Juros e taxas com a HP 12C

Apresentação didática sobre os fundamentos de cálculos de juros e taxas com a HP 12C.

1. ALGUMAS ÁREAS DE APLICAÇÃO DE MATEMÁTICA
FINANCEIRA (II)
– LEASING:
CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES MENSAIS, A PARTIR DO VALOR
DO BEM, PRAZO, TAXA DE JUROS E VALOR RESIDUAL.
– ADMINISTRAÇÃO DE COMPRAS:
ESCOLHA DA MELHOR PROPOSTA DE FORNECEDORES EM
FUNÇÃO DAS CONDIÇÕE S DE PAGAMENTO POR ELES
OFERECIDAS.
DETERMINAÇÃO DO LOTE ÓTIMO DE COMPRA
CONSIDERANDO DESCONTOS POR VOLUME E DESCONTOS
PROMOCIONAIS.
– ESTUDOS DE VIABILIDADE ECONÔMICA:
CÁLCULO DA TAXA INTERNA DE RETORNO OU DO VALOR
PRESENTE LÍQUIDO DE UM INVESTIMENTO. www.ief.com.br

2. ALGUMAS ÁREAS DE APLICAÇÃO DE MATEMÁTICA
FINANCEIRA (III)

– CONTRATOS:

CÁLCULO DE MULTAS, MORA E ATUALIZAÇÃO MON ETÁRIA.
INCORPORAÇÃO AO PREÇO PRATICADO EM
CONCORRÊNCIAS DE POSSÍVEIS PERDAS CAUSADAS PELO
SISTEMÁTICA CONTRATUAL DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA
DE PREÇOS.
ESTABELECIMENTO DE FÓRMULAS PARAMÉTRICAS DE
REAJUSTE DE PREÇOS.
– ADMINISTRAÇÃO DE PREÇOS:

INCLUSÃO DA TAXA DE JUROS NOS PREÇOS PARA VENDAS
FATURADAS.
FIXAÇÃO DE DESCONTOS POR PAGAMENTO ANTECIPADO.
FIXAÇÃO DE PREÇOS PARA VENDA EM PARCELAS " SEM
JUROS".
– EMISSÃO DE BONDS:
CÁLCULO DO "ALL IN COST" DE UM LANÇAMENTO.
FIXAÇÃO DO DESÁGIO A PARTIR DO CU PON E DO YIELD TO
MATURITY.
CRIAÇÃO DE BOND SINTÉTICO.

3. JUROS COMPOSTOS

 CAPITAL

 JUROS

 TAXA DE JUROS:

 TAXA PERCENTUAL

 TAXA UNITÁRIA


A TAXA UNITÁRIA É IGUAL À TAXA PERCENTUAL DIVIDIDA POR 100

EXEMPLOS:

TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA

5% 0,05

18% 0,18

127% 1,27


 PRAZO

 MONTANTE

4. CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS

CAPITAL: R$ 80,00

PRAZO: 3 MESES

TAXA DE JUROS: 10% AO MÊS

EVOLUÇÃO DOS JUROS:


MÊS CAPITAL INICIAL JUROS CAPITAL FINAL
DO MÊS DO MÊS


1 80 8 88

2 88 8,8 96,8

3 96,8 9,68 106,48

5. Crescimento dos juros
compostos
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
135791113151719

6. FÓRMULA DE MONTANTE A JUROS COMPOSTOS

:

ELEMENTO SÍMBOLO

Capital (Valor Presente) PV

Taxa de juros i

Prazo n

Juros J

Montante (ou valor futuro) FV


FV = PV(1 +i)n

7. CÁLCULO DO MONTANTE OU VALOR FUTURO


QUAL O VALOR DO MONTANTE OBTIDO A PARTIR DE UM
CAPITAL DE R$ 200.000,00 APLICADO A UMA TAXA DE 6%
AO ANO DURANTE 15 ANOS?

DADOS:

CAPITAL OU VALOR PRESENTE (PV) = 200.000,00

TAXA DE JUROS ANUAL (I) = 6% (PERCENTUAL) OU 0,06
(UNITÁRIA)

PRAZO (N) = 15 ANOS

MONTANTE OU VALOR FUTURO (FV) = ?

8. SOLUÇÃO 1: USANDO AS FUNÇÕES FINANCEIRAS DA HP -
12C

TECLE VISOR COMENTÁRIO

f FIN inalterado apaga memórias
financeiras

200000 CHS PV -200.000,0000 introduz PV com o
sinal negativo

15 n 15,0000 introduz n

6 i 6,0000 introduz i em %

FV 479.311,6386 FV calculado

9. SOLUÇÃO 2: USANDO FÓRMULA DE MONTANTE

FV = PV(1+i)n

FV = 200.000(1+0,06)15

TECLE VISOR COMENTÁRIO

200000 ENTER 200.000,0000 introduz 200.000

1 ENTER 1,0000 introduz 1

0.06 + 1,0600 soma 0,06 com 1

15 Yx 2,3966 1,06 elevado a 15

x 479.311,6386 multiplica 200.000
por 2,3966 e dá FV

10. CÁLCULO DOS JUROS DE UM EMPRÉSTIMO


QUAL O VALOR DOS JUROS DE UM EMPRÉSTIMO DE R$
12.400,00, EFETUADO POR 6 MESES A JUROS COMPOSTOS
DE 5,8% AO MÊS?

