Introduction To The Theory Of Random Processes N V Krylov

Introduction To The Theory Of Random Processes N
V Krylov download
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-
random-processes-n-v-krylov-4629044
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
An Introduction To The Theory Of Stationary Random Functions A M
Yaglom
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-the-theory-of-
stationary-random-functions-a-m-yaglom-1551760
Introduction To The Theory Of Smart Electromechanical Systems 1st
Edition Andrey E Gorodetskiy
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-smart-
electromechanical-systems-1st-edition-andrey-e-gorodetskiy-51299240
Introduction To The Theory Of Interest 2nd Printing Reprint 2019
Joseph W Conard
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-
interest-2nd-printing-reprint-2019-joseph-w-conard-51815380
Introduction To The Theory Of Quantum Information Processing Graduate
Texts In Physics 2013th Edition Bergou
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-quantum-
information-processing-graduate-texts-in-physics-2013th-edition-
bergou-56238956

Introduction To The Theory Of Standard Monomials 2nd Edition C S
Seshadri
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-standard-
monomials-2nd-edition-c-s-seshadri-58709978
Introduction To The Theory Of Nonlinear Optimization 4th Ed Johannes
Jahn
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-nonlinear-
optimization-4th-ed-johannes-jahn-22425556
Introduction To The Theory Of Lie Groups 1st Edition Roger Godement
Urmie Ray Translator
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-lie-
groups-1st-edition-roger-godement-urmie-ray-translator-23397908
Introduction To The Theory Of Ferromagnetism International Series Of
Monographs On Physics 2nd Amikam Aharoni
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-
ferromagnetism-international-series-of-monographs-on-physics-2nd-
amikam-aharoni-2405006
Introduction To The Theory Of The Early Universe Hot Big Bang Theory
Dmitry S Gorbunov
https://ebookbell.com/product/introduction-to-the-theory-of-the-early-
universe-hot-big-bang-theory-dmitry-s-gorbunov-2473328

Introduction
to the Theory of
Random Processes
N.V. Krylov
Graduate Studies
in Mathematics
Volume 43

Selected Titles in This Series
43 N. V. Krylov, Introduction to the theory of random processes, 2002
42 Jin Hong and Seok-Jin Kang, Introduction to quantum groups and crystal bases, 2002
41 Georgi V. Smirnov, Introduction to the theory of differential inclusions, 2002
40 Robert E. Greene and Steven G. Krantz, F\Inction theory of one complex variable,
2002
39 Larry C. Grove, Classical groups and geometric algebra, 2002
38 Elton P. Hsu, Stochastic analysis on manifolds, 2002
37 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Theta constants, Riemann surfaces and the modular
group, 2001
36 Martin Schechter, Principles of functional analysis, second edition, 2002
35 James F. Davis and Paul Kirk, Lecture notes in algebraic topology, 2001
34 Sigurdur Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, 2001
33 Dmitri Burago, Yuri Burago, and Sergei Ivanov, A course in metric geometry, 2001
32 Robert G. Bartle, A modern theory of integration, 2001
31 Ralf Korn and Elke Korn, Option pricing and portfolio optimization: Modern methods
of financial mathematics, 2001
30 J. C. McConnell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, 2001
29 Javier Duoandikoetxea, Fourier analysis, 2001
28 Liviu I. Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, 2000
27 Thierry Aubin, A course in differential geometry, 2001
26 Rolf Berndt, An introduction to symplectic geometry, 2001
25 Thomas Friedrich, Dirac operators in Riemannian geometry, 2000
24 Helmut Koch, Number theory: Algebraic numbers and functions, 2000
23 Alberto Candel and Lawrence Conlon, Foliations I, 2000
22 Giinter R. Krause and Thomas H. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov
dimension, 2000
21 John B. Conway, A course in operator theory, 2000
20 Robert E. Gompf and Andras I. Stipsicz, 4-manifolds and Kirby calculus, 1999
19
Lawrence
C. Evans, Partial differential equations, 1998
18
Winfried Just and Martin Weese, Discovering modern set theory. II: Set-theoretic
tools for every mathematician, 1997
17
Henryk Iwaniec, Topics in classical automorphic forms, 1997
16
Richard
V. Kadison and John R. Ringrose, F\Indamentals of the theory of operator
algebras. Volume II: Advanced theory, 1997
15 Richard V. Kadison and John R. Ringrose, F\Indamentals of the theory of operator
algebras. Volume I: Elementary theory, 1997
14
Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, 1997
13
Paul
C. Shields, The ergodic theory of discrete sample paths, 1996
12
N.
V. Krylov, Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces, 1996
11 Jacques Dixmier, Enveloping algebras, 1996 Printing
10 Barry Simon, Representations of finite and compact groups, 1996
9
Dino Lorenzini, An invitation to arithmetic geometry, 1996
8
Winfried Just and Martin Weese, Discovering modern set theory. I: The basics, 1996
7
Gerald J. Janusz, Algebraic number fields, second edition, 1996
6
Jens
Carsten Jantzen, Lectures on quantum groups, 1996
5
Rick Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, 1995
4
Russell A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, 1994
(Continued in the back of this publication)

Introduction
to the Theory of
Random Processes

Introduction
to the Theory of
Random Processes
N.V. Krylov
Graduate Studies
in Mathematics
Volume 43
American Mathematical Society
Providence, Rhode Island

Editorial Board
Steven G. Krantz
David Saltman (Chair)
David Sattinger
Ronald Stern
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 60-01; Secondary 60G99.
The author was supported in part by NSF Grant DMS-9876586
ABSTRACT. These lecture notes concentrate on some general facts and ideas of the theory of
stochastic processes. The main objects of study are the Wiener processes, the stationary processes,
the infinitely divisible processes, and the Ito stochastic equations.
Although
it is not possible to cover even a noticeable portion of the topics listed above in a
short course, the author sincerely hopes that after having followed the material presented here
the reader will have acquired a good understanding of what kind of results are available and what
kind of techniques' are used to obtain them.
These notes are intended for graduate students and scientists in mathematics, physics and
engineering interested in the theory of random processes and its applications.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Krylov, N.
V. (Nikolai Vladimirovich)
Introduction to the theory of random processes/ N. V. Krylov
p. cm. -
(Graduate studies in mathematics,
ISSN 1065-7339; v. 43)
Includes bibliographical references
and index. ISBN 0-8218-2985-8 (alk. paper)
1. Stochastic processes. I. Title. II. Series.
QA274.K79 2002
519.2/3-dc21 2002018241
Copying and reprinting. Individual readers of this publication, and nonprofit libraries
acting for them, are permitted to make fair use of the material, such as to copy a chapter for use
in teaching
or research. Permission is granted to quote brief passages from this publication in
reviews, provided
the customary acknowledgment of the source is given.
Republication,
systematic copying, or multiple reproduction of any material in this publication
is
permitted only under license from the American Mathematical
Society. Requests for such
permission should be addressed
to the Acquisitions Department, American Mathematical
Society,
P. 0. Box 6248, Providence, Rhode Island 02940-6248. Requests can also be made by e-mail to
reprint-permission©ams.org.
© 2002 by the American Mathematical Society. All rights reserved.
The American Mathematical Society retains all rights
except those
granted to the United
States Government.
Printed in the United States of America.
§ The paper used in this book is acid-free and falls within the guidelines
established
to ensure permanence and durability.
Visit
the
AMS home page at URL: http: I /www.ams.org/
10987654321 07 06 05 04 03 02

Contents
Preface Xl
Chapter 1. Generalities 1
§1. Some selected topics from probability theory 1
§2. Some facts from measure theory on Polish spaces 5
§3. The notion of random process 14
§4. Continuous random processes 16
§5. Hints to exercises 25
Chapter 2. The Wiener Process 27
§ 1. Brownian motion and the Wiener process 27
§2. Some properties of the Wiener process 32
§3. Integration against random orthogonal measures 39
§4. The Wiener process on [O, oo) 50
§5. Markov and strong Markov properties of the Wiener process 52
§6. Examples of applying the strong Markov property 57
§7. Ito stochastic integral 61
§8. The structure of Ito integrable functions 65
§9. Hints to exercises 69
Chapter 3. Martingales 71
-
vii

viii Contents
§1. Conditional expectations 71
§2. Discrete time martingales 78
§3. Properties of martingales 81
§4. Limit theorems for martingales 87
§5. Hints to exercises 92
Chapter 4. Stationary Processes 95
§1. Simplest properties of second-order stationary processes 95
§2. Spectral decomposition of trajectories 101
§3. Ornstein-Uhlenbeck process 105
§4. Gaussian stationary processes with rational spectral densities 112
§5. Remarks about predicting Gaussian stationary
processes with rational spectral densities 117
§6. Stationary processes and the Birkhoﬀ-Khinchin theorem 119
§7. Hints to exercises 127
Chapter 5. Inﬁnitely Divisible Processes 131
§1. Stochastically continuous processes with independent increments131
§2. L´evy-Khinchin theorem 137
§3. Jump measures and their relation to L´evy measures 144
§4. Further comments on jump measures 154
§5. Representing inﬁnitely divisible processes through jump measures
155
§6. Constructing inﬁnitely divisible processes 160
§7. Hints to exercises 166
Chapter 6. Itˆo Stochastic Integral 169
§1. The classical deﬁnition 169
§2. Properties of the stochastic integral onH 174
§3. Deﬁning the Itˆointegralif
ﬀ
T
0
f
2
s
ds <∞ 179
§4. Itˆo integral with respect to a multidimensional Wiener process 186
§5. Itˆo’s formula 188
§6. An alternative proof of Itˆo’s formula 195

Contents ix
§7. Examples of applying Itˆo’s formula 200
§8. Girsanov’s theorem 204
§9. Stochastic Itˆo equations 211
§10. An example of a stochastic equation 216
§11. The Markov property of solutions of stochastic equations 220
§12. Hints to exercises 225
Bibliography 227
Index 229

Preface
For about ten years between 1973 and 1986 the author was delivering a one-
year topics course “Random Processes” at the Department of Mechanics and
Mathematics of Moscow State University. This topics course was obligatory
for third-fourth year undergraduate students (about 20 years of age) with
major in probability theory and its applications. With great sympathy I
remember my ﬁrst students in this course: M. Safonov, A. Veretennikov,
S. Anulova, and L. Mikhailovskaya. During these years the contents of the
course gradually evolved, simplifying and shortening to the shape which has
been presented in two 83 and 73 page long rotaprint lecture notes published
by Moscow State University in 1986 and 1987. In 1990 I emigrated to the
USA and in 1998 got the opportunity to present parts of the same course
as a one-quarter topics course in probability theory for graduate students at
the University of Minnesota. I thus had the opportunity to test the course
in the USA as well as on several generations of students in Russia. What
the reader ﬁnds below is a somewhat extended version of my lectures and
the recitations which went along with the lectures in Russia.
The theory of random processes is an extremely vast branch of math-
ematics which cannot be covered even in ten one-year topics courses with
minimal intersection of contents. Therefore, the intent of this book is to
get the reader acquainted only with some parts of the theory. The choice
of these parts was mainly deﬁned by the duration of the course and the au-
thor’s taste and interests. However, there is no doubt that the ideas, facts,
and techniques presented here will be useful if the reader decides to move
on and study some other parts of the theory of random processes.
From the table of contents the reader can see that the main topics of
the book are the Wiener process, stationary processes, inﬁnitely divisible
xi

xii Preface
processes, and Itˆo integral and stochastic equations. Chapters 1 and 3 are
devoted to some techniques needed in other chapters. In Chapter 1 we
discuss some general facts from probability theory and stochastic processes
from the point of view of probability measures on Polish spaces. The re-
sults of this chapter help construct the Wiener process by using Donsker’s
invariance principle. They also play an important role in other issues, for
instance, in statistics of random processes. In Chapter 3 we present basics
of discrete time martingales, which then are used in one way or another in
all subsequent chapters. Another common feature of all chapters excluding
Chapter 1 is that we use stochastic integration with respect to random or-
thogonal measures. In particular, we use it for spectral representation of
trajectories of stationary processes and for proving that Gaussian station-
ary processes with rational spectral densities are components of solutions to
stochastic equations. In the case of inﬁnitely divisible processes, stochas-
tic integration allows us to obtain a representation of trajectories through
jump measures. Apart from this and from the obvious connection between
the Wiener process and Itˆo’s calculus, all other chapters are independent
and can be read in any order.
The book is designed as a textbook. Therefore it does not contain any
new theoretical material but rather a new compilation of some known facts,
methods and ways of presenting the material. A relative novelty in Chapter
2 is viewing the Itˆo stochastic integral as a particular case of the integral of
nonrandom functions against random orthogonal measures. In Chapter 6 we
give two proofs of Itˆo’s formula: one is more or less traditional and the other
is based on using stochastic intervals. There are about 128 exercises in the
book. About 41 of them are used in the main text and are marked with an
asterisk. The bibliography contains some references we use in the lectures
and which can also be recommended as a source of additional reading on
the subjects presented here, deeper results, and further references.
The author is sincerely grateful to Wonjae Chang, Kyeong-Hun Kim,
and Kijung Lee, who read parts of the book and pointed out many errors,
to Dan Stroock for his friendly critisizm of the ﬁrst draft, and to Naresh
Jain for useful suggestions.
Nicolai Krylov
Minneapolis, January 2001

Chapter 1
Generalities
This chapter is of an introductory nature. We start with recalling some basic
probabilistic notions and facts in Sec. 1. Actually, the reader is supposed to
be familiar with the material of this rather short section, which in no way is
intended to be a systematic introduction to probability theory. All missing
details can be found, for instance, in excellent books by R. Dudley [Du]
and D. Stroock [St]. In Sec. 2 we discuss measures on Polish spaces. Quite
often this subject is also included in courses on probability theory. Sec. 3
is devoted to the notion of random process, and in Sec. 4 we discuss the
relation between continuous random processes and measures on the space of
continuous functions.
1. Some selected topics from probability theory
The purpose of this section is to remember some familiar tunes and get
warmed up. We just want to refresh our memory, recall some standard
notions and facts, and introduce the notation to be used in the future.
Let Ω be a set andFa collection of its subsets.
1. Deﬁnition.We say thatFis aσ-ﬁeldif
(i) Ω∈F,
(ii) for everyA
1, ..., An, ...such thatA n∈F,wehave
Ω
n
An∈F,
(iii) ifA∈F,thenA
c
:= Ω\A∈F.
In the case whenFis aσ-ﬁeld the couple (Ω,F) is calledameasurable
space, and elements ofFare calledevents.
2. Example.Let Ω be a set. ThenF:={∅,Ω}is aσ-ﬁeld which is called
the trivialσ-ﬁeld.
1

2 Chapter 1. Generalities, Sec 1
3. Example.Let Ω be a set. Then the family Σ of all its subsets is a
σ-ﬁeld.
Example 3 shows, in particular, that ifFis a family of subsets of Ω, then
therealwaysexistsatleastoneσ-ﬁeld containingF:F⊂Σ. Furthermore,
it is easy to understand that, given a collection ofσ-ﬁeldsF
α
of subsets of
Ω, whereαruns through a set of indices, the set of all subsets of Ω each
of which belongs to everyσ-ﬁeldF
α
is again aσ-ﬁeld. In other words the
intersection of every nonempty collection ofσ-ﬁelds is aσ-ﬁeld. In view
of Example 3, it makes sense to consider the intersection of allσ-ﬁelds
containing a given familyFof subsets of Ω, and this intersection is aσ-
ﬁeld. Hence the smallestσ-ﬁeld containingFexists. It is called theσ-ﬁeld
generated byFand is denoted byσ(F).
IfXis a closed subset ofR
d
,theσ-ﬁeld of its subsets generated by the
collection of intersections of all closed balls inR
d
withXis called the Borel
σ-ﬁeld and is denoted byB(X). Elements ofB(X) are called Borel subsets
ofX.
Assume thatFis aσ-ﬁeld (then of courseσ(F)=F). Suppose that to
everyA∈Fthere is assigned a numberP(A).
4. Deﬁnition.We say thatP(·)isaprobability measure on(Ω,F)oron
Fif
(i)P(A)≥0andP(Ω) = 1,
(ii) for every sequence of pairwise disjointA
1, ..., An, ...∈F,wehave
P
Σﬃ
n
An
Γ
=
∆
n
P(An).
If on a measurable space (Ω,F) there is deﬁned a probability measureP,
the triple (Ω,F,P) is calledaprobabilityspace.
5. Example.The triple, consisting of [0,1] (= Ω), theσ-ﬁeldB([0,1]) of
Borel subsets of [0,1] (taken asF) and Lebesgue measureΣ(asP)isa
probability space.
Let (Ω,F,P) be a probability space andA⊂Ω (not necessarilyA∈F).
6. Deﬁnition.We say thatAhas zero probability and writeP(A)=0if
there exists a setB∈Fsuch thatA⊂BandP(B) = 0. The family of
all subsets of Ω of typeC∪A,whereC∈FandAhas zero probability, is
denoted byF
P
and calledthe completion ofFwith respect toP.IfG⊂F
is a sub-σ-ﬁeld ofF,onecompletesGin the same way by using again events
of zero probability (from (Ω,F,P) but not (Ω,G,P)).
7. Exercise*.Prove thatF
P
is aσ-ﬁeld.

