. Sea que f esté definida para toda x E lR., x *-2, por f(x) = (.xl + x -6)/(x -2). ¿Es posi­
ble definir
fen x = 2 de tal modo quefsea continua en este punto?
6. Sea A ~ lR. Y seaf: A --7lR. continua en un punto CE A. Demostrar que para cualquier
E > O existe una vecindad Vo( e) de e tal que si x, y E A n Vo( e), entonces I H¡;) -f(y) I < E.
7. Seaf: lR. --7 lR. continua en e y seaf(e) > O. Demostrar que existe una vecindad V¿¡(e)
de e tal que si x E Vo(e), entoncesf(x) > O.
8. Sea f: lR. --7 IR continua en lR. y sea S := {x E lR. : f(x) = O} el "conjunto cero" def Si
(x
n
)
está en S y x = lím (x
n
), demostrar que x E S.
9. Sea A ~ B ~ lR., sea f: B --7 IR Y sea g la restricción de f a A (es decir, g(x) = f(x) para
x E A).
a) Sifes continua en e E A, demostrar que g es continua en e.
b) Demostrar con un ejemplo que si g es continua en e, no se sigue necesariamente
quefes continua en e.
10. Demostrar que la función valor absolutof(x) := Ixl es continua en todo punto e E lR..
11. Sea K> O Y sea que f: IR --7 lR. satisfaga la condición I f(x) -f(y) I S; K I x -y I para
toda
x, y E lR.. Demostrar que f es continua en todo punto e E lR..
12. Suponer que f: IR --7 IR es continua en lR. y que f(r) = O para todo número racional r.
Demostrar que f(x) = O para toda x E lR..
13. Definir g : lR. --7 lR. por g(x) := 2x para x racional y g(x) := x + 3 para x irracional.
Encontrar todos los puntos en los que g es continua.
14. Sea
A := (O, 00) y sea que k : A --7 lR. esté definida como sigue. Para x E A, x irracio­
nal, se define
k(x) = O; para x E A racional y de la forma x = m/n con los números natu­
rales
m, n sin factores comunes excepto 1, se define k(x) := n. Demostrar que kno está
acotada en todo intervalo abierto en
A. Concluir que k no es continua en ningún punto
de
A. (Véase el ejemplo 5.1.6h.)
15. Sea
quef: (O, 1) --7lR. esté acotada pero tal que lím fno existe. Demostrar que existen
x-.¿o
dos sucesiones (xn) y (Yn) en (0,1) con lim (xn) = O = lím (Yn)' pero tales que lím (f(xn»
y lím (f(Yn» existen pero no son iguales.

164. 56 Capítulo 5 Funciones continuas
Sea A e IEt y sean f y g funciones que están definidas de A a IEt, y sea b E R En la
definición
4.2.3 se definieron las funciones suma, diferencia, producto y múltiplo
denotadas por
f + g, f -g, fg, bf Además, si h : A ~ IEt es tal que 1= O para
toda
x E entonces se definió la función cociente denotada por f/h.
El siguiente resultado
es similar al teorema 4.2.4, del cual se deriva.
5.2.1 Teorema
Sea A e IEt, sean f y g fitnciones de A a IEt, y sea b E R Supo­
ner que c E A Y que f y g son continuas en c.
a) Entonces f + g, f -g, fg Y bf son continuas en c.
Si h : A ~ IEt es continua en c E Ay si h(x) 1= O para toda x E A, entonces el
cociente
f/h es continuo en c.
Demostración. Si c E A no es un punto de acumulación de A, entonces la con­
clusión
es automática. En consecuencia, se supone que c es un punto de acumula­
ción
de A.
a) Puesto que f y g son continuas en c, entonces
f(c) == lím f y g(c) == lím g.
X--tC X--tC
Por consiguiente, del teorema 4.2.4a se sigue que
(f + g)(c) == f(c) + g(c) == lím (f + g).
X--tC
Por lo tanto, f + g es continua en c. Las demás afirmaciones del inciso a) se
demuestran de manera similar.
b) Puesto que
c E A, entonces h(c) 1= O. Pero como h(c) == lím h, del teorema
X--tc
4.2.4b se sigue que
f Cc) == f(c) == ;! f == lím ( f J.
h h(c) límh X--tC h
X--tC
Por lo tanto,!1 h es continua en c. Q.E.D.
El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema 5.2.1, apli­
cada a cualquier punto de
A. Sin embargo, puesto que se trata de un resultado de
extrema importancia se enuncia formalmente.
5.2.2 Teorema
Sea A e IEt, sean f y g continuas,de A a IEt y sea b E R
a)
Las fitnciones f + g, f -g, fg y bf son continuas¿n A. .
b) Si h : A ~ IEt es continua en A y h(x) 1= O para x E A, entonces el cociente f/h
es continuo en A.

165. 5.2 Combinaciones de funciones continuas 1
Observación Para definir ~v,'"~""~~ en ocasiones es más conveniente ,wr''''''.rl~,·
como sigue. Si qy : A -+ .IR:, sea
te
JI qy en el conjunto A 1 por
* O}, definirse el cocien-
para
xEA¡.
Si qy es continua en un punto e E A ¡, es claro que la restricción qy1 de qy a A 1
también es continua en
e. Por lo tanto, del teorema 5.2.1b aplicado a qy1 se sigue que
jlqy¡ es continua en e
E A. Puesto que (f/qy)(x) = (f/qy1)(X) para x E A¡, se sigue
quef/qy es continua en e
E A 1. Del misJIlo modo, sify qy son continuas enA, enton­
ces la función
JI qy, definida en A ¡ por (1), es continua en A 1.
5.2.3 a) Funciones polinómicas.
Si pes una función polinómica, de tal modo que p(x) = a,r,n + an_¡x
n
-¡ + ... +
a¡x + ao para toda x E .IR:, entonces del ejemplo 4.2.5f se sigue que p(e) = lím p para
X--7C
cualquier e E .IR:. Por tanto, una función polinómica es continua en.IR:.
b) Funciones racionales.
Si p Y q son funciones polinómicas en .IR:, entonces haya lo sumo un número
finito
a), .. " a
l11 de raíces reales de q. Si x'" {a], .. " a
m
}, entonces q(x) * O,
por lo que puede definirse la función racional r por
r(x):= p(x)
q(x)
En el ejemplo 4.2.5g se vio que si q(e) * 0, entonces
r(e)
= p(e) = lím p(x) = lím r(x).
q(e)
x---+c q(x) x---+c
En otras palabras, r es continua en e. Puesto que e es cualquier número real que
no es una raíz de q, se infiere que una función racional es continua en todo núme­
ro real en el que está definida.
e) Se demuestra a continuación que la función seno sen es continua
en .IR:.
Para ello, se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y
coseno. (Véase
la sección 8.4.) Para toda x, y, Z E .IR: se tiene:
Isen
zl:; Izl, leos zl:; 1,
sen x -sen y = 2sen [~(X -y)] cos [~ex + y»).
En consecuencia, si e E .IR:, entonces se tiene
1
Isen x -sen el:;2· -Ix-el·! = Ix-el·
2
Por lo tanto, sen es continua en
e. Puesto que e E .IR: es arbitrario, se sigue que sen
es continua en
.IR:.

166. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
La función coseno es continua en IR.
Se hace uso de las siguientes
toda
x, y, Z E IR se tiene:
vfJJcu.au,;~ de las funciones y coseno. Para
Isenzl::;;
Izl, Isen zl::;; 1,
cos x -cos y = -2 senr ~(x + y) }enr ~C-Y -y) J
En consecuencia, si e E IR, entonces se tiene
1
Icos x -cos el::;; 2 ·1· - le -xl = Ix -el·
2
Por lo tanto, cos es continua en e. Puesto que e E IR es arbitrario, se sigue que cos
es continua
en IR. [De manera alternativa, podría haberse utilizado la relación
cos
x = sen(x + IT/2).]
e) Las funciones tan, cot, sec, csc son continuas donde están definidas.
Por ejemplo, la función cotangente está definida
por
cos x
cotx:=--
sen x
siempre que sen x =f:: O (es decir, siempre que x =f:: nIT, n E Z). Puesto que sen y cos
son continuas en
IR, se sigue (véase la observación antes del ejemplo 5.2.3) que la
función cot es continua en su dominio. Las demás funciones trigonométricas se
abordan del mismo modo.
O
5.2.4 Teorema Sea A <;;;;; IR, sea f: A ---¿ IR Y sea que 1 fl esté definida por 1 fl (x) :=
1 f(x) 1 para x E A.
a) Si f es continua en un punto c E A, entonces 1 fl es continua en c.
b) Si f es continua en A, entonces 1 fl es continua en A.
Demostración.
4.2.13.
Este resultado es una consecuencia inmediata del ejercicio Q.E.D.
5.2.5 Teorema Sea A <;;;;; IR, sea f: A ---¿ IR y sea f(x) ::::: O para toda x E A. Se
hace que {f esté definida para x E A por ({f )(x) := -0 fex).
a) Si f es continua en un punto e E A, entonces {f es continua en c.
b) Si f es continua en A, entonces {f es continua en A.
Demostración.
cio 4.2.14.
Este resultado en sí es una consecuencia inmediata del ejerci­ Q.E.D.
Composición de funciones continuas
Se demuestra ahora que si la funciónf: A ---¿ IR es continua en un punto c y que si
g : B ---¿ IR es continua en b = f( c), entonces la composición g o f es continua en
c. A fin
de tener la seguridad de que g o f está definida en la totalidad de A, es nece­
sario suponer también que
f(A) <;;;;; B.

167. 5.2 Combinaciones de funciones continuas 1
Sean
B~lRi.y :A-¿lRi.yg:B-¿ tales
que
~ B. Si f es continua en un C E A Y g es continua en b = E
entonces la composición g o f: A -¿ lRi. es continua en c.
Demostración. Sea W una vecindad-E: de g(b). Puesto que g es continua en
b, existe una vecindad-o V de b = fCe) tal que si y E B n V, entonces g(y) E W.
Puesto que f es continua en e, existe una vecindad-y U de e tal que si x E A n
entonces f(x) E V. la figura 5.2.1.) Puesto que feA) ~ se sigue que si
x E A n U, entoncesf(x) E B n V, de donde g o f(x) = E W. Pero corno W
es una vecindad-E: arbitraria de g(b), esto implica que g o fes continua en e. Q.E.D.
~v
b =f(c) -_
L---~~'9t:_
u~
e
f g
A B e
5.2.1 La composición de fy g.
5.2.7 Teorema Sean A, B ~ lRi., sea f: A -¿ lRi. continua en A y sea g : B -¿ lRi.
continua en B. Si feA) ~ B, entonces lafimeióneompuesta g o f: A -¿ lRi. es con­
tinua en
A.
Demostración. El teorema se sigue de inmediato del resultado precedente si f
y g son continuas en todo punto de A y B, respectivamente. Q.E.D.
Los teoremas 5.2.6 y 5.2.7 son de gran utilidad para establecer que ciertas fun­
ciones son continuas. Pueden usarse en muchas situaciones en las que sería difícil
aplicar directamente la definición de continuidad.
5.2.8 a) Sea
g 1 (x) := Ixl para x E R De la desigualdad del trián-
gulo se sigue que
Ig¡ (x) -g¡ (e)l:S:; Ix -el
para toda x, e E R En cOllsecuencia, g¡ es continua en e E R Sif: A -¿ lRi. es
cualquier función que sea continua
enA, entonces el teorema 5.2.7 implica que
g 1 o f = I f I es continua en A. Este resultado proporciona otra definición del teo­
rema 5.2.4.

168. 160 Capítulo 5 Funciones continuas
Seag2(x) := .y;:-para x::: O. De los teoremas 3.2.10 y 5.1.3 se que g2 es
continua en cualquier número e:::
O. Sif: A ---7lR es continual'enA y sif(.;x:)::: O
para toda
x E A, entonces del teorema 5.2.7 se sigue que g2 o f = -{fes continua
en
A. Este resultado proporciona otra definición del teorema 5.2.5.
e) Sea
g3(.Y) := sen x para XE R En el ejemplo 5.2.3c se vio que g3 es continua
en R
Sif: A ---7lR es continua en entonces del teorema 5.2.7 se sigue que g3 of
es continua en A.
En particular, sif(x) := l/x para x *-O, entonces la función g(x) := sen(l/x) es
continua en todo punto e*-
O. [Se ha visto ya, en el ejemplo 5.1.8a, que g no puede
definirse en O a fin de convertirla en
Un::! función continua en ese punto.] O
de la sección 5.2
1. Determinar los puntos de continuidad de las siguientes funciones e indicar los teore­
mas que se usan en cada caso.
/ x2 +2x+l
a) f(x):= (x E R),
x2 +1
b) g~'():=~x+-r;; (x;:oO),
~1 + Isen xl
c) h(x):= (x;toO), d) k(x):=cos~l+x2 (xER).
x
2. Demostrar que sif: A -7 R es continua enA <;;:; R Y si n E N, entonces la función!"
definida por !"(x) = (.f~'())n para x E A es continua en A.
3. Dar un ejemplo de funcionesfy g que sean ambas discontinuas en un punto e en R y
tales que: a) la sumaf + g sea continua en e, b) el productofg sea continuo en c.
4. Sea que x f-7 ~'(] denote la función del entero mayor (véase el ejercicio 5.1.4).
Determinar los puntos de continuidad de la
funciónf(x) := x -[x], X E R
5. Sea que g esté definida en R por g(l) := ° y g(x) := 2 si x ;te 1, Y seaf(x) := x + 1 para
toda
x E R Demostrar que lím g Q f;te (g Q f)(O). ¿Por qué esto no contradice el teo-
rema 5.2.67
X-70
6. Sea que.!; g estén definidas en R y sea e E R. Suponer que lím f = b y que g es continua
X-7C
en b. Demostrar que lím g Q f= g(b). (Comparar este resultado con el teorema 5.2.7 y
X-----7C
con el ejercicio precedente.)
7.
Dar un ejemplo de una funciónf: [O, 1] -7 R que sea discontinua en todo punto de
[O, 1] pero tal que Ifl sea continuo en [O,
8. Sean!, g continuas de R a R y suponer que f(r) = g(r) para todos los números racio­
nales
r. ¿Se cumple quef(x) =g(x) para toda x E R7
9. Sea
h : R -7 R una función continua en R que satisface h(m/2
n
)
= ° para toda m E Z,
n E N. Demostrar que h(x) = ° para toda x E R
10. Seaf: R -7 R continua en IR: y sea P:= {x E R :f(x) > O}. Si e E P, demostrar que
existe
una vecindad V
8(c) <;;:; P.

169. 5.3 Funciones continuas en intervalos 161
11. Sify g son continuas en lR, sea S:= {x E lR :f(x) ¿ g(x)}. Si (SI1) ~ S Y lím (SI1) = s,
demostrar que
s E S.
12. Se dice que una función!: lR -¿ lR es aditiva sif(x + y) =f(x) + f(y) para toda x, yen
lR. Demostrar que si f es continua en algún punto xo,' entonces es continua en todo
plmto de
lit (Véase el ejercicio 4.2.12.)
13. Suponer
que! es una función continua aditiva en lR. Si e := f( 1), demostrar que se tiene
f(x) = ex para toda x E :IR. [Sugerencia: probar primero que si r es un nlunero racio­
nal,
entoncesf(r) = er.]
14. Sea que g : lR -¿ lR satisfaga la relación g(x = g(x )g()i) para toda x, y en :IR. Demos-
trar que si g
es continua en x = O; entonces g e¡¡, continua en todo plmto de :IR. Asimismo,
si se tiene
g(a) = O para algtma a E lR, entonces g(x) = O para toda x E lR.
15. Sean/, g : lR -¿ lR continuas en lm punto e y sea h(x) := supV(x), g(x)} para x E :IR. De­
mostrar que
h(x) = Hf(x) + g(x») + t I f(x) -g(x) I para toda x E lR. Usar este resul­
tado para demostrar que
h es continua en e.
Las funciones que son continuas en intervalos tienen varias propiedades muy
importantes que las funciones continuas en general no poseen. En esta sección se
establecen algunos resultados profundos que son de gran importancia y que se apli­
can más adelante. En la sección 5.5 se presentan demostraciones alternativas de
estos resultados.
5.3.1 Definición Se dice que una
Íunciónj: A ---+ lR está acotada enA si exis­
te una constante
M> O tal que I j(x) I ::; M para toda x E A.
En otras palabras, una Íunción está acotada en IDl conjunto si su codominio es
un conjunto acotado en R Decir que una Íunción
no está acotada en un conjunto
dado significa que ningún número particular puede servir como cota para su codo­
minio.
En lenguaje preciso, una funciónjno está acotada en el conjunto A si dada
cualquier
M> O existe un punto X!vf E A tal que Ij(x!vf) I > M. Por lo que se dice
quejno está acotada en A en este caso.
Por ejemplo, la
[unciónj definida en el intervalo A := (O, 00) por j (x} := 1Ix
no está acotada en A porque para cualquier M > O puede tomarse el punto xM :=
l/(M + 1) en A para obtener j(x!vf) = 1/xM = M + 1 > M. Este ejemplo indica que
no es necesario que las funciones continuas estén acotadas. Sin embargo, en el
siguiente teorema se establece que las funciones continuas en cierto tipo de inter­
valo necesariamente están acotadas.
5.3.2
Teorema de acotabilidad* Sea 1 := [a, b] un intervalo acotado cerrado
y sea [ : 1 ---+ :IR;, continua en I. Entonces [ está acotada en 1.
"Este teorema, así como el 5.3.4, es verdadero para un conjunto acotado, cerrado arbitrario. Para estos desarrollos,
véanse
las secciones 11.2 Y 11.3.

170. Capítulo 5 Funciones continuas
Demostración. está acotada en 1. para
n E N existe un número X
n
E l tal que If(x
n
) I > n. Puesto que l está la su­
cesión
X := (x
n
)
está acotada. Por lo tanto, el teorema de Bolzano-Weierstrass 3.4.8
implica que existe una subsucesión
XI (x
l1
) de X que converge a un número x.
Puesto que
l es cerrado y los elemel{tos de XI pertenecen a l, por el teorema 3.2.6
se sigue que
x E 1. Entonces f es continua en x, por lo que (f(x
n
)
converge
Se concluye entonces por el teorema 3.2.2 que la sucesión convergente
(f(x
l1
)
debe estar acotada. Pero esto es una contradicción, ya que
If(x
l1)l>n
r?r para toda rEN.
Por lo tanto, la suposición de que la función continuafno está acotada en el inter­
valo acotado cerrado
l lleva a una contradicción. Q.E.D.
A fin de demostrar que cada una de las hipótesis del teorema de acotabilidad
es necesaria, pueden construirse ejemplos donde la conclusión falla si cualquiera
de las hipótesis se relaja.
(i) El intervalo debe estar acotado. La funciónf(x)
:= x para x en el interva­
lo cerrado no acotado
A := [O, 00) es continua pero no está acotada en A.
(ii) El intervalo debe ser cerrado. La función g(x) := l/x para x en el interva­
lo semiabierto
B := (O, 1] es continua pero no está acotada en B.
(iii) La función debe ser continua. La función h definida en el intervalo cerra­
do
c:= [0,1] por h(x) := l/x para x E (0,1] y h(O) := 1 es discontinua y no está
acotada en
C.
Teorema del máximo-mínimo
5.3.3 Definición Sea A S;;; IR;. y sea f: A ---¿ R Se dice que f tiene un máximo
absoluto en A si existe un punto x* E A tal que
f(x*) ? f(x) para toda x E A.
Se dice que f tiene un mínimo absoluto en A si existe un punto x * E A tal que
f(x*)::; f(x) para toda x EA.
Se dice que x* es un punto máximo absoluto de f en A, y que x* es un punto
mínimo absoluto de f en A, si existen.
Cabe señalar que una función continua en un conjunto A no necesariamente
tiene
un máximo o un mínimo absoluto en el conjunto. Por ejemplo,f(x) := l/x no
tiene ni un máximo absoluto ni
un mínimo absoluto en el conjunto A := (O, 00).
(Véase la figura 5.3.1. ) No puede haber ningún máximo absoluto de
f en A porque
f no está acotada por arriba en A y no hay ningún punto donde f alcance el valor
0= ínf{f(x) : x E A}. La misma función tampoco tiene un máximo absoluto ni un
mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto
(O, 1), mientras que tiene tanto
un máximo absoluto como un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto

171. 5.3 Funciones continuas en intervalos
= l/x tiene
cuando se restringe al
mo absoluto cuando se
máximo absoluto pero no un mínimo absoluto
[1, 00), pero no tiene ni máximo absoluto ni míni-
al
(1,00).
Se ve de inmediato que si una función tiene un máximo enton-
ces este punto no necesariamente se encuentra determinado de manera única. Por
ej emplo, la función g(x) := x2 definida para x E A := [-1, + 1] tiene los dos
x = ±l que producen un máximo absoluto en A y el único x = O que produ­
ce su mínimo absoluto en
A. la figura 5.3.2.) Para citar un ejemplo extre­
mo, la función constante
h(x) := 1 para x E ~ es tal que todo punto de ~ es a la
vez un punto máximo absoluto
y un mínimo absoluto de h.
----r---~----~----~x
_-L ______ --=~-l-_~ ____ ---ll...._.~ X
2
Figura 5.3.1 La función
f(x) = l/x (x > O).
-1
5.3.2 La función
g(x)=x2(lxl:S; 1).
5.3.4 Teorema del máximo-mínimo Sea 1:= [a, b] un intervalo acotado cerra­
do
y sea f : 1 .....¿ ~ continua en I. Entonces f tiene un máximo absoluto y un míni­
mo absoluto en I.
Demostración. Considerar el conjunto no vacío 1(1) := {f(x) : x E I} de los
valores
del en 1. En el teorema 5.3.2 se estableció que 1(1) es un subconjunto aco­
tado de R Sea s*
:= sup 1(1) y s* := ínf/(1). Se afirma que existen los puntos x*
y x * en 1 tales que s* = I(x*) y s * = I(x *). Se establecerá la existencia del punto
x*, dejándole al lector la demostración de la existencia de x*.
Puesto que s* = sup/(1), si n E N, entonces el número s* -1/n no es una cota
superior del conjunto
1(1). Por consiguiente, existe un número X
n
E 1 tal que
1
s*--</(xn)-:;'s*
n
para toda n E N. (1)
Puesto que
1 está acotado, la sucesión X := (x
n
)
está acotada. Por lo tanto, por el
teorema de Bolzano-Weierstrass 3.4.8, existe una subsucesión
X' = (x
n
) de X
que converge a algún número x*. Puesto que los elementos de X' pertenecen a
1 = [a, b], por el teorema 3.2.6 se sigue que x* E 1. Por lo tanto, les continua en
x* de tal modo que lím(f(x
n
)) = I(x*). Puesto que de (1) se sigue que
s* __ l_</(x )-:;'s*
n,.
n
r
para toda r E N,

172. 1
por el teorema de
se tiene 3.2.7 se
Capítulo 5 Funciones continuas
que lím (f(x
n
)) = s*. Por lo
= s* = sup ).
Se concluye que x* es un punto máximo absoluto de f en 1. QE.D.
El siguiente resultado es la base teórica para localizar las raíces de una función
continua por medio de los cambios de signo de la función.
La demostración pro­
porciona también lm algoritmo, conocido como el
método de para calcu­
lar las raíces con
un grado especificado de precisión y cuya programación en una
computadora
es sencilla. Es una herramienta convencional para encontrar las solucio­
nes de ecuaciones de la
fonnaf(x) = 0, dondefes una nmción continua. Una demos­
tración alternativa del teorema se indica
en el ejercicio 11.
5.3.5 Teorema de localización de raÍCes Sea 1 = [a, b] Y sea f: 1 ---¿ IR continua
en
1. Si fea) < 0< f(b), o si > ° > f(b), entonces existe un número c E (a, b)
tal que f(c) = O.
Demostración. Se supone quef(a) < ° <f(b). Se generará una sucesión de
intervalos
por bisecciones sucesivas. Sea I¡ := [al, b¡], donde a¡ := a, b¡ := b, y
sea p¡ el punto medio p¡ := t (a ¡ + b¡). Sif(P¡) = 0, se toma c := p¡ Y se tennina
la demostración. Sif(P¡)"* 0, entonces of(P¡) > ° of(P¡) < O. Sif(P¡) > 0, enton­
ces se hace
a2 := al, b2 := PI, mientras que sif(p¡) < 0, entonces se hace a2 := PI,
b2
:= b¡. En cualquiera de los dos casos, se hace h := [al> b2]; entonces se tiene
h e I¡ yf(a2) < 0,f(b
2
) > O.
Se continúa el proceso de bisección. Suponer que los intervalos I¡, h; . ',I
k
se han obtenido por bisección sucesiva de la misma manera. Entonces se tiene
f(ak) < ° y f(b¡J > 0, y se hace Pie := t(ak + blJ. Sif(Pk) = 0, se toma e := Pk y se
termina la demostración. Sif(Pk) > 0, se hace ak+¡ := al" bk+¡ := PI" mientras
que
sif(Pk) < 0, se hace ak+¡ := Pk' b
k
+¡ := b
k
. En cualquiera de los dos casos, se
hace
Ik+¡ := [ak+¡' bk+¡]; entonces h+¡ e h y f(ak+¡) < O,f(bk+¡) > O.
Si el proceso concluye con la localización de un punto Pn tal que f(Pn) = 0, enton­
ces se ha tenninado. Si el proceso no concluye, entonces se obtiene una sucesión ani­
dada de intervalos cerrados acotados
In := [a", b/1] tal que para toda n E N se tiene
Además, puesto que los intervalos se obtienen
por bisección repetida, la longitud
de
In es igual a b
n
-an
= (b -a)/2
n
-¡. De la propiedad de los intervalos anidados
2.5.2 se sigue que existe
un punto e que pertenece a !¡, para toda n E N. Puesto que
a
n
:::; c :::; b
n para toda n E N, se tiene entonces ° :::; e -a
n :::; b
n
-a
n
= (b -a)l2n-l
yO:::; b
n
-
c.:::; b
n
-a
n
= (b -a)l2
n
-¡. En consecuencia, se sigue que lím Can) = e =
lím (b
n
). Puesto que f es continua en c, se tiene

173. 5.3 Funciones continuas en intervalos
El hecho de que < O para toda n E N que
también el hecho de
;C O para toda n E
lím(f(b
l1
)) ;C O. En consecuencia, se = O. Por consiguiente, e es
una raíz de f Q.ED.
El siguiente ilustra cómo se el método de bisección de manera
sistemática para encontrar raíces.
5.3.6
La ecuaciónf(x) = xé' - 2 = O tiene una raíz e en el intervalo
[0,1] porquefes continua en este intervalo = -2'< O = e -2> O. Se
construye la siguiente tabla, donde el signo de
f(Pl1) determina el intervalo en el
paso siguient'e.
La colunma de la extrema derecha es una cota superior del error
cuando
Pn se usa para aproximar la raíz e, debido a que se tiene
1
[Pn -e[::;-(b
n
-a
n
)=1I2
n
.
2
Se encontrará una aproximación
Pn con un error menor que 10-
2
.
n a
n
O
2
.5
3 .75
4 .75
5 .8125
6 .84375
7 .84375
.875
.875
.875
.859375
Pn
.5
.75
.875
.8125
.84375
.859375
.8515625
f(Pn)
1
i(bn -an)
-1.176 .5
-.412 .25
+ .099 .125
-.169 .0625
-.0382 .03125
+ .0296 .015625
.0078125
El proceso se
ha detenido en n = 7, obteniéndose e "" P7 = 0.8515625 con un error
menor que 0.0078125. Éste es
el primer paso en que el error es menor que 10-
2
.
Los valores de las cifras decimales de P7 despüés de la segunda no pueden tomar­
se seriamente, pero puede concluirse que 0.843 < e < 0.860.
O
Teorema de Bolzano
El siguiente resultado es una generalización del teorema de localización de raíces.
Éste asegura que una función continua en un intervalo asume (al menos una vez)
cualquier número que esté entre dos de sus valores.
5.3.7
Teorema del valor intermedio de Bolzano Sea 1 un intervalo y sea f:
1 -¿ IR;. continua en I. Si a, b E 1 Y si k E IR;. satisface f( a) < k < f(b), entonces exis­
te un punto
c E 1 entre a y b tal que f( c) = k.
Demostración. Suponer que a < b y sea g(x) := f(x) -k; entonces g(a) < O < g(b).
Por el teorema de localización de raíces 5.3.5, se tiene que existe un punto e con
a < e < b tal que 0= g(e) = f(e) -k. Por lo tantoJ(e) k.
Si b < a, sea h(x) := k-f(x) de tal modo que h(b) < O < h(a). Por lo tanto, exis­
te un punto e con
b < e < a tal que O = h(e) = k -f(e) , de donde f(e) = k. Q.E.D,

174. 166 Capítulo 5 Funciones continuas
5.3.8 C(}rolario Sea 1 == [a, b] un intervalo acotado ","r'rruln sea f: 1 ---¿ Jl{ con-
tinua en
I. Si k E Jl{ es cualquier número que
ínff(l) :S k:S
entonces existe un número c E 1 tal que f( c) == k.
Demostración. Del teorema del máximo-mínimo 5.3.4 se sigue que existen los
puntos e
* y e * en 1 tales que
ínff(!) == f(c'I,):S k :S f(c *) == supf(!)·
La conclusión se sigue ahora del teorema de Bolzano 5.3.7. Q.E.D.
El siguiente teorema resume los principales resultados de esta sección. Establece
que la
imagen de un intervalo acotado cerrado bajo una función continua también es
un intervalo acotado cerrado. Los puntos terminales del intervalo de la son
los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de la función, y la enunciación de
que todos los valores entre el
mínimo absoluto y el máximo absoluto pertenecen a
la imagen es una forma de describir el teorema del valor intermedio de Bolzano.
5.3.9 Teorema Sea 1 un intervalo acotado cerrado y sea f: 1 ---¿ Jl{ continua en
1. Entonces el conjunto f(I) :== {fex) : x E I} es un intervalo acotado cerrado.
Demostración.
Si se hace m :== ínf f(!) y M :== sup f(l), entonces por el teore­
ma del máximo-mínimo 5.3.4 se sabe que m y M pertenecen a f(l). Además, se
tiene
f(1) <;;;; [m, M]. Si k es cualquier elemento de [m, M], entonces del corolario
precedente se sigue que existe un punto e E 1 tal que k == f( e). En consecuencia,
k Efe!) y se concluye que [m, M] <;;;;f(1). Por lo tanto,f(l) es el intervalo [m, M].
Q.E.D.
Atención Si 1 :== [a, b] es un intervalo y f: 1 ---¿ Jl{ es continua en 1, se ha demos­
trado que f(l) es el intervalo [m, M]. No se ha demostrado (y no siempre se cum­
ple) quef(!) es el intervalo [f(a),f(b)]. (Véase la figura 5.3.3.)
M
((b)
((a)
m
a x*
x" b x
Figura 5.3.3 fe!) == [m,.M].

175. 5.3 Funciones continuas_en intervalos 1
El resultado es un teorema de en el sentido de que
"'iOlaUI","'" que la continua de un intervalo acotado cerrado es un
del mismo tipo. El siguiente teorema este resultado a intervalos
Sin embargo, cabe hacer notar que aun cuando
se ha demostrado que la imagen
continua de un intervalo es un intervalo,
no se cumple que el intervalo de la ima­
gen tiene necesariamente la que el intervalo dominio. Por ejem-
la imagen continua
de un intervalo abierto no es necesariamente un intervalo
abierto. De hecho,
si f(x) := 1/(x
2
+ 1) para x E IR:., entonces f es continua en IR:.
(véase el 5.2.3b). Es sencillo ver que si h := e -1, 1), entonces f(1
1
)
=
ct, 1], que no es un intervalo abierto. Asimismo, si lz := [O, 00), entonces
f(lz) = (0,1], que no es un intervalo cerrado. (Véase la figura 5.3.4.)"
-1
Figura 5.3.4 La gráfica def(x) = 1/(x
2
+ 1) (x ER).
Para demostrar el teorema de preservación de intervalos 5.3.10 se usa el teo­
rema 2.5.1
de caracterización de intervalos.
5.3.10 Teorema de preservación de intervalos
Sea 1 un intervalo y sea f: 1 ---7 IR:.
continua en I. Entonces el conjunto f(l) es un intervalo.
Demostración. Sean a, 13 E f(l) con a < 13; entonces existen los puntos a, b E 1
tales que a = fea) y 13 = f(b). Además, del teorema del valor intermedio de
Bolzano 5.3.7 se sigue que si k E (a, 13), entonces existe un número c E 1 con
k = f( c) E f(l). Por lo tanto, [a, f3] (;;;J(l), con lo que se demuestra que f(l) posee
la propiedad
(1) del teorema 2.5.1. Por lo tanto,j(l) es un intervalo. Q.E.D.
Ejercicios de la sección 5.3
1. Sea 1 := [a, b] Y sea f: 1 ---:> R una función continua tal que f(x) > O para toda x en [.
Demostrar que existe
un número a> O tal que fex) ¿ a para toda x E 1.
2. Sea [:= [a, b] y seanf: [ ---:> R y g : 1 ---:> R funciones continuas en 1. Demostrar que
el conjunto
E := {x E 1 :f(x) = g(x)} tiene la propiedad de que si (x
n
)
~ E Y x
n
---:> xo,
entonces Xo E E.
3. Sea [ := [a, b] Y sea f: [ ---:> R una función continua en 1 tal que para toda x en [ existe
y en [tal que I f(y) I :s; t I f(x) l· Demostrar que existe un punto e en [ tal que f( e) = O.
4. Demostrar que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos
una raíz real.

176. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
5. Demostrar que el polinomio p(x) := x
4
+ 7x
3
-
9 tiene al menos dos raíces reales. Usar
una calculadora para localizar estas raíces con dos cifras decimales de precisión.
6.
Sea! continua en el intervalo [O, 1] a IR y tal qu~ feO) = f(l). D~mostrar que existe lm
punto e en [O, t] tal quef(e) = f(e +t). [Sugerencia: consid~rar g(x) =f(x) -f(x +t).]
Concluir que existen, en cualquier momento, puntos antípodas en el ecuador terrestre
que tienen la
misma temperatura.
7. Demostrar que la ecuación
x = cos x tiene una solución en el intervalo [O, rc/2]. Usar
el método de bisección
y una calculadora para encontrar una solución aproximada de
esta ecuación,
con un error menor que 10-
3
8. Demostrar que la funciónf(x) := 2 In x + --r; -2 tiene una raíz en el intervalo [1,2].
Usar el método de bisección y una calculadora para encontrar la raíz con un error
menor que 10-
2
9. a) La funciónf(x) := (x - l)(x -2)(x -3)(x - 4)(x -5) tiene cinco raíces en el inter­
valo
[O, 7]. Si se aplica el método de bisección en este intervalo, ¿cuál de las raí­
ces se localiza?
b) Contestar la
misma pregunta para g(x) := (x 2)(x -3)(x 4)(x -5)(x - 6) en el
intervalo
[O, 7].
10. Si se aplica el método de bisección en lID intervalo de longitud 1 para encontrar Pn con
un error Ipl1 -el < 10-5, deternunar el valor mínimo de n que asegura esta precisión.
11. Sea
1:= [a, b], seaf: 1 ---+ IR continua en 1 y suponer que f(a) < O,J(b) > O. Sea W:=
{x E 1 :f(x) < O} Y sea w:= sup W. Demostrar quef(w) = O. (Este resultado propor­
ciona
una demostración alternativa deÚeorema 5.3.5.)
12. Sea
1 := [O, rc/2] y sea que f: 1 ---+ IR esté definida por f(x) := sup{ x2, cos x} para x E 1.
Demostrar que existe un punto mínimo absoluto Xo E 1 para f en l. Demostrar que Xo
es una solución de la ecuación cos x = x2.
13. Suponer que!: IR ---+ IR es continua en IR y que lím f = ° y lím f = O. Demostrar que
x-+~oo X-700
f está acotada en IR y que alcanza o un máximo o un mínimo en IR. Dar un ejemplo
para d~mostrar que no necesariamente alcanza un máximo y un míninlo.
14.
Seaf: IR ---+ IR continua en IR y sea 13 E IR. Demostrar que si Xo E IR es tal quef(xo) < 13,
entonces existe una vecindad-o U de Xo tal quef(x) < 13 para toda x E U.
15. Examinar qué intervalos abiertos [o bien, cerrados] son mapeados porf(x) := x2 para
x E IR en intervalos abiertos [o bien, cerrados].
16. Examinar el mapeo de intervalos abiertos [o bien, cerrados] bajo las funciones
g(x) :=
l/(x
2
+ 1) Y h(x) :=x
3
para x E IR.
17. Sif: [O, 1]---+ IR es continua y sólo tiene valores racionales [o bien, irracionales], ¿debe
ser constante
f7 Demostrar la respuesta.
18. Sea
1:= [a, b] Y seaf: 1 ---+ IR una función (no necesariamente continua) con la propie­
dad de que para toda
x E l, la funciónfestá acotada en una vecindad V"x(x) de x (en
el sentido de la definición 4.2.1). Demostrar que
f está acotada en 1.
19. Sea J := (a, b) Y sea g : J ---+ IR lilla función continua con la propiedad de que para toda
x E J, la función g está acotada en una vecindad V" (x) de x. Demostrar con un ejem-
plo que g no necesariamente está acotada
en J. x

177. 5.L¡ Continuidad uniforme
Sea A ~ lFt Y sea/: A -¿ R La definición 5.1.1 establece que los siguientes enun­
ciados son
f es continua en todo ti E
(ii) dadas E> O Y u E existe u) > O tal que para toda x tal que x E A Y
Ix -u I < 8(E, u), entonces If(x) - f(u) I < E.
El punto que quiere enfatizarse aquí es que 8 depende, en general, tanto de E> °
como de u E A. El hecho de que 8 dependa de u es un reflejo del hecho de que la fun­

ciónfpuede cambiar de valor rápidamente cerca de ciertos puntos y lentamente cerca
de otros. [Por ejemplo, considerarf(x) := sen(l/x) para x> O; véase la figura 4.1.3.]
Ahora bien, con frecuencia sucede que la función
f es tal que el número 8
puede elegirse de tal modo que sea independiente del punto
u E A Y que dependa
tan sólo de
E. Por ejemplo, sif(x) := 2x para toda x E lFt, entonces
If(x)-f(u)1 =2Ix-ul,
y entonces puede elegirse 8(E, u) := E/2 para toda E> O, U E R (¿Por qué?)
Por otro lado, si
g(x) := l/x para x E A := {x E lFt : x > O}, entonces
u-x
g(x) -g(u) = --o
ux
Si u E A está dada y si se toma
8(E,U):= ínf {±U,±U2E},
(1)
(2)
entonces si
Ix-ul <8(E,u),setiene Ix-ul <tu,demodoque tu<x< fu,
de donde se sigue que l/x < 2/u. Por tanto, si Ix -u I < tu, la igualdad (1) da como
resultado la desigualdad
Ig(x)-g(u)1 ~(2/u2) Ix-ul· (3)
Por consiguiente, si
Ix -u I < 8(E, u), entonces (2) y (3) implican que
Se
ha visto que la selección de 8(E, u) con la fórmula (2) "funciona" en el sen­
tido de que
pennite dar un valor de 8 que asegure que Ig(x) g(u) I < E cuando
Ix -u I < 8y x, U E A. Se observa que el valor de 8(E, u) dado en (2) depende sin
lugar a dudas del punto
u E A. Si desea considerarse toda u E A, la fónnula (2) no
lleva a
un solo valor 8(E) > O que "funcione" al mismo tiempo para toda u > 0, ya
que ínf{ 8(E, u) : u> O} = O.
Un lector atento habrá observado que hay otras selecciones que pueden hacer­
se para 8. (Por ejemplo, también pudo haberse elegido 8](E, u) := ínf{i u, t U
2E},

178. Capítulo 5 Funciones continuas
como el lector sin se sigue teniendo ínf{ u) : u> O} = O.)
De no manera de elegir un valor de 8 que "funcione" para toda u > O
para la función como se verá.
La situación se ilustra gráficamente en las figuras 5.4.1 y 5.4.2 donde, para una
vecindad-e
~(t) alrededor de t = 1(2) y de ~(2) alrededor de 2 = I(t), se ve que
los valores máximos correspondientes de
8 son considerablemente diferentes. Cuan­
do
u tiende a O, los valores pennitidos de 8 tienden a O.
'-----..---' ~ 2
vecindad-eS
Figura 5.4.1 g(x) = l/x (x> O).
--~~~--~--------~x
-~~
vecindtd-eS
Figura 5.4.2 g(x) = l/x (x> O).
5.4.1 Definición Sea A <;;;; ~ y sea 1: A -7 R Se dice que 1 es uniformemente
continua en A si para toda e> O existe 8(8) > O tal que si x, u E A son números
cualesquiera que satisfacen
Ix -ul < 8(8), entonces I/(x) -I(u) I < 8.
Es claro que si 1 es uniformemente continua en A, entonces es continua en
cualquier punto de
A. En general, sin embargo, el recíproco no es verdadero, como
lo muestra la función
g(x) = l/x en el conjunto A := {x E ~ : x > O}.
Resulta conveniente formular una condición equivalente a decir que 1 no es
uniformemente continua en
A. En el siguiente resultado se presentan estos crite­
rios, dejándole la demostración al lector como ejercicio.
5.4.2 Criterios de continuidad no uniforme Sea A <;;;; ~ y sea f : A -7 R En­
tonces los siguientes enunciados son equivalentes:
f no es uniformemente continua en A.
Existe una Eo > O tal que para toda 8 > O existen los puntos xc;, Uo en A tales
que
I Xo -uli I < 8 y I f(xli) -f(u o) I :2: EO'
Existe una EO > O Y dos sucesiones (x
n
)
y (Un) en A tales que lím(x
n
-Un) = O
Y I f(x
n
) -[(Un) I :2: EO para toda n E N.
Este resultado puede aplicarse para demostrar que g(x) := l/x no es uniforme­
mente continua en
A := {x E ~ : x > O}. Si xn := 1/n y un := l/en + 1), entonces se
tiene lím(X
n -un) = O, pero Ig(x
n
) -g(un) I = 1 para toda n E N.
Se presenta ahora un importante resultado que asegura que una función conti­
nua en
un intervalo acotado cerrado 1 es uniformemente continua en I. En las sec­
ciones 5.5 y
1l.3 se presentan otras demostraciones de este teorema.

179. 5.4 Continuidad uniforme
5.4.3 Teorema de continuidad uniforme Sea 1 un intervalo acotado cerrado
y
sea f: I ---¿ JR;. continua en I. Entonces f es continua en 1.
Demostración. Si f no es uniformemente continua en J, entonces, por el resulta­
do precedente, existen
Ea > O Y dos sucesiones (xn)
y (un) en 1 tales que I Xn -un I < l/n
y If(x
n
) - I ::: to para toda n E N. Puesto que J está acotado, la sucesión
está acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass 3.4.8 existe una subsucesión
(x
n¡) de (x
n
) que converge a un elemento z. Puesto que J es un intervalo cerrado,
el límite
z pertenece a J, por el teorema 3.2.6. Es evidenté que la sub sucesión
correspondiente
(u
nk
) también converge a z, ya que
Ahora bien, si
f es continua en el punto z, entonces ambas sucesiones (f(x
n
)) y
(f(u
n
)) deben converger af(z). Pero esto no es posible ya que
para toda
n E N. Por tanto, la hipótesis de que f no es uniformemente continua en
el intervalo acotado cerrado
J implica que f no es continua en algún punto z E 1.
Por consiguiente, sifes continua en todo punto de J, entoncesfes uniformemen­
te continua en
1. Q.E.D.
Funciones de Li.pschitz
Si se da una función uniformemente continua en lID conjunto que no es un inter­
valo acotado cerrado, entonces en ocasiones es dificil establecer su continuidad
uniforme. Sin embargo, hay una condición que ocurre con frecuencia y que es
suficiente para garantizar la continuidad uniforme.
5.4.4 Definición Sea
A ~ JR;. y sea f: A ---¿ lE.. Si existe una constante K> O tal que
If(x) -f(u) I s Klx -u I (4)
para toda
x, u E A, entonces se dice que f es una función de Li.pschitz (o que satis­
face una condición
de Lipschitz) en A.
La condición (4) de que una funciónf: J ---¿ JR;. en un intervalo J es una función
de Lipschitz puede interpretarse geométricamente como sigue. Si la condición se
escribe como
I
f(x)-f(U)lsK,
x-u
x,UEJ,xotu,
entonces la cantidad dentro de los valores absolutos es la pendiente del segmento de
recta que une los puntos
(xJ(x)) y (uJ(u)). Por tanto, una funciónfsatisface una
condición de Lipschitz si y sólo si las pendientes de todos los segmentos de recta que
unen dos puntos en la gráfica de
y = f(x) en J están acotados por algún número K.

180. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
5.4.5 Teorema Si f : A -¿ lR es una fimción de Lipschitz, entonces f es unifor­
memente continua en
A.
Demostración. Si la condición (4) se satisface, entonces dada E> ° puede
tomarse
(j:= E/K. Si x, u E A satisfacen Ix -u I < (j, entonces
E
If(x) f(u)I<K--=E.
K
Por lo tanto,! es uniformemente continua en A. Q.E.D.
5.4.6 a) Sif(x) :=x
2
enA := [O, b], donde b > 0, entonces
If(x)-f(u)1 = Ix+ullx-ul ~2b Ix-ul
para toda x, u en [O, b]. En consecuencia, f satisface (4) con K := 2b en A y, por lo
tanto,fes unifoIDlemente continua enA. Desde luego, comofes continua y A es
un intervalo acotado cerrado, este resultado también puede deducirse del teorema
de continuidad uniforme. (Adviértase que
f no satisface la condición de Lipschitz
en el intervalo
[O, (0).)
b) No toda ftmción uniformemente continua es una función de Lipschitz.
Sea g(x)
:= -v;:-para x en el intervalo acotado cerrado J := [O, 2]. Puesto que g
es continua en J, del teorema de continuidad unifonne 5.4.3 se sigue que g es uni­
formemente continua en
1. Sin embargo, no hay ningún número K > ° tal que
I g(x) I
~ K Ixl para toda x E 1. (¿Por qué no?) Porlo tanto, g no es una función de
Lipschitz en 1.
e) El teorema de continuidad uniforme y el teorema 5.4.5 pueden combinarse en
ocasiones para establecer la continuidad uniforme de una función en un conjunto.
Se considera g(x)
:= -v;:-en el conjunto A := [O, (0). La continuidad uniforme
de g en el intervalo J := [O, 2] se sigue del teorema de continuidad unifoIDle, como
se señaló en el inciso b). Si
J := [1, (0), entonces si tanto x como u están en J, se
tiene
f f Ix-ul 1
Ig(x)-g(u)I=I,\/x-'\/ul= ¡-; ¡;;~-Ix-ul.
x + u 2
Por tanto, g es una función de Lipschitz en J con constante K = t y, en consecuen­
cia,
por el teorema 5.4.5, g es uniformemente continua en [1, (0). Puesto que
A = J U J, se sigue [tomando 8(E) := ínf{ 1, 8
I
(E), 8AE)}] que g es uniformemen­
te continua en
A. Se le dejan los detalles al lector. D
El teorema de extensión continua
Se han visto ejemplos de funciones que son continuas pero no uniformemente
continuas en intervalos abiertos; por ejemplo, la funciónf(x) = l/x en
el intervalo
(O, 1). Por otra parte, por el teorema de continuidad lmiforme, una función que es

181. 5.4 Continuidad uniforme
continua en un intervalo acotado cerrado es siempre unifom1emente continua.
Entonces surge la condiciones es uniformemente continua una
función
en un intervalo acotado abierto? La respuesta revela el alcance de la con­
tinuidad uniforme, pues se demostrará que una función en
(a, b)es unifonnemen­
te continua si y sólo si puede definirse en los puntos terminales para producir una
función que es continua en el intervalo cerrado. Se establece
un resulta­
do que es de interés por derecho propio.
5.4.7 Teorema Si f: A ---¿ IR es uniformemente continua en un subconjunto
A de IRy si (x
n
) es una sucesión de Cauchy en A entonces (f(x
n
)) es una sucesión
de Cauchy en
IR.
Demostración. Sea (x
n
)
una sucesión de Cauchy en A y sea E> ° dada. Primero
se elige
8> ° tal que si x, u en A satisfacen Ix -u I < 8, entonces Ifex) - f(u) I < E.
Puesto que (x,,) es una sucesión de Cauchy, existe H( 8) tal que Ix" -X
m
I < 8 para
toda
n, m > H( 8). Por la elección de 8, esto implica que pata n, m > H( 8) se tiene
If(x,,) - f(x
m
) I < E. Por lo tanto, la sucesión (f(x
n
))es una sucesión de Cauchy.
Q.E.D.
El resultado anterior proporciona uná manera altemativa de ver que f(x) := l/x
no es uniformemente continua en (O, 1). Se observa que la sucesión dada por
X
n
:= 1/n en (O, 1) es una sucesión de Cauchy, pero la sucesión de la imagen, donde
f(x
n
)
= n, no es una sucesión de Cauchy.
5.4.8 Teorema de extensión continua Una jímción f es uniformemente conti­
nua en el intervalo
(a, b) si y sólo si puede definirse en los puntos terminales a y
b de tal modo que la fimción extendida sea continua en [a, b].
Demostración. ( {=) Esta dirección es trivial.
(=:}) Suponer quefes unifonnemente continua en (a, b). Se indicará cómo
extender
f a a; el razonamiento para b es similar. Primero se procede demostran­
do que lím
f(x) = L existe, lo cual se consigue usando el criterio de sucesiones
x----J>c
para límites. Si (x
n
) es una sucesión en Ca, b) con lím (x,,) = a, entonces es una
sucesión de Cauchy
y, por el teorema precedente, la sucesión (f(x
n
)) también es
una sucesión de Cauchy
y, en consecuencia, es convergente por el teorema 3.5.5.
Así, el límite lím(f(x,,))
= L existe. Si (un) es otra sucesión en (a, b) que conver­
ge a
a, entonces lím(u
n
-
x
n
) = a -a = 0, por lo que, por la continuidad uniforme
de
f, se tiene
lím(f(u
n») = lím(f(u
n
) -f(x
n
)) + lím(f(x,,))
=O+L=L.
Puesto que se obtiene el mismo valor L para toda sucesión que converge a a, por
el cliterio de sucesiones para límites se infiere que
ftiene límite L en a. Si se defi­
nef(a) := L, entoncesfes continua en a. El mismo razonamiento se aplica a b, por
lo que se concluye que
ftiene una extensión continua al intervalo [a, b]. Q.E.D.

182. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
5.4.5 Teorema Si f : A ---¿ ~ es una fimción de Lipschitz, entonces fes unifor­
meinente continua en
A.
Demostración. Si la condición (4) se satisface, entonces dada E > O puede
tomarse
0:= E/K. Si x, u E A satisfacen Ix -u I < O, entonces
E
If(x)-f(u) I < IC-= E.
K
Por lo tanto,f es uniformemente continua en A.
5.4.6 a) Sif(x) :=x
2
enA:= [O, b], donde b > O, entonces
If(x)-f(u)1 = Ix+ullx-ul ~2b Ix-ul
Q.E.D.
para toda x, u en [O, b]. En consecuencia,jsatisface (4) con K:= 2b en A y, por lo
tanto,
fes uniformemente continua en A. Desde luego, como fes continua y A es
un intervalo acotado cerrado, este resultado también puede deducirse del teorema
de continuidad unifonne. (Adviértase que
f no satisface la condición de Lipschitz
en el intervalo
[O, 00).)
No toda función uniformemente continua es una función de Lipschitz.
Sea g( .
.-x:) := G para x en el intervalo acotado cerrado I := [O, 2]. Puesto que g
es continua en
I, del teorema de continuidad unifonne 5.4.3 se sigue que g es uni­
formemente continua en
I. Sin embargo, no hay ningún número K > O tal que
Ig(x) I
~ Klxl para toda x E I. (¿Por qué no?) Por lo tanto, g no es una función de
Lipschitz en
I.
c) El teorema de continuidad uniforme y el teorema 5.4.5 pueden combinarse en
ocasiones para establecer la continuidad uniforme de una función en
un conjunto.
Se considera
g(x) := Gen el conjunto A := [O, 00). La continuidad uniforme
de g en el intervalo
I := [O, 2] se sigue del teorema de continuidad unifonne, como
se señaló en el inciso b).
Si J := [1, 00), entonces si tanto x como u están en J, se
tiene
I I Ix-ul 1
Ig(x)-g(u)I=I-vx -vul= I I~-Ix-ul·
-vx+-vu 2
Por tanto, g es una función de Lipschitz en J con constante K = t y, en consecuen­
cia,
por el teorema 5.4.5, g es uniformemente continua en [1, 00). Puesto que
A = I U J, se sigue [tomando 0(10) := ínf{ 1, 0[(10), 8
J
(E)}] que g es unifonnemen­
te continua en
A. Se le dejan los detalles al lector. O
El teorema de extensión continua
Se han visto ejemplos de funciones que son continuas pero no unifonnemente
continuas en intervalos abiertos; por ejemplo, la funciónf(x) =
l/x en el intervalo
(O, 1). Por otra parte, por el teorema de continuidad uniforme, una función que es

183. 5.4 Continuidad uniforme
continua en un intervalo acotado cerrado es siempre uniformemente continua.
Entonces surge la ¿bajo condiciones es uniformemente continua una
función
.en un intervalo acotado abierto? La revela el alcance de la con­
tinuidad uniforme, pues se demostrará que una función
en (a, b) es uniformemen­
te continua si y sólo si puede definirse en los puntos terminales para producir una
función que es continua en
el intervalo cerrado. Se establece primero un resulta­
do que es de interés por derecho propio.
5.4.7 Teorema Si f : A -7 lR es uniformemente continua en un subconjunto
A de lRy si (x
n
) es una sucesión de Cauchy en entonces (f(x
n
)) es una sucesión
de Cauchy en
lR.
Demostración. Sea (x
n
)
una sucesión de Cauchy en A y sea E> O dada. Primero
se elige
8> O tal que si x, u en A satisfacen Ix -u I < 8, entonces I f(x) -f(u) I < E.
Puesto que (x
n
)
es una sucesión de Cauchy, existe H( 8) tal que I X
n
-
X
I11 I < 8 para
toda
n, m > H( 8). Por la elección de 8, esto implica que para n, m > H( 8) se tiene
If(x
n
) -
f(xl11) I < E. Por lo tanto, la sucesión (f(xn)) es una sucesión de Cauchy.
Q.E.D.
El resultado anterior proporciona una manera alternativa de ver que f(x) := l/x
no es uniformemente continua en (O, 1). Se observa que la sucesión dada por
x
n
:= 1/n en (O, 1) es una sucesión de Cauchy, pero la sucesión de la imagen, donde
f(x
n
)
= n, no es una sucesión de Cauchy.
5.4.8 Teorema de extensión continua Una función f es uniformemente conti­
nua
en el intervalo (a, b) si y sólo si puede definirse en los puntos terminales a y
b de tal modo que la fimción extendida sea continua en
[a, b].
Demostración. (
{::::) Esta dirección es trivial.
(=?) Suponer que
f es uniformemente continua en (a, b). Se indicará cómo
extender
f a a; el razonamiento para b es similar. Primero se procede demostran­
do que
lím f(x) = L existe, lo cual se consigue usando el criterio de sucesiones
X--7C
para límites. Si (x
n
)
es tilla sucesión en (a, b) con lím (x
n
)
= a, entonces es una
sucesión de Cauchy
y, por el teorema precedente, la sucesión (f(x
n
)) también es
una sucesión de Cauchy
y, en consecuencia, es convergente por el teorema 3.5.5.
Así, el límite
lím(f(x
n
)) = L existe. Si (un) es otra sucesión en (a, b) que conver­
ge a
a, entonces lím(u
n
-
x
n
)
= a -a = O, por lo que, por la continuidad uniforme
de
f, se tiene
lím(f(u
n
)) = lím(f(u
n
) -
f(x,,)) + lím(f(x
n
))
=O+L=L.
Puesto que se obtiene el mismo valor L para toda sucesión que converge a a, por
el criterio de sucesiones para límites se infiere que
ftiene límite L en a. Si se defi­
ne
f( a) := L, entonces fes continua en a. El mismo razonamiento se aplica a b, por
lo que se concluye que
ftiene una extensión continua al intervalo [a, b]. Q.E.D.

184. Capítulo 5 Funciones continuas
Puesto que el límite def(x) := sen(lIx) en O no existe, del teorema de exten­
sión continua se infiere que
la función no es uniformemente continua en b]
para ninguna b > O. Por otra parte, ya que Iím x sen(l/x) = O existe, la función
x..-¿ü
g(x) := x sen(l/x) es uniformemente continua en (O, b] para toda b > O.
En muchas aplicaciones es importante poder aproximar ftmciones continuas me­
diante ftrnciones de carácter elemental. Aun cuando hay una variedad de definicio­
nes que pueden usarse
para hacer más preciso el ténnino "aproximar", una de las
más naturales (asi como una de las más importantes) consiste en requerir que, en
todo punto del dominio dado,
la función de aproximación no diferirá de la función
dada en más del error preasignado.
5.4.9 Definición Sea
1 ~ JR un intervalo y sea s : 1 ---¿ R Entonces s se deno­
mina función
escalonada si sólo tiene un número finito de valores diferentes, con
cada valor siendo asumido en uno o más intervalos en
I.
Por ejemplo, la función s : [-2,4] ---¿ JR definida por
O, -2 :S;x<-l,
1, -1 :S;x:S; O,
l O <x<
1
s(x):=
2 ' 2 '
3, l :s; x < 1,
2
-2, 1 :S;x:S; 3,
2, 3 <x:s; 4,
es una función escalonada. (Véase la figura 5.4.3.)
y
H
------+---f---~--~--A---~--~--~x
Figura 5.4.3 Gráfica de y = s(x).
"El resto de esta sección puede omitirse en una primera lectura de este capítulo.

185. 5.4 Continuidad uniforme 1
Se demuestra ahora que una función continua en un intervalo acotado cerrado
1 aproximarse arbitrariamente cerca por funciones escalonadas.
5.4.10
Teorema Sea 1 un intervalo acotado cerrado y sea f: 1 ---7 JR;. continua
en
I. Si E > O, entonces existe una fimción escalonada SE: 1 ---7 JR;. tal que If(x) -
sE(x)1 < E para toda x E I.
Demostración. Puesto que (por el teorema de continuidad unifom1e 5.4.3) la
función
f es uniformemente continua, se sigue que dada 8 > ° existe un número
8(8) > O tal que si x,y E 1 Y Ix -y I < 8(8), entonces If("\:) -f(y) I < 8. Seal:= [a, b]
y sea m E N lo suficientemente grande para que h := (b -a)/m < 8(8). Se divide
ahora
1 = [a, b] en m intervalos disjuntos de longitud h; a saber, 1
1 := [a, a + h] e
lk := (a + (k -l)h, a + kh] para k= 2; . ',111. Puesto que la longitud de cada sub in­
tervalo
Ik es h < 8e 8), la diferencia entre dos valores cualesquiera de f en h es
menor que 8. Se define ahora
para x
E h, k= 1; . ',111, (5)
de
modo que Se es constante en cada intervalo Ik' (De hecho, el valor de Se en Ik es
el valor
defen el punto terminal derecho de llc Véase la figura 5.4.4.) Por consi­
guiente, si
x E I
k
, entonces
If(X) - Se (x) I = If(x) -fea + kh) I < 8.
Por lo tanto, se tiene I f(x) -S e (x) I < 8 para toda x E 1. Q.E.D.
Figura 5.4.4 Aproximación por funciones esc2Jonadas.
Adviértase que la demostración del teorema anterior establece algo más de lo
que se anunció
en la enunciación del teorema. De hecho, se ha demostrado la si­
guiente afirmación, que es más precisa.
5.4.11
Corolario Sea 1 := [a, b] un intervalo acotado cerrado y sea f: I ---7 JR;.
continua en 1. Si E > 0, existe un número natural m tal que si se divide 1 en m inter­
valos disjuntos
Ile de longitud h := (b -a)/m, entonces la fimción escalonada SE
definida en la ecuación (5) satisface If(x) -se(x) I < E para toda x E 1.

186. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
Las funciones escalonadas son de carácter en extremo pero no son
continuas (excepto en los casos Puesto que con frecuencia es deseable
aproximar funciones continuas mediante funciones continuas elementales, se verá
ahora que es posible aproximar funciones continuas mediante funciones lineales
por partes que son continuas.
5.4.12 Defini.ción Sea 1
:= [a, b] un intervalo. Entonces se dice que tilla fun­
ción
g : 1 ---7 lR es lineal por en 1 si 1 es la unión de un número finito de
intervalos disjuntos
1¡,' . ',1,11 tales que la restricción de g a cada intervalo lle es una
función1ineal.
Observación Es evidente que para que una función lineal por partes g sea con­
tinua en
1, los segmentos de recta que forman la gráfica de g deben coincidir en
los puntos terminales de los subintervalos adyacentes
1
1
" lle + 1 (k = 1, .. " m -1).
5.4.13 Teorema Sea 1 un intervalo acotado cerrado y sea f : 1 ---7 lR continua
en
I. Si E > 0, entonces existe una jimción lineal por partes continua gE : 1 ---7 lR
tal que If(x) - gE(X) I < E para toda x E I.
Demostración. Puesto que f es uniformemente continua en 1 := [a, b], existe un
número 8(8)
> ° tal que si x, y E 1 Y Ix -y I < 8(8), entonces If(x) -f(y) I < f.
Sea m E N lo suficientemente grande para que h := (b -a)/m < 8(8). Se divide
1
= [a, b] en In intervalos disjuntos de longitud h; a saber, sea 1
1 = [a, a + h] Y sea
h = (a + (k -1 )h, a + kh] para k = 2, .. " m. En cada intervalo lle se define gE como
la función lineal que une los puntos
(a + (k-l)hJ(a + (k-l)h» y (a + khJ(a + kh).
Entonces gE es una función lineal por partes continua en I. Puesto que para x E lk
el valor de f(x) está dentro de f unidades de f( a + (k -l)h) y f( a + kh), es un ej er­
cicio demostrar que
I f(x) -gix) I < fpara toda x E l
k
; por lo tanto, esta desigual­
dad se cumple para toda
x E 1. (Véase la figura 5.4.5.) Q.E.D.
Figura 5.4.5 Aproximación por funciones lineales por partes.

187. 54 Continuidad uniforme
)
Esta sección se cierra enunciando el teorema de Weierstrass refe-
rente a la aproximación de funciones'continuas mediante funciones
fJv,amJH"~U".
Como sería de esperarse, a fin de obtener una dentro de una E > O
es necesario estar
de grado arbitrariamente alto.
5.4.14 Teorema de de Weierstrass Sea 1 = [a, b] y sea f: 1 --7
JR; una función continua, Si E > O está dada, entonces existe una fimción polinómi-
ca
PE tal que I f(x) - I < E para toda x E I.
Hay varias demostraciones de este re~ultado. Desafortunadamente, todas ellas
son bastante intrincadas o emplean resultados con los que aún no
se cuenta. Una
de las demostraciones más elementales se basa en el siguiente teorema, debido a
Serge Bemstein, para funciones continuas en
[0,1]. Dadaf: [O, 1] --7 R Bemstein
definió la sucesión de polinomios:
(6)
La función polinómica Bn se llama el n-ésimo de Bemstein. es
un polinomio a lo sumo de grado
n y sus coeficientes dependen de los valores de
la
funciónfen los n + 1 puntos separados por la misma distancia 0, 1/n, 21n; . "
kln,
.. " 1 Y de los coeficientes binomiales
(
n)= n! =n(n-l) ... (n-k+1).
k' k!(n-k) l·2···k
5.4.15 Teorema de aproximación. de Bemsíein Sea f: [O, 1] --7 JR; continua y
sea E> O. Existe una n
E
E N tal que si n;::: n
E
,
entonces se tiene I f(x) -Bn(x) I < E
para toda x E [O, 1].
La demostración del teorema de aproximación de Bemstein se presenta en
[ERA, pp. 169-172].
El teorema de aproximación de Weierstrass
5.4.l4 puede deducirse del teore­
ma de aproximación de Bemstein 5.4.15 mediante un cambio de variable.
Específicamente, se reemplaza
f: [a, b] --7 JR; por una función F : [O, 1] --7 JR; defi­
nida
por
F(t) := fCa + (b -a)t) para t E [O, 1].
La función F puede aproximarse con polinomios de Bemstein para F en el inter­
valo
[O, 1], los cuales producen entonces polinomios en [a, b] que aproximan!
Ejercicios de la sección 5.4
1. Demostrar que la funciónf(x) := l/x es uniformemente continua en el conjunto A :=
[a, 00), donde a es una constante positiva.

188. Capítulo 5 Funciones continuas
2. Demostrar que la funciónf(x):= l/x
2
es uniformemente continua enA := [1, 00), pero
que no es lmiformemente continua
en B := (0,00).
3. Usar los criterios de continuidad no uniforme 5.4.2 para demostrar que las siguientes
funciones no son uniformemente continuas en los conjuntos dados.
A
:= [O, 00).
b) g(x) := sen(1/x), B := (0, 00).
4. Demostrar que la funciónf(x) := 1/(1 + x2) para x E lit es uniformemente continua
en lit.
5. Demostrar que si f y g son unifonnemente continuas en un subconjunto A de lit, enton­
ces
f + g es uniformemente continua en A.
6. Demostrar que sif y g son unifonnemente continuas en A ~ lit Y si ambas están aco­
tadas en A, entonces
su producto f g es lmifonnemente continuo en A.
7. Sif(x) :=x y g(x) := sen x, demostrar que tantofcomo g son uniformemente continuas
en
lit, pero que su producto f g no es uniformemente continuo en lit.
8. Demostrar que
sif y g son cada una de ellas uniformemente continuas en lit, entonces
la función compuesta
f o g es uniformemente continua en lit.
9.
Sif es uniformemente continua en A ~ lit Y If(x) I ;:: k> ° para toda x E A, demostrar
que
1/f es lmiformemente continua en A.
10. Demostrar que si f es uniformemente continua en un subconjunto acotado A de lit,
entonces f está acotada en A.
11. Sig(x):= ~ para x E [0,1], demostrar que no existe una constante K tal que Ig(x) 1:0;
KI x I para toda x E [O, 1]. Concluir que la función uniformemente continua g no es
una función de Lipschitz en
[O, 1].
12. Demostrar que sifes continua en [0,00) Y uniformemente continua en [a, 00) para
alguna constante positiva
a, entonces f es uniformemente continua en [O, 00).
13. Sea A ~ lit Y suponer quef: A -7 lit tiene la siguiente propiedad: para toda E> ° existe
una función gE : A -7 lit tal que gE es uniformemente continua en A y If(x) -glx) I < E
para toda x E A. Demostrar que f es uniformemente continua en A.
14. Se dice que una funciónf: lit -7 lit es periódica en lit si existe un número p > ° tal que
f(x + p) = f(x) para toda x E lit. Demostrar que una función periódica continua en lit
está acotada y es uniformemente continua en lit.
15. Sifo(x):= 1 para x E [0,1], calcular algunos de los primeros polinomios de BernsteIn
para
fo. Demostrar que coinciden confo. [Sugerencia: el teorema del binomio estable­
ce que

189. )
5.5 Continuidad y medidas 1
16. Si/¡ (x) := x para x E [O, 1], calcular algunos de los primeros polinomios de Bernstein
para/¡. Demostrar que coinciden con!l'
17. Sih(x) :=x
2
para x E [0,1], calcular algunos de los primeros polinomios de Bernstein
parah. Demostrar que Bn(x) = (1 -1/n)x
2
+ (l/n)x.
Se introducen ahora algunos conceptos que se usarán más adelante -en especial
en los capítulos 7
y lOen la teoría de la integración-o Sin embargo, consideramos
conveniente introducir ahora la noción de "medida" debido a su conexión con el
estudio
de las funciones continuas. Se define primero la noción de partición eti­
quetada
de un intervalo.
5.5.1 Definición Una de un intervalo
1 := [a, b] es una colección
P = {1
1
'
... , In} de intervalos cerrados no traslapados cuya unión es [a, b]. Por lo
general los intervalos
se denotan por li := [x¡_¡, x¡], donde
a = Xo < ... < xi-1 < Xi < ... < X
n = b.
Los puntos Xi (i = 0, ... , n) se denominan los de de P. Si se ha
elegido un punto
ti de cada intervalo li' para i = 1, ... , n, entonces los puntos ti se
denominan las etiquetas y el conjunto de pares ordenados
se denomina una partición
etiquetada de I. (El punto significa que la partición
está etiquetada.)
La "finura"
de una partición P se refiere a las longitudes de los subintervalos
en
P. En lugar de requerir que todos los subintervalos tengan una longitud menor
que alguna cantidad específica, con frecuencia resulta conveniente permitir grados
variables
de finura para diferentes subintervalos li en P. Esto se consigue median­
te el uso de una "medida", la cual se define a continuación.
5.5.2 Definición Una
medida sobre 1 es una función estrictamente positiva
definida en
I. Si b es una medida sobre 1, entonces se dice que una partición (eti­
quetada)'P es fina-b
si
ti E li S;;;; [ti -b(ti), ti + b(t;)] para i = 1, ... , n. (1)
Cabe señalar que la noción de finura-b requiere que la partición esté etiqueta­
da, por lo que no es necesario decir "partición etiquetada" en este caso.
Una medida
b sobre un intervalo 1 asigna un intervalo [t -b(t), t + b(t)] a cada
punto
t E I. La finura-b de una partición P requiere que cada sub intervalo li de P

190. 180 Capítulo 5 Funciones continuas
esté contenido en el intervalo determinado por la medida la t¡ para ese
subintervalo. Esto se indica
por la inclusión en véase la figura 5.5.1. Adviér­
tase que
la longitud de los subintervalos también está controlada por la medida y
las etiquetas; el siguiente lema refleja dicho control.
Figura 5.5.1 Inclusión (1).
5.5.3 Lema Si una partición P de 1 := [a, b] es fina-O y x E l, entonces existe
una etiqueta
ti en P tal que Ix -ti I :::; o(tJ
Demostración. Si x E l, existe un sub intervalo [X¡_¡, Xi] de P que contiene a x.
Puesto queP es fina-o, entonces
(2)
de donde se sigue que
Ix -ti I :::; o(t;). Q.E.D.
En la teoría de la integración de Riemann se usarán medidas (5 que son funcio­
nes constantes
para controlar la finura de la partición; en la teoría de la integral de
Riemann
generalizada, el uso de medidas no constantes es esencial. Pero las fun­
ciones
medida no constante surgen de manera muy natural en conexión con las
funciones continuas.
Para ver por qué, sea j: l ~ ~ continua en l y sea E> O que
está dada. Entonces,
para cada punto t E l existe 0E(t) > O tal que si Ix -ti < 0E(t)
y x E l, entonces Ij(x) -jet) I < E. Puesto que 0E está definida y es estrictamente
positiva en
l, la función 0E es una medida sobre 1. Más adelante en esta sección se
usarán las relaciones entre medidas y continuidad
para ofrecer demostraciones
alternativas de las propiedades fundamentales de las funciones continuas discuti­
das
en las secciones 5.3 y 5.4.
5.5.4
Ejemplos a) Si ° Y yson medidas sobre l:= [a, b] Y si O < o(x) :::; y(x)
para toda x E l, entonces toda partición P que es fina-o es también fina-r Esto se
sigue de inmediato de las desigualdades
y
las cuales implican que
ti E [ti -o(t;), ti + o(t;)] ~ [ti -y(t¡), ti + y(t;)] para i = 1,' . " n.
b) Si o¡ y 02 son medidas sobre l := [a, b] Y si
8(x;) :=mín{8¡(x), ~(x)} para toda x E l,

191. )
5.5 Continuidad y medidas
entonces o también es
toda fina-o es
fina-0
2'
e) que o está definida en :==
{
1
o(x):== 10
-x
2
1J por
SI X == O,
e
SI O < X :s; 1.
1
:s; entonces
fina-o es también
Entonces
o es una medida sobre [O, 1]. Si O < t:S; 1, entonces [t - t + o(t)] ==
[it, -ft], que no contiene el punto O. Por tanto, si P es una partición fina-o de I,
entonces el único subintervalo en P que contiene a O debe tener el punto O como
etiqueta.
Sea que
y esté definida en 1:== [O, 1] por
SI
10
x==O o x==l,
y (x) :.==
1
-x SI O<x:S;-,
2 2
1 1
-el-x) SI -<x<1.
2 2
Entonces yes una medida sobre 1 y queda como un ejercicio demostrar que los
subintervalos en cualquier partición fina-y que contiene los puntos O o 1 debe
tener estos puntos como etiquetas. D
Existencia de
Con base en los ejemplos anteriores, no es obvio que una medida o arbitraria
admita una partición fina-o. Se usa ahora la propiedad del supremo de
lR para esta­
blecer la existencia de particiones finas-o.
En los ejercicios se describe una demos­
tración basada en el teorema de los intervalos anidados
2.5.2.
5.5.5 Teorema Si b es una medida definida en el intervalo [a, b], entonces exis­
te una partición fina-b de [a, b].
Demostración. Sea que E denote el conjunto de todos los puntos x E [a, b]
tales que existe una partición fina-o del subintervalo [a, x]. El conjunto E es no
vacío,
ya que el par ([a, x], a) es una partición fina-o del intervalo [a, x] cuando
x E [a, a + oCa)] y x::; b. Puesto que E ~ [a, b], el conjunto E también está aco­
tado. Sea u
:== sup E, por lo que a < u ::; b. Se demostrará que u E E Y que u == b.
Se afirma que u E E. Puesto que u - o(u) < u == sup E, existe v E E tal que
u -o(u) <y < u. SeaP¡ una partición fina-o de [a, v] Y seaP2 :==p¡ U ([v, u], u).
EntoncesP2 es una partición fina-o de [a, u], por lo que u E E.

192. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
Si u < b, sea W E [a, b] tal que u < W < u + o(u). Si Q1 es una fina-
a de [a, u], se hace Q2 := Q 1 U ([u, w], u). Entonces Q2 es una partición fina-a de
[a, w], de donde W E E. Pero esto contradice el supuesto de que u es una cota supe­
rior de
E. Por lo tanto, u = b. Q.E.D.
Siguiendo a R. A. Gordon (véase su artículo en Monthly), se muestra ahora que
algunos de los principales teoremas de las dos secciones anteriores pueden demos­
trarse usando medidas.
Demostración alternativa del teorema 5.3.2: Teorema de acotabilidad. Puesto
que
j es continua en J, entonces para toda t E J existe o(t) > ° tal que si x E J Y
Ix -ti "Ó:. Oet), entonces Ij(x) -Jet) I "Ó:. l. Por tanto, a es una medida sobre 1. Sea
{(Ji' tD }~1 una partición fina-8 de J y sea K:= máx{lj(t¡) I : i = 1, .. " n}. Por el
lema 5.5.3, dada cualquier
x E J existe i con Ix -ti I "Ó:. 8(t;), de donde
Ij(x) I "Ó:. Ij(x) -j(t
i
) I + IjU;) I "Ó:. 1 + K.
Puesto que x E J es arbitraria, entonces j está acotada por 1 + K en 1. Q.E.D.
Demostración alternativa del teorema 5.3.4: Teorema del máximo-mínimo. Se
demostrará la existencia de x*. Sea M:= sup{f(x) : x E J} Y suponer quej(x) < M
para toda x E 1. Puesto quejes continua en J, para toda t E J existe 8(t) > ° tal que
si
x E J Y Ix -ti "Ó:. 8(t), entonces j(x) < t(M + Jet)). Por tanto, 8 es una medida
sobre
J y si {(Ji' t¡) };~I es una partición fina-8 de J, se hace
-1
M: = -máx{M + j(tl)'" ',M + j(tn)}'
2
Por el lema 5.5.3, dada cualquier
x E J, existe i con Ix -til "Ó:. o(tD, de donde
1 -
j(x)<-(M + j(ti))"Ó:.M.
2
Puesto que
x E J es arbitraria, entonces M « M) es una cota superior de j en J, lo
cual contradice la definición de
M como el supremo de f Q.E.D.
Demostración alternativa del teorema 5.3.5: Teorema de localización de raíces.
Se supone que Jet) *-° para toda t E J. Puesto que j es continua en t, el ejerci­
cio 5.1.7 implica que existe
8(t) > ° tal que si x E J Y Ix -ti "Ó:. 8(t), entonces
j(x) < ° sij(t) < 0, y j(x) > ° sij(t) > O. Entonces O es tilla medida sobre J y se
hace que
{(Ji, t;) }~I sea una partición fina-D. Adviértase que para toda iJ(x) < °
para toda x E [xi-I, Xi] o bienj(x) > ° para estas x. Puesto quej(xo) = j(a) < 0,
esto implica que
j(x1) < 0, lo cual a su vez implica que j(x2) < O. Al continuar
de esta manera, se tiene
j( b) = j(x
n
)
< 0, lo cual contradice la hipótesis de que
j(b) > O. Q.E.D.

193. 1
55 Continuidad y medidas
Demostración del teorema 5.4.3: Teorema de continuidad """"H""'.
E> O que está dada, Puesto que f es continua en t E l, existe > O tal que si
x E l Y Ix -ti ~ 20(t), entonces If(x) - f(t) 1 ~ tE, O es una medida
sobre
I Si ti) };'=] es una partición fina-o de l, sea OE := mín{ o(t]), , , " o(t
n
)}, Se
supone ahora que
x, u E l Y 1 x -u 1 ~ 0E' Y se elige i con 1 x -ti 1 ~ o(t¡), Puesto que
se sigue entonces que
1 1
If(x)-f(u) 1 ~ If(.,I:)-fCt¡)I+ If(ti)-f(u)1 ~ -E+ -E = E,
2 2
Por lo tanto, fes uniformemente continua en I Q,E,D,
de la sección 5.5
L Sea O la medida sobre [O, 1] defmida por 0(0) := t y o(t) := t t para t E (O, 1],
a) Demostrar que 1 := {([O, tJ, O), ([t, H H ([t, 1), t)}, es fina-o,
b) Demostrar que
P
2 := {([O, H O), ([t, H H ([t, 1 J, t)}, no es fina-O.
2. Suponer que o] es la medida definida por 0](0) := t, o](t) = tt para t E (O, 1], ¿Las
particiones dadas en el ejercicio 1 son finas-o]? Adviértase que
o(t) ::; o] (t) para toda
tE [0,1],
3.
Suponer que O
2
es la medida definida por 02(0) := 10-y 02(t) := [o t para t E (O, 1],
¿Las particiones dadas en el ejercicio 1 son finas-02?
4. Sea r la medida del ejemplo 5,5Ad,
a)
Si t E (O, tlo demostrar que [t -r(t), t + r(t)] = [tt, tt] ~ (O, t l
b) Si tE (t, 1), demostrar que [t -r(t), t + r(t)] ~ (t, 1),
5. Sea a < e < b Y sea o una medida sobre [a, b l Si P' es una partición fina-o de [a, e] y
si P" es una partición fina-o de [e, b], demostrar que P' U P" es una partición fina-o
de
[a, b] que tiene a e como punto de partición,
6. Sea a < e < b Y sean o' y o" medidas sobre [a, e] y [e, b], respectivamente, Si O está
definida en
[a, b] por
{
o/Ct)
si tE[a,e),
o(t):= mín{o'(e),o"(e)} SI t=e,
o" (t ) SI t E ( e ,b ],
entonces 5 es una medida sobre [a, b l Además, si P' es lilla partición fina-o' de [a, e]
y P" es una partición fina-5" de [e, b], entoncesP' U P" es una partición etiquetada
de
[a, b] que tiene a e como punto de partición, Explicar por qué P' U P" no puede ser
fina-O. Dar un ejemplo,

194. Capítulo 5 Funciones continuas
7. Sean 8' y 8" como en el ejercicio precedente y sea que 8* esté definida por
¡
míl1{8
1
l(c-t)} SI
8*(t):= mín{81(c),~I/(c)} SI
mín{8"(t),l(t-c)} SI
2
tE [a,c),
t = e,
tE(c,b].
Demostrar que 8* es una medida sobre [a, b] y que toda partición fina-o*P de [a, b]
que tiene a e como 'punto de partición da lugar a una partición fina-o' pi de [a, e] ya
una partición fina-o"P" de [e, b] tales queP = P' U P".
8. Sea o una medida sobre 1:= [a, b] Y suponer que 1 no tiene una partición fina-O.
a) Sea e :=t(a + b). Demostrar que al menos uno de los intervalos [a, e] y [e, b] no
tiene una partición fina-o.
b) Construir una sucesión anidada (In) de subintervalos con una longitud de 1/1 igual a
(b -a)/2/1 tal que In no tenga una partición fina-o.
e) Sea ~ E Y seap E N tal que (b -a)/2
P < o@. Demostrar que Ip <;;; [~-o@,
~ + o(g], de donde el par (Ip, ~) es una partición fina-o de Ip-
9. Sea 1:= [a, b] y seaf: 1 --+ lR. una función (no necesariamente continua). Se dice que
f está "acotada localmente" en e E 1 si existe o( e) > O tal que f está acotada en 1 n
[e -8( e), e + 8( e)]. Demostrar que si f está acotada localmente en todo punto de 1,
entonces f está acotada en 1.
10. Sea 1 := [a, b] Y f: 1 --+ lR.. Se dice que f es "creciente localmente" en e E 1 si existe
o( e) > O tal que f es creciente en 1 n [e -oC e), e + o( e)]. Demostrar que si f es crecien­
te localmente en todo plmto de
1, entonces f es creciente en 1.
Recuérdese que si A ~ lR, entonces se dice que una funciónf: A ~ IR es crecien­
te en
A si siempre que XI, X2 E A Y XI S X2, entonces f(,'Cl) Sf(X2). Se dice que la
funciónf es estrictamente creciente en A si siempre que Xl, X2 E A Y Xl < Xl>
entoncesf(xl) <f(x2). Del mismo modo, se dice que una función g : A ~ IR es
decreciente en A si siempre que Xl, X2 E A Y Xl S X2, entonces g(xl) ;::: g(X2). Se
dice que la función es estrictamente decreciente en A si siempre que Xl, X2 E A
Y Xl < X2' entonces g(XI) > g(,'C2)·
Si una función es creciente, o bien, decreciente en A, se dice que es monóto­
na en A. Si f es estrictamente creciente, o bien estrictamente decreciente, en A, se
dice que es estrictamente monótona en A.
Cabe señalar que si f: A ~ IR es creciente en A, entonces g := -fes decrecien­
te en
A; del mismo modo, si qy : A ~ IR es decreciente en A, entonces VI:= -qy es
creciente en A.
En esta sección se tratan las funciones monótonas que están definidas en un
intervalo
1 ~ IR. Se examinan explícitamente las funciones crecientes, pero es

195. )
5.6 Funciones monótonas e inversas 185
claro que existen los resultados para las funciones decrecientes.
Estos resultados pueden obtenerse directamente
de los resultados para las funcio­
nes crecientes o bien demostrarse con razonamientos similares.
Las funciones monótonas no son necesariamente continuas. Por ejemplo, si
f(x) := O para x E [O; 1] Y sif(x) := 1 para x E (1,2], entoncesfes creciente en
[O, 2], pero de ser continua en x = l. Sin embargo, el siguiente resultado
establece que una función monótona siempre tiene límites por los dos lados
(véase la definición
4.3.1) en lR en todo punto que no sea un punto terminal de
su dominio.
5.6.1
Teorema Sea 1 <;;;; lR un intervalo y sea f: 1 ---'? lR creciente en I. Suponer
que c
E 1 no es un punto terminal de I. Entonces
lím
f = sup{ f(x) : x E 1, x < c},
X-Joc-
lím f = ínf{f(x): x E 1, x> c}.
x-Joc+
Demostración. (i) Se observa primero que si x E 1y x < e, entoncesf(x) <;.f(e).
En consecuencia, el conjunto {f(x) : x E 1, x < e}, que es no vacío ya que e no es
un plmto terminal de 1, está acotado por arriba porf(e). Por tanto, el supremo indi­
cado existe; se
le denota por L. Si E. > O está dada, entonces L - E. no es una cota
superior de este conjunto. En consecuencia, existe
YE E 1, YE < e tal que L - E. <
f(Yc) <;. L.
Puesto que f es creciente, se deduce que si bE := e -Yc Y si O < e -y < bE' enton­
ces
YE < Y < e, de modo que
Por lo tanto, If(Y) -
L I < E. cuando O < e -y < bE. Puesto que E. > O es arbitraria,
se infiere que (i) se cumple.
La demostración de (ii)
es similar. Q.E.D.
El siguiente resultado presenta los criterios para la continuidad de una función
creciente
f en un punto e que no es un punto terminal del intervalo en el que está
definida!
5.6.2 Corolario Sea 1 <;;;; lR un intervalo y sea f: 1 ---'? lR creciente en I. Suponer
que
c E 1 no es un punto terminal de 1. Entonces los siguientes enunciados son
equivalentes.
a) f es continua en c.
lím f= f(c) = lím f.
x-Joc- X-Joc+
e) sup{f(x): x E 1, x < c} = f(c) = ínf{ f(x) : x E 1, x > c}.
Estos resultados se siguen con facilidad de los teoremas
5.6.1 y 4.3.3. Se le
dejan los detalles al lector.

196. 1 Capítulo 5 Funciones continuas
Sea un intervalo y seaj l......¿ llt una función creciente. Si a es el punto ter­
minal izquierdo de
l, se deja como ejercicio demostrar que j es continua en a si y
sólo si
j(a) =: ínf{jex) : x E l, a < x}
o si y sólo sij(a) = lím f Condiciones similares se aplican a un punto terminal
x-3>a+
derecho, así como para funciones decrecientes.
Si j: l ......¿ llt es creciente en l y si e no es un punto terminal de l, se define el
salto e
comoj/Ce) :::0 lím j -lím f (Véase la figura 5.6.1.) Del teorema
. X-3>C+ X-3>C-
5.5.1 se SIgue que
j/Ce) := ínf{f(x) : x E l, x > e} -sup{j(x) : x E l, x < e}
para una función creciente. Si el punto terminal izquierdo a de l pertenece a l, se
define el salto dejen a comoj/Ca) := lím j -j(a). Si el punto terminal derecho b
X-3>a+
de l pertenece a l, se define el salto de f en b como j/(b) := j(b) -lím f
X-3>b-
Figura 5.6.1 El salto dejen c.
5.6.3 Teorema Sea 1 <;;;; llt un intervalo y sea f : l ......¿ llt creciente en I. Si c E l,
entonces f es continua en c si y sólo si jf( c) = O.
Demostración. Si c no es un punto terminal, del corolario 5.6.2 se sigue de
inmediato la conclusión. Si c E l es el punto terminal izquierdo de l, entonces f es
continua en c si y sólo sif(c) = lím 1, que es equivalente aj/Cc) = O. Observaciones
X-3>C+
similares se aplican al caso del punto terminal derecho. Q.E.D.
Se demuestra ahora que puede haber a lo sumo un conjunto contable de pun­
tos en los que una función monótona es discontinua.
5.6.4 Teorema
Sea 1 <;;;; llt un intervalo y sea f: 1 ......¿ llt monótona en 1 Entonces
el conjunto de puntos
D <;;;; 1 en los que f es discontinua es un conjunto contable.

197. )
5.6 Funciones monótonas e inversas 187
Demostración. Se supone creciente en 1. Por el teorema 5.6.3 se sigue
que
D = {x E J :j¡(x) *' O}. Se considerará el caso en que 1:= [a, b] es un inter­
valo acotado cerrado, dejándole
al lector el caso de un intervalo arbitrario.
Se observa primero que
comofes creciente, entoncesj¡(c);:: O para toda
e E 1. Además, si a ::; Xl < ... < x
n
::;
b, entonces (¿por que?) se tiene
fCa) ::;f(a) + j¡(x¡) + ... + j¡(x
n
) ::;f(b),
de donde se sigue que
j¡(x¡) + ... + j¡(x
n
)
::;f(b) -fea).
(Véase la figura 5.6.2.) Por consiguiente, puede haber a lo sumo
k puntos en 1 =
[a, b] dondej¡(x);:: (f(b) -f(a))/k. Se concluye qiw haya lo sumo un solo punto
x E 1 donde j¡(x) = f(b) -fea); haya lo sumo dos puntos en J donde j¡(x) ;::
(f(b) -f(a)/2; haya lo sumo tres puntos en J donde J¡(x) ;:: (f(b) -f(a»/3, y así
sucesivamente. Por lo tanto,
haya lo sumo un conjunto contable de puntos x donde
J¡(x) > O. Pero como todo punto en D debe estar incluido en este conjunto, se dedu­
ce que
D es un conjunto contable. Q.E.D.
¡(b)-¡(a)
~
J¡Cx4) {: :
~
:
I I
I I
?
i(X
3
): ¡ ¡
I I
I I I
I I I
I I I
. {, I I I
}r(x
2
)
I I I I
/
.: ¡ ¡ ¡
I I I I
I I I I
{
I I I I J¡Cx¡) : : : : :
~------l-----J------L----J
¡(b)
I I I I I I
I I I I I I
f(a):: : : : :
I I I I I I
!! I , ! !
Figura 5.6.2 l/(x¡) + ... + l/(x
n
)
~f(b) -fea).
El teorema 5.6.4 tiene algunas aplicaciones útiles. Por ejemplo, en el ejercicio
5.2.12 se vio que
si h : .IR? ~ .IR? satisface la identidad
h(x + y) = h(x) + h(y) para toda x, y E .IR?, (2)
y si
h es continua en un punto particular xo, entonces h es continua en todo punto
de .IR?. Por tanto, si h es una función monótona que satisface (2), entonces h debe
ser continua
en.lR?. [De este hecho se sigue que h(x) = Cx para toda x E .IR?, donde
C:= h(1).]

198. 188 Capítulo 5 Funciones continuas
Funciones inversas
Se considera ahora la existencia de la inversa de una función que es continua en un
intervalo
1 ~ JEt Se recuerda (véase la sección l.1) que una función f: 1 ---7 IR tiene
una función inversa si y sólo si
f es inyectiva (== uno a uno); es decir, si x, y E 1 Y
x
-:/-y implica que f(x) -:/-f(y). S'e observa que una función estrictamente monóto­
na es inyectiva y en consecuencia tiene una inversa. En el siguiente teorema
se
establece que sif: 1 ---7 IR es una función continua estrictamente monótona, enton­
cesftiene una hmción inversa gen J:== f(1) que es estrictamente monótona y con­
tinua en
J. En particular, sif es estrictamente creciente, entonces también lo es g,
y si
f es estrictamente decreCiente, entonces también lo es g.
5.6.5 Teorema de la inversa continua Sea 1 ~ IR un intervalo y sea f : 1 ---7 IR
estrictamente monótona y continua en 1. Entonces la función g inversa de f es estric­
tamente monótona
y continua en J :== f(l).
Demostración. Se considera el caso en quefes estrictamente creciente, deján-
dole al lector el caso en que
f es estrictamente decreciente.
Puesto que
f es continua e 1 es un intervalo, del teorema de preservación de inter­
valos 5.3.10 se sigue que
J:== f(1) es un intervalo. Además, como f es estrictamente
creciente en
1, es inyectiva en 1; por lo tanto, la función g : J ---7 IR inversa de f existe.
Se afirma que g es estrictamente creciente. De hecho, si y¡,
Y2 E J con y¡ < Y2, enton­
ces y¡
== f(x¡) y 12 == f(X2) para alguna Xl, x2 E 1. Debe tenerse x¡ < X2; de lo contra­
rio,
X¡ :2: X2, lo cual implica que y¡ == f(Xl) :2:f(x2) == Y2, que contradice la hipótesis de
que y¡ < Y2' Por lo tanto, se tiene g(y¡) == X¡ < X2 == g(Y2)' Puesto que Y¡ Y Y2 son ele­
mentos arbitrarios de
J con Y1 < Y2, se concluye que g es estrictamente creciente en J.
Falta demostrar que g es continua en J. Sin embargo, ésta es una consecuencia
del hecho
de que g(l) == 1 es un intervalo. De hecho, si g es discontinua en un punto
c
E J, entonces el salto de g en c es diferente de cero, de modo que lim g < lím g.
y-+c- y-+c+
Si se elige cualquier número x -:/-g( c) que satisfaga lím g < x < lím g, entonces x
x-+c- x-+c+
tiene la propiedad de que x -:/-g(y) para cualquier y E J. (Véase la figura 5.6.3.) En
consecuencia,
x ~ 1, lo cual contradice el hecho de que 1 es un intervalo. Por lo
tanto, se concluye que g es continua en
J. Q.E.D.
xr-------------~--~-------
Figura 5.6.3. g(y) '* x para y E J.

199. )
5.6 Funciones monótonas e inversas 1
La función raíz n-ésima
Se aplicará el teorema de la inversa continua 5.6.5 a
la función n-ésima.
Es necesario distinguir dos casos: (i)
n par, y (ii) n impar.
(i)
n par. A fin de obtener una función que sea estrictamente monótona, se res­
tringe la atención al intervalo
1 := [O, 00). Por tanto, sea := x" para x E 1.
(Véase la figura 5.6.4.) Se vio ya (en el ejercicio 2.1.23) que si ° :;; x < y, enton­
ces
f(x) = xn < yn = f(y); por lo tanto, f es estrictamente creciente en 1. Además,
del ejemplo 5.2.3a se sigue que
f es continua en 1. Por lo tanto, por el teorema de
preservación de intervalos 5.3.10,
J := f(1) es un intervalo.
Se demostrará que J
= [O, 00). Sea y 2: ° arbitraria; por la propiedad de
Arquímedes, existe
k E N tal que ° :;; y < k. Puesto que
feO) = ° :;; y < k:;; !é' = f(k),
del teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.7 se sigue que y E J. Puesto que
y 2: ° es arbitraria, se deduce que J = [O, 00).
Del teorema de la inversa continua 5.6.5 se concluye que la función g que es
la inversa de
f(x) = xn en 1 = [O, 00) es estrictamente creciente y continua en J =
[O, 00). Suele escribirse
g(x) = xlll1 o g(x)=!{/x
para x 2: ° (n par) y llamar a xlln = !{/x la raíz n-ésima de x 2: ° (n par). A la fun­
ción g se le llama la
función raíz n-ésima (n par). (Véase la figura 5.6.5.)
y
-4~------------~x
Figura 5.6.4 Gráfica de
f(x) = xn (x;:: 0, n par).
Puesto que g es la inversa de f, se tiene
g(f(x)) = x y f(g(x») =x
y
~~----------~~x
Figura 5.6.5 Gráfica de
g(x) = xlln (x;:: 0, n par).
para toda X E [0,00).
Estas ecuaciones pueden escribirse en la siguiente forma:
y
para toda x E [0,00) Y n par.

200. Capítulo 5 Funciones continuas
(ii) n En este caso se hace := xl1 para toda x E lR; por 5.2.3a, F es
continua en R
Se le deja al lector demostrar que F es estrictamente creciente en
lR y que F(lR) = R (Véase la figura 5.6.6.)
Del teorema
de la inversa continua 5.6.5 se sigue que la función G, que es la
inversa
de F(x) = xn para x E lR,-es estrictamente creciente y continua en R Se
acostumbra escribir
G(x) = xlln o G(x)=rx para x E lR, n impar,
y llamar a x
1
/n
la raíz n-ésima de x E R A la función G se le llama la función
raíz n-ésima (n impar). (Véase la figura 5.6.7.) Se tiene aquí
para toda
x E lR Y n impar.
y
------~~~----~x
Figura 5.6.6 Gráfica de
F(x) = xl1 (x E lR., n impar).
Potencias racionales
y
y
--------+-------~x
Figura 5.6.7 Gráfica de
G(x) = xl/n (x E lR., n impar).
Ahora que se han definido las funciones raíz n-ésima para n E N, es sencillo defi­
nir las potencias racionales.
5.6.6 Definición
(i) Si m, n E N Y x :2: O, se define x
m
/n
:= (x1/ny'.
(ii) Si m, n E N Y x> O, se define x-m/n := (x
llnt
111
.
Por consiguiente, se ha definido xl' cuando r es un número racional y x> O. Las
gráficas de
x f---+ xl' dependen de si r > 1, r = 1, O < r < 1, r = O o r < O. (Véase la
figura 5.6.8.) Puesto que un número racional
r E Q puede escribirse en la forma
r = m/n con m E Z, n E N, de muchas maneras, es necesario demostrar que la defi­
nición 5.6.6 no
es ambigua. Es decir, si r = m/n = p/q con m, pEZ y n, q E N Y
si
x> O, entonces (,1:
1
/
n
)111 = (x1/q)P. Se deja como ejercicio para el lector establecer
esta relación.