DADOS:

CAPITAL (PV) = 12.400

PRAZO (N) = 6 MESES

TAXA DE JUROS MENSAL (I) = 5,8% (PERCENTUAL) OU 0,058
(UNITÁRIA)

JUROS (J) = ? www.ief.com.br

11. SOLUÇÃO DO CÁLCULO DOS JUROS DE UM EMPRÉSTIMO



TECLE VISOR COMENTÁRIO

f FIN inalterado apaga memórias
financeiras

12400 CHS PV -12.400,0000 introduz PV com o
sinal negativo

6 n 6,0000 introduz n

5.8 i 5,8000 introduz i em %

FV 17.391,4460 FV calculado

RCL PV -12.400,0000 coloca PV no visor

+ 4.991,4460 FV + PV. (*)


(*) - COMO (PV) TEM SINAL NEGATIVO, A SOMA SIGNIFICA A
DIFERENÇA FV - PV QUE É O VALOR DOS JUROS.

12. CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES PARA O ANO COMERCIAL

CALCULE O VALOR DO S JUROS PRODUZIDOS POR UM
CAPITAL DE R$ 50.000,00 APLICADO A JUROS SIMPLES DE
8% AO MÊS DURANTE 4 MESES, CONSIDERANDO O ANO
COMERCIAL (360 DIAS) PARA FINS DE CÁLCULO DA TAXA
DIÁRIA DE JUROS.

DADOS:

CAPITAL (PV) = 50.000

TAXA DE JUROS MENSAL ( i)=8% (PERCENTUAL) OU 0,08
(UNITÁRIA)

PRAZO (n) = 4 MESES

JUROS (J) =?

13. SOLUÇÃO 1: USANDO A FÓRMULA DE JUROS

J = PVin

J = 50.000 X 0,08 X 4

50000 ENTER 0,08 X 4 X

RESULTADO NO VISOR: 16.000,0000

14. SOLUÇÃO 2: COM AS FUNÇÕES FINANCEIRAS DA HP -12C


TECLE VISOR COMENTÁRIO

50000 CHS PV -50.000,0000 introduz PV com
sinal negativo

8 ENTER 12 x i 96,0000 introduz i em base
anual

4 ENTER 30 x n 120,0000 introduz n em dias

f INT 16.000,0000 juros calculados na
base do ano
comercial

15. TAXAS EQUIVALENTES

CONSIDEREMOS DUAS OPÇÕES PARA APLICAÇÃO DE
R$ 200,00 A JUROS COMPOSTOS:

1. APLICAÇÃO À TAXA ANUAL DE 12,68%, POR UM ANO.
2. APLICAÇÃO À TAXA DE 1% AO MÊS, POR UM ANO.

NO FINAL DE UM ANO CADA OPÇÃO PRODUZIRÁ O
MONTANTE DE R$ 225,36.

AS TAXAS 12,68% AO ANO E 1% AO MÊS SÃO
DENOMINADAS TA XAS EQUIVALENTES PORQU E:

- PRODUZEM A PARTIR DO MESMO CAPITAL (R$ 200,00),
- APLICADO PELO MESMO PRAZO (UM ANO),
- O MESMO MONTANTE (R$ 225,36).

ASSIM, PODEMOS CONCLUIR:

AS TAXAS DE JUROS SÃO EQUIVALENTES QUANDO
APLICADAS A UM MESMO CAPITAL E PELO MESMO PRAZO,
PRODUZEM O MESMO RESUL TADO.

16. CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS EQUIVALENTES


TAXA EQUIVALENTE MAIOR :

É A TAXA REFERENTE AO PERÍODO DE TEMPO MAIOR. NO
EXEMPLO DADO, É A TAXA DE 12,68% AO ANO.

TAXA EQUIVALENTE MENOR :

É A TAXA REFERENTE AO PERÍODO DE TEMPO MENOR. NO
EXEMPLO DADO, É A TAXA DE 1% AO MÊS.

17. FÓRMULAS PARA CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES



iM = Taxa Equivalente Maior sob a forma unitária

im = Taxa Equivalente Menor sob a forma unitária

n = número de períodos menores contidos no período maior


Fórmula para a Taxa Equivalente Maior:

iM = (1+im)n - 1

Fórmula para a Taxa Equivalente Menor:

im = (1+iM)1/n - 1

18. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MAIOR

Calcular a taxa trimestral equivalente a 5% ao mês.

Dados:
Taxa Equivalente Menor (im) = 5% a.m. ou 0,05
número de períodos menores (n) = 3 (1 trim. = 3 meses)
Taxa Equivalente Maior (iM) = ?

19. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MAIOR

Solução 1: usando as funções financeiras da HP-12C

TECLE VISOR COMENTÁRIO

f FIN inalterado apaga memórias
financeiras

100 CHS PV -100,0000 introduz PV
hipotético

3 n 3,0000 número de períodos
menores

5 i 5,0000 Taxa Equivalente
Menor

FV 115,7625 valor calculado de
FV

100 - 15,7625 Taxa Equivalente
Maior

20. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MAIOR

Solução 2: usando a fórmula de Taxa Equivalente Maior

iM = (1+im)n - 1

iM = (1+0,05)3 - 1

Efetuando:

1 ENTER 0,05 + 3 Yx 1 -

Resultado no visor: 0,1576 ou 15,76% www.ief.com.br

21. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MENOR

Calcular a taxa mensal equivalente a 26,8242% ao ano.

Dados:

Taxa Equivalente Maior (iM) = 26,8242% a.a. ou 0,268242

número de períodos menores (n) = 12 (1 ano = 12 meses)

Taxa Equivalente Menor (im) = ?

22. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MENOR

Solução 1: usando as funções financeiras da HP-12C

TECLE VISOR COMENTÁRIO

f FIN inalterado apaga memórias
financeiras

100 CHS PV - 100,0000 PV hipotético

26.8242 ENTER 26,8242 Taxa Equivalente Maior

100 + 126,8242 soma 100 com a taxa

FV 126,8242 introduz a soma em FV

12 n 12,0000 períodos menores

i 2,0000 Taxa Equivalente Menor

23. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE MENOR


Solução 2: usando a fórmula de Taxa Equivalente Menor


im = (1+iM)1/n - 1

im = (1+0,268242)1/12 - 1

1 ENTER 0,268242 + 12 1/x Yx 1 -

Resultado no visor: 0,0200 ou 2%

24. TAXA NOMINAL

Uma aplicação financeira de R$ 500 t em a rentabilidade
formada pelas seguintes parcelas:

a) 10% referente à inflação do mês para atualizar monetaria-
mente o capital:

0,10 x 500 = 50

b) 2% a título de juros, incidindo sobre o valor atualizado da
aplicação:

0.02 x (500+50) = 11

A aplicação de R$ 500 gerou um ganho de R$ 61 (50 mais 11).

A taxa de rentabilidade total nesse mês é a seguinte:

61  500 = 0,122 ou 12,2%

A taxa de 12,2% é denominada Taxa de Juros Nominal.

Ela engloba, a taxa de juros reais e a taxa de inflação.

Taxa de Juros Nominal = taxa de juros total.

25. TAXA REAL


Dada uma taxa nominal, quando dela descontamos a taxa de
atualização monetária, temos a taxa real.

No exemplo anterior, quando descontamos da taxa nominal de
12,2% a atualização monetária de 10%, encontramos a taxa de
2% que é uma taxa real.



DESCONTAR NÃO É SUBTRAIR E SIM DIVIDIR COM
ALGUMAS TRANSFORMAÇÕES.

26. FÓRMULAS DAS TAXAS REAL E NOMINAL

iN = taxa nominal
iA = taxa de atualização monetária
iR = taxa real

1+Taxa Nominal = (1+Taxa de Atualização monetária) x
(1+Taxa Real)

Substituindo-se os elementos pelos símbolos, temos:

1 + iN = (1+iA) x (1+iR)

Fórmula da Taxa Nominal: iN = ((1+iA) x (1+iR)) - 1

Fórmula da Taxa Real: iR = ((1 +iN)  (1+iA)) - 1

27. Cálculo da Taxa Real

Uma aplicação financeira rendeu 12,35% num mês em
que a inflação foi 7%. Qual sua taxa real?

Dados:

taxa nominal (iN) = 12,35% ou 0,1235

taxa de atualização monetária (iA) = 7% ou 0,07

taxa real (iR) = ?

28. CÁLCULO DA TAXA REAL

Solução: usando a fórmula da Taxa Real

iR = ((1 +iN)  (1+iA)) - 1

iR = ((1+0,1235)  (1+0,07)) - 1

1 ENTER 0,1235 +

1 ENTER 0,07 +



1 -

Resultado no visor: 0,05 ou 5%

29. CÁLCULO DA TAXA NOMINAL


Um título rendeu 52% de variação monetária e 3% de juros
reais. Qual a taxa de rendimento nominal desse título?

Dados:

taxa de atualização monetária (iA) = 52% ou 0,52

taxa real (iR) = 3% ou 0,03

taxa nominal (iN) = ?

30. CÁLCULO DA TAXA NOMINAL

Solução: usando a fórmula da taxa nominal:

iN = ((1+iA) x (1+iR)) - 1

iN = ((1+0,52) x (1+0,03) - 1

1 ENTER 0,52 +

1 ENTER 0,03 +

x 1 -

Resultado no visor: 0,5656 ou 56,56% www.ief.com.br