Ch 1 Section 1. Some selected topics from probability theory 3
The measurePextends toF
P
by the formulaP(C∪A)=P(C)if
C∈FandP(A) = 0. It is easy to prove that this extension is well deﬁned,
preserves the values ofPonFand yields a probability measure onF
P
.
8. Deﬁnition.Theσ-ﬁeldFis said to becomplete(with respect toP)if
F
P
=F. The probability space (Ω,F,P) is said to be complete ifF
P
=F,
that is, ifFcontains all sets of zero probability. IfG⊂Fis a sub-σ-ﬁeld of
Fcontaining all sets of zero probability, it is also called complete.
The above argument shows that every probability space (Ω,F,P)admits
acompletion(Ω,F
P
,P). In general there are probability spaces which are
not complete. In particular, in Example 5 the completion ofB([0,1]) with
respect toΣistheσ-ﬁeld of Lebesgue sets(orLebesgueσ-ﬁeld), which does
not coincide withB([0,1]). In other words, there are sets of measure zero
which are not Borel.
9. Exercise.Letfbe the Cantor function on [0,1], and letCbe a non-
Borel subset of [0,1]\ρ,whereρis the set of all rational numbers. Existence
of suchCis guaranteed, for instance, by Vitali’s example. Prove that{x:
f(x)∈C}has Lebesgue measure zero and is not Borel.
By deﬁnition, for everyB∈F
P
,thereexistsC∈Fsuch thatP(B\C)=
0. Therefore, the advantages of consideringF
P
maylookveryslim. How-
ever, sometimes it turns out to be very convenient to pass toF
P
, because
then more sets become measurable and tractable in the framework of mea-
sure theory. It is worth noting the following important result even though it
will not be used in the future. It turns out that the projection on thex-axis
of a Borel subset ofR
2
is not necessarily Borel, but is always a Lebesgue
set (see, for instance, [Me]). Therefore, iff(x, y) is a Borel function onR
2
,
then for the function
¯
f(x):=sup{f(x, y):y∈R}and everyc∈Rwe have
{x:
¯
f(x)>c}={x:∃ysuch thatf(x, y)>c}∈B
Ω
(R).
It follows that
¯
fis Lebesgue measurable (but not necessarily Borel measur-
able) and it makes sense to consider its integral againstdx. On the other
hand, one knows that for everyF
P
-measurable function there exists anF-
measurable one equal to the originalalmost surely, that is, such that the set
where they are diﬀerent has zero probability. It follows that there exists a
Borel function equal to
¯
f(x) almost everywhere. However the last sentence
is just a long way of saying that
¯
f(x) is measurable, and it also calls for new
notation for the modiﬁcation, which can make exposition quite cumbersome.
10. Lemma.LetΩandXbe sets and letξbeafunctiondeﬁnedonΩwith
values inX. For everyB⊂Xsetξ
−1
(B)={ω∈Ω:ξ(ω)∈X}.Then

4 Chapter 1. Generalities, Sec 1
(i)ξ
−1
as a mapping between sets preserves all set-theoretic operations
(for instance, if we are given a family of subsetsB
α
ofXindexed byα,then
ξ
−1
(
Ω
α
B
α
)=
Ω
α
ξ
−1
(B
α
),andsoon),
(ii)ifFis aσ-ﬁeld of subsets ofΩ,then
{B:B⊂X, ξ
−1
(B)∈F}
is aσ-ﬁeld of subsets ofX.
We leave the proof of these simple facts to the reader.
Ifξ:Ω→Xand there is aσ-ﬁeldBof subsets ofX,wedenote
σ(ξ):=ξ
−1
(B):={ξ
−1
(B):B∈B}. By Lemma 10 (i) the familyξ
−1
(B)
is aσ-ﬁeld. It is calledtheσ-ﬁeld generated byξ. Observe that, by deﬁnition,
each element ofσ(ξ) is representable as{ω:ξ(ω)∈B}for someB∈B.
11. Deﬁnition.Let (Ω,F)and(X,B) be measurable spaces, and letξ:
Ω→Xbe a function. We say thatξis arandom variableifσ(ξ)⊂F.
If, in addition, (Ω,F,P) is a probability space andξis a random variable,
the function deﬁned onBby the formula
Pξ
−1
(B)=P(ξ
−1
(B)) =P{ω:ξ(ω)∈B}
is calledthe distribution ofξ. By Lemma 10 (i) the functionPξ
−1
is a
probability measure onB. One also uses the notation
F
ξ=Pξ
−1
.
It turns out that every probability measure is the distribution of a ran-
dom variable.
12. Theorem.Letµbe a probability measure on a measurable space(X,B).
Then there exist a probability space(Ω,F,P)and anX-valued random vari-
able deﬁned on this space such thatF
ξ=µ.
Proof. Let (Ω,F,P)=(X,B,µ)andξ(x)=x.Then{x:ξ(x)∈B}=
B. Hence for everyB∈Bwe haveF
ξ(B)=µ(B), and the theorem is
proved.
Remember that ifξis a real-valued random variable deﬁned on a prob-
ability space (Ω,F,P) and at least one of the integrals
Π
Ω
ξ+(ω)P(dω),
Π
Ω
ξ−(ω)P(dω)
(ξ
±:= (|ξ|±ξ)/2) is ﬁnite, then bythe expectation ofξwe mean

Ch 1 Section 2. Some facts from measure theory on Polish spaces5
Eξ:=
Π
Ω
ξ(ω)P(dω):=
Π
Ω
ξ+(ω)P(dω)−
Π
Ω
ξ−(ω)P(dω).
The next theorem relates expectations to distributions.
13. Theorem.Let(Ω,F,P)be a probability space,(X,B)ameasurable
space andξ:Ω→Xa random variable. Letfbe a measurable mapping
from(X,B)to([0,∞),B[0,∞)).Thenf(ξ)is a random variable and
Ef(ξ)=
Π
X
f(x)F ξ(dx). (1)
Proof. Fort≥0, let [t] be the integer part oftandκ
n(t)=2
−n
[2
n
t].
Drawing the graph ofκ
nmakes it clear that 0≤t−κ n(t)≤2
−n
,κnincreases
whennincreases, andκ
nare Borel functions. Furthermore, the variables
f(ξ),κ
n(f(ξ)),κ n(f(x)) are appropriately measurable and, by the monotone
convergence theorem,
Ef(ξ) = lim
n→∞
Eκn(f(ξ)),
Π
X
f(x)F ξ(dx) = lim
n→∞
Π
X
κn(f(x))F ξ(dx).
It follows that it suﬃces to prove the theorem for functionsκ
n(f). Each
of them is measurable and only takes countably many nonnegative values;
that is, it has the form
∆
k
ckIBk
(x),
whereB
k∈Bandc k≥0. It only remains to notice that by deﬁnition
EI
Bk
(ξ)=P{ξ∈B k}=F ξ(Bk)=
Π
X
IBk
(x)F ξ(dx)
and by the monotone convergence theorem
E
∆
k
ckIBk
(ξ)=
∆
k
ckEIBk
(ξ)=
Π
X
∆
k
ckIBk
(x)F ξ(dx).
The theorem is proved.
Notice that (1) also holds forftaking values of diﬀerent signs whenever
at least one side of (1) makes sense. This follows easily from the equality
f=f
+−f−and from (1) applied tof ±.
2. Some facts from measure theory on Polish spaces
In this book the only Polish spaces we will be dealing with are Euclidean
spaces and the space of continuous functions deﬁned on [0,1].

6 Chapter 1. Generalities, Sec 2
2:1. Deﬁnitions and simple facts.A complete separable metric space
is called aPolish space.LetXbe a Polish space with metricρ(x, y). By
deﬁnition the closed ball of radiusrcentered atxis
B
r(x)={y:ρ(x, y)≤r}.
The smallestσ-ﬁeld of subsets ofXcontaining all closed balls is called
the Borelσ-ﬁeldand is denotedB(X). Elements ofB(X) are calledBorel
sets.
The structure of an arbitrary Borel set, even inR, is extremely complex.
However, very often working withallBorel sets is rather convenient.
Observe that
{y:ρ(x, y)<r}=
ﬃ
n
{y:ρ(x, y)≤r−1/n}.
Therefore, open balls are Borel. Furthermore, sinceXis separable, each
open set can be represented as the countable union of certain open balls.
Therefore, open sets are Borel. Their complements, which are arbitrary
closed sets, are Borel sets as well. By the way, it follows from this discussion
that one could equivalently deﬁne the Borelσ-ﬁeld as the smallestσ-ﬁeld of
subsets ofXcontaining all open balls.
IfXandYare Polish spaces, andf:X→Y, then the functionfis
calleda Borel functionif
f
−1
(B):={x:f(x)∈B}∈B(X)∀B∈B(Y).
In other wordsfis a Borel function iff:X→Yis a random variable with
respect to theσ-ﬁeldsB(X)andB(Y). An example of Borel functions is
given in the following theorem.
1. Theorem.LetXandYbe Polish spaces, and letf:X→Ybe a
continuous function. Thenfis Borel.
Proof. Remember that by Lemma 1.10 the collection
Σ:={B⊂Y:f
−1
(B)∈B(X)}
is aσ-ﬁeld. Next, for everyB
r(y)⊂Ythe setf
−1
(Br(y)) is closed because
of the continuity off. HenceB
r(x)∈Σ. SinceB(Y) is the smallestσ-ﬁeld
containing allB
r(x), we haveB(Y)⊂Σ, which is the same as saying that
fis Borel. The theorem is proved.
Let us emphasize a very important feature of the above proof. Instead
of taking a particularB∈B(Y) and proving thatf
−1
(B)∈B(X), we took

Ch 1 Section 2. Some facts from measure theory on Polish spaces7
the collection ofallsets possessing a desired property. This device will be
used quite often.
Next, we are going to treat measures on Polish spaces. We recall that a
measure is called ﬁnite if all its values belong to (−∞,∞). Actually, it is safe
to say that everywhere in the book we are always dealing withnonnegative
measures. The only exception is encountered in Remark 17, and even there
we could avoid using signed measures if we rely onπ-andλ-systems, which
come somewhat later in Sec. 2.3.
2. Theorem.LetXbeaPolishspaceandµ a ﬁnite nonnegative measure
on(X,B(X)).Thenµis regular in the sense that for everyB∈B(X)and
ε>0there exist an open setGand a closed setΓsatisfying
G⊃B⊃Γ,µ(G\Γ)≤ε. (1)
Proof. Take a ﬁnite nonnegative measureµon (X, B(X)) and call a
setB∈B(X)regularif for everyε>0thereexistopenGand closed Γ
satisfying (1).
Let Σ be the set of all “regular” sets. We are going to prove that
(i) Σ is aσ-ﬁeld, and
(ii)B
r(x)∈Σ.
Then by the deﬁnition ofB(X)wehaveB(X)⊂Σ, and this is exactly
what we need.
Statement (ii) is almost trivial since, for everyn≥1,
Γ:=B
r(x)⊂B r(x)⊂{x:ρ(x, y)<r+1/n}=:G n,
where Γ is closed, theG
nare open andµ(G n\Γ)→0 since the setsG n\Γ
are nested and their intersection is empty.
To prove (i), ﬁrst notice thatX∈Σ as a set open and closed simulta-
neously. Furthermore, the complement of an open (closed) set is a closed
(respectively, open) set and ifG⊃B⊃Γ, then Γ
c
⊃B
c
⊃G
c
with
Γ
c
\G
c
=G\Γ.
This shows that ifB∈Σ, thenB
c
∈Σ. It only remains to check that
countable unions of elements of Σ belong to Σ.
LetB
n∈Σ,n=1,2,3, ...,ε>0, and letG nbe open and Γnbe closed
and such that
G
n⊃Bn⊃Γn,µ(G n\Γn)≤ε2
−n
.
Deﬁne

8 Chapter 1. Generalities, Sec 2
B=
ﬃ
n
Bn,G=
ﬃ
n
Gn,Dn=
n
ﬃ
i=1
Γi.
ThenGis open,D
nis closed, and obviouslyG\D nare nested, so that
lim
n→∞
µ(G\D n)=µ(G\D ∞)≤
∆
n
µ(Gn\Γn)≤ε.
Hence, for appropriatenwe haveµ(G\D
n)≤2ε, and this brings the proof
to an end.
3. Corollary.Ifµ
1andµ 2are ﬁnite nonnegative measures on(X,B(X))
andµ
1(Γ) =µ 2(Γ)for all closedΓ,thenµ 1=µ2.
Indeed, thenµ
1(X)=µ 2(X)(Xis closed) and hence theµ i’s also coin-
cide on all open subsets ofX. But then they coincide on all Borel sets, as
seen from
µ
i(Gi)≥µ i(B)≥µ i(Γi),µi(G\Γ)≤ε,
whereG=G
1∩G2,Γ=Γ1∪Γ2andG\Γisopen.
4. Theorem.Ifµ
1andµ 2are ﬁnite nonnegative measures on(X,B(X))
and
Π
X
f(x)µ 1(dx)=
Π
X
f(x)µ 2(dx)
for every bounded continuousf,thenµ
1=µ2.
Proof. By the preceding corollary we only need to check thatµ
1=µ2
on closed sets. Take a closed set Γ and let
ρ(x,Γ) = inf{ρ(x, y):y∈Γ}.
Since the absolute value of a diﬀerence of inf’s is not greater than the
sup of the absolute values of the diﬀerences and since|ρ(x, y)−ρ(z,y)|≤
ρ(x, z), we have that|ρ(x,Γ)−ρ(z,Γ)|≤ρ(x, z), which implies thatρ(x,Γ)
is continuous. Furthermore,
ρ(x,Γ)>0⇐⇒xϕαΓ
since Γ is closed. Hence, for the continuous function
f
n(x):=(1+nρ(x,Γ))
−1
we have 1≥f n(x)↓I Γ(x), so that by the dominated convergence theorem
µ
1(Γ) =
Π
I Γµ1(dx) = lim
n→∞
Π
f
nµ1(dx) = lim
n→∞
Π
f
nµ2(dx)=µ 2(Γ).

Ch 1 Section 2. Some facts from measure theory on Polish spaces9
The theorem is proved.
2:2. Tightness and convergence of measures.As we have mentioned
in the Preface, the results of this chapter help construct the Wiener process
by using a version of the central limit theorem for random walks known as
Donsker’s invariance principle. Therefore we turn our attention to studying
convergence of measures on Polish spaces. An important property of a
measure on a Polish space is its tightness, which is expressed in the following
terms.
5. Theorem(Ulam).Letµbe a ﬁnite nonnegative measure on(X,B(X)).
Then for everyε>0there exists a compact setK⊂Xsuch thatµ(K
c
)≤ε.
Proof. Let{x
i:i=1,2,3, ...}be a dense subset ofX.Observethatfor
everyn≥1
ﬃ
i
B
1/n(xi)=X.
Therefore, there exists ani
nsuch that
µ
Σﬃ
i≤in
B
1/n(xi)
Γ
≥µ(X)−ε2
−n
. (2)
Now deﬁne
K=
Λ
n≥1
ﬃ
i≤in
B
1/n(xi). (3)
Observe thatKis totally bounded in the sense that, for everyε>0,
there exists a ﬁnite setA={x
1, ..., x
i(ε)}, called anε-net, such that every
point ofKis in theε-neighborhood of at least one point inA. Indeed, it
suﬃces to takei(ε)=i
nwith anyn≥1/ε.
In addition
Ω
i≤in
B
1/n(xi) is closed as a ﬁnite union of closed sets, and
thenKis closed as the intersection of closed sets. It follows thatKis a
compact set (see Exercise 6). Now it only remains to notice that
µ(K
c
)≤
∆
n
µ
ΣΣﬃ
i≤in
B
1/n(xi)
Γ
cΓ
≤
∆
n
ε2
−n
.
The theorem is proved.

