Investigación de Operaciones I universidad nacional de Piura.pptx

Capítulo 1 del curso investigación de operaciones

1. Investigación de Operaciones I Dr. Ing. Miguel Jiménez Carrión

2. Introducción a la Investigación de Operaciones ¿Qué es la Investigación de Operaciones (IO) ? Es una disciplina que utiliza el método científico para optimizar los recursos utilizados en una actividad económica de Bienes o Servicios. Optimizar: Encontrar, hallar, la mejor solución a un problema Recursos: Capital, HH, HM, Capacidad de Producción, Materia Prima, otros… Proceso de producción MP HH HM P1 P2 P3 CP Diseño de productos Mercado Requerimientos de recursos Enfoque Sistémico

3. Un poco de Historia…. Hacer un uso óptimo de los recursos disponibles es un problema tan antiguo como la humanidad. Sin embargo, hasta finales del siglo XIX y principios del XX no empezaron a tomar forma los rudimentos de la IO tal y como la conocemos hoy. Las primeras investigaciones de interés son de las dos primeras décadas del siglo XX: los diagramas de Gantt para Planificación de Proyectos, los estudios de Markov sobre Procesos Estocásticos, la Teoría de Colas, etc. etc. … Pero muchos expertos en la materia sitúan sus orígenes en la Segunda Guerra Mundial, cuando la confianza en la intuición comenzó a desvanecerse, y se empezaron a utilizar técnicas de IO para la toma de decisiones bajo escasez de recursos Los dirigentes militares británicos encargaron a científicos e ingenieros el análisis de varios problemas: despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocación de minas, etc. Las administraciones británica y americana formaron grupos de trabajo, compuestos por gran número de científicos (matemáticos, estadísticos, físicos, biólogos y psicólogos) para hacer una distribución racional, más fiable que la dada por la intuición, de los medios con los que contaban. Los esfuerzos de este primer grupo de IO fueron decisivos para ganar combates tan importantes como la Batalla Aérea Británica, la Batalla del Atlántico Norte y la Campaña de las Islas del Pacífico.

4. Clasificación de los problemas de IO atendiendo a la naturaleza del modelo

5. ¿Cómo opera la I.O? Metodología de la investigación de operaciones 1) Definición del Problema A la hora de definir el problema, el analista debe enfrentarse a uno o más de los factores siguientes: datos incompletos, conflictivos o difusos; diferencias de opinión; presupuestos o tiempos limitados; cuestiones políticas; el decisor no tiene una idea firme de qué quiere realmente. Observar.- El analista debe realizar un esfuerzo para contemplar el problema desde diferentes puntos de vista, de modo que termine entendiendo el problema tan bien o mejor que las personas directamente implicadas. b) Ser consciente de las realidades políticas.- Casi siempre hay conflictos entre los jefes y los trabajadores, o entre varios jefes. Para el analista, esto significa que a menudo recibirá información distorsionada o incompleta de cada grupo. c) Decidir qué se quiere realmente.- El analista debe estar seguro de que la compañía tiene claros sus objetivos antes de desarrollar y resolver un modelo. d) Identificar las restricciones.- Es importante saber qué tipo de limitaciones pueden afectar la decisión final, para posteriormente incluirlas en el modelo. e) Buscar información de modo continuo. A lo largo de todo el proceso, el analista no debería perder el contacto con el decisor. Esto permite que ambos modifiquen de forma continua sus observaciones iniciales y estén al día del desarrollo del proceso.

6. ¿Cómo opera la I.O? Metodología de la investigación de operaciones 2) Modelado Matemático Consiste en la construcción del modelo matemático y esto se logra transformando las expresiones verbales en expresiones matemáticas y esto es un arte que consta de: a) Identificar las variables de decisión, b) Identificar la función objetivo, c) Identificar las restricciones y limitaciones y d) traducir los elementos anteriores en un modelo matemático . 3) Resolver el Modelo Matemático Aceptado ya el modelo matemático que mejor describe la situación en estudio, se aplican los algoritmos y métodos matemáticos diseñados para su resolución, esto implica : a) Elegir la técnica de resolución adeuda, b) Generar las soluciones del modelo, c) Comprobar o validar los resultados, d) si los resultados son inaceptables, tirar todo y comenzar de vuelta, en este caso l as hipótesis deben ser estudiadas, la exactitud de los datos comprobada, las restricciones revisadas y e) Realizar análisis de sensibilidad. 4) Presentación e Implementación de los Resultados Este es el paso final dentro de la metodología que se sigue para un estudio de IO; consiste en: a) Preparar informes o presentaciones y b) Vigilar el proceso de implementación de la solución de la propuesta