201. )
5.6 Funciones monótonas e inversas 1
JI
O<r<l
~---------- ~~-----------------r =0
~--------~----------------------x
5.6.8. Gráfica de x ---7 xl' (x ¿ O).
5.6.7 Teorema Si m E Z, n E N Y x ¿ O, entonces xm/n = (x
m
)l/n.
Demostración. Si x> O Y m, n E entonces (XI11)n = xl11n = (xn)'n. Ahora bien,
sea
y := r
z
/
n
= (x
lln
)'" > O de modo que y" = ((x
l
/
n)'ll)n = ((xlln),,)111 = xm. Por lo tanto,
se sigue que
y = (x
l11
)lIn. Q.E.D.
El lector también deberá demostrar, en un ejercicio, que si x > O Y r, s E Q,
entonces
y
Ejercicios de la sección 5.6
L Si J := [a, b] es un intervalo y/: J ---7 lR es una función creciente, entonces el punto a
[o bien b] es un mínimo [o bien un máximo] absoluto para / en 1. Si/es estrictamen­
te creciente, entonces a es el único punto mínimo absoluto para / en 1.
2. Si/y g son funciones crecientes en un intervalo J c;;; lR, demostrar que/ + g es una fun­
ción creciente en
1. Si / es estrictamente creciente en J, entonces / + g es estrictamen­
te creciente en
J.
3. Demostrar que tanto/ex) := x como g(x) := x -1 son estrictamente crecientes en J:=
[O, 1], pero que su producto /g no es creciente en 1.
4. Demostrar que si/y g son funciones crecientes positivas en un intervalo J, entonces su
producto / g
es creciente en 1.

202. Capítulo 5 Funciones continuas
5. Demostrar que si l := [a, b] Y f: 1 --+ lit es creciente en 1, continua en a si
y sólo
sif(a) = ínf{f(x) : x E (a, b n.
6. Sea l <;;; lit un intervalo y seaf: l --+ lit creciente en l. Suponer que C E l no es un punto
terminal de
l. Demostrar que f es continua en c si y sólo si existe una sucesión (x
n
)
en
ltal que X
n
< c para n = 1, 3, 5; ',' .; x
n > c para n = 2,4,6, .. " y tal que c = lím (x
n
)
y f(c) = lím (f(x
n»)·
7. Sea l <;;; lit un intervalo y seaf: l --+ lit creciente en l. Si c no es un punto tenninal de
l, demostrar entonces que el salto l¡( c) de f en c está dado por ínf{f(y) - f(x) : x < c < y,
x,y E I}.
8.
Sean!, g crecientes en un intervalo l <;;; lit Y seaf(x) > g(x) para toda x E l. Si Y E
f(1) n gel), demostrar quef-1(y) < g-l(y). [Sugerencia: interpretar primero geométri­
camente este emmciado.]
9. Sea que
l := [O, 1] Y sea que f: l --+ lit esté definida por f(x) := x para x racional y por
f(x) := 1 -x para x irracional. Demostrar que f es inyectiva en l y que f(f(x») = x para
toda
x E l. (En consecuencia, if es su propia función inversa!) Demostrar que f sólo es
continua en el punto
x = t. '
10. Sea l:= [a, b] y seaf: l --+lIt continua en l. Siftiene un máximo [o bien un mínimo]
absoluto en
un punto interior c de l, demostrar que f no es inyectiva en 1.
11. Seaf(x) := x para x E [O, 1] Y f(x) := 1 + x para x E (1,2]. Demostrar que fy f-1 son
estrictamente crecientes.
¿Sonfy f-1 continuas en todo punto?
12. Seaf: [O, 1] --+lIt una función continua que no asume dos veces ninguno de sus valo­
resy conf(O) <[(1). Demostrar quefes estrictamente creciente en [0,1].
13. Sea h : [O, 1] -> lit una función que asume exactamente dos veces cada uno de sus valo­
res. Demostrar que
h no puede ser continua en todo punto. [Sugerencia: si c1 < c2 son
los puntos donde
h alcanza su supremo, demostrar que C1 = O, C2 = l. Examinar des­
pués los puntos donde
h alcanza su ínfimo.]
14. Sea
x E lit, x > O. Demostrar que si m, pEZ, n, q E N Y mq = np, entonces (x
1
/
n)m =
(x
1
/Q
)P.
15. Si x E lit, x > O, Y si r, s E Q, demostrar que xrr = xr + s = rx
r
y (xr), = x
rs = (ry.

203. )
Antes del siglo XVI, una curva se describía generalmente como un lugar geométrico
de los puntos que satisfaCÍan alguna condición geométrica
y las rectas tangentes
se obtenían
por construcciones geométricas. Esta perspectiva cambió de manera
radical con la creación de la geometria analítica en los años 1630
por René
Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665).
En este nuevo escenario,
los problemas
se replanteaban en térn1inos de expresiones algebraicas y las nuevas
clases de curvas se definían no
por condiciones geométricas sino algebraicas. El
concepto de derivada evolucionó en este nuevo contexto.
En los años 1630, Fermat
fue el primero en vislumbrar una relación entre
el problema de encontrar rectas
tangentes
y el problema aparentemente inconexo de encontrar valores máximos o
mínimos. Y la relación entre las rectas tangentes a curvas y la velocidad de una
partícula en movimiento fue descubierta por Isaac Newton a fines de los años 1660.
La teoría de las "f1uxiones" de Newton, la cual se basaba en una noción intuitiva
de límite, llegaría a ser familiar para cualquier estudiante moderno de cálculo dife­
rencial una vez que se hicieran algunos cambios en
la terminología y notación.
Pero la observación fundamental, hecha por Newton
y, de manera independiente, por
Gottfried Leibniz en los años 1680, fue que el área bajo una curva se podía calcu­
lar invirtiendo el proceso de derivación. Esta innovadora técnica, que resolvía con
facilidad problemas de áreas antes complicados, despertó enorme interés entre los
matemáticos de la época y desembocó en una teoría coherente que llegó a cono­
cerse como cálculo diferencial e integral.
Isaac Newtol!1
Isaac Newton (1642-1727) nació en Woolsthorpe, en Lincolnshire,
Inglaterra,
el día de Navidad; su padre, un agricultor, había muer­
to tres meses antes. La madre contrajo nuevas nupcias cuando
Newton tenía tres años de edad
y el niño fue enviado a vivir con la
abuela. Regresó con su madre a los
II años de edad, tan sólo para
ser enviado a un internado en Grantham
el año siguiente. Por
fortuna, un maestro perceptivo reparó en su talento para las ma­
temáticas
y, en 1661, Newton ingresó al Trinity College en la Uni­
versidad de Cambridge, donde estudió bajo la tutela de Isaac Barrow.
Cuando
se desató la plaga de peste bubónica de 1665-1666, la cual cobró la vida de
casi
70 mil personas en Londres, la universidad cerró y Newton pasó dos años en Wools­
(continúa)
193

204. 194
"
Capítulo 6 Derivación
thorpe. Fue durante este periodo cuando formuló sus ideas básicas referentes a la ópti­
ca, la gravitación y su método de las "fluxiones", llamado más tarde "cálculo". Volvió
a Cambridge en 1667 y fue nombrado Profesor Lucasiano en 1669. Sus teorías de la
gravitación universal y del movimiento planetario fueron publicadas en 1687 para ob­
tener el reconocimiento
mundi::¡l bajo el título Philosophice Naturalis Principia Ma­
thematica.
Sin embargo, omitió publicar su método de las tangentes inversas para
encontrar áreas y otros trabajos de cálculo, lo cual llevó a una controversia sobre
la prioridad con Leibniz.
Después de una enfermedad,
se retiró de la Universidad de Cambridge y en 1696
fue nombrado Guardián
de la Casa de Moneda británica. Sin embargo, se mantuvo en
contacto con los avances de la ciencia y las matemáticas y fungió como presidente
de la
Real Sociedad de 1703 hasta su muerte en 1727. En su funeral, Newton fue encomiado
como "el genio
11lás grande que haya vivido jamás". Su tumba en la Abadía de
Westminster
es un popular sitio turístico.
En este capítulo se desarrolla la teoría de la derivación. La teoría de la inte­
gración, incluyendo el teorema fundamental que relaciona la derivación con la
integración, será el tema del siguiente capítulo. Se supone que el lector
se
encuentra familiarizado con las interpretaciones geométricas y físicas de la deri­
vada de una función según se describen en los cursos introductorios de cálculo.
Por consiguiente, la exposición se concentra en los aspectos matemáticos
de la
derivada sin hacer mención a sus aplicaciones en geometría, física, economía,
etcétera.
La primera seccióIi
se dedica a la presentación de los resultados básicos refe­
rentes a la derivación de funciones.
En la sección 6.2 se examina el fundamental
teorema del valor medio y algunas de sus aplicaciones. En la sección
6.3 se pre­
, sentan las importantes reglas de L'Hópital para el cálculo de ciertos tipos de lími­
tes "indeterminados".
En la sección 6.4 se ofrece una breve discusión del teorema de Taylor y algu­
nas de sus aplicaciones
-por ejemplo, en funciones convexas y en el método de
Newton para la localización de raíces.
En esta sección se presentan algunas de las propiedades elementales
de la deriva­
da. Se empieza con la definición de la derivada de una función.
6.1.1 Definición Sea
1 <;;; IR. un intervalo, seaf: 1 -"7 IR. Y sea e E I. Se dice que
un número real L es la derivada de f en e si dada cualquier E > O existe 8( E) > O
tal que si x
E 1 satisface O < I x -e I < 8(lO), entonces
If(X~=~(C) LI<lO. (1)
'
En este caso, se dice que f es derivable en e y se escribe f' ( e) en lugar de L.

205. 6. '1 La derivada 1
Eú otras lJalaUl.a~, la e está dada por el límite
fl() l' f(x)-j(e)
J e = 1m
X-7C x-e
C'PITI1"'P que el límite exista. abierta la de que e sea el
terminal del
Nota Es posible definir la derivada de una fúnción que tiene un dominio más
general que un intervalo que sólo es necesario que el e sea un elemento
del dominio a la vez que un de acumulación del dominio), pero el signifi­
¡;;ado del concepto se pone de manifiesto de manera más natural para nmciones de­
finidas en intervalos. En consecuencia, se la atención aquí a tales
funciones.
Siempre que la derivada de
j: J -t lR exista en un punto e E J, su valor se deno-
ta
porj'(e), De esta fonna, se obtiene una cuyo dominio es un subcon-
junto del dominio de
f Al trabajar con la , es conveniente considerarla
también como una función de
x. Por ejemplo, := x2 para x E lR, entonces en
cualquier punto e en
lR se tiene
f'(e)= Hm j(x)-j(c) = lím x2 -e
2
= lím +e)=2c.
X-7C x-e X-7C x-e X-7C
ASÍ, en este caso la funciónj' está definida en la totalidad de lR y j'(x) = 2x para
XE R
Se demuestra a continuación que la continuidad dejen un punto e es una con­
dicion necesaria (pero no suficiente) para la existencia de la derivada en
c.
6.1.2 Teorema Si f: 1 -t lR tiene derivada en e E 1, entonces f es continua en c.
Demostración. Para toda x E J, x i= c, se tiene
j(x)-j(e)=(j(X)-j(e))(X_C).
x-c
Puesto quef'(e) existe, puede aplicarse el teorema 4.2.4 relativo al límite del pro­
ducto para
co~cluir que
lím (f (x) -j (e» = lím (j (x) -j (e») ( lím (x -e)1
X-7C X-7C x-e X-7C )
=j'(e) . 0=0.
Por lo tanto, lím j(x) = j(e), por lo quejes continua en e,
X-7C
Q.E.D.

206. 196 Capítulo 6 Derivación
La continuidad de f: 1 -¿ IR en un no asegura la existencia de la deriva-
da en ese punto. Por ejemplo,
si f (x) := Ixl para x E IR, entonces para x *-O se
tiene (f(x) -f(O))/(x - O) = Ix l/x, que es igual a 1 si x> O Y es igual a -1 si x < O.
Por tanto, el límite en O no existe (véase el ejemplo 4.1.1 Ob) Y por lo tanto la fun­
ción no es derivable en O. En cqnsecuencia, la continuidad en un puntoc no es una
condición suficiente para que la derivada exista en
c.
Observación Al tomar combinaciones algebraicas simples de funciones de la
forma
x Ho Ix -c I , no es muy dificil construir funciones continuas que no tienen
derivada en un número finito
(o inclusive contable) de puntos. En 1872, Karl
Weierstrass sorprendió al mundo matemático
al ofrecer un ejemplo de una fimción
que
es continua en todo punto pe;ro cuya derivada no existe en ninguno de ellos.
Tal función desafiaba lp intuición geométrica acerca de las curvas y las rectas tan­
gentes, y en consecuencia estimuló investigaciones mucho más a fondo
de los con­
ceptos del análisis real. Puede demostrarse que la
funciónf definida por la serie
f(x):=
posee la propiedad citada. Una discusión histórica muy interesante acerca de este
ejemplo y
de otros de funciones continuas no derivables se presenta en Kline, pp.
955-966, así como en Hawkins, pp. 44-46. En el apéndice E se incluye una demos­
tración detallada
de un ejemplo ligeramente diferente.
Hay varias propiedades básicas
de la derivada que son de gran utilidad en el
cálculo de las derivadas de diferentes combinaciones de funciones. Se proporcio­
na a continuación la justificación
de algunas de estas propiedades, las cuales le
serán familiares al lector por cursos previos.
6.1.3 Teorema
Sea 1 <;;;; IR un intervalo, sea c E 1 y sean f: 1 -¿ IR y g : 1 -¿ lE.
funciones que son derivables en c. Entonces .
a) Si u E IR, entonces la función uf es derivable en c, y
(af)'(c) = af'(c). (3)
b) La función f + g es derivable en c y
(f + g)'(c) = f'(c) + g'(c). (4)
e) (Regla del producto) La fimción fg es derivable en c, y
(fg)'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c). (5)
d) (Regla del cociente) Si g( c) *-O, entonces la fimción f/g es derivable en c, y
(
fJ' (c)= f'(C)g(C)-f(c)g'(c) .
g (g(C))2
(6)
Demostración. Se demuestran los incisos c) y d), y se dejan los incisos a) y b)
como ejercicios para el lector.

207. 6.1 La derivada
)
c) entonces para x E "" e, se tiene
p(x)-p(e)
x-e x-e
f (x) g (x) -f (e) g (x) + f (e) g (x) -f Ce ) g ( e )
x-e
f(x)-f(e)
+f
g(x)-g(e)
). .
x-e x-e
Puesto que g es continua en e, por el teorema 6.1 entonces lím g(x) =
X-tC
Puesto que g son derivables en e, del teorema 4.2.4 sobre las de
los límites se infiere que
lím p(x)-p(e) =1'
+f(e)g'
X-tC x -e
Por tanto, p := f g es derivable en e y se la (5).
d) Sea
q := flg. Puesto que g es derivable en e, es continua en ese punto
el teorema 6.l.2). Por lo tanto, ya que g(e) "" 0, por el teorema 4.2.9 se sabe que
existe
un intervalo J ~ 1 con e E J tal que "" ° para toda x E J. Para x E J,
x
"" e, se tiene
q(x)-q(e) . f(x)/g(x) -f(e)/g(e) f(x)g(e)-f(e)g(x)
x -e x -e g ) g ( e )( x -e)
f(x)g(e)-f(e)g(e)+f(e)g(e)-f(e)g(x)
(x-e)
= 1 [f(x)-f(e).g(e)_f(e).g(x)-g(e)].
g(x)g(e) x-e x-e
Haciendo uso de la continuidad de g en e y de la derivabilidad de fy g en e, se
obtiene
q'(e)= lím q(x)-q(e) = I'(e)g(e)-f(e)g'(e).
X-tC x-e (g(e»)2
Por tanto, q = f/g es derivable en e y se cumple la ecuación (6). Q.B.D
Puede usarse la inducción matemática para obtener las siguientes ampliacio­
nes de las reglas de derivación.
6.1.4 Corolario Si f], f
2
,
.. " f
n
sonfitnciones en un intervalo de 1 a ~ que son
derivables en
c E 1, entonces:
a) Lafitnción f
1 + f
2 + ... + ~1 es derivable en c y
Cfi +12+ ... + fnYCe) = fí(e) + f2 (e) + ... + f(,(e). (7)

208. 98 Capítulo 6 Derivación
f) f
2
... f
n
es derivable en e y
(/112' . '¡;,)'(c) =f{(c)12 ... ¡;, + J¡(c)fí(c)" '¡;,(c) (8)
+ ... + fl(C)j;(c)' . 'f~
Un importante caso especial de la regla del producto ampliada (8) ocurre si las
funciones son iguales, es decir,
sif¡ =12 = ... = ¡;, = f Entonces (8) queda como
(¡n)'(c) = n(f(c»n-l 1'(c)
En lo particular, si se toma f(x) := x, entonces se encuentra que la derivada de
g(x) := xl1 es g'(x) = nx" - 1, n E N. La fórmula se generaliza para incluir enteros
negativos aplic'ando la regla del cociente 6.1.3d.
Notación
Si 1 t:;;; lR es un intervalo y f: 1 ---¿ lR, se ha introducido la notaciónf'
para denotar la función cuyo dominio es un subconjunto de 1 y cuyo valor en un
punto c
es la derivada l' (c) de f en c. Hay otras notaciones que se usan en ocasio­
nes para
1'; por ejemplo, a veces se escribe Df en vez de f'. las fórmulas (4)
Y (5) pueden escribirse en la forma:
D(f + g) = Df + Dg, D(fg) = (Di) . g + f' (Dg).
Cuando x es la "variable independiente", en los cursos elementales es común
escribir
dfldx en vez de 1'. Así, la fórmula (5) en ocasiones se escribe en la forma
d [di J [d
g
J -(f(x)g(x»= -' (x) g(x)+ f(x) -(x) .
dx dx dx
Esta última notación, debida a Leibniz,. tiene ciertas ventajas. Sin embargo, tam­
bién presenta ciertas desventajas y debe usarse con cierto cuidado.
La de la cadena
Se pasa ahora al teorema sobre la derivación de funciones compuestas conocido
como la "regla de la cadena". Proporciona una fórmula para encontrar la derivada
de una función compuesta g o
f en términos de las derivadas de g y f
Se establece primero el siguiente teorema referente a la derivada de una fun­
ción en un punto que aporta un método muy interesante para demostrar la regla de
la cadena. También se usa en la deducción de la fórmula para derivar funciones
ll1versas.
6.1.5 Teorema de Carathéodory Sea que f esté definida en un intervalo 1 que
contiene el punto
c. Entonces f es derivable en c si y sólo si existe una fitnción <p
en 1 que es continua en c y satisface
f(x) -fCc) = <p (x) (x -c) para x E I. (lO)
En este caso, se tiene <p (c) = f' (c).

209. 6.1 La derivada
)
Demostración. definirse por
'_1 f(x)-f(e)
).-x-e
para x *" e, x E J,
para x = e.
La continuidad ((l se sigue del hecho de que lím qJ = f'(e). Si x = e, entonces
X--7C
ambos miembros de son iguales a O, mientras que si x *" e, entonces la mul-
tiplicación de por
x -e da como resultado para cualquier otro valor
de
x E I.
( <==) Ahora se supone que existe una función ((l que es continua en e y que satis­
face (10). Si se divide (10) entre
x -e *" O, entonces la continuidad de qJ implica que
() 1
,
() l' f(x)-f(e)
qJ e = 1m qJ x = 1m ""--'-----'----'--'--'-
X--7C X--7C X -e
existe. Por lo tanto,jes derivable en e y f'(e) = ((l(e). Q.ED.
Para ilustrar el teorema de Carathéodory, se considera la funciónfdefinida por
f (x) := x
3
para x E R Para e E IR;., a partir de la factorización
x
3
-
e
3
= (.xl + ex + e
2
) (x -e)
se observa que qJ(x) := x2 + ex + e
2
satisface las condiciones del teorema. Por lo
tanto, se concluye que
f es derivable en e E IR;. Y que j' (e) = qJ ( e) = 3e
2
.
Se establece ahora la regla de la cadena. Sif es derivable en e y g es derivable
enf(e), entonces la regla de la cadena establece que la derivada de la función com­
puesta
g o fen e es el producto (g o f)'(e) = g'(j(e)) . j'(e). Adviértase que esta
expresión puede escribirse
(g of)' = (g' of) 'j'.
Una forma de abordar la regla de la cadena consiste en la observación de que el
cociente diferencial puede escribirse, cuando
f(x) *" f( e), como el producto
g(f(x»-g(f(e» g(f(x»)-g(f(e) f(x)-fCe)
x-e f(x)-f(e) x-e
Esto sugiere el valor límite correcto. Desafortunadamente, el primer factor en el
producto de la derecha no está definido si el denominador
fex) -f( e) es igual a O
para valores de
x próximos a e, lo cual representa un problema. Sin embargo, el
uso del teorema de Carathéodory salva elegantemente esta dificultad.
6.1.6 de la cadena Sean 1, J intervalos en IR;., sean g : 1 -¿ IR;. y f : J -¿ IR;.
fitneiones tales que f(J) <;;; 1, Y sea c E 1. Si f es derivable en c y si g es derivable
en f (c), entonees la función eompuesta g o f es derivable en c y
(g o f)' (e) = g' (j(e») . f' (e). (11)

210. Capítulo 6 Derivación
Puesto el teorema de ~U.W"'VVuv,
asimismo que existe una función q; en J tal que q; es continua en e
-e) para
E J, Y donde q; ya que g' (j (e») existe,
función
Ijf definida en l tal que Ijf es continua en d := f ( e) y g (y) -g( d) =
Ijf(y) (y - para y E 1, donde Ijf(d) = La sustitución de y = f(x) y d = f(e)
entonces
-g(f(e» = Ijf -f(e» = [(ljfo f(x») . q; (x)] (.., -e)
para toda x E J tal
e y su valor en e es
do
(l
E 1. Puesto que la función o f) . q; es continua en
el teorema de Carathéodory da como resulta­
Q.ED
Si g es derivable en l, síf es delivable en J y sif(J) ~ l, entonces de la regla
de la cadena se sigue que
(g o f)' = (g' o f) . f', que también puede escribirse en
la forma o f) = o f) .
6.1.7 a) Sí f: l --7 ~ es derivable en 1 y g(y) := yn para y E ~ Y
n E N, entonces, ya que g' (y) = nyIJ -1, de la regla de la cadena 6.1.6 se sigue que
(g f(x) para x E 1.
por tanto, = n(j(x»)" -lf'(x) para toda x E 1, como se vio en (9).
;JL"JVUv' que f: 1 --7 ~ es derivable en 1 y que f (x) * O y l' (x) * O para x E 1.
Si h(y) := l/y para y * 0, entonces es un ejercicio demostrar que h'(y) = -1/y2 para
y E ~,y * O. Se por lo tanto,
=(ho f
'f »f'( 1'(x) ) = h ( ( x x) = --'--'----'--
(f(x»2
para x E 1.
e) La función valor absoluto g(x) := 1 x 1 es derivable en toda x * O y tiene deri­
vada
g' (x) = sgn(x) para x * O. función signo se define en el ejemplo 4.1.1 Ob.)
Aun cuando sgn está definida en todas partes, no es igual a g' en x = O ya que
g' (O) no existe.
Ahora bien, si
f es una función derivable, entonces la regla de la cadena impli­
ca que la función g o f = 1 f 1 también es derivable en todos los puntos x donde
f(x) * ° y su derivada está dada por
Ifl'
{
1'(X)
)=sgn(f(x»' 1'(x)=
-1'(x)
ss,~ f(x) >0,
1 f(",) <o.
Sifes derivable en un punto e conf(e) = O, entonces es un ejercicio demostrar que
1 f 1 es derivable en e si y sólo sif'(e) = O. (Véase el ejercicio 7.)
Por ejemplo,
sif(x) :=x
2
-1 para x E ~,entonces la derivada de su valor abso-
luto
1 f 1 = Ix2 -11 es igual a 1 f I'(x) = sgn(x
2 -1)· (2x) para x * 1, -l. Véase
la figura 6.1.1 para una gráfica de 1 f l·

211. 6.1 La derivada
y
-2 -1
Figura 6.1.1 La función 1I1 (x) = Ix2 -11·
d) Más adelante se demuestra que si S(x) := sen x y C(x) := cos x para toda x E
IR, entonces
S'(x) = cos x = C(x) y e'(x) = -sen x = -S(x)
para toda x E IR. Si se usan estos hechos junto con las definiciones
senx
tanx:=--,
cosx
1
secx:=--,
cosx
para x =f-(2k + 1 )TC/2, k E Z, y se aplica la regla del cociente 6.1.3d, se obtiene
D
(cosx)(cosx)-(senx)(-senx) ( )2
tan x = = secx ,
(cosx )2
o -1 (-sen x) sen x
Dsecx= = = (secx)(tanx)
(cosx)2 (cosx)2
paraX=f-(2k+ 1)TC/2,kE Z.
Del mismo modo, ya que
cosx
cotx:=--,
senx
para x =f-kTC, k E Z, se obtiene entonces
1
cscx:=-­
senx
DcotX=-(CSCX)2 Y Dcscx=-(cscx) (cotx)
para x =f-kTC, k E Z.

212. Capítulo 6 Derivación
e) definida por
1 Ix) para x * 0,
para x = O.
Si se usa el hecho de que D sen x = cos x para toda x E lR!. Y se aplica la regla del
6.1.3c y la regla de la cadena 6.1.6, se obtiene (¿por qué?)
=2x -cos(1/x) para x * O.
Si x = O, ninguna de las reglas para calcular la derivada pueden aplicarse. (¿Por
qué?) Por consiguiente, la derivada de
j en x = O debe encontrarse aplicando la
definición de derivada. Se encuentra que
f'
= lím j(x)-j(O) = lím x
2
sen(1/x) = lím x sen (l/x) =0.
X--70 x-o X--70 X X--70
En la derivada f' de j existe en toda x E R Sin embargo, la función
f' no tiene límite en x = ° (¿por que) y, por tanto,!' es discontinua en x = O. Por
consiguiente, una
funciónj que es derivable en todo punto de lR!. no tiene necesa­
riamente una
derivadaj' continua. O
Funciones inversas
Se relaciona ahora la derivada de una función con la derivada
de su función inver­
sa, cuando esta inversa existe. La atención
se restringe a una función estrictamen­
te monótona y
se usa el teorema de la inversa continua 5.6.5 para asegurar la
existencia de una función inversa continua.
Si
j es una función monótona estrictamente continua en un intervalo 1, enton­
ces su función inversa
g = j-1 está definida en el intervalo J := j (1) y satisface la
relación
g(f(x» = x para x E 1.
Si e E 1 y d := j (e), y si se supiera que tanto j , (e) como g' (d) existen, entonces
podrían derivarse ambos miembros de la ecuación y aplicar la regla de la cadena
al primer miembro para obtener
g'(f (e» . j '(e) 1. Por tanto, sij '(e) * 0, se
obtendría
cJF'(d)=_l_
9 f'(e)'
Sin embargo, es necesario deducir la derivabilidad de la función inversa g a partir
de la delivabilidad supuesta de j antes de que este cálculo pueda realizarse. Esto
se consigue en forma muy adecuada usando el teorema
de Carathéodory.
6.1.8 Teorema
Sea 1 un intervalo en lR!. y sea f: 1 --7 lR!. estrictamente monótona
y continua en 1. Sea J := f (1) Y sea g : J --7 lR!. la fitnción estrictamente monótona y

213. 6.1 La derivada
continua inversa de f Si f es derivable en c E 1 Y si f
vable en d := f y
;te 0, entonces g es deri-
g'(d)= f'~e) = f'(g(d))
(12)
Dada e
E IR;., con el teorema de Carathéodory 6.1.5 se obtiene
una función
q; en 1 con las propiedades de que q; es continua en e, f (x) -f (e) =
q; (x)(x - e) para x E 1 Y q; Ce) = f'(e). Puesto que q; (e) ;te ° por existe
una vecindad
V:= Ce -0, e + 8) tal que q;(x) ;te ° para toda x E V n I. (Véase el
teorema 4.2.9.) ASÍ, si U := f (V n 1), entonces la función inversa g satisface
f(g (y)) = y para toda y E U, de modo que
y -d = f(g(y)) -fCe) = q; (g(y)) . (g(y) -g(d)).
Puesto que q; (g (y)) * ° para y E U, puede hacerse la división para obtener
1
g(y)-g(d)= ·(y-d).
q;(g(y))
Como la función l/(q; o g) es continua en d, se aplica el teorema 6.1.5 para con­
cluir que
g'(d) existe y que g'(d) = l/q; (g(d)) = l/q; Ce) = l/f'(e). Q.E.D.
Nota La hipótesis, hecha en el teorema 6.1.8, de quef'(e) ;te ° es esencial. De
hecho, sif'(e) = 0, entonces la función inversa g nunca es derivable en d = fCe),
ya que la existencia supuesta de g'(d) llevaría al = f'(e)g'(d) = 0, que es imposi­
ble.
La nmciónf(x) := x
3
con e = O es un ejemplo de esta situación.
6.1.9 Teorema Sea 1 un intervalo y sea f := 1 ---'7 IR;. estrictamente monótona en I.
Sea J := f (I) Y sea g : J ---'7 IR;. la fitnción inversa de f Si f es derivable en 1 y f ' (x) ;te O
para x E 1, entonces g es derivable en J y
, 1
(7=--
b j' 0g
(13)
Demostración. Si f es derivable en 1, entonces el teorema 6.1.2 implica que j es
continua en
1 y por el teorema de la inversa continua 5.6.5, la función inversa g
es continua en
J. La ecuación (13) se sigue ahora del teorema 6.1.8. Q.E.D.
Observación Sify g son las funciones del teorema 6.1.9 y si x E 1 Y Y E J están
relacionadas
por y = f(x) y x = g(y), entonces la ecuación (13) puede esclibirse en
la forma
g'(y)= (f'O~)(Y)'
yE J, o xEI.
También puede escribirse en la forma g' (y) = l/f' (x), siempre que se tenga presen­
te que
x y y están relacionadas por y = f(x) y x = g(y).

214. Capítulo 6 Derivación
6.1.10 a) La funciónj: IR;. ~ IR;. definida porj(x) := x
5
+ 4x + 3 es
continua y monótona estrictamente creciente (ya que es la suma de dos funciones
estrictamente crecientes).
AdemásJ'(x) = 5x
4
+ 4 nunca es cero. Por lo tanto, por
el teorema 6.l.8, la función inversa g = j-l es derivable en cada punto. Si se toma
e = 1, entonces, ya quej(1) = 8, se obtiene g'(8) = g'(f(1» = 1[{-1(1) = 1/9.
Sea
n E N par, sea l:= [O, 00) Y seaj(x) := xn para x E I. Al final de la sec­
ción 5.6 se explicó que
j es estrictamente creciente y continua en l, por lo que su
función inversa g(y) := ylln para y E J:= [O, 00) también es estrictamente crecien­
te y continua en
J. Además, se tiene j' (x) = nx
n
-
l
para toda x E I. En consecuen­
cia, se sigue que si
y > O, entonces g' (y) existe y
n(g(y»n-l ny(n-l)/n
Se deduce por tanto que
1
g'(y)=_y{lln)-l para y> O.
n
Sin embargo, g no es derivable en O. (Para una gráfica dejy g, véanse las figuras
5.6.4 y 5.6.5.)
e) Sea
n E N, n "* 1, impar, sea F(x) := xn para x E IR;. Y sea G(y) := ylln su función
inversa definida para toda
y E IR;.. Como en el inciso b), se encuentra que G es deri­
vab1e para y "* O Y que G' (y) = (l/n)y (1ln) -1 para y "* O. Sin embargo, G no es deriva­
ble en O aun cuando G sí es derivable
para toda y "* O. (Para una gráfica de F y G,
véanse las figuras 5.6.6 y 5.6.7.)
d) Sea
r := m/n un número racional positivo, sea l:= [O, 00) y sea R(x) := xr para
x E I. (Recordar la definición 5.6.6.) Entonces R es la composición de las funcio­
nesj(x) := xm y g(x) := x
lln
,
x E I. Es decir, R(x) = j(g(x» parax E I. Si se apli­
ca la regla de la cadena 6.1.6 y los resultados del inciso b) [o del inciso c),
dependiendo de si
n es par o impar], se obtiene entonces
1
R'(x) = j'(g(x»g'(x) = m(xlln)m-l ·_x(l/n)-l
= m x(mln)-l = rxr-1
n
n
para toda x > O. Si r > 1, entonces es un ejercicio demostrar que la derivada
también existe en
x = O Y R' (O) = O. (Para una gráfica de R, véase la figura
5.6.8.)
e)
La función seno es estrictamente creciente en el intervalo l:= [-n/2, n/2]; por
lo tanto, su función inversa, que se denotará por arcsen, existe en J := [-1, 1]. Es
decir, si x E [-n/2, n/2] y y E [-1, 1], entonces y = sen x si y sólo si arcsen y = x.
En el ejemplo 6.l. 7 d se afirmó (sin demostración) que sen es derivable en l y que

215. 6.1 La derivada
D sen x = cos x para x E I Pnesto que cos x *-O para x en (-re/2,
ma 6.1.8 se sigue que
1
D arcsen y = ---
D sen x cos x
~1-(sen x)2
205
del teore-
para toda
y E (-1, 1). La derivada de m"csen no existe en los puntos -1 y l. O
Ejercicios de la sección 6.1
1. Usar la definición para encontrar la derivada de cada una de las funciones siguientes:
a)
f(x) :==x
3
para x E IR,
e) h(x):= -Vx para x > O,
b) g(x):== l/x para x E IR, x * O,
d) k(x):== l/-Vx para x> O.
2. Demostrar que f(x) :== x
1l3
, x E IR, no es derivable en x = O.
3. Demostrar el teorema 6.1.3a, b.
4. Sea que f: IR --+ IR esté definida por f (x) :== x2 para x racional,j (x) :== O para x irracio­
naL Demostrar que
f es derivable en x == O Y encontrar l' (O).
5. Derivar y simplificar:
) f(x)' x b) g(x):==~5-2x+x2,
a .== l+x2 '
c) h(x):==(senxk)mparam,kE N, d) k(x):==tan(x
2
)para Ixl.J;72.
6. Sea n E N Y sea quef: IR --+ IR esté definida porf(x) := x" para x ~ O Y f(x) :== O para
x
< O. ¿Para qué valores de n es continuaf' en 07 ¿Para qué valores de n es derivable
l' en 07
7. Suponer quef: IR --+ IR es derivable en e y quef(e) == O. Demostrar que g(x) :== If(x) I es
derivable en e si y sólo
sif'(e) = O.
8. Determinar en dónde es derivable cada una de las siguientes funciones de IR a IR y
encontrar la derivada:
a)
f(x):==lxl+lx+ll,
c) h(x) :=xlxl,
b) g(x) :=2x+ Ixl,
d) k(x):= I sen x l.
9. Demostrar que sif: IR --+ IR es una función par [es decir,j(-x) == f(x) para toda x E IR]
Y tiene derivada en todo punto, entonces la derivadaf' es una función impar [es decir,
f'(-x) = -f'(x) para toda x E IR]. Demostrar también que si g: IR --+ IR es una función
derivable impar, entonces
g' es una función par.
10. Sea que g : IR --+ IR esté definida por g(x) :== x2 sen(l/x
2
)
para x * O Y g(O) := O.
Demostrar que g es derivable para toda x E IR. Demostrar también que la derivada g'
no está acotada en el intervalo [-1, 1].

216. Capítulo 6 Derivación
11. Suponer que existe una función
L : (O, oo)-t IR tal que L' (x) = l/x para x> O. Calcular
las derivadas de las siguientes funciones:
a)
f(x):=L(2x+3)parax>0, b) g(x):= (L (x
2
»3 para x> 0,
c) h(x) :=L(ax) para a > 0, x> 0, d) k(x):= L(L(x» cuando L(x) > 0, x > O.
12. Si r > O es un número racional, sea quef: IR -t IR esté definida porf(x) := xl" sen(l/x)
para x *' O, Y f (O) := O. Determinar los valores de r para los que f' (O) existe.
13. Sif: lR -t lR es derivable en e E IR, demostrar que
f'(~) = lím (n{f(e + 1/n) - f(e)}).
Sin embargo, demostrar con un ejemplo que la existencia del límite de esta sucesión no
implica la existencia def'(c).
14. Dado que la función h(x) := x
3
+ 2x + 1 para x E lR tiene una inversa /7-1 en lR, encon­
trar el valor de
(h-
1
)'(y) en los puntos correspondientes a x = 0,1,-1.
15. Dado que la restricción de la función coseno cos al := [O, n] es estrictamente decre­
ciente
1 que cos O = 1, cos n = -1, sea J := [-1, 1] Y sea arccos : J -t lR la función inversa
de la restricción de cos a
1. Demostrar que arccos es derivable en (-1, 1) y que
D arccos y = (-l)/(l -y2)1/2 para y E (-1, 1). Demostrar que arccos no es derivable
en-ly1.
16. Dado que la restricción de la función tangente tan a 1 := (-n/2, n/2) es estrictamente
creciente
y que tan(l) = lR, sea arctan: lR -t lR la función inversa de la restricción de tan
a
1. Demostrar que arctan es derivable en lR y que D arctan(y) = (1 + y2)-1 para y E R
17. Sea f: 1 -t lR delivable en e E 1. Establecer el lema de dada E> O, existe
i5 (E) > J tal que si u, v E 1 satisfacen e - i5( E) < u :::; e :::; v < e + i5 (E), entonces se tiene
If(v) -f(u) (v -u)f'(e) I :::; E (v -u). [Sugerencia: i5 (E) está dada por la definición
6.1.1. Restar
y sumar el términof(e) -ef'(e) en el primer miembro y usarla desigual­
dad del triá,ngulo.]
El teorema del valor medio, el cual relaciona los valores de una función con los
valores
de su derivada, es uno de los resultados más útiles en el análisis real. En
esta sección
se establece este importante teorema y se examinan algunas de sus
múltiples consecuencias.
Se empieza considerando la relación entre los extremos relativos
de una fun­
ción y los valores de su derivada. Recuérdese que se dice que la
funciónf: 1 ---¿ lR
tiene un máximo relativo [o bien un mínimo relativo] en e E 1 si existe una vecin­
dad
V:= V
i5(e) de e tal quef(x) sf(e) [o bienf(e) sf(x)] para toda x en vn 1. Se
dice que ¡tiene un extremo relativo en e E 1 si tiene un máximo relativo o bien
un mínimo relativo en
e.
El siguiente resultado proporciona la justificación teórica para el conocido
proceso
de encontrar puntos en los que f tiene extremos relativos examinando los

217. 6.2 El teorema del valor medio
ceros de la derivada. Sin debe tenerse presente que este
sólo se
interiores del intervalo. Por := x en el inter-
valo
1 :== entonces el terminal x == O el único mínimo relati-
vo
y el terminal x == 1 produce el único miL'\.imo 1, pero ninguno de
ellos es un cero de la derivada de f
6.2.1 Teorema del extremo interior Sea c un punto interior del intervalo J en
el que f: I ~ 1ft tiene un extremo relativo. Si la derivada de f en c existe, enton-
ces
== O.
Demostración. Sólo se demuestra el caso en que[tiene un máximo relativo en
e; la demostración del caso de un mínimo relativo es similar.
Si!, (e) > O, entonces por el teorema 4.2.9 existe una vecindad V ~ ! de e tal
que
f(x)-f(e) >0
para XE V,xFe.
x-e
Si x E Vy X > c, entonces se tiene
f(x)-f(c)==(x-c)· f(x)-f(c) >0.
x-c
Pero esto contradice la hipótesis de que f tiene un máximo relativo en e. Por lo
tanto, no puede tenerse
l' (c) > o. Del mismo modo (¿cómo?), no se puede tener
1'(c) < O. Por lo tanto, debe tenerse1'(e) == o. Q.E.D.
6.2.2 Corolario Sea f: 1 ~ 1ft continua en un intervalo I y suponer que f tiene
un extremo relativo
en un punto interior c de 1. Entonces o la derivada de f en c
no existe o es igual a cero.
Cabe señalar que sif(x) :== Ix len!:== [-1, 1], entoncesf tiene un mínimo inte­
rior en
x == O; sin embargo, la derivada de fno existe en x == O.
6.2.3 Teorema de Rolle Suponer que f es continua en un intervalo cerrado I :==
[a, b], que la derivada f' existe en todo punto del intervalo abierto (a, b) y que
fea) == f(b) == O. Entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f(c) == o.
Demostración. Sifse anula en 1, entonces cualquier c en (a, b) satisfará la con­
clusión del teorema. Por consiguiente, se supone
quefno se anula en 1. Al susti­
tuir
f por -J, de ser necesario, puede suponerse que f asume algunos valores
positivos. Por
el teorema del máximo-mínimo 5.3.4, la funciónfalcanza el valor
sup{f(x) :
x E 1] > O en algún punto c de 1. Puesto que fea) == f(b) == 0, el punto c
debe estar en
(a, b); por lo tanto,j'(c) existe.

218. 208 Capítulo 6 Derivación
Figura 6.2.1 El teorema de Rolle.
Puesto que
ftiene un máximo relativo en c, por el teorema del extremo interior
6.2.1 se concluye
quef'(c) = O. Véase la figura 6.2.1. Q.E.D.
Como una consecuencia del teorema de Rolle se obtiene el fundamental teo­
rema del valor medio.
6.2.4 Teorema del valor medio Suponer que f es continua en un intervalo
cerrado
1 := [a, b] Y que f tiefle derivada en el intervalo abierto (a, b). Entonces
existe al menos un
punto? en (a, b) tal que
f(b) -fea) = f'(c) (b -a).
Demostración.
Considerar la función q> definida en [ por
f(b)-fea)
q>(x):= f(x)-f(a)- (x-a).
b-a
[La función q> es simplemente la diferencia de f y la función cuya gráfica es el seg­
mento de recta que une los puntos
(aJ(a)) y (bJ(b)); véase la figura 6.2.2.] La
a x e b
Figura 6.2.2 El teorema del valor medio.

219. 6.2 El teorema del valor medio 209
función ((J satisface las del teorema de Rolle, ya que ((J es continua en
[a, b], derivable en b) y ((J = ((J (b) = O. Por lo tanto, existe un punto c en b)
tal que
O=((J'(c)=f'(c)_f(b)-f(a).
b-a
Por consiguiente,f(b) - fea) = f'(c)(b -a). Q.E.D.
La interpretación geométrica del teorema del valor medio es que
existe un punto en la curva
y = f(x) en el que la recta tangente es paralela al seg­
mento de recta que pasa por los puntos
(a,f(a) y (b,f(b»). Así, es fácil recordar
el enunciado del teorema del valor medio trazando los diagramas apropiados. Aun
cuando el uso de este procedimiento no debe desalentarse, tiende a sugerir que la
importancia de este resultado es de naturaleza geométrica, lo cual
es bastante
engañoso. De hecho, el teorema del valor medio
es un lobo con traje de oveja y es
el teorema fqndamental del cálculo diferencial. En el resto de e.sta sección se pre­
sentan algunas de las consecuencias de este resultado. Más adelante se ofrecen
otras aplicaciones.
El teorema del valor medio permite sacar conclusiones acerca de la naturale­
za de una función
f a partir de información sobre su derivada f'. Los resultados
siguientes se obtienen de esta manera.
6.2.5 Teorema
Suponer que f es continua en el intervalo cerrado 1 := [a, b], que
f es derivable en el intervalo abierto (a, b) Y que f' (x) = O para x E (a, b). Entonces
f es constante en I.
Demostración.
Se demostrará quef(x) = fea) para toda x E 1. De hecho, si está
dada
x E J, con x> a, entonces el teorema del valor medio se aplica af en el inter­
valo cerrado
[a, x]. Se obtiene un punto c (que depende de x) entre a y x tal que
f(x) -fea) = f'(c)(x -a). Puesto quef'(c) = O (por hipótesis), se puede deducir
quef(x) -fea) = O. En consecuencia,f(x) = fea) para toda x E 1. Q.E.D.
6.2.6 Corolario Suponer que fy g son continuas en 1 := [a, b], que son deriva­
bles en
(a, b) y que f'(x) = g'(x) para toda x E (a, b). Entonces existe una cons­
tante
e tal que f= g + e en 1.
Recuérdese que se dice que una función f: J ---¿ lit es creciente en el intervalo
J si siempre que Xl, x2 en J satisfacen Xl < X2, entoncesf(x¡) <;,f(X2)' Recuérdese
asimismo que
fes decreciente en J si la función -f es creciente en 1.
6.2.7 Teorema Sea f: 1 ---¿ lit derivable en el intervalo I. Entonces:
a) f es creciente en 1 si y sólo si f' (x) ;::: O para toda x E I.
b) f es decreciente en 1 si y sólo si f'(x) <;, O para toda x E 1.

220. o Capítulo 6 Derivación
Demostración. a) 2 O para toda x E 1. Si Xl, X2 en J satisfacen
Xl < Xb entonces se el teorema del valor medio a f en el intervalo cerrado
J:= [Xl, X2] para obtener un punto e en (X¡, x2) tal que
f(X2)
-:j(XI) = f'(e) (x2 -xl)·
Puesto
quef'(e) 2 O Y X2 -Xl> O, se sigue quef(x2) -f(XI) 2 O. (¿Por qué?) En
consecuencia,f(x¡) '!of(X2)
y, ya que Xl < x2 son puntos arbitrarios en J, se con­
cluye que
f es creciente en 1.
Para la afirmación recíproca, se supone que f es derivable y creciente en 1. Por
tanto, para cualquier punto X
*-e en J se tiene (f(x) -f(e))j(x -e) 2 O. (¿Por qué?)
En consecuencia, por el teorema 4.2.6
se concluye que
f'(e)= lím f(x)-fCe) 20.
X---7C x-e
b) La demostracián del inciso b) es similar y se omite. Q.E.D.
Se dice que una funciónfes estrictamente creciente en un intervalo J si para
cualesquier puntos
Xl, X2 en 1 tales que Xl < X2, se tiene f(XI) <f (x2). Puede apli­
carse un razonamiento en el mismo tenor
de la demostración del teorema 6.2.7
para establecer que una función que tiene una derivada estrictamente positiva en
un intervalo es estrictamente creciente ahí. (Véase el ejercicio 13.) Sin embargo,
la afirmación recíproca no
se cumple ya que una función derivable estrictamente
creciente puede tener una derivada que asuma valores cero en ciertos puntos. Por
ejemplo, la
función!: ltt ~ ltt definida porf(x) := x
3 es estrictamente creciente en
ltt, pero f' (O) = O. La situación para las funciones estrictamente decrecientes es
similar.
Observación Es razonable definir una función como creciente en un punto si
existe una vecindad del punto donde la función sea creciente. Podría suponerse
que
si la derivada es estrictamente positiva en un punto, entonces la función es cre­
ciente en este punto. Sin embargo, este supuesto
es falso; de hecho, la función
derivable definida por
g(X):= {~+ 2x
2
sen(1/x)
SI X *-O,
SI x= O,
es tal que g' (O) = 1 y no obstante puede demostrarse que g es no creciente en cual­
quier vecindad
de X = o. (Véase el ejercicio 10.)
Se obtiene a continuación una condición suficiente para que una función tenga
un extremo relativo en un punto interior de un intervalo.
6.2.8 Criterio de la primera derivada para extremos Sea f continua en el
intervalo 1
:= [a, b] y sea c un punto interior de I. Suponer que f es derivable en
(a, c) y Cc, b). Entonces:

221. 6,2 El teorema del valor medio
a) Si existe una vecindad (e - 8, e + 8) <;::; 1 tal que ¿ O para e -8 < x < e
y ::; O para e < x < e + 8, entonces f tiene un máximo relativo en e,
Si existe una vecindad (e - 8, e + 8) <;::; 1 tal que f' (x) ::; O para e -8 < x < e
y
f' (x) ¿ O para e < x < e + 8, entonces f tiene un mínimo relativo en e,
Demostración, a) Si x E (e -8, entonces del teOTema del valOT medio se
sigue que existe
un punto ex E (x, e) tal quef(e) -f(x) = (e -x)f'(c
x
)' Puesto
quef'(e
x
)
¿ O, se infiere quef(x) ::;f(e) para x E Ce -8, e). Del mismo modo, se
sigue (¿cómo?)
quef(x) ::;f(e) para x E (e, e + 8). Por lo tantoJ(x) ::;f(e) para
toda
x E (e -8, e + 8), por lo queftiene un máximo relativo en e.
b) La demostración es similar. Q,E,D,
Observación El recíproco del criterio de la primera derivada 6.2.8 no se cum­
ple. Por ejemplo, existe
una función derivablef: IR --¿ IR con mínimo absoluto en
x = O pero tal que f' asume valores tanto positivos como negativos a ambos lados
(y arbitrariamente cerca) de
x = O. (Véase el ejercicio 9.)
Otras aplicaciones del teorema del valor medio
Se presentan ahora otros tipos de aplicaciones del teorema del valor medio; para
ello se recurrirá con mayor libertad que antes a la experiencia previa del lector y
a sus conocimientos acerca de las derivadas de algunas funciones
muy conocidas.
6.2.9
Ejemplos a) El teorema de Rolle puede usarse para localizar las raíces
de
una función. Si una función g se puede identificar como la derivada de una fun­
ción/, entonces entre cualesquiera dos raíces defhay al menos una raíz de g. Por
ejemplo, sea g(x)
:= cos x; se sabe entonces que g es la derivada de f (x) := sen x.
En consecuencia, entre dos raíces cualesquiera de sen x hayal menos una raíz de
cos x. Por otra parte,
g' (x) = -sen x = -f (x), por lo que otra aplicación del teore­
ma de Rolle indica que entre dos raíces cualesquiera de cos hayal menos una raíz
de sen. Por lo tanto, se concluye que las raíces de sen y cos
se entrelazan entre sí.
Quizá esta conclusión
no sea nueva para el lector; sin embargo, el mismo tipo de
razonamiento se puede aplicar a las fitnciones de Bessel J
n
de orden n = O, 1,
2, .. " usando las relaciones
x> o.
Le corresponde al lector proporcionar los detalles de este razonamiento.
b) Es posible aplicar el teorema del valor medio para obtener cálculos aproxima­
dos y estimaciones de error. Por ejemplo, suponer que quiere evaluarse
flOS. Se
emplea el teorema del valor medio
conf(x) :=~, a = 100, b = 105, para obtener
{lO5 -.[100 = 51
2'1/e
para algún número e con 100 < e < 105. Puesto que 10 < W: < {f05 < 'i'i2i = 11,
se puede afirmar que
5 r:;;:; 5
--<'1/105-10<--,
2(11) 2(10)

222. 21 Capítyilo 6 Derivación
I
de donde se sigue que 10.2272 < < 10.2500. esta es~maCión no tenga
la precisión deseada. Es evidente que la estimación
-fr: < {lO5 0 fue muy
amplia y puede mejorarse haciendo uso de la conclusión de que 1 < 10.2500.
-fr: < 10.2500 Y se puede determinar con facilidad que
0.2439
< 5 <..JlO5 -10.
2(10.2500)
La estimación mejorada es 10.2439 < -{[OS < 10.2500. o
Un uso muy importante dt'l teorema del valor medio es para obtener ciertas des­
igualdades. Siempre que se cuente con información acerca del codominio de la
derivada de una función, dicha
infonnación puede usarse para deducir ciertas pro­
piedades de la función en
sÍ. Los siguientes ejemplos ilustra1 el valioso papel que
desempeüa el teorema del valor medio a este respecto.
6.2.10 a)
La función exponencialj(x) := e"' tiene la derivadaj'(x) =
e"' para toda x E R Por tanto,j' (x) > 1 para x> O Y j'(x) < 1 para x < O. A partir
de estas relaciones, se deduce la desigualdad
é' :2: 1 + x para x E ~, (1)
en la que la igualdad se cumple si y sólo si x = o.
Si x = O, se tiene la igualdad con ambos miembros iguales a l. Si x> O, se apli­
ca el teorema del valor medio a la función
j en el intervalo [O, x]. Entonces para
alguna e con
° < e < x se tiene
e" -eO = é(x -O).
Puesto que eO = 1 Y é > 1, la expresión anterior queda como e" - 1 > x por lo que
se tiene
e"' > 1 + x para x > O. Con un razonamiento similar se establece la misma
desigualdad estricta para x
< O. Por tanto, la desigualdad (1) se cumple para toda
x
y la igualdad ocurre solamente si x = O.
La función g(x) := sen x tiene la derivada g'(.;\:) = cos x para toda x E R Con
base
en el hecho de que~ ::;; cos x ::;; 1 para toda x E ~, se demostrará que
-~
-x::;;senx::;;x para toda x:2:0. (2)
De hecho, si se aplica el teorema del valor medio a g en el intervalo [O, x], donde
x
> 0, se obtiene
sen x -sen O
= (cos e) (x - O)
para alguna e entre ° y x. Puesto que sen ° = ° y -1 ::;; cos e ::;; 1, se tiene -x ::;;
senx ::;;x. Puesto que la igualdad se cumple enx = O, la desigualdad (2) queda esta­
blecida.

223. 6.2 El teorema del valor medio 213
e) Si o; > 1, entonces
(1 + x)a ~ 1 + ay para toda x> (3)
donde la igualdad ocurre si y sólo si
x = O.
Esta se estableció antes, en el 2.1 para valores ente-
ros positivos de
o; utilizando la inducción matemática. Se deduce a continuación
una versión más general aplicando el teorema del valor medio.
Si
h(x) := (1 + x)a entonces h' (x) := + x)a -1 para toda x > -l. [Para o;
racional, esta derivada se estableció en el ejemplo 6.1.l0c. La generalización a
números irracionales se verá en la sección 8.3.] Si
x > 0, del teorema del valor
medio aplicado a
h en el intervalo [O, x] se infiere que existe c con ° < c < x tal
que
h(x) -h(O) = h'(c)(x -O). Por tanto, se tiene'
Puesto que c > O yo; - 1 > O, se sigue que (1 + c)a-1 > 1 y, por consiguiente, que
(1 + x)a > 1 + (xx. Si -1 < x < O, una aplicación similar del teorema del valor medio
en el intervalo
[x, O] lleva a la misma desigualdad estricta. Puesto que el caso x =
O resulta en la igualdad, se concluye que (3) es válida para todax > -1 con la igual­
dad cumpliéndose si y sólo si
x = O.
d) Sea o; un número real que satisface O < o; < 1 Y sea g(x) = (XX -x
a para x ~ O.
Entonces g/ex) = 0;(1 -x
a
-1), de modo que g/ex) < O para O < x < 1 Y g/ex) > O
para
x> l. Por consiguiente, si x ~ O, entonces g(x) ~ g(l) y g(x) = g(l) si y sólo
si
x = l. Por lo tanto, si x ~ O Y O < o; < 1, se tiene entonces
Si
a > O Y b > O, Y si se hace x = ajb y se multiplica por b, se obtiene la desigualdad
donde la igualdad se cumple si y sólo si
a = b. o
La propiedad del valor intermedio de las derivadas
Se concluye esta sección con un interesante resultado, al que con frecuencia se
hace referencia como el teorema de Darboux. Establece que si
una función! es
derivable en todo punto de un intervalo
1, entonces la función! / tiene la propie­
dad del valor intermedio. Esto significa que
si!, asume los valores A y B, enton­
ces también asume todos los valores que están entre
A y B. El lector reconocerá
esta propiedad como una de las consecuencias importantes de
la continuidad
según se estableció en el teorema 5.3.7. Resulta notable que las derivadas, las cua­
les no son necesariamente funciones continuas, posean también esta propiedad.
6.2.n Lema Sea 1 <;;:: lR un intervalo, sea f : 1 .....¿ lR, sea c E 1 Y suponer que f
tiene derivada en c. Entonces:

224. Capítulo 6 Derivación
a) Si > O, entonces existe un número O> O tal que > para x E 1 tal
que
c < x < c + O.
Si f' (c) < O, entonces existe un número O > O tal que f(x) > f( c) para x E 1 tal
que
c -O < x < c.
Demostración. a) Puesto que
lím f(x)-f(e) =f'(e»O,
X--7C X -e

del teorema 4.2.9 se sigue que existe un número 8> O tal que\¡i x E 1 Y O <
Ix -el < 8, entonces
f(x)-f(e) >0.
x-e
Si x E 1 tall1bién satisface x > e, se tiene entonces
f(x.)-f(e)=(x e)· fex) fCe) >0.
x-e
Por consiguiente, si x E 1 Y e < x < e + 8, entonces f (x) > f (e).
La demostración del inciso b) es similar. Q.E.D.
6.2.12 Teorema de Darboux Si fes derivable en 1 = [a, b] y si le es un número
entre
f' (a) y f' (b), entonees existe al menos un punto c en (a, b) tal que f' (c) = le
Demostración. Suponer que f' (a) < k < f' (b). Se define g en 1 por g(.;"() := loe -
f(x) para x E 1. Puesto que g es continua, alcanza un valor máximo en 1. Puesto
que
g'Ca) = k -f' Ca) > O, del lema 6.2.11a se sigue que el máximo de g no ocurre
en
x = a. Del mismo modo, puesto que g' (b) k - f' (b) < O, del lema 6.2.11 b se
sigue que el máximo no ocurre en x = b. Por lo tanto, g alcanza su máximo en
algún punto e
de (a, b). Entonces por el teorema 6.2.1 se tiene O = g'(e) = k-f'(e).
En consecuencia, f' ( e) = k. Q.E.D.
6.2.13 Ejemplo La función g : [-1, 1] -¿ lR definida por
1 para O < x:s; 1,
g(x):~{ O
para x=O,
-1 para -1:S;x<O
(que es una restricción de la función signo), evidentemente no satisface ~a~ ropie­
dad del valor intermedio en el intervalo
[-1, 1]. Por lo tanto, por el teor ma de
Darboux, no existe una funciónftal quef'(x) = g(x) para toda x E [-1, 1]. E otras
palabras, g
no es la derivada de ninguna función en [-1,1]. / O

225. 6.2 El teorema del valor medio
,",rN"U'~ de la sección
1. Para cada una de las siguientes funciones de lR a lR, encontrar los puntos de los extre­
mos relativos, los intervalos donde la función es
creciente y aquellos donde es decre­
ciente:
a) (x):= x2 -3x + 5,
c) h(x):=x
3
-3x-4,
b) g(x):= 3x -4~y2,
d) k(x):= x
4
+ 2x2 - 4.
2. Encontrar los puntos de los extremos relativos, los intervalos donde las siguientes fun­
ciones son crecientes y aquéllos donde son decrecientes:
a)
j(x):= x + l/x para x * 0,
e) h(x):= -Vx -2-1x + 2 para x> 0,
b) g(x):=x/(~+l)paraxElR,
d) k(x):= 2x + l/x2 para x * O.
3. Encontrar los puntos' de los extremos relativos de las siguientes funciones en el domi­
nio especificado:
a)
j(x):= Ix2 -11 para -4 :s; i:S; 4,
c) h(x):=xlx
2
-l21 para-2:S;x:S;3,
b) g(x):= 1 -(x -1)2/3 para O:S;x:S; 2,
d) k(x):= x(x -W/3 para ° :s; X:S; 9.
Sean al, a20 .. " a
n núme~os reales y sea que j esté definida en lR por
11
j(x):= L(a; -x)2
para x E lR.
;=1
Encontrar el punto único del mínimo relativo de f
5. Sea a > b > ° y sea n E N que satisfaga n ;:o: 2. Demostrar que a
11n
-bl/
n
< (a -b)lln.
[Sugerencia:
demostrar que j (x) := xl/
n
-(x -
1 )lln es decreciente para x ;:o: 1 Y evaluar
jen 1 ya/b.]
6. Utilizar el teorema del valor medio para demostrar que 1 sen x -sen y 1 :s; 1 x -y 1 para
toda
x, y en IR;.
7. Usar el teorema del valor medio para demostrar que (x -l)/x < In x < x -1 para x> l.
[Sugerencia: usar el hecho de que D In x = l/x para x> O.]
8. Sea j: [a, b] -+ lR continua en [a, b] Y derivable en (a, b). Demostrar que si lím j' (x) =
x~a
A, entoncesf'(a) existe y es igual a A. [Sugerencia: usar la definición dej' Ca) y el teo-
rema del valor medio.]
9. Sea
quej: lR -+ lR esté definida porj(x) := 2x4 + x
4
sen(l/x) para x * ° y j(O) := O.
Demostrar que jtiene un máximo absoluto en x = 0, pero que su derivada tiene valores
tanto positivos como negativos en toda vecindad de
O.
10. Sea que g : lR -+ lR esté definida por g(x) := x + 2x2 sen (l/x) para x * ° y g(O) := O.
Demostrar que g' (O) = 1, pero que en toda vecindad de ° la derivada g' (x) asume valores
tanto positivos como negativos. Por tanto, g no es monótona en ninguna vecindad de
O.
11. Dar un ejemplo de una función uniformemente continua en [O, 1] que sea derivable en
(O, 1) pero cuya derivada no esté acotada en (O, 1).

226. 6 Capítulo 6 Derivación
12. Si := O para x < O Y := 1 para x ¿ O, demostrar que no existe una función
f: IR -¿ IR tal que f' (x) = h(x) 'Jara toda x E IR. Dar ejemplos de dos funciones, que no
difieran por una constante, cuyas derivadas sean iguales a
h(x) para toda x * O.
13. Sea 11m intervalo y seaf: J -¿ IR derivable en I. Demostrar que si!, es positiva en J,
entonces f es estrictamelUe creciente en I.
14. Sea J un intervalo y sea f: J -¿ IR derivable en I. Demostrar que si la derivada f' nunca
es
O en J, entonces f' (x) > O para toda x E J o bien f' (x) < O para tocttx E I.
15. Sea J un intervalo. Demostrar que sifes derivable en 1 y si la deri~daf' está acotada
en J, entonces f satisface la condición de Lipschitz sobre J. (V éase l~efinición 5.4.4.)
16. Seaf: [0, 00) -¿ IR derivable en (O, 00) y suponer que f' (x) -¿ b cuando x -¿ oo.
a) Demostrar que para cualquier
h > O se tiene lím (¡(x + h) -f(~i\- b.
x-'>co
b) Demostrar que síf(x) -¿ a cuando x -¿ 00, entonces b = O.
c)Demostrar que lím (.r(x)/x) = b.
X-700 1
II
17. Sean f, g derivabfes en IR y suponer que f (O) = g(O) y que f' (x) S; g' (x) para toda x ¿ O.
Demostrar que f (x) S; g(x) para toda x ¿ O.
18. Sea J := [a, b] Y sea f: J -¿ IR derivable en C E J. Demostrar que para toda E> O existe
(5 > O tal que si ° < Ix -y I < (5 y a S; x S; C S; y S; b, entonces

f(x)-f(y) !'(C) < E.
x-y
19. Se dice que una función derivablef: J -¿ IR es uniformemente derivable en J:= [a, b]
si para toda E > O existe (5 > O tal que si O < Ix -y I < (5 y x, y E J, entonces
\
f(X)-f(y) _ fl(X)\<E.
x-y
Demostrar que si f es uniformemente derivable en J, entonces!, es continua en J.
20. Suponer que f: [O, 2] -¿ IR es continua en [O, 2] Y derivable en (O, 2), Y que f (O) = O,
f(1) = 1,/(2) = l.
a) Demostrar que existe c¡ E (O, 1) tal quef'(c¡) = l.
b) Demostrar que existe c2 E (1,2) tal quef'(c2) = O.
c) Demostrar que existe c E (0,2) tal quef'(c) = 1/3.
Reglas
El marqués Guillame Franyois I.;Hopital (1661-1704) fue el autor del primer libro
de cálculo,
L' Analyse des infiniment petits, publicado en 1696. Estudió el enton­
ces novedoso cálculo diferencial de Johann Bernoulli (1667-1748), primero cuan­
do Bernoulli visitó la finca campestre de I.;Hopital y posteriormente a través de
una serie
de cartas. El libro fue el resultado de los estudios de I.;Hopital. El te ore-

227. 6.3 Reglas de L'H6pital
ma del límite que a conocerse como la de salió a luz en
este aunque en realidad fue descubierto por Bernoulli.
El teorema inicial fue objeto
de y aUlf.H.La'-'lVl.L'-'~, y los diferentes
resultados
se conocen en como las de En esta sección se
establecen los resultados más básicos y se indica cómo se deducir los demás.
Formas indeterminadas
En los capítulos anteriores COil mucha frecuencia nos hemos ocupado de los méto­
dos para evaluar límites. En el teorema 4.2.4b se demostró que si
A := lím y
B := lím g(x), y si B * O, entonces x~c
x~c
límf(x)=A.
x~c g(x) B
Sin embargo, si B = O, entonces no se llegó a ninguna conclusión. En el ejercicio
2 se verá que si
B = O Y A * O, entonces el límite es infinito (si existe).
El caso
A = O, B = O no se ha considerado aún. En este caso, se dice que ellími­
te del ,\ociente
f / g es "indeterminado". Se verá que en este caso el límite puede o no
existir
Q puede ser cualquier valor real, dependiendo de las funciones particulares f
y g. La simbología O/O se usa para hacer referencia a esta situación. Por ejemplo, si
a es cualquier número real y si se define f (x) := (XX y g(x) := x, entonces
1
,
f(x) l' ax l'
1m --= 1m -= 1m a = a.
x~o g(x) x~o X x~o
Por tanto, la forma indeterminada O/O puede llevar a cualquier número real a
como límite.
Otras formas indeterminadas
se representan por los símbolos 00/00, O . 00, 0°,
100, 000 e 00 -oo. Estas notaciones corresponden al comportamiento en el límite
indicado y a la yuxtaposición de las
fllncionesfy g. La atención se centra en las
formas indeterminadas
O/O e oo/oo.Los demás casos indeterminados por lo gene­
ral
se reducen a la forma O/O o 00/00 tomando logaritmos, exponenciales o
mediante operaciones algebraicas.
Resultado
preliminar
Para mostrar que el uso de la derivación en este contexto es un desarrollo natural
y no inusitado, se establece primero un resultado elemental que se basa simple­
mente en la definición de la derivada.
6.3.1 Teorema
Sea que fy g estén definidas en [a, b], sea fea) = g(a) = O Y sea
g(x) * O para a < x < b. Si fy g son derivables en ay si g'(a) * O, entonces ellími­
te de f/g en a existe y es igual a f'(a)/g'(a). Por tanto,
lím f(x) = f'(a).
x~a+ g(x) g'(a)

228. Capítulo 6 Derivación
Demostración. Puesto
puede escribirse como sigue:
= O, el ,",v,-,,",,,,, para a < x < b
f(x) f(a)
f(x) f(x)-fea)
g(x) g(x)-g(a)
x-a /
g(x)-g(a)
I
x-a
~
Al aplicar el teorema 4.2.4b, se obtiene
lím
,,--f...::..( x--'.)_-.::...f...::..( a--'.)
lím f(x) = x~a+ x-a
x~a+g(X) l' g(x)-g(a) g/Ca)
1m =-=--'---='-'--'-
x~a+ x-a
Q.E.D.
Atención La hipótesis de quef(a) = g(a) = O es esencial aquí. Por ejemplo, si
f(x) := x + 17 Y g(x) := 2x + 3 para x E IR, entonces
lím
f(x) =.!2
x~O g(x) 3'
mientras que
1'(0)
g/(O) 2
El resultado precedente permite tratar límites tales como
x
2
+x 2·0+1
lím---=
x~O sen 2x 2 cos O 2
Para manejar límites cuando
f y g no son derivables en el punto a se necesita una
versión más general del teorema del valor medio debida a Cauchy.
6.3.2
Teorema del valor medio de Cauchy Sean f y g continuas en [a, b] Y deri­
vables en
(a, b), y suponer que g/(x):¡t O para toda x en (a, b). Entonces existe c
en (a, b) tal que
f(b)-fea) 1'(c)
g(b)-g(a) g/(c)
Demostración. Como en la demostración del teorema del valor medio, se intro­
duce
una función a la que se aplicará el teorema de Rolle. Se observa primero que
como g/
(x) :¡t O para toda x en (a, b), del teorema de Rolle se sigue que g(a) :¡t g(b).
Para x en [a, b], se define ahora
h(x):= f(b)-f(a)(gex)-g(a»)-(fex)-f(a»).
g(b)-g(a)

229. 6.3 Reglas de L'Hópital

Entonces h es continua en [a, b], derivable en b) Y
del teorema de Rolle se que existe un punto e en
O==h == f(b)-fea) g'(e)-
g(b)-g(a)
== O. Por lo tanto,
b) tal que
Puesto que
g' ( e) *-O, el resultado deseado se obtiene dividiendo entre g' (e).
Q.ED
Observaciones El teorema precedente tiene una interpretación geométrica que
es similar a la del teorema del valor medio 6.2.4. Puede considerarse que las fun­
cionesfy g determinan una curva en el plano por medio de las ecuaciones para­
métricas
x == f(t) ,Ji == g(t) donde a :s; t:S; b. Entonces la conclusión del teorema es
que existe un punto
(f (e), g( e» sobre la curva para alguna e en (a, b) tal que la
pendie~~ g' (e)/f' Ce) de la recta tangente a la curva en ese punto es igual a la pen­
diente
de{ segmento de recta que une los puntos terminales de la curva.
Adviértase que si
g(x) == x, entonces el teorema del valor medio de Cauchy se
reduce al teorema del valor medio 6.2.4.
Regla de
Se establece ahora la primera de las reglas de L'H6pital. Por conveniencia, se con­
sideran los límites por la derecha en un punto
a; los límites por la izquierda y los
límites por ambos lados se tratan exactamente de la misma manera. De hecho, el
teorema incluso deja abierta la posibilidad de que a
== -oo. El lector deberá adver­
tir que, en contraste con el teorema 6.3.l, el siguiente resultado no supone la
derivabilidad de las funciones en el punto
a. El resultado afirma que el comporta­
miento en el límite de
f (x)/g(x) cuando x --t a+ es igual al comportamiento en el
límite de
f' (x)/g' (x) cuando x --t a+, incluyendo el caso en que este límite es infi­
nito. Una hipótesis importante aquí
es que tanto f como g tienden a O cuando
x
--t a+.
6.3.3 Regla de UHópitaI, 1 Sea -00 :s; a < b :s; 00 Ji que sean f, g derivables en
(a, b) tales que g'(x)
*-O para toda x E (a, b). Suponer que
lím f(x)==O== lím g(x). (1)
x--:>a+ x--:>a+
, f'(x) , f(x)
a) Si hm --== L E lR, entonces hm --== L.
x--:>a+g'(x) x--:>a+g(x)
,
f'(x) , f(x)
Si 11m --== L E { -00,00 }, entonces 11m --== L.
x--:>a+ g'(x) x--:>a+ g(x)

230. 220 Capítulo 6 Derivación
Demostración. Si a < a < [3 < b, entonces el teorema de Rolle que g(f3) *
g(a). Además, por el teorema d~l valor medio de Cauchy 6.3.2, existe u E f3)
tal que
f([3)---: fea) f'(u) .
g([3)-g(a) g/(u) /"" (2)
Caso
a): Si LE lR. Y SI E> O está dada, existe c E (a, b) tal q~
L -E < f' (u) < L + E
g/(u)
de donde por (2) se sigue que
para
"
U E (a, c),
L
_E<!([3)-f(a)<L+E < <[3<
para a a_c.
g(f3)-g(a)
Si se toma el límite en (3) cuando a -z a+, se tiene
L-E"!:. f(f3) "!:.L+E
g(f3)
para f3E(a,c].
Puesto que E > O es arbitraria, se sigue la afirmación.
Caso b): Si
L = +00 Y si M> O está dada, existe c E (a, b) tal que
f'(U»M
g/(u)
de donde por (2) se sigue que
f(f3)-fea) > M
g(f3)-g(a)
para U E (a, c),
para a < a < 13 < c.
Si se
toma el límite en (4) cuando a -7 a+, se tiene
f(f3)"2M
g(f3)
para 13 E (a, c).
Puesto que M> O es arbitraria, se sigue la afirmación.
Si
L = -00, el razonamiento es similar.
6.3.4
Ejemplos a) Se tiene
lím
senx = lím [ cosx 1 = lím 2rx cosx = O.
x~o+ rx x~o+ 1 / (2 rx ) X~O+
(3)
(4)
Q.E.D.
Se observa que el denominador no es derivable en x = O, por lo que el teorema
6.3.1
no puede aplicarse. Sin embargo,J(x):= sen x y g(x) :=...fx son derivables en

231. 6.3 Reglas de L'Hópital
(O, 00) y ambas tienden a O cuando x -¿ O+. Además, g' (x) "* O en
que 6.3.3 es aplicable.
b
") S· l' [1-cosxJl l' senx
e tIene 1m = 1m --o
X--70 x 2 X--70 2 x
00), por lo
Aquí es necesario considerar el límite tanto
por la derecha como por la izquier­
da.
El cociente en el segundo límite de nuevo es indetenninado de la forma O/O.
Sin embargo, las hipótesis de 6.3.3 se satisfacen, por lo que es válida una segun­
da aplicación de la regla de I.:Hópital. Se obtiene,
por tanto,
1
, [l-COSX] l' senx l' cosx 1
1m = llll--= 1m--=-.
X--70 X 2 X--70 2 X X--70 2 2
eX -1 eX
e) Se tiene lím --= lím -= 1.
X--70 X X--70 1
Nuevamente, es necesario considerar el límite por la izquierda y por la dere­
cha.
Del mismo modo, se tiene
[
eX -l-xl eX -1 eX 1
lím = lím--= lím-=-.
X--70 X 2 X--70 2 X X--70 2 2
d) Se tiene lím [ lnx ] = lím (1/ x) = 1.
X--71 x -1 X--71 1
o
Regla de UHopital, n
Esta regla es muy similar a la primera, excepto porque trata el caso en que el deno­
minador se hace inÍlllito cuando x -¿ a+. De nueva cuenta, sólo se consideran los
límites
por la derecha, pero es posible que a = -oo. Los límites por la izquierda y
los límites
por ambos lados se abordan del mismo modo.
6.3.5 Regla de UHopital, n Sea -00 :S: a < b :S: 00 Y sean f, gfitnciones deriva­
bles en
(a, b) tales que g'ex)"* O para toda x E (a, b). Suponer que
lím g(x)=±oo. (5)
X--7a+
, f'Cx) , f(x)
a) Si hm --=LElR,entonces 11m --=L.
x--7a+g'(x) X--7a+g(x)
., f'(x) , fex)
b) SI hm --=L E {-oo, oo},entonces hm --=L.
X--7a+ g'(x) x--7a+ g(x)

232. Capítulo 6 Derivación
Demostración. Se supondrá que (5) se cumple con límite oo.
Como antes, se tiene g(f3}=ft para a, [3 E (a, b), a < [3. Además, la ecua-
ción (2) de
la demostración de 6:3,3 se cumple para alguna u E (a, [3).
Caso a): Si L E ~ con L > ° y i> O está dada, existe e E (a, b) tal que (3) en
la demostración de 6.3.3 se cumple c~ando a J a < [3 s e. Puesto que g(x) -¿ 00,
se puede suponer también que g(e) > ~. Al tom~zJ-3 = e en (3), se tiene
L-E< f(e)--fea) <L+E para aE (a, e).
g(e)-g(a)
(6)
Puesto que
g(e)jg(a) -¿ O cuando a -¿ a+, puede suponerse que ° < g(e)jg(a) < 1
para toda a E (a, e), de donde se sigue que
g(a)-g(e) =1-g(e) >0 ( )
para a E a, e .
g(a) g(a)
Si se multiplica (6) por (g(a) -g(e»jg(a) > O, se tiene
(L-E)(l-g(e) J< fea) -f(e) «L+E)(l-g(e) J. (7)
g(a) g(a) g(a) g(a)
Ahora bien, puesto que g(e)jg(a) -¿ O Y f(e)jg(a) -¿ O cuando a -¿ a+, entonces
para cualquier (j con O < 0< 1 existe d E (a, e) tal que O < g(e)jg(a) < (j y
[f(e) [jg(a) < O para toda a E (a, d), de donde (7) produce
(L -E )(1-(5) -<5 < f (a) < (L + E) + (j.
g(a)
Si se toma <5 := mín { 1, E, Ej( [ L [ + l)}, es un ejercicio demostrar que
L-2E S fea) s L+2E.
g(a)
(8)
Puesto que E> O es arbitraria, de esta expresión se obtiene la afirmación. Los casos
L = O Y L < O se abordan de tilla manera similar.
Caso b): Si
L = +00, sea M> 1 dada y sea e E (a, b) tal quef'(u)ig'(u) > M
para toda u E (a, e). Entonces se sigue como antes que
f(f3)-fea) > M [3
para a < a < s e.
g(f3)-g(a)
(9)
Puesto que
g(x) -¿ 00 cuando x -¿ a+, se puede suponer que e también satisface
g(e) > 0, que [f(e) [jg(a) <~y que O < g (e)jg (a) <~paratoda aE (a, e). Si
se
toma 13 = e en (9) y se multiplica por 1 -g( e )jg( a) >~, se obtiene
f(a)-f(e) >M(l-g(e) J >lM,
g(a) g(a) 2

233. 6.3 Reglas de L'Hópital
de donde
fea)
g(a)
+ fCe) >1
g(a) 2
-1)
Puesto que M> 1 es se que lím
Sí
L = -00, el razonamiento es similar. a~a+
6.3.6 a) S
'd
l' lnx
e conSl era 1m --.
X~CXJ X
223
para aE
= oo.
Q.E.D.
Aquíf(x) := In x y g(';¡;) := x en el intervalo (O, 00). Si se aplica la versión por
l
· . d d
63 5 b . l' lnx l' 1/ x
a 1zqmet a e .. , se o tIene 1m --= 1m --= O.
X~CXJ X X~CXJ 1
Se considera lím e -x x 2 .
X~CXJ
Se toma aquíf(x) := x2 y g(x) := eX en RSe--obtiene
lím
~= lím 2x = Iím ~=O.
X~CXJ eX X~CXJ eX X~CXJ eX
e) Se considera lím lnsenx.
X~O+ lnx
Se toma aquíf(x) := In sen x y g(x) := In x en (O, n). Si se aplica 6.3.5, se obtiene
1
,
lnsenx l' cosx / senx l' [ x ] [ ]
1m ---= 1m = 1m -_. cosx .
X~O+ In x X~O+ l/x X~o+ sen x
Puesto que lím [x/sen x] = 1 Y lím cos x = 1, se concluye que el límite bajo con-
X~O+ x~o+
sideración es igual a l. O
Otras formas indeterminadas
Las formas indeterminadas tales como 00 -00, O . 00, 100, 00, 00° pu~den redu­
cirse a los casos ya considerados mediante operaciones algebraicas y el uso de
funciones logarítmicas y exponenciales. En lugar de formular estas variantes
como teoremas, las técnicas pertinentes se ilustran por medio de ejemplos.
6.3.7 Ejemplos a) Sea
I:= (O, n/2) y considerar
lím
(~ __ l J
x~o+ x senx '

234. Capítulo 6 Derivación
que tiene la forma indeterminada 00 -oo. Se tiene
1, (1 1) l' senx-x l' cosx-l
1m - ---= 1m = 1m
X-7O+ X sen x X-7O+ X sen x _._. X-7O+ sen x + x cos x
~\
= lím -senx \= 2. = O.
X-70+ 2 cosx -x senx I 2
b) Sea 1 := (O, 00) y considerar lím x In x, que tiene la forma indeterminada
° . (-00). Se tiene X-7O+
1, 1 l' In x l' 11 x l' ( ) ° 1m x nx= 1m --=. Inl ---= 1m -x = .
X-70+ X-7O+ 1/ X X-70+ -1/ x 2 X-70+
e) Sea 1 := (O, 00) y considerar lím x" que tiene la forma indeterminada 0°.
X-7O+
Se recuerda del cálculo (véase también la sección 8.3) que XX = eX lnx. Del inciso
b)
Y de la continuidad de la función y !--7 e y en y = ° se sigue que lím XX = eO = 1.
X-7O+
d) Sea 1 := (1, 00) y considerar lím (1 + l/x)X, que tiene la forma indetermi-
nada
100. X-700
Se observa que
(1 + l/x)' = eX ln(l+l/x). (lO)
Además, se tiene
1
, 1
(1 1/) l' ln(l + l/x)
1m x n + x = rm ---'--~
X-700 X-700 l/x
, (1 + 1/ x) -1 ( -x -2) 1
= 11m = lím ---=1.
X-700 -x -2 X-700 1 + 1/ x
Puesto que y !--7 gY es continua en y = 1, se infiere que lím (l + l/x)' =~.
X-700
e) Sea 1:= (O, 00) Y considerar lím (1 + l/x)X, que tiene la forma indetermi-
nada
000. X-70+
Con base en la fórmula (10), se considera
lím
x ln(1 + 1Ix) = lím lnO + l/x) = lím _1_ = O.
X-70+ X-70+ llx X-70+ 1 + l/x
Se tiene, por lo tanto, lím (1 + l/x)' = eO = 1. o
X-7O+

235. 6.3 Reglas de L'Hópital
de la sección 6.3
1. Suponer que f y g son continuas en [a, b J, derivables en (a, b), que c E [a, b J y que
g(x) ;te ° para x E [a, b J, x;te c. Sea A := lím fy B := lím g. Si B = ° y si lím f(x)/g(x)
X-.-....¿.C X-1C X---7C
existe en R, demostrar que debe tenerse A = O. [Sugerencia: f(x) = lf(x)/g(x) }g(x).J
2.
Además de los supuestos del ejercicio precedente, sea g(x) > ° para x E [a, b l, x ;te c.
Si A> ° y B = 0, demostrar que debe tenerse lím f(x)/g(x) = oo. Si A < ° y B = 0,
x--ó>c
demostrar que debe tenerse lím f(x)/g(x) = -oo.
X-1C
3. Seaf(x) := x2 sen(l/x) para ° < x:; 1 yf(O) := 0, y sea g(x) := x2 para x E [O, ll.
Entonces tanto f como g son derivables en [O, Il Y g(x) > &.para x;te O. Demostrar que
lím
f(x) = ° = lím g(x) y que lím f(x)/g(x) no existe. '-.
X--ó>O x--ó>O X--ó>O
4. Seaf(x) := x2 para x racional, seaf(x) := ° para x irracional y sea g(x) := sen x para
x E R. Aplicar el teorema 6.3.1 para demostrar que lím f(x)/g(x) = O. Explicar por qué
no puede usarse el teorema 6.3.3.
x--ó>o
5. Seaf(x) :=x
2
sen(l/x) para x * 0, seaf(O) := ° y seag(x) := senx para x E R. Demostrar
que lím f(x)/g(x) = ° pero que lím f' (x)/g' (x) no existe.
x--ó>o x--ó>o
6. Evaluar los límites siguientes, donde el dominio del cociente es el que se indica.
a)
r ln(x+l)
1m (O, re /2),
x--ó>o+ senx
e)
r Incosx
un ---(O, re /2),
x--ó>o+ x
7. Evaluar los límites siguientes:
a) lím arctanx
(-00,00),
x--ó>o x
e) lím x
3
1nx (0,00),
x--ó>O+
8. Evaluar los límites siguientes:
a) l
'
Inx
1m-
x--ó>oo x2
(0,00),
e) lím x In sen x (O, re),
x--ó>O
9. Evaluar los límites siguientes:
a) lím
x2x (0,00),
x--ó>O+
e) lím (1 + 3 Ix )X (O, 00),
x--ó>oo
b)
r tanx
1m-- (O, re /2),
x--ó>o+ x
d) lím
tanx-x
(O, re /2).
x--ó>o+ x
3
b) lím (O, 1),
x--ó>O x(lnx)2
d)
x
3
lím - (O, 00).
X----700 eX
b)
r Inx
1m-
x--ó>oo rx
(O, 00),
d)
r x+lnx
(O, (.(). 1m---
x--ó>oo xlnx
b) lím(I+31x)X (0,00),
x--ó>O
d)
lím (~ __ I 1
x--ó>O+ x are tan x )
(0,00).

236. 10. Evaluar los siguientes límites:
a) lím xl/x
x-+oo
c) lím x
senx
x-+O+
(O, 00),
(O, 00),
Capítulo 6 Derivación
~'\
b) lím (senx)X (O, re),
) x---¿Ü+
/
d~ lím (secx-tanx) (O, rej2).
x---¿lrI2-
11. Sea f derivable en (O, 00) Y suponer que lím (f (x) + f'(x)) = L. Demostrar que
X-)(X)
lím f(x) = L Y que lím f'(n) = O. [Sugerencia: f(x) = e"'f(x)jeX.]
x---¿oo X---7CXJ
12. Intentar usar la regla de I.:Hópital para encontrar el límite de tanx cuando x -¿ (rej2)-.
.
secx
Evaluarlo después directamente haciendo el cambio a senos y cosenos.
Una técnica de gran utilidad en el análisis de funciones reales ~s la aproxima­
ción de funciones
por polinomios. En esta sección se demuestra un teorema
fundamental
en esta área que se remonta a Brook Taylor (1685-1731), aunque
el término del residuo no fue incluido sino mucho después
por Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813). El teorema de Taylor constituye
un poderoso resultado
que tiene múltiples aplicaciones. Se ilustrarará la versatilidad del teorema
de
Taylor examinando brevemente algunas de sus aplicaciones en la estimación
numérica, desigualdades, valores extremos de una función y funciones con­
vexas.
El teorema de Taylor puede considerarse como una ampliación del teorema
del
valor medio para derivadas de "orden superior". Mientras que el teorema del valor
medio relaciona los valores de una función y su primera derivada, el teorema
de
Taylor proporciona una relación entre los valores de una función y sus derivadas
de orden superior.
Las derivadas de orden mayor que uno
se obtienen por una ampliación natural
del proceso de derivación.
Si la derivada f'(x) de una función j existe en todo
punto
x de un intervalo 1 que contiene un punto c, entonces puede considerarse la
existencia de la derivada de la
funciónj' en el punto c. En caso de quef' tenga
una derivada en el punto
e, se hace referencia al número resultante como la segun­
da derivada dejen c y se denota este número porjl/(e) o porj(
2
)(e). De manera
similar, se define la tercera
derivadaj"'(e) = j(
3
)(c), .. " y la n-ésima derivada
jen)(e), siempre que estas derivadas existan. Cabe señalar que la existencia de la
n-ésima derivada en e presupone la existencia de la (n -l)-ésima derivada en un
intervalo que contiene a e, pero se deja abierta la posibilidad de que e sea un punto
terminal
de dicho intervalo.

237. 6.4 Teorema de Taylor
Si una funciónftiene una n-ésimú derivada en un xo, no es diíícil cons-
truir
un polinomio de n-ésimo grado P
n tal que Pn(xo) = f(,'Co) Y p,V')(xo) = f(k)(xO)
para k = 1,2, ... , n. De hecho, el polinomio
f(")(xo)
+ ... + (x-xo)n
n!
tiene la propiedad de que él y sus derivadas hasta el orden n coinciden con la fun­
ciónfy sus derivadas hasta el orden n en el punto xo especificado. A este polino­
mio P
n
se le llama el n-ésimo de en xo. Es natural
esperar que este polinomio proporcione una aproximación razonable de
f para
puntos próximos a
xo, pero para graduar la precisión de la aproximación es nece­
sario tener información en cuanto al residuo
Rn := f -Pn. El siguiente resultado
fundamental proporciona esta información.
6.4.1 Teorema de Taylor Sea n E N, sea 1 := [a, b] y sea f: 1 -¿ lB;. tal que fy
sus derivadas f', f",· .. , f(n) son continuas en Iy tal que f(n+ 1) existe en (a, b).
Si Xo E 1, entonces para cualquier x en 1 existe un punto c entre x y Xo tal que
(2)
Demostración. Sea que Xo y x estén dadas y sea que J denote el intervalo cerra­
do con puntos terminales
Xo y x. Se define la función F en J por
(x_t)n
F(t):=f(x)-f(t)-(x-t)f'(t)_···-f(n)(t)
n!
para t E J. Entonces un sencillo cálculo indica que se tiene
Si
se define G en J por
F'(t)=-(x-t)n f(n+1) (t).
n!
x-t
( )
n+l
G(t):=F(t)---F(xo)
x-xo
para t E J, entonces G(xo) = G(x) = O. Al aplicar el teorema de Rolle 6.2.3, se
obtiene
un punto c entre x y Xo tal que
(x-c)n
O=G'(c)=F'(c)+(n+l) F(xo).
(x_xo)n+1

238. Capítulo 6 Derivación
Se por tanto,
1 (x-xO)n+l F
'
n+1 (x-c)n
que ~HIJU"U el resultado enunciado. Q.E.D.
Se usará la notación P
17
para el n-ésimo polinomio de Taylor (1) dejy RI7 para
el residuo. Así,
la conclusión del teorema de Taylor puede escribirse como j (x) =
Pn(x) + Rn(x), donde Rn está dado por
(3)
para algún punto e entre x y xo. Se hace referencia a esta fórmula para Rn como la
forma de (o como la forma de del residuo. Se conocen
muchas otras expresiones para
Rn; una de ellas se expresa en términos de integra­
ción y se examinará más adelante. (Véase el teorema
7.3.18.)
"'H" .... ,, del teorema de Taylor _______________ _
El término del residuo
Rn en el teorema de Taylor puede usarse para estimar el
error al aproximar una función por su polinomio de Taylor P
n
.
Si el número n está
dado, entonces surge
la cuestión de la precisión de la aproximación. Por otra parte,
si se especifica una precisión determinada, entonces la cuestión es encontrar
un
valor adecuado de n. Los siguientes ejemplos ilustran cómo se resuelven estos
casos.
6.4.2 a) Utilizar el teorema de Taylor con n = 2 para aproximar
Vl+x,x>-l.
Se toma la funciónj(x) := (1 + x) 113 , el punto Xo = ° y n = 2. Puesto que J' (,) =
t (l + xt
2
/
3
y 1"(x) =1 (-~)(1 + xt
5
/3, se tiene 1'(0) = 1 y 1"(0) = -2/9. Se ob­
tiene, por tanto,
donde
R
2(x) = ~1"'(c)x3 = ~(l + ct
8
/3
x
3
para algún punto e entre ° y x.
Por ejemplo, si se hace x = 0.3, se obtiene la aproximación PiO.3) = 1.09 para
W. Además, ya que e > ° en este caso, entonces (1 + c)-8/3 < 1, por lo que el
error es a lo sumo
5 ( 3
J3 1
R
2
(0.3):::--=-<0.17xlO-
2
.
81 10 600

239. 6.4 Teorema de Taylor
En se tiene 1 V13 -1.091 < 0.5 x , con lo cual se asegura una
precisión de dos cifras decimales.

rl.IJLV",.HHaL el número e con un error menor que 1
Se considera la nmción
g(x) := eX y se toma Xo = O Y x = 1 en el teorema de
Taylor. Es necesario determinar
n de tal modo que 1 1 < 10-
5
Para se
usa el hecho de que
g' (x) = eX y la cota inicial de ¿ :::; 3 para O S x S l.
Puesto que g'(x) = eX, se sigue que gekl(x) = eX para toda k E N, Y por tanto
gCkl(O) = 1 para toda k E N. Por consiguiente, el n-ésimo polinomio de Taylor está
dado
por
/ Xl1
Pl1 (x):=l+x+-+··· +-
2! n!
y el residuo para x = 1 está dado por Rn(l) = éj(n + 1)1 para alguna e que satisfa­
ce O
< e < 1. Puesto que é < 3, se busca un valor de n tal que 3j(n + 1)! < lO-s,
Un cálculo revela que 91 = 362880> 3 x 10
5
,
por lo que el valor n = 8 proporcio­
nará la precisión deseada; además, puesto que
8! = 40 320, no hay la seguridad de
que sea suficiente
un valor menor de n. Se obtiene, por tanto,
1 1
e'" P
8
(1) =1+1 +-+ ... +-=2.71828
2! 81
con un error menor que 10-
5
.
El teorema de Taylor también puede usarse para establecer desigualdades.
6.4.3
Ejemplos a) 1 - ~ x2 S cos x para toda x E lR.
Usando f(x) := cos x y Xo =:= O en el teorema de Taylor, se obtiene
1
cosx=I--x
2
+R2(x),
2
donde para alguna e entre O y
x se tiene
f"'(e) sene
R
2 (x)=--" -x3 =--x
3
.
3! 6
D
Si O S x S 11:, entonces O s e < 11: ; puesto que e y x
3
son ambas positivas, se tiene
R
2
(x) ~ O. Asimismo, si -11: s x S 0, entonces -11: S e S O; puesto que sen e y x
3 son
ambas negativas, se tiene de nueva cuenta que
R2(x) ~ O. Por tanto, se observa que
1 -
~ x2 S cos x para 1 xl:::; 11:. Si 1 x 1 ~ 11:, entonces se tiene 1 - ~ x2 < -3 s cos x
y es trivial la validez de la desigualdad. En consecuencia, la desigualdad se cum­
ple para toda x E lR.

240. Capítulo 6 Derivación
Para E N, Y para toda x > 0, se tiene
1
x--x
2 + .. ,
2 2k
¡
1 1
<x--x2 + ... + __ x2k+1
2 2k+l
le < 1n(1+
Utilizando el
hecho de que la derivada de ln(1 + x) es + x) para x> 0, se
observa que el n-ésimo polinomio de Taylor
para 1n(1 + x) con Xo = ° es
1 1
) = x - -x 2 + ... + ( -1) 11-1 -x 11
. 2 n
y el residuo está dado por
( -1)l1cn+1
R (x) = x 11+1
11 n+l
para alguna c que satisface ° < c < x. Por tanto, para cualquier x > 0, si n = 2k es
par, entonces se tiene
R
2k
(X) > O; Y si n = 2k + 1 es impar, se tiene R
2k + 1 (x) < O.
Entonces la desigualdad enunciada se sigue de manera inmediata. O
Extremos relativos
En el teorema 6.2.1 se estableció que si una funciónf: 1 -7lR:. es derivable en un
punto c interior del intervalo 1, entonces una condición necesaria para que f tenga
un extremo relativo en ces quef'(c) = O. Una manera de determinar siftiene un
máximo relativo o un mínimo relativo [o ninguno de ellos] en c es usar el criterio
de
la primera derivada 6.2.8. En caso de existir, también se pueden usar en esta
determinación las derivadas de
orden superior, como se indica a continuación.
6.4.4
Teorema Sea 1 un intervalo, sea Xo un punto interior de 1 y sea n ;:: 2.
Suponer que las derivadas f', f", ... , f(n) existen y son continuas en una vecin­
dad de
Xo y que f' (xo) = ... = f(n -l)(xO) = 0, pero f(n)(xo) *" O.
i) Si n es par y f(n)(xo) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en xo.
ii) Si n es par y f(n)(xo) < 0, entonces f tiene un máxim¿ relativo en xo.
Si n es impar, entonces f no tiene ni máximo relativo ni mínimo relativo en xo.
Demostración. Si se aplica el teorema de Taylor en xo, se encuentra que para
x E 1 se tiene
donde c es algún punto entre
Xo y x. Puesto que f(l1) es continua, sif(I1)(XO) *" 0,
entonces existe un intervalo U que contiene a Xo tal que f (n)(x) tendrá el mismo
signo que
f (n)(xo) para x E U. Si x E U, entonces el punto c también pertenece a
U y por consiguientejCn)(c) y f(n)(xo) tendrán el mismo signo.

241. 6.4 Teorema de Taylor
i) Si n es par yf(nl(xo) > 0, entonces para x E U se
de tal modo que ::::: O. En
un mínimo relativo en Xo.
> ° y (x -xo)" ::::: 0,
:::::f (xo) para x E U Y por lo
ii) Si n es par
y f(n)(xo) < 0, entonces se sigue que R" _ ¡(x) ::::; ° para x E U,
de tal modo quef(x)::;;f(xo) para x E U Por lo tanto,/tiene un máximo relativo
enxo·
Si n es impar, entonces
(x - XO),1 es positivo si x > Xo y es negativo si x < xo.
Por consiguiente, si x E entonces Rn _ 1 (x) tendrá signos opuestos a la izquier­
da
y a la derecha de Xo. Por lo t311to,/no tiene ni mínimo relativo ni máximo rela­
tivo en
Xo. Q.E.D.
~
Funciones convexas
La noción de convexidad desempeña un papel importante en varias áreas, en par­
ticular en la teoría moderna de optimización. Se examinan brevemente las funcio­
nes convexas de tilla variable real y su relación con
la derivación. Los resultados
básicos, cuando se modifican de la manera apropiada, pueden generalizarse a
espacios de dimensiones superiores.
6.4.5 Defini.ción Sea
1 <: :IR;. un intervalo. Se dice que una funciónf: 1 -t:IR;. es
convexa en
1 si para cualquier t que satisface ° ::::; t::::; 1 Y cualesquier puntos xl' x2
en 1 se tiene
Adviértase que si
X¡ < Xl> entonces cuando t varía de O a 1 el punto (l -t)x¡ +
tX2 recorre el intervalo de x ¡ a X2. Por tanto, si f es convexa en 1 y si x ¡, X2 E 1,
entonces la cuerda que une dos puntos cualesquiera (x¡,/(,,¡)) y (x2'/(x2)) en la
gráfica
defqueda arriba de la gráfica de! (Véase la figura 6.4.1.)
Una función convexa no es necesariamente delivable en cada punto, como lo
indica el
ejemplof(x) := Ixl, x E :IR;.. Sin embargo, puede demostrarse que si 1 es
XI
6.4.1 Una función convexa.