10 Chapter 1. Generalities, Sec 2
6. Exercise*.Prove that the following are equivalent:
(i)Kis a totally bounded closed set.
(ii) For every sequence of pointsx
n∈K, there is a subsequencex n
ﬀ
which converges to an element ofK.
7. Corollary.For every BorelBandε>0there exists a compact set
Γ⊂Bsuch thatµ(B\Γ)≤ε.
Now we consider the issue of convergence of measures onX.
8. Deﬁnition.Letµandµ
nbe ﬁnite nonnegative measures on (X,B(X)).
We say thatµ
nconverge weakly toµand writeµ n
w→µif for every bounded
continuous functionf
Π
X
fµn(dx)→
Π
X
fµ(dx)(4)
A familyMof ﬁnite measures on (X, B(X)) is calledrelatively weakly (se-
quentially) compactif every sequence of elements ofMhas a weakly con-
vergent subsequence.
9. Exercise*.Letξ,ξ
nbe random variables with values inXdeﬁned on
some probability spaces. Assume that the distributions ofξ
non (X, B(X))
converge weakly to the distribution ofξ.Letf(x) be a real-valued contin-
uous function onX. Prove that the distributions off(ξ
n)convergeweakly
to the distribution off(ξ).
10. Exercise*.LetM={µ
1,µ2, ...}be a sequence of nonnegative ﬁnite
measures on (X,B(X)) and letµbe a nonnegative measure on (X,B(X)).
Prove that if every sequence of elements ofMhas a subsequence weakly
convergent toµ,thenµ
n
w→µ.
11. Theorem.Letµ,µ
n,n=1,2,3, ..., be nonnegative ﬁnite measures on
(X,B(X)). Then the following conditions are equivalent:
(i)µ
n
w→µ,
(ii)µ(Γ)≥
lim
n→∞
µn(Γ)for every closedΓandµ(X) = lim
n→∞
µn(X),
(iii)µ(G)≤lim
n→∞
µn(G)for every openGandµ(X) = lim
n→∞
µn(X),
(iv)µ(B) = lim
n→∞
µn(B)for every BorelBsuch thatµ(∂B)=0,
(v)
ﬀ
fµ
n(dx)→
ﬀ
fµ(dx)for every Borel boundedfsuch thatµ(∆ f)=
0,where∆
fis the set of all points at whichfis discontinuous.

Ch 1 Section 2. Some facts from measure theory on Polish spaces11
Proof. (i) =⇒(ii). Take a closed set Γ and deﬁnef nas in the proof of
Theorem 4. Then for everym≥1
Π
f
mµ(dx) = lim
n→∞
Π
f
mµn(dx)≥
lim
n→∞
µn(Γ)
sincef
m≥IΓ. In addition, the left hand sides converge toµ(Γ) asm→∞,
so thatµ(Γ)≥
lim
n→∞
µn(Γ). The second equality in (ii) is obvious since
ﬀ
1µ
n(dx)→
ﬀ
1µ(dx).
Obviously (ii)⇐⇒ (iii).
(ii)&(iii)=⇒(iv). Indeed,
¯B⊃B⊃¯B\∂B,
where
¯
Bis closed,
¯
B\∂Bis open,∂B⊂
¯
B,µ(
¯
B\(
¯
B\∂B)) =µ(∂B)=0.
Hence
µ(
¯
B)=µ(
¯
B\∂B)=µ(B)
and
µ(B)=µ(
¯
B)≥
lim
n→∞
µn(
¯
B)≥lim
n→∞
µn(B)≥lim
n→∞
µn(B)
≥lim
n→∞
µn(
¯
B\∂B)≥µ(
¯
B\∂B)=µ(B).
(iv)=⇒(v). First, since∂X=∅,µ
n(X)→µ(X). It follows that we can
add any constant tofwithout altering (4), which allows us to concentrate
only onf≥0. For such a boundedfwe have
Π
fµ
n(dx)=
Π
Σ
Π
M
0
I
f(x)>tdt
Γ
µ n(dx)=
Π
M
0
µn{x:f(x)>t}dt,
whereM=supf. It is seen now that, to prove (4), it suﬃces to show that
µ
n{x:f(x)>t}→µ{x:f(x)>t} (5)
for almost allt. We will see that this convergence holds at every pointtat
whichµ{x:f(x)=t}= 0; that is, one needs to exclude not more than a
countable set.
Take at>0 such thatµ{x:f(x)=t}=0andletB={x:f(x)>t}.
Ify∈∂Bandfis continuous aty,thenf(y)=t. Hence∂B⊂{f(x)=
t}∪∆
f,µ(∂B) = 0, and (5) follows from the assumption.
Finally, since the implication (v)=⇒(i) is obvious, the theorem is proved.

12 Chapter 1. Generalities, Sec 2
Before stating the following corollary we remind the reader that we have
deﬁned weak convergence (Deﬁnition 8) only for nonnegative ﬁnite measures.
12. Corollary.LetXbe a closed subset inR
d
andµ n
w→Σ,whereΣis
Lebesgue measure. Then(4)holds for every Borel Riemann integrable func-
tionf, since for such a functionΣ(∆
f)=0.
13. Exercise.Ifαis an irrational number in (0,1), then, for every integer
mϕ=0andeveryx∈R,
1
n+1
n
∆
k=0
e
im2π(x+kα)
=e
im2πx
e
im2π(n+1)α
−1
(n+1)(e
im2πα
−1)
→0asn→∞.(6)
Also, ifm= 0, the limit is just 1. By using Fourier series, prove that
1
n+1
n
∆
k=0
f(x+kα)→
Π
1
0
f(y)dy (7)
for everyx∈[0,1] and every 1-periodic continuous functionf.Bywriting
the sum in (7) as the integral against a measureµ
nand applying Corollary
12 for indicators, prove that, for every 0≤a<b≤1, the asymptotic
frequency of fractional parts of numbersα,2α,3α, ...in the interval (a, b)is
b−a.
14. Exercise.Take the sequence 2
n
,n=1,2, ..., and, for eachn,leta nbe
the ﬁrst digit in the decimal form of 2
n
. Here is the sequence of the ﬁrst 45
values ofa
nobtained by using Matlab:
2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,
8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3.
We see that there are no 7s or 9s in this sequence. LetN
b(n)denotethe
number of appearances of digitb=1, ...,9 in the sequencea
1, ..., an.By
using Exercise 13 ﬁnd the limit ofN
b(n)/nasn→∞and, in particular,
show that this limit is positive for everyb=1, ...,9.
15. Exercise.Prove that for every functionf(measurable or not) the set
∆
fis Borel.
We will use the following theorem, the proof of which can be found in
[Bi].

Ch 1 Section 2. Some facts from measure theory on Polish spaces13
16. Theorem(Prokhorov).AfamilyMof probability measures on the
space(X,B(X))is relatively weakly compact if and only if it is tight in the
sense that for everyε>0there exists a compact setKsuch thatµ(K
c
)≤ε
foreveryµ∈M.
Let us give an outline of a proof of this theorem (a complete proof can
be found, for instance, in [Bi], [Du], [GS]). The necessity is proved in the
same way as Ulam’s theorem. Indeed, use the notation from its proof and
ﬁrst prove that for everyn≥1
inf{µ
Σﬃ
i≤m
B
1/n(xi)
Γ
:µ∈M}→ 1(8)
asm→∞. By way of getting a contradiction, assume that this is wrong.
Then, for anε>0 and everym, there would exist a measureµ
m∈Msuch
that
µ
m
Σﬃ
i≤m
B
1/n(xi)
Γ
≤1−ε.
By assumption there exists a (probability) measureµwhich is a weak limit
point of{µ
m}. By Ulam’s theorem there is a compact setKsuch that
1−ε/2≤µ(K). SinceKadmits a ﬁnite 1/(2n)-net, there existsksuch that
K⊂
Ω
i≤k
B
o
1/n
(xi), whereB
o
r
(x) is the open ball of radiusrcentered atx.
By Theorem 11 (iii)
1−ε/2≤µ
Σﬃ
i≤k
B
o
1/n
(xi)
Γ
≤
lim
m→∞
µm
Σﬃ
i≤k
B
o
1/n
(xi)
Γ
≤
lim
m→∞
µm
Σﬃ
i≤k
B
1/n(xi)
Γ
≤1−ε.
We have a contradiction which proves (8). Now it is clear how to choosei
n
in order to have (2) satisﬁed for allµ∈M, and then the desired setKcan
be given by (3).
Proof of suﬃciency can be based on Riesz’s remarkable theorem on the
general form of continuous linear functionals deﬁned on the set of continuous functions on a compact set. LetKbe a compact subset ofX,C(K)the
set of all continuous functions onK, and assume that onC(K)wehavea
linear functionΣ(f) such that
|Σ(f)|≤Nsup{|f(x)|:x∈K}

14 Chapter 1. Generalities, Sec 2
for allf∈C(K)withNindependent off. Then it turns out that there is
ameasureµsuch that
Σ(f)=
Π
K
fµ(dx).
Now ﬁxε>0 and take an appropriateK(ε). For every countable set of
f
m∈C(K(ε)) and every sequence of measuresµ∈M,byusingCantor’s
diagonalization method one can extract a subsequenceµ
nsuch that
Π
K(ε)
fmµn(dx)
would have limits asn→∞. One can choose such a sequence off’s to
be dense inC(K(ε)), and then lim
n→∞
ﬀ
K(ε)
fµn(dx) exists for every con-
tinuousfand deﬁnes a linear bounded functional onC(K(ε)), and hence
deﬁnes a measure onK(ε). It remains to paste these measures obtained for
diﬀerentεand get a measure onX, and also arrange for one sequenceµ
n
to be good for allK(ε)withεrunning through 1,1/2,1/3, ....
17. Remark.In the above explanation we used the fact that ifµis a
ﬁnite measure on (X,B(X)) and
ﬀ
fµ(dx)≥0 for all nonnegative bounded
continuous functionsf,thenµ≥0.
To prove that this is indeed true, remember that by Hahn’s theorem
there exist two measurable (Borel) setsB
1andB 2such thatB 1∪B2=X,
B
1∩B2=∅,andµ i(B)=(−1)
i
µ(B∩B i)≥0fori=1,2 and every
B∈B(X).
Thenµ=µ
2−µ1,
ﬀ
fµ 2(dx)≥
ﬀ
fµ 1(dx) for all nonnegative continuous
f. One derives from here as in the proof of Theorem 4 thatµ
2(Γ)≥µ 1(Γ) for
allclosedΓ,andbyregularityµ
2(B)≥µ 1(B) for allB∈B(X). Plugging
inB∩B
1in place ofB,weget0=µ 2(B∩B 1)≥µ 1(B∩B 1)=µ 1(B)≥0
andµ
1(B) = 0, as claimed.
3. The notion of random process
LetTbe a set, (Ω,F,P) a probability space, (X,B) a measurable space,
and assume that, for everyt∈T,wearegivenanX-valuedF-measurable
functionξ
t=ξt(ω). Then we say thatξ tisa random processonTwith
values inX. For individualωthe functionξ
t(ω) as a function oftis called
apathora trajectory of the process.
The setTmay be diﬀerent in diﬀerent settings. IfT={0,1,2, ...},then
ξ
tis calleda random sequence.IfT=(a, b), thenξ tis acontinuous-time
random process.IfT=R
2
,thenξ tis called a two-parameterrandom ﬁeld.

Ch 1 Section 3. The notion of random process 15
In the following lemma, for a measurable space (X,B)andintegern,
we denote by (X
n
,B
n
) the product ofncopies of (X,B), that is,
X
n
={(x
1
, ..., x
n
):x
1
, ..., x
n
∈X},
andB
n
is the smallestσ-ﬁeld of subsets ofX
n
containing everyB
(n)
of type
B
1×...×B n,
whereB
i∈B(X).
1. Lemma.Lett
1, ..., tn∈T.Then(ξ t1
, ..., ξtn)is a random variable with
values in(X
n
,B
n
).
Proof. The functionη(ω):=(ξ
t1
(ω), ..., ξtn(ω)) maps Ω intoX
n
.The
set Σ of all subsetsB
(n)
ofX
n
for whichη
−1
(B
(n)
)∈Fis aσ-ﬁeld. In
addition, Σ contains everyB
(n)
of typeB 1×...×B n,whereB i∈B(X).
This is seen from the fact that
η
−1
(B1×...×B n)={ω:η(ω)∈B 1×...×B n}
={ω:ξ
t1
(ω)∈B 1, ..., ξtn(ω)∈B n}=
Λ
i
{ω:ξ ti
(ω)∈B i}∈F.
Hence Σ contains theσ-ﬁeld generated by thoseB
(n)
. Since the latter
isB
n
by deﬁnition, we have Σ⊃B(X), i.e.η
−1
(B
(n)
)∈Ffor every
B
(n)
∈B
n
. The lemma is proved.
2. Remark.In particular, we have proved that{ω:ξ
2
(ω)+η
2
(ω)≤1}is
a random event ifξandηare random variables.
The random variable (ξ
t1
, ..., ξtn) has a distribution on (X
n
,B
n
). This
distribution is calledthe ﬁnite-dimensional distributioncorresponding to
t
1, ..., tn.
So-called cylinder sets play an important role in the theory of random
processes.
Let (X,B(X)) be a Polish space andTa set. Denote byX
T
the set of
allX-valued functions onT. This notation is natural if one observes that if
Tonly consists of two points,T={1,2},theneveryX-valued function on
Tis just a pair (x, y), wherexis the value of the function att=1andyis
the value of the function att=2. SothesetofX-valued functions onTis
just the set of all pairs (x, y), andX
T
=X×X=X
2
.
We denote byx
·the points inX
T
and byx tthe value ofx ·att.Every
set of type

16 Chapter 1. Generalities, Sec 3
{x·:(xt1
, ..., xtn)∈B
(n)
},
wheret
i∈TandB
(n)
∈B
n
, is calledthe ﬁnite dimensional cylinder set
with baseB
(n)
attached tot 1, ..., tn.Theσ-ﬁeld generated by all ﬁnite
dimensional cylinder sets is calledthe cylinderσ-ﬁeld.
3. Exercise*.Prove that the family of all ﬁnite dimensional cylinder sets
is an algebra, that is,X
T
is a cylinder set and complements and ﬁnite unions
and intersections of cylinder sets are cylinder sets.
4. Exercise.Let Σ denote the cylinderσ-ﬁeld of subsets of the set of allX-
valued functions on [0,1]. Prove that for everyA∈Σ there exists a countable
sett
1,t2, ...∈[0,1] such that ifx ·∈Aandy ·is a function such thaty tn=xtn
for alln,theny ·∈A. In other words, elements of Σ are deﬁned by specifying
conditions on trajectories only at countably many points of [0,1].
5. Exercise.Give an example of a Polish space (X, B(X)) such that the
setC([0,1],X) of all bounded and continuousX-valued functions on [0,1]
is not an element of theσ-ﬁeld Σ from the previous exercise. Thus you will
see that there exists a very important and quite natural set which is not
measurable.
4. Continuous random processes
For simplicity consider real-valued random processes onT=[0,1]. Such a
process is calledcontinuousif all its trajectories are continuous functions
onT. In that case, for eachω, we have a continuous trajectory or in other
words an element of the spaceC=C([0,1]) of continuous functions on [0,1].
You know that this is a Polish space when provided with the metric
ρ(x
·,y·)= sup
t∈[0,1]
|xt−yt|.
Apart from the Borelσ-ﬁeld, which is convenient as far as convergence of
distributions is concerned, there isthe cylinderσ-ﬁeldΣ(C), deﬁned as the
σ-ﬁeld of subsets ofCgenerated by the collection of all subsets of the form
{x
·∈C:x t∈Γ},t∈[0,1],Γ∈B(R).
Observe that Σ(C)isnotthe cylinderσ-ﬁeld in the space of all real-valued
functions on [0,1] as deﬁned before Exercise 3.3.
1. Lemma.Σ(C)=B(C).
Proof. Fortﬁxed, denote byπ
tthe function onCdeﬁned by
π
t(x·)=x t.