7. Naturaleza de la Investigación de Operaciones La programación Lineal, Programación entera, Modelos de Transporte y Asignación, Método simplex, Método de Transporte, Método Húngaro para asignación; otros métodos Construir modelos matemáticos que representen un problema de alguna actividad económica de bienes o servicios resolverlos e implementar las soluciones de manera que se pueda cuantificar el impacto de las decisiones. Con que herramientas cuenta la IO.

8. Estructura de los modelos matemáticos: Definición de la Variables de decisión: = Cantidad de unidades del producto “ j ” a producir; j = 1, 2, … n   = Cantidad de unidades del producto “ i ” a producir del modelo “ j ”; i = 1,2, … m; j=1,2,…n   = Cantidad de unidades que se transportan del almacén “ i ” al cliente “ j ”; i = 1,2, … m; j=1,2,…n   Definición de la Función Objetivo: )   )   )   )   Definición de las Restricciones:       ⁞       ⁞         ⁞ o o o o M. icónicos M. de Simulación

9. 1 er Ejemplo A usted le entregan un cordel de 120m de longitud, luego le piden que construya con el cordel un rectángulo que contenga el área más grande posible, o que construya el rectángulo de área máxima . ¿Cuál será el ancho y el largo del rectángulo? Definición de la Variables de decisión:     Definición de la Función Objetivo:   Definición de las Restricciones: Rectángulo                 s.a                     s.a          

10. El Modelo de Programación Lineal Dr. Ing. Miguel Jiménez Carrión

11. Estructura de los modelos de Programación Lineal (P.L) Definición de la Variables de decisión: = Cantidad de unidades del producto “ j ” a producir; j = 1, 2, … n   Definición de la Función Objetivo:   Definición de las Restricciones:   ⁞          

12. Hipótesis o Supuestos de los Moldeos de P.L. Los supuestos de programación lineal están implícitos en la formulación del modelo “En particular, desde un punto de vista matemático, los supuestos simplemente son que el modelo debe tener una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. Sin embargo, desde el punto de vista de modelación, estas propiedades matemáticas de un modelo de programación lineal implican que se deben considerar ciertos supuestos acerca de las actividades y datos del problema que será modelado, incluso algunos acerca del efecto de las variaciones en el nivel de las actividades” (Hillier & Lieberman, 2010) estos supuestos son: proporcionalidad, aditividad, divisibilidad, y certidumbre Proporcionalidad: Este supuesto debe cumplirse tanto en la función objetivo como en las restricciones. Consiste en que siempre en la función objetivo las contribuciones o los costos de cada unidad de producto son constantes y no cambian con la cantidad de unidades a producir; así mismo en las restricciones el consumo de recursos utilizados por cada unidad de producto a producir es constante. Si la utilidad de un producto es S/. 3.0 por cada unidad que se vende significa que si se vende 1 unidad de ese producto, la utilidad marginal de ese producto es S/. 3.0, si se venden 2 unidades es S/. 6.0 si se venden 3 unidades la utilidad será de S/. 9.0 y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las restricciones, suponga que la producción de una unidad del producto 1 requiere 8 minutos de tiempo de máquina, 2 unidades requerirán 16 minutos y 3 unidades consumirán 24 minutos de tiempo de máquina; es decir es proporcional.