242. Capítulo 6 Derivación
un intervalo abierto y sif: 1 ---+ lR es convexa en J, entonces las derivadas izquier­
da y derecha de f existen en todo plmto de 1. Como consecuencia, se sigue que una
función convexa en un intervalo abierto es necesariamente continua. No se
rán las afirmaciones anteriores ni se desarrollarán muchas otras interesantes pro c
piedades de las funciones cOÍ1Vexas, sino que nos limitaremos a establecer la
conexión entre una función convexa f y su segunda derivada f", suponiendo que f'/
exista.
6.4.6
Teorema Sea 1 un intervalo abierto y sea que f : 1 ---+ lR tenga segunda
derivada
en 1. Entonces f es una fitnción convexa en I si y sólo si f/(x) ::::: O para
toda
x E 1.
Demostración. (=» Se hará uso del hecho de que la segunda derivada está dada
por el límite
F/ (a) = lím f (a + h) -2 f (a) + f (a - h )
h--'70 h 2
(4)
para toda a E 1. (Véase el ejercicio 16.) Dada a E 1, sea h tal que a + h Y a -h
pertenecen a 1. Entonces a = -t ((a + h) + (a -h), y como f es convexa en 1, se tiene
fea) = f( -t (a + h) +-t (a -h» ~-tf(a + h) +-tf(a -h).
Por tanto, se tienef(a + h) -2f(a) + fea -h)::::: o. Puesto que h
2
> O para toda h =1=
O, se observa que el límite en (4) debe ser no negativo. En consecuencia, se obtie­
nef'/(a)::::: O para toda a E 1.
(~) Se usará el teorema de Taylor. Sean Xl, x2 dos puntos cualesquiera de 1,
sea 0< t < 1 Y sea Xo := (1 -t)xI + tx2. Al aplicar el teorema de Taylor af en xo,
se obtiene un punto cI entre Xo y Xl tal que
y
un punto C2 entre Xo y X2 tal que
f(X2) = f(xo) + F(xO)(X2 - xo) +-tFCC2)(X2 -xO)2.
Sif" es no negativa en 1, entonces el término
R :=-t (1 -t)F (CI)(xl - xo)2 +-t tF (C2)(x2 -xo?
también es no negativo. Se obtiene, por tanto,
(1 -t)f(xI) + tf(x2) = f(xo) + F(xo) «1 -t) Xl + tx2 -Xo)
+-t (1 -t)F(CI)(Xl - Xo)2 +-t tF(C2) (X2 -XO)2
=f(xo) +R
:::::f(xo) = f((l -t) Xl + tx2)·
En consecuencia, f es una función convexa en 1. Q.E.D.

243. 6.4 Teorema de Taylor
Con fi:ecuencia es deseable estimar una solución de
elevado de precisión. El método de bisección, usado en la
aelTIO'SUaCllOH
ma de localización de raíces 5.3.5, proporciona un pnJcé~dlml!enl:o
perO presenta la desventaja de .converger a una solución con mucha lentitud. Un
método que con frecuencia produce una convergencia mucho más se basa
en la idea geométrica de obtener aproximaciones sucesivas de una curva por rec­
tas tangentes. El nombre de este método es en honor de su Isaac
Newton.
Seafuna función derivable que tiene un cero en r y sea Xl una estimación ini-
cial de
r. La recta tangente a la gráfica en (x¡,/(x¡)) tiene la ecuación y +
f' (x¡)(x - Xl) y corta el eje x en el punto
f(x¡)
x2 :=x¡ ----o
f'(x¡)
(Véase la figura ~.4.2.) Si se sustituye X¡ por la segunda estimación Xb entonces
se obtiene un punto
x3, Y así sucesivamente. En la n-ésima iteración se obtiene el
punto
X,,+ ¡ a partir del punto X" por la fórmula
Bajo las hipótesis adecuadas,
la sucesión (x,,) convergerá con rapidez a una raíz de
la
ecuaciónf(x) = O, como se demuestra enseguida. El elemento clave para esta­
blecer la rapidez de la convergencia es el teorema de Taylor.
y
---+----------~~--~----~r-----~x
6.4.2 El método de Newton.
6.4. 7
Método de Newtoll Sea 1 := [a, b] Y sea f: 1 -¿ lR derivable dos veces en
I. Suponer que f(a)f(b) < O Y que existen las constantes m, M tales que I f'(x) I ~
m> O Y I f"(x) I ::;; M para toda x E 1 Y sea K := Mj2m. Entonces existe un subin-

244. Capítulo 6 Derivación
tervalo 1* que contiene un cero r de f tal que para cualquier x1 E 1* la sucesión
(xJ definida por
para toda n E N, (5)
pertenece a 1* y (x
n
)
converge a r. Además,
I
x
n
+ 1 -r I ~ K I x
n
-r 1
2
para toda n EN. (6)
Demostración. Puesto quej(a)j(b) < O, los númerosj(a) y j(b) tienen signos
opuestos; por tanto, por el teorema 5.3.5, existe
r E l tal quej(r) = O. Puesto que
j' nmlca es cero en l, por el teorema de Rolle se sigue que j no se anula en nin­
gún otro punto de
l.
Se hace ahora que x' E l sea arbitraria; por el teorema de Taylor, existe un
punto e' entre x' y r tal que
0= j(r) = j(x') + j'(x')(r -x') +~f"(e')(r -x')2,
de donde se sigue que
-j(x') = j'(x')(r -x') +~f"(e')(r -x')2.
Si xl/ es el número definido a partir de x' por "el procedimiento de Newton":
1/ , j(x')
x :=x ----
j'(x') ,
entonces un cálculo elemental indica que
1
jl/(e')
xl/=x'+(r-x')+- (r-x')2,
2 j'(x')
de donde se sigue que
xl/ -r = 1 jl/(e') (x' -r)2,
2 j'(x')
Puesto que e' E l, las cotas supuestas sobre j' y jI/se cumplen y, al hacer K :=
M/2m, se obtiene la desigualdad
lxI/ -rl~K Ix' -rl'2. (7)
Se elige ahora 8> O tim pequeña que 8 < l/K y que el intervalo l* := [r -8,
r + 8] está contenido en I. Si x
n
E l*; entonces I X
n
-
r I ~ 8 y de (7) se sigue que
IXn+l -rl ~ Klxn -rl
2
~ K8
2
< 8; y en consecuencia, x
n
E l* implica que
Xn+l E l*. Porlo tanto, SiXl E l*, se infiere que X
n E 1* para toda n E N. Asimismo,

245. 6.4 Teorema de Taylor
si x1 E 1*, entonces un razonamiento elemental de inducción matemática utilizan-
do establece que
Ix
n
+ 1 -rl < IX1 -rl para n E N. Pero como Ka < 1,
con esto se demuestra que = r. Q.E.D.
6.4.8 Se ilustra el método de Newton utilizándolo para fi.
Si se hace f (x) := x2 -2 para x E lR, entonces se busca la raíz positiva de la
ecuaciónf(x) = O. Puesto quef'(x) = 2x, la fórmula de iteración es
Si se toma
Xl := 1 como la estimación inicial, se obtienen los valores sucesivos
X2 = 3/2 = 1.5, X3 = 17/12 = 1.416666 "', X4 = 577/408 = 1.414215· .. y Xs =
665857/470832 = 1.414213 562374 "', que es correcto con once cifras deci­
males. O
Observaciones a) Si se hace que en := x
n
-r sea el error al aproximar r, enton­
ces
la desigualdad (6) puede escribirse en la forma 1 Ke
n
+ 11 :; IKe
n 1
2
.
Por con­
siguiente, si
IKe
n
1 < lO-m, entonces IKe
n
+ 11 < lO-2m, por lo que el número de
dígitos significativos
en Ke
n
se ha duplicado. Debido a esta duplicación, se dice
que
la sucesión generada por el método de Newton converge "cuadráticamente".
b)
En la práctica, cuando el método de Newton se programa en una computado­
ra, suele hacerse
una conjetura inicial Xl y después se ejecuta el programa. Si la
elección de Xl es muy deficiente o si la raíz está muy cerca del punto terminal de
1, el procedimiento quizá no convelja a un cero de f En las figuras 6.4.3 y 6.4.4 se
ilustran dos posibles dificultades.
Una estrategia muy socorrida consiste en usar el
método de bisección
para llegar a una estimación bastante próxima a la raíz y des­
pués cambiar al método de
Newton para el coup de gráce.
--------~--+_~r_--~x
Figura 6.4.3 x
n
---¿ oo. Figura 6.4.4 X
n oscila entre Xl y x2'

246. Capítulo 6 Derivación
1. Seaf(x) := cos ax para x E lEk, donde a ot O. Encontrarf(n)(x) para n E N, x E lEk.
2. Sea g(x) := Ix
3
1 para x E R Encontrar g' (x) y gl/(.;'() para x E lEk Y g'1/(x} para x ot O.
Demostrar que g'l/(O) no existe.
3. Utilizar la inducción matemática para demostrar la regla de Leibniz para la n-ésima
derivada de
un producto:
(fg )(n) (x) =
k=ü
n l
f
(n-k) (x)g(k) (x).
k)
4. Demostrar que si x > O, entonces 1 +}, -tx2:s: .JI + x :s: 1 +1x.
5. Usar el ejercicio precedente para aproximar .fl2 y -fi. ¿Cuál es la precisión de la que
se puede tener la seguridad usando esta desigualdad?
6. Utilizar el teorema de Taylor con
n = 2 para obtener aproximaciones más precisas de
.fl2 y -fi.
7. Si x > O, demostrar que 1(1 + x)I/3 - (l +tX -tx2) I :o; (5j81)x
3
Usar esta desigualdad
para aproximar
m y V2.
8. Sif(x) := e", demostrar que el término del residuo en el teorema de Taylor converge a
cero cuando
n -+ 00 para cada Xo fij a y x. [Sugerencia: véase el teorema 3.2.11.]
9. Si
g(.x) := sen x, demostrar que el término del residuo en el teorema de Taylor conver­
ge a cero cuando
n -+ 00 para cada Xo fija y x.
10. Sea h(.,):= e-
l
/x2
paraxot O y h(O) := O. Demostrar que Mn)(o) = O para toda n E N. Concluir
que el término del residuo en el teorema de Taylor para
Xo = O no converge a cero cuan­
do
n -+ 00 para x ot O. [Sugerencia: por la regla de I.:Hópital, lím h(.x)/x
k
= O para cual­
x-*ü
quier k E N. Usar el ejercicio 3 para calcular Mn)(.,) para x ot O.]
11. Si x E [O, 1] Y n E N, demostrar que
In(l+x)-x--+-+'" +(_1)n-l-<--o
I
(
x2 x
3
xn)1 xn+1
2 3 n n+1
Utilizar esta expresión para aproximar In 1.5 con un error menor que 0.0l. Menor
que 0.001.
12. Quiere aproximarse la función sen con un polinomio en [-1, 1] de tal modo que el error
sea menor que 0.001. Demostrar que se tiene
Ix I :::; 1.
13. Calcular e con siete cifras decimales de precisión.

247. 6.4 Teorema de Taylor
14. Determinar si x = ° es o no el punto de un extremo relativo de las siguientes funciones:
a) f(x):= x
3
+ 2, b) g(x):=senx-x,
c) h(x):=senx+1,x
3
,
d) k(x):= cos x -1 +1x2.
15. Seafcontinua en [a, b] y suponer que la segunda derivadaf" existe en b). Suponer
que la gráfica
defy el segmento de recta que une los puntos (a,f(a» y (b,f(b» se cor­
tan en
lID punto (xo,f(xQ», donde a < Xo < b. Demostrar que existe un punto e E (a, b)
tal quef"(c) = O.
1~ Sea J t;;; 1Ft un intervalo abierto, seaf: J -+ 1Ft derivable en J y suponer quef"(a) existe
a E 1. Demostrar que
f"(a)= lím f(a+h)-2f(a)+f(a-h)
h--+O h 2
Dar un ejemplo donde este límite exista, pero la fimción no tenga segunda derivada en a.
17. Suponer que J t;;; 1Ft es un intervalo abierto y quef"(x) ¿ ° para toda x E 1. Si e E J,
demostrar que la parte de la gráfica de f en J nunca está debajo de la recta tangente a la
gráfica en
(c,f(c».
18. Sea J t;;; 1Ft un intervalo y sea e -E J. Suponer que f y g están definidas en J y que las
derivadas
f(n), in) existen y son continuas en 1. Sif(k)(c) = ° y ik)(c) = ° para k = 0,
1, .. " n -1, pero g(n)(c) of. 0, demostrar que
, f(x) f(n)(c)
hm--= .
x--+c g(x) g(n)(c)
19. Demostrar que la funciónf(x) :=x
3
-
2x -5 tiene un cero r en el intervalo J:= [2, 2.2].
Si
XI := 2 y si la sucesión (x
n
) se define usando el procedimiento de Newton, demostrar
que
1 X
n
+ I -r 1 :s; (0.7) 1 x
n
-
r 1
2
.
Demostrar que X4 tiene una precisión dentro de seis
cifras decimales.
20. Aproximar los ceros reales de
g(x) := x
4
-
x -3.
21. Aproximar los ceros reales de
h(x) := x
3
-
x-l. Aplicar el método de Nevvton empe­
zando con las elecciones iniciales:
a) XI := 2, b) XI := 0, c) XI := -2. Explicar lo que
ocurre.
22. La ecuación
ID x = x -2 tiene dos soluciones. Aproximarlas usando el método de
Newton. ¿Qué ocurre si
XI :=1 es el punto inicial?
23. La funciónf(x)
= 8x
3
-
8x2 + 1 tiene dos raíces en [0,1]. Aproximarlas usando el méto­
do de Newton con los puntos iniciales:
a) Xl :=i, b) XI :=~. Explicar lo que ocurre.
24. Aproximar la solución
de la ecuación X = cos X con una precisión de seis cifras deci­
males.

248. Se ha hecho mención ya de los desarrollos realizados durante los años 1630 por
Fermat y Descartes que llevaron a la geometría analítica y a la teoría de la deriva­
da. Sin embargo, el tema que hoy conocemos como cálculo no empezó a tomar
forma sino hasta fines de los años 1660, cuando Isaac Newton creó su teoría
de las
"fluxiones" e inventó
el método de las "tangentes inversas" para encontrar el área
bajo una curva. El proceso inverso
de encontrar rectas tangentes para encontrar
áreas también fue descubierto en los años 1680 por Gottfried Liebniz, quien no
tenía conocimiento del trabajo inédito
de Newton y llegó al descubrimiento por un
camino muy diferente. Leibniz introdujo la terminología
"calculus differentialis"
Bernhard Riemann
(Georg Friedrich) Bernhard Riemann (1826-1866), hijo
de
un ministro luterano pobre, nació cerca de Hanover, en
Alemania. Para complacer a su padre, ingresó en 1846 a la
Universidad
de Gotinga como estudiante de teología y
filosofía, pero pronto optó por las matemáticas. Inte­
rrumpió sus estudios en Gotinga para estudiar en Berlín con
C. G. J. Jacobi, P G. J. Dirichlet y F. G. Eisenstein, pero vol­
vió a Gotinga en 1849 para terminar su tesis con Gauss. Su
tesis versaba sobre
lo que hoy se conoce como "superficies de Riemann".
Gauss
se entusiasmó a tal punto con el trabajo de Riemmll que hizo los arreglos
para que fuera nombrado
privatdozent en Gotinga en 1854. Para ser admitido
como
privatdozent se requería que Riemann demostrara su capacidad dictando
una conferencia frente a todos los miembros de la facultad. Como
lo dictaba la
tradición, puso a consideración tres temas, cuya discusión dominaba en
el caso
de los dos primeros. Para sorpresa de Riemann, Gauss decidió que debía dictar
su conferencia sobre el tercer tema: "De las hipótesis que
se encuentran detrás
de los fundamentos de la geometría". Después
de su publicación, esta diserta­
ción tuvo un profundo efecto sobre la geometría moderna.
No obstante que Riemann contrajo tuberculosis y murió a los 39 años de
edad, realizó importantes contribuciones en varias áreas: los fundamentos
de la geometría, teoría de los números, análisis real y complejo, topología
y física matemática.
239

249. Capítulo 7 La integral de Riemann
y "calculus integralis", ya que para encontrar rectas tangentes se diferen­
cias y para encontrar áreas
se utlizaban sumas. ambos descubrieron que la inte­
gración, siendo un proceso
de sumas, era el inverso de la operación de derivación.
Durante un siglo y medio
de desarrollo y depuración de las el cálcu-
lo consistió en este par de operaciones inversas y sus aplicaciones, principalmen­
te en problemas de física. Duránte los años 1850, Bernhard Riemann adoptó una
perspectiva nueva y diferente. Separó el concepto
de integración de su contrapar­
te, la derivación, y examinó el interesante proceso
de sumas y límites en sí mismo.
Amplió el panorama
al considerar todas las funciones en un intervalo para el que
este proceso de "integración" podía definirse: la clase de las funciones "integra­
bles". El teorema fundameiltal del cálculo pasó a ser un resultado válido única­
mente para un conjunto restringido de funciones integrables. La perspectiva
de
Riemann llevó a otros matemáticos a inventar otras teorías de la integración, la
más significativa
de las cuales es la de Lebesgue. Pero ha habido algunos avances
en tiempos más recientes que amplían en grado considerable incluso la teoría
de
Lebesgue. En el capítulo lOse presenta una breve introducción a estos resultados.
Se empieza definiendo el concepto de integrabilidad de Riemann de funciones
con valores reales definidas en un intervalo acotado cerrado
de ffi., donde se usan
las sumas
de Riemann, familiares para el lector por sus cursos previos de cálculo.
Este método tiene la ventaja de que es inmediata su generalización
al caso de las
funciones cuyos valores son números complejos, o vectores en el espacio
ffi.n. En
la sección 7.2
se establece la integrabilidad de Riemann de varias clases importan­
tes
de funciones: funciones escalonadas, funciones continuas y funciones monó­
tonas. Sin embargo,
se verá también que hay funciones que no son Riemann
integrables. El teorema fundamental del cálculo
es el resultado principal de la sec­
ción 7.3. Se presentará en una forma un poco más general de
lo acostumbrado y
no requiere que la función sea una derivada en cada punto del intervalo. Se pre­
sentan asimismo varias consecuencias importantes del teorema fundamental. En
la sección 7.3 se ofrece también un enunciado del decisivo criterio
de Lebesgue
para la integrabilidad de Riemann. N o es común presentar este famoso resultado
en libros
de este nivel, ya que su demostración (incluida en el apéndice C) es un
tanto complicada. Sin embargo, su enunciación está dentro del alcance
de los estu­
diantes, quienes entenderán también el poder de este resultado. En la sección final
se presentan varios métodos para aproximar integrales, un tema que ha adquirido
importancia creciente durante esta era
de las computadoras de alta velocidad. Aun
cuando las demostraciones
de estos resultados no son particularmente complica­
dos, se posponen hasta el apéndice
D.
Una interesante historia de la teoría de la integración, que incluye un capítulo
sobre la integral de Riemann,
se presenta en el libro de Hawkins citado en la
bibliografía.
Se sigue el procedimiento usado comúnmente en los cursos de cálculo y
se define
la integral de Riemann como una clase de límite
de las sumas de Riemann cuan­
do la norma
de las particiones tiende a cero. Puesto que se supone que el lector se

250. 7.1 La integral de Riemann

encuentra familiarizado -al menos informalmente-con la por un curso de
cálculo no se proporciona una motivación de la ni se discute su
interpretación como el "área bajo la gráfica" ni sus múltiples aplicaciones en fisi­
ca, ingeniería, etc.
En vez de la atención se centra en los aspectos
puramente matemáticos de la integral.
Sin embargo, se recordarán primero algunos términos básicos que se usarán
con frecuencia.
Particiones y
Si I:= [a, b] es un intervalo acotado cerrado en IR, entonces una de 1 es
un conjunto finito ordenado
P := (xo, Xl, ... , X
n-¡, x
n
)
de puntos en 1 tales que
(Véase
la figura 7.1.1.) Los puntos de P se usan para dividir I = [a, b] en los subin­
tervalos no traslapados
a=xo Xl x2
Figura 7.1.1 Una partición de [a, b].
Con frecuencia se denotará la partición P por la notación P = {[xi-b xi]}?=¡. Se
define la
norma (o retícula) de P como el número
(1)
Así, la norma de una partición es tan sólo la longitud del subintervalo más gran­
de en que la partición divide a
[a, b]. Evidentemente, muchas particiones tienen la
misma norma, por
10 que la partición no es una función de la norma.
Si se ha seleccionado un punto
ti de cada sub intervalo Ii = [Xi-l, x¡], para i = 1,
2, ... , n, entonces a los puntos se les llama las eti.quetas de los subintervalos Ji.
A un conjunto de pares ordenados
de subintervalos y las etiquetas correspondientes se le llama
partición etiqueta­
da de J; veáse la figura 7.1.2. (El punto sobre la P indica que se ha elegido una
etiqueta para cada subintervalo.) Las etiquetas pueden elegirse de manera total­
mente arbitraria; por ejemplo, puede elegirse que las etiquetas sean los puntos ter­
minales izquierdos, los puntos terminales derechos o los puntos medios de los
subintervalos, etc. Adviértase que un punto terminal de
un subintervalo puede
usarse como etiqueta para dos sub intervalos consecutivos. Puesto que hay un

251. Capítulo 7 La integr'al de Riemann
número infinito de maneras para cada un número infi-
nito de maneras en que puede etiquetarse cada La nOffi1a de lilla parti-
ción etiquetada
se define como en el caso de una partición ordinaria y no depende
de la elección
de las etiquetas.
7.1.2 Una partición etiquetada de [a, b].
Si P es la partición etiquetada dada arriba, la suma de Riemann de una fun­
ción f: [a, b] ---¿ IR correspondiente a P se define como el número
n
S(f;P) (2)
i=!
También se usará esta notación cuando P denote un subconjunto de una partición
y no la partición completa.
El lector
se percatará de que si la función f es positiva en [a, b], entonces la
suma de Riemann (2) es la suma de las áreas de n rectángulos cuyas bases son los
subintervalos I¡ = [x¡_¡, x¡] y cuyas alturas sonf(tD. (Véase la figura 7.l.3.)
Figura 7.1.3 Una suma de Riemann.

252. 1
La integ¡-al de Riemann
7.
Definición de la
Se define ahora la
HH'~F,'~. de Riemann de una A~ •• ~,vu
un intervalo b J.
7.1.1 Definición Se dice que lilla funciónf: [a, b] ~ :IR es lliemarm
ble b] si existe un número L E IR. tal que para toda E > O existe Oc > O tal que
partición etiquetada de
[a, b] con Ilpll < entonces
El conjunto
de todas las funciones Riemann integrables en [a, b] se denotará por
R[a, b).
Observación En ocasiones se dice que la integral L es "el límite" de las sumas
de Riemann
S(f; p) cuando la norma IIPII ~ O. Sin embargo, ya que S(f; p) no
es una función de IIPII, este límite no es del tipo que se ha venido considerando.
Primero se demostrará que
sifE R[a, b], entonces el número L se encuen-
tra determinado de manera única. Se le llamará
la de lliemann
[a, b]. En lugar de L, por lo general se escribirá
f(x)dx.
Deberá entenderse que puede usarse cualquier otra letra en vez de x en la última
expresión, en tanto esto no cause ninguna ambigüedad.
7.1.2 Teorema
Si fE R[a, b], entonces el valor de la integral se encuentra
determinado de manera única.
Demostración. Suponer que tanto L' como L" satisfacen la definición y sea E> O.
Entonces existe O~/2 > O tal que si PI es cualquier partición etiquetada con IIPIII <
o~/Z, entonces
También existe
O~/2 > O tal que si P2 es cualquier partición etiquetada con IIP
2
11 <
b~j2, entonces
Ahora sea
be := mín{ b~/2' o~/z} > O ~ sea P una partición etiquetada con IIp 11 <
De' Puesto que tanto IIP 11 < D~/2 y IIp 11 < D~/2' entonces
IS(f;P) - L'I < E/2 Y IS(f;P) - L"I < E/2,

253. Capítulo 7 La integral de Riemann
de por la '"'"'-""Ml""""''"'" del triángulo, se sigue que
IL' -L"I = IL'-S(f;P) +S(f;P) -L"I
:o;.IL' -S(f;P) 1+ IS(f;p) -L" I
< El2 + E/2 =
Puesto que E> O es arbitraria, se sigue que L' = L". Q.E.D.
Si sólo se usa la definición para demostrar que una funciónfes Riemann integra­
ble es necesario: (i) conocer
(o conjeturar correctamente) el valor L de la integral,
y (ii) construir una 8
8
que sea suficiente para una E > O arbitraria. La determina­
ción de
L se hace en ocasiones calculando las sumas de Riemann y conjeturando
cuál debe ser
L. Es probable que la determinación de 8
8
resulte complicada.
En la práctica, por lo general se demuestra que
f E R[ a, b] haciendo uso de
algunos de los teoremas que se presentarán más adelante.
7.1.3 Ejemplos a) Toda función constante en
[a, b] está en R[a, b].
Seaf(x) := k para toda x E [a, b]. Si P := {([Xi-l, x¡], tim~1 es cualquier parti­
ción etiquetada de
[a, b], entonces es evidente que
n
S(f;P) = -Xi_1)=k(b-a).
i=l
En consecuencia, para cualquier E > O puede elegirse 8
E
:= 1, de tal modo que si
IIP II < 8
E
, entonces
Puesto que
E> O es arbitraria, se concluye que f E R[ a, b] y Lb f = k(b -a).
b) Sea que g : [0,3] -7 R esté definida por g(x) := 2 para O :o; x :o; 1 Y por g(x) :=
3 para 1 < x:O; 3. Una investigación preliminar, basada en la gráfica de g (véase la
figura 7.1.4), sugiere que cabría esperar que
¡; g = 8.
3
2
.... --_
Figura 7.1.4 Gráfica de g.

254. '.1 La integral de Riemann
Sea P una partición etiquetada de [O, 3] con nonna < 8; se indicará cómo deter­
minar (\a fin de asegurar que IS(g; P) -81 < lO. Sea PI el subconjunto de P que tiene
sus etiqu'etas
en [O, 1], donde g(x) == 2, Y sea P
2 el subconjunto de P con sus eti­
quetas en
(1, 3], donde g(x) == 3. Es obvio que se tiene
.
. .
S(g;P) == S(g;p¡) + S(g;P
2
).
(3)
Puesto que
11 pll < 8, si u E [O, 1 -8J y U E [X¡_l' x;], entonces x¡_] :'S: 1-8 de tal
modo que x¡ < x¡_] + 8:'S: 1, de donde la etiqueta t¡ E [O, 1]. Por lo tanto, el inter­
valo
[O, 1 -8J está contenido en la unión de todos los subintervalos en P con
etiquetas
t¡ E [O, 1]. Del mismo modo, esta unión está contenida en [O, 1 + S].
(¿Por qué?) Puesto que g(t¡) == 2 para estas etiquetas, se tiene
2(1-8):'S: S(g;p]):'S: 2(1 + 8).
Con un razonamiento similar, se establece que la unión de todos los subintervalos
con etiquetas
ti E (1,3] contiene el intervalo [1 + 8, 3] de longitud 2 - 8, y que
está contenida en
[1 -8, 3] de longitud 2 + 8. Por lo tanto,
3(2 -8):'S: S(g;P
2
):'S: 3(2 + 8).
Sumando estas desigualdades y usando la ecuación (3), se tiene
de donde se sigue que
jS(g; P)-81:'S: 58.
Para que este ténnino final sea menor que E es necesario tomar 8
e < E/S.
Al hacer esta elección (por ejemplo, si se toma 8
e :== dIO), el razonamiento
puede seguirse en sentido inverso y ver que IS(g; p) -81 < E cuando 11 pll < 8
e
.
Puesto que E> ° es arbitraria, se ha demostrado que g E R[O, 3] Y que J; g == 8,
como se había anticipado.
e)
Sea h(x) :== x para x E [O, 1]; se demostrará que h E R[O, 1].
Se recurre a
un "truco" que pennitirá conjeturar el valor del intervalo consi­
derando
una elección particular de los puntos de las etiquetas. De hecho, si {l¡} 7=1
es cualquier partición de [O, 1] Y se elige la etiqueta del intervalo li = [Xi-I, Xi]
como el punto medio q¡ :==~(Xi-l +x¡), entonces la contribución de este ténnino a
la suma de Riemann correspondiente a la partición etiquetada Q := {(li' q¡) }7=1 es

255. Capítulo 7 La integral de Riemann
Si se suman estos términos y se advierte que la suma es se obtiene
S(h;Q)==
i=1
Ahora, sea P :== {(Ji, t
i)}7=1 una partición etiquetada arbitraria de [O, 1] con
¡IPII < 8, de modo que xi-xi-l < 8 para i == 1, ... , n. Sea asimismo que Q tenga
los mismos puntos de partición, pero donde se elige que la etiqueta
qi sea el punto
medio del intervalo
h Puesto que tanto ti como q ¡ pertenecen a este intervalo, se
tiene
¡ -qi < (j. Aplicando la desigualdad del triángulo, se deduce que
i=1 i=1
n n
i=1 i=1
Puesto que S(h; Q) ==~, se infiere que si P es cualquier partición etiquetada con
IIPII < 8, entonces
IS(h; P)-~I < 8.
Por lo tanto, es necesario tomar 8
E
:S; E. Si se elige 8
E
:== E, el razonamiento puede
seguirse en sentido inverso para concluir que
h E R[O, 1] Y Jo
1
h == 10 dx == t.
d) Sea F(x) :== 1 para x == t, ~, t, 4, y F(x) :== ° en cualquier otro punto de [O, 1].
Se demostrará que
F E R[O, 1] Y que 10
1
F == O.
En este caso hay cuatro puntos donde F no es O, cada uno de los cuales perte­
nece a dos subintervalos en una partición etiquetada
P dada. Sólo estos términos
tendrán una contribución diferente de cero a
S(F; P). Por tanto, se elige 8
E := E/8.
Si Ilpl! < 8
E
, sea P o el subconjunto de P con etiquetas diferentes de t, ~, 1, 4,
y Piel subconjunto de P con etiquetas en esos puntos. Puesto que S(F; Po) == O,
se observa que S(F; P) == S(F; Po) + S(F; P 1) == S(F; PI). Puesto que haya lo sumo
ocho términos en S
(F; P 1) Y cada término es < 1 . 8
E
,
se concluye que O :s; S (F; P)
== S(F; P 1) < 88
E == E. Por tanto, F E R[O, 1] Y 10
1
F == O.
e) Sea G(x) :== l/n para x == l/n (n E N) Y G(x) :== O en cualquier otro punto de [O, 1].
Daaa E> O, sea EE el conjunto (finito) de puntos donde G(x) ~ E, sea n
E el
número de puntos en EE y sea 8
E
:== E/(2nE). Sea P una partición etiquetada tal que
IIPII < 8
E
•
Sea Po el subconjunto de P con etiquetas fuera de EE y sea PI el sub­
conjunto de
Pcon etiquetas enE
E
•
Como en el inciso d), se tiene
Puesto que
E> O es arbitraria, se concluye que G E R[O, 1] y 10
1
G == o. O

256. 7.1 La integral de Riemann
presentes al determinar el valor de la integral y de 8
E
sería de gran utilidad contar con algunos teoremas generales. El primer ~""UH'<UV
en esta dirección permite formar ciertas combinaciones algebraicas de funciones
integrables.
7.1.4 Teorema Suponer que fy g están en R[a, b]. Entonces:
a) Si k E IR, lafunción kf está en R[a, b] y
kf= k
b)
Lafunción f + g está en R[a, b] y
(f + g)
f·
b
f+
e) Si f(x) ::; g(x) para toda x E [a, b], entonces
f::; g.
g.
Demostración. Si P = {([X¡-l, x¡], t¡)}:'=l es una partición etiquetada de [a, b],
entonces es un ejercicio sencillo demostrar que
. . . . .
S (kf; P) = kS(f; P), S(f + g; P) = S(f; P) + S(g; P),
. .
S(f; P) ::; S(g; P).
Se le deja al lector demostrar que la afirmación del inciso a) se sigue de la pri­
mera igualdad. En calidad de ejemplo, se completarán las demostraciones de los
incisos b) Y c).
Dada E. > O, puede recurrirse al razonamiento usado en la demostración del
teorema de unicidad 7.1.2
para construir un número 8
s
> O tal que si P es cual­
quier partición etiquetada con
Ilpll < 8
s
, entonces
Para establecer el inciso b), se observa que
S(f+g;P)-(ibf+i
b
g) = S(f;P)+S(g;P)-f-g
~ IsU; p) -lb fI+lS(g; p) -gl
< E.l2 + E./2 = E..

257. Capítulo 7 La integral de Riemann
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye que f + g E R[ a, b] Y que su HW~M"<H
es la suma de las integrales de f y g.
Para establecer el inciso c), se observa que la desigualdad del triángulo aplica­
da a (4) implica
f -E/2 < S(f; P) y S(g; P) < g + E/2.
Si se usa el hecho de que SU; p) ::; S(g; p), se tiene
g+ E.
Pero, ya que E> O es arbitraria, se concluye que J: f ::; J
a
b
g. Q.E.D.
Teorema de acotabilidad __________________ _
Se demuestra a continuación que una función no acotada no puede ser Riemann
integrable.
7.1.5 Teorema Si fE R[a, b], entonces f está acotada en [a, b].
Demostración. Suponer que f es una función no acotada en R[ a, b] con integral
L. Entonces existe 8 > O tal que si P es cualquier partición etiquetada de [a, b]
con Ilpll < 8, entonces se tiene ISU; p) -LI < 1, lo cual implica que
(5)
Ahora, sea
Q = {[Xi-l' Xi]}~=l una partición de [a, b] con 11 Q 11 < 8. Puesto que Ifl
no está acotada en [a, b], entonces existe al menos un subintervalo en Q, digamos
[xk-¡' x¡J, donde Ifl no está acotada -pues si Ifl está acotada en todo sub intervalo
[Xi-l' x¡] por Mi' entonces está acotada en [a, b] por máx{M
l
,
.. " M
n
}.
Se escogerán ahora etiquetas para Q que llevarán a una contradicción en (5).
Se etiqueta
Q por ti := Xi para i =/= k y se escoge tk E [Xk_¡' x¡J tal que
,n
! f(tk)(xk -Xk-l)! > IL 1 + 1 + :¿f(t¡)(X ¡ -X¡_l)!'
¡#c
Por la desigualdad del triángulo (en la forma lA + BI :2: IAI -lB!), se tiene
n
IS (f; Q) I :2: I f(tk)(xk -Xk-l)l-:¿f(t¡)(x¡ -x¡-l) > I L 1+ 1,
(tk
que contradice (5). Q.E.D.

258. 7.1 La integral de Riemann
Se concluye sección con un ejemplo de una función que es discontinua en
todo número racional y no es monótona, pero que, no obstante, es Riemann inte­
grable.
7.1.6 Se considera la función de Thomae
h : [O, 1] -¿ lR U'-".llBU,",
en el 5.1.5h, por := ° si x E [O, 1] es irracional,
h(x) := l/n si x E [O, 1] es el n:mlero racional x = m/n, donde m, n E N no tienen
factores enteros comunes excepto
l. En el ejemplo 5 .1.5h se vio que h es continua
en todo número irracional y que es discontinua en todo número racional en
[O,
Se demostrará ahora que h E R[O, 1).
Sea
E> O; entonces el conjunto E,,:= {x E [O, 1] : h(x):2: E/2} es un
finito. Se hace que
n" sea el número de elementos en E" y sea O" := E/(4n,,). Si P
es una partición etiquetada con Ilpll < o"' sea p¡ el subconjunto de ]:Y que tiene eti­
quetas en
E" y sea P
2 el subconjunto de P que tiene etiquetas en cualquier otro
punto de
[O, 1]. Se observa que p¡ tiene a lo sumo 2n" intervalos cuya longitud
total es
< 2ni;" = lO/2 Y que ° < h(t,) :; 1 para cada etiqueta en PI' La longitud total
de los subintervalos en
P
2 también es :; 1 Y h(t
i
) < E/2 para toda etiqueta en P
2
.
Se
tiene, por lo tanto,
Puesto que
E> O es arbitraria, se infiere que h E R[O, 1] con integral O. O
Ejercicios de la sección 7.1
1. Si 1:= [O, 4], calcular las normas de las siguientes particiones:
a) P
I
:= (O, 1,2,4), b) P
2
:= (O, 2, 3, 4),
c) P
3
:= (0, 1, 1.5,2,3.4,4), d) P
4
:= (O, .5,2.5, 3.5, 4).
2. Sif(x) := x2 para x E [0,4], calcular las siguientes sumas de Riemann, donde Pi tiene
los mismos puntos de partición que
en el ejercicio 1 y las etiquetas se seleccionan como
se indica.
a)
PI con las etiquetas en los puntos terminales izquierdos de los subintervalos.
b) PI con las etiquetas en los puntos terminales derechos de los subintervalos.
c)
P
2
con las etiquetas en los puntos terminales izquierdos de los subintervalos.
d)
P
2
con las etiquetas en los puntos terminales derechos de los subintervalos.
3. Demostrar
quef: [a, b]-.¿ R es Riemann integrable en [a, b] si y sólo si existe LE R
tal que
para toda E > ° existe OE> ° tal que, si P es cualquier partición etiquetada con
norma IIPII ~ 0
8
, entonces [S(/; p) -L[ ~ E.
4. Sea P una partición etiquetada de [O, 3].
a) Demostrar que la unión
U¡ de todos los subintervalos en P con etiquetas en [O, 1]
satisface [O, 1 -Ilpll] s U
I s [O, 1 + Ilpll].

259. Capítulo 7 La integral de Riemann
b) Demostrar que la unión
U
2
de todos los subintervalos en P con etiquetas en [1, 2]
satisface
[1 + !!P!!, 2 -!!P!!] C;;; U2 C;;; [1 -!!P!!, 2 + !!P!!].
5. Sea,1':= {(Ji, ti)}7=¡ una partición etiquetada de [a, b] y sea C¡ < C2.
a) Si u pertenece a un subintervalo Ii cuya etiqueta satisface Cl ::; ti ::; C2, demostrar
que
C¡ -!!p!! ::; u::; C2 + !!p!!.
b) Si v E [a, b] y satisface C¡ + !!P!! ::; v ::; C2 -!!p!!, entonces la etiqueta ti de cual­
quier subintervalo
Ii que contiene a v satisface ti E [c¡, c2].
6. a) Sea f(x) := 2 si ° ::; x < 1 Y f(x) := 1 si 1 ::; x ::; 2. Demostrar que f E R[O, 2] yeva­
luar su integraL
b) Sea
h(x) := 2 si ° ::; x < 1, h(l) := 3 y h(x) := 1 si 1 < x::; 2. Demostrar que hE
R[O, 2] y evaluar su integraL
7. Utilizar inducción matemática y el teorema
7.104 para demostrar que sif¡, .. ·,1,1 están
en
R[ a, b] y si k
l
,
... , k
n
E Jl{, entonces la combinación lineal f = I,7=1 k¡j¡ pertenece
f
b
fb .
a R[a, b] y al = I,7=1 ki a Ji.
8. SifE R[a, b] y I f(x) I ::;Mpara toda x E [a, b], demostrar que II:fl ::;M(b -a).
9. SifE R[a, b] y si (7\es cualquier sucesión de particiones etiquetadas de [a, b] tal que
!! P
n!! --70, mostrar que J: f = lím
n S(f; 7\
10. Sea g(x) := ° si x E [O, 1] es racional y g(x) := l/x si x E [O, 1] es irracional. Explicar
por qué g E R[O, 1]. Sin embargo, demostrar que existe una sucesión (P
n
)
de particio­
nes etiquetadas de
[a, b] tal que !!P
n !! --7 ° Y lím
n S(g; 1'/1) existe.
11. Suponer que
f está acotada en [a, b] y que existen dos sucesiones de particiones eti­
quetadas de
[a, b] tales que !!Pn!! --7 ° y!! Qn !!--7 0, pero tales que lím
n S(f; Pn) *­
lím
n S(f; Qn). Demostrar quefno está en R[a, b].
12. Considerar la función de Dirichlet, introducida en el ejemplo 5.1.5g, definida por
f(x) := 1 para x E [O, 1] racional y f(x) := ° para x E [O, 1] irracional. Usar el ejercicio
precedente
para deIP0strar que f no es Riemann integrable en [O, 1].
13.
Suponer que f: [a, b] --7 Jl{ Y que f(x) = ° excepto para un número finito de puntos
c¡,
... , C
n
en [a, b]. Demostrar quef E R[a, b] y que J: f= O.
14. Si g E R[a, b] y sif(x) = g(x) excepto para un número finito de puntos en [a, b], demos­
trar que
fE R[ a, b] y que J: f = J: g.
15. Suponer que C
::; d son puntos en [a, b]. Si ({J : [a, b] --7 Jl{ satisface ({J (x) = o:: > ° para
x E [c, d] Y ({J (x) = ° en cualquier otro punto de [a, b], demostrar que ({J E R[a, b] y
que
J: ({J = o::(d -c). [Sugerencia: dada E> 0, sea bE := E/40::, asimismo demostrar que
si
!!p!! < bE entonces se tiene o:: (d -C -2bE)::; S(({J; p)::; o:: (d -C + 2bE).]
16. Sea O::; a < b, sea Q(x) :=x
2
para x E [a, b] y sea P:= {[Xi_], Xi]}f=¡ una partición de
[a, b]. Para toda i, sea qi la raíz cuadrada positiva de

260. 7.2 Funciones Riemann integrables "
a) Demostrar que qi satisface O ::; X¡_l ::; q¡ ::; Xi·
b) Demostrar que Q(q¡)(xi - xi-]) = t (xi -xt-l)·
c) Si 12 es la partición etiquetada con los mismos subintervalos que P y las mismas
etiquetas
q¡, demostrar que S(Q; 12) =1, (b
3
-
a
3
).
o
d) Usar el razonamiento del ejemplo 7.1.3c para demostrar que Q ER[a, b] y
17. Sean O::; a < b Y m E N, sea M(x) := xm para x E [a, b] y sea P:= {[xi-l, x¡]}]=l una
partición de
[a, b]. Para toda i, sea q¡ la m-ésima raíz positiva de
a) Demostrar que q¡ satisface O ::; xi-] ::; qi ::; Xi.
b) Demostrar que M(q)(x
i
-x¡_1) = ~I (x!n+1 - x~il).
m+
c) Si 12 es la partición etiquetada con los mismos subintervalos que P y las mismas
. 1
etiquetas qi' demostrar que S (M; Q) = --(b m+1 -a 111+1).
m +1
d) Utilizar el razonamiento dado del ejemplo 7.1.3c para demostrar que M E R[a, b]
y que
l
b
lb 1
M = xm dx = --(b
m
+
l
-
a
m+
l
).
a a m + 1
18. Sif E R[a, b] ye E R, se define g en [a + e, b + el por g(y) :=f(y -e). Demostrar que
g
E R[ a + e, b + e] y que L~:C g = 1: f La nmción g se llama la traslación-e de f
Se empieza con la demostración del importante criterio de Cauchy. Se demuestra
después el teorema
de compresión, que se usará para establecer la integrabilidad
de Riemann
de varias clases de funciones (funciones escalonadas, funciones con­
tinuas y funciones monótonas). Por último, se establece el teorema de aditividad.
Se señaló ya que el uso directo de
la definición requiere conocer el valor de la
integral. El criterio de Cauchy elimina esta necesidad, pero con el costo de consi­
derar dos sumas
de Riemann en vez de una.
7.2.1 Criterio de ümchy Una función f: [a, b] ---7 Rpertenece a R[a, b] si y
sólo si para toda E > O existe 118 > O tal que si P y º son particiones etiquetadas
cualesquiera de
[a, b] con IIPII < 11EY 11 Q 11 < 11
8
, entonces

261. Capítulo 7 La integral de Riemann
Demostración. (=?) SifE R[a, b] con integral sea 1]1::= (j1:/2 > ° tal que siP,
Q son particiones etiquetadas tales que IIPII < 1]f y 11 Q 11 < 1]f, entonces
Se tiene, por tanto,
¡S(f; P) -S(f; Q)¡::; ¡S(f; P) -L + L -S(f; én¡
::; IS(f; P) -L 1 +IL -S(f; Q)¡
< e/2+ e/2 = e.
(<=) Para toda n EN, sea 8
n > ° tal que si P y Q son particiones etiquetadas
con nonnas
< 8
n
,
entonces
¡S(f; P) -S(f; Q)¡ < lIn.
Evidentemente, se puede suponer que 8
n
;::: 8
n
+
1
para n E N; de lo contrario, se
reemplaza
8
n
por 8~ := mín{ 8
1
,
... , 8
n
}.
Para toda n E N, sea P
n una partición etiquetada con IIP
n
11 < 811" Desde luego,
si
m > n entonces tanto P
I11
como P
n
tienen normas < 8
m
de modo que
(1)
Por consiguiente, la sucesión (S(f; P
I11»)';:=l es una sucesión de Cauchy en lR. Por
tanto, por el teorema 3.5.5, esta sucesión converge en
IR y entonces se hace A :=
lím
I11S(f; P
n
,).
Al pasar al límite en (1) cuando m ~ 00, se tiene
Para ver que
A es una integral de Riemann de f, dada e> 0, sea K E N que satis­
face
K> 2/e. Si Q es cualquier partición etiquetada con 11 Q 11 < 8
K
,
entonces
¡S(f; Q)-A ¡::; ¡S(f; Q) -S(f; P
K
) 1+1 S(f; P
K
) -A ¡
::; l/K + l/K < e.
Puesto que e > O es arbitraria, entonces f E R[ a, b] con integral A. Q.E.D.
Se presentan a continuación dos ejemplos sobre la utilización del criterio de
Cauchy.

262. 7.2 Funciones Riemann integrables "
7,2.2 a) Sea g : [O, 3] ---¿ IR;. la función considerada en el ejemplo
7.1.3b. En ese se vio que si
P e~ una partición etiquetada de [O, 3] con
norma
!!P!! < 8, entonces
8 -58 ~ S(g; P) ~ 8 + 58.
En consecuencia, si Q es otra partición etiquetada con 11 Q 11 < 8, entonces
8-58~S(g;P)~8+58.
Si se restan estas dos desigualdades, se obtiene
IS(g; P) -S(g;Q)1 ~ 108.
A fin de hacer este término final < E, es necesario emplear el criterio de Cauchy
con
1]E := E/20. (Se le dejan los detalles al lector.)
El criterio de Cauchy
puede utilizarse para demostrar que una función f:
[a, b] ---¿ IR;. no es Riemann integrable. Para ello, es necesario probar que: existe
Ea > ° tal que para cualquier 11 > ° existe en las particiones etiquetadas P y Q
con !IPII < 11 Y 11 Q 11 < 11 tales que IS(f; p) -S(f; (Q)J ;::: Ea·
Se aplicarán estas observaciones a la función de Dirichlet, considerada en 5.1.5 g,
definida
porf(x) := 1 si x E [0,1] es racional y porf(x) := ° si x E [0,1] es
irracional.
En este caso se toma
Ea :=~. Si P es cualqui~r partición cuyas etique~as son en
su totalidad números racionales, entonces
S(f; P) = 1, mientras que si Q es cual­
quier partición cuyas etiquetas son en su totalidad números irracionales, entonces
S(f; Q) = O. Puesto que es posible tomar estas particiones etiquetadas con normas
arbitrariamente pequeñas, se concluye que la función de Dirichlet
no es Riemann
integrable.
O
El teorema de compresión __________________ _
El siguiente resultado se usará para establecer la integrabilidad de Riemann de
algunas clases importantes de funciones.
7.2.3
Teorema de compresión Sea f: [a, b] ---¿ IR;.. Entonces fE R.[ a, b] si y sólo
si para toda
E > ° existen las funciones (XE y (OE en R.[ a, b] con
(2)
y tales que
(3)

263. Capítulo 7 La integral de Riemann
Demostración. (::::}) Se toma as = w
E
= f para toda E > O.
( <=) Sea E > O. Puesto que as y w
E pertenecen a R[ a, b], existe De > O tal que
si ]'Y es cualquier partición etiquetada con Ilpll < DE' entonces
De estas desigualdades se sigue que
Con base en la desigualdad (2), se tiene
Seas; p):; S(f; p):; S(W
s
; p), de donde
b b
a
E
-E<S(f;P)<
Si Q es otra partición etiquetada con 11 Q 11 < D
s
' entonces también se tiene
b lb
as-E<S(f;Q)< a Ws+E.
Si se restan estas dos desigualdades y se usa (3), se concluye que
Puesto que
E> O es arbitraria, el criterio de Cauchy implica que f E R[ a, b]. Q.E.D.
Clases de funciones Riemann integrables
El teorema de compresión suele usarse con respecto a la clase
de las funciones
escalonadas. Se recuerda de la definición 5.4.9 que una función
cp: [a, b] --7lR es
una función escalonada si tiene tan sólo un número finito de valores diferentes,
con cada valor siendo asumido en uno o más subintervalos de
[a, b]. Para ilustra­
ciones de funciones escalonadas, véanse las figuras 5.4.3 o 7.1.4.
7.2.4
Lema Si J es un subintervalo de [a, b] con puntos terminales c < d Y si
<PJ(x) := 1 para x E J Y <PJ(X) := O en cualquier otro punto en [a, b], entonces <PJ E
R[a, b] y f! <PJ = d -c.

264. 7.2 Funciones R'lemann integrables
Si J = [c, dl con c s d, se trata del ejercicio 7.1. 5 yes
elegir 8
E
:= Puede darse una demostración similar para los otros tres subiníer­
valos que tienen estos puntos terminales.
De manera se observa que
puede escribirse
lP[c,d) = lP[c,d] -1P[d,d]' lP(c,d] = lP[c,d] -1P[c,c] y lP(c,d) = lP[c,d) -1P[c,c]'
Puesto que J: lP[c,c] = 0, estas cuatro funciones tienen una integral igual a d -c.
Q.ED.
Es un hecho importante que toda función escalonada es Riemann integrable.
7.2.5 Teorema
Si <p : [a, b] ~.IR es unafimción escalonada, entonces <p E R[a, b].
Demostración. A las funciones escalonadas del tipo que aparece en 7.2.4 se les
llama "funciones escalonadas elementales".
En el ejercicio 5 se demuestra que
una función escalonada arbitraria q> puede expresarse como una combinación li­
neal de funciones escalonadas elementales:
m
IP= :I/,)IPJ/
(4)
)=1
donde ~ tiene puntos terminales c) <~. El lema del teorema 7.1.4a,b implica que
q> E R[a, b] y que
(5)
Q.E.D.
Se usa a continuación el teorema de compresión para demostrar que una nm­
ción continua arbitraria es Riemann integrable.
7.2.6
Teorema Si f: [a, b] ~ .IR es continua en [a, b], entonces fE R[ a, b J.
Demostración. Del teorema 5.4.3 se sigue que f es uniformemente continua en
[a, b]. Por lo tanto, dada e> ° existe 8
E> ° tal que si u, v E [a, bJ y lu -vi < 8E,
entonces se tiene If(u) -f(v)1 < e/(b -a).
Sea P = {(l;) }~I una partición tal que II pll < 8
E
, sea Ui E l¡ un punto donde
f alcanza su valor mínimo en li y sea V¡ E l¡ un punto donde f alcanza su valor
máximo
en l¡.
Sea a
E la función escalonada definida por aE(x) := f(u;) para x E [Xi-l> x¡} (i =
1, ... , n -1) Y aE(x) := f(u
n
)
para x E [X
n
-I> X
n
). Sea que mE esté definida del
mismo modo usando los puntos
V¡ en lugar de los puntos Ui' Se tiene entonces

265. Capítulo 7 La integral de Riemann
Además, es evidente que
o::;
Por lo tanto, del teorema de compresión se sigue quejE R[a, b). Q.E.D.
Las funciones monótonas no son necesariamente continuas en todo punto,
pero también son Riemann integrables.
7.2.7
Teorema Si f: [a, b) ~ lR es monótona en [a, b), entonces fE lR[a, b).
Demostración. Suponer que j es creciente en el intervalo [a, b), a < b. Si E> °
está dada, se hace que q E N sea tal que
h:== j(b)-j(a)
q
E
<--o
b-a
Sea Yk :== j(a) + kh para k == 0, 1; . " q y considerar los conjuntos Ak :== j-l([Yk_b
Yk]) para k == 1; . " q -1 Y Aq :== j-l([Yq_l' Yq)). Los conjuntos {Ak} son disjuntos
por pares y su unión es
[a, b]. El teorema de caracterización 2.5.1 implica que cada
Ak (i) es vacío, (ii) contiene un solo punto, o (iii) es un intervalo no degenerativo
(no necesariamente cerrado) en
[a, b]. Se descartan los conjuntos para los que se
cumple (i) y se renombran los restantes. Si se incluyen los puntos terminales de
los intervalos
{Ak} restantes, se obtienen los intervalos cerrados {h}. Es un ejer­
cicio demostrar que los intervalos renombrados
{AkH=l son disjuntos por pares,
que satisfacen
[a, b] == Uk=l Ak y que j(x) E [Yk-¡' Yk] para x E Ale
Se definen ahora las funciones escalonadas aE Y roE en [a, b) haciendo
Es evidente que
a
E
(,,) ::; j(x) ::; roix) para toda x E [a, b] y que
lb (roe -aE) == i (Yk - Yk-l) (xk -xk-l)
k=l
q
== Lh'(Xk -xk-l)== h ·(b-a) < E.
k=l
Puesto que E> ° es arbitraria, el teorema de compresión implica que j E R[ a, b).
Q.E.D.

266. 7.2 Funciones Riemann integrables
El teo.rema de aditividad __ ~~ __ . _____ ~~ __ ~. _~. __ ._
Se vuelve ahora a las funciones Riemann arbitrarias. El siguiente
resultado establece que la integral es una "función aditiva" del intervalo donde se
integra la función. Esta propiedad no es ninguna sorpresa, pero su demostración
es un tanto
y omitirse en una primera lectura.
7.2.8 Teo.rema de adit.ividad
Sea f: [a, b] -7 lR Y sea e E (a, b). Entonces f E
R( a, b) si y sólo si sus restricciones a [a, e] y [e, b] son ambas Riemann integra­
bles. En este caso,
b
j== j+ f.
(6)
Demostración. (<=) Suponer que la restricciónfi deja [a, e] y la restrieeiónf2
defa [e, b] son Riemann integrables a LI y L
2
, respectivamente. Entonces, dada
e> O existe 8' > O tal que si PI es una partición etiquetada de [a, e] con IIPIII < 8',
entonces IS(/¡; PI) -LII < e/3. También existe 8" > O tal que si P
2 es una parti­
ción etiquetada de
[e, b] con IIP
211 < 8" entonces IS(f2; P
2
) -L
21 < e/3. Si M es
una cota de
Ifl, se define 8
c
:== mín{ 8', 8", e/6M} y sea P una partición etiqueta­
da de
[a, b] con 11 Q 11 < 8. Se demostrará que
(7)
(i) Si e es un punto de partición de
Q, se divide Q en una partición QI de [a, e]
y una partición Q2 de [e, b]. Puesto que S(f; Q) == S(f; QI) + S(f; Q2), y ya que
QI tiene norma < 8' Y Q2 tiene norma < 8", la desigualdad (7) es clara.
(ii) Si e no es un
punto de partición en Q == {(lk' t,J }~I, existe k ::;; m tal que
e
E (Xk-I, X,J. Se hace que QI sea la partición etiquetada de [a, e] definida por
y que Q2 sea la partición etiquetada de [e, b] definida por
Un cálculo directo indica que
S(f; QJ -S(f; QI) -S(f; (2) == j(t k)(xk -x
k
_
l
) -
f(c )(x
k
-x k
_
1
)
==(f(t
k
)-f(c»·(xk -x
k
-
1
),

267. Capítulo 7 La integral de Riemann
de donde se sigue que
Pero como
11 Q¡ 11 < 8 ~ 8' Y 11 Q2 11 < 8 ~ 8", se sigue que
de donde se obtiene
(7). Puesto que E > O es arbitraria, se infiere que f E R[a, b]
Y que se cumple (6).
(==?) Se supone que f E R[ a, b) y, dada E> 0, se hace que 118> ° satisfaga el cri­
terio de Cauchy
7.2.1. Seaf¡ la restricción defa [a, e] y sean 7\, Q¡ particiones
etiquetadas de
[a, e] con IIP¡II < 118 Y 11 Ql 11 < 118' Al agregar puntos de partición
y etiquetas adicionales de
[e, b), p¡ y Q¡ pueden ampliarse a particiones etiqueta-
das
P y Q de [a, b] que satisfacen 11 P 11 < 118 Y 11 Q 11 < 118' Si se utilizan los
mismos puntos y las etiquetas adicionales en [e, b] tanto para P como para Q,
entonces
Puesto que
tantoP como Q tienen norma < 11E' entonces ¡S(Ji; PI) -SUj; Q¡)¡ < E.
Por lo tanto, la condición de Cauchy establece que la restricción Ji de f a [a, e]
está en R[a, e). Del mismo modo, se observa que la restricción i2 de f a [e, b] está
en
R[c, d).
La igualdad (6) se sigue ahora de la primera parte del teorema. Q.E.D.
7.2.9 Corolario Si fE R[a, b], y si [c, d] ~ [a, b], entonces la restricción de fa
[c, d] está en R[ c, d].
Demostración. Puesto que fE R[a, b) y e E [a, b), del teorema se sigue que su
restricción a
[e, b) está en R[c, b). Pero si d E [e, b], entonces otra aplicación del
teorema establece que
la restricción defa [e, d) está en R[c, d). Q.E.D.
7.2.10 Corolario Si fE R[a, b] y si a = Co < c¡ < ... < cm = b, entonces las res­
tricciones de
f a cada uno de los subintervalos [c¡_¡, c¡] son Riemann integra­
bles y
Hasta este punto se ha considerado la integral de Riemann en un intervalo
[a, b] donde a < b. Es conveniente tener la integral definida en términos más gene­
rales.

268. 7.2 Funciones Riemann int¿rables
7.2.11 Definición E R[a, b] y si a, {3 E [a, b] con a < {3, se definen
/3 a
j:= j y j:= O.
7.2.12 Teorema Si f E R[a, b] y si a, ~,y son números reales cualesquiera en
[a, b], entonces
y
j= j j, (8)
en el sentido de que la existencia de cualesquiera dos de estas integrales implica
la existencia de la tercera integral y la igualdad (8).
Demostración.
Si cualesquiera dos de los números a, {3, y son iguales, entonces
(8) se cumple. Por tanto, puede suponerse que los tres números son diferentes.
Por consideraciones de simetría, se introduce la expresión
L(a,{3,y):= 1/3 j+ + j.
Es claro que (8) se cumple si y sólo si Le a, {3, y) = O. Por lo tanto, para establecer
la afirmación, es necesario demostrar que
L = O para las seis permutaciones de los
argumentos
a, {3 y r
Se observa que el teorema de aditividad 7.2.8 implica que L(a, {3, y) = O cuan­
do
a < y < {3. Pero es sencillo ver que tanto L({3, y, a) como L( y, a, 13) son iguales
a
L( a, 13, y). Además, los números
L(j3,a,y), L(a,y,j3), y L(y,j3,a)
son todos iguales a -L( a, 13, y). Por lo tanto, L se anula para todas las posibles con­
figuraciones de estos tres puntos.
Q.E.D.
Ejercicios de la sección 7.2
1. Sea f: [a, b] ---7 IR. Demostrar que f É R[ al b] si. y sólo si existe EO > O tal que para toda
n
E N existen las particiones etiquetadas P n y Qn con Ilpn
11 < l/n y 11 Qn 11 < l/n tales
que
IS([; Pn) -S(f; Qn)l;: Eo·
2. Considerar la función h definida por h(x) := x + 1 para x E [O, 1] racional y h(x) := O
para
x E [O, 1] irracional. Demostrar que h no es Riemann integrable.
3. Sea
H(x) := k para x = l/k (k E N) Y H(x) := O en cualquier otro punto de [O, 1]. Usar
el ejercicio
1, o el razonamiento empleado en 7.2.2b, para demostrar que H no es
Riemann integrable.

269. Si a(x) :== -x y OJ(.,y) :== x, y si a(x) "Ó,f(.,y) "ó,
compresión 7.2.3 se sigue que fE R[O, 1]7
Capítulo 7 La integral de Riemann
para toda x E [O, 1], ¿del teorema de
5. Si
J es cualquier subintervalo de [a, b] Y si CfJJ(x) :== 1 para x E J Y CfJAx) :== O en cual­
quier otro punto de
[a, b], se dice que CfJJ es una función escalonada .elemental en
[a, b]. Demostrar que toda fu~ción escalonada es una combinación lineal de funciones
escalonadas elementales.
6. Si
ljf: [a, b] -7 lR asume sólo un número finito de valores diferentes, ¿es ljfuna fimción
escalonada?
7. Si
SU; p) es cualquier suma de Riemann def: [a, b] -7lR, demostrar que existe una
función escalonada
CfJ: [a, b] -7 lR tal que J: CfJ == SU; p).
8. Suponer que fes continua en [a, b], que j(x) ¿ O para toda x E [a, b] y que J: f == O.
Demostrar que f(x) == O para toda x E [a, b].
9. Demostrar que la hipótesis de continuidad en el ejercicio precedente no puede omitirse.
10. Si f y g son continuas en [a, b] Y si J: f == .C g, demostrar que existe e E [a, b] tal que
f(e) == g(e).
11. Sifestá acotada por M en [a, b] y si la restricción defa cada intervalo [e, b] donde
e
E (a, b) es Riemann integrable, demostrar quef E R[a, b] y que ¡: f -7 J: fcuando
e -7 a+. [Sugerencia: sea ac(x) :== -M y OJc(x) :== M para x E [a, e) y ac(x) :== OJc (x) :==
f(x) para x E [e, b]. Aplicar el teorema de compresión 7.2.3 para e lo suficientemente
cerca de
a.]
12. Demostrar que g(x) :== sen (l/x) para x E (O, 1] Y g(O) :== O pertenece a R[O, 1].
13. Dar
un ejemplo de una fimciónf: [a, b] -7 lR que esté en R[e, b] para toda e E (a, b)
pero que no esté en R[ a, b].
14. Suponer que f: [a, b] -7 lR, que a == ca < el < ... < cm == b Y que las restricciones de f
a [ei-lo ca pertenecen a R[e¡_lo ca para i == 1,' .. , m. Demostrar quef E R[a, b] y que
se cumple la fórmula del corolario 7.2.10.
15. Si f está acotada y existe un conjunto finito E tal que f es continua en todo punto de
[a, b]\E, demostrar que fE R[a, b].
16. Sifes continua en [a, b], a < b, demostrar que existe e E [a, b] tal que se tiene J:f=
f(e) (b -a). Este resultado se llama el teorema del valor medio para integrales.
17. Sif y g son continuas en [a, b] y g(x) > O para toda x E [a, b], demostrar que existe
e
E [a, b] tal que J: fg == f(e) J: g. Demostrar que esta conclusión no se cumple si no
se tiene g(x) > O. (Adviértase que este resultado es una ampliación del ejercicio pre­
cedente.)
18. Sea
f continua en [a, b], sea f(x) ~ O para x E [a, b] Y sea M
n
:= (lb f"Y /n Demostrar
que
lím(M
n
)
= sup{f(.,y): x E [a, b]}.

270. 7.3 El teorema fundamental
19. Suponer que a > ° y quefE R.[-a, a].
a)
Sifes parCes decir, sif(-x) = fex;) para toda x E [O, aJ), demostrar que tJ = 2 faaf.
b) Sifes impar (es decir, sif(-x) = -f(x) para toda x E [0, aJ), demostrar que J~a f = O.
20. Suponer que f: [a, b 1 .....¿ lR Y que n E N. Sea P
n la partición de [a, b] en n subinterva­
los que tienen la misma longitud, de tal modo que
Xi := a + i(b -a)/n para i = 0, 1, .. " n.
Sea LIl(f) := S(f; Pn 1) Y Rn(f) := S(f; Pn r), donde ~11 tiene sus etiquetas en los pun­
tos terminales
izqui~rdos y P
n
r
tiene sus 'etiquetas en' los plmtos terminales derechos
de los subintervalos
[xi_lo x¡]. ,
a)
Sif es creciente en [a, b J, demostrar que L
I1
(f) ::; Rn(f) Y que
( )
(b-a)
O::; Rn(f)-L
n
(f)= f(b)-f(a) '--.
n
b) Demostrar que
f(a)(b -a) ::; Ln(f) ::; J: f::; Rn(f) ::;f(b)(b -a).
c)
Sif es decreciente en [a, b], obtener una desigualdad similar a la del inciso a).
d) Si
f E R.[ a, b J no es monótona, demostrar que Lb f no necesariamente está entre
Ln(f) Y R
I1(f).
21. Sifes continua en [-a, a], demostrar que J~a f(x
2
)dx = 2J;f(x
2
)dx.
22.
Sif es continua en [-1, 1], hay que demostrar que J;/2 f(eos x)dx = J;/2 f(sen x)dx =
! Jan: f(sen x)dx. [Sugerencia: examinar ciertas sumas de Riemann.]
Se explora a continuación la conexión entre las nociones de la derivada y la inte­
gral. De hecho, hay
dos teoremas que se relacionan con este problema: uno tiene
que ver con la integración de una derivada y el otro con la derivación
de una inte­
gral. Estos teoremas, tomados en conjunto, se llaman
el teorema fundamental del
cálculo. En términos generales, estos teoremas implican que las operaciones
de
derivación e integración son inversas entre sÍ. Sin embargo, hay algunos puntos
sutiles que no deberán pasarse por alto.
El teorema fundamental (primera forma)
La primera forma del teorema fundamental proporciona una base teórica del méto­
do para calcular una integral que el lector aprendió en cálculo. Afirma que si una
funciónf es la derivada de una función F, y que si f pertenece a R[ a, b J, entonces
la integral
1: f puede calcularse por medio de la evaluación F I~ := F(b) -F(a).
Una función F tal que F'(x) = f(x) para toda x E [a, bJ se denomina una antideri­
vada o una primitiva de f en [a, b]. Así, cuando f tiene una antiderivada, es muy
simple calcular su integral.
En la práctica, es conveniente permitir algunos puntos excepcionales e donde
F' (e) no existe en lB:. o donde no es igual afee). Resulta ser el caso que puede per­
mitirse un número
finito de tales puntos excepcionales.

271. Capítulo 7 La integral de Riemann
7.3.1 Teorema fundamental del cálculo que existe
un
E en [a, b] Y las fimciones f, F : [a, b] -» IR tales que:
a)
F es continua en [a, b],
F'(x) = f(x) para toda x E [a, b]\E,
c) f pertenece a R[ a, b].
Entonces se tiene
b
f=F(b)-F(a).
Demostración. Se demuestra el teorema en el caso en que E := {a, b}. El caso
general puede obtenerse descomponiendo el intervalo
en la unión de un número
finito de intervalos (véase el ejercicio 1).
Sea
E > O que está dada. Dado que f E R[ a, b] por el supuesto c), existe 0E > O
tal que si
P es cualquier partición etiquetada con Ilpll < DE' entonces
(2)
Si los subintervalos en
P son [X¡-b x¡], entonces el teorema del valor medio 6.2.4
aplicado a
F en [x¡_j, xi] implica que existe u¡ E (X¡-b x¡) tal que
Al sumar estos tém1Ínos se observa el efecto telescópico de la suma
y, usando el
hecho de que
F' (u¡) = f(u¡) , se obtiene
n
F(b)-F(a)= F(x¡)-F(x¡_1))= Lf(ui)(x¡ -x
i
_
1
).
i=1 i=1
Ahora, sea P u := {([Xi-j, xi], tli)} ~j, por lo que la suma de la derecha es igual a
S(f; p
u
)' Al sustituir F(b) -F(a) = S(f; p
u
)
en (2) se concluye que
Pero como
E > O es arbitraria, se infiere que la ecuación (1) se cumple. Q.E.D.
Observación Si la función F es derivable en todo punto de [a, b], entonces (por
el teorema 6.1.2) la hipótesis a) se satisface automáticamente.
Sifno está definida
en algún punto c E E, se tomaf(c) := O. Incluso cuando F es derivable en todo
punto de
[a, b], la condición c) no se satisface automáticamente, ya que existen
funciones
F tales que F' no es Riemann integrable. (Véase el ejemplo 7.3.2e.)

272. 7.3 El teorema fundamental
7.3.2 := t para toda x E [a, b], entonces
F' es continua y en consecuencia está en
um~u",~~~,m~ (con E = 0) que
b
x dx = b)-
1
= -(b
2
-
2
Si G(x) := al'ctan x para x E [a, b], entonces G'(x) = l/(x
2
+ ) para toda x E
[a, b]; G' también es continua y en consecuencia está en R[a, b]. Por lo tanto, el
teorema fundamental (con
E = 0) implica que
1
---dx = arctan b -arctan a.
x2 + l
e) SiA(x):=/x/paraxE [-1O,10],entoncesA'(x)=-lsixE [-lO,O)y
+ 1 si x E (O, 10]. Al recordar la definición de la función signo (en 4.1.1 Ob), se tiene
A'(x) = sgn(x) para toda x E [-10, 1O]\{0}. Puesto que la función signo es unafun­
ción escalonada, pertenece a R[ -10, 10]. Por lo tanto, el teorema fundamental
(con
E = {O}) implica que
sgn
(x) dx = A (lO) - A (-10) = 10 -10 = O.
Si H(x) := 2 -Yx para x E [O, b], entonces H es continua en [O, b] Y H' (x) = 1/-[;;
para x E (O, b]. Puesto que h := H' no está acotada en (O, b], no pertenece a
R[O, b] sin importar cómo se defina h(O). Por lo tanto, el teorema fundamental
7.3.1 no es aplicable. (Sin embargo, en el ejemplo 1 O.l.lOa se verá que
h es una
función Riemann integrable generalizada en [O, b].)
e) Sea K(x) :=x2 cos(1/x2) para x E (O, 1] Y sea K(O) := O. De la regla del produc­
to 6.1.3c y de la regla de la cadena 6.1.6 se sigue que
K'(x) = 2x cos(1/x2) + (2/x) sen(l/x
2
)
para x E (0,1].
Además, como en el ejemplo 6.l. 7d, se tiene K' (O) = o. Por tanto, K es continua y
derivable
en todo punto de [O, 1]. Puesto que el primer término de K' es continuo
en
[O, 1], pertenece a R[O, 1]. Sin embargo, el segundo término de K' no está aco­
tado,
por lo que no pertenece a R[O, 1]. Por consiguiente, K' ~ R[O, 1] Y el teo­
rema fundamental 7.3.1 no se aplica a
K'. (Sin embargo, en el ejemplo IO.1.10b
se verá que
K' es una función Riemann integrable generalizada.) D
El teorema fundamental (segunda forma)
Se considera ahora el teorema fundamental (segunda forma) cuando se quiere
derivar una integral que incluye
un límite superior variable.
7.3.3 Definición Si
¡ E R[a, b], entonces a la función definida por
F(Z):=lZ¡ para Z E[a,b], (3)

273. Capítulo 7 La integral de Riemann
se le llama la indefinida de f con base a. ocasiones se usa
como punto base otro punto en lugar de
a; el ejercicio 6.)
Se demuestra primero que sif E n[a, b], entonces su integral indefinida F
satisface una condición de Lipschitz; por consiguiente, F es continua en [a, b].
7.3.4 Teorema La integral indefinida F definida por (3) es continua en [a, b].
De hecho, si [f(x)[:::; M para toda x E [a, b], entonces [F(z) -F(w)[ :::; M[z -w[ para
toda
z, w E [a, b).
Demostración. El teorema de aditividad 7.2.8 implica que si z, W E [a, b] y que
W :::; z, entonces
l
z lW lZ
F(z)= a f= a f + W f=F(w)+ f,
de donde se tiene
F(z) -F(w) = L
Z
f.
Ahora bien, si -M :::; f(x) :::; M para toda x E [a, b], entonces el teorema 7.1Ac
implica que
-M(z-w):::; LZf:::;M(Z-W),
de donde se sigue que
como se afirmó.
Q.E.D.
Se demuestra a continuación que la integral indefinida F es derivable en cual­
quier punto donde
f es continua.
7.3.5
Teorema fundamental del cálculo (segunda forma) Sea fE n[a, b] y
sea f continua en un punto c E [a, b]. Entonces la integral indefinida, definida por
(3), es derivable en c y F'(c) = f(c).
Demostración. Se supone que c E [a, b) y se considera la derivada de la dere­
cha de
F en c. Puesto que f es continua en e, dada e> O existe Tls> O tal que si
e
:::; x < e + Tls, entonces
f( e) -e < f( x) < f( e) + e. (4)

274. 7.3 El teorema fundamental
Sea h que 0< h < rJE" El teorema de aditividad 7.2.8 HHIf'''''''- inte-
grable en los intervalos
[a, e], e + h] Y [e, e + h] Y que
c+h
F(e + h)-F(e) = f
Ahora bien, en el intervalo [e, e + h] la funciónfsatisface la desigualdad por
lo que (por el teorema 7 .IAc) se tiene
(f(e)-8)·h::::F(e+h)-F(e)= f::::(f(e)+8)·h.
Al dividir entre h > O Y restarf(e), se obtiene
I
F(e + h)-F(e) I
---h----f(e) ::::8.
Pero, dado que 8 > O es arbitraria, se concluye que el límite por la derecha está
dado
por
lím F(e+ h)-F(e)
h~O+ = f(e)
h
Se demuestra de la misma manera que el límite por la izquierda de este cociente
diferencial también es igual
afee) cuando e E (a, b], de donde se sigue la afirma­
ción.
Q.E.D.
Si f es continua en la totalidad de [a, b], se obtiene el siguiente resultado.
7.3.6
Teorema Si fes continua en [a, b], entonces la integral indefinida F, defi­
nida
por (3), es derivable en [a, b] y F'(x) = f(x) para toda x E [a, b].
El teorema 7.3.6 puede resumirse así: si f
es continua en [a, b], entonces su
integral indefinida es una antiderivada de
f Se verá a continuación que, en gene­
ral, la integral indefinida no es necesariamente una antiderivada (sea porque la
derivada de la integral indefinida no existe o porque
no es igual a f(x».
7.3.7 Ejemplos a) Sif(x):= sgnx en [-1,1], entoncesfE R[-l, 1] y tiene la
integral indefinida
F(x) := Ixl-1 con el punto base -l. Sin embargo, ya que F' (O)
no existe, F no es una antiderivada de f en [-1, 1].
b) Si
h denota la función de Thomae, considerada en 7.1.6, entonces su integral
indefinida
H(x) := fax h es una identidad con ° en [O, 1]. Aquí, la derivada de esta
integral indefinida existe en todo punto
y H' (x) = O. Pero H' (x)*" h(x) siempre que
x E CQl n [O, 1], por lo que H no es una antiderivada de h en [O, 1]. D

275. Capítulo 7 La integral de Riemann
Teorema de sustitución _______ ~.
El siguiente teorema proporciona la justificación para el método de "cambio de
variable" que se usa con frecuencia para evaluar integrales. Este teorema se
emplea (por lo general de manera implícita)
en la evaluación por medio de proce­
dimientos que incluyen
la manipulación de "diferenciales", los cuales son comu­
nes
en cursos elementales.
7.3.8
Teorema de sustitución Sea J := [ex, ~] y sea que <p : J -¿ JEt tenga deri­
vada continua en
1. Si f : 1 -¿ JEt es continua en un intervalo 1 que contiene a <p(J),
entonces
1
13 lrp(f3)
f( <p(t»)· <p' (t )dt = f(x)dx.
a rp(a)
(5)
La demostración de este teorema se basa en la regla de la cadena 6.1.6 y sus
líneas generales se describen
en el ejercicio 15. Las hipótesis de que f y <p' son
continuas son restrictivas, pero se usan a fin de asegurar la existencia de la inte­
gral de Riemann en el primer miembro de (5).
7 3"
E' 1 ) C ·d l· 1 1
4
sen-Jt
•• 7. Jemp os a ons1 erar a mtegra ---dt.
1 Ji
Aquí se sustituye <p(t) := {t para tE [1,4], de tal modo que <p'(t) = 1/(2-{t) es
continua en [1, 4]. Si se hace f(x) := 2 sen x, entonces el integrando tiene la forma
(fa <p) . <p' y, así, el teorema de sustitución 7.3.8 implica que la integral es igual
a
g 2 sen x dx = -2 cos xl~ = 2( cos 1 -cos 2).
b) C ·d l· 1 1
4
sen-Jt
onSl erar a mtegra ---dt.
O Ji
Puesto que <p(t) := -{t no tiene derivada continua en [O, 4], el teorema de sus­
titución 7.3.8
no es aplicable, al menos con esta sustitución. (De hecho, no es evi­
dente que esta integral exista; sin embargo, puede aplicarse el ejercicio 7.2.11 para
llegar a esta conclusión. Después podría aplicarse el teorema fundamental 7.3.1 a
F(t) := -2 cos (t con E := {O} para evaluar esta integral.) O
En la sección 10.1 se presenta un teorema de sustitución de mayores alcances
para la integral de Riemann
generalizada.
Criterio de integrabilidad de Lebesgue
Se presenta a continuación la enunciación del decisivo teorema debido a Henri
Lebesgue (1875-1941) que da
una condición necesaria y suficiente para que una
función sea Riemann integrable; se presentan asimismo algunas aplicaciones
de
este teorema. Para establecer este resultado es necesario introducir la importante
noción de conjunto nulo.

276. 7.3 El teorema fundamental
Atención personas usan el término nulo" como sinónimo del
término "conjunto vacío" en referencia a
{') (= al que no tiene e!eme:ntcJS
Sin embargo, aquí el término "conjunto nulo" se usa de conformidad con la
siguiente definición, como es habitual en la teoría de la integración.
7.3,10 Definición a) Se dice que un conjunto Z
e IR es un nulo si
para toda
e> O existe una colección contable b
k
)} k=1 de intervalos abielios
tales que
Z~
k=1 k=1
Si Q(x) es un enunciado acerca del punto x E 1, se dice que Q(x) se cumple
casi en todas
partes de 1 (o para casi toda x E 1), si existe un conjunto nulo Z e 1
tal que Q(x) se cumple para toda x E I\Z. En este caso puede eSClibirse
Q(x) para toda x E 1.
Es trivial que cualquier subconjunto del conjunto nulo es también un conjun­
to nulo y es fácil ver que la unión de dos conjuntos nulos es un conjunto nulo. A
continuación se presenta un ejemplo que puede resultar muy sorprendente.
7.3.n Ejemplo El conjunto (()JI de los números racionales en [O, 1] es un con­
junto nulo.
Se enumera
(()JI = {r¡, rb .. '}. Dada e> O, se observa que el intervalo abierto
J¡ := (r¡ -10/4, r¡ + e/4) contiene a rl Y tiene longitud e/2; asimismo, el intervalo
abierto J2
:= (r2 -e/8, r2 + e/8) contiene a r2 Y tiene longitud 10/4. En general, el
intervalo abierto
contiene al punto
rk Y tiene longitud e/2k. Por lo tanto, la unión U:I Jk de estos
intervalos abiertos contiene a cada punto de
(()JI; además, la suma de las longitu­
des es
1::1 (e/2',) = e. Puesto que e> O es arbitraria, (()JI es un conjunto nulo. O
El razonamiento que acaba de presentarse puede modificarse para demostrar
que:
todo conjunto contable es un conjunto nulo. Sin embargo, puede demostrar­
se que existen conjuntos nulos no contables en
IR; por ejemplo, el conjunto de
Cantor que se introduce en la definición 11.1.10.
Se formula a continuación el criterio de integrabilidad de Lebesgue, el cual
afirma que una función acotada en un intervalo es Riemann integrable si y sólo
si
sus puntos de discontinuidad forman un conjunto nulo.

277. Capítulo 7 La integral de Riemann
7.3.12 Criterio de de Unafunción acotada f: [a, b] ~ lR
es Riemann integrable si y sólo si es continua casi en todas partes de [a, b].
En el apéndice C se presenta una demostración de este resultado. Sin embar­
go, se aplica aquí el teorema de
Lebesgue a algunas funciones específicas y se
muestra que algunos de los resultados previos se siguen inmediatamente de él.
También se
usa este teorema para obtener los importantes teoremas de composi­
ción y del producto.
7.3.13
Ejemplos a) La función escalonadag del ejemplo 7.1.3b es continua en
todo punto excepto en x = l. Por lo tanto, del criterio de integrabilidad de Lebes­
gue se sigue
que g es Riemann integrable.
De hecho, ya que toda función escalonada tiene a lo sumo un conjunto finito
de puntos de discontinuidad, entonces:
toda júnción escalonada en [a, b] es
Riemann integrable.
b) Considerando que en el teorema 5.5.4 se vio que el conjunto de puntos de dis­
continuidad de
una función monótona es contable, se concluye que: toda función
monótona
en [a, b] es Riemann integrable.
c) La función G del ejemplo 7.1.3e es discontinua precisamente en los puntos
D := {1, 1/2, ... , 1 In, .. '}. Puesto que se trata de un conjunto contable, es un
conjunto nulo y el criterio de Lebesgue implica que G es Riemann integrable.
d) En el ejemplo 7.2.2b se demostró que la función de Dirichlet no es Riemann
integrable.
Adviértase que esta función es discontinua en
todo punto de [O, 1]. Puesto que
puede demostrarse que el intervalo
[O, 1] no es un conjunto nulo, con el criterio
de Lebesgue se llega a
la misma conclusión.
e)
Sea h : [O, 1] ~ lR la función de Thomae definida en los ejemplos 5.1.4h y
7.1.6.
En el ejemplo 5.1.4h se vio que h es continua en todo número irracional y que
es discontinua
en todo número racional de [O, 1]. Por el ejemplo 7.3.11, la fun­
ción es discontinua en un conjunto nulo, de donde el criterio de Lebesgue impli­
ca que la función de Thomae es Riemann integrable en [O, 1], como se estableció
en el ejemplo 7.1.6. O
Se obtiene ahora un resultado que permitirá tomar otras combinaciones de
funciones Riemann integrables.
7.3.14
Teorema de composición Sea fE R[a, b] con f([a, b]) ~ [c, d] y sea
<p : [c, d] ~ lR continua. Entonces la composición <p o f pertenece a R[ a, b].
Demostración. Sifes continua en un punto u E [a, b], entonces q; o ftambién
es continua en u. Puesto que el conjunto D de puntos de discontinuidad de f es un
conjunto nulo, se sigue que el conjunto D¡ ~ D de puntos de discontinuidad de

278. 7.3 El teorema fundamental
qy o ftambién es un conjunto nulo. Por lo tanto, la composición qy
fenece a R[ a, b].
per­
Q.E.D.
En el ejercicio 22 se verá que la hipótesis de que qy sea continua no puede omi­
tirse.
El siguiente resultado es un corolario del teorema de composición.
7.3.15 Corolario Suponer que fE R[ a, b]. Entonces su valor absoluto 1 fl está
en R[a, b] y
Ifl:s; M(b -a),
donde If(x) 1 :s; M para toda x E [a, b].
Demostración. En el teorema 7.1.5 se vio que sifes integrable, entonces existe
Mtal que If(x) 1 :s; M para toda x E [a, b]. Sea qy(t) := Itl para t E [-M,.M]; enton­
ces el
teorema de composición implica que Ifl = qy o fE R[ a, b]. La primera des­
igualdad se sigue del
hecho de que -Ifl :s; f:S; Ifl y de 7 .1.4c, y la segunda del hecho
de que If(x) 1 :s; M. Q.ED.
7.3.16 El teorema del producto Si fy gpertenecen a R[a, b], entonces elpro­
dueto
fg pertenece a R[ a, b].
Demostración. Si qy(t) := t
2
para t E [-M,.M], del teorema de composición se
sigue que
¡z = qy o f pertenece a R[ a, b]. Del mismo modo, (f + g)2 y g2 pertene­
cen a
R[a, b]. Pero dado que el producto puede escribirse como
se sigue quefg E R[a, b]. Q.E.D.
Integración por partes ____________________ _
Se concluye esta sección con una forma bastante general de la integración por par­
tes
para la integral de Riemann y con el teorema de Taylor con residuo.
7.3.17 Integración por partes Sean F, G derivables en [a, b] y sea que f:= F'
y g := G' pertenezcan a R[a, b]. Entonces
b lb b I fG = FG a -L Fg.
(7)
Demostración. Por el teorema 6.1.3c, la derivada (FG)' existe en [a, b] Y
(FG)' = F' G + FG' = fG + Fg.
Puesto que F, G son continuas y f, g pertenecen a R[ a, b], el teorema del produc­
to 7.3.16 implica quefG y Fg son integrables. Por lo tanto, el teorema fundamen­
tal 7.3.1
implica que

279. Capítulo 7 La integral de Riemann
FG lb
a
jG+ Fg,
de donde se sigue (7). Q.E.D.
Un caso especial, pero útil, de este teorema es cuando j y g son continuas en
[a, b] y G son sus integrales indefinidas F(x) := J; jy G(x) :=.e g.
Se cierra esta sección con
una versión del teorema de Taylor para la integral
de Riemann:
7.3.18 Teorema de
ten en [a, b] y que
con el residuo Suponer que f', ... , f(nl, f(n+l) exis­
E R[ a, b]. Entonces se tiene
j
'(a) j(n) (a)
j(b)=j(a)+--(b-a)+···+ (b-a)n +Rn,
l! n! (8)
donde el residuo está dado por
1
Rn =­
n!
je
n
+
1
) (t)·(b-t)n dt. (9)
Demostración. Se aplica la integración por partes a la ecuación (9), con F(t) :=
j(n)(t) y G(t) := (b -t)njn!, de tal modo que g(t) = -(b -t)n-l j(n-l )!, para obtener
R = -je
n
) (t) ·(b _t)n +---
1 It=b 1
n n ! t= a (n -1) !
jen)(t)·(b-a)n-l dt
jen) Ca) 1
=- ·(b-a)n+ __ _
n! (n-l)!
jen) (t)·(b_t)n-l dt.
Si se continúa integrando por partes de esta manera, se obtiene (8). Q.E.D.
Ejercicios de la sección 7.3
1. Ampliar la demostración del teorema fundamental 7.3.1 al caso de un conjunto E fini­
to arbitrario.
2. Si
n E N Y Hn(x) := xn+lj(n+l) para x E [a, b], demostrar que el teorema fundamental
7.3.1 implica que
Lb xn dx = (b
n
+
1
-an+1)j(n + 1). ¿Cuál es el conjunto E en este caso?
3. Si
g(x) := x para Ixl ¿ 1 Y g(x) := -x para Ixl < 1, Y si G(x) := ~ Ix2 -11, demostrar que
f2 g(x) dx = G(3) - G(-2) = 5j2.
4. Sea B(x) := -1x2 para x < O Y sea B(x) := 1x2 para x ¿ O. Demostrar que Lb Ixl dx =
B(b) -B(a).

280. 7.3 El teorema fundamental
5. Sea!: [a, b] -+lE. Y sea e E lE..
a) Si Cí> : [a, b] -+ lE. es una antiderivada de f en [a, b], demostrar que
Cí>(x) + e también es una antiderivada de f en [a, b].
b) Si Y son antiderivadas defen [a, b], demostrar que es una función
constante en
[a, b].
6. SifE R[a, b] ye E [a, b], a la función definida por Fc(z) :=lzfparaz E [a, b] se le
denomina la
indefinida de f con punto base e. Encontrar una relación entre
Fa Y Fe
7. En el ejemplo 7.1.6 se vio que la función de Thomae está en R[O, 1] con integral igual
a
O. ¿Puede usarse el teorema fundamental 7.3.1 para llegar a esta conclusión? Explicar
la respuesta.
8. Sea que F(x) esté definida para x;:: ° por F(x) := (n -l)x -(n -1)n/2 para x E [n -1,
n), n E N. Demostrar que F es continua y evaluar F'(x) en los puntos donde esta deri­
vada existe. Usar este resultado para evaluar
l~ [[x]] dx para ° :; a < b, donde [[x]]
denota el entero mayor en x, como se definió en el ejercicio 5.1.4.
9.
SeafE R[a, b] y se define F(x) := l'fpara x E [a, b].
a) Evaluar G(x) := J;'f en términos de F, donde e E [a, b].
b) Evaluar H(x) := tf en términos de F.
c) Evaluar S(.x) := Ja""Xf
en términos de F.
10. Sea!: [a, b] -+lE. continua en [a, b] y también sea v: [e, d] -+lE. derivable en [e, d]
. ¡V(X) ')
con v ([e, dJ) <;;;; [a, b]. Sl se define G(x):= a f, demostrar que G (x) = f(v(x ) . v'(x)
para toda x E [e, d].
11. Encontrar F'(x) cuando F está definida en [O, 1] por:
a)
F(x) := b) F(x):= JI+t2 dt.
12. Sea que!: [0,3] -+lE. esté definida porf(x) := x para O:; x < lJ(x) := 1 para 1 :; x < 2
Y
f(x) := x para 2 :; x:; 3. Obtener fórmulas para F(x) := J¿'f y trazar las gráficas de
fy F. ¿Dónde es derivable F? Evaluar F'(x) en todos estos puntos.
13. Sif: lE. -+lE. es continua y e > 0, definir g: lE. -+lE. por g(x):= J;~:cf(t) dt. Demostrar
que
g es derivable en lE. y encontrar g'(x).
14. Si f: [O, 1] -+ lE. es continua y J~xf = ff para toda x E [O, 1], demostrar que f(x) = °
para toda x E {O, 1].
15.
Usar el siguiente razonamiento para demostrar el teorema de sustitución 7.3.8. Definir
F(u) := J;;<x) f(x)dx para u E 1 Y H(t) := F(ep(t» para t E J. Demostrar que H'(t) =
f(ep(t»
ep'(t) para t E Jy que
l
!P(f3) 113
f(x)dx = F(ep(f3» = H(f3) = f(ep(t)ep'(t)dt.
!pea) a

281. Capítulo 7 La integral de Riemann
16. Usar el teorema de sustitución 7.3.8 para evaluar las siguientes integrales.
a) tJl+t2 dt, b)
c) d)
)t
--dt = 2(sen2-senl).
)t
17. En ocasiones el teorema de sustitución 7.3.8 no puede aplicarse, pero el siguiente resul­
tado, llamado el "teorema de la segunda sustitución", es
útil. Además de las hipótesis
de 7.3.8, suponer que
<p'(t) *-O para toda t E J, por lo que la función ljI: <p(J) -7 lit
inversa de <p existe y tiene derivada ljI'(<p(t) = l/<p'(t). Entonces
f(<p(t»dt = f(x)ljI'(x)dx.
Para demostrar esta afirmación, sea G(t) := J~ f(<p(s») ds para tE J, de tal modo que
G'(t) = f(<p(t). Adviértase que K(x) := G(ljI(x)) es derivable en el intervalo <p(J) y
que K' (x) = G'( ljI(x) ljI'(x) = f( <p o ljI(X»ljI'(X) = f(X)ljI'(.,Y). Calcular G([3) = K(<p([3» de
dos maneras para obtener la fórmula.
18. Aplicar el teorema de la segunda sustitución para evaluar las siguientes integrales.
1
9 dt
a)
1 2+-fi'
1
4 ftdt
c) --,
1 1+ ft
j
3 dt
b) --= ln(3 + 2f2) -ln3,
1 t)t+T
d) = arctan(l) -arctan(I/2).
J
4 dt
1 ,¡t (t + 4)
19. Explicar por qué el teorema 7.3.8 y/o el ejercicio 7.3.17 no pueden aplicarse para eva­
luar las siguientes integrales haciendo uso de la sustitución indicada.
a) 1
4
Jt dt <p(t) = ¡¡,
o I+Ji
c) I: ~ dt <p(t) = Itl,
1
4 cosJi dt
b) <p(t) = ft,
o Ji
d) 1
1
dt <p(t) = arcsen t.
o~
20. a) Si ZI y Z2 son conjuntos nulos, demostrar que Z1 U Z2 es un conjunto nulo.
b)
En términos más generales, si Z/1 es un conjunto nulo para toda n E
demostrar que U~1 Z/1 es un conjunto nulo. [Sugerencia: dadas 8> O Y n E N, sea
{J; : k E N} una colección contable de intervalos abiertos cuya unión contiene a
Zn y la suma de cuyas longitudes es ~ 8/2/1. Considerar ahora la colección contable
{Jí::n,kE N}.]

282. 7.4 Integración aproximada
21. Sean/, g E R[a, b].
a) Si tER, demostrar que lb (tf± g)2 2 O.
b) Usar el inciso a) para demostrar que 2[J: fg[ $ t J: P + (lIt) 1: g2 para t> O.
c) Si J:f
2
== 0, demostrar que lb fg == O.
d) Demostrar ahora que [J: fg[2 $ cJ:[fg[i $ cJ: f2) . (1: g2). Esta desigualdad se
conoce como
la "'", .. ¡:;.",,,,,,,. de Ca"clhv-Kill"iv~llmv"<r:v-~,cl1l (o simplemente,
la
"",,.¡:; ''',n",,",
22. Sea
h : [O, 1] --+ R tma función de Thomae y sea sgn la función signo. Demostrar que
la nmción compuesta sgn o
h no es Riemann integrable en [O, 1].
El teorema fundamental del cálculo 7.3.1, nos proporciona un método eficaz para
evaluar la integral
1: f siempre que pueda encontrarse una antiderivada F tal que
F' (x) =f(x) cuando x E [a, b]. Sin embargo, cuando no es posible encontrar tal F,
quizá el teorema fundamental no pueda usarse. No obstante, cuando fes continua,
se cuenta con varias técnicas para aproximar la integral de Riemann J: f usando
sumas parecidas a las sumas de Riemann.
Un procedimiento muy elemental para obtener estimaciones rápidas de
J: J, el
cual se basa en el teorema 7.1.4c, consiste en observar que si g(x) ~f(x) ~ h(x)
para toda x E [a, b], entonces
f~ h.
Si las integrales de g y h pueden calcularse, entonces se tienen cotas para J: f Con
frecuencia estas cotas tienen la precisión suficiente para la mayoría
de las necesi­
dades.
Por ejemplo, suponer que
se quiere estimar el valor de 10
1
e-
x2
dx. Es fácil esta­
blecer que
e-X ~ e-
x2
~ 1 para x E [O, 1], de modo que
Por consiguiente, se tiene 1 -
l/e ~ 10
1
e-
x2
dx ~ l. Si se usa la media de los valo­
res de los extremos de la desigualdad se obtiene la estimación 1 -1/2e
= 0.816
para la integral con un error menor que 1/2e
< O .184. Esta estimación es muy apro­
ximada, pero se obtiene rápido y puede ser bastante satisfactoria para nuestras
necesidades.
Si se desea una mejor aproximación, puede intentarse encontrar fun­
ciones de aproximación g y h más cercanas.

283. Capítulo 7 La integral de Riemann
Es posible usar el teorema de Taylor 6.4.1 para e-
x2
con un
mio. Cuando se usa el teorema de Taylor, deben obtenerse cotas para el término
del residuo para que los cálculos sean significativos. Por ejemplo,
si se aplica el
teorema de Taylor a
e-Y para O ::; Y ::; 1, se obtiene
- 1 12
13R
e Y = -y + 2Y -6Y + 3'
donde R3 = y4e-Cj24, donde c es algún número con O ::; c ::; 1. Puesto que no se
cuenta con mejor información sobre la localización
de c, es necesario conformar­
se con la estimación O ::; R
3
::; y4j24. Se tiene, por tanto,
e-
X2
= 1-x2 + ...Lx4 -l.x6 + R3
J 2 J 6 '
donde O::; R3 ::; x
8
j24 para
x E [O, 1]. ASÍ, se obtiene
e-
X2
dx = 1
1
(1-x2 + Ix4 -lx
6)dx + 1
1
R3 dx
O 2 6 O
=1_1+_1 --.L+
3 10 42
Puesto que se tiene O ::; fal R3 dx ::; 9.~4 = 2~6 < 0.005, se sigue que
con un error menor que 0.005.
Particiones iguales
____ _
Si
f: [a, b] ~ JEt es continua, se sabe que su integral de Riemann existe. Para
encontrar un valor aproximado de esta integral con la cantidad mínima de cálcu­
los, es conveniente considerar las particiones
P n de [a, b] en n subintervalos igua­
les
con longitud h
n
:= (b -a)jn. En consecuencia, P
n
es la partición:
a < a + h
n
< a + 2 h
n
< ... < a + nh
n
= b.
Si se escoge que los puntos terminales izquierdos y los puntos terminales derechos
sean los puntos de las etiquetas de los subintervalos, se obtiene la n-ésima apro­
ximación izquierda dada por
n-l
k=O

284. 7.4 Integración aproximada
y la n-ésima ap¡roXJmaCllOn derecha dada por
k=l
Debe advertirse que es casi igual de sencillo evaluar ambas aproximaciones como
sólo una de ellas,
ya que solamente difieren por los términosfCa) y f(b).
A menos que haya razones para creer que Ln(f) o Rl1(f) está más cerca del
verdadero valor de la integral que el otro,
por lo general se toma su media:
la cual se observa de inmediato que es igual a
fCa + kh
l1
) + t f(b)) ,
(1)
k=!
como una aproximación razonable de J: f
Sin embargo, cabe señalar que sifes creciente en [a, b], entonces a partir de
un trazo de la gráfica de
f resulta evidente que
En este caso, se observa de inmediato que
lb f-Tn(f)::; t(Rn(f)-Ln(f))
(b -a)
= -2
1
h (f(b) -fea)) = (f(b) -f(a))· --o
n 2n
(2)
Una estimación del error como la anterior es útil, ya que proporciona una cota
superior
para el error de la aproximación en términos de cantidades que se cono­
cen desde el principio.
En particular, puede usarse para determinar qué tan gran­
de deberá elegirse
n a fin de tener una aproximación que sea correcta dentro de un
error especificado
E > O.
La discusión anterior fue válida para el caso en que f es creciente en [a, b]. Si
f es decreciente, entonces las desigualdades en (2) deberán invertÍrse. Ambos
casos pueden resumirse en el siguiente enunciado.