Ch 1 Section 4. Continuous random processes 17
Obviouslyπ tis a real-valued continuous function onC. By Theorem 2.1 it
is Borel, i.e. for everyB∈B(R)wehaveπ
−1
t
(B)∈B(C), i.e.{x ·:xt∈
B}∈B(C). It follows easily (for instance, as in the proof of Theorem 2.1)
that Σ(C )⊂B(C).
To prove the opposite inclusion it suﬃces to prove that all closed balls
are cylinder sets. Fixx
0
·
∈Candε>0. Then obviously
B
ε(x
0
·
)={x ·∈C:ρ(x
0
·
,x·)≤ε}=
Λ
{x ·∈C:x r∈[x
0
r
−ε, x
0
r
+ε]},
where the intersection is taken for all rationalr∈[0,1]. This intersection
being countable, we haveB
ε(x
0
·
)∈Σ(C), and the lemma is proved.
The following theorem allows one to treat continuous random processes
just likeC-valued random elements.
2. Theorem.Ifξ
t(ω)is a continuous process on[0,1],thenξ ·is aC-valued
random variable. Conversely, ifξ
·is aC-valued random variable, thenξ t(ω)
is a continuous process on[0,1].
Proof. To prove the direct statement, it suﬃces to notice that, by deﬁ-
nition, theσ-ﬁeld of all thoseB⊂Cfor whichξ
−1
·
(B)∈Fcontains all sets
of the type
{x
·:xt∈Γ},t∈[0,1],Γ∈B(R),
and hence contains all cylinder subsets ofC, that is, by Lemma 1, all Borel
subsets ofC.
The converse follows at once from the fact thatξ
t=πt(ξ·), which shows
thatξ
tis a superposition of two measurable functions. The lemma is proved.
By Ulam’s theorem the distribution of a process with continuous tra-
jectories is concentrated up toεon a compact setK
ε⊂C. Remember the
following necessary and suﬃcient condition for a subset ofCto be compact
(the Arzel`a-Ascoli theorem).
3. Theorem.LetKbe a closed subset ofC. It is compact if and only if
the family of functionsx
·∈Kis uniformly bounded and equicontinuous, i.e.
if and only if
(i)there is a constantNsuch that
sup
t
|xt|≤N∀x ·∈K
and
(ii)for eachε>0there exists aδ>0such that|x
t−xs|≤εwhenever
x
·∈Kand|t−s|≤δ,t, s∈[0,1].

18 Chapter 1. Generalities, Sec 4
4. Lemma.Letx tbe a real-valued function deﬁned on[0,1] (independent
ofω). Assume that there exist a constanta>0and an integern≥0such
that
|x
(i+1)/2
m−x
i/2
m|≤2
−ma
for allm≥nand0≤i≤2
m
−1. Then for all binary rational numbers
t, s∈[0,1]satisfying|t−s|≤2
−n
we have
|x
t−xs|≤N(a)|t−s|
a
,
whereN(a)=2
2a+1
(2
a
−1)
−1
.
Proof. Lett, s∈[0,1] be binary rational. Then
t=
∞
∆
i=0
ε1(i)2
−i
,s=
∞
∆
i=0
ε2(i)2
−i
, (1)
whereε
k(i) = 0 or 1 and the series are actually ﬁnite sums. Let
t
k=
k
∆
i=0
ε1(i)2
−i
,sk=
k
∆
i=0
ε2(i)2
−i
. (2)
Observe that if|t−s|≤2
−k
,thent k=skor|tk−sk|=2
−k
.This
follows easily from the following picture in which|shows numbers of type
r2
−k
with integralr, the short arrow shows the set of possible values fort
and the long one the set of possible values ofs.
||||||
ﬀ
tk
ﬀ
Now letk≥nand|t−s|≤2
−k
.Write
x
t=xtk
+
∞
∆
m=k
(xtm+1
−xtm),
write similar representation forx
sand subtract these formulas to get
|x
t−xs|≤|x tk
−xsk
|+
∞
∆
m=k
{|xtm+1
−xtm|+|x sm+1
−xsm|}.(3)

Ch 1 Section 4. Continuous random processes 19
Heret k=r2
−k
for an integerr, and there are only three possibility fors k:
s
k=(r−1)2
−k
or =r2
−k
or = (r+1)2
−k
. In addition,|t m+1−tm|≤2
−(m+1)
since, for an integerp,wehavet m=p2
−m
=(2p)2
−(m+1)
andt m+1equals
eithert
mortm+2
−(m+1)
. Therefore, by the assumption,
|x
t−xs|≤2
∞
∆
m=k
2
−ma
=2
−ka
2
a+1
(2
a
−1)
−1
. (4)
We have proved this inequality if
k≥nand|t−s|≤2
−k
.
It is easy to prove that, for everytandssatisfying|t−s|≤2
−n
,one
can takek= [log
2(1/|t−s|)] and then one hask≥n,|t−s|≤2
−k
,and
2
−ka
≤2
a
|t−s|
a
. This proves the lemma.
For integersn≥0anda>0denote
K
n(a)={x ·∈C:|x 0|≤2
n
,|xt−xs|≤N(a)|t−s|
a
∀|t−s|≤2
−n
}.
5. Exercise*.Prove thatK
n(a) are compact sets inC.
6. Theorem.Letξ
tbe a continuous process and letα>0,β >0,N∈
(0,∞)be constants such that
E|ξ
t−ξs|
α
≤N|t−s|
1+β
∀s, t∈[0,1].
Then for0<a<βα
−1
and for everyε>0there existsnsuch that
P{ξ
·∈Kn(a)}≥1−ε.
(observe thatP{ξ
·∈Kn(a)}makes sense by Theorem2).
Proof. Denote
A
n={ω:|ξ 0|≥2
n
}∪{ω:sup
m≥n
max
i=0,...,2
m
−1
|ξ
(i+1)/2
m−ξ
i/2
m|2
ma
>1}.
ForωϕαA
n,wehaveξ ·∈K n(a) by the previous lemma. Hence by
Chebyshev’s inequality
P{ξ
·ϕ∈Kn(a)}≤P(A n)≤P{|ξ 0|≥2
n
}

20 Chapter 1. Generalities, Sec 4
+Esup
m≥n
max
i=0,...,2
m
−1
|ξ
(i+1)/2
m−ξ
i/2
m|
α
2
maα
.
We replace the sup and the max with sums of the random variables involved
and we ﬁnd
P{ξ
·ϕ∈Kn(a)}≤P(A n)≤P{|ξ 0|≥2
n
} (5)
+
∞
∆
m=n
2
m
−1
∆
i=0
2
maα
E|ξ
(i+1)/2
m−ξ
i/2
m|
α
≤P{|ξ 0|≥2
n
}+N
∞
∆
m=n
2
−m(β−aα)
.
It only remains to notice that the last expression tends to zero asn→∞.
The theorem is proved.
Remember that ifξ
·is aC-valued random variable, then the measure
P{ξ
·∈B},B∈B(C), is called the distribution ofξ ·.From(5)and
Prokhorov’s theorem we immediately get the following.
7. Theorem.Letξ
k
t
,k=1,2,3, ..., be continuous processes on[0,1]such
that, for some constantsα>0,β >0,N∈(0,∞), we have
E|ξ
k
t
−ξ
k
s
|
α
≤N|t−s|
1+β
∀s, t∈[0,1],k≥1.
Also assume thatsup
kP{|ξ
k
0
|≥c}→0asc→∞. Then the sequence of
distributions ofξ
k
·
onCis relatively compact.
Lemma 4 is the main tool in proving Theorems 6 and 7. It also allows
us to prove Kolmogorov’s theorem on existence of continuous modiﬁcations.
IfTis a set on which we are given two processesξ
1
t
andξ
2
t
such that
P(ξ
1
t
=ξ
2
t
) = 1 for everyt∈T,thenwecallξ
1
·
a modiﬁcation ofξ
2
·
(and
vice versa).
8. Theorem(Kolmogorov). Letξ
tbe a process deﬁned fort∈[0,∞)such
that, for someα>0,β >0,N <∞, we have
E|ξ
t−ξs|
α
≤N|t−s|
1+β
∀t, s≥0.
Then the processξ
thas a continuous modiﬁcation.
Proof. Takea=β/(2α) and deﬁne
Ω
kn={ω:sup
m≥n
max
i=0,...,k2
m
−1
2
ma
|ξ
(i+1)/2
m−ξ
i/2
m|≤1},Ω
∆
=
Λ
k≥1
ﬃ
n
Ωkn.
Ifω∈Ω
∆
, then for everyk≥1thereexistsnsuch that for allm≥n
andi=0, ..., k2
m
−1wehave

Ch 1 Section 4. Continuous random processes 21
|ξ
(i+1)/2
m(ω)−ξ
i/2
m(ω)|≤2
−ma
.
It follows by Lemma 4 that, forω∈Ω
∆
and everyk, the functionξ t(ω)is
uniformly continuous on the set{r/2
m
}of binary fractions intersected with
[0,k]. By using Cauchy’s criterion, it is easy to prove that, forω∈Ω
∆
and
everyt∈[0,∞), there exists
lim
r/2
m
→t
ξ
r/2
m(ω)=:
˜
ξ t(ω),
and in addition,
˜
ξ
t(ω) is continuous and
˜
ξ t(ω)=ξ t(ω) for all binary rational
t. Wehavedeﬁned
˜
ξ
t(ω)forω∈Ω
∆
.ForωϕαΩ
∆
deﬁne
˜
ξ t(ω)≡0. The
process
˜
ξ
tis continuous, and it only remains to prove that it is a modiﬁcation
ofξ
t.
First we claim thatP(Ω
∆
) = 1. To prove this it suﬃces to prove that
P(
Ω
n
Ωkn) = 1. Since (
Ω
n
Ωkn)
c
=

n
Ω
c
kn
and
Ω
c
kn
=
ﬃ
m≥n
k2
m
−1
ﬃ
i=0
{ω:|ξ
(i+1)/2
m−ξ
i/2
m|>2
−ma
},
we have (cf. (5))
1−P
Σﬃ
n
Ωkn
Γ
≤
lim
n→∞
∆
m≥n
kN2
m(aα−β)
=0.
ThusP(Ω
∆
) = 1. Furthermore, we noticed above that
˜
ξ
r/2
m=ξ
r/2
mon
Ω
∆
. Therefore,
P{
˜
ξ
r/2
m=ξ
r/2
m}=1.
For other values oft, by Fatou’s theorem
E|
˜
ξ
t−ξt|
α
≤lim
r/2
k
→t
E|ξ
r/2
k−ξt|
α
≤Nlim
r/2
k
→t
|r/2
k
−t|
1+β
=0.
HenceP{
˜
ξ
t=ξt}=1foreveryt∈[0,∞), and the theorem is proved.
For Gaussian processes the above results can be improved. Remember
that a random vectorξ=(ξ
1, ..., ξk)withvaluesinR
k
is calledGaussianor
normalif there exist a vectorm∈R
k
and a symmetric nonnegativek×k
matrixR=(R
ij) such that
ϕ(λ):=Eexp(i(ξ,λ)) = exp(i(λ, m)−(Rλ, λ)/2)∀λ∈R
k
,
where

22 Chapter 1. Generalities, Sec 4
(λ, µ)=
k
∆
i=1
λiµi
is the scalar product inR
k
and
(Rλ, λ)=
k
∆
i,j=1
Rijλiλj.
In this case one also writesξ∼N(m, R). One knows that
m=Eξ, R
ij=E(ξ i−mi)(ξj−mj),
so thatmis the mean value ofξandRis its covariance matrix. It is known
that linear transformations of Gaussian vectors are Gaussian. In particular,
(ξ
2,ξ1,ξ3, ..., ξk) is Gaussian.
9. Deﬁnition.A real-valued processξ
tis calledGaussianif all its ﬁnite-
dimensional distributions are Gaussian. The functionm
t=Eξtis calledthe
mean value functionofξ
tandR(t, s)=cov(ξ t,ξs)=E(ξ t−mt)(ξs−ms)is
calledthe covariance functionofξ
t.
10. Remark.Very often it is useful to remember that (x
t1
, ..., xtk
)isak-
dimensional Gaussian vector if an only if, for arbitrary constantsc
1, ..., ck,
the random variable

i
cixti
is Gaussian.
11. Exercise.Letx
tbe a real-valued function deﬁned on [0,1] (indepen-
dent ofω). Letg(x) be a nonnegative increasing function deﬁned on (0,1/2]
and such that
G(x)=
Π
x
0
y
−1
g(y)dy
is ﬁnite for everyx∈[0,1/2]. Assume that there exists an integern≥3
such that
|x
(i+1)/2
m−x
i/2
m|≤g(2
−m
)
for allm≥nand 0≤i≤2
m
−1. By analyzing the proof of Lemma 4, show
that for all binary rational numberst, s∈[0,1] satisfying|t−s|≤2
−n
we
have
|x
t−xs|≤NG(4|t−s|),N=2/ln 2.
12. Exercise.Letξbe a normal random variable with zero mean and
variance less than or equal toσ
2
,whereσ>0. Prove that, for everyx>0,
√
2πP(|ξ|≥x)≤2σx
−1
exp(−x
2
/(2σ
2
)).

Ch 1 Section 4. Continuous random processes 23
13. Exercise.Letξ tbe a Gaussian process with zero mean given on [0,1]
and satisfyingE|ξ
t−ξs|
2
≤R(|t−s|), whereRis a continuous function
deﬁned on (0,1]. Denoteg(x)=

R(x)(−lnx) and suppose thatgsatisﬁes
the assumptions of Exercise 11. For a constanta>
√
2andn≥3 deﬁne
Ω
n={ω:sup
m≥n
max
i=0,...,2
m
−1
|ξ
(i+1)/2
m(ω)−ξ
i/2
m(ω)|/g(2
−m
)≤a},
Ω
∆
=
Ω
n≥3
Ωn.Noticethat
Ω
c
n
=
∞
ﬃ
m=n
2
m
−1
ﬃ
i=0

ω:|ξ
(i+1)/2
m(ω)−ξ
i/2
m(ω)|>ag(2
−m
)

and, by using Exercise 12, prove that
P(Ω
c
n
)≤N 1
∆
m≥n
2
m

R(2
−m
)
g(2
−m
)
exp
Σ
−
a
2
g
2
(2
−m
)
2R(2
−m
)
Γ
=N
2
∆
m≥n
1
√
m
2
m(1−a
2
/2)
,
where theN
iare independent ofn. Conclude thatP(Ω
∆
)=1. Byusing
Exercise 11, derive from here thatξ
thas a continuous modiﬁcation. In
particular, prove that, if
E|ξ
t−ξs|
2
≤N(−ln|t−s|)
−p
∀t, s∈[0,1],|t−s|≤1/2
with a constantNandp>3, thenξ
thas a continuous modiﬁcation.
14. Exercise.Letξ
tbe a process satisfying the assumptions in Exercise
13 and let
˜
ξ
tbe its continuous modiﬁcation. Prove that, for almost every
ω,thereexistsn≥1 such that for allt, s∈[0,1] satisfying|t−s|≤2
−n
we
have
|
˜
ξ
t−
˜
ξs|≤8G(4|t−s|).
Σ
G(x)=
Π
x
0
y
−1
g(y)dy
Γ
Sometimes one needs the following multidimensional version of Kol-
mogorov’s theorem. To prove it we ﬁrst generalize Lemma 4. Denote
byZ
d
n
the lattice in [0,1]
d
consisting of all points (k 12
−n
, ..., kd2
−n
)where
k
i=0,1,2, ...,2
n
.Alsolet
||t−s||=max{|t
i
−s
i
|:i=1, ..., d}.

24 Chapter 1. Generalities, Sec 4
15. Lemma.Letd≥1be an integer andx ta real-valued function deﬁned
fort∈[0,1]
d
. Assume that there exista>0and an integern≥0such that
m≥n, t, s∈Z
d
m
,||t−s|| ≤2
−m
=⇒|x t−xs|≤2
−ma
.
Then, for everyt, s∈
Ω
m
Z
d
m
satisfying||t−s|| ≤2
−n
we have
|x
t−xs|≤N(a)||t−s||
a
.
Proof. Lett, s∈Z
d
m
,t=(t
1
, ..., t
d
),s=(s
1
, ..., s
d
). Representt
j
ands
j
as (cf. (1))
t
j
=
∞
∆
i=0
ε
j
1
2
−i
,s
j
=
∞
∆
i=0
ε
j
2
2
−i
,
deﬁnet
j
k
ands
j
k
as these sums fori≤k(cf. (2)), and let
t
k=(t
1
k
, ..., t
d
k
),sk=(s
1
k
, ..., s
d
k
).
Then||t−s|| ≤2
−k
implies|t
j
k
−s
j
k
|≤2
−k
, and as in Lemma 4 we get
t
k,sk∈Z
d
k
,|t
j
k
−s
j
k
|≤2
−k
and||t k−sk|| ≤2
−k
. We use (3) again and the
fact that, as before,t
m+1,tm∈Z
d
m+1
,||tm+1−tm|| ≤2
−(m+1)
.Thenweget
(4) again and ﬁnish the proof by the same argument as before. The lemma
is proved.
Now we prove a version of Theorem 6. For an integern≥0denote
Γ
n(a)={x ·:xtis a real-valued function given on [0,1]
d
such that
|x
t−xs|≤N(a)||t−s||
a
for allt, s∈
ﬃ
m
Z
d
m
with||t−s|| ≤2
−n
}.
16. Lemma.Let a random ﬁeldξ
tbe deﬁned on[0,1]
d
. Assume that there
exist constantsα>0,β >0,K<∞such that
E|ξ
t−ξs|
α
≤K||t−s||
d+β
providedt, s∈[0,1]
d
. Then, for every0<a<β/α,
P{ξ
·ϕ∈Γn(a)}≤2
−n(β−aα)
KN(d, α, β, a).