13. Hipótesis o Supuestos de los Moldeos de P.L. Aditividad: Este supuesto considera que las contribuciones marginales de cada producto y/o los consumos de recursos en las restricciones son independientes y que no están afectados por las combinaciones de productos. Por ejemplo si hay productos sustitutos el ingreso por las ventas de un producto afecta el ingreso del otro producto en razón a que el mercado es uno solo, en consecuencia no se puede sumar las utilidades marginales. Divisibilidad: Este supuesto se refiere a que las variables de decisión pueden tomar valores continuos es decir valores decimales. Esta situación está unido a la naturaleza de las variables, por ejemplo si éstas representan tiempo, distancia, peso, etc.; todas pueden tomar valores continuos como 3.54 minutos 4.25 m, 68.71kg. Certidumbre: El último supuesto se refiere a los parámetros del modelo, es decir, a los coeficientes c j , en la función objetivo, los coeficientes a ij , en las restricciones y los b i e n el lado derecho de las restricciones. En los problemas reales, el supuesto de certidumbre casi nunca se satisface por completo. Por lo general se formula un modelo de programación lineal para elegir un curso de acción futuro. En este caso, los valores de los parámetros que se emplean están basados en una predicción de las condiciones futuras, lo que es inevitable que introduzca cierto grado de incertidumbre. Por esta razón, siempre es importante realizar un análisis de sensibilidad después de encontrar una solución óptima de los valores supuestos de los parámetros.

14. Modelamiento Matemático de Programación Lineal Una compañía que funciona 10 horas al día fabrica dos productos en tres procesos secuenciales. La siguiente tabla resume los datos del problema: Producto Minutos por unidad Utilidad unitaria Producto Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 1 10 6 8 $2 2 5 20 10 $3 Construya el modelo matemático de Programación lineal que permita determine la combinación óptima de los dos productos Variables de decisión:   Función Objetivo:   s.a Restricciones:       (10x60)   Problema 4, página 20 Taha

15. Alumco fabrica láminas y varillas de aluminio. La capacidad de producción máxima se estima en 800 láminas o 600 varillas por día. La demanda diaria es de 550 láminas y 580 varillas. La utilidad por tonelada es de $40 por lámina y de $35 por varilla. Determine la combinación de producción diaria óptima. Modelamiento Matemático de Programación Lineal Problema 6, página 20 Taha Variables de decisión:   Función Objetivo:   s.a Restricciones:        

16. La división de educación continua del Colegio Comunitario Ozark ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos: prácticos y de humanidades. Para satisfacer las demandas de la comunidad, se deben ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo cada semestre. La división estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursos prácticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso, respectivamente. (a) Idee una oferta de cursos óptima para el colegio. (b) Demuestre que el costo por curso adicional es de $1500, el cual es igual al ingreso por curso práctico. ¿Qué significa este resultado en función de la oferta de cursos adicionales? Modelamiento Matemático de Programación Lineal Problema 8, página 21 Taha Variables de decisión:   Función Objetivo:   s.a Restricciones:         1=Práctico 2=Humanidades b) Cuál es el costo por curso adicional? Para ello incrementamos la oferta a 31 cursos y se vuelve a evaluar la solución  

17. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

18. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

19. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

20. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

21. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

22. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

23. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

24. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

25. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

26. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

27. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

28. Solución de modelos de P.L. método gráfico s.a

29. Transformaciones elementales en los modelos de P.L. Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones introduciendo en el lado izquierdo de cada una de tales restricciones una variable no negativa (estas nuevas variables se conocen como variables de holgura o superávit las cuales se sumarán si la restricción es del tipo ≤ (Holgura) y se restarán si la desigualdad es del tipo ≥ (superávit ó exceso) El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuación por (-1) en caso de que sea necesario. Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le antepone el signo negativo a su lado derecho . │a 1 x 1 + a 2 x 2 │ ≤ b  a 1 x 1 + a 2 x 2 ≤ b y a 1 x 1 + a 2 x 2 ≥ - b Una variable que es irrestricta en signo (esto es positiva, negativa o cero) es equivalente a la diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X es irrestricta en signo puede remplazarse por (X + - X - ) donde X + y X - son ≥ 0. Una desigualdad en una dirección (≥ o ≤) puede cambiarse a una desigualdad opuesta (≤ o ≥) multiplicando ambos lados por (-1). Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones opuestas: 3x1 + 2x2 = 18 3x1 + 2x2 ≤ 18 3x1 + 2x2 ≥ 18 La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización de la expresión negativa de esta función – f(x), y viceversa