285. Capítulo 7 La integral de Riemann
7.4.1 Teorema Si f: [a, b] -7 ~ es monótona y si está dada por entonces
I
I I
(b -a)
f
-T
n
(f) ~ f(b) -fea) .~.
(3)
7.4.2
Si f(x) := e-
x2
en [O, 1], entonces fes decreciente. De (3) se sigue
que si
n = 8, entonces 1 Jo! e-
x2
dx -T
8
(f) 1 ~ (1 -e-
1
)j16 < 0.04, Y si n = 16, enton­
ces
1 Jol e-
x2
dx -T
16(f) 1 ~ (1 -c
1
)j32 < 0.02. De hecho, la aproximación es con­
siderablemente mejor, como se verá en el ejemplo 7.4.5. O
La del
El método de integración numérica llamado la "regla del trapecio" se basa en
aproximar
la función continua f: [a, b] -7 ~ por medio de una función continua
lineal por partes. Sea
n E N y, como antes, sea h
n
:= (b -a)jn y considerar la par­
tición
Pn-Se aproxima f con la función lineal por partes gn que pasa por los puntos
(a + khn,f(a + kh
n
)), donde k = O, 1, ... , n. Parece razonable que la integral J: f
será "aproximadamente igual a" la integral 1:: gn cuando n sea lo suficientemente
grande (siempre
quefsea razonablemente suave).
Puesto que se sabe que el área de
un trapecio con base horizontal h y lados ver­
ticales
II y l2 es th(l¡ + l2)' se tiene
(k+l)h"
kh"
gn = thn·[f(a+kh
n
)+f(a+(k+1)h
n
],
para k = 0, 1, ... , n -l. Al sumar estos términos y observar que cada punto de
partición en
P
m
con excepción de a y b, pertenece a dos subintervalos adyacen­
tes, se obtiene
Pero el ténnino de la derecha es precisamente
Tn(f), el cual se encontró en (1)
como la media de Ln(f) y Rn(j). A Tn(j) se le llama la n-ésima aproximación. del
trapecio def
En el teorema 7.4.1 se obtuvo una estimación del error en el caso en que f es
monótona; se enuncia a continuación un resultado sin esta restricción sobre f pero
en términos de la segunda derivada
f" de f
7.4.3 Teorema Sean f, f' Y f" continuas en [a, b] y sea Tn(f) la n-ésima aproxi­
mación del trapecio
(1). Entonces existe c E [a, b] tal que
l
b (b -a)h
2
T
n
(f) - f = n ·f"(e).
a 12
(4)

286. 7.4 Integración aproximada
En el D se una demostración de este la cual
depende de vatios resultados obtenidos en los capítulos 5 y
6.
La igualdad (4) es interesante por cuanto puede dar tanto una cota supetior
scomo una cota inferior para la diferencia
Tn(j) - 1"b f Por :2: A >
O para toda x E [a, b], entonces (4) implica que esta diferencia excede siempre
~ A(b -a)h~. Si sólo se tiene f"(x) :2: O para x E [a, b], que es el caso cuando f
es convexa
(= cóncava hacia entonces la aproximación del trapecio es
siempre muy grande. El lector deberá trazar una figura para visualizar este hecho.
Sin embargo, generalmente es la cota superior la que es de mayor interés.
7.4.4
Corolario Sean f, f' y f" continuas, y sea If"(x)l::; B
2
para toda x E [a, b].
Entonces
1
< (b-a)h~. -(b-a)3 .
f - E2 - 2 E2·
12 12n
(5)
Cuando es posible encontrar una cota superior
E
2
,
la expresión (5) puede usar­
se para determinar qué tan grande debe elegirse n
a fin de tener la seguridad de
una precisión deseada.
7.4.5
Ejemplo Sif(x):= e-
x2
en [0,1], entonces un cálculo indica quef"(x) =
2e-
x2
(2x
2
-
1), por lo que puede tomarse E
2
= 2. ASÍ, si n = 8, entonces
I
T
s(f)-1
1fl::; _2_= _1_<0.003.
O 12·64 384
Por otra parte, si n = 16, entonces se tiene
Por tanto, la precisión en este caso es considerablemente mejor que la que se anti­
cipó en el ejemplo 7.4.2. D
La regla del punto medio
Un método obvio para aproximar la integral de fes tomar las sumas de Riemann
evaluadas en los puntos medios de los subintervalos. Así, si P
n
es la partición con
el mismo espaciamiento dada antes, la
aproximación del punto medio de f está
dada
por
M(f):=h (f(a+.lh )+f(a+~h )+···+f(a(n--
2
1
)h»
n n 2n 2n n
n (6)
= h
n
fea + (k -+)h
n
)·
k=l

287. Capítulo 7 La integral de Riemann
Otro método podría consistir en usar funciones lineales por que sean
tangentes a la gráfica de f en los puntos medios de estos subintervalos. A primera
vista, parecería necesario conocer la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
fen cada uno de los puntos medios a + (k-thn) (k== 1, 2, .. " n). Sin embargo, es
un ejercicio de geometría demostrar que el·(Írea del trapecio cuya parte superior
es esta recta tangente en el punto medio
a + (k - ~ )h
n es igual al área del rectán­
gulo cuya altura esfCa
+ (k -~)hn)' (Véase la figura 7.4.1.) Por tanto, esta área está
dada por (6) y la "regla del trapecio tangente" resulta ser igual que la "regla del
punto medio". Se enuncia a.continuación un teorema donde se establece que la
regla del punto medio produce una precisión mejor que la regla del trapecio por
un factor
de 2.
I
I
,-----------------,
I
i
I
a+(k-l)k
fea + (k-~) h)
a + (k-i)h
Figura 7.4.1 El trapecio tangente.
i
I
I
I
I
I
i
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
a+kh
7.4.6 Teorema Sean f, f' Y f" continuas en [a, b] y sea ~(f) la n-ésima apro­
ximación del
punto medio (6). Entonces existe y E [a, b] tal que
l
b (b-a)h2
a f -Mn(f) == 24 n. r( y).
(7)

288. 7.4 Integración aproximada
La demostración de cómo se obtuvo este resultado se en el
dice
D.
Como en el caso del teorema 7.4.3, la fórmula (7) puede utilizarse para dar
tanto una cota superior como una cota inferior para la diferencia
lb f - aun­
que es una cota superior la que generalmente es de mayor interés.
En contraste con
la regla del trapecio, si la función es convexa, entonces la aproximación del punto
medio es siempre
muy pequeña.
El siguiente resultado es paralelo al corolario 7.4.4.
7.4.7
Corolario Sean f, f' Y f" continuas, y sea If"(x)1 ::; B
2para toda x E [a, b].
Entonces
fl::;
_(b_-_a_)_hn_2 (b-a)3
. E
2
=o . E
2
.
24 24n
2
(8)
La regla de Simpson _____________________ _
El último procedimiento de aproximación que se considera suele dar una aproxi­
mación mejor que la regla del trapecio o que la del punto medio y en esencia no
requiere cálculos adicionales. Sin embargo, la convexidad (o la concavidad) de
f
no proporciona información alguna acerca del error de este método.
Mientras que las reglas del trapecio y
la del punto medio se basaron en la apro­
ximación de
f por medio de funciones lineales por partes, la regla de Simpson
aproxima
la gráfica de f por medio de arcos parabólicos. Como ayuda para moti­
var
la fórmula, el lector puede demostrar que si están dados tres puntos
entonces la función cuadrática
q(x) :=oAx
2
+ Ex + e que pasa por estos puntos tiene
la propiedad de que
Ahora bien,
seafuna función continua en [a, b] y sea n E N par, y sea h
n
:=
(b -a)jn. En cada "subintervalo doble"
[a,a+2h
n
], [a+2h
n
,a+4h
n
), ... , [b-2h
n
,b],

289. Capítulo 7 La integral de Riemann
se aproxima f con n/2 funciones cuadráticas que coinciden los
Y
n
:= f(b).
Estas consideraciones llevan a la n-ésima aproximación de "''''''1-'''''''', definida por
+ 2f(a + 4h
n
)
+ ... + 2f(b -2h
n
)
+ 4 f(b -h
n
) + f(b )). (9)
Obsérvese que los coeficientes de los valores de
f en los n + 1 puntos de partición
siguen el patrón
1,4,2,4,2, .. ',4,2,4, 1.
Se enuncia ahora un teorema que produce una estimación de la precisión de la
aproximación de Simpson; incluye
la cuarta derivada de f
7.4.8 Teorema Sean f, f', f", f(3) Y f( 4) continuas en [a, b] Y sea n E N pa/" Si
Sn(f)
es la n-ésima aproximación de Simpson (9), entonces existe c E [a, b] tal que
l
b (b-a)h
4
Sn(f)-a f= 180 n ·f(4) (e). (lO)
En el apéndice D se da una demostración de este resultado.
El siguiente resultado es paralelo a los corolarios 7.4.4 y 7.4.7.
7.4.9
Corolario Sean f, f', f", f(3) Y f(4) continuas en [a, b] y sea If(4)(x)1 ~ B4
para toda x E [a, b]. Entonces
I l
b I (b-a)h~ (b-a)5
Sn(f) -f ~ ·B
4
= . B4'
a 180 180n
4
(11)
El uso exitoso de
la estimación (11) depende de ser capaces de encontrar una
cota superior para la cuarta derivada.
7.4.10
Ejemplo Sif(x):= 4e-
x2
en [O, 1], entonces con un cálculo se llega a

290. 7A Integración aproximada
de donde se sigue que If(4l(x) I :s; 20 para x E
20. De (11) se sigue que si n = 8, entonces
1
J, por lo que
S8(f) -f I :s; 1 . 20 = < 0.000 03
180.8
4 36864
y que si n = 16, entonces
fl:s; 589
1824<0.0000017.
tomarse
Observación Es posible usar la n-ésima aproximación del punto medio
o
para "subir" hasta las aproximaciones (2n)-ésima del trapecio y de Simpson utili­
zando las fórmulas
que se dan en los ejercicios. Así, una vez que se
ha calculado la aproximación del
trapecio inicial
TI = TI (f), solamente es necesario encontrar las aproximacio­
nes del punto medio
Mn = Mn(f). Es decir, se emplea la siguiente secuencia de
cálculos:
TI = t(b -a)(f(a) + (b));
Ejercicios de la sección 7.4
1. Usar la aproximación del trapecio con n = 4 para evaluar In 2 = f
1
2 (l/x) dx .. Demostrar
que 0.6866
:::; In 2 :::; 0.6958 Y que
l 1
0.0013 < -:::; T
4
-
In2 :::; -< 0.0105.
768 96

291. Capítulo 7 La integral de Riemann
2. Usar la aproximación de Simpson con n = 4 para evaluar In 2 = JI
2
que 0.6927 ~ ln 2 ~ 0.6933 Y que
1 1 I
0.000016 < -. --~ S4 -In 2 ~ --< 0.000521.
2
5 1920 1920
dx. Demostrar
3. Seaf(x) := (l + x2)-1 para x E [O, 1]. Demostrar que.f"(x) = 2(3x
2
- 1)(1 + x2)-3 y que
I.f"(x) I ~ 2 para x E [O, 1]. Usar la aproximación del trapecio con n = 4 para evaluar
re/4 = J;f(x) dx. Demostrar que IT4(/) -(re/4) I ~ 1/96 < 0.0105.
4. Si se usa la aproximación del trapecio Tn(f) para aproximar re/4 como en el ejercicio
3, demostrar que debe tomarse n ;:: 409 a fin de asegurar que el error es menor que 10-
6
.
5. Seaf como en el ejercicio 3. Demostrar quefC
4
l(x) = 24(5x
4
-10x
2 + 1)(1 + x
2t
5
y que
If(4)(X)I ~ 96 para x E [O, 1]. Usar la aproximación de Simpson con n = 4 para evaluar
re/4. Demostrar que IS4(f) -(re/4) I ~ 1/480 < 0.0021.
6. Si se usa la aproximación de Simpson Sn(f) para aproximar re/4 como en el ejercicio 5,
demostrar que debe tomarse
n ;:: 28 a fin de asegurar que el error es menor que 10-
6
.
7. Si p es un polinomio a lo sumo de grado 3, demostrar entonces que las aproximaciones
de Simpson son exactas.
8. Demostrar que
sif"(x);:: O en [a, b] (es decir, sifes convexa en [a, b]), entonces para
cualesquier números naturales
m, n se tiene M
n
(/) ~ J: f(x) dx ~ Tm(/)' Sif"(x) ~ O
en [a, b], esta desigualdad se invierte.
11. Demostrar que el número uno tiene la estimación:
donde
E2 ;:: I.f"(x) I para toda x E [a, b].
12. Obsérvese que 10
1
(l -x2)1/2 dx = re/4. Explicar por qué las estimaciones del error dadas
por las fórmulas (4),
(7) Y (lO) no pueden usarse. Demostrar que si h(x) = (1 -x2) 1/2
para x en [O, 1], entonces Tn(h) ~ re/4 ~ Mn(h). Calcular M
8(h) y T
8(h).
13. Si h es como en el ejercicio 12, explicar por qué K := 10
1m
h(x) dx = re/8 + 1/4.
Demostrar que
I h"(x) I ~ 2
3
/2 Y que I h(4)(X)I ~ 9 . 2
7
/2 para x E [O, 1/-12]. Demostrar
que
IK -Tn(h) I ~ 1/12n2 y que IK -Sn(h)1 ~ 1/lOn
4
. Utilizar estos resultados para
calcular re.

292. 7.4 Integración aproximada
En los:ejercicios 14-20, aproximar las integrales indicadas dando estimaciones del error.
Utilizar lilla calculadora para obtener un grado alto de precisión.
14.
16.
18.
dx
1 + x
3
1
7r/2 __ d_x __
O 1 + sen x
15.
17.
19.
senx dx.
x
1
7r/2
o -.jsenx dx.

293. En capítulos anteriores con frecuencia se ha hecho uso de sucesiones de números
reales. En este capítulo se consideran sucesiones cuyos términos son
fitnciones
en vez de números reales. Las sucesiones de funciones surgen de manera natural en
el análisis real y resultan de particular utilidad para obtener aproximaciones de
una función dada y para definir nuevas funcioneS a partir de funciones conocidas.
En la sección
8.1 se introducen dos nociones diferentes de convergencia de
una sucesión de funciones: la convergencia puntual y la convergencia uniforme. Este
último tipo de convergencia
es muy importante y será el principal centro de atención.
La razón para proceder así es el hecho de que, como se establece en la sección
8.2, la convergencia uniforme "preserva" ciertas propiedades en el sentido de que
si cada término de una sucesión de funciones uniformemente convergente posee
estas propiedades, entonces la función límite también las posee.
En la sección
8.3 se aplica el concepto de convergencia uniforme para definir
y deducir las propiedades básicas de las funciones exponencial y logarítmica. La
sección 8.4 se dedica a
un tratamiento similar de las funciones trigonométricas.
Sea
A ~ lR'. dado y suponer que para toda n E N existe una funciónf" : A --7 lR'.;
se dirá que (In) es una sucesión de funciones de A a lR'.. Evidentemente, para
toda
x E A, dicha sucesión da lugar a una sucesión de números reales, a saber,
la sucesión
(In(x)), (1)
obtenida al evaluar cada una de las funciones en el punto
x. Para ciertos valores
de
x E A la sucesión (1) converge, y para otros valores de x E A esta sucesión
puede divergir. Para toda
x E A para la que la sucesión (1) converge existe un
número real determinado de manera única lím
(In(x)). En general, el valor de este
límite, cuando existe, dependerá de la elección del punto
x E A. Por tanto, de
esta manera surge una función cuyo dominio consiste en todos los números
x E A
para los que la sucesión (1) converge.
285

294. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
8.1.Jl Definición Sea (1,,) una sucesión de funciones de A ¡;;;; lR a lR, sea A
o ¡;;;; A
Y sea f: Ao
~ R Se dice que la sucesión (In) converge Ao
si, para toda
-x E Ao, la sucesión (I,,(x)) converge af(x) en R En este caso afse le llama el
límite de la sucesión (In) en A
o
.
Cuando tal funciónf existe, se dice que la suce-
sión
(1,,) es convergente en Ao, o que (In) converge en A
o
.
Del teorema 3.l.4 se sigue que, excepto para una posible modificación del
dominio
Ao, la función límite se encuentra determinada de manera única. Por lo
general se escoge que
A
o sea el conjunto más grande posible; es decir, se toma Ao
como el conjunto de toda x E A para la cual la sucesión (1) es convergente en lR.
Para denotar que la sucesión (In) converge a f en Ao, alglmas veces se escribe
f = lím(ln) en Ao,
o 1" ~ f en Ao·
En ocasiones, cuando In y f están dadas por fórmulas, se escribe
f(x) = lím In(x) para x E Ao, o In(x) ~ f(x) para x E Ao.
8.1.2 Ejemplos a) lím(x/n) = O para x E R
Para
n E N, seaIn(x) := x/n y seaf(x) := O para x E R Por el ejemplo 3.l.6a,
se tiene lím (l/n) = O. En consecuencia, por el teorema 3.2.3 se sigue que
lím(ln(x») = lím(x/n) =x lím(l/n) =x· O = O
para toda x E R (Véase la figura 8.1.1.)
h
h
------~~~------------~f
Figura 8.1.1 fn(x) = x/no
b) lím (xn).
(1, g(l))
Figura 8.1.2 gn(x) = xn.
Sea gn(x) := xn para x E lR, n E N. (Véase la figura 8.l.2.) Evidentemente,
si
x = 1, entonces la sucesión (gn(1)) = (1) converge a l. Del ejemplo 3.1.1 lb
se sigue que lím(xn) = O para O ::::; x < 1 Y se observa de inmediato que esto tam­
bién se cumple para -1 < x < O. Si x = -1, entonces gnC-l) = (_l)n, y en el ejemplo
3.2.8b se vio que
la sucesión es divergente. Del mismo modo, si JxJ > 1, enton-

295. 8.1 Convergencias puntual y uniforme
ces la sucesión (xn) no está acotada, por lo que no es rAlmrc>ro,pntp en ID?. Se con­
cluye que si
g(x) ;= {O para
1 para
-1 < x < 1,
x = 1,
entonces la sucesión (gn) converge a g en el conjunto (-1, 1].
e) lím ((x
2
+ nx)/n) = x para x E R
Sea hn(x)
:= (x
2
+ nx)/n para x E ID? , n E N, Y sea h(x) := x para x E R (Véase
la figura 8.1.3.) Puesto que se tiene
hnCx) = (x
2
/n) + x, del ejemplo 3.1.6a y del teo­
rema 3.2.3 se sigue que hn(x)
---7 x = h(x) para toda x E R
F¡
Figura 8.1.3 hn(x) = (~ + nx)/n. Figura 8.1.4 Fn(x) = sen(nx + n)/n.
d) lím«(l/n) sen(nx + n)) = O para x E R
Sea Fn(x)
:= (1/n) sen(nx + n) para x E ID?, n E N, Y sea F(x) := O para x E R
(Véase la figura 8.1.4.) Puesto que
I seny I :s:; 1 para toda y E ID?, se tiene
iPn(x) -F(x)1 = I ~sen(nx + n) I :s:; ~ (2)
para toda x
E R Por lo tanto, se sigue que lím (Fn(x)) = O = F(x) para toda x E R·
El lector deberá advertir que, dada cualquier e > O, si n es lo suficientemente gran­
de, entonces
I Fn(x) -F(x) I < e para todos los valores de x simultáneamente. O
En parte para reforzar la definición 8.1.1 y en parte para preparar el terreno
para la importante noción de convergencia uniforme, la definición 8.1.1 se refor­
mula de la siguiente manera.
8.1.3 Lema Una sucesión (fu) defitnciones de A k ID? a ID? converge a unafim­
ción f : Aa ---7 ID? en Aa si y sólo si para toda E > O Y para toda x E Aa existe un
número natural
K(E, x) tal que si n;::: K(E, x), entonces
Ifn(x) -f(x)1 < E. (3)

296. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Se le deja al lector demostrar que esta fOffi1ulación es a la defini-
ción 8.1.1. Queremos subrayar que el valor de
x) dependerá, en general, tanto
de
¡:; > O como de x E Aa. El lector deberá confirmar el hecho de que, en los ejem­
plos 8.l.2a-c, el valor de
K(8, x) requerido para obtener una desigualdad como (3)
depende tanto de
¡:; > O como de x E Aa. La razón intuitiva de este hecho es que la
convergencia de la sucesión es "significativamente más rápida" en algunos puntos
que en otros. Sin embargo, en el ejemplo 8.l.2e!, como se vio
en la desigualdad (2),
si se elige
n lo suficientemente grande, puede hacerse que I Fn(x) -F(x) I < ¡:; para
todos los valores de x E R Es justamente esta muy sutil diferencia la que distin­
gue
la noción de "convergencia puntual" de una sucesión de funciones (en el
sentido de la definición 8.1.1) de la noción de "convergencia unifoffi1e".
8.1.4 Definición
Una sucesión U;,) de funciones de A ~ lR a lR converge uni­
formemente en Aa ~ A a una función 1: Aa -7 lR si para toda ¡:; > O existe un núme­
ro natural K(
¡:;) (que depende de ¡:; pero no de x E Aa) tal que si n ?: K( ¡:;), entonces
I/n(x) -l(x)1 < B para toda x E Ao' (4)
En este caso se dice que la sucesión (In) es uniformemente ,.,.""',,,,,-,,,,,'" en
Aa. En ocasiones se escribe
In =+1 en o h,(x) =+ I(x) para x E Aa.
Es una consecuencia inmediata de las definiciones que si la sucesión (In) es
uniformemente convergente a
I en Aa, entonces también converge puntualmente
a
I en Aa en el sentido de la definición 8.1.1. El hecho de que el recíproco no siem­
pre se cumple se pone de manifiesto mediante
un examen atento de los ejemplos
8.l.2a-c; más adelante se presentan otros ejemplos.
En ocasiones resulta convenÍ€mte contar con la siguiente condición necesaria
y suficiente para que
una sucesión Ch,) no converja uniformemente a/en Aa.
8.1.5 Lema Una sucesión (f
n
)
de fimciones de A ~ lR a lR no converge unifor­
memente a una fimción f: Aa -7 lR en Aa ~ A si y sólo si para alguna Ea > O exis­
te una subsucesión
(f
nk
) de (f
n
)
Y una sucesión (x¡J en Aa tales que
para coda k E N. (5)
La demostración de este resultado requiere tan sólo que el lector haga la nega­
ción de la definición 8.1.4; se le deja al lector como
un ejercicio importante. Se
indica a continuación cómo puede usarse este resultado.
8.1.6
Ejemplos a) Considerar el ejemplo 8.l.2a. Si se hace nk := k y Xk := k,
entonceslnk(xk) = 1, de tal modo que I/n/xk) -I(xk) I = 11 -01 = 1. Por lo tanto,
la sucesión (In) no converge uniformemente al en R

297. 8.1 Convel'gencias puntual y uniforme
Considerar el ejemplo 8.1.2b. Si nk := k y Xk := (~)I/k, entonces
Por lo tanto,
la sucesión (gn) no converge uniformemente a g en (-1, 1].
c) Considerar el ejemplo 8.1.2c. Si nk := k y Xk := -k, entonces hnk(Xk) = O Y
h(x¡J = -k, por lo que Ihnk(x¡J -h(xk)1 = k. Por lo tanto, la sucesión (hn)
no conver­
ge uniformemente a h en
R O
La norma uniforme
Al examinar la convergencia uniforme, con frecuencia resulta conveniente usar la
noción de
la norma uniforme en un conjunto de funciones acotadas.
8.1.7 Definición Si A ~ lR Y lfJ : A ~ lR es una función, se dice que lfJ está aco­
tada en A si el conjunto lfJ (A) es un subconjunto acotado de R Si lfJ está acotada,
se define la
norma uniforme de lfJ en A por
IltpllA := sup{ltp(x)l: x E A}. (6)
Adviértase que si
E > O, entonces se sigue que
para toda
x E A. (7)
8.1.8
Lema Una sucesión (f
n
)
defunciones acotadas en A ~ lR converge uni-
formemente a
f en A si y sólo si IIf
n
-filA ~ O.
Demostración. (=?) Si (In) converge uniformemente a f en A, entonces por la
definición 8.1A, dada cualquier E> O existe K(E) tal que si n ¿ K(E) Y x E A,
entonces
Por la definición de supremo, se sigue que
IIIn -filA::::; E siempre que n ¿ K(E).
Puesto que E > O es arbitraria esto implica que IIIn -filA ~ O.
({:=) Si IIfn -filA ~ 0, entonces dada E> ° existe un número natural H(E)
tal que si n ¿ H(E) entonces IIIn -filA::::; E. De (7) se sigue que I fn(x) - f(x) I ::::; E
para toda n ¿ H(E) Y x E A. Por lo tanto, (fn) converge uniformemente a
f en A. Q.E.D.
Se ilustra a continuación el uso del lema 8.1.8 como una herramienta para
examinar la convergencia unifonne de una sucesión de funciones acotadas.
8.1.9
Ejemplos a) El lema 8.1.8 no puede aplicarse a la sucesión del ejemplo
8.l.2a debido a que la funciónln(X) - f(x) = x/n no está acotada en R

298. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Para fines ilustrativos, sea A := [0,1]. Aun cuando la sucesión no conver-
ge uniformemente a
la función cero en :!R, se demostrará que la convergencia es
uniforme en
A. Para ello, se observa que
1
Ilf -fll A =sup{lx/n-OI:O:S;x:S;l}=-
n n
por lo que IIIn -filA ~ o. Por lo tanto, Un) es uniformemente convergente af en A.
Sea gn(x) := xn para x E A := [O, 1] Y n E N, Y sea g(,,) := ° para ° :s; x < 1 Y
g( 1) := 1. Las funciones gn(x) -g(x) están acotadas en A y
para
para
O:S;X<l}=l
x= 1
para toda n E N. Puesto que Ilgn -gllA no converge a 0, se infiere que la sucesión
(gn) no converge uniformemente a gen A.
c) El lema 8.1.8 no puede aplicarse a la sucesión del ejemplo 8.1.2c porque la
función
hn(x) -h(x) = x
2
/n no está acotada en lR.
Sin embargo, sea A := [O, 8] Y considerar
Por lo tanto, la sucesión
(h
n
)
converge uniformemente a h en A.
d) Con referencia al ejemplo 8.1.2d, se observa a partir de (2) que liFn -FlllR :s;
l/n. Por consiguiente, (Fn) converge uniformemente a F en lR.
e) Sea G(x) := x¡¡(l - x) para x E A := [O, 1]. Entonces la sucesión (G¡¡(x)) con­
verge a
G(x) := ° para toda x E A. Para calcular la norma uniforme de G
n
-G =
G
n
en A, se encuentra la derivada y se resuelve
G~ (x)=x
n
-1
(n-(n+1)x)=0
para obtener el punto x¡¡ := n/en + 1). Se trata de un punto interior de [O, 1] Y usan­
do el criterio de la primera derivada 6.2.8 se verifica con facilidad que
G¡¡ alcanza
un máximo en [O, 1] en el punto X¡¡. Por lo tanto, se obtiene
1
IIGnllA =G (x )=(1+1/n)-n '-,
n n n+ 1
que converge a (lIe) . 0= O. En consecuencia, se ve que la convergencia es uni­
forme
enA. O
Haciendo uso de la norma uniforme puede obtenerse una condición necesaria
y suficiente para la convergencia uniforme que suele ser útil.
8.1.10 Criterio de Caucby para la convergencia uniforme Sea (f
n
) una suce­
sión de
fimciones acotadas en A k: :!R. Entonces esta sucesión converge unifor­
memente a una fimción acotada
f en A si y sólo si para toda E > ° existe un número
H(E) en N tal que para toda m, n :2: H(E), entonces Ilf
m
-f nlIA:S; E.

299. 8.1 Convergencias puntual y uniforme
Demostración. (=?) Sifn =+ f en entonces dada E > O existe un número natu­
ral
KGE) tal que si n ¿ K(~E) entonces II In -filA ~ ~E. En si
In, n ¿ entonces se concluye que
para toda
x E A. Por lo tanto, 1IIn, -JnllA ~ E para In, n ¿
(<=) Recíprocamente, suponer que para E > O tal que si
In, n ¿ H(E), entonces IIJm -J/lIIA ~ E. Por lo tanto, para toda x E A se tiene
Se sigue que
(JnCx)) es una sucesión de Cauchy en lR; por lo tanto, por el teorema
3.5.5, es una sucesión convergente. Se
definef: A -¿ lR por
J(x):=lírn(fn(x)) para xEA.
Si se hace que n -¿ 00 en (8), por el teorema 3.2.6 se sigue que para toda x E A
se tiene
Por lo tanto, la sucesión
(In) converge uniformemente aJenA. Q.ED.
Ejercicios de la sección 8.1
1. Demostrar que lím(x/(x + n)) = O para toda x E IR, x;::: o.
2. Demostrar que lím(nx/(l + n
2
x
2)) = O para toda x E IR.
3. Evaluar lím(nx/(l + nx)) para x E IR, x;::: O.
4. Evaluar lím(xn/(l + xn)) para x E IR, x ;::: O.
5. Evaluar lím((sen nx)/(l + nx)) para x E IR, x;::: O.
6. Demostrar que lím(arctan nx) = (n/2)sgn x para x E IR.
7. Evaluar lím(e-
nx
) para x E IR, x;::: O.
8. Demostrar que lím(xe-
nx
) = O para x E IR, x ;::: O.
9. Demostrar que lím(x
2
e-
nx
) = O Y que lím (n2~e-nx) = O para x E IR, x ;::: O.
10. Demostrar que lím((cos nxrn) existe para toda x E IR. ¿Cuál es el límite?
11. Demostrar que si
a > O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 1 es uni­
forme en el intervalo
[O, a], pero que no es uniforme en el intervalo [O, 00).

300. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
12. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 2 es uni­
forme en el intervalo
[a, 00), pero que no es uniforme en el intervalo [O, 00).
13. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 3 es uni­
forme en el intervalo
[a, 00), pero que no es uniforme en el intervalo [O, (0).
14. Demostrar que si ° < b < 1, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 4 es
uniforme
en el intervalo [O, b], pero que no es uniforme en el intervalo [0, 1].
15. Demostrar que si a > O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 5 es uni­
forme en el intervalo
[a, oo)"pero que no es uniforme en el intervalo [O, 00).
16. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 6 es uni­
forme en el intervalo
[a, 00), pero que no es uniforme en el intervalo (0, 00).
17. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 7 es uni­
forme en el intervalo
[a, 00), pero que no es uniforme en el intervalo [O, 00).
18. Demostrar que la convergencia de la sucesión del ejercicio 8 es uniforme en [O, 00).
19. Demostrar que la sucesión (x
2
e-
I1X
)
converge uniformemente en [O, 00).
20. Demostrar que si a > O, entonces la sucesión (n
2
x
2
e-
JLY
) converge uniformemente en el
intervalo
[a, 00), pero que no converge uniformemente en el intervalo [O, 00).
21. Demostrar que si U~), (gn) convergen uniformemente aj; g, respectivamente, en el con­
junto
A, entonces U;, + gn) converge uniformemente af + g en A.
22. Demostrar que sifn(x) :== x + l/n y f(x) :== x para x E R, entonces (fn) converge unifor­
memente
afen R, pero que la sucesión (1,7) no converge lmiformemente en IR. (Por
tanto, el producto de sucesiones uniformemente convergentes
de funciones pueden no
converger uniformemente.)
23. Sean
U;,), (gl1) sucesiones de funciones acotadas en A que convergen uniformemente a
f, g, respectivamente, en A. Demostrar que (fngn) converge uniformemente afg en A.
24. Sea (/,,) una sucesión de funciones que converge uniformemente a f en A y que sa-
tisface
U;,(x) 1 ::;; M para toda n E N Y toda x E A. Si g es continua en el intervalo
[-M, M], demostrar que la sucesión (g o j;,) converge uniformemente a g o f en A.
Con frecuencia es conveniente saber si el límite de una sucesión de funciones es
una función continua, una función derivable o una función Riemann integrable.
Desafortunadamente, no siempre es el caso que el límite de una sucesión de
nm­
ciones posea estas útiles propiedades.
8.2.1 Ejemplos a) Sea
gnCx) := xn para x E [O, 1) Y n E N. Entonces, como se
señaló en el ejemplo 8.1.2b,
la sucesión (gn) converge puntualmente a la función
g(x):= {~
para O:::; x < 1,
para x = 1.

301. 8.2 Intercambio de límites
Aun cuando todas las funciones gn son continuas en x = 1, la función límite g no
es continua en
x = 1. Recuérdese que en el 8.1.6b se demostró que esta
sucesión no converge uniformemente a
g en [O, 1].
Cada una de las funciones gn(x) = xn del inciso a) tiene derivada continua en
[O, 1]. Sin embargo, la función límite g no tiene derivada en x = 1, ya que no es
continua en ese punto.
e) Sea que In : [O, 1] ---'> lR esté definida para n ¿ 2 por
para
O:;; x :;; l/n,
para l/n:;; x :;; 21n,
para 2 In :;; x :;; 1.
(Véase la figura 8.2.l.) Es evidente que cada una de las funciones In es continua
en
[O, 1]; en consecuencia, son Riemann integrables. Sea por medio de un cálculo
directo o con referencia a la interpretación
de la integral como un área, se obtiene
para
n ~ 2.
El lector puede demostrar que
fn(x) ---'> O para toda x E [O, 1]; y en consecuen­
cia, la función límite
f se anula y es continua (y por consiguiente, integrable), y
aSÍ, f6 f(x) dx = o. Se llega así a la incómoda situación en la que:
o 1 2,
n n
Figura 8.2.1 Ejemplo 8.2.1c.
d) Quienes consideren "artificiales" las funciones In del inciso c) quizá prefieran
considerar la sucesión
(h
n
) definida por hn(x) := 2nxe-
nx2
para x E [O, 1], n E N.
Puesto que h
n == H~, donde Hn(x) := _e-
nx2
,
por el teorema fundamental 7.3.1 se
obtiene

302. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
demostrar que
1
h
1
= O para toda x E por con-
h
n
(x)dx. o
Aun cuando la discontinuidad de la función límite del 8.2.1a no es muy
grande,
es evidente que pueden construirse ejemplos más complicados que produci­
rán lma discontinuidad más De cualquier modo, debe abandonarse la espe­
ranza
de que el límite de una sucesión convergente de funciones continuas [o, en su
caso, derivables, integrables] será continuo
[o, en su caso, derivable, integrable].
Se verá a continuación que la hipótesis adicional
de la convergencia uniforme
es una condición suficiente para garantizar que ellímÍíe de una sucesión de fun­
ciones continuas
es continuo. Se establecen asimismo resultados similares para
sucesiones de hmciones derivables e integrables.
Intercambio dellímlte y la continuidad _____________ _
8.2.2
Teorema Sea (f
n
) una sucesión de fimeiones continuas en un conjunto
A ~ lR Y suponer que (f
n
) converge uniformemente a una fimeión f : A -'7 lR en A.
Entonces f es continua en A.
Demostración. Por hipótesis, dada l' > O existe un número natural H:= H(~I')
tal que si n ~ H entonces Ifn(x) - f(x) I < ~I' para toda x E A. Sea e E A un punto
arbitrario;
se demostrará que f es continua en e. Por la desigualdad del triángu­
lo
se tiene
I f(x) -f(e) 1::; I f(x) -fH(x) I + I fH(x) -fH(e)1 + I fH(e) -j(e)1
::; .1 e + I f H( x) -f H( e ) I + .1 e .
3 .3
Puesto que fH es continua en e, existe un número o := o (11', e, fH) > O tal que si
Ix -el < o y X E A, entonces I fH(X) -fH(e) I < 11'· Por lo tanto, si Ix -el < ¿¡ y
X
E A, entonces se tiene Ifex) - f(e) I < 1'. Puesto que l' > O es arbitraria, con esto
se establece la continuidad defen el punto arbitrario e E A. (Véase la figura 8.2.2.)
Q.E.D.
f + E/3
(e, f¡¡(e))
f -El3
Figura 8.2.2 If(x) - f(e) I < s.

303. 8.2 Intercambio de límites
Observación Aun cuando la
nes continuas
es condición suficiente para ",,,-,,,,iC'7" función
no es condición necesaria. (Véase el
Se mencionó en la sección
6.1 que Weierstrass demostró que la función definida
por la serie
k=O
es continua en todo punto pero no tiene derivada en ningún de 1Ft Al consi-
derar las sumas parciales de esta serie, se obtiene una sucesión de funciones
que tienen derivada en todo punto y que convergen uniformemente a
f aun
cuando la sucesión de funciones derivables (1;)
es uniformemente convergente, no
se sigue que la función límite es derivable.
Se demuestra a continuación que
si la sucesión de derivadas (j~) es unifor­
memente convergente, entonces
jn también lo es. Si se agrega la hipótesis de que
las derivadas sean continuas, entonces
es posible dar una demostración corta basa­
da en la integral. el ejercicio 11.) Sin embargo, si no se supone que las
derivadas son continuas, se requiere un razonamiento un tanto más elaborado.
8.2.3 Teorema
Sea J <;;;: m:. un intervalo acotado y sea (f
n
)
una sucesión
ciones de
J a 1Ft Suponer que existe Xo E J tal que (fn(xo) converge y que la suce­
sión
(f~) de derivadas existe en J y converge unifonnemente a unafimción gen
Entonces la sucesión «(1) converge uniformemente a una fimción f en J que
tiene derivada en todo punto de
J y 1" =::: g.
Demostración. Sean a < b los puntos terminales de sea x E J arbitraria. Si
m, n E N, se el teorema del valor medio 6.2.4 a la diferencia1;n -In en el
intervalo con puntos terminales
xo, x. Se concluye que existe un y
depende de m, n) tal que
Se tiene por tanto
Del teorema 8.1.10, de y de la hipótesis de que
(!n(xo) es convergente y que
(j~) es uniformemente convergente enJ, se sigue que (In) es uniformemente con­
vergente en
J. El límite de la sucesión se denota Puesto que las In son
todas continuas y la convergencia es uniforme, del teorema 8.2.2 se sigue
quejes
continua en J.

304. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Para establecer la existencia de la derivada defen un punto e E J, se aplica el
teorema del valor medio 6.2.4
afm -1;, en el intervalo con puntos terminales e, x.
Se concluye que existe un punto z (que depende de 111, n) tal que
En consecuencia, si x '* e, se tiene
x-e
Puesto que_(f~) converge uniformemente en J, si 8 > O está dada, existe H(8) tal
que si
111, n ;::: H(8) Y x '* e, entonces
f(x)-f(e)
_ n n ~ s. (2)
x-e x-e
Si se toma el límite en (2) con respecto a 111 y se usa el teorema 3.2.6, se tiene
fex) -f(e)
~ s.
x-e x-e
siempre que x '* e, n ~ H(8). Puesto que g(e) = lím(f~(e», existe N(8) tal que si
n ~ N(8), entonces If~(e) -g(e) I < 8. Ahora sea K := SUp{H(8), N(8)}. Puesto que
fkC e) existe, y existe o ¡;( 8) > O tal que si O < Ix - e I < o ¡;( 8), entonces
fK(x) -fK(e) _ fx(e)
< s.
x-e
Al combinar estas desigualdades, se concluye que si O < Ix -el < o ¡;( 8), entonces
!
f(x) -f(e) _ g(e)! < 3s.
x-e
Puesto que 8> O es arbitraria, con esto se demuestra quef'(e) existe y que es igual
a
g( e ). Puesto que e E J es arbitraria, se concluye que f' = g en 1. Q.E.D.
Intercambio del limite y la integral _____________ • _ _ __
En el ejemplo 8.2.lc se vio que si (In) es una sucesión R[a, b] que converge en
[a, b] a una funciónfen R.[a, b], entonces no necesariamente ocurre que
J
b
f = lím Jb f
n
.
a n---tCXJ a
(3)

305. 8.2 Intercambio de límites
Se demostrará a continuación que la convergencia
condición suficiente para que esta
de la sucesión es tilla se cumple.
8.2.4 Teorema Sea (f
n
) una sucesión dejúnciones en R[a, b] y suponer que
(f
n
) converge a f en [a, b]. Entonces fE: R[ a, b] Y se cumple.
Demostración.
Del criterio de Cauchy 8.1.10 se sigue que, dada e> O, existe
H(c) tal que si m > n "2. H( e), entonces
El teorema 7.1.4 implica que
b
-s(b-a)S J
n
S s(b -a).
Puesto que e > O es arbitraria, la sucesión (J g fm) es una sucesión de Cauchy en lR
y por lo tanto converge a algún número, digamos A E: R
Se demuestra ahora que
J E: R[a, b] con integral A. Si e > O está dada, sea
K(c) tal que si m > K(c), entonces Iln,(x) - f(x) 1 < e para toda x E: [a, b]. Si
P:= {([xi-l, x¡], ti)}7=¡ es cualquier partición etiquetada de [a, b] y si m >
entonces
n
. .
ISCf
m
;P)-S(J;P)I=
n
:::; J
m
(tJ-J(t¡)I(x¡ -x¡_I)
¡=I
n
:::;Ls(x¡ -x¡_I)=s(b-a).
¡=I
Se elige ahora r"2. K(c) tal que 1 fg JI' -Al < e y se hace que 01' c > O sea tal que
I f g JI' -S(!,.; p) 1 < e siempre que IIP 11 < 0r, c' Se tiene entonc~s
b
IS(f;P)-A ISIS(f;P)-S(fr;P)I+ S(fr;P)-f
r +
S s (b -a) + s + s = s (b -a + 2).
b
J
r
-A
Pero como e > O es arbitraria, se sigue que f E R[ a, b] Y f g f = A. Q.E.D.
La hipótesis de convergencia uniforme es muy rígida y restringe la utilidad de
este resultado. En la sección lOA se llega a generalizaciones de largo alcance del
teorema 8.2.4. Por el momento, se enuncia un resultado
que no requiere la unifor-

306. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
midad de la convergencia, pero sí que la función límite sea Riemann HU"J",JJaL"".
Se omite la demostración.
8.2.5 Teorema de acotada Sea (f
n
) una sucesión en R[a, b]
que converge en [a, b] a una fitnción fE R[ a, b]. Suponer asimismo que existe
B > O tal que I fn(x) I ::; B para toda x E [a, b], n E N. Entonces se cumple la
ecuación (3).
Se concluye esta sección con un famoso teorema debido a Ulisse Dini (1845-
1918) que ofrece un recíproco parcial del teorema 8.2.2 cuando
la sucesión es
monótona. Se presenta una demostración utilizando medidas no constantes (véase
la sección 5.5).
8.2.6 Teorema de Dini Suponer que (f
n
)
es una sucesión monótona de fitncio­
nes continuas
en 1 := [a, b] que converge a una fitnción continua f en I. Entonces
la convergencia de la sucesión es uniforme.
Demostración.
Se supone que la sucesión (In) es decreciente y sea gm :=1,,, -f
Entonces (gm) es una sucesión decreciente de funciones continuas que convergen
a
la función O en 1. Se demostrará que la convergencia es uniforme en 1.
Dadas E > O Y t E l, existe ms,t E N tal que O ::; gmE,t (t) < E/2. Puesto que gmE,t
es continua en t, existe 0E(t) > O tal que O ::; gmE,t(.,Y) < E para.toda x E l que satis­
face
Ix -ti ::; 0s(t). Por tanto, Os es una medida sobre l, y si P= {(li' t¡)}7=1 es una
partición fina-os' se hace ME := máx {mE t1' "', mE t }. Si m ;;: Ms Y x E l, entonces
, , n
(por el lema 5.5.3) existe un Índice i con Ix -til ::; 0E(tD Y en consecuencia
Por lo tanto, la sucesión
(gm) converge unifoIDlemente a la función O. QE.D.
En los ejercicios se verá que no es posible descartar ninguna de las tres hipó­
tesis: (i) las funciones
In son continuas, (ii) la función límite f es continua, (iii) l
es
un intervalo acotado cerrado.
Ejercicios de la sección 8.2
1. Demostrar que la sucesión ((xn/(l + x/)) no converge uniformemente en [O, 2] estable­
ciendo que la función límite no
es continua en [O, 2].
2. Demostrar que la sucesión del ejemplo 8.2.1c es un caso de una sucesión de funciones
continuas que converge de manera no uniforme a un límite continuo.
3. Construir una sucesión de funciones en
[O, 1], cada una de las cuales sea discontinua
en todo punto de
[O, 1] Y cada una de las cuales converja uniformemente a una función
que
es continua en todo punto.

307. 8.2 Intercambio de límites
Suponer que e/;,) es una sucesión de funciones continuas en un intervalo conver­
ge uniformemente a una función f en 1. Si (x
n
) h I converge a Xo E 1, demostrar que
lím(/,,(xn» =f(xo)·
5. Sea f: lR --'7 lR unifonnemente continua en lR y sea /;/x) := + lln) para x E .IR.
Demostrar que converge uniformemente af en .IR.
6. Sea/;,(x) := 1/(1 + x)" para x E [0, 1]. Encontrar el límite puntualfde la sucesión (/,,)
en
[O, 1]. ¿Converge uniformemente U;,) afen [O, 1]7
7. Suponer que la sucesión (In) converge uniformemente a f en el conjunto A y suponer
que
cadaln está acotada en A. (Es decir, para toda n existe una constante tal que
I/;,(x) I
~ M
n para toda x E A.) Demostrar que la funciónf está acotada en A.
8. Sea /;,(x) := nx/(l + nx
2
)
para x E A := [O, 00). Demostrar que cadaf~ está acotada en
A, pero el límite puntualf de la sucesión no está acotado en A. ¿Converge uniforme­
mente
(In) afenA?
9. Sealn(x) := x"ln para x E [0, 1]. Demostrar que la sucesión (In) de ftmciones deriva­
bles converge uniformemente a una función
derivablefen [0,1] Y que la sucesión (f;')
converge en [O, 1] a una función g, pero que gel) "" 1'(1).
10. Sea
gnCx) := e-nxln para x:::: O, n E N. Examinar la relación entre lím(gn) y lím(i,,).
11. Sea
1:= [a, b] y sea U~) una sucesión de funciones en 1 --'7lR que converge afen 1.
Suponer que cada derivada f;' es continua en I y que la sucesión (f;') es uniformemen­
te convergente a
gen 1. Demostrar que f(x) -fea) = J; g(t) dt y quef'(x) = g(x) para
toda x
E 1.
12. Demostrar que lím n e-
nx2
dx = O.
13. Si a > O, demostrar que lím J:(sen nx)/(nx) dx = O. ¿Qué ocurre si a = O?
14. Sealn(x) := nxl(1 + nx) para x E [O, 1]. Demostrar que C.fn) converge de manera no uni­
forme a una función
integrablefy que J6/ex) dx= lím J6.fn(x) dx.
15. Sea gn(x) := nx(l - x)n para x E [O, 1], n E N. Discutir la convergencia de (gn) y
U¿ gn dx).
16. Sea {rI, r20 .. " rl1' ... } una enumeración de los números racionales en 1:= [0,1] Y sea
que
In : 1 --'7 lR esté definida como 1 si x = rI, .. " r
n
y como ° en caso contrario.
Demostrar
queln es Riemann integrable para toda n E N, queJi(x) ~h.(x) ~ ... ::;
,fn(x) ::; .. " y que/ex) := límC¡;,(x» es la función de Dirichlet, la cual no es Riemaun
integrable en
[O, 1].
17. Sea/nex) := 1 para x E (O, l/n) y In (x) := ° en cualquier otro punto de [O, 1]. Demostrar
que
(In) es una sucesión decreciente de funciones discontinuas que converge a una fun­
ción límite continua, pero la convergencia no es unifonne en
[O, 1].
18. Sea In (x) := xn para x E [O, 1], n E N. Demostrar que e/;,) es una sucesión decreciente
de funciones continuas que converge a una función que no
es continua, pero la conver­
gencia no
es unifonne en [O, 1].

308. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
19. Sea/,,(x) := x/n para x E [0,00), n E N. Demostrar que (/,,) es una sucesión decrecien­
te de funciones continuas que converge a
una función límite continua, pero la conver­
gencia no es uniforme en
[O, 00).
20. Dar un ejemplo de lilla sucesión decreciente (/,,) de funciones continuas en
[O, 1] que con­
veIja a una función límite continua, pero que la convergencia no es unifonne
en [O, 1).
Se introducen a continuación las funciones exponencial y logarítmica y se dedu­
cen algunas de sus propiedades más importantes. En secciones anteriores de este
libro se supuso cierta familiaridad con estas funciones con el fin de examinar los
ejemplos. Sin embargo, en algún punto es necesario asentar estas funciones sobre
bases firmes a fin
de establecer su existencia y determinar sus propiedades básicas.
Ello se hace aquí. Hay varios enfoques alternativos que pueden adoptarse para
conseguir este objetivo. Se procede demostrando primero la existencia de una fun­
ción que es
la derivada de sí misma. A partir de este resultado básico, se obtienen
las principales propiedades de
la función exponencial. La función logaritmo se
introduce después como la inversa de la función exponencial y esta relación inver­
sa se usa para deducir las propiedades de la función logaritmo.
La función exponencial ___________________________ _
Se empieza estableciendo el fundamental resultado de existencia para la función
exponencial.
8.3.1
Teorema Existe una fitnción E : :IR ---+ :IR tal que:
(i) E/(x) = E(x) para toda x E :IR.
(ii) E(O) = l.
Demostración.
tinuas como sigue:
Se define inductivamente una sucesión
(En) de funciones con-
(1)
x
(2)
para toda
n E N, x E :IR. Evidentemente, El es continua en:IR y en consecuencia es
integrable en cualquier intervalo acotado. Si se ha definido
En Y es continua en :IR,
entonces es integrable en cualquier intervalo acotado, por lo que En+! está bien
definida por la fórmula anterior. Además, del teorema fundamental (segunda
forma) 7.3.5 se sigue que
En+! es derivable en cualquier punto x E :IR Y que
para
nEN. (3)

309. 8.3 Las funciones exponencial y logarítmica
Mediante un razonamiento de inducción matemática
se establece que
cual se le
x x2 xn
E (x)=l+-+-+···+-para xElR.
n 1! 2! ni
Sea A > O que está dada; entonces si Ixl ::;; A Y m > n > 2A, se tiene
I I
I
xn+I xm I
E (x) -E (x) = --+ ... +-
m n (n+1)1 mi
An+I [A ( A r-
n
-
I
1
::;; (n+1)! l+-;+"'+l-;)
An+I
<---2.
(n+1)!
al lector)
(4)
(5)
Puesto que
lím(An/n!) = 0, se sigue que la sucesión (En) converge uniformemen­
te en el intervalo
[-A, A], donde A> O es arbitraria. En particular esto significa que
(En (x») converge para toda x E JR. Se define E : lR -¿ lR por
E(x):=lÚllEn(x) para xElR.
Puesto que toda x E lR está contenida dentro de algún intervalo [-A, A], del teore­
ma 8.2.2 se sigue que E es continua en x. Además, es evidente a partir de (1) y (2)
que
En(O) = 1 para toda n E N. Por lo tanto, E(O) = 1, con lo que se demuestra (ii).
En cualquier intervalo
[-A, A] se tiene la convergencia uniforme de la suce­
sión
(En)' Con base en (3), se tiene también la convergencia uniforme de la sucesión
(E~) de las derivadas. Se sigue, por lo tanto, por el teorema 8.2.3, que la función lí­
mite E es derivable en [--cA, A] Y que
E' (x):= lÚll (E~(x» = lÚll (En_I(x» = E (x)
. para toda x E [-A, A). Puesto que A> ° es arbitraria, el enunciado (i) queda esta-
blecido.
Q.E.D.
8.3.2 Corolario La/unción E tiene derivadas de todos los órdenes y E(n)(x) =
E(x) para toda n E N, x E .IR.
Demostración. Si n = 1, el enunciado es simplemente la propiedad (i). Se sigue
para n E N arbitraria por inducción matemática. Q.ED.
8.3.3 Corolario Si x > 0, entonces 1 + x < E(x).
Demostración. Por (4) es claro que si x > 0, entonces la sucesión (En(x» es
estrictamente creciente.
En consecuencia, E¡(x) < E(x) para toda x> O. Q.E.D.
Se 4emuestra enseguida que la función E, cuya existencia se estableció en el
teorema 8.3.1, es única.

310. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
8.3.4 Teorema La función E : IR --7 IR que satisface y del teorema 8.3.1
es única.
Demostración.
Sean El y E
2
dos funciones de IR a IR que satisfacen las propie-
dades y (ii) del teorema 8.3.1 y
sea F := El -E
2
. Entonces
F'(x) = E{(x) -E~(x) = E
1(x)-E
2
(x) = F(x)
para toda x E IR Y
F(0)=E
1
(0)-E
2
(0) = 1-1 = O.
Resulta evidente (por inducción matemática) que F tiene derivadas de todos los
órdenes
y, de hecho, que F(I1)(X) = F(x) para 17 E N, x E IR.
Sea x E IR arbitraria y sea Ix el intervalo cerrado con puntos terminales O, x.
Puesto que F es continua en ~'(, existe K> O tal que I F(t) I :s; K para toda t E Ix. Si
se aplica el teorema
de Taylor 6.4.1 a F en el intervalo Ix Y se usa el hecho de que
F(k)(O) = F(O) = O para toda k E N, se sigue que para toda 17 E N existe un punto
c
n
E ~'( tal que
F'(O) F(n-l) F(I1)(C
I1
)
F(x)=F(O)+--x+ ... + x
n
-
1 + xl1
1! (n-1)! n!
F(c
l1
)
=---x
l1
.
Se tiene por lo tanto
n!
Klxl
n
I F ( x ) I :s; ----'---'­
n!
para toda n E N.
Pero como lím(
Ix I n/ni) = O, se concluye que F(x) = O. Puesto que x E IR es arbi­
traria, se infiere que
El (x) -E
2
(x) = F(x) = O para toda x E IR. Q.E.D.
La terminología y la notación convencionales para la función E (de la cual se
sabe ahora que existe y es única) se dan en la siguiente definición.
8.3.5 Definición A la función única
E: IR --7 IR tal que E'(x) = E(x) para toda
x E IR y E(O) = 1 se le llama la función exponencial. Al número e := E(l) se le
llama el
número de Euler. Con frecuencia se escribirá
exp(x):= E(x) o eX:=E(x) para XElR.
El número e puede obtenerse como un límite, y por consiguiente aproximarse,
de varias maneras diferentes. [Véanse los ejercicios 1
y 10, Y el ejemplo 3.3.6.]
El uso de la notación
eX para E(x) se justifica por la propiedad (v) del siguien­
te teorema, donde se establece que si
r es un número racional, entonces E(r) y el'
coinciden. (Los exponentes racionales se examinaron en la sección 5.6.) Así, la
función
E puede considerarse como una ampliación de la idea de exponenciación
de números racionales a números reales arbitrarios. Para una definición de a
X
para
a> O Y x E IR arbitraria, véase la definición 8.3.10.

311. 8,3 Las funciones exponencial y logarítmica
8.3.6 Teorema Lafimción exponencial satisface las
"* ° para toda x E IR;
para toda x, y E IR;
E(r) = el" para toda r E Q,
Demostración. (iii) Sea a E IR tal que = ° y sea J
a
el intervalo cerrado
con puntos terminales
0, a. Sea K?: I E(t) I para toda tE, El teorema de
6.4,1 implica que para toda
n E N existe un punto c
n
E tal que
E'(a) E(n-l)(a)
l=E(O)=E(a)+--(-a)+"",+ n-l
l! (n-
E(n)(a) E(c)
+ (-a)n = __ n_(_a)n.
(n)! n!
Se tiene, por tanto, 0<1 :s; (K/n!)la In para n E N, Pero como lím(la In/n!) = 0,
esto es una contradicción,
(iv) Sea
y fija; por (iii) se tiene E(y) "* O, Sea que G: IR ~ IR esté definida por
G(x):= E(x+ y)
E(y)
para x EIR,
Evidentemente, se tiene G/(x) = E/(x + y)/E(y) = E(x + y)/E(y) = G(x) para toda
x E IR, Y G(O) = ECO + y)/E(y) = 1. De la unicidad de E, demostrada en el teorema
8,3.4, se sigue que G(x) = E(x) para toda x E IR. En consecuencia, E(x + y) =
E(x)E(y)
para toda x E IR. Puesto que y E IR es arbitraria, se obtiene (iv).
(v)
De (iv) y por inducción matemática se sigue que si n E N, x E IR, en­
tonces
E(nx) = E(x)n.
Si se hace x = 1/n, esta relación implica que
de donde se sigue que
E(l/n) = e
l
/
n
,
Se tiene asimismo E(-m) = l/E(m) = l/e
m
=
cm para m E N, Por lo tanto, si m E Z, n E N, se tiene
Con esto se establece (v),
Q.ED,
8.3.7 Teorema La fimción exponencial E es estrictamente creciente en IR y
tiene codominio igual a
{y E IR : y> O}, Además, se tiene
(vi) lím E (x) = O Y lím E ( x ) = 00,
x~co

312. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Demostración. Se sabe que E(O) = 1 > O Y que =F O para toda x E R Puesto
que
E es continua en lR, del teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.7 se
sigue que
E(x) > O para toda x E R Por lo tanto, E'(x) = E(x) > O para x E lR, por
lo que
E es estrictamente creciente en R
Del corolario 8.3.3 se sigue que 2
< e y que Hm E(x) = oo. Asimismo, si
X-700
z> O, entonces como O < E(-z) = lIE(z) se sigue que Hm E(x) = O. Por lo tanto,
X-7-00
por el teorema del valor intermedio 5.3.7, today E lR cony > O pertenece al codo­
minio de
E. Q.E.D.
Se ha visto que la función exponencial E es una función derivable estrictamente
creciente con dominio
lR y codominio {y E lR : y > O}. (Véase la figura 8.3.1.) Se
sigue que
E tiene una función inversa.
Figura 8.3.1 Gráfica de E. Figura 8.3.2 Gráfica de L.
8.3.8 Definición La función inversa de E : lR ---7 lR se llama el logaritmo (o el
logaritmo natural). (Véase la figura 8.3.2.) Se denotará por L o por In.
Puesto que E y L son funciones inversas, se tiene
(LoE)(x)=x para toda x E lR
y
(EoL)(y)=y para toda y E lR, y> O.
Estas fórmulas también pueden escribirse en la forma
In eX =x, e
1ny
= y.
8.3.9 Teorema El logaritmo es una función L estrictamente creciente con
dominio
{x E lR : x > O} y codominio R La derivada de L está dada por
(vii) L/(x) = l/x para x> O.

313. 8.3 Las funciones exponencial y logarítmica
El logaritmo satisface la ecuación fitncional
L(xy) =
+ Ley) para x > O, y> O.
Además, se tiene
= O Y L(e) = 1,
= rL(x) para x> 0, r E Ql.
lím L(x)=-oo y lím L(x)=oo.
X---70+ X---7C()
Demostración. El que L es una función estrictamente creciente con dominio
{x E lR : x > O} y codominio lR se sigue del hecho de que E es estrictamente cre­
ciente con dominio
lR y codominio {y E lR : y > O}.
(vii) Puesto que E'ex) = E(x) > O, del teorema 6.1.9 se sigue que L es deriva­
ble
en (O, 00) y que
L'( ) 1
x = (E'oL)(x) (EoL)(x) x
para
x E (O, 00 ).
(viii) Si x > O, Y > O, sea u := L(x) y v := L(y). Entonces se tiene x = E(u) Y
y = E(v). De la propiedad (iv) del teorema 8.3.6 se sigue que
xy = E(u)E(v) = E(u + v),
de donde L(xy) = (L o E)(u + v) = u + v = L(x) + L(y). Con esto se establece (viii).
Las propiedades de (ix) se siguen de las relaciones
E(O) = 1 Y E(l) = e.
(x) Este resultado se sigue de (viii) y por inducción matemática para n E N, y
se amplía a
r E Ql mediante razonamientos similares a los de la demostración de
8.3.6(v).
Para establecer la propiedad (xi) se observa primero que como
2 < e, entonces
lím(e
n
)
= 00 y lím(e-
n
)
= O. Puesto que L(e
n
) = n y
L(e-
n
)
= -n, del hecho de que
L es estrictamente creciente se sigue que
lím L(x)=límL(en)=oo y lím L(x)=límL(e-n)=-oo. Q.E.D.
X---7
CO X---7O+
Funciones potencia _____________________ _
En la definición 5.6.6 se abordó la función potencia x t---+ xr, X > 0, donde r es un
número racional. Mediante el uso de las funciones exponencial y logaritmo es
posible ampliar
la noción de funciones potencia de potencias racionales a poten­
cias reales arbitrarias.
8.3.10 Definición Si
a E lR y x> O, el número rx se define como
x
ex := eexlnx = E(aL(x».
A la función x f---+ :x? para x> O se le llama la función potencia con exponente a.

314. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Nota Si x > O ya = m/n, donde In E Z, n E N, entonces en la sección 5.6 se defi­
nió
x
a := (X
I11
)l/l1. Se tiene por tanto In x
a = a ln x, de donde x
a = e
1n
x
a
= ea ln x.
Por consiguiente, la definición 8.3.10 es congruente con la definición dada en la
sección
5.6.
Se enuncian a continuación algunas de las propiedades de las funciones poten­
cia. Sus demostraciones son consecuencias inmediatas de las propiedades de las
funciones exponencial
y logaritmo y se dejan al lector.
8.3.11 Teorema Si ()( E IR Y x, Y pertenecen a (O, 00), entonces:
a) 1
cx
= 1, xcx>O,
e) (xy)CX = xcxycx, (x/y)CX = xcx/ycx.
8.3.12 Teorema Si ()(, ~ E IR Y x E (O, 00), entonces:
a) xcx+~ = xcxx~, (XCX)~ = xcx~ = (x~)CX,
e) X
CX
= l/x
cx
, si ()( < ~, entonces X
CX
< x~ para x > 1.
El siguiente resultado se refiere a la derivabilidad de las funciones potencia.
8.3.13 Teorema Sea ()( E IR. Entonces la fitnción x 1-----+ X
CX
de (O, 00) a IR es con-
tinua
y derivable, y
DxCX = ()(X
cx
-
1
para x E (O, 00).
Demostración. Por la regla de la cadena se tiene
para
x E (0,00 ) .
Q.E.D.
En un ejercicio se verá que si a > O, la función potencia x 1-----+ ~ es estricta­
mente creciente de
(O, 00) a IR y que si a < 0, la función x 1-----+ ~ es estrictamente
decreciente. (¿Qué ocurre si
a = 07)
Las gráficas de las funciones x 1-----+ ~ de (O, 00) a IR son similares a las de la
figura
5.6.8.
Si a > 0, a ::/= 1, en ocasiones resulta conveniente definir la función loga.
8.3.14 Definición Sea a > 0, a ::/= 1. Se define
lnx
loga(x):=-para XE(O,oo).
lna
Para x E (O, 00), al número 10gaCx) se le llama el logaritmo de x base a. El caso
a = e produce la función logaritmo (o logaritmo natural) de la definición 8.3.8. El

315. 8.3 Las funciones trigonométricas
caso a = O la función
con frecuencia en cálculos. Las
los ejercicios.
sección 8.3
1. Demostrar que si
x > O Y si n > 2x, entonces
en
Usar esta fórmula para demostrar que 2~ < e < 2~ Y que, por lo tanto, e no es un entero.
2. Calcular
e con cinco cifras decimales de precisión.
3. Demostrar que si O
:,; x:'; a y n E N, entonces
X xn x xn-1 ea xl1
1+-+ .. ·+-:'; eX :';1+-+ .. ·+---+--.
1! n! 1! (n-l)! ni
4. Demostrar que si n ;:: 2, entonces
(
1 1 )
e
O<en!-1+1+-+ .. ·+-n!<--<l.
2! n! n+1
Usar esta desigualdad para demostrar que e no es un número racional.
5. Si
x;:: O Y n E N, demostrar que
I (-x)11
--= 1-x+x2 -x3 + .. ·+(_x)"-1 +---.
x+1 l+x
Usar este resultado para demostrar que
y que
X2 x3 x"
In(x+1) = x--+-_· .. +(_1)11-1_+
2 3 n
(-t )"
--dt
l+t
ln(x+1)-x--+-_ .. ·+(_l)n-l -:';--.
I
(
x2 x
3 xnJI xn+l
2 3 n n+1
6. Usar la fórmula del ejercicio precedente para calcular In 1.1 y In 1.4 con cuatro cifras
decimales de precisión. ¿Qué tan grande debe elegirse
n en esta desigualdad para
calcular In 2 con cuatro cifras decimales de precisión?
7. Demostrar que In(e/2) = 1 -In 2. Usar este resultado para calcular In 2 con cuatro cifras
decimales de precisión.
8. Seaf: R ---+R tal quef'(x) =f(x) para toda x E R. Demostrar que existeKE R tal que
f(x) = K~ para toda x E R.

316. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
9. Sea ale > O para le = 1, .. " n y sea A := (al + ... + a
l1
)1n la media aritmética de estos
números. Para cada
k, incorporar x" := alelA -1 en la desigualdad 1 + x::; e (válida para
x ;:: O). Multiplicar los términos resultantes para demostrar la desigualdad de la media
aritmética-geométrica
(6)
Además, demostrar que la igualdad
en (6) se cumple si y sólo si al = a2 = ... = ano
10. Evaluar L'(l) utilizando la sucesión (l + l/n) y el hecho de que e = lím((l + l/n)I1).
11. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.11.
12. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.12.
13.
a) Demostrar que si a > 0, entonces la función x f-t x
a
es estrictamente creciente de
(O, 00) a IR y que lím x
a = ° y lím x
a = oo.
X--70+ X--700
b) Demostrar que si a < 0, entonces la función x f-t x
a
es estrictamente decreciente
de
(O, 00) a IR y que lím x
a = 00 y lím x
a = O.
X--7O+ X--700
14. Demostrar que si a > 0, a * 1, entonces alaga x = X para toda x E (O, 00) Y 10ga(aY) = Y
para toda y E IR. Por lo tanto, la función x f-t loga x de (O, 00) a IR es la inversa de la
nmción y
f-t aY en IR.
15. Si a > 0, a * 1, demostrar que la función x f-t loga x es derivable en (O, 00) y que, asi­
mismo,
D loga x = l/(x In a) para x E (O, 00).
16. Si a > O, a * 1, Y x Y y pertenecen a (O, 00), demostrar que loga (xy) = loga x + loga y.
17. Si a > O, a * 1, Y b > O, b * 1, demostrar que
para
x E (0,00).
En particular, demostrar que 10glO x = (In e/In 10) lnx = (loglO e) In x para x E (0,00).
Jlmto con las funciones exponencial y logarítmica, hay otra colección muy impor­
tante de funciones trascendentales conocidas como las "funciones trigonométricas".
Éstas son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
En
cursos elementales suelen introducirse con base en una perspectiva geométrica en
términos de triángulos, o bien del círculo unitario. En esta sección las funciones
trigonométricas se introducen de manera analítica y después se establecen algunas
de sus propiedades básicas.
En particular, las diferentes propiedades de las funcio­
nes trigonométricas que se usaron en los ejemplos de partes anteriores de
este
libro se deducen con rigor matemático en esta sección.

317. 8.4 Las funciones trigonométricas
Basta considerar las funciones seno y coseno ya que las demás funciones tri­
gonométricas se definen
en términos de estas dos funciones. El tratamiento del
seno y el coseno usado aquí es similar en esencia al que se con la función
exponencial
por cuanto se establece primero la existencia de las funciones que
satisfacen ciertas propiedades
de derivación.
8.4.1
Teorema Existen las funciones C : lR ~ lR Y S : lR ~ lR tales que
C"(x)
= -C(x) y SI/(x) = -S(x) para toda x E lR,
C(O) = 1, C/(O) = O Y SeO) = O, S/(O) = 1.
Demostración. Se definen de manera inductiva las sucesiones (en) y (Sn) de
funciones continuas de
la siguiente manera:
(1)
(2)
(3)
para toda n E N, x E R
Se observa
por inducción matemática que las funciones en y Sn son continuas
en lR y, por tanto, son integrables en cualquier intervalo acotado; en consecuencia,
estas funciones están
bien definidas por las fórmulas anteriores. Además, del teo­
rema fundamental 7.3.5 se sigue que Sn Y en
+
1
son derivables en todo plmto y que
y (4)
Por razonamientos de inducción matemática (que se
le dejan al lector) se de­
muestra que
X2 x4 x2n
e (x)=l--+--···+(-I)n_-
n+1 2! 4! (2n)!'
x3 x5 . x2n+1
S (x)=x--+-_···+(-l)n_--
n+ 1 3! 5! (2 n + 1)!
Sea A > O que está dada. Entonces si Ixl ::; A y m > n > 2A, se tiene que (dado que
A/2n < 1/4):
I I
I
x2n x2n+2 x
2m
-
2 I
em(x) -ene
x
) = (2n)1 - (2n+2)! + ... ± (2m -2)1
(5)
::;~[1+(~)2 + ... + (~)2m-2n-2l
(2n)! 2n 2n
< (~:~!C~}

318. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Puesto que = O, la sucesión converge uniformemente en el
intervalo
[-A, A], donde A > O es arbitraria. En esto que
(C
I1
(x)) converge para toda x E R Se define C: IR -¿ IR por
para x E R
Del teorema 8.2.2 se sigue que C es continua en IR y, como
n E N, que C(O) = 1.
= 1 para toda
Si Ixl ::;A y m;::: n > 2A, de (2) se sigue que
Si se
usa (5) y el corolario 7.3.15, se concluye que
S x - S x < ---A
A2n (16 )
1 m() nC )1-(2n)! 15 '
de donde la sucesión (SI1) converge uniformemente en [-A, Al Se define S : IR -¿ IR
por
S(x) := lím SI1(x) para x E R
Del teorema 8.2.2 se sigue que S es continua en IR y, como SnC0) = O para toda
n E N, que SeO) = O.
Puesto que C~(x) = -SI1-1 (x) para n > 1, de lo anterior se sigue que la sucesión
(C;') converge unifomlemente en [-A, AJ. En consecuencia, por el teorema 8.2.3,
la función límite
C es derivable en [-A, A] y
C/(x)= límC~(x) = lím(-Sn_1(x» = -S(x) para x E [-A, A].
Puesto que A > ° es arbitraria, se tiene
C
I (x) = -S (x) para x E IR. (6)
Con un razonamiento similar, basado en el hecho de que S:,(x) = Cn(x), se demues­
tra que
S es derivable en IR y que
S I ( X ) = C ( x ) para x E IR. (7)
De (6) y (7) se sigue que
C"(x) = -(S(X»' = -C(x) y SI/(x)= (C(X)' = -S(x)
para toda x E R Además, se tiene
C/(O) = -SeO) = O, S/(O)=C(O)=l.
Por tanto, los enunciados (i) y (ii) quedan demostrados. Q.E.D.

319. 8.4 Las funciones trigonométricas
Corolario Si S son
y
,cttlUUltt" del teorema 8.4.1, entonces
para x E R
Además, estas funciones tienen derivadas de todos los órdenes.
Las fórmulas (íii) se establecieron en y La existencia de
las derivadas de orden superior se sigue por inducción matemática.
Q.E.D.
8.4.3 Corolario Las jitnciones e y S satisfacen la identidad de Pitágoras:
(C(x))2 + (S(x))2 = 1 para x E R
Demostración. Seaf(x) := (C(x))2 + (S(x))2 para x E IR, de tal modo que
f'(x) = 2C(x)(-S(x)) + 2S(x)(C(x)) = O para x E R
Se sigue por tanto
quef(x) es una constante para toda x E R Pero comof(O) = 1 +
O = 1, se concluye que f(x) = 1 para toda x E R Q.E.D.
Se establece ahora la unicidad de las funciones C y s.
8.4.4 Teorema Las fimciones e y S que satisfacen las propiedades (i) y (ii) del
teorema
8.4.1 son únicas.
Demostración.
Sean C
l y C2 dos funciones de lR a IR que satisfacen C;(x) =
-Cj(x) para toda x E IR Y Cj(O) = 1, C)(O) = O para} = 1,2. Si se hace D := C
l
-C
2
,
entonces D"(x) = -D(x) para x E IR Y D(O) = O Y DCk\O) = O para toda k E N.
Ahora sea
x E IR arbitraria y sea Ix el intervalo con puntos terminales O, x.
Puesto que D = C
l
-C2 y T:= SI -S2 = Cz -
Cí son continuas en Ix, entonces
existe
K> O tal que I D(t) I ~ K Y I T(t) I ~ K para toda t E Ix-Si se aplica el teo­
rema de Taylor 6.4.1 a D en Ix Y se usa el hecho de que D(O) = O, DCk)(O) = O para
k E N, se sigue que para toda n E N existe un punto c
n
E Ix tal que
D'(O) D(n-l) (O) D(n) (c
n
)
D(x)=D(O)+--x+···+ x
n
-
I + xn
1! (n-1)! n!
D(n)(c
n
)
---"'--xn .
n!
Ahora bien, o D(n)(c
n
) = ±D(c
n
) o D(n)(c
n
) = ±T(c
n ). En cualquiera de los dos ca­
sos se tiene
Klxl
n
ID(x)1 ~ --~ -
n!
Pero como Iím( Ixl nln!) = O, se concluye que D(x) = O. Puesto que x E lR es arbi­
traria, se infiere que C
l (x) -C2(x) = O para toda x E R

320. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
Con un razonamiento similar se demuestra que si S1 y S2 S011 dos funciones en
IR·~ IR tales que SJ(x) = -S}x) para toda x E IR, Y que = O, = 1 para
j = 1, 2, entonces se tiene SI (x) = S2(X) para toda x E IR. Q.E.D.
Ahora que se ha establecido la existencia y unicidad de las funciones e y S, se
dará a estas funciones sus nombres conocidos.
8.4.5 Definición A las funciones únicas C :
IR ~ IR Y S : IR ~ IR tales que
C"~y) = -C(x) y S"(x) = -S(x) para toda x E IR con C(O) = 1, C/(O) = O Y SeO) = O,
S' (O) = 1, se les llama la función coseno y la función seno, respectivamente.
Acostumbra escribirse
cos
x:= C(x) y sen x := S(x) para x E IR.
Las propiedades de derivación presentadas en (i) del teorema 8.4.1 no llevan por
sí mismas a funciones determinadas de manera única. Se tiene la siguiente relación.
8.4.6
Teorema Si f : IR ~ IR es tal que
f"(x) = -f(x) para X E IR,
entonces existen los números reales a, ~ tales que
f(x)
= aC(x) + ~S(x) para x E IR.
Demostración. Sea g(x) := f(O)C(x) + 1'(O)S(x) para x E IR. Se observa de
inmediato que
g"(x) = -g(x) y que g(O) = feO), y como
g/(X)
== -f(O)S(x) + j'(O)c(x),
que t(O) = 1'(0). Por lo tanto, la función h := f -g es tal que h"(x) = -h(x) para
toda x E IR Y h(O) = O, h'(O) = O. Por tanto, de la demostración del teorema prece­
dente se sigue que h(x) = O para toda x E IR. Por lo tanto,j(x) = g(x) para toda
x E IR. Q.E.D.
A continuación se deducen algunas de las propiedades básicas de las funcio­
nes coseno y seno.
8.4.7
Teorema La función C es par y S es impar en el sentido de que
(v) C(-x) = C(x) y S( -x) = -S(x) para x E IR.
Si x, y E IR, entonces se tienen las "fórmulas de adición"
(vi) C(x + y) = C(x)C(y) -S(x)S(y), S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y).
Demostración. (v) Si ¡p(x)
:= C(-x) para x E IR, entonces un cálculo de­
muestra que ¡p"(x) = --<p(x) para x E IR. Además, ¡p(0) = 1 Y ¡p'CO) = O, de donde
¡p = C. Por consiguiente, C(-x) = C(x) para toda x E IR. En una forma similar
se demuestra que Se-x)
= -S(x) para toda x E IR.

321. 8.4 Las funciones trigonométricas
(vi) Sea y E JR;. dada y sea + y) para x E R Un cálculo indica
= -j(x) para x E R Por consiguiente, por el teorema 8.4.6, existen los
números reales
a, 13 tales que
f(x) = C(x + y) = aC(x) + f3S(x) y
= -S(x + y) = -aS(x) + f3C(x)
para x E R Si se hace x = 0, se obtiene C(y) = a y -S(y) = 13, de donde se sigue la
primera fórmula de (vi).
La segunda fórmula se demuestra de manera similar.
Q.E.D.
Las siguientes desigualdades se usaron antes (véase el ejemplo en 4.2.8).
8.4.8 Teorema Si x E JR;., X ;:::: 0, entonces se tiene
-x:::; S(x):::; x; 1 _~x2:::; C(x):::; 1;
1 - ~x2:::; C(x) :::; 1 - ~x2 + f¡x4.
Demostración. El corolario 8.4.3 implica que -1 :::; C(t) :::; 1 para tE JR;., por lo
que si
x;:::: 0, entonces
-x :S C(t)dt:Sx,
de donde se tiene (vii). Si se integra (vii), se obtiene
S ( t ) dt :S ~ x
2
,
de donde se tiene
Se tiene
por tanto 1 - ~x2 :::; C(x), que implica (viii).
La desigualdad (ix) se establece integrando (viii) y, asimismo, (x) se obtiene
integrando (ix).
Q.E.D.
El número J[ se obtiene a partir del siguiente lema.
8.4.9 Lema Existe una raíz y de la función coseno en el intervalo (Ji, 13 ).
Además, C(x) > ° para x E [O, y). El número 2yes la menor raíz positiva de S.
Demostración. La desigualdad (x) del teorema 8.4.8 implica que C tiene una
raíz entre la raíz positiva
Ji de x2 -2 = O y la menor raíz positiva de x
4
-
12x2 +
24 = 0, que es ~ 6 -2 13 < 13. Se hace que y sea la menor de esta raíz de C.

322. Capítulo 8 Sucesiones de funciones
De la segunda fórmula presentada en con x = y se que
Esta relación implica que
S(2y) = O, por lo que 2y es una raíz UVC>''''I''
de S. La misma relación implica que si 20 > O es la menor raíz positiva de S,
entonces C(o) = O. Puesto que y es la menor raíz positiva de se tiene o = y.
Q.E.D.
8.4.10 Definición Sea que n := 2y denote la menor raíz positiva de S.
Nota La desigualdad .Ji < r < ~6-2J3 implica que 2.828 < n < 3.185.
8.4.11
Teorema Las fitnciones C y S tienen periodo 211: en el sentido de que
C(x + 2n) = C(x) y S(x + 2n) = S(x) para x E R
Además, se tiene
S(x) = COn -x) = -C(x + 1n), C(x) = S(1n -x) = S(x + 1n) para toda
XE R
Demostración. (xi) Puesto que S(2x) = 2S(x)C~y) y Sen) = O, entonces
S(2n) = O. Además, si x = yen (vi) se obtiene C(2x) = (c(x)? -(S(x))2. Por lo
tanto,
C(2n) = 1. En consecuencia, (vi) cony = 2n da como resultado
C(x + 2n) = C(x)C(2n) -S(x)S(2n) = C(x),
y
S(x + 2n) = S(x)C(2n) + C~y)S(2n) = S(x).
(xii) Se observa que C(~n) = O Y es un ejercicio demostmr que S(~n) = 1. Si
estos resultados se emplean junto con las fórmulas (vi), se obtienen las relaciones
deseadas.
Q.E.D.
Ejercicios de la sección 8.4
1. Calcular cos(0.2), sen(O.2) y cos 1, sen 1 con cuatro cifras decimales de precisión.
2. Demostrar que I sen x I
:s; 1 Y I cos x I :s; 1 para toda x E R
3. Demostrar que la propiedad (vii) del teorema 8.4.8 no se cumple si x < O, pero que se
tiene Isenxl:S; Ixl para toda x
E RDemostrartambiénque Isenx-xl:S; Ixl3/6para
toda x E IR.
4. Demostrar que si x > O, entonces
X2 x4 x6 x2 x4
1--+ - --:s; cosx:S; 1--+-.
2 24 720 2 24
Usar esta desigualdad para establecer
una cota inferior para lí.

323. 8.4 Las fun<:iones trigonométricas
P1-r',rp,-lpr por bisección de Calcular Ji aproximando el menor cero positivo de sen.
intervalos o usando el método de Newton de la sección 6.4.)
6. Definir de manera inductiva las sucesiones
(c
n
)
y (Sil) por c¡(x) := 1, s¡(x) :=x, y
x
c
l1
(t)dt,
para toda n E N, x E IR. Seguir un razonamiento como el de la demostración del teore­
ma 8.4.1 para concluir que existen las funciones c : IR -+ IR Y S : IR -+ IR tales que
j) c"(x) = c(x) y s"(x) = s(x) para toda x E IR, Y jj) cCO) = 1, c'(O) = O Y seO) = 0,
s'(O) = L Además, c'(x) = s(x) y s'(x) = c(x) para toda x E IR,
7. Demostrar que las funciones c, s del ejercicio precedente tienen derivadas de todos los
órdenes y que satisfacen la identidad
(c(x) f -(s(x)? = 1 para toda x E IR. Además, son
las únicas funciones que satisfacen
j) y jj), (Las funciones c, s se llaman las funciones
coseno hiperbólico y seno respectivamente.)
8. Sif: IR -+IR es tal quef"(x) =f(x) para toda x E IR, demostrar que existen los números
reales
a, f3 tales quef(x) = ac(x) + f3s(x) para toda x E IR. Aplicar el resultado anterior
a las funciones
fi (x) := eX y h(x) := e-X para x E IR, Demostrar que c(x) = ~ (e" + e-X)
y s(x) = ~(e" -e-X) para x E R
9. Demostrar que las funciones c, s de los ejercicios precedentes
son par e impar, respec­
tivamente, y que
c(x + y) = c(x)c(y) + s(x)s(y), s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y),
para toda x, y E lit
10. Demostrar que c(x) ¿ 1 para toda x E IR, que tanto c como s son estrictamente crecien­
tes
en (0,00) Y que lím c(x) = lím s(x) = oo.
X---700 X---7CX)
I ~!
11'11

324. En la sección 3.7 se presentó una breve introducción a la teoría de las series infi­
nitas. Se recomienda
al lector volver a dicha sección ahora, ya que no se repetirán
las definiciones ni los resultados que se dieron en ella.
En la sección
9.1 se introduce la importante noción de la "convergencia abso­
luta" de una serie. En la sección 9.2
se presentan algunos "criterios" para la con­
vergencia absoluta que probablemente le resultarán familiares
al lector por sus
cursos de cálculo. En la tercera sección se abordan las series que no son absoluta­
mente convergentes. En la última sección se estudian las series
de funciones y se
establecen las propiedades básicas de las series de potencias, las cuales son de
gran importancia en las aplicaciones.
Se han visto ya (en la sección 3.7) varias series infinitas que son convergentes y
otras que son divergentes.
ASÍ, en el ejemplo 3.7.6b se vio que la serie armónica:
00
n
n=l
es divergente porque la sucesión de sus sumas parciales sn := + + ~ + ... + *
(n E N) no está acotada. Por otra parte, en el ejemplo 3.7.6f se vio que la serie
armónica alternada:
es convergente debido a la sustracción que tiene lugar. Puesto que
estas dos series ilustran
el hecho de que una serie L x
n puede ser convergente, pero
la serie
L Ixnl obtenida al tomar los valores absolutos de los términos puede ser
divergente. Esta observación lleva a una importante definición.
317

325. Capítulo 9 Series infinitas
9,1.1 Definición Sea X:= una sucesión en R Se dice que la serie 2, X
n
es
absolutamente si la serie 2, Ix,,1 es en R Se dice que una
serie es condicionalmente
(o no si es convergente,
pero no absolutamente convergente.
Es trivial que una serie de
términos positivos es absolutamente convergente si
y sólo si es convergente. Se señaló antes que la serie annónica alternada es condi­
cionalmente convergente.
9.1,2 Teorema
convergente.
Si una serie en IR;. es absolutamente convergente, entonces es
Demostración. Puesto que 2, Ixnl es convergente, el criterio de Cauchy 3.7.4
implica que, dada
E> 0, existe E N tal que si m > n 2': M(E), entonces
Sin embargo, por la desigualdad del triángulo, el lado izquierdo de esta expresión
domina
Puesto que
E > ° es arbitraria, el criterio de Cauchy implica que 2, X
n converge.
Q.E.D.
Dada tilla serie 2, X
m
es posible construir muchas otras series 2, Yk dejando fijo el
orden de los términos
xl1' pero insertando paréntesis para agrupar un número fini­
to de términos. Por ejemplo, la serie indicada por
se obtiene los ténninos de la serie armónica alternada. Es interesante
el hecho de que tal agrupamiento no afecta la convergencia ni el valor de una serie
convergente.
9.1.3 Teorema
Si una serie 2, x
n
es convergente, entonces cualquier serie
obtenida a
partir de ella mediante el agrupamiento de los términos también es
convergente y converge al mismo valor.
Demostración.
Suponer que se tiene
Yl:=Xj+"'+Xk'
1
Si Sn denota la n-ésima suma parcial de 2, X
n y t
k
denota la k-ésima suma parcial
de
2, Ylo entonces se tiene

326. 9.1 Convergencia absoluta
Por tanto, la sucesión (t¡J de las sumas de la serie es
una subsucesión de la sucesión (sn) de las sumas de Puesto que
se supuso que esta última serie es también
10 es la serie
Q.E.D.
Es evidente que el rp('lnrn('n de este teorema no es verdadero. De el
(1-1)+(1-1)+(1-1)+·· .
una sene de L ~:o , que en el 3.7.2b se vio que
es divergente
ya que los términos no tienden a O.
En términos generales, un "reordenamiento" de una serie es otra serie que se
obtiene a partir de la serie dada mediante el uso de todos los términos exactamen­
te una vez, pero variando
el orden en que se toman los ténninos. Por ejemplo, la
serie armónica tiene los reordenamientos
1 1 1 1 1 1
-+-+-+-+ ... +-+--+ ...
2 1 4 3 2n 2n-1 '
1 1 1 1 1 1
-+-+-+-+-+-+ ....
1 2 4 3 5 7
El primer reordenamiento se obtiene a partir de la serie annóllÍca intercambiando el
Plimero y el segundo ténninos, el tercero yel cuarto, y así sucesivamente. El segun­
do re ordenamiento se obtiene a partir de la serie annóllÍca tomando un "término
impar", dos "ténninos pares", tres "ténninos impares", y así sucesivamente. Es obvio
que hay un nlunero infinito de otros reordenamientos posibles de la serie armónica.
9.1.4 Definición Una serie
L Yk en lR es un reordenamiento de una serie L x
n
si hay una biyección f de N en N tal que Yk = xfCk) para toda k E N.
En tanto que el agrupamiento de una serie no afecta su convergencia, hacer
reordenamientos puede hacerlo.
De hecho, una notable observación, hecha
por Riemann, de que si L sn es una serie condicionalmente convergente en lR y si
e
E lR es un número arbitrario, entonces hay un reordenamiento de L X
n
que con­
verge a
c.
Para demostrar esta afirmación, se observa primero que una serie condicional-
convergente debe contener un número infinito de términos positivos y un
número infinito de ténninos negativos (véase
el ejercicio 1), y que tanto la serie de
ténninos positivos como la de ténninos negativos divergen (véase el ejercicio 2).
Para construir una serie que converge a e, se toman ténninos positivos hasta que la
suma parcial sea mayor que e, después
se toman ténninos negativos hasta que la suma
parcial sea menor que
c, después se toman ténninos positivos hasta que la suma par­
cial sea mayor que e, etcétera.
Cuando se opera con series,
por lo general querrá tenerse la seguridad de que
los reordenamientos no afectarán la convergencia ni el valor de las series. A esto
se debe la importancia del siguiente resultado.

327. Capítulo 9 Series infinitas
9.1.5 Teorema de reordenamienío Sea una serie absolutamente conver­
gente en
lit Entonces cualquier reordenamiento 2:Yk de 2:x
n
converge al mismo
valor.
Demostración.
Suponer que 2:x" converge a x E ]R. Por tanto, si E > O, sea N
tal que si n, q > N Y S)1 := Xl + ... + X
m entonces
y
k=N+l
Sea M E N tal que todos los términos Xl, .. " xN estén contenidos como suman­
dos de
t
M := YI + ... + YM' Se sigue que si m ;::: M, entonces tn¡ -s)1 es la suma de
un número finito de términos
xk con índice k> N. Por consiguiente, para algu­
na
q > N, se tiene
k=N+l
Por lo tanto, si m ;::: se tiene entonces
Puesto que
E > O es arbitraria, se concluye que 2: Yk converge a x. Q.E.D.
Ejercicios de la sección 9.1
1. Demostrar que si una serie convergente contiene sólo un níunero finito de términos
negativos, entonces
es absolutamente convergente.
2. Demostrar que si una serie es condicionalmente convergente, entonces la serie obteni­
da a partir de sus términos positivos es divergente y la serie obtenida a partir de
sus
términos negativos es divergente.
3. Si
2.:an es condicionalmente convergente, dar un razonamiento para demostrar que
existe un reordenamiento cuyas sumas parciales divergen a oo.
4. ¿Dónde se usa el hecho de que la serie 2.:xn es absolutamente convergente en la demos­
tración
de 9.l.5?
5. Si
2.:an es absolutamente convergente, ¿se cumple que cualquier reordenamiento de
2.:an también es absolutamente convergente?
6. Encontrar una expresión explícita para la n-ésima suma parcial de 2.: ~2 ln(1 - 1/n
2
)
a fin de demostrar que esta serie converge a -In 2. ¿Esta convergencia es absoluta?
7. a) Si 2.:an es absolutamente convergente y
(bn) es una sucesión acotada, demostrar
que
2.:an
bn es absolutamente convergente.
b) Dar un ejemplo para demostrar que
si la convergencia de 2.:an es condicional y (bn)
es una sucesión acotada, entonces
2.:an
bn puede divergir.

328. 9,2 Criterios de convergencia absoluta
8. Dar un ejemplo de una serie convergente Ia
n
tal que
(Comparar este resultado con el ejercicio 3,7,8.)
no sea convergente.
9. Si es una sucesión decreciente de números estrictamente positivos y si
Ia
n
es con-
vergente, demostrar que lím(na
n
)
= O.
10. Dar un ejemplo de tilla serie divergente Ian con (a
n
) decreciente y tal que lím(na
n
) = O.
11. Si (a
n
) es una sucesión y si Iím(n
2
a
n
) existe enlR, demostrar que Ia
n
es absolutamen­
te convergente.
12. Sea a
> O. Demostrar que la serie I(l + ant
1
es divergente si O < a ::; 1 Y es conver­
gente
si a > 1 .
13. a) . ~(J;+r -FnJ ¿La sene ~ Fn converge?
. ~(J;+r -FnJ b) ¿La sene ~ n converge?
14. Si (an) es
una sub sucesión de (a
n
), entonces a la serie Ia
nk
se le llama una sub serie
de Ian-Demostrar que Ia
n es absolutamente convergente si y sólo si toda subserie es
convergente.
15. Sea a : N x N
~ lR Y escribir aij := a(i, j), Si A¡ := I~1 aij para toda i E N Y si
A := I~1 A¡, se dice entonces que A es una suma iterada de las aij y se escribe
A = I~l I~1 aij' Se define la otra suma iterada, denotada por I~l I~1 aij' de ma­
nera similar.
Suponer ahora que
aij ;:c O para i, j E N. Si (Ck) es cualquier enumeración de
{aij:
i,j E N}, demostrar que los siguientes enunciados son equivalentes:
(i) La suma iterada
I~l I~1 aij converge aB,
(ií) La serie I~1 ck converge a C.
En este caso se tiene B = C.
16. Las afirmaciones del ejercicio precedente pueden no cumplirse si los términos no son
positivos. Por ejemplo, sea aij:=
+1 si i -j = 1, aij:= -1 si i -j = -1 Y aij:= O en los
demás puntos. Demostrar que las sumas iteradas
y
IIaij
i=1 j=1 j=l i=!
existen pero no son iguales.
En la sección 3.7 se dieron algunos resultados referentes a la convergencia de
series infinitas; a saber,
el criterió del n-ésimo término, el hecho de que una serie
de términos positivos es convergente si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales

329. Capítulo 9 Series infinitas
está el criterio de y los criterios de ¡JcuavJlVll y de compara-
ción de límites.
Se presentan a continuación algunos resultados adicionales que pueden ser
familiares para el lector por cursos de cálculo previos. Estos resultados son de par­
ticular utilidad para establecer la convergencia absoluta.
9.2.1
Criterio de de U Suponer que X := y que
y := (Yn) son sucesiones reales diferentes de cero, y suponer que el siguiente
límite existe en
IR:
, x
n
r:= lun -.
Yn
(1)
a) Si r * O, entonces I,xn
es absolutamente convergente si y sólo si I,Yn es abso­
lutamente convergente.
Si
r = O Y si I,Yn eS absolutamente convergente, entonces I,xn es absolutamen­
te convergente.
Demostración. Este resultado se sigue de inmediato del teorema 3.7.8. Q.E.D.
Los criterios de la raíz y del cociente ___ ~~_~~ __ ~~~. ____ . __ _
El siguiente criterio se debe a Cauchy.
9.2.2
Criterio de la raíz Sea X := (Xn) una sucesión en IR.
a) Si existen r E IR con r < 1 Y K E N tales que
Ix
n
l
lln
::; r para n:2':K, (2)
entonces la serie I,xn
es absolutamente convergente.
Si existe
K E N tal que
Ix
n
l
lln
:2':l para n:2':K, (3)
entonces la serie I,x
n
es divergente.
Demostración. a) Si (2) es válida, entonces se tiene IX
n
I ::; r
l1
para n :2': K.
Puesto que la serie geométrica I, r
n
es convergente para O ::; r < 1, el criterio de
comparación 3.7.7 implica que
I, IX
n
I es convergente.
b) Si (3) es válida, entonces
IX
n I :2': 1 para n:2': K, por lo que los términos no
tienden a O
y se aplica el criterio del n-ésimo término 3.7.3. Q.E.D.
En cursos de cálculo es frecuente encontrarse con la siguiente versión del cri­
terio de la raíz.
9.2.3
Corolario Sea X := (x
n
)
una sucesión en IR y suponer que el límite
(4)

330. 9.2 Criterios de convergencia absoluta
existe en 1Ft Entonces LX
n es absolutamente convergente cuando r < 1 Y es diver­
gente cuando
r > 1.
Demostración. Si el límite en
r < rl < 1 Y K E N tales que IXn I
se 9.2.2a.
existe y
r < 1, entonces existen r¡ con
::::; rl para n > K. En este caso puede aplicar-
Si
r > 1, entonces existe K E N tal que I x
n 1
1I
n > 1 para n ¿ K Y se aplica el
criterio del n-ésimo término. Q.E.D.
Nota No puede llegarse a ninguna conclusión en el corolario 9.2.3 cuando r ~ 1,
porque tanto la convergencia como la divergencia son posibles. Véase el ejemplo
9.2.7b.
El siguiente criterio se debe a
D' Alembert.
9.2.4 Cri.terio del cociente Sea X
:= (x¡J una sucesión de números reales dife-
rentes de cero.
a) Si existen r E IR con O < r < 1 Y K E N tales que
I X::
1
1::::; r
para n¿K,
entonces la serie LX
n es absolutamente convergente.
b) Si existe K E N tal que
x
n
+
1
I ¿ 1
x
n
entonces la serie LX
n
es divergente.
para n¿K,
(5)
(6)
Demostración. a) Si (5) es válida, mediante un razonamiento
por inducción
matemática se demuestra que
IXK+m I ::::; IXKI r
m para m E N. Por tanto, para n ¿ K
los términos en L Ix" I son dominados por un múltiplo fijo de los términos de la
serie geométrica
Lr
m
con O < r < 1. Entonces el criterio de comparación 3.7.7
implica que
L I x
n I es convergente.
b) Si (6) es válida, mediante un razonamiento
por inducción matemática se
demuestra que
IXK+m I ¿ IXKI para m E N Y se aplica el criterio del n-ésimo tér­
mino.
Q.E.D.
Se tiene una vez más un resultado conocido del cálculo.
9.2.5
Corolario Sea X := (x
n
)
una sucesión de elementos de IR diferentes de
cero y suponer que el límite
(7)
existe en
IR. Entonces LX
n
es absolutamente convergente cuando r < 1 Y es diver­
gente cuando
r > 1.