Ch 1 Section 5. Hints to exercises 25
Proof. Let
A
n=

ω:sup
m≥n
sup{2
ma
|ξt−ξs|:t, s∈Z
d
m
,||t−s|| ≤2
−m
}>1

.
ForωϕαA
nwe getξ ·(ω)∈Γ n(a) by Lemma 15. Hence,P{ξ ·ϕ∈Γn(a)}≤
P(A
n). The probability ofA nwe again estimate by Chebyshev’s inequality
and estimate theαpower of the sup through the sum ofαpowers of the
random variables involved. For eachmthe number of these random variables
is not greater than the number of couplest, s∈Z
d
m
for which||t−s|| ≤2
−m
(and the number of disjoint ones is less than half this number). This number
is not bigger than the number of points inZ
d
m
times 3
d
, the latter being the
number of neighbors oft. Hence
P(A
n)≤
∞
∆
m=n
(1 + 2
m
)
d
3
d
K2
maα
2
−m(d+β)
≤6
d
K
∞
∆
m=n
2
−m(β−aα)
=2
−n(β−aα)
K6
d
(1−2
−(β−aα)
)
−1
.
The lemma is proved.
17. Theorem(Kolmogorov). Under the conditions of Lemma16the ran-
dom ﬁeldξ
thas a continuous modiﬁcation.
Proof. By Lemma 16, with probability one,ξ
·belongs to one of the sets
Γ
n(a). The elements of these sets are uniformly continuous on
Ω
m
Z
d
m
and
therefore can be redeﬁned outside
Ω
m
Z
d
m
to become continuous on [0,1]
d
.
Hence, with probability one there exists a continuous function
˜
ξ
tcoinciding
withξ
ton
Ω
m
Z
d
m
. To ﬁnish the proof it suﬃces to repeat the end of the
proof of Theorem 8. The theorem is proved.
5. Hints to exercises
1.7It suﬃces to prove thatA
c
∈F
P
ifP(A)=0.
2.6To prove (i)=⇒(ii), observe that, for everyk≥1, in the 1/k-neighbor-
hood of a point from a 1/k-net there are inﬁnitely many elements ofx
n,
which allows one to choose a Cauchy subsequence. To prove (ii)=⇒(i),
assume that for anε>0 there is no ﬁniteε-net, and ﬁnd a sequence of
x
n∈Ksuch thatρ(x n,xm)≥ε/3 for alln, m.
2.10Assume the contrary.
2.14Observe thatN
b(n)isthenumberofi=1, ..., nsuch that 10
k
b≤2
i
<
10
k
(b+1)forsomek=0,1,2, ..., and then take log
10.
2.15Deﬁne

26 Chapter 1. Generalities, Sec 5
¯
f(x) = lim
ε↓0
sup
y:|y−x|<ε
f(y),f
(x) = lim
ε↓0
inf
y:|y−x|<ε
f(y)
and prove that ∆
f={
¯
fϕ=f
}and the sets{x:
¯
f(x)<c}and{x:f(x)>c}
are open.
3.3Attached pointst
1, ..., tnandnmay vary andt 1, ..., tnare not supposed
to be distinct.
3.4Show that the set of all suchAis aσ-ﬁeld.
4.12Letα
2
=Eξ
2
.ObservethatP(|ξ|≥x)=P(|ξ/α|≥x/α). Then in
the integral
ﬀ
∞
x/α
exp(−y
2
/2)dyﬁrst replaceαwithσand after that divide
and multiply the integrand byy.

Chapter 2
The Wiener Process
1. Brownian motion and the Wiener process
Robert Brown, an English botanist, observed (1828) that pollen grains sus-
pended in water perform an unending chaotic motion. L. Bachelier (1900)
derived the law governing the positionw
tat timetof a single grain perform-
ing a one-dimensional Brownian motion starting ata∈Rat timet=0:
P
a{wt∈dx}=p(t, a, x)dx, (1)
where
p(t, a, x)=
1
√
2πt
e
−(x−a)
2
/(2t)
is the fundamental solution of the heat equation
∂u
∂t
=
1
2
∂
2
u
∂a
2
.
Bachelier (1900) also pointed out the Markovian nature of the Brownian path and used it to establish the law of maximum displacement
P
a{max
s≤t
ws≤b}=
2
√
2πt
Π
b
0
e
−x
2
/(2t)
dx, t >0,b≥0.
Einstein (1905) also derived (1) from statistical mechanics considerations
and applied it to the determination of molecular diameters. Bachelier was unable to obtain a clear picture of the Brownian motion, and his ideas were
27

28 Chapter 2. The Wiener Process, Sec 1
unappreciated at the time. This is not surprising, because the precise math-
ematical deﬁnition of the Brownian motion involves a measure on the path
space, and even after the ideas of Borel, Lebesgue, and Daniell appeared,
N. Wiener (1923) only constructed a Daniell integral on the path space
which later was revealed to be the Lebesgue integral against a measure, the
so-called Wiener measure.
The simplest model describing movement of a particle subject to hits by
much smaller particles is the following. Letη
k,k=1,2, ..., be independent
identically distributed random variables withEη
k=0andEη
2
k
=1. Fix
an integern,andattimes1/n,2/n, ...let our particle experience instant
displacements byη
1n
−1/2
,η2n
−1/2
, .... At moment zero let our particle be
at zero. If
S
k:=η1+...+η k,
then at momentk/nour particle will be at the pointS
k/
√
nand will stay
there during the time interval [k/n,(k+1)/n). Since real Brownian motion
has continuous paths, we replace our piecewise constant trajectory by a continuous piecewise linear one preserving its positions at timesk/n.Thus
we come to the process
ξ
n
t
:=S
[nt]/
√
n+(nt−[nt])η
[nt]+1/
√
n. (2)
This process gives a very rough caricature of Brownian motion. Clearly,
to get a better model we have to letn→∞. By the way, precisely this
necessity dictates the intervals of time between collisions to be 1/nand the
displacements due to collisions to beη
k/
√
n, since thenξ
n
t
is asymptotically
normal with parameters (0,1).
It turns out that under a very special organization of randomness, which
generates diﬀerent{η
k;k≥1}for diﬀerentn, one can get the situation where
theξ
n
t
converge for eachωuniformly on each ﬁnite interval of time. This
is a consequence of a very general result due to Skorokhod. We do not use this result, conﬁning ourselves to the weak convergence of the distributions ofξ
n
·
.
1. Lemma.The sequence of distributions ofξ
n
·
inCis relatively compact.
Proof. For simplicity we assume thatm
4:=Eη
4
k
<∞, referring the
reader to [Bi] for the proof in the general situation. Sinceξ
n
0
=0,by
Theorem 1.4.7 it suﬃces to prove that
E|ξ
n
t
−ξ
n
s
|
4
≤N|t−s|
2
∀s, t∈[0,1], (3)

Ch 2 Section 1. Brownian motion and the Wiener process 29
whereNis independent ofn, t, s.
Without loss of generality, assume thats<t.Denotea
n=E(S n)
4
.
By virtue of the independence of theη
kand the conditionsEη k=0and
Eη
2
k
=1,wehave
a
n+1=E(S n+ηn+1)
4
=an+4ES
3
n
ηn+1+6ES
2
n
η
2
n+1
+4ES nη
3
n+1
+m4=an+6n+m 4.
Hence (for instance, by induction),
a
n=3n(n−1) +nm 4≤3n
2
+nm 4.
Furthermore, ifsandtbelong to the same interval [k/n, (k+1)/n], then
|ξ
n
t
−ξ
n
s
|=
√
n|ηk+1||t−s|,
E|ξ
n
t
−ξ
n
s
|
4
=n
2
m4|t−s|
4
≤m4|t−s|
2
. (4)
Now, consider the following picture, wheresandtbelong to diﬀerent
intervals of type [k/n,(k+1)/n) and by crosses we denote points of type
k/n:
××××××
s
1 t1ts
||
Clearly
s
1−s≤t−s, t−t 1≤t−s, t 1−s1≤t−s,(t 1−s1)/n≤(t 1−s1)
2
,
s
1=([ns]+1)/n, t 1=[nt]/n,[nt]−([ns]+1)=n(t 1−s1).
Hence and from (4) and the inequality (a+b+c)
4
≤81(a
4
+b
4
+c
4
)we
conclude that
E|ξ
n
t
−ξ
n
s
|
4
≤81E(|ξ
n
t
−ξ
n
t
1
|
4
+|ξ
n
t
1
−ξ
n
s
1
|
4
+|ξ
n
s
1
−ξ
n
s
|
4
)
≤162(t−s)
2
m4+81E|S
[nt]/
√
n−S
[ns]+1/
√
n|
4
= 162(t−s)
2
m4+81n
−2
a
[nt]−([ns]+1)

30 Chapter 2. The Wiener Process, Sec 1
≤162(t−s)
2
m4+ 243(t−s)
2
+ 81(t 1−s1)m4/n≤243(m 4+1)|t−s|
2
.
Thus for all positions ofsandtwe have (3) withN= 243(m
4+1). The
lemma is proved.
Remember yet another deﬁnition from probability theory. We say that a
sequenceξ
n
,n≥1, ofR
k
-valued random variables isasymptotically normal
with parameters (m, R )ifF
ξ
nconverges weakly to the Gaussian distribution
with parameters (m, R )(byF
ξwe denote the distribution of a random vari-
ableξ). Below we use the fact that the weak convergence of distributions is
equivalent to the pointwise convergence of their characteristic functions.
2. Lemma.For every0≤t
1<t2< ... < tk≤1the vectors(ξ
n
t
1
,ξ
n
t
2
, ..., ξ
n
t
k
)
are asymptotically normal with parameters(0,(t
i∧tj)).
Proof. We only consider the casek=2. Otherk’s are treated similarly.
We have
λ
1ξ
n
t
1
+λ2ξ
n
t
2
=(λ 1+λ2)S
[nt1]/
√
n+λ 2(S
[nt2]−S
[nt1]+1)/
√
n
+η
[nt1]+1{(nt1−[nt1])λ1/
√
n+λ 2/
√
n}+η
[nt2]+1(nt2−[nt2])λ2/
√
n.
On the right, we have a sum of independent terms. In addition, the coeﬃ-
cients ofη
[nt1]+1andη
[nt2]+1go to zero and
Eexp(ia
nη
[nt]+1)=Eexp(ia nη1)→1asa n→0.
Finally, by the central limit theorem, forϕ(λ)=Eexp(iλη
1),
lim
n→∞
ϕ
n
(λ/
√
n)=e
−λ
2
/2
.
Hence,
lim
n→∞
Ee
i(λ1ξ
n
t
1
+λ2ξ
n
t
2
)
= lim
n→∞
Σ
ϕ(λ
1/
√
n+λ 2/
√
n)
Γ
[nt1]
Σ
ϕ(λ
2/
√
n)
Γ
[nt2]−[nt1]−1
=exp{−((λ 1+λ2)
2
t1+λ
2
2
(t2−t1))/2}
=exp{−(λ
2
1
(t1∧t1)+2λ 1λ2(t1∧t2)+λ
2
2
(t2∧t2))/2}.
The lemma is proved.
3. Theorem(Donsker). The sequence of distributionsF
ξ
n
·weakly converges
onCto a measure. This measure is called the Wiener measure.

Ch 2 Section 1. Brownian motion and the Wiener process 31
Proof. Owing to Lemma 1, there is a sequencen i→∞such thatF
ξ
n
i
·
converges weakly to a measureµ. By Exercise 1.2.10 it only remains to
prove that the limit is independent of the choice of subsequences.
LetF
ξ
m
i
·be another weakly convergent subsequence andνits limit. Fix
0≤t
1<t2< ... < tk≤1 and deﬁne a continuous function onCby the
formulaπ(x
·)=(x t1
, ..., xtk
). By Lemma 2, consideringπas a random
element on (C,B(C),µ), for every bounded continuousf(x
1
, ..., x
k
), we get
Π
R
k
f(x
1
, ..., x
k
)µπ
−1
(dx)=
Π
C
f(xt1
, ..., xtk
)µ(dx ·)
= lim
i→∞
Π
C
f(xt1
, ..., xtk
)F
ξ
n
i
·(dx·) = lim
i→∞
Ef(ξ
ni
t1
, ..., ξ
ni
tk
)=Ef(ζ 1, ..., ζk),
where (ζ
1, ..., ζk) is a random vector normally distributed with parameters
(0,t
i∧tj). One gets the same result consideringm iinstead ofn i.ByTheo-
rem 1.2.4, we conclude thatµπ
−1
=νπ
−1
. This means that for every Borel
B
(k)
⊂R
k
the measuresµandνcoincide on the set{x ·:(xt1
, ..., xtk
)∈
B
(k)
}. The collection of all such sets (with varyingk,t 1, ..., tk)isanalge-
bra. By a result from measure theory, a measure on aσ-ﬁeld is uniquely
determined by its values on an algebra generating theσ-ﬁeld. Thusµ=ν
onB(C), and the theorem is proved.
Below we will need the conclusion of the last argument from the above
proof, showing that there can be only one measure onB(C) with given
values on ﬁnite dimensional cylinder subsets ofC.
4. Remark.Since Gaussian distributions are uniquely determined by their
means and covariances, ﬁnite-dimensional distributions of Gaussian pro-
cesses are uniquely determined by mean value and covariance functions.
Hence, given a continuous Gaussian processξ
t, its distribution on (C,B(C))
is uniquely determined by the functionsm
tandR(s, t).
5. Deﬁnition.By a Wiener process we mean a continuous Gaussian pro-
cess on [0, 1] withm
t=0andR(s, t)=s∧t.
As follows from above, the distributions of all Wiener processes on
(C,B(C)) coincide if the processes exist at all.
6. Exercise*.Prove that ifw
tis a Wiener process on [0,1] andcis a
constant withc≥1, thencw
t/c
2is also a Wiener process on [0,1]. This
property is calledself-similarityof the Wiener process.
7. Theorem.There exists a Wiener process, and its distribution on
(C,B(C))is the Wiener measure.

32 Chapter 2. The Wiener Process, Sec 1
Proof. Letµbe the Wiener measure. On the probability space (C,B(C),
µ) deﬁne the processw
t(x·)=x t. Then, for every 0≤t 1< ... < tk≤1and
continuous boundedf(x
1
, ..., x
k
), as in the proof of Donsker’s theorem, we
have
Ef(w
t1
, ..., wtk
)=
Π
C
f(xt1
, ..., xtk
)µ(dx ·)
= lim
n→∞
Ef(ξ
n
t
1
, ..., ξ
n
t
k
)=Ef(ζ
1
, ..., ζ
k
),
whereζis a Gaussian vector with parameters (0,(t
i∧tj)). Sincefis arbi-
trary, we see that the distribution of (w
t1
, ..., wtk
)and(ζ
1
, ..., ζ
k
)coincide,
and hence (w
t1
, ..., wtk
) is Gaussian with parameters (0,(t i∧tj)). Thus,w t
is a Gaussian process,Ew ti
=0,andR(t i,tj)=Ew ti
wtj
=Eζiζj=ti∧tj.
The theorem is proved.
This theorem and the remark before it show that the limit in Donsker’s
theorem is independent of the distributions of theη
kas long asEη k=0
andEη
2
k
= 1. In this framework Donsker’s theorem is calledthe invariance
principle(although there is no more “invariance” in this theorem than in
the central limit theorem).
2. Some properties of the Wiener process
First we prove two criteria for a process to be a Wiener process.
1. Theorem.A continuous process on[0,1]is a Wiener process if and only
if
(i)w
0=0(a.s.),
(ii)w
t−wsis normal with parameters(0,|t−s|)for everys, t∈[0,1],
(iii)w
t1
,wt2
−wt1
, ...wtn−wtn−1
are independent for everyn≥2and
0≤t
1≤t2≤...≤t n≤1.
Proof. First assume thatw
tis a Wiener process. We havew 0∼N(0,0),
hencew
0= 0 (a.s.). Next take 0≤t 1≤t2≤...≤t n≤1andlet
ξ
1=wt1
,ξ2=wt2
−wt1
, ..., ξn=wtn−wtn−1
.
The vectorξ=(ξ
1, ..., ξn) is a linear transform of (w t1
, ..., wtn). There-
foreξis Gaussian. In particularξ
iand, generally,w t−wsare Gaussian.
Obviously,Eξ
i= 0 and, fori>j,
Eξ
iξj=E(w ti
−wti−1
)(wtj
−wtj−1
)=Ew ti
wtj
−Ew ti−1
wtj
−Ew ti
wtj−1
+Ewti−1
wtj−1
=tj−tj−tj−1+tj−1=0.