331. Capítulo 9 Series infinitas
Demostración. Si r < 1 Y r < r1 < 1, entonces existe K E "IR tal que I <
r1 para n ;:: K. En consecuencia, el teorema 9.2.4a se para establecer la con­
vergencia absoluta
de LXn-
Si r> 1, entonces existe K E N tal que IXn+1/Xn I > 1 para n;:: K, de donde se
sigue que
I Xk I no converge a O y.se aplica el criterio del n-ésimo término. Q.E.D.
Nota No puede llegarse a ningtma conclusión en el corolario 9.2.5 cuando r = 1,
porque tanto la convergencia como la divergencia son posibles. Véase el ejemplo
9.2.7c.
El criterio de la
El siguiente resultado -de grandes alcances-hace uso de la noción de la integral
impropia, la cual se define como sigue: si
f está en R[ a, b] para toda b > a y si
el límite lím
¡g jet) dt existe en "IR, entonces la fr;' jet) dt se
b--'700 .
define como este límite.
9.2.6 Criterio de la Sea f una jitnción decreciente positiva en
{t : t ;:: l}. Entonces la serie L k=l f(k) converge si y sólo si la integral impropia
00 b
f(t )dt = 1ím f( t )dt
b--+oo
existe. En el caso de la convergencia, la suma parcial sn = L~=l f(k) Y la suma
s = Lk=l f(le) satisfacen la estimación
00
f(t) dt ~ s - Sn ~ f(t) dt.
(8)
Demostración. Puesto que fes decreciente y positiva en el intervalo [k -1, k],
se tiene
J
k
f (k ) ~ f (t ) dt ~ f (k -1).
k-1
(9)
Al sumar esta desigualdad
para k = 2, 3, .. " n, se obtiene
sn -f(1) ~ ~n f(t)dt ~ sn_1'
expresión que establece que los límites
y 1ím r
n
f(t)dt
n--+oo J 1
o existen ambos o no existe ninguno de ellos. Si existen, entonces al sumar (9)
para
k = n + 1, .. " In, se obtiene
sm -sn ~ 1
m
f(t)dt ~ Sm-1 -Sn_1'

332. 9.2 Criterios de convergencia absoluta
de donde se sigue que
m
Si" toma el limit, en "la última :'::~::d~uandO mt:too,,, Obtiojg)
~E.D.
Se indica a continuación cómo pueden aplicarse los resultados de los teore­
mas 9.2.1-9.2.6 a las series
p, las cuales se introdujeron en el ejemplo 3.7 .6d,e.
9.2.7 Ejemplos a) Considerar
el caso p = 2; es decir, la serie :Ll/n
2
.
Ésta se
compara con la serie convergente :LlI(n(n + 1)) del ejemplo 3.7.2c. Puesto que
1
_
1
_+ 1 l=n+l=I+~--71
n2 n(n+l) n n'
el criterio de comparación de límites 9.2.1 implica que la serie :LlIn2 es conver­
gente.
b) Se demuestra que el criterio de la raíz falla con la serie p. Adviértase que
1
1 11In 1 1
-;;; = (nP)1In = (nl/n)p .
Como se sabe que nl/n --7 1 (véase el ejemplo 3.1.11 d), se tiene r = 1 en el coro­
lario 9.2.3 y el teorema no proporciona ninguna información.
e) Se aplica el criterio del cociente a la serie p. Puesto que
1 (n~l)p + ;P 1= (n:Pl)p = (l+//n)p --71,
el criterio del cociente, en la forma del corolario 9.2.5, no proporciona ninglma
información.
d) Por último, se aplica el criterio de la integral a la serie p. Seaf(t) := lIt
P para
t 2: 1 Y se recuerda que
I
n 1
-dt = Inn -InI,
1 t
I
n 1 1 (1 J -dt------1
1 tP 1-p nP-1
para p 71.
A partir de estas relaciones se observa que la serie p converge si p > 1 Y diverge
sip:S 1, como Se había visto ya en 3.7.6d,e. O
Criterio de Raabe _______________________ _
Se ha visto que cuando los límites lím
1 X
n
1
1I
n y lím( 1 x
n
+ ¡lx
n 1) que se usan en los
corolarios 9.2.3 Y 9.2.5 son iguales
al, estos criterios no proporcionan ninguna

333. Capítulo 9 Series infinitas
información acerca de la convergencia o de las series. En este caso
con frecuencia es útil emplear un criterio más riguroso. Se a continuación
uno que con frecuencia resulta de utilidad.
9.2.8 Criterio de Raabe Sea X := (x
n
)
una sucesión de números reales dife­
rentes de cero.
a) Si existen los números a> 1 Y K E N tales que
Xn+ll::;·l_~ > para n_
x
Tl
n
(lO)
entonces LX
n
es absolutamente convergente.
Si existen los números reales a ::; 1 Y K E N tales que
I
xn+l 2': l-~. para n 2':
x
n
n
(11)
entonces LX
n no es absolutamente convergente.
Demostración.
a) Si la desigualdad (lO) es válida, entonces se tiene (después
de sustituir
n por k y de multiplicar)
para k 2':K.
Al reordenar la desigualdad, se tiene
para k2':K, (12)
de donde se deduce que
la sucesión (klxk+lD es decreciente para k 2': K. Si se suma
(12) para k = K, ... , n y se advierte que el primer miembro es telescópico, se
obtiene
Con esto se demuestra (¿por qué?) que las sumas parciales de L I X
n I están acota­
das
y se establece la convergencia absoluta de la serie.
b) Si la relación
(11) es válida para n 2': K, entonces como a ::; 1, se tiene
para n 2': K.
Por lo tanto, la sucesión (n I x
n
+ 1 1) es creciente para n 2': K Y existe un número
c> O tal que IX
n+11 > c/n para n 2': K. Pero como la serie annónica L lIn diverge,
la serie L I x
n I también diverge. Q.E.D.
En la aplicación del criterio de Raabe, con frecuencia resulta conveniente usar
la siguiente fonna en ténninos de límites.

334. 9.2 Criterios de convergencia absoluta
9.2.9 Corolario Sea X := una sucesión diferente de cero en IR y sea
siempre que este límite exista. Entonces 2:;x
n
es absolutamente convergente cuan­
do a> 1 Y no es absolutamente convergente,c ndo a < 1.
Demostración. Suponer que el límite en (13) existe y que a > 1. Si al es cual­
quier número con
a > al > 1, entonces existe K E N tal que a¡ < - IXn+l/X
n 1)
para n > K. Por lo tanto, Ixn+¡/xn I < 1 -a¡ln para n ;::: K Y el criterio de Raabe
9.2.8a se aplica.
El caso cuando
a < 1 es similar y se le deja al lector. Q.E.D.
Nota No puede llegarse a ninguna conclusión cuando a = 1; la convergencia o
la divergencia son posibles, como el lector puede demostrar.
9.2.10 a) Se considera de nuevo la serie
p a la luz del criterio de
Raabe. Al aplicar la regla de L'Hopital cuando
p ;::: 1, se obtiene (¿por qué?)
a=lím(n[l-n
P
]J=lím(n[Cn+1)P -np]J
(n + l)P ( n + l)P
= lím [ (1 + 11 n )p -1 ) . lím [ ] ) = p . 1 = p.
Un (1 + 1/n)P
Se concluye que si p > 1 entonces la serie p es convergente, y si O < p < 1 en­
tonces
la serie es divergente (ya que los términos son positivos). Sin embargo,
si
p = 1 (¡la serie armónica!), el corolario 9.2.9 no proporciona ninguna infor­
mación.
co
b) Se considera ahora ", __ n_.
~n2+1
n=1
Con un cálculo sencillo se establece que lím(x
n
+¡Ix
n
)
= 1, por lo que no se
aplica el corolario 9.2.5. Asimismo, se tiene
lím(n(l -Xn+1/Xn)) = 1, por lo que
el corolario 9.2.9 tampoco se aplica. Sin embargo, es un ejercicio establecer
la
desigualdad xn+l/x
n ;::: (n -l)/n, de donde, por el criterio de Raabe 9.2.8b, se si­
gue que la serie es divergente. (Desde luego, el criterio de la integral o el crite­
rio de comparación de límites, con
(Yn) = (1/n), pueden aplicarse en este caso.)
O
Aun cuando la forma en términos de límites 9.2.9 del criterio de Raabe es
mucho más sencilla de aplicar,
el ejemplo 9.2.l0b indica que la forma 9.2.8 es más
sólida que la 9.2.9.

335. 328 Capítulo 9 Series infinitas
de la sección 9.2
1. Establecer la convergencia o divergencia de las series cuyo n-ésimo término es:
a)
c)
(n+l)(n+2)'
2 -1/n,
b)
d)
n
(n+l)(n+2)'
n/ 2 n.
2. Establecer la convergencia o divergencia de las series cuyo n-ésimo término es:
a) (n(n + l)t
l12
, b) (n
2
(n + l)t
1
/
2
,
c) nl/n
n
, d) (-I)"n/(n + 1).
3. Examinar la convergencia o divergencia de las series cuyo n-ésimo término (para n
suficientemente grande) está dado por
a) (lnnt
P
,
c) (In nt
1nn
,
e) (nlnnt
1
,
b) (In n)-n,
d) (In nt
ln1nn
,
f) (n(1n n)(ln In n)2)-1,
4. Examinar la convergencia o divergencia de las series con n-ésimo término
a) 2
n
e-
n
,
b) nne-n,
c) e-m 11, d) (In n) e--1-;;,
e) nle-
n
,
f)
, _}12
n.e .
5. Demostrar que la serie
1/1
2
+ 1/2
3
+ 1/3
2
+ 1/4
3
+ .. " es convergente, pero que no se
aplican los criterios del cociente ni de la raíz.
6. Si a y b son números positivos, entonces L( an + b tP converge si p > 1 Y diverge si
p:S;1.
7. Examinar las series cuyo n-ésimo término es
a)
c)
ni
3·5·7· .. (2n+l)'
2·4 .. ·(2n)
3·5 .. ·(2n+1)'
8. Sea ° < a < 1 Y considerar la serie
(ni) 2
b) (2n)l'
2·4···(2n)
d)
5·7 .. ·(2n+3)
a2 +a+a
4 +a3 + ... +a2n +a2n-1 +'''.
Demostrar que se aplica el criterio de la raíz, pero no el criterio del cociente.
9. Si
r E (O, 1) satisface (2) en el criterio de la raíz 9.2.2, demostrar que las sumas par­
ciales
Sn de Lx
n
son una aproximación de su límite s de acuerdo con la estimación
Is -sn 1 :s; rn+l/(l-r) para n 2': K.
10. Si r E (0,1) satisface (5) en el criterio del cociente 9.2.4, demostrar que Is -snl :s;
r 1 x
n
1 /(1 -r) para n 2': K.
11. Si
a > 1 satisface (lO) en el criterio de Raabe 9.2.8, demostrar que 1 s -s/11 :s; n 1 X
n 1 /
Ca -1) para n 2': K.

336. 9.2 Criterios de convergencia absoluta
12. Para cada una de las series del ejercicio 1 que converge, estimar el residuo si sólo se
toman cuatro términos. Si sólo se toman diez. Si quiere determinarse la suma de la
serie dentro de 1/1000, ¿cuántos términos deben tomarse?
13. Responder las preguntas del ejercicio
12 para las series dadas en el ejercicio 2.
-~
14. Demostrar que la serie 1 + ~ -~ + ~ + k -~ + + -... es divergente.
15. Para
n E N, sea que Cn esté definida por Cn
:= + + ~ + ... + 1/n -In n. Demostrar que
(c
n
) es una sucesión decreciente de números positivos. Al límite e de esta sucesión se
le llama la constante de EUller y es aproximadamente igual a 0.577. Demostrar que si
se escribe
1 1 1 1
b :=---+-_ ... --
n 1 2 3 2n'
entonces la sucesión (b
n
) converge a In 2. [Sugerencia: b
n = c2n -c
n + In 2.]
16. Sea que
{nj, n2, ... } denote la colección de números naturales que no incluyen el dígi­
to 6 en sus desarrollos decimales. Demostrar que L1/nk converge a un número menor
que 80. Si
{mI, m2, ... } es la colección de números que terminan en 6, entonces
LlImk diverge. Si {PI, P2, ... } es la colección de números que no terminan en 6,
entonces LlIPk diverge.
17. Si
P > O, q> O, demostrar que la serie
'" (p+l)(p+2)"'(p+n)
.t-,¡ (q+l)(q+2)"'(q+n)
converge para q > P + 1 y diverge para q :s; P + 1.
18. Suponer que ninguno de los números a, b, C es un entero negativo ni cero. Demostrar
que la serie hipergeométrica
ab a( a+ l)b(b + 1) a(a+ 1)(a+2)b(b + l)(b+ 2)
-+ + + ...
l!c 2!c(c+l) 3!c(c+l)(c+2)
es absolutamente convergente para c > a + b y que es divergente para c < a + b.
19. Sea a
n > O Y suponer que La
n converge. Construir una serie convergente Lbn
con b
n
> O tal que lím(an/b
n
) = O; en consecuencia, Lb
n converge menos rápido
que
La}]' [Sugerencia: sea (A
n
)
las slunas parciales de La
n y A su límite. Definir
b¡ :=.fA - ~A -Al Y b
n := ~A -An_¡ - ~A -An para n;:: 1.]
20. Sea (a
n
)
una sucesión decreciente de níuneros reales que converge a O y suponer que
La
n
diverge. Construir una serie divergente Lb
n
con b
n > O tal que lím(bn/an) = O;
en consecuencia, Lb
n
diverge menos rápido que La}]' [Sugerencia: sea bn :=
an/ JA: ' donde An es la n-ésima suma parcial de La}]']

337. Capítulo 9 Series infinitas
Los criterios de convergencia que se examinaron en la sección anterior se enfoca­
ron principalmente en establecer
la convergencia absoluta de una serie. Dado que
hay muchas series, tales como
co
L (_l~n+l ,
n=l
co
L (-1) n+l
n=l
Fn '
(1)
que son convergentes pero no absolutamente convergentes,
es conveniente contar
con algunos criterios para este caso. En esta breve sección se presenta primero el
criterio para series alternadas y después los criterios para series más generales
debidos a Dirichlet y Abel.
Series alternadas _________________________ _
El criterio más conocido para series no absolutamente convergentes es el que se
debe a Leibniz, el cual puede aplicarse a series que son "alternadas" en el siguien­
te sentido.
9.3.1
Definición Se dice que una sucesión X:= (x
n
) de números reales dife­
rentes de cero es
alternada si los términos (_1)n+
1
x
m n E 1':1, son todos números
reales positivos
(o todos negativos). Si la sucesión X = (x
n
) es alternada, se dice
que la serie
L X
n
que genera es una serie alternada.
En el caso de una serie alternada, es útil hacer X
n
= (-1 )n+lzn [o x
n = (-l)nznl,
donde Zn > ° para toda n E 1':1.
9.3.2 Criterio para series alternadas Sea Z := (zn) una sucesión decrecien­
te de números estrictamente positivos con lím(zn) = O. Entonces la serie alter­
nada
L( _1)n+ lZn es convergente.
Demostración. Puesto que se tiene
y puesto que
Zk -Zk+l ;::: 0, se sigue que la subsucesión (S2n) de sumas parciales es
creciente. Puesto que
s2n = zl -(z2 -z3) -... -(z2n-2 -z2n-l) -z2n'
se sigue también que S2n ~ Z 1 para toda n E 1':1. Del teorema de convergencia monó­
tona 3.3.2 se sigue que la subsucesión
(s2n) converge a algún número s E lit.
Se demuestra ahora que la sucesión completa (sn) converge a s. De hecho, si
E> 0, sea K tal que si n ;::: K entonces 1 s2n -s 1 ~ ~E Y IZ2n+ll ~ ~E. Se sigue que
si
n ;::: K entonces
Is2n+1-sl = IS2n+z2n+l-sl
~ IS2n-sl+lz2n+ll ~ ±e+±e=e.

338. 9.3 Criterios para cOllvergellcia IlO absoluta
Por lo tanto, toda suma de un número de términos también está den­
tro de
E unidades de s si n es lo suficientemente grande. Puesto que E > O es
la de y en consecuencia la de
establecida.
Q.E.D.
Nota Es un ejercicio demostrar qUesISeSTaSUina de la serie alternada y si sl1
es su n-ésima suma parcial, entonces
Is-sl1l S; zl1+1'
Es evidente que este criterio para series alternadas establece la ('nllVpraC'n de las
dos series ya mencionadas en (1).
Los criterios de Dirichlet y Abel _________________ _
Se presentan ahora otros dos criterios que pueden aplicarse en gran cantidad de
situaciones. Se basan en el siguiente lema, al que
en ocasiones se le llama la
fórmula
de sumas ya que corresponde a la conocida fórmula de la inte­
gración por partes.
9.3.3
Lema de Abel Sean X := (xn)
y Y := (Yn) sucesiones en .IR y sea que las
sumas parciales de
LYn se denoten por (sn) con So := O. Si m > n, entonces
/11
(x k -x k+1)s k . (3)
k=I1+1 k=I1+1
Demostración. Puesto que Yk = sk -sk-1 para k = 1,2, .. " se observa que el
primer miembro de (3)
es igual a L7~11+1 xisk -Sk-l)' Si se agrupan los términos
multiplicando
s'1' Sn+1, .. " S/11' se obtiene el segundo miembro de (3). Q.E.D.
Se aplica ahora el lema de Abel a fin de obtener criterios para la convergen­
cia de series de la forma
LXnYn'
9.3.4 Criterio de Dirichlet Si X := (xJ es una sucesión decreciente con
lím xn = O Y si las sumas parciales (sn) de LYn están acotadas, entonces la serie
LXnYn es convergente.
Demostración. Sea
I s ni S; B para toda n E N. Si m > n, del lema de Abel 9.3.3
Y del hecho de que xk -xk+l ¿ O se sigue que
XkYk S;(x/11 + x
n
+
1
) B+ (x
k
-
x
k
+
1)B
k=n+1 k=n+1
= [(x/11 + x
n
+
1
) + (xn+1 -x/11)]B
= 2x
n
+
1
B.
Puesto que lím(x,J = O, la convergencia de LXkYk se sigue del criterio de conver­
gencia de Cauchy 3.7.4.
Q.E.D.

339. Capítulo 9 Series infinitas
9.3.5 Criterio de Abe} Si X := (x
n
)
es una sucesión monótona convergente y
la serie
LYn es convergente, entonces la serie LXnYn también es convergente.
Demostración.
Si (x
n
) es decreciente con límite x, sea U
n
:= x
l1
-x, n E N, de
tal modo que
(un) decrece a o. Entonces x
n = x + un' de donde XnYn = XYn + unYi1"
Del criterio de Dirichlet 9.3.4 se sigue que LUnYn es convergente y, como LXYI1
converge (debido a la convergencia supuesta de la serie LYn)' se concluye que
LXnYn es convergente.
Si (x
l1
) es creciente con límite x, sea v
n := x -XI1' n E N, de tal modo que (v
n
)
decrece a o. Aquí X
n = x -VI1'· de donde XnYn = XYn -v
n
YI1' Y se sigue el mismo
razonamiento que antes.
Q.E.D.
9.3.6 Ejemplos a) Puesto que se tiene
2 (sen l
x) (cosx+··· + cos nx) = sen (n+ l)x -sen Ix,
2 2 2
se sigue que si x *" 21m (k E N), entonces
, I sen ( n + ± ) x -sen ± x I
Icosx + ... + cosnxl= I I
2senlx
2
Por lo consiguiente, el criterio de Dirichlet implica que si (a
n
) es decreciente con
lím(a
n
) = O, entonces la serie L~1 a
n cos nx converge siempre que x *" 21m.
b) Puesto que se tiene
2(senl
x) (senx+···+sennx)=cos lx-cos (n+l)x,
222
se sigue que si x *" 21m (k E N), entonces
I sen
x + ... + sen nx I :s; I l·
senlx
2
Como se afirmó antes, si (a
n
) es decreciente y si lím(a
n
) = 0, entonces la serie
L~1 a
l1 sen nx converge para x *" 21m (y también converge para estos valores).
O
Ejercicios de la sección 9.3
1. Examinar las siguientes series para la convergencia
y la convergencia absoluta.
a) f (_l)n+l ,
n
2
+1
b) f (_1)11+1 ,
n+1
n=1 n=1
f (_1)11+1 n,
00
c) d) L(_1)n+1 l:n.
n+2
11=1 n=1
2. Si sn es la n-ésima suma parcial de la serie alternada L~1 (_1)n+1zn y si s denota la
suma
de esta serie, demostrar que I s - s ni ::; ZI1+1.

340. "
9.3 Criterios para convergencia no absoluta
3. Dar un ejemplo que muestre que el criterio para series alternadas 9.3.2 puede fallar si
(zn) no es una sucesión decreciente.
Demostrar que el criterio para series alternadas es una consecuencia del criterio
de
Dirichlet 9.3.4. .
5. Conside-ytr la serie
/ l-H+hH++·····
donde los signos están por pares. ¿Es convergente?
6. Sea an E JR para n E N Y sea P < q. Si la serie IanlnP es convergente, demostrar que
la serie
Ia/n
q
también es convergente.
7. Sip y q son números positivos, demostrar que I(-l)n(ln n)Pln
q
es una serie conver­
gente.
8. Examinar las series cuyo n-ésimo término
es:
a) (-1) n nn ,
(n+1)n+l b)
nn
(n + 1 )11+1 '
(n + 1)n
c) (-l ) n -'----.C-_ d)
(n + l)"
nn+1
9. Si las sumas parciales de I an están acotadas, demostrar que la serie L ~=l ane-
nt
con­
verge para
t> O.
10. Si las sumas purciales s n de L ;=1 an están acotadas, demostrar que la serie L;= 1 anln
converge a L ~=I snln(n + l).
u. ¿Puede aplicarse el criterio de Dirichlet para establecer la convergencia de
1 1 1 1 1
1----+-+-+--···
23456
donde el número de signos se incrementa en uno en cada "bloque"? En caso contra­
rio, usar otro método para establecer la convergencia de esta serie.
12. Demostrar que la hipótesis de que la sucesión
X := (x
n
)
es decreciente en el criterio de
Dirichlet 9.3.4 puede reemplazarse con la hipótesis
de que 2. ;=1 Ix" -X,,+1 I es con­
vergente.
13. Si
(a
n
)
es una sucesión decreciente acotada y (b
n
)
es una sucesión creciente acotada,
y si
x
n
:= an + bn para n EN, demostrar que L ~=1 I xn -
Xn+
1 I es convergente.
14. Demostrar que si las sumas parciales
s n de la serie L ~1 ak satisfacen I s" I s Mn
r
para
alguna
r < 1, entonces la serie L ~1 a,/n converge.
15. Suponer que
Ia
n
es una serie convergente de números reales. Demostrar que Ibn con­
verge o bien dar un contraejemplo, cuando
b
n
se define por
a) a
l1
In, b) .[a: In (a
n
;:: O),
c) a
n senn, d) ~anln (a
n
;:: O),
e) nl/n
an
, f) anl(l+lanl)·

341. Capítulo 9 Series infinitas
Debido a la frecuencia con que qparecen y a su importancia, se consideran a
continuación las series infinitas de funciones. Puesto que la convergencia de una
serie infinita se aborda examinando la sucesión de sumas parciales, las preguntas
referentes a series de funciones se responden examinando las preguntas corres­
pondientes para sucesiones de funciones. Por esta razón, una parte de la presente
sección
es tan sólo una transposición a la tem1inología de series de hechos ya esta­
blecidos para sucesiones de funciones. Sin embargo, en la segunda parte de
la
sección, donde se examinan las series de potencias, surgen nuevas variantes debi­
do al carácter especial de las funciones que intervienen.
Definición Si
(In) es una sucesión de funciones definidas en un subcon-
junto
D de IR con valores en IR, la sucesión de sumas (sn) de la serie infi-
nita
'iJ, está definida para x en D por
:= 1
1
(x),
:=sl(x)+ 1
2
(x)
En caso de que la sucesión (sn) de funciones converja a una función 1 en D, se dice
que la serie infinita de funciones
2.. /" converge a 1 en D. Con frecuencia se es­
cribirá
o
n=l
para denotar la serie o la función límite, cuando existe.
Si la serie
2.. J,,(x) converge para toda x en D, se dice que 2..ln es absoluta­
mente en D. Si la sucesión (sn) de sumas parciales es uniformemen­
te convergente
al en D, se dice que 2.. In es uniformemente convergente en D o
que converge
en D.
Una de las razones principales del interés en las series de funciones unifor­
memente convergentes
es la validez de los siguientes resultados, en los cuales se
presentan las condiciones que justifican el cambio de orden de la sumatoria y otras
operaciones con límites.
9.4.2 Teorema
Si f
n es continua de D ~ IR a IR para toda n E N Y si L f
n con-
verge a
f uniformemente en D, entonces f es continua en D.
Se trata de una transposición directa para series del teorema 8.2.2. El siguien­
te resultado
es una transposición del teorema 8.2.4.

342. 9.4 Series de funciones
9.43 Teorema
Riemann
0U.UUfHX que las
en el intervalo J :=
f
n con valores n E N, son
Si la serie ¿ t;1 converge a f uni-
ror·m(?men.te en J, entonces fes Riemann y
b
f= f
n
n=1
se considera el teorema correspondiente relativo a la derivación.
Se la convergencia uniforme de la serie obtenida de deri­
var término a término la serie en cuestión. Este resultado es una consecuencia
inmediata del teorema 8.2.3.
9.4.4 Teorema Para toda n E N, sea f
n
una fitnción con valores reales en
J:= [a, b] que tiene derivada f~ en 1. Suponer que la serie ¿f
n
converge al menos
en un punto de que la serie de las derivadas .2:r~ converge uniformemente en 1.
Entonces existe una función con valores reales f en J tal que ¿f
n converge
uniformemente a f en
J. Además, f tiene derivada enJ y f' = ¿f~,
Puesto que se han enunciado algunas consecuencias de la convergencia uniforme
de series, a continuación se presentan algunos criterios que pueden usarse para
establecer la convergencia uniforme.
9.4.5 Criterio de Sea (In) una sucesión de funciones de D ~ :IR a :IR.
La serie ¿f
n es uniformemente convergente en D si y sólo si para toda E > O exis-
te
M(E) tal que si m > n ¿ entonces
para toda X E D.
9.4.6 Criterio M de Weierstrass Sea (M
n
)
una sucesión de números reales
positivos tal que
I fn(x) I :::; Mnpara x E D, n E N. Si la serie ¿ M
n
es convergen­
te, entonces ¿ In es uniformemente convergente en D.
Demostración. Si m > n, se tiene la relación
para
X E D.
Se aplican ahora 3.7.4, 9.4.5 Y la convergencia de ¿ Mn- Q.E.D.
En el apéndice E se usa el criterio M de Weierstrass para construir dos intere­
santes ejemplos.
Series de "' .... +",,,,,;
Se considera a continuación el examen de las series de potencias. Se trata de una
importante clase de series de funciones que posee propiedades que no son válidas
para las series de funciones generales.

343. Capítulo 9 Series infinitas
9.4.7 Definición Se dice que una serie de funciones reales es una serie de
alrededor de x = e si la función in tiene la forma
donde
a" y e pertenecen a IR, y donde n = O, 1,2, .. '.
A fin de simplificar la notación, sólo se trata el caso en que e = O. Sin embar­
go, obrar así no es en detrimento de la validez general de los resultados,
ya que la
transposición
x' = x -e reduce una serie de potencias alrededor de e a una serie de
potencias alrededor de
O. En consecuencia, siempre que se haga referencia a una
serie de potencias, se entenderá una serie de la forma
CXJ
(2)
,,=0
Aun cuando las funciones que aparecen en (2) están definidas en la totalidad
de
IR, no debe esperarse que la serie (2) convergerá para toda x en IR. Por ejemplo,
utilIzando el criterio de cociente
9.2.4 puede demostrarse que las series '
ce CXJ 00
Ln!x'1,
n=O n=O n=O
convergen para la x que está en los conjuntos
{O}, {XEIR: Ixl <l}, IR,
respectivamente. Por consiguiente, el conjunto donde una serie de potencias
converge puede ser pequeño, mediano o grande. Sin embargo, un subconjunto
arbitrario de
IR no puede ser el conjunto exacto en el que una serie de potencias
converge, como se demuestra más adelante.
Si
(b
n
) es una sucesión acotada de números reales no negativos, entonces el
límite superior de (b
n
)
se define como el ínfimo de los números v tales que b
n
~ v
para toda n E N lo suficientemente grande. Este ínfimo se encuentra determinado
de
manera única y se denota por lím sup(b
n
). Los únicos hechos que es necesa­
rio conocer son (i) que si
v > lím sup(b
n
), entonces b
n
~ v para toda n E N lo
suficientemente grande, y (ii) que si
w < lím ~tip(bn), entonces w ~ b
n para un
número infinito de
n E N.
9.4.8 Definición Sea I,anx
n
una serie de potencias. Si la sucesión (1 anl
1/n
)
está acotada, se hace p := lím supe 1 a
n l1/n); si esta sucesión no está acotada, se
hace p = +00. Se define que el radio de convergencia de I, anx
n está dado por
¡
Osi
R:= IIp s~
+00 SI
p = +00,
O<p<+oo,
p=O.
El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (-R, R).
A continuación se justifica el término "radio de convergencia".

344. 9.4 Series de funciones
9.4.9 Teorema de Si R es el radio de convergencia de
la serie de potencias Lanx
n
, entonces la serie es absolutamente convergente si
Ixl < R Y es divergente si Ixl > R.
Demostración. Sólo se trata el caso en que O < R < +60 y se dejan como ejer­
cicios los casos
R = O Y R = +00. Si O < Ix I < entonces existe un número posi­
tivo c
< 1 que Ix I < cR. Por lo tanto, p < el Ix 1, de donde se sigue que si n es
lo suficientemente grande, entonces I
a
n
1
1I
n ::; el Ix l. Esta expresión es equiva­
lente a decir que
(3)
para toda
n 10 suficientemente grande. Puesto que c < 1, la convergencia absoluta
de
L anx
n
se sigue del criterio de comparación 3.7.7.
Si Ixl
> R = 1/p, entonces hay un número infinito de n E N para las cuales
I an IlIn > 1/1 x l. Por lo tanto, I anx
n 1 > 1 para lID número infinito de n, por lo que
la sucesión (anx
n
) no converge a cero.
Q.E.D.
Observación Se habrá advertido que el teorema de Cauchy-Hadamard no esta­
blece si la serie de potencias converge cuando
Ix 1 = R. De hecho, puede ocurrir
cualquier cosa, como lo indican los ejemplos
n ,,\:,_1 xn
L.J 2 '
n
n
Puesto que Iím(n
lln
)
= 1, cada una de estas series de potencias tiene radio de con­
vergencia igual a
1. La primera serie de potencias no converge en ninguno de
los puntos
x = -1 Y x = + 1; la segunda serie converge en x = -1 pero diverge en
x
= +1, Y la tercera serie de potencias converge tanto en x = -1 como en x = + l.
(Encontrar una serie de potencias con R = 1 que converge en x = + 1 pero que diver­
ge en
x = -1.)
Es un ejercicio demostrar que el radio de convergencia de la serie L anx
n
tam­
bién está dado
por
a
1
,
n
nn--, (4)
an+1
siempre que este límite exista. Con frecuencia resulta más conveniente usar (4) en
lugar de la definición 9.4.8.
El razonamiento empleado en la demostración del teorema de Cauchy­
Hadamard establece la convergencia uniforme de la serie de potencias en cual­
quier intervalo fijo cerrado
y acotado en el intervalo de convergencia (-R, R).
9.4.10 Teorema
Sea R el radio de convergencia de L~Xn y sea K un in­
tervalo cerrado
y acotado contenido en el intervalo de convergencia (-R, R).
Entonces la serie de potencias converge uniformemente en K.
Demostración. La hipótesis de que K s (-R, R) implica que existe una cons­
tante positiva c
< 1 tal que Ixl < cR para toda x E K. (¿Por qué?) Del razonamien-

345. Capítulo 9 Series infinitas
to en 9.4.9 se infiere que para n lo suficientemente ía estima­
ción (3) es válida para toda
x E K. Puesto que c < 1, la convergencia uniforme de
La
l1
x
n
en K es una consecuencia directa del criterio M de Weierstrass con
Q.E.D.
9.4.11 Teorema El límite de una serie de potencias es continuo en el interva­
lo de convergencia. Una serie de potencias puede integrarse término a término en
cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia.
Demostración.
Si IXol < R, entonces el resultado precedente afirma que Lanx
n
converge uniformemente en cualquier vecindad cerrada y acotada de Xo contenida
en
(-R, R). La continuidad en Xo se sigue entonces del teorema 9.4.2 y la integra­
ción término a término se justifica por el teorema 9.4.3.
Q.E.D.
Se demuestra ahora que una serie de potencias puede derivarse término a
término.
A diferencia de la situación para selies generales, no es necesario supo­
ner que
la serie qlÍe se deriva es uniformemente convergente. Por consiguiente,
este resultado es más sólido que él teorema 9.4.4.
9.4.12 Teorema de deri.vación Una serie de potencias puede derivarse térmi-
no a término dentro del intervalo
de convergencia. De hecho, si
00
f(x) = entonces f'(x) = Lna
n
x
n
-1
para Ixl <R.
n=O n=l
Ambas series tienen el mismo radio de convergencia.
Demostración.
Puesto que lím (n
l/n
) = 1, la sucesión (Inanl
l/n
) está acotada si
y sólo si la sucesión
(lanl
l/n
) está acotada. Además, es fácil ver que
lím sup(1 na
n 11In) = lím sup(1 an
1
1In).
En consecuencia, el radio de convergencia de las dos series es el mismo, por 10
que la serie derivada formalmente es uniformemente convergente en todo interva­
lo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Entonces puede
aplicarse el teorema 9.4.4 para concluir que la serie derivada formalmente conver­
ge a la derivada de la serie dada.
Q.E.D.
Observación Es necesario advertir que el teorema no hace ninguna afirmación
acerca de los puntos terminales del intervalo de convergencia. Si
una serie es
convergente en uno de los puntos terminales, entonces la serie derivada puede
ser o no convergente
en este punto. Por ejemplo, la serie L ~=l xnln2 converge en
ambos puntos terminales x = -1 Y x = +1. Sin embargo, la serie derivada dada
por L ~=l xn -l/n converge en x = -1 pero diverge en x = + l.
Mediante la aplicación repetida del resultado anterior, se concluye que si
k E N, entonces L ~=o ay¡Xn puede derivarse término a término k veces para obtener
00
~ __ n_!_ a xn-k
L.i(n-k)! n .
n=k
(5)

346. 9.4 Series de funciones
esta serie converge absolutamente af(k)(x) para Ix I < R Y unifonnemen-
te en cualquier intervalo cerrado y acotado en el intervalo de
Si se
sustituye x
= O en (5), se obtiene la impOliante fórmula
9.4.13 Teorema
de uni.cidad Si ISuxn y Ibnx
n
convergen en algún intervalo
(-r, r), r > O, a la misma función f, entonces
para toda n
E N.
Demostración. Las observaciones precedentes indican que n!a
n = f(n)(o) =
n!bn
para toda n E N. Q.E.D.
Series de
Si una funciónftiene derivadas de todos los órdenes en un punto e en JEt, enton­
ces pueden calcularse los coeficientes de Taylor con
ao := f(e), a/1 := f(nl(e)/n! para
n
E N para obtener así una serie de potencias con estos coeficientes. Sin embar­
go, no se cumple necesariamente que la serie de potencias resultante converge a la
funciónfen un intervalo alrededor de e. (Véase el ejercicio 12 para un ejemplo.)
La cuestión de la convergencia se resuelve mediante el término del residuo Rn del
teorema de Taylor 6.4.1. Se escribirá
L
oo f(n)(e)
f(x)= (x-e)n
n!
(6)
n=O
para Ix -el < R si y sólo si la sucesión (Rn(x)) de los residuos converge a O para
toda
x en algún intervalo {x: Ix -e I < R}. En este caso se dice que la serie de
potencias (6) es la expansión
de Taylor de f en e. Cabe señalar que los polinomios
de Taylor para
f examinados en la sección 6.4 no son sino las sumas parciales de
la expansión de Taylor (6) de! (Recordar que O! = 1.)
9.4.14
Ejemplos a) Sif(x):= sen x, x E JEt, se tienef(2n)(x) = (_1)n sen x y
f(2n+ 1)(x) = (-1)" cos x para n E N, x E JEt. Al hacer la evaluación en e = O, se ob­
tienen los coeficientes de Taylor
a2n = O Y a2n+1 = (-1)/1/(2n + 1)! para n E N.
Dado que I sen xl:::;; 1 Y I cos xl:::;; 1 para toda x, entonces I Rn(x) I :::;; Ixl n/n! para
n E N Y x E JEt. Puesto que lím(Rn(x)) = O para toda x E JEt, se obtiene la expan­
sión de Taylor
00
L
(-I)n
sen x = x2n+l
(2n+l)!
n=O
para toda xEJEt.
La aplicación del teorema 9.4.12 produce la expansión de Taylor
00
L
(-I)n
cosx= --x
2n
(2n )!
n=O
para toda xEJEt.

347. Capítulo 9 Series infinitas
Si := e" x E R, entonces g(nl(x) = ce para toda n E N Y en consecuencia
los coeficientes
de están dados por a
n
= l/n! para n E N. Para x E R
se tiene I Rn(x) I :; e Ix In/n! y por lo tanto (Rn(x» tiende a O cuando n ---¿ oo. Por
lo tanto, se obtiene la expansión de Taylor
ce
para toda xER.
Es posible obtener la expansión de Taylor en una e E R arbitraria mediante el
recurso
de sustituir x por x -e en (7) y reparando en que
00 ce
1
(x-e)n =
n!
-e)n para toda x E R. o
n=O
de la sección 9.4
1. Examinar la convergencia
y la convergencia uniforme de la serie Lj,,, dondej,¡(x) está
dada por:
a) (x
2
+ n
2t
l
,
c) sen(xln
2 ),
e) x/1/(x/1+1) (x:2:0),
b) (nx)-2 (x *-O),
d) (xn + lt
l
(x
*-O),
f) (-l)"(n+x)-I (x:2:0).
2. Si Lan
es una serie absolutamente convergente, entonces la serie La/1 sen nx es abso­
luta y uniformemente convergente.
3. Sea
(en) una sucesión decreciente de números positivos. Si Len sen nx es lmiforme­
mente convergente, «ntonces
lím(nen) = O.
4. Examinar los casos R = O, R = +00 en el teorema de Cauchy-Hadamard 9.4.9.
5. Demostrar que el radio de convergencia
R de la serie de potencias LanX
n está dado por
lím(
1 anla/1 + 11) siempre que este límite exista. Dar un ejemplo de una serie de poten­
cias para la que este límite no existe.
6. Determinar el radio de convergencia de la serie
LanX
n
, donde an está dada por:
a) 1/n
n
,
b) na/ni,
c) n/1ln!, d) (lnn)-I, n:2: 2,
e) (n!)21 (2n)!, f) n-Fn .
7. Si a
n := 1 cuando n es el cuadrado de un número natural y a
n
:= O en caso contrario,
encontrar el radio de convergencia de
LanX
n
. Si bn := 1 cuando n = m! para m E N Y
bn := O en caso contrario, encontrar el radio de convergencia de la serie Lbnx
n
.
8. Demostrar en detalle que lím supe 1 nan Illn) = lím supe 1 an 1
1In
).
9. Si O < pS;I anl S; q para toda n E N, encontrar el radio de convergencia de LanX
n
.

348. 9.4 Series de funciones
10. Sea para Ixl < R. Sif(x) =f(-x) para toda Ixl < R, demostrar que
a/1 = O para toda 11 impar.
1
lo Demostrar que si f está definida para Ixl < r y si existe una constante B tal que
If(n)(x) I :; B para toda Ix I < r y 11 E N, entonces la expansión de la serie de TayJor
n
71=0
converge af(x) para Ixl < r.
12. Demostrar por inducción matemática que la función dada porf(x) := e-
l
/x2
para x * O,
feO) := O, tiene derivadas de todos los órdenes en todo punto y que todas estas deriva­
das
se anulan en x = O. En consecuencia, esta función no está dada por su expansión de
Taylor alrededor de x = O.
13. Dar un ejemplo de una función que sea igual a su expansión de la serie de Taylor
alrededor de
x = O para x ~ O, pero la cual no sea igual a su expansión de Taylor alre­
dedor de
x < O.
14. Usar la forma de Lagrange del residuo para justificar la expansión binomial general
para
O:; x < 1.
15. (Series geométricas) Demostrar directamente que si Ixl < 1, entonces 1/(1 -x) =
L~=oXn
16. Demostrar integrando la serie para 1/(1 + x) que si Ixl < 1, entonces
~ (_1)n+1
!n(1 + x) = L,¡--I1-xn .
n=1
17. Demostrar que si Ix I < 1, entonces arctan x = ~ (-1)/1 x2n+1 .
"'-'2n+l
n=O
I
oo
1· 3 .. ·(2n -1) x2n+1
18. Demostrar que si Ixl < 1, entonces arcsen x =
2·4 .. ·2n 2n + 1
n=O
19. Encontrar una expansión en serie para e-
12
dt para x E IFL
a
20. Si a E R Y I kl < 1, a la integral F(a, k) := (1-k
2
(sen x )2 )-1/2 dx se le llama
la
integral elíptica del primer tipo. Demostrar que
para
Ikl < L

349. En el capítulo 7 se presentó una discusión bastante completa de la de
Riemann de una función en un intervalo acotado cerrado definiendo la integral
como el límite de las sumas de Riemann de la función. Se trata de la integral (y
de la forma de llegar a ella) que el lector conoció en los cursos de es
también la integral que se usa con mayor frecuencia en aplicaciones de ingenie­
ría y otras áreas.
Se ha visto que las funciones continuas y monótonas en [a, b]
son Riemann integrables, por lo que la mayoría de las funciones que surgen en
el cálculo
se encuentran incluidas en esta categoría.
Sin embargo, hacia fines del siglo
XI}( algunas insuficiencias en la teoría de inte­
gración
de Riemal111 habían salido a relucir. Estas debilidades se derivaron principal­
mente del hecho
de que la colección de las funciones Riemal111 integrables se hizo
inconvenientemente reducida a medida que las matemáticas
se desarrollaban. Por
ejemplo,
el conjunto de funciones para las que la fórmula de Newton-Leibniz:
lb F'=F(b)-F(a)
es válida no incluye todas las funciones derivables. Asimismo, los límites de suce­
siones
de funciones Riemal111 integrables no son necesariamente Riemal111 integra­
bles. Estas insuficiencias llevaron a otros matemáticos a inventar otras teorías de
la integración, la más conocida
de las cuales se debe a Henri Lebesgue (1875-1941)
y fue desarrollada en los albores del siglo
xx. (Para una relación de la historia del
desarrollo de la integral
de Lebesgue, el lector puede consultar el libro de Hawkins
citado en la bibliografía.)
De hecho, la teoría de integración de Lebesgue
ha adquirido un papel preemi­
nente en la investigación matemática contemporánea, ya que permite integrar una
colección mucho más grande de funciones y tomar límites
de integrales con mayor
libertad. Sin embargo, la integral de Lebesgue también tiene varias insuficiencias
y dificultades:
1) existen funciones F que son derivables en [a, b] pero tales que
F' no es Lebesgue integrable; 2) algunas "integrales impropias", como la
tante integral
de Dirichlet:
senx d
--x,
x
no existen como integrales de Lebesgue, y 3) la mayor parte de los tratamientos de
la integral de Lebesgue incluyen numerosos prerrequisitos y salen del alcance del
estudiante de licenciatura
de matemáticas.
343

350. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Tan importantes como lo es la integral de Lebesgue, teorías de la HUV,,",'U··
ción aún más incluyentes. Una de ellas fue desarrollada de manera 1l1(lerlerlO1lem:e
a fines de los años 1950 por el matemático checo Jaroslav Kurzweil (n. 1926) y
por el matemático inglés Ralph Henstock (n. 1923). Sorprendentemente, su enfo­
que
es apenas ligeramente diferente del que usó Riemann, no obstante lo cual pro­
duce una integral (a la que se llamará la
integral de Riemann generalizada) que
incluye tanto las integrales de Riemann como las de Lebesgue como casos espe­
ciales. Puesto que el enfoque es tan similar al de Riemann, resulta técnicamente
mucho más simple que la integral de Lebesgue convencional-no obstante lo cual
su alcance es considerablementemayor-;
en particular, incluye funciones que son
derivadas e incluye asimismo todas las "integrales impropias".
Ralph Henstock y Jaroslav Kurzweil
Ralph Henstock (a la izquierda en la fotografia)
nació e12 de junio de 1923 en Nottinghamshi­
re, Inglaterra; era hijo de
un minero. A tempra­
na edad dejó constancia de que era un escolar
dotado en matemáticas y ciencia. Ingresó al St.
lohn's College, Cambridge, en 1941, estudian­
do bajo la tutela de
1. D. Bernal, G. H. Hardy y
J. C. Burkhill, y fue clasificado Wrangler (di­
sertador) en la Parte II
de los Exámenes Tripos
en 1943. Obtuvo su licenciatura
por Cambrid­
ge en 1944 y su doctorado
por la Universidad de
Londres en 1948.
Su investigación se centra en la sumabilidad, el análisis lineal y la teoría
de la integración.
La mayor parte de su trabajo docente lo ha realizado en Irlanda del Norte.
En la actualidad es profesor emérito en el campus Coleraine de la Universidad de Ulster.
Jaroslav Kurzweil (a la derecha en la fotografia) nació en Praga
el 7 de mayo de 1926.
Alumno de V Jarník,
ha realizado un número considerable de investigaciones en la teoría de
las ecuaciones diferenciales y en la teoría de la integración, combinadas con
un serio interés
en la enseñanza de las matemáticas.
En 1964 se le otorgó el premio K1ement Gottwald yen
1981 fue galardonado con la medalla Bolzano de la Academia Checoslovaca de Ciencias.
Desde 1989 ha sido director del Instituto de Matemáticas
de la Academia Checa de Ciencias
en Praga y ha ejercido una profunda influencIa sobre los matemáticos de su país.
En este capítulo se presenta una exposición de la integral de Riemann generali­
zada. En la sección
10.1 se verá que la teoría básica es casi exactamente la misma
que para la integral de Riemann ordinaria. Sin embargo,
se han omitido las demos­
traciones de algunos resultados cuando son en exceso complicadas. En la breve sec­
ción 10.2 se indica que las integrales impropias en
[a, b] se encuentran incluidas en
la teoría generalizada. La clase de las funciones Lebesgue integrables se introduce
como aquellas funciones integrables generalizadas
J cuyo valor absoluto IJI también
es integrable en el sentido generalizado; se trata de un enfoque muy diferente de la
integral de Lebesgue al que se acostumbra utilizar, pero produce la misma clase de
funciones. En la sección 10.3 se integran fimciones en intervalos cerrados
no acota­
dos.
En la sección final se examinan los teoremas de límites que son válidos para las
integrales de Riemann y Lebesgue generalizadas y se presentan algunas aplicacio­
nes interesantes de estos teoremas. Asimismo, se define lo que se entiende por una
"función medible" y se relaciona dicha noción con la integrabilidad generalizada.

351. 10.1 Definición y propiedades principales
Los lectores que deseen estudiar las demostraciones que se omiten debe-
rán consultar el libro del autor,
A Modern
hace referencia como [MIl], o los libros de DePree y
la bibliografia.
En la definición 5.5.2 se definió una medida sobre [a, b] como una función estric­
tam~nte positiva o: [a, b] -¿ (O, 00). Además, se dice que una partición etiqueta­
da
P:= {(Ji' t¡)};~l de [a, b], donde I¡:= [xi-l, x¡], es fina-o cuando
ti E Ii <;;;; [ti -o(t¡), ti + o(t¡)] para i = 1, "', n.
Lo anterior se ilustra en la figura 5.5.1. Adviértase que: (i) sólo nna partición eti­
quetada puede ser fina-8, y (ii) la finura-8 de una partición etiquetada depende de
la elección de las etiquetas ti así como de los valores o(t¡).
En los ejemplos 5.5.4 se dieron casos específicos de medidas y en el teorema
5.5.5 se estableció que si
O es cualquier medida sobre [a, b], entonces existen par­
ticiones etiquetadas finas-8 de
[a, b].
Se define ahora la integral de Riemann generalizada (o de "Henstock-Kurzweil").
Se verá que la definición es
muy similar a la de la integral de Riemann ordinaria y
que muchas de las demostraciones son, en esencia, las mismas. De hecho, la única
diferencia entre las definiciones de estas integrales es que la noción de la pequeñez
de una partición etiquetada se especifica
por medio de nna medida en vez de usar su
norma. Se verá que esta diferencia --en apariencia
menor-resulta en nna clase mucho
mayor de funciones integrables. A fin de evitar algunas complicaciones,
se omitirán
algunas demostraciones; éstas pueden encontrarse en
[MIl].
Antes de iniciar nuestro estudio, es apropiado preguntar: ¿por qué las medidas
son más útiles que las normas?
Brevemente, la razón es que la norma de una par­
tición es una medición
muy burda de la finura de la partición, pues es tan sólo la
longitud del subintervalo más grande en la partición. Por otra parte, las medidas
pueden proporcionar un control más pormenorizado de los subintervalos en las par­
ticiones al requerir el uso de subintervalos pequeños cuando la función está va­
riando con rapidez pero permitiendo el uso de subintervalos más grandes cuando
la función se encuentra
muy cerca de ser constante. Además, las medidas pueden
usarse para forzar a que puntos específicos sean etiquetas; esto resulta útil con fre­
cuencia cuando se presenta algún comportamiento inusual en uno de estos
Puesto que las medidas son más flexibles que las normas, su uso permite que
una
clase más grande de funciones sean integrables.
10.1.1 Definición Se dice que una función/: [a, b] -¿ lR es Riemann
f!el~erau:ma'a en [a, b] si existe nn número L E lR tal que para toda E > O existe una
medida
8
E
sobre [a, b] tal que si P es cualquier partición fina-8
E de [a, b], entonces
I S(f; p) -L I < lO.
La colección de todas las funciones Riemam1 integrables generalizadas se denota­
rá casi siempre por R*[a, b].

352. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Se demostrará que sifE R*[a, b], entonces el número L se encuentra deter­
minado de manera única; se le llamará la de
Riemann de
fen [a, b]. Se demostrará asimismo que sifE R[a, b], entoncesfE R*[a, b] y el
valor de las dos integrales es el mismo. Por lo tanto, no será motivo de ambigüe­
dad alguna si la integral de Riemann generalizada
defE R*[a, b] se denota tam­
bién-por los símbolos
o lb f(x)dx.
El primer resultado que se presenta establece la unicidad del valor de la inte­
gral de Riemann generalizada. Aun cuando su demostración
es casi idéntica a la
del teorema 7.1.2, se desarrollará a fin de ilustrar la forma en que se usan las medi­
das en vez de las normas de particiones.
10.1.2 Teorema de
unicidad Si fE R*[a, b], entonces el valor de la integral
está determinado de manera única.
Demostración. Suponer que tanto
L' como L" satisfacen la definición y sea E> O.
Por tanto, existe una medición 0~/2 tal que si p¡ es cualquier partición fina-0~/2,
entonces
I S(f; PI) - L' I < e/2.
También existe una medición
0~/2 tal que si P2 es cualquier partición fina-o~l2,
entonces
I S(f; P
2
) -L" I < e/2.
Se define
Oc por oe(t) := mín{ o~!2Ct), 0~/2(t)} para t E [a, b], de tal modo que Oc es
una medida sobre
[a; b]. Si P es una partición fina-oc' entonces la partición P
es tanto fina-o~12 como fina-o~/2, por lo que
I S(f; p) -L' I < d2 Y I S(f; p) -L" I < 10/2,
de donde se sigue que
I L' -L" I :; I L' -S(f; p) I + I S(f; p) -L" I
< 10/2 + 10/2 = E.
Puesto que E> O es arbitraria, se sigue que L' = L". Q.E.D.
Se demuestra a continuación que toda función f Riemann integrable es tam­
bien Riemann integrable generalizada y con el mismo valor para la integral. Esto
se hace utilizando una medida que es una fúnción constante.
10.1.3 Teorema de
conformidad Si fE R[a, b] con integral L, entonces tam­
bién
fE R*[a, b] con integral L.
Demostración. Dada E > O, es necesario construir una medida apropiada sobre
[a, b]. Puesto que f E R[a, b], existe un número oc> O tal que si P es cualquier

353. 10.1 Definición y propiedades principales
",W'¡Ut;talld con /lP /1 < entonces IS(f; p) -LI < E. Se define la función
:= * 8Epara t E b], de tal modo que es sobre b].
Si P = ti)};'ol, donde Ii = [xi-], x¡], es una entonces como
fácilmente se nota que O
< Xi -Xi-l :;: ~ 8
E < 8
E para toda i = 1, ... , n. Por lo tanto,
esta partición también satisface
/lP 11 < y, en p) -LI < E.
Entonces toda partición fina-8: en P también satisface IS(f; p) - LI < E.
Puesto que E> O es arbitraria, se sigue que f es Riemaun integrable generalizada
aL. Q.E.D.
Por los teoremas 7.2.5, 7.2.6 Y 7.2.7, se concluye que: todafitnción escalona­
da, toda fimción continua Ji toda función monótona pertenece a R * [a, b]. Se demues­
tra a continuación que la función de Dirichlet, para la cual se demostró que no
es
Riemaun integrable en 7.2.2b y 7.3.13d, es Riemaun integrable generalizada.
10.1.4 Ejemplos a) La función de Dirichletfpertenece a R*[O, 1] Y tiene
integral
O.
Se enumeran los números racionales ·en [O, 1] como {rk}~l. Dada E > 0, se
definen
8cCr¡J := E/2
k
+
2
y 8cCx) := 1 cuando X es irracional. Por lo tanto, 8
E es tilla
medida sobre
[O, 1], y si la partición P := {(Ji' ti) }i'=l es fina-oE' entonces se tiene
Xi -xi-l :;: 20cCt;). Puesto que las únicas contribuciones diferentes de cero a S(f; p)
provienen de las etiquetas racionales ti = r¡C' donde
2E E
° < f(r" )( x· -X ¡) = 1· (x· -Xl) s; --= --
CII-11-2k+22k+l'
y como cada una de estas etiquetas puede ocurrir a lo sumo en dos intervalos, se
tiene
O:;: S(f;P) < =E.
Puesto que E > ° es arbitraria, entonces f E R * [O ,1] Y 10
1
f = O.
Sea que H: [O, 1] -7lR. esté definida por H(lIk) := k para k E N y H(x) := ° en
cualquier otro punto de
[O, 1].
Puesto que H no está acotada en [O, 1], del teorema de acotabilidad 7.1.5 se
sigue que no es Riemaun integrable en
[O, 1]. Se demuestra a continuación que H
es Riemaun integrable generalizada a O.
De hecho, dada E> 0, se define ocCl/k) := d(k2k+2) y se hace 0E(X) := 1 en
cualquier otro punto de
[O, 1], de modo que OE es una medida sobre [O, 1]. Si P es
una partición fina-oE de [O, 1], entonces Xi -Xi-l :;: 20cCt¡). Puesto que las únicas
contribuciones diferentes de cero a
S(H; p) provienen de las etiquetas ti = lIk,
donde
2E E
0< H(l/k)(x· -X·-l) = k·(x· -X_l):;: k·--=--,
1 1 1 1 k2k+2 2k+l
,1,

354. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
y como cada una de estas
tiene
ocurrir a lo sumo en dos
00
O-::;'S(H;P)<
k=l
Puesto que E> O es arbitraria, entonces HE R*[O, 1] y H=O.
El siguiente resultado corresponde exactamente al teorema 7.1.4.
10.1.5 Teorema
Suponer que fy g están en R*[a, b]. Entonces:
a) Si k E IR, lafimción kf está en R*[a, b] y
b rb
kf=k Ja f·
Lafimción f + g está en R*[a, b] y
e) Si f(x) -::;. g(x) para toda x E [a, b], entonces
b
g.
se
D
Demostración. Dada E> O, puede usarse el razonamiento de la demostración
del teorema de unicidad 10.1.2 para construir una medida
Os sobre [a, b] tal que si
P es cualquier partición fina-os de [a, b], entonces
Puesto que
S(f + g; p) = S(f; p) + S(g; p), se infiere, como en la demostración
del teorema 7.1.4b, que
[Su + g;P)-( i
b
f + b g ) [-::;.[SU;p)-b f [+ [S(g;p)-Ja
b
g[
< 8/2 + 8/2 = E.
Puesto que E > O es arbitraria, entonces f + g E R * [a, b] Y su integral es la suma
de las integrales
defy g.
Las demostraciones de los incisos a) y c) son análogas y se le dejan al lector.
Q.ED.

355. 10.1 Definición y propiedades principales
Cabría esperar que usarse un razonamiento similar al que se
en el teorema 7.1.5
para demostrar que una función en R*[a, b] necesariamente
está acotada. Sin
no es éste el caso; de se ha encontrado ya una
función
no acotada en R*[O, 1] en el ejemplo 10.1 Ab Y se encontrarán otros casos
más adelante. Sin embargo, es un ejercicio ilustrativo
para el lector detem1inar
exactamente la parte de la demostración del teorema 7.1.5 donde ésta deja de ser
válida
para una función en R*[a, bl
El criterio de ~~~~".1
Hay una forma análoga del criterio de Cauchy para funciones en R*[a, b]. Es im­
portante porque elimina la necesidad de conocer el valor de la integraL
Su demos­
tración es en esencia la misma que
la del teorema 7.2.1.
10.1.6 Criterio de Una fitnción f: [a, b] ~ lR pertenece a R * [a, b] si
y sólo
si para toda E > ° existe una medida 118 sobre [a, b] tal que si P y Q son
particiones cualesquiera de
[a, b] que sonfinas-118' entonces
IS(I; p) -S(I; Q)I < c.
Demostración. (:::::}) SifE R*[a, b] con integral L, sea 0d2 una medida sobre
[a, b] tal que si P y Q son particiones finas-od2 de [a, b], entonces
IS(I; p) -LI < a2 y IS(I; Q) -LI < a2
Se hace r¡it) := 0edt) para t E [a, b), de tal modo que si P y Q son finas-l1e'
entonces
IS(I; p) -S(I; Q)I S; IS(I; p) -LI + IL -S(I; Q)I
< c/2 + c/2 = c.
(<=) Para toda n E N, sea On una medida sobre [a, b] tal que si P y Q son par­
ticiones que son finas-o
m
entonces
IS(I; p) -S(f; Q)I < l/n.
Puede suponerse que on(t) ~ On+l(t) para toda t E [a, b] y n E N; en caso contra­
rio, se sustituye
On por la medida o~(t) := mm { 01 (t), .. " on(t)} para toda t E [a, b J.
Para toda n E N, sea P
n
una partición que sea fina-on-Evidentemente, si m> n,
entonces tanto P m como P n son finas-o
m de modo que
(2)
Por consiguiente,
la sucesión (S(I; Pm»':=1 es una sucesión de Cauchy en lR, por
lo que converge a algún número A. Al tomar el límite en (2) cuando m ~ 00, se
tiene
IS(I; P
n
) -Al S; Un para toda n E N.

356. Capítulo 10
Para ver que A es la de Riemann
K E N K> 2/ s. Si Q es una
IS(f; Q) -Al :; IS(f; Q) -
:; l/K + l/K < E.
La integral de Riemann generalizada
dada E> O, sea que
fina-8I(, entonces
Puesto que
E> O es arbitraria, entoncesJ E R*[a, b] con integral A. Q.E.D.
10.1.7 Teorema de Sea f: [a, b] ~:IR;.. Entonces fE R*[a, b] si y
sólo si para toda f > O existen las fimciones a
E
Y w
E
en R* [a, b] con
aE(x) :;
f(x) :; wix) para toda x E [a, b]
y tales que
La demostración de este resultado es exactamente similar a la del teorema 7.2.3 y
se le
dejará al lector.
Se presenta a continuación
un resultado muy parecido al teorema 7.2.8. Su demos­
tración es
una modificación de la de ese teorema, pero como es un tanto técnica,
quizá el lector prefiera omitirla
en una primera lectura.
10.1.8 Teorema de aditividad Sea f: [a, b] ~:IR Y sea c E (a, b). Entonces
fE R * [a, b] si y sólo si sus restricciones a [a, c] y [c, b] son ambas Riemann inte­
grables generalizadas. En este caso,
e
J+ (3)
Demostración.
(<==) Suponer que la restricción J¡ de J a [a, e] y la restricción
12 deja [e, b] son Riemann integrables generalizadas aL¡ y L
2
,
respectivamen­
te. Entonces, dada
E> O, existe una medida 8' sobre [a, e] tal que si p¡ es una
partición fina-o' de [a, e] entonces IS(f1; p¡) -L
1
1 < E/2. También existe una
medida 8" sobre [e, b] tal que si P
2
es una partición fina-o" de [e, b] entonces
IS(f2; P
2
) -L
21 < E/2.
Se define ahora una medida-8
E
sobre
[a, b] mediante
¡
mín {o' (t),l(c -t)}
0E(t):=
mín{O'(C),~,,(C)}
mín {o" (t), ±(t -e)}
para t E [a,c),
para t = e,
. para t E (e, b].
(Esta medida tiene la propiedad de que cualquier partición fina-DE debe tener a e
como etiqueta para cualquier subintervalo que contiene al punto c.)

357. 10.1 Definición y propiedades principales
Se demostrará que si Q es
te una fina-o' Ql de
de entonces exis­
b] tales que
Caso (i) Si e es un de Q, entonces npy·tpnp('p
tervalos de Q y es la de estos dos subintervalos. Si
de Q que tiene subintervalos en
e], entonces Q¡ es fina-o'. Del mismo
si
Q2 consiste en la ,de Q que tiene subintervalos en [e, b], entonces Q2 es
fina-o". Ahora es clara la relación
Caso (ii) Si e no es un de partición de Q = ti) }[';¡, entonces es la
de algún subintervalo, digamos de
[xk_¡' x¡J. Ahora se el par
([xk_¡, x¡J, e) por los dos pares ([xk-¡, e], e) y ([e, x¡J, y sean Ql y Q2 las par­
ticiones etiquetadas de
[a, e] y [e, b] que resultan. Puesto quej(e)(xk -xk-¡) =
j(e)(e -Xk-¡) + j(e)(xk -e), se observa que la relación también se cumple.
En cualquiera de los dos casos, la ecuación y la desigualdad del triángulo
implican que
IS(f; Q) -(L¡ + L2)1 = IS(f; Q¡) + S(f; Q2») -(L¡ + L2)1
:5IS(f; Q¡) -L¡I + IS(f; Q2) -L
21·
Puesto que Q¡ es fina-o' y Q2 es fina-o", se concluye que
Puesto que
E> ° es arbitraria, se infiere quejE R*[a, b] y que (3) se cumple.
(=?) Suponer que
j E R * [a, b] y, dada E> 0, sea que la medida lh satisfaga el
criterio
de Cauchy. Sea/¡ la restricción deja [a, e] y sean P¡, Q¡ particiones finas-1JE
de [a, e]. Al agregar puntos de partición y etiquetas adicionales de [e, b], es posi­
ble extender
p¡ y Q¡ a las particiones finas-1JE P y Q de [a, b]. Si se usan los mis­
mos
puntos y etiquetas adicionales de [e, b] tanto para P como para Q, entonces
S(f; p) -S(f; Q) = S(f¡; p¡) -S(f¡; Q¡).
Puesto que tanto P como Q son finas-1JE' entonces IS(/¡; P 1) -S(f), Q¡)I < E tam­
bién se cumple. Por
10 tanto, con la condición de Cauchy se establece que la res­
tricción/¡
deja [a, e] está en R*[a, e]. Del mismo modo, la restricciónh deja
[e, d] está en R*[e, d].
La igualdad (3) se sigue ahora de la primera parte del teorema. Q.E.D.
Es sencillo ver que resultados exactamente similares a 7.2.9-7.2.12 se cumplen
para la integral de Riemann generalizada. Sus enunciaciones se le dejan al lector,
pero se usarán aquí con libertad.
El teorema fundamental
Se presentan a continuación las versiones de los teoremas fundamentales para la
integral de Riemann generalizada. Se verá que la primera forma es
significati­
vamente más sólida
que la de la integral de Riemmill (ordinaria); de hecho, se

358. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
demuestra que la derivada de función automáticamente a
R*[a, b], por lo que la integrabilidad de la función pasa a ser una en
vez de
una hipótesis.
10.1.9 El teorema fundamental del cálculo Suponer que
existe
un conjunto contable E en [a, b] Y las fimciones f, F : [a, b] ---¿ IR:. tales que:
a) F es continua en [a, b].
= f(x) para toda x E [a, b] E.
Entonces fpertenece a R*[a, bJ y
= F (b ) -F (a ). (5)
Demostración. Se probará el teorema en el caso en que E = 0, mientras que el
caso general se deja para los ejercicios.
Por tanto, se supone que
b) se cumple para toda x E [a, b]. Puesto que quiere
demostrarse que
f E R*[a, b J, dada e> O, es necesario construir una medida DE;
esto se hará usando la derivabilidad de F en [a, b]. Si tE J, dado que existe la deri­
vadaf(t) = F'(t), existe OE(t) > O tal que si O < Iz -ti :::; 0E(t), z E [a, b], entonces
I
F(z) -F(t) -f(t)1 < le.
z-t 2
Si esta desigualdad se multiplica por Iz -tI, se obtiene
IF(z)-F(t)-f(t)(z-t)1 :::; telz-tl
siempre que z E [t -oit), t + 0E(t)] n [a, b]. La función DE es la medida que se
buscaba.
Sea ahora
u, v E [a, b] con u < v que satisfacen t E [u, v] ~ [t -Dit), t + oit)].
Si se suma y se resta el término F(t) - f(t) . t Y se usa la desigualdad del triángulo
y el hecho de que
v -t ¿ O Y t -u ¿ O, se obtiene
IF(v)-F(u)-f(t)(v-u)1
:::;1 F(v) -F(t) - f(t)(v -t) 1 + 1 F(t)-F(u) - f(t)(t -u) 1
:::; te(v-t)+ te(t-u) = 1e(v-u).
Por lo tanto, si t E [u, v] ~ [t -OE(t), t + 0E(t)], entonces se tiene
IF(v)-F(u)-f(t)(v-u)1 :::;te(v-u).
Se demostrará que f E R* [a, b] con integral dada por la suma telescópica
n
F(b)-F(a) = I. {F(x¡)-F(xi-l)}'
¡=1
(6)
(7)

359. 10.1 Definición y propiedades principales
Ahora si la
ti + para i=l, ",n,
y en consecuencia pueden usarse (7), la desigualdad del triángulo y (6) para
obtener
IF(b)--S(f;p)l= -F(x¡_¡)-!(t¡)(x¡ -X¡-l)}1
i=1
n
::;; -F(:X:i_¡)-!(t¡)(x¡ -x¡_¡)!
i=1
n
::;; -xi-l) < E(b-a).
¡=1
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye quejE R*[a, b] y se cumple la expre­
sión (5).
Q.E.D.
10.1.10 Ejemplos a) Si H(x) := 2{;: para x E [O, b], entonces H es continua
en
[O, b] y H'(x) = 1/{;: para x E (O, b]. Se define h(x) :=H'(x) para x E (O, b] y
h(O) := O. Del teorema fundamental 10.1.9 con E:= {O} se sigue que h pertenece
a
R*[O, b] y que Jg h = H(b)-H(O) = H(b), que se escribe como
En términos más generales, si
a> O, sea Ha ex) :=xa/a= ea1nx/aparax E (O, b]
Y sea Ha(O) := O, por lo que Ha es continua en [O, b] Y H~(x) = x
a -1 para toda
x E (O, b]; ver 8.3.10 y 8.3.13. Se define haex) := H~(x) para x E (O, b] Y haCO) := O.
Entonces el teorema 10.1.9 implica que ha E R* [O, b] Y que J g ha = Ha(b)­
Ha(O) = Ha(b), que se escribe como
e) Sea
L(x) := x In x -x para x E (O, b] Y L(O) := O. Entonces L es continua en
[O, b] (usar la regla de r.;H6pital en x = O), Y se observa que L'(x) = In x para
XE (O,b].
Del teorema 10.1.9, con E = {O}, se sigue que la función no acotada ¡(x) :=
In x para x E (O, b] y 1(0) := O pertenece a R*[O, b] y que J g 1 = L(b)-L(O), que
se escribe como

360. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Sea A(x) := arcsen x para x E
= 1/.,,)1 -x2 para x E
s(-1) =s(I):= O.
1], por lo que A es continua en y
Se define
.- para x E (-1, 1) Y sea
Entonces el teorema 10.1.9 con
E = {-1, l} implica que s E R* [-1, 1] Y que
J~l s = A(l)-A( -1) = re que se e.scribe como
dx
¡-;---;:;-= arcsen 1-arcsen ( -1) = re .
-vl-x
2
El teorema fundamental
o
Se pasa ahora a la segunda forma del teorema fundamental, en la cual se quiere
derivar la
indefinida F de J, definida por:
z
F(z):= f(x)dx para z E [ a , b ]. (8)
10.1.11
Teorema fundamental del cálculo Sea que fperte-
nezca a R *[a, b] Y sea F la integral indefinida de f. Entonces se tiene:
a)
F es contimta en [a, b].
Existe un conjunto nulo Z tal que si x E [a, b] entonces F es derivable en
xy F'(x) = f(x).
c) Si
fes continua en c E [a, b], entonces F'(c) = f(c).
Demostración. Las demostraciones de los incisos a) y b) pueden encontrarse en
[MIl]. La demostración del inciso c) es exactamente igual a la del teorema 7.3.5,
excepto porque se usan los teoremas 10.1.8 y 10.1.5c.
Q.E.D.
La conclusión del inciso b) puede re formularse como: la integral indefinida F
de f es derivable a f casi en todas partes en [a, b].
Teorema de sustitución
Considerando la simplicidad del teorema fundamental 10.1.9, es posible mejorar
el teorema justificando la
"fónnula de sustitución". El siguiente resultado consti­
tuye
un fortalecimiento considerable del teorema 7.3.8. El lector deberá escribir
las hipótesis en el caso
E¡= Ecp = E = 0.
10.1.12 Teorema de sustitución a) Sean 1 := [a, b] Y J := [()(, ~], Y sean F : 1 --7
JEt Y <p : J --7 JEt fimciones continuas con <p(J) <:: 1.
b) Suponer que existen los conjuntos Ef e 1 y Eq> e J tales que f(x) = F I (x) para
x E 1 Eq>' que <p I (t) existe para t E J Eq> Y que E := <p-l (E
f
) U Eq> es contable.
c) Se hace f(x) := O para x E Ef Y <p' (t) = O para t E Eq>'
Se concluye que fE R*(<p(J)), que (f o <p) . <p' E R*(J) y que
J:
f3 I f3 f cp(j3)
(focp)·cp'=Focp = f.
a a cp (a)
(9)

361. 10.1 Definición y propiedades principales
Demostración, Puesto que rp continua en el teorema 5.3,8 HHIJH"~
es un intervalo cerrado en I. Asimismo, rp-l(E¡) es de donde
rp(rp-l(Ef» también es contable, Puesto quef(x) =F'(x) para toda x E
elieorema fundamental
10.1 implica quefE R*(rp(J)) y que
({! ([3) f = F I({! ([3) = F (rp(f3» -F
(o:) ({! (o:)
Si t E J E, entonces tE J Ecp Y rp(t) E 1 El' Por consiguiente, la
la cadena 6,1.6 implica que
(F o rp)' (t) = f (rp(t»)· rp' (t) para tE J E.
de
Puesto que E es contable, el teorema fundamental implica que (f o rp) , rp' E R *(1)
Y que
J: (f o rp)' rp' = F o cpl! = F (cp(f3»)-F (rp (a)).
La conclusión se sigue igualando estos dos términos.
r
4
cosfi
10.:1.13 Ejemplos a) Considerar la integral Jo .¡¡ dt.
Q.E,D.
Puesto que el integrando no está acotado cuando t ~ 0+, hay cierta duda acer­
ca
de la existencia de la integral. Además, en el ejercicio 7.3, 19b se vio que el teo­
rema 7.3.8 no
se aplica con cp(t) := {t. Sin embargo, el teorema 10.1.12 sí se
aplica.
De hecho, esta sustitución da como resultado
cp'(t) = 1/(2{t) para t E (O, 4J Y
se hace
cp(O) := O. Si se hace F(x) := 2 sen x, entoncesf(x) = F'(x) = 2 cos x y el
integrando tiene la forma
f( cp(t ). cp' (t) = (2 cosfi)( 2~ ) para t;tO.
Por tanto, el teorema
de sustitución 10.1.12 con Ecp:= {O}, Ef:= 0, E := {O} impli­
ca que
1
1=4 cos fi 1 x=2
--¡=:-dt = 2cosxdx =2sen2.
t=O '1/ t x=O
1
1
dt 1
1
dt
Considerar la integral ~ = t: r:;--:'
O 'l/t-t2 O 'l/t'l/l-t
Obsérvese que este integrando no está acotado cuando t ~ 0+ y cuando t ~ 1-.
Como en el inciso a), se hace x = rp(t) := {t para t E [O, 1], de tal modo que

362. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
= 1I(2{t) para t E
la forma
1]. Puesto que
1l=t = ~l -x
2
,
el HW'b"~H_'~ asume
_2_._1_ = __ 2_ '<p/(t)
~ 2{t .,JI-x2 '
la cual sugiere que f(x) = 2/~1 -x2 para x '* l. Por lo tánto, es necesario elegir
F(x) := 2 arcsen x para x E [O, 1], ya que
¡:;---;:; = F' (x) = (2 arcsen x )'
"I-x
2
.
2
para
x E
Por consiguiente, se tiene E cp = {O} Y El = {l}, de modo que E = {O, l} Y del teo­
rema de sustitución se obtiene
1=1 dt lX=1 2dx 1
1
r r;--: = ¡:;---;:; = 2 arcsen x = 2 arcsen 1 = lC .
" t " 1-t x=O ,,1-x 2 O
o
En [MTI] se presentan otras formulaciones del teorema de sustitución.
El teorema de "H"U!,".'-""U"U
En el teorema 7.3.16 se vio que el producto de dos funciones Riemann integrables
es Riemann integrable. Este resultado
no se cumple para las funciones Riemann
integrables generalizadas; ver los ejercicios
18 y 20. Sin embargo, se enuncia un
teorema en esta dirección que con frecuencia resulta útil. Su demostración puede
encontrarse en
[MIl].
10.1.14 Teorema de multiplicación Si fE R*[a, b] y si g es unafimción mo­
nótona
en [a, b], entonces el producto f· gpertenece a R*[a, b].
por
La siguiente versión de la fórmula para la integración por partes resulta de utilidad.
10.1.15 Teorema de integración por Sean F y G derivables en [a, b].
Entonces
F'G pertenece a R*[a, b] si y sólo si FG' pertenece a R*[a, b]. En este
caso se tiene
(lO)
En la demostración se usa el teorema 6.1.3c; se le dejará al lector. En aplica­
ciones, por lo general se tiene
F' (x) = f(x) y G' (x) = g(x) para toda x E [a, b]. Se
advertirá que es necesario suponer que una de las funcionesfG = F' G y Fg = FG'
pertenece a R*[a, b].

363. 10.1 Definición y propiedades principales
El lector deberá comparar el siguiente resultado con el teorema 7.3.18.
Adviértase que
no es necesario suponer la integrabilidad de f(n + 1).
. 10.1.16 Teorema de
[a,
b]. Entonces se tiene
Suponer que
f, f', flll, .. " f(n) y f(n + 1) existen en
l' (a) f (n) (a)
f(b) = fea) + --(b -a) + ... + (b-
1! . n1
+ (11)
donde el residuo está dado por
1 fb
Rn =-fe
n
+
1
)
(t)·(b-t)n dt.
n! a
(12)
Demostración. Puesto que fe
n
+ 1) es una derivada, pelienece a n * [a, b]. Ade­
más, ya que
t f--'t (b -ty7 es monótona en [a, b], el teorema de multiplicación
10.1.14 implica que la integral (12) existe. Al integrar
por partes repetidamente,
se obtiene (11).
Q.E.D.
Ejercicios de la sección 10.1
1. Sea o una medida sobre [a, b] y sea P = {([xi-j, x¡], ti)}¡~¡ una partición fina-o de [a, b].
a) Demostrar que O < xi -xi _¡ :s; 20(t;) para i = 1, .. " n.
b) Si 0* := sup{ o(t) : tE [a, b]} < 00, demostrar que IIPII :s; 20*
c) Si 0* := ínf{ o(t) : t E [a, b]} satisface 0* > O Y si Q es una partición etiquetada de
[a, b] tal que se tiene 111211 :s; 0*, demostrar que Q es fina-O.
d) Si
E= 1, demostrar que la medida o¡ del ejemplo 10.1.4a tiene la propiedad de que
ínf{o¡(t): tE [0, I]} = O.
2. a) Si P es una partición etiquetada de [a, b], demostrar que cada etiqueta pertenece a
lo sumo a dos sub intervalos en P.
b) ¿Hay particiones etiquetadas en las que cada etiqueta pertenece exactamente a dos
subintervalos?
3. Sea O una medida sobre [a, b] Y sea P una partición fina-o de [a, b].
a) Demostrar que existe una partición fina-o Q¡ tal que: (i) ninguna etiqueta pertenece
a dos subíntervalos en
Q¡, y (ii) S(f; 12¡) = S(f; p) para cualquier fimciónf en [a, b].
b) ¿Existe una partición fina-8 Q2 tal que: j) cada etiqueta pertenece a dos subinter­
valos
en ~;b y jj) S(f; Q2) = S(f; p) para cualquier funciónfen [a, b]?
c) Demostrar que existe una partición fina-8 Q3 tal que: k) cada etiqueta es un punto ter­
mínal de su subíntervalo, y kk)
S(f; Q3) = S(f; p) para cualquier funciónfen [a, b].
4. Si O está definida en [O, 2] por o(t) :=~It -11 para x;t 1 Y 8(1) := 0.01, demostrar que
toda partición fina-o P de [O, 2] tiene a t = 1 como etiqueta de al menos un subinterva­
lo y que la longitud total de los subintervalos
en P que tienen a 1 como etiqueta es
menor o igual que 0.02.

364. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
5. a) Construir tilla medida 8 sobre [O, 4] que fuerce a los números 1, 2,3 ser
tas de cualquier partición fina-8 de este intervalo,
b) Dada una
medida 8¡ sobre [O, 4], construir una medida 8
2
tal que toda partición
fina-8¿ de
[O, 4]: i) tenga los números 1, 2, 3 en su colección de etiquetas, y ii)
sea fina-o¡,
6. Demostrar que
f E R *[a, b] con integral L si y sólo si para toda s> ° existe una medi­
da rE en [a, b] tal que si P = {([Xi-¡, xa, ti)},'~¡ es cualquier partición etiquetada tal
que
° < Xi -Xi _ J ~ rcCti) para i = 1, ' , " n, entonces [S(f; p) -L[ < s, (Esto propor­
ciona
una forma alternativa, pero equivalente, para definir la integral de Riemann
generalizada, )
7. Demostrar que las siguientes funciones pertenecen a
R*[O, 1] encontrando una función
F" que sea continua en [O, 1] Y tal que F/( = fix) para x E [O, 1] El" para algún con­
junto finito E
k
,
a) fí(x):= (x + 1)/{,; para X E (0,1] Y j¡(0) := 0,
b) 12(x):= x/~ para X E [O, 1) Y 12(1) := 0,
c) f3(x):= {,; In x para x E (O, 1] Y j,,(0) := 0,
d) f4(X):= (In x)/{,; para x E (0, 1] Y f4(0) := 0,
e) fs(x):=~(l+x)/(l-x) para x E [O,l)yfs(l):=O,
f) f6(x):= l/({,; ~2 -x) para x E (0,1] Y 16(0) := 0,
8. Explicar por qué el razonamiento en el teorema 7,1,5 no se aplica para demostrar que
una función R*[a, b] está acotada,
9. Sea
f(x) := l/x para x E (O, 1] Y feO) := O; entonces{ es continua excepto en x = 0,
Demostrar quefno pertenece a R*[O, 1], [Sugerencia: comparar f con sn(x) := 1 en
(1/2, 1],
sn(x) := 2 en (l/3, 1/2], sn(x) := 3 en (l/4, 1/3], ' , " sn(,,'C) := n en [O, l/n],]
10. Sea que k : [O, 1] ---+ 1Il esté definida por k(x) := ° si x E [O, 1] es ° o un número irra­
cional
y k(m/n) := n si m, n E N no tienen factores comunes además de 1, Demostrar
que
k E R*[O, 1] con integral igual a 0, Demostrar también que k no es continua en
ningún punto
y que no está acotada en ningún sub intervalo [c, d] con c < d,
11. Sea f la función de Dirichlet en [O, 1] Y sea F(x) := ° para toda x E [O, 1], Puesto que
F'(x) = f(x) para toda x E [O, 1] «;)l, demostrar que el teorema fundamental 10,1.9
implica que
fE R*[O, 1],
12. Sea M(x) := In [xl para x '* ° y M(O) := 0, Demostrar que M'(x) = l/x para toda x '* 0,
Explicar por qué no se sigue que f2(l/X) dx = In [-2[-In 2 = 0,
13. SeaL
1(x) :=x In [x[-xparax,* ° y L
1(0):= 0, y sea l¡(x):= In [xl six '* ° y l¡(O):= 0,
Si [a, b] es cualquier intervalo, demostrar que l¡ E R *[a, b] Y que J: In [xl dx = L
1 (b) -
L1(a),
14. Sea E := {Cj, C2, ' , ,} y sea F continua en [a, b] y F'(x) = f(x) para x E [a, b] E Y
f(cle) := 0, Quiere demostrarse que f E R*[a, b] Y que la ecuación (5) se cumple,
a) Dadas
s> ° y t E [a, b] E, sea que oit) esté definida como en la demostración
de 10,1,9, Elegir ahora
OiCk) > ° tal que si [z -clel < OiCk) y z E [a, b], entonces
[F(z) -F(Ck)[ < c/2k+2,

365. 10.1 Definición y propiedades principales
b) Demostrar que si la partición P es fina-bE y tiene t¡ = e¡" entonces se tiene
IF(x¡) - - f(c,,)(x¡ - xi-I)1 < E/2k+1.
c) Usar el razonamiento de 10.1.9 para obtener IS(f; p)- < -a+ 1).
15. Demostrar que la función g¡(x) :=[1/2sen(1/x) para x E (O, 1] Y g¡ (O) := ° pertenece a
R*[O, 1l [Sugerencia: derivar := .x;3/2cos(1/x) para x E 1] Y .-
16. Demostrar que la función g2(X) := (l/x)sen(l/x) para x E (O, 1] Y g2(0) := ° pertenece a
R*[O, 1]. [Sugerencia: derivar C 2(x) := x cos(llx) para x E 1] Y := 0, y usar
el resultado para la función coseno que corresponde al ejercicio 7.2.12.]
17.
Usar el teorema de sustitución 1O.l.12 para evaluar las siguientes integrales.
3 4 ftdt
a) (2t+l)sgn(t2 +t-2)dt=6, b)
1+j¡'
5 dt
¡--: = 2 arctan 2 ,
t'l/ t-l
c) d) l~dt.
18. Dar un ejemplo de una nillciónf E R *[0, 1] cuyo cuadrado ¡z no pertenezca a R *[0, 1].
19. Sea F(x) := x cos(n/x) para x E (O, 1] Y F(O) := O. Se verá quef:= F' E R*[O, 1] pero
que su valor absoluto
Ifl = IF'I ~ R*[O, 1]. (Aquí/(O) := O.)
a) Demostrar que F' y IF'I son continuas en cualquier intervalo [e, 1], ° < e < 1 Y
fE R*[O, 1].
b) Si a" := 2/(2le + 1) Y b
k := l/k para k E N, entonces los intervalos [al
p b¡clno se tras­
lapan y
lIk:S; f~: Ifl.
c) Puesto que la serie L~l l/k diverge, entonces Ifl ~ R*[O, 1].
20. Seafcomo en el ejercicio 19 y sea m(x) := (-l)"para x E [alr, ble] (k E N) Y m(x) := °
en cualquIer otro punto de [O, 1]. Demostrar que m '/ = 1m . fl. Usar el ejercicio 7.2.11
para demostrar que las funciones acotadas m y Iml pertenecen a R[O, 1]. Concluir que
el producto de lilla fLmción
en R *[0, 1] Y una función acotada en R[O, 1] pueden no
pertenecer a R*[O, 1].
21. Sea <D(x) :=xlcos(n/x)1 para x E (0,1] Y sea <D(O) :=0. Entonces <D es continua en [0,1]
y <D'(x) existeparax~ E:= {O} U {ale: kE N}, donde ale :=2/(2k+ 1). Sea ep(x):=
para x ~ E Y ep(x) := O para x E E. Demostrar que ep no está acotada en [O, 1]. Usando
el teorema fLmdamental 10.1.9 con
E contable, concluir que ep E R*[O, 1] y que f: ep =
<D(b) -<D(a) para a, b E [0,1]. Como en el ejercicio 19, demostrar que lepl ~ R*[O, 1].
22. Sea 'P(x) := x
2
Icos(n/x)1 para x E (O, 1] y'P(O) := O. Entonces 'P es continua en [O, 1]
Y
'P'(x) existe para x ~ E¡ := {a¡J. Sea lfI(x) := 'P'(x) para x ~ E¡ Y lfI(x) := O para
x E El' Demostrar que lfI está acotada en [O, 1] Y (usando el ejercicio 7.2.11) que lfí E
R[O, 1]. Demostrar que f: lfI= 'P(b) -'P(a) para a, b E [0,1]. Demostrar también que
IlfIl E R[O, 1].
23. Sif: [a, b]---+.IR es continua y sip E R*[a, b] no cambia de signo en [a, b], y sifp E
R*[a, b], entonces existe ~ E [a, b] tal que f;fp = f@f;p. (Ésta es una generaliza­
ción del ejercicio 7.2.16; se
le llama el primer teorema del valor medio para integrales.)
24.
SeafE R*[a, b], sea g monótona en [a, b] y suponer quef~ O. Entonces existe ~ E [a, b]
tal que f;fg = g(a) f;f + g(b) fU (Ésta es una forma del segundo teorema del valor
medio
para integrales.)

366. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
En el teorema 7.1.5 se vio que una funciónfen R[a, h] debe estar acotada en
[a, b] (aunque no es necesariamente éste el caso para una función en R*[a, b]).
Para integrar ciertas funciones que tienen límites infinitos en un punto c en [a, b],
o que son en alto grado oscilatorias en dicho punto, en cálculo se aprende a tomar
los límites de las integrales
en subintervalos, cuando los puntos terminales de
estos sub intervalos tienden al punto
c.
Por ejemplo, la función h(x) := 1I-fX" para x E (O, 1] Y h(O) := ° no está acota­
da en una vecindad del punto terminal
izquierdo de [O, 1]. Sin embargo, sí perte­
. nece a
R[y, 1] para toda y E (O, 1] Y se define la "integral impropia de Riemann"
de
h en [O, 1] como el límite
J
1 1 1
1
1
,dx:= lím ,dx.
O "X y---7o+ y" X
La nmción oscilatoria k(x) := sen(l/x) para x E (O, 1] Y k(O) := O se trataría del
mismo modo.
Una función que se vuelve no acotada, o que es en alto grado oscilatoria, en el
punto terminal
derecho del intervalo se maneja de una manera similar. Además, si
una función g no está acotada, o es en alto grado oscilatoria, cerca de alguna c E
(a, b), entonces se define la "integral impropia de Riema11l1" como
J:
b g: = lím J: a g + lím (b g.
a a---7C-a f3---7c+J f3
(1)
Estos procesos de tomar límites no son necesarios cuando se trabaja con la
integral de Riemann ~ej'1e¡·allrzaaa.
Por ejemplo, en el ejemplo 10.1.10a se vio que si H(x) := 2-fX" para x E [0,1],
entonces H'(x) = 1I-fX":= h(x) para x E (O, 1] Y el teorema fLmdamentallO.1.9 afir­
maquehER*[O,l]yque
J
i 1
O rx dx = H(l)-H(0)=2.
Este ejemplo es un caso de un notable teorema debido a Reinrich Rake, el cual se
enuncia a continuación para el caso en que la función se vuelve no acotada o es
oscilatoria cerca del punto terminal
derecho del intervalo.
10.2.1 Teorema de Hake Si f: [a, b] ---7lft, entonces fE R*[a, b] si y sólo si
para toda y E (a, b) la restricción de fa [a, y] pertenece a R*[a, y] y
En este caso, lb f = A.
lím {'ff=AElft.
'f---7b-Ja
(2)

367. 10.2 Integrales impropias y de Lebesgue
La idea de la demostración de la ( <=) de este resultado es tomar suce-
sión creciente
(m) que a b de tal modo quefE R*[a, r,1] y
demostrar que f E es necesario construir medidas sobre
se hace "pegando" con todo cuidado las medidas que funcionen para los interva­
los
[Yi-l, Yi] a fin de obtener una medida sobre [a, b). Puesto que los detalles de
esta construcción son un tanto complicados y no particularmente no
se desarrollan aquí sino que se remite al lector a [MTI].
Es importante entender la importancia del teorema de Hake.
Implica que la integral de Riemann generalizada
no puede extenderse toman­
do límites
como en (2). De hecho, si una funciónftiene la propiedad de que
su restricción a cada subintervalo
[a, y], donde y E (a b), es Riemann integra­
ble generalizada y tal que (2) se cumple,
entoncesfya pertenece a R*[a, b].
Una manera alternativa de expresar este hecho es que no es necesario exten­
der la integral de Riemann generalizada tomando dichos límites.
La integrabilidad de una función en [a, b] puede investigarse examinando su
comportamiento en subintervalos
[a, y] con y< b. Puesto que suele ser difí­
cil establecer que una función está en
R *[ a, b] utilizando la definición 10.1.1,
este hecho proporciona otra herramienta para demostrar que una función es
Riemann integrable generalizada en
[a, b].
Con frecuencia es útil evaluar la integral de una función usando (2).
Se usarán estas observaciones para dar un importante ejemplo que permite
profundizar en
el conjunto de las funciones Riemann integrables generalizadas.
10.2.2 Ejemplo a) Sea 1::] ak una serie cualquiera de números reales que
converge a A E
:IR. Se construirá una función cp E R *[0, 1] tal que
(1
Jo cp
k=1
De heclto, se define rp: [O, 1] ~ IR como la función que asume los valores 2al,
22ab 23a3' .. " en los intervalos [O, ~), [~, %), [%' i), .. '. (Véase la figura 10.2.1.)
Por conveniencia, sea
ck:= 1 -1/2" para k= O, 1, ... ; entonces
{2
k
a
para ck_1 :s; x < ck (k EN),
cp(x):= O k
para x=l.
2
4
a4
2
2
a2
2a]
O 1 3
t
7 15
2" 4 8 16
a3
W
Figura 10.2.1 La gráfica de rp.

368. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Evidentemente, la restricción de ep a cada intervalo y] para y El) es una
función escalonada y por lo tanto
es integrable. De hecho, si y E [Cm C
n
+1), entonces
donde
Ir yl ::::; la
n + 11. Pero como la serie es convergente, entonces r y ---¿ ° y por tanto
y n
lím r ep = lím
y~l-JO
=A.
k=l
Si.la serie r,:¡ ak es absolutamente convergente en eLsentido de la definición
9.1.1, entonces se sigue como en el inciso a) que la función
lepl también pertene­
ce a
R*[O, 1] Y que
follepl= la¡J
k=l
Sin embargo, si la serie r,:¡ la,e! no es convergente, entonces la función lepl no per­
tenece a
R*[O, 1].
Puesto que hay muchas series convergentes que no son absolutamente conver­
gentes (por ejemplo,
r,:¡ (-1 )k/k) , se tienen ejemplos de funciones que pertene­
cen a R*[O,
1] pero cuyos valores absolutos no pertenecen a R*[O, 1]. Se han
encontrado
ya tales funciones en los ej ercicios 10 .1.19 Y 10.1.21. O
El hecho de que hay funciones Riemann integrables generalizadas cuyo valor
absoluto no es Riemann integrable generalizado suele resumirse diciendo que
la
integral de Riemann generalizada no es una "integral absoluta". Así, al pasar a la in­
tegral de Riemann generalizada se pierde una importante propiedad
de la integral
de Riemann (ordinaria). Pero es el precio que debe pagarse
para poder integrar una
clase mucho más grande de funciones.
Funciones Lebesgue integrables
En vista de la importancia del subconjunto de funciones en R*[a, b] cuyos valo­
res absolutos pertenecen también a
R*[a, b], se introduce la siguiente definición.
10.2.3 Definición Se dice que una funciónfE R*[a, b] tal que Ifl E R*[a, b]
es Lebesgue en [a, b]. La colección de todas las funciones Lebesgue
integrables en
[a, b] se denota por 'c[a, b].
Nota La colección de todas las funciones Lebesgue integrables suele introducir­
se de manera
totalmente diferente. Una de las ventajas de la integral de Riemann
generalizada es que incluye la colección de las funciones Lebesgue integrables
como
una colección especial -y fácilmente identificable-de funciones.
Es evidente que
sifE R*[a, b] y sif(x):2: O para toda x E [a, b], entonces se
tiene Ifl = fE R *[ a, b], por lo que f E ,c[ a, b]. Es decir, la función no negativa

369. 10.2 Integrales impropias y. de Lebesgue
lE b] a b]. El resultado ofrece un criterio más sóli-
do
para una función en R*[a, b] que pertenece a .c[a, b].
Criterio de cm:np:ara Si f, ro E R*[a, b] Ji ¡f(x)1 ::; para toda
b], entonces fE .c[ a, b] Ji
b b b
11::; 1/1::; Ú).
El hecho de que III E R*[a, b] se demuestra en
Puesto que
III ::::: O, esto implica que lE .c[ a, b].
Para establecer (3), se observa que -1/1 ::;1::; 1/1, y 1O.1.5c que
b
1/1::;
de donde se sigue la primera desigualdad de (3). La segunda desigualdad se
sigue de otra aplicación de 10.1.5c.
Q.E.D.
El siguiente resultado establece que los múltiplos constantes y la sumas de
funciones en
.c[a, b] también pertenecen a .c[a, b].
10.2.5 Teorema Si f, g E .c[ a, b] Ji si c E "IR, entonces cf Ji f + g también per­
tenecen a
.c[a, b). Además
b
1I1
b
Igl· (4)
Demostración. Puesto que le/(x)1 = lell/(x)1 para toda x E [a, b], la hipótesis de
que
III pertenece a R*[a, b] implica que e/y le/l también pertenecen a R*[a, b],
de donde el E .c[ a, b].
La desigualdad del triángulo implica que I/(x) + g(x)1 ::; I I(x) I + Ig(x)1 para toda
x E [a, b]. Pero puesto que ro:= III + Igl pertenece a R*[a, b], el criterio de com­
paración 10.2.4 implica que
1+ g pertenece a .c[ a, b] Y que
Q.E.D.
El siguiente resultado afirma que basta establecer una desigualdad por un lado
a
fin de demostrar que una función/E R*[a, b] pertenece en realidad a .c[a, b].
10.2.6 Teorema Si fE R*[a, b), las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) fE.c[a, b].
b) Existe ro E .c[a, b] tal que f(x)::; ro(x) para toda x E [a, b].
e)
Existe a E .c[a, b] tal que a(x) ::; fex) para toda x E [a, b].
Demostración. a):=} b) Sea ro :=j
b) :=} a) Obsérvese que 1= ro -(ro -1). Puesto que ro -I ::::: O y dado que ro -I
pertenece a R*[a, b], se sigue que ro-I E .c(a, b]. Ahora se aplica el teorema 10.2.5.
Se le deja al lector demostrar que a) <=? c). Q.ED.

370. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
10.2.7 Teorema Si f, g E L:[a, entonces las fitnC!Jnes g}y
también pertenecen a b].
Demostración.
Del ejercicio 2.2.16 se sigue que six E [a, b], entonces
máx{f(x),
g(x)} =±U(x) + g(x) + If(x) -g(x)l),
mín{f(x),
g(x)} =±U(x) + g(x) -If(x) -g(x)I).
g}
Las afirmaóones se siguen de estas ecuaciones y del teorema 10.2.5. Q.E.D.
De hecho, el resultado precedente da una útil conclusión acerca del máximo y
del mínimo de dos funciones en
R*[a, b].
10.2.8
Teorema Suponer que f, g, ay wpertenecen a R*[a, b]. Si
f:S: w, g :S: w o si a :S: f, a :S: g,
entonces máx{f, g} JI mín{f, g} también pertenecen a R*[a, b].
Demostración. Suponer que f:S: m y que g :S: m; entonces máx {f, g} :S: OJ. De la
primera desigualdad de la demostración del teorema 10.2.7 se sigue que
o :S: If -gl = 2 máx {f, g} -f -g :S: 2 m -f - g.
Puesto que
2m -f -g 2: 0, esta función pertenece a L:[ a, b]. El criterio de compa­
ración 10.2.4 implica que 2 máx{f, g} -
f -g pertenece a L:[a, b] yen consecuen­
cia máx{f, g} pertenece a
R*[a, b].
La segunda parte de la afirmación se demuestra de manera similar. Q.E.D.
La seminorma en b]
Se define a continuación la "seminorma" de una función en L:[ a, b] Y la "distan­
cia entre" dos funciones.
10.2.9 Definición
SifE L:[a, b], se define la seminorma defcomo
Sil, g E L:[a, b], se define la distancia entrefy g como
Se establecen ahora algunas propiedades de las funciones seminorma y dis­
tancia.