Ch 2 Section 2. Some properties of the Wiener process 33
Similarly, the equalityEw tws=s∧timplies thatE|w t−ws|
2
=|t−s|.
Thusw
t−ws∼N(0,|t−s|),andwehaveproved(ii). Inadditionξ i∼
N(0,t
i−ti−1),Eξ
2
i
=ti−ti−1,and
Eexp{i
∆
k
λkξk}=exp{−
1
2
∆
k,r
λkλrcov (ξ k,ξr)}
=exp{−
1
2
∆
k
λ
2
k
(tk−tk−1)}=
β
k
Eexp{iλ kξk}.
This proves (iii).
Conversely, letw
tbe a continuous process satisfying (i) through (iii).
Again take 0≤t
1≤t2≤...≤t n≤1andthesameξ i’s. From (i) through
(iii), it follows that (ξ
1, ..., ξn) is a Gaussian vector. Since (w t1
, ..., wtn)isa
linear function of (ξ
1, ..., ξn), (w t1
, ..., wtn) is also a Gaussian vector; hence
w
tis a Gaussian process. Finally, for everyt 1,t2∈[0,1] satisfyingt 1≤t2,
we have
m
t1
=Eξ1=0,R(t 1,t2)=R(t 2,t1)=Ew t1
wt2
=Eξ1(ξ1+ξ2)
=Eξ
2
1
=t1=t1∧t2.
The theorem is proved.
2. Theorem.A continuous process on[0,1]is a Wiener process if and only
if
(i)w
0=0(a.s.),
(ii)w
t−wsis normal with parameters(0,|t−s|)for everys, t∈[0,1],
(iii)for everyn≥2and0≤t
1≤t2≤...≤t n≤1, the random variable
w
tn−wtn−1
is independent ofw t1
,wt2
, ...wtn−1
.
Proof. It suﬃces to prove that properties (iii) of this and the previous
theorems are equivalent under the condition that (i) and (ii) hold. We are
going to use the notation from the previous proof. If (iii) of the present
theorem holds, then
Eexp{i
n
∆
k=1
λkξk}=Eexp{iλ nξn}Eexp{i
n−1
∆
k=1
λkξk},
since (ξ
1, ..., ξn−1) is a function of (w t1
, ..., wtn−1
). By induction,
Eexp{i
n
∆
k=1
λkξk}=
β
k
Eexp{iλ kξk}.

34 Chapter 2. The Wiener Process, Sec 2
This proves property (iii) of the previous theorem. Conversely if (iii) of the
previous theorem holds, then one can carry out the same computation in
the opposite direction and get thatξ
nis independent of (ξ 1, ..., ξn−1)andof
(w
t1
, ..., wtn−1
), since the latter is a function of the former. The theorem is
proved.
3. Theorem(Bachelier).For everyt∈(0,1]we havemax
s≤tws∼|w t|,
which is to say that for everyx≥0
P{max
s≤t
ws≤x}=
2
√
2πt
Π
x
0
e
−y
2
/(2t)
dy.
Proof. Take independent identically distributed random variablesη
kso
thatP(η
k=1)=P (η k=−1) = 1/ 2, and deﬁneξ
n
t
by (1.2). First we want
to ﬁnd the distribution of
ζ
n
=max
[0,1]
ξ
n
t
=n
−1/2
max
k≤n
Sk.
Observe that, for eachn, the sequence (S
1, ..., Sn) takes its every par-
ticular value with the same probability 2
−n
. In addition, for each integer
i>0, the number of sequences favorable for the events
{max
k≤n
Sk≥i, Sn<i}and{max
k≤n
Sk≥i, Sn>i} (1)
is the same. One proves this by using the reﬂection principle; that is, one
takes each sequence favorable for the ﬁrst event, keeps it until the moment
when it reaches the leveliand thenreﬂectsits remaining part about this
level. This implies equality of the probabilities of the events in (1). Further-
more, due to the fact thatiis an integer, we have
{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
<in
−1/2
}={max
k≤n
Sk≥i, Sn<i}
and
{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
>in
−1/2
}={max
k≤n
Sk≥i, Sn>i}.
Hence,
P{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
<in
−1/2
}=P{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
>in
−1/2
}.
Moreover, obviously,
P{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
>in
−1/2
}=P{ξ
n
1
>in
−1/2
},

Ch 2 Section 2. Some properties of the Wiener process 35
P{ζ
n
≥in
−1/2
}=P{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
>in
−1/2
}
+P{ζ
n
≥in
−1/2
,ξ
n
1
<in
−1/2
}+P{ξ
n
1
=in
−1/2
}.
It follows that
P{ζ
n
≥in
−1/2
}=2P{ξ
n
1
>in
−1/2
}+P{ξ
n
1
=in
−1/2
} (2)
for every integeri>0. The last equality also obviously holds fori=0. We
see that for numbersaof typein
−1/2
,whereiis a nonnegative integer, we
have
P{ζ
n
≥a}=2P{ξ
n
1
>a}+P{ξ
n
1
=a}. (3)
Certainly, the last probability goes to zero asn→∞sinceξ
n
1
is asymp-
totically normal with parameters (0,1). Also, keeping in mind Donsker’s
theorem, it is natural to think that
P{max
s≤1
ξ
n
s
≥a}→P{max
s≤1
ws≥a},2P{ξ
n
1
>a}→2P{w 1>a}.
Therefore, (3) naturally leads to the conclusion that
P{max
s≤1
ws≥a}=2P{w 1>a}=P{|w 1|>a}∀a≥0,
and this is our statement fort=1.
To justify the above argument, notice that (2) implies that
P{ζ
n
=in
−1/2
}=P{ζ
n
≥in
−1/2
}−P{ζ
n
≥(i+1)n
−1/2
}
=2P{ξ
n
1
=(i+1)n
−1/2
}+P{ξ
n
1
=in
−1/2
}−P{ξ
n
1
=(i+1)n
−1/2
}
=P{ξ
n
1
=(i+1)n
−1/2
}+P{ξ
n
1
=in
−1/2
},i≥0.
Now for every bounded continuous functionf(x) which vanishes forx<0
we get
Ef(ζ
n
)=
∞
∆
i=0
f(in
−1/2
)P{ζ
n
=in
−1/2
}=Ef(ξ
n
1
−n
−1/2
)+Ef(ξ
n
1
).
By Donsker’s theorem and by the continuity of the functionx
·→max
[0,1]xt
we have
Ef(max
[0,1]
wt)=2Ef(w 1)=Ef(|w 1|).

36 Chapter 2. The Wiener Process, Sec 2
We have proved our statement fort= 1. For smallertoneusesExercise1.6,
saying thatcw
s/c
2is a Wiener process fors∈[0,1] ifc≥1. The theorem is
proved.
4. Theorem(on the modulus of continuity).Letw
tbe a Wiener process
on[0,1],1/2>ε>0. Then for almost everyωthere existsn≥0such that
for eachs, t∈[0,1]satisfying|t−s|≤2
−n
, we have
|w
t−ws|≤N|t−s|
1/2−ε
,
whereNdepends only onε.Inparticular,|w
t|=|w t−w0|≤Nt
1/2−ε
for
t≤2
−n
.
Proof. Take a numberα>2 and denoteβ=α/2−1. Letξ∼N(0,1).
Sincew
t−ws∼N(0,|t−s|), we havew t−ws∼ξ|t−s|
1/2
. Hence
E|w
t−ws|
α
=|t−s|
α/2
E|ξ|
α
=N1(α)|t−s|
1+β
.
Next, let
K
n(a)={x ·∈C:|x 0|≤2
n
,|xt−xs|≤N(a)|t−s|
a
∀|t−s|≤2
−n
}.
By Theorem 1.4.6, for 0<a<βα
−1
,wehave
P{w
·∈
∞
ﬃ
n=1
Kn(a)}=1.
Therefore, for almost everyωthere existsn≥0 such that for alls, t∈[0,1]
satisfying|t−s|≤2
−n
,wehave|w t(ω)−w s(ω)|≤N(a)|t−s|
a
.Itonly
remains to observe that we can takea=1/2−εif from the very beginning
we takeα>1/ε(for instanceα=2/ε). The theorem is proved.
5. Exercise.Prove that there exists a constantNsuch that for almost
everyωthere existsn≥0 such that for eachs, t∈[0,1] satisfying|t−s|≤
2
−n
,wehave
|w
t−ws|≤N

|t−s|(−ln|t−s|),
The result of Exercise 5 is not far from the best possible. P. L´evy proved
that
lim
0≤s<t≤1
u=t−s→0
|wt−ws|
2u(−lnu)
= 1 (a.s.).

Another Random Document on
Scribd Without Any Related Topics

The Project Gutenberg eBook of Syteen taikka
saveen

This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Syteen taikka saveen
Author: Santeri Alkio
Release date: November 25, 2012 [eBook #41482]
Language: Finnish
Credits: Produced by Tapio Riikonen
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK SYTEEN TAIKKA
SAVEEN ***

Produced by Tapio Riikonen
SYTEEN TAIKKA SAVEEN
Huvinäytelmä 1:ssä näytöksessä
Kirj.
SANTERI ALKIO
Werner Söderström, Porvoo, 1899.
HENKILÖT:

IISAKKI PERÄKORPI, talollinen, leskimies, 60 vuoden ikäinen.
MIINA, hänen tyttärensä, 20 vuoden ikäinen.
JUHO, hänen poikansa, nuori talollinen.
RIIKA, Juhon vaimo.
LIISA, Peräkorven palveluspiika, 40 vuoden ikäinen.
KYLÄ-MAIJA, vanha akka.
TANAKKALA, vanhahko talollinen.
NIERULAINEN, vanhahko talollinen.
Näyttämö: Talonpoikaismalliin sisustettu kamari, perällä ja sivulla
ovi. Huonekaluina muutamia tuoleja, pöytä, piironki ja sen päällä
tualettipeili, arkku nurkassa j.n.e.
PERÄKORPI (noin 60-ikäinen, osittain paljaspäinen ukko, mustat
housut ja aivina paita päällä. Paidan hihat ovat rikki. Istuu tuolilla,
ajelee partaansa, tirkistellen kuvaansa kuvastimessa, joka on
vastapäisellä tuolilla. Alkaa pyyhkiä rievulla leukaansa.) — Niin se
näkyy olevan, että kun ihminen tulee vanhaksi niin ei enää kykene
oikein kunnolla partaansa ajamaan… Kyllähän se muuten aina
menisi, mutta kun kädet alkavat niin kovasti vapista ja naama
vetäytyy ryppyihin (Katselee kuvaansa peilissä.) On sekin merkillinen
Jumalan ihmetyö, että parta kasvaa niin kuin synti samalla, kuin
päänlaki paljastumistaan paljastuu (Alkaa taas ajella partaansa.)
MIINA (Tulee, astuu tualetin eteen huiviansa laittamaan).
PERÄKORPI. Älä … älä vaan tyr-tyrkkää minua!
MIINA. Teitä!
PERÄKORPI (Viskaa veitsen tuolille ja alkaa pyyhkiä leukaansa.) Äs
… saamari, kun tein taas haavan! Onko minulle puhdas paita?

MIINA. Puhdas paita! Mitä te sillä nyt tekisitte, kun ette kotoa
kuitenkaan mene minnekään?
PERÄKORPI. Kuka sen on sanonut etten minä mene minnekään?
Sitä paitsi tapasi äitivainajasi joka sunnuntaiaamuna antaa puhtaan
paidan, ja olivat ne silloin eheitäkin, liekö nyt yhtäkään.
MIINA. Tottahan laittoi puhtaita paitoja omalle miehellensä, että
olisi sen saanut vähänkin ihmisten näköiseksi.
PERÄKORPI. Ihmisten näköiseksi! Sinun sanasi menevät liijan
syvälle, kuule (Nousee.) Minä olen kuitenkin sinun isäsi, olin sitten
kuinka vanha ja ruma tahansa (Nyrkkiä puiden:) Muista se: sinä perit
kerran, jos elät, minun rumuutenikin, eikä vaan tavaroitani.
MIINA (Yhä peilaillen.) Pyh!
PERÄKORPI. Laita minulle puhdas paita!… Katso miten likainen ja
rikkinäinen tämä on.
MIINA. Minä lähden kirkkoon, enkä ehdi sitä enää hakea.
PERÄKORPI. Sano missä niitä on, niin haen kyllä itsekin.
MIINA (Ei puhu mitään, peilailee ja sovittelee vaan huiviaan.)
PERÄKORPI. Kuulitko sinä? Ota se peili mukaasi.
MIINA. Hyvä Jumala, minkälainen vanhus te olette! Silloin kuin
lapsenne lähtee kirkkoon saadakseen sielullensa ravintoa, silloin
teidän paatunut sydämmenne pakoittaa teitä nostamaan sodan
paidoista. Jos te otatte omantuntonne päälle sen, että minä nyt alan

paikata teidän paitojanne ja paikkaan koko kirkonajan, niin minä
teen sen paikalla?
PERÄKORPI (Asettuen uudelleen parranajoasemaan ja nauraen
pisteliäästi.) Jos minä näkisin sen ihmeen, että sinä paikkaisit minulle
paidan, niin kyllä tohtisin sen synnin selkääni ottaa.
MIINA (Pettyneenä.) Sen minä kyllä uskon! (Juhlallisesti.) Älkää,
isä rakas, olko niin mammonan orja. Teidänkin olisi jo aika
sunnuntai-aamusin ajatella vahan muutakin kuin paitoja ja parran
ajoa.
PERÄKORPI. Kyllä.
MIINA. "Kyllä" te aina sanotte.
PERÄKORPI. Onhan se kristillisempää edes myöntää kuin olla aina
vastaan niin kuin sinä.
MIINA. Kylläpä sitä käskisi aina olla teidän mielenne mukaan.
PERÄKORPI. Saisit sinä… Ai perhana! … kun leikkasin taasen
haavan (Pyyhkielee verta.) Siinä sinä kanssa palpotat koko päivän!
Mene jo siitä tiehesi jos kerran menet.
MIINA (Ilkkuen.) Minunko syyni tuokin oli?
PERÄKORPI (Matkien Miinaa.) "Minunko syyni tuokin oli."
MIINA (Menee nauraen ja ilvehtien.)
PERÄKORPI (Katsahtaa taaksensa Miinan mentyä, heittää
parranajon, nousee leukaansa pyyhkien.) Nyt minä tahdon akan
vaikka mistä! Tuo tulee aina vaan yltäisemmäksi mitä enemmän

häntä lahjon, silkkihuiveja ja musliineja ostelen. Jumalauta! mun
pistää kovin vihakseni kun ei ole enää eheätä paitaa ottaa yllensä,
vaikka tytär silkissä ja sametissa prameilee. Haukkuu vaan sitte
silmät täyteen jos joskus jotain tekemään hänet vaadin, muutama
kelvoton! (Miettii.) Mahtaisiko saada tuon piika-Liisan suostumaan?
Hän on tosin vähän ruma ja hiukan hassahtava, mutta hyvä ja
huolellinen työihminen niin että kyllä hän emännyyttä hoitamaan
kelpaisi (Katsottuaan kuvaansa isossa peilissä. Huokaisten:) Kyllä en
minäkään ole kaunis, eikä minullakaan liene enää valikoiman varaa,
sillä nuoret ja koreat ne katsovat aina enempi naamaa kuin
rahataskua… Se se oli saakelin hullua, etten jo kymmenen vuotta
takaperin nainut silloista piikaani, vaan annoin muiden johtaa itseäni.
Silloin oli vielä verevyyttä poskissani, tukkani oli kuin rohdin tortti ja
— siinä tytössä olisi ollut emäntää joka taholle… (Sattuu
katsahtamaan saappaisiinsa.) Saamari kun ovat nuo saappaatkin
ravassa, täytyy niitäkin vähän mustata, jos tässä kosimaan pitää
ruveta (Laittaa paperitukon johon tahrii pesästä nokea. Keskeyttäen
saappaitten, mustaamisen:) Ja totta puhuen, kyllä Liisa ihmiseksi
kelpaa, kun puetan hänet. Saateipa raha puutu. Jääköön Miina
tästälähin vähemmälle ja syyttäköön itseänsä, kun ei vähääkään
lapsen tavoin isäänsä kohtele. Hän on aina niin kun olisi paholaisen
niellyt, Jumala paratkoon! Ja jos minulla on vielä elämänpäivä, niin
ennen pitkää putoovat vaatteet riepuina päältäni (Vie tupaan
parranajovehkeet.) Ei minun tarvinnut näitä tällaisia ennen kannella
kun emäntä vainaja eli. (Istuu tupakoimaan.)
Mutta mitenkähän helkkarissa minä osaisin sille Liisalle asian
puhua niin, ettei siinä kovin pitkiin juttuihin tarvitsisi ruveta? Hän on
vähän yksinkertainen (Nousee, ottaa verkatakin naulalta, ja
pannessaan sitä päälleen.) Panen tuon verkatakin päälleni, se
kuitenkin antaa vanhallekin miehelle vähän paremman ja