371. ~I 0.2 Integrales impropias y de Lebesgue
La fimción seminorma satisface:
;:: O para toda fE .c[a, b].
= O
para x E [a, b], entonces Ilfll = O.
fE .c[a, b] y c E IR., entonces Ilcfll = Icl ·llfl/.
f, g E entonces Ilf + gil::; Ilfl/ + Ilgll.
Demostración. Los incisos son inmediatos. El inciso
hecho de que
If + gl ::; Ifl + Igl y del teorema 10.l.Sc.
10.2.11
Teorema Lafimción distancia satisface:
diste f, g) ;:: O para toda f, g E .c[ a, b].
Si f(x) = g(x) para x E [a, b], entonces dist(f, g) = O.
diste f, g) = dist(g, f) para toda f, g E .c [a, b].
dist(f, h)::; dist(f, g)
+ dist(g, h) para toda f, g, h E .c[a, b].
se sigue del
Q.E.D.
Las afirmaciones se siguen de las afinnaciones correspondientes del teorema
10.2.10. Sus demostraciones se le dejarán al lector.
Utilizando la seminonna
(o la función distancia) es posible definir lo que se en­
tiende al decir que una sucesión de funciones
(In) en .c[ a, b] converge a una función
fE .c[a, b]; a saber, dada cualquier E> 0, existe K(E) tal que si n ;:: K(E), entonces
11 f
n
-f 11 = dist(fll,j) < E.
Esta noción de convergencia puede utilizarse exactamente como se ha usado la
función distancia en
IR. para la convergencia de sucesiones de números reales.
Se concluye esta sección con una enunciación del teorema de completez para
.c[a, b] (llamado también teorema de Riesz-Fischer). Desempeña el mismo papel
en el espacio
.c[a, b] que la propiedad de completez desempeña en IR..
10.2.12 Teorema de Una sucesión (f
n
)
defunciones en .c[a, b] con­
verge a
unafitnción fE .c[a, b] si y sólo si tiene la propiedad de que para toda
lO> O existe R(lO) tal que si m, n ;:: R(lO) entonces
Ilfm - fn II=dist(fm ,jn)<E.
Es muy sencillo demostrar la dirección (=» y se deja como ejercicio. La
demostración de la dirección (~) es más complicada, pero puede basarse en la
siguiente idea: hallar una sub sucesión
(gk) := (i"I) de (In) tal que I/gk+ ¡ -g¡cll < 1/2
k
y definirf(x) := g¡(x) + 1::1 (gk+¡(X) -gix)), donde esta serie es absolutamente
convergente, y
f(x) := O en cualquier otro punto. Entonces puede demostrarse que
fE .c[a, b] y que IIIn -fll -+ O. (Los detalles se presentan en [MTI].)
Ejercicios
de la sección 10.2
1. Demostrar que el teorema de Hake 10.2.1 puede expresarse en la siguiente formulación
en términos de sucesiones: una función! E R*[a, b] si y sólo si existe A E lR. tal que
cualquier sucesión creciente
(en) en (a, b) con en ---'> b, entonces! E R*[ a, en] y fa'''! ---'> A.

372. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
2. a) el teorema de Hake para concluir que para x E 1] Y
g(O) := ° pertenece a R*[O, 1].
b) Explicar por qué el teorema de Hake no se aplica a!(x) := l/x para x E (O, 1] Y
feO) := ° (función que no pertenece a R*[O, 1]).
3. Aplicar el teorema de Hake ag(x):= (1 -xr
J
/2
para x E [0,1) Y g(I):= O.
4. Suponer que f E R*[a, e] para toda e E Ca, b) y que existen rE b) y ro E .e[y, b]
tales que If(x) I ::; w(x) para x E [y, b]. Demostrar que! E R* [a, b].
5. Demostrar que la funcióng¡(x) :=[¡/2sen(l/x) para x E (0,1] Y g¡(O):= ° pertenece a
.e[0, 1]. (Esta función se consideró también en el ejercicio 10.1.15.)
6. Demostrar que las siguientes nmciones (definidas apropiadamente cuando sea necesa­
rio) están en
.e[0, 1].
x1nx sel1lrX
a)
l +x2 '
b)
lnx
lnx
c) (lnx )(1n(l-x», d)
~1-x2 .
7. Detenninar si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. (Definir los inte­
grandos como
° en caso de que no estén ya definidos.)
J senxdx 1 cosxdx
a)
x3/2
b)
x3/2
lnxdx llnxdx
c)
x~'
d)
I-x
1 dx
e) (lnx)( sen (l/x » dx, f)
{;(l-x)'
8. Si!E R[a, b], demostrar quefE .e[a, b].
9. SifE '.e[a, b], demostrar quep no está necesariamente en .e[a, b].
10. Sil; g E .e[a, b] y!;i g está acotada y es monótona, demostrar quefg E L[a, b]. Con
mayor precisión, si
Ig(x) I ::; B, demostrar que Ilfgll s; Bllfll.
n. a) Dar un ejemplo de una función! E R*[O, 1] tal que máx{f, O} no pertenezca a
R*[O, 1].
b) ¿Puede dar un ejemplo defE .e[0, 1] tal que máx{f, O} E .e[0, 1]7
12. Desarrollar los detalles de la demostración de que mín{[, g} E R*[a, b] en el teorema
10.2.8 cuando
ex::;f y ex::; g.
13. Desarrollar los detalles de las demostraciones del teorema 10.2.11.
14. Dar tma
funciónf E .e[ a, b] donde f no sea idénticamente 0, pero tal que IIfll = O.
15. Sil, g E L[a, b], demostrar que 111111-Ilglll ::; Ilf ± gil·

373. 10.3 Intervalos infinitos
16. Establecer la parte sencilla del teorema de completez 10.2.12.
17. Sifn(x) := x/1 para n e N, demostrar que /;, e 1J y que 11./;111 ...-¿ o. Por tanto,
11f~ -ell ...-¿ 0, donde e denota la función idénticamente igual a O.
18. Sea gn(x) := -1 para x e [-1, -Un), sea gl1(X) := nx para x e y sea gl1(X) := 1
para
x e 1]. Demostrar que Ilgl11 -gl1ll ...-¿ ° cuando 111, n ...-¿ 00, de modo que el
teorema
de completez 10.2.12 implica que existe g e L[-l, 1) tal que (gl1) converge a
gen L[ -1, 1]. Encontrar una función g así.
19. Sea
h/1(x) := n para x e 1111) y h/1(x) := ° en cualquier otro punto de [O, 1].
h e L[O, 1] tal que Ilh/1 -hll ...-¿ 07
20. Sea k,/x) := 11 para x e (O, l/n
2
)
y k,¡{x) := ° en cualquier otro punto de [O, 1]. ¿Existe
k e L[O, 1] tal que Ilk
n
-kll ...-¿ 07
En las dos secciones anteriores se examinó la integración de funciones definidas
en intervalos
[a, b] cerrados acotados. Sin embargo, en las aplicaciones con fre­
cuencia
se quiere integrar funciones definidas en intervalos cerrados no acotados,
tales como
[a, 00), (-oo,b], o (-00,00).
En cálculo, el enfoque convencional es definir una integral en [a, 00) como un
límite:
y .
j,
y definir las integrales en los otros intervalos infinitos de manera similar. En esta
sección se abordan las funciones Riemam1 integrables generalizadas
(y Lebesgue
integrables) definidas en intervalos infinitos.
Al definir la integral de Riemann generalizada de una función f en [a, 00), se
adoptará
lm procedimiento un tanto diferente al del cálculo. Se observa que si
Q := {([xo, x¡], tI), .. " ([x
n
_ 1, x
n
), t
n
), ([x
m 00], t/1 + I)} es una partición etiqueta­
da
de [a, 00), entonces Xo = a Y X
n
+ 1= 00 y la SUl11a de Riemann que correspon­
de a
Q tiene la forma
(1)
Puesto que el término final
f(t
n
+ 1)(00 - x
n
)
en (l) no tiene sentido, uno querría
suprimirlo. Esto
puede hacerse de dos manera diferentes: (i) la Slill1a de Riemann
se define de tal
modo que contenga sólo los n primeros términos, o (ii) contar con
un procedimiento que permita tratar los símbolos ±oo en los cálculos de tal modo
que se elimine el término final de (1).
Elegimos adoptar el método (i): en vez de tratar con particiones
de [a, 00) en
un número finito de intervalos no traslapados (uno de los cuales debe tener nece-

374. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
sariamente lVl.L~ll'UU
sean colecciones finitas de intervalos no uu~ml-,,"'~v~
está contenida apropiadamente en [a, 00).
Op:U"UClOneS de [a, 00), que
'V""-"IUU finita cuya unión
Se define una medida sobre [a, 00] como un par ordenado que consta de una
función 8 estrictamente positiva definida en [a, 00) y un número d* > O. Cuando
se dice que una subpartición etiquetada P := {([xo, x¡], .. " ([X
n
1, x
n
],
t
n
)} es
d*), se entiende que
n
[a,oo)= (2)
i=l
que
[Xi-!,
xi] ~ [ti -8(t;), ti + 8(t;)] para i = 1, "', n, (3)
y que
~Ym 00) ~ [l/d*, 00) (4)
o, de manera equivalente, que
(4')
Nota Ordinariamente se considera que una medida sobre [a, 00] es una función
8 estrictamente positiva
con dominio [a, 00] := [a, 00) U {oo} donde 8(00) := d*.
Se define ahora la integral de Riemann generalizada en [a, 00).
10.3.1 Definición a) Se dice que una funciónf: [a, 00) ---¿ lR es Riemann inte­
grable generalizada si existe A E lR tal que para toda E > O existe una medida 8
E
sobre [a, 00] tal que si P es cualquier subpartición etiquetada fina-8
e
de [a, 00),
entonces
ISU; p) -Al:::; E. En este caso se escribe f E R * [a, 00) y
100 f:=A.
Se dice que una función f: [a, 00) ---¿ lR es integrable si tanto f
como Ifl pertenecen a R*[a, 00). En este caso se escribefE C[a, 00).
Es de particular importancia
la versión del teorema de Rake para funciones en
R *[ a, 00). Otros resultados para funciones en C[a, 00) se presentan en los ejercicios.
10.3.2 Teorema de Hake Si f: [a, 00) ---¿ lR, entonces fE R* [a, 00) si y sólo
si
para toda y E Ca, 00) la restricción de fa [a, y] pertenece a R*[a, y] y
En este caso, loo f= A.
lím r y f = A E lR.
y---¿ooJ a
(5)

375. 10.3
La idea de la demostración del teorema de Hake es como antes; los detalles se
en
La integral de Riemann generalizada en el intervalo n.o acotado [a, 00) tiene las
mismas propiedades que
la integral en un intervalo acotado b] que se demos­
traron en la sección 10.1. Pueden obtenerse
ya sea modificando las demostraciones
dadas ahí o usando el teorema de Hake. Se presentan a continuación dos ejemplos.
10.3.3 a) g E R*[a, 00), entoncesf + g E R*[a, 00) y
00
Cf+ g)= /+ g.
Si 8> O está dada, sea 8
1
una medida sobre [a, 00] tal que si P es fina-DI' enton­
ces IS(f;
p) -r: /1 :S: 8/2 Y existe una medida 8
g
tal que si P es fina-D
g
, entonces
IS(g; p) -r: gl :S: c/2. Sea ahora 8/....1) :== mÍn {8¡(t), Dit)} para t E [a, 00] y se apli­
ca
un razonamiento como el usado en la demostración de lO.1.5b.
Seaf: [a, 00) -7 IR Y sea e E Ca, 00). Entonces/E R*[a, 00) si y sólo si sus
restricciones a
[a, e] y [e, 00) son integrables. En este caso,
/+ (6)
Se demostrará
(<==) utilizando el teorema de Hake. Por hipótesis, la restricción
de / a
[e, 00) es integrable. Por lo tanto, el teorema de Hake implica que para toda
y E (e, 00) la restricción de / a [e, y] es integrable y que
y
/.
Si se aplica el teorema de aditividad 10.l.8 al intervalo [a, y] == [a, e] U [e, y], se
concluye que
la restricción de f a [a, y] es integrable y que
y y
/= /+ f,
de donde se sigue que
y
f== /+ lím i
Y
f==
Y-¿OO e
/ f.
Con otra aplicación del teorema de Hake se establece (6). o
10.3.4 Ejemplos a) Sea a> 1 y seafrix):== l/x
a
para x E [1,00). Se demos­
trará
quefa E R*[l, 00).
De hecho, si y E (1, 00), entonces la restricción de fa a [1, y] es continua y en
consecuencia pertenece a
R*[l, y]. Además, se tiene
fY_l dx==_l .x1-a
I
Y
=_1 .[1 __ 1 1
JI xa 1-a 1 a-1 ya-l

376. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Pero corno el último término tiende a - 1) cuando y -+ 00, el teorema de Hake
E
R*[l, 00) Y que
00 1 1
-dx=--cuando a>l.
xo: a-l
Sea ak una serie de números reales que converge a A E R Se construirá
una función s
E R*[O, 00) tal que
00
s= =A.
k=l
De hecho, se define s(x) := ak para x E [k -1, k), k E N. Es evidente que la
restricción de s a cada subintervalo [O, ¡j es una función escalonada y, en conse­
cuencia, pertenece a
R*[O, y]. Además, si y E [n, n + 1), entonces
donde
Ir yl S la
n
+ 11. Pero como la serie es convergente, entonces r y -+ ° y el teo­
rema de Hake 10.3.2 implica que
n
lím fY s = lím = A.
Y--'tooJo
k=l
e) Si la función s está definida como en el inciso b), entonces Isl tiene el valor lakl
en el intervalo [k -1, k), k E N. Por tanto, s pertenece a L[O, 00) si y sólo si la serie
la/el es convergente; es decir, si y sólo si l:~1 ak es absolutamente convergente.
Sea DG,) := (sen x)/x para x E (O, 00) Y sea D(O) := 1. Se considerará la impor-
tante
de Dirichlet:
00 100 senx
D(x)dx= --dx.
O x
Puesto que la restricción de D a cada intervalo [O, y] es continua, esta restric­
ción pertenece a
R*[O, y]. Para ver que J: D(x) dx tiene límite cuando y-+ 00, se
hace
° < f3 < r Una integración por partes indica que
fY D(x)dx _ f f3 D (x) dx = fY sen x dx
Jo Jo Jf3 x
= _ cos x Ir _ 1 y cos x dx.
x f3 f3 x2
Pero como leos xl s 1, es un ejercicio demostrar que los términos anteriores tien­
den a ° cuando f3 < y tiende a oo. Por lo tanto, se aplica la condición de Cauchy,
y el teorema de
Rake implica que D E R*[O, 00).
Sin embargo, en el ejercicio 13 se verá que IDI no pertenece a R*[O, 00). Por
tanto,
la función D no pertenece a L[O, 00). O
Se concluye esta discusión de las integrales en [a, 00) con una versión del teo­
rema fundamental (primera forma).

377. 10.3 371
10.3.5 Teorema
fundamental Suponer que E es un subconjunto contable de
[a, 00) y que f, F : [a, 00) --? lR son tales que:
a) F es continua en [a, 00) y Iím F(x) existe.
X---700
F'(x) = f(x) para toda x E (a, 00), x É E.
Entonces f pertenece a R * [a, 00) y
= lím F(x)-F(a).
X---700
Demostración. Si yes cualquier número en (a, 00), puede aplicarse el teorema
fundamental 10.1.9 al intervalo
[a, y] para concluir quejpertenece a R*[a, y] y
ir j=F(y)-F(a).
Al hacer y--? 00, por el teorema de Hake se concluye quejE R*[a, 00) y que la
ecuación (7) se cumple.
Q.E.D.
Integrales en (-00, b]
Se examina ahora la integración en intervalos cerrados que no están acotados por
abajo.
Sea
b E lR Y sea g : (-00, b] --? lR una función que va a integrarse en el inter­
valo infinito
(-00, b). Por una medida sobre [-00, b] se entiende un par ordenado
que consta de un número
d* > O Y una función estrictamente positiva 8 en (-00, b).
Se dice que una subpartición etiquetada P := {([xo, x¡), t1), ([X1' X2], t2), .. "
([x
n
-1, b], t
n
)} de (-00, b] es fina-(d*, 8) en caso de que
n
(-oo,b] = (-oo,xo] U U[XH,X¡J,
i=1
de que
y de que
o, de manera equivalente, de que
Nota Ordinariamente se considera que una medida sobre [-00, b] es una función 8
estrictamente positiva con dominio [-00,
b] := {-oo} U (00, b] donde 8(-00) := d*.
. . n
Aquí la suma de Riemann de o-para PesS(g;P) = I g(ti)(x¡ -Xi-¡)'
e i=!

378. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Por se dice que g : (-00, b] ~ ]{ es Riemann
da si existe B E ]{ tal que para toda E> O existe una medida 0E sobre (-00, b] tal
que si
P es cualquier subpartición fina-o
E
de (-00, b], entonces IS(g; p) -BI :::; E.
En este caso se escribe g E R *(-00, b] Y
-fb
g=B.
-00
Del mismo modo, se dice que una función g : (-00, b] ~ ]{ es in-
si tanto g como Igl pertenecen a R*(-oo, b]. En este caso se escribe
g E 1:(-00, b].
Los teoremas válidos para la integral en [a, 00] se obtienen también en este
caso. Su formulación se le dejará al lector.
Integrales en (-00, 00)
Sea h : (-00, 00) ~ ]{ una función que quiere integrarse en el intervalo infinito
(-00,00). Por una medida sobre (-00, 00) se entienden tres elementos que consis­
ten en una función
o estrictamente positiva en (-00, 00) y dos números estricta­
mente positivos
d*, d*. Se dice que una subpartición etiquetada P := {([xo, x¡], t1),
([xlo X2], t2), .. " ([X
n
-1, Xn], t
n
)} es fina-(d*, b, d*) en caso de que
de que
y de que
n
(-00,00) = (-oo,Xo] U U[X;-l ,x¡] U [xn,oo),
;=1
[Xi-lo X;] ~ [ti -b(t;), t; + o(t;)] para i = 1, "', n,
(-00, xo] ~ (-00, -l/d,] y [x
m 00) ~ [l/d*, 00)
o, de manera equivalente, de que
Nota Ordinariamente se considera que una medida sobre [-00, 00] es una fun­
ción
b estrictamente positiva con dominio [-00, 00] := {-oo} U e 00, 00) U {oo},
donde
be -00) := d* y b( 00) := d*.
. . n
Aquí la suma de Riemann de h para P es S (h; P) = 1. h (t;)(x; - X ;-1)'
;=1
Por último, se dice que h : (-00, 00) ~]{ es Riemann integrable generaliza­
da si existe C E ]{ tal que para toda E> O existe una medida bE sobre [-00, 00] tal
que si
P es cualquier subpartición fina-o
E
de (-00, 00), entonces IS(h; p) -CI :::; E.
En este caso se escribe h E R *(-00, 00) y
J
OO h=C.
-00

379. 10.3
Del mismo modo, se dice que una función h : (-00, (0) -)o lR. es in-
si tanto h como Ihl a R*(-oo, (0). En este caso se escribe
hE L(-oo, (0).
En vista de su importancia, se enunciará la versión del teorema de Rake que
es válida para
la integral en (-00,
10.3.6 Teorema de Hake Si h : (-00, (0) -)o lR., entonces h E R*(-oo, (0) si
y sólo si para toda ~ < yen (-00, (0) la restricción de h a W, y] está en R*W, y] y
En este caso, L: h = C.
lím fYh=CElR..
P--7-ooJ p
Y--7+00
Como antes, la mayoría de los teoremas válidos para el intervalo finito [a, b]
se siguen cumpliendo. Se demuestran como ya se hizo, o utilizando el teorema
de Rake. Se enuncia también la primera forma del teorema fundamental para
este caso.
10.3.7
Teorema fundamental Suponer que E es un subconjunto contable de
(-00, (0) y que h, R : (-00, (0) -)o lR. satisfacen:
a) R es continua en (-00, (0) y los límites lím H(x) existen.
X--7±OO
b) R'(x) = h(x) para toda x E (-oo,oo),x~ E.
Entonces hpertenece a R*(-oo, (0) y
J
OO h = lím H(x) -lím H(y).
-00 X--700 Y--7-00
(8)
10.3.8 Ejemplos a) Sea
h(x) := 1I(x
2
+ 1) para x E (-00, (0). Si se hace H(x) :=
arctanx, entonces H'(x) = h(x) para toda x E (-00, (0). Además, se tiene lún H(x) =
1ny lún H(x) = -1n. Por lo tanto, se sigue que X--700
X--7-00
J
OO _l-dx=ln-(-ln)=n.
-00 x2 + 1 2 2
b) Sea k(x) := Ixle-
x2
para x E (-00, (0). Si se hace K(x) := 1(1 -e-
X2
)
para x ;::: ° Y
K(x) := -1(1 -e-
X2
)
para x < 0, entonces se ve que K es continua en (-00, (0)
y que K'(x) = k(x) para x::j. o. Además, lím K(x) = 1 y lún K(x) = -1. Se sigue
. X "-7 00 X"-7-00
en consecuenCIa que
o

380. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
de la sección 10.3
1. Sea ouna medida sobre [a, 00]. Por el teorema 5.5.5, todo subintervalo acotado [a, b]
tiene una partición fina-o. Demostrar que [a, 00] tiene una partición fina-o.
2.
SeaJE R*[a, iI para toda y¿ a. Demostrar quejE R*[a, 00) si y sólo si para toda
E > ° existe K( E) ¿ a tal que si q > p ¿ K( E), entonces 11; JI < E.
3. Sea que Jy IJI pertenezcan a R*[a, y] para toda y ¿ a. Demostrar quejE L[a, 00) si
y sólo si para toda
E > ° existe K( E) ¿ a tal que si q > p > KC E) entonces L
q
IJI < E.
4. Sea queJy IJI pertenezcan a R*[a, y] para toda y¿ a. Demostrar quejE .c[a, 00) si
y sólo si el conjunto
V:= a: IJI : x ¿ a} está acotado en 1Ft
5. Si/, g E .c[a, 00), demostrar que J + g E .c[ a, 00). Además, si Ilhll := fa
co
Ihl para cual­
quier
hE .c[a, 00), demostrar que IIJ + gil :5IIJII + IIgll.
6. SiJ(x) := l/x para x E [1, 00), demostrar que J '" R*[l, 00).
7. SiJes continua en [1, 00) Y si IJ(x)1 ::; K/x
2
para x E [1,00), demostrar queJE L[l, 00).
8. SeaJ(x) := cos x para x E [0,00). Demostrar queJ '" R*[O, 00).
9. Si s > 0, sea g(x) := e-
sx
para x E [O, 00).
a) Usar el teorema de Hake para demostrar que g E
.c[o, 00) y f: e-
SX
dx = l/s.
b) Usar el teorema nmdamentallO.3.5.
10. a) Utilizar la integración por partes así como el teorema de Hake para demostrar que
fooo xe-
SX
dx = 1/s2 para s> O.
b) Usar el teorema fundamental 10.3.5.
11. Demostrar que si
n EN, s > 0, entonces fooo xn e-
sx
dx = n! / sn+
l
.
12. a) Demostrar que la integral f¡oo x-
1
In x dx no converge.
b) Demostrar que si
a> 1, entonces f~ x-a In x dx = l/Ca -lf.
13. a) Demostrar que f,;;l)K Ix-
1
sen xl dx> l/4(n + 1).
b) Demostrar que IDI '" R*[O, 00), donde D es como en el ejemplo 10.3.4d.
14. Demostrar que la integral
foCO (lhíx) sen x dx converge. [Sugerencia: integrar por partes.]
15. Establecer la convergencia de la integral.
de Fresnel f¡oo sen(x
2
)
dx. [Sugerencia: usar
el teorema de sustitución 10.1.12.]
16. Establecer la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales:
J
OO lnxdx
b)
o .[;2;1'
d) J
oo xdx
o (x+l)3
f) J
00 arctan x dx .
o x
3
/
2 +1

381. lOA Teore)s de convergencia
17. Seanf, cp: [a, 00) --+ lR. El criterio de AbeI afinna que SIf E
tada y es monótona en
[a, 00), entoncesfcp E R *[a, 00).
00)
y cp está aco-
a) Demostrar que el criterio de Abel no se aplica para establecer la convergencia de
f; (l/x) sen x dx tomando cp(x) := l/x. Sin embargo, sí se aplica si se toma cp(x) :=
l/{X y se usa el ejercicio 14.
b) Utilizar el criterio de Abel y el ejercicio 15 para demostrar la convergencia de
fooo (x/(x + 1» sen(.x2) dx.
c) Usar el criterio de Abel yel ejercicio 14 para demostrar la convergencia de
fooo x-
3
/
2
(x + 1) sen x dx.
d) Usar el criterio de Abel para obtener la convergencia del ejercicio 16f.
18. Con la notación como en el ejercicio 17, el
criterio de Chartier-Dirichlet asegura que
sifE R*[a, y] para toda y?: a, si F(x):= f:festá acotada en [a, 00), y si cp es monó­
tona y Iím
cp(x) = 0, entoncesfcp E R*[a, 00].
x-¿oo
a) Demostrar que la integral f;' (l/x) sen x dx converge.
b) Demostrar que
f2
00
(l/In x) sen x dx converge.
c)
Demos~ar que f;' (l/{X) cos x dx converge.
d) Demostrar que el criterio de Chartier-Dirichlet no se aplica para establecer la con­
vergencia de
foCO (x/(x + 1) sen(x
2
)
dx tomando f(x) := sen(x
2
).
19. Demostrar que la integral fooo {X. sen(x
2
)
dx es convergente, aun cuando el integrando
no está acotado cuando
x --+ oo. [Sugerencia: hacer una sustitución.]
20. Establecer la convergencia de las siguientes integrales:
00 00
a) e-Ixldx, b) (x -2)e -lx1dx,
00
00
2xdx
c) e-x' dx, d)
eX -e-x
La discusión de la integral de Riemann generalizada se concluye con una indica­
ción de los teoremas de convergencia con los que se cuenta para el tema. Se verá
que los resultados son mucho más sólidos que los presentados en la sección 8.2
para la integral de Riemann (ordinaria). Por último, se introduce una función
"medible" en
[a, b] como el límite casi en todas partes de una sucesión de funcio­
nes escalonadas. Se demostrará que toda función integrable
es medible y que una
función medible en
[a, b] es Riemmlli integrable generalizada si y sólo si satisfa­
ce una condición de acotabilidad
por ambos lados.
En el ejemplo 8.2.1c se demostró que si (Ji,) es una sucesión en R[a, b] que
converge a una
funciónfE R[a, b] en [a, b), entonces no ocurre necesariamente
que
b
f= lím
k--'700
he· (1)

382. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Sin en el teorema 8.2.4 se vio que la de la suce­
sión es suficiente para garantizar que esta igualdad se cumple.
De hecho, a conti­
nuación se demuestra que esta afirmación se sigue cumpliendo para una sucesión
de funciones Riemann integrables
generalizadas.
10.4.1 Teorema de convergencia uniforme Sea (f¡J una sucesión en R*[a, b]
y suponer que (f¡() converge uniformemente a f en [a, b]. Entonces fE R*[a, b] y
(1) se cumple.
Demostración.
Dada E> 0, existe K( E) tal que si k;::: K( E) Y x E [a, b], entonces
se tiene
Ijlc(x) -f(x) I < E. Por consiguiente, si h, k;::: K(E), entonces
para x E
[a, b].
El teorema 10.1.5 implica que
Puesto que
E> O es arbitraria, la sucesión (1: fk) es una sucesión de Cauchy en lR
y por lo tanto converge a algún número, digamos A E R Se demostrará ahora que
fE R*[a, b] con integralA. Si E> O está dada, seaK(E) como antes. Si P:= {([Xi-l,
Xi], tD }?=l es cualquier partición etiquetada de [a, b] Y si k ;::: K( E), entonces
n
IS(Jk;P)-S(f;P)I=IL{ik (ti)-f(t¡)}(Xi -Xi-I)1
i=l
n
:::; Llik (t¡)-f(ti)I(Xi -Xi-l)
i=l
n
< LE(Xi -Xi-l) =E(b-a).
i=l
Ahora se ajusta r ;::: K( E) de tal modo que II:fr - Al < E Y sea b r e una medida sobre
[a, b] tal que II!!,. - S(fr; P)I < E siempre que P sea fina-br e: Se tiene entonces
< E(b-a)+E+E = E(b-a +2).
Pero como E > ° es arbitraria, se sigue que f E R * [a, b] Y I! f = A. Q.E.D.
En el ejemplo 10.4.6a se verá que la conclusión de 10.4.1 es falsa para un
intervalo infinito.

383. 10.4
Teoc~" de CO","9
eo
""a._
uu
"" .. , ,,'u.ml"""""
La de convergencia uniforme en el teorema 10.4.1 es muy rigurosa y
restringe la utilidad de este resultado. Por consiguiente; se muestra a continua­
ción que puede usarse otro tipo de condición de uniformidad para obtener
ellí­
mite deseado. Esta noción se debe a Jaroslav Kurzweil, al igual que el teorema
10.4.3.
10.4.2 Definición Se dice que una sucesión
(hJ en R*(I) es
si para toda
c> O existe una medida be sobre 1 tal que si P es cualquier partición
fina-be de 1 y k E N, entonces
¡S(A; p) -JI hel < c.
1004.3 Teorema de Si (fI() E R*(I) es equi-integrable en
I y si f(x) = lím f!c(x) para toda x E 1, entonces fE R *(I) Y
f= Um
k--'700
fk· (2)
Demostración. Se tratará el caso 1 = [a, b]; el caso general puede encontrarse en
[MTI].
Dada c> O, por la hipótesis de equi-integrabilidad existe una medida be en 1
tal que si P := {([Xi-l' x¡], t¡)};'=.l es una partición fina-De de 1, entonces se tiene
¡Sefk; p) -Jdkl < c para toda k E N. Puesto que P sólo tiene un número finito
de etiquetas y dado que
he(t) -¿ f(t) para t E [a, b], existe Ke tal que si k ~ Ke,
entonces
n
IS(fk;1')-SCh;1')I:s: Llfk(t¡)-fh(t¡)I(X¡ -x¡_¡):S:c(b-a). (3)
;=1
Si se hace h -¿ 00 en (3), se tiene
IS(j¡(;1')-S(f; 1')I:s: c( b -a) para k~Ke. (4)
Además, si h, k
~ K
e
,
entonces de la hipótesis de equi-integrabilidad y (3) se
obtiene
lifk -ifh I :s:lf¡fk -S(fk ;1')I+ISCfk ;P)-SCh ;p)1
+ISCh ;1')-ih l:s:c;-c(b-a)+c=c(2+b-a).
Puesto que c> O es arbitraria, entonces (JI A) es una sucesión de Cauchy y con­
verge a alguna A E R
Si se hace h -¿ 00 en esta última desigualdad, se obtiene
para k
~Ke. (5)

384. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Se demuestra ahora que f E R *(1) con integral A. De hecho, dada E> O, si P
es una partición fina-bE de 1 y k?: K
E
,
entonces
IS(f;P)-AI~IS(f;P)-S(fk;p)I+IS(fk;p)- fk HJIfk -Al
~ E(b-a)+E+E(2 + b -a) = E(3 +2b -2a),
donde se usó (4) para el primer término, la equi-integrabilidad para el segundo y
(5) para el tercero. Puesto que E> O es arbitraria,j E R *(1) con integral A.
Q.E.D.
Los teoremas de convergencia monótona y dominada
Aun cuando el teorema de equi-integrabilidad es interesante, resulta difícil de
aplicar debido a que
no es sencillo construir las medidas bE" Se enuncian a conti­
nuación dos teoremas
muy importantes que resumen los teoremas de convergen­
cia más importantes
para la integral que con frecuencia son de utilidad. McLeod
[pp. 96-101] ha establecido que estos dos teoremas pueden demostrarse usando el
teorema de equi-integrabilidad. Sin embargo, dichas demostraciones requieren
una laboriosa construcción de las funciones medida. En [MTI] se presentan
demostraciones directas de estos resultados, pero
en ellas se usan también resul­
tados que no se presentan aquí;
por lo tanto, se omitirán las demostraciones de
estos resultados.
Se dice que
una sucesión de funciones en un intervalo 1 ~ ffi. es monótona cre­
ciente si satisfacef¡(X) ~h(x) ~ ... ~fk(x) ~J¡(+ ¡(x) ~ ... para toda k E N, x E 1.
Se dice que es monótona decreciente si satisface la cadena de desigualdades
opuestas y que es
monótona si es monótona creciente o decreciente.
10.4.4
Teorema de convergencia monótona Sea (f
k
)
una sucesión monótona
defimciones en
R*(I) tal que f(x) = lím fk(x) casi en todas partes de 1. Entonces
fE R *(1) si y sólo si la sucesión de integrales cJl fk) está acotada en ffi., en cuyo caso
r f= lím r fk.
JI k---7ooJI
(6)
El siguiente resultado es el teorema más importante referente a la convergen­
cia de funciones integrables.
Es una extensión del celebrado "teorema de conver­
gencia dominada de Lebesgue", a partir del cual
puede demostrarse.
10.4.5
Teorema de convergencia dominada Sea (fJ una sucesión en R*(I) y
sea
f(x) = lím fk(x) casi en todas partes de 1. Si existen las fitnciones a, m en R *(1)
tales que
a(x) ~ fk(x) ~ m(x) para casi toda x E l, (7)
entonces fE R *(1) Y
r f= lím r fk.
JI lHooJI
(8)

385. 10.4
.l'UI,enUIS si a y ro pertenecen a entonces f
k
y y
11 he -fll= he -f¡-¿O.
Nota Si ay wpertenecen a .c(!) y se hace cp:= máx{lai, Iwl}' entonces cp E
Y la condición (7) puede reemplazarse con la condición
Ifk(X)I :o;: cp(x) para casi toda x E 1.
(9)
(7')
10.4.6 Ejemplos a) Si k E N, seaf!cCx) := l/k para x E [O, k] Y fi«x) := O en
cualquier otro punto de
[O, 00).
Entonces la sucesión converge uniformemente en [O, 00) a la función O. Sin
embargo,
J: fi( = 1 para toda k E N, mientras que la integral de la función O es
igual a
O. Es un ejercicio demostrar que la función sup{fi,(x) : k E N} no pertene­
ce a
R*[O, (0), por lo que la condición de dominación (7) no se satisface.
l
Ixk+l 1
Se tiene lím ---dx = 3'
k-'7OO O xk +3
Ahora bien, si gkCx) := (x'( + 1 )/(x'{ + 3), entonces 0:0;: g!cCx) :o;: 1 Y g¡rCx) -¿ 1/3 para
x E [0,1). En consecuencia, se aplica el teorema de convergencia dominada 10A.5.
e) Se tiene lím fk(l + ~)k e-ax dx = _1_ sia > l.
k-'7ooJO k a-l
Sea hk(x) := (1 + x/k)ke-
ax
para x E [O, k] Y hk(x) := O en cualquier otro pun­
to de
[O, (0). El razonamiento empleado en el ejemplo 3.3.6 indica que (h
k
)
es
una sucesión creciente y que converge a e"e-
ax
= e(l -a)x en [O, (0). Si a > 1 esta
función límite pertenece a .c[0,
(0). Más aún, si F(x) := e(l-a)x/(l-a), entonces
F'(x) = e(l-a)x, por lo que el teorema de convergencia monótona 10AA y el teo­
rema fundamental 10.3.5 implican que
lím
h
k
= e(l-a)xdx=F(x) =--.
l
oo 100 --100 1
k-'700 O O O a -1
d) Sifestá acotada y es continua en [O, (0), Y si a > O, entonces la función defi­
nida
por L(t) := J: e-txf(x) dx es continua para tEJa := (a, (0).
Puesto que I e-t.:¡(x) I :o;: Me-
ax
para t E J
ao
si (tk) es cualquier sucesión en J
a que
converge a
to E J
a
,
el teorema de convergencia dominada implica que L(tk) -¿ L(to)'
Pero como la sucesión (tk) -¿ to
es arbitraria, entonces L es continua en to-
e) La integral del inciso d) es derivable para t> a y
L'(t)= foooC-x)e-tx f(x)dx, (lO)
que es el resultado obtenido al "derivar dentro
del signo de integral" con respec­
to a
t.

386. 380 Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Se toma un número fijo to
E Ja. Si tEJa' entonces por el teorema del valor
medio aplicado a la función
t f---+ e-tx existe un punto t
x
entre to
Y t tal que se tiene
e-tx - e-t¡y" = -xe-t,x(t -t
o
), de donde
t -to
Puesto que m(x) := xe-ax¡(x) pertenece a ,[[0, (0), entonces para cualquier suce­
sión
(tic) en J
a
con to
:f-tic -+ to,
el teorema de convergencia dominada implica que
, [L(tk)-L(io) 1 Joo , [e-
tkx
-e-tox 1
11m = 11m f (x) dx
1c--'700 tic -to O k--'700 tk -to
= Jo
oo
(-x)e-
tox
f(x)dx.
Puesto que (tic) es una sucesión arbitraria, entonces L' (to) existe y (10) queda de­
mostrada.
Puesto que
I (e-txsen x)/xl ::; e-
tx
::; 1 para t? 0, x? 0, la integral que define a DJr
existe. En particular, se tiene
l
ksenx
Dk(O) = --dx.
O x
Quiere demostrarse que -?2k(O) -+ ~n cuando k -+ oo. Por el ejemplo 1O.3.4d, con
esto se demostrará que
Jo (sen x)/x dx = in. El razonamiento es bastante comple­
jo y usa varias veces el teorema de convergencia dominada.
a (e-txsenx)
Puesto que la derivada parcial satisface - = 1-e -tx sen xl::; 1 para
at x
t ? 0, x ? 0, un razonamiento como el usado en el inciso e) y el teorema de con­
vergencia dominada implican que
DÍc (t) = -fok e-txsenxdx
, . a (e -tx (t sen x + cos x ) )
Ya que un calculo de rutma establece que - = -r tx sen x,
ax t
2 + 1
entonces una aplicación del teorema fundamental da como resultado
e -tx (t sen k + cosk) 1
Dfc(t) = ---o
t
2
+1 t
2
+1
e -tk (t sen k + cos k)
Si se hace gk(t):= para O::; t::; k Y gk(t):= ° para t > k, en-
t
2
+1
tonces otra aplicación del teorema fundamental da como resultado

387. 10.4 Teoremas de convergencia
(t)dt =
gk(t)dt -arctan k.
dt
t
2
+ 1
(11)
Si se observa que gk(t)
-ó> O para t > O cuando k -ó> 00 y que (dado que k::::: 1)
I
( )
1
< e -tk (t + 1) < 2 -t
gk t _ _ e
t
2
+ 1
para t:::::O,
entonces el teorema de convergencia dominada da como resultado Joco gk(t) dt -ó> O.
Además, puesto que /(sen x)/x/ :::; 1, se tiene
IDk(k)1 = I r
k
e-lo;:
senx dxl:::; r
k
e-la dx = e-la IX=k
J O x J O -k x=o
l_e-
k2 1
----:::; --ó> o.
k k
Por lo tanto, cuando k -ó> 00, la fórmula (11) pasa a ser
O -lím D k (O) = O -lím arctan k = -t JT .
k~oo k~oo
Como ya se señaló, esta expresión da una evaluación de la integral de Dirichlet:
Funciones medibles
(12)
O
Quiere caracterizarse la colección de funciones en R*(l). A fin de evitar algunos
detalles menores, la discusión se limitará al caso
1 := [a, b]. Es necesario introducir
la
noción de "función medible"; esta clase. de funciones contiene todas las funcio­
nes
con las que el lector le gustaría encontrarse siempre. Las funciones medibles
suelen definirse en términos
de la noción de "conjunto medible". Sin embargo, el
enfoque que se
usa aquí es un tanto más simple y no requiere que se haya desarro­
llado antes
la teoría de los conjuntos medibles. (De hecho, la teoría de la medida
puede deducirse de las propiedades de la integral; véanse los ejercicios 15 y 16.)
Se recuerda por la definición 5.4.9 que se dice que una función s: [a, b] -ó> IR
es una función escalonada si sólo tiene un número finito de valores, siendo cada
valor asumido en
un número finito de sub intervalos de [a, b].
10.4.7 Definición Se dice que
la funciónf: [a, b] -ó> IR es una función (Le­
besgue) medible si existe una sucesión (Sk) de funciones escalonadas en [a, b] tal
que
f(x)= lím sk(x) para casi toda x E [a ,b]. (13)
k~oo

388. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
La colección de todas las funciones medibles en [a, b] se denota por b].
La definición puede re formularse como: una función f está en M[a, b] si
existe
un conjunto nulo Z e [a, b] Y una sucesión (s¡J de funciones escalonadas
tales que
f(x) = lím s k (x) para toda x E [a, b ] Z.
k-'7oo
Es trivial que toda función escalonada en [a, b] es una función medible. Por el
teorema
5.4.l 0, una función continua en [a, b] es ellímÍíe uniforme de una suce­
sión de funciones escalonadas; por lo tanto, toda función continua en un interva­
lo
[a, b] es medible. Del mismo modo, toda función monótona en [a, b] es un
límite uniforme de funciones escalonadas (véase la demostración del teorema
7.2.7);
por lo tanto, toda función monótona en un intervalo es medible.
A primera vista podría parecer que la colección de las funciones medible s no
es
muy grande. Sin embargo, el requisito de que el límite (13) sólo necesita cum­
plirse
casi en todas partes (y no en todas partes), pennite obtener funciones
mucho más generales. Se presentan a continuación algunos ejemplos.
10.4.8 a) La función de DirichletJ(x) := 1 para x E [O, 1] racional
y
f~Y) := ° para x E [O, 1] irracional es una función medible.
Puesto que
Q n [O, 1] es un conjunto nulo, puede tomarse cada sJe como la fun­
ción
O. Se obtiene entonces s¡lx) ----? f(x) para x E [O, l]\Q.
La función de Thomae h (véanse los ejemplos 5.1.5h y 7.1.6) es una función
medible.
De nueva cuenta, se toma sJe como la función O. Entonces sJe(x) ----? h(x) para
x E [O, 1]\Q.
e) La función g(x) := l/x para x E (O, 1] Y g(O) := ° es una función medible.
Esto puede verse tomando
una función escalonada Sk(X) := ° para x E [O, l/k)
Y (usando 5.4.10) tal que Is¡lx) - l/xl < lIkparax E [l/k, 1]. Entonces sJe(x) ----? g(x)
para toda x E [O, 1].
Sif E M[a, b] y si lJf: [a, b] ----? JR;. es tal que lJf(X) = f(x) casi en todas partes,
entonces
lJf E M [a, b].
En efecto, Sif~Y) = lím Sk(X) para x E [a, b] Z¡ y si lJf(x) = f(x) para toda x E
[a, b] Z2' entonces lJf(x) = lím s¡cCx) para toda x E [a, b] (Z] U Z2)' Puesto que
Z¡ U Z2 es un conjunto nulo cuando t¡ y Z2 lo son, se sigue la conclusión. O
El siguiente resultado establece que las combinaciones elementales de funcio­
nes medibles llevan a funciones medibles.
10.4.9 Teorema Sea que fy gpertenezcan a M[a, b] y sea c E R
a) Entonces las fitnciones cf, Ifl, f + g, f - g y f . g también pertenecen a M [a, b].
b) Si <p: JR;. ----? JR;. es continua, entonces la composición cp o fE M[a, b].
e)
Si (fn) es una sucesión en M[a, b] y f(x) = lím fn(x) casi en todas partes de 1,
entonces fE M[a, b].

389. 10,4 Teoremas de cO:lvergencia
to nulo tal que
gualdad del
a) Se demostrará que
Ifl es medible. Sea Z e
~~H,.HU. Puesto que ISkl es una función
que
O::; Ilf(x)I-lsix)!I::; I 1-7 O
para toda x E [a, bJ Z. Por lo tanto, Ifl E M[a, b].
Las demás afinnaciones del inciso a) se de las pr(lp1E~C1ades básicas de
los límites.
Si
Sk es una función escalonada en [a, b], es üm1ediato observar que <p o Sk
también es una función escalonada en [a, b]. Puesto que <p es continua en lR y
f(x) = Hm Sk(x) para toda x E [a, b] Z, se sigue que o
Hm <P(Sk(x» = lím( <p o para toda x E [a, b] Z. Por lo tanto, <p o fes me-
dible.
c) Esta conclusión no es
muy obvia; en el ejercicio 14 se describe una demos-
tración.
Q.E.D.
El siguiente resultado establece que las funciones escalonadas de la definición
10.4.7
pueden reemplazarse con funciones continuas. Puesto que sólo se usará una
parte de este resultado, nos damos por satisfechos presentando un esbozo de la
demostración de la otra parte.
UIA.IO Teorema Unafimción f: [a, b] -7lR está en M[a, b] si y sólo si exis­
te una sucesión
(gk) de fimciones continuas tal que
f(x)= lím gk(x) para casi toda x E [a, b ). (15)
k-'700
Demostración. (~) Sea Z e [a, b) un conjunto nulo y (g¡J una sucesión de fun­
ciones continuas tal que
f(x) = lím gk(X) para x E [a, b] Z. Puesto que gk es con­
tinua,
por 5.4.1 O existe una función escalonada s k tal que
!gk(X) -skex)1 ::; l/k para toda x E [a, b).
Se tiene, por lo tanto,
o::; If(x) -sJ/x) I ::; lJ(x) - gk(X) I + I gk(x) -sJ/x) I
::; If(x) - gk(X) I + l/k,
de donde se sigue que f(x) = lím gix) para toda x E [a, b] Z.
Esbozo de (=:}) Sean Z un conjunto nulo y (Sk) una sucesión de funciones esca­
lonadas tal
quef(x) = lím six) para toda x E [a, b] Z. Sin pérdida de generali­
dad,
puede suponerse que cada Sk es continua en los puntos terminales a, b. Puesto
que Sk sólo es discontinua en un número finito de puntos en (a, b), los cuales pue­
den
encerrarse en una unión finita J
k
de intervalos con longitud total::; l/k, es
posible
construir una función continua y lineal por partes gk que coincida con Sk
en [a, b] J¡c Puede demostrarse que gk(x) -7 f(x) casi en todas partes en 1. (Véase
[MTI]
para los detalles.] Q.E.D.

390. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
Las funciones en bJ son medible s
Se establece a continuación que una función Riemann integrable generalizada es
medible.
1004.11 Teorema de medibilidad Si fE R*[a, b], entonces fE M[a, b].
Demostración. Sea F : [a, b + 1] -7 lE. la integral indefinida
x
F(x):= j si xE[a,b],
y sea F(x) := F( b) para x E (b, b + 1]. Del teorema fundamental ( segunda forma)
lO.l.Ila se sigue que F es continua en [a, b]. Por 1 O.l.l1c, existe un conjunto nulo
Z tal que la derivada F' (x) = j(x) existe para x E [a, b] Z. Por lo tanto, si se intro­
ducen las funciones en cocientes diferenciales
( )
._ F(x+l/ k)-F(x)
gk x .-
l/k
para xE[a,b), kEN,
entonces gk(X) -7 j(x) para toda x E [a, b] Z. Puesto que las gk son continuas, de
la parte del teorema 10.4.10 que se demostró se
siguejE M[a, b]. Q.E.D.
¿Son integrables las fnnciones medibles?
No toda función medible es Riemann integrable generalizada. Por ejemplo, en el
ejemplo 10.4.8c
se vio que la funcióng(x) := l/x para x E (O, l] Y g(O) := O es medi­
ble; sin embargo, no está en
R*[a, b] porque es "muy grande" (cuando x -7 0+).
Sin embargo, si
la gráfica de una función medible en [a, b] queda entre dos
funciones que están en
R*[a, b], entonces también pertenece a R*[a, b].
10.4.12 Teorema de integrabilidad Sea fE M[a, b]. Entonces fE R*[a, b] si
y sólo si existen las jitnciones
a, ro E R* [a, b] tales que
a(x) ~ f(x) ~ ro(x) para casi toda x E [a, b]. (16)
Además, si a o bien ro pertenece a L[ a, b], entonces fE L[ a, b].
Demostración. (=?) Esta implicacíón es trivial, ya que puede tomarse a = ro = f
({::=) Puesto quejE M[a, b], existe una sucesión (Sk) de funciones escalona­
das en
[a, b] tales que (13) se cumple. Se define sk := med{ a, S'C' ro} para k E N,
de tal modo que sJcCx) es el que queda en medio de los números a(x), six) y ro(x)
para toda
x E [a, b]. Del teorema 10.2.8 y del hecho de que
medra, b, c} = mín{máx{a, b}, máx{b, c}, máx{c, a}},
mín{ a', b', c '} = mín{mín{a', b'}, c'},
se sigue que sk R*[a, b] y que a ~ sk ~ ro. Puesto que j = lím Sk = lím sk casi en
todas partes, el teorema de convergencia dominada implica
quejE R*[a, b].
Si a u ro pertenece a L[a, b], entonces puede aplicarse el teorema 10.2.6 para
concluir que
j pertenece a L[ a, b]. Q.E.D.

391. 10.4 7as de convergencia
/ Comentario final
385
En este capítulo han sido frecuentes las referencias a las funciones Lebesgue inte­
grables en un intervalo
1, las cuales se introdujeron como funciones en R *(1) cuyo
valor absoluto también pertenece a
R *(1). Aun cuando no hay un solo "enfoque
estándar" para la integral de Lebesgue, el enfoque adoptado es muy diferen­
te a cualquiera de los acostumbrados.
Un crítico podría decir que el enfoque apli­
cado aquí no es útil porque nuestra definición de una función en
L(1) no es
estándar, pero se equivocaría.
Después de todo, rara vez se usa la
definición para confirmar que una función
particular
es Lebesgue integrable. En vez de ello, se utiliza el hecho de que cier­
tas funciones más simples (tales como funciones escalonadas, polinomios, funcio­
nes continuas, funciones acotadas medibles) pertenecen a
L(1), y que funciones
más complicadas pertenecen a
L(1) tomando combinaciones algebraicas o varias
operaciones de límites (por ejemplo, el teorema de Hake o el teorema de conver­
gencia dominada). Un famoso especialista en análisis dijo una vez: "Nadie calcula
nunca una integral de Lebesgue; lo que se hace
es calcular integrales de Riemann
y tomar límites".
Ocurre lo mismo con los números reales: se listaron ciertas propiedades como
axiomas para
lR y después de dedujeron las consecuencias de estas propiedades
que penniten trabajar de manera eficaz con los números reales, con frecuencia
tomando límites.
Ejercicios
d.e la sección 10.4
1. Considerar las siguientes sucesiones de funciones con los dominios indicados. ¿La
sucesión converge?
De ser así, ¿a dónde? ¿La convergencia es lmiforme? ¿Está acota­
da? Si no está acotada, ¿está dominada? ¿Es monótona? Evaluar el límite de
la suce­
sión de integrales.
a)
c)
loe
l + loe
[0,1],
[0,1], b)
l +x
k
[0,2],
d)
l +x
k
[0,2],
2. Responder las preguntas planteadas en el ejercicio l para las siguientes sucesiones (cuan­
do estén definidas apropiadamente).
a)
loe
[0,1], b) [0,1],
l+kFx FxCl+x
k
)
c)
1
[1,2],
d)
1
[0,1] .
.[;(l+x
k
) Fx(2-xk)
3. Examinar las siguientes sucesiones de funciones y sus integrales en [O, 1]. Evaluar el
límite de las integrales, cuando sea posible.
a)
-kx
e ,
b) e-kx!x,
c) kxe-
kx
,
d) k
2
xe-
kx
,
e) k -k
2
x
2
xe , f)
k _kx2
xe .

392. Capítulo 10 La integral de Riemann generalizada
4. a) Demostrar que lím
k-7OO
1 xkdx
1.
2
5. SiJirCx) :== k para x E [l/k, 2/k] yfk(x) :== O en cualquier otro punto de [O, 2], demostrar
que
Ji/x) -¿ O pero que n fk == 1.
6. Sea (fk) una sucesión en [a, b] tal que cadafk es derivable en [a, b] Y flcCx) -¿ g(x) con
Ifk (x) I ~ K para toda x E [a, b]. Demostrar que la sucesión ({¡,(x» converge para toda
x E [a, b] o bien diverge para toda x E [a, b].
7. Sifk son las funciones del ejemplo 10A.6a, demostrar que sup{fk} no pertenece a
R*[O, 00).
8.
Demostrar directamente que J~ e-Ix dx == l/t y J~ xe-
tx
dx == 1/t
2
para t > O, confirmán­
dose así los resultados de los ejemplos 10A.6
d, e cuandof(x):== 1.
9. Usar la fórmula de derivación en 10A.6fpara obtener J~ e-txsen x dx == 1/(t
2
+ 1).
10. Si t> O, se define E(t) :== J~ [(e-Ixsen x)/x] dx.
a) Demostrar que E existe y que es continua para t> a > O. Además, E(t) -¿ O cuan­
do
t -¿ oo.
b) Puesto que i.[e-txsenx) ~e-axparat:2:a>O, demostrarqueE'(t)==~
dt x t
2 + 1
para t> O.
c) Deducir que E(t) == t n -arctan t para t > O.
d) Explicar por qué no puede usarse la fórmula del inciso c) para obtener la ecua­
ción
(12).
11. En este ejercicio se establecerá la importante fórmula:
J
OO e-x' dx==·L.[;;.
O 2
(17)
a) Sea G(t) :== n[e-
t2GY
'41)/(x2 + l)]dx para t:2: O. Puesto que el integrando está domi­
nado por
1/(x
2
+ 1) para t:2: O, entonces G es continua en [O, 00). Además, G(O) ==
arctan 1 == *n y del teorema de convergencia dominada se sigue que G(t) -¿ O
cuando
t -¿ oo.
b) La derivada parcial del integrando con respecto a t está acotada para t:2: O, X E [O, 1],
por lo que G'Ct) == -2te-
t2
J~ e-
t2x2
dx == _2e-
t2
J~ e-
u2
duo
c) Si se hace F(t) :== [J~ e-
x2
dx]2, entonces el teorema fundamental 10.1.11 da como
resultado
F'(t) == 2e-
t2
J~ e~y2 dx para t:2: O, de donde F'(t) + G'U) == O para toda
t:2: O. Por lo tanto, F(t) + G(t) == e para toda t:2: O.
d) Al usar F(O) == O, G(O) ==*ny lím G(t) == O, se concluye que lím F(t) ==*n, por lo
t~oo t--7oo
que la fórmula (17) se cumple.
12. Suponer que J ~ IR. es un intervalo cerrado y quef: [a, b] x J -¿ IR. es tal que dfldt
existe en [a, b] x J, y para toda t E [a, b] la función x f---+ f(t, x) está en R*(I) y exis­
ten
ex, m E R*(J) tales que la derivada parcial satisface ex(x) ~ df(t, x)/dt ~ m(x) para
casi toda
x E I. Si F(t) :== J¡f(t, x) dx, demostrar que F es derivable en [a, b] y que
F'(t) :== JI df(t, X)/dt dx.

393. 10.4 Teoremas de convergencia
/
13. a) Si!, g E M[a, b], demostrar que máx{j, g} y mín{j, g} pertenecen a M[a, b].
b) Sil, g, h E M[a, b], demostrar que med{j, g, h} E M[a, b].
14. a) Si (h) es una sucesión acotada en M[a, b] Y h -7 j casi en todas partes, demos­
trar
quejE MIa, b]. [Sugerencia: usar el teorema de convergencia dominada.]
b) Si
(gk) es una sucesión cualquiera en M [a, b] Y si h := arctan o g,,, demostrar que
(/¡,) es una sucesión acotada en M[a, b].
c) Si (gk) es una sucesión en M [a, b] Y si gk -7 g casi en todas partes, demostrar que
gE M[a, b].
15. Se dice que lID conjunto E en [a, b] es (Lebesgue) medible si su función característi­
ca
1
E(definidapor 1
E(x):= 1 six E Ey lE(x):= O six E [a, b] \E)pertenece a M[a, b].
La colección de conjuntos medibles en [a, b] se denotará por M[a, b]. En este ejerci­
cio se desarrollan varias propiedades de
M[ a, b].
a) Demostrar que E E M[a, b] si y sólo si lE pertenece a R*[a, b].
b) Demostrar que 0E M[a, b] y que si [e, d] ~ [a, b], entonces los intervalos [e, d],
[e, d), (e, d] y (e, d) están en M[a, b].
c) Demostrar que E E M[a, b] si y sólo si E' := [a, b] E está en M[a, b].
d) Si E Y F están en M[ a, b], entonces E U F, E n F y E F también están en M[ a, b].
[Sugerencia: demostrar que lE u F = máx{l
E
, l
F
}, etc.]
e)
Si (Ek) es una sucesión creciente en M[a, b], demostrar que E := Ub¡ Ele está en
M[a, b]. Asimismo, si (F
k
)
es una sucesión decreciente en M[a, b], demostrar que
F:= nb¡ FIe está en M[a, b]. [Sugerencia: aplicar el teorema I0.4.9c.]
f) Si (Ele) es cualquier sucesión en M[a, b], demostrar que Ub¡ Ek y nb¡ Ek están
en
M[a, b].
16. Si E E M[a, b], se define la medida (de Lebesgue) de E como el número meE) :=
J~ lE. En este ejercicio se desarrollan varias propiedades de la fundón medida
m: M[a, b] -7lR.
a) Demostrar que m(0) = O Y O::; m(E)::; b -a.
b) Demostrar que m([e, d]) = m([e, d)) = m((e, d]) = m((e, d)) = d -e.
c) Demostrar que
meE') = eb -a) -meE).
d) Demostrar que meE U F) + meE n F) = meE) + m(F).
e) Si En F = 0, demostrar que meE U F) = meE) + m(F). (Ésta es la propi.edad de
aditividad de la función medida.)
f) Si
(Ek) es una sucesión creciente en M[ a, b], hay que demostrar que m(Ub¡ Ek) =
límk m(E
k
). [Sugerencia: usar el teorema de convergencia monótona.]
g) Si (C,J es una sucesión en
M[a, b] que es disjunta por pares (en el sentido de que
C
j n C
k
= 0 siempre que j ;t k), demostrar que
(18)
(Ésta es la
propiedad de aditividad contable de la función medida.)

394. En la mayor parte de este texto se han considerado únicamente funciones que
estaban definidas en intervalos. De hecho, para ciertos resultados
sobre funciones continuas, también se estableció el supuesto de que los intervalos
eran cerrados y estaban acotados. Se examinan a continuación las funciones defi­
nidas en conjuntos más generales, con el fin de establecer algmlas propiedades
importantes de las funciones continuas en un contexto más general. Por ejemplo,
en la sección 5.3 se demostró que una función que es continua en un intervalo
cerrado
y acotado alcanza un valor máximo. Sin embargo, se verá que la hipótesis
de que el conjunto es un intervalo no es esencial y que puede omitirse en el con­
texto apropiado.
En la sección 11.1 se definen las nociones de conjlmto abierto y de conjunto
cerrado. El estudio de los conjuntos abiertos y los conceptos que pueden definirse
en términos de dichos conjuntos constituyen el estudio de la topología punto-con­
junto, por lo que en realidad se analizan ciertos aspectos de
la topología de IR. (La
rama de las matemáticas llamada "topología" es
muy abstracta y rebasa con
mucho el estudio de la recta real, aun cuando las ideas clave habrán de encontrarse
en el análisis real. De hecho, es el estudio de las funciones continuas en
lR el que
motivó muchos de los conceptos desarrollados en la topología.)
La noción de conjunto compacto se define en la sección 11.2 en términos de
coberturas abiertas.
En análisis avanzado, la compacidad es un concepto muy
poderoso de uso generalizado. Los subconjuntos compactos de
lR están caracteri­
zados en su totalidad por el teorema de Heine-Borel,
por 10 que el potencial
de la idea no es tan evidente como lo sería en contextos más generales. No obs­
tante, cuando se establezcan las propiedades básicas de las funciones continuas en
conjuntos compactos en la sección 11.3, el lector deberá empezar a apreciar
la
manera en que se manejan los razonamientos basados en la compacidad.
En
la sección 11.4 se consideran las características esenciales de distancia en
la recta real
y se introduce la generalización de la distancia llamada el "méuico".
La ampliamente usada desigualdad del triángulo es la propiedad clave en este con­
cepto general de distancia. Se presentan ejemplos y se indica cómo pueden exten­
derse los teoremas sobre la recta real al contexto de un espacio métrico.
Las ideas de este capítulo son de carácter un
ta11to más abstracto que las de
capítulos anteriores; sin embargo,
la abstracción con frecuencia redunda en una
comprensión más a fondo y refinada.
En este caso, lleva a un contexto más general
para el estudio del análisis.

395. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
Hay tipos especiales de conjuntos que desempeñan un papel destacado en el aná­
lisis;
se trata de los conjuntos abiertos y cerrados en IR. A fin de agilizar la discu­
es conveniente contar con una noción ampliada
de la vecindad de un
11.1.1 Definición Una vecindad de lID punto x E lR!. es cualquier conjunto V
que contiene una vecindad-E V¡;(x) := (x - E, x + E) de x para alguna E> O.
Aun cuando se estipula que una vecindad-E de un punto sea "simétrica respecto
del punto", la idea
de una vecindad (general) relaja esta característica particular,
aunque con frecuencia sirve al mismo propósito.
11.1.2 Definición i) Un subconjunto G de lR!. es abierto en lR!. si para cada x E G
existe una vecindad
V de x tal que V ~ G.
Un subconjunto F de lR!. es cerrado en lR!. si el complemento C(F) := lR!.\F es
abierto en IR.
Para demostrar que un conjunto G ~ lR!. es abierto, basta probar que cada punto
de G tiene una vecindad-E que está contenida en G. De hecho, G es abierto si y
sólo si para toda
x E G existe Ex > O tal que (x -Ex, x + Ex) está contenido en G.
Para demostrar que un conjunto F ~ lR!. es cerrado, basta probar que cada punto
y É F tiene una vecindad-E disjunta de F. De hecho, F es cerrado si y sólo si para
cada
y É F existe é), > O tal que F n (y -t)" y + ty) = 0.
11.1.3 Ejemplos a) El conjunto lR!. = (-00, (0) completo es abierto.
Para cualquier
x E lR!., se puede tomar E := 1.
b) El conjunto G := {x E lR!. : ° < x < 1} es abierto.
Para cualquier
x E G se puede tomar t;: como el menor de los números x, 1 -x.
Se le deja al lector demostrar que si lu -xl < Ex entonces u E G.
c) Todo intervalo abierto J:= (a, b) es un conjunto abierto.
De hecho,
si x E J, se puede tomar Ex como el menor de los números x -a,
b -x. El lector puede demostrar entonces que (x - Ex, X + Ex) ~ 1. Del mismo
modo, los intervalos
(-..ioo, b) Y (a, (0) son conjuntos abiertos.
El conjunto
J:= [O, 1] no es abierto.
Esto se sigue
al considerar que toda vecindad de O E J contiene puntos que no
están en
1.
e) El conjunto J:= [O, 1] es cerrado.
Para ver esto, sea
y É J; entonces o y < ° o y > l. Si Y < O se toma ty := Iyl y
si
y > 1 se toma ty := y-l. Se le deja al lector demostrar que en ambos casos se
tiene J n (y -ty, y + ty) = 0.
f) El conjunto H := {x : ° ~ x < 1} no es ni abierto ni cerrado. (¿Por qué?)
g) El conjunto vaCÍo 0 es abierto en IR.
De hecho, el conjunto vaCÍo no contiene puntos en absoluto, por lo que el
requerimiento de la definición 11.1.2(i) se satisface por vacuidad. El conjunto
vaCÍo también es cerrado ya que su complemento lR!. es abierto, como se vio en el
inciso
a). O

396. '11,1 Conjuntos abiertos y cerrados en IR
En el lenguaje las "abierto" y "cenado" son antónimos cuando
se ventanas y mentes, Sin embargo,
no lo son cuando estas
bras
se a de R Por ejemplo, se señaló antes que los conjuntos
(1¡ y IR'. son tanto abiertos como cerrados en R (probablemente el lector se sentirá ali-
viado
al enterarse de que no hay otros subconjuntos de IR'. que ambas
Por otra hay muchos subconjuntos
de IR'. que no son ni abiertos ni
cerrados; de hecho, la mayoría de los subconjuntos de IR'. poseen este carácter neutro.
El siguiente resultado básico describe la manera
en que los conjuntos abiertos
se relacionan con las operaciones
de unión e intersección de conjuntos en IR'..
11.1.4 de los abiertos a) La unión de una colección
arbitraria de subconjuntos abiertos en
IR'. es un conjunto abierto.
La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos en IR'. es un
conjunto abierto.
Demostración.
a) Sea {G
A
: A E A} una familia de conjuntos en IR'. que son
abiertos y sea G su unión. Considerar un elemento
x E G; por la definición de
unión, x debe pertenecer a G
A para alguna Ao E A. Puesto que G
A es abier-
o o
to, existe una vecindad V de x tal que V ~ G
Ao
' Pero G
Ao
~ G, por lo que V ~ G.
Puesto que x es un elemento arbitrario de G, se concluye que G es un conjunto
abierto en R
b) Suponer que G
l y G
2 son conjuntos abiertos y sea G := G
l n G
2
. Para
demostrar que G
es un conjunto abierto, se considera cualquier x E G; entonces
x E G
l Y x E G
2
, Puesto que G
l es abierto, existe El > O tal que (x -El, X + El)
está contenido en G
l
. Del mismo modo, ya que G
2 es abierto, existe E2 > O tal que
(x - E2, X + E2) está contenido en G
2
. Si se hace ahora que E sea el menor de El y
El> entonces la vecindad-E U := (x -E, X + E) satisface tanto U ~ G
l como U ~ G
2
.
Por tanto, x E U ~ G. Puesto que x es un elemento arbitrario de G, se concluye
que G
es un conjunto abierto en IR'..
Ahora, por un razonamiento de inducción matemática (cuyo desanollo se le
deja al lector),
se sigue que la intersección de cualquier colección finita de con­
juntos abiertos
es abierta. Q.E.D.
Las propiedades correspondientes para conjuntos cerrados se establecerán
usando las identidades generales de De Morgan para conjuntos y sus compo­
nentes. (Véase
el teorema l.1.4.)
11.1.5 de los cerrados a)
La intersección de una co-
lección arbitraria de conjuntos cerrados en
IR'. es un conjunto cerrado.
La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados en IR es un con­
junto cerrado.
Demostración.
a) Si {FA: A E A} es una familia de conjuntos cerrados en IR'. y
F:= n FA' entonces C(F) = U C(F
A
)
es una unión de conjuntos abiertos. En
AEA AEA
consecuencia, C(F) es abierto por el teorema 11.1Aa, y por consiguiente F es
cerrado,

397. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
que Fb' . " Fn son conjuntos cerrados en lft y sea F := U
Por la identidad de
De el de F está dado por
C(F) == C(l\n··· n C(F
n
)
Puesto que cada conjunto C(F¡) es abierto, del teorema 11.lAb se sigue que
es abierto.
En consecuencia, F es un conjunto cerrado. Q.E.D.
Las restricciones de finitud en 11.1.4b y 11.l.5b no pueden omitirse. Considé­
rense los siguientes ejemplos.
11.1.6 a) Sea G
n
:= (O, 1 + lIn) para n E N. Entonces G
n es abierto
00
para toda n E N, por el ejemplo 11.1.3c. Sin embargo, la intersección G:= nGn
n=1
es el intervalo (O, 1] que no es abierto. Por tanto, la intersección de un número infi-
nito de conjuntos abiertos en
lft no es necesariamente un conjunto abierto.
00
Sea Fn :== [l/n, 1] para n E N. Cada Fn es cerrado, pero la unión F:= Ul\, es
1l=1
el conjunto (O, 1] que no es cerrado. Por tanto, la unión de un número infinito de
conjuntos cerrados en
lft no es necesariamente un conjunto cerrado. D
Caracterización de los
Se presenta a continuación una caracterización de los subconjuntos cerrados de lft
en términos de sucesiones. Como se verá, los conjuntos cerrados son precisamente
aquellos conjuntos
F que contienen los límites de todas las sucesiones conver­
gentes cuyos elementos se toman de
F.
11.1.7 Caracterización de los
guientes afirrrzaciones son equivalentes.
F es un subconjunto cerrado de lft.
cerrados Sea F ~ lft; entonces las si-
Si
X = (x
n
)
es cualquier sucesión convergente de elementos en F, entonces
lím X pertenece a F.
Demostración. (i) =::} (ii) Sea X = (x
n
)
una sucesión de elementos en F y sea x :=
lím X; quiere demostrarse que x E F. Suponer, por el contrario, que x ~ F; es decir,
que
x E C(F), el complemento de F. Puesto que C(F) es abierto y x E C(F), se
sigue que existe
una vecindad-E VE de x tal que VE está contenida en C(F). Puesto
que
x = lím (x
n
), se sigue que existe un número natural K = K(E) tal que XK E Ve'
Debe tenerse por tanto XK E C(F); pero esto contradice el supuesto de que Xn
E F
para toda n E N. Por 10 tanto, se concluye que x E F.
(ii) =::} (i) Suponer, por el contrario, que F no es cerrado, de tal modo que G :==
C(F) no es abierto. Entonces existe un punto Yo E G tal que para toda n E N existe
un número Yn E C(G) == F tal que lYn -Yol < lIn. Se sigue que Yo := lím (Yn)' y
como
Yn E F para toda n E N, la hipótesis (ii) implica que Yo E F, lo cual contra-

398. 11.1 Conjuntos abiertos y cerrados en l!!'.
dice el su¡:mesto de que Yo E G = Por tanto, la "",,",,"''''0'
cerrado que no es verdadera. Por consiguiente, (ii)
se afirmó.
como
Q.E.D.
El siguiente resultado guarda una estrecha relación con el teorema anterior.
Establece que
un conjunto F es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de
acumulación. Recuérdese de la sección
4.1 que un punto x es un de acu-
mulación de un conjunto F si toda vecindad-E de x contiene un de F dife-
rente de
x. Puesto que por el teorema 4.l.2 cada punto de acumulación de un
conjunto
F es el límite de una sucesión de puntos en F, el resultado se sigue de
Ílm1ediato del teorema
11.1.7 anterior. Se presenta una segunda demostración que
usa únicamente las definiciones pertinentes.
11.1.8
Teorema Un subconjunto de IR es cerrado si Y sólo si contiene todos sus
puntos de acumulación.
Demostración. Sea F un conjunto cerrado en
IR y sea x un punto de acumula­
ción de
F; se demostrará que x E F. De no ser así, entonces x pertenece al con­
junto abierto
C(P). Por lo tanto, existe una vecindad-E ~ de x tal que ~ <;;;;; C(P).
Por consiguiente, VE n F = 0, lo cual contradice el supuesto de que x es un punto
de acumulación de
F.
Recíprocamente, sea F un subconjunto de IR que contiene todos sus puntos de
acumulación; se demostrará que
C(P) es abierto. En efecto, si Y E CCP), entonces
Y no es un punto de acunmlación de F. Se sigue que existe una vecindad-E VE de Y
que no contiene un punto de F (con la posible excepción de y). Pero como y E C(P),
se sigue que VE <;;;;; C(P). Puesto que y es un elemento arbitrario de CCP), se deduce
que para cualquier punto en
C(P) existe una vecindad-E que está contenida en su
totalidad en
C(P). Pero esto significa que C(P) es abierto en IR. Por lo tanto, Fes
cerrado en IR. Q.ED.
Caracterización de los conjuntos abiertos
La idea de un conjunto abierto en IR es una generalización de la noción de inter­
valo abierto. El hecho de que esta generalización no lleve a conjuntos demasiado
peculiares que son abiertos se pone de manifiesto en el siguiente resultado.
11.1.9
Teorema Un subconjunto de IR es abierto si y sólo si es la unión de un
número contable de intervalos abiertos disjuntos
en IR.
Demostración. Suponer que G ;&. 0 es un conjunto abierto en IR. Para toda x E G,
seaAx
:= {a E IR: Ca, x] <;;;;; G} Y sea Ex := {b E IR: [x, b) <;;;;; G}. Puesto que G es
abierto, se sigue que
Ax Y Ex son conjuntos no vacíos. (¿Por qué?) Si el conjunto
Ax está acotado por abajo, se hace a
x := ínfAx; si Ax no está acotado por abajo, se
hace
a
x := -oo. Adviértase que en ambos casos ax ~ G. Si el conjunto Ex está aco­
tado
por arriba, se hace b
x := sup Ex; si Ex no está acotado por arriba, se hace
b
x
:= oo. Adviértase que en ambos casos b
x
~ G.

399. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
Se define ahora Ix := (aX' bx); evidentemente, Ix es un intervalo abierto que con­
tiene a
x. Se afirma que Ix ~ G. Para ver esto, sea y E Ix Y suponer que y < x. De
la definición
de ax se sigue que existe a' E Ax con a' < y, de donde y E (a', x] k
G. Del mismo modo, siy E Ix Y x <y, existe b' E Ex cony < b', de donde se sigue
que
y E [x, b') ~ G. Puesto que y E Ix es arbitraria, se tiene que Ix ~ G.
Puesto que x E G es arbitraria, se concluye que U Ix ~ G. Por otra parte,
XEG
puesto que para toda x E G existe un intervalo abierto Ix con x E Ix ~ G, se tiene
también G
~ U Ix. Por lo tanto, se concluye que G = U Ix'
XEG XEG
Se afirma que si x, y E G Y x * y, entonces o Iy = Iy o Ix n Iy = 0. Para demos­
trar esta afirmación,
se supone que Z E Ix n lyn de donde se sigue que ax < Z < by
y ay < Z < bx' (¿Por qué?) Se demostrará que ax = ay De no ser así, de la pro­
piedad de tricotomía se sigue que (i) a
x
< ay o bien (ii) ay < a
r Si ocurre (i),
entonces ay E Ix = (ax' bx)
~ G, lo que contradice el hecho de que ay ~ G. Del
mismo modo, si ocurre
(ií), entonces a
x E Iy = (ay, by) ~ G, lo que contradice
el hecho de que ax ~ G. En consecuencia, debe tenerse ax = ay y un razona­
miento similar implica que bx
= by Por lo tanto, se concluye que si Ix n Iy * 0,
entonces ~y = Iy
Queda por demostrar que la colección de intervalos distintos {Ix: x E G} es
contable. Para ello, se enumera el conjunto ([JI de los números racionales ([JI = {r¡,
r2> .. " r m ... } (véase el teorema 1.3.11). Del teorema de densidad 2.4.8 se sigue
que todo intervalo
Ix contiene números racionales; se selecciona el número racio­
nal en
Ix que tiene el índice n menor en esta enumeración de ([JI. Es decir, se elige
rn(x) E ([JI tal que Ir = Ix Y n(x) es el índice n menor tal que Ir = Ix. Por tanto,
el conjunto
de inte;~~los distintos IX' x E G, se pone en corresp~ndencia con un
subconjunto
de N. Por consiguiente, este conjunto de intervalos distintos es con­
table.
Q.E.D.
Se deja como ejercicio demostrar que la representación de G como una unión
disjunta
de intervalos abiertos se encuentra determinada de manera única.
Del teorema precedente no se sigue que un subconjunto
de J]J;. es cerrado si y
sólo si
es la intersección de una colección contable de intervalos cerrados (¿por qué
no?). De hecho, hay conjuntos cerrados en J]J;. que no pueden expresarse como la
intersección de una colección contable de intervalos cerrados en R Un conjunto
que conste
de dos puntos es un ejemplo. (¿Por qué?) Se describe a continuación la
construcción
de un ejemplo mucho más interesante llamado el conjunto de Cantor.
El conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor, el cual se denota por lF, es un ejemplo muy interesante de
un conjunto (un tanto complicado) que no se parece a ningún otro conjunto que se
haya visto hasta este punto. Revela cuán inadecuada puede ser nuestra intuición en
ocasiones cuando se intenta describir subconjuntos de R

400. 11.1 Conjuntos abiertos y cerrados en lR
El conjunto de Cantor lF puede describirse eliminando una sucesión de inter­
valos abiertos del intervalo cerrado unitario
J:= [O, 1]. Primero se elimina la ter­
cera parte abierta de en medio
(+, f) de [O, 1] para obtener el
Después se elimina la tercera parte abierta de en medio de los dos intervalos ce­
rrados en
F¡ para obtener el conjunto
Se observa que F
2 es la unión de 2
2
= 4 intervalos cerrados, cada uno de los cuales
es de la forma [kI3
2
,
(k + 1 )13
2
].
Después se elimina la tercera parte abierta de en
medio de cada uno de estos conjuntos para obtener
F
3
,
que es la unión de 2
3
= 8
intervalos cerrados. Se continúa de la misma forma. En general, si se ha cons­
truido
Fn Y consta de la unión de 2" intervalos de la forma [kI3
n
, (k
+ 1)/3
n],
entonces el conjunto Fn + ¡ se obtiene eliminando la tercera parte abierta de en
medio de cada uno de estos intervalos. El conjunto
de Cantor lF es lo que queda des­
pués de que este proceso se ha realizado para toda
n E N. (Véase la figura 11.1.1.)
o
Figll.ra 11.1.1 Construcción del conjunto de Cantor.
11.1.10 Definición El conju.nto de Cantor lF es la intersección de los con­
juntos
F", n E N, obtenidos por la eliminación sucesiva de las terceras partes
abiertas de en medio, empezando con
[O, 1].
Puesto que es la intersección de conjuntos cerrados, lF es en sí mismo un con­
junto cerrado
por 11.1.5a. Se enlistan a continuación algunas de las propiedades
de
lF que hacen de él un conjunto tan interesante.
1)
La longitud total de los intervalos eliminados es l.
Se observa que la primera tercera parte de en medio tiene una longitud de 1/3,
las dos terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes que suman 2/3
2
,
las
cuatro terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes que suman 2
2
/3
3
,
y así sucesivamente. La longitud total L de los intervalos eliminados está dada por

401. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
Utilizando la fórmula para la suma de una serie se obtiene
1 1
L=-· =1.
3 1-(2/3)
Por tanto, IF es un subconjunto del intervalo unitario [O, 1] cuyo complemento en
[O, 1] tiene longitud total l.
Obsérvese asimismo que la longitud total de los intervalos que constituyen
es
(2/3)n, cuyo límite es ° cuando n ~ oo. Puesto que IF <;;; Fn para toda n E N, se
observa que si es válido decir que lF tiene "longitud", debe tener longitud O.
2) El conjunto lF no contiene ningún intervalo abierto no vacío como subcon­
junto.
De hecho, si lF contiene un intervalo abierto no vacío J := (a, b), entonces
como
J <;;; Fn para toda n E N, debe tenerse ° < b -a S (2/3)n para toda n E N. Por
lo tanto,
b -a = 0, de donde J es un conjunto vacío, lo cual es una contradicción.
3)
El conjunto de Cantor lF tiene un número indefinido (incluso incontable) de
puntos.
El conjunto de Cantor contiene todos los puntos terminales de los interva­
los abiertos eliminados y todos ellos
son puntos de la forma 2
k
/3
n
,
donde k = 0,
1, .. " n para toda n E N. Hay un número infinito de puntos de esta forma.
El conjunto de Cantor
en realidad contiene muchos más puntos que los de la
forn1a
2k/3"; de hecho, lF es un conjunto incontable. Se presenta una descripción
del razonamiento. Se observa que toda
x E [O, 1] puede escribirse en una expan­
sión ternaria (base 3)
x=
donde cada a
n es ° o 1 o 2. (Véase la discusión al final de la sección 2.5.) De
hecho, cada
x que está en uno de los intervalos abiertos eliminados tiene a
n
= 1
para alguna n; por ejemplo, cada punto en ct,f) tiene a¡ = 1. Los puntos termi­
nales de los intervalos eliminados tienen dos expansiones ternarias posibles, una
de ellas sin dígitos
1; por ejemplo, 3 = (0.100···h = (0.022" ·h. Si se elige la
expansión sin dígitos
1 para estos puntos, entonces lF consiste en toda x E [O, 1]
que tiene expansión ternaria sin dígitos 1; es decir, a
n es ° o 2 para toda n E N. Se
define ahora un mapeo qJ de lF en [O, 1] de la manera siguiente:
(
00 )
({J Lan :=
n=1 3
n
n=1
para x E IF.
Es decir, ({J((.a¡a2 .. ')3) = (.b¡b
2
.. ')2, donde b
n
= a
n/2 para toda n E N Y (.b¡b2 .. ')2
denota la representación binaria de un número. En consecuencia, ({J es una supra­
yección de
lF sobre [O, 1]. Si se supone que lF es contable, el teorema 1.3.10
implica que existe una sup~ayección V' de N sobre JEi', de tal modo que ({J o V' es
una suprayección de N sobre [O, 1]. Otra aplicación del teorema 1.3.10 implica
que
[O, 1] es un conjunto contable, lo cual contradice el teorema 2.5.5. Por lo tanto,
lF es un conjunto incontable.

402. 11.1 C0njuntos abiertos y cerrados en .IR
sección 11.1
1. Si x E (O, 1), sea Ex como en el ejemplo 11.1.3b. Demostrar que si lu -xl < EX' enton­
ces
u El).
2. Demostrar que los intervalos (a, (0) y (-00, a) son conjuntos abiertos y que los inter­
valos
lb, (0) Y (-00, b] son conjuntos cerrados.
3. Desarrollar el razonamiento de inducción matemática de la demostración del inciso b)
de las propiedades de los conjuntos abiertos 11.1.4.
4. Demostrar que (0,1]
= n:,(O,I+ 1/n), como se afirmó en el ejemplo 11.1.6a.
5. Demostrar que el conjunto N de los números naturales es un conjunto cerrado.
6. Demostrar que A = {1/n : n E N} no es un conjlillto cerrado, pero que A U {O} es un
conjunto cerrado.
7. Demostrar que el conjunto Q de los números racionales no es ni abierto ni cerrado.
8. Demostrar que si G es un conjlillto abierto y F es un conjunto cerrado, entonces G\F
es un conjunto abierto y F\G es un conjlillto cerrado.
9. Se dice que
un punto x E .IR es un punto interior de A ~ .IR si existe una vecindad V de
x tal que V
~ A. Demostrar que un conjunto A ~ .IR es abierto si y sólo si todo punto
de A es un punto interior de A.
10. Se dice que un punto x
E .IR es lill punto frontera de A ~ .IR si toda vecindad V de x
contiene puntos en
A y puntos en C(A). Demostrar que el conjunto A y su complemen­
to
C(A) tienen exactamente los mismos puntos frontera.
n. Demostrar que un conjunto G ~ .IR es abierto si y sólo si no contiene ninguno de sus
puntos frontera.
12. Demostrar que un conjlillto
F ~ .IR es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos
frontera.
13. Si
A ~.IR, sea AO la unión de todos los conjuntos abiertos que están contenidos en A; al
conjunto
AO se le llama el interior de A. Demostrar que AO es un conjlillto abierto, que
es el conjunto abierto más grande contenido en
A, y que un punto z pertenece a AO si y
sólo si z es un punto interior de A.
14. Utilizando la notación del ejercicio precedente, sean A, B conjuntos en .IR. Demostrar
que
AO ~ A, que (AO)O = AO Y que (A n B)O = AO n BO. Demostrar asimismo que AO U
BO ~ (A U B)O Y dar un ejemplo que muestre que la inclusión puede ser propia.
15. Si
A ~ .IR, sea A-la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A; al
conjunto
A-se le llama la cerradura de A. Demostrar que A-es un conjunto cerrado,
que es el conjunto cerrado menor que contiene a
A y que un punto w pertenece a A-si
y sólo si w es o un punto interior o
un punto frontera de A.

403. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
16. Utilizando la notación del ejercicio precedente, sean A, B conjuntos en IR. Demostrar
que se tiene
A <;;; A-, (A-)-= A-Y que (A U Bt = A-U B-. Demostrar que (A n B)-<;;;
A-n B-y dar un ejemplo que muestre que la inclusión puede ser propia.
17. Dar un ejemplo de un conjunto
A <;;; lR tal que A o = 0 y A-= IR.
18. Demostrar que si F <;;; lR es un conjunto cerrado no vacío que está acotado por arriba,
entonces sup
F pertenece a F.
19. Si G es un conjunto abierto y x E G, demostrar que los conjuntos y Bx de la demos-
tración del teorema 11.1.9 son no vacíos.
20. Si el conjunto de la demostración del teorema 11.1.9 está acotado por abajo, demos-
trar que
a
x := ínfAx no pertenece a G.
21. Si en la notación usada en la demostración del teorema 11.1.9 se tiene a
x < y < x,
demostrar que y E G.
22. Si en la notación usada en la demostración del teorema 11.1.9setiene.(,n 1" '" 0,
demostrar que b
x = by"
.23. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor lF es un punto de acumulación de lF.
24. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor lF es un punto de acumulación de
C(P).
En análisis avanzado y topología, la noción de un conjunto "compacto" es de
enorme importancia. Esto es menos cierto en IR'. debido a que el teorema de Heine­
Borel proporciona una caracterización muy simple de los conjuntos compactos en
IR'.. No obstante, la definición y la técnica usadas con respecto a la compacidad son
de gran importancia, y la recta real ofrece un lugar apropiado para ver la idea de
compacidad por primera vez.
La definición
de compacidad hace uso de la noción de cubierta abierta, la cual
se define a continuación.
11.2.1 Definición Sea
A cm subconjunto de IR'.. Una cubierta abierta de A es
una colección Q = {GoJ de conjuntos abiertos en IR'. cuya unión contiene a A;
es decir,
A~
a
Si Q' es una subcolección de conjuntos de Q tal que la unión de los conjuntos en
Q' también contiene a A, entonces a Q' se le llama sub cubierta de Q. Si Q' con­
siste en un número finito
de conjuntos, entonces a Q' se le llama subcubierta
finita de Q.

404. 11.2 Conjuntos compactos
Puede haber muchas cubiertas abiertas diferentes para un
si
A := [1, entonces el lector verificar que las
conjuntos son todas cubiertas abiertas de
A:
9
0
:= {(O,oo)},
9] :=((r-l,r+l): EQ,r>O},
9
2
:={(n-l,n+l):nEN},
9
3
:= {(O,n): n EN},
9
4
:={(O,n):nEN,n223}.
399
E,C"'VUWU colec-
Se observa que 9
2 es una subcubierta de 9] y que 94 es una subcubierta de 93'
Desde luego, es posible describir muchas otras cubiertas abiertas de
A.
11.2.2 Definición Se dice que un subconjunto K de IR es COltnP'ílICltO si toda
cubierta abierta de K tiene una sub cubierta finita.
En otras palabras, un conjunto K es compacto si siempre que está contenido
en la unión de una colección
9 = {G oJ de conjuntos abiertos en IR, entonces está
contenido en la unión de algún número
finito de conjuntos en 9.
Es muy importante advertir que para aplicar la definición a fin de demostrar
que un conjlmto
K es compacto, es necesario examinar una colección arbitraria
de conjuntos abiertos cuya unión contenga a K y demostrar que K está contenido
en la unión de algún número finito de conjuntos en la colección dada. Es decir,
debe demostrarse que
cualquier cubierta abierta de K tiene una sub cubierta finita.
Por otra parte, para demostrar que un conjunto
H no es compacto, basta presentar
una colección
especíjica 9 de conjuntos abiertos cuya unión contenga a H, pero
tal que la unión de cualquier número finito de conjuntos en
9 no contenga a H. Es
decir, H no es compacto si existe alguna cubierta abierta de H que no tenga nin­
guna subcubierta finita.
11.2.3 a) Sea
K := {x], xb .. " xn} un subconjunto finito de IR. Si
9 = {G a} es una cubierta abierta de entonces cada xi está contenida en algún
conjunto
G
a
.
en 9. Entonces la unión de los conjuntos en la colección {G
al
,
G a , .. " G a'} contiene a K, de modo que es una subcubierta finita de 9. Puesto
qUí~ 9 es arbitraria, se sigue que el conjunto finito K es compacto.
Sea
H := [O, 00). Para demostrar que H no es compacto, se presentará una
cubierta abierta que no tiene ninguna subcubierta finita. Si se hace G
n
:= (-1, n)
00
para toda n E N, entonces H ~ UG
n
,
de modo que 9 := {G
n
:
n E N} es una
n=l
cubierta abierta de H. Sin embargo, si {G a' G Dí' .. " G a } es cualquier subcolec-
ción finita de
9 y si se hace m := sup{nj, ~2, .. " nk}, entonces
G
UG U .. ·UG = G = (-l,m).
l1
i
/12 I1k m
Evidentemente, esta lmÍón no contiene aH = [O, 00). En consecuencia, ninguna sub­
colección finita de
9 contendrá en su unión a H y, por lo tanto, H no es compacto.

405. Capítulo 1 '1 Una ojeada a la topología
e) Sea Si se hace 1) para toda n E N, entonces es inme~
CXJ
diato ver que J = U G". Por tanto, 9 := {G
n
: n E N} es una cubierta abierta de J.
n=l
Si {G
n
,
G
n
,
.. " G
n
} es cualquier subcolección finita de 9 y si se hace s :=
1 2 r
sup{n¡, n2, .. " n
r
}, entonces
G U
"1
Puesto que l/s está en J pero no en
tanto,
J no es compacto.
1) .
se ve que la unión no contiene a J. Por lo
O
Se describen a continuación todos los subconjuntos compactos de R Se esta­
blecerá primero mediante razonamientos bastante directos que cualquier conjunto
compacto en
IR debe ser cerrado y estar acotado. Después se demostrará que estas
propiedades
de hecho caracterizan a los conjuntos compactos en R Éste es el con­
tenido del teorema de Reine-Borel.
11.2.4 Teorema . Si K es un subconjunto compacto de IR, entonces K es cerrado
y está acotado.
Demostración.
Se demostrará primero que K está acotado. Para toda m E N, sea
CXJ
HI11 := (-m, m). Puesto que cada HI11 es abierto y como K c:;;; U Hin = IR, se ve que
m=l
la colección {HI11 : m E N} es una cubierta abierta de K. Puesto que K es com­
pacto, esta colección tiene tilla subcubierta finita, por lo que existe
M E N tal que
=HM =(-M,M).
m=1
Por lo tanto, K está acotado, ya que está contenido en el intervalo acotado (-M, M).
Se demuestra ahora que K es cerrado probando que su complemento C(K) es
abierto. Para ello, sea
u E C(K) arbitraria y para toda n E N, sea G
n
:= {y E IR :
lY -ul > l/n}. Es un ejercicio demostrar que cada conjunto G
n es abierto y que
CXJ
IR \{u} = UG". Puesto que u." K, se tiene K c:;;; UG
n
. Puesto que K es compacto,
n=1 n=l
existe m E N tal que
=G.
m
A partir de este hecho se sigue que K n (u -11m, u + 11m) = 0, por lo que el inter­
valo
(u -l/m, u + l/m) c:;;; C(K). Pero como u fue un punto arbitrario en C(K), se
infiere que
C(K) es abierto. Q.E.D.
Se establece a continuación que las condiciones del teorema 11.2.4 son tanto
necesarias como suficientes para que un subconjunto de
IR sea compacto.

406. 11.2 Conjuntos compactos
11.2.5 Teorema de Heine-Borel Un SUl'cn>l1hm
si es cerrado y está acotado.
Demostración. En el teorema 11.2.4 se demostró que un
en lR debe ser cerrado y estar acotado. Para establecer el ¡p('Tr.,.,'Ar'A
K es cerrado y que está y sea y = {G a} una
Quiere demostrarse que
K debe estar contenido en la unión de
ción finita de
y. La demostración se hará por reducción al
que:
K no está contenido en la unión
de ningím número finito de en y.
Por hipótesis, K está acotado, por lo que existe r> O tal que K k [-r, r]. Se hace
I¡ := [-r, r] y se biseca I¡ en dos subintervalos cerrados Ií := [-r, O] e ._ 1'].
Al menos uno de los dos subconjuntos K n lí y K n Ií' debe ser no vacío y tener
h1 propiedad de que no está contenido en la unión de ningún número finito de con­
juntos en
y. [Porque si los dos conjuntos K n Ií y K n Jí' están contenidos en la
unión de algún número finito de conjuntos en
y, entonces K = n Ií) U n
está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en y, lo cual con­
tradice el supuesto (1).] Si
K n Jí no está contenido en la unión de número
fi~ito de conjuntos en y; se hace 1
2 := Ií; en caso contra~ K n Jí'tiene esta pro­
pIedad
y se hace J
2
:= I¡.
Se biseca h en dos subintervalos 12
e 12,
Si K n 12 es no vacío y no está con­
tenido en la unión de algún número finito de conjuntos en
y, se hace h := J2; en
caso contrario,
K n 12
tiene esta propiedad y se hace 13 := 12,
Continuando con este proceso, se obtiene una sucesión de intervalos anidados
(1,,). Por la propiedad de los intervalos anidados 2.5.2, existe un punto z que per­
tenece a todos los
1m n E N. Puesto que cada intervalo In contiene un número infi­
nito de puntos en
K (¿por qué?), el punto 2 es un punto de acumulación de K
Además, puesto que se supuso que K es cerrado, del teorema 11.1.8 se sigue que
2 E K. Por 10 tanto, existe un conjunto G},. en Q con 2 E G
k
Puesto que es un
conjunto abierto, existe
E> O tal que
Por otra parte, puesto que los intervalos
In se obtienen por bisecciones repetidas
de
I¡ = [-1', 1'], la longitud de In es rl2
n
-
2. Se sigue que si n es tan que
rl2
n
-
2
< E, entonces 1" k (2 -E, 2 + E) k G,1: Pero esto significa que si n es tal
que
1'12"-2 < E, entonces K nI" está contenido en el conjunto particular G/l en
y, lo cual contradice la construcción hecha de In' Esta contradicción indica que
el supuesto (1) de que el conjunto cerrado acotado
K requiere un número infi­
nito de conjuntos en
y para cubrirlo es insostenible. Se concluye que K es com­
pacto.
Q.E.D.
Observación En el ejemplo 11.2.3b se vio que el conjunto cerrado H := [O, 00)
no es compacto; adviéliase que H no está acotado. En el ejemplo 11.2.3c se vio

407. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
también que el acotado J := 1) no es adviértase que J no
es cerrado. Por tanto, no es posible omitir ninguna de las dos hipótesis del teorema
de Reine-Borel.
Es posible combinar el teorema de Reine-Borel y el teorema de Bolzano­
Weierstrass 3.4.8 para obtener una caracterización en ténninos de sucesiones de
los subconjuntos compactos de
IR.
11.2.6 Teorema Un subconjunto K de :IR. es compacto si y sólo si toda sucesión
en
K tiene una subsucesión que converge a un punto en K.
Demostración. Suponer que K es compacto y sea (x
n
) una sucesión con X
n
E K
para toda n E N. Por el teorema de Reine-Borel, el conjunto K está acotado, por
lo que la sucesión
(xn) está acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass 3.4.8,
existe una subsucesión
(x
n
)
que converge. Puesto que K es cerrado (por el teo-
k
rema 11.2.4), el límite x := lím(x
n
)
está en K. Por tanto, toda sucesión en K tiene
k
una sub sucesión que converge a un punto de K.
Para establecer el recíproco, se demostrará que si
K no es cerrado o no está
acotado, entonces debe existir una sucesión en K que no tiene ninguna subsu­
cesión que converge a
un punto de K. Primero, si K no es cerrado, entonces
existe
un punto de acumulación c de K que no pertenece a K. Puesto que c es
un punto de acumulación de K, existe una sucesión (x
n
) con Xn
E K Y X
n "* c para
toda n E N tal que lím(x
n
)
= c. Entonces toda subsucesión de (x
n
)
también con­
verge a
c y como c ~ K, no existe ninguna subsucesión que converge a un punto
de K.
Segundo, si
K no está acotado, entonces existe una sucesión (x
n
)
en K tal que
Ixnl > n para toda n E N. (¿Por qué?) Entonces toda subsucesión de (xn) no está
acotada, de donde ninguna sub sucesión de ella puede converger a
un punto de K.
Q.E.D.
Observación Es probable que el lector haya advertido que hay una similitud
entre la compacidad del intervalo
[a, b] Y la existencia de particiones finas-D para
[a, b]. De hecho, estas propiedades son equivalentes, cada una de las cuales puede
deducirse de las otras. Sin embargo,
la compacidad se aplica a conjuntos que son
más generales que los intervalos.
Ejercicios de la sección 11.2
1. Presentar tilla cubierta abierta del intervalo (1, 2] que no tenga ninguna sub cubierta
finita.
2. Presentar una cubierta abierta de N que no tenga ninguna sub cubierta finita.
3. Presentar una cubierta abierta del conjunto
{1/n : n E N} que no tenga ninguna subcu­
bierta finita.
4. Demostrar, usando la definición 11.2.2, que si F es un subconjunto cerrado de un con­
junto compacto
K en R, entonces F es compacto.