juhlallisemman ulkomuodon (Katsoo peiliin.) Noo, en minä vielä
sentään niin kauhean vanhalle näytä! (Istuutuu.) Perhana tietää,
olisiko parempi vihkaista asiasta Kylä-Maijalle, että se puhuisi Liisalle,
vai puhunko itse ja nyt kohta?… Tässä todellakin tarvitsee
rohkoryypyn, sillä asiata en enää lykkää, en! (Menee piirongin luo,
ottaa sieltä pullon, josta ryyppää. Katsoo sitten ulos ikkunasta.) Kas,
mutta tuollahan se Kylä-Maija meneekin, tpruu! (Hätäisesti liikkuen.)
Huudankohan minä hänet tänne, vai annanko olla? Jos se nyt jää,
niin se jää ainaiseksi, sillä minä olen, herra paratkoon, tällaisissa
asioissa aika pelkopöksy… Jos vasikan nahatkin saan, niin enpä ole
ensimmäinen, eikä viimeinenkään. Menköön syteen taikka saveen!
(Kiirehtii ulos. Vähän ajan kuluttua palaa takaisin ja huutaa ovesta
jälkeensä:) Tule tänne Maija!
KYLÄ-MAIJA (Astuu sisään reppuineen.) Kun oikein tuo isäntä vie
mun kamariin. Voi juutas kun teillä on komea tuolettipeilikin!
PERÄKORPI. Käy istumaan.
KYLÄ-MAIJA. Jotta oikein käsketään istumaan. Voi paikkaa kun se
isäntä on viimeaikoina kovin lihonut ja tullut pulskaksi. Oikeinpa mä
nyt vasta silmäni avajan, kun on kohta niin iso vatsa kun Mikin-tuvan
vaarilla. Te olette varmaankin ollut hyvin terve?
PERÄKORPI. Niin kun pukki.
KYLÄ-MAIJA. Päällekin päin sen toki näkee. Ja mitäpä tarvitsee
olla kipeä, enempää kuin laihakaan sellaisen, jolla on kyllä
kädestälähtevää ja aitankatot notkuvat sian- ja lehmänreisien
painosta. Lihovatpa ne köyhemmätkin! Tuokin Rantalaurilan Antti,
sellainen kitukontti kun on ollut koko elämänsä ja nyt on lihonut ja
paisunut kuin rovasti. Ja sillä on vielä velkaakin.

PERÄKORPI. Tuota, älä nyt huoli niistä veloista…
KYLÄ-MAIJA. Niin, kyllähän minä sen tiedän, ettei te kärsi ämmäin
juoruja, te kun olette niin kovin siivo ja rehti. Mutta sanon minä sen
vaikka kenelle, että velkainen talo se on Rantalaurila ja komeita vaan
ollaan, tyttäretkin niin ylöllisesti, etteivät enää nenäänsä niistä
ollenkaan paljain käsin, ei toki! Nenäliinat ja nästyykit pitää olla niin
tryykätyt ja stärkätyt jotta….
PERÄKORPI. Tuota noin, niistäköön nyt nenänsä kuinka itse
parhaaksi näkevät, mutta mulla oli aikomus sulle puhua…
KYLÄ-MAIJA. Noo, noo niin, puhukaa vain, ei suinkaan teillä
olekaan paljon ketään, jolle puhuisi sydämensä kipuja, kun Miinakin
on niin nuori ja emännän Jumala korjasi pois. Ja vaikka mä sen itse
sanon, niin kyllä mulle sopii puhua ja uskoa asiansa, ne ovat mulla
niin kuin haudassa, niin jus-tiin kun haudassa! Vaikka minua
juoruämmäksi sanotaan, niin kyllä yksi on joka tietää!
PERÄKORPI (Itsekseen tuskaisena.) Perhana kun saisi suunvuoroa,
että pääsis alkuun.
KYLÄ-MAIJA. Mulla on paljon sydänystäviä parempain ihmisten
joukossa, oikein pitäjään komeimpia emäntiä ja on isäntiäkin, vaikka
mä sen itse sanon. Köyhä minä olen ja kulkevainen, mutta on mulla,
Jumalan kiitos, oma mökki päälläni enkä ole ikänä saanut
penniäkään vaivaishoidosta. Ja jos minä kaikki sanon, kun kerran
näin sattuu puheeksi tulemaan, niin olisin minä sen jälkeen, kun
Mikkivainajasta leskeksi jäin, saanut montakin miestä, mutta Maija ei
huoli kaikista vedentuomista. Kissa! Minä elän kunniallisena leskenä
niin kun pyhä Paavali. Minä sanoin tässä tuonaan yhdellekin…

PERÄKORPI (Huutaen.) Ja minä sanon sinulle, jos kuulla maltat,
että minäkin olen nyt aikonut ottaa akan.
KYLÄ-MAIJA (Innokkaasti:) Tekö? Oikeinko itsellenne? No mikä on
sen onnellisen valitun nimi, joka saa (viittaa kädellään ympäri
huonetta) nämät kaikki ja päässee tähän emännäksi lyllyttelemään?
Voi juutas, vai jo te nyt viimeinkin… No kylläpä sille ihmiselle, joka
pääsee kaiken tämän tavaran ja komeuden päälle, kylläpä sille, mä
sanon, Jumalan siunaus vuotaa kuin viina leilistä, ha ha haa. Kuka se
on, rakas lautamies?
PERÄKORPI (Myhäillen.) Enhän minä ole lautamies.
KYLÄ-MAIJA. Noo, mitä sillä on väliä! Parempikin te olette kuin
moni lautamies, paljonkin parempi kun esimerkiksi tuo Järvensivun
lautamies, jolla on niin kauhea velka selässänsä. Kuinkahan ei teitä
olekin pantu lautamieheksi? Eivät ne ole, raukat, ymmärtäneet
(Käsiä yhteen lyöden.) Mutta taikkama! Teidän emäntä vainajan isä
oli lautamies? Meikeinhän se on sama jos te olisitte: (Vakuuttavasti.)
Minä sanon teitä lautamieheksi, vihastukaa jos tahdotte! Lautamies
teistä kuitenkin tulee kun te olette niin viisas, ja rikas, ja pulska (Yhä
enempi mielistellen:) Mutta mikä on sen kullannuppeloisen nimi, sen
autuaan lapsen, joka pääsee näiden tavarain haltiaksi?
PERÄKORPI. Minä meinasin sulle puhua…
KYLÄ-MAIJA (Käsiä yhteen lyöden.) Mulle puhua!? Ettäkö minua?
Eihän te leikkiä laske? Ei saa pilata köyhää! Meinaatteko oikein
todella?
PERÄKORPI. Eei, minä vaan ajattelin että sinä olisit sopiva —

KYLÄ-MAIJA. Voi taivas! Oikeinko todella?
PERÄKORPI. Niin tuota, älä nyt huuda, minä arvelin vaan että sinä
olisit tottunut —
KYLÄ-MAIJA. No niin! Kyllä minä sen sanon, vaikkapa kohta
omalla, syntisellä suullani, että jos minä tulen teille emännäksi, niin
heiluman täällä pitää joka paikka. Kamarin lattiankin minä pesen ja
sen pitää kumaata niin kuin pukaali kun me molemmat yhdessä
veisaamme sitä virttä, kuinka se nyt olikaan?… Maa … maa…
PERÄKORPI (Syrjään.) Nyt se vietävä luulee, että minä aijon
emännäkseni häntä itseänsä! Mitähän lempoa tästä vielä tulee?
KYLÄ-MAIJA. Niin niin, näinpä se olikin (veisaten) Maa-aha-ha su-
huur jaa-ha-ha-havaraa, jaa ka-haik se-hen ta-havaraa… ["Maa suur'
ja avara ja kaikk' sen tavara."] Niin se oli. Eikös mulla ole vielä korea
äänikin kun mä taidan niin kauniisti lurajuttaa? Eivät ne tämän
aikaiset enää moni niin osaa, huutavat vaan ja mylvivät niin kun
härät. Mutta voi paikkaa jos meistä tulis vielä pari! Kukas sitä olisi
uskonut vielä äsken, kun minä tulin pitkin kylänraittia kantaen
selässäni tuollaista rumaa reppua! Mutta niin muuttuu maailma.
Kuka, kuka olisi äsken uskonut että Maijasta tulee yht'äkkiä morsian
ja että täällä ruvetaan kullaksumaan, ihan niin kun pyykkiä vain, hi hi
hii!…
PERÄKORPI (Huutaen.) Pane nyt järveen se paasaaminen, että
minä saan…
KYLÄ-MAIJA. No se joutaa kyllä järveen, mutta annahan nyt, rakas
yrkämies, mun vähän höhlytä enintä puhkuani menemään.
Ymmärräthän sinä sen, rakas Iisakki-paappa, — vaikka et sinä siltä

mikään paappa ole, sinä olet pulska ja fiini kun pesty variksen poika,
mutta mä nyt vaan sanoin paapaksikin —
PERÄKORPI (Syrjään.) Heittäiskö tuon vietävän päällensä ulos?
KYLÄ-MAIJA. No tuota, kyllä minä sen nyt olen tässä moni kertaan
ajatellut pääni ympäri ja meinaan niin, että enköhän minä nyt sitte
tule teille emännäksi. Kyllähän minä muutenkin elän, vaikka sen itse
sanon, mutta kun tekin niin kipeästi tarvitsette emännän ja minä
tässä olen joutilas, ja — kun tekin arvelette että minä olisin sopiva,
niin mitä siinä on muuta kun… Mutta kuule, mitähän meidän pitää
tehdä mun tupani kanssa, pitääkö sen myödä, vai annetaanko olla?
Kuinka sinä sen parhaaksi ajattelet? Sinun tahtoasi tässä nyt
noudattaa täytyy, sillä mies on vaimon pää.
PERÄKORPI. Koeta nyt, hyvä ihminen, pitää suusi kiini siunaaman
aika, sinä olet aivan erehtynyt.
KYLÄ-MAIJA. Noo niin, et suinkaan sinä nyt vielä olekaan minun
pääni, mutta siksi kuitenkin tulet.
PERÄKORPI. Ei ikänä, jumalauta!
KYLÄ-MAIJA. Tulet sinä, elä vanno väärin, se on synti. Vaikka
kuinka ajattelisitkin tasavaltaa, niin ei se menesty! Miehellä pitää
talossa olla ohjakset. Vaikka kyllä minäkin otan ohjakset kireelle siinä
mikä minulle kuuluu. Kuule, minä olen tässä ajatellut, että niin tyyni
ei me ikänä vie maitoa meijeriin ettei edes papinvoita saada omasta
maidosta, ilman ostamatta…
PERÄKORPI (Nousee kiivaasti ja lyö jalkaa lattiaan.) Pane hiiteen
nuo juttusi ja mene itse niin pitkälle kun maantietä riittää!

KYLÄ-MAIJA. Mitä se nyt sanoi? Narrannutko se onkin minua?
PERÄKORPI. Minähän, tuota, aijoin sinulle vaan kuppaamisesta
puhua ja sinä nostat sellaisen riemun.
KYLÄ-MAIJA (Istuu äänetönnä tuijottaen lattiaan. Nousee sitten
kiivaasti:) Sen minä sanon sinulle, muutama parkkiposki, klanipää,
kahju, että vielä sinä tätä kadut! (Lyö jalkaa lattiaan.) Minä olen niin
kunniallista sukua kuin sinäkin. Ei mun suvussani ole moneen
miespolveen ollut huoria ei varkaita, ei edes valehtelijoita: Ja
tuollaisen parkkiposkenko minä sitten ottaisin rikkaudelle, tuollaisen,
jonka leukakin on kun hallavuoden varileivän puolikas ja jonka
ensimmäinenkin emäntä kuoli niin että — Jumalako sen tietää kuinka
kuoli. Vainaja tapasikin mulle vaivojansa valittaa ja sanoi aina, että
kun hän joutui sellaisen romun kanssa naimisiin ja parempiakin olisi
kyllä saanut. Tpyi! Häpeä silmät päästäsi! (Työntää oven auki ja
huutaa siitä ulos:) Hoi ihmiset! Tulkaa hätään! Joutukaa rakkaat
ystävät, kun tämä Peräkorven äijä hätyyttää täällä —
PERÄKORPI (Työntää hänet ulos.) Mene sinä riivatun ämmä!
KYLÄ-MAIJA. — — hätyyttää, hätyyttää täällä yhtä (eteisestä) yhtä
kunniallisen miehen kunniallista leskeä. Apua, apua, hoi, hoi! Tulkaa
rakkaat ihmiset pelastamaan edes henkii-ii!
PERÄKORPI (Neuvotonna.) Voi repaletta kun huutaa. Minä senkin
pöllö kun rupesin tuollaisen saatanan kanssa puhumaan ja luulin
sitäkin ihmiseksi. Kylläpä tästä nyt tulee korea juttu.
LIISA (Tulee.) Mikä hätä sillä Kylä-Maijalla oli?

PERÄKORPI (Ihastuneena.) No kuule hyvä ihminen, kun minä hullu
kutsuin hänet tänne ja meinasin pyytää kuppaamaan, niin tämä
tolvana joka ei ikänä malta kuulla niin kauan että hänelle asian
selittäisi, alkoi luulla että minä pyysin häntä akakseni.
LIISA (Lyöden käsiä yhteen.) Voi kaksi vanhaa karvalakkia!
PERÄKORPI. ja siitäkös se ilon nosti, ennen kuin sain hänelle
selitetyksi.
LIISA (Yhä nauraen.) Voi yhdeksäntoista!
PERÄKORPI. Ja sitten rupesi juutas huutamaan niin kuin eläin, että
minä muka häntä hätyytän. Voi jumalatonta ihmistä, minkälainen
sappi ja sisu sillä on.
LIISA. No tietääkin sen. Mutta kuka isännän käski tuomaan Kylä-
Maijan kamariin, kuka jo? Ha haa! Kuka käski! Minäkin nauran oikein
koko suulla, ha haa, kuka käski!
PERÄKORPI. Ethän sinä uskone, että minä hänen kanssaan mitään
vehkeilin?
LIISA. Kukahan nyt tuollaisen kanssa!…
PERÄKORPI. Vanha mies.
LIISA. Niin toki, vanha ja reiru mies.
PERÄKORPI. Aina ollut reiru mies, en milloinkaan puheitten
alainen.
LIISA. Niin toki, en minä ole ainakaan koskaan kuullut.

PERÄKORPI. Vaikka olet oman kylän lapsia ja olet kaikki kuullut,
kun tässä palvellutkin olet toista kymmentä vuotta.
LIISA. Minä en uskoisi teistä sellaista vaikka itse näkisin.
PERÄKORPI (Hämillään, epävarmana.) Kuule Liisa, tuota, olis
minulla sullen puhumista.
LIISA. Minulleko?
PERÄKORPI. Niin sinulle.
LIISA. Mitähän puhumista isännällä mulle, piika-ihmiselle?
PERÄKORPI. Tuota … tuota .. (korvan taustaa kynsien) se olis
sellaista asiaa, että…
LIISA. Sanokaa vaan, isäntä, kyllähän mulle sanoa sopii.
PERÄKORPI. Niin että, etkö sinä rupeaisi tähän emännäksi kun …
kun tunnet jo kaikki talon tavat ja lehmätkin jo tuntevat sinun, tuota
—
LIISA (Iloisesti.) Herra hallitkoon! — mitä tuo isäntä nyt sanoo?…
Noo, kyllähän minä talon tavat tunnen ja lehmät kanssa, mutta.
PERÄKORPI. Mitä sinä siihen sanot?
LIISA. Niin mitäkö minä sanon? Voi mitä tuo isäntä nyt sanoi,
olishan sillä nyt parempiakin kun tällaisia.
PERÄKORPI. Minkälaisia?
LIISA. Rikkaampia ja komeampia.

PERÄKORPI. Sinä kelpaat.
LIISA. Minäkö?
PERÄKORPI. Minä olen sinun katsonut parhaaksi.
LIISA. Minunko?
PERÄKORPI. Sinun, sinun.
LIISA (Käsiänsä nyplien epävarman, vaan samalla tyytyväisen
näköisenä.)
Voi kumminkin tuota isäntää?
PERÄKORPI. Noo.
LIISA. Mitähän Miinakin sanoisi jos te Liisaa hänelle äitipuoleksi…
Voi juteri hallitkoon, isäntä, en minä uskalla (Vaipuvalla epätoivon
äänellä:) Ja Korvalan Juho… (Itkuun pillahtaen.) Minä olen niin halpa
ja köyhä, ei-eikä Ju-jumala ole edes ko-komiaa ul-ulkomuotoa an-
antanut, y-hyy (Peittää kasvojaan esiliinalla.)
PERÄKORPI. Älä nyt, Liisa, saakeli tuota … älä nyt huuda. Kuultele
nyt mitä sanon. Minä olen Juhollen maksanut äitinsä perinnön joka
pennin ja Miinalle maksan sen vaikka tänä päivänä. Ei sinun niistä
tarvitse välittää. Ja … ja tuota, (lyö kättä polveen) me laitamme
itsemme komeiksi, Liisa!
LIISA (Hymyillen.) Tuota isäntää! Millä me komeiksi tulemme kun
olemme jo niin vanhojakin.
PERÄKORPI. Vanhoja? (Hyppää ylös.) Katso nyt näytänkö minä
enää niin vanhalta kun partani ajoin ja … ja kun mulle on

verkamekko ja verkahousut? (Näyttelee itseään.)
LIISA (Katselee hymysuin Peräkorpea.) Kyliähän ne miehet aina
kelpavat vanhastakin, mutta —
PERÄKORPI. Mutta mitä?
LIISA. Sitä vain, että ei vaimoväki niin kelpaa, vaikka on mulle
ennenkin miestä kosittu.
PERÄKORPI. Älä joutavia, kun sinä mulle kelpaat, niin sillä hyvä. Ja
eikä sun tarvitse pitää emäntävainajan vaatteitakaan, sellaisia,
vanhan aikaisia, saat laittaa karttuunista ja musliinista (Näppiä
lyöden.) Perhana ollen, sinusta tulee niin komea emäntä että… Ja
minä laitan itselleni uudet trikoohousut ja mekon ja narusaappaat
(näppiä lyöden) niin että —. Mutta sanoppa, ketä sinulle on kosittu?
LIISA. En viitsi sanoa sitä, ja muuten niin, eihän me niin komeasti,
vanhat ihmiset?
PERÄKORPI. Miks'ei?
LIISA. Alkavat nauraa.
PERÄKORPI. Nauraa? Ähä hää, kuka rikkaille nauraa!
LIISA. Minä ole köyhä.
PERÄKORPI. Vaan kun tulet mun emännäkseni et ole enää köyhä.
LIISA. Mutta kyllä Miina ja Juho pitävät minua kuitenkin halpana ja
katsovat ylön kun minä olen niin köyhä.
PERÄKORPI. Siitä viis', minähän sinut emännäkseni otan.

LIISA. Noo, kyllähän se nyt niin on taas, että, vaikka mä sen itse
sanon, niin itse minä olen aina luttini pukenut omilla vaatteillani ja
joka kevät minä olen tehnyt kolme paitaa ja kahdet puolivillaiset
pukuvaatteet.
PERÄKORPI (Kopeloiden piirongilla.) No älä muuta kun ota pois
kihlarahat. Tästä saat nyt vähän aluksi, että sopii laittaa mitä tahdot
(Tarjoo setelitukkoa.)
LIISA (Epävarmana:) Voi rakas isäntä, kyllä minä ottaisin mutta …
kyllä minä muuten mutta … en minä oikein tiedä… (Itkun ja naurun
sekaisella äänellä). Kyllä minä vissiinkin taidan teitä rakastaa?
PERÄKORPI (Hämillään.) Rakastaa? (Kynsii korvallista.) Tuota, se
nyt on sillä tavalla, että kyllä minä ainakin rakastan sinua ja
tykkään… Ja kun ei minusta enää kukaan pidä mitään huolta ja kun
minäkin tästä vanhenemistani vanhenen niin ajattelin, että jos sinä
tulisit tähän emännäksi ja hoitaisit vähän minuakin (Liikutettuna.)
Vaan kun sitä tullaan vanhaksi, niin ei enää rakasta omaiset ei
vieraat.
LIISA. Kyllähän minä… Mutta kun on se Miinakin, jos pitää ruveta
riitelemään ja —
PERÄKORPI. Minä olen isäntä meillä! Jos ei Miina ole ihmisten
lailla, niin saa mennä tiehensä. Sinä saat avaimet ja emännyyden.
Kyllä minä olen jo kärsinytkin. Katso, minkälainen pyhäpaita nytkin
on päälläni. (Ottaa takin päältään ja näyttää paitaa.)
LIISA. Monta kertaa olen sanonut Miinalle, että kuinka sinä pidät
tuosta isästäs niin huonon huolen ja paidoistakin on monta kertaa
puhuttu.

PERÄKORPI. Liisa tietää kaikki ja tiedäthän sinä todistaa, etten
minä ole kenellekään häjynkurinen?
LIISA. Joka sen sanoo, se valehtelee.
PERÄKORPI. Ota nyt tämä kihlaraha, äläkä enää mieti. Sen
rakkaudenkin kanssa on usein sillä tavalla, että se on paljasta
hölynpölyä.
LIISA. Niin onkin, eikä se oikein kuuma rakkaus ole ikänä
näyttänyt olevan hyvän edellä.
PERÄKORPI. Eikä sitä vanhanpuolen ihmisiltä sovikaan vaatia niin
kuumaa —
LIISA. Kuumaa ja höyryävää.
PERÄKORPI. Justiin niin kun sanot, kuumaa ja höyryävää. Tuos on,
ota pois nuo rahat.
LIISA (Ottaa rahat, niiaa, kiertelee niitä tukulle kädessään ja on
vaiti vähän aikaa. Sitten:) Voi paikkaa kuitenkin! Ettäkö minä olen
nyt oikein morsian?
PERÄKORPI. Morsian sinä olet ja minä olen yrkämies.
LIISA. Ja minä olen aina ajatellut etten minä ikänä ota miestä …
mutta kun tuo isäntä niin tahtoo.
PERÄKORPI. Etkä sinä kauppaasi tule katumaan. Leipää sulla on
nyt kuolinpäivääsi asti kun vaan äijästä pidät huolen.
LIISA. Parastani tahdon koettaa ja, Jumala tietää, etten minä aijo
Miinaltakaan päätä haukata, (nyyhkien) en ikänä, jos ei vaan hän

minulta ensin.
PERÄKORPI. Niin, mitä joutavia. Mutta eiköhän ole parasta että
ilmoitamme aikomuksestamme naapureillekin jo tänä iltana?
LIISA. Ettäkö tämä nyt sitten ainakin on oikein tosi?
PERÄKORPI. Saamari tuota, leikkiäkö me tässä laskimme?
Laitetaan kahvia vaan ja minä sanon naapurin isännille.
LIISA. Kuinka te vaan tahdotte. Mutta nyt pitää minun jo mennä,
kun kirkosta aletaan tulla (Aikoo lähteä.)
PERÄKORPI (Tarttuen käsivarteen. Hämillään:) Tuota, kun sinä nyt
kerran olet mun kihlattu morsiameni, niin … ha, haa, minä meinaan
sinua suudella.
LIISA (Tempautuu irti.) En minä anna, en vaikka mikä olisi!
PERÄKORPI. Miks'ei?
LIISA. Ei? (Kiirehtien pois.) Hyvä isä, jos pyhävellipata olisi
kiehunut maahan!
PERÄKORPI (Mielissään, käsiään hieroen.) Saamarin siivo ihminen!
Mutta olisi se nyt saanut antaa… Noo, onhan se parempi näin,
vanhokkojen ihmisten kesken (Nappia lyöden.) Vaan on minussa
vielä jälellä entistä likkaa ja kuraassia! Ei sitä vain joka mies 60-
ikäisenä noin vaan sieppaa akaksensa parhaassa ijässä olevaa
ihmistä… Peijakas, kukahan se mahtaa olla, joka häntä on kosinut?
Olis hauska tietää kuka sai vasikannahan… Kun eivät nyt vaan
nuoremmat alkaisi ryntäilemään, kun kuulevat että minä, vanha mies
olen iskenyt. Tosin hän on jo 40 ijässä, mutta jos joku saisi tuon

Kylä-Maija ryökäleen asiamieheksensä niin se kiertää enkelinkin.
(Päättävästi:) Kyllä minun pitää häntä vielä varoittaa. (Rientää
aikeessa mennä ulos.)
MIINA (Tulee ovessa vastaan.)
PERÄKORPI (Säpsähtäen.) Kaa, kylläpä sieltä kirkosta nyt oli taas
kiirettä kotiin.
MIINA (Kummeksien.) Kiirettä? Tottahan saa kotiin tulla milloin
tahtoo.
PERÄKORPI. Noo, tulee nyt sitten. (Ulos.)
MIINA (Käy katsomassa peiliin.) Mitähän tuo nyt on noin
pyntännyt itsensä verkavaatteisiin? Jotain vehkeitä sillä mahtaa olla.
Ja nuo ikuisessa ravassa olevat saapaskohjaleensakin oli mustannut
noella. (Peilailee.) Mutta voi taivas kun minä olen nyt komea, kun
tämä röijykin sopii niin hyvin, enkä minä siltä isottele (Käsiä yhteen
lyöden.) Jos yksi tietäis, mitä minä nyt ajattelen!… Se on niin pulska
poika, se Mäki-Matin Hemppa, ettei koko maailmassa ole yhtään
muuta sinnepäinkään!… Ja minä tykkään siitä. — Voi jos joku olisi
kuullut… Ainakin viisi kertaa se Hemppa katsoi minua kirkon
käytävän ylitse —
KYLÄ-MAIJA (Kurkistaa peloissaan peräovesta.) Onko Miina yksin?
MIINA. Ka Maija! Yksin minä olen, tulkaa vaan.
KYLÄ-MAIJA. Päivää kultani. (Ottaa kiini Miinan molempiin käsiin.)
Kuule, mulla on kiirettä… Kun ei vaan isäsi tulisi tänne. (Nyyhkien.)
Kun se äsken aikoi ruveta täällä minua hätyyttämään, kunniallista
leskeä.

MIINA (Ihmeissään.) Hätyyttämään?
KYLÄ-MAIJA. Niin, mutta herra pelasti oman piikansa, enkeli seisoi
sivullani välkkyvän miekan kanssa.
MIINA. Narraatte nyt, ihan varmaan.
KYLÄ-MAIJA. Koska minä olen, lapsi, sulle narrannut? Mutta kuule
nyt: Kun minä sitten hetken seisoin tuolla tallin nurkan takana, näin
Liisan tulevan tänne kamariin. Minä kohta ajattelin, että ei suinkaan
mulla nyt ole niin kiirettä. Ja mitäs ollakaan, hyvä lapsi, minä hiplasin
itseni tuonne ikkunan taakse… Mutta voi hyvä lapsi, kun mun polttaa
kovin rintojani, anna, kultani, yksi pikkuinen ryyppy, pikkuruinen
vaan.
MIINA (Ottaa pullon ja lasin kaapista, kaataa ja tarjoo.)
KYLÄ-MAIJA (Ryyppää.) Hoh siunatkoon, kun se jumalan vilja on
vanhalle kovin hyvää. (Osoittaa vatsaansa.) Tuolla se nyt menee
kierrellen joka mutkan ja kipristelee niin makeasti ja mukavasti kun
ennen nuoruuden aikana oman kullan laulu. Mutta anna,
kullannuppuni, yksi korppu, mä haukkaan tuonne sydänalustaani.
MIINA (Antaa korpun.) No mitä te kuulitte tai näitte?
KYLÄ-MAIJA (Syö.) Kuule, Liisa oli toista tuntia isäs kanssa täällä
kamarissa.
MIINA. Mitä ne täällä tekivät?
KYLÄ-MAIJA. Kysy tunnoltasi. Kyllä minä tiedän paljonkin, mutta
minä en sano, mun tapani ei ole juoruta, vaikka ihmiset niin

sanovat… Kuule, onko sulla yhtään makkaroita tuvassa? Anna kultani
yksi.
MIINA. Kyllä minä annan, mutta sanokaa, mitä ne täällä tekivät.
KYLÄ-MAIJA. Ei ilkiä! Minä olen kunniallinen leski, enkä puhukaan
sellaista. Mutta kysy isältäsi ja Liisalta.
MIINA. Ettehän te vaan narraa? Minä en usko Liisasta mitään
pahaa, enkä isästänikään.
KYLÄ-MAIJA. Jälestäpäinhän näet. Mutta muista mun sanoneeni:
Liisasta saat sinä äitipuolen.
MIINA. Äitipuolen?
KYLÄ-MAIJA. Niin juuri, pidä silmäsi auki.
MIINA. Taivas, onkohan tuo nyt totta?
KYLÄ-MAIJA. Pidä silmäsi auki, sanon minä. Mutt nyt minun täytyy
mennä, kultuni, ennen kuin isäsi tulee. Annas nyt, piikuni, se
makkara.
MIINA (Ottaa piirongin alakaapista makkaran ja antaa.)
KYLÄ-MAIJA. Kiitos, jäskosthon. Voi kun on korea makkara, niin
kuin pakarin rinkeli! (Panee makkaran nyyttiinsä.) Hyvästi lapseni.
Vielä Maija on se akka, että se toimittaa sulle hyvän miehen, minä
lupasin sen jo äitivainajallesi kun sinä olit pieni pipara, juokseva
mukula. Ja minä en syö sanaani. Mutta kun ei tahdo olla oikein kyllä
rikkaita, pulskia ja hyviä…
MIINA. Älkää niitä joutavia!

KYLÄ-MAIJA. Joutavia! Älä huoli, kyllä minä tiedän. Sulle ei ole
kyllä hyviä tässä pitäjäässä.
MIINA. Ei kukaan välitäkään minusta.
KYLÄ-MAIJA. Ei muuta kuin koko maailma, ihan koko maailma!
Kaikki pojat lentävät sun perässäsi niin kun kärpäset. Mutta muista
mun sanani: älä ota köyhiä, kun rikkaitakin kyllä saat. Hyh … kun
pelästyin! Isäs tulee. Hyvästi lapsi! (Menee vikkelästi pois.)
MIINA (Vetää oven kiini.) Tuon lörpötyksiä ei saisi koskaan uskoa,
mutta jotain vehkeitä niillä sentään saattaa olla. (Miettii, purskahtaa
nauramaan.) Mutta kyllä se nyt olisi todellakin hullua, jos ne yhteen
menoa ajattelisivat, Liisa ja isä, Liisakin melkein narrattava… Ja
sellainen äitipuoli ja emäntäkö tässä sitten määräisi? (Nyrkkiä
puiden:) Ei ikänä! Älä nuolase Liisa, ennen kuin tipahtaa. (Kävelee
ikään kuin sattumalta peilin luo, johon jää katsomaan.) Se Kylä-Maija
sanoi että kaikki lentävät mun perässäni. Olenkohan minä nätti?
Tykkääköhän Hemppa minusta? Jos se vaan tykkäisi, niin (tanssien)
tral … lall … laa… Mutta minäpä kysyn sitä juttua Liisalta ja varjele
sitä, jos se tähän äitipuoleksi kurkottelee. (Poistuu sivuovesta.)
MIINA ja LIISA (Tulevat sisään.)
MIINA. Kuule Liisa, mitä vehkeitä sulla on isän kanssa?
LIISA. Vehkeitä, mitä vehkeitä?
MIINA. Mitä! Älä kieräile. Kumma että kehtaatkin. Ei pidä
nuolaista, ennen kuin tipahtaa. (Nyrkkiä puiden.) Siihen on, kuule,
vielä pitkä aika, ennen kuin tuollainen tähän emännäksi pääsee.
LIISA. Älä nyt haukkumaan ala. (Alkaa itkeä.) Isäsi sitä tahtoo.

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Introduction To The Theory Of Random Processes N V Krylov

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Introduction To The Theory Of Random Processes N V Krylov

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 7

Slide 9

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82

Slide 83

Tags

Categories