408. 11.3 Funciones continuas 403
5. Demostrar, usando la definición 11.2.2, que si K] y
entonces
su unión K] U K
2
es compacta.
son
'Y\lnillntó\Q compactos en lR,
6. Usar el teorema de Heine-Borel para demostrar la siguiente versión del teorema de
Bolzano-Weierstrass: todo subconjunto infinito acotado de
lR tiene un punto de acumu­
lación en R (Adviértase que si
un conjunto no tiene puntos de acumulación, entonces
es cerrado por el teorema 11.1.8.)
7. Encontrar una colección infinita
{K
n
:
n E N} de conjlmtos compactos en lR tales que
oc
la unión U K" no sea un conjunto compacto.
n=l
8. Demostrar que la intersección de una colección arbitraria de conjuntos compactos en
lR es un conjunto compacto.
9.
Sea (K
n
:
n E N) una sucesión de conjuntos compactos no vaCÍos en lR tales que
K
1
;;¿ K
2
;;¿ ... ;;¿ K/1 ;;¿ .... Demostrar que existe al menos un punto .x E lR tal que .x E Kn
oc
para toda n EN; es decir, la intersección n K/J es no vacía.
n=d
10. Sea K * 0 un conjunto compacto en lR. Demostrar que ínf K y sup K existen y perte­
necen a K..
11. Sea K * 0 compacto en lR y
le -al = ínf{le - xl : x E K}.
e E lR. Demostrar que existe un punto a en K tal que
12.
Sea K * 0 compacto en lR y sea e E lR. Demostrar que existe un punto b en K tal que
le -bl = sup{le -xl: x E K}.
13. Usar la noción de compacidad para dar una demostración alternativa del ejercicio
5.3.18.
14. Si K
1
Y K
2
son conjuntos compactos disjuntos no vacíos, demostrar que existe k¡ E K¡
tal que O < Ik1 -k21 = ínf{lx1 -x21 : X¡ E K¡}.
15. Dar un ejemplo de dos conjuntos cerrados disjuntos F
1
, F
2 tales que O = ínf{lx1 - x21 :
X¡E F¡}.
En esta sección se examina la forma en que el concepto de continuidad de fun­
ciones puede vincularse con las ideas topológicas de conjuntos abiertos y con­
juntos compactos. Algunas
de las propiedades fundamentales de las funciones
continuas en intervalos presentadas en la sección
5.3 se establecerán en este con­
texto. Entre otras cosas, estas nuevas argumentaciones demostrarán que el con­
cepto de continuidad
y muchas de sus importantes propiedades pueden llevarse a
un nivel
de abstracción más alto. Esto se discute brevemente en la siguiente sec­
ción sobre espacios métricos.

409. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
Continuidad
En la sección 5.1 nos ocupamos de la continuidad en un de la con-
tinuidad "local" de funciones. Ahora nos ocuparemos
de la conti-
nuidad "global" en el sentido de que se supondrá que las funciones son continuas
en la totalidad de sus dominios.
En la sección 5.1 se definió la continuidad de una función f: A -7 :IR en un
e
E A. El teorema 5.1.2 establecía que f es continua en e si y sólo si para
toda vecindad-E de
f(e) existe una vecindad-8 de e tal que si x E
V¿¡(e) n entonces f(x) E Ahora se re formula esta condición para la
continuidad en un punto en términos de vecindades generales. de
11.1.1 que una vecindad en un punto e es conjunto
U que contiene una
vecindad-E de e para alguna E>
11.3.1 Lema Una fitneión f: A -7 :IR es continua en el punto c de A si y sólo
si
para toda vecindad U de existe una vecindad V de c tal que si x E V n
entonces E U.
Demostración. Suponer que f satisface la condición enunciada. Entonces, dada
E> O, se hace U = VE(f(e») y así se obtiene después una vecindad V para la que
x E V n A implica quef(x) E U. Si se elige 8> O tal que V/j(e) ~ V, entonces x E
V¿¡(e) n A implica quef(x) E U; por lo tanto,fes continua en e de acuerdo con el
teorema 5.1.2.
Recíprocamente, si
f es continua en e en el sentido del teorema 5.1.2, entonces
ya que cualquier vecindad U de f(e) contiene una vecindad-E ~(f(e», se sigue
que al tomar
la vecindad-8 V = V¿¡(e) de e del teorema 5.1.2 se satisface la condi­
ción del lema.
Q.E.D.
Cabe señalar que la afirmación de que x E V n A implica que f(x) E U es
equivalente a
la afirmación de que f( V n A) ~ U; es decir, que la imagen directa
de
V n A está contenida en U. También por la definición de imagen inversa, esto
es lo mismo que
V n A ~f-l(U). (Véase la definición 1.1.7 para las definiciones
de imagen directa e imagen inversa.) Usando esta observación, se obtiene ahora
una condición para que una función sea continua en
su dominio expresada en tér­
minos de conjuntos abiertos.
En cursos más avanzados de topología, el inciso b)
del siguiente resultado con frecuencia se toma como
la definición de continuidad
(global).
11.3.2
Teorema de continu.idad Sea A ~ :IR Y sea f : A -7 :IR una fun-
ción con dominio
A. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
a) f es continua en todo punto de A.
Para todo conjunto abierto G en :IR, existe un conjunto abierto H en :IR tal que
H nA = f-l(G).
Demostración. a)::::} b). Suponer que f es continua en todo punto de A y sea G
un conjunto abierto en:IR dado. Si e pertenece af-l(G), entoncesf(c) E G, y como

410. '11.3 Funciones continuas
G es G es una vecindad Por lo tanto, por el lema ¡J"."",,,,-,-,",,,
la continuidad abierto
que
f(x) E es decir, V( c) está contenido en la
Se selecciona para cada c
enf-l(G), y seaHla unión de todos estos
Por las propiedades de los conjuntos abiertos 11.1 el
H es abierto
y se tiene H Ii A = f-l(G), Por a)
=? a). Sea c en A y sea G una vecindad abierta de
Entonces la condición implica que existe un conjunto abierto H en lR. tal que
H Ii A = f-
I
(G), Puesto que f( c) E se sigue que c E de donde H es una
vecindad de
c. Si x E H Ii A, entonces f( c) E G Y en continua
en
c. Por tanto, b) implica a). Q.E.D.
En el caso en que A = lR., el resultado precedente se simplifica en cierta
medida.
11.3.3 Corolario
Una fitnción f : lR. ---¿ lR. es continua si y sólo si es
abierta en
lR. siempre que G es abierto.
Es necesari~lacer hincapié en que el teorema de continuidad global 11.3.2 no
dice que sifes una función continua, entonces la imagen directaf(G) de un con­
junto abierto
es necesariamente abierta. En general, una función continua no
enviará conjuntos abiertos a conjuntos abiertos, Por ejemplo, considérese la fun­
ción continua
f: lR. ---¿ lR. definida por
f(x):=x
2
+1 para x E TIt.
Si G es el conjlmto abierto G := (-1, 1), entonces la imagen directa bajo f es f( G) =
[1,2), que no es un conjunto abierto en lR.. Véanse los ejercicios para ejemplos adi­
cionales.
Preservación de
la compacidad.
En la sección
5.3 se demostró que una función continua lleva un intervalo cerrado
y acotado [a, b] a un intervalo cerrado y acotado [m, M], donde m y M son los
valores mínimo
y máximo de f en [a, b], respectivamente. Por el teorema de
Reine-Borel, éstos son subconjuntos compactos de lR., por lo que el teorema 5.3.8
es un caso especial del siguiente teorema.
11.3.4 Preservación de
la compacid.ad Si K es un subconjunto compacto de
lR. y si f : K ---¿ lR. es continua en K, entonces f(K) es compacto.
Demostración. Sea Q = {G,d una cubierta abierta del conjunto f(K). Debe de­
mostrarse que
Q tiene una subcubierta finita. Puesto que feK) ~ UG", se sigue
que
K ~ U f-1 e G,,). Por el teorema 11.3.2, para cada Gl existe un conjunto abierto
HA tal que HA Ii K = f-I(G
A
). Entonces la colección {HA} es una cubierta abierta

411. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
del K. Puesto que K es vv,ml--'VNW esta cubierta abierta de K contiene una
subcubierta finita {HA'
1
n
A partir de este resultado se sigue que U G le ;;¿ f(K). En consecuencia, se ha
i=l I
encontrado una subcubierta finita de Q. Puesto que Q fue una cubierta abierta arbi-
traria
de f(K), se concluye que f(K) es compacto. Q.E.D.
11.3.5 A continuación se indica cómo aplicar la noción
de compacidad (y el teorema de Reine-Borel) para obtener demostraciones alter­
nativas
de algunos resultados importantes que se probaron antes utilizando el teo­
rema
de Bolzano-Weierstrass. De hecho, estos teoremas siguen siendo válidos si
los intervalos
se reemplazan con conjuntos compactos no vacíos arbitrarios en IR.
1) El teorema de acotabilidad 5.3.2 es una consecuencia inmediata del teorema
11.3.4 y del teorema
de Heine-Borel 11.2.5. De hecho, si K ~ IR. es compacto y si
f: K -t IR. es continua en K, entonces f(K) es compacto y, en consecuencia, está
acotado.
2) El teorema del máximo-mínimo 5,3.4 también es una consecuencia inmediata
del teorema 11.3.4 Y del teorema
de Heine-Borel. Como antes, se encuentra que
f(K) es compacto y, en consecuencia, está acotado enIR., de modo que s * := sup f(K)
existe, Sif(K) es un conjunto finito, entonces s* E f(K). Sif(K) es un conjunto infi­
nito, entonces s* es un punto de acumulación def(K) [véase el ejercicio 11.2.6].
Puesto que
f(K) es un conjunto cerrado, por el teorema de Heine-Borel, se sigue por
el teorema 11.1.8 que s*
E f(K). Se concluye que s* = f(x*) para alguna x* E K.
3) También se puede presentar una demostración del teorema de continuidad uni­
forme 5.4.3 basada en la noción
de compacidad, Para ello, sea K ~ IR. compacto
y sea
f: K -t IR. continua en K. Entonces, dadas e > O Y u E K, existe un número
bu := bC±e, u) > O tal que si x E K y Ix -ul < bu entonces If(x) -f(u)1 < ±e. Para
cada
u E K, sea G
u := (u -±ow u + ±Ou), de tal modo que G" es abierto; se consi­
dera la colección
Q = {G
u
:
u E K}. Puesto que u E G" para u E K, es trivial que
K ~ U G". Puesto que K es compacto, existe un número finito de conjuntos, di-
UEK
gamos G
u
,
... ,G" cuya unión contiene a K. Se define ahora
1 M
o ( e) := -2
1
ínf {8 ,'" , o } ,
U
l
U
M
de modo que O(e) > O. Ahora bien, si x, u E K y Ix -ul < O(e), entonces existe
alguna
uk con k = 1, .. " M tal que x E G
u
; por lo tanto, Ix -ukl < ±8
u
. Puesto que
k k
se tiene 8(e) ::; ±8" , se sigue que
k ,
Iu -U
k I ::; lu -xl + Ix -u, I < 8 .
le u
k

412. 11 3 Funciones continuas
Pero como se sigue que tanto
If(x)- y
Se tiene por
10 tanto If(x) -f(u)1 < E.
Se ha demostrado que si E> O, entonces existe > O tal que si x, u son
cualesquiera en K con
Ix -ul < 8(E), entonces If(x) -f(u)1 < E. Puesto que E> O es
arbitraria, con esto se demuestra que
f es uniformemente continua en como se
afirmó.
O
Se concluye esta sección ampliando el teorema de la inversa continua 5.6.5
para funciones cuyos dominios son subconjuntos compactos de R en vez de inter­
valos en
R
11.3.6 Teorema Si K es un subconjunto compacto de Ry f: K ---¿ R es unafitn­
ción inyectiva y continua, entonces
f-1 es continua en f(K).
Puesto que
K es compacto, el teorema 11.3.4 implica que la
imagen
f(K) es compacta. Puesto que f es inyectiva por hipótesis, la función
inversaf-1 está definida de
f(K) a K Sea (Yn) cualquier sucesión convergente en
f(K) y sea Yo = lím(Yn)' Para establecer la continuidad def-1, se demostrará que
la sucesión (f-1(Yn)) converge
af-1(yo).
Seax
n
:= f-1(Yn) y, para aplicar el método de reducción al absurdo, suponer que
(xn) no converge a Xo := f-1(yO)' Entonces existen E> O Y una sub sucesión (xí,) tales
que
Ixíc -xol ;:: E para toda k. Puesto que K es compacto, por el teorema 11.2.6 se con­
cluye que existe una subsucesión
(x~) de la sucesión (xi) que converge a un punto
x* de K Puesto que Ix* -xol ;:: E, se tiene x* *-Xo. Ahora bien, como f es continua,
se tiene lím(f(x;:))
= f(x*). Asimismo, como la subsucesión (y~) de (Yn) que co­
rresponde a la subsucesión
(x;;) de (xn) debe converger al mismo límite que (Yn)' se
tiene
Se concluye por lo tanto que
f(x*) = f(xo). Sin embargo, dado que f es inyectiva,
esto implica que
x* = Xo, lo cual constituye una contradicción. Por tanto, se con­
cluye
quef-1 lleva sucesiones convergentes enf(K) a sucesiones convergentes en
K y, en consecuencia, f-1 es continua. Q. E.o.
de la sección 11.3
1. Sea que f: lR --7 lR esté definida por f(x) = x2 para x E lR.
a) Demostrar que la imagen inversaf-1CJ) de un intervalo abierto I := Ca, b) es un
intervalo abierto, la unión de dos intervalos abiertos o
el conjunto vacío, depen­
diendo de
a y b.
b) Demostrar que si I es un intervalo abierto que contiene a 0, entonces la imagen
directaf(J) no
es abierta.

413. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
2. Sea quef: IR. ~ IR. esté definida porf(x) := 1/(1 + x2) para x E R
a) Encontrar un intervalo abierto (a, b) cuya imagen directa bajo f no sea abierta.
b) Demostrar que la imagen directa del intervalo cerrado
[O, 00) no es cerrada.
3. Sea
l := [1, 00) y sea f(x) := .J x -1 para x E I. Para toda vecindad-E G = (-E, +E) de
0, presentar un conjunto abierto H tal que H n l = f-l( G).
4. Sea que h : IR. ~ IR. esté definida por h(x) := 1 si ° :::; x:::; 1 Y por h(x) := ° en cualquier
otro punto. Encontrar un conjunto abierto G tal que
h-I(G) sea no abierta y un conjun­
to cerrado
F tal que h-I(F) sea no cerrada.
5. Demostrar que sif: IR. ~ IR. es continua, entonces el conjunto {x E IR. :f(x) < IX} es
abierto en IR. para toda IX E IR..
6. Demostrar que sif: IR. ~ IR. es continua, entonces el conjunto {x E IR. : f(x) :::; IX} es
cerrado en IR. para toda IX E R
7. Demostrar que sif: IR. ~ IR. es continua, entonces el conjunto {x E IR. :f(x) = k} es
cerrado en
IR. para toda k E R
8. Dar un ejemplo
de una funciónf: IR. ~ IR. tal que el conjunto {x E IR. :f(x) = l} no sea
ni abierto ni cerrado en R
9. Demostrar quef: IR. ~ IR. es continua si y sólo si para todo conjlmto cerrado F en IR. la
imagen
inversaf-I(F) es cerrada.
10. Sea l := [a, b] y sean f: l ~ IR. y g : l ~ IR. funciones continuas en l. Demostrar que el
conjunto
{x E l :f(x) = g(x)} es cerrado en IR..
Este libro se ha dedicado al estudio cuidadoso del sistema de los números reales y
de diferentes procesos de límites que pueden definirse para funciones de una
variable real. Uno de los temas centrales fue el estudio de las funciones continuas.
En este punto, con una sólida comprensión del análisis en la recta real, se puede ini­
ciar el estudio de espacios más generales y los conceptos de límites relacionados. La
generalización de los conceptos fundamentales del análisis real puede hacerse de
varias maneras diferentes, pero una
de las más provechosas es en el contexto de los
espacios métricos, donde métrico es una abstracción de una función distancia.
En esta sección se introduce
la idea de espacio métrico para indicar a conti­
nuación
la manera en que ciertas áreas de la teoría desarrollada en este libro
pueden ampliarse a este nuevo contexto. Se examinan los conceptos de vecindad
de un punto, de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones y de
continuidad de funciones definidas en espacios métricos. Nuestro propósito en
esta breve discusión no es desarrollar la teoría de los espacios métricos con gran
profundidad, sino poner de manifiesto
la manera en que las ideas y técnicas clave

414. 11 .4 Espacios métricos
del análisis real ubicarse en marco más abstracto y El lector
deberá advertir la
fonna en que los resultados básicos del análisis en la recta real
el estudio del análisis
en contextos más 1'\""",'UC,0.
en
0"~",,,,ua para cada
caso
IJHJO.JC'''H.V es que al eliminar las características no esen-
ciales
(yen ocasiones motivo de de las situaciones con fre-
cuenCIa es el real de un o teorema.
Métricos
En la recta los "V'HA.·iJ"J0 básicos de límites se definieron en ténninos de la dis-
tancia
Ix -yl entre dos x, y enJR, y muchos teoremas se demostraron usando
la función valor absoluto. De hecho, un estudio atento revela que sólo se
un
reducido número de propiedades clave del valor absoluto para demostrar muchos
resultados fundamentales, y ocurre que estas pueden extractarse y
usarse para definir funciones distancia más generales llamadas "métricos".
1104,1 Definición Un métrico en un conjunto S es una función d : S x S -7 JR
que satisface las siguientes propiedades:
a) d(x, y) ;?: O para toda x, y E S (positividad);
d(x,
y) == O si y sólo si x == y (definitividad);
c) d(x, y) == d(y, x) para toda x, y E S (simetría);
y) ::::; d(x, z) + d(z, y) para toda x, y, z E S (desigualdad del triángulo)
Un métrico d) es un conjunto S junto con un métrico d en S.
Se consideran varios ejemplos de espacios métricos.
11.4.2 a)
El familiar métrico en JR está definido por
d(x,y):= Ix-yl para x,YER
La propiedad l1.4.1d de d se sigue de la desigualdad del triángulo para el valor
absoluto porque se tiene
d(x,y) == Ix -yl == I(x -z) + (z-y)1
::; jx -zj + Iz-yj == d(x,z) + d(z,y),
para toda x, y, Z E R
La función distancia en el plano obtenida con el teorema de propor-
ciona
un ejemplo de un métrico en JR2. Es decir, el métrico den JR2 se define como
sigue: si
p) :== (x), y)) y P2
:== (x2' Y2) son puntos en JR2, entonces
d(P¡,Pz):= )Cxj -xJ + (Yj -Y2)2

415. 410 Capítulo 11 Una ojeada a la topología
c) Es posible definir varios métricos diferentes en el mismo conjunto. En JR.2 tam­
bién se puede definir el métrico
dI como sigue:
Un métrico más en JR.2 es deo definido por
La verificación de que dI y deo satisfacen las propiedades de un métrico se deja
como ejercicio.
Sea que
C[O, 1] denote el conjunto de todas las funciones continuas del inter­
valo
[O, 1] a:IR.. Paraf, g en C[O, 1], se define
deo (f,g):= sup{1 f(x) -g(x) 1: x E [O, l]}.
Entonces puede verificarse que deo es un métrico en C[O, 1]. Este métrico es
la norma uniforme de f -g en [O, 1] como se definió en la sección 8.1; es decir
deo(f, g) = Ilf -gil, donde IIfll denota la norma uniforme defen el conjunto [O, 1].
e) Se considera de nuevo C[O, 1], pero ahora se define un métrico diferente
dI por
para f,g E C[0,1].
Es posible usar las propiedades de la integral
para demostrar que éste es en rea­
lidad
un métrico en C[O, 1]. Los detalles se dejan como ejercicio.
f) Sea S cualquier conjunto no vacío. Para s, t E S se define
d(s,t):= e
si s = t,
si s ¡;é t.
Es un ejercicio demostrar que d es un métrico en S. Este métrico se llama el mé­
trico discreto en el conjunto S. O
Se observa que si
(S, d) es un espacio métrico y si T ~ S, entonces d' definido
por d'(x, y) := d(x, y) para toda x, y E Tproduce un métrico en T, el cual se denota
generalmente
por d. Con base en lo anterior, se dice que (T, d) también es un
espacio métrico. Por ejemplo, el métrico d de JR. definido por el valor absoluto es
un métrico en el conjunto Q de los números racionales y, por consiguiente, (Q, d)
también es un espacio métrico.
Vecindades y convergencia
La noción básica necesaria para introducir los conceptos de límites es la de
vecindad,
la cual se define en espacios métricos como sigue.

416. 11 .4 Espacios métricos
Sea un espacio métrico. Entonces para E > 0, la ve-
Xo en S es el
Una vecindad de
Xo es
para alguna E> O.
conjunto U que contiene una vecindad-E de Xo
Cualquier noción definida en términos de vecindades se definir y
examinar ahora en el contexto de los espacios métricos mediante la modifi­
cación apropiada del lenguaje. Se considera primero la convergencia de suce­
siones.
Una sucesión en un espacio métrico
d) es una fLmción X : N -+ S con
dominio N y codominio en
S, y se usa la notación usual para sucesiones; se escribe
X = (x
n
), pero ahora x
n
E S para toda n E N. Cuando en la definición de conver­
gencia en términos
de sucesiones se reemplaza el valor absoluto con un métrico,
se obtiene la noción
de convergencia en un espacio métrico.
11.4.4 Defini.ción Sea
(x
n
)
una sucesión en el espacio métrico (S, d). Se dice
que la sucesión
(x
n
) converge a x en S si para cualquier E> ° existe K E N tal que
X
n
E Vc(x) para toda n ;:: K.
Adviértase que como x
n
E VE(x) si y sólo si d(x11' x) < E, una sucesión (x
n
) con­
verge a
x si y sólo si para cualquier E> O existe K tal que d(x11' x) < E para toda
n ;:: K. En otras palabras, una sucesión (x
n
) en (S, d) converge a x si y sólo si la
sucesión de números reales
(d(x11' x)) converge a O.
11.4.5 Ejemplos a) Considerar ~2 con el métrico d definido en el ejemplo
llA.2b. Si P
n = (x", Yn) E ~2 para toda n E N, entonces se afirma que la sucesión
(P n) converge a P = y) con respecto a este métrico si y sólo si las sucesiones de
números reales
(x
n
) y (Yn) convergen a x y y, respectivamente.
Primero, se observa que la desigualdad
IX
n
-xl ~ d(P", P) implica que si (P
n
)
converge a P con respecto al métrico d, entonces la sucesión (x
n
) converge a x;
la convergencia de (Yn) se establece de manera similar. El recíproco se sigue de la
desigualdad
d(P11' P) ~ IXn -xl + IYn -yl, la cual se verifica con facilidad. Los deta­
lles se
le dejan al lector.
b) Sea
deo el métrico en C[O, 1] definido en el ejemplo 11.4.2d. Entonces la suce­
sión
(In) en C[O, 1] converge a j con respecto a este métrico si y sólo si Un) con­
verge
ajuniformemente en el conjunto [O, 1]. Esto se establece en el lema 8.1.8
en la discusión de
la norma uniforme. O
Sucesiones de Cauchy
La noción de sucesión de Cauchy es un concepto importante en los espacios
métricos. La definición
se formula como sería de esperarse, con el métrico reem­
plazando
al valor absoluto.

417. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
métrico. Se dice que una sucesión Definición Sea
en
S es una sucesión de si para toda 8 > ° existe una E N tal que
<
8 para toda n, m ;::: H.
revelan los
de
11.4,7 Definición Se dice que un
sucesión
de Cauchy en S converge a un
3.5.5 para sucesiones en
lR. establece
si y sólo si converge a un
métlicos en como lo
métricos para los que las sucesiones
d) es si toda
S.
En la sección 2.3 la de completez de lR. se enunció en términos de
las propiedades de orden al el requisito de que todo subconjunto no vacío
de
lR. que está acotado por arriba tenga un supremo en IR.. La convergencia de las
sucesiones de Cauchy
se deduce como un teorema. De es posible invertir
los papeles
de estas propiedades fundamentales de IR.: la propiedad de completez
de lR. puede enunciarse en términos de sucesiones de como en 11.4.7, y la
propiedad del supremo puede deducirse entonces como un teorema. Puesto que
muchos espacios métfÍcos carecen
de una estructura de orden el con­
cepto
de completez debe describirse en términos del métrico y las sucesiones de
Cauchy el vehículo natural para ello.
11.4,8 a) El espacio métrico
(cQl, d) de los números racionales con el
métl'ico definido por la función valor absoluto
no es completo.
Por ejemplo,
si (x
n
) es una sucesión de números racionales que converge a J2 ,
entonces es una sucesión de Cauchy en cQl, pero no converge a un punto de cQl. Por lo
tanto, (cQl, d) no es un espacio métrico completo.
El espacio
C[O, 1] con el métrico deo definido en 11.4.2d es completo.
Para demostrarlo, suponer que (/,,) es una sucesión
de Cauchy en C[O, 1] con
respecto
al métrico Entonces, dada 8> 0, existe H tal que
(1)
para toda x E [O, 1] Y toda n, m ;::: H. En consecuencia, para toda x la sucesión
(fn(x))
es una sucesión de en lR. y por lo tanto converge en IR.. Se definef
como el límite puntual de la sucesión; es := límUn(x)) para toda x E
[O, 1]. Por tanto, de se sigue que para toda x E [O, 1] Y toda n ;::: H se tiene
I/',(x) -f(x) I ~ 8. Por consiguiente, la sucesión (fn) converge uniformemente afen
[O, 1]. Puesto que el límite unifoD11e de las funciones continuas también es con­
tinuo (por 8.2.2), la función
f está en C[O, 1]. Por lo tanto, el espacio métrico
(C[O, 1], deo) es completo.
e) Si d
l es el espacio métrico en C[O, 1] definido en 11.4.2e, entonces el espacio
métrico
(C[O, 1], d
l
)
no es completo.

418. 11.4 Espacios métricos
Para demostrar esta UUUUQ"'UH, basta una sucesión de que
no limite en el Se define la sucesión para
n ;:: 3 como
(véase la figura 11.4.
para
O ~ x ~1/2,
para 1/2 < x ::; 112 +
para 1/2 + lln < x ~
Adviértase que la sucesión (/,,) converge puntualmente a la función discontinua
¡(x) := 1 para O ~ x ~ 1/2 := O para 1/2 < x ~ 1. En \"Vl'~G'vUC;llI..oJla,
de hecho, no existe ninguna función gEl] tal que d] (/,,,
Figura 11.4.1 La sucesión (in).
abiertos y continuidad
Con la noción de vecindad definida, las definiciones de conjunto abierto y con­
junto cerrado se escriben igual que para los conjuntos en R
11.4.9
Definición Sea (S, d) un espacio métrico.Se dice que un subconjunto G
de
S es un conjunto abi.erto en S si para todo punto x E S existe una vecindad U de
x tal que U ~ G. Se dice que un subconjunto F de S es un conjunto cerrado en S
si el complemento S\F es un conjunto abierto en S.
Los teoremas 11.1A y 11.1.5 referentes a uniones e intersecciones de con­
juntos abiertos y conjuntos cerrados pueden ampliarse sin dificultad a espacios
métricos. De hecho, la transposición a espacios métricos de las demostraciones de
dichos teoremas puede hacerse con muy pocas modificaciones: simplemente se
reemplazan las vecindadeS-e
(x -e, x + e) en IR con las vecindadeS-e V¡;(x) en S.
Se examina ahora el concepto de continuidad para funciones que mapean un
espacio métrico
(S], dI) en otro espacio métrico (S2, d2). Obsérvese que se modi­
fica la propiedad en 5.1.2 de continuidad para funciones
en IR reemplazando las
vecindades en
IR con vecindades en los espacios métricos.
'1
I

419. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
11.4.10 Definición Sean (S1, d1) y espacios métricos y seaf: S1 ~ S2
una función de S1 a S2' Se dice que la funciónf es continna en el punto c de S1 si
para toda vecindad-E Ve(f(c)) de{(c) existe una vecindad-o V
8
(c) de c tal que si
x E V
8
(c) entoncesf(x) E Ve(f(c)).
La formulación E-O de la continuidad puede enunciarse como sigue: . S1 ~
S2 es continua en c si y sólo si para toda E> O existe O> O tal que d
1(x, c) < O
implica que d
2(f(x), f(c)) < E.
El teorema de continuidad global puede establecerse para espacios métricos
mediante la modificación apropiada de la argumentación para funciones en
1Ft
11.4.11 Teorema de continuidad Si (S], d1) Y (S2, d2) son espacios mé­
tricos, entonces
unafitnción f: S1 ~ S2 es continua en S1 si y sólo si f-1(G) es
abierta en S siempre que G es abierto en S2'
La noción de compacidad se amplía de inmediato a espacios métricos. Se dice
que
un espacio métrico (S, d) es si toda cubierta abierta de S tiene una
subcubierta finita. Entonces, al modificar
la demostración de 11.3 A, se obtiene el
siguiente resultado.
11.4.12 Preservación de la Si (S, d) es un espacio métrico com-
pacto y si la fitnción f: S ~ 1ft es continua, entonces feS) es compacta en 1Ft
Las importantes propiedades de las funciones continuas dadas en 11.3.5 se
siguen entonces de inmediato. El teorema de acotabilidad, el teorema del máximo­
mínimo y el teorema de continuidad uniforme para funciones continuas con
valores reales
en un espacio métrico compacto se establecen mediante la modifi­
cación apropiada del lenguaje
en las demostraciones dadas en 11.3.5.
Semimétricos
11.4.13 Definición
Un semlÍmétrico en un conjunto S es una función d: Sx S ~ 1ft
que satisface todas las condiciones de la definición l1A. 1, excepto porque la con­
dición
b) es reemplazada por la condición más laxa
d(x,y)=O SI X = y.
Un semimétrico (S, d) es un conjunto S junto con un semimétrico d en S.
Así, todo métrico es un semimétrico y todo espacio métrico es un espacio semi­
métrico. Sin embargo, el recíproco no es verdadero. Por ejemplo, si
P 1 := (X1, Y1) Y
P 2
:= (xl> Y2) son puntos en el espacio 1ft2, es fácil ver que la función d 1 definida por
es
un semimétrico, pero no es un métrico ya que dos puntos cualesquiera que
tengan
la misma primera coordenada tienen "distancia-dI" igual a O.

420. 11 A Espacios métricos
Lo que resulta un tanto más mten~sante g son funciones en
L[a, b], se ha definido la definición la función distancia:
dist(f,g) := 1I -gl·
Aquí es claro que dos funciones cualesquiera que son iguales excepto en un con­
junto contable
de puntos tendrán una distancia igual a O entre sí (de hecho, esto
también se cumple cuando las funciones son iguales casi en todas partes).
El lector puede seguir
de nuevo la exposición de la presente sección y ver que
la mayor pmie
de lo que se ha hecho sigue siendo válido para los semimétricos y
los espacios semimétricos. La diferencia principal consiste en que una sucesión en
un espacio semimétrico no converge necesariamente a un límite único. Aun cuando
esto parece ser bastante inusual, en realidad no constituye un problema muy serio
y uno puede aprender a ajustarse a esta situación. La otra alternativa
es "iden­
tificar" los puntos cuya distancia entre
sí es O. Es común recurrir a este procedi­
miento de identificación, pero esto significa que
se está tratando con "clases de
equivalencia" y no con puntos individuales. Con frecuencia este remedio es peor
que la enfermedad.
Ejercicios de la sección HA
1. Demostrar que las funciones dI y d
oo
definidas en 11.4.2c son métricos en Jl~2.
2. Demostrar que las funciones d
oo
Y dI definidas en 11.4.2d, e son métricos en C[O, 1].
3. Verificar que el métrico discreto en un conjunto S como se definió en ll.4.2f es un
métrico.
4. Si
P n := (Xll' YI1) E ~2 Y d
oo
es el métrico de 11.4.2c, demostrar que (P
n
) converge a
P := (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si (x
n
) y (Yn) convergen a x y y, respec­
tivamente.
5. Verificar la conclusión del ejercicio 4 si
d
oo
se reemplaza con dI'
6. Sea S un conjunto no vacío y sea d el métrico discreto definido en 11.4.2f. Demostrar
que en el espacio métrico
(S, d) una sucesión (x,J en S converge a x si y sólo si existe
K E N tal que X
n
= x para toda n ;:o: K.
7. Demostrar que si d es el métrico discreto en un conjunto S, entonces todo subconjunto
de S es tanto abierto como cerrado
en (S, d).
8. Sea
P := (x, y) y ° := (O, O) en ~2 Dibujar los siguientes conjuntos en el plano:
a)
{P E ~2: dl(O, P):S; 1},
b) {P E ~2 : doo(O, P) :s; l}.

421. Capítulo 11 Una ojeada a la topología
Demostrar que una vecindad-E de un punto es un conjunto abierto en cualquier espacio
métrico.
lit Demostrar el teorema 11.4.11
H. Demostrar el teorema 1l.4.12.
12. Si
(S, d) es un espacio métrico, se dice que lID subconjunto A <;;; S está acotado si exis­
ten
Xo E S Y lID número B > O tales que A <;;; {x E S: d(x, xo) ::; B}. Demostrar que si A
es un subconjunto compacto de S, entonces A es cerrado y está acotado.

422. Las ciencias naturales se ocupan del de hechos y de la organización de los
mismos en un cuerpo coherente del saber para que el hombre entender la
naturaleza. las ciencias
se en gran medida a la observa-
al de información y a su clasificación. Esta clasificación llevó de
manera gradual a la formación
de diferentes a los investi-
gadores a recordar los hechos particulares
y a contar con la capacidad de
yen ocasiones de predecir, los fenómenos naturales. La meta última de la
de los científicos
es poder organizar su ciencia en una colección coherente de prin­
cipios y temías generales para que estos principios les pennitan tanto la compren­
sión
de la naturaleza como su aplicación para hacer predicciones del resultado de
futuros experimentos.
ASÍ, su intención es estar en posición de desarrollar un sis­
tema
de principios generales ( o axiomas) para su ciencia que les permita deducir
los hechos y consecuencias particulares a partir de estas leyes generales.
Las matemáticas son diferentes de otras ciencias: por su propia naturaleza,
se
trata de una ciencia deductiva. Esto no quiere decir que los matemáticos no
recaben hechos y hagan observaciones relacionadas con sus investigaciones. De
hecho, muchos matemáticos ocupan una gran cantidad de tiempo realizando los
cálculos
de casos especiales de los fenómenos que están estudiando con la espe­
ranza de descubrir unificadores". (El gran Gauss realizó una enonne
cantidad
de cálculos y estudió muchos datos numéricos antes de estar en posición
de formular una conjetura respecto
de la distribución de los números primos.) Sin
embargo, incluso
de formular estos y conjeturas, el trabajo se
encuentra lejos de haber concluido, pues los matemáticos no están satisfechos
hasta que las conjeturas se han deducido (es decir, demostrado) de los axiomas
de
las matemáticas, de las definiciones de los términos y de los resultados (teoremas)
que se han demostrado con anterioridad. Así, un enunciado matemático no es un
teorema hasta que se ha deducido cuidadosamente de axiomas, defu1iciones
y teo­
remas ya demostrados.
Cabe dedicar algunas palabras a los axiomas (es decir, postulados, supuestos,
etc.) de las matemáticas. Son pocos los axiomas que
se aplican a las matemáticas
en su totalidad
-los "axiomas de la teoría de conjuntos"- y hay axiomas espe­
cíficos dentro de las diferentes ramas de las matemáticas. En ocasiones, estos
axiomas se enuncian fonnalmente y en ocasiones se encuentran incluidos en las
definiciones. Por ejemplo, en el capítulo 2
se presentó una lista de propiedades que
se supone posee el sistema de los números reales; son en realidad un conjunto de
axiomas. Como un ejemplo más, la definición
de "grupo" en el álgebra abstracta
es básicamente un conjunto
de axiomas que se supone posee un conjunto de ele-
417

423. 8 Apéndice A Lógica y demostraciones
mentos y el estudio de la teoría de grupos es una de las consecuen-
cias de estos axiomas.
Quienes estudian análisis real por plimera vez por lo general no cuentan con
gran experiencia en la comprensión no mencionar la
de demos­
traciones. De hecho, uno de los propósitos principales de este curso
(y de este
libro) es ayudar al lector a adquirir éxperiencia en el pensamiento crítico que se
usa en este proceso deductivo. El propósito de este apéndice es ayudar a que el
lector adquiera un conocimiento más a fondo de las técnicas de las demostra­
CIones.
Todas las demostraciones y los razonamientos matemáticos se basan en n ... "",,,,,"_
las cuales son enunciados declarativos o cadenas de símbolos inteligibles
que pueden calificarse como verdaderos o falsos. No es necesario saber si una pro­
posición dada es en realidad verdadera o falsa, pero debe ser lo uno o lo otro y no
puede ser ambas cosas a la vez. (Éste es
el principio del medio excluido.) Por
ejemplo, el enunciado "Los pollos son bonitos" es una cuestión de opinión y no
una proposición en el sentido de
la lógica. Considérense los siguientes enun­
ciados:
Llovió en Kua1a Lumpur el 2 de junio de 1988.
Thomas Jefferson era más bajo de estatura que John Adams.
Los números primos gemelos son infinitos.
Este enunciado es falso.
Los tres primeros son proposiciones: el primero es verdadero, el segundo es falso
y el tercero es verdadero o falso, aunque en este momento no estamos seguros de
cuál es el caso. El cuarto emmciado no es una proposición; no puede ser verda­
dero ni falso porque lleva a conclusiones contradictorias.
Algunas proposiciones (como
"1 + 1 = 2") son siempre verdaderas; se les
llama
tautologías. Algunas proposiciones (como "2 = 3") son siempre falsas; se
les llama
contradicciones o faladas. Algunas proposiciones (como "x
2
= 1") unas
veces son verdaderas y otras son falsas (por ejemplo, es verdadera cuando
x = 1 Y
es falsa cuando
x = 3). Desde luego, para que la proposición sea totalmente clara,
es necesario que se haya establecido el contexto apropiado y que se haya definido
apropiadamente el significado de los símbolos (por ejemplo, en los ejemplos ante­
riores es necesario saber que se refieren a
la aritmética de enteros).
Se dice que dos proposiciones
P y Q son si P es verdadera
exactamente cuando
Q es verdadera (y por consiguiente, P es falsa exactamente
cuando
Q es falsa). En este caso se acostumbra escribir P == Q. Por ejemplo, se
escribe
ex es Abraham Lincoln) == (x es el dieciseisavo presidente de Estados Unidos)
Hay varias maneras diferentes de formar nuevas proposiciones a partir de pro­
posiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos.
Si
P es una proposición, entonces su negación es la proposición denotada por

424. Apéndice A Lógica y demostraciones 9
noP
que es verdadera cuando P es falsa y es falsa cuando P es verdadera. nota­
ción
común para la negación de P es --.P.) Reflexionando un poco, se determina
que
P== no(no
Éste es el
principio de la doble negación.
Si P Y Q son proposiciones, entonces su
tada por
PyQ
es la VIJ'JN',",'VH deno-
que es verdadera cuando tanto
P como Q son verdaderas y es falsa en los demás
casos.
(Una notación convencional para la conjunción de P y Q es P 1 Resulta
evidente que
(P y Q)
== (Q y P)
Del mismo modo, la de P y Q es la proposición denotada por
PoQ
que es verdadera cuando al menos una de las proposiciones P y Q es verdadera y
sólo es falsa cuando ambas son falsas.
En los documentos legales "o" con fre­
cuencia se denota
por "y/o" para aclarar que esta disyunción también es verdadera
cuando
tanto P como Q son verdaderas. (Una notación convencional para la dis­
yunción de P y Q es P v Q) También es evidente que
(P o Q)
== (Q o P)
A fin de contrastar las proposiciones disy¡.mtivas y las conjuntivas, adviértase que la
proposición
"2 < .Ji y.Ji < 3" es falsa, pero la proposición "2 <.Ji 0.Ji < 3"
es verdadera (ya que.Ji es aproximadamente igual a 1.4142· .. ).
Reflexionando un poco, se determina que la negación, la conjunción y la dis­
yunción están relacionadas por las leyes de De Margan:
no (P y Q) == (no P) o (no Q)
no (P o Q) == (no P) y (no Q)
La primera equivalencia puede ilustrarse considerando las proposiciones
P :x=2, Q:YE A.
La proposición (P y Q) es verdadera cuando tanto ex = 2) como (y E A) son verda­
deras, y
la proposición es falsa cuando al menos una de las proposiciones (x = 2)
Y
(y E A) es falsa; es decir, la proposición no (P y Q) es verdadera cuando al
menos una de las proposiciones (x *-2) Y (y ~ A) se cumple.

425. Apéndice A Lógica y demostraciones
Una manera muy importante de formar una nueva proposición a partir de propo-
siciones dadas es la (o denotada por
(P =? Q), (si P entonces Q) o (P implica Q).
Aquí a P se le llama la y a Q se le llama la conclusión de la implica­
ción. Para ayudar a entender los valores de verdad de
la implicación, considérese
la proposición
Si hoy me saco la lotería, entonces le voy a comprar un coche a Pedro.
Evidentemente, esta proposición es falsa si me saco la lotería y no le compro un
coche a Pedro. ¿Qué pasa si no me saco la lotería hoy? Bajo estas circunstancias,
no he hecho ninguna promesa acerca de comprarle un coche a nadie, y como
la
condición de ganar la lotería no se realizó, el hecho de no haberle comprado un
coche a Pedro no deberá considerarse como romper una promesa. Por tanto, la
implicación se considera verdadera cuando la hipótesis no se satisface.
En los razonamientos matemáticos, las implicaciones son motivo de gran
interés cuando la hipótesis es verdadera, pero no hay gran interés en ellas cuando
la hipótesis es falsa. El procedimiento aceptado es tomar la proposición
P =? Q
como falsa únicamente cuando P es verdadera y Q es falsa; en los casos restantes
la proposición
P =? Q es verdadera. (Por consiguiente, si P es falsa, entonces se
conviene en tomar la proposición
P =? Q como verdadera sin importar si Q es ver­
dadera o falsa. Esto podrá parecerle extraño al lector, pero resulta ser conveniente
en la práctica, además de ser consecuente con las demás reglas de la lógica.)
Se observa que la definición de
P =? Q tiene el equivalente lógico
no
(P y (no Q)),
ya que esta proposición sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es ver­
dadera en los demás casos. De la primera ley de De Morgan y del principio de la
doble negación también
se sigue que P =? Q es equivalente lógico de la proposición
(no
P) o Q,
ya que esta proposición es verdadera a menos que tanto (no P) como Q sean falsas;
es decir, a menos que
P sea verdadera y Q sea falsa.
Contrapositivo
y recíproco
Como un ejercicio, el lector deberá demostrar que la implicación
P =? Q es equi­
valente lógico de la implicación
(no
Q) =? (no P),
que se llama el contrapositivo de la implicación P =? Q. Por ejemplo, si P =? Q
es la implicación

426. Apéndice A Lógica y demostraciones
Si estoy en París, entonces estoy en
entonce.s el contrapositivo (no
es la UHOJUvUvl'-'H
Si no estoy en Francia, entonces no estoy en París.
La equivalencia
de estas dos proposiciones se pone de manifiesto después de refle­
xionar un poco. Al intentar establecer una implicación, en ocasiones
es más sencillo
establecer el contrapositivo, que
es su equivalente lógico. (Este hecho se ~""¡~"".~~,
con mayor detalle más adelante.)
Si
se da una implicación P => Q, entonces también se puede formar la propo­
sición
Q=>P,
a la que se llama el reciproco de P => Q. El lector deberá estar atento para no con­
fundir el recíproco
de una implicación con su contrapositivo, ya que son proposi­
cíones muy diferentes. Mientras que el contrapositivo es un equivalente lógico
de
la implicación dada, el recíproco no lo es. Por ejemplo, el recíproco de la propo­
sición
Si estoy en París, entonces estoy en Francia,
es la proposición
Si estoy en Francia, entonces estoy en París.
Puesto que es posible estar en Francia pero no en París,
es evidente que estas dos
proposiciones
no son equivalentes lógicos.
Hay una última manera de formar proposiciones que se mencionará aquí.
Se
trata de la doble implicación (o que se denota por
o
P si y sólo si Q,
y que se define por
(P => Q) y (Q => P).
Es un ejercicio directo demostrar que P <=? Q es verdadera precisamente cuando
P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.
Contexto
y cuautificadores
En cualquier forma de comunicación es importante que los individuos tengan un
contexto adecuado en mente. Proposiciones como "Hoy vi a María" pueden no ser
particularmente informativas si quien escucha conoce a varias personas de nombre
María. Del mismo modo, si alguien llega a la mitad
de una disertación matemá­
tica y ve la ecuación
x2 = 1 en el pizarrón, es conveniente que sepa qué entiende

427. Apéndice A Lógica y demostraciones
el por la literal x y el símbolo. x entero?
matriz?
natural?
grupo?
de un grupo dado? símbolo
función identidad? matriz identidad? ¿El
denota un nnm,"·~
trivial de un
Con frecuencia quienes en la discusión
de un tema conocen bien el
contexto, pero
es una buena idea establecerlo desde un Por
ejemplo, muchas proposiciones matemáticas incluyen una o más variables cuyos
valores por lo afectan el valor de verdad o falsedad
de las mismas, por 10
que debería aclararse cuáles son los valores posibles de las variables.
Con mucha frecuencia las proposiciones matemáticas
tales como "para todo", "para cualquier", "para alguna", "existe",
Por ejemplo,
se tener las proposiciones
Para todo entero
x, x2 = 1
y
Existe un entero x tal que = l.
Evidentemente la primera proposición es falsa, como se constata al tomar x = 3;
sin embargo, la segunda proposición es verdadera, ya que se puede tomar x = 1 o
x =-l.
Si se ha establecido el contexto de que se habla de enteros, entonces las pro­
posiciones anteriores
se pueden abreviar sin ambigüedades como
Para cualquier
x, x2 = 1
y
Existe x tal que x2 = l.
La primera proposición incluye el cuantificador universal "para toda", y en ella
se hace una afinnación (en este caso falsa) acerca de todos los enteros. La segunda
proposición incluye el cuantificador existencial "existe", y en ella
se hace una
afirmación (en este caso verdadera) acerca
de al menos un entero.
Estos dos cuantificadores ocurren con tanta frecuencia que los matemáticos
acostumbran usar el símbolo
'V para representar el cuantificador universal y el
símbolo :J para representar el cuantificador existencial. Es decir,
'V denota "para toda",
:J denota "existe".
Aun cuando en este libro no se usan estos símbolos,
es importante que el lector
sepa cómo leer las fórmulas donde aparezcan. Por ejemplo, la proposición
('Vx)(:JyK, + y = O) (i)
(entendida para enteros) puede leerse
Para todo entero
x, existe un entero y tal que x + y = O.

428. Apéndice A Lógica y demostraciones
(3y)('ífx)(x + y = O)
leerse
Existe un entero
y tal que para todo entero x, x + y = o.
dlÍ,erentes; por la es verdadera
.J~F;mH.m es falsa. La es que el orden en que aparecen los dos
diferentes de cuantificadores es
muy importante. También debe que si
una matemática con cuantificadores incluye varias se debe
suponer que los valores de las variables posteriores de los valores de las
variables que se mencionan en la proposición ante-
el valor de
y depende del valor de x; en este caso, si x = 2, entonces y = -2,
mientras que si x = 3, entonces y = -3.
Es que el lector sepa cómo hacer la negación de una
que incluya cuantificadores. En principio, el es simple.
a) Para demostrar que es falso que todo elemento x en algún conjunto posee
cierta propiedad
P, basta presentar un (es un elemento
particular en el conjunto que no posea dicha propiedad); y
Para demostrar que es falso que existe un elemento
y en algún que
satisface cierta propiedad
P, es necesario probar que ningún elemento yen el
conjunto tiene dicha propiedad.
Por lo tanto, en el proceso de formar una negación,
no
('ífx)P pasa a ser (3x) no P
y del mismo modo
no
(3y)P pasa a ser ('ífy) no P.
Cuando están presentes varios al11[1l1<CaClOres, estos cambios se usan '''!c'Cl1ua­
mente. ASÍ, la negación de la proposición
a ser, de manera sucesiva,
(verdadera) dada anteriormente pasa
no
('ífx) (3y) (x + y =
(3x) no (3y) (x + y =
(3x) ('ífy) no ex + y =
(3x) ('ífy) (x + y =f.
La última proposición se puede expresar en palabras como:
Existe un entero
x tal que para todo entero y, x + Y =f. O.
(Esta proposición es, desde luego, falsa.)
Del mismo modo, la negación de la proposición (ii) (falsa) dada anterÍoffi1ente
pasa a ser, de manera sucesiva,

429. Apéndice A Lógica y demostraciones
no (3y) (Vx) (x + y = O),
(Vy) no (Vx) (x + y = O),
(Vy) (3x) no (x + y = O),
(Vy) (3x) (x + y 7= O).
La última proposición puede expresarse en palabras como:
Para todo entero
y, existe un entero x tal que x + y 7= O.
Adviértase que esta proposición es verdadera y que el valor (o los valores) de x
que hace x + y 7= O depende de y, en general.
Del mismo modo, puede considerarse que la proposición
Para toda
o> O, el intervalo (-o, O)
contiene lID punto que pertenece al conjunto A,
incluye la negación
Existe
o> O tal que el intervalo (-8, O)
no contiene ningún punto que está en A.
La primera proposición puede simbolizarse como
(VO>0)(3yE A)(yE (-0,0»),
y su negación puede simbolizarse como
(38) O) (Vy E A) (y ~ (-8,0»
o como
(30) O) (A n (-o, O) = 0).
Es la firme opinión de los autores que, si bien el uso de este tipo de simbología
con frecuencia resulta conveniente,
no es un sustituto de la reflexión. De hecho,
los lectores ordinariamente deberán razonar por
sí mismos cuál es la negación de
una proposición y no confiar a ciegas en la simbología. Aun cuando una notación
y simbología convenientes con frecuencia pueden ser un útil auxiliar para el razo­
namiento, nunca pueden ser un sustituto adecuado del pensamiento y la compren­
sión.
Demostraciones directas
Sean P y Q proposiciones. Al afirmar que la hipótesis P de la implicación P :::} Q
implica la conclusión Q (o que P:::} Q es un teorema) se afirma que siempre que
la hipótesis P es verdadera, entonces Q es verdadera.
La construcción
de una demostración directa de P :::} Q requiere la construc­
ción de una cadena
de proposiciones R¡, Rb .. " Rn tal que

430. Apéndice A Lógica y demostraciones
(La ley del silogismo establece que si RI ~ R
2
Y R
2
~ R3 son verdaderas, entonces
R I ~ R3 es verdadera.) Esta construcción no suele ser una tarea ~""'H-,'Ha.,
requerir intuición y considerable esfuerzo. Con frecuencia requiere también expe­
riencia y suerte.
Al construir una demostración directa, con frecuencia se trabaja hacia delante
a partir de
P y hacia atrás a partir de Q. Nos interesan las consecuencias
de es decir, las proposiciones
QI, ... , Qk tales que P ~ Q¡. y también se
podrían examinar las proposiciones
PI, ... , Pi" tales que p) ~ Q. Si se tra-
bajar hacia delante a partir de
P y hacia atrás a partir de Q de tal modo que la
cadena "se conecte" en alguno de los pasos intermedios, entonces se tiene una
demostración. Con frecuencia en el proceso de intentar establecer
P ~ Q uno se
encuentra con que es necesario fortalecer la hipótesis (es decir, agregar supuestos
a
P) o debilitar la conclusión (es decir, reemplazar a Q por una consecuencia que
no sea equivalente a
Q).
La mayoría de los estudiantes están familiarizados con las demostraciones
"directas" del tipo descrito arriba, pero daremos aquí un ejemplo elemental. Se
demuestra el siguiente teorema.
Teorema JI. El cuadrado de un entero impar también es un entero impar.
Si se hace que n simbolice un entero, entonces la hipótesis es:
P : n es un entero impar.
La conclusión del teorema es:
Q : n
2
es un entero impar.
Se necesita la definición de entero impar, por lo que se introduce
la proposición
R I : n = 2k -1 para algún entero k.
Se tiene entonces P ~ R l. Quiere deducirse la proposición n
2
= 2m -1 para algún
entero
m, ya que ésta implicaría Q. Se puede obtener esta proposición usando el
álgebra:
R 2 : n
2
= (2k - 1)2 = 41~ -4k + 1,
R 3 : n
2
= (4k
2
-
4k + 2) -1,
R4 : n
2
= 2(21~ -2k + 1) -1.
Si se hace m = 2k
2
-
2k + 1, entonces m es un entero (¿por qué?) y se ha deducido
la proposición
Rs : n
2
= 2m -l.
Por tanto, se tiene P ~ RI ~ R
2
~ R3 ~ R4 ~ Rs ~ Q y el teorema queda
demostrado.

431. Apéndice A Lógica y demostraciones
Desde luego, ésta es una manera de una demostración.
Normalmente, la lógica fonual
se omite y el razonamiento se da en un estilo más
literario, con enunciados en lenguaje común.
La demostración anterior.puede rees­
cribirse en un estilo más satisfactorio
de la siguiente manera.
Demostración del teorema 1 Si n es un entero impar, entonces n = 2k -1 para
algún entero
k. Entonces el cuadrado de n está dado por n
2
= 4k
2
-
4k + 1 =
2(2k
2
-
2k + 1) -L Si se hace m = 27(2 -2k + 1, entonces m es un entero (¿por qué?)
y
n
2
= 2m -l. Por lo tanto, n
2
es un entero impar. Q.E.D.
En este punto tal vez se quiera'hacer un razonamiento preliminar para demos­
trar que
2k
2
-
2k + 1 es un entero siempre que k es un entero. En este caso, este
hecho podría plantearse y demostrarse como un que generalmente
es un
resultado preliminar necesario para la demostración
de un teorema, pero que por
sí mismo es de poco interés.
Dicho sea de paso, las letras "Q.E.D."
se refieren a quod erat demonstrandum,
expresión en latín que significa "lo que se quería demostrar".
Demostraciones indirectas
Hay básicamente dos tipos de demostraciones indirectas: (i) las demostraciones
por el contrapositivo y (ii) las demostraciones por reducción al absurdo. Los dos
tipos
de demostraciones se inician con el supuesto de que la conclusión Q es falsa,
en otras palabras, que la proposición "no
Q" es verdadera.
(i) Demostraciones por el En lugar de demostrar P =:} Q,
puede probarse su equivalente lógico: no Q =:} no P.
Considérese el teorema:
Teorema 2
Si n es un entero y n
2
es par, entonces n es par.
La negación de "Q : n es par" es la proposición "no Q : n es impar". La hipó­
tesis
"P : n
2
es par" tiene una negación similar, por lo que el contrapositivo es la
implicación: si
n es impar, entonces n
2
es impar. Pero éste es exactamente el teo­
rema
1, el cual se demostró anteriormente. Por lo tanto, con esto el teorema 2
queda demostrado.
La demostración por el contrapositivo suele ser conveniente cuando el cuanti­
ficador universal está presente, ya que la
fOnTIa contrapositiva incluirá entonces el
cuantificador existencial. El siguiente teorema es un ejemplo de esta situación.
Teorema 3
Sea a ;::: O un número real. Si para toda E > O se tiene O :::; a < E,
entonces a = O.
Demostración. Si a = O es falsa, entonces, como a ;::: O, debe tenerse a > O. En
este caso, si
se escoge 80 = ~ a, se tiene entonces 80 > O Y 80 < a, de donde la hipó­
tesis
O :::; a < 8 para toda 8 > O es falsa. Q.E.D.
Se presenta a continuación un ejemplo más de una demostración por el con­
trapositivo.

432. Apéndice A Lógica y demostraciones
Teorema 4 Si ll1, n son números naturales tales que m + n ;::
011;:: 100
entonces o ;:: 10
Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces debe tenerse tanto m < 10 como
n
< 100 (Recuérdese la ley de De Entonces al sumar las dos desigual-
dades se obtiene
m + 11 < 10 + 10 == por lo que la es falsao Q.Kn
Demostración por reducción al absurdo Este método -le demostración
hace uso del hecho de que si
e es una contradicción (es
ción que siempre es falsa, tal como
"1 == entonces las dos pn)p()SIClcme:s
(P y (no Q»)::::}
son equivalentes lógicos o Por tanto, P ::::} Q se establece demostrando que la
proposición y (no
Q) implica una contradiccióno
Teorema 5 Sea a > O un número rear Si a> 0, entonces l/a> 00
Demostración. Se supone que la proposición a > O es verdadera y que la propo­
sición
l/a > O es falsao ASÍ, l/a s 00 Pero como a > O es verdadera, de las pro­
piedades de orden de
IR se sigue que s 00 Puesto que 1 == se infiere
que 1
s 00 Sin embargo, esta conclusión contradice el resultado conocido de que
1>00 QEon
Hay varias demostraciones clásicas por reducción al absurdo (conocidas tam­
bién como
reductio ad absurdum) en la literatura matemáticao Una de ellas es la
demostración de que no existe ningún número racional
r que satisfaga ¡2 == 20 (Éste
es el teorema
201 A en el texto o ) Otra es la demostración del carácter infinito de los
números primos, la cual se encuentra en los
Elementos de Euclideso Recuérdese
que
un número natural P es primo si sus únicos divisores enteros son 1 y po Se su­
pondrán los resultados básicos de que todo número primo es mayor que 1
y que
todo número natural mayor que
loes primo o es divisible por un número primo o
Teorema 6 (Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 200) Hay una infi­
nitud de números primoso
Demostración. Si se supone por el contrario que los números primos son finitos,
entonces puede suponerse que S
== {PI, o o o, Pn} es el conjunto de todos los nú­
meros primos o Se hace
m == PI o o o Pm el producto de todos los primos, y se hace
q == m + lo Puesto que q > Pi para toda i, se observa que q no está en S y, en con­
secuencia, que
q no es un número primo o Entonces existe un primo P que es di­
visor de
qo Puesto que P es primo, entonces P == Pj para alguna j, por lo que P es
un divisor de
m. Pero si P divide tanto a m como a q == m + 1, entonces P es divisor
de la diferencia
q -m == L Sin embargo, esto es imposible, por lo que se ha lle­
gado a una contradicción o
QEDo

433. Se establecerán los resultados que se enunciaron sin demostración en la sección
1.3. El lector deberá remitirse a dicha sección para las definiciones.
Al primer resultado se le llama en ocasiones el "principio del palomar". Puede
interpretarse diciendo que si
m palomas se ponen en n casillas de un palomar y
m > n, entonces al menos dos palomas deben compartir una de las casillas. Se trata
de un resultado de uso frecuente en análisis combinatorio que da lugar a varias
consecuencias útiles.
B.l Teorema Sean m, n E N con m > n. Entonces no existe una inyección de
N
m en N
n
.
Demostración. La demostración se hará por inducción matemática respecto a n.
Si n = 1 Y Si g es cualquier mapeo de N
m
(m > 1) en N¡, entonces es evidente
que
g(l) = ... = g(m) = 1, por lo que g no es inyectiva.
Suponer que
k> 1 es tal que si m > k, no hay ninguna inyección de N
m
en N
lc
Se demostrará que si m > k + 1, entonces no hay ninguna función h : N¡¡¡ -7 N
k
+
l
que sea una inyección.
Caso 1: Si elcodominio h(N
m
)
~ N
k e N
k
+
l
,
entonces la hipótesis de inducción
implica que
h no es una inyección de N
I11
en N
k
y, por 10 tanto, tampoco en Nk+l.
Caso 2: Suponer que h(N
m
)
no está contenido en NJc Si más de un elemento
de
N
I11
se mapea en k + 1, entonces h no es una inyección. Por lo tanto, puede
suponerse que
una sola p E N
m
es mapeada en k + 1 por h. Se define ahora ,¡
h¡ : N
m-¡ -7 N
k por
h():={h(q)
1 q h(q+l)
siq=l,···,p-l,
si q = p, ... , m - 1.
Puesto que la hipótesis de inducción implica que h¡ no es una inyección en NI" es
inmediato ver que h no es una inyección en N
k
+ l' Q.E.D.
Se demuestra a continuación que un conjunto finito determina un número
único en
N.
1.3.2 Teorema de unicidad Si S es un conjunto finito, entonces el número de
elementos en
S es un número único en N.
429
li

434. Apéndice B Conjuntos finitos y contables
Demostración. Si el existe tIDa de Nn¡
en S. Si S también tiene n de N
I1l
en S. Si m > n,
entonces (por el ejercicio 19 de la sección 1.1) o h es una biyección de N
m en
NI1' lo que contradice el teorema Rl. Si n > m, entonc~s f;-l o 1; es una biyección
de
N
n
en N
m
,
lo que contradice el teorema Rl. Por lo tanto, debe tenerse m = n.
Q.E.D.
B,2 Teorema Si n E N, no existe una inyección de N en N
u
.
Demostración. Suponer que 1 :. N ---7 N
n
es una y sea m := n + l.
Entonces la restricción de 1 a N
m
e N también es una inyección en N
n
.
Pero esto
contradice el teorema
Rl. Q.E.D.
1.3.3 Teorema El conjunto N de los números naturales es un conjunto infinito.
Demostración.
Si N es un conjunto finito, existe alguna n E N y una biyecciónl
de N
n en N. En este caso, la función inversa 1-
1
es una biyección (yen consecuencia
es una inyección) de
N en Nn-Pero esto contradice el teorema R2. Q.E.D.
A continuación se establece el teorema 1.3.8 definiendo una biyección de N x N
en N. Se obtendrá la fórmula explícita para el procedimiento de conteo de N x N que
se muestra en la figura 1.3.1; el lector deberá remitirse a dicha figura durante el
análisis siguiente.
El conjunto N x N se considera como una colección de diago­
nales; la primera diagonal tiene 1 punto, la segunda tiene 2 puntos,
... , y la k-ésima
diagonal tiene
k puntos. Con base en el ejemplo l.2.4a, el número total de puntos en
las diagonales
1 a la k está dado entonces por
lfICk):= 1 + 2+···+ k = ±kCk+ 1).
El hecho de que lfI es estrictamente creciente se sigue por inducción matemática y
lfI(k + 1) = lfICk) + (k + 1) para k EN. (1)
El punto (m, n) en N x N está en la k-ésima diagonal cuando k = m + n -1, Y
es el m-ésimo punto en esa diagonal cuando se avanza hacia abajo de izquierda a de­
recha. [Por ejemplo, el punto (3, 2) está en la cuarta diagonal (ya que 3
+ 2 - 1 =
Y es el tercer punto en esa diagonaL] Por lo tanto, en el procedimiento de conteo
que se ilustra en la figura 1.3.1, el conteo del punto
(m, n) se hace contando pri­
mero los puntos
en las primeras k -1 = m + n -2 diagonales y sumando después
m. De acuerdo con este análisis, la función de conteo h : N x N ---7 N está dada por
hCm,n):= lfICm + n -2) + m para Cm,n)ENxN. (2)
[Por ejemplo, el punto (3, 2) se cuenta como el número
h(3, 2) = lfI(5 - 2) + 3 =
lfI(3) + 3 = 6 + 3 = 9, como en la figura 1.3.1. Asimismo, el punto (17, 25) se
cuenta como el número
h(l7, 25) = lfI(40) + 17 = 837.] Aun cuando este razona­
miento geométrico
ha sido sugerente y ha llevado a la fórmula de conteo (2), es
necesario demostrar que
h es en realidad una biyección de N x N en N.

435. Apéndice B Conjuntos finitos y contables
3.8 Teorema El N x N es enumerable.
Se demostrará que la función h definida en
a) Se demostrará que
h es Si n) F
m+nFm' +
mula
m + n = m' + nI y m F m'.
suponerse que m + n < m' + n'. "-"u'va .... "'''
que l¡f es creciente y m' > 0, se tiene
n) = +n-+m:S;
+ n -1):S;
< +n
l
-2)+
+ - + +n-l)
+n
l
-2)
En el caso si In + n = m' + n' y m F m', entonces
-m= +n-2)=
de donde n) F
b) Ahora se demuestra que h es suprayectiva.
entonces
al usar la fór-
Evidentemente,
h(1, 1) = 1. Si p E N con p ;::: 2, se encontrar un par
(mp' np) E N x N con h(mp' np) = p. Puesto que p < l¡f(p), entonces el conjunto
Ep := {k E N: p:S; l¡f(k)} es no vacío. Utilizando la propiedad del buen orden 1.2.1,
se hace que
kp > 1 sea el último elemento en Ep' (Esto significa que p está en la
kp-ésima diagonal.) Puesto que p ;::: 2, de la ecuación (1) se sigue que
l¡f(k -1) <p:S;l¡f(k )=l¡f(k -l)+k .
p p p p
Sea mp := p -l¡f(kp -1) de tal modo que 1 :s; mp :s; kp' Y sea np := kp -mp + 1 de
taImodo que 1 :s; np :s; kp Y mp + np -1 = k
l1
• Por lo tanto,
En consecuencia, h es una biyección y N x N es enumerable. Q.E.D.
El siguiente resultado es crucial para demostrar los teoremas 1.3.9 y 1.3.10.
BoJ Teorema Si A <;;;; N Y A es infinito, existe una función rp : N --7 A tal que
<p(n + 1) > <p(n);::: n para toda n E N. Además, <p es una biyección de N en A.
Demostración. Puesto que A es infinito, es
no ·vacío. Se usará la propiedad del
buen orden 1.2.1 de N para presentar una definición recursiva de rp.
Puesto que A F 0, existe al menos un elemento de A, el cual se define como
rp(l); por lo tanto, rp(l) ;::: 1.
Puesto que A es infinito, el conjunto Al := A\{ rp(l)} es no vacío y se define rp(2)
como el elemento mínimo de A]. Por lo tanto, rp(2) > rp(l) ;::: 1, por lo que rp(2) ;::: 2.
Suponer que
rp se ha definido de tal modo que satisface rp(n + 1) > rp(n) ;::: n
para n = 1, .. " k -1, de donde rp(k) > rp(k-1);::: k-1, por lo que rp(k);::: k. Puesto
que el conjunto A es infinito, el conjunto
Ak := A {rp(l),"', rp(k)}

436. Apéndice B Conjuntos finitos y contables
es no vacío y se define ({Y(k + 1) como el elemento mínimo de Por lo
({Y(k + 1) > ({Y(k) Y como ({Y(k) ¿ k, se tiene también ({Y (k + 1) ¿ k+ 1. Por lo
está definida en la totalidad de N.
Se afirma que ({Y es una inyección. Si m > n, entonces m = n + r para alguna
rE N. Si r = 1, entonces ({Y(m) ({Y(n + 1) > ({Y(n). Suponer que ({Y(n + k) > ({Y (n);
se demostrará que ({Y(n + (k + 1» > ({Y (n ). De hecho, esto se sigue del hecho de que
({Y (n + (k+ 1» = ({Y((n + k) + 1) > ({Y(n + k) > ({Y (n). Puesto que ({Y(m) > ({Y(n) siempre
que m
> n, se sigue que ({Y es una inyección.
Se afirma que
qy es una suprayección de N en A. De no ser aSÍ, el conjunto A :=
A\qy(N) es no vacío, y se hace quep sea el elemento mínimo en A. Se afirma que p
pertenece al conjunto { qy(l),
... , qy(P)}. De hecho, si esto no se cumple, entonces
P E A {qy(l), ... , qy(p)} = A
p
'
por lo que ({Y(P + 1), al ser el último elemento en A
p
,
debe satisfacer qy(p_ + 1) ::; p.
Pero esto contradice el hecho de que qy(p + 1) > qy(P) 2 p. Por lo tanto, A es vacío
y
qy es una suprayección en A. Q.E.D.
BA Teorema Si A ~ N, entonces A es contable.
Demostración.
Si A es finito, entonces es contable, por lo que basta considerar el
caso en que
A es infinito. En este caso, el teorema B.3 implica que existe una
biyección
qy de N en A, por lo que A es enumerable y, en consecuencia, contable.
Q.E.D.
1.3.9 Teorema Suponer que S y T son conjuntos y que T ~ S.
a) Si S es un conjunto contable, entonces T es un conjunto contable.
Si
T es un conjunto incontable, entonces S es un conjunto incontable.
Demostración.
a) Si S es un conjunto finito, del teorema 1.3.5a se sigue que T
es finito y, por lo tanto, contable. Si S es enumerable, entonces existe tilla biyec­
ción lfíde
S en N. Puesto que lfí(S) ~ N, el teorema B.4 implica que lfí(S) es con­
table. Puesto que
la restricción de lfí a T es una biyección en lfí(T) y lfí(T) ~ N es
contable, se sigue que T también es contable.
b) Esta afirmación es el contrapositivo de la afirmación hecha en el inciso
a).
Q.E.D.

437. Se presentan aquí las demostraciones de los criterios de Riemann y Lebesgue para
que
una función sea Riemann integrable. Se aborda primero el criterio de Rie­
mann, el cual es interesante en sí mismo y lleva al agudo criterio de Lebesgue.
Col Criterio de de Riemann Sea f: [a, b] -7 lR una fimción
acotada. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) fE R[a, b].
Para toda E > O existe una partición PE: tal que si P
1
, P
2
son particiones eti­
quetadas cualesquiera que tienen los mismos subintervalos que
PE:' entonces
(1)
e) Para toda E > O existe una partición p. = {I) ~=l = {[Xi_l'X
i
]} ~~l tal que si mi :=
ínf{f(x) : x E Ii} Y Mi := sup{f(x) : x E Ii}, entonces
(2)
Demostración. a) =? b) Dada E> O, sea 1]E: > O como en el criterio de Cauchy
7.2.1 Y sea
PE: cualquier partición con /IP E: /1 < 1]E:. Entonces si PJ, P
2 son parti­
ci~)l1es etiquet~das cualesquiera con los mismos subintervalos que PE:' entonces
/IP1/l < 1]E: Y /IP211 < 1]E:' por lo que (1) se cumple.
b)
=? c) Dada E > O, sea p. = {I¡} ;~l una partición como en el inciso b) Y sean
mi Y Mi como en la afirmación del inciso c). Puesto que mi es un ínfimo y Mi es
un supremo, existen los plmtos ui Y Vi en Ii con
M
E f()
y ¡-2(b-a) < v¡,
por lo que se tiene
para i = 1, ... , n.
Si estas desigualdades se multiplican por (xi -xi-l) Y se ¡suman, se obtiene
433

438. Apéndice e Los criterios de Riemann y Lebesgue
-m.
¡
)< )-
i=l i=1
Se hace Ql:= {(Ii'U)(¡ y Q2 := {(Ii'V)(l' de tal modo que estas particiones
etiquetadas tienen los mismos subintervalos que
PE. Asimismo, la suma del lado
derecho
de la desigualdad es igual a S(f; Q2) - Q¡). En consecuencia, de
se sigue que se cumple la desigualdad (2).
c) =? a) Se definen las funciones escalonadas u
E
Y OJ
E
en [a, b] por
y
y uE(x¡) := f(x;) := OJE(xi) para i = 0, 1, ... , n; entonces uE(x) <;'f(x) <;, OJE(x) para
x E [a, b]. Puesto que u
E
Y OJ
E
son funciones escalonadas, son Riemann integrables y
u =
E
i=l
Se sigue por lo tanto que
Si se aplica se tiene que
i=l
OJ =
e
Puesto que [O> ° es arbitraria, el teorema de compresión implica que f E R[ a, b].
Q.E.D.
Se ha visto ya que toda función continua en [a, b] es Riemann integrable. En
el ejemplo 7.1.6 se vio también que la función de Thomae es Riemann integrable.
Puesto que la función de Thomae tiene un conjunto contable de puntos de discon­
tinuidad, es evidente que
la continuidad no es una condición necesaria para la inte­
grabilidad de Riemmlli.
De hecho, tiene sentido preguntar "qué tan discontinua"
puede ser una función
y, no obstante, seguir siendo Riemal1l1 integrable. El criterio
de Riemann arroja algo de luz en cuanto a esta pregunta al demostrar que las
sumas de la forma (2) deben ser arbitrmiamente pequeñas. Puesto que los térmi­
nos
(Mi -m¡)(x¡ -X¡-l) en esta suma son todos 2 0, se sigue que cada uno de estos
términos debe ser pequeño.
Un término como éstos será pequeño si: (i) la dife­
rencia
M¡ -m¡ es pequeña (que será el caso si la función es continua en el inter­
valo
[x¡_ ¡, Xi D, o si (ii) un intervalo donde la diferencia Mi -mi no es pequeña tiene
longitud pequeña.
El criterio de Lebesgue, el cual se examina a continuación, hace más precisas
estas ideas. Pero antes es conveniente contar con
la noción de oscilación de una
función.

439. Apéndice e Los criterios de Riemann y Lebesgue
C.Z Definición Seaf: A ---7 IR una función acotada. Si S <:;;; A <:;;; IR, la U~\;H¡¡l¡;HJ
S se define como
S) := sup {If(x) -f(y)1 : x, y E
Es inmediato ver que también puede escribirse
W(f;S) = sup{f(x)-f(y): x,y E S}
= sup{f(x): x E S}-inf {f(x): x E S}.
También es trivial que si S <:;;; T <:;;; A, entonces
O::; W(f;S)::; W(f;T)::; 2 ·sup{lf(x)l: x E A}.
Si r > O, recordar que la vecindad-r de e E A es el conjunto
Vr(e):= {x E A: lx-el < r}.
C.3 Definición Si e E A, la oscilación de f en e se define por
w(f;e):= inf {W(f;V(e»: r > O} = lím W(f;V(e».
f r......¡.O+ r
(4)
Puesto que
r 1---+ W(f; V¡.(e)) es una función creciente para r > O, este límite por la
derecha existe y es igual al ínfimo indicado.
CA Lema Si f: A ---7 IR está acotada y c E A, entonces f es continua en c si y
sólo si la oscilación w( f; c) = O.
Demostración. (=» Sifes continua en e, dada E> O existe 8> O tal que six E V¡.(e) ,
entonces If(.,¡;) -f(e)1 < El2. Por lo tanto, si x, y E Vr(e), se tiene If(x) -f(Y)1 < E,
de donde O::; w(f; e)::; W(f; V/e))::; E. Puesto que E> O es arbitraria, esto implica
que
w(f; e) = O.
( {:=) Si w(f; e) = O Y E> 0, entonces existe s > O con W(f; Vi e)) < E. Por tanto,
si
Ix -el < s, entonces If(x) -fCe)1 < E, Y fes continua en e. Q.E.D.
Se presentan a continuación los detalles de la demostración del criterio de inte­
grabilidad de Lebesgue. Se recuerda primero la enunciación del teorema.
Criterio de integrabil.idad de Lebesgue Una fitnción acotada f: [a, b] ---7 IR es
Riemann integrable si
y sólo si es continua casi en todas partes en [a, b].
Demostración. (=» Sea E > O que está dada y, para toda k EN, sea Hk := {x E
[a, b] : w(f; x) > 1I2
k
}. Se demostrará que Hk está contenido en la unión de un
número finito de intervalos que tienen longitud total < El2k.
P 1
. . d R· . .
., 'Tl {[ le k ]}n(k) 1 . k
or e cnteno e Iemann, eXIste una partlclOn r
k
= X
i
_
1
, Xi i~1 ta que SI mi
(o bien M:') es el ínfimo (o bien el supremo) de f en el intervalo [<1' x:' ], entonces

440. Apéndice e Los criterios de Riemann y Lebesgue
k
-m ..
1
Si una sumatoria sobre aquellas i con Hk n (x;~" x;) *-0 se denota por 1.', entonces
de donde se sigue que
,
k)( Ir k) < /4k
-mi -\_, _E ,
i=l
(
Ir k) < /2k
Xi -Xi-! _E .
Puesto que Hk difiere de la unión de los conjuntos Hk n (x;' -<,) por a lo sumo un
número finito de los puntos de partición, se concluye que
Hk está contenido en la
unión de un número finito
de intervalos de discontinuidad con longitud total < E/2
k
.
Por último, puesto que
D:= {x E [a, b] : w(f; x) > O} = U :,H
k
, se sigue que
el conjmlto
D de los puntos de discontinuidad de j E n[ a, b] es un conjunto nulo.
(<=) Sea I j(x) I s M para x E [a, b] y suponer que el conjunto D de los puntos de
discontinuidad
de j es un conjunto nulo. Entonces, dada E > O, existe un conjunto
contable
{Jk}:' de intervalos abiertos con D ~ U:, J
k y 1.:1 I(J
k
) < E/2M.
Siguiendo a R. A Gordon, se definirá una medida sobre [a, b] que resultará de uti­
lidad.
i) Si t II D, entonces j es continua en t y existe b(t) > O tal que si x E V8(t)(t)
entonces Ij(x) -j(t)1 < E/2, de donde
ii) Si t E D, se elige b(t) > O tal que V8(t) ~ J
k para alguna k. Para estos valores
de
t, se tiene O s Mt -mt S 2M.
Por tanto, se
ha definido una medida b sobre [a, b]. Si P= {([XH,Xi],t)(, es
una partición fina-b de
[a, b], se separan los índices i en los dos conjuntos dis­
juntos
Si
Pes fina-b, se tiene [Xi-), x¡] ~ VdU/t¡), de donde se sigue que Mi -mi S M
ti
-
mt· Por consiguiente,
si i E So entonces Mi -mi S E, en tanto que si i E Sd se tiene
M; -mi S 2M. Sin embargo, la colección de intervalos [xi-!, Xi] con i E Sd está
contenida en
la unión de los intervalos {J
k
} cuya longitud total es < E/2M. Por lo
tanto,

441. Apéndice e Los criterios de Riemann y Lebesgue
::s; E(b-a)+2M . (E/2M) ::s; E(b-a+ 1).
Puesto que E> O es arbitraria, se concluye que f E R[ a, b]. Q.E.D.
/

442. Se darán aquí las demostraciones de los teoremas 7.4.3, 7.4.6 Y 7.4.8. No se repe­
tirá la enunciación de estos resultados, y se usará la notación introducida
en la sec­
ción 7.4 y se hará referencia a las ecuaciones numeradas en ella. Se verá que se
hace uso de algunos resultados importantes de los capítulos 5 y 6 en estas demos­
traciones.
Demostración del teorema 7.4.3. Si k == 1,2, ... , n, sea ak :== a + (k -l)h Y sea
que
(j)k : [O, h] ---t lR. esté definida por
ak+t
(j)/t):== tt[f(a
k
)
+ j(a
k
+t)]- j(x)dx
para t E [O, h]. Adviértase que (j)iO) == O Y que (por el teorema 7.3.6)
q;; (t) == Hj(a
k
)
+ j(a
k
+t)]+tt1'(a
k
+t)-j(a" +t)
==tU(a
k
)-j(a
k
+ t)]+ tt1'(a
k
+t).
Por consiguiente, (j)liO) == O Y
q;;Ct) == -t 1'(a
k
+ t) + t l' (a
k
+ t)+ttj"(a
k
+ t)
== ttj"(a
k
+t).
Ahora sea que A, B estén definidos por
A:== ínf {j"(x): x E [a,b]}, B:== sup{j"(x): x E [a,b]}
de modo que se tiene tAt:S; (j)'k(t) :s; tBt para t E [O, h], k == 1,2, ... , n. Al integrar
y aplicar el teorema 7.3.1, se obtiene (ya que
qf¡c(O) == O) que ±At2 :s; (j)Íc(t) :s; ± Bt
2
para
t E [O, h], k == 1, 2, ... , n. Al integrar de nuevo y tomar t == h, se obtiene (ya que
(j)k(O) == O) que
..l..Ah
3
< al (h) < ..l..Bh
3
12 - 't'k -12
para k == 1, 2, ... , n. Si se suman estas desigualdades y se observa que
k=1

443. 440 Apéndice D Integración aproximada
3 fb 3
se concluye que A-Ah n S, T
n
(f) -a f( x) dx S, A-Bh n. Puesto que h = (b -a )/n, se
tiene
Puesto que
fN es continua en [a, b], de las definiciones de A y B Y del teorema del
valor intermedio de Bolzano 5.3.7 se sigue que existe un punto
C en [a, b] tal que
la ecuación (4) de la sección 7.4 se cumple.
Q.E.D.
Demostración del teorema 7.4.6. Si k = 1, 2, .. " n, sea ck:= a + (k - ~)h Y sea
que
lfIk: [O, ~h] -7lR esté definida por
para t E [O, ~h]. Adviértase que lfIk(O) = O Y que como
se tiene
lfI;(t)= f(c
k
+t)-f(c
k
-t)(-l)-2f(c
k
)
= [j(c
k
+ t)+ f(c
k
-
t)] -2f(c
k
).
Por consiguiente, lfIÍc (O) = O Y
lfI~(t) = j'(c
k
+ t) + j'(c
k
-
t)(-1)
= j'(c
k
+ t) -j'(c
k
-
t).
Por el teorema del valor medio 6.2.4, existe un punto ck t con ICle -Cle ti < t tal que
lfIí:(t) = 2tf"(cle, t). Si se hacen A y B como en la demo¿tración del te~rema 7.4.3,
se tiene
2tA s, lfIí:(t) s, 2tB para t E [O, h/2], k = 1, 2, .. " n. Se sigue como antes
que
para toda t
E [O, ~h], k= 1, 2, .. " n. Si se hace t = ~h, se obtiene
Al sumar estas desigualdades y observar que

444. Apéndice D Integración aproximada
se concluye que
b
s:; f(x)dx-(f) S:;-f¡Bh
3
n.
Si se usa el hecho de que h = (b - y se el teorema del valor intermedio
de Bolzano 5.3.7
af" en [a, b], se concluye que existe un punto rE [a, b] tal que
(7) de
la sección 7.4 se cumple. Q.E.D.
Demostración teorema 7.4.8. Si k= 0,1,2, .. " %n -1, sea ck:= a + (2k+
Y sea que
qJk: [O, h] ---7.IR esté definida por
ck+f
q(t):= it[f(ck -t) + 4 f(c
k
)
+ f(c
k
+ t)]-f(x)dx.
Evidentemente, qJkeO) = ° y
por lo que qf¡e(O) = ° Y
qJ;(t) = it[f"(c
k
-
t) + f"(c
le
+ 1)]-i[ -¡'(c
le
-t) + ¡'(c
k
+ t)],
por lo que qfÍc(O) = ° y
Por consiguiente, del teorema del valor medio 6.2.4 se sigue que existe
fíe t con
ICk -fí" ti s:; t tal que qf¡(t) = ft2 f(4)(fíc, t). Si se hace que A y B estén definid~s por
A:= ínf {¡<4)(X): x E [a,b J} y B:= SUp{¡<4)(X): x E [a,b J},
entonces se tiene
para
t E [O, h], k = 0, 1, "', ~n -1. Así, después de tres integraciones, esta
desigualdad pasa a ser
para toda
t E [O, h], k = 0, 1, .. " ~n -l. Si se hace t = h, se obtiene
-.l Ah
5
s:; qJ (h) s:; _1 Bh
5
90 k 90
para k = 0, 1, .. " fn -l. Si se suman estas ~n desigualdades y se observa que
t
n
-1
LqJk(h)=S/f)-
k~O
b
f(x)dx,

445. Apéndice D Integración aproximada
se que
Puesto que
h = (b -a)/n, del teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.7
cado
af(4l) se sigue que existe un punto e E [a, b] tal que la relación (10) de la
sección 7.4 se cumple.
Q.E.D.

446. En este apéndice se presenta un ejemplo de una función continua que no tiene
derivada en ningún punto y de una curva continua en
IR.
2
cuyo codominio contiene
el cuadrado unitario completo de
IR.2. En ambas demostraciones se usa el criterio
M de Weierstrass 9.4.6.
Una función continua que no es derivable en
El ejemplo que se presenta es una modificación del que construyó B. L. van der
Waerden
en 1930. Sea que Jo : IR. ~ IR. esté definida por Jü(x) := dist(x,
ínf{lx -
kj : k E Z}, por lo quejo es una función continua con forma de "diente de
sierra" que consta de rectas con pendiente
±l en los intervalos [k/2, (k + 1 )/2],
k E Z. Para toda m E N, seaJm(x) := (l/4
111
)fo(4
I11
x), por lo quef,n también es una
función continua con forma de diente de sierra cuya gráfica consta de rectas con
pendiente
±l y conO -s,Jm(x) -s, 1/(2 . 4
111
). (Véase la figura E.l.)
~fo
o
16 4 2 4
Figura E.l Gráficas de foJj y f2.
Se define ahora g : IR. ~ IR. por g(x) := I. ':=a J,ll(x). El criterio M de Weierstrass
implica que la serie es uniformemente convergente en
IR.; en consecuencia, g es
continua en IR.. Se demostrará a continuación que g no es derivable en ningún
punto de
IR..
Sea x E IR.. Para toda n E N, sea h
n
:= ±1/4" + 1, donde el signo se elige de tal
modo que tanto
4
n
x como 4
n
(x + h
n
)
estén en el mismo intervalo [k/2, (k + 1)/2].
Puesto quefo tiene pendiente
±l en este intervalo, entonces
443

447. Apéndice E Dos ejemplos
8 .-In(x+hn)-!,,(X) lo(4
n
x+4
n
hJ-10(4" =±1.
" .- h - 4 n h
n n
De hecho, si m < n, entonces la gráfica de 1m también tiene pendiente ±l en el
intervalo entre
x y x + h
m
Y por tanto
8 :=Im(x+h)-f,/x)=±l
m h
para m <no
n
Por otra parte, si m> n, entonces 4
m
(x + h
n
) -
4
m
x = ±4
m
-
n
- 1
es un entero, y como
Jo tiene periodo igual al, se sigue que
Por consiguiente, se tiene
g(x+hn)-g(x)
h
! 1m (x+ hh)-1m (x) =
n m=O n m=O
de donde el cociente diferencial (g(x + h
n
) -g(x))/h
n es un entero impar si n es par
y es un entero par si
n es impar. Por lo tanto, el límite
lím g(x + h) -g(x)
h~O h
no existe, por lo que g no es derivable en el punto arbitrario x E lit
Una curva que llena el espacio
Se presenta ahora un ejemplo de una curva que llena el espacio que fue construido
por
I. J. Schoenberg en 1936. Sea cp: lR ---7lR la función par continua con periodo 2
dada por
{
O
para ° ~ t ~ 1/3,
cp(t):= 3t -1 para 1/3 < t < 2/3,
1 para 2/3 ~ t ~ 1.
(Véase la figura E.2.) Para t E [O, 1], se definen las funciones
y
Puesto que ° ~ cp(x) ~ 1 Y es continua, el criterio M de Weierstrass implica que I
y g son continuas en [O, 1]; además, ° ~/(t) ~ 1 Y ° ~ g(t) ~ l. Se demostrará a
continuación que
un punto arbitrario (xo, Yo) en [O, 1] x [O, 1] es la imagen bajo
(1, g) de algún punto t
o
E [O, 1]. De hecho, sea que Xo y Yo tengan los desarrollos
binarios
(= base 2):
y

448. Apéndice E Dos ejemplos
donde toda ak es igual a ° o a l. Se demostrará que Xo = f(to) y Yo = g(to), donde
to tiene el desarrollo temario (= base 3)
t =
o
-1 2
3 3 o 1
3
Figura E.2 Gráfica de (p.
2
3
Primero, se observa que la fórmula anterior produce un número en [O, 1]. Se observa
asimismo que si
ao = 0, entonces ° ~ to ~ 1/3, de tal modo que <Peto) = 0, y si ao = 1,
entonces 2/3 ~ to ~ 1, de tal modo que <p(to) = 1; por lo tanto, en ambos casos
<p(ao) = ao. Del mismo modo, se ve que para toda n E N existe m
n
E N tal que
2a 2a 1
3
n
t =2m +_n +~+ ...
o n 3 32 '
de donde, por el hecho de que <p tiene periodo 2, se sigue cp(3
n
to)
= an0 Por último,
se concluye que
y
00 (2k+l) 00
~ cp 3 to ~ a
2k+
1
gUo):= ~ 2k+l = ~ 2k+l = Yo'
k=O k=O
Por lo tanto, Xo = f(to) y Yo = g(to), como se afirmó.

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York,1965.
441

450. Página 65: Cortesía de la Bibliotecta Pública de Nueva York. Página 92: Corbis­
Bettmann.
Capítulo 4
Página 122: Cortesía
de David Eugene Smith Collection, Columbia University.
Capítulo 5
Página 149: Cortesía de la Bibliotecta Pública de Nueva
York.
Capitulo 6
Página 193: Cortesía
de National Portrait Gallery, Londres.
7
Página 239: Baldwin Ward/Corbis-Bettmann.
Capítulo 10
Página 344: Cortesía
de Patrick Muldowney, Universidad de Ulster.
449

451. Lector: no consulte las presentes sugerencias a menos que se encuentre atorado.
Sin embargo, después de dedicar considerable esfuerzo a un problema, en oca­
siones una pequeña sugerencia es lo único que se necesita. En muchos de los
ejercicios se piden demostraciones y por lo general no hay un enfoque único que
sea el correcto, así es que aun cuando
el lector haya seguido un razonamiento
totalmente diferente, éste puede ser correcto. Muy pocas
de las siguientes suge­
rencias ofrecen gran detalle y algunas
de ellas podrán parecer absolutamente
crípticas al principio. Se ofrecen mayores detalles para
el material de los pri­
meros capítulos.
1.1
1. Demostrar que si A ~ E, entonces A = A nE. Demostrar después que si A = A n E,
entonces A ~ E.
2. Demostrar que si x E A (E n C), entonces x E (A E) U (A C). Demostrar después que
si y E (A E) U (A C), entonces y E A (E n C). Puesto que los conjuntos A (E n C)
y A (E n C) contienen los mismos elementos, son iguales.
5.
a) Al n A
2 = {6, 12, 18,24, ... } = {6k: le E N} =As.
b) U An = N {1} y n An = 0.
7. No. Por ejemplo, tanto (O, 1) como (O, -1) pertenecen a C.
9. a) f(E) = [2, 3], entonces h(E) = g(f(E) = g([2, 3]) = [4, 9].
b) g-I(G) = [-2, 2], entonces h-I(G) = [-4, 0l
13. Si x E f-I(G) nf-I(H), entonces x E f-I(G) Y x E f-I(H), por lo quef(x) E G Y
f(x) E H. Entonces f(x) E G n H, y en consecuencia x E f-I(G n H). Con esto se
demuestra querl(G) nrl(H) ~ rl(G n H).
15. Una posibilidad esf(x) := (x -a) / (b -a).
19. Si g(f(xI» = g(f(x2», entonces f(xI) = f(X2) , por lo que XI = X2' lo cual implica que
g o fes inyectiva. Si W E C, existe y E E tal que g(y) = w y existe x E A tal quef(x) = y.
Entonces g(f(x» = w, de donde g o f es suprayectiva. Por tanto, g o f es una biyección.
20.
a) Sif(xI) = f(X2), entonces g(f(xI) = g(f(x2», lo cual implica que XI = X2, ya que
g o f es inyectiva. Por tanto,! es inyectiva.
451

452. Sugerencias para ejercicios seleccionados
L Adviértase que 1 / (1 . 2) = 1 / (1 + 1). Además, k / (k + 1) + 1 / [(k + 1)(k + 2)] =
(k+ 1) / (k+ 2).
2. [~lc(k+ 1)]2 + (k+ 1)3 = [hk+ 1)(7[+ 2)]2.
1 (4k
3
-
k) + (2k+ 1)2 = 1[4(k+ 1)3 -(k+ 1)].
6. (k+ 1)3 + S(k+ 1) = (k
3
+ Sk) + 3k(k+ 1) + 6 Y k(k+ 1) siempre es par.
8. Sk+l -4(k + 1) - 1 = 5 . Sk -4k -5 = (Sk -4k -1) + 4(Sk - 1).
13. Si
k < 2
k
, entonces k + 1 < 2
k
+ 1 < 2" + 2
k = 2(2
k
) = 2
k
+l.
16. La desigualdad se cumple para n = 1 Y n :2: 5, pero es falsa para n = 2, 3, 4.
18. Vk+ 1 / vk+l = (Vkvk+l + 1) / vk+l > (k+ 1) / vk+l = vk+l.
1.3
1. Usar el ejercicio 1.1.19 (= ejercicio 19 de la sección 1.1).
2. Inciso b)
Seafuna biyección de N
m
enA y sea C= {f(k)} para alguna kE N
n
,. Definir
g en N
m
_
1 por g(i) := f(i) para i = 1, ... , k -1 Y g(i) := f(i + 1) para i = k, ... , m -lo
Entonces g es una biyección de N
m
_
1 en A C.
3. a) Hay 6 = 3 . 2 . 1 inyecciones diferentes de S en T.
b) Hay 3 suprayecciones que mapean a en 1, y hay otras 3 suprayecciones que mapean
a en2.
7. Si TI es enumerable, tomar T
2
= N. Sifes una biyección de TI en T
2
y si g es una biyec­
ción de
T
2 en N, entonces (por el ejercicio 1.1.19) g o fes una biyección de TI en N,
por lo que TI es enumerable.
9. Si S
n T = 0 y f: N -7 S, g : N -7 T son biyecciones en S y T, respectivamente, sea
h(n) := f((n + 1)/2) si n es impar y h(n) := g(n/2) si n es par.
10. a) P({l, 2}) = {0, {l}, {2}, {l, 2}} tiene 2
2
= 4 elementos.
c)
P( {l, 2, 3,4}) tiene 2
4
= 16 elementos.
H. Sea que Sn + 1 := {X¡, ... , X
m
X
n
+ ¡} = Sn U {X
n
+ ¡} tenga n + 1 elementos. Entonces un
subconjunto de Sn + 1 o (i) contiene a Xn + 1 o (ii) no contiene a x" + l. Hay en total
2
n + 2" = 2· 2
n = 2" + 1 subconjuntos de Sn + l.
12. Para toda m E N, la colección de todos los subconjuntos de N
m
es finita. Adviértase que
F(N)=U::,'=! P(Nm).
2.1
1. a) Justificar los pasos en: b = O + b = (-a + a) + b = -a + (a + b) = -a + O = -a.
c) Aplicar el inciso a) a la ecuación a + (-l)a = a(1 + (-1) = a· 0=0.
2. a) -(a + b) = (-l)(a + b) = (-l)a + (-l)b = (-a) + (-b).
c) Advertir que (-a)(-(l/a» = a(l/a) = 1.
3. a) 3/2
c)
2,-2
b) 0,2
d) 1,-2

453. Sugerencias para ejercicios seleccionados
6. Advertir que si q E Z y si 3q2 es par, entonces q2 es par, por lo que q es par.
7. Si
p EN, entonces hay tres posibilidades: para alguna m E N U {O}, (i) p = 3m, (ii)
p = 3m + 1, o (iii) p = 3m + 2.
10. a) Si e
= d, entonces 2.1.7b implica que a + e < b + d. Si e <d, entonces a + e < b +
e < b + d.
13. Si a "" 0, entonces 2.1.8a implica que a
2
> O; puesto que b
2
:o: 0, se sigue que a
2
+ b
2
> O.
15. a) Si O < a < b, entonces 2.1.7c implica que ° < a
2
< ab < b
2
Entonces por el ejem­
plo 2.1.13a se infiere que
a = # < raE <..¡¡;: = b.
16. a) {x:x>40x<-1}.
c) {x:-l<x<Oox>l}.
b) {x:l<x<20-2<x<-1}.
d) {x: x < O o x > l}.
19. La desigualdad es equivalente a ° ::; a
2
-
2ab + b
2
= (a -b i.
20. a) Usar 2.1.7c.
21. a) Sea S
:= {n E N : ° < n < 1}. Si S es no vacío, la propiedad del buen orden de N
implica que existe un elemento mínimo
m en S. Sin embargo, ° < m < 1 implica
que
° < m
2
< m, y como m
2
también está en S, esto es una contradicción del hecho
de que
m es el elemento mínimo de S.
22. a) Sea x := e - 1 > ° y aplicar la desigualdad de Bemoulli 2.1.13c.
24. a) Si
m > n, entonces k := m-n E N y e
k
:o: e > 1, lo cual implica que en > en.
Recíprocamente, la hipótesis de que e
m > en y m ::; n llevan a una contradicción.
25.
Sea b := el/
mn
y demostrar que b > 1. El ejercicio 24a implica que e
l
/n
= b
ln
> b
n = el/m
si y sólo si m > n.
26. Se hace m E N y se usa la inducción matemática para demostrar que a
m
+ n = aman y
(am)n = a
mn
para toda n E N. Entonces, para n E N dada, se demuestra que las igualda­
des son válidas
para toda m E N.
1. a) Si a :o: 0, entonces lal = a = #; si a < 0, entonces lal = -a = n.
b) Basta demostrar que Il/bl = l/Ibl para b "" ° (¿por qué?). Considerar los casos b > °
yb <O.
3. Si x ::; y::; z, entonces Ix -yl + [y -zl = (y -x) + (z -y) = z -x = Iz -xl-Para estable­
cer el recíproco, demostrar que es imposible tener y < x y y > z. Por ejemplo, si y < x ::;
z, de lo que se demostró y de la relación dada se sigue que Ix -yl = 0, de donde y = x
que es una contradicción.
6. a) -2::; x ::; 9/2
7. x=4 ox=-3.
8. a) x < °
10. {x: -3 < x < -5/2 o 3/2 < x < 2}.
U. {x: 1 <x<4}.
12.a) {(x,y):y=±x}.
b) -2::;x::;2.
b) -3/2 < x < l/2.
c) Las hipérbolas y = 2/x y y = -2/x.
13. a) Si y :o: 0, entonces -y ::; x ::; y y se obtiene la región en el semiplano superior que
está
en o entre las rectas y = x y y = -x.

454. Sugerencias para ejercicios seleccionados
16. a) Suponer que a ~ b.
17. Si a ~ b ~ e, entonces med{a, b, e} = b = mín{b, e, e} = mín{máx{a, b}, máx {b, e},
máx {e, el} }. Los otros casos son similares.
1. Puesto que O ~x para toda x E S], entonces u = O es una cota inferior de S]. Si v > O, enton-
ces
v no es una cota ínferior de S] porque v/2 E S1 y v/2 < v. Por lo tanto, ínf S] = O.
3. Puesto que 11n ~ 1 para toda n E N, entonces 1 es una cota superior de S3'
4. sup S4 = 2 e ínf S4 = 1/2.
6. Sea
u E S una cota superior de S. Si v es otra cota superior de S, entonces u ~ v. En
consecuencia,
u = sup S.
9. Sea u := sup A, v := sup B y w := sup{ u, v}. Entonces w es una cota superior de A U
B, porque si x E A, entonces x ~ u ~ w, y si x E B, entonces x ~ v ~ w. Si z es cualquier
cota superior de
A U B, entonces z es una cota superior de A y de B, por lo que u ~ z y
v ~ z. En consecuencia, w ~ z. Por lo tanto, w = sup(A U B).
11. Considerar dos casos: u ~ s* y u < s*'
1. Puesto que 1 -Un < 1 para toda n E N, 1 es una cota superior. Para demostrar que 1
es el supremo, debe probarse que para toda E > O existe n E N tal que I Un > 1 -s,
que es equivalente a
Un < s. Aplicar la propiedad de Arquímedes 2.4.3 02.4.5.
2. ínf S = -1 Y sup S = 1.
4. a) Sea u := sup S ya> O. Entonces x ~ u para toda x E S, de donde ax ~ au para toda
x E S, de donde se sigue que au es una cota superior de aS. Si v es otra cota supe­
rior de
aS, entonces ax ~ v para toda x E S, de donde x ~ v/a para toda x E S, con
lo que se demuestra que
v/a es una cota superior de S, y en consecuencia u ~ vla,
de donde se concluye que au ~ v. Por 10 tanto, au = sup{aS}.
5. Sea
u := supf(X). Entoncesf(x) ~ u para toda x E X, por 10 que a + f(x) ~ a + u para
toda x E X, de donde sup{a + f(x) : x E X} ~ a + u. Si w < a + u, entonces w -a < u,
por lo que existe Xw E X con w -a <f(x
w
)' de donde w < a + f(x
w
) ,
y en consecuencia
w no es una cota superior de {a + f(x) : x E X}.
7. Si u := sup f(X) y v := sup g(X), entonces f(x) ~ u y g(x) ~ v para toda x E X, de donde
f(x) + g(x) ~ u + v para toda x E X
9. a) f(x) = 1 para x E X
b) g(y) = O para y E y.
11. Sea S:= {h(x, y) : x E X, Y E Y}. Se tiene h(x, y) ~ F(x) para toda x E X, Y E Y, por lo
que sup S
~ sup{F(x) : x E X}. Si w < sup{F(x) : x E X}, entonces existe Xo E X con
w < F(xo) = sup{h(xo, y) : y E Y}, de donde existe Yo E Y con w < h(xo, Yo). Por tanto,
w no es una cota superior de S, y en consecuencia w < sup S. Puesto que esto se
cumple
para cualquier w tal que w < sup{F(x) : x E X}, se concluye así que sup{F(x) :
x E X} ~ sup S.
13. Advertir que n < 2
n
(de donde l/2
n
< lIn) para toda n E N.

455. Sugerencias para ejercicios seleccionados
14. Sea S3 := {s E R : O ~ s, s2 < 3}. Demostrar que S3 es un conjunto no vacío y acotado
por 3 y hacer y := sup S3. Si y < 3 Y Un < (3 - y)/(2)~), demostrar que y + Un E
S3. Si y2 > 3 Y 11m < (y2 -3)/2y, demostrar que y -11m E 3J:"-Por lo tanto, y2 = 3.
17. Si x < O < y, entonces se puede tomar r = O. Si x < y < O, se aplica 2.4.8 para obtener
un número racional entre -y y -x.
2. S tiene una cota superior b y una cota inferior a si y sólo si S está contenido en el inter­
valo
[a, b].
4. Debido a que z no es ni una cota inferior ni lilla cota superior de S.
5. Si z E R, entonces z no es una cota inferior de S, por lo que existe X
z
E S tal que X
z
~ z.
Del mismo modo, existe yz E S tal que z ~Yz.
8, Si x > O, entonces existe n E N con l/n < x, por lo que x E .!¡¡. Si y ~ O, entonces y E JI.
10. Sea 1] := ínf{b
n
:
n E N}; se afirma que a
ll
~ 1] para toda n. Sea n E N; se demostrará
que
a
l1
es una cota inferior del conjunto {b
k
:
k E N}. Se consideran dos casos. j) Si
n ~ k, entonces como In :::2 1
10
se tiene a
n
~ ak ~ b
lc
jj) Si k < n, entonces como Ik:::2 1m
se tiene a
n
~ b
n
~ b/
c
Por lo tanto, a
n
~ b
k
para toda k E N, por lo que a
n
es una cota
inferior de
{b
k
:
k E N} Y en consecuencia a
n
~ 1]. En particular, con esto se demues­
tra que
1] E [ano bn] para toda n, por lo que 1] E n In·
12. ~ = (.011000· . ·)2 = (.010111 .. -)2. f,;-= (.0111000· . ·)2 = (.0110111 .. ·h·
13. a) t ~ (.0101)2. b) t = (.010101 .. ·)20 el bloque 01 se repite.
16. 1/7
= .142 857 ... , el bloque se repite. 2/19 = .105 263 157 894 736 842 ... , el bloque
se repite.
17. 1.25 137 ... 137· .. = 31253/24975, 35.14653··· 653 ... = 3511139/99900.
~e(:(Ulm 3.1
1. a) 0,2, O, 2, O c) 1/2, 1/6, 1/12, l/20, 1/30
3.a) 1,4, 13,40,121 ... c) 1,2,3,5,4.
5. a) S~ tie~e0 < n/(n
2
+ 1) < n/n
2 = l/n. Dada E> O, seaK(E):::: 1/E.
c) Se tiene 1(3n + 1)/(2n + 5) -3/21 = 13/(4n + 10) < 13/4n. Dada E> O, sea K(E) ::::
13/4E.
6. a) 1/ rn+7 < 1/ Vn
c) Vn/(n + 1) < 1/ Vn
9. O<...r;; < E <;='> O < xn < el.
b) 12n/(n + 2) - 21 = 4/(n + 2) < 4/n
d) IHyn/(n
2
+ 1)1 ~ l/n:
11.
l1/n -1/(n + 1)1 = l/n(n + 1) < l/n
2
~ l/no
13. Sea b := 1/(1 + a) donde a > O. Puesto que (1 + a)n > ~n(n -1)a
2
,
se tiene que
0< nb
n
~ n/[~n(n -l)a
2
]
~ 2/[(n - l)a
2
].
Por tanto, lím(nb
n
)
= O.
15. Si n > 3, entonces O < n
2
/n! < n/en -2)(n - 1) < l/(n -3).

456. Sugerencias para ejercicios seleccionados
1. a) lím(x
n
) = 1
3. Y = (X + Y) -X.
6. a) 4
c)
xlJ e: n/2, por lo que la sucesión diverge.
b) O c) d) O.
8. En (3) el exponente k está fijo, pero en (1 + l/n)n el exponente varía.
9. lím(yn)
= O Y lím(~Yn) =~.
11. b.
13. a) b) 1.
15. a) L=a b) L = b/2 c) L = 1/b
18. a) Converge a O c) Converge a O.
20. a) (1) b) (n).
21. Sí. (¿Por qué?)
22. Por el ejercicio 2.2.16,
Un = ~(xn + Yn + IXn -Yn\
23. Usar los ejercicios 2.2.16b, 2.2.17 Y el ejercicio precedente.
1. (XIJ) es una sucesión acotada decreciente. El límite es 4.
2. El límite es
1. 3. El límite es 2.
5. (Yn) es creciente. El límite es y = ~ (1 +.J 1 + 4p).
7. (x
n
)
es creciente.
d)
L = 8/9.
4. El límite es 2.
10. (sn) es decreciente y (tn) es creciente. Asimismo, tn s:; Xn s:; sn para n E N.
11. Advertir que Yn = l/(n + 1) + l/(n + 2) + .. , + l/2n < l/(n + 1) + l/(n + 1) + '" +
l/(n + 1) = n/en + 1) < l.
13. a) e b) i2 c) e d) l/e.
14. Advertir que si n e: 2, entonces O s:; Sn -.Ji s:; s~ -2.
15. Advertir que O
s:; sn -vis s:; (s~ -5)/vIs s:; (s~ -5)/2.
16. e2 = 2.25, e4 = 2.441 406, es = 2.565 785, e¡6 = 2.637 928.
17. eso = 2.691 588, elOO = 2.704814, e¡OOO = 2.716 924.
Sección
1. Por ejemplo, x2n-1 := 2n -1 Y X2n := 1/2n.
3. L=W + vis).
7. a) e
8. a)
12. Se elige ni e: 1 de modo que Ixn¡1 > 1, después se elige n2 > n¡ de modo que Ix
n2
1 > 2, y,
en general, se elige nk > nk-I de modo que Ixnkl > k.

457. Sugerencias para ejercicios seleccionados
13. (X2n-l) = (-1, -113, -1/5, .. -).
14. Se elige nI ¿ 1 de modo que ¿ s -1, después se elige n2 > nI de modo que > s -
1/2,
y, en general, se elige nk> nk-I de modo que > s -l/k.
Por ejemplo, (( _1)n).
3. a) Obsérvese que 1(-1)n - (-l)n +11 = 2 para toda n E N.
c) Tomar
m = 2n, de donde X
I11
-x/1 = X2n - x/1 = In 2n -In n = In 2 para toda n.
5. lím( v;+l -Vn) = O. Pero, si m = 4n, entonces ~ -Vn = Vn para toda n.
8. Sea u:= sup{x
n
: n E N}. Si E> O, sea Htal que u -E<xH'5, u. Si m ¿ n ¿H, enton­
ces
u -E < Xn
'5, x
m
'5, u, por lo que Ix", -xnl < E.
10. lím (xn) = (1/3)xI + (2/3)x2'
12. El límite es h -l.
13. El límite es 1 + h.
14. Con cuatro iteraciones se obtiene r = 0.201 64 con cinco cifras decimales.
1. Si {x
n
:
n E N} no está acotado por arriba, se elige nk+1 > nk tal que ¿ k para k E N.
3. Advertir que
IX
n
-01 < E si y sólo si 1/xn> 1/E.
4. a) [Vn> a] Q [n > a
2
]
c) ~ ¿ yf;Ji cuando n ¿ 2.
8. a) n < (n
2
+ 2)1/2.
c) Puesto que n < (n
2
+ 1)1/2, entonces n
l
/
2
< (n
2
+ 1)1/2InI/
2
.
9. a) Puesto que xnlYn -¿ 00, existe KI tal que si n ¿ K
I
, entonces x
n
¿Y
n
.
Ahora se apli­
ca el teorema 3.6.4a.
1. Las sumas parciales L: b
n son una subsucesión de las sumas parciales de L: all'
3. a) Puesto que 1/(n + l)(n + 2) = 1/(n + 1) -1/(n + 2), la serie es telescópica.
6. a)
La sucesión (cos n) no converge a O.
b) Puesto que I(cos n)ln
2
1 '5, 1/n
2
,
la convergencia de L: (cos n)/n
2
se sigue del ejem­
plo 3.7.6c
y del teorema 3.7.7.
7.
La sucesión "par" (s211) es decreciente, la sucesión "impar" (s2I1+1) es creciente y -1 '5,
s/1 '5, O. Asimismo, O '5, S211 -s211+1 = 1/5+1.
9. L: 1/n
2
es convergente, pero L: lln no lo es.
11. Demostrar que
b
k
¿ allkpara k E N, de donde b
l + ... + b
l1
¿ al(l + ... + 1/n).
12. Evidentemente, 2a(4) '5, a(3) + a(4) y 2
2
a(8) '5, a(5) + ... + a(8), etc. Asimismo, a(2) +
a(3) '5, 2a(2) y a( 4) + ... + a(7) '5, 2
2
a(2
2
), etc. La desigualdad enunciada se sigue por adi­
ción. Se aplica entonces el criterio de comparación 3.7:7.

458. Sugerencias para ejercicios seleccionados
14. a) Los términos son decrecientes y 2"/2" ln(2
n
)
= l/(n In 2). Puesto que .L l/n diver­
ge, también lo
hace.L 1/(n In n).
15. a) Los términos son decrecientes y 2"12" (ln 2
ny = (l/n
C
) •
(ll1n 2)" .Ahora se usa el
hecho de que .L
(l/n
C
)
converge cuando e > 1.
1
1. a-c) Si Ix -11::; 1, entonces Ix + 11 ::; 3 de modo que - 11 ::; 31x -11. Por lo tanto,
Ix -11 < 1/6 asegura que Ix2 -.11 < 1/2, etc.
d) Si
Ix -11 < 1, entonces Ix 3 -11::; 71x-1I.
2. a) Puesto que Iv.;:--21 = Ix -41/ (v.;:-+ 2) ::; ~ Ix -41, entonces Ix -41 < 1 implica que
se tiene
Iv.;:--21 < ~.
b) Si Ix -41 < 2 x 10-
2
= .02, entonces
Iv.;:--21 < .01.
5. Si O < x < a, entonces O < x+ e < a + e < 2a, de modo que Ix2 - e
2
1 = Ix + ellx -el ::;
2alx - el. Dada E> O, tomar 5:= E/2a.
8. Si e *-O, demostrar que Iv.;:--Vcl ::; (l/Vc)lx -el, por lo que puede tomarse 5 := EVc.
Si e = O, puede tomarse 5:= E
2
.
9. a) Si Ix -21 < 1/2 demostrar que 11/(1 -x) + 11 = I(x -2)/(x - 1)1::; 21x -21. Por tanto,
puede tomarse 5 := ínf{ 1/2,
E/2}.
c) Si x *-O, entonces Ix
2
/lxl-01 = 14 Se toma 5:= E.
10. a) Si Ix -21 < 1, entonces Ix2 + 4x -121 = Ix + 611x -21 < 91x -21. Puede tomarse (5:=
ínf{l, E/9}.
b) Si Ix+ 11 < 1/4, entonces I(x+ 5)/(3x+2) 41 = 71x+ 1II12x+ 31 < 141x+ 11, y puede
tomarse
5:=ínf{1/4, E/14}.
U. a) Sea x" := 1/n. c) Sea x" := 1/nyy" :=-I/n.
13. b) Sif(x):= sgn(x), entonces lím(f(x»2 = 1, pero lím f(x) no existe.
X~O X~O
Puesto que If(x) - 01 ::; Ixl, se tiene lím f(x) = O.
x-----+O
14. a)
b) Si e *-O es irracional, sea (x,,) una sucesión de números irracionales que converge
a
e; entoncesf(e) = e *-O = lím (f(x,,». ¿Qué ocurre si e es irracional?
16. La restricción de sgn a [O, 1] tiene límite en O.
L a) 10
2. a)
b) -3
b) 4
c) 1/12
c) 2
d) 1/2.
d) 1/2.
3. Se multiplica el numerador
y el denominador por V1+2x + ~.
4. Considerar x" := 1/2nn y cos(l/x,,) = 1. Usar el teorema de compresión. 4.2.7.
8. Si
Ixl ::; 1, k E N, entonces Ixkl = Ixlk::; 1, de donde -x
2
::; xk+ 2::; x2.
U. a) No hay límite
c)
No hay límite
b) O
d) O.

459. Sugerencias para ejercicios seleccionados
2. Seaf(x) := sen(l/x) para x < O Y f(x) := O para x > O.
3. Dada a> 0, si ° < x < l/a
2
,
entonces Vx < l/a, y por consiguientef(x) > a.
5. a) Si a> 1 Y 1 < x < a/Ca - 1), entonces a < x/ex - 1), de donde se tiene que
lím
-1)=00.
c) Puesto que (x + 2)/Vx> 2/Vx, el límite es oo.
e) Si
x > 0, entonces lIVx < Vx+1/x, por lo que el límite por la derecha es oo.
g)
1 h) -1.
8. Adviértase que If(x) - LI < E para x> K si y sólo si If(lIz) - LI < E para ° < z < lIK.
9. Existe a > ° tal que Ixf(x) - LI < 1 siempre que x > a. En consecuencia, If(x) I <
(iLI + 1 )/x para x > a. .
12. No. Si h(x) := f(x) -g(x), entonces límh(x) = ° y se tiene que f(x)/g(x) = 1 +
x-ex::
h(x)/g(x) -7 1.
13. Suponer que If(x) - LI < E para x> K, Y suponer que g(y) > K para y> H. Entonces
Ifo g(y) - LI < E para y > H.
5.1
4. a) Continua si x"* 0, ±l, ±2, ...
c) Continua si sen x "* 0, 1
b) Continua si x"* ±l, ±2, ...
d) Continua si x"* 0, ±I, ±lI2, .. '.
7. Sea E := f( e )/2 y sea 8> ° tal que si Ix -el < 8, entonces If(x) -f( e)1 < E, lo que impli­
ca que f(x) > f(e) -E =f(e)/2 > O.
8. Puesto que f es continua en x, se tiene f(x) = lím(.f(x
n» = O. Por tanto, x E S.
10. Adviértase que Ilxl-lell :s; Ix -el·
13. Puesto que Ig(x) -61 :s; sup{12x - 61, Ix -31} = 21x -31, g es continua en x = 3. Si e"* 3,
sea (xn) una sucesión de números racionales que converge a e y sea (Yn) una sucesión
de
números irracionales que converge a e. Entonces lím(g(x
n» "* lím(g(yn»'
1. a) Continua en lR. c) Continua para x "* O.
2. Usar S.2.la y la inducción matemática; o usar 5.2.8 con g(x) := xn
4. Continua en todo número no entero.
7. Seaf(x) := 1 si x es racional y f(x) := -1 si x es irracional.
12.
Demostrar primero quef(O) = ° y fe-x) = -f(x) para toda x E lR.; después advertir que
f(x -xo) = f(x) -f(xo). Por consiguiente,! es continua en el punto Xo si y sólo si es con­
tinua
en O. Por tanto, sif es continua en xo, entonces es continua en ° y en consecuen­
cia en todas partes.
13, Demostrar primero que
feO) = ° y (por inducción matemática) que f(x) = ex para x E N,
Y
en consecuencia también para x E Z. Demostrar después que f(x) = ex para x E 1Qi.
Por último, si x E 1Qi, sea x = lím(r
n
)
para alguna sucesión en 1Qi.

460. Sugerencias para ejercicios seleccionados
15. ::: entonces ambas dan como resultado y
g(x), entonces h(x) = g(.;r) en ambos casos.
1. Aplicar el teorema de acotabilidad 5.3.2 a l/f o bien el teorema del máximo-mínimo
5.3.4 para concluir que
ínfiCl) > O.
3. Elegir una sucesión (x
n
) tal que If(xn + 1)1 :s; ~lf(xn)1 :s; dY'if(x¡)I. Aplicar el teorema de
Bolzano-Weierstrass para obtener
una subsucesión convergente.
4. Suponer que
p es de grado n impar y que el coeficiente a
n
de xn es positivo. Por 4.3.16,
lím p(x) = 00 y lím p(x) = -oo.
x--+cx: :r--+-oo
5. En los intervalos [1.035,1.040] Y [-7.026, -7.025].
7. En el intervalo [0.7390, 0.7391].
8. En el intervalo [1.4687, 1.4765].
9.
a) 1 b) 6.
10. 112
n
< 10-
5
implica que n > (5 In lO)/ln 2 = 16.61. Tomar n = 17.
H. Sif(w) < O, entonces del teorema 4.2.9 se sigue que existe una vecindad-o Vs(w) tal
que
f(x) < O para toda x E Vs(w).
14. Aplicar el teorema 4.2.9 a f3 -f(x).
15. Si O < a < b:S; 00, entoncesf((a, b» = (a
2
,
b
2
);
si -00 :s; a < b < O, entoncesf((a, b» =
(b
2
,
a
2
). Si a < O < b, entonces f((a, b» no es un intervalo abierto, pero es igual a
[O, e), donde e := sup{a
2
,
b
2
}. Las imágenes de intervalos cerrados se tratan de mane­
ra similar.
16.
Por ejemplo, si a < O < b Y e:= inf{l/(a
2
+ 1), l/(b
2
+ I)}, entonces g((a, b» = (e, 1].
Si O < a < b, entonces g((a, b» = (l/(b
2
+ 1), l/(a
2
+ 1». Asimismo, g([-I, 1]) =
[1/2,1]. Si a < b, entonces h((a, b» = (a
3
,
b
3
)
y h((a, b]) = (a
3
,
b
3
].
17. Sí. Usar el teorema de densidad 2.4.8.
19. Considerar
g(x) := l/x para x E J:= (O, 1).
1. Puesto que
l/x -l/u = (u -x)/xu, se sigue que I l/x -I/ul :s; (l/a
2
)lx - ul para x, u E
[a, 00).
3. a) Sea x
l1 := n + I/n, Un := n.
b) Sea x
n := l/2nn, Un := 1/(2nn+ n/2).
6. Si M es una cota tanto de f como de g en A, demostrar que If(x)g(x) -f(u)g(u)1 :s;
Mlf(x) -f(u) I + Mlg(x) -g(u) I para toda x, u E A.
8. Dada e> O, existe O¡ > O tal que lY -vi < O¡implica que If(y) -f(v)1 < e. Elegir ahora
Og> O de modo que Ix -ul < Og implica que Ig(x) -g(u)1 < DI"
H. Si Ig(x) -g(O)1 :S;.KIx -01 para toda x E [O, 1], entonces Vx:S; Kx para x E [O, 1]. Pero
si
X
n
:= l/n
2
,
entonces K debe satisfacer que n :s; K para toda n E N, lo que es im­
posible.

461. Sugerencias para ejercicios seleccionados
14. Puesto que! está acotada en [O, p j, se sigue que está acotada en R. Puesto que fes con­
tinua
en J:= [-1, P + 1], es uniformemente continua en J. Demostrar ahora que esto
implica
que f es uniformemente continua en R.
1. a) Los intervalos-o son
[-~, !], [~, á] y [~, n
b) El tercer intervalo-o no contiene a [}, 1].
2. a) Sí b) Sí.
3. No. El primer intervalo-02 es [-Ui,Uil y no contiene a [O, n
4. b) Si t E (~, 1) entonces [t -o(t), t + o(t)] = [-~ + ~d + M e (!, 1).
6. Podrían tenerse dos subintervalos que tienen a e como etiqueta con uno de ellos no con­
tenido
en el intervalo-o alrededor de c.
7. Si P:= {([a, x¡], tI), ... ([xk-lo el, tk)' (te, xk+¡L tk+¡), ... , ([x
no b], tn)} es fina-o",
entonces
p' := {([a, xl], tI), ... , ([xk-lo el, tk)} es una partición fina-o' de [a, e] y
P':= {([e, xk+¡], tk+¡)'" " ([x
no b], tn)} es una partición fina-o" de [e, b].
!
9. La hipótesis de que f está acotada 'localmente implica entonces una medida O. Si
{([Xi-lo X;], t¡)}7=¡ es una partición fina-o de [a, b] Y M¡ está acotado para Ifl en [Xi _¡, x;],
sea M := sup{M¡: i = 1,' . " n}.
1. Six E [a, bL entoncesf(a) S;f(x).
4. Si O S;f(x¡) S;f(x2) y O S; g(x¡) S; g(X2), entoncesf(x¡)g(x¡) S;f(x2)g(x¡) S;f(x2)g(x2)'
6. Sif es continua en e, entonces lím(f(x
n
)) = f(c), ya que e = lím(x
n
). Recíprocamente,
puesto que O
S;jlc) <;,f(x2n) -f(X2n+¡)' se sigue quei¡{c) = O, de modo quefes conti­
nua en c.
7. Aplicar los ejercicios 2.4.4, 2.4.5 y el principio de los ínfimos iterados (análogo al
resultado del ejercicio 2.4.11).
8. Sea
X¡ E 1 tal que y = f(x¡) Y X2 E 1 tal que y = g(X2)' Si X2 <;, Xl, entonces y = g(Y2) <
f(x2) S;f(x¡) = y, que es una contradicción.
n. Adviértase que f-l es continua en todo punto de su dominio [O, 1] U (2, 3].
14. Sea
y := xlln y z := x¡lq de tal modo que yn = X = zq, de donde (por el ejercicio 2.1.26)
ynp = x
p = zqp. Puesto que np = mq, demostrar que (x¡/l1)m = (x¡lq)p o xmln = xPlq.
Considerar ahora el caso en que m, pEZ.
15. Usar el ejercicio precedente y el ejercicio 2.1.26.
1
1. a) f'(x)= lím(x+h)3 _x
3
]/ h= lím(3x
2
+3xh+h
2
)= 3x
2
,
/1--)-0 h---+O
c) h'(x)=lím.rx+h-..Jx =lím 1 1
h~O h h~O .Jx+ h -..Jx 2..Jx·

462. Sugerencias para ejercicios seleccionados
4. Adviértase que If(x)/xl ~ Ixl para x E IIl:.
5. a) f'(x) = (l -x2)/(l + x2)2
c) h'(x) = mk.xk-1(cos xk)(sen xk)m-l
b) g'(x)=(x-l)/v5 -2x +x2
d) 1((x) 2x sec
2
(x
2
).
6. La funciónj' es continua para n ;O 2y es derivable para n ;O 3.
8. a) j'(x) = 2 para x> O,f'(x) = O para -1 < x < O Y j'(x) = -2 para x < -1,
c) h'(x) = 21xl para toda x E R
10. Si x * O, entonces g'(x) = 2x sen(1/x
2
) -
(2/x) cos(1/x
2
). Además,
g'(O) = lim h sen(l/h
2
)
= O. Considerar X
n
:= 1/V2nn.
h---+O .
11. a) f'(x) = 2/(2x + 3) b) g'(x) = 6(L(x
2
))Z/x
c) h'(x) = 1/x d) ¡((x) = l/(xL(x)).
14. 1/h'(O)
= 1/2, 1/h'(l) = 1/5, Y 1/h'(-l) = 1/5.
16. D[arctany]
= l/D[tan x] = 1/sec
2
x = 1/(1 + y2).
1. a) Creciente en [3/2, (0), decreciente en (-00, 3/2]
c) Creciente en
(-00, -1] Y [1, (0).
2. a) Mínimo relativo en x = 1; máximo relativo en x = -1
c) Máximo relativo en x = 2/3.
3. a) Mínimos relativos en x
= ±l; máximos relativos en x = O, ±4
c) Mínimos relativos en x
= -2, 3; máximo relativo en x = 2.
6. Six <y entonces existe e en (x, y) tal que Isenx -senyl = Icos clly-xI-
9. f(x) = x
4
(2 + sen(l/x)) > O para x * O, por lo queftiene un mínimo absoluto en x = O.
Demostrar que j' (l/2nn) < O para n ;O 2 Y j' (2/( 4n + 1 )n) > O para n ;O 1.
10. g'(O) = lim(l + 2x sen(l/x)) = 1 + O = 1, Y si x * O, entonces g'(x) = 1 + 4x sen(l/x) -
X~O
2 cos(l/x). Demostrar ahora que g'(1/2nn) < O Y que se tiene g'(2/(4n + l)n) > O para
n
EN.
14. Aplicar el teorema de Darboux 6.2.12.
17. Aplicar el teorema del valor medio a la función g -
f en [O, x].
20. a), b) Aplicar el teorema del valor medio.
c) Aplicar el teorema de Darboux a los resultados de los incisos a)
y b).
6.3
I
1. A =B(límf(x) / g(x)) = O.
x~c
4. Adviértase quef'(O) = O, pero quej'(x) no existe si x * O.
6. a)
7. a)
8. a) O
b)
b) 00
b) O
c) O
c) O
c) O
d) 1/3.
d) O.
d) O.

463. Sugerencias para ejercicios seleccionados
9. a)
10. a)
b)
b) c)
d)
o.
d) O.
1. /(2n-ll(X) = (_1)na
2n
-
1
sen ax y /(2n l(x) = (-l)
n
a2n
cos ax para n E N.
4. Aplicar el teorema de Taylor af(x) := .Jl+x en Xo := O y advertir que RI(:,) < O Y
R
2(x) > O para x> O.
5. 1.095 < Vl.2 < 1.1 Y 1.375 < V2 < l.5.
6. R
2
(0.2) < 0.0005 Y R
2(1) < 0.0625.
11. Con
n = 4, In 1.5 = OAO; con n = 7, In 1.5 = 0.405.
17. Aplicar el teorema de Taylor
a/enxo = e para demostrar que/ex) ?/(e) + .f'(e)(x-e).
19. Puesto que /(2) < O Y /(2.2) > O, hay un cero de / en [2.0, 2.2]. El valor de X4 es apro­
ximadamente 2.094 551
5.
20. rl "" 1.452 626 88 y r2 "" -1.164 035 14.
22. r¡ "" 1.158 59434 Y r2 "" 3.14619322.
24. r"" 0.739 085 13.
21.
r"" 1.324 717 96.
23. r¡ "" 0.5 Y r2 "" 0.809 016 99.
1.
a) 11"P111 = 2 b) 11"P211 = 2
2. a) 0
2
.
1 + 1
2
.
1 + 2
2
.
2 = O + 1 + 8 = 9
b) 37
c) 13 d) 33.
5. a) Si
u E [Xi-l> x¡], entonces xi-l :s; u de modo que el :s; ti :s; xi :s; x¡_l + IIPII de donde
el -
IIPII :s; X¡_l :s; u. También u :s; x¡ de tal modo que X¡ -IIPII :s; Xi-¡ :s; t¡ :s; e2, de
donde u
:s; x¡:S; e2 + 111'11.
10. g no está acotada. Tomar etiquetas racionales.
12. Sea
"P n la partición de [O, 1] en n partes iguales. Si P
n
es esta partición con etiquetas
racionales, entonces
S(.f; pn) = 1, mientras que si Qn es esta partición con etique­
tas irracionales, entonces
S(j; Qn) = O.
13. Seguir un razonamiento como el del ejemplo 7.1.3d.
15. Si
111'11 < 8
E
:= .s/4a, entonces la unión de los subintervalos en l' con etiquetas en [e, d]
contiene el intervalo [e + 8
E
,
d -8
E
]
Y está contenida en [e -8", d + 8
E
]. Por lo tanto,
a(d -e -28J:S;
S(cp; p):S; a(d -e + 28
E
), de donde IS(cp; 1') -a(d -e)l:S; 2a8
E <.s.
16. b) De hecho, ~""(T + x¡x¡_l + xt-l) . (x¡ X¡-l) = xi -xt-l.
c) Los términos en S(Q; Q) son telescópicos.
18. Sea
l' = {([Xi-l> x¡], t¡)}?=l una partición etiquetada de [a, b] y sea Q = {([Xi-l + e,
x¡ + e], t¡ + e)}7=l> de tal modo que Q es una partición etiquetada de [a + e, b + e] y
IIQII = 111'11. Además, S(g; Q) = S(.f; 1'), por lo que IS(g; Q) -J: /1 = IS(.f; 1') -J: /1 < .s
cuando IIQII < 8E"

464. Sugerencias para ejercicios seleccionados
2. Si todas las etiquetas son racionales, entonces S(h; p) :2: 1, mientras que si todas son
irracionales, entonces
S(h; p) = O.
3. Sea Pn
la partición de [O, 1] en n subintervalos iguales con tI = lln y Qn con los mis­
mos subintervalos etiquetados por puntos irracionales.
5. Si el, .. " en son los valores diferentes que asume 1fJ, entonces IfJ-I(e¡) es la unión de
una colección tInita {Jjl,
... , Jjr} de subintervalos disjuntos de [a, b l Puede escribir-
_,,11 "J J
se lfJ -L..j=1 L..k=1 ejIfJJj1c"
6. No necesariamente.
8. Sif(e) > ° para alguna e E (a, b), existe 8> ° tal quef(x) > ~f(e) para Ix -el :s; 8.
Entonces J:f:2: J~~~f:2: (28) U(e) > O. Si e es un punto terminal, se aplica un razona­
miento similar.
10. Usar el teorema de Bolzano 5.3.7.
U. De hecho, Ig(x) I :s; 1 Y es continua en todo intervalo [e, 1] donde ° < e < 1. Se aplica el
ejercicio precedente.
13.
Seaf(x) := l/x para x E (O, 1] Y feO) := O.
16. Sean m := ínf f(x) y M := sup f Por el teorema 7.1.4c, se tiene m(b -a) :s; J: f:S;
M(b -a). Por el teorema de Bolzano 5.3.7, existe e E [a, b] tal quef(e) = (J:f)I(b a).
19. a) Sea Pn una sucesión de particiones etiquetadas de [O, a] con II'P"II --7 ° Y sea P~
la partición "simétrica" correspondiente de [-a, al Demostrar que S(f, p~) =
2S(f,
Pn) --7 2 J~f
21. Adviértase que x f-+ f(x
2
)
es una función continua par.
22. Sea
Xi := i(nI2) para i = 0,1, .. " n. Entonces se tiene que (n/2n) ZJ,;¡I f(cos Xi) =
(nI2n)
Z~¡j (sen xk)'
1. Suponer que E := {a = eo < el < ... < e
m
= b} contiene los puntos de [a, b] donde la
derivada
F'(x) o no existe o no es igual af(x). Entonces f E R[ei -lo e¡] Y J:~l f =
F(e¡) -F(ei
-1)' El ejercicio 7.2.14 y el corolario 7.2.10 implican quefE R[a, b] Y que
J: f= 2:)';'1 (F(e¡) -F(ei_l» =F(b) -F(a).
2. E=0.
4. De hecho, B'(x) = Ixl para toda x.
3. Sea E := {-l, l}. Six E E, G'(x) =g(x).
6. Fe = Fa -J~ f
7. Sea h la función de Thomae. No hay ninguna función H: [O, 1] --7 lR tal que H(x) =
h(x) para x en algún intervalo abierto no degenerativo; en caso contrario, seria una con­
tradicción del teorema de Darboux 6.2.12 en este intervalo.
9.
a) G(x) = F(x) -F(e), b) H(x)=F(b)-F(x),
10. Usar el teorema 7.3.6 y la regla de la cadena 6.1.6.
11.
a) F'(x) = 2x(1 + x6)-1
13. g'(':r) = f(x + e) -f(x -e).
c) S(.:r) = F(sen x) -F(x).

465. Sugerencias para ejercicios seleccionados
16. a) Tomar qJ(t) = 1 + t2 para obtener
b) Tomar
qJ(t) = 1 + t
3
para obtener
c) Tomar
ep(t) = 1 + vt para obtener (3
3
/
2
-
2
3
/
2
).
d) Tomar qJ(t) = t
1
/
2
para obtener 2(sen 2 -sen 1).
18. a) Tomar x = ep(t) = t1/2, de modo que t = VJ(x) = x2 para obtener 4(1 -ln(5/3».
b) Tomar
x = qJ(t) = (t +-1)112, de tal modo que t = VJ(x) = x2 -1 para poder obtener
111(3 +-2 V2) -In 3.
c) Tomar x = qJ(t) = t
1l2
para obtener 2(3/2 + In 3/2).
d) Tomar
x = qJ(t) = t
1
/
2
para obtener arctan 1 -arctan(1/2).
19.
En los incisos a)-c) ep'(O) no existe. En el inciso a), integrar en [e, 4] y sea e ---+ 0+. En
el inciso c), el integrando es par, por lo que la integral es igual a 2 fb (l +-t)1/2 dt.
20. b)
Un Zn está contenida en Un.kJic' por lo que la suma de las longitudes de estos inter­
valos es
::: Zn E/2
n
= E.
21. a) Se aplica el teorema del producto 7.3.16.
b) Se tiene
+ 2t f; f g ::: t
2 f,; P +r; g2.
c) Sea t ---+ 00 en b)
d) Si
f: p;t O, sea t = (f: g2/ l; p) en b).
22. Adviértase que sgn o
h es la función de Dirichlet, que no es Riemann integrable .
.1.. Usar (4) con n = 4, a = 1, b = 2, h = 1/4. Aquí 1/4 :::j"Cc) ::: 2, de donde T
4
= 0.697 02.
3. T
4
= 0.782 79.
4. El índice
n debe satisfacer 2112n
2
< 10-
6
;
en consecuencia, n > 1000/V6 = 408.25.
5. S4 = 0.78539.
6. El Índice n debe satisfacer 961180n
4
< 10-
6
;
en consecuencia, n ;::: 28.
12. La integral es igual al área de una cuarta parte del círculo unitario. Las derivadas de
h
no están acotadas en [O, 1]. Puesto que h"(x)::: O, la desigualdad es Tn(h) < n/4 < Mn(h).
Véase el ejercicio 8.
:1.3. Interpretar K como un área. Ahora demostrar que h"(x) = -(1 -x
2)312 y que hC
4l(x) =
-3(1 + 4x
2)(l-x2)-712. Con ocho cifras decimales, n= 3.141592 65.
14. Aproximadamente 3.653
48449.
16. Aproximadamente 0.835 648 85.
18.
l.
20. Aproximadamente 0.904 524 24.
1
15. Aproximadamente 4.821 15932.
17. Aproximadamente 1.851 93705.
19. Aproximadamente 1.198 14023.
1. Adviértase que O :::fn(x) ::: x/n ---+ O cuando n ---+ oo.
3. Si
x > O, entonces [j,,(x) - 1i < l/(nx).
5. Si x > O, entonces [fn(x)[ ::: l/(nx) ---+ O.
7. Si x> O, entonces O < e-X < 1.

466. Sugerencias para ejercicios seleccionados
9. Si x > O, entonces 0:0; x
2
e-
nx
= x2(e-
x )n ~ 0, ya que O < e-X < l.
10. Si x E :2:, el límite es igual a l. Si x íl' :2:, el límite es igual a O.
H. Si x E [O, a], entonces I.Üx)1 :o; a/n. Sin embargo,j;'(n) = 1/2.
14. Si x E [O, b], entonces I.¡;¡(x)1 :o; b
n
.
Sin embargo,In(2-
l
/n
)
= 1/3.
15. Six E [a, 00), entonces I.Üx) 1 :o; 1/(na). Sin embargo,/,,(1/n) =! sen 1 > O.
18. El máximo deln en [O, 00) está en x = l/n, por lo que 11/,,11[0,00) = l/ene).
20. Si n es suficientemente grande, Ilfnll[a, 00) = n
2
a
2
/e
na
.
Sin embargo, Ilfnll[O, 00) = 4/e
2
.
23. Sea M lilla cota de (In(x)) y (gn(x)) en A, de donde también If(x) 1 :o; M. Por la desigual­
dad del triángulo se obtiene
Ifn(x)gn(x) -f(x)g(x) 1 :o; M(Ifn(x) - f(x) 1 + Ign(x) -g(x)1)
para x EA.
1. La función límite esf(x) := O para O :o; x < 1,j(1) := 1/2 y f(x) := 1 para 1 < x:O; 2.
4. Si 8> O está dada, sea K tal que si n 2': K, entonces IIIn -fl11 < El2. Entonces I/',(xn) -
f(xo)
1 :o; IIn(xn) -f(xn)
1 + If(xn) -f(xo) 1 :o; 8/2 + If(xn) -f(xo)l. Puesto quefes continua
(por el teorema 8.2.2)
Y X
n
~ xo, entonces If(xn) -f(xo) 1 < El2 para n 2': K, por lo que
Ifn(xn) -f(xo) 1 < 8 para n 2': máx{K, K}.
6. Aquíf(O) = 1 Y f(x) = O para x E (O, 1]. La convergencia no es uniforme en [O, 1].
7. Dada 8:= 1, existe K> O tal que si n 2':Ky x E A, entonces IIn(x) -f(x) 1 < 1, por lo que
Ifn(x) 1 :o; IfK(X)1 + 1 para toda x E A. Sea M:= máx{II.fiIIA, ... , IlfK-11IA, IlfKllA + 1}.
8. /,,( 1/";;;) = ";;;12.
10. Aquí (gn) converge uniformemente a la función cero. La sucesión (g~) no converge uni­
formemente.
n. Usar el teorema fundamental 7.3.1 y el teorema 8.2.4.
13. Si
a > O, entonces Illnll[a, n'l :o; 1/(na) y se aplica el teorema 8.2.4.
15. Aquí
Ilgnll[O, 1] :o; 1 para toda n. Después se aplica el teorema 8.2.5.
20. Sea/,,(x)
:=x
n
en [0,1).
1. Sea A := x> O Y sea que m ~ 00 en (5). Para la estimación superior de e, tomar x = 1
y
n = 3 a fin de obtener le -2~1 < 1/12, de donde e < 2~.
2. Adviértase que si n 2': 9, entonces 2/(n + 1)! < 6 x 10-
7
< 5 X 10-
6
.
En consecuencia,
e
= 2.71828.
3. Evidentemente,
En(x) :o; eX para x 2': O. Para obtener la otra desigualdad, aplicar el teo-
rema de Taylor 6.4.1 a [O, al
5. Adviértase que O :o; {n/(l + t):O; t" para {E [O, x].
6. In 1.1 = 0.0953 Y In 1.4 = 0.3365. Tomar n > 19999.
7. In 2 = 0.6931.

467. Sugerencias para ejercicios seleccionados
10. L'(1) = lím[L(1 + l/n) -L(l)]/(I/n) = límL«(1 + 1/n)71) =L(lím(l + l/n y) = = 1.
11. c) (xy)a = E(aL(xy» = E( aL(x) + aL(y» = E(aL(x» . E( aL(y» = x
a
. ya.
12. b) (x<X)f3 = E(f3L(x<X) = = x
af3
, y se del mismo modo para (xf3)a.
15. Usar 8.3.14 y 8.3.9viÍ.
17. De hecho, se tiene loga
x = (In x)/(ln a) = [(In x)/(ln b)] . [(In b)/(ln a)] si a * 1, b * 1.
Después se toma a = 10, b = e.
1~ Si n > 21xl, entonces leos x -Cn(x) I :s; (l6/15)lxI
2n
/(2n)!, de donde cos(0.2) "" 0.980067,
cos 1
"" 0.549 302. Del mismo modo, sen(O.2) "" 0.198 669 Y sen 1 "" 0.841471.
4. Se integra dos veces 8.4.8x en [O, x]. Adviértase que el polinomio de la izquierda tiene
un cero en el intervalo [1.56, 1.57], por
lo que 1.56 :s; n/2.
5. El ejercicio 8.4.4 establece que C
4
(x):S; cos x:S; C
3
(x) para toda x E IR. Al integrar varias
veces, se obtiene
S4(x) :s; sen x :s; Ss (x) para toda x> O. Demostrar que S4(3.05) > O Y
S5(3.15)
< O. (Este procedimiento puede hacerse más riguroso.)
6. Si Ixl:S;A y In> n > 2A, entonces Icm(x) -c
n
(x) I < (l6/15)A2n/(2n)!, de donde la conver­
gencia de
(c
n
) a c es uniforme en todo intervalo [-A, A].
7. D[(c(x»2 -(s(x»2] = O para toda x E lR. Para la unicidad, seguir el razonamiento de
8.4.4.
8. Sea g(x) := f(O)c(x) + f(O)s(x) para x E lR, de tal modo que g"(x) = g(x), g(O) = feO) y
g'(O) =1'(0). Por lo tanto, h(x) := f(x) -g(x) tiene la propiedad de que h"(x) = h(x) para
toda
x E lR Y h(O) = O, h'(O) = O. Por tanto, g(x) = f(x) para toda x E lR, por lo que
f(x) = f(O)c(x) + f(O)s(x).
9. Si cp(x) := c(-x), demostrar que q/'(x) = cp(x) y CP(O) = 1, cp'(O) = O, por lo que cp(x) =
c(x) para toda x E R Por lo tanto, c es par.
1
1. Sea Sn la n-ésima suma parcial de ¿r ano sea t
71 la n-ésima suma parcial de ¿rlanl y
suponer que
a
n
;:o: O para n > P. Si In > n > P, demostrar que t
m
-
t
n = Sm -S11" Aplicar
después el criterio de Cauchy.
3. Tomar términos positivos hasta que la suma parcial exceda
1, entonces tomar términos
negativos hasta que la smna parcial sea menor que
1, entonces tomar términos positi­
vos hasta que
la suma parcial exceda 2, y así sucesivamente.
5. Sí.
6. Si n;:O: 2, entonces sn = -In 2 -In n + ln(n + 1). Sí.
9. Se tiene s2n -S71 ;:o: na2n = H2na2n) y S2n+1 sn;:O: ±(2n + l)a2n+1. Por consiguiente,
lím(na
n
)
= O.
11. De hecho, si In
2
an
l :s; M para toda n, entonces lanl :s; M/n
2
.
13. a) Racionalizar para obtener ¿ xl1' dondex
n
:= [Vn(rn+! + Vn)rl y adviértase que
x
n
"" Yn := 1/(2n). Aplicar después el criterio de comparación de límites 3.7.8.
b) Racionalizar
y comparar con ¿ l/n
312
.

468. Sugerencias para ejercicios seleccionados
14. Si I: an es absolutamente convergente, las sumas de I: lanl están --,n~"uo.
digamos por M. Evidentemente, el valor absoluto de las sumas parciales de cualquier
subserie de
a
n también está acotado por M.
Recíprocamente, si toda subserie de I: a
n es convergente, entonces las subseries que
consisten en los términos estrictamente positivos (y estrictamente negativos) son abso­
lutamente convergentes, de donde
se sigue que I: a
n es absolutamente convergente.
L
a) Convergente; comparar con I: 1/n
2
.
e) Divergente; adviértase que 2
1/n
~ l.
2. a) Divergente; aplicar 9.2.1 con b
n
:= 1/n.
e) Convergente; utilizar 9.2.4 y adviértase que (n/(n + 1»" ~ 1/e < l.
3. a) (In n)p < n para n grande, por la regla de I.;Hópital.
e) Convergente; adviértase que (In n)ln n > n
2
para n grande.
e) Divergente; aplicar 9.2.6 o el ejercicio 3.7.12.
4. a) Convergente b) Divergente e) Divergente
d) Convergente; adviértase que (In n) exp(-nl/
2
)
< n exp(-n
I/2
)
< 1/n
2
para n gran­
de, por la regla de I.;Hópital.
e) Divergente f) Divergente
6. a) Aplicar el criterio de la integral 9.2.6.
7. a) b) Convergentes e) Divergente d) Convergente.
9. Si m > n? K, entonces ISm -snl :::: IXn+11 + ... + Ixml < r
n
+ 1/(1-r). Ahora se hace m ~ oo.
12. a) Una estimación muy aproximada del residuo está dada por s - s4 < J~ x-
2
dx = 1/5.
Del mismo modo, s -
slO < 1/11 Y s -sn < 1/(n + 1), por 10 que bastan 999 térmi­
nos para obtener s
s999 < 111000.
d) Si n ? 4, entonces Xn+I/X
n
:::: 5/8 por lo que (por el ejercicio 10) Is -s41 :::: 5/12. Si
n? 1 O, entonces xn+¡lxn :::: 11/20, de modo que Is slol:::: (10/2
10
)(1119) < 0.012.
Si
n = 14, entonces Is -sl41 < 0.000 99.
13. b) Aquí I:~I < J':x-
3/2
dx = 2/';;;, de modo que Is -slol < 0.663 y Is -snl < 0.001
cuando
n > 4 X 10
6
.
e) Sin?4, entonces Is-s,,1 ::::(0.694)x
m de modo que Is-s41 < 0.065. Sin?10, enton­
ces
Is -snl :::: (0.628)x
n
, de modo que Is -slol < 0.000 023.
14. Adviértase que
(s3n) no está acotada.
16. Adviértase que, para un entero con
n dígitos, hay 9 maneras de escoger el primer dígi­
to y 10 maneras de escoger cada uno de los n -1 dígitos restantes. Hay un valor de mk
del 1 al 9, hay un valor del 10 al 19, uno del 20 al 29, etcétera.
18. Aquí
lím(n(1 - xn-I/Xn » = (e -a -b) + 1, de tal modo que la serie es convergente si
e> a + b y es divergente si e < a + b.
1. a) Absolutamente convergente
e) Divergente
b) Condicionalmente convergente d) Condicionalmente convergente.

469. Sugerencias para ejercicios seleccionados
Demostrar por inducción matemática que S2 < S4 < S6 <. . < Ss < S3 < SI' En conse­
cuencia, el límite está entre
sn y sl1+], de modo que Is -snl < ISn+1 -= zn+l'
5. Utilizar el criterio de Dirichlet con (jJ
n
)
:= (+1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, .. -) O bien,
agrupar los términos por pares (después del primero) y usar el criterio para series alter-
nadas. .
7. Si
f(x) := (In x)P/x
q
,
entonces f'(x) < O para x suficientemente grande. La regla de
LH6pital establece que los términos de la serie alternada tienden a O.
8. a) Convergente b) Divergente c) Divergente d) Divergente.
11. El criterio de Dirichlet
no se aplica (al menos directamente), ya que las sumas parcia­
les de la serie generada
por (1, -1, -1,1,1,1, ... ) no están acotados.
15. a) Utilizar el criterio de
Abel con X
n
:= l/n.
b) Utilizar la desigualdad de Cauchy con Xn
:= ~, Yn := 1/n para poder obtener
¿
~/n::; (¿ a,yl2(¿ 1/n
2)1/2, con lo cual se establece la convergencia.
d) Sea a
n := [n(ln n)2r
l
,
que converge por el criterio de la integral. Sin embargo,
b
n
:= [yf,; In n r
1
, que diverge.
1. a) Tomar M
n
:= l/n
2
en el criterio M de Weierstrass.
c) Puesto que Isenyl
::; lYl, la serie converge para toda x. Pero no es uniformemente
convergente
en lE.. Si a > O, la serie es unifonnemente convergente para Ixl ::; a.
d) Si O ::; x ::; 1, la serie es divergente. Si 1 < x < 00, la serie es convergente. Es uni­
fonnemente convergente en [a, 00) para a > l. Sin embargo, no es uniformemente
convergente en
(1, 00).
4. Si P = 00, entonces la sucesión (Ianl
l
/
n
)
no está acotada. En consecuencia, si IXol > O,
entonces hay un número infinito de k E N con lakl > 1/lxol, por lo que la¡cX51 > l. Por
tanto, la serie
no es convergente cuando Xo ,,= O.
5. Suponer que L := lím(lanllla
n
+ 11) existe y que O < L < oo. Del criterio del cociente se
sigue que ¿
arr,n converge para Ixl < L y diverge para Ixl > L. El teorema de Cauchy­
Hadamard implica que L = R.
6. a) R = 00
d) I
8.
Usar lím(nl/n) = 1.
b) R = 00
e) R = 4
c) R=1/e
f) R=l
10. Por el teorema de unicidad 9.4.13, a
n
= (-I)"a
n
para toda n.
12. Si n E N, existe un polinomio P
n
tal quepn)(x) = e-
l
/x2
P
n
(1/x)
para x,,= O.
13. Sea g(x) := O para x ¿ O Y sea g(x) := e-
l
/x2
para x < O. Demostrar que g(I1)(O) = O para
toda n.
16. Sustituir -y por x en el ejercicio 15 e integrar de y = O a y = x para Ixl < 1, lo cual se
justifica
por el teorema 9.4.11.
19. JóYe-t2 dt= ¿~o (_I)l1x2n+l/n!(2n + 1) para x E lE..
rr/2 2n n 1·3·5···(2n-1)
20. Aplicar el ejercicio 14y Jo (sen x) dX=2' 2.4.6 ... 2n .

470. Sugerencias para ejercicios seleccionados
1 1
L a) Puesto que ti OCti)::; xi_1 Y xi::; ti + OCt¡), entonces O ::; Xi -xi_1 ::; 2OCti)'
b) Aplicar el inciso a) a cada subintervalo.
2. b) Considerar la partición etiquetada
{([O, 1], 1), ([1, 2], 1), ([2, 3], 3), ([3, 4], 3)}.
3. a) Si P = {([xi-¡' xi], ti)}7=1 Y tk es una etiqueta de los dos subintervalos [xk-¡' xd y
[xk> Xk+I], debe tenerse tk = X/e Se reemplazan estos dos sub intervalos por el subin­
tervalo
[Xk_lo Xk+I] con la etiqueta t", preservando la propiedad de finura-O.
b) No.
c) Si
tkE (xk-I' xk), entonces sereemplaza [xk-l' Xk] por los dos intervalos [xk-l' t/el y
[tk. Xk] con la etiqueta tk, preservando la propiedad de finura-S
4. Si
xk-l ::; 1 ::; xk Y si tk es la etiqueta de [xk-lo xk], entonces no puede tenerse tk > 1, ya
que entonces tk -O(tk) = ~(tk + 1) > 1. Del mismo modo, no puede tenerse tk < 1, ya que
entonces
t
k + OCt/) = t(tk + 1) < 1. Por lo tanto, tk = 1.
5. a) Sea OCt) := 1mín{lt - 11, It -21, It -31} si t 01= 1, 2,3 y O(t) := 1 para t = 1,2,3.
b) Sea 02(t) := mín {OCt), 0
1
(t)}, donde 5 es como en el inciso a).
7. a) Fl (x) := (2/3)x
3
/
2 + 2x
1I2
b) F
2
(x):= (2/3)(1 - x)3/2 -2(1 -x)I/2
c) F3(X):= (2/3)x
3
/
2
(ln x -2/3) para x E (O, 1] Y F3(0) := O.
d) Fix):= 2x
1I2
(ln x - 2) para x E (O, 1] Y F
4(0) := O.
e) Fs(x):= -Vi - x
2
+ arcsen x.
f) F6(x):= arcsen(x -1).
8.
No es necesario que la partición etiquetada Pz sea fina-5
e
, ya que el valor de 5iz) puede
ser
mucho más pequeño que 8e(x).
9. Siffuera integrable, entonces JÓf? J6 Sn = l/2 + 1/3 + ... + l/(n + 1).
10. Se enumeran los números racionales diferentes de cero como
rk = m/!nk Y se define
8eCm¡/nk) := t:I(nk2k+l) y 8eCx) := 1 en caso contrario.
12.
La función M no es continua en [-2, 2].
13.
Ll es continua y Lí(x) = tI (x) para x 01= O, por 10 que se aplica el teorema 10.1.9.
15. Se tiene
Cí(x) = (3/2)xl/
2
cos(l/x) + [lI2sen(l/x) para x> O. Puesto que el primer tér­
mino
en Cí tiene una extensión continua a [O, 1], es integrable.
16. Se tiene
C2(x) = cos(l/x) + (l/x)sen(l/x) para x> O. Por el análogo del ejercicio 7.2.12,
el primer término pertenece a
R[O, 1].
17. a) Tomar cp(t) := t2 + t -2 de modo que Erp = o para obtener 6.
b) Tomar
cp(t) := Vt de modo que Erp = {O} para obtener 2(2 + In 3).
c) Tomar
cp(t) := vt="T de modo que E rp = {1} para obtener 2 arctan 2.
d) Tomar cp(t) := arcsen t de modo que E'f! = {1} para obtener !r n.
19. a) De hecho,J(x) := r(x) = cos(n/x) + (n/x)sen(n/x) para x > O. Se hace feO) := O,
reO) := O. Adviértase quefes continua en (O, 1].
b)
F(ak) = O Y F(b
k
)
= (-1)k/k. Aplicar el teorema 10.1.9.
c) Si Ifl
E R*[O, 1], entonces Di=1 l/k::; 2];=1 J:;'lfl::; J6 Ifl para n E N.
20. De hecho, sgn(f(x)) = (-I)k = m(x) en [a/" bk] de modo que m(x) . f(x) = Im(x)f(x)1 para
x E [O, 1]. Puesto que las restricciones de m y Iml a cada intervalo [c, 1] para O < c < 1
son funciones escalonadas, pertenecen a
R[c, 1]. Por el ejercicio 7.2.11, m y Iml perte­
necen a
R[O, 1] y J6 m = ¿~I (-1)k/k(2k+ 1) Y Jó Iml = ¿~I l/k(2k+ 1).

471. Sugerencias para ejercicios seleccionados
21. De hecho, = Q:l'(x) = Icos(n/x)1 + (n/x)sen(n/x) . sgn(cos(n/x» para x '" E por el
ejemplo 6.1. 7c. Evidentemente,
<p no está acotada cerca de O. Si x E [al" blel, entonces
<p(x)= Icos(n/x)1 + (n/x)lsen(n/x)l, de modo que J~:'I<p1 = (f)(bIJ - = l/k, de donde
1
<pI '" R*[O, 1].
22. Aquí ljf(x) = 'P'(x) = 2xlcos(n1x) + n sen(n/x)1 . sgn(cos(n/x» para x '" {O} U E¡ por el
ejemplo 6.1.7b. Puesto que acotada, se aplica el ejercicio 7.2.11. No puede apli­
carse el teorema 7.3.1 para evaluar
Jg ljf porque E no es finito, pero el teorema 10 .1.9
se aplica
y ljfE R[O, 1]. El corolario 7.3.15 implica que IlI'I E R[O, 1].
23. Si p ~ 0, entonces mp -:;'f(P) -:;, Mp, donde m y M denotan el ínfimo y el supremo def
en [a, b], de modo que m J:p -:;, J:fp -:;, M !c~p. Si J:p = 0, el resultado es trivial; en
caso contrario, la conclusión se sigue del teorema del valor intermedio de Bolzano
5.3.7.
24. Por el teorema de multiplicación 10.1.14,
fg E R*[ a, b]. Si g es creciente, entonces
g(a)f-:;'fg -:;'g(b)fpor lo que g(a) !c;f-:;' J:fg -:;, g(b) J:I Sea K(x) :=g(a) Kf+ g(b) .r:¡;
por lo que K es continua y asume todos los valores entre K(b) Y K(a).
1
2. a) Si G(x) := 3x
ll3
para x E [O, 1], entonces J; g = G(l) -G(c) ---t G(l) = 3.
b) Se tiene J; (l/x) dx = In c, que no tiene límite en lR cuando c ---t O.
3. Aquí J~ (1 -xt
ll2
dx = 2 -2(1 -c)1/2 ---t 2 cuando c ---t 1-.
5. Debido a la continuidad, gl E R*[c, 1] para toda c E (O, 1). Si ())(x) := x-1!2, entonces
Igl (x) 1 -:;, ())(x) para toda x E [O, 1]. La "versión izquierda" del ejercicio precedente
implica que
g¡ E R*[O, 1] Y la desigualdad anterior y el criterio de comparación 10.2.4
implican que g¡
E .e[o, 1].
6. a) La función está acotada en [O, 1] (usar la regla de I.:Hópital) y es continua en (0,1).
c) Si x E (O, ~], el integrando está dominado por IOn 1) In xl. Si x E [~, 1), el integran­
do está dominado por
I(ln Dln(l -x)l.
7. a) Convergente
d) Convergente b) Divergente
e) Convergente
c) Divergente
f) Divergente.
10. Por el teorema de multiplicación
1O.1.4,fg E R*[a, b]. Puesto que If(x)g(x)l-:;' Blf(x) 1 ,
entoncesfg E .L:[a, b] Y IIf gil -:;, Bllfll·
11. a) Seaf(x):= (-1)k2
k /k para x E [Ck-lo Ck) Y f(l) := 0, donde las ck son como en el
ejemplo lO.2.2a.
Entoncesf+ := máx{/, O} '" R*[O, 1].
b) Usar la primera fórmula de la demostración del teorema 10.2.7.
13. jj) Sif(x) = g(x) para toda x E [a, b], entonces diste/, g) = J{~ If -gl = O.
jjj) diste/, g) = J: If -gl = J;' Ig -fl = dist(g,f).
jk) dist(j; h) = J: If -hl -:;, J: If -gl + J: Ig -hl = diste/, g) + dist(g, h).
16.
Si (f,,) converge afen .e[a, b], dada E> ° existe K(El2) tal que si 111, n ~ K(El2), enton­
ces
IIIn -fll < El2 Y lIin -fll < El2. Por 10 tanto, 111;1/ -in 11 -:;, IIIn -fll + IIf -fnll < E/2 +
El2 = E. Por tanto, puede tomarse H(E) := K(E/2).
18. Si 111 > n, entonces IIgm -gnll -:;, I/n + l/m ---t O. Puede tomarse g := sgn.
19. No.
20. Puede tomarse
k como la función O.

472. Sugerencias para ejercicios seleccionados
1
1. Sea b ?: máx {a, 1/ o( oo)}. Si P es una partición fina-o de [a, b], demostrar que P es una
subpartición fina-o de [a, 00).
3. Sif E L[ a, 00), aplicar el ejercicio precedente a Ifl· Recíprocamente, si J; Ifl < E para
q > p ?: KCs), entonces IJ:;f -J1:fl ~ J; Ifl < s por lo que límyfJ]; y límy J]; Ifl existen;
por lo tanto,/, Ifl E R*[a, 00) y por consiguiente fE L[a, 00).
5. Sif; g E L[a, 00), entonces/, Ifl, g y Igl pertenecen a R*[a, 00), por lo que el ejemplo
10.3.3a implica
quef+ g y Ifl + Igl pertenecen a R*[a, 00) y que J:;OClfl + Igl) =
J:;O Ifl + J:;O Igl· Puesto que If:¡" gl ~ Ifl + Igl, se sigue que JI If + gl ~ J]; Ifl +
J];lgl
~ J:;Olfl + J:;Olgl, de donde Ilf+ gil ~ Ilfll + Ilgll·
6. De hecho, Ji (l/x) dx = In Yo que no tiene límite cuando y--¿ oo. O bien, usar el ejerci­
cio 2
y el hecho de que J;p (1/x) dx = In 2 > ° para toda p ?: l.
8. Si Y > 0, entonces J6 cos x dx = sen Yo que no tiene límite cuando y--¿ oo.
9. a) Se tiene J6 C
SX
dx = (1/s)(1 - e-sy) --¿ l/s.
b) Sea
G(x) :=-(l/s)e-SXparax E [0,00), por lo que Ges continua en [O, 00) Y G(x) --¿ °
cuando x --¿ oo. Por el teorema fundamental 10.3.5, se tiene J'¡{'g = -G(O) = l/s.
12. a) Si x ?: e, entonces (In x)/x ?: l/x.
b) Integrar por partes en [1, y] Y hacer después y--¿ oo.
13. a) Isen xl ?: l/VÍ > 1/2 Y l/x> l/(n + l)n: para x E (nn: + n:/4, nn: + 3n:/4).
b) Si y> (n + 1)n:, entonces JllDI ?: (1/4)(1/1 + 1/2 + ... + I/n + 1»).
15. Sea u = cp(x) = x2 Aplicar después el ejercicio 14.
16. a) Convergente b) Divergente
d) Convergente e) Divergente
c) Divergente
f) Convergente.
17. a) Si
f¡(x) := sen x, entonces Ji É R*[O, 00). En el ejercicio 14, tomar f2(X) :=
x-
1/2
sen x y cpix) := 1/ Vx.
c) Tomarf(x):= x-
1/2
sen x y cp(x) := (x + l)/x.
18. a) f(x):= sen x está en R*[O, y], Y F(x) := Jó' sen t dt = 1 -cos x está acotada en
[O, 00), y cp(x) := l/x decrece monótonamente a O.
c) F(x):= J; cos t dt = sen x está acotada en [O, 00) y cp(x) := x-
1/2
decrece monóto­
namente a
O.
19. Sea u = cp(x) := xl.
20. a) Si y> 0, entonces J6 e-X dx = 1 - e-Y --¿ 1 de modo que e-X E R *[0, 00). Del mismo
modo, e-lxl = eX E R*(-oo, O].
c) ° ~ e-
x2
~ e-x para Ixl ?: 1, por lo que e-
x2
E R*[O, 00). Es lo mismo en (-00, O].
Sección 1
1. a) Converge a ° en x = 0, a 1 en (O, 1]. No uniforme. Acotada por l. Creciente.
Límite
= l.
c) Converge a 1 en [O, 1), a! en x = l. No uniforme. Acotada por 1. Creciente.
Límite = l.
2. a) Converge a Vx en [O, 1]. Uniforme. Acotada por 1. Creciente. Límite = 2/3.
c) Converge
a! en x = 1, a ° en (1, 2]. No uniforme. Acotada por l. Decreciente.
Límite =
O.

473. Sugerencias para ejercicios seleccionados
3. a) Converge a 1 en x = O, a O en (O, 1]. No uniforme. Acotada por 1. Decreciente.
Límite =
O.
c) Converge a O. No uniforme. Acotada por l/e. No monótona. Límite = O.
e) Converge a O. No lmiforme. Acotada por l/5e. No monótona. Límite = O.
4. a) El teorema de convergencia dominada se aplica.
b) j¡,(x)
-¿ O para x E [O, 1), pero ((¡ll)) no está acotada. No hay una nmción domi­
nante que sea obvia. Integrar por partes y usar
el inciso a). El resultado indica que
no se aplica el teorema de convergencia dominada.
6. Suponer que ((¡,(e)) converge para alguna e E [a, b). Por el teorema fundamental,
fk(x) -fk(e) =
J:fk' Por el teorema de convergencia dominada, J:fk -¿ J: g, de donde
(fk(x)) converge para toda x E
[a, b]. Adviértase que sifk(x) := (-IY', entonces (fk(x)) no
converge para ninguna
x E [a, b).
7. De hecho, g(x) := sup{fk(x) : le E N} es igual a l/k en (k -1, le], porlo que J~ g = 1 +
~ + ... +~. En consecuencia, g E R *[0, 00).
10. a) Si a > O, entonces I (e-txsen x)/xl S; e-
ax
para tEJa := (a, 00). Si tic E J
a y tic -¿ to E
Jo> entonces el razonamiento usado en 1O.4.6d establece que E es continua en to.
Asimismo, si tic ¿ 1, entonces I(e-
tkx
sen x)/xl S; e-x y el teorema de convergencia
dominada implica que E(t¡J
-¿ O. Por tanto, E(t) -¿ O cuando t -¿ oo.
b) Se sigue como en 10.4.6e que E'(to) = - J~e-t(Yr sen x dx = -l/(t5 + 1).
c) Por 10.1.9, E(s) -E(t) = J: E'(t) dt = -J: (P + 1)-1 dt = aretan t -arctan s para
s,
t> O. Pero E(s) -¿ O y arctan s -¿ n/2 cuando s -¿ oo.
d) No se sabe que
E sea continua cuando t -¿ 0+.
12. Hacer x E 1. Como en 1O.4.6e, si t, to E [a, b], entonces existe t
x entre t y to tal que
f(t, x) -f(to, x) = (t -to) '!f¡(tx, x). Por 10 tanto, a(x) S; [f(t, x) -f(to, x)]/(t - to) S; w(x)
cuando t
* to. Seguir el mismo razonamiento que antes y usar el teorema de convergen­
cia dominada 10.4.5.
13. a) Si
(sk) es una sucesión de nmciones escalonadas que converge afcasi en todas par­
tes y
(tic) es una sucesión de funciones escalonadas que converge a g casi en todas
partes,
el teorema 10.4.9a y el ejercicio 2.2.16 implican que (máx{s", t¡J) es una
sucesión de funciones escalonadas que converge a máx{f, g} casi en todas partes.
Ocurre lo mismo para mÍn
{f, g}.
14. a) Puesto quej¡, E M[a, b] está acotada, pertenece a R*[a, b). El teorema de conver­
gencia dominada implica
quefE R*[a, b]. El teorema de medibilidad 10.4.11
implica entonces
quefE M[a, b].
b) Puesto que
t f-+ arctan t es continua, el teorema 1O.4.9b implica quefic:= arctan o
glcE M[a,b).Además,lfk(x)lS;tnparaxE [a,b).
c) Si gk
-¿ g casi en todas partes, de la continuidad de aretan se sigue que f(le) -¿ f
casi en todas partes. Los incisos
a) y b) implican quefE M[a, b] y el teorema
10.4.9b aplicado a
qJ = tan implica que g = tan o f E M[ a, b].
15. a) Puesto que lE está acotado, está en R*[a, b] si y sólo si está en M[a, b].
c) lE'=I-lE'
d) lE U p(x) = máx{ldx), lp(x)} y lE n p(x) = mín{lE(x), lp(x)}. Además, E\F =
EnF'.
e) Si (E
k
) es una sucesión creciente en M[a, b], entonces (lE
k
)
es una sucesión cre­
ciente en
M[a, b] con lE(x) = lím 1Ek (x) y puede aplicarse el teorema 1O.4.9c. Del
mismo modo,
(l
Fk
) es una sucesión decreciente en M[a, b] y IF(x) = lím IFk(x).
f) SeaA
n:= Ubl E", de modo qre (A
n
) es una sucesión creciente en M[ a, b] con U~1
An = E, por 10 que se aplica e inciso e). Del mismo modo, si En := nbl F
k
, enton­
ces
(En) es una sucesión decreciente en M[a, b] con n~l En = F.

474. Sugerencias para ejercicios seleccionados
16. a)
b)
c)
d)
f)
=r
b
O = O Y O < ::; 1 que O < = J'b :s: b a.
Ja - - a
Puesto que d] es una función escalonada, entonces m([c, dj) = d -c.
Puesto que = 1 -se tiene meE') = .r: (l -= (b -a) -meE).
Adviértase que
UF + n F = + 1y
Si (E
k
)
es creciente en M[a, b] a E, entonces (lE,) es creciente en M[a, b] a
teorema de convergencia monótona 10.4.4 se aplica.
El
g) Si (e
k
) es disjunta por pares y si En := U};=] para n E N, entonces meEn) =
m(e]) + ... + meen)' Puesto que Ub] = U~] E" y (En) son crecientes, el inci­
so
f) implica que m(Ub] e
k
) = lím" m(En) = lím" IJ=] m(e¡J = I:~1 m(e¡e>.
11.1
1. Si Ix -ul < ínf{ x, 1 -x}, entonces u < x + (1 -x) = 1 Y u > x -x = O, por 10 que O <
u < 1.
3. Puesto que la unión de dos conjuntos abiertos es abierta, entonces G¡ U ... U G
k
U
G
k
+] = (G] U ... U G
k
)
U G
k
+
1
es un conjunto abierto.
5. El complemento de N es la unión
(-00, 1) U (1, 2) U ... de intervalos abiertos.
7. El corolario 2.4.9 implica que toda vecindad de
x en Q contiene un punto que no está
enQ.
10. x es un plUlto frontera de A {=} toda vecindad V de x contiene puntos de A y contiene
puntos de
C(a) {=} x es lUl punto frontera de C(a).
12. Los conjuntos F y C(F) tienen los mismos puntos frontera. Por lo tanto, F contiene
todos sus puntos frontera
{=} C(F) no contiene ninguno de sus plUltos frontera {=} C(F)
es abierto.
13. x E AO {=} x pertenece a un conjunto abierto V <;;; A {=} x es un punto interior de A.
15. Puesto que A-es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A,
entonces por 1l.1.5a es un conjunto cerrado que contiene a A. Puesto que C(A-) es
abierto, entonces
Z E C(A-) {=} Z tiene una vecindad V,lz) en C(A-) {=} z no es ni un
punto interior ni un punto frontera de A.
19. Si G oF (i) es abierto y x E G, entonces existe E> O tal que Vix) <;;; G, de donde se sigue
que
a := x -E está en Ax.
21. Si a
x < y < x, entonces como a, := ínfAx existe a' E
(y, x] <;;; (a', x] <;;; G Y Y E G.
tal que a
x < a' :s: y. Por lo tanto,
23. Si
x E lF Y n E N, el intervalo In en F" que contiene a x tiene longitud 1/3". Sea Yn un
punto terminal de In con Y
I1
oF x. Entonces y" E lF (¿por qué?) y Yn -+ x.
24. Como en el ejercicio precedente, tomar zn como el punto medio de 111' Entonces zn e: lF
(¿por qué?) y zn -+ X.
11
1. Sea G" := (l + l/n, 3) para n E N.
3. Sea G" := (1/2n, 2) para n E N.
5. Si 9¡ es una cubierta abierta de K¡ y si r;h es una cubierta abierta de K
2
, entonces
9] U 9
2 es una cubierta abierta de K¡ U K
2
.

475. Sugerencias para ejercicios seleccionados
7. Sea := [O, nJ para n E N.
10 .. Puesto que K", 0 está acotado, se sigue que ínf K existe enlR.. Si := {k E K: k::;
(ínf K) + 1/n}, entonces es cerrado y está acotado; por consiguiente, es compacto.
Por el ejercicio precedente,
n K" '" 0, pero si Xo E n K,1' entonces Xo E K Y es inme­
diato ver que
Xo 0= ínf K. [De manera alternativa, usar el teorelua 11.2.6.]
Sea
0", K <;;; lR. compacto y sea e E lR.. Si n E N, entonces existe x
n
E K tal que
sup{le -
xl : x E K} -1/n < le -xnl. Después se aplica el teorema de Bolzano­
Weierstrass.
15. SeaF
I
:= {n: n E N} Y F
2
:= {n + l/n: n E N, 11 ¿ 2}.
11.3
1. a) Si a < b::; 0, entoncesf-Ie!) = 0. Si a < ° < b, entonces/-le!) = (-VE, VE). Si
O::; a < b, entoncesf-l(I) = (-VE, -Va) (Va, VE).
3. ¡-I( G) = f-I([O, e)) = [1, 1 + 82) = (O, 1 + 82) n 1.
4. Sea G := (1/2, 3/2). Sea F := [-1/2, 1/2].
8. Seafla función discontinua de Dirichlet.
9. Primero se observa que si
A <;;; lR. Y x E lR., entonces se tiene que x E f-
I
(lR.\A) <rl f(x) E
lR.\A <rl f(x) E A <rl X E f-I(A) <rl x E lR.-I(A); por lo tanto,f-I(lR.\A) = lR.-I(A). Se
usa después el hecho de que un conjlmto
F <;;; lR. es cerrado si y sólo si lR.\F es abierto,
junto con el corolario 11.3.3.
11
1. Si Pi := (Xi, y¡) para i = 1,2, 3, entonces dI (PI, P 2) ::; (lxI -x31 + IX3 -x21) + (IYI -Y31 +
IY3 -121) = dI (P 1, P
3
) + dI (P
3
, P
2
)· Por tanto, dI satisface la desigualdad del triángulo.
2. Puesto que
If(x) -g(x) I ::; If(x) - h(x)1 + Ih(x) -g(x) I ::; dooU; h) + doo(h, g) para toda
x E [O, 1], se sigue que doo(f, g) ::; dexff, h) + doo(h, g) Y d
oo satisface la desigualdad
del triángulo.
3. Se tiene s '"
t si y sólo si des, t) = 1. Si s '" t, el valor de des, u) + d(u, t) o es loes 2,
dependiendo de si
u es igual a s o a t, o a ninguno de los dos.
4. Puesto que
d
oo(PI1' P) = sup{lx
n
-
xl, [yn -yl}, si d
oo
(P,l' P) -7 O, entonces se sigue que
IXn -xl -7 ° Y [yn -yl -7 O, de donde x" -7 x y Yn -7 y. Recíprocamente, si Xn -7 X Y
Yn -7 y, entonces IXn -xl -7 ° Y [yn -yl-7 0, de donde dooep", P) -7 O.
6. Si la sucesión (x
n
)
en S converge a x con respecto al métrico discreto d, entonces
d(xl1' x) -7 0, lo que implica que x
n = x para toda 11 suficientemente grande. El recípro­
co es trivial.
7. Demostrar que un conjunto que consiste en un solo punto es abierto. Entonces se sigue
que todo conjunto es un conjunto abierto, por lo que todo conjunto es también lm con­
junto cerrado. (¿Por qué?)
10. Sea G <;;; S2 abierto en (S2, d
2
) y sea x E f-I( G) de modo que f(x) E G. Entonces exis­
te una vecindad-e
VE(f(x)) <;;; G. Puesto que f es continua en x, existe lilla vecindad-o
V8(X) tal quef(V8(x)) <;;; Vs(f(x)). Puesto que x E f-I(G) es arbitraria, se concluye que
f-I(G) es abierta en (SI' dI). La demostración del recíproco es similar.

476. Sugerencias para ejercicios seleccionados
n. Sea g = {G ci} una cubierta de feS) \: IR por conjuntos abiertos en IR. De 11.4.11
se sigue que cada
conjuntof-I(Go;) es abierto en (S, d). Por lo tanto, la colección
u-leGa>} es una cubierta abierta de S. Puesto que (S, d) es compacto, una subcolec­
ción finita
U-I(Go;), ... ,¡-l(Go; )} cubre S, de donde se sigue que los conjuntos
l N
{Go;l' ... , Go;N} deben formar una subcubierta finita de g paraf(S). Puesto que g
es una cubierta abierta arbitraria de feS), se concluye que feS) es compacto.

477. A
Abe!:
criterio de, 332, 375
lema de, 331
Abiertas( os):
conjuntos, 390, 413-414
cubierta, 398
intervalos, 56
propiedades de los conjuntos, 391, 393-394
Absoluto(a):
convergencia, 317-320
máximo, 162
mínimo, 162
valor, 40
Absurdum, 427. Véase Reductio ad absurdum
Acotada( o):
conjunto, 45, 416
inferiormente, 45
superiormente, 45
función,
50,131,161, 182
sucesión,
75
teorema de convergencia, 298
Aditividad, propiedad de, 387
Antiderivada, 261
Aproximación del punto medio, 277
Axioma, 417
B
Base, 16,306
Bernoulli, Johann, 216
Bicondicional,421
Biyección, 9
Bolzano, Bernhard, 149
e
Campo, axiomas de, 30
Cantor, Georg, 26, 59
conjunto
lF de, 394-396
teorema de, 26, 59-60,
63
Casi en todas partes, función que se cumple,
267
Cauchy, Augustin-Louis, 65-66, 121, 149
criterio de condensación de, 118
criterio de convergencia de, 102, 113,
251-252,290-291,335,349
criterio de la raíz de, 322
desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky­
Schwarz, 273
sucesión de, 100, 411-413
teorema del valor medio de, 218
Cerrado:
conjunto, 390, 413
intervalo, 56
Cerradura, de un conjunto, 397
Clase positiva
lP', 33
Cociente:
de funciones, 132
de sucesiones, 76
regla del, 196
Cociente, de sucesiones, 76
Codominio, de una función, 6
Cola, de una sucesión, 71-72
Compacidad, preservación de la, 405-407,
414
Complemento, de un conjunto, 3
Completez, teorema de, 365
Composición de funciones, 11-12,
158-160

478. 420
Condición de
171
420
Conjunción, 419
Conjunto acotado, 45, 416
Conjunto compacto, 398-402
Conjunto enumerable, 22.
Véase también Contable,
conjunto
Conjunto finito, 20-26
Conjunto nulo, 267
Conjunto vacío
0, 4
Conjunto(
s):
abierto, 390, 413-414
acotado, 45, 416
cerrado, 390, 413
cerradura
de un, 397
compacto, 398-402
complemento con respecto
a, 3
complemento de, 3
contable, 22-26, 429-432
de Cantor
lF, 394-396
diferencia simétrica,
13
disjunto, 4
enumerable, 22
finito, 20-21, 429-432
iguales, 2
inclusión de, 1
incontable, 22
ínfimo de, 46
infinito,
21
interior de, 397
intersección de, 3, 4
intervalos, 56-63
medible, 387
miembro de un, 2
no acotado, 45
nulo, 267
operaciones con, 3-7
producto cartesiano de, 4-7
punto
de acumulación de, 122,
393
punto frontera de, 397
punto interior de, 397
supremo de, 46
unión
de, 3, 4
vacío, 4
Conjuntos disjuntos, 4
Contabilidad:
de N X N, 23, 431
de Q, 24
de
23
Contable:
conjunto, 22-26, 429-432
propiedad
de aditividad, 387
Contexto, 421-422
Continuidad, 150-154, 413
de funciones, 150-154
global, 404-405, 414
uniforme, 169-177
Continuidad uniforme, 169-179,
183
teorema de, 171, 183
Contradicciones, véase Falacias
Contraejemplo, 423
-Contrapositivo, 420-421
demostración por el, 426
Convergencia:
absoluta, 317-320
de integrales, 375-380
de una serie,
111
de una serie de funciones, 334-339
de una sucesión, 68
de tilla sucesión de funciones, 285
intervalo
de, 336
puntual, 285-288
radio de, 336
uniforme, 285, 288-289
Convergencia condicional, 318
Convergencia puntual, 285-286
Convergencia uniforme:
de una serie, 334-335
de una sucesión, 288-289, 376
Cota inferior, 45
Cota superior, 45
Creciente, función, 184, 209
sucesión, 86
Criterio:
de la primera derivada, 210-211
de la n-ésima derivada, 187
del n-ésimo término, 112-113
para convergencia absoluta, 321-327
para convergencia
de series, 113-114,
321-327
Criterio de Chartier-Dirichlet, 375
Criterio
de continuidad uniforme, 170
índice

479. índice
Criterio de discontinuidad, 152
Criterio
dela primera derivada, para extremos,
210-211
Ctitej<io de la raíz, 322
Critdho de la recta vertical, 6,
10
' Criterio de la segunda derivada, 232
Criterio de Raabe, 325-327
Criterio de sucesiones para la continuidad,
152
Criterio del cociente, 322,
323
Criterio del cociente de D' Alembert, 323
Criterio
M de Weierstrass, 335, 443-444
Criterios
de comparación, 115-117, 363
Criterios
de la recta horizontal, 9, 10
Criterios de rectas, 9
Cuantificador existencial
::1, 422
Cuantificador universal
V, 422
Cuantificadores, 421-424
Cubierta, 319
Curva que llena el espacio, 444-445
D
Decimal exacto, 62
Decimal periódico, 62-63
función, 178
Decreciente, función, 184,209
sucesión,
86
Demostración:
directa, 424-425
indirecta, 425-426
por el contrapositivo, 426
por reducción al absurdo, 427
Demostración directa, 424-426
Demostraciones indirectas, 426-427
Derivabilidad uniforme, 216
Derivada, 194-205
de orden superior, 226
n-ésima, 226
segunda, 226
Derivadas
de orden superior, 226
Descartes, René, 193,239
Desigualdad:
de Bemoulli, 38, 213
de la media aritmética-geométrica, 37, 308
de Schwarz, 273
del triángulo, 41, 409
V'-"',,,"UH.W\'-' de BemouHi, 38,213
Desigualdad de Schwarz, 273
Desigualdad del triángulo,
41,409
Diferencia:
de dos funciones, 132
de dos sucesiones, 76
simétrica,
13
Diferencia simétrica, 13
Dini, Ulisse, 298
Dirichlet,
P. G. 1,239
criterio de, 331, 375
función discontinua
de, 153,250,253,268,
347, 382
integral
de, 370, 381
Distancia, 43, 364
Disyunción, 419
Divergencia:
criterios
de, 128-130
de una función, 124, 129
de una sucesión, 68, 96-97,
108
División en
JR;., 32
Doble implicación, 421
Dominio, de una función, 6
E
Elemento, de un conjunto, 2, 21
Elemento cero, existencia del, 30
Enteros, 2
Equi-integrabi1idad, 377-378
teorema
de, 377
Equivalentes lógicos, 418
Espacio, curva que llena el, 444-445
Espacio métrico completo, 412
Espacio semimétrico, compacto, 414
Etiquetas, de los sub intervalo
s, 241
Etiquetas, puntos, 179
Euler:
constante
e de, 329
número
e, 91, 302
Euler, Leonard, 92,
121
Excluido, principio del medio, 418
Expansión binomial,
341
Exponentes, 32
Extensión
de una función, 172-174
Extremo relativo, 206, 230-231

480. F
lF (conjunto de Cantor), 395
Falacia, 418
Fermat, Pierre de, 193,239
Fluxiones, 193,239
Formas indeterminadas, 217
Fórmula
de Newton-Leibniz, 343
Función(es), 6-13, 50-51
acotada,
50,131,161-162
aditiva, 161
biyectiva, 9
cociente de, 132
codominio
de, 6
composición de, 11-12, 158-160
inferiormente, 50
superiormente, 50
compuesta,
11
continua, 150-154,403-407
convexa, 231-232
coseno inverso,
13
creciente, 184,209
cuadrática,
12
de Bessel, 211
de Dirichlet, 153,251,253,268,347,382
de Lipschitz, 171
de Thomae, 153,249,268,382
decreciente, 184, 209
del entero mayor,
155,267
derivada de, 194
diferencia,
13 2
discontinua, 150
dominio
de, 6
escalonada,
174,255,381
exponencial,300-304
gráfica de, 6
hiperbólicas, 315
imagen
de, 7, 8
imagen directa de, 8
imagen inversa de, 8
impar, 205,
261
integrable, 243, 343, 368, 384
inversa, 10, 188, 202-205
inyectiva, 9
límite de, 123-127
lineal porpartes, 176
logaritmo, 304-305
mapeo,6
medible, 381-383
medida sobre, 179, 345
métrico de, 409-410
monótona, 184,378
m"últipl0 de, 132
no derivable, 196,443-444
oscilación de, 435
par, 205,
261
periódica, 178
polinómica, 135, 157, 177
potencia, 190-191,305-306
potencia racional, 190-191
producto de, 132
racional, 157
raíz cuadrada,
12, 53
raíz cuadrada positiva, 12
raíz n-ésima, 53, 189-190
restricción de, 12-13
salto
de, 186
seno inverso,
13
serie de, 334-340
signo, 129, 152
sucesión
de, 285-286
suma de, 132
suprayectiva, 9
traslación de,
251
trigonométricas, 157,308-315
uniformemente derivable, 216
uno a uno, 9
valor de, 7
Función aditiva,
161
Función convexa, 231-232, 277, 279
Función coseno, 312
Función creciente en un punto, 210
Función cuadrática,
12
Función de Thomae, 153,249,268,382
Función entero mayor, 155,271
Función escalonada, 174,255
Función estrictamente creciente, 210
Función exponencial, 300-304
Función inyectiva, 9
Función lineal por partes, 176
Función raíz cuadrada positiva,
12, 53
Función seno, 312
Función signo, 129, 152
Función suprayectiva, 9
índice

481. índice
Función uno a uno, 9
Funciones
de Bessel, 211
Funciones derivables, 194-195
uniformep
1ente, 216
Funciones hiperbólicas (seno y coseno), 315
Funciones no derivables, 196,443-444
Funciones polinómicas, 135, 157, 177
Funciones trigonométricas, 157, 308-315
G
Gráfica, de una función, 6
H
Henstock, Ralph, 344
Hipótesis, 420
de inducción matemática,
16
1
Imagen, 7, 8
Imagen directa, 8
Impar, función, 205,
261
número, 3, 32
Implicación, 420
Inducción fuerte, principio
de, 19
Inducción matemática, 14-19
Ínfimo, 46
Infinito s (as):
conjunto, 21-26
límite, 143-147
series, 110-117,317-341
Innumerabilidad (no contable)
de lE., 59-60, 63
Integración aproximada, 273-281, 439-442
Integración por partes, 269-270, 356
Integral:
criterio
de la, para series, 324-325
de Dirichlet, 370, 381
de Fressnel, 374
de Lebesgue, 240, 343, 344, 362-364
de Riemann, 239, 343-248
de Riemann generalizada, 343-385
elíptica,
341
impropia, 324, 343, 360-362
indefinida, 264, 271, 354
Integral
de Fresnel, 374
Integral de Riemann generalizada, 343-387
Integral elíptica, del primer tipo,
341
Integral indefinida, 264, 271, 354
Integrales impropias, 324, 343, 360-362
Interior:
de un conjunto, 397
teorema del extremo, 207
punto, 397
Intersección
de conjuntos, 4
Intervalo semiabierto, 56
Intervalo semicerrado,
56
Intervalo( s), 56-63
anidados, 58-59
caracterización de,
57
teorema de, 57
de convergencia, 336
longitud de,
57
participación de, 179,241
preservación de, teorema
de, 167
Inversa:
función, 10-11, 188, 202-205
imagen, 8
Inyección, 9
Iterados( as
):
sumas, 321
supremos, principio de los, 56
J
Juego K(e), 70
K
Kurzweil, Jaroslav, 344, 377
L
Lagrange, Joseph-Louis, 226
forma del residuo
de, 228
Lebesgue, Hemi, 240, 266, 343, 344,
435-437
criterio
de integrabilidad, 266, 268, 435
integrable, 368
integral de, 240, 343, 344, 362-364
medida, 387
teorema de convergencia dominada,
378-379

482. 239
criterio
de series 330
regla de, 236
Lema, 426
Lema
de horcajadas, 206
Leyes
de De Morgan, 4, 420
Logaritmo, 304
Longitud, de un intervalo, 57
Límite por un lado, 140-143
Límite(s):
criterio
de comparación de, 116, 322
de una función, 123-127
de una serie, ·111
inferior, 93
infinito, 143-147
por un lado, 140-143
superior, 93, 336
Límites, intercambio
de, 292-298
Lipschitz, condición de,
171
L'Hópital, G. F., 216
reglas de, 216-224
M
M (colección de conjuntos medibles), 387
Mapeo, véase Función
Máxima cota inferior (ínfimo), 46
Máximo absoluto, 162
punto, 162
relativo, 206
Media aritmética, 37, 308
Media geométrica, 37, 308
Medible:
conjunto, 387
función, 381-383
Medida, 179-180,345,436
Medida,
de Lebesgue, 381
cero, véase Conjunto nulo
Medida cero, véase Conjunto nulo
Medio excluido, principio del, 418
Método de bisección, 164
Método
de cambio de variable, 266, 272,
354-356
Método
de Newton, 189
Métrica, función, 409
Métrico, espacio, 408-410
Miembro
de un conjunto, 2
Mínimo
punto, 162
relativo, 206
46
Monótona, teorema
de convergencia, 86, 378
función, 184,378
sucesión,
87
teorema de la sub sucesión, 97
Múltiplo de una sucesión,
76
N
N (conjunto de los números naturales), 2
n-ésima aproximación del trapecio, 276
Negación, 418
Newton, Isaac, 121, 193-194,233,239
Norma uniforme, 289
de una función, 289
de una partición, 267
Número(s):
impares, 3, 32
irracionales, 32
naturales, 2,
19
pares, 3, 32
primo,19
racionales, 2, 32
reales, 2, 29-64
Números irracionales, 32
Números naturales, 2
Números negativos,
33
Números racionales, 2, 32
función
de, 157
potencias con, 190-191
Números reales
lR., 2, 33
potencias con, 190-191,305-306
o
Operación binaria, 30
Oscilación, 435
p
lP' (clase positiva), 33
Par, función, 205, 261
número, 3, 32
Par ordenado, 5
índice

483. índice
179,241
345
110fma 241
retícula de, 241
Partición 179, 241
Partición 345
97
Polinomio
de Bernstein, 177
Polinomio
de Taylor, 184
Potencia,
de un número real, 190-191,305-306
funciones, 305-306
series de, 336
Preservaci ón:
de intervalos, 167
de la compacidad, 405-407, 414
Primitiva
de una función, 261
Principio de inducción matemática, 15, 16
Principio de la doble negación, 419
Principio
de los supremos iterados, 56
Principio del medio excluido, 418
Principio del palomar, 429
Producto:
cartesiano, 4-5,
de conjuntos, 4-5
de funciones, 132
de sucesiones, 76
regla del, 192
teorema del, 269
Producto cartesiano, 5
Propiedad (pertenece a ...
), 2
Propiedad
de Arquímedes, 51-52
Propiedad
de completez de lR, 45-48
Propiedad
de los intervalos anidados, 58, 100
Propiedad
de tricotomía, 33
Propiedad del buen orden (de N), 15
Propiedades algebraicas de lR, 30-31
Propiedades de los conjuntos cerrados,
391-392,393
Proposiciones, 418
Puente,
16
Punto:
de acumulación, 122, 393
de partición, 179
frontera, 397
interior, 397
Punto base, 264,
271
UHHHUv~VH, 122, 393 Punto de
Punto tIontE:ra,
Punto terminal, de un
Puntos antípodas,
168
56
Q
CQl (conjunto de los números racionales), 2
Q.E.D. (Quod erat demonstrantum), 426
Que no termina en 6, serie, 329
R
lR (conjunto de los números reales), 2, 29
Radio de convergencia, 336
Raíces:
Raíz:
existencia de, 53, 189
localización de, 164, 182
método
de Newton, 233-235
criterio
de la, 322-323
funciones
de la, cuadrada positiva, 12,
53
Raíz cuadrada de 12:
cálculo de, 90
carácter irracional de, 32
existencia de, 52-53
Recíproco, 30, 420,
421
Reducción al absurdo, demostración por, 427
Reductio ad absurdum, 427
Regla de Simpson, 279-281, 441
Regla de la cadena, 198, 199
Regla del punto medio, 277-279
Regla del trapecio, 276-277, 439
Representación binaria, 60-61
Representación decimal,
62
periódica, 62
Representaciones decimales, 62
Residuo con el teorema de Taylor:
forma con integral, 270, 357
forma
de Lagrange, 228
Restricción,
de una función, 12-13
Retícula (norma) de una partición,
241
Riemann, Bernhard, 239, 240, 343
criterio
de integrabilidad de, 433-434
integral de, 243-248
suma de, 242

484. s
Salto, de una función, 186
Schoenberg,1.
1, 444
Semimétrico, 414-415
Seminorma, 364
Serie armónica,
1l3, 317
Serie armónica alternada, 114, 317
Serie geométrica,
111
Serie hipergeométrica, 329
Serie
p, 114
Serie(s), 110-117,317-340
absolutamente convergente, 318
agrupamiento de, 318-319
alternada, 330
armónica,
1l3, 317
armónica alternada, 114, 317
condicionalmente convergente, 318
convergente,
111
de funciones, 334-340
de potencias, 335-339
de Taylor, 339-340
geométrica,
111
hipergeométrica, 329
que no terminan en
6, 329
reordenamientos de, 319-320
serie
2,113-114
serie p, 114
uniformemente convergente, 334
Series alternadas, 330-332
Silogismo, ley del, 340
Subconjunto, 2
Subc;onjunto propio, 2
Sub cubierta, 398
finita, 398
Subparticiones, 368
Sub sucesión, 94
Sucesión alternada, 330
Sucesión "barajada", 99
Sucesión contractiva, 104
Sucesión de Fibonacci, 67
Sucesión propiamente divergente,
107-109
Sucesión( es):
acotada,
75
"barajada", 99
cociente de, 76
colas 71-72
constante, 67
contractiva, 104
convergencia uniforme de, 288
convergente,
68
creciente, 86
de Cauchy,
100,412
de Fibonacci, 67
de funciones, 285-286
decreciente, 86
. diferencia, 76
divergente, 68, 107-109
elementos,
66
inductiva, 67
límite de, 67-71
unicidad de,
68
monótona, 85-92
múltiplo de, 76
no acotada,
8
producto de, 76
propiamente divergente, 107-108
recursiva, 67
sub sucesión de, 94
suma de, 76
término de,
66
Suma:
de funciones,
l32
de Riemann, 242
de sucesiones, 76
de una serie,
111
iterada, 321
parcial, 111
Sumas parciales, 111, 334
fórmulá'ide, 331
Suprayección, 9
Supremo, 46
iterado, 56
propiedad del, 48
Sustracción en
lR., 32
T
Tautología, 418
Taylor, Brook, 226
expansión de, 339 '
polinomio de, 227
serie de, 339-340
índice

485. índice
Teorema de 248-249
Teorema
de aditividad, 257-259, 350-351
Teorema
de aproximación de Bernstein, 177
Teorel'na
de 97-99
para series infinitas, 403
para sucesiones, 97-98, 402
Teorema
de Carathéodory, 198
Teorema
de Cauchy-Hadamard, 337
Teorema
de completez, 365
Teorema
de composición, 268-269
Teorema
de compresión, 79, 253-254, 350
en sucesiones, 79-80
Teorema de conformidad, 346-347
Teorema de continuidad global, 404-405, 414
Teorema de convergencia dominada, 378-379
Teorema de Darboux, 213, 214
Teorema de densidad, 54
Teorema de derivación, 338
Teorema de Dini, 298
Teorema de extensión continua, 172-174
Teorema
de Hake, 360-361, 368-369
Teorema
de Heine-Borel, 401-402, 403
Teorema
de la inversa continua, 188
Teorema
de localización de raíces, 164, 182
Teorema
de medibilidad, 384
Teorema
de multiplicación, 356
Teorema
de reordenamiento, 320
Teorema
de Riesz-Fischer, 365
Teorema
de Rolle, 207
Teorema
de Taylor, 226-230, 270, 357
Teorema de unicidad, 21, 339, 429
para conjuntos finitos, 21, 427
para integrales, 243, 346
para series
de potencia~, 339
Teorema del máximo-mínimo, 162-164, 182
Teorema del valor intermedio de Bolzano, 165
Teorema del valor intermedio de Darboux, 214
Teorema del valor medio:
forma
de Cauchy, 218
para derivadas, 208-209
para integrales, 260, 359
Teoremas
de aproximación,
Teoremas
de intercambio de límites:
relacionados con la continuidad, 294-295
relacionados con la 295-296
relacionados con la integral, 296-298,
375
relacionados con series, 334
relacionados con sucesiones, 292-294
Teoremas de sustitución, 266, 272, 354-356
Teoremas del valor intermedio:
de Bolzano, 165
de Darboux, 214
Teoremas fundamentales del cálculo, 261-270,
351-353,371
Thomae,
K. l, 153
Traslación,
251
u
Unión, de conjuntos, 3, 4
v
Valor, de una función, 7
Van der Waerden, B. L., 443
Vecindad, 43, 390, 410-411
w
Weierstrass, Karl, 122, 149, 196
criterio
M de, 335, 443-444
función no derivable, 196,443
teorema
de aproximación de, 177
y
"Y/o", terminología jurídica, 3, 419
z
z
(colección de los enteros), 2

486. Otra obra de interés
Al
bilidad para
ósmosis,
se
hacer riornr'cU·"""'nn
que
Introducción
al
por Editorial Umusa:
prácticamente obligada cualquiera
con el pie derecho una-carrera en matemática o en
de las disciplinas relacionadas, como compu-
tación, física, economía, áctuaría,
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